高三数学课堂训练10-5

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第10章第5节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC ，∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14 B.13 C.12 D.23答案：D解析：假设在扇形中∠AOC ＝∠BOC ′＝15°，则∠COC ′＝60°，当射线落在∠COC ′内时符合题意，故所求概率为P ＝60°90°＝23.2．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A. 14B. 34C. 716D. 916答案：D解析：如图，假设当点P 落在EF 上时(EF ∥BC )，恰好满足△PBC 的面积等于S4，作PG⊥BC ，AH ⊥BC ，则易知PG AH ＝14.又易知符合要求的点P 可以落在△AEF 内的任一位置，所以所求的概率P ＝S △AEF S △ABC ＝916.3．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )A. 112B. 38C. 116D. 56答案：C解析：到达路口看到红灯或黄灯或绿灯是一次试验，则该试验的结果有无限个，属于几何概型．设看到黄灯亮为事件A ，构成事件A 的“长度”等于5，试验的全部结果构成的区域长度是30＋5＋45＝80，所以P (A )＝580＝116.4．[2012·广东肇庆]在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 23答案：C解析：由sin x ＋3cos x ≤1得2sin(x ＋π3)≤1，即sin(x ＋π3)≤12.由于x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈[π3，4π3]，因此当sin(x ＋π3)≤12时，x ＋π3∈[5π6，4π3]，于是x ∈[π2，π]．由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为 P ＝π－π2π－0＝12.5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.116C.127D.38答案：C解析：一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P ＝127，应选C. 6．[2012·东北三校一模]已知实数a ，b 满足－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则函数y ＝13x 3－ax 2＋bx ＋5有极值的概率为( )A. 14B. 12 C. 23 D. 34答案：C解析：y ′＝x 2－2ax ＋b ，当方程x 2－2ax ＋b ＝0有两个不同实根，即a 2>b 时，函数y ＝13x 3－ax 2＋bx ＋5有极值点，如图，阴影部分面积为2＋a 2d a ＝2＋13a 3| 1－1＝83，所以函数y ＝13x 3－ax 2＋bx ＋5有极值的概率为S 阴影S 正方形ABCD ＝834＝23，故选C.二、填空题(每小题7分，共21分)7．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为__________．答案：13解析：根据几何概型概率的计算公式，可得所求概率为1－02－(－1)＝13，故填13.8．关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若从区间[0,6]中随机取两个数a 和b ，则方程有实根且a 2＋b 2≤36的概率为________．答案：π8解析：由题意知，判别式Δ＝4a 2－4b 2≥0，又∵a 和b 为非负数，∴a ≥b ，则a 和b 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2≤36a ≥b0≤a ≤60≤b ≤6，作出此不等式组表示的区域为图中阴影部分所示，又易知阴影部分的面积为45360×π×62＝9π2，故所求概率P ＝9π26×6＝π8.9．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案：23解析：先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min 的概率．解：设事件A ＝{候车时间不超过3 min)．x 表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x ，假定乘客到达车站后一辆公共汽车来到的时刻为t ，如图所示，乘客必然在(t －5，t ]来到车站，t －5<x ≤t ，欲使乘客的候车时间不超过3 min ，必有t －3≤x ≤t ，所以P (A )＝35＝0.6.11. 如图，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上，是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 答：所求弦长不超过1的概率为1－32. 12. 已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0，内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图像的对称轴为x ＝2ba，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1；若a ＝3，则b ＝－1,1. ∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5. ∴所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎪a ＋b －8≤0a >0b >0，构成所求事件的区域为三角形部分，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.。

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第9章第3节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验答案：D解析：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．2．用系统抽样法(按等距离的规则)要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是()A．7 B．5C．4 D．3答案：B解析：由系统抽样知第一组确定的号码是5.3．[2011·福建]某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本．已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为()A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B解析：由分层抽样的特点有30∶40＝6∶x，则x＝8，即在高二年级学生中应抽取8人．4．[2012·山东临沂]某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为()A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元答案：C解析：由频率分布直方图可知，11时至12时的销售额占全部销售额的25，即销售额为25×25＝10万元．5. [2012·江南联考]已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为( )A. 2B. 3C. 4D. 6答案：C解析：设x 1，x 2，x 3，x 4的平均值为x ，则 s 2＝14[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋(x 4－x )2]＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x 2)， ∴4x 2＝16，∴x ＝2，x ＝－2(舍)，∴x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为4，故选C.6. 已知图1、图2分别表示A 、B 两城市某月1日至6日当天最低气温的数据折线图(其中横轴n 表示日期，纵轴x 表示气温)，记A 、B 两城市这6天的最低气温平均数分别为x A 和x B ，标准差分别为s A 和s B .则( )A. x A >x B ，s A <s BB. x A >x B ，s A <s BC. x A <x B ，s A >s BD. x A <x B ，s A <s B答案：C解析：由图1可得x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝6.25，s 2A ＝16[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.9，同理由图2可得x B ＝353，s 2B ≈3.47，可知s 2A >s 2B ，因此x A <x B ，s A >s B .二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2012·山东泰安]商场共有某品牌的奶粉240件，全部为三个批次的产品，其中A ，B ，C 三个批次的产品数量成等差数列，现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，则应从B 批次产品中抽取的数量为__________件．答案：20解析：法一：A ，B ，C 三个批次的产品数量成等差数列，其中B 批次的产品数量是2403＝80，由抽取比例是60240＝14，故B 批次的产品应该抽取80×14＝20.法二：抽取的样本数也成等差数列，B 批次的样本数是A 、C 批次样本数的等差中项，故B 批次抽取20件．8．[2011·江苏]某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.答案：165解析：平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴方差s 2＝(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)25＝165. 9．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：如果甲、乙两人中只有1 答案：甲解析：x 甲＝x 乙＝9，s 2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定，故填甲．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．某学校为了了解2012年高考语文科的考试成绩，计划在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科300名考生，理科600名考生，艺术类考生200人，体育类考生70人，外语类考生30人，如果要抽120人作为调查分析对象，则按科目分别应抽多少考生？解：从1200名考生中抽取120人作调查由于各科目考试人数不同，为了更准确地了解情况，可采用分层抽样，抽样时每层所抽人数按1∶10分配．∴300×110＝30(人)，600×110＝60(人)，200×110＝20(人)，70×110＝7(人)，30×110＝3(人)．所以抽取的文科，理科，艺术，体育，外语类考生分别是30人，60人，20人，7人，3人． 11．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图〔每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)〕．(1)求居民收入在[3000,3500)的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽取多少人？解：(1)月收入在[3000,3500)的频率为0.0003×(3500－3000)＝0.15. (2)∵0.0002×(1500－1000)＝0.1， 0.0004×(2000－1500)＝0.2， 0.0005×(2500－2000)＝0.25， 0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，∴样本数据的中位数为2000＋0.5－(0.1＋0.2)0.0005＝2000＋400＝2400(元)．(3)居民月收入在[2500,3000)的频数为0.25×10000＝2500(人)，再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500,3000)的这段应抽取100×250010000＝25(人)．12. [2011·北京]以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为：x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差为：s 2＝14×[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116.(2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)．用C 表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)．故所求概率为P (C )＝416＝14.。

