华东交通大学高等数学2012-2013试卷带答案
2013真题数二答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设cos 1sin ()x x x α-=⋅，()2x πα<，当0x →时，()x α（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 是等价无穷小 【答案】（C ）【考点】同阶无穷小 【难易度】★★【详解】解析：cos 1sin ()x x x α-=⋅Q ，21cos 12x x --: 21sin ()2x x x α∴⋅-:，即1sin ()2x x α-:∴当0x →时，()0x α→，sin ()()x x αα:1()2x x α∴-:，即()x α与x 同阶但不等价的无穷小，故选（C ）.2、已知()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定，则2lim [()1]n n f n→∞-=（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【答案】（A ）【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★【详解】解析：当0x =时，1y =.002()12(2)1(2)(0)lim [()1]lim lim 2lim 2(0)12n n x x f f x f x f n n f f n x xn→∞→∞→→---'-==== 方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导，得1sin()()10xy y xy y y''-++⋅-= 将0x =，1y =代入计算，得 (0)(0)1y f ''== 所以，2lim [()1]2n n f n→∞-=，选（A ）.3、设sin [0,)()2[,2]x f x πππ⎧=⎨⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π=为()F x 的跳跃间断点 （B ）x π=为()F x 的可去间断点 （C ）()F x 在x π=处连续不可导 （D ）()F x 在x π=处可导【答案】（C ）【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★【详解】解析：202(0)sin sin sin 2F tdt tdt tdt πππππ-==+=⎰⎰⎰Q ，(0)2F π+=，(0)(0)F F ππ∴-=+，()F x 在x π=处连续.()()()lim 0xx f t dt f t dtF x ππππ--→-'==-⎰⎰Q ，0()()()lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→-'==-⎰⎰，()()F F ππ-+''≠，故()F x 在x π=处不可导.选（C ）.4、设函数1111(1)()1ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<<【答案】（D ）【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：11()()()e ef x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰由1()f x dx +∞⎰收敛可知，1()ef x dx ⎰与()ef x dx +∞⎰均收敛.1111()(1)eef x dx dx x α-=-⎰⎰，1x =是瑕点，因为111(1)e dx x α--⎰收敛，所以112αα-<⇒< 111()(ln )ln eeef x dx dx x x x ααα+∞+∞+∞-+==-⎰⎰，要使其收敛，则0α>所以，02α<<，选D.5、设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- 【答案】（A ）【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★【详解】解析：22()()z y y f xy f xy x x x ∂'=-+∂，1()()z f xy yf xy y x ∂'=+∂ 221[()()][()()]x z z x y y f xy f xy f xy yf xy y x y y x x x∂∂''∴+=-+++∂∂ 11()()()()2()f xy yf xy f xy yf xy yf xy x x'''=-+++=，故选（A ）.6、设k D 是圆域{}22(,)1D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 【答案】（B ）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★【详解】解析：根据对称性可知，130I I ==.22()0D I y x dxdy =->⎰⎰（Q 0y x ->），44()0D I y x dxdy =-<⎰⎰（Q 0y x -<） 因此，选B.7、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】（B ）【考点】等价向量组 【难易度】★★【详解】解析：将矩阵A 、C 按列分块，1(,,)n A αα=L ，1(,,)n C γγ=L由于AB C =，故111111(,,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭L L M M L L 即1111111,,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=++L L L 即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.由于B 可逆，故1A CB -=，A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，故选（B ）.8、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件是（ ）（A ）0,2a b == （B ）0,a b =为任意常数 （C ）2,0a b == （D ）2,a b = 为任意常数【答案】（B ）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★【详解】解析：题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.由20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0可知，矩阵1111a A a b a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值也是2，b ，0.因此，22111122022401120a a E A ab a b a a a aa-----=---=---=-=---0a ⇒= 将0a =代入可知，矩阵10100101A b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0.此时，两矩阵相似，与b 的取值无关，故选（B ）.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、10ln(1)lim(2)x x x x→+-= . 【答案】12e【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】解析：011ln(1)1ln(1)1ln(1)1ln(1)1(1)(1)lim (1)000ln(1)ln(1)lim(2)lim[1(1)]lim x x x x x xx x xx xxxx x x x x eex x→++++-⋅-⋅-⋅-→→→++-=+-==其中，20000111ln(1)ln(1)11lim(1)lim lim lim 22(1)2x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-++⋅-====+故原式=12e10、设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== .【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数 【难易度】★★【详解】解析：由题意可知，(1)0f -=1()y x dy dx dx dxf x dx dy dy dy==-'==⇒=⇒==.11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围平面图形的面积是 . 【答案】12π 【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★ 【详解】解析： 面积622666000611cos 61sin 6()cos 3()222612S r d d d πππππθθπθθθθθθ-+====+=⎰⎰⎰12、曲线arctan ,ln x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =点处的法线方程为 .【答案】ln 204y x π+--=【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★【详解】解析：由题意可知，12//1dy dy dt t dx dx dtt-===+，故11t dy dx ==曲线对应于1t =点处的法线斜率为111k -==-. 当1t =时，4x π=，ln 2y =.法线方程为ln 2()4y x π-=--，即ln 204y x π+--=.13、已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件00x y ==，01x y ='=的解为y = . 【答案】32xx x y ee xe =--【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★【详解】解析：312x xy y e e -=-，23x y y e -=是对应齐次微分方程的解.由分析知，*2xy xe =-是非齐次微分方程的特解. 故原方程的通解为3212()xx x x y C ee C e xe =-+-，12,C C 为任意常数.由00x y ==，01x y ='=可得 11C =，20C =. 通解为32xx x y ee xe =--.14、设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==，则A = .【答案】-1【考点】伴随矩阵 【难易度】★★★【详解】解析：**0T Tij ij ij ij a A A a A A AA AA A E +=⇒=-⇒=-⇒=-= 等式两边取行列式得230A A A -=⇒=或1A =- 当0A =时，00TAA A -=⇒=（与已知矛盾） 所以1A =-.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 和a 的值. 【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】★★★【详解】解析：00cos6cos 4cos 2111cos cos 2cos34lim lim n n x x x x x x x x ax ax→→+++--⋅⋅= 1003cos6cos 4cos 26sin 64sin 42sin 2lim lim 44n n x x x x x x x xax anx-→→---++== 2036cos 616cos 44cos 2lim4(1)n x x x xan n x -→++=-故20n -=，即2n =时，上式极限存在. 当2n =时，由题意得001cos cos 2cos336cos616cos 44cos 236164limlim 188n x x x x x x x x ax a a→→-⋅⋅++++==== 7a ⇒= 2,7n a ∴==16、（本题满分10分）设D 是由曲线13y x =，直线x a =(0)a >及x 轴所围成的平面图形，x V ，y V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值. 【考点】旋转体的体积 【难易度】★★【详解】解析：根据题意，15523330033()55a ax V x dx xa πππ===⎰ 177333066277aay V x x dx x a πππ=⋅==⎰.因10y x V V =，故7533631075a a a ππ=⨯⇒=17、（本题满分10分）设平面区域D 由直线3x y =，3y x =，8x y +=围成，求2Dx dxdy ⎰⎰【考点】利用直角坐标计算二重积分 【难易度】★★【详解】解析：根据题意 3286y x x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，16328x y x y x y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩故2368222233xxx xDx dxdy dx x dy dx x dy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰264340228132416()12833333x x x =+-=+=18、（本题满分10分）设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =，证明： （Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=； （Ⅱ）存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=. 【考点】罗尔定理 【难易度】★★★【详解】解析：（Ⅰ）由于()f x 在[1,1]-上为奇函数，故(0)0f =令()()F x f x x =-，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)(1)10F f =-=，(0)(0)00F f =-=.由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()1f ξ'=.（Ⅱ）考虑()()1(()())(())xxxxf x f x e f x f x e e f x e ''''''''+=⇔+=⇔=[()]0x x e f x e ''⇔-=令()()xxg x e f x e '=-，由于()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，()()1f f ξξ''=-=，()()0g g ξξ⇒=-=.