高考数学二轮复习 第一部分 专题一 第三讲 基本初等函数函数与方程及函数的应用习题
高三数学高考二轮复习第一部分 专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
x∈R.若 f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则 ω 的取值范围是( D )
A.0，18
B.0，14∪58，1
C.0，58
D.0，18∪14，58
第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
考点二
课前自主诊断
课堂对点补短
限时规范训练 上页 下页
4
2
1
2
2
又因为 a＝2 3 ＝4 3 ，c＝25 3 ＝5 3 ，由函数 y＝x 3 在(0，＋∞)上
为增函数知 a<c.综上得 b<a<c.故选 A.
第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
课前自主诊断 课堂对点补短 限时规范训练 上页 下页
考点一
试题 解析
2．(2014·高考福建卷)若函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象如图所
发资金开始超过 200 万元的年份是( B )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018 年
B．2019 年
C．2020 年
D．2021 年
第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
考点三
课前自主诊断
课堂对点补短
限时规范训练 上页 下页
试题 解析
试题 解析
考点一 考点二 考点三
先化简函数 f(x)的表达式，再根据 x 的范围和函数 f(x)在给定区间 没有零点求 ω 的取值范围． f(x)＝1－c2os ωx＋12sin ωx－12 ＝12(sin ωx－cos ωx)＝ 22sinωx－π4. 因为函数 f(x)在区间(π，2π)内没有零点， 所以T2>2π－π，即ωπ>π，所以 0<ω<1.
高考数学二轮复习 2.2 基本初等函数、函数与方程及函
∴ f(a)＋f(－a)＝2，∴ f(－a)＝－2. [答案] －2
(2)[2018·天津12 卷]已知a＝log 2
e，b＝ln
2，c＝log 1 2
13，则a，b，
c的大小关系为( ＝lo)g
x2－2x，x≤0，
1＋1x，x>0，
则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 令f(x)＋3x＝0，则
x≤0， x2－2x＋3x＝0
或
x>0， 1＋1x ＋3x＝0，
解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零
点个数是2.故选C. [答案] C
由yy＝＝ax2x＋，2ax＋a， 消去y，整理得x2＋ax＋a＝0. 由Δ＝0，得a＝4(a＝0舍去)．综上，得4<a<8. 答案：(4,8)
048，b10
考点 2 函数的零点 1．函数的零点的定义 对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． 2．确定函数零点的常用方法 (1)解方程法； (2)利用零点存在性定理； (3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．
[例2] (1)[2018·福州期末考试]已知函数f(x)＝
2．[警示] 应注意函数的零点不是函数图象与x轴的交点，能 把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.
3．[2018·天津卷]已知a>0，函数f(x)＝
x2＋2ax＋a，x≤0， －x2＋2ax－2a，x>0.
若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是
高考数学二轮专题突破辅导与测试基本初等函数函数与方程及函数的应用公开课一等奖课件省赛课获奖课件
c＝log2.11.5<log2.12.1＝1，
因此 c<a<b.
(2)选项A，由于函数在区间上为增函数，由单调性定义可
知(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，故A错误；选项B，由函数图像的凸
凹性可知f
x1＋x2 2
>
fx1＋fx2 2
，故B错误；选项C，令g(x)＝
fx x
＝
ln x x
＝exx在(－∞，0)，(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故 C
错误；同理，令 h(x)＝xex，则 h′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，所以
h(x)＝xex 在(－∞，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数，
故 D 错误．
答案：B
——————————规律·总结————————————
2．已知函数 f(x)＝2xx＋－112，，xx∈∈210，，212.，
若存在 x1，x2，当 0≤x1<x2<2
时，f(x1)＝f(x2)，则 x1f(x2)的取值范围是_____．
x1＋12＝2x2－1，
解析：作出函数
f(x)的图像，由图知
22－12≤x1<12，
21≤x2<1.
所以
x1f(x2)
1 x
图像交点的个数，在同一坐标系中画出两个
函数图像如图所示：
由图可知共有6个交点，故函数F(x)＝xf(x)－1的零点 个数为6.
(3)由x2－3≥x－1解得x≤－1或x≥2，所以f(x)＝
|x－1|，x≤－1或x≥2， x2－3，－1<x<2.
函数y＝f(x)－c恰有两个零点，即函
数y＝f(x)，y＝c的图像恰有两个交点，作出函数y＝f(x)，y＝c
高考数学二轮复习 第一部分 专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用教案
第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用[考情分析]基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查．常以选择、填空形式出现．有时难度较大，函数的应用问题集中体现在函数零点个数的判断、零点所在区间等方面．近几年全国卷考查较少，但也要引起重视.[真题自检]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若a >b >0,0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c<b cD ．c a>c b解析：法一：因为0<c <1，所以y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又0<b <a ，所以log c a <log c b ，故选B.法二：取a ＝4，b ＝2，c ＝12，则log 4 12＝－12>log 2 12，排除A ；412＝2>212，排除C ；⎝ ⎛⎭⎪⎫124<⎝ ⎛⎭⎪⎫122，排除D ；故选B. 答案：B2．(2016·高考全国卷Ⅲ改编)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，试比较a ，b ，c 的大小关系．解析：a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝523.∵y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5>4>3，∴c >a >b .基本初等函数[方法结论]1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小(1)底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解．[题组突破]1．(2017·河南八市联考)若a ＝20.3，b ＝log π3，c ＝log 4cos 2 017，则( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．a >b >cD ．c >a >b解析：因为20.3>20＝1,0＝log π1<log π3<log ππ＝1，log 4cos 2 017<log 41＝0，所以a >b >c ，故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝lnxx－e －x2，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增C ．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增解析：要使函数f (x )＝lnxx－e－x2有意义，只需xx－e－x2>0，所以x2x－2e x >0，解得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) .因为f (－x )＝ln －x－x－ex2＝lnxx－e－x2＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，排除A 、B.因为f (1)＝ln e －e －12，f (2)＝ln(e2－e －2)，所以f (1)<f (2)，排除C ，故选D. 答案：D3．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 则m 的取值范围是________．解析：令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． 答案：(－∞，4]4．(2016·高考浙江卷)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.解析：先求出对数值，再利用指数相等列方程求解． ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b＝b a，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2，∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.答案：4 2[误区警示]1．求解与对数函数有关的性质问题时易忽视对数有意义的条件．2．当对数函数，指数函数的底数不确定时要注意分类讨论思想的应用．函数零点实际应用[方法结论]解答函数实际应用问题实质上是利用等价转化思想与构造法，构造函数模型，然后解答．[典例]为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：交0.05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出．(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x(x∈N*)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；(3)如何决定投资可使年利润最大．解析：(1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)，y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N*)．(2)∵10－a>0，故y1为增函数，∴当x＝200时，y1取得最大值1 980－200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a)万美元．y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)，∴当x＝100时，y2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元．(3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元，(1 980－200a)－460＝1 520－200a，且6≤a≤8，当1 520－200a>0，即6≤a<7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润；当1 520－200a＝0，即a＝7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；当1 520－200a<0，即7.6<a≤8时，投资生产乙产品100件可获得最大年利润．[类题通法]1．解答实际应用题思维流程为：2．将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型、分式函数模型、指数型函数模型等．[演练冲关]1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设甲地调运x 台电脑至B 地，则剩下(6－x )台电脑调运至A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N )．则总运费y ＝30x ＋40(6－x )＋50(8－x )＋80(x ＋4)＝20x ＋960，∴y ＝20x ＋960(x ∈N,0≤x ≤6)．若y ≤1 000，则20x ＋960≤1 000，得x ≤2.又0≤x ≤6，x ∈N ，∴0≤x ≤2，x ∈N ，∴x ＝0,1,2，即有3种调运方案． 答案：C2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件该产品需另投入的成本为G (x )(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，G (x )＝51x ＋10 000x －1 450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，求该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值．解析：∵每件产品的售价为0.05万元，∴x 千件产品的销售额为0.05×1 000x ＝50x 万元． ①当0<x <80时，年利润L (x )＝50x －13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且最大值为L (60)＝950万元； ②当x ≥80时，L (x )＝50x －51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950<1 000，∴当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1 000万元．函数的零点及应用问题函数的零点常考查函数零点的个数判断，零点所在区间及已知零点求参数范围等问题，常与方程不等式等有关知识交汇命题．[典例](1)(2017·贵阳监测)函数y ＝lg x －sin x 在(0，＋∞)上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：画出函数y ＝lg x 与y ＝sin x 的图象，如图，易知两函数图象在(0，＋∞)上有3个交点，即函数y ＝lg x －sin x 在(0，＋∞)上有3个零点，故选C.答案：C(2)(2017·武汉调研)已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1，故选A. 答案：A(3)(2017·济南诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e |x －1|，x >0－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程f 2(x )－3f (x )＋a ＝0(a ∈R )有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(0，14)B ．(13，3)C ．(1,2)D ．(2，94)解析：令f (x )＝t ，作出函数f (x )的图象(图略)，由图象可知关于x 的方程f 2(x )－3f (x )＋a ＝0有8个不等的实数根，则关于t 的方程t 2－3t ＋a ＝0在(1,2)上有2个不等的实数根，令g (t )＝t 2－3t ＋a ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫Δ＝9－4a >0g＝a －2>0g ＝a －2>0，解得2<a <94，故选D. 答案：D [类题通法]1．在判断函数零点个数及零点所在区间时常用到等价转化思想与数形结合思想求解时要学会构造两个函数，转化为两函数图象交点，同时在作出函数图象时要力求准确，不可潦草作图． 2．涉及二次方程的根的分布问题常转化为二次函数零点与二次不等式的解集问题．其方法是： (1)分析二次函数的开口方向；(2)当二次方程实根分布在同一区间时，其充要条件是根据区间端点处的函数值的正负建立不等式组求解；(3)当二次方程实根分布在两个不同区间时，其充要条件是根据判别式大于等于0、对称轴在该区间上、区间端点处的函数值的正负建立不等式组求解．[演练冲关]1．(2017·西安模拟)设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f (x 0＋12)<33，则这样的零点有( ) A ．61个 B ．63个 C ．65个D ．67个解析：依题意得sin πx 0＝0，所以πx 0＝k π(k ∈Z )，即x 0＝k ，f (x 0＋12)＝sin[(x 0＋12)π]＝sin(x 0π＋π2)＝cos x 0π＝cos k π，所以|x 0|＋f (x 0＋12)<33，即为|k |＜33－cos k π，当k 为偶数时，|k |<32，则零点有31个；当k 为奇数时，|k |<34，则零点有34个．所以共有31＋34＝65个零点，选C. 答案：C2．(2017·福州质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2x －3，x <2，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则两零点所在的区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(1，＋∞)解析：在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象如图所示，由图易得若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即函数f (x )的图象与直线y ＝k 有两个交点，则k 的取值范围为(0,1)，两个零点分别位于(1,2)和(2，＋∞)内，故选D.答案：D3．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，求n的值．解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.。
