经典电动力学5
5电动力学的相对论不变性
2. 四维势矢量
麦克斯韦方程组的协变性。在第五章中我们把麦
克斯韦方程组通过势 A 和 φ 表示出来。
势方程的协变性
用势表出的电动力学基本方程组在洛伦兹规范下为[
见第五章（1.9）式]
2A
1 c2
2A t 2
0J
2
1 c2
2
t 2
0
（5.9）
7
及规范条件（洛伦兹条件）
A
1 c2
t
0
（5.10）
首先我们注意到，微分算符
2 1 2 c2 t2 x x
是洛伦兹标量算符。 ）
用这算符可以把（5.9）式写为
（5.11）
A 0J,
0c2
（5.12）
(c2 1 )
0 0
8
在上式中，电流密度J 激发矢势A，电荷密度ρ激发
标势φ。既然J 和ρ构成一个四维矢量，在参考系变换下
它们按一定方式变换，则A和φ自然也应该统一为一个
F
A x
A x
（5.19）
由（5.18）式可见，电磁场构成一个四维张量
0
B3
B2
i c
E1
B3
0
F
B2
B1
B1
i c
E2
0
i c
E3
i c
E1
i c
E2
i c
E3
0
（5.20）
13
用电磁场张量可以把麦克斯韦方程组写为明显的协
变形式。这方程组中的一对方程
E ,
0
B
0 0
E t
0J
可以合写为
F x
0J
（5.21）
14
电动力学高教第三版5精品课件(2024)
康普顿散射与经典电磁理论的差异
经典电磁理论认为光是一种波动现象，而康普顿散射实验表明光具有粒子性。这种差异促进了量子力学 的发展，并推动了现代物理学的进步。
26
电动力学的发展历史及重 要人物
电动力学与经典物理学的 关系
电动力学在现代科技中的 应用
4
电磁场基本概念
2024/1/26
01
电磁场的基本性质
02 电磁场的描述方式：电场强度、磁感应强 度
03
电磁场的源：电荷与电流
04
电磁场的能量与动量
5
矢量分析与场论初步
标量与矢量场
矢量及其运算
01
梯度、散度与旋度的定义及
电场强度的叠加原
理
多个点电荷在空间中某点产生的 电场强度是各个点电荷单独存在 时在该点产生的电场强度的矢量 和。
2024/1/26
8
电势与电势差
电势
描述电场中某点的电势能高低，是标量，具 有相对性。通常选择无穷远处为电势零点。
2024/1/26
电势差
两点间电势的差值，等于将单位正电荷从一点移动 到另一点时电场力所做的功。
黑体辐射的应用
黑体辐射在热力学、光谱学等领域有广泛应用，如测量温度、分析物 质成分等。
2024/1/26
25
康普顿散射实验及意义
2024/1/26
康普顿散射实验
康普顿散射实验是指X射线或伽马射线与物质中的电子发生碰撞，导致射线方向改变并伴随能量损失的过程。该实验 证实了光子的粒子性。
康普顿散射的意义
电动力学第五章答案
v
v
解
v v 1 ∂ϕ A 与 ϕ 满足洛仑兹规范 故有 ∇ ⋅ A + 2 =0 c ∂t v Q ϕ = −∇ ⋅ Ζ 代入洛仑兹规范 有 v 1 ∂ v ∇ ⋅ A + 2 ⋅ (−∇ ⋅ Ζ) = 0 c ∂t
k
v v v v* ∴ 要使上式成立 仅当 k ⋅ a k = k ⋅ a k = 0时 v v v ∴ 故 证得当取 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 k ⋅ a k = 0 vv vv v v v v* ik ⋅ x 3 已知 A( x , t ) = ∑ [a k (t )e + ak (t )e −ik ⋅ x ]
第五章
电磁波的辐射
如果取 ϕ = 0
有
v v B = ∇× A v v ∂A E=− ∂t
代入方程
v v ∂D ∇× H = ∂t v ∇⋅D = 0
有
v v ∂D 1> ∇ × H = ∂t
v v ∂E ∇ × B = εµ ∂t
∴ 由 1>2>得
v ∇⋅ A = 0
2
kh
v v E , B 相互垂直 v v E , B 同相 振幅比为 υ v v
1
2 可表示的波正是符合条件的平面波
所以命题得证 4. 设真空中矢势 A( x , t ) 可用复数傅立叶展开为 A( x , t ) =
v v
v v
