D_备考2019年中考压轴题专项突破训练：圆(提高篇)(附答案)
2019年中考数学压轴题专项突破训练：圆(提高篇)附解析
2019年中考数学压轴题专项突破训练：圆（提高篇）附解析1．（2019•石景山区一模）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线CD，过点B作BE⊥CD于点E，延长EB交⊙O于点F，连接AC，AF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接BC，若⊙O的半径为5，tan∠CAF＝2，求BC的长．解：（1）证明：连接CO并延长交AF于点G，如下图∵CD是⊙O的切线，∴∠ECO＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°．∵BE⊥CD，∴∠CEF＝90°．∴四边形CEFG是矩形．∴GF＝CE，∠CGF＝90°．∴CG⊥AF．∴．∴．即得证．（2）解：连接BC，如下图∵CG⊥AF，∴．∴∠CBA＝∠CAF．∴tan∠CBA＝tan∠CAF＝2．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．在Rt△CBA中，设BC＝x，AC＝2x，则．∴x＝2即BC的长为2．2．（2019•余姚市一模）如图，在R△ABC中，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径作⊙O，交BC于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：直线EF与⊙O相切；（2）若CE＝2，EF＝1，求弧DE的长．解：（1）连接OE，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AB，∴∠OCE＝∠B，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠B＝∠OEC，∵OE∥AB，∴EF⊥OE，∴直线EF与⊙O相切；（2）连接DE，∵CD是⊙O的直径，∴DE⊥CE，∵CD＝BD，∴BE＝CE＝2，∵EF＝1，∴∠B＝30°，∴∠OCE＝30°，∴∠DOE＝2∠OCE＝60°，∵DE⊥CE，∠OCE＝30°，CE＝2，∴CD＝，∴OD＝，∴弧DE的长为＝π．3．（2019•上城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，与边AC交于点E，连结OD，OE．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠C＝55°，BC＝10，求扇形DOE的面积．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴＝，∴＝，∴EC＝BD．（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝55°，∵OB＝OD，OC＝OE，∴∠B＝∠CDB＝55°，∠C＝∠OEC＝55°，∴∠BOD＝∠EOC＝70°，∴∠DOE＝40°，＝＝∴S扇形ODE4．（2019•齐齐哈尔一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，BE＝AE＝2，以AE为直径作⊙O交AC于点F，交BC于点D，且点D为切点，连接AD、EF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求阴影部分面积．（结果保留π）（1）证明：连接OD交EF于M．∵BC切⊙O于D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠DAC＝∠ODA，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠DAC，∴AD平分∠ABC．（2）连接OF．∵AE是直径，∴∠AFE＝90°，∵EF∥BC，∴＝＝，∵∠C＝∠AFE＝∠ODC＝90°，∴四边形DMFC是矩形，∴DM＝CF＝AF，∵OM＝DM＝OD＝OE，∴∠OEM＝30°，∴∠EOF＝120°，∵BE＝AE＝2，∴OE＝2，∴OM＝1，EM＝，EF﹣2，∴S阴＝S扇形OEF﹣S△OEF＝﹣×2×1＝﹣．5．（2019•余姚市一模）如图1，在矩形ABCD中，点E以lcm/s的速度从点A向点D 运动，运动时间为t（s），连结BE，过点E作EF⊥BE，交CD于F，以EF为直径作⊙O．（1）求证：∠1＝∠2；（2）如图2，连结BF，交⊙O于点G，并连结EG．已知AB＝4，AD＝6．①用含t的代数式表示DF的长②连结DG，若△EGD是以EG为腰的等腰三角形，求t的值；（3）连结OC，当tan∠BFC＝3时，恰有OC∥EG，请直接写出tan∠ABE的值．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠ADC＝90°，∴∠AEB＝∠1，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∵∠2+∠DEF＝90°，∴∠AEB＝∠2，∴∠1＝∠2；（2）①∵∠A＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠EFD，∴△ABE∽△DEF，∴，∵AB＝4，AE＝t，DE＝6﹣t，∴，∴DF＝；②当EG＝ED时，∴∠EGD＝∠EDG，∵∠EGD＝∠EFD，∠EDG＝∠EFG，∴∠EFD＝∠EFG＝∠AEB，∵∠A＝∠EDF＝∠BEF，∴△BAE∽△EDF∽△BEF，∴＝＝，∴AE＝DE，∴t＝6﹣t，∴t＝3；当GE＝GD时，∴∠GED＝∠GDE，∵∠EDG＝∠BFE，∠GED＝∠BFC，∴∠BFE＝∠BFC，∵∠BEF＝∠C＝90°，BF＝BF，∴△BEF≌△BCF（AAS），∴BE＝BC＝6，∵AB2+AE2＝BE2，∴42+t2＝62，∴t＝2；综上所述，若△EGD是以EG为腰的等腰三角形，t的值为3或2；（3）tan∠ABE＝1，理由：如图2，过O作OH⊥CD于H，∵tan∠BFC＝＝3，设CF＝a，BC＝3a，∵AE＝t，∴DE＝3a﹣t，∵OH⊥CD，AD⊥CD，∴OH∥DE，∵OF＝OE，∴OH＝DE＝，∵OC∥EG，EG⊥FG，∴OC⊥FG，∴tan∠COH＝tan∠BFC＝3，∴CH＝3OH＝，FH＝，∴DF＝7a﹣3t，AB＝8a﹣3t，由△ABE∽△DEF，得，，即，解得：t1＝2a，t2＝a，∴tan∠ABE＝＝＝＝1．6．（2019•双流区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为直径作⊙O，以直角边AC为底边向右侧作等腰△ACD，使AB＝AD＝CD，连接OD交AC于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若tan∠ABC＝2，求证：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC＝2，求EF的长．解：（1）如图1，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴AO＝CO，又∵AD＝CD，OD＝OD，∴△AOD≌△COD（SSS），∴∠ADE＝∠CDE，即DE为∠ADC的平分线又∵△ACD是等腰三角形∴点E为AC的中点，且DE⊥AC，又∵点O为AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥BC，即OD∥BC；（2）在Rt△ABC中，∵tan∠ABC＝＝2，∴设BC＝a，则AC＝2a，∴AD＝AB＝＝a，∵OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC＝a，AE＝CE＝AC＝a，AO＝BO＝AB＝a，在Rt△AED中，DE＝＝2a，在△AOD中，AO2+AD2＝（a）2+（a）2＝a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2＝a2，∴AO2+AD2＝OD2，∴△AOD为直角三角形，∴∠OAD＝90°，∴DA与⊙O相切；（3）如图2，连接AF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠BAD，又∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴＝，即DF•BD＝AD2，又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴＝，即OD•DE＝AD2，∴DF•BD＝OD•DE，即＝，又∵∠EDF＝∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∴＝，∴EF＝，∵BC＝2，∴AB＝AD＝2，OD＝5，ED＝4，BD＝2，OB＝，∴EF＝＝．7．（2019•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG，DC的延长线相交于点F．（1）若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径；（2）求证：∠FGC＝∠AGD；（3）若直径AB＝10，tan∠BAC＝，弧AG＝弧BG，求DG的长．（1）解：连接OC．如图1所示：设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，∴DE＝EC＝4，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴R2＝（R﹣2）2+42，解得：R＝5，即⊙O的半径为5；（2）证明：连接AD，如图2所示：∵弦CD⊥AB∴，∴∠ADC＝∠AGD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD；（3）解：如图2中，连接OG，作GH⊥DF于H．∵AB＝10，tan∠BAC＝＝，∴BC＝2，AC＝4，∵AB⊥CD，∴DE＝CE＝＝4，∴BE＝＝2，OE＝3，∵，∴OG⊥AB，∴∠GOE＝∠OEH＝∠GHE＝90°，∴四边形OEHG是矩形，GH＝OE＝3，OG＝EH＝5，DH＝9，在Rt△DGH中，DG＝＝＝3．8．（2019•定兴县一模）如图1，四边形ABCD是正方形，且AB＝8，点O与B重合，以O为圆心，作半径长为5的半圆O，交BC于点E，交AB于点F，交AB的延长线于点G．发现：M是半圆O上任意一点，连接AM，则AM的最大值为13 ；思考：如图2，将半圆O绕点F逆时针旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当α＝90°时，求半圆O落在正方形内部的弧长；（2）在旋转过程中，若半圆O与正方形ABCD的边相切时，请直接写出此时点A到切点的距离．（注：sin37°＝，sin53°＝，tan37°＝）解：发现：当点M与点G重合时，AM有最大值，最大值＝AB+OG＝8+5＝13，故答案为：13；思考：（1）如图①，设半圆O交AD于点N，连接ON，过点O作OH⊥AD于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∵半圆O绕点F逆时针旋转90°，∴∠OFA＝90°，∴四边形HAFO是矩形，∴AH＝OF＝5，OH＝AF＝AB﹣BF＝3，∴sin∠HNO＝＝．∴∠HNO＝37°，∵AH∥OF，∴∠NOF＝∠HNO＝37°，∴半圆O落在正方形内部的的长＝＝；（2）∵由（1）知，当α＝90°时，半圆O与AB相切，此时切点为点F，∴AF＝3；如图2，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，AR，并延长RO交AB于点T，∴∠ORC＝90°．∵DC∥AB，∴∠OTF＝90°，∴四边形RCBT是矩形，∴RT＝CB＝8，∴OT＝8﹣5＝3，∴FT＝＝4，AT＝AB﹣BT＝AB﹣（BF﹣FT）＝7，∴AR＝；∴如图3，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过点F作FS⊥PO于点S，则四边形PAFS是矩形，∴PS＝AF＝3，AP＝SF，∴SO＝PO﹣PS＝5﹣3＝2，∴SF＝＝＝．∴AP＝SF＝．综上所述，点A到切点的距离为3或或．9．（2019春•江都区校级月考）如图，在直角坐标系中，⊙M的圆心M在y轴上，⊙M 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，过点A作⊙M的切线AP交y轴于点P，若点C的坐标为（0，﹣2），点A的坐标为（4，0），（1）求证：∠PAC＝∠CAO；（2）求直线PA的解析式；（3）若点Q为⊙M上任意一点，连接OQ、PQ，问的比值是否发生变化？若不变求出此值；若变化，说明变化规律．证明：（1）∵AM＝MC∴∠MAC＝∠MCA，∵AP是⊙M的切线∴∠PAM＝90°∴∠CAP+∠MAC＝90°，且∠MCA+∠CAO＝90°∴∠PAC＝∠CAO（2）∵点C的坐标为（0，﹣2），点A的坐标为（4，0），∴AO＝4，OC＝2在Rt△AMO中，AM2＝MO2+AO2，∴AM2＝（AM﹣2）2+16∴AM＝5∴MC＝5，MO＝3∴点M（0，3）∵∠POA＝∠PAM＝90°∴∠PAO+∠APM＝90°，∠APM+∠AMP＝90°∴∠PAO＝∠PMA，且∠AOM＝∠AOP＝90°∴△MOA∽△AOP∴∴∴OP＝∴点P坐标（0，）设直线PA的解析式为：y＝kx﹣，且过点A（4，0）∴0＝4k﹣∴k＝∴直线PA的解析式为：y＝x﹣（3）不变，理由如下：当点Q与点C重合时，＝＝，当点Q与点D重合时，＝＝，当点Q与点C、点D不重合，如图，∵∠AMP＝∠AMP，∠MAP＝∠MOA＝90°∴△MOA∽△MAP∴，且MQ＝MA∴，且∠QMP＝∠QMO∴△QMO∽△PMQ∴综上所述：的比值不变．10．（2019•红桥区一模）已知AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．（Ⅰ）如图①，若∠BDH＝65°，求∠ABH的大小；（Ⅱ）如图②，若C为弧BD的中点，求∠ABH的大小．解：（Ⅰ）如图1，连接OD．∵O为圆心，EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF．又BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，∵OB＝OD，∴∠DBH＝∠OBD，∵∠DBH＝90°﹣∠BDH＝90°﹣65°＝25°，∴∠ABH＝2∠DBH＝50°；（Ⅱ）连接OD，OC，CD，如图2，则∠DBH＝∠COD，∵O为圆心，EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝90°﹣∠COD，∴∠ODC＝90°﹣∠DBH，∵∠ODC＝90°﹣∠HDC，∴∠HDC＝∠DBH，∵C为的中点，∴∠DBH＝∠BDC，∴∠DBH＝∠BDC＝∠HDC，∵∠DBH+∠BDC+∠HDC＝90°，由（1）知，∠ABH＝2∠DBH＝60°．11．（2019•长清区一模）如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F，且与⊙O的切线CD 互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠EAC＝∠CAB；（2）若CD＝4，AD＝8，求AB的长和tan∠BAE的值．解：（1）证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AE，∴OC∥AE，∴∠1＝∠3，∵OC＝OA，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB；（2）连接BC．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∵AC2＝AD2+CD2＝42+82＝80，∴AB＝＝10，∴⊙O的半径为10÷2＝5．连接CF与BF．∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠AFC＝180°，∵∠DFC+∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC，∵∠2+∠ABC＝90°，∠DFC+∠DCF＝90°，∴∠2＝∠DCF，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF，∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC，∴，∴DF＝＝2，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°，∴BF＝＝8，∴tan∠BAD＝．12．（2019•包河区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，EO⊥AB，垂足为O，EO交AC于E．过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：∠AEO+∠BCD＝90°；（2）若AC＝CD＝3，求⊙O的半径．解：（1）连接OC，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵EO⊥AB，∴∠A+∠AEO＝90°，∴∠AEO＝∠ABC，∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠AEO＝∠OCB，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠AEO+∠BCD＝90°；（2）∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵AC＝CD，∴∠A＝∠D，∵∠A+∠D+∠ACO+∠OCD＝180°，∴3∠A+90°＝180°，∴∠A＝30°，∵AC＝3，∴AB＝＝＝2，13．（2019•虞城县一模）已知A是⊙0的直径，C是圆周上的动点，P是弧ABC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC．（2）填空：①如图2，PC交AB于点D，当∠A的度数为°时，OD＝CD；②若tan A＝，OA＝5，则BC＝ 6 ．（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧ABC的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：①连接OP，如图2，若OD＝CD，则∠DOC＝∠DCO，∵∠A＝∠OCP，∴∠COD＝∠A，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A，∴∠POD＝2∠A，∴∠AOP＝∠COP＝3∠A，∵∠AOP+∠POB＝180°，∴3∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝36°；②解；如图3，过PE⊥AB于E，∵tan A＝＝，∴设PE＝a，则AE＝2a，在RT△OPE中，（2a﹣5）2+a2＝52，解得a＝4，∴OE＝＝3，过C作CF⊥AB于F，∴＝tan∠CBF＝tan∠POE＝＝，设CF＝4b，BF＝3b，∵OB＝OC＝5，∴在RT△OCF中，（5﹣3b）2+（4b）2＝52，解得a＝，∴BC＝5b＝6．故答案为6．14．（2019•虞城县一模）问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为等腰直角三角形，BC、CD、AC的数量关系为BC+CD＝AC；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系．拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝或．解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，解得，PQ＝，如图4，当点E在直线AC的，右侧时，连接CQ、PC，由（2）得，PQ＝（CQ﹣AQ）＝7．解得，PQ＝，故答案为：或．15．（2019•南昌一模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以AB为直径的半圆O 在矩形ABCD的外部，将半圆O绕点A顺时针旋转a度（0°≤a≤180°）．（1）在旋转过程中，B′C的最小值是 1 ，如图2，当半圆O的直径落在对角线AC上时，设半圆O与AB的交点为M，则AM的长为．（2）如图3，当半圆O与直线CD相切时，切点为N，与线段AD的交点为P，求劣弧AP的长；（3）在旋转过程中，当半圆弧与直线CD只有一个交点时，设此交点与点C的距离为d，请直接写出d的取值范围．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，在旋转过程中，当点B′落在对角线AC上时，B′C的值最小，最小值为1；在图2中，连接B′M，则∠B′MA＝90°．在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5．∵∠B＝∠B′MA＝90°，∠BCA＝∠MAB′，∴△ABC∽△AMB′，∴＝，即＝，∴AM＝；故答案为：1，；（2）在图3中，连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G．∵半圆与直线CD相切，∴ON⊥DN，∴四边形DGON为矩形，∴DG＝ON＝2，∴AG＝AD﹣DG＝1．在Rt△AGO中，∠AGO＝90°，AO＝2，AG＝1，∴∠AOG＝30°，∠OAG＝60°．又∵OA＝OP，∴△AOP为等边三角形，∴劣弧AP的长＝＝π；（3）由（2）可知：△AOP为等边三角形，∴DN＝GO＝OA＝，∴CN＝CD+DN＝4+，当点B′在直线CD上时，如图4所示．在Rt△AB′D中（点B′在点D左边），AB′＝4，AD＝3，∴B′D＝＝，∴CB′＝4﹣，∵AB′为直径，∴∠ADB′＝90°，∴当点B′在点D右边时，半圆交直线CD于点D、B′．∴当半圆弧与直线CD只有一个交点时，4﹣≤d＜4或d＝4+．16．（2019•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝10，CD＝15， E是边CD上一点，且DE＝5，P是射线AD上一动点，过A，P，E三点的⊙O交直线AB于点F，连结PE，EF，PF，设AP＝x．（1）当x＝5时，求AF的长．（2）在点P的整个运动过程中．①tan∠PFE的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围；②当矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上时，求x的值．（3）若点A，H关于点O成中心对称，连结EH，CH．当△CEH是等腰三角形时，求出所有符合条件的x的值．（直接写出答案即可）解：（1）如图1中，连接AE．在Rt△DPE中，∵DE＝5，DP＝AD﹣AP＝5，∴PE＝5，在Rt△ADE中，AE＝＝5，∵∠PAF＝90°，∴PF是⊙O的直径，∴∠PEF＝∠ADE＝90°，∵∠DAE＝∠PFE，∴△ADE∽△FEP，∴＝，∴＝，∴PF＝5，在Rt△PAF中，AF＝＝15；（2）①tan∠PFE的值不变．理由：如图1中，∵∠PFE＝∠DAE，∴tan∠PFE＝tan∠DAF＝＝；②如图2中，当⊙O经过A、D时，点P与D重合，此时m＝10．如图3中，当⊙O经过A、B时，在Rt△BCE中，BE＝＝10，∵tan∠PFE＝，∴PE＝5，∴PD＝＝5，∴x＝PA＝5．如图4中当⊙O经过AC时，作F M⊥DC交DC的延长线于M．根据对称性可知，DE＝CM＝BF＝5，在Rt△EFM中，EF＝＝5，∴PE＝EF＝，∴PD＝＝，∴x＝AD﹣PD＝，综上所述，x＝10或5或时，矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上（3）如图5中，当EC＝CH＝10时，作HI⊥CD交DC的延长线于I．∵△PDE∽△EIF，∴＝，∴EI＝20﹣2x，∴CI＝20﹣2x﹣10＝10﹣2x，在Rt△CIH中，102＝（10﹣2x）2+（10﹣x）2，解得x＝2或10（舍弃）．如图6中当EC＝EH＝10时，在Rt△AEH中，AH＝＝＝15，易知PF＝AH＝15，∵PE：EF：PF＝1：2：，∴PE＝3，在Rt△PDE中，DP＝＝2，∴x＝PA＝AD﹣PD＝10﹣2；如图7中当HC＝HE时，延长FH交CD于M，则EM＝CM＝BF＝5，∵△PDE∽△EMF，∴＝，∴＝，∴PD＝，∴x＝10﹣＝如图8中，当EH＝EC时，连接FH，PH，延长CD交FH于M．∵△PDE∽△EMF，∴＝，∴＝，∴EM＝2x﹣20，在Rt△EHM中，102＝（x﹣10）2+（20﹣2x）2解得：x＝10+2或10﹣2（舍弃），综上所述，满足条件的x的值为2或10﹣2或或10+2．17．（2019春•宜昌期中）如图，已知：矩形ABCD中，F是对角线BD上一点，以F为圆心，FB为半径作圆与边AD相切于E，边AB与圆F交于另一点G．（1）若四边形BGEF是菱形，求证∠EFD＝60°；（2）若AB＝15，AD＝36，求AE的长；（3）若BD与圆F交于另一点H，求证：．（1）证明：在菱形BGEF中，BG＝GE＝EF＝FB，∵FG＝FE＝FB，∴△GEF和△BGF都是等边三角形，∴∠BFG＝∠GFE＝60°，∴∠EFD＝180°﹣60°﹣60°＝60°；（2）设EF＝BF＝r，AE＝x，AB＝15，AD＝36，由勾股定理得，DB＝39，∵AD是圆的切线，∴FE⊥AD，又BA⊥AD，∴EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴＝＝，即＝＝解得，r＝，x＝10，∴AE＝10；（3）连BE，EH，∵BH为直径，∴∠BEH＝90°，∴∠BEH＝∠EAG，∵四边形GBHE是圆内接四边形，∴∠BHE＝∠EGA，∴△AGE∽△EHB，∴＝，∵AD是圆的切线，∴∠DEH＝∠DBE，又∠EHD＝∠BDE，∴△DEH∽△DBE，∴＝，∴＝，∴．。
人教中考数学(圆的综合提高练习题)压轴题训练及详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．3831343n 【解析】 分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ． 本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1. ∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵h ＝32a 2，∴1＝32－1)2＋14a 22， 解得a 283 . (3)同(2)，连结B n O ，设B n C n 与PQ 交于点F ，则有B n O 2＝OF 2＋B n F 2，即1＝(nh －1)2＋212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . ∵h ＝32 a n ，∴1＝14a n 2＋2312n na ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 解得a n ＝24331n n + .2．如图1O ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O 于点D ．()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；()2如图3，当DC AC =时，延长AB 至点E ，使12BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O 的切线；②求PC 的长．【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②．【解析】分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出OBD 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==，求出答案即可； ②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ，//OP PD PD AB ⊥，，90POB ∴∠=，O 的直径12AB =，6OB OD ∴==，在Rt POB 中，30ABC ∠=， 3tan30623OP OB ∴=⋅=⨯=， 在Rt POD 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=；()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，DC AC =，30DBC ABC ∴∠=∠=， 60ABD ∴∠=，OB OD =，OBD ∴是等边三角形，OD FB ∴⊥，12BE AB =， OB BE ∴=，//BF ED ∴，90ODE OFB ∴∠=∠=，DE ∴是O 的切线；②由①知，OD BC ⊥，3cos306332CF FB OB ∴==⋅=⨯= 在Rt POD 中，OF DF =， 13(2PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=．点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD 是等边三角形是解题关键．3．已知：AB 是⊙0直径,C 是⊙0外一点,连接BC 交⊙0于点D ，BD=CD,连接AD 、AC ．(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD(2)如图2,过点C 作CF ⊥AB 于点F,交⊙0于点E,延长CF 交⊙0于点G.过点作EH ⊥AG 于点H ，交AB 于点K,求证AK=2OF ；(3)如图3,在(2)的条件下,EH 交AD 于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL 的长.图1 图2 图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12105 【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB =90°，再证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论；（2）连接BE ．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB =∠BEG ．再证△KFE ≌△BFE ，得到BF =KF =BK ．由OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，即可得到结论． （3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．先证CM 垂直平分AG ，得到AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．再证∠GAF =∠GCM =α．通过证明△AGB ≌△CMG ，得到BG =GM =12AG ．再证明∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 可得GF =2a ，AF =4a ． 由OK =1，得到OF =a +1，AK =2（a +1），AF = 3a +2，得到3a +2=4a ，解出a 的值，得到AF ，AB ，GF ，FC 的值．由tanα=tan ∠HAK =12HK AH =， AK =6，可以求出 AH 的长．再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD∠+∠-∠⋅∠，得到∠GAD =45°，则AL =2AH ，即可得到结论．试题解析：解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°．∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ．（2）连接BE ．∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG ．∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°．∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF ．∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =BK ．∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF ．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．∵AC =CG ， ∴点C 在AG 的垂直平分线上．∵ OA =OG ，∴点O 在AG 的垂直平分线上， ∴CM 垂直平分AG ，∴AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．∵AF ⊥CG ，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF =∠GCM =α．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AGB = 90°，∴∠AGB =∠CMG =90°．∵AB =AC =CG ，∴△AGB ≌△CMG ，∴BG =GM=12AG ． 在Rt △AGB 中， 1tan tan 2GB GAB AG α∠=== ． ∵∠AMC =∠AGB = 90°，∴BG ∥CM ， ∴∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 1tan tan 2BF BGF GF α∠===，∴GF =2a ，1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ，AF =4a ．∵OK =1，∴OF =a +1，AK =2OF =2（a +1），∴AF =AK +KF =a +2（a +1）=3a +2，∴3a +2=4a ，∴a =2， AK =6，∴AF =4a =8，AB =AC =CG =10，GF =2a =4，FC =CG -GF =6． ∵tanα=tan ∠HAK =12HK AH =，设KH =m ，则AH =2m ，∴AK 22(2)m m +=6，解得：m 65，∴AH =2m 125．在Rt △BFC 中，1tan 3BF BCF FC ∠== ．∵∠BAD +∠ABD =90°， ∠FBC +∠BCF =90°，∴∠BCF =∠BAD ，1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠=1123111123+=-⨯，∴∠GAD=45°，∴HL=AH，AL=2AH= 1210．54．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线与大圆交于点B，点D 在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的延长线与大圆相交于点C，且CE⊥BD．找出图中相等的线段并证明．【答案】见解析【解析】试题分析：由AE是小⊙O的直径，可得OA=OE，连接OF，根据切线的性质，可得OF⊥BD，然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OF∥CE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD．然后连接OD、OC，可证得△AOD≌△EOC，则可得BC=AD=CE=AE．试题解析：图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．证明如下：∵AE是小⊙O的直径，∴OA=OE．连接OF，∵BD与小⊙O相切于点F，∴OF⊥BD．∵BD是大圆O的弦，∴DF=BF．∵CE⊥BD，∴CE∥OF，∴AF=CF．∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD=BC，AB=CD．∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，∴AE=EC．连接OD、OC，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD．∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，∴∠AOC=∠EOC，∴△AOD≌△EOC，∴AD=CE．∴BC=AD=CE=AE．【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解．5．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作AC、CB、BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为；（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）23nπ． 【解析】 试题分析：（1）先求出AC 的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论； （2）先判断出莱洛三角形等边△DEF 绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O 重合旋转一周点I 的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC 的边长为3，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，AC BC AB ==，∴AC BC l l ==AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为AC BC AB l l l ++=3π．故答案为3π；（2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG =120°，∴S 扇形BAG =21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ．∵I 是△ABC 的重心也是内心，∴∠DAI =30°，AD =12AC =32，∴OI =AI =3230AD cos DAI cos ∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I 所经过的路径是以O 为圆心，OI 为半径的圆周，∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为n •2π•3=23n π．故答案为23n π．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的题目．6．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD＝2，AC＝4，BD＝6，求⊙O的半径．【答案】（1）详见解析；（2）35.【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD⊥AD ，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵OF⊥BD∴DF＝BF＝12BD＝3∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°∴AD＝22AC CD＝25∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD∴BFAC = OB AD即34=25∴OB＝35∴⊙O的半径为35．【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF 上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当AB=AC时，若CE=2，EF=3，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（235．【解析】【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD 225DE CE =-=，证明△CDE ∽△DBE ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ． ∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°． ∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3． ∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°．∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD 5335⨯==，∴⊙O 的半径35=．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．8．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ，如果以P 为端点的任意一条射线与图形W 最多只有一个公共点，那么称点P 独立于图形W ．（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点 B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于AB的点是；（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y=2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标x p的取值范围；（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t＞-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．【答案】（1）P2，P3；（2）x P＜-5或x P＞-53．（3）-3＜t＜2或2＜t＜2【解析】【分析】（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断；（2）求出直线DE，直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；（3）求出三种特殊位置时t的值，结合图象即可解决问题.【详解】（1）由题意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于AB的点是P2，P3．（2）∵C（-3，0），D（0，3），E（3，0），∴直线CD的解析式为y=x+3，直线DE的解析式为y=-x+3，由283y xy x+⎧⎨+⎩＝＝，解得52xy-⎧⎨-⎩＝＝，可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5，由283y xy x+⎧⎨-+⎩＝＝，解得53143xy⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-53，∴满足条件的点P的横坐标x p的取值范围为：x P＜-5或x P＞-5．3（3）如图3-1中，当直线KN与⊙H相切于点E时，连接EH，则EH=EK=1，HK=2，∴OT=KT+HK-OH=3+2-4=2-1，∴T（0，1-2），此时t=1-2，∴当-3＜t＜1-2时，⊙H上的所有点都独立于图形W．如图3-2中，当线段KN与⊙H相切于点E时，连接EH．22∴T（0，22如图3-3中，当线段MN与⊙H相切于点E时，连接EH．22∴T（0，22∴当2＜t＜2时，⊙H上的所有点都独立于图形W．综上所述，满足条件的t的值为-3＜t＜2或2＜t＜2【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形W的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题.9．对于平面直角坐标系xoy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N 为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P,Q）．已知点A（4,0），B（0,4），连接AB．（1）d（点O，AB）= ；（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）=0，求r的取值范围；（3）点C（－3，－2），连接AC，BC，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，d（⊙T，△ABC），且0<d <2，求t的取值范围．【答案】（1）22；（2）224r ≤≤；（3）25252t --<<--或6<r <8． 【解析】 【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求； （2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2， OE=22，即可求解；（3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可． 【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB =22442+=22; （2）如图，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4， ∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0， ∴224r ≤≤；（3）当⊙T 在△ABC 左侧时， 如图，当⊙T 与BC 相切时，d=0, BC=2236+=35,过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF THBE BC =, 即2=635, ∴TH=5, ∵HO ∥CE, ∴△BHO ∽△BEC, ∴HO=2， 此时T(-5-2，0); 当d=2时，如图，同理可得，此时T （252-）； ∵0<d <2，∴25252t -<<-； 当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8. ∵0<d <2， ∴6<r <8；综上，25252t --<<--或6<r <8． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．10．如图，是大半圆的直径，是小半圆的直径，点是大半圆上一点，与小半圆交于点，过点作于点.（1）求证：是小半圆的切线； （2）若，点在上运动（点不与两点重合），设，.①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当时，求两点之间的距离.【答案】（1）见解析；（2）①，，②两点之间的距离为或. 【解析】 【分析】（1）连接CO 、CM ，只需证到CD ⊥CM ．由于CD ⊥OP ，只需证到CM ∥OP ，只需证到CM是△AOP的中位线即可．（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．②当y=3时，得到-x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．【详解】（1）连接，如图1所示∵是小半圆的直径，∴即∵∴∵∴∴，∵∴，∴∴.，即∵经过半径的外端，且∴直线是小半圆的切线.（2）①∵，，∴∴∴∽∴∴∵,,，∴当点与点重合时，；当点与点重合时，∵点在大半圆上运动（点不与两点重合），∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是.②当时，解得,Ⅰ当时，如图2所示在中，∵，∴，∴∵，∴是等边三角形∵∴∴.Ⅱ当时，如图3所示，同理可得∵∴∴过点作，垂足为，连接，如图3所示∵，同理在中，∵，∴综上所述，当时，两点之间的距离为或.【点睛】考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．。
2019年人教版九年级数学《圆的专项》压轴大题专项训练题(含答案)
BE＝
2．如图，在 Rt △ ABC中，∠ ACB＝ 90°， D是 AC上一点，过 B， C，D三点的⊙ O交 AB于点 E，连接 ED， EC，点 F 是 线段 AE上的一点，连接 FD，其中∠ FDE＝∠ DCE． （ 1）求证： DF是⊙ O的切线． （ 2）若 D是 AC的中点，∠ A＝ 30°， BC＝ 4，求 DF的长．
∵四边形 ABCD为菱形，
参考答案
∴ AB＝ BC＝ CD＝DA， AD∥BC，∠ DAB＝∠ C，
∵ BF＝ BE， ∴ AB﹣ BF＝ BC﹣BE， 即 AF＝CE， ∴△ DAF≌△ DCE（ SAS）， ∴∠ DFA＝∠ DEC， ∵ AD是⊙ O的直径， ∴∠ DFA＝ 90°， ∴∠ DEC＝ 90° ∵ AD∥ BC， ∴∠ ADE＝∠ DEC＝ 90°， ∴ OD⊥ DE， ∵ OD是⊙ O的半径， ∴ DE是⊙ O的切线；
12．如图，已知 AB是圆 O的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 H，在 CD上有点 N满足 CN＝ CA， AN交圆 O于点 F，过点 F 的 AC的平行线交 CD的延长线于点 M，交 AB的延长线于点 E （ 1）求证： EM是圆 O的切线； （ 2）若 AC： CD＝ 5： 8，AN＝ 3 ，求圆 O的直径长度； （ 3）在（ 2）的条件下，直接写出 FN的长 度．
5．如图，在△ ABC中，∠ C＝ 90°，点 D是 AB边上一点，以 过点 E作 EH⊥ AB于点 H，连接 BE． （ 1）求证： BC＝BH； （ 2）若 AB＝ 5，AC＝ 4，求 CE的长．
BD为直径的⊙ O与边 AC相切于点
E，与边 BC交于点 F，
6．如图， Rt△ ABC中，∠ B＝ 90°， O是 AB上的一点，以 O为圆心， OB为半径的圆与 AB交于点 E，交 AC于点 D， 其中 DE∥ OC． （ 1）求证： AC为⊙ O的切线；
人教备战中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练及答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，∴△OAC是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；∴AC=1OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，2而OC是⊙O的半径，故PC与⊙O的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣23）；劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣23）；劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，23）；优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，23）；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）．【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．2．（1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°.【解析】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC∴AOD BOC ∆≅∆∴AO=OB（2）解：∵AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ， ∴PA ⊥AB ，∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°，∴∠AOP=50°，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.3．如图，已知Rt △ABC 中，C=90°，O 在AC 上，以OC 为半径作⊙O ，切AB 于D 点，且BC=BD ．（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）若BC=6，sinA=35，求⊙O 的半径； （3）在（2）的条件下，P 点在⊙O 上为一动点，求BP 的最大值与最小值.【答案】（1）连OD ，证明略；（2）半径为3；（3）最大值5，5【解析】分析：（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.（2）由sinA=35且BC=6可知，AB=10且cosA=45，然后求出OD的长度即可.（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.详解：（1）如图：连接OD、OB.在△ODB和△OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;∴△ODB≌△OCB（SSS）.∴∠ODB=∠C=90°.∴AB为⊙O的切线.（2）如图：∵sinA=35，∴CB3AB5,∵BC=6，∴AB=10,∵BD=BC=6,∴AD=AB-BD=4,∵sinA=35，∴cosA=45，∴OA=5，∴OD=3，即⊙O的半径为：3.（3）如图：连接OB，交⊙O为点E、F，由三角形的三边关系可知：当P点与E点重合时，PB取最小值.由（2）可知：OD=3，DB=6,∴OB=223635+=.∴PB=OB-OE=353-.当P点与F点重合时，PB去最大值，PB=OP+OB=3+35.点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.4．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．（1）如图1，求证：CE=CD；（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠53，EG=2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α，由（1）CE=CD，用α表示∠CAE，∠BAC，而∠BAD=∠BAC+∠CAE.（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，设NG=53m，可得AN=11m，利用直角AGM,AEM，勾股定理可以算出m的值并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O.∴∠B+∠D=180°，∵∠B=∠AEC，∴∠AEC+∠D=180°，∵∠AEC+∠CED=180°，∴∠D=∠CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，由（1）CE=CD，∴∠ECD=2α，∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，∴∠CAE+∠AEC=120°，∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，∵∠ACD=2∠BAC，∴∠BAC=30°+α，∴∠BAD =∠BAC +∠CAE =30°+α+30°﹣α=60°．（3）解：连接AG ，作GN ⊥AC ，AM ⊥EG ，∵∠CED =∠AEG ，∠CDE =∠AGE ，∠CED =∠CDE ，∴∠AEG =∠AGE ，∴AE =AG ，∴EM=MG =12EG =1， ∴∠EAG =∠ECD =2α，∴∠CAG =∠CAD +∠DAG =30°﹣α+2α=∠BAC ，∵tan ∠BAC 53， ∴设NG=3，可得AN =11m ，AG 22AG AM -14m ， ∵∠ACG =60°，∴CN=5m ，AM 3，MG 22AG AM -m =1， ∴m =12， ∴CE=CD =CG ﹣EG =10m ﹣2=3， ∴AE 22AM EM +221+43（）=7．5．如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ，连接BD ．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC+AD= BD ．（2）探究证明将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD 之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当△ABD 面积取得最大值时，若CD 长为1，请直接写BD 的长．【答案】（1）2；（2）AD ﹣DC=2BD ；（3）BD=AD=2+1．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC ，AD ，BD 之间的数量关系（2）过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ，证明CDB AEB ∆∆≌，得到CD AE =，EB BD =，根据BED ∆为等腰直角三角形，得到2DE BD =，再根据DE AD AE AD CD =-=-，即可解出答案.（3）根据A 、B 、C 、D 四点共圆，得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==，由BD AD =即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：BAE BCD ∆∆≌，∴AE=CD ，BE=BD ，∴CD+AD=AD+AE=DE ，∵BDE ∆是等腰直角三角形，∴2BD ，∴2BD ，2．（2）2AD DC BD -=．证明：如图，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ．∵90ABC DBE ∠=∠=︒，∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠，∴ABE CBD ∠=∠．∵90BAE AOB ∠+∠=︒，90BCD COD ∠+∠=︒，AOB COD ∠=∠，∴BAE BCD ∠=∠，∴ABE DBC ∠=∠．又∵AB CB =，∴CDB AEB ∆∆≌，∴CD AE =，EB BD =，∴BD ∆为等腰直角三角形，2DE BD =． ∵DE AD AE AD CD =-=-， ∴2AD DC BD -=．（3）如图3中，易知A 、B 、C 、D 四点共圆，当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．此时DG ⊥AB ，DB=DA ，在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH == ∴21BD AD ==+．【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.6．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.理解：⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（223，13），（223，13）．【解析】试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．试题解析：（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ=，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM=，故点P的坐标（﹣，），（，）．考点：圆的综合题．7．如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒.（2）若2ABD BDC ∠=∠.①求证：CF 是O 的切线.②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ． 【详解】解：（1）AB 是O 的直径，且D 为O 上一点，90ADB ∴∠=︒，CE DB ⊥，90DEC ∴∠=︒，//CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒.（2）①如图，连接OC .OA OC =，12∴∠=∠.312∠=∠+∠，321∴∠=∠.42BDC ∠=∠，1BDC ∠=∠，421∴∠=∠，43∴∠=∠，//OC DB ∴.CE DB ⊥，OC CF ∴⊥.又OC 为O 的半径，CF ∴为O 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠，3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =483AD BD ∴==， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==.OC CF ⊥，90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==， 解得203CF =.【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．8．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ．（1）d （点O ，AB ）= ； （2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．【答案】（1）22；（2）224r ≤≤；（3）25252t --<<--或6<r <8．【解析】【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求；（2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2， OE=22，即可求解；（3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可．【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB =22442+=22; （2）如图，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4，∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0，∴224r ≤≤；（3）当⊙T 在△ABC 左侧时，如图，当⊙T 与BC 相切时，d=0,2236+35,过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF TH BE BC=, 即2635, ∴5∵HO ∥CE,∴△BHO ∽△BEC,∴HO=2，此时5，0);当d=2时，如图，同理可得，此时T （252--）；∵0<d <2，∴25252t --<<--；当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8.∵0<d <2，∴6<r <8；综上，25252t -<<或6<r <8．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．9．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的弦，过O 点作OD ⊥BC ，交⊙O 的切线CD 于点D ，交⊙O 于点E ，连接AC 、AE ，且AE 与BC 交于点F ．（1）连接BD ，求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AF ：EF=2：1，求tan ∠CAF 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】【分析】 （1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠OCD=90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据已知条件得到AC ∥DE ，设OD 与BC 交于G ，根据平行线分线段成比例定理得到AC ：EG=2：1，EG=12AC ，根据三角形的中位线的性质得到OG=12AC 于是得到AC=OE ，求得∠ABC=30°，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵OC=OB ，OD ⊥BC ，∴∠COD=∠BOD ，在△COD 与△BOD 中， OC OB COD BOD OD OD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△COD ≌△BOD ，∴∠OBD=∠OCD=90°，∴BD 是⊙O 的切线；（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，AC ⊥BC ，∵OD ⊥CB ，∴AC ∥DE ，设OD与BC交于G，∵OE∥AC，AF：EF=2：1，∴AC：EG=2：1，即EG=12AC，∵OG∥AC，OA=OB，∴OG=12AC，∵OG+GE=12AC+12AC=AC，∴AC=OE，∴AC=12AB，∴∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，∵CE BE，∴∠CAF=∠EAB=12∠CAB=30°，∴tan∠CAF=tan30°【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．10．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．整理，得x2+7x=12．所以S△ABC=12 AC•BC=12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝3x2＋（m＋n）x＋mn]＝3（3mn＋mn）．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.。
人教 中考数学(圆的综合提高练习题)压轴题训练附答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE=∠DBC ．（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若sin ∠ABE=33，CD=2，求⊙O 的半径．【答案】（1）直线BE 与⊙O 相切，证明见解析；（2）⊙O 的半径为3． 【解析】分析：（1）连接OE ，根据矩形的性质，可证∠BEO =90°，即可得出直线BE 与⊙O 相切； （2）连接EF ，先根据已知条件得出BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知BE 的长，设出⊙O 的半径为r ，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值． 详解：（1）直线BE 与⊙O 相切．理由如下：连接OE ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ． ∵OD =OE ，∴∠OED =∠ODE ． 又∵∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE =∠OED ， ∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；（2）连接EF ，方法1：∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠= ∴23DCBD sin CBD∠==在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =．∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，=∴=∴=， 由勾股定理求得6BE =．在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2．设⊙O 的半径为r ，则222623r r +=-（）（），∴r =3， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =33sin ABE ∠=． 设3DC x BD x ==，，则2BC x =．∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，=∴=∴=， ∴E 为AD 中点．∵DF 为直径，∠FED =90°，∴EF ∥AB ，∴132DF BD ==，∴⊙O 的半径为3．点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．3．已知：如图，△ABC 中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC 的外接圆，保留作图痕迹，不写作法； （2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π． 【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB 的垂直平分线；②作线段BC 的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O 为圆心，OA 长为半圆画圆，则圆O 即为所求作的圆． 如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC ＝3，如图弦AC 所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．4．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O经过D、A、B三点，OD∥BC．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若OD=15，AE=7，求BE的长．【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】分析：（1）连接OB，求出∠DOB度数，根据平行线性质求出∠CBO=90°，根据切线判定得出即可；（2）延长BO交⊙O于点F，连接AF，求出∠ABF，解直角三角形求出BE．详解：（1）证明：连接OB．∵∠A=45°，∴∠DOB=90°．∵OD∥BC，∴∠DOB+∠CBO=180°．∴∠CBO=90°．∴直线BC是⊙O的切线．（2）解：连接BD．则△ODB是等腰直角三角形，∴∠ODB=45°，BD=OD=15，∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴BD2=BE•BA，∴（15）2=（7+BE）BE，∴BE=18或﹣25（舍弃），∴BE=18．点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．5．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．6．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。
2019年四川省各市中考数学真题汇编压轴题：《圆》及答案
2019年四川省各市中考数学真题汇编压轴题：《圆》1．（2019•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．2．（2019•德阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O 于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD ＝∠BCD，连结BD、AC、CE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．3．（2019•雅安）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．4．（2019•内江）AB与⊙O相切于点A，直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB 与⊙O交于点P，AP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB＝BC；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长；（3）若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．5．（2019•广元）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求PA的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．6．（2019•成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．7．（2019•资阳）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB ＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）若PA＝1，求点O到弦AB的距离．8．（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．9．（2019•乐山）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C 是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．10．（2019•泰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．11．（2019•乐山）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC 的内切圆半径．12．（2019•株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．13．（2019•巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．①求证：DC是⊙O的切线．②若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．14．（2019•广安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．15．（2019•达州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC 于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．16．（2019•凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．17．（2019•遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC ＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．18．（2019•宜宾）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD 为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE 交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．19．（2019•南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离．20．（2019•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．参考答案1．（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∠A＝∠ACO，∴∠A+∠BCO＝90°，∵∠A＝∠BCH，∴∠BCH+∠BCO＝90°，∴∠HCO＝90°，∴CH是⊙O的切线；（2）解：∵B为DH的中点，∴设BD＝BH＝x，∴DH＝2x，∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，∴∠D＝∠BCH，∵∠H＝∠H，∴△DCH∽△CBH，∴＝，∴CH＝＝，∵∠H＝90°，∴tan D＝＝＝．2．（1）证明：如图，连结OC，∵OE⊥BC，∴∠OHB＝90°，∴∠OBH+∠BOD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBH＝∠OCB，∵∠BOD＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝90°，∴OC⊥CD，∵点C为⊙O上一点，∴DF为⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD＝90°，∴∠ECG+∠OCE＝90°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠ECG+∠OEC＝90°，∵∠OEC+∠HCE＝90°，∴∠ECG＝∠HCE，在△CHE和△CGE中，，∴△CHE≌△CGE（AAS）；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵DF为⊙O的切线，∴∠OCA+∠FCA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FCA＝∠ABC，∴sin∠ABC＝sin∠FCA＝，设AC＝a，则AB＝3a，∴BC＝＝＝a，∵∠FCA＝∠ABC，∠AFC＝∠CFB，∴△ACF∽△CFB，∴＝＝＝，∵AF＝1，∴CF＝，∴BF＝＝2，∴BF﹣AF＝AB＝1，∴OC＝，BC＝，∵OE⊥BC，∴CH＝BC＝，∴OH＝＝＝，∴HE＝OE﹣OH＝﹣，∵△CHE≌△CGE，∴EG＝HE＝﹣．3．（1）证明：连接OC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝，∴CF＝4．4．（1）证明：如图1，连接OA，∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，∴∠OAP+∠BAC＝90°，∵OB⊥l，∴∠BCA+∠BPC＝90°，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC；（2）解：如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△PBC，∴＝，即＝，解得，AP＝；（3）解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，则OE＝BC＝AB＝×，由题意得，⊙O于MN有交点，∴OE≤r，即×≤r，解得，r≥，∵直线l与⊙O相离，∴r＜5，则使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，⊙O的半径r的取值范围为：≤r＜5．5．解：（1）证明：连接OD，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°，∵OA⊥CD∴CE＝DE∴PC＝PD∴∠PDC＝∠PCD∵OC＝OD∴∠ODC＝∠OCD，∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°，∴PD是⊙O的切线．（2）如图2，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan B＝＝设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝，AC＝2，BC＝4，∵CE×AB＝AC×BC，即10CE＝2×4，∴CE＝4，BE＝8，AE＝2在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5，∵∴OP×OE＝OC×OC，即3OP＝5×5，∴OP＝，PA＝OP﹣OA＝﹣5＝．（3）AB2＝4OE•OP如图2，∵PC切⊙O于C，∴∠OCP＝∠OEC＝90°，∴△OCE∽△OPC∴，即OC2＝OE•OP∵OC＝AB∴即AB2＝4OE•OP．6．证明：（1）∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵OC∥BD∴∠OCB＝∠CBD∴∠OBC＝∠CBD∴（2）连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4∵∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB∴△ACE∽△BCA∴∴AC2＝CB•CE＝4×1∴AC＝2，∵AB是直径∴∠ACB＝90°∴AB＝＝2∴⊙O的半径为（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA∴△APC∽△CPB∴∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB∴4PA2＝PA×（PA+2）∴PA＝∴PO＝∵PQ∥BC∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°∴△PHO∽△BCA∴即∴PH＝，OH＝∴HQ＝＝∴PQ＝PH+HQ＝7．