高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析 根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log
(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg
高考理科数学二轮专题复习课件专题一基本初等函数函数与方程及函数的应用
根据题目条件，设立方程并求解 ，可以得到问题的解。
利用方程根的性质
通过方程的根的性质，如判别式、 韦达定理等，可以简化问题并快速 找到解决方案。
转化思想
将问题转化为求解方程的问题，利 用已知的方程求解方法，可以得到 问题的解。
函数与方程思想综合应用
函数与方程相互转化
通过函数与方程的相互转化，可以将复杂的问题转化为简 单的问题进行求解。
04 高考真题回顾与 解析
历年高考真题回顾
2022年全国卷I理科数学第17题
01
考查了函数的单调性和最值问题，需要考生运用导数工具进行
求解。
2022年全国卷II理科数学第21题
02
涉及函数的零点存在性定理和函数与方程的综合应用，要求考
生具备较高的分析问题和解决问题的能力。
2021年全国卷I理科数学第12题
03
考查了函数的奇偶性和周期性，要求考生能够灵活运用函数的
性质进行求解。
高考真题解析及答题技巧
1 2 3
审题技巧
在解答函数与方程的问题时，首先要认真审题， 明确题目所给条件和要求，避免因为理解错误而 导致失分。
转化技巧
对于一些复杂的函数问题，可以通过转化思想将 其转化为简单的函数问题进行处理，如利用换元 法、构造法等。
高考理科数学二轮专题复习 课件专题一基本初等函数函 数与方程及函数的应用
汇报人：XX 20XX-01-13
目 录
• 基本初等函数概述 • 函数与方程思想 • 函数的应用 • 高考真题回顾与解析 • 专题训练与提高
01 基本初等函数概 述
定义与性质
指数函数
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数， 其性质包括值域为(0,+∞)，图像恒过 点(0,1)等。
2020高考数学精讲二轮第二讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
2020高考数学复习:第二讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用考点一 指数函数、对数函数及幂函数1．指数与对数式的运算公式2．指数函数、对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．[对点训练]1．(2018·河南洛阳二模)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数[解析] ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，∴a －1＝1，解得a＝2，则2b ＝12，∴b ＝－1，∴f (x )＝x －1，∴函数f (x )是定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且在每一个区间内是减函数，故选A.[答案] A2．(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b[解析] 由已知得c ＝log 23，∵log 23>log 2e>1，b ＝ln2<1，∴c >a >b ，故选D.[答案] D3．(2018·山东潍坊一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )[解析] 因函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，故0<a <1. 易知函数y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域为{x |x >1或x <－1}，x >1时函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以通过函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到，故选D.[答案] D4．(2018·江西九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．[答案][－4,4)[快速审题]看到指数式、对数式，想到指数、对数的运算性质；看到指数函数、对数函数、幂函数，想到它们的图象和性质．基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．考点二函数的零点1．函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．角[解析]当x≤0时，由f (x )＝0，即x 2＋2017x －2018＝0， 得(x －1)(x ＋2018)＝0， 解得x ＝1(舍去)或x ＝－2018；当x >0时，设g (x )＝x －2，h (x )＝ln x ，如图，分别作出两个函数的图象， 由图可知，两函数图象有两个交点，所以函数f (x )在x >0时有两个零点． 综上，函数f (x )有3个零点，故选C. [答案] C[快速审题] 看到函数的零点，想到求方程的根或转化为函数图象的交点．[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象，如图，而函数y ＝mx －12恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，设过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12与函数y ＝ln x 的图象相切的直线为l 1，切点坐标为(x 0，ln x 0)．因为y ＝ln x 的导函数y ′＝1x ，所以图中y ＝ln x 的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，则1x 0＝ln x 0＋12x 0－0，解得x 0＝e ，所以k ＝1e.又图中l 2的斜率为12，故当方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根时，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e e .[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e e[探究追问] 将例2中“方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根”改为“方程f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54恰有三个不相等的实数根”，结果如何？[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象，如图．函数y ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，设过点⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0与函数y ＝1－x 2的图象相切的直线为l 1，设切点坐标为(x 0,1－x 20)，因为y ＝1－x 2(x ≤1)的导函数y ′＝－2x 0，所以切线l 1斜率k ＝－2x 0，则－2x 0＝1－x 20x 0－54，解得x 0＝12或x 0＝2(舍)．所以直线l 1的斜率为－1，结合图可知，当方程f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54恰有三个不相等的实根时，实数m 的取值范围是(－1,0)．[答案](－1,0)(1)判断函数零点个数的3种方法(2)利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法[对点训练]1．[角度1]已知函数f(x)＝6x－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)[解析]易知f(x)是单调递减函数．∵f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝64－log24＝32－2<0，∴选项中包含f(x)零点的区间是(2,4)．[答案] C[解析]f(x)＝k有三个不同的实数根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象有三个交点，如图所示．当－1<k<0时，y＝f(x)与y＝k有三个交点．故－1<k<0.[答案](－1,0)考点三函数的实际应用解决函数实际应用题的关键(1)认真读题，缜密地审题，确切地理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．(2)合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．[对点训练]1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A.y＝2x－2 B．y＝12(x2－1)C．y＝log2x D．y＝log12x[解析]由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.[答案] B2．(2018·西安四校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2019年B．2020年C．2021年D．2022年[解析]设从2018年起，过了n(n∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg 2013lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2018＝2022，故选D.[答案] D3.如图，某小区有一边长为2的正方形地块OABC ，其中阴影部分是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若池边AE 为函数y ＝－x 2＋2(0≤x ≤2)的图象，且点M 到边OA 的距离为t ⎝ ⎛⎭⎪⎫23≤t ≤43，则地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积的最大 值为________．[解析] M (t ，－t 2＋2)，过切点M 的切线l ：y －(－t 2＋2)＝－2t (x －t )，即y ＝－2tx ＋t 2＋2，令y ＝2得x ＝t 2，故切线l 与AB 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，2；令y ＝0，得x＝t 2＋1t ，故切线l 与OC 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t ，0，又x ＝t 2＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43上单调递减，所以x ＝t 2＋1t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1712，116，所以地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，面积S＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－t 2－1t ＋2－t 2×2＝4－t －1t ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ≤2，当且仅当t ＝1时等号成立，故地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积的最大值为2.[答案] 2[快速审题] 看到实际应用题，想到函数模型．应用函数模型解决实际问题的一般程序[解析][答案] A2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点等价于函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0与h (x )＝－x －a 的图象存在2个交点，如图，当x ＝0时，h (0)＝－a ，由图可知要满足y ＝f (x )与y ＝h (x )的图象存在2个交点，需要－a ≤1，即a ≥－1，故选C.[答案] C3．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与M N 最接近的是 ( )(参考数据：lg3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 [解析] 因为lg3≈0.48，所以3≈100.48，所以M N ＝33611080≈(100.48)3611080＝100.48×3611080＝10173.281080＝1093.28≈1093，故选D. [答案] D4．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．[解析] 令f (x )＝0，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，解得x ＝k π3＋π9(k ∈Z )．当k ＝0时，x＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，又x ∈[0，π]，所以满足要求的零点有3个．[答案] 35．(2018·天津卷)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．[解析] 设g (x )＝f (x )－ax ＝⎩⎨⎧x 2＋ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋ax －2a ，x >0，方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解即函数y ＝g (x )有两个零点，即y ＝g (x )的图象与x 轴有2个交点，满足条件的y ＝g (x )的图象有以下两种情况：情况一：则⎩⎨⎧Δ1＝a 2－4a >0，Δ2＝a 2－8a <0，∴4<a <8. 情况二：则⎩⎨⎧Δ1＝a 2－4a <0，Δ2＝a 2－8a >0，不等式组无解． 综上，满足条件的a 的取值范围是(4,8)． [答案] (4,8)1.基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～11题的位置，有时难度较大．2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．热点课题5 复合函数的零点[感悟体验]1．(2018·山西质量检测)已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，则方程f [f (x )]＝3的根的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [解析][答案] C2．(2018·安徽马鞍山一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3|x －1|，x >0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于x的方程[f (x )]2＋(a －1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1,2] B ．(1,2) C ．(－2，－1) D ．[－2，－1][解析]函数f (x )＝{ 3|x －1|，x >0，－x 2－2x ＋1，x ≤0的图象如图．关于x 的方程[f (x )]2＋(a －1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根，即[f (x )＋a ][f (x )－1]＝0有7个不等的实数根，易知f (x )＝1有3个不等的实数根，∴f (x )＝－a必须有4个不相等的实数根，由函数f (x )的图象可知－a ∈(1,2)，∴a ∈(－2，－1)，故选C.[答案] C专题跟踪训练(十一)一、选择题[解析][答案] C2．(2018·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x12 的交点横坐标所在区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 [解析]根据零点存在性定理可得函数零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即所求交点横坐标所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，故选B.[答案] B3．(2018·孝感一模)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 [解析] 依题意并结合函数f (x )的图象可知，[答案] C4．(2018·河南焦作二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，x 2＋ax ＋1，x >0，F (x )＝f (x )－x －1，且函数F (x )有2个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(0，＋∞)[解析] 当x ≤0时，F (x )＝e x －x －1，此时有一个零点0；当x >0时，F (x )＝x [x ＋(a －1)]，∵函数F (x )有2个零点，∴1－a >0，∴a <1，故选C. [答案] C5．(2018·湖南十三校二模)函数f (x )＝ln x ＋e x (e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 C ．