全国高考上海卷数学试题(文史类)
高考试题文科数学(上海卷)word解析
上海 数学试卷（文史类）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。
2． 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数f(x)=x 3+1的反函数f -1(x)=_____________. 1．【答案】31x -【解析】由y ＝x 3+1，得x ＝31-y ，将y 改成x ，x 改成y 可得答案。
2．已知集体A={x|x ≤1},B={x |≥a},且A ∪B=R ，则实数a 的取值范围是__________________. 2．【答案】a ≤1【解析】因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。
3. 若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是__________________.3．【答案】83x >【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：83x >4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________________.4．【答案】2,12,1x x y x x ⎧<=⎨->⎩【解析】当x ＞1时，有y ＝x －2，当x ＜1时有y ＝x2，所以，有分段函数。
5.如图，若正四棱柱ABC D —A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是___________________(结果用反三角函数值表示). 5．【答案】arctan 5【解析】因为AD ∥A 1D 1，异面直线BD 1与AD 所成角就是BD 1与A 1D 1所在角，即∠A 1D 1B ，由勾股定理，得A 1B ＝25，tan ∠A 1D 1B ＝5，所以，∠A 1D 1B ＝arctan 5。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 (文科)解析版
圆柱表 2021 上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）1．计算： 3 - i= （i 为虚数单位）.1 + i【答案】 1-2i【解析】 3 - i = (3 - i )(1- i ) =1-2i1 + i (1+ i )(1-i ) 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数 化即可。
2．若集合 A = {x | 2x - 1 > 0}， B = {x | x < 1}，则 A B =.【答案】 ⎧x | 1 < x < 1⎫⎨2 ⎬ ⎩ ⎭【解析】由集合 A 可得：x> 1，由集合 B 可得：-1<经<1，所以， A B = ⎧x | 1< x < 1⎫2⎨2 ⎬ ⎩ ⎭【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法， 解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。
3．函数 f (x ) =【答案】πsin x - 1 2的最小正周期是 .cos x1【解析】根据韪得： f (x ) = sin x cos x + 2 = sin 2x + 22【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握 二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则 tan α= 1 ,α= arctan 1.22【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的 倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2π，该圆柱的表面积为 . 【答案】6π【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为 r = 1，所以该圆柱的表面积为：S = 2πrl + 2πr 2 = 4π+ 2π= 6π. 【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积， 也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题.6.方程 4x- 2x +1- 3 = 0 的解是 .【答案】log 2 3→∞→∞ x⎪ ⎩ ⎪⎩⎪⎩⎪⎩2【解析】根据方程4 x - 2 x+1 - 3 = 0 ，化简得(2 x )2 - 2 ⋅ 2 x - 3 = 0，令2x =t (t > 0)，则原方程可化为t 2 - 2t - 3 = 0 ，解得t = 3或t =-1(舍)，即2 x = 3, x = log 3.所以原方程的解为log2 3 .【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.17.有一列正方体，棱长组成以1 为首项、2 为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,...,Vn,... ，则lim(V1 +V2+... +Vn) = .n8【答案】71【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，2为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1 1 为首项，8为公比的等比数列，因此， lim(V1 +V2 + +V n ) =n1=8.1 -1 78【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.⎛ 1 ⎫68.在 x -⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于.【答案】 - 20【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是T = C3 x3 (-1)3 =-20 .4 6 x【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知y =f (x) 是奇函数，若g(x) =f (x) + 2 且g(1) =1，则g(-1) = .【答案】3【解析】因为函数y =f (x) 为奇函数，所以有f (-x) =-f (x)，即g(1) =f (1) + 2, 又g(1) = 1, 所以，f (1) =-1,f (-1) =-f (1) = 1, g(-1) =f (-1) + 2 = 1 + 2 = 3 .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数y = f (x)为奇函数，所以有f (-x) =-f (x)这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件x + 2 y ≤ 2 的目标函数z =y -x 的最小值是.【答案】 - 2⎧x ≥0,【解析】根据题意得到 ⎨y ≥ 0,⎪x + 2 y ≤ 2; ⎧x ≥0,或⎨y ≤ 0,⎪x - 2 y≤ 2; ⎧x ≤0,或⎨y ≥ 0,⎪-x + 2 y≤ 2; ⎧x ≤0,或⎨y ≤ 0,⎪x + 2 y ≥-2.其可行域为平行四边形 ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成 y = x + z ， z 的最小值就是 该直线在 y 轴上截距的最小值，当该直线过点 A (2,0) 时， z 有最小值，此时 z min = -2 .【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点 A (2,0) 时， z 有最小值，此时 z min = -2 ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选 择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 2 【答案】3【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种，所以根据古典 2 概型得到此种情况下的概率为.3【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于 中档题.12.在矩形 ABCD 中，边 AB 、 AD 的长分别为 2、1，若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 上的点，且CN满足 ，则 AM ⋅ AN 的取值范围是CD【答案】1,4【解析】以向量 AB 所在直线为 x 轴，以向量 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为 AB = 2, AD = 1，所以 A (0, 0), B (2, 0),C (2,1)D (0,1). 设 M (2, b ), N (x ,1), (0 ≤ x ≤ 2) ，根 2 - x→→2 - x据题意， b = ，所以 AN = (x ,1), AM = (2, ).2 → →3 2 3→ → 所以 AM • AN = x + 1 (0 ≤ x ≤ 2)，所以1 ≤ x + 1 ≤ 4， 即1 ≤ AM • AN ≤ 4 .2 2B ( ,1) ⎪ n【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实 注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数 y = f (x ) 的图像是折线段 ABC ，其中 A (0, 0) 、 1 2、C (1, 0) ，函数 y = xf (x ) （ 0 ≤ x ≤ 1）的图像与 x 轴围成的图形的面积为 .1【答案】4⎧2x , 0 ≤ x ≤ 1 【解析】根据题意，得到 f (x ) = ⎨ ⎪-2x + 2, 1 ⎩ 2 ⎧2x 2,0 ≤ x ≤ 12 ， x ≤ 1 ⎪从而得到 y = xf (x ) = ⎨⎪- 2x 2 + 2x , ⎩ 21 x ≤ 12 所以围成的面积为 11 1 1S = ⎰2 2xdx + ⎰1 (-2x 2 + 2x )dx = ，所以围成的图形的面积为 .24 4【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的 运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14.已知 f (x ) =1，各项均为正数的数列{a }满足 a = 1， a= f (a) ，若 a= a，则1+ xa 20 + a 11 的值是.n 1n +2n20102012【答案】26111【解析】据题 f (x ) =1 + x，并且 a n +2 = f (a n )，得到 a n +2 =1 + a ， a 1 = 1， a 3 = 2，a 2010 = a2012 ，得到 1 1+a2010= a 20103 + 13 5，解得 a2010=5 - 1（负值舍去）.依次往前推得到2⎨ ⎩2 n * a 20 + a 11 =3 + 13 5 .26【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件 a n +2 = 解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）f (a n ) 是15.