2016-2017年四川省雅安中学高一(下)期中数学试卷(理科)和答案
四川省雅安高一下学期期中考试数学理科试题
天全中学高2015级高一下学期半期测试(理科)数 学 试 卷一、选择题(每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确答案) 1.已知)1,(),1,3(-==→→x b a ，且→a ∥→b ，则x 等于( )A.13B.13-C. 3D.3-2．在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若b B a 3sin 2=，则角A 等于( ) A ．π3B ．π4C ．π6D ．π123．等差数列{}n a 的前n 项和为n S，若371112a a a ++=，则13S等于( )A. 52B. 54C. 56D. 584.设数列{}n a 中，已知11,a =111(n 1),n n a a -=+>则4a =( )A. 85B.53C. 32 D.25.设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别是c b a ,,若A a B c C b sin cos cos =+，则ABC ∆的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定6．若向量→a ＝(1，1)，→b ＝(2，5)，→c ＝(3，x )，满足条件(→a 8－→b )·→c ＝30，则x 等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．37．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量→p ＝(sin A ，1)，→q ＝(1，－cos B )，则→p 与→q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定8.已知三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若5,8,60a b C ===，则→→CB CA .=( )A.-B. 20-C. 20D.9.已知等差数列5，247，437，∙∙∙的前n 项和为n S ，当n S取最大值时，n=( )A.6B. 7C. 7或8D.6或710．在各项均为正数的等比数列}{n b 中，若387=⋅b b ，则1432313log log log b b b +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++等于( ) A ．5B ．6C ． 7D ．811.已知=n a )1(2+n n ，则数列}{n a 的前100项和100S=( )A ．101100B ．101200C ．10099D ．10019812．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→的模长的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 3 D ．3 2二、填空(每小题5分，共20分，将正确答案填在答卷横线上)13．已知向量→a 与→b 的夹角是32π，且|→a |＝1，|→b |＝4，若(2→a ＋λ→b )⊥→a ，则实数λ＝_______.14. 在ABC ∆中，若15a =，10b =，60A =︒，则cos B = . 15. 已知数列}{n a 满足na a n n 21+=+且21=a ，则数列}{n a 的通项公式n a= .16.下列叙述正确的是________.①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，. ②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心； ③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的外心；④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=⇔O 为ABC ∆的内心三、解答题(共6小题，满分70分，要求写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤) 17、(本小题满分10分)已知等比数列{}n a ，22a =，5128a=(1)求通项n a ；(2)若2log nnb a =，数列{}n b 的前n 项的和为nS ，且360n S =，求n 的值.18．(本题满分12分)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且55sin ,43==A C π．(Ⅰ)求B sin 的值；(Ⅱ)若105-=-a c ，求ABC ∆的面积．19、(本小题满分12分)已知向量→a 与→b 的夹角为23π，|→a |=2，|→b |=3，记→→→-=b a m 23，→→→+=b k a n 2(1)若→→⊥n m ，求实数k 的值。
2016-2017学年四川省雅安中学高一下学期期中数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年四川省雅安中学高一（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知集合A={x |x ＞﹣1}，B={x |x 2+2x ﹣3＜0}则A ∩B=（ ） A ．（﹣1，3） B ．（﹣1，1） C ．（﹣1，+∞） D ．（﹣3，1） 2．若a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．a 3＞b 3D ．a 2＞b 23．已知{a n }是等差数列，且a 2+a 5+a 8+a 11=48，则a 6+a 7=（ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．244．设x ，y ∈R ，且x +4y=40，则lgx +lgy 的最大值是（ ） A ．40 B ．10 C ．4D ．25．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为x 米和3千米，测得灯塔A 在观察站C 的正西方向，灯塔B 在观察站C 西偏南30°，若两灯塔A 、B 之间的距离恰好为千米，则x 的值为（ ）A ．3B ．C ．D ．或6．已知{a n }是等比数列，其中a 1，a 8是关于x 的方程x 2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a 1+a 8）2=2a 3a 6+6，则锐角α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知数列{a n }的首项为﹣1，a n +1=2a n +2，则数列{a n }的通项公式为a n =（ ） A ．2n ﹣1﹣2 B ．2n ﹣2C ．2n ﹣1﹣2nD ．﹣2n ﹣18．在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若=2，且=λ+，则λ=（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．9．在△ABC 中，A=30°，AB=2，且△ABC 的面积为，则△ABC 外接圆的半径为（ ）A ．B ．C ．2D ．410．不等式（m +1）x 2﹣mx +m ﹣1＜0的解集为∅，则m 的取值范围（ ）A．m＜﹣1 B．m≥C．m≤﹣D．m≥或m≤﹣11．数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2013等于（）A．1006 B．2012 C．503 D．012．数列a n=2n+1，其前n项和为T n，若不等式nlog2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3 B．λ≤4 C．2≤λ≤3 D．3≤λ≤4二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡上）13．设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则ab的值是．15．已知数列{a n}中，a1=0，a2=p（p是不等于0的常数），S n为数列{a n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S n=，则数列{a n}通项为．．16．已知定义在R上的单调函数f（x）满足对任意的x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）成立．若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）=0，则的最小值为．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）17．（10分）（1）已知实数x，y均为正数，求证：；（2）解关于x的不等式x2﹣2ax+a2﹣1＜0（a∈R）．18．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a3=4．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，求a11的值；（Ⅱ）若数列{}是等差数列，求数列{a n}的通项公式．19．（12分）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．20．（12分）某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x的取值范围；（2）要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，=．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．22．（12分）已知递增数列{a n}，a1=2，其前n项和为S n，且满足．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{b n}满足，求其前n项和T n．2016-2017学年四川省雅安中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x2+2x﹣3＜0}则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣3，1）【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据题意，解x2+2x﹣3＜0可以求出集合B，进而结合集合A由集合交集的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，x2+2x﹣3＜0⇒﹣3＜x＜1，则B={x|x2+2x﹣3＜0}=（﹣3，1），又由A={x|x＞﹣1}=（﹣1，+∞），则A∩B=（﹣1，1）；故选：B．【点评】本题考查集合交集的计算，关键是掌握集合的表示方法．2．若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．C．a3＞b3D．a2＞b2【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】通过特殊值代入各个选项，从而求出正确答案．【解答】解：令a=0，b=﹣1，显然A、B、D不成立，故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3．已知{a n}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=（）A．12 B．16 C．20 D．24【考点】83：等差数列；84：等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质可得：a2+a11=a5+a8=a6+a7，代入已知可得答案．【解答】解：由等差数列的性质可得：a2+a11=a5+a8=a6+a7，因为a2+a5+a8+a11=48，所以2（a6+a7）=48，故a6+a7=24，故选D【点评】本题考查等差数列的性质，属基础题．4．设x，y∈R，且x+4y=40，则lgx+lgy的最大值是（）A．40 B．10 C．4 D．2【考点】7F：基本不等式；4H：对数的运算性质．【分析】利用基本不等式的性质和对数的运算性质即可求出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+4y=40，∴40，化为xy≤100，当且仅当x=4y=，即x=20，y=5时取等号，∴lgx+lgy=lg（xy）≤lg100=2．故选D．【点评】熟练掌握基本不等式的性质和对数的运算性质是解题的关键．5．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为x米和3千米，测得灯塔A在观察站C的正西方向，灯塔B在观察站C西偏南30°，若两灯塔A、B之间的距离恰好为千米，则x的值为（）A．3 B．C．D．或【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】在△ABC中，利用余弦定理即可得出．【解答】解：如图所示，在△ABC中，由余弦定理可得：=32+x2﹣2×3×x×cos30°，化为=0，解得x=或2．故选：D．【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知{a n}是等比数列，其中a1，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a1+a8）2=2a3a6+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、三角函数求值即可得出．【解答】解：∵a1，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，∴a1•a8=﹣sinα，a1+a8=2sinα，∵（a1+a8）2=2a3a6+6，∴4sin2α=2×（﹣sinα）+6，即2sin2α+sinα﹣3=0，α为锐角．∴sinα=，．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知数列{a n}的首项为﹣1，a n+1=2a n+2，则数列{a n}的通项公式为a n=（）A．2n﹣1﹣2 B．2n﹣2 C．2n﹣1﹣2n D．﹣2n﹣1【考点】8H：数列递推式．【分析】由题意可知a n+1+2=2（a n+2），根据等比数列的通项公式，即可求得数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1﹣2．【解答】解：由a n+1=2a n+2，则a n+1+2=2（a n+2），a1+2=1，∴数列{a n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则a n+2=1×2n﹣1，∴a n=2n﹣1﹣2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1﹣2，故选：A．【点评】本题考查数列的递推式的应用，考查等比数列的前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．8．在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若=2，且=λ+，则λ=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】通过利用向量的三角形法则，以及向量共线，代入化简即可得出．【解答】解：∵==（+）=+×=）=+（﹣）=﹣+，∴λ=﹣，故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．在△ABC中，A=30°，AB=2，且△ABC的面积为，则△ABC外接圆的半径为（）A．B．C．2 D．4【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求b，进而利用余弦定理解得a，根据正弦定理即可求得外接圆半径R的值．=bcsinA=b×2×=，【解答】解：在△ABC中，由A=30°，c=AB=2，得到S△ABC解得b=2，根据余弦定理得：a2=12+4﹣2×2×2×=4，解得a=2，根据正弦定理得：（R为外接圆半径），则R==2．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10．不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1＜0的解集为∅，则m的取值范围（）A．m＜﹣1 B．m≥C．m≤﹣D．