解：（1）∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴PA＝PB，∠PAC＝90°，∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠BAC＝90°﹣∠BAP＝30°；（2）作OD⊥AB于D，如图所示：则AD＝BD＝AB，由（1）得：△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝1，∴AD＝，∵∠BAC＝30°，∴AD＝OD＝，∴OD＝，即求点O到弦AB的距离为．8．证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．9．（1）证明：如图，连结OB，则OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，而OA⊥l，即∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CPA＝90°，即∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，OB⊥AB，故AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：∠ABO＝90°，而OA＝5，OB＝OP＝3，由勾股定理，得：AB＝4，过O作OD⊥PB于D，则PD＝DB，∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，∴△ODP∽△CAP，∴，又∵AC＝AB＝4，AP＝OA﹣OP＝2，∴，∴，∴．10．解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵D为的中点，∴＝，∴AD＝CD，∴∠ACD＝45°，∵O是AC的中点，∴∠ODC＝45°，∵DE∥AC，∴∠CDE＝∠DCA＝45°，∴∠ODE＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵⊙O的半径为5，∴AC＝10，∴AD＝CD＝5，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB＝8，∴BC＝6，∵∠BAD＝∠DCE，∵∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴＝，∴＝，∴CE＝．11．（1）证明：∵△＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：由题意得：x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，∵，∴，即，解得：k＝2；（3）解：解方程x2﹣（k+4）x+4k＝0得：x1＝4，x2＝k，根据题意得：42+k2＝52，即k＝3，设直角三角形ABC的内切圆半径为r，如图，由切线长定理可得：（3﹣r）+（4﹣r）＝5，∴直角三角形ABC的内切圆半径r＝．12．证明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD ∴∠DAC＝∠ACH∴AD∥CH，且AD＝CH∴四边形ADCH是平行四边形（2）①∵AB是直径∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠CDB＝∠CAB＝45°∵AD∥CH∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°∴∠CDB＝∠DCH＝45°∴CH＝DH，且∠CHD＝90°∴△DHC为等腰直角三角形；②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P∴△ADP∽△CBP∴，且PB＝PD，∴，AD＝CH，∴∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°∴△CHD∽△ACB∴∴AB＝CD∵AB+CD＝2（+1）∴CD+CD＝2（+1）∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形∴CH＝13．解：①过点O作OG⊥CD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分∠BCD，∵OH⊥BC，OG⊥CD，∴OH＝OG，∴OH、OG都为圆的半径，即DC是⊙O的切线；②∵AC＝4MC且AC＝8，∴OC＝2MC＝4，MC＝OM＝2，∴OH＝2，在直角三角形OHC中，HO＝CO，∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°，∴HC＝，OB＝S阴影＝S△OCB﹣S扇形OBM＝CO•OB﹣π×OH2＝﹣π；③作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，∵PM＝NP，∴PH+PM＝PH+PN＝HN，此时PH+PM最小，∵ON＝OM＝OH，∠MOH＝60°，∴∠MNH＝30°，∴∠MNH＝∠HCM，∴HN＝HC＝2，即：PH+PM的最小值为2，在Rt△NPO中，OP＝ON tan30°＝，在Rt△COD中，OD＝OC tan30°＝，则PD＝OP+OD＝2．14．（1）证明：∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴AE的中点是圆心O，连接OD，则OA＝OD，∴∠1＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠2＝∠1＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝10，∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴，即，∴r＝，在Rt△BDO中，BD＝＝＝5，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，在Rt△ACD中，tan∠2＝＝＝，∵∠3＝∠2，∴tan∠3＝tan∠2＝．15．解：（1）DF与⊙O相切，理由：连接OD，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵DF∥BC，∴OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△AEC，∴，∴＝，∴BD＝．16．解：（1）如图，连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6．17．解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2，∴x＝（负值舍去），∴OC＝3x＝，∴⊙O的半径OC为（3）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴，∵∠COE＝∠FOC，∴∠OCF＝∠OEC＝90°，∴CF是⊙O的切线．18．（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线；（2）∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，∴OD＝OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝，∴BE＝＝，∵BD是⊙O的切线，BE是⊙O的割线，∴BD2＝BM•BE，∴BM＝＝＝．19．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠BCD＝∠A，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：过O作OH⊥CD于H，∵∠BDC＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴＝，∴＝，∴AB＝，∴AD＝，∵OH⊥CD，∴CH＝DH，∵AO＝OC，∴OH＝AD＝，∴点O到CD的距离是．20．证明（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝；（2）由（1）知＝，∴AD＝BC，∵＝，＝，∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．。
2019年人教版九年级数学《圆的专项》压轴大题专项训练题(含答案)
2019年人教版九年级《圆的专项》压轴大题专项训练题（含答案）一．解答题1．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．3．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．4．如图，B是⊙O外一点，连接OB，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．（Ⅰ）求证：AD平分∠BAC；（Ⅱ）若⊙O的半径为4，OB＝7，求AC的长．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．（1）求证：BC＝BH；（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．6．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若AD＝，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，∠ABC＝30°，求阴影部分面积．8．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）9．如图，AB是⊙O的一条弦，点E是AB的中点，过点E作EC⊥AO于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：BD＝DE；（2）若∠BDE＝60°，DE＝，求⊙O的半径．10．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠A＝∠B＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若OA＝5，求OA、OD与AD围成的扇形的面积．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长．12．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN交圆O 于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E（1）求证：EM是圆O的切线；（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．13．如图，AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，CO交AB于点，其中AC＝AD，AD的延长线交过点B的切线BM于点E．（1）求证：CD∥BM；（2）连接OE交CD于点G，若DE＝2，AB＝4，求OG的长．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；（3）若CD＝1，EF＝，求AF长．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长．参考答案一．解答题1．（1）证明：如图1，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠DFA＝∠DEC，∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA＝90°，∴∠DEC＝90°∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AH，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD＝∠DFA＝90°，∴∠DFB＝90°，∵AD＝AB，DH＝，∴DB＝2DH＝2，在Rt△ADF和Rt△BDF中，∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，∴，∴AD＝5．∴⊙O的半径为．2．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，即∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴＝4，∵点D是AC的中点，∴，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴，在Rt△BCD中，＝＝2，在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴，即，∴．3．（1）证明：如图1，连接OE，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，∴∠D＝∠G，∴∠OED＝∠G，∴OE∥AG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF∥AB，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝90°，∵OE∥AG，∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，∴OE⊥EF，∴EF与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∵AC＝4，∴CH＝，∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴，在Rt△OHC中，OC＝＝＝4，∵OA＝AC＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，＝＝．∴S扇形OAC4．（Ⅰ）证明：连OD，如图，∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD，∵AC⊥BD，∴OD∥AC．∴∠2＝∠3，∵OA＝OD，∴∠1＝∠3．∴∠1＝∠2，即AD平分∠BAC；（Ⅱ）解：∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴，即．解得AC＝．5．（1）证明：连接OE，如图，∵AC为切线，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝90°，∵∠C＝90°，∴OE∥BC，∴∠1＝∠3，∵OB＝OE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∵EH＝EC，在Rt△BEH和Rt△BEC中∴Rt△BEH≌Rt△BEC（HL），∴BC＝BH；（2）在Rt△ABC中，BC＝＝3，设OE＝r，则OA＝5﹣r，∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴＝，即＝，解得r＝，∴AO＝5﹣r＝，在Rt△AOE中，AE＝＝，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．6．（1）证明：连接OD，如图1所示：∵DE∥OC，∴∠DEB＝∠COB，∠DOC＝∠ODE．∵∠ODE＝∠OED，∴∠DOC＝∠BOC．∵OD＝OD，OC＝OC，∴∠CDO＝∠CBO＝90°．∴∠ODA＝90°．∴AC是⊙O的切线．（2）解：∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，∴AB•AE＝k，如图2，连接DB，∵EB是⊙O的直径，∴∠EDB＝90°，∴∠DEB+∠EBD＝90°，∵AD是⊙O的切线，∴∠ADO＝90°，∴∠ADE+∠EDO＝90°，∵OD＝OE，∴∠DEO＝∠EDO，∴∠ADE＝∠EBD，∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∴AD2＝AE•AB，∵，∴，∴x2﹣4x+3＝0，∴x1＝3，x2＝1，∴AE＝1，AB＝3，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，∴⊙O的半径为1．∵∠B＝90°，AC是⊙O的切线，∴DC＝BC，设CD＝x，在Rt△ABC中，AC＝x+，AB＝3，BC＝x，∴，解得：x＝．∴．7．（1）证明：连接OD，如图所示．：在Rt△ADE中，点O为AE的中心，∴DO＝AO＝EO＝AE，∴点D在⊙O上，且∠DAO＝∠ADO．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAO，∴∠ADO＝∠CAD，∴AC∥DO，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的直径为4，∴AE＝4，DO＝AO＝EO＝AE＝2，ABC∴CD ＝AD ，DE ＝AE ＝2，AD ＝＝＝2， ∴CD ＝，AC ＝＝＝3，∵tan ∠ABC ＝，∴BC ＝＝＝3，∴阴影部分面积＝S △ABC ﹣S 梯形ODCA ﹣S 扇形ODE ＝AC •BC ﹣（OD +AC ）•CD ﹣＝×3×3﹣（2+3）×﹣＝2﹣．8．（1）证明：连接AD ，如图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵AC 切⊙O 于点A∴CA ⊥AB ，∴∠BAC ＝90°，∴∠C +∠ABD ＝90°，而∠DAB +∠ABD ＝90°，∴∠DAB ＝∠C ，∵∠DAB ＝∠BED ，∴∠C ＝∠BED ；（2）解：连接OD ，如图，∵∠BED ＝∠C ＝50°，∴∠BOD ＝2∠BED ＝100°， ∴的长度＝＝．9．（1）证明：∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠OBA ，∵EC ⊥AO ，∴∠ACE ＝90°，∴∠A +∠AEC ＝90°，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠AEC＝∠DBE，∵∠AEC＝∠BED，∴∠DEB＝∠DBE，∴DB＝DE；（2）解：连接OE，∵OA＝OB，E是AB的中点，∴∠OEB＝90°，∵BD＝DE，∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠OBE＝30°，∴BE＝DE＝，∴OB＝＝＝2．10．解：（1）证明：∵∠ADO＝∠BAD＝30°，∴∠DOB＝60°∵∠ABD＝30°，∴∠ODB＝90°∴OD⊥BD．∵点D为⊙O上一点，∴BD是⊙O的切线．（2）解：∵∠DOB＝60°，∴∠AOD＝120°．∵OA＝5，∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为．11．（1）证明：连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BA C＝30°，∴BD＝AB＝＝4．12．（1）证明：连接FO，∵CN＝AC，∴∠CAN＝∠CNA，∵AC∥ME，∴∠CAN＝∠MFN，∵∠CAN＝∠FNM，∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，∵CD⊥AB，∴∠HAN+∠HNA＝90°，∵AO＝FO，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，∴EM是圆O的切线；（2）解：连接OC，∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，∵CA＝CN，∴NH＝a，∴AN＝＝＝a＝3，∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，解得：r＝，∴圆O的直径为25；（3）∵CH＝DH＝12，∴CD＝24，∵AC：CD＝5：8，∴CN＝AC＝15，∴DN＝24﹣15＝9，∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，∴△FND∽△CNA，∴，∵AN＝3，∴，∴FN＝．13．（1）证明：∵AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BM，∵AC＝AD，∴＝，∴AB⊥CD，∴CD∥BM；（2）解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AE，∵AB⊥BE，∴AB2＝AD•AE，∴（4）2＝AD（AD+2），∴AD＝8（负值舍去），∴AE＝10，∴BE＝＝＝2，∴OE＝＝2，∵DF⊥AB，BE⊥AB，∴DF∥BE，∴＝，∴＝，∴AF＝，∴OF＝AF﹣OA＝，∵FG∥BE，∴＝，∴＝，∴OG＝．14．证明：（1）如图1，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：如图2，连结DE．∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC＝EH．∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE．在△CDE与△HFE中，∴△CDE≌△HFE（AAS），（3）解：由（2）得CD＝HF，又CD＝1，∴HF＝1，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠EHF＝∠BEF＝90°，∵∠EFH＝∠BFE，∴△EHF∽△BEF，∴，即，∴BF＝10，∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4，∴Rt△OHE中，cos∠EOA＝，∴Rt△EOA中，cos∠EOA＝，∴，∴OA＝，∴AF＝．15．解：（1）连接DC，∵＝，∴∠DCA＝∠DOA，∵∠ADQ＝∠DOQ，∴∠DCA＝∠ADQ，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°∴∠DCA+∠DAC＝90°，∵∠ADQ+∠DAC＝90°，∠ADO＝∠DAO，∴∠ADQ+∠ADO＝90°，∴DP是⊙O切线；（2）∵∠C＝90°，OC为半径．∴PC是⊙O切线，∴PD＝PC，连接OP，∴∠DPO＝∠CPO，∴OP⊥CD，∴OP∥AD，∵AQ＝AC＝2OA，∴＝＝，∵AD＝4，∴OP＝6，∵OP是△ACB的中位线，∴AB＝12，∵CD⊥AB，∠C＝90°，∴BC2＝BD•BA＝96，∴BP＝2．。
中考数学(圆的综合提高练习题)压轴题训练含答案(1)
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD，∶DE=4∶1，求DE的长．【答案】(1)见解析5【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．详解：（1）连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB=BC，∴BC=AB2．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴△ADC～△ACE，∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD•AE．设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，∴100=4x•5x，∴x5∴DE=5点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC 2=AD •AE 是解题的关键．2．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F .（1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212【解析】 试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO . ∴BD CD BO EO= ∴252EO =.∵OE ∥BD ，CO =OD ，∴CF =FB . ∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，BD ＝BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E(1) 求证：BE 是⊙O 的切线(2) 若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA 35=【解析】 分析：（1）连接OB ，OD ，根据线段垂直平分线的判定，证得BF 为线段AD 的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF 是矩形，即∠EBF=90°，可得出结论.（2）根据中点的性质求出OF 的长，进而得到BF 、DE 、OB 、OD 的长，然后根据等角的三角函数求解即可.详解：证明：(1) 连接BO 并延长交AD 于F ，连接OD∵BD ＝BA ，OA ＝OD∴BF 为线段AD 的垂直平分线∵AC 为⊙O 的直径∴∠ADC ＝90°∵BE ⊥DC∴四边形BEDF 为矩形∴∠EBF ＝90°∴BE 是⊙O 的切线(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点∴OF＝12CD＝32∵BF＝DE＝1＋3＝4∴OB＝OD＝35422-=∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝332552 OFOD==点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.4．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
2019 年中考数学备考之圆压轴突破训练：培优篇(解析版)
2019年中考数学备考之圆压轴突破训练：培优篇1．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2延长BO交⊙O于F，连接CF．∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°∴∠1+∠F＝90°，∵弧BC＝弧BC，∴∠A＝∠F又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠A＝90°，∴∠3＝90°，∴CD⊥AB（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4延长BO交AC于K∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A＝∠5，∵∠A+∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90°∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO平分∠ABC（3）图3如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN ∵OH⊥CN，OF⊥BC∴CH＝NH，BF＝CF∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM∴∠OEH＝∠EHM设EM、OE交于点P∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP∴OP＝PH∵∠ADC＝∠OHC＝90°∴AD∥OH∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP∴PM＝PB∴PM+PH＝PB+OP∴HM＝OB＝5在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4∴BC＝8，sin∠OBC＝∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°∴∠AKB+∠CKB＝90°∴OK⊥ACAC＝2CK，CK＝BC•sin∠OBC＝∴AC＝2．AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两个点，AD交BC于点F，点E在AB上，DE交BC 于点G，且∠DGF＝∠CAB．（1）如图1．求证：DE⊥AB．（2）如图2．若AD平分∠CAB．求证：BC＝2DE．（3）如图3．在（2）的条件下，连接OF，若∠AFO＝45°，AC＝，求OF的长．解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵∠DGF＝∠CAB，∠DGF＝∠BGE，∴∠BGE＝∠CAB，∴∠BGE+∠CBA＝90°，∴∠GEB＝90°，∴DE⊥AB；（2）如图2，连接OD交BC于H，连接BD，∵AD平分∠CAB，∴，∴OD⊥BC，BH＝CH，∵DE⊥AB，OD＝OB，＝OD×BH＝OB×DE，∴S△OBD∴BH＝DE，∴BC＝2DE．（3）如图3，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝x，∴∠FBO＝90°﹣2x，∵∠AFO＝45°，∴∠FOB＝45°+x，∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣2x）﹣（45°+x）＝45°+x，∴∠FOB＝∠OFB∴BF＝BO＝OA，∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，∴△BFR∽△BAC，∴，∵AC＝，∴FR＝，∴CF＝FR＝，∴AF＝，tan∠FAR＝tan∠FAC＝，设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，则AF＝AS+SF＝3t＝，t＝，∴OF＝t＝．3．已知：在△MAB中，C、D分别为BM、AM上的点，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，∠MCD＝∠ACD；（1）如图①，求证：弧AD＝弧BD；（2）如图②，若AB为直径，CD＝BC，求tan∠DAC值；（3）如图③，在（2）的条件下，E为弧CD上一点（不与C、D重合），F为AB上一点，连接EF交AC于点N，连接DN、DE，若DN＝DE，AB＝10，∠ABC﹣45°＝∠ANF，求AN 的长．解：（1）∵∠MCD+∠DCB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°∴∠DAB＝∠MCD又∵∠MCD＝∠ACD∴∠DAB＝∠ACD∴弧AD＝弧BD（2）作DG⊥MB于点G，连结BD（如图2）∵AB为直径弧AD＝弧BD＝45°∴∠MCD＝∠DAB＝45°∴DG＝GC＝CD又∵CD＝BC∴BC＝CD∴DG＝GC＝BC∴tan∠DBC＝＝又∵∠DAC＝∠DBC∴tan∠DAC＝tan∠DBC＝（3）连结BD交AC，EF分别为点P，点L，连结OP，OE，PE，再作OH⊥EF于点H，NM⊥AD于点M（如图3所示）∵∠ABC﹣45°＝∠ANF，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝∠ABC45°，∴∠ANF＝∠DBC＝∠DAC∴EF∥AD∴EF⊥BD由（2）得tan∠DAP＝∴∴即P为BD的中点∴OP⊥BD∴四边形OPLH为矩形设HO＝d，则PL＝d．又∵DN＝DE∴BD垂直平分NE∴PE＝PN∴∠LEP＝∠LNP＝∠DAP∴∴LE＝2d又∵△OPB为等腰直角三角形∴OP＝BO＝∴LH＝OP＝∴HE＝LH+LE＝+2d∵OH2+HE2＝OE2∴解得d＝∴DL＝DP﹣LP＝＝∴MN＝DL＝∴AM＝2MN＝∴4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC上一点O为圆心作圆与AB相切于点D，与BC 分别交于点F、N，连接DF并延长交AC的延长线点E．（1）求证：AE＝AD；（2）过点D作DH⊥BC于点B，连接AF并延长交⊙O于点G，连接DG，若DO平分∠GDH．求证：∠AFD＝2∠DFN；（3）在（2）的条件下，延长DG交AE的延长线于点P，连接PF并延长交⊙O于点M，若FM＝5，FH＝9，求OH的长．解：（1）证明：∵∠ACB＝90°∴∠E+∠CFE＝∠ACB＝90°∵∠CFE＝∠OFD∴∠E+∠OFD＝90°∵AB切⊙O于D∴OD⊥AB∴∠ODF+∠ADE＝90°∵OD＝OF∴∠OFD＝∠ODF∴∠E＝∠ADE∴AE＝AD（2）证明：连接DN∵DO平分∠GDH∴设∠ODG＝∠ODH＝α，设∠FDG＝β，则∠FDH＝2α+β∵OF＝OD∴∠DFN＝∠ODF＝α+β∵DH⊥FN∴∠DHF＝90°∴∠DFN+∠FDH＝90°，即α+β+2α+β＝3α+2β＝90°∵FN为⊙O直径∴∠FDN＝90°∴∠DNF＝90°﹣∠DFN＝90°﹣（2α+β）＝3α+2β﹣（α+β）＝2α+β∴∠G＝∠DNF＝2α+β∵∠AFD＝∠G+∠FDG＝2α+β+β＝2α+2β∴∠AFD＝2∠DFN（3）过O作OQ∥AB交FM于点Q∵∠AEF+∠EFC＝90°，∠DFN+∠FDH＝90°，∠EFC＝∠DFN∴∠AEF＝∠FDH＝2α+β∴∠ADE＝∠AEF＝2α+β∴∠FAD＝180°﹣∠AFD﹣∠ADF＝2（3α+2β）﹣（2α+2β）﹣（2α+β）＝2α+β即∠FAD＝∠ADF∴AF＝DF∴F在AD的垂直平分线上∵∠AEF＝∠FGD＝2α+β，∠AFE＝∠DFG∴∠EAF＝∠FDG＝β∴∠PAD＝∠PDA＝β+（2α+β）＝2α+2β∴PA＝PD∴P在AD的垂直平分线上即PM垂直平分AD∴OQ⊥FM∴∠OQF＝90°，FQ＝FM＝∵OQ∥AB∴∠FOQ＝∠B∵∠B+∠DOH＝∠DOH+∠ODH＝90°∴∠B＝∠ODH∴∠FOQ＝∠ODH在△FOQ与△ODH中∴△FOQ≌△ODH（AAS）∴OH＝FQ＝5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG＝BG；②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC．在△OAC和△OAB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS），∴∠OAC＝∠OAB，∴AO平分∠BAC，∴AO⊥BC．又∵AD∥BC，∴AD⊥AO，∴AD是⊙O的切线．（2）①证明：如图2，连接AE．∵∠BCE＝90°，∴∠BAE＝90°．又∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°．∵∠BAG+∠EAF＝∠AEB+∠EAF＝90°，∴∠BAG＝∠AEB．∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，∴∠BAG＝∠ABC，∴AG＝BG．②解：在△ADC和△AFB中，，∴△ADC≌△AFB（AAS），∴AF＝AD＝2，BF＝CD＝3．设FG＝x，在Rt△BFG中，FG＝x，BF＝3，BG＝AG＝x+2，∴FG2+BF2＝BG2，即x2+32＝（x+2）2，∴x＝，∴FG＝．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与坐标轴交于A，B两点，动点C在x轴正半轴上，⊙D为△AOC的外接圆，射线OD与直线AB交于点E．（1）如图①，若OE＝DE，求＝；（2）如图②，当∠ABC＝2∠ACB时，求OC的长；（3）点C由原点向x轴正半轴运动过程中，设OC的长为a，①用含a的代数式表示点E的横坐标xE ；②若xE＝BC，求a的值．解：（1）∵OE＝DE，∴S△AOE ＝S△ADE，∵AD＝CD，∴S△CDE ＝S△ADE，∴＝，故答案为：；（2）作OF⊥AC于点F，对于直线y＝﹣2x+4，当y＝0时，x＝2，当x＝0时，y＝4，则A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），即OA＝4，OB＝2，∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠ADO＝∠ABC，∴∠ODC＝∠ABO，∴tan∠ODC＝tan∠ABO＝2，设DF＝m，则OF＝2m，由勾股定理得，OD＝＝m，∴CF＝（﹣1）m，∴tan∠OCD＝，∴＝，即＝，解得，OC＝2﹣2；（3）①设直线OD交⊙D另一点为G，连结AG，作EH⊥AO于点H，则EH∥AG，∴＝，＝，∴+＝+＝1，即+＝1，解得，xE＝；②当C在点B右侧时，BC＝xE ，即a﹣2＝xE，∴a﹣2＝，解得，a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），当C在点B左侧时，BC＝xE ，即2﹣a＝xE，∴2﹣a＝，解得，a1＝﹣1+，a2＝﹣1﹣（舍去），所以a的值为±1．7．已知：如图，BC为⊙O的弦，点A为⊙O上一个动点，△OBC的周长为16．过C作CD∥AB交⊙O于D，BD与AC相交于点P，过点P作PQ∥AB交于Q，设∠A的度数为α．（1）如图1，求∠COB的度数（用含α的式子表示）；（2）如图2，若∠ABC＝90°时，AB＝8，求阴影部分面积（用含α的式子表示）；（3）如图1，当PQ＝2，求的值．解：（1）∵∠A的度数为α，∴∠COB＝2∠A＝2α，（2）当∠ABC＝90°时，AC为⊙O的直径，∵CD∥AB，∴∠DCB＝180°﹣90°＝90，∴BD为⊙O的直径，∴P与圆心O重合，∵PQ∥AB交于Q，∴OQ⊥BC，∴CQ＝BQ，∵AB＝8，∴OQ＝AB＝4，设⊙O的半径为r，∵△OBC的周长为16，∴CQ＝8﹣r，∴（8﹣r）2+42＝r2，解得r＝5，CB＝6，∴阴影部分面积＝；（3）∵CD∥AB∥PQ，∴△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，∴，∴，∵PQ＝2，∴，∴＝2．8．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC．∠B AC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：EB＝EC；（2）分别求式子、的值；（3）若EF＝AC＝3，AB＝5，求△AEF的面积．（1）证明：∵∠BAC的外角平分线交⊙O于E，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠EBC，∠2＝∠3，∴∠EBC＝∠3，∴EB＝EC；（2）解：在BA上截取BD＝CA，如图，在△BED和△CEA中，∴△BED≌△CEA（SAS），∴ED＝EA，∵EF⊥AD，∴DF＝AF，∴AB+AC＝BD+DF+FA+BD＝BF+DF+BD＝2BF，AB﹣AC＝BD+DF+AF﹣BD＝2AF，∴＝＝2，＝＝2；（3）解：由（2）得BD＝AC＝3，∵AB＝BD+DF+AF＝AC+2AF，∴3+2AF＝5，∴AF＝1，而EF＝3，∴△AEF的面积＝×3×1＝．9．如图，AB为⊙O的直径，点C在弧AB上，CD为⊙O的切线，AD⊥CD交⊙O于E，连接AC．（1）如图1，求证：∠BAC＝∠DAC；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于F，交⊙O于M，求证：BF＝DE；（3）如图3，在（2）的条件下，作DG⊥CF，交射线FC于G，在射线DC上截取CH＝CD，连接BH，GH，点N为半圆上一点，∠NBM＝2∠BNM，若BH＝AF，S＝，求线段△DGH MN的长．解：（1）如图1所示：连接OC，则：∠CAO＝∠ACO，∵CD为切线，∴OC⊥CD，而AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠DAC；（2）如图2所示：连接BC、EC，∵CF⊥AB，∠AFC＝∠D＝90°，而∠BAC＝∠DAC，∴ED＝CF，∠EDC＝∠B，∴Rt△ECD≌Rt△BFC（AAS），∴BF＝DE；（3）如图3所示：连接EB、连接OC交EB于Q，∵CO∥AD，而∠D＝90°，∴∠DCO＝90°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴四边形DCQE为矩形，∴EQ＝DC，∵OC⊥EB，∴EQ＝BQ，而EQ＝DC，∴EQ＝BQ＝CH，∴BE ＝DH ，而BE ∥DH ，∴四边形DEBH 为矩形，∵BH ＝AF ，设：HB ＝ED ＝x ，则：AF ＝4x ＝AD ，AE ＝4x ﹣x ＝3x ，则：AB ＝5x ，易证△DAC ≌△FAC （AAS ），∴BE ＝4x ＝DH ，而DC ＝DH ＝2x ，设：∠NBM ＝2∠BNM ＝2α，则∠DAC ＝α，∠BAM ＝α，∴∠CAM ＝2α，∵DH 是切线，∴∠HCM ＝∠CAM ＝∠DCG ，∴Rt△DGC ∽Rt△AEB ，∴＝＝，∵C 是DH 的中点，∴S △DCG ＝S △DHG ，而S △DGH ＝，∴S △BEA ＝24＝•AE •BE ＝•3x •4x ，∴x ＝2，x ＝﹣2（舍去），∴MN ＝BE ＝4x ＝8．