若1+ 2 i 是关于 x 的实系数方程 x 2+ bx + c = 0 的一个复数根，则（ ）A ． b = 2, c = 3【答案】 DB. b = 2, c = -1C. b = -2, c = -1D. b = -2, c = 3 【解析】根据实系数方程的根的特点知1-2i 也是该方程的另一个根，所以1 + 2i + 1 - 2i =2 = -b ，即b = -2 ， (1 - 2i )(1 + 2i ) =3 = c ，故答案选择 D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题， 注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数 m 、 n ，“ mn > 0”是“方程 mx 2+ ny 2= 1的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B⎧m > 0, 【解析】方程 mx 2 + ny 2= 1的曲线表示椭圆，常数常数 m , n 的取值为 ⎪n > 0, ⎪m ≠ n , 所以，由 mn > 0得不到程 mx 2 + ny 2= 1的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出 mn > 0， 因而必要.所以答案选择 B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成 特征，可以知道常数 m , n 的取值情况.属于中档题.17.在△ ABC 中，若sin 2A + sin 2B < sin 2C ，则△ ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 Aa【解析】由正弦定理，得 2R = sin A , b 2R = sin B , c2R= sin C , 代入得到 a 2 + b 2 < c 2 ， a 2 + b 2 - c 2由余弦定理的推理得cos C = < 0 ，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选2ab择 A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理， 如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.18.若 S ππ π = sin + sin + ... + sin （ n ∈ N ），则在 S , S,..., S 中，正数的个数是（）n 7 7 71 2 100A ．16B.72C.86D.100【答案】C3 2 23 3 3 4⎩【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目 出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）19．如图，在三棱锥 P -ABC 中，PA ⊥底面 ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC = π，AB=2，AC=2 3 ，PA=2.求：（1）三棱锥 P -ABC 的体积；（6 分）（2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6 分） [解]（1） S ∆ABC = 1 ⨯ 2 ⨯ 2 = 2 ， 2 分三棱锥 P -ABC 的体积为V = 1 S ∆ ABC⨯ PA = 1⨯ 2 ⨯ 2 = 4 3 . 6 分P（2）取 PB 的中点 E ，连接 DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与 AD 所成的角. 8 分 ED在三角形 ADE 中，DE=2，AE= 2 AD=2，Acos ∠ADE = 22 + 2 2 - 2= 3 ，所以∠ADE = arccos 3 .2⨯2⨯2 44因此，异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小是arccos3 . B12 分C【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综 合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数 f (x ) = lg(x + 1) .（1）若0 < f (1 - 2x ) - f (x ) < 1，求 x 的取值范围；（6 分）（2）若 g (x ) 是以 2 为周期的偶函数，且当0 ≤ x ≤ 1时，有 g (x ) = y = g (x ) (x ∈[1, 2])的反函数.（8 分）⎧2 - 2x > 0f (x ) ，求函数[解]（1）由 ⎨ x + 1 > 0 ，得 - 1 < x < 1.由0 < lg(2 - 2x ) - lg(x + 1) = lg 2- 2 x < 1得1 < 2- 2 x < 10 .……3 分x +1x +1因为 x + 1 > 0 ，所以 x + 1 < 2 - 2x < 10x + 10 ， - 2 < x < 1 . 33⎧ - 1 < x < 1由⎨ 得 - 2 < x < 1 . ……6 分- 2 < x < 13 3⎩ 3 3（2）当 x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此y= g (x ) = g (x - 2) = g (2 - x ) = 由单调性可得 y ∈[0, lg 2].f (2 - x ) = lg(3 - x ) .……10 分因为 x = 3 - 10 y，所以所求反函数是 y = 3 - 10x， x ∈[0, lg 2]. ……14 分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数 函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴3 3 PDA2 49 2 7 3022 2 2 2 2 22 22⎪ 4正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 里 A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 yy = 12 x 2 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 P援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .（1）当t = 0.5时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6 分）O x （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8 分） [解]（1） t = 0.5时，P 的横坐标 x P = 7t = 7 ，代入抛物线方程 y = 12 x 22 49 A中，得 P 的纵坐标 y P =3. ……2 分由|AP |= 949 ，得救援船速度的大小为 949海里/时. ……4 分 由 tan ∠OAP = 2 = 7，得∠OAP =arctan 7 ，故救援船速度的方向3+123030为北偏东 arctan 7 弧度. ……6 分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t , 12t 2) .由vt = ，整理得v 2= 144(t 2+ 1 ) + 337 .……10 分 t因为t 2+ 1 t ≥ 2 ，当且仅当t =1 时等号成立，所以v 2≥ 144 ⨯ 2 + 337 = 252，即v ≥ 25 .因此，救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. ……14 分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题 的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的 能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线C : 2x 2 - y 2= 1.（1）设 F 是 C 的左焦点，M 是 C 右支上一点. 若|MF |=2 2 ，求过 M 点的坐标；（5 分）（2） 过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5 分）（3）设斜率为 k (| k |< 求证：OP ⊥OQ ；（6 分）2) 的直线 l2 交 C 于 P 、Q 两点，若 l 与圆 x 2 + y 2 = 1相切， [解]（1）双曲线C : x 2 - y 2= 1，左焦点 F (- 6 , 0) .1 22设 M (x , y ) ，则| MF |2= (x + 6)2+ y 2= ( 3x + 2)2，……2 分由 M 是右支上一点，知 x ≥ 2 ，所以| MF |= 3x + 2 = 2 ，得 x = 6 . 所以 M ( 6 , ± 2) .……5 分（2）左顶点 A (- 2 , 0) ，渐近线方程： y = ± 2x .过 A 与渐近线 y = 2x 平行的直线方程为： y = 2(x + 2 ) ，即 y = 2x + 1.⎧ y = - x ⎧⎪x = - 2解方程组 ⎨ ⎩ y = x + 1 ，得 ⎨ y = 1 . ……8 分 ⎩ 2 所求平行四边形的面积为 S =| OA || y |= 2 .……10 分（3）设直线 PQ 的方程是 y = kx + b .因直线与已知圆相切，故|b | = 1，k 2 +1即b 2= k 2+ 1 (*).(7t )2 + (12t 2+ 12)2 2 2 42 ⎩ 2- 2k 24k -1 4k 4k -3 4k - 2 ⎧ y = kx + b 2 2 2由 ⎨2x 2 - y 2 = 1，得(2 - k )x - 2kbx - b - 1 = 0 .设 P (x , y )、Q (x , y )，则 ⎧⎪x 1 + x 2 = 2kb . 1 1 2 2 ⎨ x x = -1-b 2⎩⎪ 1 22- k 2y 1 y 2 = (kx 1 + b )(kx 2 + b ) ，所以OP ⋅ OQ = x x + y y = (1 + k 2 )x x + kb (x + x ) + b 21 21 21 212(1+ k 2 )(-1-b 2)+ 2k 2 b 2= -1+b 2- k 2.2- k 22- k 2 2- k 2由(*)知OP ⋅ OQ = 0，所以 OP ⊥OQ . ……16 分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意 直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 ，它的渐近 线为 y = ± x ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．23．对于项数为 m 的有穷数列数集{a n }，记b k = max{a 1, a 2 , , a k }（k =1,2,…,m ），即b k 为 a 1, a 2 , , a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为 2,3,4,5,5，写出所有的{a n }；（4 分）（2）设{b n }是{a n }的控制数列，满足 a k + b m - k +1 = C （C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证： b k = a k （k =1,2,…,m ）；（6 分）n ( n +1)（3）设 m =100，常数 a ∈ ( 1 , 1) .若 a = an 2- (-1) 2 n ，{b }是{a }的控制数列，2nnn求(b 1 - a 1 ) + (b 2 - a 2 ) + + (b 100 - a 100 ) .[解]（1）数列{a n }为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.……4 分 （2）因为b k = max{a 1, a 2 , , a k }， b k +1 = max{a 1, a 2 , , a k , a k +1}，所以b k +1 ≥ b k .