由罗尔定理可知，存在(1,1)η∈-，使得()0g η'=，即()()1f f ηη'''+=.19、（本题满分10分）求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 【考点】拉格朗日乘数法 【难易度】★★★【详解】解析：设(,)M x y为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为d =构造拉格朗日函数 2233(1)F x y x xy y λ=++-+-由22332(3)02(3)010x y F x x y F y y x F x xy y λλλ'⎧=+-=⎪'=+-=⎨⎪'=-+-=⎩ 得 11x y =⎧⎨=⎩点(1,1)到原点的距离为d ==，然后考虑边界点，即(1,0)，(0,1)，它们到原点的距离都是1.，最短距离为1. 20、（本题满分11分） 设函数1()ln f x x x=+（Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）设数列{}n x 满足11ln 1n n x x ++<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】★★★【详解】解析：（Ⅰ）由题意，1()ln f x x x =+，0x >22111()x f x x x x-'⇒=-= 令()0f x '=，得唯一驻点1x =当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.所以1x =是()f x 的极小值点，即最小值点，最小值为(1)1f =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1ln 1n n x x +≥，又由已知11ln 1n n x x ++<，可知111n n x x +>，即1n n x x +> 故数列{}n x 单调递增.又由11ln 1n n x x ++<，故ln 10n n x x e <⇒<<，所以数列{}n x 有上界. 所以lim n n x →∞存在，设为A.在11ln 1n n x x ++<两边取极限得 1ln 1A A +≤ 在1ln 1n n x x +≥两边取极限得 1ln 1A A+≥ 所以1ln 11A A A+=⇒=即lim 1n n x →∞=.21、（本题满分11分） 设曲线L 的方程为211ln (1)42y x x x e =-≤≤满足 （Ⅰ）求L 的弧长；（Ⅱ）设D 是由曲线L ，直线1x =，x e =及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心 【难易度】★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）设弧长为S ，由弧长的计算公式，得1111S ====⎰⎰⎰⎰221111111()(ln )22424eee x dx x x x +=+=+=⎰ （Ⅱ）由形心的计算公式，得22111ln 242100111ln 24210011(ln )4211(ln )42ex x D ex x D xdxdyx x x dx dx xdy x dxdy x x dx dx dy ---===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 422423311111()3(23)16164221114(7)12122e e e e e e e ---+--==---. 22、（本题满分11分）设110a A ⎛⎫=⎪⎝⎭，011B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★【详解】解析：由题意可知矩阵C 为2阶矩阵，故可设1234x x C x x ⎛⎫=⎪⎝⎭.由AC CA B -=可得 12123434101011011x x x x a x x x x b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理后可得方程组2312413423011x ax ax a ax x x x x ax b-+=⎧⎪-++=⎪⎨--=⎪⎪-=⎩ ① 由于矩阵C 存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：01001011110111101010001001011101010000101000a a a a aa a a ab b b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---++⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组有解，故10a +=，0b =，即1a =-，0b =.当1a =-，0b =时，增广矩阵变为10111011000000000000--⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭34,x x 为自由变量，令341,0x x ==，代入相应齐次方程组，得211,1x x =-=令340,1x x ==，代入相应齐次方程组，得210,1x x ==故1(1,1,1,0)T ξ=-，2(1,0,0,1)T ξ=，令340,0x x ==，得特解(1,0,0,0)Tη= 方程组的通解为112212112(1,,,)Tx k k k k k k k ξξη=++=++-（12,k k 为任意常数）所以121121k k k C k k ++-⎛⎫=⎪⎝⎭.23、（本题满分11分）设二次型2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）证明二次型f 对应的矩阵为2T Tααββ+；（Ⅱ）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22122y y +【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩 【难易度】★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）证明：2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++1111123212321232123233332(,,)(,,)(,,)(,,)a x b x x x x a a a a x x x x b b b b x a x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112323(,,)(2)T T T x x x x x x Ax x ααββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，其中2T T A ααββ=+所以二次型f 对应的矩阵为2TTααββ+. （Ⅱ）由于,αβ正交，故0TT αβαβ== 因,αβ均为单位向量，故1α==，即1T αα=.同理1T ββ=2(2)22T T T T T T A A ααββαααββααααββαα=+⇒=+=+=由于0α≠，故A 有特征值12λ=.(2)T T A βααββββ=+=，由于0β≠，故A 有特征值21λ=又因为()(2)(2)()()()1123T T T T T Tr A r r r r r ααββααββααββ=+≤+=+=+=<， 所以0A =，故30λ=.三阶矩阵A 的特征值为2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为22122y y +.。
华东交大历年高数上册期末试题及答案10高数上复习题
第一章 复习题 1. 计算下列极限: （1）2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (2)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (3))1311(lim 31xx x ---→; 解 112lim)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . (4)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(5)xx x arctan lim ∞→. 解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量).(6)145lim1---→x xx x ;解 )45)(1(44lim)45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 214154454l i m1=+-⋅=+-=→xx x .(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 )())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .(8)xxx sin lnlim 0→; 解 01ln )sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(9)2)11(lim xx x+∞→;解[]e e xxx x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim(10))1(lim 2x x x x -++∞→;解 )1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→ 211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x . (11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;解 2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x x e x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(12)30sin tan lim x x x x -→; 解 x x x x x x x x x x x x x c o s)c o s 1(s i n lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→ 21)2(2lim cos 2sin 2sin lim320320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换) . 2. 证明: 当x →0时, arctan x ~x ;证明 因为1tan lim arctan lim00==→→y y x xy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .3. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅); 解 (1))1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→xxk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xxx ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. 4. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x 应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？解 要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0.因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00, 所以只须取a =1.5. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根;若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .6. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 证明 因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim 2=+=+∞→∞→nn n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→n n n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 7. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0sin x x x x , 求f '(x ) .解 当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ;当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=--→-→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim00=-=-+→+→x x x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而 f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10cos x x x .8*、证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取 πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .第二章 复习题1. 求下列函数的导数: (1) y =ln(1+x 2);解 222212211)1(11x x x x x x y +=⋅+='+⋅+='.(2) y =sin 2x ;解 y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(3)22x a y -=; 解[]22122221122122)2()(21)()(21)(xa x x x a x a x a x a y --=-⋅-='-⋅-='-='--.(4)xx y ln 1ln 1+-=;解 22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='.(5)xxy 2sin =; 解 222s i n 2c o s 212s i n 22c o s x x x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='. (6)x y arcsin =; 解 2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='.(7))ln(22x a x y ++=; 解 ])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y2222221)]2(211[1xa x x a x a x +=++⋅++=. (8)x x y +-=11arcsin . 解 )1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x xx x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--='.