课堂新坐标2016_2017学年高中数学第2章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则学案

§5 简单复合函数的求导法则1.了解复合函数的概念.(难点)2.掌握复合函数的求导法则.(重点)3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 复合函数的概念阅读教材P 49倒数第2行以上部分，完成下列问题.一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )＝ax ＋b ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，我们称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )的复合函数，记作y ＝f (φ(x ))，其中u 为中间变量.下列函数不是复合函数的是( ) A.y ＝－x 3－1x＋1B.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C.y ＝1ln xD.y ＝(2x ＋3)4【解析】 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.【答案】 A教材整理2 复合函数的求导法则阅读教材P 49最后两行至P 50部分，完成下列问题.复合函数y ＝f (φ(x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数是y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.(ln 2x )′等于( )A.12xB.1xC.1x ln 2D.ln 2x【解析】(ln 2x)′＝12x (2x)′＝1x.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.【精彩点拨】分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系.【自主解答】(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的.(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的.(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的.判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数.[再练一题]1.指出下列函数由哪些函数复合而成.(1)y＝ln x；(2)y＝e sin x；(3)y＝cos(3x＋1).【解】 (1)y ＝ln u ，u ＝x . (2)y ＝e u，u ＝sin x . (3)y ＝cos u ，u ＝3x ＋1.(1)y ＝e2x ＋1；(2)y ＝1（2x －1）3；(3)y ＝5log 2(1－x )；(4)y ＝sin 3x ＋sin 3x .【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导. 【自主解答】 (1)函数y ＝e2x ＋1可看作函数y ＝e u和u ＝2x ＋1的复合函数，∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(e u)′(2x ＋1)′＝2e u＝2e 2x ＋1.(2)函数y ＝1（2x －1）3可看作函数y ＝u －3和u ＝2x －1的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(u －3)′(2x －1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4＝－6（2x －1）4.(3)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5（x －1）ln 2. (4)函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数，函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数.∴y ′x ＝(u 3)′·(sin x )′＋(sin v )′·(3x )′ ＝3u 2·cos x ＋3cos v ＝3sin 2x cos x ＋3cos 3x .1.解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成. 2.复合函数求导的步骤[再练一题]2.求下列函数的导数. (1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(4)y ＝102x ＋3.【解】 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝(1－2x )-12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12u -32·(－2)＝(1－2x ) -32＝1（1－2x ）1－2x.(3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (4)原函数可看作y ＝10u，u ＝2x ＋3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(2ln 10)102x ＋3.[探究共研型]探究1 求曲线y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋6在x ＝6处切线的斜率. 【提示】 ∵y ′＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴切线的斜率k ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝－2. 探究2 求曲线y ＝f (x )＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程.【提示】 ∵f ′(x )＝e2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2，∴曲线y ＝e2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为y －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 即2x －y ＋2＝0.已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求实数a 的值.【精彩点拨】 求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l 与圆C 相切，建立方程求解.【自主解答】 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， 所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4（a －1）2＋1＝12，解得a ＝118.关于复合函数导数的应用及其解决方法1.应用复合函数导数的应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.2.方法先求出复合函数的导数，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.[再练一题] 3.曲线y ＝f (x )＝e sin x在(0，1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l的方程.【导学号：94210048】【解】 设u ＝sin x ，则f ′(x )＝(e sin x)′＝(e u)′(sin x )′＝cos x esin x.f ′(0)＝1.则切线方程为y －1＝x －0， 即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.[构建·体系]复合函数的求导—⎪⎪⎪—复合函数的概念—复合函数的求导法则—应用1.函数y ＝cos (－x )的导数是( ) A.cos x B.－cos x C.－sin xD.sin x【解析】 y ′＝－sin (－x )(－x )′＝－sin x . 【答案】 C2.若f (x )＝e 2xln 2x ，则f ′(x )＝( ) A.e 2xln 2x ＋e2x 2xB.e 2xln 2x ＋e2xxC.2e 2xln 2x ＋e2xxD.2e 2x·1x【解析】 f ′(x )＝(e 2x )′ln 2x ＋e 2x(ln 2x )′ ＝2e 2xln 2x ＋e2xx.【答案】 C3.已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________. 【解析】 f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1， ∴f ′(1)＝32.