v d 2 a k (t ) v v 1 证明 a k 满足谐振子方程 + k 2 c 2 a k (t ) = 0 2 dt
2 当选取规范 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 3 把 E和B 用 a k 和 a k 表示出来
经典电动力学jackson英文版
经典电动力学jackson英文版Jackson's classic book on Electrodynamics is a must-read for students and professionals in the field of physics. It provides a comprehensive and rigorous treatment of the subject, covering both classical and modern topics. 《经典电动力学jackson英文版》是物理学领域学生和专业人士必读的经典之作，它全面而严谨地阐述了这一主题，涵盖了古典和现代话题。
One of the key strengths of Jackson's book is its clarity and depth of explanation. The author takes the time to carefully derive each equation and explain the reasoning behind it, making it easier for readers to understand the underlying principles. 《经典电动力学jackson英文版》的一大优点是其简洁和深入的解释。
作者花时间仔细推导每一个方程，并解释背后的推理，让读者更容易理解其基本原理。
In addition to its clear explanations, Jackson's book also contains a wealth of examples and problems that help reinforce the concepts discussed in the text. These examples not only illustrate the application of theoretical concepts in real-world situations but also help readers develop their problem-solving skills. 除了清晰的解释外，《经典电动力学jackson英文版》还包含大量的例子和问题，有助于加强课文中讨论的概念。
【电动力学课件】5-2-3 推迟势-电偶极辐射
ρ, J
r ≈ R − n ⋅ x′
由此得到
ik ( R − n⋅ x ′ ) ′ µ 0 J ( x )e A( x ) = dV ′ ∫ 4π V R − n ⋅ x ′
20
根据小区域的意义
l ~| x ′ |<< λ ,
l ~| x ′ |<< r.
因此，在计算辐射场时只须保留1/R的最低次项。 而 R > r , r >>| x ′ |，所以分母中可以去掉 n ⋅ x ′ 项。但分子不能去掉 n ⋅ x ′ 项，这是因为这项贡献 一个相因子： − ikn⋅ x ′ − i 2πn⋅ x ′ / λ
1
1. 先分析解的形式
设原点处有一假想变化电荷Q(t), 其电荷密度为：
ρ ( x , t ) = Q(t )δ ( x )
这电荷辐射的势满足达朗贝尔方程：
2 1 ∂ ϕ 1 2 ∇ ϕ − 2 2 = − Q(t )δ ( x ) c ∂t ε0
由球对称性, ϕ只依赖于r, t，与方位角无关。用球坐标表示为
4
2. 提出试探解
在静电情形,电荷Q激发的电势 所以我们猜想方程(1)的解为：
ϕ=
Q 4πε0 r
(5)
r Q(t − ) ϕ (r , t ) = 4πε0 r c
(1) 的解。而r=0是式(5)的奇点，所以
1
证： 当r≠0时，式(5)显然是方程(2)的解，因而也是方程
只有在r=0点上才可能不等于零，可能有δ函数形式的 奇异性。