(9)x x y -+=11arctan ; 解 222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='. (10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; 解 )(t a n t a n 1c o s t a n ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(11))1ln(2x x e e y ++=;解 xx x x x x x x x x x e ee e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='. 2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =sin 2 x ;解y '=2sin x cos x =sin2x ,)22sin(22cos 2π+==''x x y ,)222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(2) y =x ln x ;解 1ln +='x y , 11-==''x xy ,y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (3) y =x e x .解 y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dx y d . 解 方程两边求导数得 y '=e y +x e y y ',ye y e xe e y yy y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d : 解t t t t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=, t t t t t dx y d 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(t t t t t t dx y d -=+'+=. 5. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解 水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=24π.已知h =5(m )，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).6. 求下列函数的微分: (1)21arcsin x y -=;解 dx x x x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='=.(2) y =tan 2(1+2x 2);解 dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x 2) =2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4x dx =8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx .(3)2211arctan xx y +-=;解 )11()11(1111a r c t a n 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-= dx x x dx x x x x x xx 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. 7. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性.解 因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限x x x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim)0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不导数. 第三章 复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x . 证明 令xe xf x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ,所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数.因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限: (1)xe e xx x sin lim 0-→-; 解 2c o s l i m s i n l i m00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x . (2)22)2(sin ln limx x x -→ππ;解 812c s c lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ. (3)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;解 xx x x x x x x x x x 22022020c o s 1l i m c o s 1)1l n (c o s l i m c o s s e c )1l n (l i m -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2)1sin lim )sin (cos 22lim00==--=→→xxx x x x x . 4. 证明不等式 ：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解 设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x , 也就是 221)1l n (1x x x x +>+++. 5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解 21a r c t a nx x x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1);解 122+='x xy , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解 令xx x x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x x x x x x f x f -=-='⋅, )ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e 为最大值点.因此所求最大项为333}3 ,2m ax{=. 第四、五、六章 复习题 1. 求下列不定积分: (1)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3. (2)⎰+++dx x x x 1133224; 解C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(3)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(4)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122. (5)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21. (6)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(7)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(8)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.（9） ⎰-xdx e x cos ;解 因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos . （10）⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx x x x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin ⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22.（11）⎰xdx e x 2sin .解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e x x x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos , 所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2 （12）dx x x )1(12+⎰; 解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解 设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1. 又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=13=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C ,C =3-2=1.于是所求曲线的方程为y =ln|x |+1.3. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=x a dt t f a x x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f x a -=⎰ξ. 于是有))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F x a ----=-+--='⎰ξ )]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F . 4. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ;解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d 34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ. (2)dx x ⎰-2022; 解 dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-020202)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令 2)2sin 21(20ππ=+=t t . 6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积.解:所求的面积为⎰⎰⎰-=--==a a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a =++-=⎰. 7. 证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=ba dx x xf V )(2π.证明 如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即dV =2πx ⋅f (x )dx ,于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰⎰==ba ba dx x xf dx x xf V )(2)(2ππ. 8. 利用题7的结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.解 20002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V . 9. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长.解 用极坐标的弧长公式.θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2a d a 82cos 40==⎰πθθ.第七章 复习题1、设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解 因为a =4m +3n -p =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k , 所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .2. 设a =3i -j -2k , b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,k j i k j i b a 75121 213++=---=⨯. (2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18,a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 3. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .解 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a .4、设已知向量a =2i -3j +k , b =i -j +3k 和c =i -2j , 计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c );(3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8, a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8,(a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k .(2)a +b =3i -4j +4k , b +c =2i -3j +3k ,k j k j i c b b a --=--=+⨯+332443)()(. (3)k j i k j i b a +--=--=⨯58311132, (a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2.5、一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程. 解 所求平面的法线向量可取为k j i k j i b a n 3011112-+=-=⨯=, 所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.6、用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x . 解 平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i k j i n n s 3211211121++-=-=⨯=. 在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3, z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为32123+==--z y x ; 参数方程为x =3-2t , y =t , z =-2+3t .7、求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4x -y +z =1上的投影直线的方程. 解 过直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 的平面束方程为 (2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 -1, 1)⋅(2+3λ, -4-λ, 1-2λ)=0, 即 4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0.解之得1113-=λ. 将1113-=λ代入平面束方程中, 得 17x +31y -37z -117=0.故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x . 8、设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角. 解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π, |a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=-+=π. 设向量a +b 与a -b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.。