m≥或m≤﹣【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】关于x的不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1＜0的解集为∅，可转化成不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥0恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论．【解答】解：∵关于x的不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1＜0的解集为∅，∴不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥0恒成立，①当m+1=0，即m=﹣1时，不等式化为x﹣2≥0，解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立；②当m+1≠0时，即m≠﹣1时，∀x∈R，使（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥0，即m+1＞0且△=（﹣m）2﹣4（m+1）（m﹣1）≤0，化简得：3m2≥4，解得m≥或m≤﹣，∴应取m≥；综上，实数m的取值范围是m≥．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围，是基础题．11．数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2013等于（）A．1006 B．2012 C．503 D．0【考点】8E：数列的求和．【分析】根据余弦函数的性质得出{a n}的项的变化规律，从而计算出前n项和．【解答】解：当n=4k+1时，a n=0，当n=4k+2时，a n=﹣n，当n=4k+3时，a n=0，当n=4k时，a n=n，∴{a n}每相邻四项的和均为2，∴S4n=2n，∴S2013=S2012+a2013=+a1=1006，故选A．【点评】本题考查了数列的通项公式，数列的前n项和计算，属于中档题．12．数列a n=2n+1，其前n项和为T n，若不等式nlog2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3 B．λ≤4 C．2≤λ≤3 D．3≤λ≤4【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】不等式nlog2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），可得λ≤对一切n∈N*恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解∵a n=2n+1，∴T n==2n+2﹣4．不等式nlog2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立．而==（n+1）+﹣3≥2﹣3=3，当且仅当n+1=即n=2时等号成立，∴λ≤3，故选：A．【点评】本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡上）13．设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2， 可得•=0．向量=（m ，1），=（1，2）， 可得m +2=0，解得m=﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．设一元二次不等式ax 2+bx +1＞0的解集为，则ab 的值是 6 ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】对原不等式进行等价变形，利用根与系数的关系求出a 、b 的值，即可得出ab 的值．【解答】解：∵不等式ax 2+bx +1＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜}， ∴a ＜0，∴原不等式等价于﹣ax 2﹣bx ﹣1＜0，由根与系数的关系，得﹣1+=﹣，﹣1×3=， ∴a=﹣3，b=﹣2， ∴ab=6． 故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．15．已知数列{a n }中，a 1=0，a 2=p （p 是不等于0的常数），S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意的正整数n 都有S n =，则数列{a n }通项为 a n =p （n ﹣1） ．．【考点】8H ：数列递推式．【分析】由条件得S n +1=，与条件式相减得出递推式，从而得出{}是常数列，得出通项，再验证n=1的情况即可．【解答】解：∵S n =，∴S n +1=，两式相减得：a n +1=a n +1﹣，∴a n +1=，∴当n≥2时，==…==p，∴a n=p（n﹣1）．显然n=1时，上式也成立．∴对一切n∈N+，a n=p（n﹣1）．故答案为：a n=p（n﹣1）．【点评】本题考查了数列通项公式的求法，属于中档题．16．已知定义在R上的单调函数f（x）满足对任意的x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）成立．若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）=0，则的最小值为9．【考点】3P：抽象函数及其应用；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】首先判定函数是奇函数，由所给的等式可得f（a）=f（1﹣2b），再由f（x）单调递增可得a=1﹣2b，从而得到a+2b=1，再利用基本不等式得出结论．【解答】解：令x1=0，x2=0，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，x1=x，x2=﹣x，有f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）是奇函数由单调奇函数满足对任意实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）=0，可得f（a）=f（1﹣2b），即a+2b=1，∴=（）（a+2b）=5+，∴的最小值为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性的应用，及基本不等式，属于中档题．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）17．（10分）（2017春•雨城区校级期中）（1）已知实数x，y均为正数，求证：；（2）解关于x的不等式x2﹣2ax+a2﹣1＜0（a∈R）．【考点】74：一元二次不等式的解法；7F：基本不等式．【分析】（1）化简不等式的左边，利用基本不等式求得最小值即可；（2）原不等式可化为[x﹣（a+1）]•[x﹣（a﹣1）]＜0，求出不等式对应方程的根，再写出不等式的解集．【解答】解：（1）证明：=，…（2分）又因为x＞0，y＞0，所以，由基本不等式得，，…（4分）当且仅当时，取等号，即2y=3x时取等号，所以；…（2）原不等式可化为[x﹣（a+1）]•[x﹣（a﹣1）]＜0，…（7分）令[x﹣（a+1）]•[x﹣（a﹣1）]=0，得x1=a+1，x2=a﹣1，又因为a+1＞a﹣1，…（9分）所以原不等式的解集为（a﹣1，a+1）．…（10分）【点评】本题考查了基本不等式与一元二次不等式的解法和应用问题，是中档题．18．（12分）（2017春•雨城区校级期中）已知数列{a n}中，a1=1，a3=4．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，求a11的值；（Ⅱ）若数列{}是等差数列，求数列{a n}的通项公式．【考点】8F：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的通项公式求得公差d，然后代入通项公式求得a11的值；（Ⅱ）设b n=，则数列{b n}是等差数列，根据等差数列的定义求得b n=，易得数列{a n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d，则a n=a1+（n﹣1）d，由题设，2d=4﹣1=3，所以d=．所以a n=1+（n﹣1）=+，所以a11=16；（Ⅱ）设b n=，则数列{b n}是等差数列，b1=，b3=，b n=﹣（n﹣1）=，即=，所以a n=．【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的通项公式，考查运算与推理的能力，属于中档题．19．（12分）（2017•成都四模）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等边三角形，即可得解．（Ⅱ）法1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面积公式可求PB=3．进而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP=的值．法2：作AD⊥BC，垂足为D，可求：，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求，．利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…（1分）所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°，整理得AP2﹣4AP+4=0，…（2分）解得AP=2．…（3分）所以AC=2．…（4分）所以△APC是等边三角形．…所以∠ACP=60°．…（6分）（Ⅱ）法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．…（7分）因为△APB的面积是，所以．…（8分）所以PB=3．…（9分）在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，所以．…（10分）在△APB中，由正弦定理得，…（11分）所以sin∠BAP==．…（12分）法2：作AD⊥BC，垂足为D，因为△APC是边长为2的等边三角形，所以．…（7分）因为△APB的面积是，所以．…（8分）所以PB=3．…（9分）所以BD=4．在Rt△ADB中，，…（10分）所以，．所以sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…（11分）==．…（12分）【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数的定义，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想，属于中档题．20．（12分）（2016秋•乐山期末）某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x的取值范围；（2）要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知条件列出不等式求解即可．（2）利用二次函数的性质，通过配方求解函数的最值即可．【解答】解：（1）根据题意，有，得5x2﹣14x﹣3≥0，得x≥3或，又1≤x≤10，得3≤x≤10．（2）生产480千克该产品获得的利润为，1≤x≤10，记，1≤x≤10，则当且仅当x=6时取得最大值，则获得的最大利润为（元）故该厂以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为122000元．【点评】本题考查函数的实际应用，二次函数的性质，考查计算能力．21．（12分）（2017春•雨城区校级期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，=．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）由=，可得sin（A﹣C）=sin（C﹣B），A﹣C=C﹣B，或A﹣C=π﹣（C﹣B）（舍去）．即可得出．（2）由c=2，可得cosC==，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵=，∴cosCsinA+cosCsinB=sinCcosA+sinCcosB，cosCsinA﹣sinCcosA=sinCcosB﹣cosCsinB，得sin（A﹣C）=sin（C﹣B），∴A﹣C=C﹣B，或A﹣C=π﹣（C﹣B）（舍去）．∴2C=A+B=π﹣C，解得C=．（2）∵c=2，∴cosC==，∴a2+b2﹣4=ab≥2ab﹣4，∴ab≤4，（当且仅当a=b=2取等号）．=sinC≤=．∴S△ABC则△ABC的面积的最大值为．【点评】本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）（2017春•雨城区校级期中）已知递增数列{a n}，a1=2，其前n项和为S n，且满足．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{b n}满足，求其前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由a1=2，且满足．n=2时，即可得出．（2）由得，，可得，即，化为a n﹣a n=3（n≥2）．再利用等差数列的通项公式即可得出．+1（3）数列{b n}满足，可得，即，再利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）当n=2时，，所以，即，依题意得，a2=5或a2=﹣2（舍去）；…（2分）（2）由得，…（3分）可得，即…（4分）由递增数列{a n}，a1=2，可得a n+1﹣a n=3（n≥2）．又因为a2﹣a1=3…所以数列{a n}是首项为2，公差为3的等差数列，即a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1．…（6分）上式对n=1也成立，故数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣1．…（7分）（3）数列{b n}满足，可得，即，…（8分）前n项和，2T n=2×22+5×23+…+（3n﹣4）•2n+（3n﹣1）•2n+1．…9分两式相减可得，…（10分）=3•2n+1﹣（3n﹣1）•2n+1﹣8，…（11分）化简可得，…（12分）【点评】本题考查了数列递推关系、错位相减法、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2016-2017学年四川省高一下学期期中考试数学试题(解析版)10
高一下学期期中考试数学试题一、选择题1．已知集合{}{|13},2,P x x Q x x =<<=，则P Q ⋂=（ ） A. ()1,3 B. ()2,3 C. ()1,2 D. ()2,+∞ 【答案】B【解析】因为{}{|13},2,P x x Q x x =<<=所以{}()x|2<x<32,3P Q ⋂==，故选B.2．已知1sin cos 5αα+=，则sin2α=（ ） A. 2425- B. 2425 C. 1225- D. 1225【答案】A【解析】1sin cos 5αα+= ，则两边平方得112sin cos 25αα+= ，即24sin225α=- ，故选A.3．已知向量()()1,,2,1a m b ==- ，且a b，则m =（ ）A. 12-B. 12 C. 2 D. 2- 【答案】A【解析】根据题意，向量()()1,,2,1a m b ==- ，若a b，则有()211m ⨯=⨯- ，解可得12m =- ，故选A.4．在数列{}n a 中， 1111,12n na a a +==-，则5a =（ ）A. 2B. 3C. 1-D. 12【答案】C 【解析】()234123*********,1112,1122a a a a a a =-=-=-=-=--==-=-= , 数列{}n a 是周期为3 的周期数列， 521a a ∴==- .故选C. 5．在下列区间中，函数()2ln f x x x=-的零点所在大致区间为（ ） A. ()1,2 B. ()2,3 C. （3,4） D. （,3e ） 【答案】B【解析】对于函数()2ln f x x x=-在()0,+∞ 上是连续函数，由于()()22ln210,3ln303f f =-=-，故()()230f f < ，故函数()2ln f x x x =-的零点所在的大致区间是()2,3 ，故选B.6．下列命题正确的是（ ）A. 若AC BC >，则a b >B. 若a b >， c d >，则ac bd >C. 若a b >，则11a b< D. 若22ac bc >，则a b >【答案】D【解析】因为AC BC >与a b > 没任何关系，所以A 错误；当0,0a b c d >>>> 时， ac bd < ，故B 错误；若0a b >>或0a b >> 则11a b < ，但0a b >> 时， 11a b > ，故C 错误；若22ac bc >，则2222,c a c b c c> ，则a b > ，即D 正确，故选D.7．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ．若2a =， c =cos 2A =，且b c <，则b =（ ）A. B. 2 C. D. 2或4【答案】B 【解析】在ABC∆ 中，由余弦定理得(2222222cos ,22?a b c bc A b b =+-∴=+-，2680,2b b b ∴-+=∴= 或4,,2b b c b =<∴= ，故选B.8．等差数列{}n a 中， 12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项的和20S =（ ）A. 160B. 180C. 20D. 220【答案】B 【解析】12318192024,78a a a a a a ++=-++= ， ()120219318120543a a a a a a a a ∴+++++==+，()1201202020181802a a a a S +∴+=∴== ，故选B.9．将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列关于函数()y f x =的说法正确的是（ ） A. 奇函数 B. 周期是2π C. 关于直线12x π=对称 D. 关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到函数()sin 2sin 2cos2662y f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，可得函数()y f x =是偶函数且周期为π ，所以选项A 、B 错误，又04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选D.10．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,2cos b c A c b A ==，则ABC ∆的形状为（ ）A. 直角三角型B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】因为在ABC ∆ 中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,2cos b c A c b A == ,所以2cos 2cos b c A c b A= ，所以,b c = ，可得1cos ,602A A == ，所以三角形是正三角形，故选C. 【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、特殊角的三角函数以及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 11．已知定义在R 上的函数()112x mf x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（m 为实数）为偶函数，记12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()()2log 5,2b f c f m ==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. b c a <<C. a b c <<D. a c b <<【答案】A【解析】()f x 为偶函数； ()()11;1122x mx mf x f x ---∴-=∴-=- ；()()22;;0,0x m x m x m x m mx m ∴--=---=-∴== ；()()11;2xf x f x ∴=-∴在[)0,+∞ 上单调递减，并且()()()()0.522log 3log 3,log 5,0a f f b f c f ====；220log 3log 5;f c a b ∴ ，故选A.【 方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间， ()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.12．定义在()1,1-上的函数()f x 满足： ()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，当()1,0x ∈-时，有()0f x >，且112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．设*2111,2,5111m f f f n n N n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++≥∈ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则实数m 与1-的大小关系为（ ）A. 1m <-B. 1m =-C. 1m >-D. 不确定 【答案】C【解析】 函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，令0x y == 得()00f = ；令0x = 得()()(),f y f y f x -=-∴ 在()1,1- 为奇函数，单调减函数且在()1,1- 时， ()0f x > ，则在()0,1时， ()0f x < ，又211111111,1121111n n f f f f f n n n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪-+⎝⎭，2111...5111m f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭][][111111=...23341f f f f n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111211f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-->- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1m >- ，故选C. 【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1k=；③()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；④()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.二、填空题13．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足1734a a ⋅=，则4a =__________．【解析】各项均为正数的因为{}n a 是等比数列，所以2174434a a a a ⋅==⇒=，又因为{}n a各项均为正数，所以4a =,故答案为14．若0,022ππαβ<<<<，且13tan ,tan 74αβ==，则αβ+的值为__________．【答案】4π【解析】由13tan ,tan 74αβ== 得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-13257411325174+===-⨯ ，0,0,022ππαβαβπ<<<<∴<+< ，则4παβ+= ，故答案为4π.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m ．【答案】【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填【考点】正弦定理及运用．16．下列说法中，正确的有__________．（写出所有正确说法的序号） ①已知关于x 的不等式220mx mx ++>的角集为R ，则实数m 的取值范围是04m <<．②已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等比数列．③已知函数()()()21log 1,0{433,0a x x f x x a x a x ++≥=+-+<（其中0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()23x f x =-恰有两个不相等的实数解，则1334x ≤≤．④已知0,1a b >>-，且1a b +=，则2221a b a b +++． ⑤在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，()1,0,1,1OB OC OD OB OC OD A ===++=则AD OB ⋅ 的取值范围是1122⎡--+⎢⎣． 【答案】④⑤【解析】对于①，0m = 时关于x 的不等式220mx mx ++>的解集也为R ， 所以①错；对于②当1q =- ， n 为偶数时，结论错误，故②错，对于③，()f x 是R 上的单调递减函数， ()2433y x a x a ∴=+-+ 在(),0-∞ 上单调递减， ()log 11a y x =++ 在()0+∞， 上单调递减，且()f x (),0-∞ 上的最小值大于或等于()34020.{0131af a a -≥∴<<≥ ，解得1334a ≤≤ ，作出()y f x = 和23x y =-的函数如图所示： ()23xf x =- 恰有两个不相等的实数解， 32a ∴< ，即23a < ，综上， 1233a ≤< .故③错；对于④；()()222212241381222644a a b aaa b aaa a a a -++-++=+==≥=+--⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭ ，故④正确；对于⑤，0OB OC OD ++=可得，()22222?OB OC ODOC OD OC OD =+=++，再由1OB OC OD === 可得,OC OD 的夹角为120︒，同理,OB OC 的夹角、,OB OD 的夹角都是120︒，设()cos ,sin D θθ ，则()()()cos 120,sin 120B θθ︒︒-- ,则()()()()()()cos 1,sin 1?cos 120,sin 120cos120120sin 120AD OB cos θθθθθθ︒︒︒︒︒⋅=----=----=，所以AD OB ⋅的取值范围是1122⎡--⎢⎣，故⑤正确，故答案为1122⎡--+⎢⎣. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断综合考查不等式、数列、函数、向量、三角函数以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 中， 579,13a a ==．等比数列{}n b 的通项公式1*2,n n b n N -=∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．【答案】（1）*21,n a n n N =-∈（2）221n n S n =+-【解析】试题分析：（I ）根据579,13a a ==列出关于1a 与d 的方程组，求出1a 与d 的值进而可得数列{}n a 的通项公式；（II ）由（I ）知，()1212n n n a b n -+=-+，利用分组求和法，分别求出等差、等比数列列的和即可得结果.试题解析：（I ）由题知517149{613a a d a a d =+==+=，解得11{2a d ==，所以*21,n a n n N =-∈.（II ）由（I ）知， ()1212n n n a b n -+=-+，所以()()()()0121123252212n n s n -⎡⎤=+++++++-+⎣⎦()()()0112135212222n n -⎡⎤=++++-+++++⎣⎦ ()()112121212nn n ⨯-⎡⎤+-⎣⎦=+-， 从而221n n S n =+-．【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项公式及利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.18．已知向量()()sin ,1,1,cos ,22a b ππθθθ==-<<．（I ）若a b ⊥，求tan θ的值．（II ）求a b +的最大值．【答案】（1）tan 1θ=-（2）max1a b+=【解析】试题分析：（I ）根据已知a b ⊥ ，可得sin cos 0a b θθ⋅=+= ，进而可得结果；（II）()()222sin 11cos a b θθ+=+++ ,()32sin cos 34πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，根据三角函数有界性可得结果.试题解析：（I ）由题a b ⊥ ，所以sin cos 0a b θθ⋅=+=，从而tan 1θ=-.（II ）因()sin 1,1cos a b θθ+=++，所以()()222sin 11cos a b θθ+=+++ ,()32sin cos 34πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为22ππθ-<<，所以3444πππθ-<+<，从而(22max31a b+=+= ，所以max1a b+=19．已知()350,0,cos ,cos 22513ππαβαβα<<<<=+=． （I ）求sin β的值；（II ）求2sin2cos cos2ααα+的值． 【答案】（1）1665（2）12【解析】试题分析：（I ）根据()()()sin sin sin cos cos sin ββααβααβαα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦可得结果；（II ）由30,cos 25παα<<=，得4sin 5α=，进而利用正弦、余弦的二倍角公式可得结果.试题解析：（I ）由题知()412sin ,513sin αβα=+=．所以()()()1235416sin sin sin cos cos sin 13513565ββααβααβαα⎡⎤=+-=+-+=⨯-⨯=⎣⎦．（II ）因为30,cos 25παα<<=，所以4sin 5α=．所以22222432sin22sin cos 5512cos cos22cos sin 34255ααααααα⨯⨯===+-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y （千辆/ h ）与汽车的平均速度()/v km h 之间的函数关系式为2240(0)201600vy v v v =>++． （I ）若要求在该段时间内车流量超过2千辆/ h ，则汽车在平均速度应在什么范围内？（II ）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ 【答案】（I ）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/ h ，则汽车的平均速度应该大于20/km h 且小于20/km h ．（II ）当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为2.4（千辆/ h ）． 【解析】试题分析：（I ）直接列出关于汽车的平均速度()/v km h 的不等式求解即可；（II ）2240240160020160020v y v v v v==++++，根据基本不等式求解即可. 试题解析：（I ）由条件得22402201600vv v >++， 整理得到210016000v v -+<，即()()20800v v --<，解得2080v <<． （II ）由题知，22402402402.4160020160010020v y v v v v==≤==++++. 当且仅当1600v v=即40v =时等号成成立． 所以max 2.4y =（千辆/ h ）．答：（I ）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/ h ，则汽车的平均速度应该大于20/km h 且小于20/km h ．（II ）当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为2.4（千辆/ h ）．21．设()2sin cos cos ,4f x x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭．（I ）求()f x 的单调递增区间；（II ）在锐角ABC ∆中， A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）24+【解析】试题分析：（I ）函数()f x 可化为1sin22x -，根据正弦函数的单调性求解即可；（II ）由1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭可得cos 2A =，再由余弦定理可得221b c =+，根据基本不等式可求得bc 的最大值，结果进而可得. 试题解析：（I）由题意知()1cos 2sin2sin21sin212sin222222x x x x f x x π⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=-=-=-. 