(1，e) D ．(e ，＋∞)[解析][答案] A6．(2018·河南郑州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋m 与函数g (x )＝－ln 1x －3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54＋ln2，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－ln2，54＋ln2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54＋ln2，2＋ln2 D ．[2－ln2,2][解析] 由已知，得方程x 2＋m ＝ln 1x ＋3x ，∴m ＝－ln x ＋3x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解．设h (x )＝－ln x ＋3x －x 2，求导，得h ′(x )＝－1x ＋3－2x ＝－2x 2－3x ＋1x＝－(2x －1)(x －1)x∵12≤x ≤2，令h ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝1. 当h ′(x )>0时，12<x <1，函数单调递增， 当h ′(x )<0时，1<x <2，函数单调递减， ∴h (x )在x ＝1处有唯一的极值点． ∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln2＋54，h (2)＝－ln2＋2，且知h (2)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴h (x )最大值＝h (1)＝2，h (x )min ＝2－ln2.故方程m ＝－ln x ＋3x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解等价于2－ln2≤m ≤2.所以m 的取值范围是[2－ln2,2]，故选D. [答案] D 二、填空题7．(2018·河北石家庄模拟)若函数f (x )＝m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的零点是－2，则实数m ＝________.[解析] 由m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝0，得m ＝－9.[答案] －98．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________．[解析] f (x )的对称轴为x ＝－1.当a >0时，f (2)＝4a ＋4a ＋1＝8a ＋1，f (－3)＝3a ＋1.∴f (2)>f (－3)，即f (x )max ＝f (2)＝8a ＋1＝4，∴a ＝38；当a <0时，f (x )max ＝f (－1)＝a －2a ＋1＝－a ＋1＝4，∴a ＝－3.综上所述，a ＝38或a ＝－3.[答案] 38或－39．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元．[解析] 设每辆车的月租金为x (x >3000)元，则租赁公司月收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －300050·(x －150)－x －300050×50，整理得y ＝－x 250＋162x －21000＝－150(x－4050)2＋307050.所以当x ＝4050时，y 取最大值为307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元．[答案] 4050 三、解答题10．(2018·唐山一中期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数．又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则 f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立， ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0， ∴t ＝－12.∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． 11．(2018·江西三校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P (单位：万元)、种黄瓜的年收入Q (单位：万元)与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ [解] (1)依题意f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，其中⎩⎨⎧x ≥20，200－x ≥20，所以20≤x ≤180.故f (50)＝－14×50＋42×50＋250＝277.5.(2)由(1)知f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)， 令x ＝t ，则25≤t ≤65，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，因此当t ＝82时，函数取得最大值282，此时x ＝128，故投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，最大总收益是282万元．12．(2018·江西吉安一中摸底)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥0，lg (－x )，x <0， 若关于x 的方程[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实数根，求实数t 的取值范围．[解] 原问题等价于[f (x )]2＋f (x )＝－t 有三个不同的实数根，即直线y ＝－t 与y ＝[f (x )]2＋f (x )的图象有三个不同的交点．当x ≥0时，y ＝[f (x )]2＋f (x )＝e 2x ＋e x 为增函数，在x ＝0处取得最小值2，其图象与直线y ＝－t 最多只有一个交点．当x <0时，y ＝[f (x )]2＋f (x )＝[lg(－x )]2＋lg(－x )，根据复合函数的单调性，其在(－∞，0)上先减后增，最小值为－14.所以要使函数的图象有三个不同的交点，只需－t ≥2，解得t ≤－2.。
第二部分 专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
因此当 0<x1<x0 时，有 f(x1)>f(x0)，又 x0 是函数 f(x)的零点， 因此 f(x0)＝0，所以 f(x1)>0，即此时 f(x1)的值恒为正值．
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3．选 C
log 1 －x，－x>0 log 1 －x，x<0， 2 f(－x)＝ ＝ 2 log2x，－x<0 log2x，x>0.
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取得最大值100元． 返回
创新预测 1．选 D
10.3 分别结合指数函数与对数函数的图像可得，a＝2 ∈
(0,1)，b＝(0.3)－2∈(1，＋∞)，c＝log 1 2＝－1，故 b>a>c.
2
2．选 A 注意到函数
1x f(x)＝5 －log3x
在(0，＋∞)上是减函数，
(2)依题意得，当 x－1>0，即 x>1 时，f(x)＝1－ln x，令 f(x)＝0 得 x＝e>1； 当 x－1＝0，即 x＝1 时，f(x)＝0－ln 1＝0；当 x－1<0，即 x<1 时，f(x)＝ 1 －1－ln x，令 f(x)＝0 得 x＝e <1.因此，函数 f(x)的零点个数为 3.
答案：9
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[热点透析高考]
例1：解析：(1)由于π>1，则y＝πx递增，因此a＝π0.3>π0＝1，
又由于π>3，因此b＝logπ3<logππ＝1，而c＝30＝1，所以a>c>b.
(2)依题意得f(x＋2)＝f[－(2－x)]＝f(x－2)，即 f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是以4为周期的函数， 结合题意画出函数f(x)在x∈(－2,6)上的图像与 函数y＝loga(x＋2)的图像，结合图像分析可知， 要使f(x)与y＝loga(x＋2)的图像有4个不同的交点，则有
基本初等函数、函数与方程——高三二轮数学复习
数学(理)
画出两个函数的图象，如图所示．
第 26 页
数学(理)
第 27 页
观察图象可知，函数y＝
1 |x－1|
的图象和函数y＝2cos
πx的图象在[－3,5]上有8个
交点，
即f(x)有8个零点，且关于直线x＝1对称，故所有零点的和为4×2＝8.
数学(理)
第 28 页
2．(2022·山东临沂模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a 1
数学(理)
g(x)＝3(f(x))2－10f(x)＋3， 可令g(x)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或13. 当t＝13时，可得f(x)＝13有3个实根，即g(x)有3个零点； 当t＝3时，可得f(x)＝3有1个实根，即g(x)有1个零点． 综上，g(x)共有4个零点．
数学(理)
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5．(2022·贵州贵阳模拟)若x>y>1，a＝12(ln x＋ln y)，b＝ ln x·ln y，c＝lnx＋2 y，
则( C )
A．a>b>c
B.a>c>b
C．c>a>b
D.b>a>c
数学(理)
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解析 ∵x>y>1，∴ln x>ln y>0，则12(ln x＋ln y)>12×2 ln x·ln y＝ ln x·ln y，即 a>b；
第 32 页
解析 由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝R0－ T 1＝3.286－1＝0.38. 设累计感染病例数增加1倍需要的时间约为t1天，
数学(理)
方法总结► (1)构建函数模型解决实际问题的失分点 ①不能选择相应变量得到函数模型． ②构建的函数模型有误． ③忽视函数模型中变量的实际意义． (2)解决新概念信息题的关键 ①仔细审题，明确问题的实际背景，依据新概念进行分析． ②有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题．
备战高考数学二轮专题复习 专题1第3讲函数、方程及函数的应用课件 文 新人教版
第3讲 │ 主干知识整合
二、二分法 1．二分法的条件：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0. 2．二分法的思想：通过二等分，无限逼近． 3．二分法的步骤：其中给定精确度 ε 的含义是区间 (a，b)长度|a－b|<ε，不能认为是函数零点近似值的精度．
第3讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则 S＝ 900t2＋400－2·30t·20－cos90°－30° ＝ 900t2－600t＋400 ＝ 900t－132＋300. 故当 t＝13时 Smin＝10 3，v＝101 3＝30 3，
3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行 距离最小．
第3讲 │ 要点热点探究
【点评】 关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅 读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、 细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式， 然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．本 题中弄清“销量”、“售价”、“生产成本”、“促销费”、 “利润”等词的含义后列出函数关系式是解决本题的关键．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的 大小应为多少？
(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试 确定小艇航行速度的最小值；
(3)是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶， 总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的 取值范围；若不存在，请说明理由．
又 t＝0 时，x＝1. ∴3－1＝0＋k 1，解得 k＝2. ∴x 与 t 的关系式是 x＝3－t＋2 1(t≥0)．
第3讲 │ 要点热点探究
2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 高考导航对基本初等函数的考查形式主要是选择题、填空题，也有可能以解答题中某一小问的形式出现，考查其图象与性质．2．函数零点主要考查零点所在区间、零点个数的判断以及由函数零点的个数求解参数的取值范围．3．函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.(对应学生用书P022)1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243 ，b ＝425 ，c ＝2513，则()A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b[解析]∵b ＝425 ＝(22) 25＝245 ，又a ＝243，∴a >b .∵a ＝243 ＝(22) 23 ＝4 23 ，c ＝(25) 13 ＝(52) 13＝523 ，∴a <c ，∴b <a <c .[答案] A2．(2017·昆明一模)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若函数f (x )，g (x )的零点分别为a ，b ，则有( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0[解析] 易知函数f (x )，g (x )在定义域上都是单调递增函数，且f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2＋1>0，所以a ，b 存在且唯一，且a ∈(0,1)，b ∈(1,2)，从而f (1)<f (b )<f (2)，g (0)<g (a )<g (1)，于是f (b )>0，g (a )<0，即g (a )<0<f (b )．[答案] A3．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与MN 最接近的是( )(参考数据：lg3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 [解析] 因为lg3≈0.48，所以3≈100.48， 所以M N ＝33611080≈(100.48)3611080＝100.48×3611080＝10173.281080＝1093.28≈1093.故选D.[答案] D4．(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关[解析] ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24，对称轴为x ＝－a 2，下面分情况讨论：①若1<－a2，即a <－2时，f (x )max ＝f (0)＝b ，f (x )min ＝f (1)＝a ＋b ＋1，此时M －m ＝b －(a ＋b ＋1)＝－a －1；②若12<－a2≤1，即－2≤a <－1时，f (x )max ＝f (0)＝b, f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝b －a 24，此时M －m ＝b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 24＝a 24；③若0<－a 2≤12，即－1≤a <0时， f (x )max ＝f (1)＝a ＋b ＋1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝b －a24，此时M －m ＝a ＋b ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 24＝1＋a ＋a24；④若－a2≤0，即a ≥0时，f (x )max ＝f (1)＝a ＋b ＋1，f (x )min ＝f (0)＝b ，此时M －m ＝a ＋b ＋1－b ＝1＋a .综上，M －m 与a 有关，但与b 无关．故选B. [答案] B5．(2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m的取值范围是________．[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，其顶点为(m,4m －m 2)；当x ≤m 时，函数f (x )的图象与直线x ＝m 的交点为Q (m ，m )．①当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，4m －m 2≥m ，即0<m ≤3时，函数f (x )的图象如图1所示，易得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当⎩⎪⎨⎪⎧4m －m 2<m ，m >0，即m >3时，函数f (x )的图象如图2所示，则存在实数b 满足4m －m 2<b ≤m ，使得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，m 的取值范围为(3，＋∞)．[答案] (3，＋∞)考点一 指数函数、对数函数及幂函数1．