上海高三一模：2021届浦东高三一模数学试卷及参考答案
上海市浦东新区2021届高三一模数学试卷
2 ,1 2 2
2 , 2
12．
2 2
,1
2020.12
二、选择题 13． C 14． C 15． D 16．B
三、解答题
注：解答题其他解法相应给分
17．解：（1）因为 SABC
1 11 2
1 2
，
VA1B1C1 ABC
SABC
A1A ，
V 所以， A1B1C1 ABC
S ABC
A1 A
2
6
3
由 A B C ， B C 2 ， B 2 C
3
3
sin B sin C sin( 2 C) sin C 3 sin C 3 cos C
3
2
2
∵0 C 2 , C 5 ， 1 sin(C ) 1
36
66 2
6
sin
B
sin
C
的取值范围为
3, 2
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
件
1 2 8 14．若某线性方程组的增广矩阵为 2 4 16 ，则该线性方程组的解的个数为（ ）
A. 0 个
B. 1个
C. 无数个
D. 不确定
15．下列命题中正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 垂直于同一直线的两条直线平行 C. 若直线 l 与平面 上的无数条直线都垂直，则直线 l
1 4 2
2．
（2）法一：∵ BC // B1C1 ， MBC 是异面直线 BM 与 B1C1 所成的角或其补角. 在 MBC 中， BM CM 5 , BC 2 ,
由余弦定理得， cosMBC 10 ， 10
MBC arccos
10
.
2021届浦东区一模数学试卷及答案
浦东新区2020学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷 2020.12考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．lim21n nn →∞=+______________．2．半径为2的球的表面积为_________.3．抛物线24x y =-的准线方程为______________. 4．已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =≤，则AB =________．5．已知复数z 满足(1)4z i -=（i 为虚数单位），则||z = . 6．在ABC △中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC =_________. 7．函数2()1log f x x =+(4)x ≥的反函数的定义域为___________.8．在7(x 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答）9．正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则AE AF 的取值范围为________． 10．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1211n n a S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为________． 11．设函数()2f x x a a x=--+，若关于x 的方程()1=x f 有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为________．12．对于任意的正实数a ，b ___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件14．若某线性方程组的增广矩阵为1282416⎛⎫⎪⎝⎭，则该线性方程组的解的个数为（ ）（A ）0个（B ）1个（C ）无数个 （D ）不确定15．下列命题中正确的是（ ） （A ）三点确定一个平面（B ）垂直于同一直线的两条直线平行（C ）若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线α⊥l（D ）若c b a 、、是三条直线，b a //且与c 都相交，则直线c b a 、、共面.16．已知函数2,()(),()为无理数为有理数x x f x x x ⎧=⎨⎩，则以下4个命题：①()f x 是偶函数；②()f x 在[)0,+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）.本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，直三棱柱ABC C B A -111中，1AB AC ==,2BAC π∠=，41=A A ，点M 为线段A A 1的中点．（1）求直三棱柱ABC C B A -111的体积；（2）求异面直线BM 与11C B 所成的角的大小．（结果用反三角表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π.（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1,2,3,,12)n n =个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n nn S n n n ≤≤⎧=⎨-+-≤≤⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量.（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．1A20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆1:C 2214x y +=,1F 、2F 为1C 的左、右焦点.（1）求椭圆1C 的焦距；（2）点2Q 为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB △面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线222:1C x y -=在第一象限的交点为(,)M M M x y ，椭圆1C 和双曲线2C 上满足||||M x x ≥的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求21NF NF ⋅的取值范围．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数。
