高考数学一轮复习3.3三角函数的图象和性质课时达标训练文湘教版

2016届高考数学一轮复习 3.3三角函数的图象和性质课时达标训练文 湘教版一、选择题 1．函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R【解析】 由题意得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .【答案】 C2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )【解析】 若0<a <1时，则周期T ＝2π|a |>2π，则A 正确；若a >1，则周期T ＝2π|a |<2π，则B 正确；当a ＝0，则C 正确，故选D. 【答案】 D3．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32C ．2D ．3 【解析】 ∵f (x )＝2sin ωx (ω＞0)的最小值是－2， 此时ωx ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴x ＝2k πω－π2ω，k ∈Z ，∴－π3≤2k πω－π2ω≤0，k ∈Z ，∴ω≥－6k ＋32且k ≤0，k ∈Z ，∴ωmin ＝32.【答案】 B4．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )A.π3 B.2π3 C ．π D.4π3【解析】 画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3.【答案】 A5．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s 旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：s)的函数的单调递增区间是( )A ．[0，1]B ．[1，7]C ．[7，12]D ．[0，1]和[7，12]【解析】 ∵T ＝12，∴ω＝2π12＝π6， 从而设y 关于t 的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ. 又∵t ＝0时，y ＝32，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3，∴2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2，即12k －5≤t ≤12k ＋1，k ∈Z 时，y 递增．∵0≤t ≤12，∴函数y 的单调递增区间为[0，1]和[7，12]． 【答案】 D6．(2014·原创题)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则下列关于函数f (x )的说法中正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )的最小正周期为πC ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π12上是增函数 【解析】 对于选项A ，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin π3＝32≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f (x )不是偶函数；对于选项B ，由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π， 而f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是将f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的x 轴上方的图象保持不变，x轴下方的图象关于x 轴对称到上方去，因此f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为f (x )＝sin2x ＋π3的周期的一半，故选项B 不正确；对于选项C ，由于f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象不是中心对称图形，因此也不正确；对于选项D ，由三角函数的性质可知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间是k π≤2x＋π3≤k π＋π2(k ∈Z )，即k π2－π6≤x ≤k π2＋π12(k ∈Z )，当k ＝1时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π12，故选D.【答案】 D 二、填空题7．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．【解析】 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x （sin x ≥cos x ），sin x （sin x <cos x ）.画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 8．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ＝________________.【解析】 因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －θ＋π6为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，故2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －θ＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －θ＋π6，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋θ－π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －θ＋π6，而－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －θ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋3x －θ＋π6， ∴3x ＋θ－π6＝π＋3x －θ＋π6＋2k π，k ∈Z ，即θ＝2π3＋k π，k ∈Z ，也即是θ＝－π3＋k π，k ∈Z .【答案】 k π－π3，k ∈Z9．已知过原点的直线与函数y ＝|sin x |(x ≥0)的图象有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，则（1＋α2）sin 2α2α的值为________．【解析】 y ＝|sin x |(x ≥0)的图象如图，若过原点的直线与函数y ＝|sin x |(x ≥0)的图象有且只有三个交点，则第三个交点的横坐标为α，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，又在区间(π，2π)上，y ＝|sin x |＝－sin x ，则切点坐标为(α，－sin α)，又切线斜率为－cos α，则切线方程为y ＋sin α＝－cos α(x －α)， y ＝－cos α·x ＋αcos α－sin α，又直线过原点，把[0，0)代入上式得，α＝tan α，∴（1＋α2）sin 2α2α＝（1＋tan 2α）2sin αcos α2tan α＝(1＋tan 2α)cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos αcos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1. 【答案】 110．设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5； ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )； ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．以上结论正确的是________(写出正确结论的序号)．【解析】 由f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴，又∵f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 的周期为π，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3π4可看作x ＝π6的值加了34个周期．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0，故①正确．∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30， ∴7π10和π5与对称轴的距离相等． ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，故②不正确． ∵x ＝π6是对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.∴π3＋φ＝±π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z .∵tan φ＝ba＝13，∴a ＝3b .∴f (x )＝2|b |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6或f (x )＝2|b |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6. ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知，f (x )＝2|b |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ，f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －56π的单调递增区间为π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z ， 由于f (x )的解析式不确定，∴单调递增区间也不确定，故④不正确．∵f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)其中tan φ＝ba， ∴－a 2＋b 2≤f (x )≤a 2＋b 2. 又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0.∴－a 2＋b 2＜b ＜a 2＋b 2.∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图象相交，故⑤不正确． 【答案】 ①③ 三、解答题11．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．【解析】 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又∵a >0，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .综上，g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )；递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．【解析】 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，∴－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立． 又∵ω>0，∴cos φ＝0. 依题设0≤φ≤π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝cos ωx ，其对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋k πω，0(k ∈Z )． ∵f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，∴令π2＋k πω＝3π4，∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0，1，2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数； 当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是单调函数． 综上得φ＝π2，ω＝23或ω＝2.13．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值．【解析】 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)方法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－πx 4－π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4＋π3.当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方法二 区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2， 且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值． 由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。