指数与对数式的运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ，(2)(a m )n ＝a mn ，(3)(ab )m ＝a m b m .其中，a >0，b >0. (4)log a (MN )＝log a M ＋log a N ， (5)log a MN ＝log a M －log a N ， (6)log a M n ＝n log a M ， (7)a log a N ＝N ，(8)log a N ＝log b Nlog b a .其中，a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0.2．指数函数对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．[对点训练]1．(2017·咸宁二模)已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是图中的( )[解析] 解法一：因为y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，而y ＝log a x 与y ＝log a (－x )的图象关于y 轴对称，根据图象特征可知选B.解法二：首先，曲线y ＝a x 只可能在x 轴上方，曲线y ＝log a (－x )只可能在y 轴左边，从而排除A ，C ；其次，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，排除D ，选B.[答案] B2．(2017·江西九江七校联考)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)x m2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为()A．1或3 B．1 C．3 D．2[解析]由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1，选B.[答案] B3．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则() A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z[解析]设2x＝3y＝5z＝k>1，所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝2log k2－3log k3＝2log k3－3log k2log k2·log k3＝log k32－log k23 log k2·log k3＝log k98log k2·log k3>0，所以2x>3y；因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝3log k3－5log k5＝3log k5－5log k3log k3·log k5＝log k53－log k35log k3·log k5＝log k125243log k3·log k5<0，所以3y<5z；因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝2log k2－5log k5＝2log k5－5log k2 log k2·log k5＝log k52－log k25log k2·log k5＝log k2532log k2·log k5<0，所以5z>2x.所以5z>2x>3y.[答案] D4．(2017·江西九江七校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．[解析]由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a－3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．[答案] [－4,4)指数、对数函数图象与性质的应用技巧(1)利用指数函数与对数函数的性质比较大小注意两点： ①底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．②底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．(2)对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．考点二 函数的零点1．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．2．确定函数零点的常用方法 (1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．角度1：确定函数的零点个数或其存在范围[解析]当x≤0时，由f(x)＝0，即x2＋2017x－2018＝0，得(x－1)(x＋2018)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－2018；当x>0时，设g(x)＝x－2，h(x)＝ln x，如图，分别作出两个函数的图象，由图可知，两函数图象有两个交点，所以函数f(x)在x>0时有两个零点．综上，函数f(x)有3个零点，故选C.[答案]C角度2：应用零点求参数的值(范围)[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象，如图，而函数y ＝mx －12恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，设过点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12与函数y ＝ln x 的图象相切的直线为l 1，切点坐标为(x 0，ln x 0)．因为y ＝ln x 的导函数y ′＝1x ，所以图中y ＝ln x 的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，则1x 0＝ln x 0＋12x 0－0，解得x 0＝e ，所以k ＝1e.又图中l 2的斜率为12，故当方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根时，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e e .[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e e[探究追问] 将例1－2中“方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根”改为“方程f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54恰有三个不相等的实数根”，结果如何？[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象，如图．函数y ＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －54恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫54，0，设过点⎝⎛⎭⎪⎫54，0与函数y ＝1－x 2的图象相切的直线为l 1，设切点坐标为(x 0,1－x 20)，因为y ＝1－x 2(x ≤1)的导函数y ′＝－2x 0，所以切线l 1斜率k ＝－2x 0，则－2x 0＝1－x 2x 0－54，解得x 0＝12或x 0＝2(舍)．所以直线l 1的斜率为－1，结合图可知，当方程f (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －54恰有三个不相等的实根时，实数m 的取值范围是(－1,0)．[答案] (－1,0)利用函数零点求参数值(范围)的3种方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于系数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决．(3)数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．[对点训练]1．[角度1]函数f (x )＝2x －1＋ln 1x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(0,1)，(2,3)[解析] 解法一：求函数f (x )＝2x －1＋ln 1x 的零点所在的大致区间，等价于求2x －1＋ln 1x ＝0的解所在的大致区间，等价于求2x －1＝－ln 1x 的解所在的大致区间，等价于求2x －1＝ln x 的解所在的大致区间，等价于求y ＝2x －1与y ＝ln x 的图象在(0，＋∞)上的交点的横坐标所在的大致区间(如图所示)，由图可得，选D.解法二：由f (x )＝2x －1＋ln 1x 可得其定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，且f (x )的单调递减区间为(0,1)，(1，＋∞)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 3＝21e 3－1＋ln 11e 3＝2e 31－e 3＋3＝3－e 31－e 3>0, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝21e －1＋ln 11e ＝2e 1－e ＋1＝1＋e 1－e<0，所以函数f (x )＝2x －1＋ln 1x 在区间(0,1)内有零点．因为f (2)＝22－1＋ln 12＝2－ln2>0，f (3)＝23－1＋ln 13＝1－ln3<0，所以函数f (x )＝2x －1＋ln 1x 在区间(2,3)内有零点．综上所述，函数f (x )＝2x －1＋ln 1x 的零点所在的大致区间为(0,1)，(2,3)．故选D.[答案] D2．[角度2](2017·洛阳统考)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥2，3－x ，x <2.如图，作出y ＝f (x )的图象，其中A (2,1)，则k OA ＝12.要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图象有两个不同的交点，由图可知，12<k <1.[答案] B考点三 函数的实际应用解决函数实际应用题的关键(1)认真读题，缜密地审题，确切地理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．(2)合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．[对点训练]1．(2017·湖南衡阳、长郡中学等十三校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年[解析] 设从2016年起，过了n (n ∈N *)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg 2013lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2016＝2020.故选D.[答案] D2．(2017·湖北八校联考(一))有一组试验数据如表所示：A ．y ＝2x ＋1－1B ．y ＝x 2－1C ．y ＝2log 2xD ．y ＝x 3[解析] 由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C 不正确．取x ＝2.01，代入A 选项，得y ＝2x ＋1－1>4，代入B 选项，得y ＝x 2－1≈3，代入D 选项，得y ＝x 3>8；取x ＝3，代入A 选项，得y ＝2x ＋1－1＝15，代入B 选项，得y ＝x 2－1＝8，代入D 选项，得y ＝x 3＝27，故选B.[答案] B3．(2017·开封质检)用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3米B ．4米C ．6米D ．12米[解析] 设隔墙的长为x (0<x <6)米，矩形的面积为y 平方米，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 取得最大值．[答案] A4.如图，某小区有一边长为2的正方形地块OABC ，其中阴影部分是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若池边AE 为函数y ＝－x 2＋2(0≤x ≤2)的图象，且点M 到边OA 的距离为t ⎝ ⎛⎭⎪⎫23≤t ≤43，则地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积的最大值为________．[解析] M (t ，－t 2＋2)，过切点M 的切线l ：y －(－t 2＋2)＝－2t (x－t )，即y ＝－2tx ＋t 2＋2，令y ＝2得x ＝t2，故切线l 与AB 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，2；令y ＝0，得x ＝t 2＋1t ，故切线l 与OC 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t ，0，又x ＝t 2＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43上单调递减，所以x ＝t 2＋1t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1712，116，所以地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－t 2－1t ＋2－t 2×2＝4－t －1t＝4－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t ≤2，当且仅当t ＝1时等号成立，故地块OABC 在直路l不含泳池那侧的面积的最大值为2.[答案] 2应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇨建模数学语言⇨求解数学应用⇨反馈检验作答热点课题3 数形结合在函数与方程中的应用[感悟体验]1．(2017·银川模拟)已知直线y ＝mx 与函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)[解析] 作出函数的图象，如图所示．由图可知，当直线y ＝mx (m ∈R )与函数的图象相切时，设切点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 20＋1，则f ′(x )＝x ，∴k ＝m ＝x 0，即直线y ＝mx 过切点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，12x 20＋1时，有两个解，此时m ＝ 2.结合图象得，当直线y ＝mx 与函数y ＝f (x )的图象恰好有3个不同的公共点时，实数m 的取值范围是m > 2.故选B.[答案] B2．(2017·陕西省宝鸡市高三一检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x <1，log 2x ，x ≥1，若函数y ＝f (x )－k 有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是________．[解析] ∵当x <1时，2－x>12；当x ≥1时，log 2x ≥0，依题意函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝k 的交点有两个，∴k >12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞。
高考数学二轮专题复习第一部分专题一第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用课件
a≤2.
答案：(－∞，2]
解决有关二次函数两类综合问题的思想方法 (1)含有参数的二次函数与不等式的综合问题注意分类讨 论思想、函数与方程思想的运用． (2)二次函数的最值问题， 通常采用配方法， 将二次函数化 为 y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得其图象顶点(m，n)或对称 轴方程 x＝m，分三种情况： ①顶点固定，区间固定； ②顶点含参数，区间固定； ③顶点固定，区间变动.
2 x ＋4a－3x＋3a，x＜0， f(x)＝ logax＋1＋1，x≥0
(a＞0， 且 a≠1)
在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f(x)|＝2－x 恰有两个不 相等的实数解，则 a 的取值范围是
2 A.0，3 1 2 3 C. 3，3 ∪4 2 3 B.3，4 1 2 3 D. 3，3 ∪4
4 3 2 5
4 3
2 5
1 3
(
)
B．a<b<c D．c<a<b
4 5
解析：因为 a＝2 ，b＝4 ＝2 ，由函数 y＝2x 在 R 上为增函 数知， b<a； 又因为 a＝2 ＝4 ， c＝25 ＝5 ， 由函数 y＝x 在 (0，＋∞)上为增函数知，a<c.综上得 b<a<c.故选 A.
4 3 2 3 1 3 2 3 2 3
(
)
[解析]
(1)因为 g(0)＝0，故排除 D；选项 A 中，由直线可以
看出 b<0，由 1＋bx>0 知，函数在 y 轴右侧的图象是有限的，排 除 A；选项 C 中，由直线可以看出 b>0，由 1＋bx>0 知，函数在 y 轴左侧的图象是有限的，排除 C，故选 B. (2)a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32， b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52， c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72， ∵log32>log52>log72，∴a>b>c.
高考数学：专题一 第三讲 函数的图象和性质课件
A.(－∞，－1) C.(－1,1)∪(1，＋∞)
解析
1－x≠0 由 1＋x>0
B.(1，＋∞) D.(－∞，＋∞)
，得 x>－1 且 x≠1，
即函数 f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞).
