与三角形有关的角(课堂教育)
初中数学几何专题-与三角形有关的角(优质讲义)
第二讲 与三角形相关的角【知识归类】1、三角形内角和定理；2、三角形内角和定理的推论（外角定理）；3、直角三角形的性质及判定.【典例讲练】一、基础过关 【例1】（1）如图1，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝50°，则∠C ＝__________°.（2）如图2，在△ABC 中，点D 在CA 的延长线上，∠B ＝35°，∠C ＝52°，则∠BAD ＝__________° （3）如图3，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠B ＝36°，则∠A ＝__________°.【练】（1）在△ABC 中，∠A ＝30°，则∠B ＋∠C ＝__________°.（2）在△ABC 中，∠ABC 的外角为55°，∠A ＝35°，则∠C ＝__________°.（3）在△ABC 中，∠A ＝37°，∠C ＝53°，则AB 与BC 的位置关系为__________.【拓】小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C ＝∠F ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，则∠1＋∠2等于__________°.二、内角和、方程、不等式【例2】在△ABC 中，80C ∠=︒，20A B ∠-∠=︒，则B ∠的度数是( )A ．60︒B ．30︒C ．20︒D ．40︒【变1】在△ABC 中，若∠A ﹣2∠B ＋∠C ＝0，则∠B 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【变2】适合条件∠A ＝∠B ＝12∠C 的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形图3图2图1CBADC BAC BAF EDCBA21【变3】在锐角△ABC 中，∠B ＝3∠C ，则∠C 的取值范围是___________．【拓】在三角形中，最大角α的取值范围是___________．〖总结〗三、简单应用【例3】如图，△ABC 中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠= ．【变1】如图，将ABC △沿着DE 翻折，若1280∠+∠=︒，则B ∠= ．【变2】如图，由图１的ABC △沿DE 折叠得到图２；图3；图4．（1）如图２，猜想BDA CEA ∠+∠与A ∠的关系，并说明理由； （2）如图３，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，并说明理由； （3）如图４，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，并说明理由．21ED B CA A BCDE 12图112ABCD E 图212ED CBA 图321ABCD E图421ED CBA四、高、双直角、双高【例4】如图，CD ⊥AB ，∠1＝∠2，∠A ＝55°，求∠BCA 的度数．【变1】如图，已知在△ABC 中，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．【变2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D .（1）若∠B ＝35°，求∠ACD 的度数； （2）求证：∠ACD ＝∠B .【变3】在△ABC 中，（1）如图一，AB 、AC 边上的高CE 、BD 交于点O ，若∠A ＝60°，则∠BOC ＝ _________ °． （2）如图二，若∠A 为钝角，请画出AB 、AC 边上的高CE 、BD ，CE 、BD 所在直线交于点O ，则∠BAC ＋∠BOC ＝ _________ °，再用你已学过的数学知识加以说明． （3）由（1）（2）可以得到，无论∠A 为锐角还是钝角，总有∠BAC ＋∠BOC ＝ _________ °．〖总结〗DCBA五、高线＋角平分线【例5】如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分∠ABC 交AC 边于E ，∠BAC ＝60°，∠ABE ＝25°．求∠DAC 的度数．【变1】已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ，求证：∠CFE ＝∠CEF ．【变2】在△ABC 中，∠C ＞∠B ，AE 是△ABC 中∠BAC 的平分线；（1）若AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠B ＝30°，∠C ＝70°（如图1），求∠EAD 的度数；（2）若F 是AE 上一点，且FG ⊥BC ，垂足为G （如图2），求证：∠EFG ＝12(∠C －∠B )；（3）若F 是AE 延长线上一点，且FG ⊥BC ，G 为垂足（如图3），②中结论是否依然成立？请给出你的结论，并说明理由．【变3】如图，已知AD 是△ABC 的角平分线（∠ACB ＞∠B ），EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，（1）如果∠ACB ＝90°，求证：∠M ＝∠1；（2）求证：∠M ＝12（∠ACB ﹣∠B ）．〖总结〗【例6】如图，求α∠的度数．【变1】如图，P 是△ABC 内一点，试比较∠BPC 与∠A 的大小．【变2】如图，127.5∠=︒，295∠=︒，338.5∠=︒，则4∠的度数为_________°．【变3】如图，CGE α∠=，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．【变4】如图，点E 在AC 的延长线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B ＝60°，∠F ＝56°，则∠BDC的度数为__________°.〖总结〗αD CB A73︒30︒37︒PCBA4321ABDECαGFEDCBAFEDBA【例7】如图，求C D ∠+∠的度数．【变1】如图，线段AD 与BC 交于点O ，连接AB ，CD ，求证：∠A ＋∠B ＝∠C ＋∠D .【变2】（1）如图，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数．（2）如下图，已知133α∠=︒，83β∠=︒，求A B C D ∠+∠+∠+∠= ．【拓1】（三叶草模型）如图所示，点E 和D 分别在ABC ∆的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分ACB ∠和AED ∠，试探索F ∠与B ∠，D ∠的关系： ．【拓2】如图，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系__________.〖总结〗 70︒30︒E DCBA O DCBAABC D EFDCBAβαO F E D C BA【例8】在△ABC中.（1）如图①，点P在AC上（不同于A，C两点），∠BPC与∠A的大小关系是；（2）如图②，点P在△ABC内部，∠BPC与∠A的大小关系是；（3）如图③，点P是∠ABC，∠ACB平分线的交点，此时，∠BPC与∠A的等量关系是：；（4）如图④，点P是∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交点时，∠BPC与∠A的等量关系是：；（5）如图⑤，点P是∠DBC与∠BCE的平分线交点，∠BPC与∠A的等量关系是：.【变】（1）在△ABC中，BD是ABC∠的角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，BD、CD交于点D，若70∠=︒，则DA∠=__________．（2）在△ABC中，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∠BIC＝130°，则∠A＝__________．（3）在△ABC中，点P是△ABC的∠A和∠C的外角平分线的交点，∠B＝40°，则∠BPC＝__________.【拓1】如图，已知BF、CE交于点D，BE、CF交于点A，∠AEC与∠ABF的平分线交于点M，∠ACE与∠AFB的平分线交于点N，试探究∠M与∠N的大小关系，并说明理由.【拓2】阅读下面的材料，并解决问题：已知在△ABC 中，∠A ＝60°. （1）如图（1），∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC ＝ ；（2）如图（2），∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点O 1、O 2，则∠BO 1C ＝ ；∠BO 2C ＝ ； （3）如图（3），∠ABC 、∠ACB 的n 等分线交于点O 1、O 2、……、O n －1，则∠BO 1C ＝ ；∠BO n －1C ＝ ．（用含n 的代数式）图（1） 图（2） 图（3）〖总结〗【家庭作业】1、若△ABC 中，2（∠A ＋∠C ）＝3∠B ，则∠B 的外角度数为__________.．2、如图，∠A ＝20°，∠C ＝90°，则∠B ＋∠D ＝__________．3、如图，已知70A ∠=︒，40B ∠=︒，20C ∠=︒，则BOC ∠度数为__________．4、如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则( )．A ．12A ∠=∠+∠B ．1(12)2A ∠=∠+∠C ．1(12)3A ∠=∠+∠D ．1(12)4A ∠=∠+∠5、如图，∠AEB ，∠AFD 的平分线相交于点O ，∠DAB ＋∠BCD ＝200°，则∠EOF 的度数为 ．第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 OB A CO 2O 1BA CCDA B CABCDE 12DCO FBPAE6、已知：在△ABC中，（1）如图（1），BD平分∠ABC，CD平分∠AC B．