……6 分 因为 a k + b m - k +1 = C ， a k +1 + b m - k = C ， 所以 a k +1 - a k = b m - k +1 - b m - k ≥ 0 ，即 a k +1 ≥ a k . ……8 分 因此， b k = a k .……10 分（3）对 k = 1, 2, , 25 ， a = a (4k - 3)2+ (4k - 3) ； a = a (4k - 2)2+ (4k - 2) ；a = a (4k -1)2 - (4k - 1) ； a = a (4k )2 - (4k ). 比较大小，可得 a 4k - 2 > a 4k -3 .……12 分因为 1 < a < 1，所以 a 4k -1 - a 4k - 2 = (a - 1)(8k - 3) < 0 ，即 a 4k - 2 > a 4k -1 ； a 4k - a 4k - 2 = 2(2a - 1)(4k - 1) > 0 ，即 a 4k > a 4k - 2 .又 a 4k +1 > a 4k ，从而b 4k -3 = a 4k -3 ， b 4k - 2 = a 4k - 2 ， b 4k -1 = a 4k - 2 ， b 4k = a 4k . ……15 分因此(b 1 - a 1 ) + (b 2 - a 2 ) + + (b 100 - a 100 )= (b 3 - a 3 ) + (b 7 - a 7 ) + (b 10 - a 10 ) + + (b 4k -1 - a 4k -1 ) + + (b 99 - a 99 ) = (a 2 - a 3 ) + (a 6 - a 7 ) + (a 9 - a 10 ) + + (a 4k - 2 - a 4k -1 ) + + (a 98 - a 99 )2525= ∑(a 4k - 2 - a 4k -1 ) = (1 - a )∑(8k - 3) = 2525(1 - a ).……18 分k =1k =1【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。
普通高等学校招生全国统一考试上海卷(数学文)word版有答案
上海市高考数学试题（文科）一、填空题（56分）1、若全集U R =，集合{|1}A x x =≥，则U C A = 。
2、3lim(1)3n nn →∞-=+ 。
3、若函数()21f x x =+的反函数为1()fx -，则1(2)f --= 。
4、函数2sin cos y x x =-的最大值为 。
5、若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l 的方程为6、不等式11x<的解为 。
7、若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是 。
8、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。
9、若变量x 、y 满足条件30350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则z x y =+的最大值为 。
10、课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8。
若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 。
11、行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。
12、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= 。
13、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。
14、设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为 。
二、选择题（15、下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为〖答〗（ ） A 2y x -= B 1y x -= C 2y x = D 13y x = 16、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是〖答〗（ ）A 222a b ab +> B a b +≥ C11a b +>2b a a b +≥ 17、若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为E 和F ，则〖答〗（ ）A E F ØB E F ÙC E F =D EF =∅18、设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同的点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为〖答〗（ ）A 0B 1C 2D 4 三、解答题（74分）19、（12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。
2024年上海高考真题数学(含解析)
2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。
2021年一般高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海卷，含答案，不完整版）(1)
上海市数学（文）（有答案，不完整版）-2021年一般高等学校招生统一考试三．解答题（本大题共5题，总分值74分） 1九、（此题总分值12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .20.（此题总分值14分）此题有2个小题，第一小题总分值6分，第二小题总分值1分。
设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）依照a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.21.（此题总分值14分）此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角别离为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，假设要求βα2≥，问CD 的长最多为多少（结果精准到0.01米）？ （2）施工完成后.CD 与铅垂方向有误差，此刻实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精准到0.01米）？22（此题总分值16分）此题共3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值5分，第3小题总分值8分. 在平面直角坐标系xoy 中，关于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，那么称点21,P P 被直线l 分隔。
假设曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，那么称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔；⑵假设直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线.23.（此题总分值18分）此题共3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值9分.已知数列{}n a 知足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，和m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）假设12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.19.解：∵由题得，三棱锥P ABC -是正三棱锥∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC ∆是边长为2的正三角形 ∴由题得，3ABC BCA CAB π∠=∠=∠=，又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 组成的123PP P ∆的三条边上 ∴1122333PBA P AB P BC P CB P AC PCA π∠=∠=∠=∠=∠=∠=∴1122332P A PB P B P C PC P A ====== ∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体 ∴如右图所示作图，设极点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ∴D 为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC ∴2233BO BD ==，26PO =，11326222232V =⋅⋅⋅=20.解：（1）由题得，248()1(,1)(1,)2424x xx f x +==+∈-∞-+∞-- ∴121()2log 1x fx x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞（2）∵2()2x x af x a+=-且0a ≥∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112x xx xf x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数 ③当0a ≠且1a ≠时，概念域为{2log ,}x x a x R ≠∈， ∴概念域不关于原定对称，∴()y f x =为非奇非偶函数 21.解：（1）由题得，∵2αβ≥，且022πβα<≤<，tan tan 2αβ∴≥即2403516400CDCD CD≥-，解得，CD ≤28.28CD ≈米 （2）由题得，18038.1218.45123.43ADC ∠=--=， ∵3580sin123.43sin18.45AD +=，∴43.61AD ≈米∵22235235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅，∴26.93CD ≈米22.证明：（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔。
高考上海卷数学文科试卷含答案