Β = ∇× Α ∂Α 和 Ε = −∇ϕ − ∂t 求出任意一点的电磁场。当然, 电磁场本身反过来也对电荷 电流发生相互作用, 因而激发区内的电荷电流分布是不能任 意规定的。以后在研究天线辐射问题时再作具体讨论。
电动力学第五章—
19
电动力学
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
尔方程化为：
1 2 1 2 Q(t ) (r ) (r ) 2 2 2 r 0 r r c t
＊
1 2 1 2 当 r 0 时， 2 (r ) 2 0 2 r r r c t 2 2 u 1 u u (r , t ) 2 2 0 令 (r , t ) 2 r c t r
2、达朗贝尔方程及推迟势的物理意义； 3、矢势的展开和偶极辐射； 4、电磁场的动量守恒。
• 本章难点： 1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 2、电磁场动量密度张量的引入和意义。
第五章 电磁波的辐射
17
电动力学
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间 变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源 向外运动，这被称为电磁波的辐射。
A E A t t 引入标量势函数 A E t
第五章 电磁波的辐射
A (E ) 0 t A E t
22
电动力学
5- 1
电磁场的矢势和标势
二．规范变换和规范不变性
第五章 电磁波的辐射
24
A A A E ( ) t t t t t
电动力学第五章 电磁辐射
•• 2
P 32π ε 0 c
2 3
∫
2π
0
dϕ ∫
π
0
4 1 2π ⋅ = sin θ dθ = 2 3 32π ε 0 c 3 4πε 0 3c3
3
P
P
例1. P165
ɺ 解：由于P = I ∆l = Re I 0e−iωt ∆lez = I 0 cos ωt ∆lez ɺ = I e−iωt ∆le , P
z
k B
P
E
注意：这里 ∇ ⋅ E = 0 ，磁场必须是闭合的。且由于只 1 ∇ 不需作用到 1 上， 保留 R 的最低次项，因此算符 R i ( kR −ω t ) 仅需作用到相因子 e 上。 四、辐射能流，角分布，辐射功率 辐射能流，角分布， ① 电偶极的平均能流密度为
2 1 c c * * S = Re( E × H ) = [Re( B × n ) × B ] = B n 2 2 µ0 2 µ0
1 ∂2 A 1 ∂ 2ϕ ∇ A − 2 2 − ∇ (∇ ⋅ A + 2 ) = − µ0 j c ∂t c ∂t
2
（7） （8）
1 ∂ 2ϕ ∂ 1 ∂ϕ ρ ∇ 2ϕ − 2 2 + (∇ ⋅ A + 2 )=− c ∂t ∂t c ∂t ε0
若取库仑规范，则（7）（8）方程变为
1 ∂2A 1 ∂2∇ϕ ∇2A − 2 2 − 2 = −µ0 j c ∂t c ∂t ρ 2 ∇ ϕ= − ε0
S V
f
为洛伦兹力密度
二、电磁场的动量密度和动量流密度 洛伦兹力密度公式： f
ρ = ε 0∇ ⋅ E
j= 1
= ρE + j × B (1)
电动力学复习总结第五章 电磁波的辐射2012答案
别用角标L和T表示，则：由于，所以本身就是无散场，没有纵场分
量，即
，；
，，；
，，；
由（1）得：
（5）
由（2）得：
（6）
由（3）得：
（7）
由电荷守恒定律得：
又因为 ，所以 ，即
（8）
（7）式简化为
（9）
所以麦克斯韦方程租的新表示方法为：
（10）
由引入标势，，代入得，
上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以对应静止电
解：规范变换式： ，
有
即与描述同一电磁场。 1 采用库仑规范：，
即在规范变换中当满足是，就是库仑规范。 2 采用库仑规范时，电磁势方程所取形式：
3、 在什么条件下可选取，这样一种规范条件？此时，与势的关系是 什么形式？ 解：若采用库仑规范，且的自由空间,势的方程变为：
① 当在空间没有电荷分布时，可以选取库仑场的标势， 把代入①式，解得：