试判断∠A和∠BDC的关系．（2）如图（2），BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．试判断∠A和∠BEC的关系．（3）如图（3），BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．试判断∠A和∠BFC的关系．7、如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式____________．8、在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，点P 为直线AC 上一动点，PO ⊥BO 于点O ． （1）如图1，当∠ABC ＝40°，∠BAC ＝60°，点P 与点C 重合时，∠APO ＝ _________ ； （2）如图2，当点P 在AC 延长线时，求证：∠APO ＝12（∠ACB ﹣∠BAC ）；（3）如图3，当点P 在边AC 所示位置时，请直接写出∠APO 与∠ACB ，∠BAC 等量关系式 _________ ．9、如图，△ABC 三条角平分线AD 、BE ，CF 交于点G ，GH ⊥BC 于H ，求证：∠BGD ＝∠CGH ．10、如图，在三角形ABC 中，42A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D 、E ，求B D C ∠的度数．11、如图，已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，∠OAB的角平分线与∠ABO的外角平分线交于点C．①当∠OAB＝60°时，求∠ACB的度数；②试猜想，随着点A，B的移动，∠ACB的度数是否变化？说明理由．12、如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D＋∠C＝∠A＋∠B．【提出问题】分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？【解决问题】为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E．（1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝．（2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？小明是这样思考的，请你帮他完成推理过程：易证∠D＋∠1＝∠E＋∠3，∠B＋∠4＝∠E＋∠2，∴∠D＋∠1＋∠B＋∠4＝，∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴2∠E＝，又∵∠D＝30°，∠B＝50°，∴∠E＝度．（3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是：．【类比应用】如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E．已知：∠D＝m°、∠B＝n°，（m＜n）求：∠E的度数．。
与三角形有关的角(提高) 知识讲解(82)
与三角形有关的角（提高）知识讲解【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．知识点三、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
专题02 与三角形相关的角(知识点串讲)(解析版)
专题02 与三角形有关的角知识网络重难突破一、三角形的内角和等于180°1. 三角形三个内角和等于180°．2．几种常见的证明三角形内角和为180 的方法：①添加平行线： 22112211 ②折叠：332211③把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．典例1．（2021·山西九年级二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．【解析】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的即，作CD AB ⊥后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确， 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．典例2．（2021·全国）直角三角形的两个锐角的度数比为1：3，则较小的锐角是__．【答案】22.5°．【分析】设两个锐角度数为x °，3x °，根据直角三角形中两个锐角互余列方程求解即可．【解析】设两个锐角度数为x °，3x °，由题意得：x +3x ＝90，解得：x ＝22.5，∴较小的锐角是22.5°．故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，以及一元一次方程的应用，根据性质列出方程是解答本题的关键．典例3．如图，ABC 中，50A ∠=︒，点E ，F 在,AB AC 上，沿EF 向内折叠AEF ，得DEF ，则图中12∠+∠等于（ ）A ．130︒B ．120︒C ．65︒D ．100︒【答案】D【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF +∠AFE 的度数，再根据折叠的性质求出∠AED +∠AFD 的度数，然后根据平角等于180°解答．【解析】解：∵∠A =50°，∴∠AEF +∠AFE =180°-50°=130°，∵沿EF 向内折叠△AEF ，得△DEF ，∴∠AED +∠AFD =2（∠AEF +∠AFE ）=2×130°=260°，∴∠1+∠2=180°×2-260°=360°-260°=100°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．二. 直角三角形 ↔ 2个锐角互余直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.常考知识点：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且该三角形是等腰直角三角形.典例1.（2020·利辛县启明中学八年级月考）在下列条件中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ） ①A B C ∠+∠=∠，②::1:2:3A B C ∠∠∠=，③90A B ∠=︒-∠，④A B C ∠=∠=∠A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】结合三角形的内角和为180°逐个分析4个条件，可得出①②③中∠C=90°，④能确定ABC 为等边三角形，从而得出结论．【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，即∠C=90°，此时ABC 为直角三角形，①符合题意；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A+∠B=∠C，同①，此时ABC 为直角三角形，②符合题意；③∵∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，③符合题意；④∵∠A=∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴ABC为等边三角形，④不符合题意；综上可知：①②③能确定ABC为直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是结合三角形的内角和定理逐个分析4个条件．三、三角形的外角的性质1．三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．③三角形的外角和等于360°.等于（）典例1．（2021·湖南八年级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，则DACA．75°B．90°C．105°D．120°【答案】C【分析】根据三角板的每个角度及三角形的有关性质求解．【解析】解：在△AFC中，由三角形外角性质可得：∠DAC=∠DFC+∠C=60°+45°=105°，故选C．【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角板的构成及三角形的外角性质是解题关键．典例2．（2021·辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD ＝30°，则∠DCE的度数为_____．【答案】70°．【分析】由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，∠DCE＝40°+∠CBD②，由①②得∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解决问题的关键．典例3．（2020·山东八年级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________．【答案】360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．【解析】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．故选：D．．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．四. 多边形的对角线1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形.①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．②多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．