人教版-高中数学选修4-5 柯西不等式
人教版高中数学选修4-5《3.2 一般形式的柯西不等式》
五. 当堂检测：
[练1](1)已知2 x 3 y 4z 10, 求x 2 y 2 z 2最小值;
(2)若9 x 2 12 y 2 5z 2 9, 求x 6 y 5z的最大值.
[练2]设x1 , x2 ,..., xn是正数, 求证 : 1 1 1 2 ( x1 x2 ... xn )( ... )n x1 x2 xn
三、归纳推理，形成新知：
3、三维形式的柯西不等式：
(a1b1 a2b2 a3b3 ) (a a a )(b b b )
2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
当且仅当 与共线时, 等号成立.
【探究】根据二维、三维形式的柯西不等式， 若 ( a1 , a 2 , a 3 ,...,a n ), (b1 , b2 , b3 ,...,bn )
3.2一般形式的柯西不等式
选修4-5
一、温故知新：
1、柯西不等式的向量形式: 【定理2】设 , 是两个向量, 则| | | | | |
将平面向量的坐标 (a1 , a2 ), (b1 , b2 )代入, 则上述 不等式可化简为:
2、二维形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 ) (a1 a2 )(b1 b2 ) 适用范围: 对任意实数都成立.
六.课堂小结: 基础 三维形式 知识：
一般形式
证明不等式
柯西不等式
求最值
基本思想方法： 1.探究方法：从特殊到一般. 2.思维方法：观察→归纳→证明. 七.课后作业: 1.巩固性作业:P41 习题3.2 第1,2, 4,6. 2.探究作业: 小组合作证明一般形式的柯西不等式.
高中数学新人教A版选修4-5 一般形式的柯西不等式
1xn2≥
x1·1x1＋
x2·1x2＋…＋
xn·1xn2＝n2，
∴x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
柯西不等式的结构特征可以记为： (a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥( a1b1＋
a2b2＋…＋ anbn)2. 其中 ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时 要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑 出公式两侧的数是解决问题的关键．
1．设 a，b，c 为正数，且不全相等． 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a>a＋9b＋c. 证明：构造两组数 a＋b， b＋c， c＋a； a1＋b， b1＋c， c1＋a，则由柯西不等式得 (a＋b＋b＋c＋c＋a)a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥(1＋1＋1)2，① 即 2(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥9，
＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的 积的形式，利用柯西不等式证明．
[证明] ∵(x1＋x2＋…＋xn)x11＋x12＋…＋x1n ＝[( x1)2＋( x2)2＋…＋( xn＋…＋
[点睛] 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、 四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式 的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平 方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．
[例 1]
设
x1，x2，…，xn
都是正数，求证： 1 ＋ 1 ＋… x1 x2
一般形式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，当 且 仅 当 bi ＝ 0(i ＝
的柯西不 b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22 1,2，…，n)或存在一
高二数学选修4-5：第二章 2.1 柯西不等式
又 a，b，c 为正实数，∴a＋b＋c>0.
∴ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
利用柯西不等式求最值
[例 3] 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6 的最大值．
[思路点拨] 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题 需要利用好特定条件，设法去掉根号．
[精解详析] 根据柯西不等式 120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)] ≥(1× 2x＋1＋1× 3y＋4＋1× 5z＋6)2， 故 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6≤2 30.
2．设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明：∵ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)
＝
a 2＋ b
b 2＋ c
ca2·[(
b)2＋(
c)2＋(
a)2]
≥
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a2＝(a＋b＋c)2，
即ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
8．已知 x，y，z 均为正实数，且 x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值 为________．
解析：利用柯西不等式．
由于(x＋y＋z)1x＋4y＋9z ≥
x·1x＋
y·2y＋
z·3z2＝36，
所以1x＋4y＋9z≥36.
当且仅当 x2＝14y2＝19z2，即 x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立．∴
≥a1＋a2＋…＋an，
∴ a12＋a22＋…＋a2n· n≥a1＋a2＋…＋an.
即得
a21＋a22＋n …＋a2n≥a1＋a2＋n …＋an，∴P≥Q.
答案：B
二、填空题 5．设 a，b，c，d，m，n 都是正实数，P＝ ab＋ cd，Q＝
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-5《32一般形式的柯西不等式》
【课标要求】 1．理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西
不等式的一般形式． 2．会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等
式和求函数的最值． 【核心扫描】 1．一般形式的柯西不等式的应用是本节考查的重点． 2．常与不等式、最值等问题综合考查．(难点)
课前自主学习
或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n) 时，等号成立．
课前自主学习
课堂讲练互动
知能达标演练
想一想：在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为
ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？ 提示 不可以．不仅仅当ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号 成立，当bi＝0(i＝1,2，…，n)时等号也成立．
b＋1 c＋
c＋a·
1
2
c＋a
＝(1＋1＋1)2＝9.
课前自主学习
课堂讲练互动
知能达标演练
∴a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a≥a＋9b＋c. ∵a，b，c 互不相等， ∴等号不可能成立，从而原不等式成立．
规律方法 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件， 但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到 利用柯西不等式的目的．
课堂讲练互动
知能达标演练
自学导引
1．三维形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥
(a1b1＋a2b2＋a3b3)2
.当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在
一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3 时 ， 等 号 成
立．
课前自主学习
课堂讲练互动
知能达标演练
解 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1 ＝ 4a＋1·1＋ 4b＋1·1＋ 4c＋1·1 ≤(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)12(12＋12＋12)12 ＝ 7× 3＝ 21. 当且仅当 4a1＋1＝ 4b1＋1＝ 4c1＋1时取等号． 即 a＝b＝c＝13时，所求的最大值为 21.