1CCB1B1AA全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程9131=-x 的解是 ． 2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ． 4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=•+⎪⎝⎭的最小正周期=T ． 5．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．6．若向量a b ，的夹角为60，1==b a ，则()a ab -= ． 7．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示）．8．某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天．四道工 序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ， 完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是 ． 9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 10．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立：A B① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 11．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i 3,i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a b ，的值分别是（ ）Ａ．32a b =-=， Ｂ．32a b ==-， Ｃ．32a b =-=-， Ｄ．32a b ==，13．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x14．数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥， 则数列{}n a 的极限值（ ） Ａ．等于0 Ｂ．等于1Ｃ．等于0或1Ｄ．不存在15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 Ｂ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，求 正四棱锥ABCD P -的体积V ．17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．PBCA D（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ； （2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123ma a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =，，，），我们称其为“对称数列”．1例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cxb y (0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．PBCADO全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． 1-=x 2． )0(11≠+x x3． 4arctan π- 4． π 5． x y 122= 6．217． 66arccos8． 39． 3.010． ② ④11． π022⎛⎤- ⎥⎝⎦，二、选择题（第12题至第15题）三、解答题（第16题至第21题）16．解：作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ．连接AO，O 是正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面 ABCD 所成的角．PAO ∠＝ 60，2=PA ．∴ 3=PO ．1=AO ，2=AB ，11233ABCD V PO S ∴===17．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．18．解：（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40，%42． 则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．解： （1）1212)1(222->----+x x x x x ， 0122>--x x ，0)1(<-x x ． ∴ 原不等式的解为10<<x ． （2）当0=a 时，2)(x x f =， 对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-，)(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．20．解：（1）设数列{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++= ()122212242-++++= ()3211222625-=--==67108861．（3）51100223(501)149d d ==+⨯-=，．由题意得 1250d d d ，，，是首项为149，公差为3-的等差数列． 当50n ≤时，n n d d d S +++= 21 n n n n n 230123)3(2)1(1492+-=--+=．当51100n ≤≤时，n n d d d S +++= 21()n d d d S ++++= 525150 (50)(51)37752(50)32n n n --=+-+⨯75002299232+-=n n ． 综上所述，22330115022329975005110022n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤．21．解：（1）((012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴=====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥上的情形即可． 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=．当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(cc a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(c c a a -．当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．。
2021年全国高考文科数学试卷及答案 上海卷
2021年全国高考文科数学试卷及答案上海卷2021年全国高考文科数学试卷及答案-上海卷2022全国统一招生考试（上海卷）数学试卷(文史类)候选人须知：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2.本试卷共21题，满分150分。
测试时间为120分钟。
请用钢笔或圆珠笔直接把答案写在试卷上一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.不平等| x？1|? 1的解决方案集是2．若集合a?{x|x?2}、b?{x|x?a}满足a?b?2，则实数a?．3．若复数z满足z?i(2?z)（i是虚数单位），则z?．4．若函数f(x)的反函数f?1(x)?log2x，则f(x)?．5.如果向量a和B满足| a |？1、|b |？2，a和B之间的夹角是| a？b |？。
36．若直线ax?y?1?0经过抛物线y2?4x的焦点，则实数a?．7．若z是实系数方程x?2x?p?0的一个虚根，且|z|?2，则p?．8．在平面直角坐标系中，从五个点：a(0,0)、b(2,0)、c(1,1)、d(0,2)、e(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．9．若函数f(x)?(x?a)(bx?2a)（常数a,b?r）是偶函数，且它的值域为(??,4]，则该函数的解析f(x)?．10.已知人口的个体值从小到大依次为2、3、3、7、a、B、12、13.7、18.3、20，人口中值为10.5。
为了使总体方差最小化，a和B的值分别为。
11.在平面直角坐标系中，a、B和C点的坐标分别为（0,1）、（4,2）、（2,6）。
如果P（x，y）是？被ABC（包括边界）包围的区域上的点，那么w？当XY获得最大值时，点P的坐标为。
2.选择题（该题满分16分）。
这个大问题有四个问题。
每个问题给出四个结论，分别编码为a、B、C和D，其中一个结论是正确的，而且只有一个结论是正确的。
2023上海文数全解全析
2023年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意:1．答卷前,考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试卷,满分150分,考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将解析直接写在试卷上．一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1．不等式11x -＜地解集是 ．【解析】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2．若集合{}|2A x x =≤,{}|B x x a =≥满足{2}A B = ,则实数a = ．【解析】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素.3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位),则z = ．【解析】1i+【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-.4．若函数()f x 地反函数为12()log f x x -=,则()f x = ．【解析】()2xx R ∈【解析】令2log (0),y x x => 则y R ∈且2,yx =()()2.xf x x R ∴=∈5．若向量a ,b 满足12a b == ，且a 与b 地夹角为3π,则a b += ．【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b+=++=++22||||2||||cos 73a b a b π=++= ||a b ⇒+=6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =地焦点,则实数a = ．【解析】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =地焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 7．若z 是实系数方程220x x p ++=地一个虚根,且2z =,则p = ．【解析】4【解析】设z a bi =+,则方程地另一个根为z a bi '=-,且22z =⇒=,由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=-+-=8．在平面直角坐标系中,从五个点:(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个,这三点能构成三角形地概率是 （结果用分数表示）．【解析】45【解析】由已知得A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线,所以五点中任选三点能构成三角形地概率为3335245C C -=9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数,且它地值域为(]4-∞，,则该函数地解析式()f x = ． 【解析】224x -+【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数,则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，,224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+10．已知总体地各个体地值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12,13.7,18.3,20,且总体地中位数为10.5．若要使该总体地方差最小,则a 、b 地取值分别 ． 【解析】10.5,10.5a b ==【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知,只需10.5a b ==时,总体方差最小.11．在平面直角坐标系中,点A B C ，，地坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成地区域（含边界）上地点,那么当xy ω=取到最大值时,点P 地坐标是 ． 