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（II ）由1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得到1sin 2A =，由题知A为锐角，所以cos A =． 由余弦定理： 2222cos a b c bc A =+-，可得221b c =+.2212b c bc =+≥，则2bc ≤b c =时等号成立．因此1sin 2S bc A ∆=≤，所以ABC ∆． 22．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，点(),n n a S 都在函数()21122f x x x =+的图像上． （I ）求数列{}n a 的首项1a 和通项公式n a ；（II ）若数列{}n b 满足()()*22log log 21n n b n a n N =+-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（III ）已知数列{}n c 满足()*14616n n n n n c n N T a a +-=-∈-．若对任意*n N ∈，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()12n c c c f x a ++⋯+≤-成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）n a n =（2）()16232n n T n +=+-⨯（3）1980a ≤【解析】试题分析：（I ）由点(),n n a S 都在函数()21122f x x x =+的图像上，可得21122n n n S a a =+，进而得21111122n n n S a a +++=+，两式相减可得结论.；（II ）由（I ）知n a n =，所以()*212,n n b n n N =-⋅∈，利用错位相减法可得结果；（III ）()146111621n n n n n n c T a a n n +-=-=--+，利用分组求和及裂项相消法可得1112n n M n =-+，进而利用不等式恒成立解答即可. 试题解析：（I ）由题知，当1n =时， 21111122S a a =+，所以11a =．21122n n n S a a =+，所以21111122n n n S a a +++=+，两式相减得到 ()()1110n n n n a a a a +++--=，因为正项数列{}n a ，所以11n n a a +-=，数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =． （II ）由（I ）知n a n =，所以()*212,n n b n n N =-⋅∈， 因此()121232212n n T n =⨯+⨯++-⨯ ①，()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ②，由①-②得到()232112222222212n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()2112122221212n n n -+-=+⨯--⨯-()16322n n +=-+-⨯ 所以()16232n n T n +=+-⨯．（III ）由（II ）知()16232n n T n +=+-⨯，所以()146111621n n n n n n c T a a n n +-=-=--+11121nn n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭．令n M 为{}n c 的前n 项和，易得1112n n M n =-+． 因为12340,0,0,0c c c c =>>>，当5n ≥时，()()11112n nn n c n n ⎡⎤+=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>，得到()()51515122nn n +⨯+≤<，所以当5n ≥时，0n c <，所以441111412516n M M ≤=-=-+． 又11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ()21122f x a x x a -=+-的最大值为38a -．因为对任意的*n N ∈，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()n M f x a ≤-成立．所以1135168a -≤-，由此1980a ≤．【易错点晴】本题主要考查分组求和、裂项求和、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.。
2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.如图，正六边形ABCDEF 中，CD BA EF ++=（ ）A ．0B ．BEC ．ADD ．CF2.已知数列{n a }满足：11a =，2210,1n n n a a a +>-= ()*n N ∈，那么使n a ＜3成立的n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．93.在数列1,1,2,3,5,8,,21,34,55,...x 中,x =（ ）A.11B.12C. 13D.144.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 边上的中点，则DE DC ⋅的值为( )A. 1B. 2C.4D.65.在△ABC 中，2cos 22B a cc+=，（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△ABC 的形状为（ ） A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形6.在等差数列{}n a 中，11a =，n S 为其前n 项和．若191761917S S -=，则10S 的值等于（ ） A .246B. 258C. 280D. 2707.数列{}n a 的通项公式为*,2cos N n n a n ∈=π,其前n 项和为n S ，则=2017S ( ) A.B.C.D.8.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，△ABC C 的大小为（ ） A.3π B.23π C.6π D.56π9.数列{}n a 满足122,1,a a ==且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+⋅⋅=≥--,则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．10012 B ．5012 C ．1100 D ．15010.在ABC ∆中，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列 BC ．222,,a b c 依次成等差数列D ．222,,a b c 依次成等比数列 11.已知等差数列{a n }的前n 项和为，满足，，则当取得最小值时的值为（ ）A.7B.8C.9D.1012.已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-，其前n 项和为n S ，将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使对任意*n N ∈，总有λ+<m n T S 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．2λ≥ B ．3λ> C ．3λ≥D ．2λ>二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分．)13.已知2=a,1=b ， 1=⋅b a ，则向量a 在b 方向上的投影是_____14.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角的大小是 15.已知命题：“在等差数列{}n a 中，若210()4+24,a a a +=则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为 . 16.已知数列{}n a 中，11511,2n n a a a +==- .设12n n b a =-则数列{}n b 的通项公式为__.三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分10分）已知不等式220ax x c ++>的解集为11{|}32x x -<<．(1)求a 、c 的值；(2)解不等式220cx x a -+<．18.（本小题满分12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，且534,,a a a 成等差数列.(1)求数列{}n a 的公比；(2)若453423a a a a a a +<<+，求1a 的取值范围.19.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(b ，a －2c )，n ＝(cosA －2cos C ，cosB )，且向量m ⊥n .(1)求sin C sin A的值；(2)若a ＝2，|m |＝35，求△ABC 的面积S .20.（本小题满分12分）如图，△ABC 中，3B π=，2BC =，点D 在边AB 上，AD DC =, DE AC ⊥，E 为垂足．(1)若△BCD，求CD 的长； (2)若DE =，求角A 的大小.21.（本小题满分12分）在数1与100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T n ，再令a n =lgT n ，n≥1．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记，求数列{b n }的前n 项和S n ．EDCA22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)nn n n a a n a +-=-（2,3,4,n = ）．(1)求3a 、4a 的值； (2)设111n n b a +=-(*N n ∈),试用n b 表示1n b +并求{}n b 的通项公式；(3)设1sin 3cos cos n n n c b b +=(*N n ∈),求数列{}n c 的前n 项和n S ；2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题答案DCCBB CDADC CD 13._1 14.π3215.18 16. 112433n n b -=-⨯-17. 解：（Ⅰ）由220ax x c ++>的解集为11{|}32x x -<<知0a <且方程220ax x c ++=的两根为1211,32x x =-=.由根与系数的关系得112321132ac a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，由此得12,2a c =-=.（Ⅱ）不等式220cx x a -+<可化为260x x --<，解得23x -<<. 所以不等式的解集为{|23}x x -<<.18.解：（1）设数列{}n a 的公比为q (0,1q q ≠≠)， 由534,,a a a 成等差数列,得3542a a a =+,即2431112a q a q a q =+.由10,0a q ≠≠得220q q +-=,解得122,1q q =-=(舍去). ∴2q =-. （2）211114534232118322416q a a a a a a a a a a =-⎧⇒<-<⇒-<<-⎨+<<+⎩19.解 (1)法一 由m ⊥n 得，b (cos A －2cos C )＋(a －2c )cos B ＝0.根据正弦定理得，sin B cos A －2sin B cos C ＋sin A cos B －2sin C cos B ＝0. 因此(sin B cos A ＋sin A cos B )－2(sin B cos C ＋sin C cos B )＝0， 即sin(A ＋B )－2sin(B ＋C )＝0.因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C －2sin A ＝0. 即sin Csin A＝2. 法二 由m ⊥n 得，b (cos A －2cos C )＋(a －2c )cos B ＝0. 根据余弦定理得，b ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋c 2－b 22ac －2b ×a 2＋b 2－c 22ab －2c ×a 2＋c 2－b 22ac＝0.即c －2a ＝0. 所以sin C sin A ＝c a＝2.(2)因为a ＝2，由(1)知，c ＝2a ＝4.因为|m |＝35，即b 2＋ a －2c 2＝35，解得b ＝3. 所以cos A ＝32＋42－222×3×4＝78.因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝158. 因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×4×158＝3415.20.解（Ⅰ）连接CD ，由题意得BCD S ∆=1sin 2BC BD B ⋅⋅=，又2BC=，sin 2B =得23BD =．由余弦定理得CD ===，所以，边CD 的长为3．（Ⅱ）方法1：因为sin DE CD AD A ===． 由正弦定理知：sin sin BC CDBDC B=∠，且2BDC A ∠=，得2sin 2A =，解得cos A =，4A π=．所以角A 的大小为4π．方法2：由正弦定理得22sin sin AEA B=，得sin sin AE A B ⋅==．又sin tan cos DE AA AE A==，则sin cos AE A DE A ⋅=⋅A ==，得cos A =，4A π=．所以角A 的大小为4π．21.解：（I ）∵在数1和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列， ∴设这个等比数列为{c n }，则c 1=1，，又∵这n+2个数的乘积计作T n ， ∴T n =q•q 2•q 3×…×q n+1=q 1+2+3+…+n•q n+1=×100=100×100=10n+2，又∵a n =lgT n ，∴a n =lg10n+2=n+2，n ∈N *． （II ）∵a n =n+2， ∴=，∴S n =+++…++，①=，②①﹣②，得：==1+﹣=2﹣﹣，∴S n =4﹣22.已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)n n nn a a n a +-=-（2,3,4,n = ）．（1）求3a 、4a 的值； （2）设111n n b a +=-(*N n ∈),试用n b 表示1n b +并求{}n b 的通项公式；（3）设1sin3cos cos n n n c b b +=(*N n ∈),求数列{}n c 的前n 项和n S ；（1）317a =，4110a =．（2）当2n ≥时，1(1)1111(1)(1)(1)1n n n n n n n a n a n a n a n a n a +---=-==----， ∴当2n ≥时，11n n nb b n -=-故11,n n n b b n N n*++=∈ 累乘得1n b nb =又13b = ∴3n b n = n N ∈． （3）∵1sin 3cos cos n n n c b b +=∙sin(333)tan(33)tan 3cos(33)cos3n n n n n n+-==+-+∙，∴12n n S c c c =+++L (tan 6tan3)(tan9tan 6)(tan(33)tan3)n n =-+-+++-Ltan(33)tan3n =+-。
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高一下学期期中考试(理科)数学试题(解析版)
2 ，则数列 {a n } 的前 100 项和 S100 =（ n(n 1)
B．
）
A．
100 101
200 101
C．
99 100
D．
198 100
【答案】B 【解析】 试题分析： a n
2 1 1 1 1 1 2 S100 2 1 n(n 1) n n 1 2 2 3
3b ，则角 A 等于(
)
3
B．
4
C．
6
D．
12
【答案】A 【解析】 试题分析： 2a sin B 3b 2sin A sin B 3 sin B sin A 考点：正弦定理解三角形 3.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，若 a3 a7 A. 52 【答案】A 【解析】 试题分析：若 a3 a7 B. 54
2 2
sin A 1 A 90 ，三角形为直角三角形