2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷(附答案详解)
2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 设a >b >0，c ≠0，则下列不等式中，恒成立的是( )A. 1a >1bB. ac 2>bc 2C. ac >bcD. c a <c b 2. 下列函数中，值域为(0,+∞)的是( )A. y =x 2B. y =2xC. y =2xD. y =|log 2x|3. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为( )A. C 84−12B. C 84−8C. C 84−6D. C 84−4 4. 设集合A ={y|y =a x ,x >0}(其中常数a >0，a ≠1)，B ={y|y =x k ,x ∈A}(其中常数k ∈Q)，则“k <0”是“A ∩B =⌀”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件二、单空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 设全集U =R ，A =(−∞,2)，则∁U A =______．6. 设复数z =1−2i ，(i 是虚数单位)，则|z|=______．7. 若关于x ，y 的方程组{2x +y =43x −ay =8无解，则实数a =______． 8. 已知球的半径为2，则球的体积为______．9. 若直线l 1：2x +my +1=0与l 2：y =3x −1互相垂直，则实数m =______．10. 已知sinα=−√55，α∈(−π2,π2)，则sin(α+π2)=______． 11. 已知(x +2x )n 的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为______(结果用数值表示)．12. f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)=2x −1，则不等式f(x)>1的解集为______．13. 方程1+log 2x =log 2(x 2−3)的解为______．14. 平面直角坐标系中，满足到F 1(−1,0)的距离比到F 2(1,0)的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点P n (n,y n )(其中y n >0，n ∈N ∗)是曲线T 上的点，原点O 到直线P n F 2的距离为d n ，则n →∞lim d n =______．15. 如图所示矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作E 1，E 2，…，E 7，自左到右依次记作F 1，F 2，…，F 7，满足AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，(其中i ，j ∈N ∗，1≤i ，j ≤7)的有序数对(i,j)共有______对．16. 已知函数y =f(x)在定义域R 上是单调函数，值域为(−∞,0)，满足f(−1)=−13，且对于任意x ，y ∈R ，都有f(x +y)=−f(x)f(y).y =f(x)的反函数为y =f −1(x)，若将y =kf(x)(其中常数k >0)的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数y =f −1(x)的图象，则实数k 的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90°，CA =CB =CC 1=2.点D ，D 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点．(1)求证：D ，B ，B 1，D 1四点共面；(2)求直线BC 1与平面DBB 1D 1所成角的大小．18.设常数k∈R，f(x)=kcos2x+√3sinxcosx，x∈R．(1)若f(x)是奇函数，求实数k的值；(2)设k=1，△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f(A)=1，a=√7，b=3，求△ABC的面积S．19.某校运会上无人机飞行表演，在水平距离x∈[10,24](单位：米)内的飞行轨迹如图所示，y表示飞行高度(单位：米).其中当x∈[10,20]时，轨迹为开口向上的抛物线的一段(端点为M、Q)，当x∈[20,24]时，轨迹为线段QN，经测量，起点M(10,24)，终点N(24,24)，最低点P(14,8)．(1)求y关于x的函数解析式；(2)在A(0,24)处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值．(精确到0.1°)20. 设A 1，A 2分别是椭圆Γ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点．