最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式与排序不等式及其应用》本章概览
第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用本章概览内容提要1.柯西不等式(1)代数形式:(a 12+a 22)(b 12+b 22)≥(a 1b 1+a 2b 2)2,等号成立⇔a 1b 2=a 2b 1.(2)向量形式:|α||β|≥|α·β|,等号成立⇔α与β共线.(3)平面三角不等式:222211)()(b a b a -+-+222211)()(c b c b -+-2≥222211)()(c a c a -+-,等号成立⇔存在非负实数λ,u 使u (a 1-b 1)=λ(b 1-c 1),u (a 2-b 2) =λ(b 2-c 2).(4)一般形式:(a 12+a 22+…+a n 2)21(b 12+b 22+…+b n 2)21≥|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |,等号成立⇔2211b a b a ==…=nn b a . 2.排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数,c 1,c 2,…,c n 为b 1,b 2,…,b n 的任一排列,有a 1b n +a 2b n-1 +…+a n b 1≤a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n ≤a 1b 1+…+a n b n ,等号成立⇔a 1=a 2…=a n 或b 1=b 2=…=b n .3.平均值不等式:a 1,a 2,…,a n ∈R +,n n n a a a na a a ⋅⋅⋅≥+++......2121,等号成立⇔ a 1=a 2=…=a n .4.最值问题:把握好函数基本形式,再借用不等式,函数的性质求最值.学法指导根据本章的特点,学习时应加强数学思想方法的学习,加强对各类不等式性质的理解.理解柯西不等式,排序不等式,平均值不等式在具体问题中的作用.。
人教版高中数学选修4-5《第三讲柯西不等式与排序不等式一般形式的柯西不等式》
3 3 =3 ( x 0)
6
复习引入
设<m, n , 则m n | m | | n | cos | m n || m | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n | 当且仅当m // n时,等号成立. m (a, b, c), n (d , e, f ) m n ad be cf
2 2
1 1 2 (1 x 2 y ) 5 5
1 2 (当 x , y ) 5 5
4
复习引入 下面我们来做几个巩固练习: 1 2 3.设 x, y R ,且 x+2y=36,求 的最小值． x y
1 2 1 1 2 ( )( x 2 y) x y 36 x y 1 2 y 2x (1 4 ) 36 x y 1 2 y 2x (5 2 ) 36 x y
(a b c d ) (a b c d )(b c d a )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ab bc cd da )
2 2 2 2
2
(ab bc cd da )
即 a b c d ab bc cd da
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景， 其应用广泛。
9
一般形式的柯西不等式示例源自例 1 已知 a1 , a2 , , an 都是实数，求证： 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) ≤ a1 a2 an n 1 1 2 2 ( a a a ) (1 a 1 a 1 a ) 证明： 1 2 n 1 2 n n n 1 2 2 2 2 2 (1 1 12 )(a1 a2 an ) n
人教版高中数学选修4-5《3.1 柯西不等式》
2
k,使 得a i kbi ( i 1,2, , n)时, 等 号 成 立 。 2n 问题： 1、柯西不等式里一共涉及多少个实数？ 个 2、柯西不等式的结构有何特征？
平方和的乘积不小于乘积和的平方
1、柯西是什么人？
• 法一：问柯西本人；
2、他是怎么发现该不等式的？
4 4 2 2 3 3 2
（2）复杂问题：变形后运用柯西不等式。
例3 求函数 y 5 x 1 10 2 x的最大值
思考：该题目用了哪些变形技巧？ 凑配系数，平方。
2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25 )
( 2) a b c d ac bd2 ຫໍສະໝຸດ 2 2222
2
自主探究： 1、这两个变式 怎么来的呢？ 2、这三个不等 式取“=” 的条 件分别是什么？
进一步—理解—柯西不等式
• 1、代数理解。
2 2 2 2
• 2、几何理解。
(1) a b c d ac bd
小组讨论：根据变式一，你能给出柯西不 等式的几何解释吗？
柯西不等式
选修4-5 不等式选讲
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 ) 式 设a1 , a 2 , a 3 , , a n , b1 , b2 , b3 , , bn是 实 数 ,则
(a a a )( b b b ) (a1b1 a2b2 anbb ) 当且仅当 bi 0( i 1,2, , n)或 存 在 一 个 数
教学目标：
• 1、发现、推导
柯西不等式
高中数学选修4-5柯西不等式与排序不等式第3讲3人教版
①
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 ＋ ＋ ≤ ＋ ＋ ， a b c b c c
11 11 11 a b c 即 a10＋b10＋c10≤ ＋ ＋ . b c a
[ 思路点拨]
由于题目中已明确 a≥b≥c， 所以解答本题时
可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
[ 解题过程]
1 1 ∵a≥b>0，于是 ≤ ， a b
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 同理 ≥ ， ca ab 1 1 1 从而 ≥ ≥ . bc ca ab
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
1．顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1， c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝
a1b1＋a2b2＋…＋anbn 1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和____________________ a1c1＋a2c2＋…＋ancn 为乱序和，称相反顺序 为顺序和，称_____________________
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
课堂学案
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
字母的大小顺序已确定的不等式的证明
新人教A版高中数学(选修4-5)《二维形式的柯西不等式》word教案
选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式 姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当 时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当 时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii ini i i b a a b a 21)(.当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
人教版-高中数学选修4-5-柯西不等式与排序不等式
当 且 仅使 k 时, 等 号 成 立.
定理3 (二维形式的三角不等式) 设x1, y1, x2, y2 R,
那么 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
值 是 ___1_1__
25
5.若a b 1,则(a 1 )2 (b 1 )2的最小值是__2____
a
b
小结:
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2(a,b,c,d R) 当且仅当ad bc时,等号成立. (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd (3) a2 b2 c2 d 2 ac bd
, 将 空 间 向 量 的 坐 标 代 入，
化简后得
(a12 a22 a32 ) (b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 ) 当 且 仅 当 , 共 线 时,即 0,或 存 在 一 个 数k, 使 得ai kbi (i 1,2,3)时， 等 号 成 立.
