重庆市北碚区2019～2020学年度高一第1学期期末学生学业质量调研抽测数学试题及参考答案
2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题(解析版)
2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题一、单选题1．要得到函数y x =的图象,只需将函数)4y x π=-的图象上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度 D ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度 【答案】B【解析】))424y x x πππ=-=+-，即)4y x π=+，所以要得到函数y x =的图像，先将横坐标伸长到原来的12，变为)4y x π=+；再向右平移4π个单位即可得到y x =，应选答案B ． 2．已知集合{}{}0,1,|,,A B z z x y x A y A ===+∈∈，则集合B 的子集个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】分析：先求出集合B 中的元素，从而求出其子集的个数． 详解：由题意可知，集合B={z|z=x+y ，x ∈A ，y ∈A}={0，1，2}， 则B 的子集个数为：23=8个， 故选D ．点睛：本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n 个元素，其子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个.3．已知角α的终边经过点()5,12P --，则3sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于( ) A ．513-B ．1213-C ．513D ．1213【答案】C【解析】首先求得cos α的值，然后结合诱导公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由三角函数的定义可得：()()225cos 13512α==--+-，则32sin πα⎛⎫+⎪⎝⎭5cos 13α=-=.本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查终边相同的角的三角函数定义，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．函数()22xf x log x =+的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】画出2xy =-与2y log x =的图象(如图所示)，它们有2个交点，所以函数()f x 的零点个数为2.故选C ．5．若f (x )=ln (x 2-2ax +1+a )在区间(),1-∞上递减,则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B【解析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在(),1-∞上的最小值大于0，由此联立不等式组求解． 【详解】解：令2()21g x x ax a =-++，其对称轴方程为x a =， 外函数对数函数是增函数，要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，则1(1)1210a g a a ⎧⎨=-++≥⎩…，即：12a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]1,2．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．6．若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．-2【答案】A【解析】试题分析：∵4cos 5α=-，α为第三象限，∴3sin 5α=-, ∵2sin211tancos cos sin (cossin)2222221tansin cossin(cossin)(cossin)222222221cos2αααααααααααααααα++++===---+-2231()1sin 1sin 154cos 2cos sin 225ααααα+-++====---． 【考点】同角间的三角函数关系，二倍角公式．7．已知函数()xe f x mx x=- (e 为自然对数的底数)，若()0f x >在()0,+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,)e -∞C ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】分析：不等式0x e mx x ->在()0,∞+上恒成立等价于2xe m x <在()0,∞+上恒成立，可利用导数求()2xe g x x=在()0,∞+上的函数的最小值.详解：因为0x e mx x ->在()0,∞+上恒成立，故在()0,∞+上不等式2xe m x<总成立，令()2xe g x x =，则()()32'x e x g x x-=. 当()0,2x ∈时，()'0g x <，故()g x 在()0,2上为减函数； 当()2,x ∈+∞时，()'0g x >，故()g x 在()2,+∞上为增函数； 所以()()2min24e g x g ==，故24e m <，故选D.点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.8．非零向量a br r ，满足：a b a -=r r r ，()0a a b ⋅-=r r r ，则a b -r r与b r 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60° D ．45°【答案】A【解析】先化简()0a a b ⋅-=r r r 得2=a a b ⋅r r r，再化简a b a -=r r r 得b =r ，最后求a b -r r 与b r 的夹角.【详解】因为()0a a b ⋅-=r r r ，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅r r r r r r ，，因为a b a -=r r r ，所以2222a a a b b =-⋅+v v v v v ，整理可得22b a b =⋅vvv ，所以有b =r ，设a b -r r与b r 的夹角为θ，则()2cos a bb a b b a bb a b θ-⋅⋅-===-r r r r r r r rr r r 22222||a =-r r r ，又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段,AC CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段的比例中项，即满足510.618AC BC AB AC -==≈．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点.在ABC ∆中，若点,P Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在ABC ∆内任取一点M ，则点M 落在APQ ∆内的概率为（ ）A ．512B 52C ．514D ．522【答案】B【解析】根据几何概型概率求解.测度为面积. 【详解】由题意得所求概率为几何概型概率，测度为面积.即所求概率为5151(12252,APQABCBC BCS PQ BQ BPS BC BCBC∆∆-----==== 选B. 【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.10．在ABC ∆中，36AB AC ==，tan A =D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且3DE =，记ADE ∆，四边形BCED 的面积分别为1S ，2S ，则12S S 的最大值为（ ） A ．14B ．38C ．13D ．512【答案】C【解析】分析：设AD x =，(06,02)AE y x y =<≤<≤，又tan A =0120A =，利用余弦定理和基本不等式求得3xy ≤，再利用三角形的面积公式，即可求解结果．详解：设AD x =，(06,02)AE y x y =<≤<≤，因为tan A =0120A =，所以22202cos12023DE x y xy xy xy xy =+-=+=，又3DE =，所以3xy ≤，当且仅当x y ==所以01021sin12011121121212326sin1201123xy S xy S xy xy ===≤=-⨯⨯⨯--，故选C ． 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．11．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，()02018f =，则不等式()2017x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()(),00,-∞⋃+∞B ．()(),0217,-∞+∞UC ．()2017,+∞D ．()0,∞+【答案】D【解析】构造函数()()xxg x e f x e =-，通过求导及已知不等式，可得出()g x 为递增函数，再将原不等式化为()()0g x g >可解得． 【详解】解：令()()xxg x e f x e =-，则()()()()()()1x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，∵()()1f x f x '+>，∴()()10f x f x -'+>， ∴()0g x '>，()g x 在R 上为单调递增函数， ∵()()001201812017g f =-=-= ∴原不等式可化为()()0g x g >， 根据()g x 的单调性得0x > 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解题的关键，属中档题．12．已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且3CP =u u u r，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．[]0,12B ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,6D ．[]0,3【答案】A【解析】以点B 为坐标原点， BC 所在直线为x 轴，过点B 与BC 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()00B ，、(3A ，、()20C ， 设() P x y ，因为3CP =u u u v P 点轨迹为()2223x y -+=令233x cos y sin θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩则()1333PA cos sin θθ=--u uu v ，()2,PB θθ=-u u u v()PC θθ=u u u v则()16666cos 226PC PA PB cos sin πθθθ⎛⎫⎛⎫⋅+=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v 由66cos 66πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 得066cos 126πθ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭ 故选A点睛：本题在求解过程中采用了建立平面直角坐标系的方法，先根据题目条件得出点P 点轨迹，然后利用三角函数换元，求得各向量的表示方法，借助辅助角公式进行化简，本题较为综合，运用了较多知识点。
重庆市2019-2020学年高一上学期期末学业质量调研抽测数学试题 Word版含答案
绝密★启用前2019-2020学年(上)期末学业质量调研抽测高一数学试卷（分数：150分时间：120分钟）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题1.已知集合，集合，则A. B.C. D.2.函数的图象大致为A. B.C. D.3.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.4.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. 8 D. 45.已知，，，，P为外接圆上的一动点，且的最大值是A. B. C. D.6.将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质A. 在上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 在上单调递增，为奇函数D. 周期为，图象关于点对称7.九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步”请问乙．走的步数是A. B. C. D.8.已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是A. B.C. D.9.已知命题p：对任意，总有；q：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是A. B. C. D.10.定义在R上的函数满足：，且当时，，则函数的零点个数是A. 5B. 6C. 7D. 811.已知圆的圆心为C，点P是直线l：上的点，若该圆上存在点Q使得，则实数m的取值范围为A. B.C. D.12.不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作已知，给出下列结论：是偶函数；是周期函数，且最小值周期为；的单调递减区间为；的值域为．其中正确的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题13.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为若直线上存在一点P使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是．14.如图，在平面四边形ABCD中，，，若，则的值为______．15.若，，且，则使得取得最小值的实数______．16.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得，沿山坡前进50m到达B处，又测得，根据以上数据可得______．三、解答题17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．求角A的大小；若，求的面积．18.已知等比数列的各项均为正数，，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设证明：为等差数列，并求的前n项和．19.如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边，斜边，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F．若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．20.如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，，．求证：平面BCD；求异面直线AB与CD所成角的余弦值大小；求点E到平面ACD的距离．21.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表．其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长等于9米的弧田．Ⅰ计算弧田的实际面积；Ⅱ按照九章算术中的弧田面积的经验公式计算所得结果与中计算的弧田实际面积相差多少平方米？结果保留两位小数22.已知四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且，平面BEF．Ⅰ求实数的值；Ⅱ求三棱锥的体积．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次不等式的求解及指数不等式的求解，同时考查集合的补集，属于基础题．根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得．【解答】解：因为，，则．故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的定义域与值域，以及函数图象的判断，属于基础题．先求出函数的定义域，再分别讨论，时函数的范围，由此判断函数的图象即可．【解答】解：函数的定义域为：，排除选项A．当时，函数，选项C不满足题意．当时，函数，选项D不正确，故选B．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．将a，b化为同底数的幂，利用指数函数的单调性判定大小，a，c利用中间值2，结合指数、对数函数的性质比较大小，然后利用不等式的基本性质可知道a，b，c的大小关系．【解答】解：由对数函数是单调增函数，，，指数函数是单调增函数，，，即，．故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，底面是直角三角形，高为2，利用棱锥体积公式即可计算．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，如图：底面是边长为2的正方形的一半，高为2，该几何体的体积．故选B．5.【答案】B【解析】【分析】以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设P的坐标为，求出点B的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．【解答】解：以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则外接圆的方程为，设P的坐标为，过点B作BD垂直x轴，，，，，，，，，，，，，，其中，，当时，有最大值，最大值为，故选：B．