(1)若A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，求椭圆Γ的方程； (2)设a =√2，F 2是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段F 2Q 的中点M 在y 轴上，求△F 2BQ 的面积．(3)设a =3，点P 是直线x =6上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左、右顶点的两点，且C ，D 分别在直线PA 1和PA 2上，求证：直线CD 恒过一定点．21. 设数列{a n }与{b n }满足：{a n }的各项均为正数，b n =cosa n ，n ∈N ∗．(1)设a 2=3π4，a 3=π3，若{b n }是无穷等比数列，求数列{b n }的通项公式； (2)设0<a 1≤π2.求证：不存在递减的数列{a n }，使得{b n }是无穷等比数列；(3)当1≤n ≤2m +1时，{b n }为公差不为0的等差数列且其前2m +1项的和为0；若对任意满足条件0<a n ≤6π(1≤n ≤2m +1)的数列{a n }，其前2m +1项的和S2m+1均不超过100π，求正整数m的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为a>b>0，所以1a <1b，故A错误；因为a>b>0，c≠0，则c2>0，所以ac2>bc2，故B正确；若a>b>0，c<0，则ac<bc，故C错误；若a>b>0，c<0，则1a <1b，ca>cb，故D错误．故选：B．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数y=x2的值域为[0,+∞)，故排除A；∴函数y=2x的值域为{y|y≠0}，故排除B；∵函数y=2x的值域为(0,+∞)，故C满足条件；函数y=|log2x|的值域为[0,+∞)，故排除D，故选：C．由题意利用基本初等函数的值域，得出结论．本题主要考查基本初等函数的值域，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，从正方体的8个顶点中选取4个，有C84种取法，正方体的8个顶点中，4个顶点共面的情况有12种，6个表面，6个对角面，则可得到四面体的个数为C84−12，故选：A．根据题意，用间接法分析，先计算从正方体的8个顶点中选取4个的取法，再排除其中4点共面的情况，即可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：当a >1时，集合A =(1,+∞)，若k <0，则B ={y|y =x k ,x ∈A}=(0，1)，此时A ∩B =⌀；当0<a <1，集合A =(0,1)，若k <0，则B ={y|y =x k ,x ∈A}=(1，+∞)，此时A ∩B =⌀，故“k <0”是“A ∩B =⌀”的充分条件，当a >1时，集合A =(1,+∞)，若A ∩B =⌀，B ={y|y =x k ,x ∈A}，可得k ≤0； 当0<a <1，集合A =(0,1)，若A ∩B =⌀，B ={y|y =x k ,x ∈A}，可得k ≤0， 所以“k <0”不是“A ∩B =⌀”的必要条件，所以“k <0”是“A ∩B =⌀”的充分非必要条件．故选：A ．分a >1和0<a <1两种情况，根据充分必要条件的定义分别，判断其充分性和必要性即可．本题考查了充分必要条件，属于中档题．5.【答案】[2,+∞)【解析】解：∵全集U =R ，A =(−∞,2)，∴∁U A =[2,+∞)．故答案为：[2,+∞)．利用补集定义直接求解．本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.【答案】√5【解析】解：因为复数z =1−2i ，所以|z|=√12+(−2)2=√5．故答案为：√5．由复数的模的计算公式即可求出．本题主要考查复数模的运算，属于基础题．7.【答案】−32【解析】解：若关于x ，y 的方程组{2x +y =43x −ay =8无解， 则直线2x +y −4=0和直线3x −ay −8=0平行，故有32=−a1≠−8−4，求得a=−32，故答案为：−32．由题意可得直线2x+y−4=0和直线3x−ay−8=0平行，再利用两条直线平行的性质，求出a的值．本题主要考查二元一次方程组无解问题，两条直线平行的性质，属于基础题．8.【答案】32π3【解析】解：∵球的半径为R=2，∴球的体积为V=4π3R3=32π3．故答案为：32π3．根据球的体积公式，结合题中的数据直接加以计算，可得答案．本题已知球的半径，求球的体积．着重考查了球的性质、求的体积公式及其应用等知识，属于基础题．9.【答案】6【解析】解：∵直线l1：2x+my+1=0与l2：y=3x−1互相垂直，∴2×3+m×(−1)=0，求得实数m=6，故答案为：6．由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题．10.【答案】2√55【解析】解：因为sinα=−√55<0，α∈(−π2,π2)，所以α∈(−π2,0)，cosα=√1−sin2α=2√55，则sin(α+π2)=cosα=2√55．故答案为：2√55．由题意可得范围α∈(−π2,0)，进而根据同角三角函数基本关系式，诱导公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.【答案】1120【解析】解：∵已知(x +2x )n 的二项展开式中，所有二项式系数的和为2n =256，∴n =8． 则展开式中的通项公式为T r+1=C 8r ⋅2r ⋅x 8−2r ，令8−2r =0，求得r =4，可得展开式的常数项为C 84⋅24=1120， 故答案为：1120．由题意利用二项式系数的性质，求得n =8，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.