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
补充例题:
例1
已知x,
y,a,b
R
,
且
a x
b y
1,求x
y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
由22
x x
3y 3y
高中数学新人教A版选修4-5二维形式的柯西不等式
ItEsS /柚西祜站排酥福茂1. 二维形式的柯西不等式⑴定理1：若a, b, c, d都是实数，则(a2+ b2)(c2+ d2)>(ac+ bd)2，当且仅当ad= be时，等号成立.二维形式的柯西不等式(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a + b)(c+ d) > ( ac+ bd)2(a, b, c, d 为非负实数);a2+ b2• c2+ d2> |ac+ bd|(a, b, c, d€ R);a2+ b2• c2+ d2> |ac| + |bd|(a, b, c, d€ R).2. 柯西不等式的向量形式定理2:设a, B是两个向量，则|a •澤| ” |件当且仅当B是零向量，或存在实数k, 使a= k B时，等号成立.［注意］柯西不等式的向量形式中a•其| a|B，取等号“=”的条件是B= 0或存在实数k,使a= k •3. 二维形式的三角不等式(1)定理3：也2+ y + v x2+ y2Z(X i —X2 2+ (y i —y2$(x i, y i, X2, R).当且仅当三点P i, P2与O共线，并且P i, P2点在原点O异侧时，等号成立.(2)推论：对于任意的X i, X2, X3, y i, y2,涉 R，有7 (x i —x3 2 +(y i —y3 2 +P(X2 - X3 f +( y2 - y3 2(x i —x?2+ (y i —y?2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P i, P2, P3的坐标分别为(X i, y i), (X2, y2), (X3,y3),根据△ P i P2P3的边长关系有|P i P31+ |P2P3|> |P i P2|,当且仅当三点P i,卩2 ,卩3共线，并且点P i, P2在P3点的异侧时，等号成立.利用柯西不等式证明不等式a b2［例1］已知B为锐角，a, b€ R+,求证：一(a+ b)2.cos 0 sin 0［思路点拨］可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“ 1 = sin20+ cos0”，然后用柯西不等式证明.a2b2［证明］J破+诙=為+滸0(8孑0+引『0》爲cos 0+盒sin 00=(a + b)2,2 b2：(a+b)2<cOs i+亦［右法-规律…卜结］----------------------------利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件.1.已知a i, a2,切，b2为正实数.求证：(a i b i+ a2b2)畫+ 舊》(a i+ a?)2.证明：J (叭 + a2b2)b1+b•••原不等式成立.2.设a, b, c为正数，求证：a2+ b2+ b2+ c2+ a2+ c2> 2(a+ b+ c).证明：由柯西不等式，得a2+ b2• i2+ 12>a+ b,即 _ 2 • a2+ b2> a+ b.同理：，2 • b2+ c2> b+ c,2 • a2+ c2> a+ c,将上面三个同向不等式相加得:2(、J a 2+ b 2+ 工/b 2 + c 2 + --J a 2 + c 2) > 2(a + b + c)订a 2+ b 2 + p,b 2+ c 2 +、.../a 2+ c 2》；2(a + b +c).2 2a b+ > 2.2— a 2 — b证明：根据柯西不等式，有2 .2丄 +_b _2— a 2 — b声+戸厲丿2 =(a + b)2= 4. 2 2••亠 + 亠 > 4 = 2.2— a 2— b 2 — a + 2 — b 原不等式成立.［例2］ 求函数y = 3sin a+ 4cos a 的最大值.［思路点拨］函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac + bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值.［解］由柯西不等式得(3sin a+ 4cos a)2<(32+ 42)(sin 2 a+ cos a)= 25,• 3sin a+ 4cos a< 5.当且仅当sj y a= c os a>0即sin a= 5, cos a= 4时取等号，即函数的最大值为5.［方法•规律•小结〕利用柯西不等式求最值的注意点(1) 变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2) 有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常 数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每 运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运 用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.4.已知2x 2+ y 2 = 1,求2x + y 的最大值.3.设 a , b € R + ,且 a + b = 2.求证: [(2 — a + (2 - b )] 利用二维形式的柯西不等式求最值+解：••• 2x+ y= 2X 2x + 1X y w 厂22+ 12x 一2x 2+ y2= 3X 2x2+ y2= 3,当且仅当x= y=¥时取等号••• 2x+ y的最大值为 3.5.求函数y = x2—2x + 3+ x2—6x + 14的最小值.解：y= x— 1 2+ 2+ 3 —x 2+ 5,y2= (x—1)2+ 2 + (3 —x)2+ 5+ 2X 寸[(X—1 ：+ 2][(3—x$+ 5]》(x —1)2+ 2+ (3 —x)2 + 5 + 2X [(x—1)(3 —x) + 10]= [(x—1)+ (3 —x)]2+ (7 + 2 10) = 11 + 2 10.当且仅当即x=骰时等号成立.此时y min= 11+ 2一10= 10+ 1.1.已知a, b€ R +且a + b= 1,贝U P = (ax+ by)2与Q = ax2+ by2的大小关系是(A. P< QB. P v QC. P>QD. P>Q解析：选 A 设m= ( ax, , by), n = ( a, . b),则|ax + by| = |m-n|< |m||n| =旨上ax 2+ . by 2• a 2+ b 2= ax2+ by2• a + b = ax2+ by2,•(ax+ by)2w ax2+ by2,即P w Q.2. 若a, b€ R，且a2+ b2= 10,则a—b的取值范围是()A. [—2 5, 2 5 ]B. [—2 10, 2 10 ]C. [—10, 10 ]D. (—5, 5)解析：选 A (a2+ b2)[i2+ (—I)2] > (a—b)2,•/ a2+ b2= 10,•(a —b)2w 20.•••—2 5 w a —b w 25.3. 已知x+ y= 1，那么2x2+ 3,的最小值是()5A"625解析：选 B (2X 1 2+ 3y 2)[( 3)2+ ( 2)2]>( 6x + 6y)2=[ 6(x + y)]2= 6, 3 2当且仅当X = 5, y = 2时取等号， 即 2X 2 + 3y 2> 6.5故2X 2 + 3y 2的最小值为6.5 4. 函数y = X - 5+ 26 — x 的最大值是()A.3B. 5 C . 3D . 5解析：选B 根据柯西不等式，知y = 1X X — 5 + 2X 6— X <12+ 22x 寸&X —5 2 +(V 6 - x 2 = <5,当且仅当X = 26时取等号.5.设 xy>0,则 |x 2 + ___________ i'|y 2 + X 2 的最小值为 . 解析：原式=X 2+ £：+ y 2x £+ y y 2= 9,当且仅当xy=/2时取等号.答案：96. ______________________________________________ 设 a = (-2,1,2), |b|= 6，贝U a b 的最小值为 ________________________________________________ ，此时 b= ________ .解析：根据柯西不等式的向量形式，有 |a b|w |a| |b|,•••|a b|w - 2 2+ 12+ 22x 6= 18, 当且仅当存在实数 k , 使a = kb 时，等号成立.•••— 18W a b w 18,• a b 的最小值为一18, 此时 b =- 2a = (4, - 2,- 4). 答案：—18(4,- 2,- 4)7. _________________________________________________________ 设实数X , y 满足3X 2 + 2y 2w 6，贝V P = 2X + y 的最大值为 _______________________________ .解析：由柯西不等式得(2x + y)2w[( .3X )2+ ( 2y)2] • ： 2+ ： 2 = (3x 2+ 2y 2) £+ 1 w 6X f= 11,当且仅当C.3636 D.25y =爲时取等号，故P = 2x + y 的最大值为 11.4所以1 +丄》2.x y9.若x 2 + 4y 3 4= 5,求x + y 的最大值及此时 x , y 的值. 解：由柯西不等式得 [x 2+ (2y )2] 12+ j 1/ l> (x + y)2, 即(x + y)2w 5x 5 =严，x + y < 2.4 4 2 当且仅当x =空，即x = 4y 时取等号. 1 125••• x + y 的最大值为5， 1此时 x = 2, y = 2.10.求函数f(x)= 3cosx + 4, 1 + sin 2x 的最大值，并求出相应的 x 的值. 解：设 m = (3,4), n = (cosx , 1 + sin 2x),则 f(x) = 3cosx + 4 1 + sin 2x=|m n|w |m| |n|f(x)= 3cos x + 4 ・J 1 + sin 2x 取最大值 5 2.=^co&x + 1 + sin 2x • 32 + 42 =5 2,当且仅当m// n 时，上式取“=”. 此时，3 叮 1 + sin 2x — 4cos x = 0. 解得 sin x=-^, cosx = ^t^.5 5 故当 sin x =」,cosx = ^2时. 5 5「心=血 当且仅当 y .x' 时等号成立，此时 x = 1, y = 1. x + y = 2丄 x 2+ 4y 2= 5, 由彳x = 4y ,x = 2,得i 1l y= 1x — 2, 或丫 1 l y =- 1（舍去）.。
人教版高中数学选修4-5《3.2一般形式的柯西不等式》
题型探究
证 明
复习引入
学习目标
探索新知
题型探究
小结反思
随堂训练
根据柯西不等式，有 (12+12+…+12)(a12+a22+…+an2)
≥(1×a1+ 1×a2+…+ 1×an)2,
所以n(a12+a22+…+an2) ≥(a1+a2+…+an)2
1 即 a1 a2 ... an 2 a12 a2 2 ... an 2 . n
探索新知 问题3.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能 猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 柯西不等式的一般形式为 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+… +bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 (2)
猜 想
探索新知 问题3、如何证明你的猜想? 分 析 如果设 A=a12+a22+…+an2,
题型探究题型探究
小结反思
随堂训练
探究一 利用柯西不等式证明不等式
例2.已知a1 , a2，. . . , an为实数，
1 2 试证： a1 a2 ... an a12 a2 2 ... an 2 . n
分析
用n乘要证的式子两边，能使 式子变成明显符合柯西不等式的形 式.