只保留R的最低次项，因为作用R分母上后所得项更小，可忽略。 即仅需作用于上。例如，令，
11、 一些荷质比相同的带电粒子组成的体系，不会有电偶极辐射。 为什么？ 解：设体系有N个粒子，第个粒子的质量为，电荷为，总质量为M，则电 偶极矩①
在的非相对论情形，应用质心运动定理，设质心的矢径为 即,得：， 代入①式得： 由于系统不受外力，则质心加速度，所以没有电偶极辐射。 12、 电磁场具有动量的证据是什么? 电磁场也遵从的动量守恒定律， 说出
解：（1）证明：因为 所以，根据傅立叶级数的正交性，必有： （1） 在洛伦兹规范下，，考虑到真空中，故，，所以（1）
式化为 （2）
而 于是 （3） 因为 ，所以 所以（3）式右边积分中，被积函数为0，积分为0。所以满 足谐振子方程 。 （2）当选取规范，时 因为，是线性无关正交组，所以要使上式成立，必有 （3）已知，所以 5. 设和是满足洛伦兹规范的矢势和标势。 （1）引入一矢量函数（赫兹矢量），若令，证明。 （2）若令，证明满足方程，写出在真空中的推迟解。 （3）证明和可通过Z用下列公式表出： ，。 （1）证明：和是满足洛伦兹规范的矢势和标势，所以有
电动力学导论格里菲斯中文版第五章
电动力学是物理学中非常重要的分支之一，它研究电荷和电荷所产生的电场之间的相互作用。
而《电动力学导论格里菲斯中文版》是由美国加州大学河滨分校的大卫·J·格里菲斯所撰写的一本电动力学经典教材，其中第五章主要讨论的是磁场的静止情况和运动情况。
1. 静磁场第五章开篇即介绍了静磁场的基本概念和性质。
在这一部分中，格里菲斯首先介绍了磁场的产生原理，即电流产生磁场的安培定律。
通过对安培定律的深入探讨，读者可以逐步理解磁场的强弱和方向是如何受电流产生的影响的。
在阐述完安培定律后，格里菲斯进一步引入了磁场的高斯定律和比奥-萨伐特定律，这两个定律分别用于描述磁场的闭合性和洛伦兹力的作用。
2. 磁场的变化第五章的第二部分涉及到磁场的变化情况。
讨论了磁感应线圈、法拉第电磁感应定律和自感等内容。
这部分内容探讨了磁场与时间的关系，解释了磁场变化对于感生电动势和感生电流的影响，为后续章节的讨论奠定了基础。
3. 资料分析和补充第五章的第三部分主要是对前两部分内容的回顾和总结。
并结合实际例子来对磁场的理论知识进行应用和延伸，使读者能够更加直观生动地理解磁场的作用和应用。
总结通过对《电动力学导论格里菲斯中文版》第五章的深入阐述和梳理，不仅加深了我对静磁场和磁场变化的理解，同时也为我在电动力学领域的学习和研究提供了丰富的知识储备。
在学习过程中，我也意识到电动力学作为物理学中的重要分支，其理论知识和实际应用都具有广泛的价值和意义。
希望通过对电动力学的学习和探索，能够在相关领域取得更多的成果，并为科学研究和技术创新做出自己的贡献。
第五章的内容涵盖了静磁场和磁场的变化，这些内容是电动力学中非常重要的组成部分。
在这一部分中，格里菲斯详细地介绍了静磁场的基本概念和性质，包括安培定律、高斯定律和比奥-萨伐特定律。
通过对这些定律的深入探讨，读者可以更加深入地理解磁场与电流之间的关系，以及磁场的闭合性和洛伦兹力的作用。
在第二部分中，磁场的变化成为焦点，涉及到磁感应线圈、法拉第电磁感应定律和自感等内容。
经典电动力学理论应用解析
经典电动力学理论应用解析近年来，随着科技的不断进步，物理学研究的深度和广度也得到了极大的拓展。
而电动力学，作为现代物理学中研究电荷粒子和它们之间相互作用的一种学科，近年来在科研领域中的应用也越来越广泛。
其中，经典电动力学理论的应用解析尤为重要，下面进行详细分析。
一、经典电动力学理论经典电动力学理论是电场、磁场和电荷粒子的相互作用的经典理论，是对电磁现象的宏观描述。
其主要内容包括库仑定律、电场、磁场的产生和性质、安培定律、法拉第电磁感应定律、马克斯韦方程组等。
它主要是利用数学方法来建立电场、磁场和电荷粒子之间的相互作用关系，并对它们的运动状态作出预测。
二、经典电动力学理论在实际中的应用1. 电荷运动的康普顿散射康普顿散射是粒子物理学的重要研究内容之一，通过它可以研究原子和分子的内部结构以及电子的运动状态。
在康普顿散射中，经过入射前的光子与物质中的电子发生相互作用而发生散射。