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数平移、单调性、奇偶性、周期的知识，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析，进行解答．【解答】解：将的图象向右平移个单位，得，则为偶函数，在上单调递增，故A正确，的最大值为1，对称轴为，，即，，当，图象关于对称，故B错误，由，，函数单调递增，，，在上不是单调函数，故C错误，函数的周期，不关于点对称，故D错误．故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用，画出图象是解题的关键，属于基础题．设甲、乙相遇经过的时间为x，由题意画出图形，由勾股定理列出方程求出x，即可求出答案．【解答】解：设甲、乙相遇经过的时间为x，如图：则，，，，，即，解得或舍去，，故选：C．8.【答案】B【解析】解：根据题意，定义在R上的函数满足，则有，则函数是周期为6的周期函数，又由为偶函数，则函数关于直线对称，则，，，又由在内单调递减，则，则有；故选：B．根据题意，由分析可得，则可得函数是周期为6的周期函数，由为偶函数，则函数关于直线对称，则有，，，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的单调性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：因为命题p对任意，总有，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“”不能推出“”；但是“”能推出“”所以：“”是“”的必要不充分条件，故q是假命题；所以为真命题；故选：D．由命题p，找到x的范围是，判断p为真命题．而q：“”是“”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．10.【答案】A【解析】解：定义在R上的函数满足：，且当时，，当时，，当时，，当时，，在坐标系中画出两个函数与的图象如图：由图象可知两图象有5个交点，故函数有5个零点，故选A．求出函数的解析式，利用函数的图象以及函数值判断即可．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时．圆上存在点Q使得，圆心到直线的距离，，故选：D．由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时，利用圆上存在点Q使得，可得圆心到直线的距离，进而得出答案．本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：对于，，，显然，不是偶函数，故错误；对于，，而，，即不是周期为的函数，故错误；对于，当时，，令，则在区间单调递增，且，又在上单调递减，在单调递减，故正确；对于，，取不到值cos1，且的最大值为1．故错误．故选：B．通过计算特殊值验证判断，；利用符合函数的单调性判断，根据的范围和余弦函数的性质判断．本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的图象，是中档题．13.【答案】【解析】解：的方程为，故圆心为，半径．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有，圆心到直线的距离小于或等于，即，解得，可得，故答案为：由题意可得圆心为，半径；设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB 为正方形，圆心到直线的距离小于或等于，即，由此求得k的范围．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．14.【答案】【解析】解：过D作BC的垂线，交BC延长线于M，设，则，，．∽，，，，，．故答案为：．过D作，则∽，利用相似比表示出x，y即可得出结论．本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．15.【答案】【解析】解：，，且，，那么：，当且仅当时即取等号．联立，解得：．故答案为：．构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．16.【答案】【解析】解：，，，在中，由正弦定理得：，，在中，，，，由正弦定理，，，．故答案为：．先在中用正弦定理求得BD，再在中用正弦定理求得，然后根据可求得．本题考查了正弦定理以及诱导公式，属中档题．17.【答案】解：，，，，由余弦定理得，可得，又，．根据正弦定理得，又，．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用余弦定理即可得出．根据正弦定理与三角形面积计算公式即可得出．18.【答案】Ⅰ解：设等比数列的公比为q，依题意，，，，，两式相除得，解得，舍去，，数列的通项公式为；Ⅱ证明：由Ⅰ得，，数列是首项为1，公差为的等差数列，．【解析】本题主要考查等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键，属于中档题．Ⅰ利用等比数列的通项公式即可得出；Ⅱ利用Ⅰ的结论和对数的运算法则进行化简，再计算是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．19.【答案】解：由题意，，，中，，，中，由余弦定理可得；由题意，，．中，中，由正弦定理可得，，，，【解析】由题意，，，中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；中，由正弦定理可得，可将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.【答案】解：连接OC，，，，，，，在中，由题设知，，，，，即，，，平面BCD；取AC中点F，连接OF、OE、E中E、F分别为BC、AC中点，且中分别为中点且异面直线AB与CD所成角等于或其补角又OF是斜边上的中线等腰中；解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，，0，，，0，，．，，异面直线AB与CD所成角的大小为．解：设平面ACD的法向量为y，则，令，得1，是平面ACD的一个法向量．又，点E到平面ACD的距离．【解析】如图所示，要证平面BCD，只需证，即可，用运算的方式来证明结论．法一：取AC中点F，连接，由中位线定理可得，所以或其补角是异面直线AB与CD所成角，然后在中求解．法二：以O为原点，OB为x 轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，异面直线AB与CD的向量坐标，求出两向量的夹角即可；求出平面ACD的法向量，点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．本题主要考查线线，线面，面面垂直的转化及异面直线所成角的求法，同时，考查了转化思想和运算能力，是常考类型，属中档题．21.【答案】解：扇形半径，扇形面积等于弧田面积圆心到弦的距离等于，所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算得弦矢矢按照弧田面积经验公式计算结果比实际少平方米．【解析】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得弦矢矢，从而可求误差．22.【答案】解：Ⅰ连接AC，设，则平面平面，平面EFB，，，，，解得．Ⅱ，，，又，，，，，平面ABCD，所以．【解析】Ⅰ连接AC，设，推导出，从而，由此能求出．Ⅱ由，能求出三棱锥的体积．本题考查实数值的求法，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．。
2019-2020学年人教A版重庆一中高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{0，1} B．{﹣1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 2．已知函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2，在下列区间中，函数f（x）一定有零点的是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，3] D．[3，4]3．计算sin15°•sin105°的结果是（）A．B．C．D．4．下列函数为奇函数的是（）A．f（x）＝x3+3x2B．f（x）＝2x+2﹣xC．D．f（x）＝x sin x5．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin x的图象（）A．把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位B．把各点的模坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位C．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝2sin（2x+）B．f（x）＝2sin（x+）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）7．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a8．已知函数f（x）＝m（x﹣2）+3，g（x）＝x2﹣4x+3，若对任意x1∈[0，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）D．9．已知函数y＝lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，﹣1]C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）10．函数在区间上的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝sin x•（sin x+cos x），给出以下四个命题：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在上的值域为[0，1]；③f（x）的图象关于点中心对称；④f（x）的图象关于直线对称．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．（14，17）B．（14，19）C．（17，19）D．二、填空题13．已知cos2α＝，．则sinα＝．14．已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为．15．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①；②f （x）＝e x；③f（x）＝lg（x2+2）；④f（x）＝cosπx．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）是偶函数，且对任意x∈R恒有f（3﹣x）+f （x﹣1）＝2020，又f（﹣2）＝2019，则f（2020）＝．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（1）若tanα＝3，求值：；（2）计算：lg20﹣lg2+．18．已知集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}．（1）当a＝4时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．19．已知函数．（1）求；（2）求f（x）的单调递增区间．20．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+b（ω＞0，﹣＜φ＜）相邻两对称轴间的距离为，若将f（x）的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g（x）的为奇函数．（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的对称中心；（2）若关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．21．定义二元函数F（x，y）＝（1+x）y，x∈（0，+∞），y∈R．如．已知二次函数g（x）过点（0，0），对x∈R成立．（1）求g（﹣1）的值，并求函数g（x）的解析式；（2）若函数h（x）＝g（2x+2﹣x）﹣22﹣x，求h（x）在x∈[0，1]上的值域．22．已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）的奇函数f（x）满足：①f（3）＝﹣1；②对任意x＞2，均有f（x）＜0；③对任意m，n＞0．均有f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）．（1）求f（2）的值；（2）利用定义法证明f（x）在（1，+∞）上单调递减；（3）若对任意，恒有f（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≥﹣2，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{0，1} B．{﹣1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 【分析】利用列举法表示集合A，再由并集运算得答案．解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．已知函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2，在下列区间中，函数f（x）一定有零点的是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，3] D．[3，4]【分析】根据函数零点的判定定理，把所给的区间的端点代入求出函数值，找出两个端点对应的函数值符号相反的区间，得到结果．解：由于函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2，是连连续增函数，f（1）＝ln2﹣1＜0，f（2）＝ln3＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2的零点在（ 1，2）内，故选：B．3．计算sin15°•sin105°的结果是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式，求得所给式子的值．解：sin15°•sin105°＝sin15°•（﹣cos15°）＝﹣sin30°＝﹣，故选：A．4．下列函数为奇函数的是（）A．f（x）＝x3+3x2B．f（x）＝2x+2﹣xC．D．f（x）＝x sin x【分析】首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x）和f（x）的关系，即可判断奇函数．解：对于A，f（x）＝x3+3x2，f（﹣x）＝﹣x3+3x2，f（﹣x）≠﹣f（x），f（x）不为奇函数；对于B，f（x）＝2x+2﹣x，f（﹣x）＝2﹣x+2x，f（﹣x）＝f（x），f（x）为偶函数；对于C，f（x）＝ln，定义域（﹣3，3）关于原点对称，f（﹣x）+f（x）＝ln+ln ＝ln1＝0，即有f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数；对于D，f（x）＝x sin x，定义域为R，f（﹣x）＝﹣x sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），f （x）为偶函数．故选：C．5．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin x的图象（）A．把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位B．把各点的模坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位C．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：只需将函数y＝sin x的图象各点的模坐标缩短到原来的倍，即可得到y＝sin2x的图象；再把所得图象向右平移个单为，可得函数的图象，故选：A．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝2sin（2x+）B．f（x）＝2sin（x+）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）【分析】根据图象确定A，ω和φ的值即可求函数的解析式解：由图象知函数的最大值为2，即A＝2，函数的周期T＝4（）＝2，解得ω＝1，即f（x）＝2sin（x+φ），由五点对应法知+φ＝π，解得φ＝，故f（x）＝2sin（x+），故选：B．7．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．解：∵log45＞log44＝1，，，∴b＜c＜a．故选：A．8．已知函数f（x）＝m（x﹣2）+3，g（x）＝x2﹣4x+3，若对任意x1∈[0，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）D．【分析】根据对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＞g（x2）成立，由二次函数的值域求得可得g（x）的最小值，可得﹣1＜m（x﹣2）+3在x∈[0，4]恒成立，进而根据一次函数的单调性可得关于m的不等式组，解不等式组可得答案．解：g（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，当x2∈[1，4]时，g（x2）∈[﹣1，3]，则g（x2）的最小值为﹣1，可得﹣1＜m（x﹣2）+3在x∈[0，4]恒成立，则﹣1＜﹣2m+3，且﹣1＜2m+3，解得m＜2，且m＞﹣2，即﹣2＜m＜2，故选：A．9．已知函数y＝lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，﹣1]C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）【分析】根据题意，应使对数函数的真数取到所有的正数，由此讨论真数的值域即可．