探索新知 若x=0，则b1=b2=…=bn=0,(2)式成立；若x≠0， 则有
x bi ai
，总之，当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)
或ai=kbi(i=1,2,…,n)时，等号成立.
柯西不等式与排序不等式复习课件-高二下学期数学人教A版选修4-5
n
2
1
1i , j n
1
1
2
xi
xi x j
n 1
满足
x x
i 1
i i 1
x1 xn n
●
【证明提示】：
● 由排序不等式与柯西不等式易证之
n
n
n
xi x 2j
xi3
xi3
2
2
2
1
1i , j n
1i , j n
1i , j n
是(
1
● A．43
)
50
B． 19
C．
50
69 D．172
● 解：
● 由柯西不等式得
● [( x ＋8) 2 ＋2( y －2) 2 ＋( z ＋10) 2 ][8 2 ＋2(－2) 2 ＋10 2 ]
● ≥[8( x ＋8)＋(－4)( y －2)＋10( z ＋10)] 2 ＝29584 ，
x 8
a 4 2a 2b b 5
2
2
3
● 所以 4a a 2 a 2b b 3
a 4 2a 2b b 5
● 的最大值是2.
2
4a 2 a 2 a 2b b 3
2
2a 2a b 2ab
3
2
3 2
2
达标题 ：
● 例题4．已知x, y, z∈R，且8 x －4 y ＋10 z ＝172，则( x ＋8) 2 ＋2( y-2 ) 2 ＋( z ＋10) 2 的最小值
● 证明：不妨设
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a
新人教A版高中数学(选修4-5)《第三讲柯西不等式与排序不等式》word教案
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵ m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？22||c d ac bd +≥+ 或 22||||c d ac bd +≥+22c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题. 第二课时3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =?要点：利用变式22||ac bd c d ++.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→变式：y → 推广：(,,,,,)y b c d e f x a b c d e f R+=-∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法）2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥. 3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题 第三课时3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B A C -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题 第四课时3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 教学过程：一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和)1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和)121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。
最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明》知识讲解
数学人教B 选修4-5第二章2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明1．认识一般形式的柯西不等式．2．理解一般形式的柯西不等式的几何意义．3．会用一般形式的柯西不等式求解一些简单问题．定理(柯西不等式的一般形式)(1)设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则11222222221212(+)(+)n n a a a b b b ++++ ≥____________________，其中等号成立____________________(当某b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1,2，…，n )． (2)柯西不等式的一般形式的证明方法是__________．记忆柯西不等式的一般形式，一是抓住其结构特点：左边是平方和再开方的积，右边是积的和的绝对值；二是与二维形式的柯西不等式类比记忆．柯西不等式的变形和推广：变形(1) 设a i ，b i ∈R ，b i ＞0(i ＝1,2，…，n )，则∑i ＝1na i 2b i≥(∑i ＝1na i )2∑i ＝1n b i，当且仅当a i ＝λb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．变形(2) 设a i ，b i (i ＝1,2，…，n )同号且不为零，则∑i ＝1na ib i≥(∑i ＝1na i )2∑i ＝1na ib i，当且仅当b 1＝b 2＝…＝b n 时，等号成立．【做一做1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( ) A ．1 B ．4C ．13D ．12【做一做2】若22212+=1n a a a ++ ，22212+=4n b b b ++ ，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n的最大值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案：(1)|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n(2)参数配方法【做一做1】C 由柯西不等式，知(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ×1＋b ×1＋c ×1)2，又a ＋b ＋c ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．【做一做2】C 由柯西不等式，得2222221212()()n n a a a b b b ++++++≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n时，等号成立．∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4. ∴－2≤a 1b 1＋…＋a n b n ≤2. ∴所求的最大值为2.1．一般形式的柯西不等式如何应用？ 剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点．我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致，然后应用解题．2．如何利用“1”？剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用．这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式．题型一 利用柯西不等式证明不等式【例题1】已知a 1，a 2，…，a n 都是正实数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1.求证：222212112231112n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++≥++++ .分析：已知条件中a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左侧，“数式”已经可以看出来，为a 1a 1＋a 2，a 2a 2＋a 3，…，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝1应扩大2倍后再利用，本题还可以利用其他的方法证明．反思：通过以上不同的证明方法可以看出，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用．题型二 利用柯西不等式求函数的最值【例题2】设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． 分析：将已知等式变形，直接应用柯西不等式求解． 反思：要求ax ＋by ＋z 的最大值，利用柯西不等式(ax ＋by ＋z )2≤(a 2＋b 2＋12)(x 2＋y 2＋z 2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧．题型三 易错辨析易错点：应用柯西不等式时，因忽略等号成立的条件而致误．【例题3】已知x ∈[2,3]，求f (x )＝1＋x ＋1x的最小值．错解：∵x ＞0，∴⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋x ＝⎣⎡⎦⎤12＋(x )2＋⎝⎛⎭⎫1x 2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋(x )2≥⎣⎡1×1＋x ×1x ＋⎦⎤x ×1x 2＝9，∴1＋x ＋1x ≥3.∴f (x )的最小值为3.错因分析：上题在求解时，由于等号不成立，故求解过程错误，结果也不正确． 答案：【例题1】证明：证法一：根据柯西不等式，得左边＝2222121122311n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++++ ＝[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＋(a n ＋a 1)]×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＋a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3a 3＋a 42＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋a 12×12＝[(a 1＋a 2)2＋(a 2＋a 3)2＋…＋(a n －1＋a n)2＋(a n ＋a 1)2]×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＋a 32＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋a 12×12≥⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2×a 1a 1＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 3×a 2a 2＋a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋a n ×a n －1a n －1＋a n ＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋a 1×a n a n ＋a 12×12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2×12＝12＝右边．