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第2章第9节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·杭州学军中学模拟]下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x －12；(2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)(x x ＋1)′＝1x ＋1，其中正确的有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个答案：B解析：根据导数的求导公式知只有(1)正确，选B. 2. 已知y ＝12sin2x ＋sin x ，则y ′是( )A. 仅有最小值的奇函数B. 既有最大值又有最小值的偶函数C. 仅有最大值的偶函数D. 非奇非偶函数答案：B解析：∵y ′＝12cos2x ·2＋cos x ＝cos2x ＋cos x＝2cos 2x －1＋cos x ＝2(cos x ＋14)2－98.又当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，函数y ′＝2(cos x ＋14)2－98是既有最大值又有最小值的偶函数．3. [2012·厦门质检]曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A. (1,0)或(－1，－4)B. (0,1)C. (1,0)D. (－1，－4) 答案：A解析：由题意得f ′(x )＝3x 2＋1.设P 0(x 0，y 0)．∵曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，∴f ′(x 0)＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 30＋x 0－23x 20＋1＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－4，∴P 0点坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选A.4. 已知曲线xy ＝a (a ≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )A ．2a 2B ．a 2C ．2|a |D ．|a |答案：C解析：设切点的坐标为(x 0，y 0)，曲线的方程即为y ＝a x ，y ′＝－ax 2，故切线的斜率为－a x 20，切线方程为y －a x 0＝－ax 20(x －x 0)．令y ＝0得x ＝2x 0，即切线与x 轴的交点坐标为(2x 0,0)；令x ＝0得y ＝2a x 0，即切线与y 轴的交点坐标为(0，2ax 0)．故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|2x 0|×|2ax 0|＝2|a |.5.[2012·重庆南开中学月考试卷]函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. c <b <aD. b <c <a 答案：B解析：由题知函数的对称轴为x ＝1.当x >1时，f ′(x )<0；当x <1时，f ′(x )>0，∴c <a <b . 6. [2012·云南一检]点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( )A.22B. 2C. 2 2D. 2 答案：B解析：当点P 为直线y ＝x ＋2平移到与曲线y ＝x 2－ln x 相切的切点时，点P 到直线y ＝x ＋2的距离最小．设点P (x 0，y 0)，f (x )＝x 2－ln x ，则f ′(x 0)＝1，∵f ′(x )＝2x －1x ，∴2x 0－1x 0＝1，又x 0>0，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,1)，此时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为22＝2，故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为________．答案：1解析：∵f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，∴f ′(π4)＝－f ′(π4)×22＋22，∴f ′(π4)＝11＋2＝2－1.故f (π4)＝(2－1)×22＋22＝1.8. 设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，曲线在P 点处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是__________．答案：[0，π2)∪[2π3，π)解析：y ′＝3x 2－3≥－3，即倾斜角的正切值的取值范围是[－3，＋∞)，当倾斜角的正切值的取值范围为[0，＋∞)时，倾斜角的取值范围是[0，π2)，当倾斜角的正切值的取值范围为[－3，0)时，倾斜角的取值范围是[2π3，π)，故所求倾斜角的取值范围是[0，π2)∪[2π3，π)． 9. [2012·无锡质检]y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＝__________. 答案：2解析：设切点为(x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2＋a ，则过切点(x 0，y 0)的切线为y －y 0＝(3x 20＋a )(x －x 0)，即y ＝(3x 20＋a )(x －x 0)＋y 0＝(3x 20＋a )x －2x 3＋1，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋a ＝2，－2x 30＋1＝1，解得x 0＝0，a＝2.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x 2＋2；(2)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (3)y ＝x 1－x ＋x 2.解：(1)y ′＝(15x 5)′－(43x 3)′＋(3x 2)′＋(2)′＝x 4－4x 2＋6x .(2)法一：∵y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ， ∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.法二：y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′ ＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2 ＝24x 3＋9x 2－16x －4.(3)y ′＝x ′(1－x ＋x 2)－x (1－x ＋x 2)′(1－x ＋x 2)2＝(1－x ＋x 2)－x (－1＋2x )(1－x ＋x 2)2＝1－x 2(1－x ＋x 2)2.11. [2011·湖北]设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l ，求a ，b 的值，并写出切线l 的方程．解：f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线．故f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. 12. 已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解：(1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6.又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.。

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第10章第8节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1．随机变量ξ的分布列为，则E (5ξ＋4)等于( ) A ．13 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 答案：A 解析：由已知得E (ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E (5ξ＋4)＝5E (ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13. 2. [2012·荆州质检]随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)的值是( )A. 13B. 23 C. 59 D. 79答案：C解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，且E (ξ)＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13，∴a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.3. 设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A. 53 B. 73 C. 3 D. 113答案：C解析：由E (ξ)＝43，D (ξ)＝29得：⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝43(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2·13＝29，解得：⎩⎨⎧x 1＝53x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1x 2＝2，由于x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2， ∴x 1＋x 2＝3.4. [2012·浙江嘉兴]甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数ξ的期望是( )A. 43B. 119C. 1D. 89答案：A解析：依题意，ξ的取值为0,1,2. 且P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－23)＝19，P (ξ＝1)＝23×(1－23)＋(1－23)×23＝49，P (ξ＝2)＝23×23＝49.故ξ的期望E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43.5．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 答案：D解析：正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图像一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6. 若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则2D (ξ)－1E (ξ)的最大值为( )A. 2＋2 2B. 2 2C. 2－ 2D. 2－2 2答案：D解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，∴E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (ξ)＝(0－p )2·(1－p )＋(1－p )2·p ＝p －p 2，∴2D (ξ)－1E (ξ)＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p ≥22，当且仅当2p ＝1p ，即p ＝22时等号成立，因此当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取最大值2－2 2. 二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2011·上海]马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝__________.答案：2解析：设P (ξ＝1)＝x ，则P (ξ＝2)＝1－2x ，P (ξ＝3)＝x ， ∴E (ξ)＝1·x ＋2·(1－2x )＋3·x ＝2.8．[2012·广东江门]已知X ～N (μ，σ2)，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.68，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布N (100,100)，则本次考试120分以上的学生约有__________．答案：500解析：依题意可知μ＝100，σ＝10，由于P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95，所以P (80<X ≤120)＝0.95，因此本次考试120分以上的学生约有 20000×(1－0.95)2＝500.9．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．答案：乙解析：甲、乙的均值分别为Eξ＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， Eη＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以Eξ>Eη，故乙的技术较好．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 的值，并求E (ξ)，D(ξ)的值.解：(1)0≤P i ≤1 i ＝1,2，...； (2)p 1＋p 2＋ (1)所以有⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2q ≤1，q 2≤1，解得q ＝1－12. 故ξ的分布列应为：所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(32－2)＝1－2，D (ξ)＝[－1－(1－2)]2×12＋[0－(1－2)]2×(2－1)＋[1－(1－2)]2×(32－2)＝2－1.11. [2011·天津]学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )．解：(1)设A i ＝“在1次游戏中摸出i 个白球”(i ＝0,1,2,3)，则①P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15，②P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12.又A 2与A 3互斥，∴P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.即获奖的概率为710.(2)X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12·710·(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝C 22(710)2＝49100. 所以X 的分布列是∴X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.12. [2011·福建]某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3P 222227)＋8P (X 2＝8) ＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．现由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．。