考点：三角函数基本公式 6.若向量 a ＝(1,1)， b ＝(2,5)， c ＝(3，x)，满足条件( 8 a － b )· c ＝30，则 x 等于( A． 6 【答案】C 【解析】 试题分析： 8a b 8,8 2,5 6,3 , c 3, x 18 3 x 30 x 4 考点：向量的坐标运算 7.已知 A， B， C 是锐角△ABC 的三个内角， 向量 p ＝(sin A， 1)，q ＝(1， －cos B)， 则 p 与 q 的夹角是( A．锐角 【答案】A 【解析】 试题分析： ：∵A、B、C 是锐角△ABC 的三个内角，∴A+B＞ ∴sinA＞sin（ B．钝角 C．直角 D．不确定
四川省高一下学期期中数学试卷(理科)
四川省高一下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·南汇期末) 函数y=sin2x+cos2x（x∈R）的最小正周期是（）A .B . πC . 2πD . 4π2. （2分） (2019高一上·南充月考) 设角的终边经过点，那么（）A .B .C .D .3. （2分）在中,内角A,B,C的对边分别是，若，，则（）A .B .C .D .4. （2分）有一长为10m的斜坡，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为，则坡地要延长（）A . 5mB . 10mC .D .5. （2分）(2017·乌鲁木齐模拟) 已知向量满足| |=2，| |=1，且（）⊥（2 ﹣），则的夹角为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·平原期末) 等比数列中，，则（）A . 8B .C . 8或D . 167. （2分） (2016高一下·龙岩期中) 若cos（﹣α）= ，则cos（+α）的值是（）A .B . ﹣C .D . ﹣8. （2分）(2017·孝义模拟) 已知等差数列{an}，S3=6，a9+a11+a13=60，则S13的值为（）A . 66B . 42C . 169D . 1569. （2分）要得到函数y=2cosx•sin（x+）﹣的图象，只需将y=sinx的图象（）A . 先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）B . 先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的2倍（纵坐标不变）C . 先将所有点的横坐标缩短为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D . 先将所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度10. （2分） (2019高二下·舟山期末) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a5+a7+a9＝21，则S13＝（）A . 36B . 72C . 91D . 18211. （2分） (2018高一下·应县期末) 将曲线向左平移个单位后，得曲线，则函数的单调增区间为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·黄陵开学考) 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A . 关于点对称B . 关于x= 对称C . 关于点（，0）对称D . 关于x= 对称二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2017·石嘴山模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，M为AB边上一点，=λ （λ∈R）且 = + ．又已知| |= ，a2+b2=2 ab，则角C=________．14. （1分） (2019高一下·上海期末) 已知函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则 ________.15. （1分） (2020高一下·杭州期中) 中国古代数学名著《算法统宗》中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，依次每人分到的比前一人多17斤，那么第八个儿子分到的绵是________斤.16. （1分）(2018高三上·西安期中) 在△ABC中,M为边BC的中点,N为线段BM的中点.若,则的最小值为________。
2016年四川省雅安市雅安中学高一下学期数学期中考试试卷
2016年四川省雅安市雅安中学高一下学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 若向量，，，则实数的值为A. B. C. D.2. 等差数列的前项和为，且，，则公差等于A. B. C. D.3. 若，则下面四个命题中，正确的命题是A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，，则4. 在中，若边长和内角满足，，则角的值是A. B. 或 C. D. 或5. 已知等差数列的首项，公差，则的第一个正数项是A. B. C. D.6. 若不等式和均不成立，则A. 或B.C. D.7. 已知是等差数列，，，则数列的前项和为A. B. C. D.8. 设的内角，，所对的边分别是，，，且．则角的大小为A. B. C. D.9. 某小朋友按如下规则练习数数，大拇指，食指，中指，无名指，小指，无名指，中指，食指，大拇指，食指，，一直数到时，对应的指头是A. 小指B. 中指C. 食指D. 大拇指10. 在中，已知，且，则向量在向量上的投影是A. B. C. D.11. 如图，的边长为，，分别是，中点，记，，则A. ，B. ，C. ，D. ，但，的值不确定12. 记项正项数列为，，，，其前项积为，定义为“相对叠乘积”，如果有项的正项数列，，，的“相对叠乘积”为，则有项的数列，，，，的“相对叠乘积”为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 在中，，，，的面积是．14. 如图，山顶上有一座铁塔，在地面上一点处测得塔顶处的仰角，在山顶处测得点的俯角，已知塔高为，则山高等于．15. 在等差数列中，其前项和为，若，，则．16. 已知，，，点在内，且，设，则等于．三、解答题（共6小题；共78分）17. 设，．（1）若、的夹角为，求、；（2）若、，，证明：与互相垂直．18. 已知的周长为，且（1）求边的长（2）若的面积为，求角的度数19. 不等式．（1）若不等式的解集为或，求的值；（2）若不等式的解集为，求的取值范围．20. 设为等差数列，是等差数列的前项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）为数列的前项和，求．21. 已知向量，，，且，，分别为的三边，，所对的角．（1）求角的大小；（2）若，，成等差数列，且，求边的长．22. 已知等差数列的首项，且公差，它的第项，第项，第项分别是等比数列的第，，项．（1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意正整数均有成立，求的值．答案第一部分1. D2. C3. B4. C5. B6. D 【解析】由．7. A 8. B 9. C 10. D11. A 12. D第二部分13.14.15.16.【解析】法一：如图所示，，设，则．，．法二：如图所示，建立直角坐标系．则，．．第三部分17. （1）问题可直接利用计算，．所以所以．（2）因为即，所以，，即，所以与互相垂直．18. （1）由题意及正弦定理，得，，两式相减，得（2）由的面积为，得，由余弦定理，得所以19. （1）因为不等式的解为或，所以，是方程的两根且．所以所以．（2）因为不等式的解集为，所以即或所以．20. （1）因为，，所以又解方程，得，，所以数列的通项公式；（2）因为，所以，即数列为首项为公差是等差数列，所以前项的和为．21. （1），对于，，，所以，所以．又因为，所以，，．（2）由，，成等差数列，得即．因为，所以，即，．由余弦定理，所以，，所以．22. （1），．（2），所以，令，则数列的前项和为，得所以．。
四川省雅安中学高一数学下学期期中考试【会员独享】
雅安中学—高第二学期期中试题数 学 试 题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至4页。
满分150分，考试时间1。
考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将你认为正确的答案填涂在机读卡上，在试卷上作答无效） 1 ．计算212sin 22.5︒-的结果等于（ ）A.12B.2C.3D.22．sin15cos75cos15sin105+等于（ ）Ａ. 0Ｂ.12Ｃ.2Ｄ. 13 ．在等比数列{}n a 中，243,6,a a =-=-则8a 的值为（ ） A ．－24 B ．24 C ．24± D ．－12 4 ．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且2()()a c a c b bc +-=+,则角A 等于（ ）A.150︒B.120︒C. 60︒D. 30︒ 5 ．在等差数列{}n a 中，已知521,a =则456a a a ++等于（ ） A ．15 B ．33 C ．51 D ．63 6 ．若αtan ，βtan 是方程0762=+-x x 的两个根，则=+βα（ ） A ．π43 B ．4π C ．()Ζ∈+k k ππ432 D ．()Ζ∈-k k 4ππ 7 ．已知等差数列{}n a 中，前15项之和为9015=S ，则8a 等于（ ）A ．445 B ．6 C ．12 D ．245 8 ．函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是（ ） A ．4πB ． 2π C ．π2 D ．π9 ．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项 10．已知sin α=55，则sin 4α-cos 4α的值为（ ） A ．-51B ．-53C ．51D ．5311．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n -12．已知函数()y f x =的定义域为R,当0x <时,()1f x >,且对任意的实数,x y ∈R,等式()()()f x f y f x y =+成立.若数列{}n a 满足1(0)a f =,且11()(2)n n f a f a +=--(n ∈N*),则2009a 的值为（ ）A. 4016B.4017C.4018D.4019第Ⅱ卷（选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，直接把答案填在横线上）13．已知216tan =⎪⎭⎫⎝⎛+πα,3167tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ,则()=+βαtan _____________ 14．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若191720,a S S ==,则当___=n 时,n S 取最大值. 15．∆ABC 中,已知tansin 2A BC +=,则∆ABC 的形状为 .16．在等差数列{}n a 中,n S 是其前n 项的和,且12a =,20102008220102008S S -= ,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和是__________.三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，直接给出结果概不给分）17、(12分)设函数()2sin cos cos(2)6f x x x x π=--.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)当2[0, ]3x π∈时,求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值.18、(12分)设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，17,184==S S ，求数列}{n a 的通项公式.19、(12分)已知α为锐角,且tan()24πα+=.(Ⅰ)求tan α的值； (Ⅱ)求sin 2cos sin cos 2αααα-的值.12分)在社会实践中,小明观察一棵桃树。
四川省雅安市高一下学期期中数学试卷
四川省雅安市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 已知集合M={x|x＜1}，N={x|x（x﹣1）＜0}，则M∪N=（）A . ∅B . {x|0＜x＜1}C . {x|x＜0}D . {x|x＜1}2. （2分） (2017高一下·邢台期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA= ，B=，b=1，则a等于（）A .B . 1C .D . 23. （2分） (2018高二上·济宁月考) 已知数列中， =2，＝1，若为等差数列，则等于（）.A . 1B .C .D . 24. （2分） (2018高三上·杭州月考) 已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一上·万州期中) 设a=50.3 ， b=0.35 ， c=log50.3+log52，则a，b，c的大小关系是（）A . b＜c＜aB . a＜b＜cC . c＜a＜bD . c＜b＜a6. （2分）在三角形ABC中，若（a+b+c）（b+c－a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，则三角形ABC是（）A . 等腰三角形，B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形7. （2分）在等比数列{an}中，an+1＜an ，a2•a8=6，a4+a6=5，则 =（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二下·铜陵期中) 已知△ABC的三边长为a，b，c，则下列命题中真命题是（）A . “a2+b2＞c2”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件B . “a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的必要不充分条件C . “a3+b3=c3”是“△ABC为锐角三角形”的既不充分也不必要条件D . “ + = ”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件9. （2分） (2016高一下·临川期中) 一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A . 63B . 108C . 75D . 8310. （2分） (2018高二下·双流期末) 为双曲线：上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，，则的值为（）A . 6B . 9C . 18D . 3611. （2分） (2016高一下·海南期中) 已知等比数列{an}满足anan+1=4n ，则其公比为（）A . ±4B . 4C . ±2D . 212. （2分） (2018高二下·惠东月考) 若方程在上有解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D . ∪二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）设集合A={x|2x2+7x﹣15＜0}，B={x|x2+ax+b≤0}，满足A∩B=∅，A∪B={x|﹣5＜x≤2}，求实数a=________．14. （1分）(2017·新乡模拟) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC= ，且acosB+bcosA=2，则△ABC面积的最大值为________．15. （2分）设二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），f（1）=0，且1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立，f（x）是区间[2，+∞）上的增函数．函数f（x）的解析式是________ ；若|f（m）|=|f（n）|，且m＜n＜2，u=m+n，u 的取值范围是________16. （1分） (2018高二上·山西月考) 设是公比不为1的等比数列，其前项和为，若成等差数列，则 ________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高二上·郑州期中) 在中，内角，，的对边分别是，，，且 .（1）求角的大小；（2）若，与在两侧，，求面积的最大值.18. （10分） (2016高一下·台州期末) 若正项数列{an}满足： =an+1﹣an（a∈N*），则称此数列为“比差等数列”．（1）请写出一个“比差等数列”的前3项的值；（2）设数列{an}是一个“比差等数列”（i）求证：a2≥4；（ii）记数列{an}的前n项和为Sn，求证：对于任意n∈N*，都有Sn＞．19. （10分） (2019高三上·上海月考) 某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y（单位：度）与时间t （单位：小时，）近似地满足函数关系，其中，b为大棚内一天中保温时段的通风量。