华东交大历年高数上册期末试题及答案08-09高数上试卷及答案
lim
x 0
1 1 x1 ln(x 1)
1
x x1
lim
x0
( x 1) 2 1 1 x 1 ( x 1) 2
1 2
3、 设y (cos x )
sin x
， 求dy.
得分
评阅人
解 两边取对数得 ln y sin x ln cos x
1 sin x y cos x ln cos x sin x y cos x
y (cos x)
dy y dx
sin x
(cos x ln cos x sin x tan x)
(cos x)
sin x
(cos x ln cos x sin x tan x)dx
4、 求不定积分
解
x 4 dx. x
2
得分
评阅人
令x 2 sec t， 则dx 2 sec t tan tdt
华东交通大学 2008—2009 学年第一学期考试卷卷
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和 因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。 试卷编号： （A）卷
《高等数学(A)Ⅰ 》 课程 (工科本科 08 级) 课程类别：必 闭卷（√）
二、选择题(每题 3 分，共 15 分)
1、
得分
评阅人
lim
x
2 sin 2 x ( x sin )( C ) x x B. 3 C. 2 D. 1
A.4
专业
2 2、 曲 线 x cos t cos t 上 在 对 应 t 点处的法线斜率为 ( A ) 4 y 1 sin t A. 1 2 B. 2 1 C. 1 2 D. 1 2
2012级高数(下)试题及答案解析
南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰ _____.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰= _________.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为_______.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为________.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为__________.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是（ ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ ）（A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（ ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
5.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的三个线性无关的解，则0y py qy '''++=的通解为 （ ）（A ）1122C y C y +； （B ）1223C y C y +；（C ）1122C y C y +33C y +；（D ）1122C y C y +123()C C y -+.三、计算题(共24分，每小题8分)1、设arctan x yz x y +=-，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.2、判断级数1313n n n ∞=-∑的敛散性.3、求微分方程71212y y y x '''-+=的通解 四、解答题（一）(共24分，每小题8分) 1、设方程(,)0f xz yz =可确定z 是,x y 的函数，且(,)f u v 具有连续偏导数，求dz .2、计算曲线积分22(sin 2)()L x y dx x y dy --+⎰，其中L 为由点(0,2)A 到(0,0)O 的左半圆周222x y y +=.3、求级数12nn n x n ∞=⋅∑的收敛域与和函数.五、解答题（二）(共16分，每小题8分)1、求椭球面2222349x y z ++=上点（1，1，1 ） 处的切平面方程和法线方程.2、利用高斯公式计算曲面积分()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为平面0,0,0,1,1,1x y z x y z ====== 所围成的立体的表面的外侧.六、证明题(本题满分6分)设数列{}n a 单调减少，0n a >（1,2,n =）且1(1)nn n a ∞=-∑发散，证明11()1nn n a ∞=+∑收敛.南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰8.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰=()402,dx f x y dy ⎰⎰.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为8.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为()10666n n n x x ∞+=-<<∑.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是（ C ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ B ） （A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（A ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ C ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
华东交通大学2009-2010第一学期离散数学期末试卷及参考答案
华东交通大学2009—2010学年第一学期考试卷试卷编号： （ A ）卷离散数学 课程 课程类别：必修 考试日期： 月 日 开卷(范围：可带含课程内容的手写的不超过A4大小的纸一张） 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 累分人签名题分100得分注意事项：1、本试卷共 8 页（其中试题4页），总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、所有答案必须填在答题纸上，写在试卷上无效；3、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、单项选择题 （2分×10=20分）1．下列语句是命题的有[ ]。
A. 122>+y x ；B. 2010年的国庆节是晴天；C. 青年学生多么朝气蓬勃呀！D. 学生不准吸烟!2．若一个代数系统是独异点（含幺半群），则以下选项中一定满足的是[ ]。
A. 封闭性，且有零元; B. 结合律，且有幺元； C. 交换性，且有幺元; D. 结合律，且每个元素有逆元. 3．Z 是整数集合，下列函数都是Z →Z 的映射，则[ ]是单射而非满射函数。
A ．ϕ (x) =0 B ．ϕ (x) =x 2 C ．ϕ (x) =2x D ．ϕ (x) =x 4. 与命题p ∧ (p ∨q)等值的公式是 [ ]。
A. p ；B. q ；C. p ∨q ；D. p ∧q.承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业 班级 学号 学生签名：5. 设M={a,b,c}，M上的等价关系R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<b,c>,<c,b>}确定的集合M的划分是[ ]。
A.{{a},{b},{c}}B.{{a,c},{b,c}}C.{{a,c},{b}}D.{{a},{b,c}}6. 设D：全总个体域，F(x)：x是花，M(x) ：x是人，H(x,y)：x喜欢y ，则命题“每个人都喜欢某种花”的逻辑符号化为[ ]。
华东交大历年高数上册期末试题及答案10高数上复习题
第一章 复习题 1. 计算下列极限: （1）2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (2)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (3))1311(lim 31x x x ---→; 解 112lim)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . (4)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x1sin 是有界变量).(5)xxx arctan lim∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x1是无穷小, 而arctan x 是有界变量).(6)145lim1---→x xx x ;解 )45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 214154454lim1=+-⋅=+-=→xx x .(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 )())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .(8)xxx sin lnlim 0→; 解 01ln )sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(9)2)11(lim xx x+∞→;解[]e e xxx x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim(10))1(lim 2x x x x -++∞→;解 )1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→ 211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x . (11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;解 2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x x e x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(12)30sin tan lim x x x x -→; 解 xx x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→ 21)2(2lim cos 2sin 2sin lim320320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换) . 2. 证明: 当x →0时, arctan x ~x ;证明 因为1tan lim arctan lim 00==→→y y x xy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .3. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解 (1))1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→xxk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xxx ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. 4. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x 应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？解 要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0.因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00, 所以只须取a =1.5. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根;若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .6. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 证明 因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim 2=+=+∞→∞→nn n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→n n n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 7. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0sin x x x x , 求f '(x ) .解 当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ; 当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=--→-→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim00=-=-+→+→x x x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而 f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10cos x x x .8*、证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取 πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .第二章 复习题1. 求下列函数的导数:(1) y =ln(1+x 2);解 222212211)1(11x xx x x x y +=⋅+='+⋅+='.(2) y =sin 2x ;解 y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(3)22x a y -=;解[]22212222121222122)2()(21)()(21)(x a x x x a x a x a x a y --=-⋅-='-⋅-='-='--.(4)xx y ln 1ln 1+-=;解 22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='.(5)xxy 2sin =; 解 222sin 2cos 212sin 22cos xx x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='.(6)x y arcsin =; 解 2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='.(7))ln(22x a x y ++=; 解 ])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++=. (8)x x y +-=11arcsin .解 )1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x x x x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--='.(9)xx y -+=11arctan ; 解 222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='. (10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; 解 )(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(11))1ln(2x x e e y ++=;解 xx x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='.2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =sin 2 x ;解y '=2sin x cos x =sin2x ,)22sin(22cos 2π+==''x x y , )222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(2) y =x ln x ;解 1ln +='x y , 11-==''x xy ,y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (3) y =x e x .解 y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dx y d . 解 方程两边求导数得 y '=e y +x e y y ',ye y e xe e y yy y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d : 解t t t t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=, t t t t t dx y d 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(t t t t t t dx y d -=+'+=. 5. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解 水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=24π.已知h =5(m )，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).6. 求下列函数的微分: (1)21arcsin x y -=;解 dx x x x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='=.(2) y =tan 2(1+2x 2);解 dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x 2) =2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4x dx =8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx .(3)2211arctan xx y +-=;解 )11()11(1111arctan 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-= dx x x dx x x x x x xx 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. 7. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性.解 因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim)0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不导数. 第三章 复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈. 因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0. 2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x . 证明 令xe xf x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ,所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数.因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限: (1)xe e xx x sin lim 0-→-; 解 2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x .(2)22)2(sin ln limx x x -→ππ;解 812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(3)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;解 x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) 1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→xxx x x x x .4. 证明不等式 ：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解 设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x , 也就是 221)1ln(1x x x x +>+++. 5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解 21arctan x x x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:(1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1);解 122+='x xy , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解 令xxx x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x x x x x x f x f -=-='⋅,)ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e 为最大值点.因此所求最大项为333}3 ,2max{=. 第四、五、六章 复习题 1. 求下列不定积分: (1)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3. (2)⎰+++dx x x x 1133224; 解 C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224. (3)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(4)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de e dx e e xx xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122. (5)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21. (6)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (7)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(8)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.（9） ⎰-xdx e x cos ; 解 因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin ⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .（10）⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. （11）⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e x x x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2（12）dx x x )1(12+⎰;解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解 设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C , C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x |+1.3. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ. 于是有 ))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F . 4. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(2)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令 2)2sin 21(20ππ=+=t t .6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积.解:所求的面积为 ⎰⎰⎰-=--==aa a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a=++-=⎰.7. 证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=badx x xf V )(2π.证明 如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ⋅f (x )dx ,于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰⎰==babadx x xf dx x xf V )(2)(2ππ.8. 利用题7的结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V .9. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长. 解 用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2a d a82cos 40==⎰πθθ.第七章 复习题 1、设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解 因为a =4m +3n -p =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k , 所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .2. 设a =3i -j -2k , b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,k j i kj i b a 75121 213++=---=⨯.(2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18,a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 3. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a . 