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第5章第5节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·福建质检]在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3a 5＝4，则数列{log 2a n }的前7项和等于( )A. 7B. 8C. 27D. 28答案：A解析：在各项均为正数的等比数列{a n }中，由a 3a 5＝4，得a 24＝4，a 4＝2.设b n ＝log 2a n ，则数列{b n }是等差数列，且b 4＝log 2a 4＝1. 所以{b n }的前7项和S 7＝7(b 1＋b 7)2＝7b 4＝7.2．已知a n ＝32n －11(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13答案：B解析：构造函数f (x )＝32x －11，此函数关于点P (112，0)对称，故f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，即S 10＝0.当n ≥6时，f (n )>0，∴a 11＝f (11)>0，∴S 11>0.故选B.3. [2012·山西检测]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )A. 52B. 40C. 26D. 20答案：B解析：由题意得S n ＋1－S n(n ＋1)－n ＝3n －2，∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2，∴a n ＝3n －5，因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10，而a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40，故选B.4. 在数列{a n }中，a 1＝15,3a n ＋1＝3a n －2(n ∈N *)则该数列中有相邻两项的乘积是负数的是( )A. a 21·a 22B. a 22·a 23C. a 23·a 24D. a 24·a 25 答案：C解析：由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23即{a n }是以15为首项，公差为－23的等差数列，∴a 23>0，a 24<0.即选C.5. [2012·重庆模拟]已知各项均为正数的等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若a m ·a n ＝2a 1，则1m ＋9n的最小值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案：C解析：记等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0.依题意有a 5q 2＝a 5q ＋2a 5≠0，得q 2－q －2＝(q －2)(q ＋1)＝0，所以q ＝2.因为(a 1×2m －1)·(a 1×2n －1)＝a 21×2m＋n －2＝4a 21≠0，所以m ＋n－2＝2，m ＋n ＝4，1m ＋9n ＝14(m ＋n )(1m ＋9n )＝14[10＋(n m ＋9m n )]≥14(10＋2n m ×9mn)＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧n m ＝9mnm ＋n ＝4m ，n ∈N*，即m ＝1，n ＝3时取等号，因此1m ＋9n的最小值是4，选C.6．[2012·潍坊质检]设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2010x 1＋log 2010x 2＋…＋log 2010x 2009的值为( )A ．－log 20102009B ．－1C ．log 20102009－1D ．1答案：B解析：由y ＝x n ＋1，得y ′＝(n ＋1)x n ，则在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，∴log 2010x 1＋log 2010x 2＋…＋log 2010x 2009＝log 2010(x 1·x 2·…·x 2009)＝log 2010(12×23×34×…×20092010)＝log 201012010＝－1，故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·温州一模]某电脑公司2010年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2012年经营总收入要达到1690万元，且计划从2010年到2012年，每年经营总收入的年增长率相同，2011年预计经营总收入为__________万元．答案：1300解析：设增长率为x ，则有40040%×(1＋x )2＝1690,1＋x ＝1310，因此2011年预计经营总收入为40040%×1310＝1300(万元)．8．数列{a n }中，a n ＝|n －k |＋|n －2k |，若对任意的正整数n ，a n ≥a 3＝a 4都成立，则k 的取值范围为________．答案：[2,3]解析：a n ＝|n －k |＋|n －2k |＝⎩⎪⎨⎪⎧3k －2n ， n <k k ， k ≤n ≤2k .2n －3k ， n >2k ，其大致图像如图所示，∴a 3＝a 4＝k ，∴[3,4]⊆[k,2k ]，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤32k ≥4，∴2≤k ≤3.9. [2012·上饶联考]设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为__________．答案：－2解析：若q ＝1，则由2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2⇒2na 1＝(n ＋1)a 1＋(n ＋2)a 1⇒2n ＝n ＋1＋n ＋2矛盾，∴q ≠1，∴由2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2可得2a 1(1－q n )1－q ＝a 1(1－q n ＋1)1－q ＋a 1(1－q n ＋2)1－q⇒q n ＋2＋q n ＋1－2q n ＝0⇒q 2＋q －2＝0(∵q ≠1)，解得q ＝－2. 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [2012·北京海淀一模]数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，则求出数列{b n }的通项公式；若不存在，则说明理由．解：(1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立．即a n ＝2n 对n ≥2成立．又a 1＝S 1＝2×1，所以a n ＝2n 对n ∈N *成立．所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立，所以{a n }是等差数列．所以S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)存在．由(1)知a n ＝2n 对n ∈N *成立，则a 3＝6，a 9＝18，又a 1＝2，所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，得b 2b 1＝b 3b 2＝3，即存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.11. 这是发生在德国的一个真实故事，一个9岁的孤儿德比为了寻找母亲，表达他对母亲的爱，他每帮助一个人，就请这位被帮助者再去帮助另外10个人，假设每个人都以这种方式将爱心传递下去，且被帮助的人不重复，总有一天自己的母亲也会成为被帮助的对象．如果德比每天帮助一个人，被帮助的人第二天去帮助另外10个人(假设被帮助的人第三天及以后不再帮助其他人)，而德国有8220万人．(1)设n 天后，被帮助的总人数为S n ，试求出S n ； (2)最多第几天，德比的母亲成为被帮助的对象？解：(1)根据条件，可知S n ＝S n －1＋1＋10＋102＋…＋10n －1(n ≥2且n ∈N *)，∴S n ＝S n －1＋10n －19.∴S n ＝S n －2＋10n －1－19＋10n －19＝……＝S 1＋102－19＋103－19＋…＋10n －19＝19(10＋102＋103＋…＋10n －n ) ＝19×(10n ＋1－109－n )．经验证，当n ＝1时，S n 也满足此通项．故S n ＝19(10n ＋1－109－n )．(2)由S n ＝19(10n ＋1－109－n )≤8220×104＝8.22×107.估计判断：考虑n ＝8时，S 8＝12345678<8220×104， n ＝9时，S 9＝123456789>8220×104.所以，最多第9天，德比可以实现自己的愿望．12. [2012·山东潍坊模拟]已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在曲线(x ＋1)2＝4y 上．(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，c n ＝b nb n －1＋b n ＋1－2b n ＋1－1，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)∵(a n ＋1)2＝4S n ， ∴S n ＝(a n ＋1)24，S n ＋1＝(a n ＋1＋1)24.∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)24.即4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，∴2(a n ＋1＋a n )＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． ∵a n ＋1＋a n ≠0，∴a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列．由(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1，∴a n ＝2n －1. (2)∵b n ＋1＝ab n ，a n ＝2n －1，∴b n ＋1＝2b n －1，∴b n ＋1－1＝2(b n －1)．即b n ＋1－1b n －1＝2，∴{b n －1}为以2为公比的等比数列．又b 1＝3，∴b 1－1＝2，故b n －1＝2·2n －1＝2n ，即b n ＝2n ＋1.∴c n ＝b n b n －1＋b n ＋1－2b n ＋1－1＝2n ＋12n ＋2n ＋1－12n ＋1＝1＋12n ＋1－12n ＋1＝2＋(12n －12n ＋1)．故T n ＝2n ＋(12－122)＋(122－123)＋…＋(12n －12n ＋1)＝2n ＋12－12n ＋1.。

9.12021届高三数学专题复习练习直线方程(学生版)

【课前测试】1、过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．2、直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．3、过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________________．12直线方程【知识梳理】一、直线方程1、直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π]． 2、斜率公式(1)定义式：若直线l 的倾斜角α≠π2，则斜率k ＝tan α.(2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3、直线方程的五种形式二、两直线的位置关系1、两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行3①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2、两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3、距离问题(1)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． (2)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0.(3)过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．4【课堂讲解】考点一直线的倾斜角与斜率例1、(1)直线2xcos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)已知直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．变式训练：1、若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 22、直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 3、已知点(－1,2)和⎝⎛⎭⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是________．考点二求直线方程例2、(1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．变式训练：1、经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；562、经过点P (1，2)，倾斜角α的正弦值为45；3、经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．考点三直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式结合求最值问题例3、已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为__________________．变式训练：1、若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．2、直线l 过点P (1，4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程．命题点2 由直线方程求参数问题例4、已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________. 变式训练：1、已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．2、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l的方程.78考点四两直线的平行与垂直命题点1 两直线位置关系的判断例5、(1)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B. 13或－1 C. 13 D ．－1变式训练：1、直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－32、已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．命题点2 根据两直线的位置关系求直线方程例6、经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________．变式训练：求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0；(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线．910考点五距离问题例7、(1)已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则|PM |的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．3(2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．变式训练：1、若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910D.2952、已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.132C.21313D.713263、若直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )与原点之间的距离的最小值为( )A.5B.6 C ．23D ．25考点六对称问题命题点1 点关于点对称问题例8、已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A．11B．10C．9 D．8变式训练：已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点是(－2，－3)，则点P(x，y)的坐标为()A．(4，1) B. (1，4)C. (2，3)D. (1，6)命题点2 点关于线对称问题例9、已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．1112变式训练：1、如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝02、坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B.⎝⎛⎭⎫－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D.⎝⎛⎭⎫45，853、已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则直线l 关于点A 对称的直线m 的方程为________________．命题点3 线关于线对称问题例10、已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (2)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．变式训练：1、直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是()A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝02、直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－5＝01314【课后练习】1、直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π2、已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －3＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝03、点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.322D.224、已知直线l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( ) A ．－16B ．6C ．0D ．0或－165、过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( D ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝06、直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0157、直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A (1,1)对称的直线的方程为( ) A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0D ．4x －3y －12＝08、若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)9、不论m 为何值时，直线l ：(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)D ．(9，－4)10、若直线(m －1)x ＋3y ＋m ＝0与直线x ＋(m ＋1)y ＋2＝0平行，则实数m ＝________. 11、过两直线7x ＋5y －24＝0与x －y ＝0的交点，且与点P (5,1)的距离为10的直线的方程为________．12、设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是 5 .13、已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________．14、已知点A (0,1)，直线l 1：x －y －1＝0，直线l 2：x －2y ＋2＝0，则点A 关于直线l 1的对称点B 的坐标为________，直线l 2关于直线l 1的对称直线的方程是__________．16【课后测试】1、已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或22、若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)、斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为( ) A ．－23B ．－32C.23D.32。

高三数学习题课教案(通用10篇)

高三数学习题课教案（通用10篇）高三数学习题课教案 1一、教材简析：本节课是在认识了角及量角器量角的基础上教学的。

角的度量是测量教学中难点较大的一个知识点。

上节课学生第一次认识量角器，第一次学习用量角器量角，学生掌握这部分知识还不是特别熟练，学习这部分内容为学生牢固掌握角的度量，为后面学习角的分类和画角打下基础。

二、教学目标：1、通过练习，使学生巩固量角器量角的方法，能正确、熟练地测量指定角的度数。

2、通过练习，提高学生观察和动手操作的能力。

3、使学生能积极参与学习活动，培养学生细心的习惯并获得成功的体验，能运用角的知识描述相应的生活现象，感受用实验数据说明问题的实事求是的态度与方法。

三、教学重点：掌握正确的量角方法，熟练的测量角的度数。

教学难点：1、测量不同方位角，量角器的正确摆放;2、量角时正确选择内外圈刻度，找准度数。

四、教具准备：教师用的量角器、课件学具准备：量角器、三角板、画图铅笔、尺子五、教学方法：比较教学法、探究式教学法六、预设教学过程：(一)复习：交流怎样用量角器量角?师课件动画演示，重现巩固方法。