【解析】5,52⎛⎫⎪⎝⎭【解析】作图知xy ω=取到最大值时,点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题,每题都给出代号为A 、B 、C 、D 地四个结论,其中有且只有一个结论是正确地,必须把正确结论地代号写在题后地圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出地代号超过一个（不论是否都写在圆括号内）,一律得零分．12．设p 是椭圆2212516x y +=上地点．若12F F ，是椭圆地两个焦点,则12PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】D【解析】 由椭圆地第一定义知12210.PF PF a +==13．给定空间中地直线l 及平面α．条件"直线l 与平面α内两条相交直线都垂直"是"直线l 与平面α垂直"地（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件【解析】C【解析】"直线l 与平面α内两条相交直线都垂直"⇔"直线l 与平面α垂直".14．若数列{}n a 是首项为1,公比为32a =地无穷等比数列,且{}n a 各项地和为a ,则a 地值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【解析】B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或.15．如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x 轴地正半轴、y 轴地正半轴分别相切于点C 、D 地定圆所围成地区域（含边界）,A 、B 、C 、D 是该圆地四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥,则称P 优于P '．如果Ω中地点Q 满足:不存在Ω中地其它点优于Q ,那么所有这样地点Q 组成地集合是劣弧（ D ）Ａ． AB B ． BCC ． CD D ． DA 【解析】D【解析】由题意知,若P 优于P ',则P 在P '地左上方,∴当Q 在 DA上时, 左上地点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 地点,∴Q 组成地集合是劣弧 DA.三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要地步骤．16．(本题满分12分)如图,在棱长为2地正方体1111ABCD A B C D -中,E 是BC 1地中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角地大小（结果用反三角函数值表示）．16. 【解】过E 作EF ⊥BC ,交BC 于F ,连接DF.∵ EF ⊥平面ABCD ,∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成地角. ……………4分由题意,得EF =111.2CC =∵11,2CF CB DF ==∴=分∵ EF ⊥DF , ∴tan EF EDF DF ∠==……………..10分故直线DE 与平面ABCD所成角地大小是….12分17．（本题满分13分）如图,某住宅小区地平面图呈扇形AOC ．小区地两个出入口设置在点A 及点C 处,小区里有两条笔直地小路AD DC ，,且拐弯处地转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟,从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行地速度为每分钟50米,求该扇形地半径OA 地长（精确到1米）．17. 【解法一】设该扇形地半径为r 米. 由题意,得CD =500（米）,DA =300（米）,∠CDO=060在CDO ∆中,22022cos 60,CD OD CD OD OC+-⋅⋅⋅=……………6分即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ,作OH ⊥AC ,交A C 于H …………………..2分由题意,得CD =500（米）,AD =300（米）,0120CDA ∠=2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中∴ AC =700（米）…………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米）∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题,第1个题满分5分,第2小题满分10分．已知函数f (x )=sin2x ,g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭,直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，地图象分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时,求｜MN ｜地值；（2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时地最大值．18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分 231cos.32π=-=………………………………5分（2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭3sin 222t t =……...8分26t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………………….11分∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN . ……………15分19．（本题满分16分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分．已知函数||1()22xx f x =-．（1）若()2f x =,求x 地值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立,求实数m 地取值范围．19、【解】（1）()()100;0,22x xx f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分由条件可知,2122,22210,2x x x x-=-⋅-=即解得 21x=±…………6分∵ (220,log 1x x >∴= …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t ttt m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈-- 故m 地取值范围是[5,)-+∞ …………….16分20．（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 地渐近线方程；（2）已知点M 地坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上地点,Q 是点P 关于原点地对称点．记MP MQ λ=．求λ地取值范围；（3）已知点D E M ，，地坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，,P 为双曲线C 上在第一象限内地点．记l 为经过原点与点P 地直线,s 为DEM △截直线l 所得线段地长．试将s表示为直线l 地斜率k 地函数．20、【解】（1）所求渐近线方程为0,0y y x -=+= ……………...3分（2）设P 地坐标为()00,x y ,则Q 地坐标为()00,x y --, …………….4分()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ (7)分0x ≥ λ∴地取值范围是(,1].-∞-……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内地点,则直线l地斜率.k ⎛∈ ⎝……………11分由计算可得,当()1(0,],2k s k ∈=时当()1,2k s k ⎛∈= ⎝时……………15分∴ s 表示为直线l 地斜率k 地函数是()1(0,21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝….16分21．（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分４分,第2小题满分６分,第3小题满分8分．已知数列{}n a :11a =,22a =,3a r =,32n n a a +=+（n 是正整数）,与数列{}n b :11b =,20b =,31b =-,40b =,4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ,求r 地值；（2）求证:当n 是正整数时,124n T n =-；（3）已知0r >,且存在正整数m ,使得在121m T +,122m T +, ,1212m T +中有4项为100．求r 地值,并指出哪4项为100．21、【解】（1）()()()12312...12342564786a a a a r r r r ++++=++++++++++++++ 484.r =+………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴=………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明:当12,4.n n Z T n +∈=-时①当n=1时,1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分②假设n=k 时等式成立,即124,k T k =-那么当1n k =+时,()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定:当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r nn m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数,41,4,44m r m r m -+-----均为负数,∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时,293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。
普通高等学校招生全国统一考试上海卷文科数学试题及答案
数据,就业局势必定是()
计算机行业好于化工行业.(B)建筑行业好于物流行业.
(C)机械行业最紧张.
(D)营销行业比贸易行业紧张.
三.解答题(本大题满分86分)
17.(此题满分12分)
已知复数z1知足(1+i)z1=－1+5i,
若C的方程y2
=2px(p≠0)点.
P1
2
2
2
(0,0),于定的自然数n,明：
成等差数列；
(x1+p),(x2+p),
⋯,(xn+p)
(3)
若C的方程x
2
y2
1(a>b>0).点P1(a,0),于定的自然数
n,当公差d化
a
2
b2
,求Sn的最小.
符号意义
本试卷所用符号
等同于《实验教材》符号
向量坐标
a={x,y}
(2)当P抛物上位于段AB下方
(含A.B)的点,求OPQ面的最大.
21.(安分16分)第1小分4分,第2小分6分,第3小分6分
如,P-ABC是底面1的正三棱分棱上的点,截面DEF∥底面ABC,且棱台DEF-ABC与棱P-ABC的棱和相等.(棱和是指多面体中全部棱的度之和)
明：P-ABC正四周体；
1
(2)若PD=PA,求二面角D-BC-A的
∞)
(2)
由(x－a－1)(2a－x)>0,
得(x－a－1)(x－2a)<0.
a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).
