2006年高考理科数学试题及答案(安徽卷)

= 5 5cos
8sin 1111cos 2 2 cos
16 = 8sin 6 cos 2 2 cos

8 tan 6 2 2
=

5
2 6
。
（18）（本大题满分 12 分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对
各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有
D． 4 7
解：在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 C83 个三角形，要得直角非等．腰．三角形，
24 则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有 24 个，得 C83 ，
所以选 C。
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科
数学
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
D．y


2
x, x x,
x
0
0
解：有关分段函数的反函数的求法，选 C。
（6）将函数
y

sin

x(

0)
的图象按向量
a



6
,
0

平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的
解析式是（ ）
A．
y

sin( x

6
)
B．
y

sin( x

景云制作
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4
页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答
注意事项：
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答．题．卡．上书写作答，在．试．题．卷．上．书．写．作．答．无．效．。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填写在答题卡的相应位
置。
（13）设常数
a

0
，

ax2

1 x
4
展开式中
x3
的系数为
3 2
，则
lim(a a2 an ) _____。
A1 B1
，那么，A2

B2
C2

2
，
sin
C2

cos C1

sin( 2

C1 )
C2

2

C1
所以 A2B2C2 是钝角三角形。故选 D。
（12）在正方体上任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等．腰．三角形的概
率为（ ）
A． 1 7
B． 2 7
C． 3 7
所在平面外一点， PA 1，P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O。
（Ⅰ）证明 PA ⊥ BF ；
（Ⅱ）求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。
解：（Ⅰ）在正六边形 ABCDEF 中， ABF 为等腰三角形，
A
∵P 在平面 ABC 内的射影为 O，∴PO⊥平面 ABF，∴AO 为 PA 在
A． 4x y 3 0 B． x 4 y 5 0 C． 4x y 3 0 D． x 4 y 3 0
解：与直线 x 4 y 8 0 垂直的直线 l 为 4x y m 0 ，即 y x4 在某一点的导数为
4，而 y 4x3 ，所以 y x4 在(1，1)处导数为 4，此点的切线为 4x y 3 0 ，故选 A
解： A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0，则 A1B1C1 是锐角三角形，若 A2B2C2 是
sin 锐角三角形，由 sin
A2 B2

cos cos
A1 B1

sin( 2
sin(2

A1 ) B1 )
，得

A2


B2


2 2

参考公式：
如果时间 A、B 互斥，那么 P( A B) P( A) P(B)
如果时间 A、B 相互独立，那么 P( AB) P( A)P(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
率 Pn k Cnk Pk 1 Pnk
C． 3 i
D． 3 i
解： 1 3i 3i

1 i(1
3i 3i)

1 i
i
故选
A
（2）设集合 A x x 2 2, x R ，B y | y x2, 1 x 2 ，则 CR A B
等于（ ）
A． R
B．x x R, x 0 C．0
y2

2 px 的焦点为(2,0)，则
p 4 ，故选 D。
（4）设
a, b
R
，已知命题
p
:
a

b
；命题
q
:

a
2
b
2

a2
2
b2
，则
p
是
q
成立的
（）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条
件
景云制作
解：命题
p
:
a

b
是命题
q
:

题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编．号．）

A1
A 第 16 题图
解：如图，B、D、A1 到平面 的距离分别为 1、2、4，则 D、A1 的中
点到平面
的距离为
3，所以
D1 到平面
的距离为
6；B、A1 的中点到平面
的距离为
5 2

，
所以
B1 到平面
的距离为
5；则
n
解： Tr1

C4r
a
4r
x82r
x

1 2
r
，由
x82r
x
1 2
r

x3, 得r

2, 由C4r a4r =
3 知a= 1 22
，所以
景云制作
1
lim(a
n

a2




an
)

1
2 12

1 ，所以为
1。



（ 14）在 ABCD 中，AB a, AD b, AN 3NC ，M 为 BC 的中点，则 MN _______。
（用 a、b 表示）
解：由AN

3NC得4 AN

3AC
=3(a

b)
，
AM

a

1 2
b
，所以
MN

3 4
(a

b)

(a

1 2
b)