【解答】解；∵函数y＝lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，∴当a2﹣1＝0时，a＝1或a＝﹣1，验证a＝1时不成立；当a2﹣1≠0时，，解得﹣2≤a＜﹣1；综上，﹣2≤a≤﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]．故选：B．10．函数在区间上的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】化简f（x）的解析式，去掉绝对值，化f（x）为分段函数，再考查函数在每一段上的增减性即可．解：当x∈（，1）时，f（x）＝tan（x）+（x﹣）﹣[（x﹣）﹣tan（x）]＝2tan（x），函数单调递增；当x∈[1，2）时，f（x）＝tan（x）+（x﹣）﹣[tan（x）﹣（x ﹣）]＝2（x﹣），函数单调递减；即f（x）＝，∴满足条件函数f（x）的图象是第一个；故选：A．11．已知函数f（x）＝sin x•（sin x+cos x），给出以下四个命题：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在上的值域为[0，1]；③f（x）的图象关于点中心对称；④f（x）的图象关于直线对称．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）＝＝．所以函数的最小正周期为T＝故①正确．由于，所以，所以，所以0≤f（x）≤1，故②正确．当x＝时，函数的值为，故f（x）的图象关于点中心对称；故③正确．当x＝时，函数的值为，即函数的最大值，故④正确．故选：D．12．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．（14，17）B．（14，19）C．（17，19）D．【分析】作出f（x）的函数图象，求出x1，x2，x3，x4的范围，根据对数函数的性质得出x1x2＝1，利用三角函数的对称性得出x3+x4＝12，代入式子化简得出关于x3的二次函数，根据x3的范围和二次函数的性质求出值域即可．解：作出函数f（x）的图象如图所示：因为存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），∴＜x1＜1，1＜x2＜2，2＜x3＜4，8＜x4＜10，∵﹣log2x1＝log2x2，∴log2＝log2x2，∴x1x2＝1，∵y＝sin关于直线x＝6对称，∴x3+x4＝12，∴＝（x3﹣1）（x4﹣1）+2x4﹣5x3＝x3x4﹣6x3+x4+1＝﹣x32+5x3+13＝﹣（x3﹣）2+，令g（x3）＝﹣（x3﹣）2+，则g（x3）在（2，）是增函数，在（，4）递减，∵g（2）＝19，g（4）＝17，g（）＝，∴17＜g（x3）≤．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案写在答题卡相应位置上13．已知cos2α＝，．则sinα＝﹣．【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin α的值．解：∵cos2α＝＝1﹣2sin2α，，则sinα＜0，求得sinα＝﹣，故答案为：﹣．14．已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为 3 ．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．解：tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，可知tan（α+β）＝＝，即＝，解得tanβ＝3．故答案为：3．15．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①；②f （x）＝e x；③f（x）＝lg（x2+2）；④f（x）＝cosπx．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是②④．【分析】根据题意，由“1阶马格丁香小花花”函数的定义分析所给的四个函数，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析4个函数：对于①，f（x）＝，若f（x）＝是“1阶马格丁香小花花”函数，则方程＝+1有解，方程＝+1变形可得x2+x+1＝0，该方程无实数解，所以函数f（x）＝不是“1阶马格丁香小花花”函数；对于②，f（x）＝e x，其定义域为R，则方程e x+1＝e x+e有解，方程e x+1＝e x+e，变形可得（e﹣1）e x＝e，解可得x＝ln，有解；故函数f（x）＝e x是“1阶马格丁香小花花”函数；对于③f（x）＝lg（x2+2），若存在x，使f（x+1）＝f（x）+f（1）则lg[（x+1）2+2]＝lg（x2+2）+lg3即2x2﹣2x+3＝0，而△＝4﹣24＝﹣20＜0，故方程无解．故f（x）＝lg（x2+2）不是“1阶马格丁香小花花”函数；对于④f（x）＝cosπx，存在x＝，使f（）＝cos＝f（）+f（1）即f（x+1）＝f（x）+f（1）成立，故函数f（x）＝cosπx是“1阶马格丁香小花花”函数；综合：②④是“1阶马格丁香小花花”函数；故答案为：②④．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）是偶函数，且对任意x∈R恒有f（3﹣x）+f （x﹣1）＝2020，又f（﹣2）＝2019，则f（2020）＝ 1 ．【分析】运用偶函数的定义，将x换为﹣x，再根据∀x∈R，有f（3﹣x）+f（x﹣1）＝2014，得到f（x+4）+f（x﹣2）＝2014，得到函数f（x）的最小正周期为12，从而得到f（2020）＝2020﹣f（﹣2），从而可得结论解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）是偶函数，∴f（﹣x﹣2）＝f（x﹣2），∵∀x∈R，有f（3﹣x）+f（x﹣1）＝2020，∴f（4﹣x）+f（x﹣2）＝2020，∴f（4﹣x）+f（﹣2﹣x）＝2020，即f（x+4）+f（x﹣2）＝2020，从而有f（x+6）+f（x）＝2020，f（x+12）+f（x+6）＝2020，∴f（x+12）＝f（x），即函数f（x）的最小正周期为12，∴f（2020）＝f（12×168+4）＝f（4）＝2020﹣f（﹣2）＝1，故答案为：1．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（1）若tanα＝3，求值：；（2）计算：lg20﹣lg2+．【分析】（1）运用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值．（2）利用对数的运算性质即可计算得解．解：（1）∵tanα＝3，∴＝＝＝＝﹣；（2）lg20﹣lg2+＝lg10+log33+log23×﹣2＝1+1+2﹣2＝2．18．已知集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}．（1）当a＝4时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）a＝4时，求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．（2）集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}＝{x|x （x﹣a）＜0}，A∩B＝B，从而B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）a＝4时，集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|4x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜4}．∴A∩B＝{x|0＜x＜3}．（2）∵集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}＝{x|x（x﹣a）＜0}，A∩B＝B，∴B⊆A，当B＝∅时，a＝0，当B≠∅时，﹣2≤a＜0或0＜a≤3综上，实数a的取值范围[﹣2，3]．19．已知函数．（1）求；（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】（1）先利用三角函数公式化简函数f（x），再代入求值即可；（2）由（1）知f（x）＝，再利用正弦函数的图象即可求出f（x）的单调递增区间．解：（1）∵＝sin2x+1﹣cos2x＝＝，∴＝sin+1＝；（2）由（1）知f（x）＝，∴令﹣，（k∈Z），得：，∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．20．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+b（ω＞0，﹣＜φ＜）相邻两对称轴间的距离为，若将f（x）的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g（x）的为奇函数．（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的对称中心；（2）若关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．【分析】（1）由周期求得ω，由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）＝sin（2x++φ）+b﹣1，再根据g（x）的为奇函数求得φ和b的值，可得f（x）和g （x）的解析式以及f（x）的对称中心．（2）由（1）可得g（x）＝sin2x，由题意可得可得关于t的方程 3t2+m•t+2＝0在区间（0，1）上有唯一解．再利用二次函数的性质求得m的范围．解：（1）由题意可得＝＝，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ）+b，∴g（x）＝sin[2（x+）+φ]+b﹣1＝sin（2x++φ）+b﹣1．再结合函数g（x）的为奇函数，可得+φ＝kπ，k∈z，且b﹣1＝0，再根据﹣＜φ＜，可得φ＝﹣，b＝1，∴f（x）＝sin（2x﹣）+1，g（x）＝sin2x．令2x﹣＝nπ，n∈z，可得x＝+，∴f（x）的对称中心（+，1）．（2）由（1）可得g（x）＝sin2x，在区间[0，]上，2x∈[0，π]，令t＝g（x），则t∈[0，1]．由关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，可得关于t的方程 3t2+m•t+2＝0在区间（0，1）上有唯一解．令h（t）＝3t2+m•t+2，∵h（0）＝2＞0，则满足h（1）＝3+m+2＜0，或，求得m＜﹣5，或m＝﹣2．21．定义二元函数F（x，y）＝（1+x）y，x∈（0，+∞），y∈R．如．已知二次函数g（x）过点（0，0），对x∈R成立．（1）求g（﹣1）的值，并求函数g（x）的解析式；（2）若函数h（x）＝g（2x+2﹣x）﹣22﹣x，求h（x）在x∈[0，1]上的值域．【分析】（1）根据定义可得2g（﹣1）＝＝2﹣4，所以g（﹣1）＝﹣4，进而a＝b﹣4，再由﹣（3x2+1）≤ax2+bx≤6x+2对x∈R成立．整理可得a，b的值；（2）h（x）整理得﹣2（2x﹣2﹣x）2+2（2x﹣2﹣x）﹣8，换元配方即可解：（1）因为对x∈R成立．所以x＝﹣1时，≤2g（﹣1）≤4﹣2，即有2g（﹣1）＝＝2﹣4，所以g（﹣1）＝﹣4 设g（x）＝ax2+bx（a≠0），则g（﹣1）＝a﹣b＝﹣4，即a＝b﹣4，又因为对x∈R成立．即≤2g（x）≤26x+2，则﹣（3x2+1）≤ax2+bx≤6x+2对x∈R成立．则对x∈R，（a+3）x2+bx+1≥0恒成立，所以a+3≥0，△＝b2﹣4（a+3）≤0同时对x∈R，ax2+（b﹣6）x﹣2≤0恒成立，所以a＜0，△＝（b﹣6）2+8a≤0，代入a＝b﹣4得（b﹣2）2≤0，所以b＝2，则a＝﹣2，故g（x）＝﹣2x2+2x；（2）函数h（x）＝g（2x+2﹣x）﹣22﹣x＝﹣2（2x+2﹣x）2+2（2x+2﹣x）﹣4•2﹣x＝﹣2（2x+2﹣x）2+2（2x﹣2﹣x）＝﹣2[（2x﹣2﹣x）2+4]+2（2x﹣2﹣x）＝﹣2（2x﹣2﹣x）2+2（2x﹣2﹣x）﹣8，令t＝2x﹣2﹣x，因为x∈[0，1]，所以t∈[0，]，h（t）＝﹣2t2+2t﹣8＝﹣2（t﹣）2﹣，则h（t）∈[﹣，﹣]22．已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）的奇函数f（x）满足：①f（3）＝﹣1；②对任意x＞2，均有f（x）＜0；③对任意m，n＞0．均有f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）．（1）求f（2）的值；（2）利用定义法证明f（x）在（1，+∞）上单调递减；（3）若对任意，恒有f（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≥﹣2，求实数k的取值范围．【分析】（1）由条件③f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）对任意m，n＞0均成立，可令m ＝n＝1，即可解得f（2）＝0；（2）由（Ⅰ），将f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）变形得f（mn+1）﹣f（n+1）＝f（m+1），设x2＝mn+1，x1＝n+1，其中m，n＞0，m＞1，利用②③即证得结论成立；（3）利用赋值法，结合题意可求得f（x）≥﹣2的解为：1＜x≤5或x≤﹣，再结合函数的单调性脱去函数符号“f”，得到1＜sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤5，或sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤﹣，再通过构造函数，利用分类讨论、等价转化等思想方法正确分析、运算即可求得实数k的取值范围．解：（1）由条件③f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）知，令m＝n＝1得：f（2）+f（2）＝f（2），故得f（2）＝0．（2）由（1）将f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）变形得：f（mn+1）﹣f（n+1）＝f（m+1），设x2＝mn+1，x1＝n+1，其中m，n＞0，m＞1，则x2﹣x1＝n（m﹣1）＞0，故x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）＝f（mn+1）﹣f（n+1）＝f（m+1），m＞1，m+1＞2，由②对任意x＞2，均有f（x）＜0可知，f（m+1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，所以f（x2）＜f（x1），即f（x）在（1，+∞）上为减函数；（3）由（1）知f（2）＝0，而f（x）为奇函数，又f（3）＝﹣1，对任意m，n＞0，f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1），所以f（2+1）+f（2+1）＝f（2×2+1）＝f（5），即f（5）＝﹣2①．再令m＝4，n＝，则f（4+1）+f（+1）＝f（4×+1）＝f（2）＝0，所以f（5）＝﹣f（）＝f（﹣）＝﹣2②由①②可知，f（x）≥﹣2的解为：1＜x≤5或x≤﹣．于是，f（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≥﹣2⇔1＜sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤5，或sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤﹣．令t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），θ∈[﹣，0]⇒∈[﹣，]⇒sin（θ+）∈[﹣1，1]，即t∈[﹣1，1]，又sin2θ＝t2﹣1，故sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k＝t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1，令g（t）＝t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1（﹣1≤t≤1），则1＜g（t）≤5或g（t）≤﹣．先分析：1＜g（t）≤5（﹣1≤t≤1），即，对于③，∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1≤5⇔，解得﹣≤t≤8③′；对于④，∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1＞1，即∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣2＞0．令h（t）＝t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣2，分三类讨论：1°当≤﹣1，即k≤时，h（t）在区间[﹣1，1]上单调递增，由h（t）min＝h（﹣1）＝1+（2k﹣3）﹣k﹣2＞0得：k＞4，与k≤矛盾，即此时k∈∅；2°当≥1，即k≥时，h（t）在区间[﹣1，1]上单调递减，由h（t）min＝h（1）＝1﹣（2k﹣3）﹣k﹣2＞0得：k＜，与k≥矛盾，即此时k∈∅；3°当﹣1＜＜1，即＜k＜时，h（t）在区间[﹣1，1]上的最小值为h（），由h（t）min＝h（）＝﹣[（2k﹣3）×]﹣k﹣2＞0整理得：4k2﹣8k+17＜0，此不等式无解，即此时k∈∅；即对于④，∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1＞1中的实数k∈∅；综上所述，∀t∈[﹣1，1]，1＜g（t）≤5，即1＜（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≤5中的k∈∅；再分析g（t）≤﹣，即，即，解得：≤k≤．综上所述，实数k的取值范围为[，]．。