∵BA,∴2a≥1或a+1≤－1,即a≥1或a≤－2,而a<1,
上海市高考文科数学试卷及答案文数
2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(文史类)、填空题(本大题共有14题，满分56分) 计算：3 i19、已知yf(x)是奇函数，若g(x) f (x) 2且g(1) 1，则g( 1)11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,uuirCN tunr CD113、已知函数y f (x)的图像是折线段ABC ，其中A(0,0)、B(—,1)、C(1,0)，函数y xf (x)21、 (i 为虚数单位)2、 若集合A x2x3、 函数f (x)sin x 1COSX的最小正周期是 4、 u 若d (2,1)是直线|的一个方向向量，贝U l 的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示)5、一个高为2的圆柱，底面周长为2 ，该圆柱的表面积为6、方程 4x 2x 1 3 0的解是7、有一列正方体, 1 棱长组成以1为首项、丄为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,...,V n ,...，2则 lim(V nV 2 ... V n )8、在x1的二项式展开式中，常数项等于x10、满足约束条件|x 2 y 2的目标函数z y x 的最小值是人选择的项目相同的概率是(结果用最简分数表示)I UUUI I且满足鬻 UULU uuir，则AM AN 的取值范围是1(0 x 1)的图像与X轴围成的图形的面积为14、 已知f （x ），各项均为正数的数列a n 满足311, a n 2 f （a n ），若a 2oio a 20i2，则a ?。
1 x的值是 _______________二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15、 若1、、2i 是关于x 的实系数方程x 2 bx c 0的一个复数根，则（ ）三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在三棱锥P ABC 中，PA 丄底面ABC ，D 是PC 的中点，已知/ BAC =2已知 f (x) lg(x 1)A 、b 2,c 3 B2,c1 C2,c1 D2,c 316、对于常数m 、n ， “ mn 0 ”是“方程mx 2 ny 21的曲线是椭圆” 的（）A 、充分不必要条件 、必要不充分条件 C 充分必要条件、既不充分也不必要条件17、在厶ABC 中，若sin 2A2 2sin B sin C ，则厶ABC 的形状是（ A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C18、若 S n sin 〒 sin^ ... sin 牛 （n NB 、72 C、锐角三角形 D)，则在 3, S2,…,S100中, 、不能确定正数的个数是（ ）A 16、86、100AB 2，AC26，PA 2，求:(1) 三棱锥P ABC 的体积(2) 异面直线 BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）20、（本题满分 14分）本题共有2个小题，第1(1) 若0 f(1 2x) f(x) 1,求x的取值范围（2）若g （x ）是以2为周期的偶函数，且当 0 x 1时，g （x ） f （x ），求函数y g （x ） （x 1,2 ）的反函数21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y12x 2:②定位后救援船即刻沿49直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t（1） 当t 0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度 的大小和方向（2） 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？OP 丄 OQ23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分8分对于项数为 m 的有穷数列 a n ，记b kmax a 1,a 2,...,a k（ k 1,2,..., m ），即b k 为印@,...©yOA22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第 小题满分6分在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C:2x 2（1） 设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点， （2） 过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，（3） 设斜率为k （|k 逅）的直线I 交C 于P y 2 1若MF| 242，求点M 的坐标；求这两组平行线围成的平行四边形的面积； 、Q 两点，若I 与圆x 2 y 21相切，求证：1小题满分5分，第2小题满分5分，第3中的最大值，并称数列b n是a n的控制数列，女口1, 3, 2, 5, 5的控制数列是1, 3, 3,5, 5(1)若各项均为正整数的数列a n的控制数列为2, 3, 4, 5, 5,写出所有的耳(2)设b n是a n的控制数列，满足a k b m k 1 C( C为常数，k 1,2,..., m )，求证：b k a k (k 1,2,..., m)1 n(n 1)(3)设m 100，常数a - ,1 ，若a n an2 ( 1) 2 n , b n是a n的控制数列，求2(b l a1) (b2 a2)... (b100 a100)。
2022年文数高考试题答案及解析-上海
2022上海高考数学试题〔文科〕答案与解析一、填空题〔本大题共有14题，总分值56分〕【点评】此题主要考查行列式的根本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．假设是直线的一个方向向量，那么的倾斜角的大小为〔结果用反三角函数值表示〕.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，那么21arctan ,21tan ==αα. 【点评】此题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的外表积为. 【答案】π6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的外表积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】此题主要考查空间几何体的外表积公式.审清题意，所求的为圆柱的外表积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的外表积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程14230xx +--=的解是.【答案】3log 2 【解析】根据方程03241=--+x x，化简得0322)2(2=-⋅-x x ，令()20x t t =>，那么原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x.所以原方程的解为3log 2.【点评】此题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.此题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.此题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，那么12lim(...)n n V V V →∞+++=.【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积那么组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】此题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于.【答案】20-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x=-=-. 【点评】此题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.()y f x =是奇函数，假设()()2g x f x =+且(1)1g =，那么(1)g -=. 【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】此题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，此题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是. 【答案】2-【解析】根据题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，〔包括边界〕目标函数可以化成z x y +=，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z . 【点评】此题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，此题属于中档题，难度适中. 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛，假设每人只选择一个工程，那么有且仅有两位同学选择的工程相同的概率是〔结果用最简分数表示〕. 【答案】32 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的工程的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32. 【点评】此题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清根本领件数和根本领件总数.此题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，假设M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，那么AM AN ⋅的取值范围是【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如下列图，因为1,2==AD AB ，所以 (0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，根据题意，22x b -=，所以2(,1),(2,).2xAN x AM →→-==所以123+=•→→x AN AM ()20≤≤x ，所以41231≤+≤x ， 即→→≤•≤41AN AM .【点评】此题主要考查平面向量的根本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.此题属于中档题，难度适中.13.函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =〔01x ≤≤〕的图像与x 轴围成的图形的面积为. 【答案】41【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩，从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为41)22(2121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41.【点评】此题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出表达数形结合思想，此题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，此题属于中高档试题，难度较大. 14.1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，假设20102012a a =，那么2011a a +的值是. 【答案】265133+ 【解析】据题x x f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到n n a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a 〔负值舍去〕.依次往前推得到 2651331120+=+a a . 【点评】此题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，此题综合性强，运算量较大，属于中高档试题. 二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分〕15.假设1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，那么〔 〕A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-=【答案】 D【解析】根据实系数方程的根的特点知1-也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】此题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四那么运算.属于中档题，注重对根本知识和根本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn >〞是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.【点评】此题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，假设222sin sin sin A B C +<，那么△ABC 的形状是〔 〕 A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<， 由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.应选择A.【点评】此题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.此题属于中档题. 18.假设2sin sin...sin 777n n S πππ=+++〔n N *∈〕，那么在12100,,...,S S S 中，正数的个数是〔 〕A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】此题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题〔本大题共有5题，总分值74分〕19.〔此题总分值12分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，∠BAC ＝2π，2AB =，3AC =2PA =，求： 〔1〕三棱锥P ABC -的体积； 〔2〕异面直线BC 与AD 所成的角的大小〔结果用反三角函数值表示〕. 【答案与解析】【点评】此题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.此题源于 必修2 立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20.〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分()lg(1)f x x =+.