③正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可）④多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的对角线：一个顶点有(3)n-条对角线，共有(3)2n n-条对角线．典例1．观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线；五边形有_______条对角线：六边形有_______条对角线．n 边形有______条对角线；（无需证明）（2）若一个多边形有35条对角线，这个多边形的边数是？【答案】见解析【分析】（1）根据图形求出多边形的对角线条数；（2）设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解方程即可得出答案．【解析】解：()1观察图形可得：四边形的对角线的条数为：()43414222-⨯⨯==； 五边形的对角线的条数为：()53525522-⨯⨯==； 六边形的对角线的条数为：()63636922-⨯⨯==； ⋅⋅⋅依次类推：n 边形的对角线的条数为：()32n n -． ()2设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=， 解得：110n =，27n =-（不合题意，舍去）.答：这个多边形的边数是10．【点睛】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．五. 多边形的内角和1. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．2. n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．证明方法：分割成(n-2)个三角形求内角和3.正多边形的每个内角都相等，都等于n-°；(2)180n典例1．（2021·内蒙古包头市·八年级期末）若多边形的边数由n增加到n+1（n为大于3的正整数），则其内角和的度数（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．不能确定【答案】A【分析】根据多边形的内角和定理即可求出答案．【解析】解：n边形的内角和是（n−2）•180°，n＋1边形的内角和是（n＋1−2）•180°＝（n−1）•180°，则（n−1）•180°−（n−2）•180°＝180°，故选：A．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的内角和定理是解决的关键．典例2．（2021·浙江八年级期末）如果一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据n边形的内角和为(n-2)•180°得到(n-2)•180=540，然后解方程即可．【解析】解：设这个多边形的边数为n，∴(n-2)•180=540，∴n=5．故选：C．【点睛】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)•180°．典例3．若一个正多边形的每个内角为144︒，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【解析】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得（n-2）180°=144°×n，解得n=10，故选：B．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程是解题关键．典例4．一张四边形纸片剪去一个角后，内角和将（）A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能【答案】D【分析】若剪掉四边形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形．若从四边形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形．若沿着四边形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）．即可求得内角和的度数．【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．内角和是：180°或360°或540°．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是能理解一个四角形截取一个角后得到的图形的形状．典例5．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．10或11【答案】B【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．【解析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，则(n-2)×180+x=1500，(n-2)×180=8×180+60-x，∵n-2为正整数，∴60-x能被180整除，又∵x＞0，∴60-x=0，∴(n-2)×180=8×180，∴n=10，故选B【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．六. 多边形的外角和1. 多边形的外角和为360°．注意：在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；2. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；典例1．（2021·山东青岛市·八年级期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进16米后向左转45°，又向左转45°，…，照这样走下去，共走路程为（）A．96米B．128米C．160米D．192米【答案】B【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×16=128（米）．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．典例2．（2021·山东八年级期末）如图，1234∠+∠+∠+∠的度数为__________．【答案】360︒【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．【解析】解：由多边形的外角和定理知，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故答案是：360°．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．典例3．（2021·河北八年级期末）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，对角线BF 的延长线与边DE 的延长线交于点M ，则M ∠的大小为__________．【答案】22.5︒【分析】利用正多边形的内角和公式与外角和公式结合题意即可求出45FEM ∠=︒，67.5EFB ∠=︒，再利用三角形外角性质即可求出M ∠． 【解析】解：根据正八边形的性质可知360458FEM ︒∠==︒，180(82)1358EFG ︒⨯-∠==︒， 由图可知1113567.522EFB EFG ∠=∠=⨯︒=︒， ∴67.54522.5M EFB FEM ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：22.5︒．【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和公式以及三角形外角的性质．掌握正多边形的内角和与外角和公式是解答本题的关键．巩固训练一、单选题1．（2021·四川九年级一模）如图，//AB CD ，80C ∠=︒，∠CAD =60°，BAD ∠的度数等于（ ）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°【答案】D 【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D 的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．【解析】解：∵∠C =80°，∠CAD =60°，∴∠D =180°-80°-60°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD =∠D =40°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．2．（2021·全国九年级专题练习）如图，ABC 中，65A ∠=︒，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED ∠+∠=（ ）．A ．180︒B ．215︒C ．235︒D ．245︒【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ∠+∠，根据平角的概念计算即可．【解析】解：65A ∠=︒，18065115ADE AED ∴∠+∠=︒-︒=︒，360115245BDE CED ∴∠+∠=︒-︒=︒，【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒是解题的关键．3．（2020·涿州市实验中学八年级期中）下列说法中错误的是（ ）A ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ＝∠B ﹣∠C ，则△ABC 为直角三角形C ．在△ABC 中，若∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则△ABC 为直角三角形 D ．