重庆市北碚区2020-2021学年高一数学上学期期末学业质量调研抽测试题
重庆市北碚区2020-2021学年高一数学上学期期末学业质量调研抽测试题（分数：150分时间：120分钟）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题1.下列五个写法：2，；；1，，2，；；，其中错误写法的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42.设函数，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.3.等比数列的各项均为正数，且，则A. 12B. 10C. 8D.4.设函数，则下列结论错误的是A. 的一个周期为B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 在单调递减5.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则A. B. C. D.6.已知，则的值等于A. B. C. D.7.已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 周期为D. 在上是增函数8.函数在区间上至少取得2个最大值，则正整数a的最小值是A. 7B. 9C. 11D. 129.设，过定点A的动直线和过定点B的直线交于点，则的取值范围是A. B. C. D.10.设O为的外心，若，则M是的A. 重心三条中线交点B. 内心三条角平分线交点C. 垂心三条高线交点D. 外心三边中垂线交点11.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；若，则与的终边相同；若，则是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 412.已知，将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象．若对任意实数x，都有成立，则A. B. 1 C. D. 0二、填空题13.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______．14.已知向量，，，，若，则的最小值______．15.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则______．16.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数具有性质______填入所有正确性质的序号最大值为，图象关于直线对称；图象关于y轴对称；最小正周期为；图象关于点对称；在上单调递减．三、解答题17.已知函数．判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；求函数在区间上的最大值与最小值．18.命题p：函数有意义，命题q：实数x满足．当且为真，求实数x的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.已知函数的部分图象如图所示：求的解析式；求的单调区间和对称中心坐标；将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值．20.已知椭圆的左右焦点分别为、，左顶点为A，若，椭圆的离心率为．Ⅰ求椭圆的标准方程．Ⅱ若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围．21.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．写出的普通方程和的直角坐标方程；设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标．22.已知函数，其中，，的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．求的解析式；先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，试写出函数的解析式．在的条件下，若总存在，使得不等式成立，求实数m的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素，属于基础题．根据“”用于元素与集合；“”用于集合与集合间；判断出错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出的对错；据集合元素的三要素判断出对．【解答】解：对于，“”是用于元素与集合的关系，故错；对于，是任意集合的子集，故对；对于，集合中的元素有确定性、互异性、无序性，两个集合是同一集合，故对；对于，因为是不含任何元素的集合，故错；对于，因为“”用于集合与集合，故错．故错误的有，共3个，故选C．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数不等式以及对数函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．由题意，可化为：，根据对数函数的性质，可得，即可求出结果．【解答】解：函数，则不等式可化为，可得，解得，即使得成立的x的取值范围是．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是灵活利用等比中项的性质，以及对数运算，属于基础题．先根据等比中项的性质可知，进而根据，求得的值，最后根据等比数列的性质求得，则答案可得．【解答】解：由等比数列的性质可得，，，10．故选B．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础．根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：对于A，函数的周期为，，当时，周期，故A正确；对于B，当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故B正确；对于C，因为，且，则的一个零点为，故C正确；对于D，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D错误．故选D．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于中档题．根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可．【解答】解：，，，，，，，，，由正弦定理可得，，，，，，．故选B．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题．利用诱导公式，即可得结论．【解答】解：，．故选B．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查向量的数量积，属于中档题．利用三角恒等变换化简的解析式，根据正弦函数的性质判断．【解答】解：，当时，，不关于直线对称，选项A错误；当时，，关于点对称，不关于点对称，选项B错误；得周期，选项C错误；当时，，在在上是增函数，选项D正确．故选D．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．化函数为正弦型函数，求出函数的最小正周期T，根据在区间上至少取得2个最大值，得出a的取值范围，从而求出a的最小值．【解答】解：函数，函数的最小正周期为，又在区间上至少取得2个最大值，，解得，正整数a的最小值是7．故选A．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．可得直线分别过定点和且垂直，可得三角换元后，由三角函数的知识可得．【解答】解：由题意可知，动直线经过定点，动直线即，经过定点，动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，P又是两条直线的交点，，．设，则，，由且，可得，，，，，，故选B．10.【答案】C【解析】解：在中，O为外心，可得，，设AB的中点为D，则，，，可得CM在AB边的高线上．同理可证，AM在BC边的高线上，故M是三角形ABC两高线的交点，可得M是三角形ABC的垂心，故选：C设AB的中点为D，根据题意可得由题中向量的等式化简得，即CM在AB 边的高线上．同理可证出AM在BC边的高线上，故可得M是三角形ABC的垂心．本题给出三角形中的向量等式，判断点M是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了任意角的概念与三角函数的定义和应用问题，是基础题．根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，错误；对于，三角形的内角，是第一象限角或第二象限角，或y轴正半轴角，错误；对于，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，正确；对于，若，则与的终边相同，或关于y轴对称，错误；对于，若，则是第二或第三象限的角，或终边在x负半轴上，错误；综上，其中正确命题是，只有1个．故选A．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．利用的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得的值．【解答】解：，将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象．若对任意实数x，都有成立，则的图象关于直线对称，由，得，，可得，故选B．13.【答案】12【解析】【分析】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．由已知当时，，先求出，进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：当时，，，又函数是定义在R上的奇函数，，故答案为12．14.【答案】【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值及平面向量共线的条件，属于基本题型．由，可得：，再利用“乘1法”与基本不等式求解即可．【解答】解：，，即，，，，当且仅当时取等号，的最小值是．故答案为．15.【答案】3【解析】【分析】本题考查了向量坐标运算性质、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，属于中档题．建立适当坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于m，n的方程组，求得m，n的值，即得．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．．由与的夹角为，且．，，．，，．，，，解得，，则．故答案为：3．16.【答案】【解析】【分析】本题考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数的图象．对于函数：它的最大值为，由于当时，，不是最值，故的图象不关于直线对称，故错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故正确；它的最小正周期为，故正确；当时，，故函数的图象关于点对称，故正确；当时，，单调递增，故错误，故答案为．17.【答案】解：在区间上是增函数．证明如下：任取，，且，．，，，即函数在区间上是增函数；由知函数在区间上是增函数，故函数在区间上的最大值为，最小值为．【解析】本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力．利用函数的单调性的定义证明即可；利用函数的单调性，求解函数的最值即可．18.【答案】解：由得，即，其中，得，，则p：，；若，则p：，由解得，即q：；若为真，则p，q同时为真，即，解得，实数x的取值范围．若是的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，即是的真子集．，且和不能同时成立，解得，实数a的取值范围为．【解析】本题考查逻辑联结词以及充分条件和必要条件的判断，考查学生的计算能力，属于中档题．若，分别求出p，q成立的等价条件，利用为真，求实数x的取值范围；利用是的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.【答案】解：由图象可知解得又由于，所以，由，，又，所以，所以；由知，，令，得，所以的单调递增区间为，令，得，所以的单调递减区间为，令，得，所以的对称中心的坐标为；由已知的图象变换过程可得：，因为，所以，所以当，得时，取得最小值，当时，即时，取得最大值．【解析】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题．由图象可求A，B的值，求得周期T，利用周期公式可求，由可求，即可得解的解析式；令，得，可求的单调递增区间，令，得，可求的对称中心的坐标；由已知的图象变换过程可得：，由，利用正弦函数的性质可求在上的最大值和最小值．20.【答案】解：Ⅰ由题意，，椭圆的离心率为，，，，椭圆的标准方程为Ⅱ设，，，，点在椭圆上，，，，由椭圆方程得，二次函数开口向上，对称轴，当时，取最小值0，当时，取最大值12．的取值范围是．【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．Ⅰ利用，椭圆的离心率为，求出几何量，即可求椭圆的标准方程．Ⅱ设，利用数量积公式求出，结合，即可求的取值范围．21.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，移项后两边平方可得，所以的普通方程为；曲线的极坐标方程为，即，由，，可得，即的直角坐标方程为直线；由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时，两平行线间的距离为的最小值，设与直线平行的直线方程为，联立可得，由直线与椭圆相切，可得，解得，显然时，取得最小值，即有，此时，解得，即为另解：设，由P到直线的距离为，当时，的最小值为，此时可取，即有【解析】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．运用两边平方和同角的平方关系，即可得到的普通方程，运用，，以及两角和的正弦公式，化简可得的直角坐标方程；由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时，取得最值．设与直线平行的直线方程为，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设，由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．22.【答案】解：，，解得；又函数图象上一个最高点为，，，，又，，；把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，即；，，，依题意知，，，即实数m的最小值为．【解析】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查函数的图象变换，属于中档题．专业Word 可修改欢迎下载依题意知，由此可求得；又函数图象上一个最高点为，可知，，结合可求得，从而可得的解析式；利用函数的图象变换可求得函数的解析式；，则，，依题意知，，从而可求得实数m的最小值．1。
重庆北碚区部分学校2019-2020高一上学期第一次月考数学试卷( PDF版简略答案)
()
A. {x| − 5 ⩽ x < 4} B. {x| − 3 < x < 2} C. {x| − 5 ⩽ x < 3} D. {x| − 2 ⩽ x ⩽ 4}
2. 下列各组函数中表示同一函数的是 √
A. f (x) = x, g(x) = x2
B. f (x) = (√x)2, g(x) = x
)
16.
已知函数
f
(x)
=
−
1 4
x2
+
2x
+
3,
g(x)
=
|
3 2
x
−
3|,
若函数
A. [4, +∞)
B. (−∞, 4]
C. [−2, +∞)
D. (−∞, −2]
8. 已知函数 f (x) 的图象关于原点对称, 且 f (x) 在 [0, +∞) 上是增函数, 则不等式
f (x), f (x) < g(x),
x+
x
y
y
y
O
x
O
x
O
x
(
y
O
x
A
B
C
D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在题中的横线上。
13. 设全集 U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 集合 A = {0, 1, 3, 5}, B = {0, 2, 3, 4}, 则 A ∩ (∁U B) = )
−2,
求
k
的值.
x
5
22. 已知二次函数 f (x) = x2 − (2m + 1)x + m.
2019-2020学年重庆市江北区2019级高一上学期期末考试数学试卷及解析
2019-2020学年重庆市江北区2019级高一上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：（本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选选项中,只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}2,3,5,6,7,8U =,{}3,5,6A =,{}5,6,8B =,则()U A B ⋃=( )A. {}3,5,6,8B. {}2,3,7,8C. {}2,7D. {5,6} 【答案】C【解析】先求A B ,再求()U A B .【详解】由题意可知{}3,5,6,8A B =,(){}2,7U A B ∴=.故选：C. 2.已知α为第二象限角,且3cos 5α=-,则tan α的值为( ) A. 43- B. 34 C. 34- D. 43【答案】A【解析】先求sin α,再求tan α的值.【详解】α是第二象限角,4sin 5α∴==, sin tan s 43co ααα==-. 故选：A3.已知函数21,2()(2),2x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩,则(1)(2)f f -=( )A. 12B. 2C. 2-D. 3【答案】B【解析】根据分段函数的定义域,代入求()1f 和()2f 的值.【详解】()()132317f f ==⨯+=,()22215f =⨯+= ,()()12752f f ∴-=-=.故选：B4.已知函数()f x 是奇函数,当0x <时,2()2f x x x =-+,则(2)f =( )A. 6-B. 6C. 10-D. 10【答案】D【解析】先求()2f -,再利用奇函数的性质,()()22f f =--求值.【详解】()()()2222210f -=-⋅-+-=-()f x 是奇函数,满足()()f x f x -=-,即()()2210f f =--=.故选：D5.已知5cos()613πα-+=-,则7cos()6πα-=( ) A. 513- B. 513 C. 1213 D. 1213-【答案】B【解析】。