【答案】(−∞,−1)∪(1,+∞)【解析】解：根据题意，当x ≥0时，f(x)=2x −1，此时，若f(x)>1，即2x −1>1，解可得x >1，此时f(x)>1的解集(1,+∞)， 又由f(x)是偶函数，则当x <0时，f(x)>1的解集(−∞,−1)，综合可得：不等式f(x)>1的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．故答案为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．根据题意，当x ≥0时，f(x)=2x −1，由函数的解析式可得f(x)>1在(0,+∞)上的解集，结合函数的奇偶性可得f(x)>1在(−∞,0)上的解集，综合可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 13.【答案】x =3【解析】解：∵1+log 2x =log 2(x 2−3)，∴log 2(2x)=log 2(x 2−3)，故2x =x 2−3，故{x 2−3>0x >0x 2−2x −3=0，解得：x =3，故答案为：x =3．问题转化为{x 2−3>0x >0x 2−2x −3=0，求出x 的值即可．本题考查了解方程问题，考查对数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题．14.【答案】√32【解析】解：设曲线T 上的点为P ，由题意，|PF 1|−|PF 2|=1，则曲线T 为双曲线，焦点坐标为F 1(−1,0)，F 2(1,0)，2a =1，a =12，c =1，∴b 2=c 2−a 2=1−14=34，∴双曲线方程为4x 2−43y 2=1．渐近线方程为y =±√3x ，而点P n (n,y n )(其中y n >0，n ∈N ∗)是曲线T 上的点，当n →+∞时，直线P n F 2的斜率趋近于√3，即k P n F 2=√3．则P n F 2：y =√3(x −1)，即√3x −y −√3=0．∴n →∞lim d n =√3|√(√3)2+(−1)2=√32． 故答案为：√32． 由双曲线定义可知T 的轨迹方程，求得渐近线方程，得到直线P n F 2的方程，再由点到直线的距离公式求解．本题考查双曲线的定义域几何性质，考查数列极限的求法，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】18【解析】解：根据题意，矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，则AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +i 8AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +j 8AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +i 8AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +j 8AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=i 8+j 2，若AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，则i 8+j 2≤2，变形可得i +4j ≤16，又由i ，j ∈N ∗，1≤i ，j ≤7，当i =1时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当i =2时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当i =3时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当i =4时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当i =5时，j 可取的值为1、2，共2个；当i =6时，j 可取的值为1、2，共2个；当i =7时，j 可取的值为1、2，共2个；则符合条件的有序数对(i,j)共有3×4+2×3=18对， 故答案为：18．根据题意，有由向量加法的运算性质可得AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +i8AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +j 8AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而由数量积的计算公式可得AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +i 8AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +j 8AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=i 8+j2，变变形可得i +4j ≤16，据此分类讨论(i,j)的组合，由加法原理计算可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】3【解析】解：由题意，设f(x)=y =−a x ， 根据f(−1)=−13，解得a =3， ∴f(x)=y =−3x ，那么x =log 3(−y)，(y <0)，x 与y 互换，可得f −1(x)=log 3(−x)，(x <0)， 则y =kf(x)=−k ⋅3x ， 那么x =log 3(y −k )，x 与y 互换，可得y =log 3(−xk )，向上平移1个单位，可得y =log 3(−xk )+1， 即log 3(−x)=log 3(−3x k)，故得k =3， 故答案为：3．