在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝2∠C ，则△ABC 为直角三角形【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断．【解析】解：A 、在△ABC 中，因为∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，所以∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意．B 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ﹣∠C ，所以∠B ＝90°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． C 、在△ABC 中，因为∠A ＝12∠B ＝13∠C ，所以∠C ＝90°，∠B ＝60°，∠A ＝30°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． D 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ＝2∠C ，所以∠A ＝∠B ＝72°，∠C ＝36°，△ABC 不是直角三角形，本选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．4．（2021·陕西八年级期末）如图，已知12//l l ，45A ∠=︒， 2100∠=︒，则1∠的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．45°D ．60°【分析】依据12//l l ，得到1ABC ∠=∠，再根据45A ∠=︒，2100A ABC ，即可得到55ABC ∠=︒，可得出155ABC ．【解析】解：12//l l ，1ABC ∴∠=∠，又45A ∠=︒，2100A ABC ， 21004555ABC A ，155ABC故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．5．如图，1∠，2∠，3∠，4∠一定满足的关系式是（ ）A ．1234∠+∠=∠+∠B ．1243∠+∠=∠-∠C ．1423∠+∠=∠+∠D ．1423∠+∠=∠-∠【答案】D 【分析】根据外角的性质分别得到∠AEF =∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF ，从而推断出∠2–∠3=∠1+∠4．【解析】解：如图，在△BED 中，∠AEF =∠4+∠3，在△AEF 中，∠2=∠1+∠AEF ，∴∠2=∠1+∠4+∠3，即∠2–∠3=∠1+∠4，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是根据外角的性质得到∠AEF=∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF．6．（2021·浙江八年级期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（）A．5条B．4条C．3条D．2条【答案】C【分析】根据由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线解答即可．【解析】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．7．一个正多边形的一个内角是150 ，则这个正多边形的边数为（）A．2 B．3 C．9 D．12【答案】D【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解析】解：外角是：180°-150°=30°，360°÷30°=12．则这个正多边形是正十二边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．8．（2021·陕西八年级期末）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可．【解析】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360°∴正多边形的边数是360°÷45°=8．故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为360°成为解答本题的关键．二、填空题9．（2020·辽宁七年级期中）“生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是____.【答案】三角形的内角和是180°【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．【解析】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理为：三角形的内角和是180°．故答案为：三角形的内角和是180°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．10．（第十三章相交线平行线（基础卷）-2020-2021学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版））如图，AB∥MN，点C在直线MN上，CB平分∠ACN，∠A＝40°，则∠B的度数为__．【答案】70°【分析】先由AB ∥MN 知∠A +∠ACN ＝180°，结合∠A 度数得出∠ACN 的度数，再由CB 平分∠ACN 知∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，最后根据三角形内角和定理可得答案．【解析】解：∵AB ∥MN ，∴∠A +∠ACN ＝180°，又∵∠A ＝40°，∴∠ACN ＝180°﹣∠A ＝140°，∵CB 平分∠ACN ，∴∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠ACB ＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了与平行线有关的三角形内角和问题，结合角平分线的性质求解是解题的关键．11．（2020·山西八年级期末）边长相等的正方边形ABFG 和正五边形BCDEF 如图所示拼接在一起，则∠FGE =____°．【答案】9【分析】根据多边形的内角和定理计算即可；【解析】∵四边形ABFG 是正方形，∴90BFG ∠=︒，又∵五边形BCDEF 是正五边形，∴正五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴5405108BFE ∠=︒÷=︒，∴36010890162GFE ∠=︒-︒-︒=︒，∵FG FE =，∴FGE FEG ∠=∠，∴180FGE FEG EFG ∠+∠+∠=︒，即1602180FGE ︒+∠=︒，∴9FGE ∠=︒；故答案是9．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．12．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·八年级期末）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．【答案】3060【分析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，根据题意得(2)1803000n x -⨯=+变形 为18016(120)2180x n ⨯++-=，由n 是正整数，0180x <<求出x 的值即可得到答案． 【解析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，由题意得(2)1803000n x -⨯=+∴18016(120)2180x n ⨯++-=， ∵n 是正整数，0180x <<， ∴x=60，∴这个多边形的内角和为3060，故答案为：3060．【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．13．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）一个多边形的每一个内角都是144︒，那么这个多边形是_____边形．【答案】10．【分析】根据题意，利用多边形的外角和为360度，即可求得．【解析】一个多边形的每一个内角都是144︒ ∴它的每一个外角都是18014436︒-︒=︒．多边形的外角和为360︒∴边数等于角的个数3603610=︒÷︒=．故答案为：10．【点睛】本题考查了多边形外角和定理，正多边形的特点，通过外角解决问题是解题的关键．14．（2021·上海奉贤区·八年级期中）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形．【答案】八【分析】多边形的内角和为()2180,n -︒外角和为360,︒ 再列方程()21803360,n -︒=⨯︒解方程可得答案.【解析】解：设这个多边形为n 边形，则()21803360,n -︒=⨯︒26,n ∴-=8,n ∴=故答案为：八【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键.15．若正多边形的一个外角为40︒，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有________条．【答案】6【分析】根据多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再根据从多边形的一个顶点出发可作的对角线为（n -3）条可求解．【解析】解：∵多边形的外角和为360︒，∴360409︒÷︒=；从它的一个顶点出发，可以引出936-=条对角线．【点睛】本题主要考查多边形的外角和对角线，掌握定理是解题的关键．16．