板书：两重一看(设计意图：第一节课学生练习量不够，量角方法没有得到巩固，知识回生快，用课件动态的演示，可加深对量角方法的理解，为本堂课的练习打下基础。

此环节的设计，符合人的遗忘规律。

)(二)基本练习1、看量角器上的刻度，说出各个角的度，完成P20第4题。

课件出示第一幅图，想想说说：这个角是多少度?怎么看的度数?让不同意见学生发表意见。

明确量角时把与0刻度线重合的边作为始边，始边对的0刻度在内圈，另一条边就看内圈刻度，始边对的0刻度在外圈，另一条边就看外圈刻度。

学生说出另两幅图上角的.度数。

(设计意图：本题练习主要是解决量角时读准另一条边的度数。

学生交流不同的读法，在讨论中加深印象，巩固方法。

)2、量出下面各个角的度数，完成P20第5题。

先照着图中量角器的摆法量出不同方向的角的度数，初步感知调整量角器量角。

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第10章第2节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1. [2011·天津]在(x 2－2x)6的二项展开式中，x 2的系数为( ) A. －154B. 154C. －38D. 38答案：C解析：∵T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·(－2x)r ＝C r 6(－1)r 22r －6x 3－r(r ＝0,1,2，…，6)，令3－r ＝2得r ＝1.∴x 2的系数为C 16(－1)12－4＝－38，故选C. 2．若二项式(3x 2－1x )n 的展开式中各项的二项式系数之和是29，则展开式中的常数项为( )A ．－9C 49B ．9C 49 C ．－27C 39D ．27C 39答案：D解析：由二项式系数之和是29，得n ＝9，∵T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r (－1x )r ＝(－1)r 39－r C r 9x 18－3r ，∴令18－3r ＝0得r ＝6，则展开式中的常数项为27C 39，选D.3. 在二项式(x ＋3x )n 展开式中，各项的系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项为( )A. 6B. 9C. 12D. 18答案：B解析：令x ＝1得各项系数之和为4n ，各项的二项式系数之和为2n ，依题意得4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.又二项式的展开式通项公式T r ＋1＝C r 3·(x )3－r ·(3x )r ＝C r 3·3r ·x 32－32r ，令r ＝1得常数项为C 13·31＝9. 4．x (1＋x )(1＋x 2)10的展开式中x 4的系数为( ) A ．45 B ．10 C ．90 D ．50答案：B解析：注意到二项式(1＋x 2)10的展开式的通项是C r 10·(x 2)r ＝C r 10·x 2r ，因此x (1＋x )(1＋x 2)10的展开式中x 4的系数等于C 110＝10，选B.5. [2012·金华十校模考]在二项式(x 12＋12x 14)n 的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( )A. 5B. 4C. 3D. 2答案：C解析：二项展开式的前三项的系数分别为1，C 1n ·12，C 2n ·(12)2，由其成等差数列可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·(12)2⇒n ＝1＋n (n －1)8，∴n ＝8，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 8(12)r x 4－3r 4，若为有理项，则有4－3r 4∈Z ，∴当r ＝0,4,8时为有理项，∴展开式中有理项的项数为3.6. [2012·浙江五校联考]若(1－2x )2011＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2011x 2011(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 201122011的值为( )A. 2B. 0C. －1D. －2答案：C解析：令f (x )＝(1－2x )2011＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2011x 2011，则f (12)＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201122011＝0，f (0)＝1＝a 0，所以a 12＋a 222＋…＋a 201122011＝－1.故选C.二、填空题(每小题7分，共21分)7．已知n 为正偶数，且(x 2－12x )n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是________．(用数字作答)答案：－52解析：n 为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n ＝6，第4项系数为C 36(－12)3＝－52.8．[2011·广东]x (x －2x )7的展开式中，x 4的系数是__________．(用数字作答)答案：84解析：(x －2x )7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r (－2x)r ＝C r 7(－2)r x 7－2r，则求x 4的系数也就是求T r ＋1中x 3的项，令7－2r ＝3，得r ＝2，∴原式中x 4的系数为C 27(－2)2＝84.9．[2012·陕西西安]若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5等于__________．答案：10解析：由题意得：a 1＝C 45·2·(－3)4，a 2＝C 35·22·(－3)3，a 3＝C 25·23·(－3)2，a 4＝C 15·24·(－3)，a 5＝C 05·25. ∵2a 2＋3a 3＝0，∴a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝C 45·2·(－3)4＋4C 15·24·(－3)＋5C 05·25＝10.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10．已知(x －124x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．解：依题意，前三项系数的绝对值是1，C 1n (12)， C 2n (12)2，且2C 1n ·12＝1＋C 2n (12)2，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)，∴展开式的第k ＋1项为C k 8(x )8－k (－124x)k＝(－12)k C k 8·x 8－k 2·x －k 4＝(－1)k ·C k82k ·x 16－3k 4. (1)证明：若第k ＋1项为常数项，当且仅当16－3k 4＝0，即3k ＝16，∵k ∈Z ，∴这不可能，∴展开式中没有常数项． (2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当16－3k4为整数，∵0≤k ≤8.k ∈Z ，∴k ＝0,4,8.即展开式中的有理项共有三项，它们是： T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.11. 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2. 解：(1)(2－3x )100展开式中的常数项为C 0100·2100，即a 0＝2100，或令x ＝0，则展开式可化为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100① ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100② 与x ＝1所得到的①联立相减可得 a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)] ＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝(2－3)100(2＋3)100＝1.12．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数的最小值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和．解：(1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，∴m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n＝m (m －1)2＋2n (n －1)＝m 2－m 2＋(11－m )(11－m 2－1)＝(m －214)2＋35116. ∵m ∈N *，∴m ＝5时，x 2的系数取最小值22，此时n ＝3.(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3，∴f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3. 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33，令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30.。

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第5章第1节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1. [2012·青岛一模]下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图像是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一个数列．其中真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案：A解析：①错误，如已知a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，a 1＝1，就无法写出a 2；②错误，a n ＝n ＋1n ＋2；③正确；④两个数列是不同的有序数列．故应选A.2. [2012·绵阳一诊]数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A. 103 B. 8658 C. 8258D. 108答案：D解析：根据题意并结合二次函数的性质可得： a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n 2－292n )＋3 ＝－2(n －294)2＋3＋8418，∴n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108.3. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A. 1516B. 158C. 34D. 38答案：C解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5， ∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.4. 若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝( )A. 56 B. 65 C. 130D. 30答案：D解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30.5. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A. k >0B. k >－1C. k >－2D. k >－3答案：D解析：a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2>n 2＋kn ＋2，则k >－(2n ＋1)对所有的n ∈N *都成立，而当n ＝1时－(2n ＋1)取得最大值－3，所以k >－3.故选D.6．[2012·广州测试]如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( )11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15……A.11260B.1840C.1504D.1360答案：B解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可得：第10行第一个数为110，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可得：第10行第二个数等于19－110＝190，同理，可得第9行第二个数为172，从而第10行第三个数等于172－190＝1360；第9行第三个数为1252，从而第10行第四个数等于1252－1360＝1840.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·辽宁大连双基测试]已知两个数列{a n }，{b n }，满足b n ＝3n a n ，且数列{b n }的前n 项和为S n ＝3n －2，则数列{a n }的通项公式为__________．答案：a n＝⎩⎨⎧13，n ＝113n －1，n ≥2解析：由题意可知3a 1＋32a 2＋…＋3n a n ＝3n －2.① 当n ＝1时，a 1＝13；当n ≥2时，3a 1＋32a 2＋…＋3n －1a n －1＝3(n －1)－2，②①－②，得3n a n ＝3，a n ＝13n －1，此时，令n ＝1，有a 1＝1，与a 1＝13相矛盾．故a n＝⎩⎨⎧13，n ＝1，13n －1，n ≥2.8. 已知数列{a n }的通项a n ＝nanb ＋c (a ，b ，c 均为正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是__________．答案：a n <a n ＋1解析：∵a n ＝na nb ＋c＝a b ＋c n ，又∵{cn }是单调递减数列，∴{a n }是单调递增数列，∴a n <a n ＋1.9．[2012·广州测试]如图是一个n 层(n ≥2)的六边形点阵．它的中心是一个点，算作第一层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，……，第n 层每边有n 个点，则这个点阵的点数共有________个．答案：3n 2－3n ＋1解析：每层的点数可构成数列{a n }，结合图形可知a 1＝1，a 2＝6，…，a n ＝a n －1＋6(n ≥3)，那么，前n 层所有点数之和为S n ＝1＋ (n －1)[6＋(6n －6)]2＝3n 2－3n ＋1.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1)(1011)n (n ∈N *)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．解：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)·(1011)n ＝(1011)n ·9－n11.当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项为第9、10项．11. 已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性．可知1>a 1>a 2>a 3>a 4； a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，并结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，∴5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.12. [2012·福建厦门一模]已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图像过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *.(1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′(1a n )，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)记b n ＝a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和T n ，求证：43≤T n <2.解：(1)由题意及f ′(x )＝2ax ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2n ，即f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由条件得1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n ，累加得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝2＋2(n －1)2(n －1)＝n 2－n ，1a n ＝(n －12)2，所以a n ＝1(n －12)2＝4(2n －1)2(n ∈N *)． (3)b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2(12n －1－12n ＋1)，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1 ＝2[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝2(1－12n ＋1)<2. ∵2n ＋1≥3，故2(1－12n ＋1)≥43.∴43≤T n <2.。