∴原不等式成立．证法二：∵a ∈(0，＋∞)，∴a ＋1a ≥2，∴a ≥2－1a.利用上面的结论，知2112a a a +＝a 12×2a 1a 1＋a 2≥a 12⎝⎛⎭⎫2－a 1＋a 22a 1＝a 1－a 1＋a 24. 同理，有2223a a a +≥a 2－a 2＋a 34，…211n n na a a --+≥a n －1－a n －1＋a n 4，21n n a a a +≥a n －a n ＋a 14.以上式子相加整理，得2222112122311n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++++ ≥12(a 1＋a 2＋…＋a n )＝12. ∴原不等式成立．证法三：对于不等式左边的第一个分式2112a a a +，配制辅助式k (a 1＋a 2)，k 为待定的正数，这里取k ＝14，则2112a a a +＋14(a 1＋a 2)≥a 1. 同理，2223a a a +＋14(a 2＋a 3)≥a 2.…211n n n a a a --+＋14(a n －1＋a n )≥a n －1，21n n a a a +＋14(a n ＋a 1)≥a n .以上式子相加整理，得2222121122311n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++++ ≥12(a 1＋a 2＋…＋a n )． ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，∴2222121122311n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++++ ≥12. 【例题2】解：根据柯西不等式，得 120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2， 故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 即u ≤230.当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立，此时，u max ＝230.【例题3】正解：应用函数单调性的定义(或导数)可证得f (x )在[2,3]上为增函数，故f (x )min＝f (2)＝1＋2＋12＝72.1若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．92设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD ．P ≤Q3已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ∈(0，＋∞)，则2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a的最小值为( )A ．1B ．3C ．6D ．94设a ，b ，c ，d 均为正实数，P ＝(a ＋b ＋c ＋d )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＋1d ，则P 的最小值为__________．5已知x ＋4y ＋9z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为__________． 答案：1．D 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2 ≥⎣⎡⎝⎛⎭⎫ab ×b a ＋⎝⎛⎭⎫b c ×c b ＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫c a ×a c 2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＞0时等号成立． 2．B3．D ∵a ＋b ＋c ＝1，∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a＝2(a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．4．165．198(x 2＋y 2＋z 2)(12＋42＋92)≥(x ＋4y ＋9z )2＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，当且仅当x 1＝y 4＝z9，即x ＝198，y ＝249，z ＝998时等号成立．1n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1 B ．n C ．n 2 D ．1n答案：C 设n 个正数为x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得 (x 1＋x 2＋…＋x n )12111n x x x ⎛⎫+++⎪⎝⎭≥2⎫+++ ＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＞0时等号成立．2若实数x ＋y ＋z ＝1，则F ＝2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．11 D ．1611答案：D ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)11123⎛⎫++⎪⎝⎭≥21y ⨯＝(x ＋y ＋z )2＝1， 当且仅当3=11x ，6=11y ，2=11z 时等号成立．∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1116＝611.3设m ，n ，p ∈(0，＋∞)，且m 2＋n 2－p 2＝0，则pm n+的最小值为( )A ．0B ．3C ．1D ．2答案：D ∵m ，n ，p ∈(0，＋∞)，m 2＋n 2－p 2＝0， ∴2p 2＝2(m 2＋n 2)＝(12＋12)(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2， 当且仅当m ＝n 时等号成立．∴221()2p m n ≥+.∴2p m n ≥+. 4已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋4y 2＋z 2的最小值为__________．答案：13(x 2＋4y 2＋z 2)(12＋12＋12)≥(x ＋2y ＋z )2＝1， ∴x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即1=3x ，1=6y ，1=3z 时等号成立．5已知(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx 的最大值为__________．答案：设=yk x(k ≠0)，则kx －y ＝0，∴[(x －3)2＋(y －3)2][k 2＋(－1)2] ≥[k (x －3)－(y －3)]2＝(3－3k )2. 当且仅当331x y k --=-时等号成立， ∴6(k 2＋1)≥(3－3k )2，解得3-k ≤∴max k ＝yx的最大值为6求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值． 答案：解：由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1，即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16， 当且仅当1326121y x y x y ---+-==，即 5=2x ，5=6y 时，上式取等号． 故5=2x ，5=6y 时，(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值．7设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：2221111003a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案：证明：222111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝13(12＋12＋12)·222111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥211111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝211111()3a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥22113⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ＝21100(1+9)33=， ∴原不等式成立．8如图所示，等腰直角△AOB 的直角边长1，在这个三角形内任取一点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形．求这三个三角形面积和的最小值，以及取得最小值时点P 的位置．答案：解：分别以OA ，OB 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则AB 所在直线的方程为x ＋y ＝1，设点P 的坐标为(x ，y )，以点P 为顶点的三个三角形的面积和为S ，则S ＝12x 2＋12y 2＋12(1－x －y )2. 由于x ＋y ＋(1－x －y )＝1(定值)，故当且仅当x ＝y ＝1－x －y ， 即x ＝y ＝13时，x 2＋y 2＋(1－x －y )2有最小值13，从而面积S 有最小值16，此时点P 恰为△AOB 的重心．9设()12(1)lg x x x xn a n f x n+++-+⋅ ＝，若0≤a ≤1，n ∈N *，且n ≥2，求证：f (2x )≥2f (x )．答案：证明：∵f (2x )＝222212(1)lg x x x xn a n n+++-+⋅ ，∴要证f (2x )≥2f (x )，只要证222212(1)lg x x x xn a n n+++-+⋅≥212(1)2lg x x x n a n n+++-+⋅ ，即证222212(1)x x x xn a n n +++-+⋅≥212(1)x x x x n a n n ⎡⎤+++-+⋅⎢⎥⎣⎦，也即证n [12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x ]≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x ]2.(*)∵0≤a ≤1，∴a ≥a 2，根据柯西不等式，得 n [12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x ]≥222(1+11)n ++个{(1x )2＋(2x )2＋…＋[(n －1)x ]2＋(a ·n x )2}≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x ]2，即(*)式显然成立，故原不等式成立．。