2019-2020学年重庆市北碚区高一上学期期末学生学业质量调研抽测数学试题含答案
绝密★启用前北碚区2019-2020学年(上)期末学生学业质量调研抽测高一数学试卷（分数：150分时间：120分钟）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题1.下列五个写法：2，；；1，，2，；；，其中错误写法的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42.设函数，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.3.等比数列的各项均为正数，且，则A. 12B. 10C. 8D.4.设函数，则下列结论错误的是A. 的一个周期为B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 在单调递减5.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则A. B. C. D.6.已知，则的值等于A. B. C. D.7.已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 周期为D. 在上是增函数8.函数在区间上至少取得2个最大值，则正整数a的最小值是A. 7B. 9C. 11D. 129.设，过定点A的动直线和过定点B的直线交于点，则的取值范围是A. B. C. D.10.设O为的外心，若，则M是的A. 重心三条中线交点B. 内心三条角平分线交点C. 垂心三条高线交点D. 外心三边中垂线交点11.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；若，则与的终边相同；若，则是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 412.已知，将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象．若对任意实数x，都有成立，则A. B. 1 C. D. 0二、填空题13.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______．14.已知向量，，，，若，则的最小值______．15.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则______．16.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数具有性质______填入所有正确性质的序号最大值为，图象关于直线对称；图象关于y轴对称；最小正周期为；图象关于点对称；在上单调递减．三、解答题17.已知函数．判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；求函数在区间上的最大值与最小值．18.命题p：函数有意义，命题q：实数x满足．当且为真，求实数x的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.已知函数的部分图象如图所示：求的解析式；求的单调区间和对称中心坐标；将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值．20.已知椭圆的左右焦点分别为、，左顶点为A，若，椭圆的离心率为．Ⅰ求椭圆的标准方程．Ⅱ若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围．21.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．写出的普通方程和的直角坐标方程；设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标．22.已知函数，其中，，的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．求的解析式；先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，试写出函数的解析式．在的条件下，若总存在，使得不等式成立，求实数m的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素，属于基础题．根据“”用于元素与集合；“”用于集合与集合间；判断出错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出的对错；据集合元素的三要素判断出对．【解答】解：对于，“”是用于元素与集合的关系，故错；对于，是任意集合的子集，故对；对于，集合中的元素有确定性、互异性、无序性，两个集合是同一集合，故对；对于，因为是不含任何元素的集合，故错；对于，因为“”用于集合与集合，故错．故错误的有，共3个，故选C．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数不等式以及对数函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．由题意，可化为：，根据对数函数的性质，可得，即可求出结果．【解答】解：函数，则不等式可化为，可得，解得，即使得成立的x的取值范围是．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是灵活利用等比中项的性质，以及对数运算，属于基础题．先根据等比中项的性质可知，进而根据，求得的值，最后根据等比数列的性质求得，则答案可得．【解答】解：由等比数列的性质可得，，，10．故选B．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础．根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：对于A，函数的周期为，，当时，周期，故A正确；对于B，当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故B正确；对于C，因为，且，则的一个零点为，故C正确；对于D，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D错误．故选D．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于中档题．根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可．【解答】解：，，，，，，，，，由正弦定理可得，，，，，，．故选B．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题．利用诱导公式，即可得结论．【解答】解：，．故选B．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查向量的数量积，属于中档题．利用三角恒等变换化简的解析式，根据正弦函数的性质判断．【解答】解：，当时，，不关于直线对称，选项A错误；当时，，关于点对称，不关于点对称，选项B错误；得周期，选项C错误；当时，，在在上是增函数，选项D正确．故选D．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．化函数为正弦型函数，求出函数的最小正周期T，根据在区间上至少取得2个最大值，得出a的取值范围，从而求出a的最小值．【解答】解：函数，函数的最小正周期为，又在区间上至少取得2个最大值，，解得，正整数a的最小值是7．故选A．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．可得直线分别过定点和且垂直，可得三角换元后，由三角函数的知识可得．【解答】解：由题意可知，动直线经过定点，动直线即，经过定点，动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，P又是两条直线的交点，，．设，则，，由且，可得，，，，，，故选B．10.【答案】C【解析】解：在中，O为外心，可得，，设AB的中点为D，则，，，可得CM在AB边的高线上．同理可证，AM在BC边的高线上，故M是三角形ABC两高线的交点，可得M是三角形ABC的垂心，故选：C设AB的中点为D，根据题意可得由题中向量的等式化简得，即CM在AB 边的高线上．同理可证出AM在BC边的高线上，故可得M是三角形ABC的垂心．本题给出三角形中的向量等式，判断点M是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了任意角的概念与三角函数的定义和应用问题，是基础题．根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，错误；对于，三角形的内角，是第一象限角或第二象限角，或y轴正半轴角，错误；对于，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，正确；对于，若，则与的终边相同，或关于y轴对称，错误；对于，若，则是第二或第三象限的角，或终边在x负半轴上，错误；综上，其中正确命题是，只有1个．故选A．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．利用的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得的值．【解答】解：，将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象．若对任意实数x，都有成立，则的图象关于直线对称，由，得，，可得，故选B．13.【答案】12【解析】【分析】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．由已知当时，，先求出，进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：当时，，，又函数是定义在R上的奇函数，，故答案为12．14.【答案】【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值及平面向量共线的条件，属于基本题型．由，可得：，再利用“乘1法”与基本不等式求解即可．【解答】解：，，即，，，，当且仅当时取等号，的最小值是．故答案为．15.【答案】3【解析】【分析】本题考查了向量坐标运算性质、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，属于中档题．建立适当坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于m，n的方程组，求得m，n的值，即得．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．．由与的夹角为，且．，，．，，．，，，解得，，则．故答案为：3．16.【答案】【解析】【分析】本题考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数的图象．对于函数：它的最大值为，由于当时，，不是最值，故的图象不关于直线对称，故错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故正确；它的最小正周期为，故正确；当时，，故函数的图象关于点对称，故正确；当时，，单调递增，故错误，故答案为．17.【答案】解：在区间上是增函数．证明如下：任取，，且，．，，，即函数在区间上是增函数；由知函数在区间上是增函数，故函数在区间上的最大值为，最小值为．【解析】本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力．利用函数的单调性的定义证明即可；利用函数的单调性，求解函数的最值即可．18.【答案】解：由得，即，其中，得，，则p：，；若，则p：，由解得，即q：；若为真，则p，q同时为真，即，解得，实数x的取值范围．若是的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，即是的真子集．，且和不能同时成立，解得，实数a的取值范围为．【解析】本题考查逻辑联结词以及充分条件和必要条件的判断，考查学生的计算能力，属于中档题．若，分别求出p，q成立的等价条件，利用为真，求实数x的取值范围；利用是的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.【答案】解：由图象可知解得又由于，所以，由，，又，所以，所以；由知，，令，得，所以的单调递增区间为，令，得，所以的单调递减区间为，令，得，所以的对称中心的坐标为；由已知的图象变换过程可得：，因为，所以，所以当，得时，取得最小值，当时，即时，取得最大值．【解析】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题．由图象可求A，B的值，求得周期T，利用周期公式可求，由可求，即可得解的解析式；令，得，可求的单调递增区间，令，得，可求的对称中心的坐标；由已知的图象变换过程可得：，由，利用正弦函数的性质可求在上的最大值和最小值．20.【答案】解：Ⅰ由题意，，椭圆的离心率为，，，，椭圆的标准方程为Ⅱ设，，，，点在椭圆上，，，，由椭圆方程得，二次函数开口向上，对称轴，当时，取最小值0，当时，取最大值12．的取值范围是．【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．Ⅰ利用，椭圆的离心率为，求出几何量，即可求椭圆的标准方程．Ⅱ设，利用数量积公式求出，结合，即可求的取值范围．21.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，移项后两边平方可得，所以的普通方程为；曲线的极坐标方程为，即，由，，可得，即的直角坐标方程为直线；由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时，两平行线间的距离为的最小值，设与直线平行的直线方程为，联立可得，由直线与椭圆相切，可得，解得，显然时，取得最小值，即有，此时，解得，即为另解：设，由P到直线的距离为，当时，的最小值为，此时可取，即有【解析】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．运用两边平方和同角的平方关系，即可得到的普通方程，运用，，以及两角和的正弦公式，化简可得的直角坐标方程；由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时，取得最值．设与直线平行的直线方程为，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设，由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．22.【答案】解：，，解得；又函数图象上一个最高点为，，，，又，，；把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，即；，，，依题意知，，，即实数m的最小值为．【解析】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查函数的图象变换，属于中档题．依题意知，由此可求得；又函数图象上一个最高点为，可知，，结合可求得，从而可得的解析式；利用函数的图象变换可求得函数的解析式；，则，，依题意知，，从而可求得实数m的最小值．。
重庆市北碚区2019-2020学年高一数学上学期期末学业质量调研抽测试题[含答案]
![重庆市北碚区2019-2020学年高一数学上学期期末学业质量调研抽测试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/b3bbaddaa5e9856a57126087.png)