此时，经典电动力学理论可以描述电子与电磁波之间的相互作用过程，并推导出散射角度与光子入射角度之间的关系。
2. 电磁波传播的麦克斯韦方程电磁波在通信、雷达等领域中得到了广泛应用。
麦克斯韦方程是描述电磁波性质的方程组，它包含了电场、磁场及其变化之间的相互影响。
通过该方程组，可以计算出电磁波在空间中的传播速度、功率、波长等指标，进而为电磁波在通信中的运用提供理论基础。
3. 等离子体的微观模拟等离子体是由离子和自由电子构成的气体，也是现代科技中的一项重要领域。
在等离子体物理学中，经典电动力学理论可以模拟等离子体中的物理过程。
例如，等离子体在高能激发下可产生电子与离子的离子化反应，可以利用经典电动力学理论模拟等离子体微观下的离子化过程。
4. 磁共振成像磁共振成像是一种非侵入性的断层扫描成像技术，也是现代医学诊断的重要方法。
在磁共振成像中，经典电动力学可以发挥出重要的作用。
通过电场及磁场的作用，将磁共振剂同样能在溶液中运动的水分子构成的体系分别搭载到血管系统和组织细胞中，通过电磁信号的相互作用进而进行成像，得到清晰的人体内部图像。
经典电动力学中的面电荷分布计算方法
经典电动力学中的面电荷分布计算方法经典电动力学是物理学中的一个重要分支，研究电荷和电场之间的相互作用。
在电动力学中，面电荷分布是一个常见的问题，计算面电荷分布的方法有很多种。
本文将介绍几种经典电动力学中常用的面电荷分布计算方法。
一、高斯定律高斯定律是电动力学中最基本的定律之一，它描述了电场的分布与电荷的关系。
根据高斯定律，通过一个闭合曲面的电通量等于该曲面内的电荷总量除以真空介电常数。
对于一个平面上的电荷分布，可以通过选择一个以该平面为底面的闭合曲面来计算电通量。
根据高斯定律，电通量等于电场的面积分，通过对电场的积分即可得到面电荷分布。
二、离散化方法离散化方法是一种常用的数值计算方法，它将连续的问题离散化为离散的问题进行求解。
对于面电荷分布计算，可以将平面上的电荷分布离散为一系列点电荷，然后通过计算每个点电荷的电场分布，再将其叠加得到整个面电荷的电场分布。
这种方法适用于面电荷分布较为复杂的情况，可以通过增加离散点的数量来提高计算精度。
三、连续化方法连续化方法是一种将离散问题连续化的方法，通过对离散问题的近似和插值，得到连续问题的解。
对于面电荷分布计算，可以通过将电荷分布近似为一系列连续的电荷密度函数，然后通过对电荷密度函数进行积分来计算电场分布。
这种方法适用于面电荷分布较为均匀的情况，可以通过增加积分精度来提高计算精度。
四、数值解法数值解法是一种通过数值计算来求解问题的方法，对于面电荷分布计算，可以通过有限元方法或有限差分方法来进行数值计算。
这种方法适用于面电荷分布较为复杂的情况，可以通过增加网格的密度来提高计算精度。
数值解法在计算复杂电荷分布时具有较高的精度和灵活性，但计算量较大。
五、解析解法解析解法是一种通过解析求解问题的方法，对于特定的电荷分布形式，可以通过求解麦克斯韦方程组得到解析解。
例如，对于均匀带电平面的电荷分布，可以通过求解麦克斯韦方程组得到电场分布的解析解。
解析解法具有计算速度快、精度高的优点，但适用于特定的电荷分布形式。
《电动力学》教案 第五章.docx
第五章电磁波的辐射5. i把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）二部分，写出E和万的二部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
解：令£=瓦+耳,厚=瓦+瓦J =万+兀,下角标L表示纵场即无旋场，T表示横场即无散场：V x = 0, V x = 0, V x = 0= 0, ▽・§ =0, V — 0于是从麦克斯韦方程组V.E = -^-,VxE = -—%初V.5 = 0,Vx§= LL J +4-—c2dt得：▽.瓦*,Vx瓦= o,4穿=-w£0c~ dtvx^ = 一皂,v・M = oT dt T和V.B, =0,VxB. =0,—^ = 0dtV.瓦= 00 77+4 军,v・M = 0c dt方程组（3）的前二个方程表明，时变电场的纵向分量虹由电荷激发，它与静电场（库仑场）一样是有散无旋场，故对应于库仑场；第三个方程表示万匕的时变率与电流的纵向分量7；有关，这方程其实与电流连续性方程关联，只要对其二边求散度，并利用第一个方程，即得电流连续性方程，方程组（4）表示，变化的磁场（横场）激发电场的横向分量瓦。