（2020·北京师范大学三帆中学朝阳学校八年级月考）如图，小张从P 点向西直走10米后，向左转，转动的角度为α，再走10米，如此重复，小林共走了100米回到点P ，则α的值是___________．【答案】36°【分析】根据题意可先确定出该多边形的边数，再利用外角和求解即可． 【解析】由题可知，小张全程下来走了一个正多边形，且边数1001010n ==， ∴根据多边形的外角和定理可求得：3603610α︒==︒，故答案为：36°．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，根据题意准确判断多边形的边数是解题关键．三、解答题17．在一个直角三角形中，如果两个锐角度数之比为2:3，那么这两个锐角为多少度？【答案】见解析【分析】根据比例设两个锐角度数分别为2k ，3k ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．【解析】解：设两个锐角度数分别为2k ，3k ，由题意得，2390k k +=，解得18k =，所以，236k =，354k =，故这两个锐角分别为36°，54°【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，利用“设k 法”表示出这两个锐角求解更简便．18．四边形ABCD 中，四个内角度数之比是1:2:3:4，求出四个内角的度数．【答案】见解析【分析】设四个内角度数分别是x °，2x °，3x °，4x °，由多边形内角和公式可得：x +2x +3x +4x =180（4-2），再解方程即可得到答案．【解析】解：设四个内角度数分别是,2,3,x x x 4x ，根据题意得：()23442180x x x x +++=-⨯，解得：36x =，272,3108,4144x x x === .答：四边形的四个内角的度数分别为：36，72，108，144 ．【点睛】此题主要考查了多边形内角公式，解题的关键是掌握内角和公式：()2180n -⨯︒（3n ≥，且n 为整数） ．。
湘教版(2012)初中数学八年级上册2.1 三角形 与三角形有关的角 教案
第二章三角形2.1 与三角形有关的角教学目标：1、掌握三角形内角和定理2、掌握三角形的内角与外角的关系重点：三角形内角和定理难点：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和教学过程：一、引入我们都知道一个三角形的内角和为180゜，你知道三角形的内角和为什么是180゜呢？二、探究（一）三角形内角和定理1、学生探究剪拼法2、你能运用几何证明方法证明三角形的三个内角的和为180゜吗？试一试。
（由学生完成，教师辅助）（学生通过动手拼图，再通过证明，总结出三角形的三个内角和是180゜，能够加深理解）（二）三角形的分类1、议一议：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？2、直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”，在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角边的对边叫作斜边。
两条直角边相等的三角形叫作等腰直角三角形。
3、例题：在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定理，得,∠A +∠B+ ∠C=180°即∠A +∠B+ 90°=180°，所以∠A +∠B= 90°.也就是说，直角三角形的两个锐角互余.4、练习：如图，已知△ABC中，CE△AB，AD△BC，AD、CE相交于点O,△B=60゜.求△AOE的度数。
(由学生完成，教师辅助)（三）三角形的外角1、定义：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形的外角，如下图中的∠ACD是△ACB的一个外角，它与内角∠ACB相邻。
2、探究：在图中，外角∠ACD和∠A、∠B之间有什么大小关系？归纳结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
3、练习：如图，△ABC中，点D是AC上一点，点E是BD上一点，问：（1）△ADE是那个三角形的外角？（2）△CDE是那个三角形的外角？三、随堂练习P48练习学生合作完成四、小结师生共同小结五、作业教材“习题2.1”中第4、5、7题。
(名师整理)数学八年级上册第11章《11.2.与三角形有关的角》优秀教案
与三角形有关的内角一、教材分析本节选自人教版课程标准实验教科书数学八年级上册第十一章第二节第一课时。
在学生已感性认识三角形内角和等于180°的基础上，由实验几何过渡到论证几何，探索证明三角形内角和定理；而该定理是后续研究多边形内角、直角三角形等的基础，因此它在整个三角形知识体系中起着承上启下的作用。
二、学情分析【知识上】已感性认识了三角形内角和等于180°；【方法上】初步学习了简单推理证明；【思维上】形象思维逐步过渡到抽象思维；【能力上】还不具备独立系统推理证明能力；【情感上】好奇心强，乐于探究；三、重难点分析▲重点：探索证明三角形内角和定理；▲难点：如何启发学生发现和理解通过添加辅助线证明定理；▲突破难点的关键点：引导学生从直观动作形象思维向表象思维过11 / 10渡，采用“实物拼图—留下痕迹—抽象图形”，引导分析图形变化的内在联系，发现所添加的辅助线，化解证明难点，使证明思路直观化。
四、教学目标1、知识与技能：构建探索三角形内角和定理的证明思路并对定理进行运用；2、过程与方法：通过引导学生参与拼图探索、抽象图形，培养学生直观感知能力；经历探究证明过程，渗透图形变化，提高学生演绎推理和逻辑思维能力。
3、情感态度与价值观：让学生在推理过程中感受数学的严谨性，形成“言必有据”的科学态度和良好的数学思维品质。
五，教具:多媒体，直尺六、教法与学法✧教法：引导发现式教学法、启发式教学法；✧学法：动手实验、推理论证、反思总结等学法。
22 / 1033 / 10七、教学过程设计环节一：回顾探索【新课引入】师：前面我们已经初步学习了简单的推理证明，知道了依据什么2 何分析并找到证明一个问题的思路”。
【回顾旧知】师：小学时，我们探索发现三角形的内角和为180°，是怎样发现的？预设：学生可能回答：①用量角器量出三个角再相加；②撕下三个角拼一拼。
问：这些方法是不是数学证明？能否完全让人信服？建 构 思 路 回 顾 探 索 意 犹 未 尽 学 以 致 用 课 堂 回 眸44 / 10预设：学生可能回答：测量存在误差；三角形有无数多个无法一一验证。
人教版八年级数学上册11.2与三角形有关的角优秀教学案例
5. 将数学教学与信息技术相结合，运用多媒体课件、网络资源等手段，丰富教学手段，提高教学效果。
（三）情感态度与价值观
1. 培养学生对数学学科的兴趣，使他们感受到数学的乐趣，提高学生学习数学的积极性。
2. 使学生认识到数学在实际生活中的重要性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课的内容与学生的生活实际密切相关，学生可以通过观察、操作、推理等途径，发现并总结出三角形的内角和定理。在教学过程中，教师要引导学生积极参与，发挥学生的主体作用，让学生在观察、思考、操作、交流等活动中，发现规律，总结方法，提高学生的数学素养。同时，教师还要关注学生的个体差异，给予不同程度的学生以必要的帮助和指导，使他们在原有基础上得到提高。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1. 利用多媒体课件展示生活中常见的三角形实例，如自行车的三角形车架、房屋的三角屋顶等，让学生感受到三角形在生活中的广泛应用。
2. 提出具有挑战性的数学问题：“一个三角形的三个内角分别为60°、60°和60°，求这个三角形的类型。”让学生在解决实际问题的过程中，自然地引入本节课的学习内容。
（二）问题导向
1. 教师提出问题，引导学生思考：“三角形的三个内角之和是多少度？为什么？”让学生带着问题进行观察、操作、推理等学习活动。
2. 设计一系列具有层次性的问题，如：“三角形的外角与相邻的内角有什么关系？如何证明？”，引导学生逐步深入探究与三角形有关的角的性质。
3. 教师引导学生运用已有的知识和经验，尝试解决新的问题，如：“如果知道一个三角形的两个内角，如何求解第三个内角？”从而提高学生的解决问题的能力。
2. 问题导向：教师在教学过程中提出一系列具有挑战性的问题，引导学生思考、探究与三角形有关的角的性质，使学生在解决问题的过程中，自然地引入本节课的学习内容。
人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角
人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角一. 教材分析人教版八年级数学上册“与三角形有关的角”这一节主要让学生了解三角形内角和定理，学会使用三角形的内角和定理解决实际问题。
通过这一节的学习，让学生进一步理解三角形的性质，为后续学习三角形的其他性质和判定打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了角的性质，对角的概念有了初步的了解。
但他们对三角形的内角和定理的理解还不够深入，需要通过实例来进一步理解和掌握。
此外，学生的空间想象力还不够丰富，需要通过实物演示和动手操作来帮助他们理解和掌握三角形的内角和定理。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形内角和定理，能运用三角形的内角和定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：三角形内角和定理的理解和运用。
2.难点：对三角形内角和定理的证明和灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、实物演示法、合作交流法等，引导学生观察、操作、推理，从而理解和掌握三角形的内角和定理。
六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、量角器等教具。