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第10章第1节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．不等式A6n＜6A5n的解集为()A．[2,8]B．(6,11) C．[6,11) D．{11}答案：C解析：A6n＜6A5n，∴n！(n－6)！＜6·n！(n－5)！，∴n－5＜6，∴n＜11，又∵n≥6，n≥5，∴6≤n＜11，故选C.2．[2012·广东揭阳]某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A. 180种B. 360种C. 720种D. 960种答案：D解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位各有4种选法，因此该车主的车牌号码可选的所有可能情况共有A15·A13·A14·A14·A14＝960种，故选D.3. [2012·江西井冈山]有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有()A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种答案：C解析：第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C17种选派方法．根据分步乘法计数原理易得选派方法种数为C210·C18·C17＝2520.4．2010年广州亚运会组委会要从A、B、C、D、E五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中A和B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A．48种B．36种C．18种D．12种答案：B解析：分A 和B 都选中和只选中一个两种情况；当A 和B 都选中时，有A 22·A 23种选派方案；当A 和B 只选中一个时，有2A 12·A 33种选派方案，所以不同的选派方案共有A 22A 23＋2A 12·A 33＝36种． 5. [2012·安徽“江南十校”联考]在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有( )A. 576B. 720C. 864D. 1152答案：C解析：先让数字1,3,5,7作全排列，有A 44＝24种，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，在剩下的4个空隙中排上2,4，有A 24种排法，故共有A 44×3×A 24＝864种排列方式．6. [2012·安徽合肥]某班有四名学生参加了志愿者工作，将这四名学生分到A ，B ，C 三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A 馆，则不同的分配方案有( )A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种答案：C解析：若A 馆只分配一人，则可从除甲以外的其他3名学生选一人，有C 13种，其余三人分配到B 、C 两个馆，有C 23·A 22种，因此有C 13·C 23·A 22＝18种分配方案；若A 馆分配二人，可从除甲以外的其他3名学生中选二人，有C 23种，其余两人分配到B 、C 两个馆，有A 22种，因此有C 23·A 22＝6种，故一共有18＋6＝24种分配方案．二、填空题(每小题7分，共21分)7. 在全运会期间，5名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有__________种．答案：150解析：现将5名志愿者按2,2,1或1,1,3分组，再排列，共有(C 25C 23C 112！＋C 15C 14C 332！)A 33＝150种不同的安排方法．8. [2012·广东联考]某国家代表队要从6名短跑运动员中选4人参加亚运会4×100 m 接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有______种参赛方法．答案：252解析：分情况讨论：①若甲、乙均不参赛，则有A 44＝24种参赛方法；②若甲、乙有且只有一人参赛，则有C 12·C 34(A 44－A 33)＝144种；③若甲、乙两人均参赛，则有C 24(A 44－2A 33＋A 22)＝84种，故一共有24＋144＋84＝252种参赛方法．9．[2011·湖北]给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有__________种．(结果用数值表示)答案：2143解析：如图所示六个正方形若互不相邻有：(1)不着黑色，共有1种；(2)着一格黑色共有C16＝6种；(3)着两格黑色共有C26－C15＝10种；(4)着三格黑色共有4种．共计21种．所有着色情况共有26＝64种，又由上知互不相邻的着色方案有21种．故至少有两个相邻的着色方案共有64－21＝43种．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 某班某天有七节课上午4节，下午3节，安排语、数、外、理、化、生及体育，要求数学在上午，体育在上午第四节或下午共有多少种不同的排课方法．解：以元素为线索，先排数学，再排体育最后排没有限制的其它5节，数学可以上午的四节中任选一节有4种方法，而对于数学排在一二三节与排在第四节，再排体育方法数不一样，所以分类，第一类，数学在前三节，A13A14A55，第二类数学在第四节有A13A55.∴共有A13A14A55＋A13A55＝1800.11．有5张卡片的正反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排在一起组成三位数，共可以组成多少个不同的三位数？解：以“元素”进行分类，满足下列条件的三位数有以下三类：(1)不要0和1的有C34·A33·23个；(2)要1不要0的有C24·A33·22个；(3)要0不要1的有2C24·22·A22个．故共可得到不同的三位数有C34·A33·23＋C24·A33·22＋2C24·22·A22＝432(个)．12．有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？解：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2、3、4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种放法．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，有C24种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A34种放法．由分步计数原理，知共有C24A34＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C14种分法，再放到2个盒子内，有A24种放法，共有C14A24种方法；②2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C24种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，放入2个盒子内，也有C24种选法，共有C24C24种方法．由分类计数原理知共有C14A24＋C24C24＝84种不同的放法．。

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第2章第10节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·龙岩质检]已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，给出下列四个结论：①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减； ②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值； ④当x ＝7时，函数f (x )有极小值．则其中正确的是( ) A. ②④ B. ①④ C. ①③ D. ②③答案：A解析：由图像可知函数f (x )在(－3,1)内单调递增，在(1,7)内单调递减，在(7，＋∞)内单调递增，所以①是错误的；②是正确的；③是错误的；④是正确的．故选A.2. [2012·山东烟台一模]已知函数f (x )的图像过点(0，－5)，它的导数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得最大值－5时，x 的值应为( )A. －1B. 0C. 1D. ±1 答案：B解析：由题意易知f (x )＝x 4－2x 2－5.由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝±1，只有f (0)＝－5，故选B.3. [2012·江西七校联考]函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致是( )答案：A解析：令g (x )＝f ′(x )＝cos x －x sin x ，则g (－x )＝cos(－x )－(－x )sin(－x )＝cos x －x sin x ＝g (x )，即函数f ′(x )是偶函数，其图像关于y 轴对称．当0<x <π2时，g ′(x )＝－sin x －(x cos x＋sin x )<0，此时f ′(x )是减函数，因此结合各选项知，选A.4. 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图像如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为 ( )A ．(－∞，12)∪(12，2)B ．(－∞，0)∪(12，2)C ．(－∞，12)∪(12，＋∞)D ．(－∞，12)∪(2，＋∞)答案：B解析：由f (x )图像单调性可得f ′(x )在(－∞，12)∪(2，＋∞)大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞，0)∪(12，2)．5. [2011·湖南]设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A. 1B. 12C.52D.22答案：D解析：当x ＝t 时，|MN |＝|f (t )－g (t )|＝|t 2－ln t |，令φ(t )＝t 2－ln t ，∴φ′(t )＝2t －1t ＝2t 2－1t，可知t ∈(0，22)时，φ(t )单调递减；t ∈(22，＋∞)时，φ(t )单调递增，∴t ＝22时|MN |取最小值．6. 设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (b )g (a )答案：C解析：令y ＝f (x )·g (x )，则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )，由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，所以y 在R 上单调递减，又x <b ，故f (x )g (x )>f (b )g (b )．二、填空题(每小题7分，共21分)7. f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．答案：6解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ， f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6，若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x ＝2是极小值点，故c ＝2不合题意，所以c ＝6.8. 关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－4,0)解析：由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2，当x <0时f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a >0－4－a <0，解得－4<a <0.9. [2012·山东聊城外国语学校一模]一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为s ＝27t －0.45t 2米，则列车刹车后__________秒车停下来，期间列车前进了__________米．答案：30 405解析：s ′(t )＝27－0.9t ，由瞬时速度v (t )＝s ′(t )＝0得t ＝30(秒)，期间列车前进了s (30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立．故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0. 由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln2a )上单调递减，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0.不符合要求．综合得a 的取值范围为(－∞，12]．11. [2011·南昌一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2＋bx ＋c (x <1)a ln x (x ≥1)的图像过点(－1,2)，且在x ＝23处取得极值．(1)求实数b ，c 的值；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．解：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋b ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2，f ′(23)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＋c ＝2，－3×49＋43＋b ＝0，解得b ＝c ＝0. (2)由(1)知：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2(x <1)，a ln x (x ≥1).①当－1≤x <1时，f ′(x )＝－x (3x －2)，解f ′(x )>0得0<x <23；解f ′(x )<0得－1≤x <0或23<x <1.∴f (x )在[－1,0)和(23，1)上单减，在(0，23)上单增，由f ′(x )＝－x (3x －2)＝0得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝2，f (23)＝427，f (0)＝0，f (1)＝0，∴f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增， ∴f (x )在[1，e]上的最大值为a .∴当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2. 12. [2012·山东烟台一模]已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，则当x ∈(0，1e )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①0<t <t ＋2<1e，不成立舍去；②0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f (1e )＝－1e；③1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t . 所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1e，t ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2.①x ∈(0,1)，h ′(x )<0，h (x )单调递减； ②x ∈(1，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立．所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围是(－∞，4]．。