题型与方法
第三讲
方法提炼
本 讲 栏 目 开 关
已知函数的解析式时，函数的定义域是使解析式
本 讲 栏 目 开 关
( B ) B.{x|x<0 或 x>4} D.{x|x<－2 或 x>2}
A.{x|x<－2 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6}
解析 ∵f(x)＝x3－8(x≥0)，
∴令 f(x)>0，得 x>2.
又 f(x)为偶函数且 f(x－2)>0，
∴f(|x－2|)>0，
∴|x－2|>2，解得 x>4 或 x<0.
若对任意的 x∈[－2－ 2，2＋ 2]，不等式 f(x＋t)≤2f(x)
本 讲 栏 目 开 关
恒成立，则实数 t 的取值范围是 A.[ 2，＋∞) B.(－∞，－ 2] C.[4＋3 2，＋∞) D.(－∞，－ 2]∪[4＋3 2，＋∞)
题型与方法
解析 设 x<0，则－x>0.
第三讲
f(－x)＝(－x)2，又∵f(x)是奇函数，
所以 f(4－x)＝f(x)，
本 讲 栏 目 开 关
所以函数图象关于直线 x＝2 对称，
且 f(0)＝0，
由 f(x－4)＝－f(x)知 f(x－8)＝f(x)，
故函数是以 8 为周期的周期函数，
∴f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(8＋3)＝f(3)，
高考数学 二轮复习 专题1第3讲基本初等函数及函数的应用 新人教版
辑 用
个实数根x1、x2(x1＜x2)．
下 页
语 、
(1)求正实数c的取值范围；
函 数
(2)求x2－x1的取值范围；
、 导
(3)如果存在一个实数m，使f(m)＜0，求证：m＋1＞x2.
数
要点知识整合
热点突破探究 高考动态聚焦
专
题
一
【解】 (1)由 x2＋x＋c＝0 有两个实数根 x1、
集 合 与 常 用
专
题
一
解：(1)∵f(1)≥0，f(1)≤0，∴f(1)＝0.
集
∴b＋c＋1＝0.
合 与 常 用
(2)假设存在实数 m 满足条件，∵g(x)＝f(x)
－m2x＝x2＋(b－m2)x＋c 在[m22－b，＋∞)上单
上 页
逻 辑 用 语
调递增，又 g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴m22－b≤0，∴b≥m2≥0，
数
定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括
、
导
数
要点知识整合
热点突破探究 高考动态聚焦
专 题 一
集 合
【解析】 法一：因为 f(1e)＝13·1e－ln1e＝31e＋
与 常 用
1>0，f(1)＝31－ln1＝13>0，
上 页
逻 辑
f(e)＝3e－lne＝3e－1<0，
下
用 语 、 函
∴f(1e)·f(1)>0，f(1)·f(e)<0，故 y＝f(x)在区间[1e，
促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该
上
厂的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满
页
足 x＝3－m＋k 1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则
高考数学二轮复习板块1命题区间精讲精讲16基本初等函数函数与方程学案含解析
基本初等函数、函数与方程命题点1基本初等函数的图象与性质基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[高考题型全通关]1．(2020·陕西百校联盟第一次模拟)设a＝log318，b＝log424，c＝234，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜aD[c＝234＜2，a＝log318＝1＋log36＝1＋1log63，b＝log424＝1＋log46＝1＋1 log64.因为0＜log63＜log64＜1，所以1log63＞1log64＞1，所以1＋1log63＞1＋1log64＞2，即a＞b＞c，选D．]2．(2020·惠州第一次调研)已知函数f (x)＝|ln(x2＋1－x)|，设a＝f (log30.2)，b＝f (3－0.2)，c＝f (－31.1)，则()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．c＞b＞aC [法一：f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 1x 2＋1＋x ＝|ln(x 2＋1＋x )|＝f (－x )，所以函数f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|是偶函数．当x ＞0时，f (x )＝ln(x 2＋1＋x )，此时函数f (x )单调递增，a ＝f (log 30.2)＝f (log 35)，b ＝f (3－0.2)，c ＝f (－31.1)＝f (31.1)，因为31.1＞log 35＞3－0.2＞0，所以c ＞a ＞b .选C ．法二：令g (x )＝ln(x 2＋1－x )，则g (－x )＋g (x )＝ln(x 2＋1＋x )＋ln(x 2＋1－x )＝ln 1＝0，所以g (x )为奇函数，y ＝f (x )＝|g (x )|为偶函数．当x ＞0时，函数f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|＝ln(x 2＋1＋x )单调递增，又f (0)＝ln 1＝0，所以函数f (x )的大致图象如图所示．－2＜log 30.2＝log 315＝－log 35＜－1，0＜3－0.2＝130.2＜1，－31.1＜－3，结合图象可知f (－31.1)＞f (log 30.2)＞f (3－0.2)，即c ＞a ＞b ，故选C ．]3．[教材改编]已知log 2a ＞log 2b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．1a ＞1bB ．ln(a －b )＞0C ．2a －b ＜1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D [由log 2a ＞log 2b 可得a ＞b ＞0，故a －b ＞0，逐一考查所给的选项：A 项，1a ＜1b ；B 项，a －b ＞0，ln(a －b )的符号不能确定；C 项，2a －b ＞1；D 项，⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b .] 4．(2020·合肥调研)函数f (x )＝ln x ·(e x －1)e x ＋1的图象大致为( )B [法一：因为f (－x )＝ln (－x )(e －x －1)e －x ＋1＝ln (－x )(1－e x )e x ＋1＝ln x (e x －1)e x ＋1＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故排除A ，D ；又f (1)＝ln e －1e ＋1＜0，f (2)＝ln 2e 2－2e 2＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4e 2＋1＞0，所以f (2)＞f (1)，故排除C ．故选B ．法二：因为f (x )＝ln x (e x －1)e x ＋1＝ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1，所以当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除A ，C ；当x →－∞时，1－2e x ＋1→－1，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1→＋∞，则f (x )→＋∞，排除D ．故选B ．]5．已知函数f (x )＝e x ＋2(x ＜0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e B [由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x ＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点．函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到，当a ＜0时，向右平移，两函数总有交点，当a ＝0时，两函数总有交点，当a ＞0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0，1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0，1)代入y ＝ln(x ＋a )，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a ＜e.]6．[多选](2020·济南模拟)已知函数f (x )＝2x 2－a |x |，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于原点对称B ．当a ＝－1时，函数f (x )的值域为[4，＋∞)C ．若方程f (x )＝14没有实数根，则a ＜－1D ．若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则a ≥0BD [由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝2(－x )2－a |－x |＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，其图象不关于原点对称，故A 选项错误．当a ＝－1时，f (x )＝2x 2＋1|x |，而x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2，所以f (x )＝2x 2＋1|x |≥4，即函数f (x )的值域为[4，＋∞)，B 选项正确．由f (x)＝14，得x2－a|x|＝－2，得x2＋2|x|－a＝0.要使原方程没有实数根，应使方程x2＋2|x|－a＝0没有实数根．令|x|＝t(t＞0)，则方程t2＋2t－a＝0应没有正实数根，于是需Δ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－2≤0，－a≥0，即4＋4a＜0或⎩⎪⎨⎪⎧4＋4a≥0，－2≤0，－a≥0，解得a＜－1或－1≤a≤0，综上，a≤0.故C选项错误．要使函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，需g(x)＝x2－a|x|在(0，＋∞)上单调递增，需φ(x)＝x2－ax＝x－ax在(0，＋∞)上单调递增，需φ′(x)＝1＋ax2≥0在(0，＋∞)上恒成立，得a≥0，故D选项正确．]命题点2函数的零点1．判断函数零点的方法(1)解方程法，即解方程f (x)＝0，方程有几个解，函数f (x)有几个零点；(2)图象法，画出函数f (x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f (x)的零点个数；(3)数形结合法，即把函数等价地转化为两个函数，通过判断两个函数图象的交点个数得出函数的零点个数；(4)利用零点存在性定理判断．2．解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．[高考题型全通关]1．(2020·四川五校联考)已知函数f(x)＝13x3＋a⎝⎛⎭⎪⎫12x2＋x＋2，则f(x)的零点个数可能为()A．1个B．1个或2个C．1个或2个或3个D．2个或3个A[当a＝0时，函数f (x)＝13x3，只有1个零点；当a≠0时，令f (x)＝13x3＋a⎝⎛⎭⎪⎫12x2＋x＋2＝0，显然x≠0，故－1a＝12x2＋x＋213x3＝6x3＋3x2＋32x，设t＝1x(t≠0)，则－1a＝g(t)＝6t3＋3t2＋32t(t≠0)，g′(t)＝18t2＋6t＋32，Δ＝36－4×32×18＝－72＜0，g′(t)＞0恒成立，故g(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，且g(t)可取遍除0外的所有实数，所以－1a＝g(t)只有一个解，即函数f (x)只有1个零点．故选A．]2．(2020·凉山质检)已知函数f (x)＝⎩⎨⎧e x，x＜0，4x3－6x2＋1，x≥0，其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f (x)]2－10f (x)＋3的零点个数为()A．4B．5 C．6D．3A[当x≥0时，f (x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当0＜x＜1时，f (x)单调递减，x＞1时，f (x)单调递增，可得f (x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1，作出函数f (x)的图象，如图所示．g(x)＝3[f (x)]2－10f (x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f (x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t ＝3或13，当t ＝13，即f (x )＝13时，g (x )有三个零点；当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根，综上，g (x )共有四个零点．]3．(2020·大同调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞03x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1] B [h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，即方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f (x )的图象和直线y ＝－x ＋a ，如图所示，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点，则有a ＞1，故选B ．]4．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则在区间(－2，6)内关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2，0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上有3个不同的交点．]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x e x ，x ≤0，2－|x －1|，x ＞0，若函数g (x )＝f (x )－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．2B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e D [当x ≤0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ＜－1时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－∞，－1)上为减函数，当－1＜x ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－1，0]上为增函数，所以当x ≤0时，f (x )的最小值为f (－1)＝－1e .又当x ≥1时，f (x )＝3－x ，当0＜x ＜1时，f (x )＝x ＋1，作出f (x )的图象，如图所示，因为g (x )＝f (x )－m 有两个不同的零点，所以方程f (x )＝m 有两个不同的根，等价于直线y ＝m 与f (x )的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，由图可知1＜m ＜2或m ＝0或m ＝－1e .若1＜m ＜2，则x 1＋x 2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e .故选D ．]6．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有3个互异的实数根，则实数a 的取值集合为________．{1，9} [法一：依题意得，关于x 的方程|x 2＋3x |＝a |x －1|有3个互不相等的实根，注意到x ＝1不是方程|x 2＋3x |＝a |x －1|的根，于是有a ＝|x 2＋3x ||x －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1. 令x －1＝t ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋4t ＋5. 记g (t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋4t ＋5，则函数g (t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋4t ＋5的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，作出函数g (t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋4t ＋5的图象如图所示，结合图象可知，a ＝1或a ＝9.因此，实数a 的取值集合是{1，9}．法二：依题意得，关于x 的方程|x 2＋3x |＝a |x －1|有3个互不相等的实根，因此a ＞0，所以|x 2＋3x |＝|ax －a |有3个互不相等的实根，即方程x 2＋3x ＝ax －a 与x 2＋3x ＝a －ax 共有3个互不相等的实根，即方程x 2＋(3－a )x ＋a ＝0与x 2＋(3＋a )x －a ＝0共有3个互不相等的实根．