由题意设f(x)=−a x 根据f(−1)=−13，解得a ，在求解y =kf(x)的反函数，向上平移1个单位，可得y =f −1(x)，即可求解实数k 的值； 本题考查了反函数的求法，属于基础题．17.【答案】解：(1)证明：∵点D ，D 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点，∴DD 1//CC 1， ∵CC 1//BB 1，∴DD 1//BB 1， ∴D 、B 、B 1、D 1四点共面． (2)作C 1F ⊥B 1D 1，垂足为F ，∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1F ⊂平面A 1B 1C 1， ∴直线BB 1⊥直线C 1F ，∵C 1F ⊥直线B 1D 1且BB 1与B 1D 1相交于B 1， ∴直线C 1F ⊥平面DBB 1D 1，∴∠C 1BF 即为直线BC 1与平面DBB 1D 1所成的角． 在直角△C 1BF 中，BC 1=2√2，C 1F =2√55，sin∠C 1BF =√1010， 直线BC 1与平面DBB 1D 1所成的角为arcsin √1010．【解析】(1)证明DD 1//BB 1，即可证明D 、B 、B 1、D 1四点共面．(2)作C 1F ⊥B 1D 1，垂足为F ，说明∠C 1BF 即为直线BC 1与平面DBB 1D 1所成的角，再求出直线BC 1与平面DBB 1D 1所成角的大小．本题考查直线与平面所成角的求法，平面的基本性质，是中档题．18.【答案】解：(1)由题意知，f(0)=k =0，下面对k =0进行检验：若k =0，则f(x)=√3sinxcosx ，对任意x ∈R 都有f(−x)=√3sin(−x)cos(−x)=−√3sinxcosx =−f(x)， ∴f(x)是奇函数，∴k =0．(2)∵f(A)=cos 2A +√3sinAcosA =1， ∴1+cos2A2+√32sin2A =1，整理，得sin(2A +π6)=12，∴2A +π6=π6+2kπ或5π6+2kπ，k ∈Z ，∴A =kπ或π3+kπ，k ∈Z ， ∵A ∈(0,π)，∴A =π3， 由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc，即12=9+c 2−76c，整理，得c 2−3c +2=0，解得c =1或c =2， ∴S =12bcsinA =3√34或3√32．【解析】(1)由f(0)=0，知k =0，再对k =0进行检验，即可；(2)结合二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，可推出A =π3，再由余弦定理求出c 的值，最后根据S =12bcsinA ，即可得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握三角形面积公式、余弦定理和三角恒等变换的相关公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)x ∈[10,20]时，设：y =a(x −14)2+8，M(10,24)代入得 a =1， ∴y =(x −14)2+8， x ∈[20,24]时， ∵Q(20,44)、N(24,24)， ∴y =−5x +144，∴y ={(x −14)2+8x ∈[10,20]−5x +144x ∈(20,24]．(2)如图，设仰角为α，俯角为β，∵Q(20,44)，A(0,24)，∴仰角α最小为45°， tanβ=24−y x，=24−(x 2−28x +204)x=28−(x +180x)≤28−12√5，x ∈[10,20]∴俯角β最小为arctan(−12√5+28)≈49.4°， ∴θ最小为94.4°．【解析】(1)结合函数的图象，通过x ∈[10,20]时，设：y =a(x −14)2+8，利用M(10,24)代入得 a =1，求出解析式，然后得到函数的解析式即可． (2)设仰角为α，俯角为β，推出tanβ=24−y x，化简后利用基本不等式求解最值，推出θ最小为94.4°．本题考查函数与方程的应用，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)A 1(−a,0)，A 2(a,0)，B(0,1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a, 1)，A 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a, 1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a 2+1=−4，解得a 2=5， 即椭圆Γ的方程为x 25+y 2=1；(2)椭圆的方程为x 22+y 2=1，则F 2(1,0)，设Q(x Q ,y Q )，由线段F 2Q 的中点在y 轴上，得x Q =−1， 代入椭圆方程，得y Q =√22，即Q(−1, √22)，S △F 2BQ =S △BF 2M +S △BQM =12(1−√24)⋅2=1−√24； (3)证明：由题意A 1(−3,0)，A 2(3,0)，设点P 的坐标为(6,m)， 直线PA 1：y =m9(x +3)，与椭圆方程 x 29+y 2=1联立消去y ，得(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 2−81=0， 由韦达定理，得x C =−3m 2+279+m 2，即C(−3m 2+279+m 2, 6m 9+m 2)，同理 D(3m 2−31+m 2, −2m 1+m 2)， 当x C =x D ，即27−3m 29+m 2=3m 2−3m 2+1，即m 2=3时，直线CD 的方程为x =32， 当x C ≠x D 时，直线CD ：y −−2m1+m 2=4m3(3−m 2)(x −3m 2−31+m 2)，化简得y =4m3(3−m 2)(x −32)，恒过点(32, 0)， 综上所述，直线CD 恒过点(32, 0)．