人教版高中数学选修4-5《3.1柯西不等式》
直 观 想 象 数 学 运 算 数 据 分 析
剖析பைடு நூலகம்构
数 学 抽 象 逻 辑 推 理 数 学 建 模
那么，柯西不等式
剖析结构
结构特点和适用条件是什么样的呢？ 1.条件是4个实数（2对）文字含义为： “平方和乘平方和大于等于一乘一加二乘二和的平方” 2.定值： 与 有一个为定值，（积定和大，和定积小） 3.等号成立的条件ad=bc（类似比例内项积等于外项积） 所以，类比均值定理 “一正，二定，三相等”
置疑－－发现－－认识－－应用
探究新知（发现）
4、本节是本册书的一个难点，为了让当堂没理解 好的同学随时回顾本节内容。加深对“柯西不等式 ”特点和适用条件的剖析，我录了一个微课大家带 着下面问题一起来看一下： 1）.二维（4个数）柯西不等式的表达式和结构特 点（文字表达）及等号成立条件。 2）.n维（2n个数）柯西不等式的表达式和结构特 点（文字表达）及等号成立条件。
3（a2+b2+c2）≥(a+b+c)2
3. 这个不等式到底对不对，如何才能快速证明它呢？这就 是我们今天要研究的“柯西不等式”，会了它我们就可以快 速解决此类问题，甚至更难，更复杂的不等式。好，让我们 一起来了解它，走进柯西的世界。
再发现－－再认识－－再应用－－内化
学习目标
1.知识目标：理解柯西不等式的结构特点， 能简单应用解题。 2．素养目标：由柯西不等式结构特点及应 用训练学生数据分析和数学运算能力，培养逻 辑推理和数学抽象及数学建模的核心素养。
)
再发现－－再认识－－再应用－－内化
置疑－－发现－－认识－－应用
深入剖析（再发现）
求小放左，求大放右，系数拆分
利用柯西不等式求最值考虑构造哪端时有何构造技巧？ 1.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 m2+n2 的最小值为_________. （2014·陕西高考文科） 2.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为 ( ) A. B.2 C. 3 D.3
最新人教版高中数学选修4-5《一般形式的柯西不等式》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)2(b 12+b 22)2，当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式： 对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2,以下不等式成立：22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1+a 2b 2|; 22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称(a 1,a 2),(b 1,b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0,那么a 1b 2-a 2b 1=0⇔2211b a b a =.若b 1·b 2=0,我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0,原不等式化为(a 12+a 22)b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0,b 2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b 1·b 2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a b a =,这种写法在表示一般形式(n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立. 学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a =（b i 为零时，a i 为零，i=1，2）. 定理3 （二维形式的三角不等式）设x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式：用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1，用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式 定理 设a i ,b i ∈R (i=1,2, …,n),则(∑∑∑===≤ni i ni in i i i b a b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)2(b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2,…,n ）中等号成立的条件是2211b a b a ==…=n n b a. 记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设a i ∈R ，bc>0(i=1,2, …,n),则∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)(,等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n). 变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则∑∑∑≥=i i i ni iib a a b a 212)(,等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .深化升华要求a i ，b i 均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a 1, …,a n ;b 1, …,b n 都表示实数）是： （1）a 12+a 22+…+a n 2=1,b 12+b 22+…+b n 2=1,则|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |≤1; （2）a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≤a 12+a 22+a 32;（3）(a 1+a 2+…+a n )2≤n(a 12+a 22+…+a n 2);（4）(a+b)(a 1+b1)≥4=(1+1)2，其中a 、b ∈R +; （5）(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥9=(1+1+1)2,其中a 、b 、c ∈R +.柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题知识点一： 用柯西不等式证明不等式 例1 设a 1>a 2>…>a n >a n+1,求证：11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-=-++ >0. 思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a 1-a n+1)·［13221111+-++-+-n n a a a a a a ］>1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n+1写成a 1-a n+1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ …+(a n -a n+1),于是 ［(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+…+(a n -a n+1)］·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）≥n 2>1.即(a 1-a n+1)·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）>1, ∴11132211111++->-++-+-n n n a a a a a a a a , 故11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-+-++ >0. 方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二： 用柯西不等式证明条件不等式 例2 （经典回放）设x 1,x 2, …,x n ∈R +,求证：123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2+x 3+…+x n +x 1)，也即嵌以因式(x 1+x 2+…+x n )，由柯西不等式即可得证.证明：(123221x x x x x x x x nn ++++ )·(x 2+x 3+…+x n +x 1) =［(21x x )2+(22x x )2+…+(nn x x 1-)2+(1x x n )2］ ［(2x )2+(3x )2+…+(n x )2+(1x )2］ ≥(21x x ·2x +22x x ·3x +…+nn x x 1-·n x +1x x n ·1x ) =(x 1+x 2+…+x n )2,于是123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 巧解提示柯西不等式中有三个因式∑∑∑===ni ii ni ini iba b a 11212,,，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三： 用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,试求a 的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解. 解：由柯西不等式得，有 (2b 2+3c 2+6d 2)(613121++)≥(b +c+d)2, 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2. 由条件可得，5-a 2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当6/163/132/12dc b ==时等号成立. 