〔1〕假设0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；〔2〕假设()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =〔[]1,2x ∈〕的反函数. 【答案与解析】【点评】此题主要考查函数的概念、性质等根底知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21.〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系〔以1海里为单位长度〕，那么救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .〔1〕当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，假设此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；〔2〕问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船 【答案与解析】【点评】此题主要考查函数的概念、性质及导数等根底知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22.〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:21C x y -=.〔1〕设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，假设22MF =M 的坐标； 〔2〕过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； 〔3〕设斜率为k 〔2k <l 交C 于P 、Q 两点，假设l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ .【答案与解析】【点评】此题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，此题属于中档题 ．23.〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =〔1,2,...,k m =〕，即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.〔1〕假设各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a ； 〔2〕设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=〔C 为常数，1,2,...,k m =〕，求证：k k b a =〔1,2,...,k m =〕；〔3〕设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，假设(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-. 【答案与解析】【点评】此题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的根本性质等根底知识，此题属于信息给予题，通过定义“控制〞数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的根本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。
上海高考文科数学试题含答案(Word版)
三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。
设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)( （1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。
在平面直角坐标系xOy 中，对于直线I ：ax+by+c=0和点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），记η=（ax 1+by 1+c ）（ax 2+by 2+c ），若η<0，则称点P 1，P 2被直线I 分隔，若曲线C 与直线I 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1，P 2被直线I 分割，则称直线I 为曲线C 的一条分隔线。
（1）求证：点A （1，2），B （-1,0）被直线x+y-1=0分隔；（2）若直线y=kx 是曲线x 2-4y 2=1的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线。
上海高考数学真题(文科)试卷(word解析版)
1CCB1B1AA绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．方程9131=-x 的解是 ．2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ．4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=•+⎪⎝⎭的最小正周期=T ．5．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点 的抛物线方程是 ．6．若向量a b ，的夹角为60，1a b ==，则()a ab -= ．7．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的大小是 （结果用反三角函数值表示）．8．某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天．四道工 序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ， 完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是 ．9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．10．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ．11．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB ．两个半径相等的动圆分别与l 相切于A B ，点，C 共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成图形面积S 的 取值范围是 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分． 12．已知a b ∈R ，，且i 3,i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a b ，的值分别是（ ）Ａ．32a b =-=， Ｂ．32a b ==-，Ｃ．32a b =-=-， Ｄ．32a b ==，13．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y xＢ．21)2()3(22=++-y xＣ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x14．数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥， 则数列{}n a 的极限值（ ） Ａ．等于0 Ｂ．等于1Ｃ．等于0或1Ｄ．不存在15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 Ｂ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分）如图,在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60， 求正四棱锥ABCD P -的体积V ．PBCAD高考真题17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ， 5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到 670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2% （如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际 安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ；（2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123ma a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =， 即1+-=i m i a a （12i m =，，，），我们称其为“对称数列”． 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”． （1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，．1 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆”与x ，y 轴的交点，M 是线段21A A 的中点． （1） 若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（2） 若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程9131=-x 的解是 ． 【答案】1-=x【解析】121331219x x x --==⇒-=-⇒=-2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．【答案】10x x x+≠（）【解析】由11(0)1y y x y x y +=⇒=≠⇒-()110x f x x x-+=≠（） 3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ． 【答案】4arctan π- 【解析】tan 4,(,)2πθθπθ=-∴∈⇒=4arctan π-.4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=•+⎪⎝⎭的最小正周期=T ． 【答案】π【解析】π1sec cos (sin )tan 2cos y x x x x T xπ⎛⎫=+=-=-⇒= ⎪⎝⎭. 5．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点 的抛物线方程是 ．1CCB1B1AA【答案】212y x =【解析】双曲线22145x y -=的中心为O （0,0），该双曲线的右焦点为F （3,0）， 则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)212y x =。
上海高考数学试卷(文史类含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷(文史类)考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________. 2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于________. 3. 已知平行直线1l ：210x y +-=，2l ：210x y ++=，则1l 与2l 的距离是________. 4. 某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是________（米）.5. 若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =________.6. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=________.7. 若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为________.8. 方程3sin 1cos2x x =+在区间π[0,2]上的解为________.9.在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________.10. 已知△ABC 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________. 11. 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.12. 如图，已知点(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B -，P 是曲线y OP BA ⋅的取值范围是________.13. 设0a >，0b >. 若关于,x y 的方程组1,1ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是________. 14. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和. 若对任意*n ∈N ，{}2,3n S ∈，则k 的最大值为________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ）.(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件(D) 既非充分也非必要条件16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）. (A) 直线1AA (B) 直线11A B (C) 直线11A D(D) 直线11B C17. 设a ∈R ，π[0,2)b ∈. 若对任意实数x 都有πsin 3sin()3x ax b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为（ ）. (A) 1(B) 2(C) 3(D) 418. 设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数. 对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数. 下列判断正确的是（ ）. (A) ①和②均为真命题(B) ①和②均为假命题 (C) ①为真命题，②为假命题(D) ①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.F ••19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为π56，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧. (1) 求圆柱的体积与侧面积；(2) 求异面直线11O B 与OC 所成的角的大小.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河. 收获的蔬菜可送到F 点或河边运走. 于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等. 现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1,0)，如图. (1) 求菜地内的分界线C 的方程；(2) 菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为83. 设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”. 21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A 、B 两点.(1) 若l 的倾斜角为π2，△1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b 若l 的斜率存在，且4AB =，求l 的斜率.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记{}*,n A x x a n ==∈N ，{}*,n B x x b n ==∈N ，若同时满足条件：①{}{},n n a b 均单调递增；②A B =∅且*A B =N ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.。