注意到当a ＞0时，方程x 2＋(3＋a )x －a ＝0的判别式大于0，所以方程x 2＋(3＋a )x －a ＝0必有2个不相等的实根．假设方程x 2＋3x ＝ax －a 与x 2＋3x ＝a －ax 有相同的根，可得相同的根为x ＝1，但当x ＝1时，x 2＋3x ＝ax －a 与x 2＋3x ＝a －ax 均不成立，所以方程x 2＋3x ＝ax －a与x2＋3x＝a－ax没有相同的根，所以方程x2＋(3－a)x＋a＝0有2个相等的实根，故其判别式Δ＝(3－a)2－4a＝0(a＞0)，解得a＝1或a＝9.所以实数a的取值集合是{1，9}．]命题点3函数建模与信息题1．构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义．2．解决新概念信息题的关键(1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题．[高考题型全通关]1．我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：“每车坐3人，有2辆车空出来；每车坐2人，多出9人步行．问人数和车辆数各是多少？”该问题中的车辆数为()A．12B．14C．15D．18C[设车有x辆，则3(x－2)＝2x＋9，解得x＝15.]2．对于函数f (x)，若存在实数m，使得g(x)＝f (x＋m)－f (m)为R上的奇函数，则称f (x)是位差值为m的“位差奇函数”．给出下列三个函数：①f (x)＝2x＋1；②f (x)＝x2－2x＋1；③f (x)＝2x.其中是“位差奇函数”的有()A．0个B．1个C．2个D．3个B[对于①，f (x)＝2x＋1，则g(x)＝f (x＋m)－f (m)＝2(x＋m)＋1－(2m＋1)＝2x，则对任意实数m，g(x)＝f (x＋m)－f (m)均是R上的奇函数，即f (x)＝2x＋1是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于②，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，则g(x)＝f (x＋m)－f (m)＝x2＋2(m－1)x，无论m取何值，g(x)都不是R上的奇函数，则f (x)＝x2－2x＋1不是“位差奇函数”；对于③，f (x)＝2x，则g(x)＝f (x＋m)－f (m)＝2x＋m－2m＝2m(2x－1)，无论m取何值，g(x)＝f(x＋m)－f (m)都不是R上的奇函数，则g(x)不是“位差奇函数”．故选B．]3．[多选](2020·烟台模拟)我们定义这样一种运算“⊗”：①对任意a∈R，a⊗0＝0⊗a＝a；②对任意a，b∈R，(a⊗b)⊗c＝c⊗(ab)＋(a⊗c)＋(b⊗c)．若f (x)＝e x－1⊗e1－x，则以下结论正确的是()A．f (x)的图象关于直线x＝1对称B．f (x)在R上单调递减C．f (x)的最小值为3D．f (223)＞f (232)＞f (log319)AC[对任意a，b∈R，(a⊗b)⊗c＝c⊗(ab)＋(a⊗c)＋(b⊗c)，令c＝0，得(a⊗b)⊗0＝0⊗(ab)＋(a⊗0)＋(b⊗0)，得(a⊗b)⊗0＝a⊗b＝ab＋a＋b，所以f(x)＝e x－1⊗e1－x＝e x－1＋e1－x＋1.f (1－x)＝e－x＋e x＋1，f (1＋x)＝e－x＋e x＋1，所以f (1－x)＝f (1＋x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，A项正确；f′(x)＝e x－1－e1－x，当x＞1时，f′(x)＞0，当x＜1时，f′(x)＜0，所以f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，B项不正确；f(x)＝e x－1＋e1－x＋1≥2e x－1·e1－x＋1＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，C项正确；根据f (x)的图象关于直线x＝1对称，得f (log319)＝f (log381)，又f (x)在(1，＋∞)上单调递增，log381＝4，1＜223＜232＜4，所以f (223)＜f (232)＜f (log381)，所以f (223)＜f (232)＜f (log 319)，故D 项错误．]4．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|＜n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1e 2，4eB ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 2，2eD ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 3，2e 2 B [由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|＜1，得1＜β＜3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1，3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x .令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x ，所以h (x )在区间(1，2)上单调递增，在区间(2，3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3＞1e ，要使函数g (x )在区间(1，3)上存在零点，只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2，故选B ．] 5．[一题两空]某种物质在经过时间t (单位：min)后的浓度为M (单位：mg/L)，M 与t 满足函数关系M ＝ar t ＋24(a ，r 为常数)．当t ＝0 min 和t ＝1 min 时测得该物质的浓度分别为124 mg/L 和64 mg/L ，当t ＝4 min 时，该物质的浓度为________mg/L ；若该物质的浓度小于24.001 mg/L ，则最小的整数t 的值为________．(参考数据：lg 2≈0.3.)26．56 13 [由题意得ar 0＋24＝124且ar ＋24＝64，解得a ＝100，r ＝0.4，∴M ＝100×0.4t ＋24，当t ＝4时，M ＝100×0.44＋24＝26.56.由100×0.4t ＋24＜24.001得0.4t ＜0.15，∴lg 0.4t ＜lg 0.15，∴t lg 0.4＜－5，∴t [lg 2－(1－lg 2)]＜－5，∴t (2lg 2－1)＜－5，∴t＞51－2lg 2≈12.5，∴最小的整数t的值是13.]。
高三数学第二轮复习讲义 函数概念与基本初等函数 理
高三数学第二轮复习讲义 函数概念与基本初等函数 理题型一、函数解析式：例1.（1）已知f （12+x）=lgx ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）； 变式训练1 已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解：(1)f （x ）=lg12-x ,x∈(1,+∞).（2）f （x ）=2x+7.变式训练1 f （x ）=2x-x1. 题型二、函数定义域。
值域： 例2：（一）求下列函数的定义域：（1）y=212)2lg(xx x -+-+(x-1)0; (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;解：（1）（-3，1）∪(1,2).（2）).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--（3）.5,23)2,2(23,5⎥⎦⎤⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ππππ （二）. 求下列函数的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x 21-; (3)y=1e 1e +-x x .解：（1）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31. （2）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,. （3）{y|-1＜y ＜1}.变式训练2求下列函数的值域：（1）y=4-223x x -+; (2)y=x+x4;(3)y=4)2(122+-++x x .解：（1）［2，4］.(2)（-∞，-4］∪［4，+∞）（3）将函数式变形为y=2222)20()2()10()0(++-+-+-x x ， ［13，+∞）题型三、函数单调性： 例3. 已知函数f(x)=a x+12+-x x (a ＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证明 方法一 定义法.方法二 f(x)=a x+1-13+x (a ＞1),求导数得)(x f '=a xlna+2)1(3+x ,∵a ＞1,∴当x ＞-1时，a xlna ＞0,2)1(3+x ＞0,)(x f '＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.变式训练3．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0.典型例题（1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 解：（1）令x 1=x 2＞0,代入得f(1)=f(x 1)-f(x 1)=0,故f(1)=0. （2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＞x 2,则21x x ＞1,由于当x ＞1时，f(x)＜0,所以f )(21x x ＜0,即f(x 1)-f(x 2)＜0,因此f(x 1)＜f(x 2), 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f(21x x )=f(x 1)-f(x 2)得f()39=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x ＞9或x ＜-9.因此不等式的解集为{x|x ＞9或x ＜-9}. 题型四、函数奇偶性：例4：已知定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f(x)=142+x x. （1）求f （x)在［-1，1］上的解析式； （2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.解： （1）当f （x ）={}⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈-∈+-∈+1,0,10)0,1(142)1,0(142x x x xxx x (2)证明 当x ∈(0,1)时，f(x)=.142+x x设0＜x 1＜x 2＜1,则f(x 1)-f(x 2)=,)14)(14()12)(22(1421422121122211++--=+-++xx x x x x x x xx ∵0＜x 1＜x 2＜1,∴1222x x -＞0，221xx +-1＞0,∴f(x 1)-f(x 2)＞0,即f(x 1)＞f(x 2),故f(x)在（0，1）上单调递减.变式训练4：已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.解：∵f （x ）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当x ＞0时，-x ＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f （x ）=xlg （2+x ）， 即f （x ）=-xlg(2+x) （x ＞0）.∴f(x)=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x 即f(x)=-xlg(2+|x|) (x ∈R ). 题型五、函数周期性：例5 已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x ≤1时，f(x)=21x,求使f(x)=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1）证明： f （x ）是以4为周期的周期函数.（2）解： ∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x由f(x)=-21,解得x=-1.∵f （x ）是以4为周期的周期函数.故f(x)=-21的所有x=4n-1 (n ∈Z ). 令0≤4n-1≤2 009,则41≤n ≤20051,又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 （n ∈Z ）,∴在［0，2 009］上共有502个x 使f(x)=-21.变式训练5： 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T=5，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数http:// /又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值5-http:// /①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式.解：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-，又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，∴(1)(4)0f f +=http:/// ②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =， ∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤http:///③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-， ∴3k =-，∴当01x ≤≤时，f (x )=-3x ，从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，f (x )= -3x ，http:/// ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴0http:///当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=-- ∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩http:///题型六、二次函数：例6. 已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.解：（1）∵方程22ax bx x +=有等根，∴2(2)0b ∆=-=，得b=2 ．由(1)(3)f x f x -=-知对称轴方程为12bx a=-=，得1a =-故2()2f x x x =-+ ． （2）2()(1)11f x x =--+≤，∴4n ≤1，即14n ≤而抛物线22y x x =-+的对称轴为1x = ∴14n ≤时，()f x 在［m ，n ］上为增函数.若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==n n f m m f 4)(4)(，⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2020424222n n m m nn n m m m 或或即又14m n <≤， ∴2,0m n =-=，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］. 由以上知满足条件的m 、n 存在， 2,0m n =-=．变式训练6：对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点. 已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；解：（1）当1,2a b ==-时，2()3f x x x =--由题意可知23x x x =--，得121,3x x =-=故当当1,2a b ==-时，()f x 的不动点 1,3-．（2）∵2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠恒有两个不动点，∴2(1)1x ax b x b =+++-，即210ax bx b ++-=恒有两相异实根∴2440()b ab a b R ∆=-+>∈恒成立.于是2(4)160a a '∆=-<解得故当b ∈R ，()f x 恒有两个相异的不动点时，01a <<.题型七、函数综合 例7．已知函数：)(1)(a x R a xa ax x f ≠∈--+=且（Ⅰ）证明：f(x)+2+f(2a －x)=0对定义域内的所有x 都成立. （Ⅱ）当f(x)的定义域为[a+21,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]； （Ⅲ）设函数g(x)=x 2+|(x －a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 . 