方程组（5）表示，磁场的纵向分量瓦是一个与空间从标和时间都无关的任意常矢量，只能有= 事实上，邮于迄今仍未发现磁单极子，磁场为无散场，它不可能有纵向分［解］电偶极子万的场作用于理想导体，经起导体出现表面电流，导体外的场是万的场与表面电流产生的场之叠加。
由于。
《人，故导体表面附近的场为似稳稳场，可近似作为静止，设导体表面为z=0的平面，并设其电势为零，即9l：=o=O如图5。
3 °令祚？。
/%,以万的像万产生的场代替导体表面电流产生的场，要保证上述边界条条件满足，应使p = -p = 一Qo。
e x，且位于z = 一。
/ 2［方法一］由于方与p‘等值反向,因此这系统总电偶极矩为零，但包含着磁偶极矩和电四极矩：回*鼻*万+（与a x（- ^）］=_捋凶/勺*=一〃讯=血5谖2 y D“ = D” = ^30 内z； = 3qla = 3p o a1=1D = e R»D = 3 p（）o（sin Ocos（j）e： + cos Oe x）e~'t，J,D = i3a）1' p u a（sin 6^ cos（/）e. + cos由基矢量变换e v = sin 0cos（l）e R + cos 8cos（f）e0 - sin。
电动力学第五章 郭硕鸿第三版
第五章 电磁波的辐射主要内容：本章讨论高频交变电流辐射的电磁场的规律知识体系：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=B ⋅∇=⋅∇∂∂+=⨯∇∂B ∂-=E ⨯∇0)(00ερεμE t E J B t ,A B A E t ϕ∂=∇⨯=-∇-∂22022222211A A J c t ctμϕρϕε∂∇-=-∂∂∇-=-∂其解：V d rcr t x J t x A V '-'=⎰),(4),(0πμ(,)(,)4Vr x t c x t dV rρμϕπ'-'=⎰设电荷、电流分布为随时间做正弦或余弦变化，即：⎪⎩⎪⎨⎧'=''='--t i t i ex t x e x J t x J ωωρρ)(),()(),( 将此式代入推迟势A的公式后得到（ck ω=）：ti ikre V d rex J V d r c r t x J t x A ωπμπμ-''='-'=⎰⎰])(4[)/,(4),(00令 ])(4[)(0V d rex J x A ikr ''=⎰πμti ex B t x A t x B ω-=⨯∇=)(),(),( ， 如果讨论0=J 的区域有关系式：),(),(t x B k ict x E ⨯∇=。
电偶极辐射：当λ<<'≈x l 时，='⋅x n k λπx n '⋅2π2<<，上式可以仅取积分中的第一项，有：00()()44ikR ikR ee A x J x dV p RR μμππ⋅''==⎰，此式代表的是偶极辐射。
210A c tϕ∂∇⋅+=∂由此我们得到在R l <<<<λ条件下偶极辐射的磁感应强度：利用),(),(t x B kict x E ⨯∇=得到偶极辐射的磁感应强度：若选球坐标，让..p沿z 轴，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==θφθπεθπεe ep R c t x E e ep R c t x B ikRikRsin 41),(sin 41),(..20..3讨论：（1）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电场方向、磁场方向相互正交构成右手螺旋关系；（2）电场、磁场正比于R1，因此它是空间传播的球面波，且为横电磁波（TEM 波），在∞→R 时可以近似为平面波； （3）要注意如果λ>>R （R11>>λ）不能被满足，可以证明电场不再与传播方向垂直，即电力线不再闭合，但是磁力线仍闭合。
电动力学5-5(天线辐射)
1
以上两节研究了小区域内高频 ) 2
最常用的天线是半波 天线，这种天线的长 度约为半波长。
辐射功率数量级