【答案】 324.设曲线y ＝e ax在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【导学号：94210049】【解析】 令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax)′＝(e ax )·(ax )′＝a e ax ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.【答案】 2 5.求下列函数的导数.(1)y ＝cos(x ＋3)；(2)y ＝(2x －1)3； (3)y ＝e－2x ＋1.【解】 (1)函数y ＝cos(x ＋3)可以看做函数y ＝cos u 和u ＝x ＋3的复合函数， 由复合函数的求导法则可得y x ′＝y u ′·u x ′＝(cos u )′·(x ＋3)′＝－sin u ·1＝－sin u ＝－sin(x ＋3).(2)函数y ＝(2x －1)3可以看做函数y ＝u 3和u ＝2x －1的复合函数， 由复合函数的求导法则可得y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 3)′·(2x －1)′＝3u 2·2＝6u 2＝6(2x －1)2. (3)y ′＝e－2x ＋1·(－2x ＋1)′＝－2e－2x ＋1.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2等于( ) A.－3 3 B.3 3 C.－6 3D.6 3【解析】 f ′(x )＝－6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝6sin π3＝3 3. 【答案】 B2.函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A.y ′＝ln(2x ＋5)－x 2x ＋5B.y ′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C.y ′＝2x ln(2x ＋5)D.y ′＝x2x ＋5【解析】 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 【答案】 B 3.曲线y ＝f (x )＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.1【解析】 y ′＝ex －1＋x ex －1＝(x ＋1)ex －1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为f ′(1)＝2.【答案】 C4.函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( ) A.y ′＝－2sin 2x ＋cos x 2xB.y ′＝2 sin 2x ＋cos x2xC.y ′＝－2sin 2x ＋sin x2xD.y ′＝2sin 2x －cos x2x【解析】 y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′ ＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x .【答案】 A5.曲线y ＝e 12x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )【导学号：94210050】A.92e 2B.4e 2C.2e 2D.e 2【解析】 因为导函数y ′＝12e 12x，所以曲线在点(4，e 2)处的切线的斜率为12e 2.于是切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4).令x ＝0，解得y ＝－e 2；令y ＝0，解得x ＝2. 所以S ＝12e 2×2＝e 2.【答案】 D 二、填空题6.若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________. 【解析】 f ′(x )＝[log 3(x －1)]′ ＝1（x －1）ln 3，∴f ′(2)＝1ln 3. 【答案】1ln 37.(2016·广州高二检测)若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________. 【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ， ∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′ ＝2 sin 2x . 【答案】 2sin 2x8.若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________. 【解析】 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x， ∴y ′＝－e －x，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2， ∴y 0＝eln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2，2).【答案】 (－ln 2，2) 三、解答题9.已知函数f (x )＝x (1－ax )2(a >0)，且f ′(2)＝5，求实数a 的值. 【解】 f ′(x )＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′ ＝(1－ax )2＋x [2(1－ax )(－a )] ＝(1－ax )2－2ax (1－ax ). 由f ′(2)＝(1－2a )2－4a (1－2a ) ＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.10.求曲线f (x )＝2sin 2x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线方程.【解】 因为f ′(x )＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＝ 3.所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即3x －y ＋12－3π6＝0.[能力提升]1.(2016·长沙高二检测)函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A.y ′＝2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B.y ′＝cos 2x －sin 2xC.y ′＝sin 2x ＋cos 2xD.y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 【解析】 ∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，故选A. 【答案】 A2.(2016·潍坊高二期末检测)已知函数f (x )＝x ·ln ax ＋b ，曲线f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2，则ab ＝( )A.2＋e 2B.2＋e11 C.2＋ee 2 D.2e 2 【解析】f ′(x )＝ln ax ＋1.由题意⎩⎪⎨⎪⎧f ′（e ）＝0，f （e ）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ln a e ＋1＝0，eln a e ＋b ＝2， 解得a ＝1e 2，b ＝e ＋2， ∴ab ＝e ＋2e 2，故应选C. 【答案】 C3.曲线y ＝f (x )＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为____________________.【导学号：94210051】【解析】 因为f ′(x )＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以f ′(0)＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.【答案】 5x ＋y －3＝04.曲线y ＝f (x )＝e 2x·cos 3x 在(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程.【解】 ∵f ′(x )＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴f ′(0)＝2.∴经过点(0，1)的切线方程为 y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设适合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ， 根据题意，得5＝|b －1|5， ∴b ＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。