答：线段MN 的长为8．10．已知如图，AC ⊥BD ，垂足为E ，CF 是⊙O 的直径，连接AB 、CD 、DF ．（1）如图1，连接BC ，求证：AB ＝DF ；（2）如图2，连接OA 、OB ，OA 交BD 于点M ，若∠ABM ＝∠AOB ，求证：AB ＝BM ；（3）在第二问的基础上，若⊙O 的半径为7，AM ＝5，求点O 到线段CD 的距离OK 的长．（1）证明：如图1中，连接AF ，AD ．∵AF是直径，∴∠CAF＝90°，∵AC⊥BD，∴∠CED＝∠CAF＝90°，∴AF∥BD，∴∠FAD＝∠ADB，∴＝，∴AB＝DF．（2）证明：如图2中，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∵∠AOB+∠OBA+∠OAB＝180°，∠ABM+∠BAM+∠BMA＝180°，∠ABM＝∠AOB，∴∠BAM＝∠BMA，∴BA＝BM．（3）解：如图2中，∵OK⊥CD，∴KC＝KD，∵OC＝OF，∴OK∥DF，OK＝DF，∵∠ABM＝∠AOB，∠BAM＝∠OAB，∴△ABM∽△AOB，∴＝，∴＝，∴AB＝，∴DF＝AB＝，∴OK＝．11．如图，已知CD垂直平分AB，CD＝BD，点E为CD上一点，连接AE交BC于点F，过点E 作EG⊥AE，连接GF，以GF为直径作△EGF的外接⊙O，且点B在⊙O上．（1）求证：∠G+∠A＝45°；（2）求证：AE＝EG；（3）若⊙O与AB交于另一点H，若CE＝3，AH＝5，FG＝5，求BF的长．解：（1）如图1，连接BE，∵CD垂直平分AB，∴EA＝EB，∠CDB＝90°，∴∠A＝∠EBA，∵CD＝BD，∴∠C＝∠CBD＝45°，即∠CBE+∠EBA＝45°，又∠CBE＝∠G，∴∠G+∠A＝45°；（2）如图2，连接BE、BG、HE、HG，由（1）知∠A＝∠ABE，∵∠ABE＝∠HGE，∴∠A＝∠HGE，∵FG是⊙O的直径，∴∠FBG＝90°，又∠ABC＝45°，∴∠HEG＝∠HBG＝45°，∵EG⊥AF，即∠AEG＝90°，∴∠AEH＝∠GEH＝45°，∵EH＝EH，∴△AEH≌△GEH（AAS），∴AE＝EG；（3）如图3，连接HE、HG、BE，由（1）（2）知AE＝BE＝GE，∴∠EHB＝∠EFB，∵∠CFE＝∠EHB，∴∠CFE＝∠EFB，作EN⊥CB于N，作EK⊥EG于K，则EN＝EK，NF＝KF，∵∠C＝45°，CE＝3，∴EN＝EK＝，∵∠GEF＝∠EKG＝90°，∴△EKF∽△GKE，∴＝，即EK2＝GK•KF，∵GK+FK＝FG＝5，∴（）2＝GK•（5﹣GK），解得：GK＝，则KF＝，∵∠B＝∠KGE、∠ENB＝∠EKG＝90°、EB＝EG，∴△ENB≌△EKG（AAS），∴NB＝KG，则BF＝NB﹣NF＝KG﹣KF＝﹣＝4．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝6，求劣弧PC的长；（2）求证：△ECF是等腰三角形；（3）若PE＝3，PD＝4，试求FD的长．解：（1）∵AC＝6，∴⊙O的半径为3，∵∠POC＝60°，∴劣弧PC的长为＝π；（2）∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA＝90°，∠ADO＝90°在△ADO和△PEO中，∵，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD＝EO，∴∠ODE＝∠OED，∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝∠ADO＝90°，∴PD∥BF，∴∠DFB＝∠ODE，∵∠OED＝∠CEF，∴∠DFB＝∠CEF，∴CE＝CF，∴△ECF是等腰三角形；（3）如图，连接AP，PC，PC交EF于点Q，∵OA＝OP，OD＝OE，∴∠OAP＝∠OPA，∠ODE＝∠OED，∵∠AOP＝∠DOE，∴∠OAP＝∠OED，∴AP∥DF，∵AC是⊙O的直径，∴∠APC＝90°，即AP⊥PC，∴DF⊥PC，又∵CE＝CF，∴PC是EF的中垂线，∴PE＝PF，∵PC＝PC，∴△PCE≌△PCF（SSS），∴∠PFC＝∠PEC＝90°，∵∠PDB＝∠B＝90°，∴四边形PDBF是矩形，∴PD＝BF＝4，∵△AOD≌△POE，∴PE＝AD＝3，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝3，在Rt△BDF中，DF＝＝＝5．13．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，F为弧BC上一点，且∠FBC＝∠ABC，连接DF，分别交BC、AB于E、G．（1）如图1，求证：DF⊥BC；（2）如图2，连接EH，过点E作EM⊥EH，EM交⊙O于点M，交AB于点N，求证：NH＝AB；（3）如图3，在（2）的条件下，若DG＝6，ON＝6，求MN的长．（1）证明：∵CD⊥AB∴∠BHC＝90°∴∠C+∠ABC＝90°∵∠FBC＝∠ABC，∠F＝∠C∴∠F+∠FBC＝90°∴∠BEF＝90°∴DF⊥BC（2）证明：连接OC∵OC＝OB∴∠OCB＝∠OBC＝∠D∵CD⊥AB∴∠CHO＝90°，CH＝DH∵∠CED＝∠BEF＝90°∴HE＝CD＝CH＝DH∴∠D＝∠HED∴∠OCB＝∠HED∵EM⊥EH∴∠HEN＝∠HED+∠DEN＝90°∵∠DEN+∠BEN＝∠BED＝90°∴∠HED＝∠BEN∴∠OCB＝∠BEN∴OC∥EM∴∠COH＝∠HNE在△COH与△HNE中∴△COH≌△HNE（AAS）∴CO＝NH∴NH＝AB（3）解：连接OM，过点M作MP⊥AB于点P ∵∠HEN＝∠HEG+∠GEN＝90°∠D+∠DGH＝90°∠D＝∠HEG∴∠GEN＝∠DGH∵∠DGH＝∠EGN∴∠GEN＝∠EGN∴EN＝GN∵△COH≌△HNE∴OH＝NE＝GN∴HG＝OH+OG＝GN+OG＝ON＝6∵DG＝6，∠DHG＝90°∴HE＝CH＝DH＝∵△DHG∽△BHC∴∴BH＝设OB＝OC＝r，则OH＝BH﹣OB＝12﹣r ∵OH2+CH2＝OC2∴（12﹣r）2+（6）2＝r2解得：r＝9∴OM＝9，NH＝AB＝9，NG＝EN＝BN＝3∵∠MNP＝∠HNE，∠MPN＝∠HEP＝90°∴△MNP∽△HNE∴设MN＝a，则NP＝，MP＝∴OP＝ON+NP＝6+∵OP2+MP2＝OM2∴解得：a1＝﹣9（舍去），a2＝5∴MN＝514．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接C D交OE边于点F（1）求证：AC＝2DE；（2）若cos∠BDE＝，OD＝5，求CD的长；（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若＝，求的值．解：（1）∵OD∥BC，∴∠DOE＝∠ABC，∴△OED∽△BCA，∴∠CAB＝∠ODE，∴，故：AC＝2DE；（2）∵∠CAB＝∠ODE，∠CAB＝∠BDC＝∠BDE+∠EDF，而∠ODE＝∠ODF+∠EDF，∴∠ODF＝∠BDE，cos∠BDE＝＝cos∠ODF连接OC，过点O作OH⊥CD交于点H，则CD＝2DH＝2×OD cos∠ODF＝2×5×＝3；（3）∵＝，设：OE＝2a，则OD＝3a，BE＝3a﹣2a＝a，∴S△BDE ＝S△ODE＝S1，∴△OED∽△BCA，相似比为1：2，故S△ABC ＝4S1，S△OBC ＝S△ABC＝2S1，S 2＝S△OBC+S△ODE+S△BDE＝S1，即：的值为．15．如图，在直角坐标系中，已知A（0，3）、O（0，0）、C（6，0）、D（3，3），点P从C 点出发，沿着折线C﹣D﹣A运动到达点A时停止，过C点作直线GC⊥PC，且与过O、P、C三点的⊙M交于点G，连接OP、PG、OD．设点P运动路线的长度为m．（1）直接写出∠DCO的度数；（2）当点P在线段CD上运动时，求△OPG的最小面积；（3）设圆心M的纵坐标为n，试探索：在点P运动的整个过程中，n的取值范围．解：（1）过D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示：由D（3，3），得到DQ＝OQ＝3，由C（6，0），得到OC＝6，∴QC＝OC﹣OQ＝6﹣3＝3，即DQ＝CQ，又∠DQC＝90°，∴△DQC为等腰直角三角形，∴∠DCO＝45°；（2）过点P作PB⊥x轴于点B，可得△PBC为等腰直角三角形，∵PC＝m，∴PB＝BC＝m，在Rt△POB中，OB＝OC﹣BC＝6﹣m，PB＝m，根据勾股定理得：OP2＝（m）2+（6﹣m）2，∵GC⊥PC，∴PG为⊙M的直径，∴∠POG＝90°，又∠OGP＝∠PCO＝45°，∴△OPG为等腰直角三角形，∴PO＝OG，＝OP•OG＝OP2＝[（m）2+（6﹣m）2]＝（m﹣3）2+9，∴S△OPG是关于m的二次函数，其图象开口向上，有最小值，其对称轴为直线x＝3，∵S△OPG随m的增大而减小，∴当0＜m≤3时，S△OPG则m＝3时，S取得最小值为9；△OPG（3）由题意得：∠ODC＝90°，△OPC的外心M必在OC的垂直平分线上，作MN⊥x轴于点N，则ON＝OC＝3，可得直线MN经过点D，连接OM．分两种情况考虑：（i）当点P在CD上，即0＜m≤3时，如左图可知：∠OPC为钝角或直角，∴点M在x轴下方（或x轴上），又由（2）得：OM＝OP，ON＝3，又OP2＝（m）2+（6﹣m）2，在Rt△MON中，MN2＝OM2﹣ON2＝（OP）2﹣32＝（m﹣3）2+9﹣9＝（m﹣3）2，∵0＜m≤3，∴n的取值范围是：﹣3＜n≤0；（ii）当点P在AD上，即3＜m≤3+3时，如右图，依题意得：MO＝PM，由勾股定理得：ON2+MN2＝DM2+PD2，又ON＝3，M N＝n，DM＝3﹣n，PD＝m﹣3，∴32+n2＝（3﹣n）2+（m﹣3）2，整理得：n＝（m﹣3）2，∵3＜m≤3+3，∴0＜n≤，综上，得到n的取值范围是：﹣3＜n≤．16．如图，在等边△ABC中，已知AB＝8cm，线段AM为BC边上的中线．点N在线段AM上，且MN＝3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的．以点C 圆心，以CN为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点．（1）填空：∠DCE＝60度，CN＝5cm，AM＝4cm．（2）如图1当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长．（3）当点D在MA的延长线上时，请在图2中画出示意图，并直接写出PQ＝6cm．当点D在AM的延长线上时，请在图3中画出示意图，并直接写出PQ＝6cm．解：（1）∵△CBE是由△CAD旋转得到，∴∠ACD＝∠BCE，∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝∠BCD+∠CAD＝∠ACB，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝60°；∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，∴BC＝AB＝8cm，CM＝BC＝×8＝4cm，在Rt△CMN中，CN＝＝＝5cm；在Rt△ACM中，AM＝＝＝4cm；（2）过点C作CF⊥PQ于F，∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，∴∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∵△CBE是由△CAD旋转得到，∴∠CBE＝∠CAD＝30°，∴CF＝BC＝×8＝4cm，连接CP，则PC＝CN＝5cm，在Rt△PCF中，PF＝＝＝3cm，由垂径定理得，PQ＝2PF＝2×3＝6cm；（3）①如图，点D在MA的延长线上时，∵△CBE是由△CAD旋转得到，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBQ＝∠CAM＝30°，与（2）同理可求PQ＝6cm，②如图，点D在AM的延长线上时，∵△CBE是由△CAD旋转得到，∴∠CBE＝∠CAD＝30°，与（2）同理可求PQ＝6cm，综上所述，PQ的长度不变都是6cm．故答案为：（1）60，5，4；（3）6，6．。
备战中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练含答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙O 的半径为6cm ，经过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线交半径OA 的延长于点B ，作∠ACO 的平分线交⊙O 于点D ，交OA 于点F ，延长DA 交BC 于点E ． （1）求证：AC ∥OD ；（2）如果DE ⊥BC ，求AC 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π． 【解析】试题分析：（1）由OC =OD ，CD 平分∠ACO ，易证得∠ACD =∠ODC ，即可证得AC ∥OD ； （2）BC 切⊙O 于点C ，DE ⊥BC ，易证得平行四边形ADOC 是菱形，继而可证得△AOC 是等边三角形，则可得：∠AOC =60°，继而求得弧AC 的长度．试题解析：（1）证明：∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ．∵CD 平分∠ACO ，∴∠OCD =∠ACD ，∴∠ACD =∠ODC ，∴AC ∥OD ；（2）∵BC 切⊙O 于点C ，∴BC ⊥OC ．∵DE ⊥BC ，∴OC ∥DE ．∵AC ∥OD ，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC =OD ，∴平行四边形ADOC 是菱形，∴OC =AC =OA ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC =60°，∴弧AC 的长度=606180π⨯=2π． 点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边．以AC 为直径的⊙O ，交BC 于D ，过O 作OE ∥BC ，交OD 于E ，连接AD 、AE 、CE ． （1）求证：∠ACE=∠DCE ；（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO 的度数； （3）若AC=4，23CDF COE S S ∆∆=，求CF 的长．【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3）433【解析】 【分析】（1）易证∠OEC =∠OCE ，∠OEC =∠ECD ，从而可知∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ，易证∠AGC =∠B +∠BAG =60°，由于OE ∥BC ，所以∠AEO =∠AGC =60°，所以∠EAO =∠AEO =60°；（3）易证12COE CAESS=，由于23CDF COES S=，所以CDF CAES S =13，由圆周角定理可知∠AEC =∠FDC =90°，从而可证明△CDF ∽△CEA ，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【详解】（1）∵OC =OE ，∴∠OEC =∠OCE ．∵OE ∥BC ，∴∠OEC =∠ECD ，∴∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ．∵∠AGC 是△ABG 的外角，∴∠AGC =∠B +∠BAG =60°． ∵OE ∥BC ，∴∠AEO =∠AGC =60°． ∵OA =OE ，∴∠EAO =∠AEO =60°．（3）∵O 是AC 中点，∴12COE CAESS =． 23CDF COES S=，∴CDF CAES S=13． ∵AC 是直径，∴∠AEC =∠FDC =90°． ∵∠ACE =∠FCD ，∴△CDF ∽△CEA ，∴CF CA =3，∴CF =3CA =43．【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．3．如图．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AB =30cm ，点P 在AB 上，AP =10cm ，点E 从点P 出发沿线段PA 以2c m/s 的速度向点A 运动，同时点F 从点P 出发沿线段PB 以1c m/s 的速度向点B 运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿线段AB 向点B 运动，在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧，设点E 、F 运动的时间为t（s）（0＜t＜20）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，12t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩；②100cm2．【解析】试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；②分两种情形分别列出方程即可解决问题．试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣12（5t﹣10）2=﹣72t2+50t﹣50．如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣12（30﹣3t）2=﹣72t2+50t﹣50．如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．综上所述：S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩．②如图7中，当0＜t≤5时，12t+3t=15，解得：t=307，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，12t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．4．已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+23 =0的两根（k为常数）．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）求证：⊙O的直径长为常数k；（3）求tan∠FPA的值．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tan∠FPA=2﹣3 .【解析】试题分析：（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA•BD=PB•AE；（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．试题解析：（1）证明：如图，∵PB切⊙O于点B，∴∠PBD=∠A，∵PF平分∠APB，∴∠APE=∠BPD，∴△PBD∽△PAE，∴PB：PA=BD：AE，∴PA•BD=PB•AE；（2）证明：如图，∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，∴∠BED=∠BDE．∴BE=BD．∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），∴AE+BD=k，∴AE+BD=AE+BE=AB=k，即⊙O直径为常数k．（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．∴∠PBA=90°．∵∠A=60°．∴PB=PA•sin60°=PA，又∵PA•BD=PB•AE，∴BD=AE，∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数）．∴AE•BD=2，即AE2=2，解得：AE=2，BD=，∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在Rt△PBA中，PB=AB•tan60°=（2+）×=3+2．在Rt△PBE中，tan∠BPF===2﹣，∵∠FPA=∠BPF，∴tan∠FPA=2﹣．【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．5．如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG(1)判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)求证：2OB2＝BC•BF；(3)如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长．【答案】（1）CG与⊙O相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE＝2【解析】【分析】（1）连接CE，由AB是直径知△ECF是直角三角形，结合G为EF中点知∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，再由OA＝OC知∠OCA＝∠OAC，根据OF⊥AB可得∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，据此即可得证；（2）证△ABC∽△FBO得BC ABBO BF=，结合AB＝2BO即可得；（3）证ECD∽△EGC得EC EDEG EC=，根据CE＝3，DG＝2.5知32.53DEDE=+，解之可得．【详解】解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：如图1，连接CE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACF＝90°，∵点G是EF的中点，∴GF＝GE＝GC，∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OF⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，∴CG与⊙O相切；（2）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，∴∠OAE＝∠F，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△FBO，∴BC ABBO BF=，即BO•AB＝BC•BF，∵AB＝2BO，∴2OB2＝BC•BF；（3）由（1）知GC ＝GE ＝GF ， ∴∠F ＝∠GCF ， ∴∠EGC ＝2∠F ， 又∵∠DCE ＝2∠F ， ∴∠EGC ＝∠DCE ， ∵∠DEC ＝∠CEG ， ∴△ECD ∽△EGC ， ∴EC EDEG EC =， ∵CE ＝3，DG ＝2.5， ∴32.53DEDE =+，整理，得：DE 2+2.5DE ﹣9＝0， 解得：DE ＝2或DE ＝﹣4.5（舍）， 故DE ＝2． 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．6．AB 是⊙O 直径，在AB 的异侧分别有定点C 和动点P ，如图所示，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 重合），过C 作CP 的垂线CD ，交PB 的延长线于D ，已知5AB =，BC ∶CA ＝4∶3． （1）求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；（2）当点P 运动到AB 弧的中点时，求CD 的长；（3）当点P 运动到什么位置时，PCD ∆的面积最大？请直接写出这个最大面积．【答案】(1)证明见解析；（2）CD 142；（3）当PC 为⊙O 直径时，△PCD 的最大面积=503. 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得∠PCD=∠ACB=90°，可证△ABC ∽△PCD ，可得AC BCCP CD=,即可得证．（2）由题意可求BC=4，AC=3，由勾股定理可求CE 的长，由锐角三角函数可求PE 的长，即可得PC 的长，由AC•CD=PC•BC 可求CD 的值； （3）当点P 在AB 上运动时，12PCDSPC CD =⨯⨯，由（1）可得：43CD PC =，可得2142233PCDSPC PC PC =⨯⨯=，当PC 最大时，△PCD 的面积最大，而PC 为直径时最大，故可求解． 【详解】 证明：（1）∵AB 为直径， ∴∠ACB =90° ∵PC ⊥CD ， ∴∠PCD =90°∴∠PCD =∠ACB ，且∠CAB =∠CPB ∴△ABC ∽△PCD ∴AC BCCP CD= ∴AC •CD =PC •BC（2）∵AB =5，BC ：CA =4：3，∠ACB =90° ∴BC =4，AC =3，当点P 运动到AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E ∵点P 是AB 的中点， ∴∠PCB =45°，且BC =4∴CE =BE =22BC 2 ∵∠CAB =∠CPB∴tan ∠CAB =43=BC AC =tan ∠CAB =BEPE∴PE =322∴PC =PE +CE =322+22=722∵AC •CD =PC •BC∴3×CD =72×4 ∴CD =1423（3）当点P 在AB 上运动时，S △PCD =12×PC ×CD ， 由（1）可得：CD =43PC ∴S △PCD =1423PC PC ⨯⨯=23PC 2， ∴当PC 最大时，△PCD 的面积最大， ∴当PC 为⊙O 直径时，△PCD 的最大面积=23×52=503【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求出PC 的长是本题的关键．7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AD 、BC 的延长线交于点F ，点E 在CF 上，且∠DEC =∠BAC ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）当AB =AC 时，若CE =2，EF =3，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（235． 【解析】 【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD 225DE CE =-=，证明△CDE ∽△DBE ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ． ∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°． ∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3． ∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°． ∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD 533522⨯==，∴⊙O 的半径354=．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．8．如图，点B 在数轴上对应的数是﹣2，以原点O 为原心、OB 的长为半径作优弧AB ，使点A 在原点的左上方，且tan ∠AOB 3C 为OB 的中点，点D 在数轴上对应的数为4．（1）S扇形AOB＝（大于半圆的扇形）；（2）点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为°（3）在（2）的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP＜180°时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，将△OPD顺时针旋转α（0°≤α≤360°）①连接CP，AD．在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；②当PD∥AO时，求AD2的值；③直接写出在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围．【答案】（1）103π（2）30（3）①AD＝2PC②20+83或20+83③1≤d≤3【解析】【分析】（1）利用扇形的面积公式计算即可．（2）如图1中，当PD与⊙O相切时，∠PDB的值最大．解直角三角形即可解决问题．（3）①结论：AD＝2PC．如图2中，连接AB，AC．证明△COP∽△AOD，即可解决问题．②分两种情形：如图3中，当PD∥OA时，设OD交⊙O于K，连接PK交OC于H．求出PC即可．如图④中，当PA∥OA时，作PK⊥OB于K，同法可得．③判断出PC的取值范围即可解决问题．【详解】（1）∵tan∠AOB＝3，∴∠AOB＝60°，∴S扇形AOB＝23002103603ππ⋅⋅=（大于半圆的扇形），（2）如图1中，当PD与⊙O相切时，∠PDB的值最大．∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD，∴∠OPD＝90°，∵21sin 42OP PDO OD ∠=== ∴∠PDB ＝30°，同法当DP ′与⊙O 相切时，∠BDP ′＝30°， ∴∠PDB 的最大值为30°． 故答案为30．（3）①结论：AD ＝2PC ． 理由：如图2中，连接AB ，AC ．∵OA ＝OB ，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∵BC ＝OC ， ∴AC ⊥OB ，∵∠AOC ＝∠DOP ＝60°， ∴∠COP ＝∠AOD ，∵2AO ODOC OP==， ∴△COP ∽△AOD ，∴2AD AOPC OC ==， ∴AD ＝2PC ．②如图3中，当PD ∥OA 时，设OD 交⊙O 于K ，连接PK 交OC 于H ．∵OP ＝OK ，∠POK ＝60°， ∴△OPK 是等边三角形， ∵PD ∥OA ，∴∠AOP＝∠OPD＝90°，∴∠POH+∠AOC＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠POH＝30°，∴PH＝12OP＝1，OH＝3PH＝3，∴PC＝2222PH CH1(13)523+=++=+，∵AD＝2PC，∴AD2＝4（5+23）＝20+83．如图④中，当PA∥OA时，作PK⊥OB于K，同法可得：PC2＝12+（3﹣1）2＝5﹣23，AD2＝4PC2＝20﹣83．③由题意1≤PC≤3，∴在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围为1≤d≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．9．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F；（1）求证：∠ADC+∠CBD＝12∠AOD；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】【分析】()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到()111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】()1证明：OD BC ⊥，BD CD ∴=，CBD DCB ∴∠=∠，90DFE EDF ∠+∠=， 90EDF DFE ∴∠=-∠，OD OA =，()111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠，190902DFE AOD ∴-∠=-∠，12DEF AOD ∴∠=∠，DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，12ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠；()2解：OD BC ⊥，BE CE ∴=，BD CD =， BD CD ∴=， OA OD =，ADO OAD ∴∠=∠， PA 切O 于点A ，90PAO ∴∠=， 90OAD DAP ∴∠+∠=，PFA DFE ∠=∠， 90PFA ADO ∴∠+∠=，PAF PFA ∴∠=∠， PA PF ∴=． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．10．如图，已知△ABC ，AB=2，3BC =，∠B=45°，点D 在边BC 上，联结AD ， 以点A 为圆心，AD 为半径画圆，与边AC 交于点E ，点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ．（1）设BD 为x ，点D 、F 之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）如果E 是DF 的中点，求:BD CD 的值； （3）联结CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求BD 的长 ．【答案】(1) 2442y xx (0≤x≤3); (2)45; (3) BD 的长是1或1+5. 【解析】 【分析】（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD 的长度．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度，在Rt △ADF 中，利用锐角三角形函数的定义求得DF 的长度，易得函数关系式． （2）由勾股定理求得：AC=22AH DH +．设DF 与AE 相交于点Q ，通过解Rt △DCQ 和Rt △AHC 推知12DQ CQ =．故设DQ=k ，CQ=2k ，AQ=DQ=k ，所以再次利用勾股定理推知DC 的长度，结合图形求得线段BD 的长度，易得答案．（3）如果四边形ADCF 是梯形，则需要分类讨论：①当AF ∥DC 、②当AD ∥FC ．根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答． 【详解】（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵∠B =45°，AB 2∴·cos 1BH AH AB B ===． ∵BD 为x ，∴1DH x =-．在Rt △ADH 中，90AHD ∠=︒，∴AD ==．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度．∵点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ，∴AD AF =，45ADF ∠=︒．在Rt △ADF 中，90DAF ∠=︒，∴cos ADDF ADF==∠∴y =．()03x ≤≤ ;（2）∵E 是DF 的中点，∴AE DF ⊥，AE 平分DF ．∵BC=3，∴312HC =-=．∴AC =．设DF 与AE 相交于点Q ，在Rt △DCQ 中，90DQC ∠=︒，tan DQDCQ CQ∠=． 在Rt △AHC 中，90AHC ∠=︒，1tan 2AH ACH HC ∠==． ∵DCQ ACH ∠=∠，∴12DQ CQ =． 设,2DQ k CQ k ==，AQ DQ k ==，∵3k =3k =，∴53DC ==．∵43BD BC DC =-=，∴4:5BD CD =． （3）如果四边形ADCF 是梯形则①当AF ∥DC 时，45AFD FDC ∠=∠=︒．∵45ADF ∠=︒，∴AD BC ⊥，即点D 与点H 重合． ∴1BD =． ②当AD ∥FC 时，45ADF CFD ∠=∠=︒． ∵45B ∠=︒，∴B CFD ∠=∠．∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠，∴BAD FDC ∠=∠． ∴ABD ∆∽DFC ∆．∴AB ADDF DC=． ∵DF =，DC BC BD =-．∴2AD BC BD =-．即23x =-,整理得 210x x --=，解得 x =综上所述，如果四边形ADCF 是梯形，BD 的长是1 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．。
2019年中考数学备考之圆压轴突破训练：提高篇(含解析)