代入b=1,c=31,d=61时，a max =2; b=1,c=32,d=31时,a min =1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 如：已知a,b 为正常数，且0<x<2π,求y=x bx a cos sin +的最小值. 解：利用柯西不等式，得)(32323232b a b a +=+(sin 2x+cos 2x)≥(3a sinx+3b cosx)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.于是33232a b a ≥+sinx+3b cosx.再由柯西不等式，得3232b a +(xbx a cos sin +) ≥(3a sinx+3b cosx)(xb x a cos sin +） ≥(xb xb x a x a cos cos sin sin 66+)2=(a 32+b 32)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.从而y=xb x a cos sin +≥(a 32+b 32)32.于是y=xb x a cos sin +的最小值是(a 32+b 32)32. 问题·探究 思想方法探究问题 试探究用柯西不等式导出重要公式.如n 个实数平方平均数不小于这n 个数的算术平均数，即若a 1,a 2,…,a n ∈R ，则na a a n a a a nn 2222121+++≤+++ . 探究过程:由柯西不等式可知(a 1+a 2+…+a n )2≤(a 1·1+a 2·1+…+a n ·1)2≤(a 12+a 22+…+a n 2)·(12+12+…+12)=(a 12+a 22+…+a n 2)·n,所以n a a a n 221)(+++ ≤a 12+a 22+…+a n 2,故na a a na a a nn2222121+++≤+++ .不等式na a a n a a a nn 2222121+++≤+++ ,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即nn a a a 21≤na a a n a a a nn 2222121+++≤+++ ，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题. 交流讨论探究问题 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳.探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证cb a ac c b b a ++>+++++9222.我们可以如此分析：∵a 、b 、c 均为正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)［ac c b b a +++++111］>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a 、b 为非负数，a+b=1,x 1,x 2∈R +,求证(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b ∈R -,x 1,x 2∈R +，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若a>b>c ，求证c b b a -+-11≥ca -4.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.∵a-c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a-c>0,∴结论改为(a-c)(cb b a -+-11)≥4.人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,c ∈R +，求证b ac a c b c b a +++++≥23.我们可以如此分析：左端变形c b a ++1+ac b ++1+b a c ++1=(a+b+c)(b a a c c b +++++111),∴只需证此式≥29即可.探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.。
新人教B版高中数学选修4-5第2章2.1.1 2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明讲义
学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义.2.通过运用柯西不等式解决一些简单问题．教材整理1 柯西不等式1．柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2. 2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|. 3．柯西不等式的三角不等式：|α|＋|β|≥|α＋β|.4．柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12(b 21＋b 22＋…＋b 2n )12≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |，其中等号成立⇔a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n(当某b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1,2，…，n)．教材整理2 参数配方法利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为参数配方法．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8[解析] 由柯西不等式可求出(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·a y 2＝(1＋a )2，当x ＝1，y ＝a 时，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值是(a ＋1)2，故只需(1＋a )2≥9， 即a ≥4即可． [答案] B121212[精彩点拨] 如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论．若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证．[自主解答] ∵a ，b ，x ，y 大于0，∴(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)＝(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝(a ＋b )2x 1x 2. 又因为a ＋b ＝1， 所以(a ＋b )2x 1x 2＝x 1x 2，其中等号当且仅当x 1＝x 2时成立． 所以(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)≥x 1x 2.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．1．设x 1，x 2，…，x n 为正数，求证： (x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2.[证明] 由柯西不等式得 (x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n≥⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2.[精彩点拨] 由x ＋y ＋z ＝1以及u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的形式，联想柯西不等式，构造因式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1解决问题．[自主解答] 由x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z .根据柯西不等式，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12·(2x 2＋3y 2＋z 2)＝116(2x 2＋3y 2＋z 2)，因此1＝(x ＋y ＋z )2≤116(2x 2＋3y 2＋z 2)，∴u ＝2x 2＋3y 2＋z 2≥611，当且仅当2x ＝λ2，3y ＝λ3，z ＝λ时等号成立．∴x ＝λ2，y ＝λ3，z ＝λ代入x ＋y ＋z ＝1，得x ＝311，y ＝211，z ＝611时，等号成立．故函数u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值是611.1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于对目标函数配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)适当添项；(4)适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值．2．若实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝9，则x ＋2y ＋3z 的最大值是________．[解析] 由柯西不等式得(x ＋2y ＋3z )2≤(1＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)＝14×9，故x ＋2y ＋3z ≤314，所以x ＋2y ＋3z 的最大值是314.[答案] 314【例3】 已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式x ＋y ＋y ＋z ＋z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．[精彩点拨] “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值． [自主解答] ∵x >0，y >0，z >0， 且x ＋y ＋z ＝xyz ， ∴1yz ＋1xz ＋1xy＝1.又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx ≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx 12＝32， 当且仅当x ＝y ＝z 时， 即x ＝y ＝z ＝3时等号成立， ∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值为32. 故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立时， 应有λ≥32.