四川省雅安市荥经中学2016-2017学年高一(下)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年四川省雅安市荥经中学高一（下）期中数学试卷一．选择题（每小题5分，共60分）1．若向量，，则向量的坐标是（）A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，1）2．已知平面向量，，且，则m等于（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣33．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．1 B．C．﹣ D．4．已知{a n}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（）A．4 B．5 C．6 D．75．若=（6，m），=（﹣1，3），且，则m=（）A．.2 B．.﹣2 C．.3 D．66．若a，b，c成等比数列，则方程ax2+bx+c=0（）A．有两个不等实根 B．有两相等的实根C．无实数根D．无法确定7．在等比数列{a n}中，a1=﹣16，a4=则q=（）A．q=B．q=﹣C．q=4 D．q=﹣48．一个三角形的三个内角A、B、C成等差数列，那么tan（A+C）的值是（）A．B．C．D．不确定9．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A=（）A．60°B．45°C．120° D．30°10．已知△ABC中，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°11．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n与T n，对一切自然数n，都有=，则等于（）A．B．C．D．12．已知等比数列{a n}的首项为8，S n是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A．S1B．S2C．S3D．S4二．填空题（每小题5分，共20分）13．若向量、满足||=，||=1，=﹣1，则向量、的夹角的大小为．14．在△ABC中，a=3，b=2，cosC=，则S△ABC=．15．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+3n+1，则通项a n=．16．以下几个结论中：①在△ABC中，有等式②在边长为1的正△ABC中一定有=③若向量=（﹣3，2），=（0，﹣1），则向量在向量方向上的投影是﹣2④与向量=（﹣3，4）同方向的单位向量是=（﹣，）⑤若a=40，b=20，B=25°，则满足条件的△ABC仅有一个；其中正确结论的序号为．三．解答题17．已知向量=（3，﹣1），=（2，1）求：（1）||（2）求x的值使x+3与3﹣2为平行向量．18．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求S n．19．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．20．已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．21．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．22．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n log a n，S n=b1+b2+b3+…+b n，对任意正整数n，S n+（n+m）a n+1＜0恒成立，试求m的取值范围．2016-2017学年四川省雅安市荥经中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分，共60分）1．若向量，，则向量的坐标是（）A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，1）【考点】98：向量的加法及其几何意义．【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可．【解答】解：向量，，则向量=（3，1）．向量的坐标是（3，1）．故选：D．2．已知平面向量，，且，则m等于（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用平面向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵平面向量，，且，∴，解得m=﹣4．故选：C．3．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．1 B．C．﹣ D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积公式计算．【解答】解：||=||=1，=1×1×cos60°=．故选D．4．已知{a n}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】83：等差数列．【分析】将a2+a8用a1和d表示，再将a5用a1和d表示，从中寻找关系解决，或结合已知，根据等差数列的性质a2+a8=2a5求解．【解答】解：解法1：∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=12；∴a1+4d=6；∴a5=a1+4d=6．解法2：∵a2+a8=2a5，a2+a8=12，∴2a5=12，∴a5=6，故选C．5．若=（6，m），=（﹣1，3），且，则m=（）A．.2 B．.﹣2 C．.3 D．6【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，∴=﹣6+3m=0，则m=2．故选：A．6．若a，b，c成等比数列，则方程ax2+bx+c=0（）A．有两个不等实根 B．有两相等的实根C．无实数根D．无法确定【考点】88：等比数列的通项公式；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】先根据a，b，c成等比数列知b2=ac，推断出ac＞0，再根据△与0的关系判断方程有无实根．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac∴ac＞0∴△=b2﹣4ac=﹣3ac＜0故方程ax2+bx+c=0无实根．故选：C．7．在等比数列{a n}中，a1=﹣16，a4=则q=（）A．q= B．q=﹣C．q=4 D．q=﹣4【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：由等比数列的通项公式可得：=﹣16×q3，解得q=﹣．故选：B．8．一个三角形的三个内角A、B、C成等差数列，那么tan（A+C）的值是（）A．B． C．D．不确定【考点】8F：等差数列的性质；GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意可知2B=A+C，结合三角形的内角和可得B=，进而由诱导公式可得tan（A+C）=﹣tanB，可得答案．【解答】解：因为三角形的三个内角A、B、C成等差数列，所以2B=A+C，又由内角和知A+B+C=π，可得B=，所以tan（A+C）=tan（π﹣B）=﹣tan=﹣故选B9．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A=（）A．60°B．45°C．120° D．30°【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式变形后代入，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵a2=b2+c2+bc，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴由余弦定理得：cosA===﹣，又A为三角形的内角，则A=120°．故选C10．已知△ABC中，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【考点】HP：正弦定理．【分析】解法一：由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B不可能为钝角或直角，得到B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；解法二：由a=b，利用等边对等角，得到A=B，由A的度数求出B的度数即可．【解答】解：法一：∵a=4，b=4，∠A=30°，∴根据正弦定理=得：sinB==，又B为锐角，则∠B=30°；法二：∵a=b=4，∠A=30°，∴∠A=∠B=30°．故选A11．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n与T n，对一切自然数n，都有=，则等于（）A．B．C．D．【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式分别表示出等差数列{a n}和{b n}的前n项的和分别为S n和T n，利用等差数列的性质化简后，得到a5=S9，b5=T9，然后将n=9代入已知的等式中求出的值，即为所求式子的值．【解答】解：∵S9==9a5，T n==9b5，∴a5=S9，b5=T9，又当n=9时，==，则===．故选B12．已知等比数列{a n}的首项为8，S n是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A．S1B．S2C．S3D．S4【考点】8G：等比数列的性质．【分析】假设后三个数均未算错，根据题意可得a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一个数算错了．再假设S2算错了，根据题意得到S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．进而得到答案．【解答】解：根据题意可得显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一个数算错了．若S2算错了，则a4=29=a1q3，，显然S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．所以只可能是S3算错了，此时由a2=12得，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设．故选C．二．填空题（每小题5分，共20分）13．若向量、满足||=，||=1，=﹣1，则向量、的夹角的大小为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积公式列方程计算．【解答】解：设向量、的夹角为θ，则=﹣1，∴cosθ=﹣，∴θ=．故答案为：．14．在△ABC中，a=3，b=2，cosC=，则S△ABC=4．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；%H：三角形的面积公式．【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出sinC的值，进而由三角形的面积公式得出答案．【解答】解：∵cosC=，C∈（0，π）∴sinC===absinC=×=4∴S△ABC故答案为：415．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+3n+1，则通项a n=．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】直接利用公式可求出数列{a n}的通项a n．【解答】解：a1=S1=1+3+1=5，=（n2+3n+1）﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）1]=2n+2，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，2n+2=4≠a1，∴．故答案为：．16．以下几个结论中：①在△ABC中，有等式②在边长为1的正△ABC中一定有=③若向量=（﹣3，2），=（0，﹣1），则向量在向量方向上的投影是﹣2④与向量=（﹣3，4）同方向的单位向量是=（﹣，）⑤若a=40，b=20，B=25°，则满足条件的△ABC仅有一个；其中正确结论的序号为①③．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①，通过正弦定理与合分比定理即可判断它的正误．②，在边长为1的正△ABC中一定有=﹣，③，若向量=（﹣3，2），=（0，﹣1），则向量在向量方向上的投影是=﹣2，④，向量=（﹣，）不是单位向量，⑤，④若a=40，b=20，B=25°，则40sin25°＜40sin30°=20，可得满足条件的△ABC 有两个，【解答】解：对于①，在△ABC中，由正弦定理以及合分比定理可知等式正确；对于②，在边长为1的正△ABC中一定有=﹣，故错对于③，若向量=（﹣3，2），=（0，﹣1），则向量在向量方向上的投影是=﹣2，故正确对于④，向量=（﹣，）不是单位向量，故错对于⑤，④若a=40，b=20，B=25°，则40sin25°＜40sin30°=20，可得满足条件的△ABC有两个，即可判断出正误；故答案为：①③三．解答题17．已知向量=（3，﹣1），=（2，1）求：（1）||（2）求x的值使x+3与3﹣2为平行向量．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据题意，由、的坐标可得向量+的坐标，由向量模的公式计算可得答案；（2）由、的坐标可得向量x+3与3﹣2的坐标，再结合向量平行的坐标表示公式可得（3x+6）×（﹣5）=（3﹣x）×5，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，向量=（3，﹣1），=（2，1）则+=（5，0），|+|==5，（2）向量=（3，﹣1），=（2，1）则x+3=（3x+6，3﹣x），3﹣2=（5，﹣5），若x+3与3﹣2为平行向量，则有（3x+6）×（﹣5）=（3﹣x）×5，解可得x=﹣，即当x=﹣时，向量x+3与3﹣2为平行向量．18．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求S n．【考点】8F：等差数列的性质；89：等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）由题意知a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2），由此可知2q2+q=0，从而．（Ⅱ）由已知可得，故a1=4，从而．【解答】解：（Ⅰ）依题意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）由于a1≠0，故2q2+q=0又q≠0，从而（Ⅱ）由已知可得故a1=4从而19．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，=bcsinA=．则S△ABC20．已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（I）运用平面向量的数量积得出=1×（﹣3）+1×3=0，求解即可．（II）．，坐标得出点C的坐标为（0，5）．再运用数量积求解得出cosθ==＞0．【解答】解（Ⅰ）证明：A（2，1），B（3，2），D（﹣1，4）．∴=（1，1），=（﹣3，3）．又∵=1×（﹣3）+1×3=0，∴．（Ⅱ）∵，若四边形ABCD为矩形，则．设C点的坐标为（x，y），则有（1，1）=（x+1，y﹣4），∴即∴点C的坐标为（0，5）．由于=（﹣2，4），=（﹣4，2），∴=（﹣2）×（﹣4）+4×2=16，=2．设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ==＞0．故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为．21．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，利用三角形面积计算公式=，即ab=4．联立解出即可．（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可．【解答】解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣ab，∵=，化为ab=4．联立，解得a=2，b=2．（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，2sinBcosA=4sinAcosA，当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立，解得，b=，∴b2=a2+c2，∴，又，∴．综上可得：A=或．22．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n log a n，S n=b1+b2+b3+…+b n，对任意正整数n，S n+（n+m）a n+1＜0恒成立，试求m的取值范围．【考点】8G：等比数列的性质；8B：数列的应用；8H：数列递推式．【分析】（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，根据2（a3+2）=a2+a4，可求得a3．进而求得a2+a4=20．两式联立方程即可求得a1和q的值，最后根据等比数列的通项公式求得a n．（2）把（1）中的a n代入b n，再利用错位相减法求得S n，再由S n+（n+m）a n+1＜0恒成立进而求得m的范围．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．依题意，有2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，得a3=8．∴a2+a4=20．∴解之得，或又{a n}单调递增，∴q=2，a1=2，∴a n=2n，（2）b n=2n•log2n=﹣n•2n，∴﹣S n=1×2+2×22+3×23++n×2n①﹣2S n=1×22+2×23++（n﹣1）2n+n•2n+1②①﹣②得，S n=2+22+23++2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1＜0，由S n+（n+m）a n+1即2n+1﹣2﹣n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，∴m•2n+1＜2﹣2n+1．对任意正整数n，m＜﹣1恒成立．∵﹣1＞﹣1，∴m≤﹣1．即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．2017年5月27日。