2019 年中考数学备考之圆压轴打破训练：提升篇1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一动点（不与点A、B 重合），D是半圆 ADB中点， C、D在直径 AB的双侧．（1）过点C作⊙P的切线交DB的延伸线于E，当∠BAC＝ 30°时，求证：BC＝CE．（2）若在⊙O内存在点P，使得AP＝AD，CB＝CP．①证明：2+ 2＝2 2AC CP AP②当△ ACP是直角三角形时，求∠AOC的度数．解：（ 1）证明：∵CE是⊙P的切线，∠BAC＝30°，∴∠ BCE＝∠ BAC＝30°．∵AB是⊙ O的直径， D是半圆 ADB中点，∴△ ADB是等腰直角三角形，∠ BAD＝45°，∴∠ CAD＝∠ BAC+∠ BAD＝30°+45°＝75°．∵四边形 ADBC是⊙ O的内接四边形，∴∠ CBE＝∠ CAD＝75°，∴∠ E＝180°﹣∠ BCE﹣∠ CBE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，∴∠ E＝∠ CBE＝75°，∴ BC＝CE；（ 2）①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，2 2 2∴ AC+BC＝ AB，2 2 2∵ CB＝CP，∴ AC+CP＝ AB．∵△ ADB是等腰直角三角形，且∠ADB＝90°， AD＝ BD，222 2∴ AB＝ AD+BD＝2AD，2 2∵AP＝AD，∴ AB＝2AP，22 2 ∴ AC+CP＝2AP；②解：∵22 2 AC+CP＝2AP ，∴当△ ACP是直角三角形时，AP不行能为斜边，因此分两种状况：（Ⅰ）当为斜边时，则 2 + 2 ＝2，AC AP CP AC2 2 2 2 2 2 2 2 2又∵ AC+CP＝2AP，∴ AP +CP+CP＝2AP，∴AP ＝2CP，2 2 2 2 2∵ AB＝2AP，∴AB＝ 4CP＝4BC，∴AB＝ 2BC，∴∠ CAB＝30°，∴∠ BOC＝60°，∴∠ AOC＝120°；（Ⅱ）当 CP为斜边时，则2 2 2 AP +AC＝CP，2 2 2 2 2 2 2 2 2又∵ AC+CP＝2AP，∴ AP +AC＝2AP﹣AC，∴AP＝ 2AC，2 2 2 2∵ AB＝2AP，∴AB＝ 4AC，∴AB＝ 2AC，∴∠ ABC＝30°，∴∠ AOC＝60°．综上可知，∠ AOC为120°或60°．2．如图，点D是⊙ O的直径 CA延伸线上一点，点B在⊙ O上，且∠ D＝∠ C＝30°．（ 1）求证：BD是⊙ O的切线．（ 2）分别过B、F 两点作DC的垂线，垂足分别为M、 N，且CN：CM＝2：3若点 E 是劣弧BC上一点， AE与 BC订交于点F，△ ABC的面积为12cm2，cos ∠EFC＝，求△ BFE的面积．（1）证明：如图，∵ OB＝OC，∴∠ OBC ＝∠ C ＝30°，而∠ DBC ＝ 180°﹣∠ D ﹣∠ C ＝ 180°﹣ 30°﹣ 30°＝ 120°，∴∠ OBD ＝ 120°﹣∠ OBC ＝120°﹣ 30°＝ 90°，∴ OB ⊥BD ，∴ BD 是⊙ O 的切线；（ 2）解：∵ BM ⊥ AC ， FN ⊥AC ，∴ S △ ： S △ ＝ FN ： BM ， FN ∥ BM ，FACBAC∴△ CFN ∽△ CBN ，∴ FN ：BM ＝ CN ：CM ，而 CN ：CM ＝ 2： 3，△ ABC 的面积为12cm 2，∴ S △FAC ： 12＝ FN ： BM ＝ 2： 3， ∴S＝8，△FAC∵∠ E ＝∠ C ，∠ FBE ＝∠ CAF ，∴△ FBE ∽△ FAC ，∴＝（）2，又∵ cos ∠ EFC ＝ ，而 AC 是⊙ O 的直径，∴∠ ABF ＝ 90°，在 Rt △ABF 中，∠ ABF ＝ 90°， cos ∠ BFA ＝ ＝∴＝（）2＝（ ）2＝ ，∴ S △BFE ＝ 8× ＝ ．3．如图，直线y＝2x+2与 x 轴， y 轴分别交于A， E两点， D是在第一象限内直线上运动的一个动点，以ED为边作正方形EDCB，连结 CE，作 EC⊥ CF与过 A，D，C三点的圆交于点F，连结 DF．（1）求AE的长；（2）请你在图中增添一条线段（不再标明其余字母），进而结构一个三角形与△FDC相像，并说明原因；（ 3）点D在运动过程中，CF的长度能否改变？若不变，恳求出CF的长；若变化，请说明原因．解：（ 1）把x＝ 0 代入y＝2x+2 得y＝ 2，则E点坐标为（ 0， 2），把 y＝0代入 y＝2x+2得2x+2＝0，解得 x＝﹣1，则 A 点坐标为（﹣1，0），因此AE＝＝＝；（2）连结AC，则△ACE∽△FDC．原因以下：∵四边形 BEDC为正方形，∴∠ DCE＝∠ DEC＝45°，∴∠ AEC＝135°，∵ EC⊥CF，∴∠ DCF＝45°+90°＝135°，∴∠ AEC＝∠ DCF，∵∠ DAC＝∠ DFC，∴△ ACE∽△ FDC；（3）CF的长度不改变．∵△ ACE∽△ FDC，∴＝，∵△ DEC为等腰直角三角形，∴ EC＝DC，∴＝，∴CF＝．4．直角坐标系xOy中，有反比率函数上的一动点 P，以点 P 为圆心的圆始终与 y 轴相切，设切点为 A2（ 1）如图 1，⊙P运动到与x轴相切时，求OP的值．（ 2）设圆P运动时与x轴订交，交点为B、C，如图2，当四边形 ABCP是菱形时，①求出、、三点的坐标．A B C②设一抛物线过、、三点，在该抛物线上能否存在点，使△的面积是菱形A B C Q QBPABCP 面积的？若存在，求出全部知足条件的点的坐标；若不存在，说明原因．Q解：（ 1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA， PK⊥OK．∴∠ PAO＝∠ OKP＝90°．又∵∠ AOK＝90°，∴∠ PAO＝∠ OKP＝∠ AOK＝90°．∴四边形 OKPA是矩形．又∵ AP＝ KP，∴四边形 OKPA是正方形，2 2 2∴ OP＝ OK+PK＝2PK?OK＝2xy ＝2×8＝ 16 ；（ 2）①连结BP，则 AP＝BP，因为四边形 ABCP为菱形，因此 AB＝ BP＝AP，△ ABP为正三角形，设 AP＝m，过 P点向 x 轴作垂线，垂足为 H，则 PH＝sin60° BP＝，P（m，），将 P 点坐标代入到反比率函数分析式中，2则m＝8，解得： m＝4，（ m＝﹣4舍去），故 P（4，2），则 AP＝4， OA＝2， OB＝ BH＝2， CH＝ BH＝2，故 A（0，），B（2，0），C（6，0）；②设过 A、 B、 C三点的抛物线分析式为y＝ a（ x﹣2）（x﹣6），将 A 点坐标代入得，a＝，故分析式为，过 A 点作 BP的平行线 l 抛物线于点 Q，则 Q点为所求．设BP所在直线分析式为： y＝ kx+d，则，解得：，故 BP所在的直线分析式为：，故直线l 的分析式为，直线l 与抛物线的交点是方程组的解，解得： ，，故得 Q （ 0， ）， Q （ 14，），同理，过 C 点作 BP 的平行线交抛物线于点 Q 1，则设其分析式为：y ＝ + ，则 0＝6 + ，解得： e ＝﹣ 6 ，x ee故其分析式为： y ＝x ﹣ 6，其直线与抛物线的交点是方程组的解，可求得 Q 1（ 8， 2 ）和（ 6，0）．故所求知足条件的 Q 点有（ 0，），（ 14， ），（ 8， ）和（ 6， 0）．5．如图 1，在平面直角坐标系中，已知（﹣ 1，0）、 （ 2， 0），以OB 为直径作⊙ ，ACABO 1 与⊙ 1 相切于点 ，交 轴于点 ．OCy D（ 1）求点 D 的坐标；O是 y轴上一点，且⊙O经过 A D x 轴于点 Ey 轴于点 F P（ 2）如图 2， 2 2、 两点，交 ，交 ，是 上一动点，连结 PA 、 PE 、PF ，试判断 PA 、 PE 、PF 之间能否存在必定的数目关系，请指出并证明；（ 3）如图 3，若⊙ O 过 O 且与⊙ O 交于点 G 、H ，Q 是上一动点（不与 B 、G 重合），连11接 QG 并延伸交⊙ O 于点 R ，N 是 QR 的中点， 设 GH 交 OB 于点 M ，连结 MN ，当 Q 点运动时，MN 的值能否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明原因．（ 1）解：连结OC，1∵ AC与⊙ O 相切于点 C，1∵O1C⊥ AC，∵A（﹣1，0）、B（2，0），以 OB为直径作⊙O1，∴ O1A＝2， O1C＝1，∴ sin A＝＝，∴∠ OAD＝30°，∴＝ tan30 °＝，∴设直线 AC的分析式为y＝x+b，把 A（﹣1，0）代入得，×（﹣1）+b＝0，解得 b＝，∴点 D的坐标为（0，）；（2）PF＝PA+PE．证明：∵∠ OAD＝30°，∴∠ ADO＝60°，∵ OA＝ OD，2 2∴△ O2AD是等边三角形，∴∠ APF＝∠ ADF＝60°，连结 EF，在 FP上截取 FN＝ AP，连结 EN，∵ O2D＝2OD＝，∴OF＝+＝，∵OE＝OA＝1，∴EF＝＝2，∵AE＝2，∴ EF＝AE，∵在△ PAE和△ NFE中，，∴△ PAE≌△ NFE（ SAS），∴EN＝PE，∵DF垂直均分 AE，∴ ＝，∴∠ EPF＝∠ APF＝60°，∴△ PNE是等边三角形， PE＝ EN＝PN，∴ PA+PE＝ PF；（ 3）当Q点运动时，MN的值不发生变化；原因：连结NH、RH、 QH，∵⊙ O与⊙ O1的半径相等，∴＝，∴∠ R＝∠ Q，∴RH＝QH，∵N是 QR的中点，∴ HN⊥RQ，在 RT△NHG中， G M＝ HM，∴ MN＝ GH＝ GM，即 MN＝MG．∵GH＝cos60°×1＝，∴MN＝．6．如图甲，直线PA交⊙ O于 A、 E 两点， PA的垂线 CD切⊙ O于点 C，过点 A 作⊙ O的直径AB．（1）求证：AC均分∠DAB；（2）将直线CD向下平行挪动，在将直线CD向下平行挪动的过程中，如图乙、丙，试指出与∠ DAC相等的角（不要求证明）．（3）在图甲中，若DC+DA＝ 6，⊙O的直径为 10，求AE的长度．（ 1）证明：如图1，连结OC，∵OA、OC是⊙ O的半径，∴ OA＝OC．∴∠ OAC＝∠ OCA．∵CD切⊙ O于点 C，∴CD⊥OC．又∵ CD⊥ PA，∴OC∥PA．∴∠ PAC＝∠ OCA．∴∠ OAC＝∠ PAC．∴AC均分∠ DAB；解：（ 2）∠DAC＝∠BAF，原因：如图2，连结BC．∵AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB＝90°．∴∠ACF+∠ BCF＝90°又∵在 Rt △ACD中，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ CAD＝∠ FCB．又∵∠ FAB＝∠ FCB，∴∠ DAC＝∠ BAF．如图 3∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB ＝ 90°．∴∠ CAB +∠ CBA ＝ 90°又∵∠ FAD +∠ AFD ＝ 90°，∠ DFA ＝∠ CBA ，∴∠ DAF ＝∠ CAB ．∴∠ DAF ﹣∠ CAF ＝∠ CAB ﹣∠ CAF ．∴∠ DAC ＝∠ BAF ．（ 3）如图 4 所示：连结 OC ，过点 A 作 AF ⊥ CO ，垂足为 F ，连结 CB 、 CE ．∵ DC ⊥AE ， OC ⊥DC ， AF ⊥CO ，∴四边形 AFCD 为矩形． ∴ DC ＝AF ， AD ＝CF ．设的长为 x ，则＝ 6﹣ ， ＝ 5﹣ ．ADAFxOFx在 Rt △ 中，2＝2+2，即： 25＝（ 6﹣ ） 2+（ 5﹣ ） 2，AFO OA AF OFx x解得： x 1＝ 2， x 2＝ 9（舍去）∴ AD ＝2， DC ＝ 4．由（ 1）可知：∠ DAC ＝∠ BAF ．又∵∠ CAD +∠ DCA ＝ 90°，∠ CAB +∠ ABC ＝ 90°∴∠ DCA＝∠ CBA．∵∠ DEC＝∠ ABC，∴∠ DEC＝∠ DCA．又∵∠ EDC＝∠ ADC，∴△ EDC∽△ ADC．∴，即：．∴ED＝8．∴AE＝6．7．AL、DE是⊙O的弦，AL⊥DE，垂足为点C，点 B在 CL上， BC＝ AC，连结 EB并延伸交 DL 于点 F．（1）如图 1，求证：EF⊥DL；（2）如图 2，连结EL、OL，若BL＝OL，求证：EL＝2FL；（ 3）如图 3，在（ 2）的条件下，连结OB， EL＝5BO，DE＝，求DL的长．证明：（ 1）如图 1，连结AE，∵AC＝BC， AB⊥ED，∴ AE＝BE，∴∠ AED＝∠ CEB，∵∠ L＝∠ AED，∴∠ CEB＝∠ L，∵∠ ABE＝∠ LBF，∴∠ BFL＝∠ ECB＝90°，∴EF⊥DL；（ 2）如图 2，作直径LH，交⊙ O于 H，连结 EH，过 O作 OG⊥ EL于 G，∴∠ HEL＝90°，∴∠ ELH+∠ H＝90°，∵∠ H＝∠ A＝∠ EBA＝∠ FBL，∵∠ BLF+∠ FBL＝90°，∴∠ ELH＝∠ BLF，∵LB＝OL，∠OGL＝∠ BFL＝90°，∴△ BFC≌△ OGL，∴ FL＝LG＝ EL，∴ EL＝2FL；（ 3）如图 3，过L作LM⊥OB于M，作直线OB交EL于N，交DL于Q，Rt △FEL，EL＝ 2FL，∴∠ FEL＝30°，∠ ELF＝60°，∵OL＝BL，∴∠ BLM＝∠ OLM，∴∠ QLM＝∠ NLM＝× 60°＝30°，∴∠ MQL＝∠ QNL＝60°，∴△ NQL是等边三角形，∴∠ EBN＝∠ QBF＝90°﹣60°＝30°，∴EN＝BN，设 QF＝b， OB＝ a，则 EL＝5a， FL＝，BQ＝ON＝2b，∴EN＝BN＝ a+2b， NL＝ QN＝ a+4b，由 EL＝EN+NL： a+2b+a+4b＝5a，a＝2b，Rt △BFL中，BF＝b＝a，FL＝，BL＝ OL＝＝a，由勾股定理得：EF＝＝a，∵∠ DEF＝∠ BLF，∠ BFL＝∠ EFD＝90°，∴△ BFL∽△ DFE，∴，∴＝，a＝1，∴EF＝，FL＝，由勾股定理得：DF＝＝，∴ DL＝DF+FL＝+＝4．2 2有两个不相等的实数根，两根的平方和为 10，8．已知对于x的方程x +（2m﹣ 6）x+m﹣ 7＝ 0且两根分别是A点和 B 点的横坐标（如图），以 AB为直径作圆 M交 y 轴于点 C和点 D，点E 是上一点， BF⊥CE于点 F，连结 DE．（ 1）求m的值；（ 2）求的值；（ 3）若EF＝，求 DE的值．解：（ 1）由题可得：△＝（ 2m﹣ 6）2 2﹣ 4×1×（m﹣ 7）＞ 0，①x1+x2＝﹣（2m﹣6），②2x1?x2＝ m﹣7，③x1 2+x22＝ 10，④解①得 m＜．2 2 2 2 2由④得： x1 +x2 ＝（ x1+x 2）﹣ 2x1?x2＝（ 2m﹣ 6）﹣2（m﹣7）＝ 10，2整理得 m﹣12m+20＝0，解得 m＝2，m＝10．1 2∵ m＜，∴ m＝2；（2）连结EB并延伸至点G，使得BG＝DE，以下图．当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x﹣3＝0，解得 x1＝﹣1， x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4， OA＝1， OB＝3，∴CM＝AM＝2， OM＝1，∴OC＝，sin∠ OMC＝，∴∠ OMC＝60°，∴∠ CMB＝120°，∴∠ CEB＝60°．∵直径 AB⊥ CD，∴OD＝OC＝，∴CD＝2．在 Rt △COB中，＝＝＝ 2 ，BC∴CD＝CB．∵∠ CDE+∠ CBE＝180°，∠ CBG+∠ CBE＝180°，∴∠ CDE＝∠ CBG．在△ CDE和△ CBG中，，∴△ CDE≌△ CBG，∴CE＝CG．∵∠ CEG＝60°，∴△ CEG是等边三角形，∴CE＝EG．在 Rt △BFE中，cos ∠FEB＝＝，∴＝＝＝2；（ 3）在Rt △CFB中，∵ BF＝EF?tan60°＝×＝，CB＝2 ，∴ CF＝＝＝，∴ CE＝+，∴ DE＝BG＝ EG﹣BE＝ CE﹣BE＝+ ﹣ 1＝．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥ AB于 H，点 E 在上，且，AE与CD交于点G，与 BC交于点 F．（ 1）求证：＝；（2）连结OG，试判断OG与BC的地点关系，并说明原因；（3）过点D作⊙O的切线，交BA的延伸线于点P，点M在⊙O上．若AE＝ 8，AH＝ 2，试研究在点 M的运动过程中，的值能否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律．（ 1）证明：连结BE， GO， AC，∵CD⊥AB， AB为直径，∴∠ E＝90°， CH＝ DH，＝，∵＝∴＝，＝，∴∠ EBC＝∠ ABC，∵∠ E＝∠ CHB，∴△ BHC∽△ EFB，∴＝，∴＝；（2）解：∵ ＝＝，∴∠ EBC＝∠ EAC＝∠ DCA＝∠ CBA，∵∠ BFE+∠ EBC＝90°，∠ MBC+∠ DCB＝90°，∴ MG＝GC，∠ DCF＝∠ EFB，∴∠ DCF＝∠ AFC，∴ GF＝GC，且 AO＝ BO，∴ GO∥BC， GO＝ BC；（3）解：的值不变原因：如图2，连结DO，则DO⊥PD，DH⊥PO，可得△ OHD∽△ ODP，△ OHD∽△ DHP，2则 DO ＝ HO ?OP ；2DH ＝ OH ?HP ，∵，弦CD ⊥ AB于H ，∴＝ ＝ ，∴ AE ＝DC ＝ 8，∴ DH ＝4，设 AO ＝x ，则 HO ＝ x ﹣ 2，故 x 2＝（ x ﹣2） 2+42 ，解得： x ＝ 5，故 HO ＝ 3，即 42＝ 3?HP ，∴HP ＝ ．当点 与点 A 重合时：＝＝＝ ，M当点 M 与点 B 重合时：＝ ＝ ＝ ，当点 M 不与点 A 、 B 重合时：连结 HM 、 PM 、MO 、 DO ，2∵ DO ＝ HO ?OP ，2∴ OM ＝ HO ?OP ，∴＝ ，∵∠ AOM ＝∠ MOA ，∴△ OHM ∽△ OPM ，∴＝ ＝ ．∴综上所述，的比值不变，比值为：．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥ AB于点 E，且 BE＝2，CD＝8，点 G是⊙ O上一动点，连结 AD， AG， GD， BC．（ 1）求直径AB的长；（ 2）若G是上随意一动点，请找出图中和∠G相等的角（不在原图中增添线段或字母），并说明原因；（ 3）当△ADG和△CEB相像时，求此时A G的长．解：（ 1）如图 1，连结OC，设⊙O的半径为r ，则 OB＝OC＝ r ，∵BE＝2，∴ OE＝r ﹣2，∵直径 AB⊥ CD，∴ CE＝CD＝4，在 Rt △OEC中，依据勾股定理得，2 2 2 OC﹣ OE＝ CE，∴ r 2﹣（ r ﹣2）2＝16，∴ r ＝5，∴ AB＝2r ＝10，即：直径 AB的长为10；（ 2）∠AGD＝∠ABC＝∠ADC，原因：∵直径 AB⊥ CD，∴，∴∠ ABC＝∠ AGD（等弧所对的圆周角相等），∵∠ ADC＝∠ ABC，∴∠ AGD＝∠ ABC＝∠ ADC；（3）∵CD⊥AB，∴∠ BEC＝90°，由（ 2）知，∠AGD＝∠CBE，∵△ ADG与△ CEB相像，∴∠ ADG＝∠ BEC＝90°或∠ DAG＝∠ BEC＝90°，①当∠ ADG＝90°时，∴ AG是⊙ O的直径，∴点 G和点 B 重合，此时， AG＝ AB＝10；②当∠ DAG＝90°时，∴ DG是⊙ O的直径，如图2，在Rt △BEC中，BE＝ 2，CE＝4，∴BC＝＝2，∵△ DAG∽△ CEB，∴，∵DG＝10，∴，∴ AG＝2，即：当△ ADG 和△ CEB 相像时， AG 的长为 10 或 2 ．11．点 P 为⊙ O 内一点， 、 、 、 D 为圆上按序四个点，连结、 ， ⊥ 于点 ，连A B CAB CD OM AB M接 MP 并延伸交 CD 于点 N ，连结 PA 、 PB 、 PC 、 PD ．（ 1）如图 1，若 A 、 P 、 C 三点共线， B 、 P 、D 三点共线，且 AC ⊥ BD ，求证： PN ⊥CD ；（ 2）如图 2，若 PA ＝ PD ，PA ⊥ PD ， PC ＝ PB ，PC ⊥ PB ，求证： PN ⊥ CD ；（ 3）如图 3，在（ 2）的条件下， PA ＝ 10， PC ＝ 6，∠ APB ＝ 60°，求 MN 的长．解：∵ OM ⊥ AB 于点 M ，∴ M 是 AB 的中点；（ 1）如图 1， M 是 AB 的中点，在 Rt △ APB 中，∠ A ＝∠ APM ，∵ AC ⊥BD ，∴∠ APB ＝ 90°，∴∠ A +∠ B ＝ 90°，即：∠ APM +∠ B ＝ 90°，而∠ B ＝∠ C ，∠ APM ＝∠ CPN ，即：∠ CPN +∠ C ＝ 90°， ∴ PN ⊥CD ；（ 2）如图：过 A 点作 AE ∥ PB ，延伸 PM 至 E ，M是 AB的中点，易证：△AEN≌△ BPM（ AAS），∵AE∥PB，∴∠ EAP+∠ APB＝180°，而∠ DPC+∠ APB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ EAP＝∠ DPC，易证：△ DPC≌△ PAE（ SAS），∴∠ APE＝∠ D，而∠ APE+∠ DPN＝180°﹣90°＝90°，即：∠ D+∠ DPN＝90°，∴PN⊥CD；（ 3）依据（ 2）的思路易证：△AEN≌△ BPM（AAS），△ DPC≌△ PAE（ SAS），∴ PM＝ PE， PE＝ CD，∵∠ APB＝60°，∴∠ DPC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，在△ DPC中， PD＝ PA＝10， PC＝6，∠ DPC＝120°，易解： PN＝，CD＝14，而 PM＝ PE＝ CD＝7，∴ MN＝PM+PN＝7+，即： MN的长为7+．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，A B＝ AC，弦 BD与弦 AC订交于点 E，与⊙ O订交于点D，连结 AD、 DC．（1）证明：AE?EC＝BE?ED；（2）若AC⊥BD，证明：∠BAD＝ 3∠DAC；（3）G是BC边上一点，F是线段AG上一点，且∠BFG＝ 2∠CFG＝∠BAC，求证： 2CG＝BG．证明：（ 1）∵∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∴△ ABE∽△ DCE，∴，即 AE?EC＝ BE?ED；（ 2）证明：如上图，过点A，作 AF⊥ BC，交 BD于 G，∵△ ABC为等腰三角形，∴AF是∠ BAC的均分线，DAC＝∠ BDC∵∠ DAC和∠ BDC两个圆周角对应同样的弧，∴∠若 AC⊥BD，则：∠ BAC＝∠ FAC＝∠ DBC∴∠ BAD＝3∠ DAC；（3）以下图，在BF上去一点 H，使 AF＝ FH，∵∠ BFG＝2∠ GFC，∠ FAH＝∠ FHA，∴∠ AHF＝∠ GFC，∴∠ AHB＝∠ CFA，而 AB＝AC，∴∠ ABH＝∠ CAF，∴△ ABH≌△ CAF（ AAS），∴ BH＝A＝ HF，∴S△＝2S△＝2△，ABF ABH AFC∴2CG＝BG．13．已知：如图1，AB为⊙O的直径，M是的中点，AM交BC于D，MD＝1，DA＝2．（1）求证：△MBD∽△MAB；（2）求∠A的度数；（3）延伸AB到E，使B E＝BO，连结ME、MC，如图 2，试证明四边形MCBE是平行四边形．（1）证明：∵M是的中点，即弧MC＝弧MB，∴∠MBC＝∠MAB，而∠ BMD＝∠ AMB，∴△ MBD∽△ MAB；（2）解：∵△MBD∽△MAB，∴MB：MA＝ MD：MB，而 MD＝1， DA＝2，∴MB：3＝1： MB，∴MB＝，∵AB为直径，∴∠ AMB＝90°，∠ MBD＝＝，在 Rt △MBD中，∵tan∴∠ MBD＝30°，∴∠ A＝30°；（3）证明：连OM，∵ M是的中点，∴OD垂直均分 BC，∴ BM＝MC，∵∠ A＝30°，∴∠ MOB＝2∠ A＝60°，∴△ MOB为等边三角形，∴OB＝BM，∠ OBD＝30°，∴OB＝BE，而∠ C＝∠ A＝30°，∴∠ C＝∠ OBD＝30°，∴BE∥MC，∴四边形 MCBE是平行四边形．14．已知⊙M的直径AB的双侧有定点O和动点 P，点 A在 x 轴上，点 B在 y 轴上，点 P 在上运动，过 O作 OP的垂线，与 PB的延伸线交于点 Q，且 AB＝10．（ 1）当点 P 运动到的中点时，求 BP 的长；（ 2）若 A （ 6， 0），当点 P 运动到与点 O 对于 AB 对称时，求 OQ 的长；（ 3）若 tan ∠＝ ，当点P 运动到什么地点时， 取到最大值，并求此时 的长．OPQOQ OQ解：（ 1）如图，连结 AP ．∵ 是⊙ 的直径，点 P 是的中点，AB M∴ BP ＝AP ， PO ⊥AB ，∴ OP 垂直均分 AB ，即 OP 经过圆心 M ，∴在直角△ BMP 中， BP ＝ BM ＝5；（ 2）如图，∵ A （ 6， 0）， ∴ OA ＝6．∴在直角△ AOB 中， AB ＝10， OA ＝6， OB ＝＝＝ 8．∵点 P 与点 O 对于 AB 对称， AB 是直径，∴ OP ⊥AB ，且 OF ＝ PF ，∴ OA ?OB ＝ AB ?OF ，即 × 6× 8＝ × 10× OF ，则 OF ＝ 4.8 ．∴ OP ＝9.6 ．∵∠ QPO ＝∠ BAO ，∠ QOP ＝∠ BOA ＝90°，∴△ QOP ∽△ BOA ，∴＝，即＝，则OQ ＝ 12.8 ；（ 3）∵ tan ∠ OPQ ＝∴ ＝ ，，∴ OQ ＝ OP ．∵点 P 是上的动点，∴当 OP 是直径时， OP 取最大值 10，∴OQ 最大＝ ×10＝．15．如图，在直角坐标系 xOy 中，直线 AB 的分析式为 y ＝x +1， A 、B 两点分别在 y 轴和 x轴上， C 点是线段上的一动点．AB（ 1）过 、 、 三点的⊙ ′交 x 轴于另一点．求证： ＝ ；A C O O D AD CO（ 2）若弧 AC ，弧 CO ，弧 OD 的弧长之比为 2： 3： 1，求扇形 O ′ CmO 的面积；（ 3）当⊙ O ′与 x 轴相切时，过 O 、 C 的两点的⊙ O ″交线段 BC 于点 H （异于 B 、C 两点），又另交 OB 、 OA 于 M 、 N 两点．求的值．（ 1）证明： 把 x ＝ 0 代入 y ＝ x +1 得 y ＝ 0；把 y ＝ 0 代入 y ＝ x +1 得 x +1＝0，解得 x ＝﹣ 1， ∴ A 点坐标为（ 0， 1）， B 点坐标为（﹣ 1， 0），∴△ OAB 为等腰直角三角形， ∴∠ BAO ＝ 45°，∴∠ CO ′ O ＝ 2∠CAO ＝ 90°，而 O′C＝ O′ O，∴OC＝ O′ O，即 O′O＝OC，∵∠ AOD＝90°，∴ AD为⊙ O′的直径，∴ AD＝2O′ O＝2×OC＝OC；（2）解：作DQ⊥AB于Q，如图1，∵ AD为⊙ O′的直径，∴为半圆，∵弧 AC，弧 CO，弧 OD的弧长之比为2：3：1，∴∠ AO′ C、∠ CO′ O、∠ OO′ D的度数之比为2：3：1，∴∠ AO′ C＝60°，∠ CO′O＝90°，∠ OO′D＝30°，∴∠ OAD＝∠OO′ D＝15°，∴∠ BAD＝45°+15°＝60°，设 BQ＝t ，则 DQ＝ t ，在 Rt △ADQ中，∠ADQ＝ 30°，∴ AQ＝x， AD＝x，而 BQ+AQ＝ AB＝，∴ x+ ∴ AD＝x＝?，解得x＝＝﹣，，∴O′O＝，∴扇形O′ CmO的面积＝＝π；（ 3）解：连OH、HM，如图 2，∵△ OAB为等腰直角三角形，OA＝ OB＝1，∴∠ ABO＝45°， AB＝，2019年中考数学备考之圆压轴打破训练：提升篇(含分析)∵⊙ O′与 x 轴相切，∴O′ O⊥ x 轴，即 O′点在 y 轴上，∴OA为⊙ O′的直径，∴∠ ACO＝90°，∴OC＝AC＝ AB＝，∴OH为⊙ O″的直径，∴点 O″为 OH的中点，∴O′ O″为△ OAH的中位线，∴O′ O″＝ AH，即 AH＝2O′ O″，∵OH为⊙ O″的直径，∴∠ HMO＝90°，∴△ BHM为等腰直角三角形，∴ BM＝BH＝（ AB﹣ AH）＝（﹣ 2O′O″）＝ 1﹣O′ O″，∴ OM＝OB﹣ BM＝1﹣（1﹣O′ O″）＝O′ O″，∵AN?AO＝ AC?AH，∴ AN?1＝?AH，∴ AN＝AH＝?2O′O″＝O′ O″，∴＝＝2．31 / 31。
备战中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练及详细答案
备战中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练及详细答案一、圆的综合1．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若tan∠CAF=12，求12SS的值．【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4【解析】【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得»»»CD PB PD==，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=34x，代入面积公式可得结论．【详解】（1）连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACB+∠BCD=90°，∵AD⊥CG，∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠ACB=∠G=48°；（2）∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，由（1）得：∠G=∠ACB，∴∠BCG=∠DAC，∴»»CD PB=，∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，∴»»CD PD=，∴»»»CD PB PD==，∴∠BAD=2∠DAC，∵∠COF=2∠DAC，∴∠BAD=∠COF；（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x，∵tan∠CAF=12=CF AF，∴AF=2x，∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，∵∠OFC=∠AGO=90°，∴△COF≌△OAG，∴OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x﹣a，Rt△COF中，CO2=CF2+OF2，∴（2x﹣a）2=x2+a2，a=34 x，∴OF=AG=34 x，∵OA=OB，OG⊥AB，∴AB=2AG=32x，∴1213··3 22 1·24·2AB OG x xSS x xCF AF===．【点睛】圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；（2）根据外角的性质和圆的性质得：»»»==；（3）利用三角函数设未知数，根CD PB PD据勾股定理列方程解决问题．2．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB=S△P'CB，S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．PC==6．考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．3．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有¶BG=¶ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴¶AD=¶¶BC BD∴，=¶AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12 BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴¶BG=¶ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB ∥DC 证到AC =BD 是解决第（2）小题的关键，由EG ∥DB 证到BG =DE 是解决第（3）小题的关键．4．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3，﹣1），点A 的坐标为（﹣2，3），点B 的坐标为（﹣3，0），点C 在x 轴上，且点D 在点A 的左侧． （1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与BC 相切，且切点为BC 的中点时，连接BD ，求：①t 的值；②∠MBD 的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，求t 的值．【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=633 【解析】 分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD 为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t 3=2t +6，解出即可； 第二种情况：如图6，同理可得t 的值．详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．∵点A 的坐标为（﹣23），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE 3，BE =3﹣2=1，∴AB 22AE BE +2231+（）=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8；（2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ．∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；②由（1）可知：BE =1，AE 3∴tan∠EBA=AEBE =31=3，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=12∠FBA=11202⨯︒=60°．∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：第一种情况：如图5．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；第二种情况：如图6．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=MEBE，EB=160tan︒=3，∴3t=2t+6+3，t=6+3；综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+33．点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt △AOD 中，OA =1，sin D =13，∴OD =OA sinD =3，∴CD =OD ﹣OC =2． ∵AD =22OD OA -=22． 又∵△CED ∽△ACD ，∴AD CD CD DE =，∴DE =2CD AD=2， ∴AE =AD ﹣DE =22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC ∽△DCA 是解题的关键．6．如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．38313 24313n+ 【解析】 分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ． 本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1. ∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .∵h＝32a2，∴1＝(3a2－1)2＋14a22，解得a2＝83.(3)同(2)，连结B n O，设B n C n与PQ交于点F，则有B n O2＝OF2＋B n F2，即1＝(nh－1)2＋2 12na⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵h＝3a n，∴1＝14a n2＋2312nna⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，解得a n＝43n.7．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【答案】10cm【解析】分析：先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．详解：解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=12AB=12×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm 在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．8．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。
中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练含答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．在⊙O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．（1）求证：AD=BD．（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．（3）若⊙O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I 随之运动形成的路径长．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3）23【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心∴CI平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD=弧BD∴AD=BD（2）AB=DI理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD∴∠BCD=×120°=60°∵弧BD=弧BD∴∠DAB=∠BCD=60°∵AD=BD∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=∠C∵I是△ABC的内心∴BI平分∠ABC∴∠CBI=∠ABI∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD∴∠BID=∠IBD∴ID=BD∵AB=BD∴AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD∴∠AED=∠ACB=×120°=60°∵圆的半径为2，DE是直径∴DE=4，∠EAD=90°∴AD=sin∠AED×DE=×4=2∵点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°∴弧AB的度数为120°，∴弧AM、弧BF的度数都为为40°∴∠ADM=20°=∠FAB∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°∴∠DAI1=∠AI1D∴AD=I1D=2∴弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.3．如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接O C、BC、CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若圆O的直径等于2，填空：①当AD=时，四边形OADC是正方形；②当AD=时，四边形OECB是菱形．【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．【解析】试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．试题解析：解：∵AM⊥AB，∴∠OAD=90°．∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，∴△OAD≌△OCD，∴∠OCD=∠OAD=90°．∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）①∵当四边形OADC是正方形，∴AO=AD=1．故答案为：1．②∵四边形OECB是菱形，∴OE=CE．又∵OC=OE，∴OC=OE=CE．∴∠CEO=60°．∵CE∥AB，∴∠AOD=60°．在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，∴AD=．故答案为：．点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．4．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D 作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．【答案】详见解析【解析】【分析】（1）连接OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由∠ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB．（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到AD5222===△ACE为等腰直角三角形，得到AE CE3222====，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=2，则CD=2，易证得∴△PDA∽△PCD，得到PD PA AD52PC PD CD72===，所以PA=57PD，PC=75PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．【详解】解：（1）证明：如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD=45°．∴∠DAB=∠ABD=45°．∴△DAB为等腰直角三角形．∴DO⊥AB．∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD．∴DP∥AB．（2）在Rt△ACB中，，∵△DAB为等腰直角三角形，∴．∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形．∴．在Rt△AED中，，∴．∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45°．∴∠PAD=∠PCD．又∵∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD．∴．∴PA=75PD，PC=57PD．又∵PC=PA+AC，∴75PD+6=57PD，解得PD=．5．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC,垂足为H，连接OB．(1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;(2)如图2,在弧AC上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC=600，求证:GF=GD;(3)如图3,在(2)的条件下,AF、BC的延长线相交于点E,若AF：FE=1:9，求sin∠ADG的值。
2019备战中考数学(北师大版)专题练习-圆(含答案)[1]
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2019备战中考数学(北师大版）专题练习—圆（含答案）一、单选题1。
如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（）A. 100°B。
110°C。
120°D。
135°2。
如图,P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（ )A。
18πcm B. 16πcmC。
20πcmD. 24πcm3。
如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°,则∠OCD的度数是（）A. 40°B. 45°C. 50°D。
60°4.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M,则下列结论一定正确的是( ）A。
AC=CD B。
OM=BMC. ∠A=∠ACD D。
∠A= ∠BOD5.在⊙O中,AB、CD是两条相等的弦，则下列说法中错误的是（）A. AB、CD所对的弧一定相等B。