2.制作课件，展示三角形内角和定理的证明过程。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问：“我们以前学过角的性质，那么你们知道三角形的角有什么特点吗？”引导学生回顾角的知识，为新课的学习做好铺垫。
呈现（10分钟）教师展示三角形模型，让学生观察并提问：“请大家观察这个三角形，你们能发现什么规律吗？”引导学生发现三角形的内角和等于180度。
操练（10分钟）教师给出几个三角形，让学生用量角器测量其内角和，验证三角形的内角和定理。
同时，教师巡回指导，帮助学生解决问题。
巩固（10分钟）教师通过出示一些实际问题，让学生运用三角形的内角和定理解决问题，巩固所学知识。
拓展（10分钟）教师提问：“你们还能找到其他形状的图形的内角和定理吗？”引导学生思考四边形、五边形等图形的内角和定理，培养学生的空间想象力。
《与三角形有关的角》(第二课时)教案新部编本设计
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校与三角形有关的角教案教学内容一.复习引入新课上一节课我们学习了三角形的外角定义,三角形内角和定理及其推论,请同学们想一想:三角形的外角定义是什么?三角形内角和定理及其推论的内容各是什么?1. 三角形的外角定义:2. 三角形的内角和定理推论1:推论2:推论3:二.例题分析与讲解例1:已知:如图,D 是AB 上一点,E 是AC 上一点.BE,CD 相交于点于点F.οοο20,35,62=∠=∠=∠ABE ACD A 求:(1)BDC ∠的度数.(2)BFC ∠的度数οοοοοοΘΘ1172097)()2(973562)((1):=+=∠∴∠+∠=∠=+=∠∴∠+∠=∠BFC ABE BDC BFC BDC ACD A BDC 解例2:已知:一个三角形三个内角度数之比为2:3:5,求各个内角的度数. 解:设三个内角的度数分别为οοοx x x 5,3,2. 则有:180532=++x x x . 18=∴x 答:这个三角形三个内角的度数分别为οοο90,54,36例3:如图,已知ABC ∆中.,90BC AD BAC ⊥=∠ο的大小关系与试说明DEB C ∠∠.分析:首先要找到与C ∠相等的角或与DEB ∠相等的角.再利用外角性质比较大小关系.CDEB BAD DEB C BAD CAD C DAC BAD BCAD ∠>∠∴∠>∠∠=∠∴=∠+∠=∠+∠⊥=∠)()(90,90.90BAC :ΘΘοοο则有解点拨:找到相等的角是解题的关键. 例4:已知三角形的两个外角分别为求此三角形各角的度数且满足,200)50(,,2-+-=-b a a b a οο 分析:由于平方项与绝对值都是非负数.它们又互为相反数,所以只能都得0.由此可解a,b 值,再求各角度数.οοοοοοοοοΘ20130180:30150180,130********,500200,0500200)50(200)50(:22=-=-=-∴==∴=-+=-∴=-++-∴-+-=-则第三个内角为相应的两个内角分别为解b a b a a b a a b a a三.小结这节课主要内容是三角形内角和定理及其推论的应用.。
11.2与三角形有关的角-三角形的内角和(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形内角和在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了三角形内角和的概念及其在实际问题中的应用。通过引入日常生活中的例子，我希望能够让学生感受到数学与生活的紧密联系，从而激发他们的学习兴趣。从教学过程来看，以下几点值得我反思：
首先，我发现学生们在理解三角形内角和定理时，对定理的证明部分存在一定的困难。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生们通过实际操作和观察来理解抽象的数学概念，例如利用剪刀和纸张制作三角形，直观地展示内角和为180度的过程。
举例：针对定理证明的难点，可以采用动态几何软件或实物模型，展示如何将一个三角形分解成两个直角三角形，从而直观地说明内角和为180度。对于灵活运用内角和定理，可以设计如下问题：已知一个三角形的两个内角分别为40度和70度，求该三角形第三边上的高。这个问题需要学生先求出第三个内角，再利用三角函数求解高，考查了学生ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ内角和定理与其他几何知识的综合运用能力。在抽象思维能力培养方面，可以引导学生通过观察多个不同类型的三角形，总结出内角和定理的普遍适用性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《11.2与三角形有关的角-三角形的内角和》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算三角形内角度数的情况？”比如，在拼图、建筑设计或者户外测量时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形内角和的奥秘。
与三角形有关的角教案
与三角形有关的角教案
目录
1. 三角形的基本概念
1.1 三角形的定义
1.2 三角形的分类
1.3 三角形的性质
2. 三角形的角
2.1 三角形内角和外角
2.2 三角形角的关系
2.3 三角形的角平分线
3. 三角形的边
3.1 三角形的边长关系
3.2 三角形的等边三角形
3.3 三角形的等腰三角形
4. 三角形的面积
4.1 三角形面积的计算方法
4.2 海伦公式
4.3 三角形的高和中线
5. 三角形的周长
5.1 三角形周长的计算方法
5.2 三角形的周长和边长的关系
5.3 三角形周长的应用
6. 三角形的相似
6.1 三角形相似的定义
6.2 判定三角形相似的条件
6.3 相似三角形的性质
7. 三角形的特殊点
7.1 三角形的重心
7.2 三角形的内心
7.3 三角形的外心
8. 三角形的应用
8.1 三角形在建筑中的应用 8.2 三角形在地理中的应用 8.3 三角形在工程中的应用。
三角形内角和数学教案3篇【通用文档】
三角形内角和数学教案3篇【通用文档】三角形的内角和数学教案1【教学内容】：人教版第八册第85页例5及“做一做”和练习十四的第9、10、12题。
【课程标准】：认识三角形，通过观察、操作、了解三角形内角和是180度。
【学情分析】：学生已经掌握了三角形的概念、分类，熟悉了钝角、锐角、*角这些角的知识。
对于三角形的内角和是多少度，学生是不陌生的，因为学生有以前认识角、用量角器量三角板三个角的度数以及三角形的分类的基础，学生也有提前预习的习惯，很多孩子都能回答出三角形的内角和是180度，但是他们却不知道怎样才能得出三角形的内角和是180度。
另外，经过三年多的学习，学生们已具备了初步的动手操作能力、主动探究能力以及小组合作的能力。
【学习目标】：1、结合具体图形能描述出三角形的内角、内角和的含义。
2、在教师的引导下，通过猜测和计算能说出三角形的内角和是180°。
3、在小组合作交流中，通过动手操作，实验、验证、总结三角形的内角和是180°,同时发展动手动脑及分析推理能力。
4、能运用三角形的内角和是180°这一规律，求三角形中未知角的度数。
【评价任务设计】：1、利用孩子已有经验，通过教师的提问和引导以及学生的直观观察，说出三角形的内角、内角和的含义。
达成目标1。
2、在教师的引导下，以游戏的形式学生通过猜测三角形的内角和是多少度，然后通过计算说出三角形的内角和是180°的结论。
达成目标2。
3、在小组合作交流中，通折一折、拼一拼和摆一摆的动手操作、实验、验证并归纳总结出三角形的内角和是180°。
达成目标3。
4、能运用三角形的内角和是180°这一规律，求三角形中未知角的度数。
通过“做一做”和习题第9、10、12题达成目标4和目标3。
【重难点】教学重点:探索和发现三角形的内角和是180°。
教学难点: 充分发挥学生的主体作用，自主探索和发现三角形的内角和是180°【教学过程】一、复习准备。
专题03 与三角形有关的角(知识点串讲)(解析版)
专题03 与三角形有关的角知识网络重难突破知识点一 三角形的内角内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
【备注】在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
等角的补角相等，等角的余角相等。
三角形的内角构成：典例1 （2019春 仓山区期末）如图，BC AE ⊥，垂足为C ，过C 作CD ∥AB .若43ECD ∠=︒，则B Ð的度数是（ ）A．43°B．45°C．47°D．57°【答案】C【详解】∵CD∥AB，∠ECD=43°，∴∠A=∠ECD=43°，∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=90°-43°=47°．故选C.典例2 （2017春西湖区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB 于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①【答案】A【解析】解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．故选A．典例3 （2017秋越秀区期中）已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定【答案】B【详解】解：∵三角形的内角和为180°,且三个内角的度数之比为1∶2∶3,∴三个内角分别为30°、60°、90°,∴这个三角形是直角三角形.故选B.知识点二三角形的外角概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
人教版初中八年级上册数学第十一章《与三角形有关的角》精品教案
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言：在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形. 注意：在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直 接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解.