解 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0, 即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a .4、设已知向量a =2i -3j +k , b =i -j +3k 和c =i -2j , 计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c ); (3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8, a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8, (a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k . (2)a +b =3i -4j +4k , b +c =2i -3j +3k , k j kj i c b b a --=--=+⨯+332443)()(.(3)k j i kj i b a +--=--=⨯58311132,(a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2.5、一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程. 解 所求平面的法线向量可取为 k j i kj i b a n 3011112-+=-=⨯=,所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.6、用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x .解 平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i kj i n n s 3211211121++-=-=⨯=.在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3, z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为32123+==--z y x ;参数方程为x =3-2t , y =t , z =-2+3t .7、求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4x -y +z =1上的投影直线的方程.解 过直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 的平面束方程为(2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 -1, 1)⋅(2+3λ, -4-λ, 1-2λ)=0, 即4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0.解之得1113-=λ. 将1113-=λ代入平面束方程中, 得17x +31y -37z -117=0.故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x .8、设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角.解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π,|a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=-+=π.设向量a +b 与a -b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.。
13级《高等数学I、II》(上)期末考试卷及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每小题3分，共48分）1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩，则22d d y x 4t t． 5. 设)(x f 在0=x 点处连续，且0()lim12x f x x→=，那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=，则(1)f x '-= 23(2)x - ．9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。
10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数，,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ，x e ，x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。
得 分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。
14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题（满分24分，每小题6分）17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。
数据结构B卷以及答案
华东交通大学2012—2013学年第一学期考试卷试卷编号： （B ）卷数据结构 课程 课程类别：必考生注意事项：1、本试卷共5页，总分100分，考试时间120分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、选择题(每题2分，共20分)1、栈和队列的共同特点是( A )。
A.只允许在端点处插入和删除元素B.都是先进后出C.都是先进先出D.没有共同点2、用链接方式存储的队列，在进行插入运算时( D ).A. 仅修改头指针B. 头、尾指针都要修改C. 仅修改尾指针D.头、尾指针可能都要修改 3、以下数据结构中哪一个是非线性结构？( D )A. 队列B. 栈C. 线性表D. 二叉树4、 设指针变量p 指向单链表中结点A ，若删除单链表中结点A ，则需要修改指针的操作序列为（ A ）。
(A) q=p->next ；p->data=q->data ；p->next=q->next ；free(q)； (B) q=p->next ；q->data=p->data ；p->next=q->next ；free(q)； (C) q=p->next ；p->next=q->next ；free(q)； (D) q=p->next ；p->data=q->data ；free(q)；5、 若有18个元素的有序表存放在一维数组A[19]中，第一个元素放A[1]中，现进行二分查找，则查找A ［3］的比较序列的下标依次为( D )A. 1，2，3B. 9，5，2，3C. 9，5，3D. 9，4，2，3承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业 班级 学号 学生签名：6、设某棵二叉树的中序遍历序列为ABCD，前序遍历序列为CABD，则后序遍历该二叉树得到序列为（ A ）。
高等数学试题及答案+1套试题教学内容
高等数学试题及答案+1套试题收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除南华大学08级《高等数学C1》（船山）期终试卷（B ）适用专业：会计、国贸 考试时间：元月15日 时量：120分钟 方式：闭卷专业及班级 学号 姓名一、 填空题：（每小题4分，共20分）；；；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除二、单项选择题：（每小题有A 、B 、C 、D 四个答案，请把正确的答案的序号填入题后的括号内，每小题4分，共20分）1. 设函数⎩⎨⎧≤<≤≤--=300152)(2x xx x x f ，则=→)(lim 0x f x （ ）A . 5- B. 1 C. 0 D. 不存在；2．若在),(b a 内， 函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ， 则函数)(x f y =在此区间内（ ）A. 单调减少，曲线是凹的B. 单调减少，曲线是凸的C. 单调增加，曲线是凹的D. 单调增加，曲线是凸的3．函数x x y 22-=在区间][2,0上的极小值为( )A 0B 1-C 2D 1 4. 设x y 2ln 1+=，则='y （ ）A.xx 2ln 12ln +C.xx x 2ln 1ln + D.xx x 2ln 1ln +5．下列各式中成立的是 （ ）A ⎰=)()('x f dx x f ；B dx x f dx x f d ⎰=)()(；C c x dx x+=⎰112； D c x dx x +=⎰2231 。
三、解答下列各题：（每小题7分，共14分）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1. 求极限).1sin 1(lim 0xx x -→2. 求极限xxx x )12(lim +++∞→四、解答下列各题：（每小题7分，共42分）1.求由方程1sin =-++x xy e yx 所确定的隐函数)(x f y =的导数dxdy 及)0('y第二页（共四页）答题请不要越2. 设⎩⎨⎧-=-=321ttytx，求22dxyd3. ⎰xdxx ln24．求⎰5. 求]4,1[32)(23--=在xxxf上的最大值与最小值；第三页（共四页）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除6. 一个公司已估算出产品的成本函数为2001.022600)(x x x C ++=（1）求出产量为2000时的成本、平均成本和边际成本；（2）产量多大时，平均成本能达到最低？求出最低成本。
2012级高等数学(下)试题及答案
南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰ _____.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰= _________. 3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为_______.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为________. 5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为__________.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy xyz +=arcsin 的定义域是（ ） （A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x Y ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x Y .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ ） （A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（ ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
5.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的三个线性无关的解，则0y py qy '''++=的通解为 （ ）（A ）1122C y C y +； （B ）1223C y C y +；（C ）1122C y C y +33C y +；（D ）1122C y C y +123()C C y -+.三、计算题(共24分，每小题8分)1、设arctan x yz x y +=-，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.2、判断级数1313n n n ∞=-∑的敛散性.3、求微分方程71212y y y x '''-+=的通解四、解答题（一）(共24分，每小题8分) 1、设方程(,)0f xz yz =可确定z 是,x y 的函数，且(,)f u v 具有连续偏导数，求dz .2、计算曲线积分22(sin 2)()Lx y dx x y dy --+⎰，其中L 为由点(0,2)A 到(0,0)O 的左半圆周222x y y +=.3、求级数12nn n x n ∞=⋅∑的收敛域与和函数.五、解答题（二）(共16分，每小题8分)1、求椭球面2222349x y z ++=上点（1，1，1 ） 处的切平面方程和法线方程.2、利用高斯公式计算曲面积分()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰Ò,其中∑为平面0,0,0,1,1,1x y z x y z ====== 所围成的立体的表面的外侧.六、证明题(本题满分6分)设数列{}n a 单调减少，0n a >（1,2,n =L ）且1(1)nn n a ∞=-∑发散， 证明11()1nn na ∞=+∑收敛.南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰8.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰=()402,dx f x y dy ⎰⎰.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为8.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为()10666n n n x x ∞+=-<<∑.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy xyz +=arcsin 的定义域是（ C ） （A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x Y ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x Y .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ B ）（A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0. 3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（A ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ C ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
高等数学试题及答案+套试题
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
南华大学08级《高等数学C1》（船山）期终试卷（B）适用专业：会计、国贸考试时间：元月15日时量：120分钟方式：闭卷专业及班级学号姓名空题：（每分）=f(x)4. 设x y 2ln 1+=，则='y （ ）A.xx 2ln 12ln +C.xx x 2ln 1ln + D.xxx 2ln 1ln +5．下列各式中成立的是 （ ）A ⎰=)()('x f dx x f ；B dx x f dx x f d ⎰=)()(；Cc xdx x +=⎰112； D c x dx x +=⎰2231 。