重庆市北硝区2021-2021 学年高一数学上学期期末学业质量调研抽测试题〔分数：150分时间：120分钟〕注意：本试卷包含I、n两卷.第I卷为选择题,所有答案必须用2B铅笔涂在做题卡中相应的位置.第n卷为非选择题, 所有答案必须填在做题卷的相应位置. 答案写在试卷上均无效,不予记分.一、选择题1 .以下五个写法：①网E ｛1,2,箝；②s匚｛0｝；③位1,2尸仕,2,3;④0 E 5 =⑤.n鼻=稔, 其中错误写法的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 42 .设函数- k蜡乂；丘1〕,那么使得好⑶〞仅+ 2〕成立的x的取值范围是A. 1 - ... —.■■■■■ .B.I 4 IC. 1一二二.一；D.....+工：.J-al--kJ T3 .等比数列g n〕的各项均为正数,且％* %由尹18 ,那么log储1 + 1■…+匕豆外/〔A. 12B. 10C. 8D. 2〞四谓；n4 .设函数+-〕,那么以下结论错误的选项是〔｝A. fa〕的一个周期为-2n______ _8爪一,一,B. y =的图象关于直线x二对称C.fw + Z的一个零点为xnD. f〔M在〔3司单调递减5. △ AgC的内角A, B, C的对边分别为a,b, c,阜inB + sinAWnC-cosC〕=口,卜=2人=\2,贝Uc = 〔〕7 .向量丁百,上〔1国心〕,设函数叼=吧二,那么以下关于函数¥ =网的性质D. ¥ = f 〔x 〕在卜上是增函数n JI f-8 .函数f 〔x 〕 = sin-xssr-%3sin r 在区间[+La]上至少取得2个最大值,那么正整数 a 的最小 666值是9 . 设rnER,过定点A 的动直线* + mv = 0和过定点B 的直线mx-y-E + 3 = 0交于点,那么|PA| + |PB|的取值范围是〔〕 A. 瓦2眄B. [^2<5〕C. [Jig 晌D. |[2版4狗10 .设O 为的外心,假设+口B + OC = QM ,那么M 是△山式的〔〕A.重心H 三条中线交点〕B.内心< 三条角平分线交点〕C.垂心H 三条高线交点〕D.外心,三边中垂线交点〕11 .给出以下命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不管用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关； |④假设学inot = 4np,那么d 与0的终边相同； ⑤假设8犯父0,那么g 是第其中正确命题的个数是的描述正确的选项是A.关于直线* : 对称12_ 、…一 5建 一一 B.关于点〔在o 〕对称C.周期为2n A. 7B. 9C. 11D. 12或第三象限的角.12 .注〕二十*85工+山8上-上,将虫〕的图象向右平移个单位,再向上平移1个单位,得到¥ = g 〔幻的图象.假设对任意实数 X,都有或ar 〕 = g 楫+ x 〕成立,那么目值+-〕 = | 〕 4J2 v? A. . B. 1 C. / D. 022二、填空题13.函数f 3是定义在R 上的奇函数,当|xW 卜g ,0〕时,f ㈤二靖+/,那么fQ 〕=15 .如图,在同一个平面内,向量°?,野产的模分别为1,1,5与磐的夹角为a|,且0g = 7,即与,的夹角为45、假设 OC = mOA + nOB 〔m,n e R 〕?那么m + n = ----- -16 .将函数f 仅〕=Jss 〔行+ "〕-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移 1个单位长度,得到函数削X 〕的图象,那么函数目〔就具有性质〔填入所有正确性质的序号 ①最大值为阐,图象关于直线* = ：对称；②图象关于y 轴对称； |③最小正周期为n;A. 1B. 2C. 3D. 414. 向量;二= EA O, H >0,假设"/J1 u那么 +的最小值 m n④图象关于点⑤在［0；)上单调递减•三、解做题17.函数|口)判断函数在区间曲+g)上的单调性,并用定义证实其结论; (2)求函数f(x)在区间［2,9］上的最大值与最小值.18 .命题p:函数犷植+ I.」, -：lM)缶> 0)有意义,命题q:实数x满足’7 < 0 . JT - Z(1)当己=1且pAq为真,求实数X的取值范围；假设「口是F的充分不必要条件,求实数a的取值范围.7L19 .函数f(K) = Asin(wx 4 + B(A > 0T w > O r |(|>| w )的局部图象如下图:(1)求f(M的解析⑵求f㈤的单调区间和对称中央坐标;图象向上平移1个单位,得到函数目的图象,求函数¥ = 1g 仅)在]上的最大值和最小值.20 .椭圆± d > 0)的左右焦点分别为Fj 左顶点为A,假设=2,椭圆 a 2 b 2的离心率为E = J I 求椭圆的标准方程.n 假设P 是椭圆上的任意一点,求p F 「PA 的取21值范围.21 .在直角坐标系xOy 中,曲线C 二的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,[1)写出C1的普通方程和G 的直角坐标方程;⑵设点P 在q 上,点Q 在j 上,求IPQI 的最小值及此时P 的直角坐标.22 .函数 H*〕 = 〕中〕,x ER 〔其中 An 0,OJ >o|,口)求f(x)的解析式;以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线匚2的极坐标方程为psin(9 + -) = 2,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最高点为 的图象与x 轴的交点中,(2)先把函数y =(仪)的图象向左平移个单位长度, 然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,得到函数厂小)的图象,试写出函数y = g⑶的解析式.(3)在(2)的条件下,假设总存在使得不等式期％) + 2 4 I.鸟m成立,求实数m的最小值.答案和解析1 .【答案】C【解析】【分析】此题考查集合局部的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素,属于根底题.根据“值〞用于元素与集合；“ |门〞用于集合与集合间；判断出①⑤错,根据必是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对.【解答】解：对于I①,〞是用于元素与集合的关系,故①错；对于|②,已是任意集合的子集,故②对;对于③,集合中的元素有确定性、互异性、无序性,两个集合是同一集合,故③对；对于④,由于,是不含任何元素的集合,故④错；对于⑤,由于“卜用于集合与集合,故⑤错.故错误的有①④⑤, 共3个,应选C.2 .【答案】B【解析】【分析】此题考查对数不等式以及对数函数的性质,考查运算求解水平,属于中档题.由题意,开僧)川M + 2)可化为：,.良/1〞匕七田+ 5),根据对数函数的性质,可得i(3x-l)2>3x + 5. ,即可求出结果.I + 5 > 0【解答】解：,函数㈣噩担x-1),那么不等式2版)> f(x + 2)可化为2心即1" log a(3x + 5),可得即使得2小)> f(x + 2)成立的x 的取值范围是 应选B. 3 .【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了等比数列的性质,解题的关键是灵活利用等比中项的性质,以及对数运算, 属于根底题.先根据等比中项的性质可知 自5方二,N ,进而根据占5% + %% = 18,求得+为的值,最后根据 等比数列的性质求得I 口区q+ I 口电％ +…+ ।口&9s 二1口&3电己/,那么答案可得. 【解答】解：由等比数列的性质可得 自产6 = 为%, "loe^a^ loe 3a 2 + ... 4-106^10二 log 3〔a 5a &〕5 = 51 口%9 : 10.应选B.4 .【答案】D【解析】【分析】此题考查与余弦函数有关的命题的真假判断,根据三角函数的图象和性质是解决此题的关 键,题目比拟根底.根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可. 【解答】3x+ s3x-l>0 ,解得 3x + S > 0线x_叫对称,故B 正确;A -■773TIn.对于C,由于@+ g = BS 仅+冗G )= -8加+ 了,且—g G + ：J = - 3 5 = II ,那么小十a)的一个零点为H-：故C 正确；6应选D. 5 .【答案】B【解析】【分析】此题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理,属于中档题. 根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可. 【解答】解：jinB = sin|A +.= sinAcosC + cosAsinc|, 丁 sinB + sinA|sinC-cosC) = 0,,h,sinAcosC + cosAsFnC + nAsInC-sinAcosC = 0, cosAiinC + sinAsinC 0,,■ sinC* 0, cosA = -si nA, "tanA = -1, n[< A< ri , 23n解：对于A,函数的周期为2kn, kW ,当k = -l 时,周期T = -2瞳,故A 正确;S RTt Bn JL对于B,当KU]时,+ -) = coMy + j) = tosn = -1此时¥ =耳刈的图象关于直对于D,当.其5时,5n 6,此时函数f(x)有增有减,不是单调函数,故 D 错误.应选B. 7.【答案】D【解析】【分析】此题考查了三角恒等变换,正弦函数的图象与性质,考查向量的数量积,属于中档题. 利用三角恒等变换化简 【解答】由正弦定理可得6.【答案】B【解析】【分析】此题考查了诱导公式,考查学生的计算水平,属于根底题. 利用诱导公式-1)=「酬5_G +八)]==疝吟十门),即可得结论. 【解答】角牛. lsin(~ + ct) = 3,f 仅)的解析式,根据正弦函数的性质判断. 应选B. $inC si nA斛,f(x) = m T n = 2cos% + \^sin2x=CO$2K+、3$in2x + 1一爪.=25iin(2x + ) + 1,sin(2x > -} = sir- H± 1 ,6 32sin(2K + _) + 1 = 1,㈤关于点常小对称,不关于点己0J对称,选项B错误;f〔K〕得周期r = g = nHZM选项C错误；n n n n当K巨1一或01时,2x + -e・“口〕在在〔_；,0］上是增函数,选项D正确.应选D.8 .【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题,是根底题目.化函数卜僧〕为正弦型函数,求出函数的最小正周期T,根据在区间卜11］上至少取得2个最大值,得出a的取值范围,从而求出a的最小值.【解答】斛：函数f仅〕=sin-KCO占色其,f〔X〕不关于直线K-对称,选项A错误;12又fQ)在区间上至少取得2个最大值,T,,白一(一1 >T + -=75 4解得a N 6.5,,正整数a的最小值是7.应选A9 .【答案】B【解析】【分析】此题考查直线过定点问题,涉及直线的垂直关系和三角函数的应用,属中档题. 可得直线分别过定点16.)和(1,3)且垂直,可得|PA「+ |PB『二10,三角换元后,由三角函数的知识可得.【解答】解：由题意可知,动直线冢十mw= 0经过定点A..、,动直线niK-v-m十3 = 0即rn(x-l卜¥+3 = 0 ,经过定点6(1,3),动直线,+ E# =.和动直线mx-y-m + 3 =.的斜率之积为-1 ,始终垂直,P又是两条直线的交点, ,, PA 1 P0, A |PA|2+ |PB|2= |A8|2= 10设.BP =.,贝U |PA| =\1.刖8,|PB| = ,由|PA|之.且|PB|之0,可得昨［0-|PA| + |PB|【解析】解：在 △ABC 中,O 为外心,可得OA=OB = OC,；0A + OB + 0.= 0M ,I I I -1-OA + OB = OM-OC设AB 的中点为D,那么口口 AB 工2口口1-CM 1 AB,可得CM 在AB 边的高线上.同理可证,AM 在BC 边的高线上,故M 是三角形ABC 两高线的交点,可得 M 是三角形ABCW 垂心,应选：C 设AB 的中点为D,根据题意可得.口 ■LAB ,由题中向量的等式化简得 的高线上.同理可证出 AM 在BC 边的高线上,故可得 M 是三角形ABC 勺垂心.此题给出三角形中的向量等式,判断点 M 是三角形的哪一个心.着重考查了向量加法法那么、 三角形的外接圆性质和三角形“五心〞的判断等知识点,属于中档题.11 .【答案】A【解析】【分析】此题考查了任意角的概念与三角函数的定义和应用问题,是根底题. 根据题意,对题目中的命题进行分析、判断正误即可.CM 1 AB ,即 CMB AB 边 10.【答案】C【解答】解：对于I①,根据任意角的概念知,第二象限角不一定大于第一象限角, ①错误；对于|②,三角形的内角八Q是第一象限角或第二象限角,或y轴正半轴角, ②错误；对于③,根据角的定义知,不管用角度制还是用弧度制度量一个角, 它们与扇形所对半径的大小无关,③正确；对于|④,假设Jnci = sinB,那么与p的终边相同,或关于y轴对称,二④•错误；对于⑤,假设s婢＜口,那么.是第二或第三象限的角,或终边在x负半轴上,二⑤错误；综上,其中正确命题是③,只有1个.应选A.12 .【答案】B【解析】【分析】此题主要考查v = +*)的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,属于根底题.利用¥ = Asin|wx +电的图象变换规律求得鸟闾的解析式,再利用正弦函数的图象和性质, 求得虱日斗的值.【解答】解：.’1 1- 1 + cos2x 炉rtrin2K + ' -------------- ——=sin(2x + b2 2 2 3将FJ)的图象向右平移个单位,再向上平移1个单位,n R得至U v = = sin(2x-^ + I + 1 = sin2乂+ 1 的图象.假设对任意实数x,都有g{a-x) = +旬成立, 那么以M)的图象关于直线x =自对称,由办=q+2葭,得q = ：+ [■ , k W z,可得gg+ ■■■)=2山!-叙(:十¥ 一£),'十1 = I,应选B.13 .【答案】12【解析】【分析】此题考查的知识点是函数奇偶性的性质,函数求值,难度不大,属于根底题.由当卜^(-8,0)时,f⑻= ?x' +/,先求出"-?),进而根据奇函数的性质,可得答案. 【解答】解：卜：当K J-B,.)时,f区二2八/,A 1(-2) = -12,又v函数fj)是定义在R上的奇函数,A1(2) = -f(-2) 12,故答案为12.14 .【答案】【解析】【分析】此题考查利用根本不等式求最值及平面向量共线的条件,属于基此题型.由1〃b,可得：n + 2m = 4|,再利用“乘1法〞与根本不等式求解即可・【解答】解：■' 4-n-2m =0,即n + 2m=W,P m > 0, n > 0,10 1 1 8A- + - = -(n + 2m)[一+ -) m n 4m n1 n 16m=(10+ —+--------- )4 tn n7 sinot = ―F,cos(a + 45 )=cosa-smct)=--................. , 4 sln(a + 45 ) = + cosa) = g.0c = mOA + nOBfm.n E R 〕,1 7— + -的最小值是.m n故答案为.15.【答案】3【解析】【分析】此题考查了向量坐标运算性质、 同角三角函数的关系, 两角和差的三角函数公式, 题.属于中档建立适当坐标系,利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标, 进而利用平面向量的坐标运算得到关于 m n 的方程组,求得 3n 的值,即得.0A 由“与?的夹角为a ,且t&na=7.解得n = m = —,d 4那么m + n = 3|.故答案为：3.16.【答案】②③④【解析】【分析】此题考查函数V =A B$〔WX +那么的图象变换规律,余弦函数的图象和性质,属于中档题. 利用函数y = A8a那么的图象变换规律,求得鼠X〕的解析式,再利用余弦函数的图象和性质,得出结论.【解析】解：将函数㈣=/匚闻2*+3-1的图象向左平移个单位长度,得到Y = \J3C OS|2〔X + -〕+ 1『I =- ^ccs2x-l 的图象；31再向上平移1个单位长度,得到函数g仅｝二-485ZX的图象.对于函数g〔K〕二-提00式?|：l n 13它的最大值为V九由于当乂=一时,g〔x〕=—,不是最值, m 2故虱耳〕的图象不关于直线对称,故①错误；由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故②正确；它的最小正周期为—=n,故③正确；当x = ?时,g(x) = 0,故函数的图象关于点(:0)对称,故④正确; 4 4当时,2. 施)单调递增,故⑤错误,故答案为②③④.17.【答案】解：(1用M在区间［0,+ g)上是增函数.证实如下：任取(,x2e［0, + «),且%-31 1 2xjl 5 + 1(2x r3)(^ + l) (2x1-3Xx1 +1)"(x t + 1) + l)(x2+ 1)= ------------ ・1% + 叫 +1)＜.‘ N T慎」】)＞.,- f(K1M(x2)＜o|,即fWJvf%)］函数fM在区间◎ + g)上是增函数；⑵由(1)知函数f㈤在区间29］上是增函数,2x9-3 3故函数在区间忆9］上的最大值为的)=-j—^-=-,2x2-3 1最小值为(⑵=-------- =--2 + 1 3【解析】此题考查函数的单调性的判断与应用,函数的最值的求法,考查计算水平.⑴利用函数的单调性的定义证实即可；⑵利用函数的单调性,求解函数的最值即可.18.【答案】解：口)由-x* + 4axTa'＞.得/Max + 3/ .,1P(x-6)|x-3a| ＜0,其中a〉.,日a 0,贝U P：后日,日>0；假设d = L 贝U p：1 < x < 3,由・■<()解得2 m x < m,K-2即q：|z<x < 3；假设pAq为真,那么p, q同时为真,j 1 < x < 3即12 C解得｛北V x<3),,实数x的取值范围(2^3)⑵假设〞是•口的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,,即⑵3)是(a3a)的真子集.且％= 3和* = 2不能同时成立,解得14a «2,实数a的取值范围为［1,2］.【解析】此题考查逻辑联结词以及充分条件和必要条件的判断, 考查学生的计算水平,属于中档题.⑴假设a = l,分别求出p, q成立的等价条件,利用pAq为真,求实数x的取值范围；⑵利用十是f的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.(A + B = 119.【答案】解：(1)由图象可知［_A +B=T,解得「一T 7「北又由于二一--二T = n,2 12 122n w = - = 2T所以由公疳(？X + r ) - L= 1,F+I = 1 "天的£工］, I)2又卜( 7所以力=;3n所以f(x) = 2sin(2x + ~)-l ；(2)由⑴知,f(x} = 2$in(2x + i)T,今小N— f £十之£ 2Aw + 11 △ W Zv2 3 2■F "L得卜R —' - W 比W *7T + —" £z , 12 L2所以上⑶的单调递增区间为用秆一招,任^ 十卷),1€2 ,令2k'7v + W2E+ g W 2far 4- 卜£ 2, 得L R+；?〞&£式+:;, L 生Z ,所以f(x)的单调递减区间为心耳+正,―十五】*生Z ,令？1 + [ = kA-WZ,得工="一二kYZ , 3 , 2 6R TT H所以UM的对称中央的坐标为(—―不,—1)」,E Z；,工, 1(3)由的图象变换过程可得: g(x) = 2sin(x +2n7n由于OK K U,62n 2n lln所以£x + - 42n 3rt 所以当K + 二3 15n,得x二时,1g (x)取得最小值5n或寸=-2当x + —= 一时,即|x = 0时,目⑶取得最大值鼠0)=.【解析】此题主要考查了由厂AsiMwx +巾)+ 8的局部图象确定其解析式,函数y = Asin(^ +的+ H的图象变换规律,正弦函数的图象和性质的综合应用, 考查了数形结合思想,属于中档题.")由图象可求A, B的值,求得周期T,利用周期公式可求3,由二十.二彳十W %]可求也,即可得解卜仪)的解析式；⑵令’2 -4上工+'W H 十:卜三£,得"一：：W E w卜十25E 2 ,可求f(x)的单调递增区间,令？