解：（Ⅰ）证明：xa a ax a x a a x x a f x f +--+-++--+=-++21221)2(2)( 01221121=--+--+-+=-+-++--+=xa x a x a a x a x x a x a a x ∴结论成立（Ⅱ）证明：xa x a x a x f -+-=-+--=111)()( 当112,211211121-≤-≤--≤-≤---≤-≤--+≤≤+xa x a a x a a x a 时2113-≤-+-≤-xa 即]2,3[)(--值域为x f（Ⅲ）解：)(|1|)(2a x a x x x g ≠-++=（1）当a x a x x x g a x a x -++=-++=≠-≥43)21(1)(,122时且 如果211-≥-a 即21≥a 时，则函数在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增 2min )1()1()(-=-=a a g x g如果a g x g a a a -=-=-≠<-<-43)21()(,2121211min 时且即当当21-=a 时，)(x g 最小值不存在（2）当45)21(1)(122-+-=+--=-≤a x a x x x g a x 时 如果45)21()(23211min -==>>-a g x g a a 时即如果2min )1()1()()1,()(23211-=-=--∞≤≤-a a g x g a x g a a 上为减函数在时即…13分当0)21()43()1(210)23()45()1(232222>-=---<>-=--->a a a a a a a a 时当时综合得：当2121≠<a a 且时 g （x ）最小值是a -43当2321≤≤a 时 g （x ）最小值是2)1(-a 当23>a 时 g （x ）最小值为45-a 当21-=a 时 g （x ）最小值不存在变式训练7：已知函数f(x)=x 2+|x-a|+1,a ∈R . （1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若-21≤a ≤21，求f(x)的最小值.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a ≠0时，f(a)=a 2+1,f(-a)=a 2+2|a|+1,f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.（2）当x ≤a 时,f(x)=x 2-x+a+1=(x-21)2+a+43,∵a ≤21,故函数f(x)在（-∞，a ］上单调递减，从而函数f(x)在（-∞，a ］上的最小值为f(a)=a 2+1.当x ≥a 时，函数f(x)=x 2+x-a+1=(x+21)2-a+43,∵a ≥-21，故函数f(x)在［a ，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a ，+∞)上的 最小值为f(a)=a 2+1. 综上得，当-21≤a ≤21时，函数f(x)的最小值为a 2+1.变式训练8：设函数()f x 定义在R +上，对任意的,m n R +∈，恒有()()()f m n f m f n ⋅=+，且当1x >时，()0f x <。
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题3函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程核心考点1基
第2讲 基本初等函数、函数与方程高频考点高考预测基本初等函数的图象、性质在选择、填空题中基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型；函数的零点有关的题目，常结合函数的性质综合考查，注意该知识点易命制成多选题，也可以函数实际应用呈现.函数零点的个数及所在区间判断和已知零点求参数范围 函数的实际应用1. (2021·全国新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是( C )A ．c <b <aB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c【解析】 a ＝log 52<log 55＝12＝log 822<log 83＝b ，即a <c <b .故选C ．2. (2021·天津高考)设a ＝log 20.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a 、b 、c 的大小关系为( D )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．a <c <b【解析】 ∵a ＝log 20.3<log 21＝0，b ＝log 120.4＝－log 20.4>－log 20.5＝1,0<c ＝0.40.3<0.40＝1，∴a <c <b ，故选D ．3. (2022·浙江卷)已知2a＝5，log 83＝b ，则4a －3b＝( C )A ．25B ．5C ．259D ．53【解析】 因为2a＝5，b ＝log 83＝13log 23，即23b ＝3，所以4a －3b＝4a43b ＝2a223b2＝5232＝259.故选C ．4. (2020·全国Ⅱ卷)若2x －2y <3－x －3－y，则( A ) A ．ln(y －x ＋1)>0 B ．ln(y －x ＋1)<0 C ．ln|x －y |>0D ．ln|x －y |<0【解析】 由2x－2y<3－x－3－y得：2x－3－x<2y －3－y ，令f (t )＝2t －3－t ，∵y ＝2x为R 上的增函数，y ＝3－x为R 上的减函数，∴f (t )为R 上的增函数，∴x <y ，∵y －x >0，∴y －x ＋1>1，∴ln(y －x ＋1)>0，则A 正确，B 错误；∵|x －y |与1的大小不确定，故C 、D 无法确定．故选A ．5. (2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( C )A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6【解析】 在L ＝5＋lg V 中，L ＝4.9，所以4.9＝5＋lg V ，即lg V ＝－0.1，解得V ＝10－0.1＝1100.1＝11010≈11.259≈0.8，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C ． 6. (2022·全国甲卷)已知9m＝10，a ＝10m－11，b ＝8m－9，则( A ) A ．a >0>b B ．a >b >0 C ．b >a >0D ．b >0>a【解析】 由9m＝10可得m ＝log 910＝lg 10lg 9>1，而lg 9lg 11<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 9＋lg 1122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 9922<1＝(lg 10)2，所以lg 10lg 9>lg 11lg 10，即m >lg 11，所以a ＝10m －11>10lg 11－11＝0.又lg 8lg10<⎝⎛⎭⎪⎫lg 8＋lg 1022＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 8022<(lg 9)2，所以lg 9lg 8>lg 10lg 9，即log 89>m ，所以b ＝8m－9<8log 89－9＝0.综上，a >0>b .故选A ．7. (多选)(2023·全国新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p ＝20×lg p p 0，其中常数p 0(p 0>0)是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：12p 3，则( ACD )A ．p 1≥p 2B ．p 2>10p 3C ．p 3＝100p 0D ．p 1≤100p 2【解析】 由题意可知：L p 1∈[60,90]，L p 2∈[50,60]，L p 3＝40，对于选项A ：可得L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 0－20×lg p 2p 0＝20×lg p 1p 2，因为L p 1≥L p 2，则L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 2≥0，即lgp 1p 2≥0，所以p 1p 2≥1且p 1，p 2>0，可得p 1≥p 2，故A 正确；对于选项B ：可得L p 2－L p 3＝20×lg p 2p 0－20×lg p 3p 0＝20×lg p 2p 3，因为L p 2－L p 3＝L p 2－40≥10，则20×lg p 2p 3≥10，即lg p 2p 3≥12，所以p 2p 3≥e 且p 2，p 3>0，可得p 2≥e p 3，当且仅当L p 2＝50时，等号成立，故B 错误；对于选项C ：因为L p 3＝20×lg p 3p 0＝40，即lg p 3p 0＝2，可得p 3p 0＝100，即p 3＝100p 0，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 2，且L p 1－L p 2≤90－50＝40，则20×lg p 1p 2≤40，即lg p 1p 2≤2，可得p 1p 2≤100，且p 1，p 2>0，所以p 1≤100p 2，故D 正确．故选ACD ．核心考点1 基本初等函数的图象与性质核心知识·精归纳1.一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．(5)在第一象限作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．2.指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象的异同．3.常见的几个结论(1)已知a >0且a ≠1，则a b>1⇔(a －1)b >0,0<a b<1⇔(a －1)b <0. (2)已知a >0且a ≠1，b >0，则log a b >0⇔(a －1)(b －1)>0，log a b <0⇔(a －1)(b －1)<0. (3)指数型函数y ＝k ·amx ＋n＋p (a >0且a ≠1)的图象经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－nm，k ＋p .(4)对数型函数y ＝k ·log a (mx ＋n )＋p (a >0且a ≠1)的图象经过定点⎝⎛⎭⎪⎫1－n m ，p .多维题组·明技法角度1：幂函数、指数函数、对数函数的图象1. (2023·海南一模)已知函数y ＝x a，y ＝b x，y ＝log c x 的图象如图所示，则( C )A ．e a<e c<e bB ．e b <e a <e cC ．e a<e b<e cD ．e b<e c<e a【解析】 由图象可知：a <0<b <1<c ，∴e a<e b<e c .故选C ．2.设y ＝f (x )为指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称．在P (1,1)，Q (1,2)，M (2,3)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14四点中，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象的公共点只可能是( D )A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N【解析】 由于＝f (x )为指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称．故函数g (x )＝log a x ；当x ＝12时，y ＝14，整理得a ＝116，故g (x )＝log 116x ，由于这两个函数互为反函数，当x ＝14时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12，其他的都不符合．故选D ．3. (2023·攀枝花一模)若对数函数f (x )的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－2，点B (8，t )，且p ＝log 0.1t ，q ＝0.2t，r ＝t 0.1.则( D )A ．r <p <qB ．q <p <rC ．r <q <pD ．p <q <r【解析】 设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log a 14＝－2，所以a ＝2，则f (x )＝log 2x ，又函数过点B (8，t )，所以f (t )＝log 2t ＝8，则t ＝3，所以p ＝log 0.1t ＝log 0.13<0，q ＝0.2t ＝0.23，又0<0.23<0.20＝1，则0<q <1，r ＝t 0.1＝30.1>30＝1，所以r >q >p .故选D ．角度2：幂函数、指数函数、对数函数的性质4. (2023·香洲区校级模拟)已知a ＝212，b ＝313，c ＝log 0.20.5，则( A ) A ．b >a >cB ．b >c >aC ．a >b >cD ．a >c >b【解析】 ∵(212)6＝23＝8，(313)6＝32＝9，∴a 6<b 6，∵a >0，b >0，∴b >a ，∵c ＝log 0.20.5＝log 52<1，∵a ＝212>20＝1，∴b >a >c .故选A ．5. (2023·赣州二模)若log 3x ＝log 4y ＝log 5z <－1，则( D ) A ．3x <4y <5z B ．4y <3x <5z C ．4y <5z <3xD ．5z <4y <3x【解析】 令log 3x ＝log 4y ＝log 5z ＝m <－1，则x ＝3m，y ＝4m，z ＝5m,3x ＝3m ＋1,4y ＝4m ＋1,5z＝5m ＋1，其中m ＋1<0，在同一坐标系内画出y ＝3x，y ＝4x，y ＝5x，故5z <4y <3x .故选D ．6.若关于x 的不等式4x－log a x ≤32在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则实数a 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 【解析】 由题意知关于x 的不等式4x－32≤log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，所以当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，函数y ＝4x－32的图象不在y ＝log a x 的图象的上方，由图可知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≥12，解得14≤a <1.故选A ．方法技巧·精提炼(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．加固训练·促提高1. (2023·枣庄二模)指数函数y ＝a x的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 图象顶点横坐标的取值范围是( A )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 【解析】 由图象知函数为减函数，则0<a <1，二次函数y ＝ax 2＋x 的顶点的横坐标为x ＝－12a ，∵0<a <1，∴12a >12，－12a <－12，即横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12.故选A ．2. (2023·聊城三模)设a ＝0.20.5，b ＝0.50.2，c ＝log 0.50.2，则( D ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >a >bD ．c >b >a【解析】 由y ＝0.2x单调递减可知：0.20.5<0.20.2，由y ＝x 0.2单调递增可知：0.20.2<0.50.2，所以0.20.5<0.50.2，即a <b ，且b <1，由y ＝log 0.5x 单调递减可知：c ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1，所以c >b >a .故选D ．。