四川省雅安市高一下学期期中数学试卷
四川省雅安市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·大庆期中) 已知向量 =（4，2）， =（x，3），且∥ ，则x等于（）A . 9B . 6C . 5D . 33. （2分）(2019·河北模拟) 已知向量在向量方向上的投影为，且，则（）A .B .C .D .4. （2分）定义运算，函数图像的顶点是，且k,m,n,r成等差数列，则k+r= （）A . 0B . －14C . －9D . －35. （2分） (2017高一下·沈阳期末) 关于向量下列说法错误的是（）A . 如果，则B . 如果，则C . ，当且仅当与共线时取等D . ，当且仅当与共线时取等6. （2分） (2016高二下·洛阳期末) 已知函数f（x）=x3﹣ ax2 ，且关于x的方程f（x）+a=0有三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣）∪（0，）B . （﹣，0）∪（，+∞）C . （﹣，）D . （﹣∞，﹣）∪（，+∞）7. （2分）根据下列通项能判断数列为等比数列的是（）A . an=nB . an=C . an=2﹣nD . an=log2n8. （2分） (2016高一下·益阳期中) 若，则cos4x﹣sin4x的值为（）A . 0B .C .D .9. （2分） (2017高三上·河北月考) 已知三角形，，，，点为三角形的内心，记，，，则（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·赣州模拟) 在△ABC中，D、E是BC边上两点，BD、BA、BC构成以2为公比的等比数列，BD=6，∠AEB=2∠BAD，AE=9，则三角形ADE的面积为（）A . 31.2B . 32.4C . 33.6D . 34.811. （2分）如果等差数列中，，那么（）A . 14B . 21C . 28D . 3512. （2分）公差不为0的等差数列{an}的第2，3，7项恰为等比数列{bn}的连续三项，则{bn}的公比为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2012·浙江理) 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则• =________．14. （1分） (2016高一下·重庆期中) 已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 km，则A，B两船的距离为________ km．15. （1分） (2019高二下·上海月考) 双曲线的左、右焦点分别为、，点（）在双曲线右支上，且满足，，则的值为________16. （1分） (2016高一下·南充期末) 下列命题：①已知a，b，m都是正数，并且a＜b，则＞；②在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A=60°，a=7，b=8，则三角形有一解；③若函数f（x）= ，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=5；④在等比数列{an}中，a1+a2+…+an= （其中n∈N* ， q为公比）；⑤如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是90°．其中真命题有________（写出所有真命题的序号）．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）已知向量 =（2，0）， =（1，4）（1）求2 +3 ，﹣2（2）若向量k + 与 +2 平行，求k的值．18. （10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， a8=2，S8=﹣68．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．19. （10分） (2016高二上·芒市期中) 在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、，若C=45°，b=4 ，sinB= ．（1）求c的值；（2）求sinA的值．20. （15分） (2018高三上·黑龙江月考) 在△ABC中，已知sinB＝， .（1）求证：sinAsinC＝sin2B（2）若内角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：0<B≤ ；（3）若，求| |.21. （10分） (2016高二下·芒市期中) 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2 ，B= ．（1）若a=2，求角C；（2）若D为AC的中点，BD= ，求△ABC的面积．22. （10分） (2018高一下·遂宁期末) 已知数列的前项和为且 .（1）求证为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，是否存在正整数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
四川省雅安中学高一数学下学期期中试题
- 1 -雅安中学2015级高一下学期半期数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为 ( )A. －32B. 32C. 2D. 6 2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且316,4S a ==，则公差d 等于（ ）A ．1B ．C ．﹣2D ．33．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是( )A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，则ac 2>bc 2D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4. 在ABC ∆中，若边长和内角满足45，则角C 的值是（ ）A ． 60B ． 60或 120C ． 30D ． 30或150 5. 已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差15d =，则{}n a 的第一个正数项是( ) A. 5aB. 7aC. 4aD. 6a6.若不等式x 2－ax ＋1≤0和ax 2＋x －1>0均不成立，则( ) A ．a <－14或a ≥2 B ．－14≤a <2 C ．－2≤a <－14D ．－2<a ≤－14 7. 已知{}n a 是等差数列，281,5a a =-=，则数列{}n a 的前9项和S 9为（ ）A. 18B. 27C. 24D. 158. 设ABC ∆的内角A ，B ，C所对的边分别是a,b,c，且()2cos cos .b A C =则角A 的大小为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 9. 某小朋友按如下规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指，...，一直数到2016时，对应的指头是（ ）A.小指B.中指C.食指D.大拇指- 2 -10. 在ABC ∆中，已知,10,4:3:2sin :sin :sin =+=b a C B A 且则向量AB 在向量上的投影是（ ）A.6B.9C.－6D.711. 如图，ABC ∆的AB 边长为2，P Q ，分别是AC BC ，中点，记AB AP BA BQ m ⋅+⋅=，AB AQ BA BP n ⋅+⋅=，则( )A.26m n ==，B.24m n ==，C.31m n ==，D.3m n =，但m n ，的值不确定 12. 记n 项正项数列为n a a a ,,,21⋅⋅⋅，其前n 项积为n T ，定义)lg(21n T T T ⋅⋅⋅⋅为“相对叠乘积”，如果有2013项的正项数列201321,,,a a a ⋅⋅⋅的“相对叠乘积”为2013，则有2014项的数列 201321,,,,10a a a ⋅⋅⋅的“相对叠乘积”为（ ）A.2014B.2016C. 3042D.4027第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共有4 题,每题5分,共20分)13.在△ABC 中,BC =2,AB=3，3B π=，△ABC 的面积是______． 14. 如图，山顶上有一座铁塔，在地面上一点A 处测得塔顶B 处的仰角 α=60°，在山顶C 处测得A 点的俯角β=45°，已知塔高BC 为50m ，则山高CD 等于 m 。
四川省雅安市高一下学期期中数学试卷
四川省雅安市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知向量，，若，则实数x的值为（）A . 1B . 7C . -10D . -92. （2分）已知函数，下面结论错误的是（）A . 函数的最小正周期为B . 函数在区间上是增函数C . 函数的图象关于直线x=0对称D . 函数是奇函数3. （2分）设，则（）A .B .C .D .4. （2分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）．A .B .C .D .5. （2分）已知函数f（x）=sinx+cosx，下面结论正确的是（）A . 函数f（x）的最小正周期为πB . 函数f（x）最大值为2C . 函数f（x）的图象关于直线x=0对称D . 函数f（x）在区间上是增函数6. （2分） (2019高一上·南昌月考) 已知，，，则（）．A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·太谷期中) 已知平面向量 =（3，1），，且，则x=（）A . ﹣3B . ﹣1C . 3D . 18. （2分） (2016高二上·大连开学考) 若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A . x= ﹣（k∈Z）B . x= + （k∈Z）C . x= ﹣（k∈Z）D . x= + （k∈Z）9. （2分） (2016高一上·西城期末) 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则 =（）A .B .C . 2D .10. （2分）(2020·邵阳模拟) 已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，且 .设，则（）A .B .C .D .11. （2分）函数y=cos2x+sinx﹣1的值域为（）A .B . [0， ]C . [﹣2， ]D . [﹣1， ]12. （2分）函数f（x）=x2+lnx﹣4的零点所在的区间是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知 =（，），| |=1，| +2 |=2，则在方向上的投影为________．14. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知复数（是虚数单位），且，则当为钝角时， ________.15. （1分）第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如下图会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么 =________．16. （1分）如图，点C是半径为2的圆的劣弧的中点，连接AC并延长到点D，使得CD=AC，连接DB并延长交圆于点E，若AC=2，则•的值为________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2018·绵阳模拟) 已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 .（1）求和的值；（2）若，求的值.18. （10分） (2015高一上·福建期末) 己知直线2x+y﹣8=0与直线x﹣2y+1=0交于点P．（1）求过点P且平行于直线4x﹣3y﹣7=0的直线11的方程；（结果都写成一般方程形式）（2）求过点P的所有直线中使原点O到此直线的距离最大的直线12的方程．19. （10分）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为2，且当x= 时，f（x）的最大值为2．（1）求f（x）的解析式．（2）在闭区间[ ， ]上是否存在f（x）的对称轴？如果存在求出其对称轴，若不存在，请说明理由．20. （10分）已知向量和，其中，，．（1）当为何值时，有；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．21. （10分） (2020高一下·诸暨期中) 如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF 为梯形，AF∥DE，AF⊥EF，AF＝AD＝2AB＝2DE＝2．（1）求证：CE∥面ABF；（2）求直线DE与平面BDF所成角的正弦值．22. （10分）已知 .（1）求函数的最小正周期及在区间的最大值；（2）若，求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共12 页第12 页共12 页。