要得到较大的辐射功率， 必须使天线长度至少达到 与波长同数量级。
本节计算半波天线的辐射
2
1．天线上的电流分布 当天线长度与波长同数量级时，不能用逐级 展开式，而必须直接用非展开公式计算。
0cI 0eikR cos( 2 cos ) Ε ( x ) i e c eR 2 R sin
12
辐射能流密度为
2 2 cos ( 2 cos ) cI 1 0 0 0 S Re( ) 2 2 eR 2 2 8 R sin
辐射角分布由因子
4 4
coskz cos(kz cos )dz
2 cos( cos ) 2 k si n2
11
将积分结果代入得
0 I 0 ikR cos( 2 cos ) ( x ) ez 2 2kR si n
由此计算出辐射区的电磁场
0 I 0 ikR cos( 2 cos ) Β( x ) i e 2R si n
当x点在天线表面上时，A(x)是一维波 动方程的解。把公式用到x点在天线表面上 的情况。如图，x点是天线表面一点，x’点 是表面上另一点，两点距离为r。函数A(z) 的形式已知，而J(x’)是未知函数。
此式可以看作未知函数J(z’)的积分方程, 我们要 求这个积分方程满足端点条件J=0的解。则关于天线 的边值问题就化为解积分方程的问题。原则上这个方 程是可以解出J(x’)。
l Rr 197 ~ 19
2
16
3. 天线阵
电动力学5-3
ϕ 也就随之而确定了， 也就随之而确定了，因
r r ik ′e r r µ j(x) r d ′ 0 A ) τ (x = ∫ r 4 V π r ϕ ∂ 2 c ⋅ =− ∇ A ∂ t r r B ∇ = ×A r r i ω ×B E ∇ = k
r j 在电荷分布区域外面， 在电荷分布区域外面， =0 ，所以
1 1 r 点展开： 场点的距离） 场点的距离）。将 = r r 在 x =0 ′ 点展开： ′ r x−x
r r ikr r r µ j(x)e ′ 0 Ax = ∫ () d′ τ 4 V r π
r r r r ′ 1 1 1 r 1 R x′ ⋅ 1 n⋅ x ′ = −∇ ⋅ x +... = + +... = + +... 3 2 r R R R R R R r r r 方向单位矢量。 其中 n为 R 方向单位矢量。因为 R> x ，所以仅 > ′
第五章第三节
电偶极辐射
Electric Dipole Radiation
§5.3 电偶极辐射
电磁波是从变化的电荷、 电磁波是从变化的电荷 、 电流系统辐射 出来的。 宏观上， 出来的 。 宏观上 ， 主要是利用载有高频交 变电流的天线产生辐射， 微观上， 变电流的天线产生辐射 ， 微观上 ， 一个做 变速运动的带电粒子即可产生辐射。 变速运动的带电粒子即可产生辐射。 本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期 运动， 运动 ， 且电荷体系线度远远小于电荷到观 测点的距离的情况。 测点的距离的情况。
在此区域中场强 和 均可略去 的
1 1 r r 高次项，该区域内的场主要是横向电磁场。 高次项，该区域内的场主要是横向电磁场。 = r E B ′ R |x 现在主要讨论电流分布于小区域而激发的远|
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金属波导
在对介质波导的推导过程中只要令：k x 2 0 一般而言即可得以金属（导体） 为边界时所获得的金属波导中的电磁波解 一维（平板）或二维介质波导 – 只能导引TE或TM波，不能导引TEM波 一维（平行平板）金属波导 – 既能导引TEM波，也能导引TE和TM波 二维（矩形）金属波导 – 只能导引TE或TM波，不能导引TEM波
电磁波的传输与谐振
1
自由空间与平面波
• 在自由空间中传输的波 – 平面波 • 无色散自由空间 – 电磁波振幅，频率，及相位的“缓慢” 时间变化方式不变，即“窄带”调制平面波可无失真地传 播 • 有色散自由空间 – “窄带”调制平面波的波包在时域上随 传播而不断展宽，最终成为平面简谐波 • 如何使电磁能量在三维空间中沿某个特定方向传播呢？
金属波导分类：