三、解答下列各题：（每小题7分，共14分） 1. 求极限).1sin 1(lim 0xx x -→2. 求极限xx x x )12(lim +++∞→四、解答下列各题：（每小题7分，共42分）1sin =-+x xy 所确定的隐函数)(x f y =的导数dxdy 及)0('y，求22dxyd第二页（共四页）5. 求]4,1[32)(23--=在x x x f 上的最大值与最小值；6. 一个公司已估算出产品的成本函数为2001.022600)(x x x C ++= （1）求出产量为2000时的成本、平均成本和边际成本； （2）产量多大时，平均成本能达到最低？求出最低成本。
五、 （4分）.10155的正实根有且仅有一个小于证明：方程=+-x x 第三页（共四页）[此文档可自行编辑修改，如有侵权请告知删除，感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好]最新可编辑word文档。
华东交通大学专升本高数考试真题（1）
华东交通大学专升本考试真题2005年一选择题(24分))0[ )( ) 0( )( ) 1[ )( ) 1( )(). (1sin 1∞+∞+∞+∞+-= d c b a x y .3 )( 3 )( 23)( 23)(). ())2(( )0( 1)( 2d c b a f f x x xx f --=≠-=.)( )( 1 )( 0 )(). (1sin lim 3 ∞+∞+=∞→ d c b a x x x .1 )( )( 1 )( )(). (0)( arccos )( 4d dx c b dx a x x f x x f --==.3 )( 2 )( 1 )( 0 )( ).(0)())()()(()( 5d c b a x f c b a c b a c x b x a x x f ='<<---=.12 )( 3 )( 2 )( 2 )(). ()( )( 6432x d x c x b a x f x x f ='.)( )( )( )( )( )( )( )(). (])([ 7x f d c x f c dx x f b x f a dx x f +''='⎰⎰.)( )()( )( ).( 8 d c b a 二、计算题(48分) ；xxx x 30sin tan sin lim 1-→ ；y x xy '-+= 11arctan 2；dx x x x⎰+sin cos cos 3 ；dx e x ⎰40 4 .0)( 21)0( sin )(cos 522 =-=='x f f x x f 三、应用题(20分).2)0 0()1ln( 12 -=+=x y x y . 1000)( 2r h r h r 四、证明题(8分)).()() ()()()()( ] [)( )(x g x f b a a g a f x g x f b a x g x f >='>' 2006年一、计算下列极限(每小题5分，共20分).1. ； xx x x sin 2cos 1lim 0-→2. ； xx x 3tan ln 7tan ln lim 0→3. ；12lim 23+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x 4. .6 0 20d sin lim 2x t t x x ⎰→二、求导数(每小题5分，共20分).1. 设，求； x x y sin =xy d d 2. 设方程确定，求；1e 2e =+-y x xy )(x y y =xy d d 3. 设，求； ⎩⎨⎧+=+=t t y t x arctan )1ln(222d d x y 4. 设，求.34)1()2(1-++=x x x y xy d d三、计算下列积分(每小题6分，共12分).1. 计算； x x x d log 232⎰2. 设函数 求.⎪⎩⎪⎨⎧>≤= 0 30 e 2)(2x x x x f x x x f d )1(32 ⎰--四、求函数的单调区间、极值点；该函数曲线的凹凸区间、拐7186223---=x x x y 点(12分) .五、求由曲线与直线所围平面图形面积及该图形绕轴旋转一周所得旋2x y =x y 2=x 转体的体积(10分).六、设在上连续，证明(6分).)(x f ] [b a x x b a f x x f b a ba d )(d )( ⎰⎰-+=七、求过点且垂直于直线的平面方程并求原点)2 1 1( ⎩⎨⎧=---=++-09230142z y x z y x 到该平面的距离(10分).)0 0 0( 八、确定取值，使在点可导(10分).b a ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=- 0 320 e e )(x x x b a x f x x 0=x2007年一、计算下列极限(每小题6分，共24分).1. ； )2332(lim 22+---+-∞→x x x x x 2. ；n nn n 5113321(lim ++∞→3. ； n n n n ++++∞→ 321lim 4. .)1ln(d cos lim 0 202x x t t x x +⎰→ 二、求导数(每小题6分，共24分).1. 设，求； x x y 2=xy d d 2. 设，求； 321++=x x y )(n y 3. 设，求；⎩⎨⎧==t b y t a x 2sin 2cos 22d d xy4. 已知为由方程确定的隐函数，求.)(x y y =1e e 3=+-y x xy 0d d =x x y三、计算下列积分(每小题7分，共21分).1. 计算； ⎰x x x d 3sin 2. 计算；⎰π+ 0 d cos21x x 3. 计算.⎰∞+- 0 2d e x x x 四、设在上连续，在内可导且，证明：至少存在)(x f ] [b a ) (b a 0)()(==b f a f ，使(8分).) (b a ∈ξ0)(2008)(=+'ξξf f 五、求由曲线、直线及所围平面图形面积及该图形绕轴旋转一周2x y =0=y 2=x y 所得旋转体的体积(10分).六、设，求(1)该函数的单调区间、极值点；(2)该函数曲线的凹凸区间、2)3(122++=x x y 拐点；(3)该曲线的渐近线(13分)..2008年一、填空题(每小题2分，共20分).1. 极限；_____sin lim =∞→xx x 2. 设，则；x x y arctan =________d =y 3. 积分；________d cos sin 2=⎰x xx 4. 设 要使在点处连续，则；⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+= 0 cos 0 sin )(x x x a x x f )(x f 0=x _____=a 5. 积分；____d sin 4=⎰ππ-x x x 6. 设为的一个原函数，则；2x )(x f _____)(=x f 7. 设为曲线的拐点，则；)3 1( 23bx ax y +=_____ ____==b a 8. 是函数_______间断点(请填：跳跃、可去、无穷、振荡0=x x x x sin e 111++之一)；9. 积分；____d tan 40 2=⎰πx x 10. 曲线在点处的切线方程为______________.1=xy )1 1( 二、选择题(每小题2分，共10分).1. 当时，是的().0→x 1sin 1--x x 2x A. 高阶无穷小 B. 同阶不等价无穷小 C. 低阶无穷小 D. 等价无穷小2. .) ()1(lim 2=+→x x x A. B. C. D. 1e e 22e 3. 一切初等函数在其定义区间内都是(). A. 可导B. 连续C. 可微D. 可积4. .) (d 1 0 2=⎰x x A. B. C. D. 1-03115. .) (d )(=''⎰x x f xA. B. C. D. C x f +)(C x f x f +-')()(C x f x f x +-')()(Cx xf +)(三、计算题(每小题5分，共30分).1. 求； xx x cos 1)1ln(lim 20-+→2. 求；x t t x x d cos lim 0 20⎰→3. 设，求；)12(sin 2+=x x y y '4. 求； x x x d ln ⎰5. 求； x x d 11110 ⎰++6. 设，求.x y 2e =)(n y 四、求函数的单调区间和极值(8分).353151)(x x x f -=五、设问在处是否连续(6分)?⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=.0 ln 0 00 1sin )(2x x x x x x x x f )(x f 0=x 六、证明不等式(8分).)0()1ln(1><+<+x x x xx 七、求由方程所确定的隐函数的导数(8分).y x x y e 12-+=)(x y y =0d d =x x y八、求由曲线，，及所围平面图形面积及该图形绕轴旋转一x y =xy 1=2=x 0=y x 周所得旋转体的体积(10分).2009年一、填空题(每小题4分，共28分).1. 极限；______tan 1sinlim 20=→x x x x 2. 极限；______)81(lim =+∞→x x x3. 定积分；______d 22 3=⎰-x x 4. 函数的极值点为______；2e x y =5. 设函数在点处连续，则；⎪⎩⎪⎨⎧≥<= 0 0 1sin )(x A x x x x f 0=x _____=A 6. 函数的阶导数；x y 4e =n ______)(=n y7. 函数当时的微分为_______.3x y =01.0 2=∆=x x 二、计算题(每小题8分，共48分).1. 设在处连续，且，求；)(x f 2=x 3)2(=f ]4421)[(lim 22---→x x x f x 2. 求；xx x x x x sin 2e e lim 0----→3. 求；⎰x x x d ln4. 求；x x d 1e 2ln 0 ⎰-5. 求函数的单调区间；32)5()(-=x x x f 6. 求曲线在点处的切线方程.y x x y 2=)1 1( 三、已知，求在上的最大值(12分).t t x f x t d e )2()(20 ⎰--=)(x f ]2 0[ 四、求曲线在点处法线与该曲线所围成平面图形的面积(12分).x y 22=)1 21(参考答案2005年.8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. c d a c a b c b sin cos ln 212 4. 2 3. 11 2. 21 1. 2 C x x x e x ++++-.1 .6 22 5. 2=+x e .)()()( .12 500 2. 29 1. 3 x g x f x F r h r -===π2006年一、1. 2；2. 1；3. ；4..2e 31二、1. ；2. ；3. ；y x x y e 2e +-3224)1)(2(t t t +-sin ln (cos sin x x x x x x +4..1324)1(21()1()2(234--+++-++x x x x x x 三、1. ；2. .C x x x +-352352ln 259log 533e 210--四、单调增区间为，单调减区间为；极大值点为，极) 3[ ]1 (∞+--∞ ]3 1[ -1-=x 小值点为；凸区间为，凹区间为，拐点为3=x ]1 ( -∞) [1∞+ )29 1(- 五、面积为，体积为.341564π六、提示：设，利用换元积分法.t b a x -+=七、 .23036 )2( 0361079 )1( =-++z y x 八、.21 25-=-=b a 2007年一、1. ；2. ；3. ；4. . 25-356321-二、1. ；2. ；3. ；4. .)1(ln 22+x x x 11)32(!)2(+-+-n n x n t ab 2csc 32)4ln 3(41-三、1. ；2. ；3. . C x x x ++-3sin 913cos 32241 四、提示：设，利用罗尔定理.)()(2008x f ex F x =五、面积为，体积为.38π8六、(1) 单调增区间为，单调减区间为，极大值点为；)3 3( )3 ( ---∞) 3(∞+ 3=x(2) 凸区间为，凹区间为，拐点为；)6 3( )3 ( ---∞) 6(∞+ 982 6( (3) 水平渐近线为，垂直渐近线为.2=y 3=x 2008年一、1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；0x xx x d )1(arctan 2++C x +sec 1-06. ；7. ；8. 跳跃；9. ；10. x 229 23- 41π-02=-+y x 二、1. B ；2. D ；3. B ；4. C ；5. C.三、1. 2；2. 1；3. ；4. ；)24sin(2)12(sin 212+++x x x xC x x x +-2241ln 21 5. ；6. .]2ln )21ln(12[2++--x n 2e 2四、单调增区间为，单调减区间为，极小值为) 1( )1 (∞+--∞ )1 1( -，极大值为.152)1(-=f 152) 1(=-f 五、连续.六、提示：设，利用拉格朗日中值定理)1ln()(t t f +=或设，利用用单调性x x x x g x x x f +-+=-+=1)1ln()( )1ln()( 七、.e -八、面积为，体积为.2ln 21+65π2009年一、1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. .08e 00=x 0x n 4e 412.0二、1. ；2. ；3. ；4. ；432C x +2)(ln 2122π-5. 单增区间为，单减区间为；6. .) 2[ )0 (∞+-∞ ]2 0[ 02=-+y x 三、.2e 21-+四、.316。
华东交通大学2013-2014第二学期试卷
SAGE)的码，则SNO是关系模式SC的A. 主码B. 外码C. 候选码D. 非码10. 事务T在修改数据R之前必须先对其加X锁，直到事务结束才释放。
事务T在读取数据R之前必修先对其加S锁，读完后即可释放S锁。
这是A. 一级封锁协议B. 二级封锁协议C. 三级封锁协议D. 可串行化协议11.软件工程专业开设了多门选修课，每个学生可以根据自己兴趣选修多门课程，则学生和选修课之间的联系是A. 多对多B. 一对一C. 多对一D.一对多12. SQL语言集数据查询、数据操作、数据定义和数据控制功能于一体，语句INSERT、DELETE、UPDATE实现的是功能。
A. 数据控制B. 数据查询C. 数据定义D.数据操纵13.下列有关E-R模型向关系模型的转换的叙述中，不正确的是A.一个实体型转换为一个关系模式B.一个1：1联系只能转化为一个独立的关系模式C.一个1：n的联系可以转换为一个独立的关系模式，也可以与N端对应的关系模式合并D.一个m：n联系转化为一个关系模式14. 下列关于视图(View)的叙述中，不正确的是A.视图是外模式B.视图是虚表C. 使用视图可以加快查询语句的执行速度D. 使用视图可以简化查询语句的编写15. 在数据库的三级模式结构中，内模式有个。
A. 1个B.2个C. 3个D. 任意多个二、填空题（共20分，每空1分，将正确答案写在答题纸上）1. 数据模型通常由数据结构、和三部分组成。
2. 目前数据库领域中最常用的数据模型有四种，它们是层次模型、网状模型、和。
3. 按照规范化的方法，数据库的设计可以分为需求分析、、、物理结构设计、数据库的实施、数据库的运行和维护。