工+ [=―2W区,得.「= --^keZ,可求f冈的对称中央的坐标；J2 G(3)由的图象变换过程可得：g(x) = 2sin(x +由04x4；,利用正弦函数的性质可求在K E上的最大值和最小值. 620.【答案】解：I由题意,I&FJ;2,椭圆的离心率为€ ='c = 1, a = 2,,b = * 九,椭圆的标准方程为L+L_r n设巴％,%),闻-2,3, FJ-1Q}, 4 3 .,, PF^PA = gi-xJ-F * V.= X产% ♦2 ・%,由椭圆方程得二次函数开口向上,对称轴％ = -6一2,时,取最小值0,由 K = pcQ*g, y = psinO, 可得 又 + 丫-4 =., 即匚工的直角坐标方程为直线 区+ 丫7 二 口；Q)由题意可得当直线x +v-4 = 0的平行线与椭圆相切时,两平行线间的距离为|PQ| 设与直线|x + 丫-4;.平行的直线方程为x + y + t = 0,俨+Y + t = C联立+ mJ = m 可得 4/+ 6tx + 3t 2-s - o ,由直线与椭圆相切,可得 △二用'-16(3/7)二Q , 解得 । ,显然t = - 2时,| PQ |取得最小值,即有当％ =2时,取最大值12.:PF 「PA 的取值范围是【ojzj.【解析】此题考查椭圆的标准方程, 考查向量知识的运用,考查学生的计算水平, 题.I 利用=2,椭圆的离心率为£ = ；,求出几何量,即可求椭圆的标准方程.利用数量积公式求出pF 「A ,结合即可求的取值范围•(址■ 1m l ecIEC3乂;为参数,2移项后两边平方可得 二J 』九十而七二1,3 R 『一 所以q 的普通方程为二一；3 V ~曲线C 工的极坐标方程为 网门出+-> = "5 ,属于中档n 设的最小值,此时4/T2* + 9 =.,斛得〞：即为p0,另解：设p洒CHQ闺时,由P到直线的距离为J I|为世+ #4| ?=七当siMct*2〕 = 1时,IPQI的最小值为m", w____ _ n _31此时可取d一,即有P〔--J 6 /2【解析】此题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化,同时考查直线与椭圆的位置关系,主要是相切,考查化简整理的运算水平,属于中档题.“归用两边平方和同角的平方关系,即可得到Q的普通方程,运用x = pcos9 , V = psine ,以及两角和的正弦公式,化简可得q的直角坐标方程；Q〕由题意可得当直线x + y-4 = 0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值.设与直线x + = 0平行的直线方程为*+¥ + t = 0,代入椭圆方程,运用判别式为0,求得t,再由平行线的距离公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐标.另外：设PR3co双5inc〔〕, 由点到直线的距离公式,结合辅助角公式和正弦函数的值域, 即可得到所求最小值和P的坐标.22.【答案】解：“〕二丁: j2JT,T = — = n ?解得= 2; GJ又函数|f(x) = Asin[2x +切图象上一个最局点为 汹-3,2万 一 4■巾= 2kn + 一伙 W Z)76 2“、寺=+ Jk E Z) , 又.c 力 <2,…n■ ■ dh -) 6,f(x) = 3siin(2x+_)p6{2)把函数Y = f(x)的图象向左平移个单位长度, n n n得至U f(x + -) = 3sin(2(x + -)+) =丸s2x 的图象, 6 6 6然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 得到函数¥ =机“ =38sA 的图象, 即?⑶=3cg ；二m 之同即实数m 的最小值为同【解析】此题考查由y = A5in( WK /制的局部图象确定其解析式, 象变换,属于中档题.,由此可求得3 = 2；又函数f<*} =A5in(2x +eI 图象上一个最高点为 必:川,可知A = 3, 2x- + t b = 2krt + -(kEZh 结合可求得巾,从而可得f(x)的解析式； 6 上 2 ⑵利用函数y = A4Ml JJK +力1的图象变换可求得函数y = g 僮)的解析式；■ A=3, 2倍纵坐标不变,考查函数Y = Aslnfunx 十年的图1 n⑴依题意知= n13)*什三卜——「那么-Yssx £1,--43ugx?3,依题思知,log m 2+ 2 - - ,从而可求0 3 3 20 2 . 3 2 2得实数m的最小值.。
2019-2020学年重庆市北碚区高一(上)11月联考数学试卷
2019-2020学年重庆市北碚区高一（上）11月联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. sin 300∘的值为（ ） A.−12 B.12C.−√32D.√322. 下列关于向量a →，b →的叙述中，错误的是（ ） A.若a →2+b →2＝0，则a →=b →=0 B.若k ∈R ，ka →=0，所以k ＝0或a →=0 C.若a →⋅b →=0，则a →=0或b →=0D.若a →，b →都是单位向量，则a →⋅b →≤1恒成立3. 函数f(x)=tan x 1+tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π4. 已知a →=(1,−2),b →=(3,4)，则a →在b →方向上的投影是（ ） A.1 B.−1 C.√5 D.−√55. 将函数f(x)＝sin (2x +π6)的图象向右平移π6个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是（ ） A.y ＝sin 2x B.y ＝cos 2x C.y ＝sin (2x +2π3) D.y ＝sin (2x −π6)6. 函数f(x)＝sin (ωx +π3)(ω>0)相邻两个对称中心的距离为π2，以下哪个区间是函数f(x)的单调减区间（ ） A.[−π3, 0] B.[0, π3]C.[π12, π2]D.[π2, 5π6]7. 已知向量a →=(4, −2)，向量b →=(x, 5)，且a → // b →，那么x 的值等于（ ） A.10 B.5 C.−52D.−108. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量DC →=( )A.−BC →+12BA →B.−BC →−12BA →C.BC →−12BA →D.BC →+12BA →9. 设a =12cos 6∘−√32sin 6∘，b =2tan 131+tan 213，c =√1−cos 502，则有（ ）A.a >b >cB.a <b <cC.b <c <aD.a <c <b10. 若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且4OA →+OB →+OC →=0，那么（ ） A.OD →=−AO →B.OD →=−2AO →C.OD →=2AO →D.OD →=AO →11. 已知∠α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点P 在α的终边上，点Q(−3, −4)且tan α＝−2，则OP →与OQ →的夹角的余弦值为（ ） A.−√55B.11√525C.√55或−√55D.11√525或11√5512. 已知函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A.f(x)的图象关于直线x =−2π3对称B.f(x)的图象关于点(−5π12,0)对称C.将函数y =√3sin 2x −cos 2x 的图象向左平移π2个单位得到函数f(x)的图象 D.若方程f(x)＝m 在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(−2,−√3]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）设向量a →=(3, 3)，b →=(1, −1)，若(a →+λb →)⊥(a →−λb →)，则实数λ＝________．函数f(x)=sin (x +2φ)−2sin φcos (x +φ)的最大值为________．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →=23OA →+13OB →，则|AC →||AB →|=________．已知P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2=θ（θ为钝角）．若sin (θ+π4)=35，则x 1x 2+y 1y 2的值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）已知向量a →与b →的夹角为θ为120∘，且|a →|＝4，|b →|＝2，求： （1）a →⋅b →；（2）(a →+b →)⋅(a →−2b →)；（3）|a →+b →|．已知tan (π4+α)=12． (Ⅰ)求tan α的值； (Ⅱ)求sin (2α+2π)−sin 2(π2−α)1−cos (π−2α)+sin 2α的值．设函数f(x)＝sin x +sin (x +π3)．(Ⅰ)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x 的集合；(Ⅱ)不画图，说明函数y ＝f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．已知a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，|a →−b →|=2√55． （1）求cos (α−β)的值（2）若0<α<π2，−π2<β<0，cos β=1213，求sin α．已知向量a →=(sin ωx +cos ωx, sin ωx)，向量b →=(sin ωx −cos ωx, 2√3 cos ωx)，设函数f(x)=a →⋅b →+1(x ∈R)的图象关于直线x =π3对称，其中常数ω∈(0, 2)．（1）若x ∈[0, π2]，求f(x)的值域；（2）将函数f(x)的图象向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，用五点法作出函数g(x)在区间[−π2, π2]上的图象．函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2, x ∈R)的部分图象如图，M 是图象的一个最低点，图象与x 轴的一个交点坐标为(π2, 0)，与y 轴的交点坐标为(0, −√2)．（1）求A，ω，φ的值；（2）关于x的方程f(x)−m＝0在[0, 2π]上有解，求m的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年重庆市北碚区高一（上）11月联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】±3【答案】 1【答案】 13【答案】−√210三、解答题（本大题共6小题，共70分） 【答案】a →⋅b →=|a →||b →|cos θ＝4×2×cos 120∘＝−4．(a →+b →)⋅(a →−2b →)=a →2−a →⋅b →−2b →2=16+4−8＝12． |a →+b →|2=a →2+2a →⋅b →+b →2＝16−8+4＝12， ∴ |a →+b →|=√12=2√3． 【答案】（1）∵ tan (π4+α)=tan π4+tan α1−tan π4tan α=1+tan α1−tan α=12，解得tan α=−13．(2)sin (2α+2π)−sin 2(π2−α)1−cos (π−2α)+sin 2α=sin 2α−cos 2α1+cos 2α+sin 2α =2sin αcos α−cos 2α2cos 2α+sin 2α=2tan α−12+tan 2α=−1519．【答案】（1）f(x)＝sin x +12sin x +√32cos x =32sin x +√32cos x =√3sin (x +π6)，∴ 当x +π6=2kπ−π2(k ∈Z)，即x ＝2kπ−2π3(x ∈Z)时，f(x)取得最小值−√3，此时x 的取值集合为{x|x ＝2kπ−2π3(k ∈Z)}；（2）先由y ＝sin x 的图象上的所有点的纵坐标变为原来的√3倍，横坐标不变，即为y =√3sin x 的图象；再由y =√3sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位，得到y ＝f(x)的图象． 【答案】∵ a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，|a →−b →|=√(cos α−cos β)2+(sin α−sin β)2=√2−2cos (α−β)=2√55． ∴ cos (α−β)=35．由（1）得cos (α−β)=35，∵ 0<α<π2,−π2<β<0，∴ 0<α−β<π，∴ sin (α−β)=√1−cos 2(α−β)=45，又∵ cos β=1213，∴ sin β=−√1−cos 2β=−513．∴ sin α＝sin [(α−β)+β]＝sin (α−β)cos β+cos (α−β)sin β =45⋅1213+35⋅(−513)=3365． 【答案】∵ 向量a →=(sin ωx +cos ωx, sin ωx)，向量b →=(sin ωx −cos ωx, 2√3 cos ωx)， ∴ f(x)=a →⋅b →+1＝sin 2ωx −cos 2ωx +2√3sin ωx cos ωx =√3sin 2ωx −cos 2ωx +1＝2sin (2ωx −π6)+1，∵ 图象关于直线x =π3对称，其中常数ω∈(0, 2)． ∴ 2ω⋅π3−π6=kπ+π2，k ∈z ，得ω=3k 2+1，结合ω∈(0, 2)，可得ω＝1；∴ f(x)＝2sin (2x −π6)+1，∵ x ∈[0, π2]，2x −π6∈[−π6, 5π6]，sin (2x −π6)∈[−12, 1]，∴ f(x)＝2sin (2x −π6)+1∈[0, 3]．将函数f(x)的图象向左平移π12个单位， 得y ＝2sin [2(x +π12)−π6]+1＝2sin 2x +1．再向下平移1个单位后得到函数g(x)＝2sin 2x ．列表：函数的图象为：【答案】由图可知，函数的周期T ＝4×[π2−(−π2)]＝4π，∴ 2πω=4π，ω=12；∵ 图象与x 轴的一个交点坐标为(π2, 0)，∴ A sin (12×π2+φ)＝0， ∴ sin (π4+φ)＝0，∴ π4+φ＝kπ，故φ＝kπ−π4(k ∈Z)．由|φ|<π2得，−π2<φ<π2， ∴ φ=−π4， ∴ y ＝A sin (12x −π4)．当x ＝0时，y ＝A sin (−π4)=−√2， ∴ A ＝2．综上可知，A ＝2，ω=12，φ=−π4． 由（1）可得：f(x)＝2sin (12x −π4)．当x ∈[0, 2π]时，12x −π4∈[−π4, 3π4]，可得：f(x)＝2sin (12x −π4)∈[−√22, 1]． 由f(x)−m ＝0得f(x)＝m ，要使方程f(x)−m ＝0在x ∈[0, 2π]上有两个不同的解，则f(x)＝m 在x ∈[0, 2π]上有两个不同的解，即函数f(x)和y ＝m 在x ∈[0, 2π]上有两个不同的交点，≤m<1．即√22。
重庆市数学普通高中2019-2020学年理数第一次诊断性考试试卷
重庆市数学普通高中2019-2020学年理数第一次诊断性考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）已知集合，|则（）A .B .C .D . ，2. （1分）(2017·武汉模拟) 已知z= ，则复数在复平面对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （1分）(2017·潮州模拟) 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A . 8日B . 9日C . 12日D . 16日4. （1分） (2018高二上·宜昌期末) 已知平面区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为（）A .B .C .D .5. （1分） (2017高二下·山西期末) 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（）A . 21种B . 315种C . 153种D . 143种6. （1分）(2017·芜湖模拟) 将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于直线x=ω对称且在区间（﹣ω，ω）内单调递增，则ω的值为（）A .B .C .D .7. （1分）(2018·邵东月考) “ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （1分）(2018·广东模拟) 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）A .B .C .D .9. （1分） (2018高一下·栖霞期末) 如图，在中，是的中点，，，则（）A . 34B . 28C . -16D . -2210. （1分） (2020高二上·遂宁期末) 已知正方形的边长为，边的中点为，现将分别沿折起，使得两点重合为一点记为，则四面体外接球的表面积是（）A .B .C .D .11. （1分） (2019高三上·沈阳月考) 定义在上的函数满足，且时，，则（）A .B .C .D .12. （1分） (2016高三上·大连期中) 已知函数f（x）=lnx+tanα（0＜α＜）的导函数为f'（x），若方程f'（x）=f（x）的根x0小于1，则α的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 若，则的值是________14. （1分） (2019高一下·西城期末) 从某校名学生中随机抽取若干学生，获得了他们一天课外阅读时间（单位：分钟）的数据，整理得到频率分布直方图如下．则估计该校学生中每天阅读时间在的学生人数为________．15. （1分）函数f（x）=a2x+1+1（a＞0，且a≠1）图象恒过的定点坐标为________三、解答题 (共7题；共14分)16. （2分） (2016高三上·湖北期中) 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P 是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．