全国统一考试数学及答案(上海卷文)
全国统一考试数学及答案（上海卷文）_年全国高等学校招生统一考试数学(上海·文)试题考生注意:1．答卷前,考生务必将姓名.高考准考证号.校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题,满分 150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1．函数f(_)=log4(_+1)的反函数f(_)=．2．方程4_+2_-2=0的解是．3．若_,y满足条件_+y≤3y≤2_ ,则z=3_+4y的最大值是．4．直角坐标平面_oy中,若定点A(1,2)与动点P(_,y)满足=4.则点P的轨迹方程是．5．函数y=cos2_+sin_cos_的最小正周期T= ．6．若cosα=,α∈(0.),则cos(α+)=．7．若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是．8．某班有50名学生,其中 15人选修A课程,另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是．(结果用分数表示)9．直线y=_关于直线_＝1对称的直线方程是．10．在△ABC中,若∠A＝120°,AB=5,BC＝7,则 AC＝．11．函数f(_)=sin_+2,_∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是．12．有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为3a.4a.5a(a_gt;0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是．二．选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A.B.C.D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括内,选对得4分,不选.选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括内),一律得零分．13．若函数f(_)=, 则该函数在(-∞,+∞)上是[答]( )(A)单调递减无最小值(B) 单调递减有最小值(C)单调递增无最大值(D) 单调递增有最大值14．已知集合M={_│≤, _∈R},P={_│≥1, _∈Z},则M∩P等于[答]( )(A){_│0_lt;_≤3, _∈Z}(B) {_│0≤_≤3, _∈Z}(C) {_│-1≤_≤0, _∈Z}(D) {_│-1≤__lt;0, _∈Z}15．条件甲:〝_gt;1〞是条件乙:〝〞的[答]( )(A)既不充分也不必要条件(B) 充要条件(C) 充分不必要条件(D)必要不充分条件16．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成1 23一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 32i=1,2,3,┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 13是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1的数阵中, b1+b2+┄+b120等于31 232 1[答]( )(A)-3600 (B)1800(C)-1080(D)-720三．解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要步骤.17．(本题满分12分)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M.N分别是BB1和BC的中点,AB=4,AD=2.B1D与平面ABCD所成角的大小为60°,求异面直线B1D与MN所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)[解]18．(本题满分12分)在复数范围内解方程(i为虚数单位) [解]19．(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.已知函数f(_)=k_+b的图象与_.y轴分别相交于点A.B,( .分别是与_.y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(_)=_2-_-6.(1)求k.b的值;(2)当_满足f(_)_gt; g(_)时,求函数的最小值.[解]20．(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分. 假设某市_年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以_年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?[解]21．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.已知抛物线y2=2p_(p_gt;0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4.且位于_轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程;(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是_轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.[解]22．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.对定义域分别是Df.Dg的函数y=f(_) .y=g(_),f(_)·g(_)当_∈Df且_∈Dg规定: 函数h(_)= f(_)当_∈Df且_Dgg(_) 当_Df且_∈Dg(1)若函数f(_)=-2_+3,_≥1; g(_)=_-2,_∈R,写出函数h(_)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(_)的最大值;(3)若g(_)=f(_+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(_),及一个α的值,使得h(_)=cos2_,并予以证明.[解]上海数学(文史类)参考答案一.1. 4-12._=0 3. 11 4. _+2y-4=0 5. π 6. - 7.8. 9._+2y-2=0 10. 3 11. 1_lt;k_lt;3 12. 0_lt;a_lt;二.13.A 14.B 15. B 16.C三.17. [解]联结B1C,由M.N分别是BB1和BC的中点,得B1C∥MN,∴∠DB1C就是异面直线B1D与MN所成的角.联结BD,在Rt△ABD中,可得BD=2,又BB1⊥平面ABCD, ∠B1DB是B1D与平面ABCD 所成的角, ∴∠B1DB=60°.在Rt△B1BD中, B1B=BDtan60°=2,又DC⊥平面BB1C1C, ∴DC⊥B1C,在Rt△DB1C中, tan∠DB1C=,∴∠DB1C=arctan.即异面直线B1D与MN所成角的大小为arctan.18. [解]原方程化简为,设z=_+yi(_.y∈R),代入上述方程得 _2+y2+2_i=1-i,∴_2+y2=1且2_=-1,解得_=-且y=±,∴原方程的解是z=-±i.19. [解](1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2.∴k=1,b=2.(2)由f(_)_gt; g(_),得_+2_gt;_2-_-6,即(_+2)(_-4)_lt;0,得-2_lt;__lt;4,==_+2+-5由于_+2_gt;0,则≥-3,其中等号当且仅当_+2=1,即_=-1时成立∴的最小值是-3.20. [解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.到_年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知an_gt;0.85 bn,有250+(n-1)·50_gt;400·(1.08)n-1·0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到_年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21. [解](1) 抛物线y2=2p_的准线为_=-,于是4+=5, ∴p=2.∴抛物线方程为y2=4_.(2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0), ∴kFA=;MN⊥FA, ∴kMN=-,则FA的方程为y=(_-1),MN的方程为y-2=-_,解方程组得_=,y=, ∴N的坐标(,).(4)由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m=4时, 直线AK的方程为_=4,此时,直线AK与圆M相离.当m≠4时, 直线AK的方程为y=(_-m),即为4_-(4-m)y-4m=0,圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d_gt;2,解得m_gt;1∴当m_gt;1时, AK与圆M相离;当m=1时, AK与圆M相切;当m_lt;1时, AK与圆M相交.22. [解](1)h(_)= (-2_+3)(_-2) _∈[1,+∞)_-2_∈(-∞,1)(2) 当_≥1时, h(_)= (-2_+3)(_-2)=-2_2+7_-6=-2(_-)2+∴h(_)≤;当__lt;1时, h(_)_lt;-1,∴当_=时, h(_)取得最大值是(3)令f(_)=sin_+cos_,α=则g(_)=f(_+α)=sin(_+)+cos(_+)=cos_-sin_,于是h(_)= f(_)·f(_+α)=(sin_+cos_)( cos_-sin_)=cos2_. 另解令f(_)=1+sin_, α=π,g(_)=f(_+α)=1+sin(_+π)=1-sin_,于是h(_)= f(_)·f(_+α)=(1+sin_)( 1-sin_)=cos2_.。
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2006年上海数学试卷（文史类）
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚，
2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟，请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合，集合，若，则实数_________
2.已知两条直线，。
若，则______
3.若函数的反函数的图像过点，则________
4.计算：_________
5.若复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则=______
6.函数的最小正周期是_________________
7.已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是，且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_______________
8.方程的解是___________
9.已知实数、满足则的最大值是_____________
10.在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是__________（结果用分数表示）。
11．若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是
12．如图，平面中两条直线和相交于点。
对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的
距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”。
根据上述定义，
“距离坐标”是的点的个数是
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为、、、的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13．如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是
（A）
（B）
（C）
（D）
14．如果，，那么，下列不等式中正确的是
（A）（B）
（C）（D）
15．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件
16．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
（A）48 （B）18
（C）24 （D）36
三. 解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. （本题满分12分）
已知是第一象限的角，且，求的值.
18.（本题满分12分）
如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。
甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里处的乙船。
试问乙船应朝北偏东多少度的方向
沿直线前往处救援（角度精确到1°）？
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第二小题满分9分.
在直三棱柱中，，.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）若直线与平面所成角为45°，求三棱锥的体积.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
设数列的前项和为，且对任意正整数.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，对数列，从第几项起？
21.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且右顶点为
，设点的坐标是.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点、，求面积的最大
值.
22．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。
（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求实常数的值；
（2）设常数，求函数的最大值和最小值；
（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由。