单体（空心）金属波导，与介质波导类似，只能导引TE或TM波，不能 导引TEM波
双体金属波导（传输线），能导引TEM，TE，或TM波
8
单体（空心）金属波导 – 波动方程的一般处理方法
b a y x 当确信电磁波沿z向传播时，有： E0 ( x, y)e 代入波动方程可得：
2 2 E 2 E 0 T E0 ( x, y) (k 2 2 )E0 ( x, y) 0
j ( z t )
2 2 2 其中： k | k |
2 2 2 2 对三个电场分量的任一分量有：( 2 2 )u( x, y) (k )u( x, y) 0 x y
u( x, y) X ( x)Y ( y) [C1 cos(kx x) D1 sin(kx x)][C1 cos(k y x) D1 sin(k y x)] 分离变量后即可解出：
2 2 2
tan 1 偶模：
2 2
2 2 2 1
2 2
奇模：
1
2 2
tan 1
2 2 2 1
2 2
此即为介质波 导的色散关系
显然： 2 1 则： r 2 n2 neff n1 r1
2 2 2 2 其中： kx k y k
由导体的边界条件： E0 y E0 z
E0 x 0 x
( x 0, a)
E0 x E0 z
E0 y y
0
( y 0, b)
9
单体（空心）金属波导 – 特性
可得：
E0 x A1 cos(k x x ) sin(k y y ) E0 y A2 sin(k x x ) cos(k y y ) E0 z A2 sin( k x x ) sin(k y y )
x1
2 2 2 21 2
于是，振荡条件成为：e4 j e2 jk d 1 2kx1d 4 2m 或：
d 1 2 tan
2 2 1
2 2 2 d m 2 2 m tan( 1 ) 2 2 21 2 21 2
2 1
R
k x1 k x 2 k x1 k x 2
于是，在边界下部产生了驻波场
3
波导的一般概念
2
d
E0
1
x z
驻波振荡条件：
E0 E0 R2e jkx1 (2d ) R2e jkx1 (2d ) 1
E0 R2e jkx1 (2d )
| R | 1 首先：
如何做到呢？ 介质全反射 – 介质波导 （理想）导体反射 – 金属波导 光栅（光子晶体）反射 – Bragg波导 等离子体反须引入某种限制使波在某些方向上局域化！ • 如何才能使行波局域化呢？ – 驻波化！ • 横向谐振的引入
kx 2
| k2 | 2
2
x z
2 2 x2
s波电场在边界上的反射为：
| k2 | k
k x1
| k1 | 1
2 | k1 |2 2 kx 1
系数A, B, C应由切向电场边界连续性条件确定 磁场可由Ampere定理直接求出，只有x, z分量 － 此即为TE波
6
介质波导
同理，根据p波在边界上的反射条件可以推出TM波
垂直于边界的电场在边界处有突变！
所以，TM波的等效折射率小于TE波的等效折射率 应用实例： 单模波导 – 调整波导几何尺寸使得高阶模截止 二维波导 – 无解析解 开槽波导 – 利用垂直于边界电场的突变，只能导引TM波
4
介质波导
介质：当 k x 2 成为虚数，即当 2 | k2 |2 2 2 k x 2 | k2 |2 2 j 2 2 2 时，
k k x 2 k x1 j | k x 2 | |k | R x1 e2 j , tan 1 x 2 tan 1 k x1 k x 2 k x1 j | k x 2 | k x1
1/ 1 c / n1
1/ neff 0 c / neff
1/ 2 c / n2
反对称解（奇模）：
Ae k x 2 ( x d / 2 ) , x d / 2 E0 ( x) B sin(k x1 x), d / 2 x d / 2 Ce k x 2 ( x d / 2 ) , x d / 2
若令： 0 neff
neff 为此介质波导的等效折射率
5
介质波导
介质波导色散关系 电场解的形式： E0 ( x)e j ( z t )（只有y分量） 对称解（偶模）：
Ae k x 2 ( x d / 2 ) , x d / 2 E0 ( x) B cos(k x1 x),d / 2 x d / 2 k x 2 ( x d / 2) Ce , x d / 2