4. 事务的ACID特性是指事务的原子性、一致性、和持续性。
5. 封锁是实现并发控制的一个重要技术。
封锁类型有两种：和。
6. 数据库管理系统在外模式、模式和内模式这三级模式之间提供了两层映象，分别是映象和映象。
7. 设关系R和S的元组个数分别为50和200，设T是R与S的笛卡尔积，则T的元组个数是。
高等数学1试题及标准答案
得分
评阅人
解
得分ห้องสมุดไป่ตู้
评阅人
解
得分
评阅人
解两边取对数得
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解
四、综合题(每题9分，共18分)
得分
评阅人
解
得分
评阅人
解
得分
评阅人
五、证明题(8分)
证 证
闭卷（√）考试时间：2009.1.10
题号
一
二
三
四
五
总分
1
2
3
4
5
6
7
1
2
分值
10
15
7
7
7
7
7
7
7
9
9
8
阅卷人
(全名)
考生注意事项：1、本试卷共6页，总分100分，考试时间120分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
得分
评阅人
年
一、填空题(每题2分，共10分)
得分
评阅人
二、选择题(每题3分，共15分)
华东交通大学2008—2009学年第一学期考试卷卷
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业班级学号学生签名：
试卷编号：（A）卷
《高等数学(A)Ⅰ》课程(工科本科08级)课程类别：必
华东交大历年高数上册期末试题及答案高等数学(A)12-13上答案
华东交通大学2012—2013学年第一学期考试卷《高等数学(A)Ⅰ》答案一、填空题(每题3分，共18分)41 1、；x x cos 2、；3 3、(3±不给分)；54π、；2 5-、；0724 6=--+z y x 、（其它方程不给分） 二、计算题(每题 8分，共56分))1211215131311(21lim 1+--++-+-=∞→n n n 原式解：、)1211(21lim +-=∞→n n 21= 2、解：x x x x cos 12e e lim 0--+=-→原式 xx x x sin e e lim 0-→-= x xx x cos e e lim 0-→+= 2= 1 0 3==y x 时，当解：、1)1(1))(cos(=-'-+'+y xy y x y xy x 求导得方程两边对 11)0(1 1 0=-'+==y y x 代入上式得：，把， 1)0(='y 故 ⎰+-=x x 11d ln 4原式解：、⎰+++-=x xx x dln 111ln ⎰+++-=x x x x x d )1(11ln ⎰+-++-=x x x x x )d 111(1ln C x x x x ++-++-=1ln ln 1ln 5、解：令t x sin =，则t t x d cos d = 原式⎰⎰=⋅=t t t t t t d sin d cos cos sin 22⎰-=t t d 22cos 1C t t +-=42sin 2C x x x +--=212arcsin 2 t t t x t x t x d 12d )1ln( 1e 622+=+==-则，即，令解：、， 00；时当==t x 12ln ==t x 时当 ⎰+⋅=10 2d 12t t t t 原式⎰+-=1 0 2d )111(2t t 10)a r c t a n (2t t -=22π-= }2 2 1{ )1 2 1( 7-=-，，方向向量，，，上点由已知得直线解：、s M L ，}3 1 2{，，-=MP}5 7 4{2231，，-=--=⨯103=3= 7分，10==d 距离 三、应用题(每题 9分，共18分)x x x x f +='ln 2)( )1( 1解：、， 21e 0)(-=='x xf 得令0)(e 0)(e 0-21-21>'><'<<--x f x x fx 时当，时当， 处取极小值在故21e )(-=x x f ，121e 21)(---=e f 且极小值为3ln 2)( )2(+=''x x f ，23e 0)(-==''x xf 得令0)(e 0)(e 02323>''><''<<--x f x x f x 时当，时当， )e 23 e (323---，故拐点为 ⎰+⋅=πθθ 0 2d )cos 1(212(1) 2S 面积解：、⎰++=πθθθ 0 d )2cos 21cos 223( πθθθ0)2sin 41sin 223(++=23π= θsin (2) -='r ，⎰'+=πθ 0 22d 2r r s ⎰=πθθ 0 d 2cos 4πθ02sin 8=8=四、证明题(8分)1d )(2)( 0 --=⎰xt t f x x F 令证：，则0)(1)1( 1)0(]1 0[)(>-=-=ξf F F x F ，上连续且，在 0)()1 0(=∈ηηF 使得，至少存在一点，至少有一个实根即方程01d )(2 0 =--⎰xt t f x 0)(2)(>-='x f x F 又，单调增加)(x F ，故至多有一个实根方程01d )(2 0 =--⎰xt t f x ，结论成立。
华东交通大学高等数学06(上)试题及答案
2
1 12
2、 求
lim
n
n [ln( n 2 ) ln n ]
得分
评阅人
解： 原式
lim
n
n ln( 1
2 n
)
n 2
lim
n
{ 2 ln[ 1 (
2 n
)]
}
2 ln e 2
第 2 页
共 6 页
3、 y arctan 设
x 1 x 1
x
2 1 2 1 2
ln( 1 x )
1
2
1 0
x d ln( 1 x )
2
2
ln 2 ln 2 1 2
1 2
1 0
x
1 x
2
2
dx
2 1 0
[x
ln( 1 x )]
ln 2
第 4 页
共 6 页
7、 求
e
D
x y
dxdy ，其中 D 由 y x ， 1 及 x 轴围成 x
一、填空题(每题 2 分，共 10 分)
学号
x 1 1 ，x 1 1、 f ( x ) x 2 1 设 在 x 1 处连续， 则 a ______ 2 a， x 1
2、 y 3 设
x
得分
评阅人
3 ln 3 ln 3，则 y _________
2
x 1 x 1
( x 1) 2 2x 1 1 x
z
2 (1 x )
2
dx
2
dx
z x z y
得分
评阅人
2014级华东交通大学高等数学期中考试试卷及参考答案
华东交大2014—2015学年第一学期期中考试承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业 班级 学号 学生签名：试卷编号： （A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》 课程 (工科本科14级) 课程类别：必 闭卷（√） 考试时间：2014.11.16题号 一二三 四 总分12 3 4 5 6 7 1 2 1分值 18 8 888888998阅卷人 (全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、填空题(每题3分，共18分)_________)21()1( 3)1( 1lim=--='→xx f f f x 则，设、________]3 0[29)( 23=+-=ξ上满足罗尔定理的，在函数、x x x f _______cos sin 3='+=y x x x y 则，设、 4．已知21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭，则a = ，b = ；5．函数)( x f y =在点 x 处可导，且2)(=' x f ,则当 0→∆x 时，无穷小dy 与x ∆的比较结果是_________；_____ 00 02)( 6==⎩⎨⎧≥+<+=a x x x a x e x f x 则处连续，在，，设、二、计算题(每题 8分，共56分)1．设3arctan 6x t t y t t =+⎧⎨=+⎩，求212d d t yx =.得分 评阅人得分 评阅人2、. 6)12(2limb a b ax x x x x 、求，设=---+∞→3、设23e xy x =，求(10)()y x .])12)(12(1531311[lim 4+-++⨯+⨯∞→n n n 求极限、. )(cos 5sin dy x y x 求，设、=6、设2[()],u f x y ϕ=+其中,x y 满足方程,y y e x +=函数,f ϕ均二阶可导，求22du d ,d d ux x.7、设函数()f x 在点0x =处有定义，(0)1f =，且2ln(1)sin ()lim0e 1x x x x f x →-+⋅=-，求(0)f '.三、应用题(每题 9分，共18分)1、求方程1sin =-+y x e xy 中的隐函数)(x y y =的导数。
华东交大2012信号与系统B卷_物联网工程
四、综合题(每题 8 分，共 32 分) 1. 判断如下系统是否为线性的、时不变的、因果的？
r (t ) e d
2t
得分
评阅人
2. 图 4 为信号 f(t)的波形图，设 F(ω)为信号 f(t)的傅立叶变换，求
第 3 页 共 4 页 (反面有试题)
（1） F d ； （2） F d 。
A. 正弦分量
B. 余弦分量
C. 奇谐分量 )
D. 偶谐分量
11. 脉冲信号 f(t)与 2f(2t)之间具有相同的 ( A. 频带宽度 B. 脉冲宽度
C. 直流分量
D. 能量
12. 假设信号 f1(t)的奈奎斯特取样频率为 ω1，f2(t)的奈奎斯特取样频率为 ω2，则信 号 f(t) = f1(t + 1)f2(t + 2)的奈奎斯特取样频率为 ( A. ω1 B. ω2 C. ω1 + ω2 ) D. ω1 * ω2
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一、选择题(每题 2 分，共 24 分)
1. 下列关于傅立叶变换的描述不正确的是 ( A. 时域周期离散，则频域也是周期离散的； B. 时域周期连续，则频域也是周期连续的； C. 时域非周期连续，则频域也是非周期连续的； D. 时域非周期离散，则频域是周期连续的。 2. 信号 ej2tδ(t)的傅立叶变换是 ( A. 1 B. j(ω - 2) ) C. 0 ) C. 1 D. 0 )
2
3.电路如图 5 所示，e(t) = 10u(t)为电压激励，r(t)为流过电容的电流响应，写出系 统的微分方程并用 s 域方法求 r(t)在 t > 0 时的表达式。 4. 如右图所示，其中 h1(t)=[1.5e-3t + 0.5e-t]u(t)，求： (1) 要使得系统稳定，k 的取值范围； (2) 临界稳定时，系统的冲激响应 h(t)。
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x
x x
x x x sin 2e e lim 20----→求极限、
)0()()ln()sin( 3y x y y x x y xy '==-+，求确定设方程、
⎰+x x x
d )
1(ln 42
求不定积分
、
⎰
-x x x d 1 52
2求不定积分
、
⎰
-2
ln 0
d 1
e 6x x
求定积分
、
的距离：到直线，，求点、2
1
2211 )2 1 3( 7-+=-=-z y x L P
三、应用题(每题 9分，共18分)
的拐点求曲线的极值；求函数，设、)()2( )()1( ln )( 12x f y x f x x x f ==
求心脏线的长度
；求心脏线围成图形面积，右图设心脏线方程为、)2(
)1( )(cos 1 2θ+=r
四、证明题(8分)
内有且仅有一个实根
，在方程证明：，上连续且，在设函数)1 0(0
1d )(2 1)(]1 0[)( 0
=--<⎰
x
t t f x x f x f
华东交通大学2012—2013学年第一学期考试卷
《高等数学(A)Ⅰ》答案
一、填空题(每题3分，共18分)
41 1、；x x cos 2、；3 3、(3±不给分)；5
4π
、；2 5-、；0724 6=--+z y x 、（其它方程不给分）
二、计算题(每题 8分，共56分)
1211215131311(21lim 1+--++-+-=∞→n n n 原式解：、1211(21lim +-=∞→n n 2
1
=
2、解：x x x x cos 12e e lim 0--+=-→原式 x
x x x sin e e lim 0-→-= x x
x x cos e e lim 0-→+= 2=
1 0 3==y x 时，当解：、
1)1(1
))(cos(=-'-+
'+y x
y y x y xy x 求导得方程两边对 11)0(1 1 0=-'+==y y x 代入上式得：，
把， 1)0(='y 故 ⎰+-=x x 11d
ln 4原式解：、⎰
+++-=x x
x x dln 11
1ln ⎰+++-=x x x x x d )1(11ln ⎰
+-++-=x x x x x )d 111(1ln C x x x
x
++-++-=1ln ln 1ln
5、解：令t x sin =，则t t x d cos d =
原
式
⎰⎰
=⋅=
t t t t t t d sin d cos cos sin 2
2⎰
-=t t d 22cos 1C t t +-=4
2sin 2C x x x +--=212arcsin 2 t t t x t x t x d 12d )1ln( 1e 62
2+=+==-则，即，令解：、， 00；时当==t x 12ln ==t x 时当
⎰
+⋅
=1
0 2
d 12t t t
t 原式⎰
+-
=1
2d )111(2t t 1
)a r c t a n (2t t -=2
2π-= }2 2 1{ )1 2 1( 7-=-，，方向向量，，，上点由已知得直线解：、s M L ，}3 1 2{，，-=MP
}5 7 4{2231，，-=--=⨯k j s MP
103=
3= 7
分，10==
d 距离
x x x x f +='ln 2)( )1( 1解：、， 2
1
e
0)(-
=='x x f 得令
0)(e
0)(e
0-21-21>'><'<<-
-
x f
x x f x 时当，时当，
处取极小值在故21
e
)(-
=x x f ，12
1e 2
1
)(--
-=e f 且极小值为
3ln 2)( )2(+=''x x f ，2
3
e
0)(-
==''x x f 得令
0)(e
0)(e
023
23
>''><''<<-
-
x f
x x f
x 时当，时当， )e 2
3 e
(3
23---
，故拐点为 ⎰
+⋅
=π
θθ 0
2d )cos 1(2
1
2(1) 2S 面积解：、⎰
++=
π
θθθ 0 d )2cos 21
cos 223( πθθθ0
)2sin 4
1
sin 223(++=2
3π= θsin (2) -='r ，⎰
'+=π
θ 0
22d 2
r r s ⎰
=π
θθ
d 2
cos
4
π
θ
2
sin
8=8=
四、证明题(8分)
1d )(2)( 0
--
=⎰
x
t t f x x F 令证：，则0)(1)1( 1)0(]1 0[)(>-=-=ξf F F x F ，上连续且，
在 0)()1 0(=∈ηηF 使得，至少存在一点，至少有一个实根
即方程01d )(2 0
=--
⎰
x
t t f x 0)(2)(>-='x f x F 又，单调增加)(x F ，故至多有一个实根
方程01d )(2 0
=--
⎰
x
t t f x ，结论成立。