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第8章第6节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·陕西]设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A. y 2＝－8x B. y 2＝8x C. y 2＝－4x D. y 2＝4x答案：B解析：由抛物线的准线方程为x ＝－2，则焦点F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4. 故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选B.2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2 答案：C解析：设标准方程为x 2＝－2py (p >0)，由定义知P 到准线距离为4，故p2＋2＝4，∴p ＝4， ∴方程为x 2＝－8y ，代入P 点坐标得m ＝±4.3．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝－36x 2C ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案：D解析：分两类a >0，a <0可得 y ＝112x 2，y ＝－136x 2. 4. [2012·湖北武汉]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1,0)的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，且A F →·B F →＝0，则直线AB 的斜率k 等于( )A. 2B. 22 C. 3D.33答案：B解析：焦点F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：y ＝k (x ＋1)，代入y 2＝4x 中，得k 2(x 2＋2x ＋1)＝4x ， k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝4－2k 2k2，x 1·x 2＝1.又A F →·B F →＝(1－x 1)(1－x 2)＋y 1y 2 ＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋2x 1·2x 2 ＝1－4－2k 2k 2＋1＋4×1＝0，∴k ＝22或k ＝－22(舍去)，故选B.5. 已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上的一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 32＋1答案：B解析：设抛物线焦点为F ，圆的圆心为C ，点P 到抛物线准线的距离为d 1，即点P 到抛物线焦点的距离为d 1，要使d 1＋d 2的值最小，所以有d 1＋d 2＝|PF |＋|PQ |≥|PF |＋|PC |－1≥|CF |－1＝5－1＝4，∴d 1＋d 2的最小值是4.故选B.6．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|M N →|·|M P →|＋M N →·N P →＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3,0)的距离的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：因为M (－3,0)，N (3,0)，所以M N →＝(6,0)，|M N →|＝6，M P →＝(x ＋3，y )，N P →＝(x －3，y )．由|M N →|·|M P →|＋M N →·N P →＝0得6(x ＋3)2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x ，从而可知点M 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到点M 的距离的最小值就是原点到点M (－3,0)的距离为3.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·北京朝阳]已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝__________.答案：3解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1. 根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.8. 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是__________．答案：2解析：直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，动点P 到l 2的距离等于动点P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，问题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ，即d ＝|4－0＋6|5＝2.9．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．答案：y 2＝4x解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝axy ＝x ，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB 中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x .三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程．解：设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，直线y ＝2x ＋1与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，y ＝2x ＋1，消去y 得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝a －44，x 1x 2＝14.由|AB |＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －442－4×14＝15，解得a ＝12或a ＝－4，均满足Δ＝(4－a )2－16＞0. 所以抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .11. 如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上．过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解：(1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4， ∴OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)． ∵OA →＋OB →＝(－4，－12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2. 故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y .(2)据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△APB 的面积最大．设点P (x 0，y 0)，由y ′＝－x ，故由－x 0＝2得x 0＝－2，则y 0＝－12x 20＝－2，故P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0. 故|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410，故△ABP 的面积的最大值为 12·|AB |·d ＝12×410×455＝8 2. 12. [2011·浙江]已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M .(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y ＝－14，所以圆心M (0,4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，x 20)，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，由题意得x 0≠0， x 0≠±1，x 1≠x 2.设过点P 的圆C 2的切线方程为y －x 20＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋x 20.① 则|kx 0＋4－x 20|1＋k 2＝1，即(x 20－1)k 2＋2x 0(4－x 20)k ＋(x 20－4)2－1＝0.设P A ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝2x 0(x 20－4)x 20－1，k 1k 2＝(x 20－4)2－1x 20－1.将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 20＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝x 21－x 22x 1－x 2＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝2x 0(x 20－4)x 20－1－2x 0，k MP ＝x 20－4x 0.由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝(2x 0(x 20－4)x 20－1－2x 0)·(x 20－4x 0)＝－1，解得x 20＝235，即点P 的坐标为(±235，235)，所以直线l 的方程为y ＝±3115115x ＋4.。

高考数学(鲁、京、津(理科))考前抢分必做：“10+5”专项练10 Word版含解析

“10＋5”专项练101．设集合A ＝{x |12<x <3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}，则A ∩B 等于( )A ．{x |12<x <2}B ．{x |－1<x <3}C ．{x |12<x <1}D ．{x |1<x <2}答案A2．(2016·课标全国乙)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( )A ．1B. 2 C.3D ．2答案B解析由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.3．已知命题p ：“∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0”，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≥0B ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1>0C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0答案C4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)，且函数f (x )的部分图象如图所示，则有( )A ．f (－3π4)<f (5π3)<f (7π6)B ．f (－3π4)<f (7π6)<f (5π3)C ．f (5π3)<f (7π6)<f (－3π4)D ．f (5π3)<f (－3π4)<f (7π6)答案D解析由题意T ＝43(5π6－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2，又∵2×π12＋φ＝π2，解得φ＝π3，∴f (x )＝A sin(2x ＋π3)，由图象知f (x )的一个减区间是(π12，7π12)，一个增区间是(7π12，1312π)，f (－3π4)＝f (π4)，f (5π3)＝f (2π3)＝f (2×7π12－2π3)＝f (π2)，f (7π6)＝f (π6)，π12<π6<π4<π2<7π12，所以f (π6)>f (π4)>f (π2)，故选D.5．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100]，则图中x 的值等于( )A．0.12B．0.012C．0.18D．0.018答案D解析依题意，0．054×10＋10x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x＝0.018，故选D.6．(2016·四川)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()A．－4B．－2C．4D．2答案D解析∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.7．如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，曲线y＝x经过点B.小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是()A.512B.12C.23D.34答案C解析图中阴影部分是事件A 发生的区域，其面积S 阴＝ʃ40x d x ＝23x 32|40＝163， S 长方形＝4×2＝8，∴所求概率P ＝S 阴S 长方形＝1638＝23.故选C. 8．(2016·天津)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析设数列的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )<0，即q <－1，故q <0是q <－1的必要而不充分条件．故选C.9．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.3＋1B.2＋1C.3－1D.2－1答案D解析设点P 在x 轴上方，则依题意，P 点的坐标为(c ，b 2a )．因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以b 2a ＝2c ，b 2＝2ac ，即a 2－c 2＝2ac ，两边除以a 2得1－e 2＝2e ，解得e ＝2－1(e ＝－2－1舍去)，故选D.10．已知f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－72，＋∞)C ．(－∞，－72)∪(－1，＋∞)D ．(－72，－1)答案D解析本题考查函数零点及函数与方程的关系．当x ∈(0,1]时，f (x )＝1－x 2＋x 2＋kx ＝kx ＋1，此时方程f (x )＝0有一个零点－1k ；当x ∈(1,2)时，f (x )＝g (x )＝x 2－1＋x 2＋kx ＝2x 2＋kx －1.∵g (x )＝2x 2＋kx －1＝0必有一正根、一负根，∴正根一定位于区间(1,2)上，即⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)>0，0<－1k ≤1，解得－72<k <－1，故选D.11．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f (52)＝________. 答案－1解析因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f (52)＝f (－12＋3)＝f (－12)＝4×(－12)2－2＝－1.12．如果执行下面的程序框图，那么输出的S ＝________.答案2解析开始i ＝0，S ＝2，判断i <4？是，i ＝1，S ＝2－12＋1＝13，判断i <4？是，i ＝2，S ＝13－113＋1＝－12，判断i <4？是，i ＝3，S ＝－12－1－12＋1＝－3，判断i <4？是，i ＝4，S ＝－3－1－3＋1＝2，判断i <4？否，输出2，所以答案为2.13．(2x 2＋x －1)5的展开式中，x 3的系数为__________．(用数字填写答案)答案－30解析因为(2x 2＋x －1)5＝(2x －1)5(x ＋1)5，所以x 3的系数为：C 2523·1－C 3522·C 45＋C 4521·C 35－C 5520·C25 ＝－30.14．(2016·上海)已知△ABC 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________．答案733解析利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32，由正弦定理得2R ＝732，所以该三角形的外接圆半径R ＝733.15．观察下面等式，则按此规律第n 个等式为____________________________．1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……………………答案n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析等式的右边为1,9,25,49，…，即为12,32,52,72，…，即奇数的平方，等式的左边为正整数为首项，每行个数为对应奇数的和，所以第n 个式子的右边为(2n －1)2，左边为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，所以第n个式子为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.。