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第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用限时规范训练 A 组——高考热点强化练一、选择题1．(log 32－log 318)÷81－14＝( )A ．－32B ．－6 C.32D ．6解析：原式＝(log 32－log 318)÷8114-＝log 3218÷(34) 14-＝log 319÷3144⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭＝－2÷13＝－6，故选B.答案：B2．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数． 要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. 答案：D3．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12C ．－1D ．1解析：由幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，α＝12，则幂函数f (x )＝x 12，∴f (2)＝212，∴log 2f (2)＝12.故选A.答案：A4．(2016·高考北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：利用函数的单调性进行判断．A ．考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B.考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y ＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调的，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C.考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D.考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误． 答案：C5．函数f (x )＝ln x ＋x －12，则其零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D ．(1,2)解析：∵函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上是连续的，且函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上至多只有一个零点．又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝ln 34＋14＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫344e <ln 1＝0，f (1)＝12>0，所以函数的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，故选C.答案：C6．已知函数f (x )＝ln x －2[x ]＋3，其中[x ]表示不大于x 的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设g (x )＝ln x ，h (x )＝2[x ]－3，当0＜x ＜1时，h (x )＝－3，作出图象(图略)，两函数有一个交点即一个零点；当2≤x ＜3时，h (x )＝1，ln 2≤g (x )＜ln 3，此时两函数有一交点，即有一零点，共2个零点． 答案：B7．(2017·唐山模拟)若函数f (x )＝x lg(mx ＋x 2＋1)为偶函数，则m ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－1或1D ．0解析：因为函数f (x )为偶函数，则x lg(mx ＋x 2＋1)＝－x lg(－mx ＋x 2＋1)，即mx ＋x 2＋1＝1－mx ＋x 2＋1，整理得x 2＝m 2x 2，所以m 2＝1，所以m ＝±1，故选C.答案：C8．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)解析：由题意可知，f (x )＝e x－1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1.若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3>－1.解得2－2<b <2＋ 2. 答案：B9．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3，故选C. 答案：C10．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过14，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x－1D ．f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 解析：g (x )＝4x＋2x －2在R 上连续，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2＋12－2<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋1－2>0.设g (x )＝4x＋2x －2的零点为x 0，则14<x 0<12.f (x )＝4x －1的零点为x ＝14，f (x )＝(x －1)2的零点为x ＝1， f (x )＝e x －1的零点为x ＝0，f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －12的零点为x ＝32.∵0<x 0－14<14，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－14<14.故选A.答案：A11．已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14∪(1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，14∪(1，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14解析：f (x )的定义域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，因而1a <3，所以12a <32.此时t ＝ax 2－x 在[3,4]上为增函数，故需y ＝log a t 为增函数，所以a >1.故选A. 答案：A12．(2017·广西模拟)若关于x 的方程2x 3－3x 2＋a ＝0在区间[－2,2]上仅有一个实根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－4,0]∪[1,28) B ．[－4,28] C ．[－4,0)∪(1,28]D ．(－4,28)解析：设函数f (x )＝2x 3－3x 2＋a ，f ′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，x ∈[－2,2]．令f ′(x )>0，则x ∈[－2,0)∪(1,2]，令f ′(x )<0，则x ∈(0,1)，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在[－2,0)，(1,2]上单调递增，又f (－2)＝－28＋a ，f (0)＝a ，f (1)＝－1＋a ，f (2)＝4＋a ，∴－28＋a ≤0<－1＋a 或a <0≤4＋a ，即a ∈[－4，0)∪(1,28]． 答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2 016，f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＝4，则f (2 017)＝________. 解析：设F (x )＝f (x )－2 016，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝a log 21x＋b log 31x＝－(a log 2x ＋b log 3x )＝－F (x )，所以F (2 017)＝－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＝－(4－2 016)＝2 012，f (2 017)＝F (2 017)＋2 016＝4 028.答案：4 02814．已知2x ＝3y＝a ，且1x ＋1y＝2，则a 的值为________．解析：由2x ＝3y＝a ，得x ＝log 2a ，y ＝log 3a .由1x ＋1y＝2，得log a 2＋log a 3＝2，所以log a 6＝2，所以a 2＝6.又因为a >0，所以a ＝ 6. 答案： 615．某生产厂商更新设备，已知在未来x (x >0)年内，此设备所花费的各种费用总和y (万元)与x 满足函数关系y ＝4x 2＋64，欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为________．解析：y x＝4x ＋64x≥24x ·64x ＝32，当且仅当4x ＝64x，即x ＝4时等号成立．答案：416．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，即y ＝f (x )与y ＝m 有3个不同的交点，作出f (x )的图象和y ＝m 的图象，可得出m 的取值范围是[0,1)．答案：[0,1)B 组——12＋4高考提速练一、选择题1．已知a ，b ∈R ，则“log 3a >log 3b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 3a >log 3b ，得a >b ，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，故为充分条件；又由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b，得a >b ，但当a <0，b <0时，log 3a ，log 3b 无意义，因此不是必要条件．故选A.答案：A2．(2017·高考北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与MN最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80 lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N最接近的是1093.故选D. 答案：D3．(2017·甘肃模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f x ＋，x <4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋log 25 C.12D.120解析：∵2<log 25<3，∴3<1＋log 25<4，则4<2＋log 25<5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222log 5＋＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫122log 5＝14×15＝120，故选D. 答案：D4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )． 设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A ，B 错误．∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确． ∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误．故选C. 答案：C5．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．2 C ．3D ．－1或2解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，m >0，解得m ＝2.故选B.答案：B6．已知对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(－∞，1)∪(3，＋∞) C ．(1,2)D ．(－∞，2)∪(3，＋∞)解析：x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由题知，当a ∈[－1,1]时，g (a )>0恒成立，则须⎩⎪⎨⎪⎧g－，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.故选B. 答案：B7．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2)B ．[－1,2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：根据题意，直线y ＝x 与射线y ＝2(x >m )有一个交点A (2,2)，并且与抛物线y ＝x 2＋4x ＋2在(－∞，m ]上有两个交点B ，C .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋4x ＋2，解得B (－1，－1)，C (－2，－2)．∵抛物线y ＝x 2＋4x ＋2在(－∞，m ]上的部分必须包含B ，C 两点，且点A (2,2)一定在射线y ＝2(x >m )上，才能使y ＝f (x )图象与y ＝x 有3个交点，∴实数m 的取值范围是－1≤m <2，故选A.答案：A8．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c .故选C. 答案：C9．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2xD ．3y ＜2x ＜5z解析：令t ＝2x＝3y＝5z，∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1. 则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t －lg 2×lg 3＝lg t－lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t －lg 2×lg 5＝lg t－lg 2×lg 5＜0，∴2x ＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D. 答案：D10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．(0,3)解析：设t ＝f (x )，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f (x )＝0或f (x )＝a .如图所示，作出函数f (x )的图象，由函数图象，可知f (x )＝0的解有2个，故要使方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的解，则方程f (x )＝a 的解必有3个，此时0<a <1，故选A.答案：A11．(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[23，＋∞) B ．(0,1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形：(1)当0＜m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m ＞1时，0＜1m＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．故选B. 答案：B12．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1解析：法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)＝(x －1)2＋a [ex －1＋e－(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t＋e －t)－1.∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )，∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a ＞0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，则a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C. 答案：C 二、填空题13．(2017·西安八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为________．解析：函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x有2个零点．答案：214．已知x ∈R ，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，0≤x ≤π，x 2，x <0，则方程f (x )＝1的所有解之和等于________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，0≤x ≤π，x 2，x <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤π，2sin x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＝1.解得x ＝π6或x ＝5π6或x ＝－1，则其所有解的和为π－1. 答案：π－115．如图所示，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫32x的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴．若点A 的纵坐标是2，则点D 的坐标是________．解析：由2＝x 得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，由2＝x 12得点B (4,2)．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫324＝916，即点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，916，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，916.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，916 16．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝(x －a )2＋5－a 2在(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2，|a －1|≥|(a ＋1)－a |＝1，因此要使x 1，x 2∈[1，a ＋1]时，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，只要|f (a )－f (1)|≤4即可，即|(a 2－2a 2＋5)－(1－2a ＋5)|＝(a －1)2≤4，解得－1≤a ≤3.又∵a ≥2，∴2≤a ≤3. 答案：[2,3]。