新知探究 跟踪训练
1、如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
北
=180°-60°-30°
D
=90°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60度，从C岛看A， A B两岛的视角∠ACB是90度.
北 CE
B
新知探究 跟踪训练
1、如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，
新知探究
知识点1 三角形内角和定理
如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°. 证明：过点A作直线l，使得l//BC.
A
23
l
1
∵l//BC，
∴∠2=∠B，∠3=∠C（两直线平行，内错角相等）. B
C
∵∠1、∠2、∠3构成平角，
∴∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义）. 则∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）.
BD
C
∴△ABC是直角三角形.
本题源自《教材帮》
随堂练习 3
如图，AB//CD，∠BAE=∠DCE=45°，填空：
∵AB//CD， ∴∠1+45°+∠2+45°=（180°）. ∴∠1+∠2=（ 90° ）. ∴∠E=（ 90° ）. ∴△AEC是（ 直角三角形 ）.
11.2 与三角形有关的角课件(共3课时)
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,
A
D
能力
拓展1 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度 A 解：∵∠1是△FBE的 B G 2 1 F E
∴∠1=∠B+ ∠
同理∠2=∠A+
在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=1
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ = 180º . D
C
能力
∴∠2＞∠1.
∠3=∠2+∠
新课讲
3 三角形的外角和
例3
它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和，得
如图， ∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个
你还有其他 解法吗？
E A
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. F B 2
（两直线平行，内错 ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠
知识
★三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 ▼应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
A
B
新课讲
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
80 ° 60 ° 50 ° 2 1
A
1
2 32 °
新课讲
1 三角形的外角的概念
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，
人教版八年级数学上册《与三角形有关的角(第2课时)》示范教学设计
与三角形有关的角（第2课时）教学目标1．理解三角形外角的概念．探索并证明三角形外角的性质．2．能利用三角形外角的性质解决简单的实际问题．3．理解三角形外角和的概念，探索并证明三角形的外角和等于360°．教学重点理解并掌握三角形外角的性质．教学难点探索并证明三角形的外角和等于360°．教学过程知识回顾1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形：性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．新知探究一、探究学习【问题】如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．试着说出这个角有什么特征？【师生活动】小组交流，小组代表汇报交流结果．【答案】（1）顶点在三角形的一个顶点上；（2）一条边是三角形的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线．【新知】三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．【设计意图】通过此问题引出本节课的新知．【问题】如图，你能画出△ABC的所有外角吗？观察这些外角，并试着说出你的发现？【师生活动】学生独立思考，然后回答问题．【答案】（1）三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．（2）一个三角形有6个外角，其中同一顶点处的两个外角互为对顶角．【问题】如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°．∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？【答案】解：能．由三角形内角和定理，得∠ACB＝180°－∠A－∠B＝50°，∴∠ACD＝180°－∠ACB＝130°，∴∠ACD＝∠A＋∠B．【设计意图】通过此题，巩固学生运用三角形内角和定理解决几何问题的能力．【问题】观察下面的动图，思考：任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？试着证明你的猜想．【师生活动】学生回答，教师板书，师生共同完成证明过程．【答案】已知：∠ACD是△ABC的一个外角．求证：∠ACD＝∠A＋∠B．证明：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B．∵∠ACB＋∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝∠A＋∠B．【新知】一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据．【设计意图】通过动画的形式，生动地展现了三角形外角的性质，让学生对性质有更加深刻的理解．二、典例精讲【例1】如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？【师生活动】学生独立完成，然后全班交流．【答案】解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，ACD＝∠1＋∠2．∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°．【问题】你还能想出其他解法吗？【答案】解：由∠1＋∠BAE＝180°，∠2＋∠CBF＝180°，∠3＋∠ACD＝180°，得∠1＋∠2＋∠3＋∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°．∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°．【设计意图】鼓励学生从不同的角度思考问题，丰富学生的解题经验．【问题】观察下面的动图，试着归纳出结论．【归纳】三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫做三角形的外角和．三角形的外角和等于360°．【设计意图】通过理论证明与动画演示相结合的方式，让学生充分理解三角形外角和的性质．【例2】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，求∠1＋∠2的度数．【师生活动】学生独立思考，然后回答问题．【答案】解：由三角形外角的性质，可知∠1＝90°＋∠AED，∠2＝90°＋∠ADE，∴∠1＋∠2＝90°＋∠AED＋90°＋∠ADE＝180°＋∠AED＋∠ADE．∵∠AED＋∠ADE＝90°，∴∠1＋∠2＝180°＋90°＝270°．【归纳】三角形外角性质的三个应用：（1）求度数：在外角及与其不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出与外角相邻内角的度数；（2）证明角相等：一般是把外角作为桥梁，通过等量代换证明角相等；（3）判断角的大小：外角大于与它不相邻的任意一个内角．【设计意图】考查学生运用三角形外角的性质解决几何问题的能力．【例3】下列说法正确的是（）．A．三角形的外角大于它的内角B．三角形的一个外角等于它两个内角的和C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角D．三角形的外角和为180°【师生活动】学生独立完成解题过程，并相互批改．【答案】C【解析】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，大于与它不相邻的内角，故选项A，B错误；三角形的外角和为360°，而不是180°，故选项D错误．【归纳】应用三角形外角性质的注意事项：（1）应用三角形外角的性质时，不能忽视“不相邻”这个条件；（2）不要混淆“三角形内角和是180°”与“三角形的外角和是360°”这两个定理．【设计意图】考查学生对三角形外角性质的理解．课堂小结板书设计一、三角形外角的概念与性质二、三角形外角和的概念与性质课后任务完成教材第15页练习．。
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第11章三角形11.2.2三角形的内角教学课件
＝130°.