1 4
a

1 4
b
。
（15）函数
f x 对于任意实数 x 满足条件
（8）设
a

0
，对于函数
f
x

sin x sin x
a
(0

x

)
，下列结论正确的是（
）
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
解：令 t

sin
x, t
(0,1]，则函数
f
x

sin x sin x
a
(0

x

)
的值域为函数


1 5
。
D1
（16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方
体的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 的距离分别为 1，2 和 4，P 是正方体的其余四个顶点
DC
中的一个，则 P 到平面 的距离可能是：
①3；
②4； ③5； ④6； ⑤7
f
x 2
f
1
x
，若
f
1 5, 则
f f 5 __________。
解：由
f
x 2
f
1
x
得
f x 4
f

1 x
2

f (x) ，所以
f (5)
f (1) 5 ，则
f
f
5
f (5)
f (1)
1 f (1 2)
3或 tan


1 3
，又
3 4


，所以 tan


1 3
为所求。
C1 A1 B1
B
景云制作
（Ⅱ）
5 sin 2
2
8sin
2
cos
2
11cos 2
2
8
=
5
1-
cos 2

4 sin
111+
cos 2
8
2
sin


2

2 cos
球的表面积公式 S 4 R2 ，其中 R 表示球的半径
球的体积公式 V

4 3

R3
，其中
R
表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
（1）复数 1
3i
等于（
）
3i
A． i
B． i
y

1

a t
,
t

(0,1]
的值域，又
a

0
，所以
y

1

a t
,
t

(0,1]
是一个减函减，故选
B。
（9）表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．
2 3

B．
1 3

C．
2 3

解：此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形，所以由 8
D． 2 32
3a2 4
D、B
的中点到平面
的距离为
3 2
，所以
C
到平面
的距离
为
3；C、A1 的中点到平面
的距离为
7 2
，所以
C1 到平面
的距离为
7；而
P
为
C、C1、B1、
D1 中的一点，所以选①③④⑤。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）（本大题满分 12 分）已知 3 4
芳香度分别为 0，1，2，3，4，5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要
随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之
和。
（Ⅰ）写出 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（Ⅱ）求 的数学期望 E 。（要求写出计算过程或说明道理）
D．
解： A [0, 2] ， B [4, 0]，所以 CR A B CR{0}，故选 B。
（3）若抛物线
y2

2 px 的焦点与椭圆
x2 6

y2 2
1的右焦点重合，则
p 的值为（
）
A． 2
B． 2
C． 4
D． 4
解：椭圆
x2 6

y2 2
1的右焦点为(2,0)，所以抛物线

2
3 知，a 1，
则此球的直径为 2 ，故选 A。
景云制作
x y 1 0
（10）如果实数
x、y
满足条件

y 1 0
，那么 2x y 的最大值为（ ）
x y 1 0
A． 2
B．1 C． 2
D． 3
解：当直线 2x y t 过点(0，-1)时， t 最大，故选 B。
a
2
b
2

a2
2
b2
等号成立的条件，故选
B。
（5）函数
y

2x, x 0 x2 , x 0
的反函数是（
）

A．y



x 2
,
x

0
x,x 0
B．y



2x, x 0 x,x 0

C．y


x 2
,
x

0
x, x 0
解：（Ⅰ）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
P112232211 15 15 15 15 15 15 15 15 15
（Ⅱ）
E

1
1 15

2

1 15

3

2 15

4

2 15

5

3 15

6
2 15

7

2 15

8
2 15

9

1 15

5P
（19） （本大题满分 12 分）如图，P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF
（11）如果 A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2 的三个内角的正弦值，则
（）
A．A1B1C1 和 A2B2C2 都是锐角三角形
B．A1B1C1 和 A2B2C2 都是钝角三角形
C． A1B1C1 是钝角三角形， A2B2C2 是锐角三角形
D． A1B1C1 是锐角三角形， A2B2C2 是钝角三角形

, tan
cot


10 3
（Ⅰ）求 tan 的值；
（Ⅱ）求
5 sin 2
2
8sin
2
cos
2
11cos 2
2
8
的值。
2
sin


2

解：(Ⅰ)由
tan

cot


10 3
得 3 tan2

10 tan
3

0 ，即
tan
6
)
C．
y

sin(2x