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2016-2017学年四川省雅安中学高一（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）已知集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x2+2x﹣3＜0}则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣3，1）2．（5分）若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．C．a3＞b3D．a2＞b2 3．（5分）已知{a n}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=（）A．12B．16C．20D．244．（5分）设x，y∈R，且x+4y=40，则lgx+lgy的最大值是（）A．40B．10C．4D．25．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为x米和3千米，测得灯塔A 在观察站C的正西方向，灯塔B在观察站C西偏南30°，若两灯塔A、B之间的距离恰好为千米，则x的值为（）A．3B．C．D．或6．（5分）已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a2a9+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知数列{a n}的首项为﹣1，a n+1=2a n+2，则数列{a n}的通项公式为a n=（）A．2n﹣1﹣2B．2n﹣2C．2n﹣1﹣2n D．﹣2n﹣1 8．（5分）在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若=2，且=λ+，则λ=（）A．﹣B．C．﹣D．9．（5分）在△ABC中，A=30°，AB=2，且△ABC的面积为，则△ABC外接圆的半径为（）A．B．C．2D．410．（5分）不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1＜0的解集为∅，则m的取值范围（）A．m＜﹣1B．m≥C．m≤﹣D．m≥或m≤﹣11．（5分）数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2013等于（）A．1006B．2012C．503D．012．（5分）数列a n=2n+1，其前n项和为T n，若不等式nlog2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡上）13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则ab的值是．15．（5分）已知数列{a n}中，a1=0，a2=p（p是不等于0的常数），S n为数列{a n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S n=，则数列{a n}通项为．．16．（5分）已知定义在R上的单调函数f（x）满足对任意的x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）成立．若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）=0，则的最小值为．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）17．（10分）（1）已知实数x，y均为正数，求证：；（2）解关于x的不等式x2﹣2ax+a2﹣1＜0（a∈R）．18．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a3=4．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，求a11的值；（Ⅱ）若数列{}是等差数列，求数列{a n}的通项公式．19．（12分）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．20．（12分）某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每一小时可获得的利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x的取值范围；（2）要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，=．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．22．（12分）已知递增数列{a n}，a1=2，其前n项和为S n，且满足．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{b n}满足，求其前n项和T n．2016-2017学年四川省雅安中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）已知集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x2+2x﹣3＜0}则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣3，1）【解答】解：根据题意，x2+2x﹣3＜0⇒﹣3＜x＜1，则B={x|x2+2x﹣3＜0}=（﹣3，1），又由A={x|x＞﹣1}=（﹣1，+∞），则A∩B=（﹣1，1）；故选：B．2．（5分）若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．C．a3＞b3D．a2＞b2【解答】解：令a=0，b=﹣1，显然A、B、D不成立，故选：C．3．（5分）已知{a n}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=（）A．12B．16C．20D．24【解答】解：由等差数列的性质可得：a2+a11=a5+a8=a6+a7，因为a2+a5+a8+a11=48，所以2（a6+a7）=48，故a6+a7=24，故选：D．4．（5分）设x，y∈R，且x+4y=40，则lgx+lgy的最大值是（）A．40B．10C．4D．2【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+4y=40，∴40，化为xy≤100，当且仅当x=4y=，即x=20，y=5时取等号，∴lgx+lgy=lg（xy）≤lg100=2．故选：D．5．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为x米和3千米，测得灯塔A 在观察站C的正西方向，灯塔B在观察站C西偏南30°，若两灯塔A、B之间的距离恰好为千米，则x的值为（）A．3B．C．D．或【解答】解：如图所示，在△ABC中，由余弦定理可得：=32+x2﹣2×3×x×cos30°，化为=0，解得x=或2．故选：D．6．（5分）已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a2a9+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a3和a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣2=0的两根，∴a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣sinα，∵（a3+a8）2=2a2a9+6，∴4sin2α=﹣2+6，即sinα=，或sinα=﹣（舍），∴锐角α的值为．故选：C．7．（5分）已知数列{a n}的首项为﹣1，a n+1=2a n+2，则数列{a n}的通项公式为a n=（）A．2n﹣1﹣2B．2n﹣2C．2n﹣1﹣2n D．﹣2n﹣1=2a n+2，则a n+1+2=2（a n+2），【解答】解：由a n+1a1+2=1，∴数列{a n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则a n+2=1×2n﹣1，∴a n=2n﹣1﹣2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1﹣2，故选：A．8．（5分）在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若=2，且=λ+，则λ=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵==（+）=+×=）=+（﹣）=﹣+，∴λ=﹣，故选：A．9．（5分）在△ABC中，A=30°，AB=2，且△ABC的面积为，则△ABC外接圆的半径为（）A．B．C．2D．4【解答】解：在△ABC中，由A=30°，c=AB=2，得到S=bcsinA=b×2×=，△ABC解得b=2，根据余弦定理得：a2=12+4﹣2×2×2×=4，解得a=2，根据正弦定理得：（R为外接圆半径），则R==2．故选：C．10．（5分）不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1＜0的解集为∅，则m的取值范围（）A．m＜﹣1B．m≥C．m≤﹣D．m≥或m≤﹣【解答】解：∵关于x的不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1＜0的解集为∅，∴不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥0恒成立，①当m+1=0，即m=﹣1时，不等式化为x﹣2≥0，解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立；②当m+1≠0时，即m≠﹣1时，∀x∈R，使（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥0，即m+1＞0且△=（﹣m）2﹣4（m+1）（m﹣1）≤0，化简得：3m2≥4，解得m≥或m≤﹣，∴应取m≥；综上，实数m的取值范围是m≥．故选：B．11．（5分）数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2013等于（）A．1006B．2012C．503D．0【解答】解：当n=4k+1时，a n=0，当n=4k+2时，a n=﹣n，当n=4k+3时，a n=0，当n=4k时，a n=n，∴{a n}每相邻四项的和均为2，∴S4n=2n，∴S2013=S2012+a2013=+a1=1006，故选：A．12．（5分）数列a n=2n+1，其前n项和为T n，若不等式nlog2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4【解答】解∵a n=2n+1，∴T n==2n+2﹣4．不等式nlog2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立．而==（n+1）+﹣3≥2﹣3=3，当且仅当n+1=即n=2时等号成立，∴λ≤3，故选：A．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡上）13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则ab的值是6．【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，∴a＜0，∴原不等式等价于﹣ax2﹣bx﹣1＜0，由根与系数的关系，得﹣1+=﹣，﹣1×3=，∴a=﹣3，b=﹣2，∴ab=6．故答案为：6．15．（5分）已知数列{a n}中，a1=0，a2=p（p是不等于0的常数），S n为数列{a n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S n=，则数列{a n}通项为a n=p（n ﹣1）．．【解答】解：∵S n=，∴S n+1=，两式相减得：a n=a n+1﹣，+1=，∴a n+1∴当n≥2时，==…==p，∴a n=p（n﹣1）．显然n=1时，上式也成立．∴对一切n∈N+，a n=p（n﹣1）．故答案为：a n=p（n﹣1）．16．（5分）已知定义在R上的单调函数f（x）满足对任意的x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）成立．若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）=0，则的最小值为9．【解答】解：令x1=0，x2=0，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，x1=x，x2=﹣x，有f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）是奇函数由单调奇函数满足对任意实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）=0，可得f（a）=f（1﹣2b），即a+2b=1，∴=（）（a+2b）=5+，∴的最小值为9，故答案为：9．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）17．（10分）（1）已知实数x，y均为正数，求证：；（2）解关于x的不等式x2﹣2ax+a2﹣1＜0（a∈R）．【解答】解：（1）证明：=，…（2分）又因为x＞0，y＞0，所以，由基本不等式得，，…（4分）当且仅当时，取等号，即2y=3x时取等号，所以；…（5分）（2）原不等式可化为[x﹣（a+1）]•[x﹣（a﹣1）]＜0，…（7分）令[x﹣（a+1）]•[x﹣（a﹣1）]=0，得x1=a+1，x2=a﹣1，又因为a+1＞a﹣1，…（9分）所以原不等式的解集为（a﹣1，a+1）．…（10分）18．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a3=4．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，求a11的值；（Ⅱ）若数列{}是等差数列，求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d，则a n=a1+（n﹣1）d，由题设，2d=4﹣1=3，所以d=．所以a n=1+（n﹣1）=+，所以a11=16；（Ⅱ）设b n=，则数列{b n}是等差数列，b1=，b3=，b n=﹣（n﹣1）=，即=，所以a n=．19．（12分）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…（1分）所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°，整理得AP2﹣4AP+4=0，…（2分）解得AP=2．…（3分）所以AC=2．…（4分）所以△APC是等边三角形．…（5分）所以∠ACP=60°．…（6分）（Ⅱ）法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．…（7分）因为△APB的面积是，所以．…（8分）所以PB=3．…（9分）在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，所以．…（10分）在△APB中，由正弦定理得，…（11分）所以sin∠BAP==．…（12分）法2：作AD⊥BC，垂足为D，因为△APC是边长为2的等边三角形，所以．…（7分）因为△APB的面积是，所以．…（8分）所以PB=3．…（9分）所以BD=4．在Rt△ADB中，，…（10分）所以，．所以sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…（11分）==．…（12分）20．（12分）某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每一小时可获得的利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x的取值范围；（2）要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解答】解：（1）根据题意，有，得5x2﹣14x﹣3≥0，得x≥3或，又1≤x≤10，得3≤x≤10．（2）生产480千克该产品获得的利润为，1≤x≤10，记，1≤x≤10，则当且仅当x=6时取得最大值，则获得的最大利润为（元）故该厂以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为122000元．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，=．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．【解答】解：（1）∵=，∴cosCsinA+cosCsinB=sinCcosA+sinCcosB，cosCsinA﹣sinCcosA=sinCcosB﹣cosCsinB，得sin（A﹣C）=sin（C﹣B），∴A﹣C=C﹣B，或A﹣C=π﹣（C﹣B）（舍去）．∴2C=A+B=π﹣C，解得C=．（2）∵c=2，∴cosC==，∴a2+b2﹣4=ab≥2ab﹣4，∴ab≤4，（当且仅当a=b=2取等号）．=sinC≤=．∴S△ABC则△ABC的面积的最大值为．22．（12分）已知递增数列{a n}，a1=2，其前n项和为S n，且满足．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{b n}满足，求其前n项和T n．【解答】解：（1）当n=2时，，所以，即，依题意得，a2=5或a2=﹣2（舍去）；…（2分）（2）由得，…（3分）可得，即…（4分）由递增数列{a n}，a1=2，可得a n+1﹣a n=3（n≥2）．又因为a2﹣a1=3…（5分）所以数列{a n}是首项为2，公差为3的等差数列，即a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1．…（6分）上式对n=1也成立，故数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣1．…（7分）（3）数列{b n}满足，可得，即，…（8分）前n项和，2T n=2×22+5×23+…+（3n﹣4）•2n+（3n﹣1）•2n+1．…9分两式相减可得，…（10分）=3•2n+1﹣（3n﹣1）•2n+1﹣8，…（11分）化简可得，…（12分）。