巩固练习
11.2 与三角形有关的角/
3.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分
∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则
∠ADE的大小是( C )
A．45°
B．54°
C．40°
D．50°
探究新知
11.2 与三角形有关的角/
1
∴∠ACE＝ 2 ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.
巩固练习
11.2 与三角形有关的角/
5.完成下列各题.
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= 102°
.
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形
探究新知
11.2 与三角形有关的角/
变 式 题 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，
∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
1
2
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠ACB=180°–54°–48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB= × 78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°．
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11.2 与三角形有关的角/
基 础 巩 固 题
1.求出下列各图中的x值．
70
40
x
x°
x=70
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第2讲与三角形有关的角
一、知识重点
1．三角形内角和定理
(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.
(2)证明方法：
(3)理解与延伸：
因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．
(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．
谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛．
【例1】填空：
(1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；
(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；
(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°.
2．直角三角形的性质与判定
(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.
【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()．
A．43°B．47°C．30°D．60°
.
答案：B
(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．
【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．
．
3．三角形的外角
(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC其中的一个外角．
(2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．
②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．
破疑点三角形外角的理解外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．
【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.
4.三角形外角性质
(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.
(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；
②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．
析规律三角形外角的性质的理解①三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，是由三角形内角和是180°和邻补角关系推导出来的，是它们应用的延伸，所以用这个性质能得出的结论，用三角形内角和也能推出，但走了弯路．②因为三角形外角是通过图表现出来的，具有隐蔽性，所以应用时要注意观察图形．
【例4】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.
5．三角形外角和
(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．
(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和．
【例5】如图所示．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°.
点评：同一顶点上的内、外角互为邻补角是内、外角关系转换的最基础的依据．
6.三角形内角和定理应用
三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中关于角度计算的基础，也是其他多边形求角度数问题必备的基础知识，目前它的应用方式主要表现在以下几个方面：
(1)已知两角求第三角
这是内角和定理最简单、直接的应用，一般是直接或间接给出三个内角中的两角，求第三角，比较简单，直接用180°减去两角度数得出，往往与考查角的单位换算相联系．
(2)已知三角的比例关系求各角
这类题目一般给出三个角的比例关系，通过设未知数列方程的方法求解，一般是设每一份为x度，用含未知数的式子分别表示出每一个角的度数，根据它们的和是180°列方程求
解，然后再求出每一个角的度数．有时是通过求角的度数判断三角形的形状，但熟练后从比例关系中可以直接确定三角形的形状．
(3)已知三角之间相互关系求未知角
这类题目一般是已知各角之间的和、差、倍、分等的数量关系，通过等式变形，用一共同的角表示其他两角，然后根据内角和是180°列出等式，求出其中一角，然后再根据它们之间的数量关系分别求出另两角，有时也可以列方程(组)求角的度数．
解技巧利用三角形内角和求三角形的内角运用三角形内角和定理求角的度数题目形式多样，方法也不同，要根据实际灵活运用．
7．三角形外角性质的应用
外角性质应用：三角形外角性质是三角形角度计算中的重要定理，也是求角度运算中常用的定理．如图所示，∠1是△ABC的一个外角，在∠1，∠B，∠C三个角中，知道任意两个角就可以求出第三个角．
①∠1＝∠B＋∠C；
②∠B＝∠1－∠C；
③∠C＝∠1－∠B.
破疑点利用三角形外角的性质求一个角的方法因三角形外角的性质是由三角形内角和与邻补角定义推出的，所以用外角性质能进行的运算，用三角形内角和也能进行运算，但有外角时，应用外角性质更简便，所以要改变原来习惯用三角形内角和定理的思维定式，学会运用外角性质定理解决问题．
8．三角形内角和定理、外角性质、平行线性质综合运用
三角形内角和定理、外角性质定理都反映了角之间的数量关系，在求角度数问题中占有重要地位．同样平行线中也蕴含了大量的角之间的关系(两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补)，因此它们常常结合在一起，综合应用，通过角的等量转化，以求角的度数或证明角相等．
解技巧三角形内角和、外角性质的综合运用因为三角形的内角、外角以及形成的邻补角、对顶角等都是通过图形反映出来的，在已知中不提及，因此运用时要注意观察图形，善于发现各角之间的位置关系，进而确定它们的大小关系．
【例6－1】在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝__________°.
【例6－2】已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝__________，∠C ＝__________.
【例6－3】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2，那么△ABC是()．
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．任意三角形
【例6－4】锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C.如果∠α＝∠A＋∠B，∠β＝∠B ＋∠C，∠γ＝∠C＋∠A，那么∠α，∠β，∠γ这三个角中()．
A．没有锐角B．有1个锐角
C．有2个锐角D．有3个锐角
【例7】填空：(1)如图(1)，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝________°.
(2)如图(2)所示，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝__________°，∠ABC＝__________°.
(3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.。