高考数学(鲁、京、津(文科))考前抢分必做：“10+5”专项练3 Word版含解析

“10＋5”专项练31．(2016·天津)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}答案 D解析因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．故选D.2．设z 是纯虚数，若1－i z ＋2是实数，则z 等于( ) A ．－2i B ．－iC ．i D. 2i答案 A解析设z ＝b i(b ≠0)，1－i z ＋2＝1－i b i ＋2＝(2－b )－(2＋b )i4＋b 2∈R ，∴2＋b ＝0，b ＝－2，∴z ＝－2i.3．已知命题p ：“∀x ∈1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}答案 A解析p 为真，则x 2≥a ，所以a ≤1；q 为真，则Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，解得，a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”为真命题，则a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.4．已知条件p ：x 2－2x －3＜0，条件q ：x ＞a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．a ＞3B ．a ≥3C ．a ＜－1D ．a ≤－1答案 D5．函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是()A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4答案 C解析由图象得T 4＝2，∴T ＝8，ω＝2πT ＝π4，当x ＝1时，y ＝1，∴sin(π4＋φ)＝1，则φ＝π4时符合，故选C.6．(2016·课标全国甲)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数取得的最大值为5，故选B.7．(2016·北京)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A ．1B ．2 C.2D ．2 2答案 C解析圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1,0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋(－1)2＝ 2.8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.73B.172C ．13 D.17＋3102答案 C 解析该三视图的几何体是三棱台ABC —DEF ，为正方体中的一部分，如图． BC ＝2，EF ＝22，BE ＝CF ＝5，S BCFE ＝12(2＋22)×(5)2－(22)2＝92，所以S 表＝12＋2＋2×12×(1＋2)×2＋92＝13.故选C.9．已知三角形的三边分别为a ，b ，c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ；四面体的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R .类比三角形的面积可得四面体的体积为( )A ．V ＝12(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)RB ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)RC ．V ＝14(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)RD ．V ＝(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R答案 B解析根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，∴△ABC 的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，对应于四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R .10．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递减区间是( )A ．(0，12)B ．(－12，0)和(12，＋∞)C ．(12，＋∞)D. (－∞，－12)和(0，12)答案 A解析由题意，得f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x(x >0)，又当x∈(0，12)时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，1 2)，故选A.11．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________．答案725解析共有10×10＝100(种)猜字结果，其中满足|a－b|≤1的有：当a＝0时，b＝0,1；当a＝1时，b＝0,1,2；当a＝2时，b＝1,2,3；当a＝3时，b＝2,3,4；当a＝4时，b＝3,4,5；当a＝5时，b＝4,5,6；当a＝6时，b＝5,6,7；当a＝7时，b＝6,7,8；当a＝8时，b＝7,8,9；当a＝9时，b＝8,9，共28种，所以他们“心有灵犀”的概率为P＝28100＝725.12．某班有学生55人，现将所有学生按1,2,3，…，55随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为6，a,28，b,50号学生在样本中，则a ＋b＝________.答案5613．曲线y＝x3－2x在(1，－1)处的切线方程为__________．答案x－y－2＝0解析y′＝3x2－2，y′|x＝1＝1，所以切线方程为x－y－2＝0.14．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是______．答案13解析由程序框图知：第一次循环S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；第二次循环S ＝1－31＋3＝－12，i ＝3；第三次循环S ＝1－121＋12＝13，i ＝4；第四次循环S ＝1＋131－13＝2，i ＝5；第五次循环S ＝1＋21－2＝－3，i ＝6；…S 值的周期为4， ∵跳出循环体的i 值为2 106，∴共循环了2 015次，∴输出的S ＝13. 15．(2016·山东)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．答案－5解析 ∵a ⊥(t a ＋b )，∴t a 2＋a ·b ＝0，又∵a 2＝2，a ·b ＝10，∴2t ＋10＝0，∴t ＝－5.。

高考数学(鲁、京、津(文科))考前抢分必做：“10+5”专项练8 Word版含解析

“10＋5”专项练81．已知集合A＝{x|(x－4)(x＋2)<0}，B＝{－3，－1,1,3,5}，则A∩B等于() A．{－1,1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{－1,1,3,5} D．{－3,5}答案 A2．复数53＋4i的共轭复数是()A．3－4i B.35＋45iC．3＋4i D.35－45i答案 B3．命题“∀x∈R，都有log2x>0成立”的否定为()A．∃x0∈R，使log2x0≤0成立B．∃x0∈R，使log2x0>0成立C．∀x∈R，都有log2x≥0成立D．∀x∈R，都有log2x>0成立答案 A4．已知p：x>1，y>1，q：x＋y>2，xy>1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A5．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据．计算该几何体的表面积为()A．37π B．35πC．33π D．31π答案 C解析由三视图可知，该几何体是由一个倒立的圆锥和一个半球组合而成，其中半球和圆锥的底面半径为3，圆锥的母线长为5，则几何体的表面积S ＝2πR 2＋πRl ＝18π＋15π＝33π.故选C.6．将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ (φ>0)个单位后，得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的最小值为( ) A.58π B.38π C.π4D.π8 答案 D解析将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后，可得函数f (x )＝sin2(x ＋φ)＋π4]＝sin(2x ＋2φ＋π4)的图象．再根据得到的函数图象关于y 轴对称，可得2φ＋π4的最小正值为π2，∴φ＝π8，故选D.7．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为( ) A ．8 B ．10 C ．18 D ．36 答案 C解析设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18. 8．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是 ( )A.65B.64C.66D.63答案 C解析连接BC 1，如图，由AC ∥A 1C 1可得异面直线A 1B 与AC 所成角为∠BA 1C 1，在△BA 1C 1中，A 1C 1＝1，BC 1＝5，A 1B ＝6，由余弦定理可得cos ∠BA 1C 1＝A 1B 2＋A 1C 21－BC 212A 1B ·A 1C 1＝66.9．(2016·浙江)函数y ＝sin x 2的图象是( )答案 D解析 ∵y ＝sin x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、C.又当x 2＝π2，即x ＝±π2时，y max ＝1，排除B ，故选D.10．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －3y －6≤0，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，直线(1＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋3λ－12＝0(λ∈R )过定点A (x 0，y 0)，则z ＝y －y 0x －x 0的取值范围为( )A ．(－∞，15]∪7，＋∞) B ．15，7]C ．(－∞，17]∪5，＋∞)D ．17，5] 答案 D解析由直线(1＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋3λ－12＝0可得x ＋y －12＝(－x ＋2y －3)λ，可知⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2y －3＝0，x ＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，即定点A (7,5)，故z ＝y －5x －7，由不等式组作出可行域如图，目标函数可视为点A 与可行域中的点连线的斜率，则由图可知分别取点P ，Q 时，z 取得最小、最大值，又P (0,4)，Q (6,0)，故z min ＝17，z max ＝5，故z 的取值范围为17，5].11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．答案332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 12．已知x 、y 的取值如表所示：从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝________. 答案 2.6解析根据表中数据得x ＝2，y ＝4.5，又由线性回归方程知其斜率为0.95，∴截距a ＝4.5－0.95×2＝2.6.13．(2016·课标全国乙)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 答案－23解析由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2(x ＋1)＝0⇒x ＝－23.14．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析由PF 1→⊥PF 2→知∠F 1PF 2＝90°，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，12|PF 1|·|PF 2|＝9，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，所以b ＝3.15．在平面直角坐标系中，半径为r ，以点(x 0，y 0)为圆心的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2；则类似地，在空间直角坐标系中，半径为R ，以(x 0，y 0，z 0)为球心的球的标准方程为________________．答案 (x －x 0)2＋(y －y 0)2＋(z －z 0)2＝R 2解析在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，一般为：由平面几何中圆的性质，类比推理空间几何中球的性质；故由“以半径为r ，以点(x 0，y 0)为圆心的圆的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2”，类比到空间可得的结论是：以点(x 0，y 0，z 0)为球心，R 为半径的球的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＋(z －z 0)2＝R 2.。

高考数学(鲁、京、津(文科))考前抢分必做：“10+5”专项练4 Word版含解析

“10＋5”专项练41．设全集U＝{x|x<9且x∈Z}，集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，图中阴影部分所表示的集合为()A．{1,2,3,4,5,6,7,8}B．{1,2,4,5,6}C．{1,2,4,5,6,7,8}D．{1,2,3,4,5,6}答案 B2．已知i为虚数单位，则复数2i1＋i等于()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案 A3．(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n＜x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n＜x20答案 D解析原命题是全称命题，条件为∀x∈R，结论为∃n∈N*，使得n≥x2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D选项符合．4．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案 C解析 ∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．5．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析方程x 2k －3＋y 2－(k ＋3)＝1表示双曲线，只需满足(k －3)(－k －3)＜0，解得k ＞3或k ＜－3. 所以k ＞3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件． 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83 B ．8 C.43 5 D ．45 答案 A解析该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的正方形，右侧面是腰长为5的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2，所以体积V ＝83，故选A. 7．如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为( )A.14B ．－14 C.12D ．－12 答案 A解析延长BA 到D ，使得AD ＝AC ，则ADA 1B 1为平行四边形，∴AB 1∥A 1D ，∴∠DA 1C 就是异面直线AB 1和A 1C 所成的角，又△ABC 为等边三角形，设AB ＝AA 1＝1，∠CAD ＝120°，则CD ＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD＝1＋1－2×1×1×(－12)＝3，A 1C ＝A 1D ＝2，在△A 1CD 中，cos ∠DA 1C ＝(2)2＋(2)2－(3)22×2×2＝14，故选A.8．设函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则数列{1f (n )}的前9项和是( ) A.2936B.3144 C.3655D.4366答案 C解析由题意得函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，即ax a －1＋a ＝2x ＋2，所以a ＝2，即f (x )＝x 2＋2x ，1f (n )＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，所以S n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)，则S 9＝12(1＋12－110－111)＝3655，故选C. 9．若在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点，则△PBC 的面积大于S4的概率是( ) A.14B.12 C.34D.23 答案 C 解析如图，在AB 边上取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′上(不包括P ′点)运动，则所求概率为AP ′AB ＝34.10．(2016·课标全国甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k 等于( ) A.12B ．1 C.32D ．2 答案 D解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1,2)，代入曲线y ＝kx (k >0)得k ＝2，故选D. 11．sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°＝________. 答案12解析 sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107° ＝sin 47°cos 17°－cos 47°sin 17°＝sin(47°－17°) ＝sin 30°＝12.12．(2016·课标全国丙改编)执行下面的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝________.答案 4解析第一次循环a ＝6－4＝2，b ＝6－2＝4，a ＝4＋2＝6，s ＝6，n ＝1；第二次循环a ＝4－6＝－2，b ＝4－(－2)＝6，a ＝6－2＝4，s ＝10，n ＝2；第三次循环a ＝6－4＝2，b ＝6－2＝4，a ＝4＋2＝6，s ＝16，n ＝3；第四次循环a ＝4－6＝－2，b ＝4－(－2)＝6，a ＝6－2＝4，s ＝20，n ＝4，满足题意，结束循环．13．在一次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组样本数据：由表中数据求得y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.6x ＋a ^，若年龄x 的值为50，则y 的估计值为________．答案 32解析由题意可得x ＝30，y ＝20，将(30,20)代入y ^＝0.6x ＋a ^，解得a ^＝2，所以线性回归方程为y ^＝0.6x ＋2，再将x ＝50代入y ^＝0.6x ＋2得y ^＝32，故答案为32. 14．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是________．答案 47解析 22＋(10－5)×5＝47.15．(2016·北京)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 答案 1解析由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12，又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6. 所以b c ＝sin Bsin C ＝sin π6sin π6＝1.。