因此λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”的应用定理．3．已知函数f (x )＝2x ＋5－x .若关于x 的不等式f (x )≤|m －2|恒成立，求实数m 的取值范围． [解] 由柯西不等式得(2x ＋5－x )2≤(22＋12)·|(x )2＋(5－x )2|＝25， 所以f (x )＝2x ＋5－x ≤5. 当且仅当x2＝5－x 1， 即x ＝4时，等号成立． 又不等式f (x )≤|m －2|恒成立， 所以|m －2|≥5， 解得m ≥7或m ≤－3.故m 的取值范围为(－∞，－3]∪[7，＋∞).1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a b ＝c d吗？ [提示] 不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝c d不成立．2．在平面直角坐标系中，若△ABC 的三个顶点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)．则二维柯西不等式的三角形式又是怎样体现的呢？[提示] 根据二维柯西不等式的几何意义，在△ABC 中，三角形式的柯西不等式为(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i ＝kb i (i ＝1,2,3，…，n )，可以吗？ [提示] 不可以．若b i ＝0而a i ≠0，则k 不存在． 4．利用柯西不等式时，常用的变形技巧有哪些？[提示] 柯西不等式形式优美，有重要的应用价值，应用柯西不等式解题的关键是恰到好处的变形，常用的变形技巧有：(1)等价变形，将要解决的不等式问题作等价变形，构造出几个实数的平方和与另n 个实数平方和的乘积的形式．(2)配辅助式，为了应用柯西不等式，有时要根据所证不等式的结构特征，结合柯西不等式等号成立的条件，配凑适当的辅助式，使问题获证．(3)适当换元，有时根据所证不等式的结构特征适当换元，转化为容易应用柯西不等式的结构特征，使问题简捷获解．(4)配系数，为了应用柯西不等式沟通条件与结论之间的联系，有时要通过巧配系数来完成． 【例4】 已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11.[精彩点拨] 将不等式2x ＋y ≤11的左边凑成柯西不等式的形式，然后证明． [自主解答] 2x ＋y ＝23·3x ＋12·2y .由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，于是2x ＋y ≤11， 当且仅当3x 23＝2y 12，即x y ＝43时等号成立．4．已知x ＋2y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________． [解析] ∵1＝x ＋2y ，∴1＝(x ＋2y )2≤(1＋22)(x 2＋y 2)． 当且仅当x ＝15，y ＝25时，取等号，∴(x 2＋y 2)min ＝15.[答案] 151．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169 C ．13D ．0[解析] (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)，∴x 2＋y 2≥13. [答案] C2．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是( ) A ． 2 B ．2 C ． 3D ．3[解析] 2x ＋y ＝2·2x ＋1×y≤ (22＋12)[(2x )2＋y 2]＝ 3(2x 2＋y 2)＝3， 当且仅当2y ＝2x ， 即x ＝y ＝33时等号成立． [答案] C3．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10]D ．[－5，5][解析] ∵(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∴|a －b |≤20＝25，∴a －b ∈[－25，25]． [答案] A4．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值为________．[解析] ∵a ，b ，c 为正数，∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝121，当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k >0)时等号成立． 故(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是121.[答案] 1215．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． [解] 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1， ∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1， 即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.。
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注意观察此不等式的简洁性，对称性，深刻体现出 数学形式的美。
（二）柯西不等式的证明方法
共同思考，讨论发现。借助以往的知识和经验， 运用类比联想与化归转化的思想，探究用什么方法来 证明它。
归纳总结 1．向量法：（类比数学模型） 2．比较法：（不等式证明的基本方法） 3．构造法：（类比联想，利用二次函数的性质） 4．几何法：（利用余弦定理）
（二）柯西不等式的推广与应用
柯西不等式是一个非常重要的不等式，它在数学和物 理方面，尤其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广 泛的应用。
进一步的论证可以得到N维形式的柯西不等式 ：
由柯西不等式可以导出几个著名的不等式
推广1：（闵可夫斯基不等式 ）
推广2：（赫尔德(H0lder)不等式 ）
推广3：（赫尔德不等式一个极好的变式） ：
求
学习报告 3000字左右 科学小论文 1500~2000字左右 规则 1. 严格按照报告或论文格式书写（自查） 2. 学习报告独立完成，论文可以2~3人合作 完成 时间 两个月完成上交 1.明确问题 2.制定计划 4.获得结论 5.书写成文 3.收集资料
步骤 建议
论文题目可以自定，也可以选择我们在课堂中提出 的合作探究题或是研究性课题。
（二）评价
１．客观性评价
概念形成，方法运用，解题能力 2．发展性评价
(1) 、 学 习 态 度 ， 积 极 思 考 ， 主 动 参 与 ， 合 作交流，勤奋刻苦，不畏艰难等方面。 (2)、开放性考查课题完成情况。 (3)、报告与论文的表述 (4)、学习反思与学习方式的改进。
衷心感谢大家的合作 与支持！
大胆假设，小心求证，运用发散思维，自主探求。不断提升 思维层次，提炼出其中蕴含的数学思想方法。
有待于进一步研究的问题： 合作探究问题1：
除了以上我们归纳的几种方法以 外，还能不能发现其他的途径来证明 它呢？ 合作探究问题2：
两个重要的不等式均值不等式和柯 西不等式之间是否存在着某种联系？两 者之间究竟存在着一种什么关系？
思维提升
今后我们在学习中要有意识地归 纳数学方法，并将经验性的知识上 升到“理论性”的层次。比如向量 是代数和几何连接的桥梁，向量法 所体现的是一种数形结合的数学思 想。应主动地培养自身的数学素养， 为终身发展奠定基础。
三、探索研究，知识深化
（一）柯西不等式的几种不同的表达形式：
进一步感受柯西不等式的和谐统一性，从不同角度体验它的 协调一致性。
高中数学模块教学选修系列4
----《不等式选讲》专题课例
《柯西不等式》
主讲人：山东师范大学附属中学 史 宏 伟
数学是智能的一种形式，利 用这种形式，我们可以把现象世 界中的种种对象，置之于数量概 念的控制之下。
------------Howison．Ｇ．Ｈ
大数学家柯西（Cauchy)
法国数学家、力学家。1789年8月 21 日生于巴黎， 1857 年 5 月 23 日卒于 索镇。曾为巴黎综合工科学校教授， 当选为法国科学院院士。曾任国王查 理十世的家庭教师。 柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯 的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和 微分方程等方面。 此外，柯西对力学和天文学也有许多贡献。著作甚 丰，共出版了七部著作和800多篇论文，1882年开始出 版他的全集，至1970年已达27卷之多。
要想获得真理和知识，唯 有两种武器，那就是清晰的直 觉和严格的演绎。
-----Descartes（笛卡尔）
一、创设情景，共同探究,d)
P(a,b)
o
x
考察如图所示的三角形POQ,则有三角不等式： |OP|+|OQ|≥|PQ|
二、诱思发现，剖析论证
（一）柯西不等式的表达形式（二维形式）
（三）柯西不等式的特殊化
我们从中可进一步观察体验柯西不等式所蕴含的形式上的 对称美，简洁美及和谐性。
四、应用举例，能力提高
尝试解决：
选作 1：
选作 2：
例2：
尝试解决：
选作1：
选作2：
五、归纳提升，总结反思
我们共同探究了柯西不等式的几何背景， 表示形式，得出其不同证明方法，同时也 发现了很多值得我们进一步研究的有价值 的问题。更重要的是我们通过自主探究， 发现问题，解决问题，更多的体验到数学 发展过程。数学是一门通过数学思想方法 逐渐将问题化繁为简的科学，它有深刻的 文化底蕴和内涵，我们更应该在今后的学 习中不断的挖掘和发现，真正体验到数学 学习带来的美感和快感。
研究性学习的课题
数学具有现实的性质，它来源于现实生活， 再应用到现实生活中去。正如均值不等式在 实际生活中有许多应用，那么，柯西不等式 在现实生活中也应该有它的数学情境。
建议同学们以科学研究的态度，利用各种信息技 术手段，搜集、判断和处理相关的资料，加强合作与 交流，共同探讨一下我们发现并提出的这一研究性学 习的课题《柯西不等式在现实生活中的应用》，要注 重研究的过程，及时发现更有价值的新问题，逐渐地 培养自己的科学素养。
推广4：
以上所介绍的柯西不等式的推广都有着极为广泛的应 用，特别是后三个推广之间有着密切的联系．应用推广的 柯西不等式，许多不等式的证明问题就能够轻而易举地解 决，并且某些特殊结论的不等式，也能够很自然地推广到 一般性结论。
合作探究问题3： 尝试给出以上柯西不等式的推广 的严密证明。 合作探究问题4： 尝试发现柯西不等式其他的推 广与应用。
六、开放考查，发展评价
（一）考查
1．客观考查部分课后练习题（详见学案）
思考：柯西不等式与排序不等式之间的关系，并收集有关 排序不等式的相关资料。
２．开放性考查题：
结合今天所学习的《柯西不等式》内容，要求 同学们写出一篇学习报告或者是内容与柯西不等 式相关的科学小论文(任选其一）。
具
要求 字数
体
要