AB、CD 所对的圆心角一定相等C。
△AOB和△COD能完全重合 D. 点O到AB、CD的距离一定相等6.过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（）A. 1条 B. 2条 C. 3条D。
中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附答案
中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附答案一、圆的综合1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；又∵AC=BC，∴AE=BE．（2）证明：连接OE，如图2所示：∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=．点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．试题解析：（1）证明：连接OC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∵∴∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA=60°，∴∠BAC=∠EAC=30°，∵△AEC为直角三角形，AE=3，∴AC=2，连接OF，∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，∴△OAF为等边三角形，∴AF=OA=AB，在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，∴BC=2，∴AB=4，∴AF=2．考点：切线的性质．3．如图，AB 为O e 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． ()1DE 是O e 的切线吗？请说明理由；()2求证：2AC CD BE =⋅．【答案】（1）结论：DE 是O e 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE V V ∽即可解决问题.【详解】()1解：结论：DE 是O e 的切线．理由：连接OD ．CDB ADE ∠=∠Q ，ADC EDB ∴∠=∠，//CD AB Q ，CDA DAB ∴∠=∠，OA OD =Q ，OAD ODA ∴∠=∠，ADO EDB ∴∠=∠，AB Q 是直径，90ADB ∴∠=o ，90ADB ODE ∴∠=∠=o ，DE OD ∴⊥，DE∴是Oe的切线．()2//CD ABQ，ADC DAB∴∠=∠，CDB DBE∠=∠，AC BD∴=n n，AC BD∴=，DCB DAB∠=∠Q，EDB DAB∠=∠，EDB DCB∴∠=∠，CDB∴V∽DBEV，CD DBBD BE∴=，2BD CD BE∴=⋅，2AC CD BE∴=⋅．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2) 25-504π.【解析】分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE是⊙O的切线；（2）连接OD，用扇形ODA的面积减去△AOD的面积即可.详解：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠BAC+∠ABC=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠ADC=∠ABC，∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°，即∠BAE= 90°∴直线AE是⊙O的切线；（2）连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形＝=90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= （2cm ）点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.5．已知：AB 是⊙0直径,C 是⊙0外一点,连接BC 交⊙0于点D ，BD=CD,连接AD 、AC ．(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD(2)如图2,过点C 作CF ⊥AB 于点F,交⊙0于点E,延长CF 交⊙0于点G.过点作EH ⊥AG 于点H ，交AB 于点K,求证AK=2OF ；(3)如图3,在(2)的条件下,EH 交AD 于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL 的长.图1 图2 图3【答案】(1)见解析(2)见解析12105【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB =90°，再证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论；（2）连接BE ．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB =∠BEG ．再证△KFE ≌△BFE ，得到BF =KF =BK ．由OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，即可得到结论．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．先证CM 垂直平分AG ，得到AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．再证∠GAF =∠GCM =α．通过证明△AGB ≌△CMG ，得到BG =GM =12AG ．再证明∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 可得GF =2a ，AF =4a ． 由OK =1，得到OF =a +1，AK =2（a +1），AF = 3a +2，得到3a +2=4a ，解出a 的值，得到AF ，AB ，GF ，FC 的值．由tanα=tan ∠HAK =12HK AH =， AK =6，可以求出 AH 的长．再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD∠+∠-∠⋅∠，得到∠GAD =45°，则AL =2AH ，即可得到结论．试题解析：解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°．∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ．（2）连接BE ．∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG ．∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°．∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF ．∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =BK ．∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF ．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．∵AC =CG ， ∴点C 在AG 的垂直平分线上．∵ OA =OG ，∴点O 在AG 的垂直平分线上， ∴CM 垂直平分AG ，∴AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．∵AF ⊥CG ，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF =∠GCM =α．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AGB = 90°，∴∠AGB =∠CMG =90°．∵AB =AC =CG ，∴△AGB ≌△CMG ，∴BG =GM =12AG ．在Rt △AGB 中， 1tan tan 2GB GAB AG α∠=== ． ∵∠AMC =∠AGB = 90°，∴BG ∥CM ， ∴∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 1tan tan 2BF BGF GF α∠===，∴GF =2a ，1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ，AF =4a ．∵OK =1，∴OF =a +1，AK =2OF =2（a +1），∴AF =AK +KF =a +2（a +1）=3a +2，∴3a +2=4a ，∴a =2， AK =6，∴AF =4a =8，AB =AC =CG =10，GF =2a =4，FC =CG -GF =6．∵tanα=tan ∠HAK =12HK AH =，设KH =m ，则AH =2m ，∴AK =22(2)m m +=6，解得：m =655，∴AH =2m =1255．在Rt △BFC 中，1tan 3BF BCF FC ∠== ．∵∠BAD +∠ABD =90°， ∠FBC +∠BCF =90°，∴∠BCF =∠BAD ，1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠=1123111123+=-⨯，∴∠GAD =45°，∴HL=AH ，AL =2AH = 1210．6．如图，AB 是圆O 的直径，射线AM ⊥AB ，点D 在AM 上，连接OD 交圆O 于点E ，过点D 作DC=DA 交圆O 于点C （A 、C 不重合），连接O C 、BC 、CE ．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若圆O的直径等于2，填空：①当AD=时，四边形OADC是正方形；②当AD=时，四边形OECB是菱形．【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．【解析】试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．试题解析：解：∵AM⊥AB，∴∠OAD=90°．∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，∴△OAD≌△OCD，∴∠OCD=∠OAD=90°．∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）①∵当四边形OADC是正方形，∴AO=AD=1．故答案为：1．②∵四边形OECB是菱形，∴OE=CE．又∵OC=OE，∴OC=OE=CE．∴∠CEO=60°．∵CE∥AB，∴∠AOD=60°．在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，∴AD=．故答案为：．点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．7．(8分)已知AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有ED＝EF.(1)如图①，求证：ED为⊙O的切线；(2)如图②，直线ED与切线AG相交于G，且OF＝2，⊙O的半径为6，求AG的长．【答案】（1）见解析；（2）12【解析】试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO 的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：（1）连接OD，∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EDF=∠CFO．∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．∵OC⊥AB，∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，由（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10．∵sin∠EOD=45EDEO=，cos∠EOD=35ODOE=，∴DM=OD•sin∠EOD=6×45=245，MO=OD•cos∠EOD=6×35=185，∴EM=EO﹣MO=10﹣18 5=325，EA=EO+OA=10+6=16．∵GA切⊙O于点A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴DM EMGA EA=，即24325516GA=，解得GA=12．点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；（2）通过相似三角形的性质找出相似比．8．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧»OB上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2=PE•PF；（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．【答案】（1）详见解析；（2）D 3，34a），E33a，34a），F3，0），P 3，2a）；S△DEF33a2．【解析】试题分析：（1）连接PB，OP，利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD，得出PB PEOP PD=，同理，△OPF∽△BPD，得出PB PDOP PF=，然后利用等量代换即可．（2）连接O1B，O1P，得出△O1BP和△O1PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积．试题解析：（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP=∠PDO=90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP=∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴=，同理，△OPF∽△BPD∴=，∴=，∴PD2=PE•PF；（2）连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，∴∠ABP=30°，∴∠O1BP=90°﹣30°=60°，∵O1B=O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B=BP，∵P为弧BO的中点，∴BP=OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P=OP=a，∴∠O1OP=60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，∴O1D=a，OD=a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM=OD=a，OM=DM=a，∴D（﹣a， a），∵∠O1OF=90°，∠O1OP=60°∴∠POF=30°，∵PE⊥OA，∴PF=OP=a，OF=a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，∴∠ABP=∠BOP=30°，∵PE⊥AB，PB=a，∴∠EPB=60°∴PE=a，BE=a，∵P为弧BO的中点，∴BP=PO，∴∠PBO=∠BOP=30°，∴∠BPO=120°，∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，即OPE三点共线，∵OE=a+a=a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA=30°，∴EM=OE=a，OM=a，∴E（﹣a， a），∵E（﹣a， a），D（﹣a， a），∴DE=﹣a﹣（﹣a）=a，DE边上的高为： a，∴S△DEF=×a×a=a2．故答案为：D（﹣a， a），E（﹣a， a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF=a2．9．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是BC上的一点，且PB＜PC，PA交BC于E，点F 是PC延长线上的点，CF=PB，13PA=4．（1）求证：△ABP≌△ACF；（2）求证：AC2=PA•AE；（3）求PB和PC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC ，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP ，于是可根据“SAS”判断△ABP ≌△ACF ；（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC ，于是可判断△ACE ∽△APC ，然后利用相似比即可得到结论；（3）先利用AC 2=PA•AE 计算出AE=134 ，则PE=AP-AE=34，再证△APF 为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP ∽△CEP ，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB 和PC 看作方程x 2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB 和PC 的长．试题解析：（1）∵∠ACP+∠ABP=180°，又∠ACP+∠ACF=180°，∴∠ABP=∠ACF在ABP ∆和ACF ∆中，∵AB=AC ，∠ABP=∠ACF ， CF PB =∴ABP ∆≌ACF ∆．(2)在AEC ∆和ACP ∆中，∵∠APC=∠ABC ，而ABC ∆是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º，∴∠ACE =∠APC .又∠CAE =∠PAC ，∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴AC AE AP AC=,即2AC PA AE =⋅. 由（1）知ABP ∆≌ACF ∆，∴∠BAP=∠CAF ， CF PB =∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°.∴APF ∆是等边三角形∴AP=PF∴4PB PC PC CF PF PA +=+===在PAB ∆与CEP ∆中，∵∠BAP=∠ECP ，又∠APB=∠EPC=60°，∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴PB PA PE PC=,即PB PC PA PE ⋅=⋅ 由（2）2AC PA AE =⋅， ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()2222224133PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-=因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解．解这个方程，得11x =， 23x =．∵PB<PB ，∴PB=11x =，PC=23x =，∴PB 和PC 的长分别是1和3。
2019年初升高数学衔接辅导之圆(含答案)
沈进老师专用资料10 圆高中必备知识点 1：直线与圆的地点关系设有直线 l 和圆心为 O 且半径为 r 的圆，如何判断直线 l 和圆 O 的地点关系？察看图 ，不难发现直线与圆的地点关系为：当圆心到直线的距离 d > r 时，直线和圆相离， 如圆 O 与直线 l 1 ；当圆心到直线的距离 d = r 时，直线和圆相切，如圆 O 与直线 l 2 ；当圆心到直线的距离 d < r 时，直线和圆订交，如圆 O 与直线 l 3 .在直线与圆订交时，设两个交点分别为 A 、B.若直线经过圆心，则 AB 为直径；若直线不经过圆心，如图 ，连结圆心 O 和弦 AB 的中点 M 的线段 OM 垂直 于这条弦 .且在中， 为圆的半径 r， 为圆心到直线的距离 ，ABRtVOMAOAOMdMA 为弦长 AB 的一半，依据勾股定理，有 r 2- d 2= (AB)2 .2当直线与圆相切时，如图，为圆 O 的切线，可得， PA. ，PA, PBPA PB OA且在 Rt POA 中， PO 2PA 2 OA 2 .如图，为圆 O的切线，为圆 O 的割线，我们能够证得 PATPTB ，PT PAB因此 PT 2PA PB .典型考题【典型例题】在同一平面直角坐标系中有5 个点： A （ 1， 1）， B （﹣ 3，﹣ 1）， C （﹣ 3，1）， D （﹣ 2．﹣2）．（1）画出△ABC 的外接圆⊙P，并指出点 D 与⊙ P 相的地点关系；（2） E 点是y 轴上的一点，若直线DE 与⊙ P 相切，求点 E 的坐标．【变式训练】在平面直角坐标系xOy 中，对于P、 Q 两点给出以下定义：若点P 到x、 y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x、 y 轴的距离中的最大值，则称P、 Q 两点为“等距点”，如图中的P、 Q两点即为“等距点”．（1）已知点 A 的坐标为（﹣3， 1）①在点E（ 0， 3）、F （ 3，﹣ 3）、 G（ 2，﹣ 5）中，点 A 的“等距点”是；②若点 B 在直线y＝ x+6 上，且A、 B 两点为“等距点”，则点 B 的坐标为；（2）直线l： y＝kx﹣ 3（ k＞0）与x 轴交于点C，与y 轴交于点 D ．①若 T1（﹣ 1， t1）、T2（ 4， t2）是直线l 上的两点，且T1、 T2为“等距点”，求 k 的值；②当 k＝ 1 时，半径为 r 的⊙ O 上存在一点 M，线段 CD 上存在一点 N，使得 M、N 两点为“等距点”，直接写出 r 的取值范围．【能力提高】如图，在平面直角坐标系中，已知点．请在图中作出经过点A、 B、C 三点的，并写出圆心M 的坐标；，试判断直线BD 与的地点关系，并说明原因．高中必备知识点2：点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点依照某个条件运动形成的图形，它是切合某个条件的全部点构成的 .比如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就获得一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于 r ；同时，到定点的距离等于 r 的全部点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r 的点的轨迹.我们把切合某一条件的全部的点构成的图形，叫做切合这个条件的点的轨迹 .这里含有两层意思：（1）图形是由切合条件的那些点构成的，就是说，图形上的任何一点都知足条件；（ 2）图形包括了切合条件的全部的点，就是说，切合条件的任何一点都在图形上 .下边，我们议论一些常有的平面内的点的轨迹.从上边对圆的议论，能够得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直均分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直均分线上 .因此有下边的轨迹：和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直均分线.由角均分线性质定理和它的逆定理，相同能够获得另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的均分线.典型考题【典型例题】如图，点，将绕点旋转获得.（1）请在图中画出，并写出点的坐标；（2）求旋转过程中点的轨迹长.【变式训练】阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q 的坐标分别是P（ x1， y1）、Q（ x2，y2），则P、Q 这两点间的距离为|PQ|= ．如P（ 1，2），Q（ 3，4），则 |PQ|= =2 ．对于某种几何图形给出以下定义：切合必定条件的动点形成的图形，叫做切合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直均分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线 y=kx+ 交 y 轴于点 A，点 A 对于 x 轴的对称点为点 B，过点 B 作直线 l 平行于 x 轴．（1）到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点的轨迹是；（2）若动点 C（ x，y）知足到直线 l 的距离等于线段CA 的长度，求动点 C 轨迹的函数表达式；问题拓展：（ 3）若（ 2）中的动点 C 的轨迹与直线y=kx+ 交于 E、F 两点，分别过E、F 作直线 l 的垂线，垂足分别是 M、N，求证：① EF 是△ AMN 外接圆的切线；②为定值．【能力提高】在数学上，我们把切合必定条件的动点所形成的图形叫做知足该条件的点的轨迹．比如：动点 P 的坐标知足（ m，m﹣1），全部切合该条件的点构成的图象在平面直角坐标系xOy 中就是一次函数 y=x﹣ 1 的图象．即点 P 的轨迹就是直线 y=x﹣ 1．（1）若 m、n 知足等式 mn﹣ m=6，则（ m，n﹣ 1）在平面直角坐标系 xOy 中的轨迹是；（2）若点 P（ x， y）到点 A（ 0， 1）的距离与到直线y=﹣1 的距离相等，求点P 的轨迹；（3）若抛物线 y= 上有两动点 M 、N 知足 MN=a（ a 为常数，且 a≥4），设线段 MN 的中点为Q，求点 Q 到 x 轴的最短距离．专题查收测试题1．四边形ABCD 内接于圆，∠A、∠ B、∠ C、∠ D 的度数比可能是（）A．1：3：2：4 B． 7： 5： 10： 8 C． 13： 1： 5： 17 D．1： 2：3：42．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a），半径为2，直线y＝﹣ x 与⊙ P 订交于 A、 B 两点，若弦AB 的长为 2 3 ，则 a 的值是（）A．﹣ 2 2 B．﹣ 2+ 2 C．﹣ 2﹣ 3 D．﹣ 2﹣ 23．如图，在边长为 2 的正方形ABCD 中，以点 D 为圆心，AD 为半径画，再以BC 为直径画半圆，若暗影部分①的面积为S1，暗影部分②的面积为S2，则图中 S2﹣S1的值为（）A．﹣4 B．+4 C．﹣2 D．+22，0），B（0，3 2），⊙O 4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 AB 过点 A（﹣ 3的半径为1（ O 为坐标原点），点 P 在直线 AB 上，过点 P 作⊙ O 的一条切线 PQ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（）A ．7 B． 2 2 C．3 D．105．以O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 以下图摆放，直角极点 B 在零刻度线所在直线DE 上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P 的读数为35°，则∠ CBD 的度数是（）A．55°B． 45°C．35°D． 256．如图，⊙O 与直线l 1相离，圆心O 到直线l 1的距离OB＝2 3 ，OA＝4，将直线l 1绕点A 逆时针旋转30°后获得的直线l 2恰好与⊙O 相切于点C，则OC＝( )A ． 1 B． 2 C．3 D． 47．在平面直角坐标系xOy 中，点 O（ 0， 0）， A（2， 0）， B（ 0， 2 3 ），C（﹣2，0）．将△OAB 绕点 O 顺时针旋转α（ 0°＜α＜ 360°）获得△ OA′B（′（此中点 A 旋转到点 A′的地点），设直线 AA′与直线 BB′订交于点 P，则线段 CP 长的最小值是（）A．222 B．232 C．2 D．2528．如图，在平面直角坐标系中，点P 是以 C（﹣2，7）为圆心， 1 为半径的⊙ C 上的一个动点，已知 A（﹣ 1，0）， B（ 1， 0），连结 PA， PB，则 PA2+PB2的最小值是（）A．6B． 8C．10D．129．如图， OA 在 x 轴上， OB 在 y 轴上， OA＝ 4， OB＝ 3，点 C 在边 OA 上， AC＝ 1，⊙ P 的圆心 P 在线段 BC 上，且⊙ P 与边 AB， AO 都相切．若反比率函数y＝k（ k≠0）的图象经x过圆心 P，则 k 的值是（）A ．a 2 b 25C．5B．D．﹣ 23 210．如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标 (0，2 3 )，∠AOC＝45°，∠ACO＝30°，则OC的长为 ()A．6+2 B．6﹣2 C．2 3+ 2 D．2 2+ 311．和平中学自行车泊车棚顶部的剖面以下图，已知 AB＝ 16m ，半径 OA＝ 10m，高度 CD 为____ m．12．如图，扇形纸扇完整翻开后，外侧两竹条AB， AC 夹角为 150 °， AB 的长为 18cm， BD 的长为 9cm，则DE的长为 _____cm．13．阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点 O 表示数 0，点 A 表示数 1，点 B 表示数 5，以 AB 为直径作半圆（如图）；第二步：以 B 点为圆心， 1 为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以 A 点为圆心，AC 为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下边的数轴中达成第三步的绘图（保存作图印迹，不写画法），并写出点M 表示的数为________．14．圆内接正六边形的一条边所对的圆心角的度数为________．15．整数m 知足y m25 m(m 4)0，若以m 值为直角三角形的斜边长，则该m 3直角三角形外接圆半径为_____．16．如图，⊙ O 的半径为2，点A 的坐标为（2，2 3 ），直线AB 为⊙ O 的切线， B 为切点．则B 点的坐标为_______．17．如图，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，且对角线 AC 为直径， AD＝ BC，过点 D 作DG⊥ AC，垂足为E， DG 分别与 AB，⊙ O 及 CB 延伸线交于点F、 G、M．（1 ）求证：四边形ABCD 为矩形；（2 ）若 N 为 MF 中点，求证： NB 是⊙ O 的切线；（3 ）若 F 为 GE 中点，且 DE＝ 6，求⊙ O 的半径．18．如图， A、B 是⊙ O 上的两个定点， P 是⊙ O 上的动点（ P 不与 A、B 重合）、我们称∠ APB 是⊙ O 上对于点 A、 B 的滑动角．（1）已知∠ APB 是⊙ O 上对于点A、 B 的滑动角，①若 AB 是⊙ O 的直径，则∠APB＝°；②若⊙O 的半径是1， AB＝ 2 ，求∠APB 的度数；（2）已知O2是⊙ O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1订交于A、B 两点，∠ APB 是⊙ O1 上对于点 A、B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交⊙ O2于 M、N（点 M 与点 A、点 N 与点 B 均不重合），连结 AN，尝试究∠ APB 与∠ MAN 、∠ ANB 之间的数目关系．19．如图， BE 是⊙ O 的直径，点 A 和点 D 是⊙ O 上的两点，过点 A 作⊙ O 的切线交BE 延长线于点 C，(1)若∠ ADE＝ 28°，求∠ C 的度数；(2)若 AC＝ 6， CE＝ 3，求⊙ O 半径的长．20．如图，在△ ABC 中， AB＝AC ，以腰 AB 为直径作半圆，分别交B C、 AC 于点 D 、E，连结 DE．(1)求证： BD ＝ DE；(2)若 AB＝ 13， BC＝ 10，求 CE 的长．21．对于平面直角坐标系 xOy 中的随意两点M x1, y1 ，N x2 , y2，给出以下定义：点M 与点 N 的“折线距离”为：d M , Nx1 x2 y1 y2．比如：若点M(-1 ，1)，点N(2， -2) ，则点 M 与点 N 的“折线距离”为：d M , N 1 2 1 2 3 3 6 ．依据以上定义，解决以下问题：（1 ）已知点P(3 ， -2) ．①若点 A(-2 ， -1) ，则 d(P， A)= ；②若点 B(b，2)，且 d(P，B)=5，则 b= ；③已知点 C（ m,n）是直线y x 上的一个动点，且d(P，C)<3，求m的取值范围．（2）⊙ F 的半径为 1，圆心 F 的坐标为 (0， t)，若⊙ F 上存在点 E，使 d(E， O)=2 ，直接写出 t 的取值范围．22．以下图，△A BC 中，点 D 是 AB 上一点，且AD＝ CD，以 CD 为直径的⊙ O 交 BC 于点 E，交 AC 于点 F，且点 F 是半圆 CD 的中点．（1）求证： AB 与⊙ O 相切．（2）若 tanB＝ 2， AB＝ 6，求 CE 的长度．专题 10圆高中必备知识点 1：直线与圆的地点关系设有直线 l 和圆心为 O 且半径为 r 的圆，如何判断直线l 和圆 O 的地点关系？察看图 ，不难发现直线与圆的地点关系为：当圆心到直线的距离d > r 时，直线和圆相离， 如圆 O 与直线 l 1 ；当圆心到直线的距离 d = r 时，直线和圆相切，如圆 O 与直线 l 2 ；当圆心到直线的距离 d < r 时，直线和圆订交，如圆 O 与直线 l 3 .在直线与圆订交时，设两个交点分别为 A 、B.若直线经过圆心，则 AB 为直径；若直线不经过圆心，如图 ，连结圆心 O 和弦 AB 的中点 M 的线段 OM 垂直 于这条弦 .且在中， 为圆的半径 r， 为圆心到直线的距离 ，ABRtVOMAOAOMdMA 为弦长 AB 的一半，依据勾股定理，有 r 2- d 2= (AB)2 .2当直线与圆相切时，如图，为圆 O 的切线，可得， PA. ，PA, PBPA PB OA且在 Rt POA 中， PO 2PA 2 OA 2 .如图，为圆 O的切线，为圆 O 的割线，我们能够证得 PATPTB ，PT PAB因此 PT 2PA PB .典型考题【典型例题】在同一平面直角坐标系中有5 个点： A （ 1， 1）， B （﹣ 3，﹣ 1）， C （﹣ 3，1）， D （﹣ 2．﹣2）．（1 ）画出△ ABC 的外接圆⊙ P，并指出点 D 与⊙ P 相的地点关系；（2 ） E 点是 y 轴上的一点，若直线 DE 与⊙ P 相切，求点 E 的坐标．【答案】（ 1）看法析，点 D 在⊙ P 上；（ 2） E（ 0，﹣ 3）．【分析】（1）以下图：△ABC 外接圆的圆心为（﹣1， 0），点D在⊙P上；（2）连结 PD，∵直线DE 与⊙ P 相切，∴PD ⊥ PE，利用网格过点 D 做直线的 DF ⊥ PD ，则 F（﹣ 6， 0），设过点 D， E 的直线分析式为：y＝kx+b，∵D （﹣ 2，﹣ 2）， F（﹣ 6， 0），∴，解得：，∴直线 DE 分析式为： y＝﹣x﹣ 3，∴x＝ 0 时， y＝﹣ 3，∴E（ 0，﹣ 3）．【变式训练】在平面直角坐标系大值等于点Q 到xOy 中，对于P、 Q 两点给出以下定义：若点P 到 x、 y 轴的距离中的最x、 y 轴的距离中的最大值，则称P、 Q 两点为“等距点”，如图中的P、 Q两点即为“等距点”．（1）已知点 A 的坐标为（﹣3， 1）①在点E（ 0， 3）、F （ 3，﹣ 3）、 G（ 2，﹣ 5）中，点 A 的“等距点”是；②若点 B 在直线y＝ x+6 上，且A、 B 两点为“等距点”，则点 B 的坐标为；（2）直线l： y＝kx﹣ 3（ k＞0）与x 轴交于点C，与y 轴交于点 D ．①若 T1（﹣ 1， t1）、T2（ 4， t2）是直线l 上的两点，且T1、 T2为“等距点”，求 k 的值；②当 k＝ 1 时，半径为 r 的⊙ O 上存在一点 M，线段 CD 上存在一点 N，使得 M、N 两点为“等距点”，直接写出 r 的取值范围．【答案】（ 1）① E、F ；②（﹣ 3， 3）；（ 2）① k 的值为 1 或 2；②≤r≤3 ．【分析】（1）①∵点A（﹣ 3， 1）到 x、 y 轴的距离中最大值为3，∴与 A 点是“等距点”的点是 E、 F．②点 B 在直线 y＝ x+6 上，当点 B 坐标中到x、y 轴距离此中起码有一个为（﹣ 3， 3）、（﹣ 9，﹣ 3），这些点中与 A 切合“等距点”的是（﹣ 3， 3）．故答案为① E、 F；②（﹣ 3， 3）；3 的点有（ 3，9）、（2）∵ T1（﹣ 1， t1）、 T2（ 4， t2）是直线 l 上的两点，∴t 1＝﹣ k﹣ 3， t＝ 4k﹣ 3．∵k＞ 0，∴|﹣ k﹣ 3|＝ k+3＞3， 4k﹣3＞﹣ 3．依照“等距点”定义可得：当﹣ 3＜ 4k﹣ 3＜ 4 时， k+3＝ 4，解得 k＝1；当 4k﹣ 3≥4时， k+3＝ 4k﹣ 3，解得 k＝2．综上所述， k 的值为 1 或 2．②∵ k＝ 1，∴y＝ x﹣ 3 与坐标轴交点C（0，﹣ 3）、 D （3， 0），线段 CD ＝ 3．N 点在CD 上，则N 点到x、 y 轴的距离最大值中最小数为，若半径为r 的⊙ O 上存在一点M 与N 是“等距点”，则r 最小值为，r 的最大值为CD 长度 3．因此 r 的取值范围为≤r≤3 ．故答案为 E、 F ；（﹣ 3， 3）【能力提高】如图，在平面直角坐标系中，已知点．请在图中作出经过点，试判断直线A、 B、CBD 与三点的，并写出圆心 M的地点关系，并说明原因．的坐标；【答案】以下图看法析，圆心M 的坐标为直线BD与相切，原因看法析.【分析】以下图，即为所求．由图知，圆心M 的坐标为；连结 MB，DB，DM，，，是直角三角形，，即，直线 BD 与相切．高中必备知识点2：点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点依照某个条件运动形成的图形，它是切合某个条件的全部点构成的 .比如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就获得一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于 r ；同时，到定点的距离等于 r 的全部点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长 r 的点的轨迹.我们把切合某一条件的全部的点构成的图形，叫做切合这个条件的点的轨迹 .这里含有两层意思：（1）图形是由切合条件的那些点构成的，就是说，图形上的任何一点都知足条件；（ 2）图形包括了切合条件的全部的点，就是说，切合条件的任何一点都在图形上 .下边，我们议论一些常有的平面内的点的轨迹.从上边对圆的议论，能够得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直均分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直均分线上.因此有下边的轨迹：和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直均分线.由角均分线性质定理和它的逆定理，相同能够获得另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的均分线.典型考题【典型例题】如图，点，将绕点旋转获得.（1）请在图中画出，并写出点的坐标；（2）求旋转过程中点的轨迹长.【答案】（ 1）图形看法析,；(2)5π.【分析】解：（ 1）以下图，即为所求出；；（2）连结，∵，∴旋转过程中点的轨迹长.【变式训练】阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q 的坐标分别是P（ x1， y1）、Q（ x2，y2），则 P、Q 这两点间的距离为|PQ|=．如P（1，2），Q（3，4），则 |PQ|==2．对于某种几何图形给出以下定义：切合必定条件的动点形成的图形，叫做切合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直均分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线 y=kx+ 交 y 轴于点 A，点 A 对于 x 轴的对称点为点 B，过点 B 作直线 l 平行于 x 轴．（1 ）到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点的轨迹是；（2 ）若动点 C（ x，y）知足到直线 l 的距离等于线段CA 的长度，求动点 C 轨迹的函数表达式；问题拓展：（ 3）若（ 2）中的动点 C 的轨迹与直线y=kx+ 交于 E、F 两点，分别过E、F 作直线 l 的垂线，垂足分别是 M、N，求证：① EF 是△ AMN 外接圆的切线；②为定值．