高考数学(鲁、京、津(文科))考前抢分必做：“10+5”专项练9 Word版含解析

“10＋5”专项练91．复数z＝5＋i1＋i的虚部为()A．2 B．－2C．2i D．－2i答案 B2．命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是() A．綈p：∀x∈R，x≤1B．綈p：∃x0∈R，x0≤1C．綈p：∀x∈R，x<1D．綈p：∃x0∈R，x0<1答案 A3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32B. 3C．23D．2 答案 B解析因为S＝12×AB×AC sin A＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝ 3.4．(2016·课标全国乙)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足()A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5x答案 C解析执行题中的程序框图，知第一次进入循环体：x＝0＋1－12＝0，y＝1×1＝1，x2＋y2<36；第二次执行循环体：n＝1＋1＝2，x＝0＋2－12＝12，y＝2×1＝2，x2＋y2<36；第三次执行循环体：n＝2＋1＝3，x＝12＋3－12＝32，y＝3×2＝6，x2＋y2>36，满足x2＋y2≥36，故退出循环，输出x＝32，y＝6，满足y＝4x，故选C.5．设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B6．(2016·课标全国甲)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A．x＝kπ2－π6(k∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )答案 B解析由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为( )A ．2 B.83C ．3 D.103答案 A解析由三视图知，S 底＝12×(1＋2)×2＝3，∴V ＝13S 底·h ＝13×3×2＝2.8．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解析由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－25x＋15z，在图中画出直线y＝－25x，平移该直线，易知经过点A时z最小．又知点A的坐标为(3,0)，∴z min＝2×3＋5×0＝6.故选B.9．(2016·课标全国乙)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是() A．(－1,3) B．(－1，3)C．(0,3) D．(0，3)答案 A解析∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故选A.10．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)>f(x)，则下列结论正确的是()A．f(1)>e f(0) B．f(1)<e f(0)C．f(1)>f(0) D．f(1)<f(0)解析令g (x )＝f (x )e x ， ∴g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x， ∵f ′(x )＞f (x )，∴g ′(x )＞0，g (x )在R 上单调递增，∴g (1)＞g (0)，即f (1)e >f (0)e 0，∴f (1)＞e f (0)．11．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素个数是________．答案 4解析由给出的定义得A ×B ＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log 22＝1，log 24＝2，log 28＝3，log 44＝1，因此一共有4个元素．12．某部门调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的线性回归方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．答案 0.254解析当x 增加1时y ^增加0.254，所以家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．13．(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案 20解析设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得，⎩⎨⎧ a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.14．已知下列四个等式：21×1＝222×1×3＝3×423×1×3×5＝4×5×624×1×3×5×7＝5×6×7×8…依此类推，猜想第n 个等式为__________________．答案 2n ×1×3×5×7×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)×…×(n ＋n )解析观察给出的四个等式可以发现第n 个等式的左边是2n 乘上从1开始的n 个奇数，右边是从(n ＋1)开始的n 个连续正整数的积，根据这一规律即可归纳出第n 个等式为2n ×1×3×5×7×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)×…×(n ＋n )．15．在△ABC 中，若|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF→＝________. 答案109解析 ∵|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|， ∴AB →·AC→＝0，即AB →⊥AC →，如图建立平面直角坐标系，∵AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，∴E (23，23)，F (43，13)，AE →·AF →＝109.。

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第10章第5节
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC ，∠BOC 都不小于15°的概率为( )
A.1
4 B.13 C.12 D.23
答案：D
解析：假设在扇形中∠AOC ＝∠BOC ′＝15°，则∠COC ′＝60°，当射线落在∠COC ′内时符合题意，故所求概率为P ＝60°90°＝23
.
2．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S
4
的概率为( )
A. 14
B. 34
C. 716
D. 916
答案：D
解析：如图，假设当点P 落在EF 上时(EF ∥BC )，恰好满足△PBC 的面积等于S
4，作PG
⊥BC ，AH ⊥BC ，则易知PG AH ＝1
4.又易知符合要求的点P 可以落在△AEF 内的任一位置，所
以所求的概率P ＝S △AEF S △ABC ＝9
16
.
3．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )
A. 112
B. 38
C. 116
D. 56
答案：C
解析：到达路口看到红灯或黄灯或绿灯是一次试验，则该试验的结果有无限个，属于几何概型．设看到黄灯亮为事件A ，构成事件A 的“长度”等于5，试验的全部结果构成的区域长度是30＋5＋45＝80，所以P (A )＝580＝1
16
.
4．[2012·广东肇庆]在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( )
A. 14
B. 13
C. 12
D. 23
答案：C
解析：由sin x ＋3cos x ≤1得2sin(x ＋π
3)≤1，
即sin(x ＋π3)≤1
2
.
由于x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈[π3，4π
3]，
因此当sin(x ＋π3)≤12时，x ＋π3∈[5π6，4π
3]，
于是x ∈[π
2
，π]．
由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为 P ＝π－π2π－0＝1
2
.
5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A.18
B.116
C.127
D.38
答案：C
解析：一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P ＝
1
27
，应选C. 6．[2012·东北三校一模]已知实数a ，b 满足－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则函数y ＝1
3x 3－ax 2
＋bx ＋5有极值的概率为( )
A. 14
B. 1
2 C. 2
3 D. 34
答案：C
解析：y ′＝x 2－2ax ＋b ，当方程x 2－2ax ＋b ＝0有两个不同实根，即a 2>b 时，函数y ＝1
3
x 3－ax 2＋bx ＋5有极值点，如图，阴影部分面积为2＋a 2d a ＝2＋13a 3| 1－1
＝8
3
，所以函数y ＝1
3x 3－ax 2＋bx ＋5有极值的概率为S 阴影S 正方形ABCD ＝834＝23
，故选
C.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为__________．答案：13
解析：根据几何概型概率的计算公式，可得所求概率为1－02－(－1)＝13
，故填1
3.
8．关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若从区间[0,6]中随机取两个数a 和b ，则方程有实根且a 2＋b 2≤36的概率为________．
答案：π
8
解析：由题意知，判别式Δ＝4a 2－4b 2≥0，又∵a 和b 为非负数，∴a ≥b ，则a 和b 满
足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2≤36
a ≥b
0≤a ≤6
0≤b ≤6
，作出此不等式组表示的区域为图中阴影部分所示，又易知阴
影部分的面积为45360×π×62＝9π2，故所求概率P ＝9π
26×6＝π
8
.
9．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
答案：2
3
解析：先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距
离小于1或等于1的概率为：2
3π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝2
3
.
三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10．公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min 的概率．
解：设事件A ＝{候车时间不超过3 min)．x 表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x ，假定乘客到达车站后一辆公共汽车来到的时刻为t ，如图所示，乘客必然在(t －5，t ]来到车站，t －5<x ≤t ，欲使乘客的候车时间不超过3 min ，必有t －3≤x ≤t ，所以P (A )＝3
5
＝
0.6.
11. 如图，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
解：弦长不超过1，即|OQ |≥
3
2
，而Q 点在直径AB 上，是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝3
2
.
∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32
. 答：所求弦长不超过1的概率为1－
32. 12. 已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.
(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －8≤0，x >0，
y >0，内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是
增函数的概率．
解：(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图像的对称轴为x ＝2b
a
，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2b
a
≤1即2b ≤a .
若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1；若a ＝3，则b ＝－1,1. ∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5. ∴所求事件的概率为515＝1
3
.
(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函
数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫(a ，b )⎪⎪
⎪⎪
a ＋
b －8≤0a >0b >0，构成所求事件的区域为三角形部分，由⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b －8＝0，b ＝a 2，
得交点坐标为(163，8
3
)，
∴所求事件的概率为P ＝12×8×8
312
×8×8＝1
3.。

高三数学 课堂训练10-5