17. （2分） (2016高三上·辽宁期中) 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名五年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．不常喝常喝合计肥胖x y50不肥胖401050合计A B100现从这100名儿童中随机抽取1人，抽到不常喝碳酸饮料的学生的概率为（1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；（2）根据列联表中的数据绘制肥胖率的条形统计图，并判断常喝碳酸饮料是否影响肥胖？（3）是否有99.9%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．附：参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k）0.050.0250.0100.0050.001k 3.841 5.024 6.6357.87910.82818. （2分） (2017高二下·临川期末) 在数列{an}中，a1=1，an=nan-1 ， n=2，3，4，…（I）计算a2 ， a3 ， a4 ， a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．19. （2分） (2017高一下·鸡西期末) 如图①，在矩形中，，，是的中点，将三角形沿翻折到图②的位置，使得平面平面 .（1）在线段上确定点，使得平面，并证明；（2）求与所在平面构成的锐二面角的正切值.20. （2分）(2016·安庆模拟) 已知函数f（x）=x2（lnx+lna）（a＞0）．（1）当a=1时，设函数g（x）= ，求函数g（x）的单调区间与极值；（2）设f′（x）是f（x）的导函数，若≤1对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1，x2∈（，1），x1+x2＜1，求证：x1x2＜（x1+x2）4．21. （2分）(2020·银川模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 ( 为参数)，曲线 .（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；（2）若射线( 与的异于极点的交点为，与的交点为，求 .22. （2分） (2019高三上·赤峰月考) 已知函数， .（1）解不等式；（2）若，都有恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共7题；共14分) 16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝密★启用前北碚区2019～2020学年度第一学期期末学生学业质量调研抽测高一数学试卷(分数：150分时间：120分钟)注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题,所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题,所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效,不予记分。
一、选择题1.下列五个写法：2,；；1,,2,；；,其中错误写法的个数为A.1B.2C.3D.42.设函数,则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.3.等比数列的各项均为正数,且,则A.12B.10C.8D.4.设函数,则下列结论错误的是A.的一个周期为B.的图象关于直线对称C.的一个零点为D.在单调递减5.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则A. B. C. D.6.已知,则的值等于A. B. C. D.7.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称B.关于点对称C.周期为D.在上是增函数8.函数在区间上至少取得2个最大值,则正整数a的最小值是A.7B.9C.11D.129.设,过定点A的动直线和过定点B的直线交于点,则的取值范围是A. B. C. D.10.设O为的外心,若,则M是的A.重心三条中线交点B.内心三条角平分线交点C.垂心三条高线交点D.外心三边中垂线交点11.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关；若,则与的终边相同；若,则是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是A.1B.2C.3D.412.已知,将的图象向右平移个单位,再向上平移1个单位,得到的图象.若对任意实数x,都有成立,则A. B.1 C. D.0二、填空题13.已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则______.14.已知向量,,,,若,则的最小值______.15.如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且,与的夹角为若,则______.16.将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数的图象,则函数具有性质______填入所有正确性质的序号最大值为,图象关于直线对称；图象关于y轴对称；最小正周期为；图象关于点对称；在上单调递减.三、解答题17.已知函数.判断函数在区间上的单调性,并用定义证明其结论；求函数在区间上的最大值与最小值.18.命题p：函数有意义,命题q：实数x满足.当且为真,求实数x的取值范围；若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.19.已知函数的部分图象如图所示：求的解析式；求的单调区间和对称中心坐标；将的图象向左平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数的图象,求函数在上的最大值和最小值.20.已知椭圆的左右焦点分别为、,左顶点为A,若,椭圆的离心率为.Ⅰ求椭圆的标准方程.Ⅱ若P是椭圆上的任意一点,求的取值范围.21.在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.写出的普通方程和的直角坐标方程；设点P在上,点Q在上,求的最小值及此时P的直角坐标.22.已知函数,其中,,的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最高点为.求的解析式；先把函数的图象向左平移个单位长度,然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,得到函数的图象,试写出函数的解析式.在的条件下,若总存在,使得不等式成立,求实数m的最小值.答案和解析1.【参考答案】C【试题分析】本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素,属于基础题.根据“”用于元素与集合；“”用于集合与集合间；判断出错,根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出的对错；据集合元素的三要素判断出对.【试题答案】解：对于,“”是用于元素与集合的关系,故错；对于,是任意集合的子集,故对；对于,集合中的元素有确定性、互异性、无序性,两个集合是同一集合,故对；对于,因为是不含任何元素的集合,故错；对于,因为“”用于集合与集合,故错.故错误的有,共3个,故选C.2.【参考答案】B【试题分析】本题考查对数不等式以及对数函数的性质,考查运算求解能力,属于中档题.由题意,可化为：,根据对数函数的性质,可得,即可求出结果.【试题答案】解：函数,则不等式可化为,可得,解得,即使得成立的x的取值范围是.故选B.3.【参考答案】B【试题分析】本题主要考查了等比数列的性质,解题的关键是灵活利用等比中项的性质,以及对数运算,属于基础题.先根据等比中项的性质可知,进而根据,求得的值,最后根据等比数列的性质求得,则答案可得.【试题答案】解：由等比数列的性质可得,,,10.故选B.4.【参考答案】D【试题分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断,根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键,题目比较基础.根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可.【试题答案】解：对于A,函数的周期为,,当时,周期,故A正确；对于B,当时,为最小值,此时的图象关于直线对称,故B正确；对于C,因为,且,则的一个零点为,故C正确；对于D,当时,,此时函数有增有减,不是单调函数,故D错误.故选D.5.【参考答案】B【试题分析】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理,属于中档题.根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可.【试题答案】解：,,,,,,,,,由正弦定理可得,,,,,,.故选B.6.【参考答案】B【试题分析】本题考查了诱导公式,考查学生的计算能力,属于基础题.利用诱导公式,即可得结论.【试题答案】解：,.故选B.7.【参考答案】D【试题分析】本题考查了三角恒等变换,正弦函数的图象与性质,考查向量的数量积,属于中档题. 利用三角恒等变换化简的解析式,根据正弦函数的性质判断.【试题答案】解：,当时,,不关于直线对称,选项A错误；当时,,关于点对称,不关于点对称,选项B错误；得周期,选项C错误；当时,,在在上是增函数,选项D正确.故选D.8.【参考答案】A【试题分析】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题,是基础题目.化函数为正弦型函数,求出函数的最小正周期T,根据在区间上至少取得2个最大值,得出a 的取值范围,从而求出a的最小值.【试题答案】解：函数函数的最小正周期为,又在区间上至少取得2个最大值,,解得,正整数a的最小值是7.故选A.9.【参考答案】B【试题分析】本题考查直线过定点问题,涉及直线的垂直关系和三角函数的应用,属中档题.可得直线分别过定点和且垂直,可得三角换元后,由三角函数的知识可得. 【试题答案】解：由题意可知,动直线经过定点,动直线即,经过定点,动直线和动直线的斜率之积为,始终垂直,P又是两条直线的交点,,.设,则,,由且,可得,,,,,故选B.10.【参考答案】C【试题分析】解：在中,O为外心,可得,,设AB的中点为D,则,,,可得CM在AB边的高线上.同理可证,AM在BC边的高线上,故M是三角形ABC两高线的交点,可得M是三角形ABC的垂心,故选：C设AB的中点为D,根据题意可得由题中向量的等式化简得,即CM在AB边的高线上.同理可证出AM在BC边的高线上,故可得M是三角形ABC的垂心.本题给出三角形中的向量等式,判断点M是三角形的哪一个心.着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点,属于中档题.11.【参考答案】A【试题分析】本题考查了任意角的概念与三角函数的定义和应用问题,是基础题.根据题意,对题目中的命题进行分析、判断正误即可.【试题答案】解：对于,根据任意角的概念知,第二象限角不一定大于第一象限角,错误；对于,三角形的内角,是第一象限角或第二象限角,或y轴正半轴角,错误；对于,根据角的定义知,不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关,正确；对于,若,则与的终边相同,或关于y轴对称,错误；对于,若,则是第二或第三象限的角,或终边在x负半轴上,错误；综上,其中正确命题是,只有1个.故选A.12.【参考答案】B【试题分析】本题主要考查的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,属于基础题.利用的图象变换规律求得的解析式,再利用正弦函数的图象和性质,求得的值.【试题答案】解：,将的图象向右平移个单位,再向上平移1个单位,得到的图象.若对任意实数x,都有成立,则的图象关于直线对称,由,得,,可得,故选B.13.【参考答案】12【试题分析】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,函数求值,难度不大,属于基础题.由已知当时,,先求出,进而根据奇函数的性质,可得答案. 【试题答案】解：当时,,,又函数是定义在R上的奇函数,,故答案为12.14.【参考答案】【试题分析】本题考查利用基本不等式求最值及平面向量共线的条件,属于基本题型.由,可得：,再利用“乘1法”与基本不等式求解即可.【试题答案】解：,,即,,,,当且仅当时取等号,的最小值是.故答案为.15.【参考答案】3【试题分析】本题考查了向量坐标运算性质、同角三角函数的关系,两角和差的三角函数公式,属于中档题.建立适当坐标系,利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标,进而利用平面向量的坐标运算得到关于m,n的方程组,求得m,n的值,即得.【试题答案】解：如图所示,建立直角坐标系..由与的夹角为,且.,,.,,.,,,解得,,则.故答案为：3.16.【参考答案】【试题分析】本题考查函数的图象变换规律,余弦函数的图象和性质,属于中档题.利用函数的图象变换规律,求得的解析式,再利用余弦函数的图象和性质,得出结论. 【试题分析】解：将函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象；再向上平移1个单位长度,得到函数的图象.对于函数：它的最大值为,由于当时,,不是最值,故的图象不关于直线对称,故错误；由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故正确；它的最小正周期为,故正确；当时,,故函数的图象关于点对称,故正确；当时,,单调递增,故错误,故答案为.17.【参考答案】解：在区间上是增函数.证明如下：任取,,且,.,,,即函数在区间上是增函数；由知函数在区间上是增函数,故函数在区间上的最大值为,最小值为.【试题分析】本题考查函数的单调性的判断与应用,函数的最值的求法,考查计算能力.利用函数的单调性的定义证明即可；利用函数的单调性,求解函数的最值即可.18.【参考答案】解：由得,即,其中,得,,则p：,；若,则p：,由解得,即q：；若为真,则p,q同时为真,即,解得,实数x的取值范围.若是的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,即是的真子集.,且和不能同时成立,解得,实数a的取值范围为.【试题分析】本题考查逻辑联结词以及充分条件和必要条件的判断,考查学生的计算能力,属于中档题.若,分别求出p,q成立的等价条件,利用为真,求实数x的取值范围；利用是的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.19.【参考答案】解：由图象可知解得又由于,所以,由,,又,所以,所以；由知,,令,得,所以的单调递增区间为, 令,得,所以的单调递减区间为, 令,得,所以的对称中心的坐标为；由已知的图象变换过程可得：, 因为,所以,所以当,得时,取得最小值,当时,即时,取得最大值.【试题分析】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式,函数的图象变换规律,正弦函数的图象和性质的综合应用,考查了数形结合思想,属于中档题.由图象可求A,B的值,求得周期T,利用周期公式可求,由可求,即可得解的解析式；令,得,可求的单调递增区间,令,得,可求的对称中心的坐标；由已知的图象变换过程可得：,由,利用正弦函数的性质可求在上的最大值和最小值.20.【参考答案】解：Ⅰ由题意,,椭圆的离心率为,,,,椭圆的标准方程为Ⅱ设,,,,点在椭圆上,,,,由椭圆方程得,二次函数开口向上,对称轴,当时,取最小值0,当时,取最大值12.的取值范围是.【试题分析】本题考查椭圆的标准方程,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.Ⅰ利用,椭圆的离心率为,求出几何量,即可求椭圆的标准方程.Ⅱ设,利用数量积公式求出,结合,即可求的取值范围.21.【参考答案】解：曲线的参数方程为为参数,移项后两边平方可得,所以的普通方程为；曲线的极坐标方程为,即,由,,可得,即的直角坐标方程为直线；由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时,两平行线间的距离为的最小值,设与直线平行的直线方程为,联立可得,由直线与椭圆相切,可得,解得,显然时,取得最小值,即有,此时,解得,即为另解：设,由P到直线的距离为,当时,的最小值为,此时可取,即有【试题分析】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化,同时考查直线与椭圆的位置关系,主要是相切,考查化简整理的运算能力,属于中档题.运用两边平方和同角的平方关系,即可得到的普通方程,运用,,以及两角和的正弦公式,化简可得的直角坐标方程；由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时,取得最值.设与直线平行的直线方程为,代入椭圆方程,运用判别式为0,求得t,再由平行线的距离公式,可得的最小值,解方程可得P的直角坐标.另外：设,由点到直线的距离公式,结合辅助角公式和正弦函数的值域,即可得到所求最小值和P的坐标.22.【参考答案】解：,,解得；又函数图象上一个最高点为,,,,又,,；把函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象,然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,得到函数的图象,即；,,,依题意知,,,即实数m的最小值为.【试题分析】本题考查由的部分图象确定其解析式,考查函数的图象变换,属于中档题.依题意知,由此可求得；又函数图象上一个最高点为,可知,,结合可求得,从而可得的解析式；利用函数的图象变换可求得函数的解析式；,则,,依题意知,,从而可求得实数m的最小值.。