【答案】（ 1） x2+（ y﹣）2 =1；（ 2）动点 C 轨迹的函数表达式 y= x2；（3）①证明看法析；②证明看法析 .【分析】（1）设到点 A 的距离等于线段AB 长度的点 D 坐标为（ x， y），2 2 2∴AD =x +（y﹣），∵直线 y=kx+ 交 y 轴于点 A，∴A（ 0，），∵点 A 对于 x 轴的对称点为点B，∴B（ 0，﹣），∴AB =1，∵点 D 到点 A 的距离等于线段AB 长度，∴x2+（ y﹣）2=1，故答案为： x2+（ y﹣）2=1；（2）∵过点 B 作直线 l 平行于 x 轴，∴直线 l 的分析式为y=﹣，∵C（ x， y）， A（0，），∴AC 2=x2+（ y﹣）2，点 C 到直线 l 的距离为：（y+ ），∵动点 C（ x， y）知足到直线 l 的距离等于线段 CA 的长度，∴x2+（ y﹣）2=（ y+ ）2，∴动点 C 轨迹的函数表达式 y= x2；（3）①如图，设点 E（m， a）点 F（ n， b），∵动点 C 的轨迹与直线y=kx+ 交于 E、F 两点，∴，∴x2﹣2kx﹣ 1=0 ，∴m+n=2 k， mn=﹣ 1，∵过 E、F 作直线 l 的垂线，垂足分别是M、 N，∴M （ m，﹣），N（n，﹣），∵A（ 0，），∴AM 2+AN2=m2+1+ n2+1= m2+n2+2= （ m+n）2﹣ 2mn+2=4k2+4 ，MN 2=（ m﹣n）2=（ m+n）2﹣ 4mn=4k2+4，2 2 2∴AM +AN =MN，∴△ AMN 是直角三角形，MN 为斜边，取 MN 的中点 Q，∴点 Q 是△ AMN 的外接圆的圆心，∴Q（ k，﹣），∵A（ 0，），∴直线 AQ 的分析式为y=﹣x+ ，∵直线 EF 的分析式为y=kx+ ，∴AQ⊥ EF，∴EF 是△ AMN 外接圆的切线；②∵点 E（ m，a）点 F（ n， b）在直线 y=kx+ 上，∴a=mk+ ， b=nk+ ，∵ME ， NF ， EF 是△ AMN 的外接圆的切线，∴AE =ME=a+ =mk+1， AF=NF =b+ =nk+1，∴=2，即：为定值，定值为2．【能力提高】在数学上，我们把切合必定条件的动点所形成的图形叫做知足该条件的点的轨迹．比如：动点 P 的坐标知足（m，m﹣1），全部切合该条件的点构成的图象在平面直角坐标系xOy 中就是一次函数y=x﹣ 1 的图象．即点P 的轨迹就是直线y=x﹣ 1．（1）若m、n 知足等式mn﹣ m=6，则（ m，n﹣ 1）在平面直角坐标系xOy 中的轨迹是；（2）若点P（ x， y）到点A（ 0， 1）的距离与到直线y=﹣1 的距离相等，求点P 的轨迹；（3）若抛物线 y= 上有两动点 M 、N 知足 MN=a（ a 为常数，且 a≥4），设线段 MN 的中点为Q，求点 Q 到 x 轴的最短距离．【答案】（ 1）；（ 2）y= x2；（ 3）点Q 到 x 轴的最短距离为1．【分析】（1）设 m=x， n﹣ 1=y，∵mn﹣m=6，∴m（ n﹣ 1） =6，∴x y=6 ，∴∴（ m， n﹣ 1）在平面直角坐标系xOy 中的轨迹是故答案为：；（2）∴点 P（ x， y）到点 A（ 0， 1），∴点 P（ x， y）到点 A（ 0，1）的距离的平方为x2+（ y﹣ 1）2，∵点 P（ x， y）到直线 y=﹣ 1 的距离的平方为（y+1）2，∵点 P（ x， y）到点 A（ 0，1）的距离与到直线y=﹣ 1 的距离相等，2 2 2∴x +（ y﹣ 1） =（ y+1 ），∴（3）设直线MN 的分析式为y=kx+b， M（ x1， y1），N（ x2， y2），∴线段 MN 的中点为Q 的纵坐标为∴∴x2﹣4kx﹣ 4b=0，∴x1+x2=4k， x1 x2=﹣4b，∴∴∴∴点 Q 到 x 轴的最短距离为1．专题查收测试题1．四边形ABCD 内接于圆，∠A、∠ B、∠ C、∠ D 的度数比可能是（）A．1：3：2：4 B． 7： 5： 10： 8 C． 13： 1： 5： 17 D．1： 2：3：4【答案】 C【分析】解： A、 1+2≠3+4，因此 A 选项不正确；B、 7+10 ≠ 5+8，因此 B 选项不正确；C、 13+5＝ 1+17，因此 C 选项正确；D、 1+3 ≠ 2+4，因此 D 选项不正确．应选： C．2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（ 2，a），半径为 2，直线 y＝﹣ x 与⊙ P 订交于 A、 B 两点，若弦AB 的长为 2 3 ，则a的值是（）A．﹣ 2 2 B．﹣ 2+ 2 C．﹣ 2﹣ 3 D．﹣ 2﹣ 2 【答案】【分析】D解：设⊙ P 与 y 轴相切于点C，连结 PC，则有 PC⊥OC．∵点 P 的坐标为（ 2， a），∴PC ＝2．①若点 P 在直线 y＝ x 上方，如图1，连结 CP 并延伸交直线y＝x 于点 E，则有 CE＝OC．∵CE ⊥OC， CE＝ OC，∴∠ COE＝∠ CEO ＝45°．过点 P 作 PD⊥AB 于 D，由垂径定理可得：AD＝BD ＝1AB ＝ 1 233．2 2在 Rt△ ADP 中，PD＝PA2AD222( 3)2＝1．在 Rt△ PDE 中，sin∠ PED＝PD1 2 ，PE PE 2解得： PE＝ 2 ．∴OC＝ CE＝ CP+PE＝ 2+ 2 ．∴a＝﹣ 2﹣ 2 ．3．如图，在边长为 2 的正方形径画半圆，若暗影部分①的面积为ABCD 中，以点D 为圆心，S1，暗影部分②的面积为AD 为半径画，再以BCS2，则图中 S2﹣S1的值为（为直）A．﹣4B．+4C．﹣2D．+2【答案】 A【分析】解：由图形可知，扇形ADC 的面积 +半圆 BC 的面积 +暗影部分①的面积﹣正方形ABCD 的面积＝暗影部分②的面积，∴S2﹣ S1＝扇形 ADC 的面积 +半圆 BC 的面积﹣正方形ABCD 的面积，应选：A ．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点A（﹣ 3 2 ，0），B（0，3 2 ），⊙ O 的半径为1（ O 为坐标原点），点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（）A．7B．22C．3D．10 【答案】 B【分析】解：连结 OP 、OQ ．∵PQ 是⊙ O 的切线，∴OQ⊥ PQ；依据勾股定理知PQ2＝ OP2﹣ OQ2，∵当 PO⊥ AB 时，线段PQ 最短；又∵ A（﹣ 32， 0）， B（ 0，3 2 ），∴OA＝ OB＝ 3 2 ，∴AB＝OA2OB2＝6，∴OP＝1AB ＝3 ，2∴PQ＝OP2 OQ2＝22．应选： B5．以 O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 以下图摆放，直角极点 B 在零刻度线所在直线 DE 上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点 P 的读数为35°，则∠ CBD 的度数是（）A ． 55°B． 45°C．35°D． 25【答案】 C【分析】∵AB 是⊙ O 的切线，∴∠ OPB＝90°，∵∠ ABC＝ 90°，∴OP∥ BC，∴∠ CBD＝∠ POB＝ 35°，应选： C．6．如图，⊙ O 与直线 l 1相离，圆心 O 到直线 l 1的距离 OB＝2 3， OA＝ 4，将直线 l 1绕点 A 逆时针旋转 30°后获得的直线 l 2恰好与⊙ O 相切于点 C，则 OC＝ ( )A．1B． 2C．3D．4【答案】 B【分析】解：在 Rt△ ABO 中， sin∠ OAB＝OB＝23 ＝ 3 ，OA4 2∴∠ OAB＝60°，∵直线 l1绕点 A 逆时针旋转30°后获得的直线l 2恰好与⊙ O 相切于点C，∴∠ CAB＝ 30°，OC⊥ AC，∴∠ OAC＝60°﹣ 30°＝ 30°，在 Rt△ OAC 中， OC＝1OA＝ 2．2应选：B．7．在平面直角坐标系xOy 中，点O（ 0， 0）， A（2， 0）， B（ 0， 2 3 ），C（﹣2，0）．将△OAB 设直线绕点 O 顺时针旋转α（0°＜α＜360°）获得△ OA′B′（（此中点AA′与直线 BB′订交于点P，则线段CP 长的最小值是（A 旋转到点）A′的地点），A ． 2 2 2 B． 2 3 2 C．2 D． 2 5 2 【答案】 B【分析】∵△ OAB 是直角三角形，点 P 在以 AB 为直径的圆上运动，∵A（ 2，0）， B（0，2 3），∴AB ＝4， AB 的中点为（ 1， 3 ），∵C（﹣ 2， 0），∴CP 的最小值为2 3 ﹣2；应选： B．8．如图，在平面直角坐标系中，点P 是以 C（﹣ 2 ，7）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣ 1，0）， B（ 1， 0），连结 PA， PB，则 PA2+PB2的最小值是（）A．6B． 8C．10D．12【答案】 C【分析】设 P（ x， y），2 2 2 2 2 2，∵PA ＝（ x+1 ）+y ， PB ＝（ x﹣ 1 ） +y∴PA2+PB2＝ 2x2+2y2+2＝ 2（ x2+y2） +2，∵OP2＝x2+y2，∴PA2+PB2＝ 2OP2+2，当点 P 处于 OC 与圆的交点上时，OP 获得最值，∴OP 的最小值为CO﹣ CP＝3﹣ 1＝ 2，∴P A2+PB2最小值为 2×22+2＝ 10．应选： C．9．如图， OA 在 x 轴上， OB 在 y 轴上， OA＝ 4， OB＝ 3，点 C 在边 OA 上， AC＝ 1，⊙ P 的圆心 P 在线段 BC 上，且⊙ P 与边 AB， AO 都相切．若反比率函数y＝k（ k≠0）的图象经x过圆心 P ，则 k 的值是（）A ． a 2 b 25 5 D ．﹣ 2B ．C ．32【答案】 A 【分析】解：作 PM ⊥AB 于 M ， PN ⊥ x 轴于 N ，如图，设⊙ P 的半径为 r ， ∵⊙ P 与边 AB ， AO 都相切， ∴PM ＝ PN ＝ r ，∵OA ＝ 4， OB ＝ 3， AC ＝ 1， ∴AB ＝5，∵S △ PAB △PAC ＝S △ABC ，+S∴ 1 ?5r+ 1 ?r?1＝ 1 ?3?1，解得 r ＝ 1，22 2 2∴BN ＝ 1，2∵OB ＝ OC ，∴△ OBC 为等腰直角三角形，∴∠ OCB ＝45°，∴NC ＝ NB ＝ 1， 2∴ON ＝3﹣ 1＝ 1， 2 2∴P 点坐标为（5 ，﹣1），22把 P （ 5 ，﹣ 1）代入 y ＝ k 得 k ＝ 5 ×（﹣ 1 ）＝﹣ 5．22 x 2 2 4应选： A ．10．如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标(0，2 3 )，∠AOC＝45°，∠ACO＝30°，则OC 的长为( )A．6+2B．6﹣2C．23+2D．22+3【答案】 A【分析】连结 BC，过点 B 作 BD⊥CO 于 D，∵∠ AOC＝45°，∴∠ BOD＝ 45°，∵点 B 的坐标 (0，2 3 )，∴OB＝2 3 ，∴BD＝OD＝ 6 ，∵A， O， B， C 四点共圆，∴∠ CAO+∠CBO＝ 180°，∵∠ AOC＝45°，∠ ACO＝30°，∴∠ CAO＝105°，∴∠ CBO＝75°，∴∠ CBD ＝30°，∴CD＝ 2 ，∴CO＝2+6，应选： A．11．和平中学自行车泊车棚顶部的剖面以下图，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD 为____ m．【答案】 4．【分析】解：∵ CD⊥AB ，AB＝ 16，∴AD＝DB＝8，在 Rt△ OAD 中， AB＝ 16m，半径 OA＝ 10m，∴OD＝OA2 AD 2 10282＝ 6，∴CD ＝ OC﹣ OD＝ 10﹣ 6＝ 4（ m）．故答案为： 4．12．如图，扇形纸扇完整翻开后，外侧两竹条AB， AC 夹角为 150 °， AB 的长为 18cm， BD 的长为 9cm，则DE的长为 _____cm．【答案】【分析】15 2解：∵ AB=18,BD =9,∴DE 150 π 9 15 π180213．阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点 O 表示数 0，点 A 表示数 1，点 B 表示数 5，以 AB 为直径作半圆（如图）；第二步：以 B 点为圆心， 1 为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以 A 点为圆心， AC 为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下边的数轴中达成第三步的绘图（保存作图印迹，不写画法），并写出点M 表示的数为________．【答案】作图看法析，15 1【分析】解：如图，点M 即为所求．连结AC、 BC．由题意知： AB=4， BC=1．∵ AB 为圆的直径，∴∠ ACB=90°，则 AM =AC=AB2BC2=4212=15，∴点M表示的数为15 1 .故答案为：15 1 ．点睛：此题主要考察作图﹣尺规作图，解题的重点是娴熟掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理．14．圆内接正六边形的一条边所对的圆心角的度数为________．【答案】 60°【分析】依据正多边形的圆心角公式:360 ,因此正六边形的圆心角是60°,故答案圆心角n为: 60 °.15．整数 m 知足y m25m(m4)0，若以m值为直角三角形的斜边长，则该m 3直角三角形外接圆半径为_____．【答案】 1 或【分析】5 2解：由题意得，m﹣ 2≥0， 5﹣ m≥0，m﹣ 3≠0， m﹣ 4≠0，解得， 2≤m≤5， m≠3， m≠4，则整数 m＝ 2 或 5，∴该直角三角形外接圆的直径为2或5，∴该直角三角形外接圆半径为1或5，故答案为： 1或5．2 216．如图，⊙ O 的半径为2，点 A 的坐标为（2，2 3 ），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B 点的坐标为 _______．【答案】 ( 1, 3)【分析】解：过点 A 作 AC⊥ x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥ x 轴于点 D，∵⊙ O 的半径为 2，点 A 的坐标为（ 2， 2 3 ），即OC＝2，∴AC 是圆的切线．∵点 A 的坐标为（ 2， 2 3 ），∴OA＝22(2 3)2＝4，∵BO＝ 2， AO＝ 4，∠ ABO＝ 90°，∴∠ AOB＝60°，∵OA＝ 4， OC＝ 2，∴s in ∠OAC＝1，2∴∠ OAC＝30°，∴∠ AOC＝60°，即∠ AOB＝∠ AOC＝ 60°，∴∠ BOD＝ 180°﹣∠ AOB﹣∠ AOC＝ 60°，∴OD ＝ 1，BD ＝ 3 ，即B点的坐标为（﹣1， 3 ）．17．如图，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，且对角线AC DG⊥ AC，垂足为 E， DG 分别与 AB，⊙ O 及 CB 延伸线交于点为直径， AD＝ BC，过点F、 G、M．D 作（1）求证：四边形 ABCD 为矩形；（2）若 N 为 MF 中点，求证： NB 是⊙ O 的切线；（3）若 F 为 GE 中点，且 DE＝ 6，求⊙ O 的半径．【答案】（ 1）详看法析；（ 2）详看法析；（ 3）⊙ O 的半径是9 2．2【分析】解：（ 1）∵ AC 为⊙ O 直径，∴∠ ADC ＝∠ CBA＝ 90°，AC AC 在 Rt△ ADC 与 Rt△ CBA 中，，AD BC ∴R t△ ADC ≌Rt△ CBA，∴CD ＝ AB，∵AD ＝ BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形，∵∠ CBA＝ 90°，∴四边形 ABCD 是矩形；（2）连结 OB，∵∠ MBF ＝∠ ABC＝ 90°，∴NB＝1MF ＝NF，2∴∠ 1＝∠ 2，∵∠ 2＝∠ 3，∴∠ 1＝∠ 3，∵OB＝ OA，∴∠ 5＝∠ 4，∵DG ⊥ AC，∴∠ AEF ＝ 90°，∴∠ 3+∠ 4＝90°，∴∠ 1+∠ 5＝90°，∴OB⊥ NB，∴NB 是⊙ O 的切线；（3）∵ AC 为⊙ O 直径， AC⊥ DG，∴DE ＝ GE＝ 6，∵F 为 GE 中点，∴EF ＝GF＝ 3，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ BAD ＝90°，∴∠ FAE+∠ DAE ＝ 90°，∵∠ ADE +∠ DAE ＝ 90°，∴∠ FAE＝∠ ADE，∵∠AEF ＝∠ DEA＝ 90°，∴△ AEF ∽△ DEA，∴AE EF，DE AE∴AE＝3 2 ，连结 OD ，设⊙ O 的半径为r，∴OA＝ OD ＝ r，OE＝ r ﹣ 32 ，∵OE2+DE 2＝OD 2，∴（ r﹣ 3 2 ）2+62＝r2，∴r ＝92，2∴⊙O的半径是92．218．如图， A、B 是⊙ O 上的两个定点， P 是⊙ O 上的动点（ P 不与 A、B 重合）、我们称∠ APB 是⊙ O 上对于点A、 B 的滑动角．（1）已知∠APB 是⊙ O 上对于点A、 B 的滑动角，①若AB 是⊙ O 的直径，则∠APB＝°；②若⊙O 的半径是1， AB＝ 2 ，求∠APB 的度数；（2）已知O2是⊙ O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1订交于A、B 两点，∠ APB 是⊙ O1 上对于点 A、B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交⊙ O2于 M、N（点 M 与点 A、点 N 与点 B 均不重合），连结 AN，尝试究∠ APB 与∠ MAN 、∠ ANB 之间的数目关系．【答案】（ 1）① 90°；② 45°或 90°；（ 2）详看法析 .【分析】解：（ 1）①若 AB 是⊙ O 的直径，则∠ APB＝ 90．②如图，连结AB、 OA、 OB．在△ AOB 中，∵OA＝ OB＝ 1． AB＝ 2 ，∴OA2+OB 2＝AB2．∴∠ AOB＝90°．当点 P 在优弧APB上时，∠ APB＝1∠ AOB＝45°；2当点 P 在劣弧AB上时，∠ AP ′B＝1（360°﹣∠ AOB）＝ 135°2（2）依据点P 在⊙ O1上的地点分为以下四种状况．第一种状况：点P 在⊙ O2 外，且点 A 在点P 与点M 之间，点 B 在点P 与点N 之间，如图①∵∠ MAN ＝∠ APB+∠ANB，∴∠ APB＝∠ MAN ﹣∠ ANB；第二种状况：点P 在⊙ O2外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 N 在点 P 与点 B 之间，如图②．∵∠ MAN ＝∠ APB+∠ANP＝∠ APB+（ 180°﹣∠ ANB），∴∠ APB＝∠ MAN+∠ANB﹣ 180°；第三种状况：点P 在⊙ O2外，且点M 在点 P 与点 A 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图③．∵∠ APB+∠ ANB+∠ MAN ＝ 180°，∴∠ APB＝ 180°﹣∠ MAN ﹣∠ ANB，第四种状况：点P 在⊙ O2内，如图④，∠APB ＝∠ MAN+∠ ANB．19．如图， BE 是⊙ O 的直径，点 A 和点 D 是⊙ O 上的两点，过点 A 作⊙ O 的切线交BE 延长线于点 C，(1)若∠ ADE＝ 28°，求∠ C 的度数；(2)若 AC＝ 6， CE＝ 3，求⊙ O 半径的长．【答案】 (1)∠ C＝ 34°； (2)⊙ O 半径的长是9．2【分析】解： (1) 如图，连结OA，∵∠ ADE ＝28°，∴由圆周角定理得：∠AOC＝ 2∠ ADE ＝56°，∵AC切⊙O于 A，∴∠ OAC＝90°，∴∠ C＝180°﹣∠ AOC﹣∠ OAC＝ 180°﹣ 56°﹣ 90°＝34°；(2) 设 OA＝OE＝ r ，在 Rt △ OAC 中，由勾股定理得： OA 2 +AC 2＝ OC 2，即 r 2 +62＝( r+3) 2，解得： r ＝ 9，2答：⊙ O 半径的长是9．220． 如图，在△ ABC 中， AB ＝AC ，以腰 AB 为直径作半圆，分别交 B C 、 AC 于点 D 、E ，连结 DE ．(1) 求证： BD ＝ DE ；(2) 若 AB ＝ 13， BC ＝ 10，求 CE 的长．【答案】 (1)证明看法析； (2)CE ＝50．13【分析】解： (1)连结 AD ， DE ，∵AB 为半圆的直径，∴AD ⊥ BC ，∵AB ＝AC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD ，∴BD=DE,∴BD ＝DE ；(2)∵ AB ＝ AC ＝ 13， AD ⊥ BC ，∴BD ＝CD ＝ 1BC ＝5，2∵∠ CDE ＝∠ BAC ，∠ C ＝∠ C ， ∴△ CDE ∽△ CAB ，∴CDCA ， CEBC∴5＝13，CE 10∴CE＝50．1321 xOy中的随意两点Mx1, y1 ，Nx2 , y2，给出以下定义：点M．对于平面直角坐标系与点N “” d M , Nx1 x2 y1 y2．的折线距离为：比如：若点M(-1 ，1)，点N(2， -2) ，则点 M 与点 N 的“折线距离”为：d M , N 1 2 1 2 3 3 6 ．依据以上定义，解决以下问题：（1 ）已知点P(3 ， -2) ．①若点 A(-2 ， -1) ，则 d(P， A)= ；②若点 B(b，2)，且 d(P，B)=5，则 b= ；③已知点 C（ m,n）是直线y x 上的一个动点，且d(P，C)<3，求m的取值范围．（2）⊙ F 的半径为 1，圆心 F 的坐标为 (0， t)，若⊙ F 上存在点 E，使 d(E， O)=2 ，直接写出 t 的取值范围．【答案】（ 1）① 6，② 2 或 4，③1＜ m＜4；（ 2）22t 3 或 3 t2 2 .【分析】解：（ 1）①d(P, A)=|3-(-2)|+|(-2)-(-1)|=6② d ( P, B) 3 b ( 2) 2 3 b 4 5∴ 3 b 1∴ b=2 或 4③ d ( P, C ) 3 m ( 2) n 3 m 2 m m 3 m 2 3 ，即数轴上表示数 m 的点到表示数 3 的点的距离与到表示数 2 的点的距离之和小于3，因此 1 ＜m＜ 4（2）设 E（ x,y），则x y 2，如图，若点 E 在⊙ F 上，则2 2 t 3或 3 t2 2.22．以下图，△ ABC 中，点 D 是 AB 上一点，且AD＝ CD，以 CD 为直径的⊙ O 交 BC 于点 E，交 AC 于点 F，且点 F 是半圆 CD 的中点．（1）求证： AB 与⊙ O 相切．（2）若 tanB＝ 2， AB＝ 6，求 CE 的长度．【答案】（ 1）看法析；（ 2） CE＝85. 5【分析】。
2019年中考数学重难点突破真题汇编：圆(含详细答案)
2019年中考数学重难点突破真题汇编：圆一．填空题（共5小题）1．（2018•兰州）如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧的长是．（结果保留π）【解答】解：∵∠AOB＝2∠C且∠C＝55°∴∠AOB＝110°根据弧长公式的长故答案为2．（2018•梧州）如图，已知在⊙O中，半径OA，弦AB＝2，∠BAD＝18°，OD与AB交于点C，则∠ACO＝81度．【解答】解：∵OA，OB，AB＝2，∴OA2+OB2＝AB2，OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠OBA＝45°，∵∠BAD＝18°，∴∠BOD＝36°，∴∠ACO＝∠OBA+∠BOD＝45°+36°＝81°，故答案为：81．3．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝70°．【解答】解：∵，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为：70°．4．（2018•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝10，∴点D是AB中点，∴CD＝BD AB＝5，连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∴BF＝CF BC＝4，∴DF3，连接OF，∵OC＝OD，CF＝BF，∴OF∥AB，∴∠OFC＝∠B，∵FG是⊙O的切线，∴∠OFG＝90°，∴∠OFC+∠BFG＝90°，∴∠BFG+∠B＝90°，∴FG⊥AB，∴S△BDF DF×BF BD×FG，∴FG，故答案为．5．（2018•吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，，若∠AOB＝58°，则∠BDC＝29度．【解答】解：连接OC．∵，∴∠AOB＝∠BOC＝58°，∴∠BDC∠BOC＝29°，故答案为29．二．解答题（共45小题）6．（2018•鄂尔多斯）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC的延长线于点E．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当sin∠BCE，AB＝3时，求AD的长．【解答】解：（1）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO＝∠ABO，∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，∴∠DBO＝∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线；（2）∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵BE⊥DE，∴∠E＝90°，∴∠OBC+∠CBE＝∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠EBC，∴∠ACB＝∠BCE，∵sin∠BCE，∴sin∠ACB，∵AB＝3，∴AC＝4，∵∠BDE＝∠BAC，∴sin∠DBE，∵BD＝AB＝3，∴DE，∴BE，∵∠CBE＝∠BAC＝∠BDC，∠E＝∠E，∴△BDE∽△CBE，∴，∴CE，∴CD，∴AD．7．（2018•广元）如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C P．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．【解答】（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．∵PD⊥AC，∴∠PHM＝∠CDM＝90°，∵∠PMH＝∠DMC，∴∠C＝∠MPH，∵∠C∠FPM，∴∠HPF＝∠HPM，∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，∴∠PFH＝∠PMH，∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，∵∠C+∠CDM＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，∴∠OFC+∠PFC＝90°，∴∠OFP＝90°，∴直线P A是⊙O的切线．（2）解：如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，∴∠AOF＝60°，∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，∴∠C＝30°，∵⊙O的半径为4，DM＝1，∴OA＝2OF＝8，CD DM，∴OD＝OC﹣CD＝4，∴AD＝OA+OD＝8+412，在Rt△ADP中，DP＝AD•tan30°＝（12）41，∴PM＝PD﹣DM＝42．（3）如图2中，由（2）可知：BF BC＝4，FM BF＝4，CM＝2DM＝2，CD，∴FM＝FC﹣CM＝42，①当△CDH∽△BFM时，，∴，∴DH②当△CDH∽△MFB时，，∴，∴DH，∵DN，∴DH＜DN，符合题意，综上所述，满足条件的DH的值为或．8．（2018•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O 与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当∠A＝30°，CF时，求⊙O的半径．【解答】解：（1）结论：DF是⊙O的切线．理由：作OG⊥DF于G．连接OE．∵BD＝DC，BO＝OA，∴OD∥AC，∴∠ODG＝∠DFC，∵∠OGD＝∠DCF＝90°，OD＝DF，∴△OGD≌△DCF（AAS），∴OG＝CD，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE∥BC，∵OD∥CD，∴四边形CDOE是平行四边形，∴CD＝OE，∴OG＝OE，∴DF是⊙O的切线．（2）∵F A，FD是⊙O的切线，∴FG＝FE，设FG＝FE＝x，∵△OGD≌△DCF（AAS），∴DG＝CF，∴OD＝DF x，∵AC＝2OD，CE＝OD，∴AE＝EC＝OD x，∵∠A＝30°，∴CD＝OE，在Rt△DCF中，∵DF2＝CD2+CF2，∴（x）2＝（）2+（）2，解得x或（舍弃），∴OE1．方法二：设半径是r，則DF＝OD＝√3r，在三角形DCF中，由勾股定理得，r＝1．9．（2018•辽阳）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．（1）求证：EM是⊙O的切线；（2）若∠A＝∠E，BC，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．【解答】解：（1）连接OC，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠A+∠AFO+90°＝180°，∵∠ACE+∠AFO＝180°，∴∠ACE＝90°+∠A，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACE＝90°+∠ACO＝∠ACO+∠OCE，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∴EM是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠BCE，∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠ACO＝∠BCE＝∠E，∴∠ABC＝∠BCO+∠E＝2∠A，∴∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝BC，∴阴影部分的面积．10．（2018•百色）已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E．（1）求证：△ABM∽△MCD；（2）若AD＝8，AB＝5，求ME的长．【解答】（1）证明：∵AD为圆O的直径，∴∠AMD＝90°，∵∠BMC＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠ABM＝∠MCD＝90°，∴∠2+∠1＝90°，∴∠1＝∠3，则△ABM∽△MCD；（2）解：连接OM，∵BC为圆O的切线，∴OM⊥BC，∵AB⊥BC，∴sin∠E，即，∵AD＝8，AB＝5，∴，即OE＝16，根据勾股定理得：ME4．11．（2018•济南）如图AB是⊙O的直径，P A与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．（1）求∠ABD的度数；（2）若AB＝6，求PD的长度．【解答】解：（1）方法一：如图1，连接AD．∵BA是⊙O直径，∴∠BDA＝90°．∵，∴∠BAD＝∠C＝60°．∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°．方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD＝2∠C＝2×60°＝120°．∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB（180°﹣120°）＝30°．即∠ABD＝30°．（2）如图1，∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°．在Rt△BAD中，∵∠ABD＝30°，∴DA BA6＝3．∴BD DA＝3．在Rt△BAP中，∵cos∠ABD，∴cos30°．∴BP＝4．∴PD＝BP﹣BD＝43．12．（2018•巴彦淖尔）如图，AB为⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，且BC平分∠ABD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若，求∠E的度数；（3）连结AD，在（2）的条件下，若CD＝2，求AD的长．【解答】证明：（1）连接OC，∵OC＝OB，BC平分∠ABD，∴∠OCB＝∠OBC，∠OBC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∴∠BDC＝∠ECO，∵CD⊥BD，∴∠BDC＝90°，∴∠ECO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）由（1）知，OC∥BD，∴∠OCF＝∠DBF，∠COF＝∠BDF，∴△OCF∽△DBD，∴，∵，∴，∵OC∥BD，∴△EOC∽△EDB，∴，∴，设OE＝2a，EB＝3a，∴OB＝a，∴OC＝a，∵∠OCE＝90°，OC OE，∴∠E＝30°；（3）∵∠E＝30°，∠BDE＝90°，BC平分∠DBE，∴∠EBD＝60°，∠OBC＝∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BC＝4，BD＝6，∵，∴OC＝4，作DM⊥AB于点M，∴∠DBM＝90°，∵BD＝6，∠DBM＝60°，∴BM＝3，DM＝3，∵OC＝4，∴AB＝8，∴AM＝5，∵∠DMA＝90°，DM＝3，∴AD．13．（2018•甘孜州）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠P AC＝∠B．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB＝12，求AC的长．【解答】（1）∵AD是⊙O的直径∴∠ACD＝90°；∴∠CAD+∠D＝90°∵∠P AC＝∠PBA，∠D＝∠PBA，∴∠CAD+∠P AC＝90°，∴∠P AD＝90°，∴P A⊥AD，∵点A在⊙O上，∴P A是⊙O的切线（2）∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAD＝90°，∵∠CAD+∠D＝90°，∴∠D＝∠ACF，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAC＝∠CAF，∴△ABC∽△ACF，∴，∴AC2＝AF•AB∵AF•AB＝12，∴AC2＝12，∴AC＝2．14．（2018•德阳）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．（1）求证：DH＝DB；（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．①求证：EF为圆O的切线；②求DF的长．【解答】解：（1）证明：连接HB，∵点H是△ABC的内心，∴∠DAC＝∠DAB，∠ABH＝∠CBH，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠DHB＝∠DAB+∠ABH＝∠DAC+∠CBH，∵∠DBH＝∠DBC+∠CBH，∴∠DHB＝∠DBH，∴DH＝DB；（2）①连接OD，∵∠DOB＝2∠DAB＝∠BAC∴OD∥AC，∵AC⊥BC，BC∥EF，∴AC⊥EF，∴OD⊥EF，∵点D在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；②过点D作DG⊥AB于G，∵∠EAD＝∠DAB，∴DE＝DG，∵DC＝DB，∠CED＝∠DGB＝90°，∴△CDE≌△BDG，∴GB＝CE＝1，在Rt△ADB中，DG⊥AB，∴∠DAB＝∠BDG，∵∠DBG＝∠ABD，∴△DBG∽△ABD，∴，∴DB2＝AB•BG＝5×1＝5，∴DB，DG＝2，∴ED＝2，∵H是内心，∴AE＝AG＝4，∵DO∥AE，∴△OFD∽△AFE，∴，∴，∴DF．15．（2018•锦州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O是AB上一点，经过A，E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若sin∠EF A，AF＝5，求线段AC的长．【解答】证明：（1）连接OE，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∵AE平分∠BAC，∴∠OAE＝∠CAE，∴∠CAE＝∠OEA，∴OE∥AC，∴∠BEO＝∠C＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）过A作AH⊥EF于H，Rt△AHF中，sin∠EF A，∵AF＝5，∴AH＝4∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝45°，∴△AEH是等腰直角三角形，∴AE AH＝8，∵sin∠EF A＝sin∠ADE，∴AD＝10，∵∠DAE＝∠EAC，∠DEA＝∠ECA＝90°，∴△AED∽△ACE，∴，∴，∴AC＝6.4．16．（2018•毕节市）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若tan C，AC＝8，求⊙O的半径．【解答】证明（1）如图：连接OE，BE∵∠ABG＝2∠C，∠ABG＝∠C+∠A∴∠C＝∠A∴BC＝AB，∵BC是直径∴∠CEB＝90°，且AB＝BC∴CE＝AE，且CO＝OB∴OE∥AB∵GE⊥AB∴EG⊥OE，且OE是半径∴EG是⊙O的切线（2）∵AC＝8，∴CE＝AE＝4∵tan∠C∴BE＝2∴BC2∴CO即⊙O半径为17．（2018•陇南）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE＝EF．（1）求证：∠C＝90°；（2）当BC＝3，sin A时，求AF的长．【解答】解：（1）连接OE，BE，∵DE＝EF，∴∴∠OBE＝∠DBE∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BC∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC∴BC⊥AC∴∠C＝90°（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sin A ∴AB＝5，设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，在Rt△AOE中，sin A∴r∴AF＝5﹣218．（2018•牡丹江）如图，在⊙O中，2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD．【解答】证明：延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴，AE＝2AD，∵，∴，∴AB＝AE，∴AB＝2AD．19．（2018•日照）如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若P A＝6，求PB的长．【解答】（1）证明：连接DE，OA．∵PD是直径，∴∠DEP＝90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP＝∠FBP，∴DE∥BF，∵，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直线l是⊙O的切线．（2）解：作OH⊥P A于H．∵OA＝OP，OH⊥P A，∴AH＝PH＝3，∵OA∥PB，∴∠OAH＝∠APB，∵∠AHO＝∠ABP＝90°，∴△AOH∽△P AB，∴，∴，∴PB．20．（2018•青海）如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD，求⊙O的直径．【解答】解：（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线．（2）在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，∴PD＝OA，∵PD∴2OA＝2PD＝2．∴⊙O的直径为2．21．（2018•绥化）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC 的延长线于点E．求证：（1）DE⊥AE；（2）AE+CE＝AB．【解答】证明：（1）连接OD，如图1所示．∵OA＝OD，AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠ODA，∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD．∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE⊥AE．（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，∴DE＝DM．在Rt△DAE和Rt△DAM中，，∴Rt△DAE≌Rt△DAM（HL），∴AE＝AM．∵∠EAD＝∠MAD，∴，∴CD＝BD．在Rt△DEC和Rt△DMB中，，∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），∴CE＝BM，∴AE+CE＝AM+BM＝AB．22．（2018•兰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sin B，求CF的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCO+∠OCA＝90°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠BCO，∴∠ACD+∠OCA＝90°，即∠OCD＝90°，∴DC为⊙O的切线；（2）解：Rt△ACB中，AB＝10，sin B，∴AC＝6，BC＝8，∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CDB，∴△CAD∽△BCD，∴，设AD＝3x，CD＝4x，Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，52+（4x）2＝（5+3x）2，x＝0（舍）或，∵∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，∴CE＝CF，设CF＝a，∵∠CEF＝∠ACD+∠CDE，∠CFE＝∠B+∠BDF，∴∠CDE＝∠BDF，∵∠ACD＝∠B，∴△CED∽△BFD，∴，∴，a，∴CF．23．（2018•宁夏）已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC＝CP．（1）求∠P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC＝20，求⊙O的面积．（π取3.14）【解答】解：（1）连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，即∠2+∠P＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠1，∵AC＝CP，∴∠P＝∠CAO，又∵∠2是△AOC的一个外角，∴∠2＝2∠CAO＝2∠P，∴2∠P+∠P＝90°，∴∠P＝30°；（2）连接AD，∵D为的中点，∴∠ACD＝∠DAE，∴△ACD∽△EAD，∴，即AD2＝DC•DE，∵DC•DE＝20，∴AD＝2，∵，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴Rt△ADB为等腰直角三角形，∴AB＝2，∴OA AB∴S⊙O＝π•OA2＝10π＝31.4．24．（2018•巴中）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C 作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD＝AE；（2）若AB＝6，AC＝4，求AE的长．【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，∵CE∥AB，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠ADB，∵在△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BCA＝∠ACE，又∵AC＝AC，∴△ADC≌△AEC（AAS），∴AD＝AE；（2）解：设AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，则BD＝（6﹣y），∵△AEC和△ADB为直角三角形，∴AE2+CE2＝AC2，AD2+BD2＝AB2，AB＝6，AC＝4，AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，BD＝（6﹣y）代入，解得：x，y，即AE的长为．25．（2018•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．【解答】解：（1）相切．理由如下：连接OD，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥CB，∴∠ODC＝∠C＝90°，∴CD与⊙O相切；（2）若∠CDB＝60°，可得∠ODB＝30°，∴∠AOD＝60°，又∵AB＝6，∴AO＝3，∴ π．26．（2018•南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．（1）求证：EF＝BF；（2）若DC＝4，DE＝2，求直径AB的长．【解答】（1）证明：∵OC⊥CD，AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠AEB＝∠OFB，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠OFB＝90°，∴OF⊥BE且平分BE，∴EF＝BF；（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠OCD＝∠CFE＝90°，∴四边形EFCD是矩形，∴EF＝CD，DE＝CF，∵DC＝4，DE＝2，∴EF＝4，CF＝2，设⊙O的为r，∵∠OFB＝90°，∴OB2＝OF2+BF2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得，r＝5，∴AB＝2r＝10，即直径AB的长是10．27．（2018•莱芜）如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE，BE＝BG，EG＝3，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE交AB于H，如图，∵E为的中点，∴OE⊥AB，∵∠ABE＝∠AFE，∴tan∠ABE＝tan∠AFE，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE设EH＝3x，BH＝4x，∴BE＝5x，∵BG＝BE＝5x，∴GH＝x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2＝（3）2，解得x＝3，∴EH＝9，BH＝12，设⊙O的半径为r，则OH＝r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122＝r2，解得r，即⊙O的半径为．28．（2018•梧州）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）若MB＝BE＝1，求CD的长度．【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线∴∠ABC＝90°∵DC⊥BC∴∠BCD＝90°∴∠ABC＝∠BCD∵AB是⊙M的直径∴∠AGB＝90°即：BG⊥AE∴∠CBD＝∠A∴△ABE∽△BCD（2）解：过点G作GH⊥BC于H∵MB＝BE＝1∴AB＝2∴AE由（1）根据面积法AB•BE＝BG•AE∴BG由勾股定理：AG，GE∵GH∥AB∴∴∴GH又∵GH∥AB①同理：②①+②，得∴∴CD29．（2018•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O 经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【解答】解：（1）连接OD．、∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）连接OE，OE交AD于K．∵，∴OE⊥AD，∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO＝AE＝OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴S阴＝S扇形OAE﹣S△AOE22．30．（2018•镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P 为圆心，P A为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围＜AP＜或AP＝5．【解答】解：（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC8，设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x，AP；（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，S▱ABCD10PG，PG，①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A、C、D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5，综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5．故答案为：＜AP＜或AP＝5．31．（2018•曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB＝∠ADC．（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC，求四边形OCDB的面积．【解答】解：（1）PM与⊙O相切．理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，∴OC＝DC，BO＝BD，∴OC＝DC＝BO＝BD，∴四边形OBDC为菱形，∴OD⊥BC，∴△OCD和△OBD都是等边三角形，∴∠COD＝∠BOD＝60°，∴∠COP＝∠EOP＝60°，∵∠MPB＝∠ADC，而∠ADC＝∠ABC，∴∠ABC＝∠MPB，∴PM∥BC，∴OE⊥PM，∴OE OP，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴OC OP，∴OE＝OC，而OE⊥PM，∴PM是⊙O的切线；（2）在Rt△OPC中，OC PC1，∴四边形OCDB的面积＝2S△OCD＝212．32．（2018•抚顺）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（8﹣r）2＝r2+42，∴r＝3，∵tan∠E，∴，∴CD＝BC＝6，在Rt△ABC中，AC6．33．（2018•贺州）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE 的延长线于点D，使得DB＝DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面积．【解答】（1）证明：∵OA＝OB，DB＝DE，∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠DBE，∵EC⊥OA，∠DEB＝∠AEC，∴∠A+∠DEB＝90°，∴∠OBA+∠DBE＝90°，∴∠OBD＝90°，∵OB是圆的半径，∴BD是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，∵点E是AB的中点，AB＝12，∴AE＝EB＝6，OE⊥AB，又∵DE＝DB，DF⊥BE，DB＝5，DB＝DE，∴EF＝BF＝3，∴DF4，∵∠AEC＝∠DEF，∴∠A＝∠EDF，∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO＝∠DFE＝90°，∴△AEO∽△DFE，∴，即，得EO＝4.5，∴△AOB的面积是：27．34．（2018•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D 作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tan C＝2，求的值．【解答】（1）证明：连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AC＝AB，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tan C2，BD＝CD，∴BD：AD＝1：2，∵∠GDB+∠ODB＝90°，∠ADO+∠ODB＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠GDB＝∠GAD，∵∠G＝∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG＝a．∴，∴DG＝2a，AG＝4a，∴BG：GA＝1：4．35．（2018•攀枝花）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF＝∠DAC．【解答】（1）解：连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO＝90°，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∵∠FDC＝15°，∴∠C＝180°﹣90°﹣15°＝75°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∴OM OA，AM OM，∵OA＝OE，OM⊥AC，∴AE＝2AM＝3，∴∠BAC＝∠AEO＝30°，∴∠AOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOE﹣S△AOE3π ；（2）证明：连接OD，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴AC∥OD，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；（3）证明：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC＝∠EBC，∵∠EBC＝∠DAC，∴∠FDC＝∠DAC，∵A、B、D、E四点共圆，。
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备考2019年中考压轴题专项突破训练：圆（提高篇）1．（2019•石景山区一模）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线CD，过点B作BE⊥CD于点E，延长EB交⊙O于点F，连接AC，AF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接BC，若⊙O的半径为5，tan∠CAF＝2，求BC的长．解：（1）证明：连接CO并延长交AF于点G，如下图∵CD是⊙O的切线，∴∠ECO＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°．∵BE⊥CD，∴∠CEF＝90°．∴四边形CEFG是矩形．∴GF＝CE，∠CGF＝90°．∴CG⊥AF．∴．∴．即得证．（2）解：连接BC，如下图∵CG⊥AF，∴．∴∠CBA＝∠CAF．∴tan∠CBA＝tan∠CAF＝2．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．在Rt△CBA中，设BC＝x，AC＝2x，则．∴x＝2即BC的长为2．2．（2019•余姚市一模）如图，在R△ABC中，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径作⊙O，交BC于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：直线EF与⊙O相切；（2）若CE＝2，EF＝1，求弧DE的长．解：（1）连接OE，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AB，∴∠OCE＝∠B，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠B＝∠OEC，∵OE∥AB，∴EF⊥OE，∴直线EF与⊙O相切；（2）连接DE，∵CD是⊙O的直径，∴DE⊥CE，∵CD＝BD，∴BE＝CE＝2，∵EF＝1，∴∠B＝30°，∴∠OCE＝30°，∴∠DOE＝2∠OCE＝60°，∵DE⊥CE，∠OCE＝30°，CE＝2，∴CD＝，∴OD＝，∴弧DE的长为＝π．3．（2019•上城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，与边AC交于点E，连结OD，OE．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠C＝55°，BC＝10，求扇形DOE的面积．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴＝，∴＝，∴EC＝BD．（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝55°，∵OB＝OD，OC＝OE，∴∠B＝∠CDB＝55°，∠C＝∠OEC＝55°，∴∠BOD＝∠EOC＝70°，∴∠DOE＝40°，∴S扇形ODE＝＝4．（2019•齐齐哈尔一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，BE＝AE＝2，以AE为直径作⊙O 交AC于点F，交BC于点D，且点D为切点，连接AD、EF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求阴影部分面积．（结果保留π）（1）证明：连接OD交EF于M．∵BC切⊙O于D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠DAC＝∠ODA，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠DAC，∴AD平分∠ABC．（2）连接OF．∵AE是直径，∴∠AFE＝90°，∵EF∥BC，∴＝＝，∵∠C＝∠AFE＝∠ODC＝90°，∴四边形DMFC是矩形，∴DM＝CF＝AF，∵OM＝DM＝OD＝OE，∴∠OEM＝30°，∴∠EOF＝120°，∵BE＝AE＝2，∴OE＝2，∴OM＝1，EM＝，EF﹣2，∴S阴＝S扇形OEF﹣S△OEF＝﹣×2×1＝﹣．5．（2019•余姚市一模）如图1，在矩形ABCD中，点E以lcm/s的速度从点A向点D运动，运动时间为t（s），连结BE，过点E作EF⊥BE，交CD于F，以EF为直径作⊙O．（1）求证：∠1＝∠2；（2）如图2，连结BF，交⊙O于点G，并连结EG．已知AB＝4，AD＝6．①用含t的代数式表示DF的长②连结DG，若△EGD是以EG为腰的等腰三角形，求t的值；（3）连结OC，当tan∠BFC＝3时，恰有OC∥EG，请直接写出tan∠ABE的值．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠ADC＝90°，∴∠AEB＝∠1，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∵∠2+∠DEF＝90°，∴∠AEB＝∠2，∴∠1＝∠2；（2）①∵∠A＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠EFD，∴△ABE∽△DEF，∴，∵AB＝4，AE＝t，DE＝6﹣t，∴，∴DF＝；②当EG＝ED时，∴∠EGD＝∠EDG，∵∠EGD＝∠EFD，∠EDG＝∠EFG，∴∠EFD＝∠EFG＝∠AEB，∵∠A＝∠EDF＝∠BEF，∴△BAE∽△EDF∽△BEF，∴＝＝，∴AE＝DE，∴t＝6﹣t，∴t＝3；当GE＝GD时，∴∠GED＝∠GDE，∵∠EDG＝∠BFE，∠GED＝∠BFC，∴∠BFE＝∠BFC，∵∠BEF＝∠C＝90°，BF＝BF，∴△BEF≌△BCF（AAS），∴BE＝BC＝6，∵AB2+AE2＝BE2，∴42+t2＝62，∴t＝2；综上所述，若△EGD是以EG为腰的等腰三角形，t的值为3或2；（3）tan∠ABE＝1，理由：如图2，过O作OH⊥CD于H，∵tan∠BFC＝＝3，设CF＝a，BC＝3a，∵AE＝t，∴DE＝3a﹣t，∵OH⊥CD，AD⊥CD，∴OH∥DE，∵OF＝OE，∴OH＝DE＝，∵OC∥EG，EG⊥FG，∴OC⊥FG，∴tan∠COH＝tan∠BFC＝3，∴CH＝3OH＝，FH＝，∴DF＝7a﹣3t，AB＝8a﹣3t，由△ABE∽△DEF，得，，即，解得：t1＝2a，t2＝a，∴tan∠ABE＝＝＝＝1．6．（2019•双流区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为直径作⊙O，以直角边AC 为底边向右侧作等腰△ACD，使AB＝AD＝CD，连接OD交AC于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若tan∠ABC＝2，求证：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC＝2，求EF的长．解：（1）如图1，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴AO＝CO，又∵AD＝CD，OD＝OD，∴△AOD≌△COD（SSS），∴∠ADE＝∠CDE，即DE为∠ADC的平分线又∵△ACD是等腰三角形∴点E为AC的中点，且DE⊥AC，又∵点O为AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥BC，即OD∥BC；（2）在Rt△ABC中，∵tan∠ABC＝＝2，∴设BC＝a，则AC＝2a，∴AD＝AB＝＝a，∵OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC＝a，AE＝CE＝AC＝a，AO＝BO＝AB＝a，在Rt△AED中，DE＝＝2a，在△AOD中，AO2+AD2＝（a）2+（a）2＝a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2＝a2，∴AO2+AD2＝OD2，∴△AOD为直角三角形，∴∠OAD＝90°，∴DA与⊙O相切；（3）如图2，连接AF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠BAD，又∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴＝，即DF•BD＝AD2，又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴＝，即OD•DE＝AD2，∴DF•BD＝OD•DE，即＝，又∵∠EDF＝∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∴＝，∴EF＝，∵BC＝2，∴AB＝AD＝2，OD＝5，ED＝4，BD＝2，OB＝，∴EF＝＝．7．（2019•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG，DC的延长线相交于点F．（1）若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径；（2）求证：∠FGC＝∠AGD；（3）若直径AB＝10，tan∠BAC＝，弧AG＝弧BG，求DG的长．（1）解：连接OC．如图1所示：设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，∴DE＝EC＝4，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴R2＝（R﹣2）2+42，解得：R＝5，即⊙O的半径为5；（2）证明：连接AD，如图2所示：∵弦CD⊥AB∴，∴∠ADC＝∠AGD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD；（3）解：如图2中，连接OG，作GH⊥DF于H．∵AB＝10，tan∠BAC＝＝，∴BC＝2，AC＝4，∵AB⊥CD，∴DE＝CE＝＝4，∴BE＝＝2，OE＝3，∵，∴OG⊥AB，∴∠GOE＝∠OEH＝∠GHE＝90°，∴四边形OEHG是矩形，GH＝OE＝3，OG＝EH＝5，DH＝9，在Rt△DGH中，DG＝＝＝3．8．（2019•定兴县一模）如图1，四边形ABCD是正方形，且AB＝8，点O与B重合，以O为圆心，作半径长为5的半圆O，交BC于点E，交AB于点F，交AB的延长线于点G．发现：M是半圆O上任意一点，连接AM，则AM的最大值为 13 ；思考：如图2，将半圆O绕点F逆时针旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当α＝90°时，求半圆O落在正方形内部的弧长；（2）在旋转过程中，若半圆O与正方形ABCD的边相切时，请直接写出此时点A到切点的距离．（注：sin37°＝，sin53°＝，tan37°＝）解：发现：当点M与点G重合时，AM有最大值，最大值＝AB+OG＝8+5＝13，故答案为：13；思考：（1）如图①，设半圆O交AD于点N，连接ON，过点O作OH⊥AD于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∵半圆O绕点F逆时针旋转90°，∴∠OFA＝90°，∴四边形HAFO是矩形，∴AH＝OF＝5，OH＝AF＝AB﹣BF＝3，∴sin∠HNO＝＝．∴∠HNO＝37°，∵AH∥OF，∴∠NOF＝∠HNO＝37°，∴半圆O落在正方形内部的的长＝＝；（2）∵由（1）知，当α＝90°时，半圆O与AB相切，此时切点为点F，∴AF＝3；如图2，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，AR，并延长RO交AB于点T，∴∠ORC＝90°．∵DC∥AB，∴∠OTF＝90°，∴四边形RCBT是矩形，∴RT＝CB＝8，∴OT＝8﹣5＝3，∴FT＝＝4，AT＝AB﹣BT＝AB﹣（BF﹣FT）＝7，∴AR＝；∴如图3，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过点F作FS⊥PO于点S，则四边形PAFS是矩形，∴PS＝AF＝3，AP＝SF，∴SO＝PO﹣PS＝5﹣3＝2，∴SF＝＝＝．∴AP＝SF＝．综上所述，点A到切点的距离为3或或．9．（2019春•江都区校级月考）如图，在直角坐标系中，⊙M的圆心M在y轴上，⊙M与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，过点A作⊙M的切线AP交y轴于点P，若点C的坐标为（0，﹣2），点A的坐标为（4，0），（1）求证：∠PAC＝∠CAO；（2）求直线PA的解析式；（3）若点Q为⊙M上任意一点，连接OQ、PQ，问的比值是否发生变化？若不变求出此值；若变化，说明变化规律．证明：（1）∵AM＝MC∴∠MAC＝∠MCA，∵AP是⊙M的切线∴∠PAM＝90°∴∠CAP+∠MAC＝90°，且∠MCA+∠CAO＝90°∴∠PAC＝∠CAO（2）∵点C的坐标为（0，﹣2），点A的坐标为（4，0），∴AO＝4，OC＝2在Rt△AMO中，AM2＝MO2+AO2，∴AM2＝（AM﹣2）2+16∴AM＝5∴MC＝5，MO＝3∴点M（0，3）∵∠POA＝∠PAM＝90°∴∠PAO+∠APM＝90°，∠APM+∠AMP＝90°∴∠PAO＝∠PMA，且∠AOM＝∠AOP＝90°∴△MOA∽△AOP∴∴∴OP＝∴点P坐标（0，）设直线PA的解析式为：y＝kx﹣，且过点A（4，0）∴0＝4k﹣∴k＝∴直线PA的解析式为：y＝x﹣（3）不变，理由如下：当点Q与点C重合时，＝＝，当点Q与点D重合时，＝＝，当点Q与点C、点D不重合，如图，∵∠AMP＝∠AMP，∠MAP＝∠MOA＝90°∴△MOA∽△MAP∴，且MQ＝MA∴，且∠QMP＝∠QMO∴△QMO∽△PMQ∴综上所述：的比值不变．10．（2019•红桥区一模）已知AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O 于点C，连接BD．（Ⅰ）如图①，若∠BDH＝65°，求∠ABH的大小；（Ⅱ）如图②，若C为弧BD的中点，求∠ABH的大小．解：（Ⅰ）如图1，连接OD．∵O为圆心，EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF．又BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠DBH＝∠OBD，∵∠DBH＝90°﹣∠BDH＝90°﹣65°＝25°，∴∠ABH＝2∠DBH＝50°；（Ⅱ）连接OD，OC，CD，如图2，则∠DBH＝∠COD，∵O为圆心，EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝90°﹣∠COD，∴∠ODC＝90°﹣∠DBH，∵∠ODC＝90°﹣∠HDC，∴∠HDC＝∠DBH，∵C为的中点，∴∠DBH＝∠BDC，∴∠DBH＝∠BDC＝∠HDC，∵∠DBH+∠BDC+∠HDC＝90°，∴∠DBH＝30°，由（1）知，∠ABH＝2∠DBH＝60°．11．（2019•长清区一模）如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F，且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠EAC＝∠CAB；（2）若CD＝4，AD＝8，求AB的长和tan∠BAE的值．解：（1）证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AE，∴OC∥AE，∴∠1＝∠3，∵OC＝OA，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB；（2）连接BC．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∵AC2＝AD2+CD2＝42+82＝80，∴AB＝＝10，∴⊙O的半径为10÷2＝5．连接CF与BF．∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠AFC＝180°，∵∠DFC+∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC，∵∠2+∠ABC＝90°，∠DFC+∠DCF＝90°，∴∠2＝∠DCF，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF，∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC，∴，∴DF＝＝2，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°，∴BF＝＝8，∴tan∠BAD＝．12．（2019•包河区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，EO⊥AB，垂足为O，EO交AC于E．过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：∠AEO+∠BCD＝90°；（2）若AC＝CD＝3，求⊙O的半径．解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵EO⊥AB，∴∠A+∠AEO＝90°，∴∠AEO＝∠ABC，∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠AEO＝∠OCB，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠AEO+∠BCD＝90°；（2）∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵AC＝CD，∴∠A＝∠D，∵∠A+∠D+∠ACO+∠OCD＝180°，∴3∠A+90°＝180°，∴∠A＝30°，∵AC＝3，∴AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为．13．（2019•虞城县一模）已知A是⊙0的直径，C是圆周上的动点，P是弧ABC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC．（2）填空：①如图2，PC交AB于点D，当∠A的度数为°时，OD＝CD；②若tan A＝，OA＝5，则BC＝ 6 ．（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧ABC的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：①连接OP，如图2，若OD＝CD，则∠DOC＝∠DCO，∵∠A＝∠OCP，∴∠COD＝∠A，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A，∴∠POD＝2∠A，∴∠AOP＝∠COP＝3∠A，∵∠AOP+∠POB＝180°，∴3∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝36°；②解；如图3，过PE⊥AB于E，∵tan A＝＝，∴设PE＝a，则AE＝2a，在RT△OPE中，（2a﹣5）2+a2＝52，解得a＝4，∴OE＝＝3，过C作CF⊥AB于F，∴＝tan∠CBF＝tan∠POE＝＝，设CF＝4b，BF＝3b，∵OB＝OC＝5，∴在RT△OCF中，（5﹣3b）2+（4b）2＝52，解得a＝，∴BC＝5b＝6．故答案为6．14．（2019•虞城县一模）问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为 等腰直角 三角形，BC、CD、AC的数量关系为 BC+CD＝AC ；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系．拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝ 或 ．解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，∴PQ＝5+12＝17，解得，PQ＝，如图4，当点E在直线AC的，右侧时，连接CQ、PC，由（2）得，PQ＝（CQ﹣AQ）＝7．解得，PQ＝，故答案为：或．15．（2019•南昌一模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以AB为直径的半圆O在矩形ABCD 的外部，将半圆O绕点A顺时针旋转a度（0°≤a≤180°）．（1）在旋转过程中，B′C的最小值是 1 ，如图2，当半圆O的直径落在对角线AC上时，设半圆O与AB的交点为M，则AM的长为 ．（2）如图3，当半圆O与直线CD相切时，切点为N，与线段AD的交点为P，求劣弧AP的长；（3）在旋转过程中，当半圆弧与直线CD只有一个交点时，设此交点与点C的距离为d，请直接写出d的取值范围．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，在旋转过程中，当点B′落在对角线AC上时，B′C的值最小，最小值为1；在图2中，连接B′M，则∠B′MA＝90°．在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5．∵∠B＝∠B′MA＝90°，∠BCA＝∠MAB′，∴△ABC∽△AMB′，∴＝，即＝，∴AM＝；故答案为：1，；（2）在图3中，连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G．∵半圆与直线CD相切，∴ON⊥DN，∴四边形DGON为矩形，∴DG＝ON＝2，∴AG＝AD﹣DG＝1．在Rt△AGO中，∠AGO＝90°，AO＝2，AG＝1，∴∠AOG＝30°，∠OAG＝60°．又∵OA＝OP，∴△AOP为等边三角形，∴劣弧AP的长＝＝π；（3）由（2）可知：△AOP为等边三角形，∴DN＝GO＝OA＝，∴CN＝CD+DN＝4+，当点B′在直线CD上时，如图4所示．在Rt△AB′D中（点B′在点D左边），AB′＝4，AD＝3，∴B′D＝＝，∴CB′＝4﹣，∵AB′为直径，∴∠ADB′＝90°，∴当点B′在点D右边时，半圆交直线CD于点D、B′．∴当半圆弧与直线CD只有一个交点时，4﹣≤d＜4或d＝4+．16．（2019•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝10，CD＝15，E是边CD上一点，且DE＝5，P是射线AD上一动点，过A，P，E三点的⊙O交直线AB于点F，连结PE，EF，PF，设AP＝x．（1）当x＝5时，求AF的长．（2）在点P的整个运动过程中．①tan∠PFE的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围；②当矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上时，求x的值．（3）若点A，H关于点O成中心对称，连结EH，CH．当△CEH是等腰三角形时，求出所有符合条件的x的值．（直接写出答案即可）解：（1）如图1中，连接AE．在Rt△DPE中，∵DE＝5，DP＝AD﹣AP＝5，∴PE＝5，在Rt△ADE中，AE＝＝5，∵∠PAF＝90°，∴PF是⊙O的直径，∴∠PEF＝∠ADE＝90°，∵∠DAE＝∠PFE，∴△ADE∽△FEP，∴＝，∴＝，∴PF＝5，在Rt△PAF中，AF＝＝15；（2）①tan∠PFE的值不变．理由：如图1中，∵∠PFE＝∠DAE，∴tan∠PFE＝tan∠DAF＝＝；②如图2中，当⊙O经过A、D时，点P与D重合，此时m＝10．如图3中，当⊙O经过A、B时，在Rt△BCE中，BE＝＝10，∵tan∠PFE＝，∴PE＝5，∴PD＝＝5，∴x＝PA＝5．如图4中当⊙O经过AC时，作F M⊥DC交DC的延长线于M．根据对称性可知，DE＝CM＝BF＝5，在Rt△EFM中，EF＝＝5，∴PE＝EF＝，∴PD＝＝，∴x＝AD﹣PD＝，综上所述，x＝10或5或时，矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上（3）如图5中，当EC＝CH＝10时，作HI⊥CD交DC的延长线于I．∵△PDE∽△EIF，∴＝，∴EI＝20﹣2x，∴CI＝20﹣2x﹣10＝10﹣2x，在Rt△CIH中，102＝（10﹣2x）2+（10﹣x）2，解得x＝2或10（舍弃）．如图6中当EC＝EH＝10时，在Rt△AEH中，AH＝＝＝15，易知PF＝AH＝15，∵PE：EF：PF＝1：2：，∴PE＝3，在Rt△PDE中，DP＝＝2，∴x＝PA＝AD﹣PD＝10﹣2；如图7中当HC＝HE时，延长FH交CD于M，则EM＝CM＝BF＝5，∵△PDE∽△EMF，∴＝，∴＝，∴PD＝，∴x＝10﹣＝如图8中，当EH＝EC时，连接FH，PH，延长CD交FH于M．∵△PDE∽△EMF，∴＝，∴＝，∴EM＝2x﹣20，在Rt△EHM中，102＝（x﹣10）2+（20﹣2x）2解得：x＝10+2或10﹣2（舍弃），综上所述，满足条件的x的值为2或10﹣2或或10+2．17．（2019春•宜昌期中）如图，已知：矩形ABCD中，F是对角线BD上一点，以F为圆心，FB为半径作圆与边AD相切于E，边AB与圆F交于另一点G．（1）若四边形BGEF是菱形，求证∠EFD＝60°；（2）若AB＝15，AD＝36，求AE的长；（3）若BD与圆F交于另一点H，求证：．（1）证明：在菱形BGEF中，BG＝GE＝EF＝FB，∵FG＝FE＝FB，∴△GEF和△BGF都是等边三角形，∴∠BFG＝∠GFE＝60°，∴∠EFD＝180°﹣60°﹣60°＝60°；（2）设EF＝BF＝r，AE＝x，AB＝15，AD＝36，由勾股定理得，DB＝39，∵AD是圆的切线，∴FE⊥AD，又BA⊥AD，∴EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴＝＝，即＝＝解得，r＝，x＝10，∴AE＝10；（3）连BE，EH，∵BH为直径，∴∠BEH＝90°，∴∠BEH＝∠EAG，∵四边形GBHE是圆内接四边形，∴∠BHE＝∠EGA，∴△AGE∽△EHB，∴＝，∵AD是圆的切线，∴∠DEH＝∠DBE，又∠EHD＝∠BDE，∴△DEH∽△DBE，∴＝，∴＝，∴．。