【解析】(1)由椭圆方程分别求出点A 1，A 2，B 的坐标，然后利用已知向量关系，求出a 的值即可求解；(2)先求出椭圆的方程，即可求出F 2的坐标，设出Q 的坐标，根据已知可求出Q 的横坐标，然后代入椭圆方程化简求出Q 的坐标，进而可以求解；(3)由已知a 的值即可求出椭圆的左右顶点的坐标，再设出P 的坐标为(6,m)，由此可得直线PA 1的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求出C 的坐标，同理求出D 的坐标，若直线CD 的斜率不存在可求出直线CD 的方程，若斜率存在即可求出直线CD 的方程，即可求出直线CD 过的定点，进而得证．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，涉及到三角形面积问题以及直线过定点的问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．21.【答案】(1)解：由a 2=3π4，a 3=π3， 可得b 2=cos3π4=−√22，b 3=cos π3=12，公比为q =−√22，由b 22=b 1⋅b 3解得b 1=1，数列{b n }的通项公式为b n =(−√22)n−1．(2)证明：设存在递减的数列{a n }，使得{b n }是无穷等比数列， 则0<a 2<a 1<π2，此时cosa 2>cosa 1>0，公比q=cosa2cosa1>1，cosan=cosa1⋅(q)n−1，考虑不等式cosa1⋅q n−1>1，当n>1−log q(cosa1)时，即n≥1+[1−log q(cosa1)]时，有cosa n>1(其中[x]表示不超过x的最大整数)，这与f(x)=cosx的值域为[−1,1]矛盾，所以假设不成立，得证；(3)解：(b1+b2m+1)(2m+1)2=0，可得b1+b2m+1=0，由等差数列性质b i+b2m+2−i=b1+b2m+1=0(1≤i≤m+1,i∈N∗)，即cosa i+cosa2m+2−i=0，特别地，b m+1=0，现考虑S2m+1的最大值．为使S2m+1取最大值，应有a n∈[5π,6π]，否则在S2m+1中将a n替换为a n′，且cosa n=cosa n′，a n′∈[5π,6π]，将得到一个更大的S2m+1，由cosa i+cosa2m+2−i=0可知a i+a2m+2−i=2⋅11π2=11π，特别地，a m+1=11π2；于是(S2m+1)max=m⋅(11π)+11π2=(2m+1)⋅11π2≤100π，解得m≤18922，所以m的最大值为8．【解析】(1)运用等比数列的中项性质，解方程可得公比q，所求通项公式；(2)运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；(3)运用等差数列的中项性质和求和公式，解不等式可得所求最大值．本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020-2021学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ．3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞0}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足z （1-i ）=4（i 为虚数单位），则|z|=___ ．6.（填空题，4分）在△ABC 中，若AB=2，∠B= 5π12 ，∠C= π4 ，则BC=___ ． 7.（填空题，5分）函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的反函数的定义域为___ ．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答）9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ．11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ． 13.（单选题，5分）若a 、b 是实数，则a ＞b 是2a ＞2b 的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为 (1282416) ，则该线性方程组的解的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.无数个D.不确定15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（ ） A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.317.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）18.（问答题，14分）已知函数 f (x )=sin (ωx +π6) （ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若 f (A2)=1 ，求sinB+sinC 的取值范围．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．（1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22 ）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x 3)=12h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．【正确答案】：[1] 12 【解析】：由 n 2n+1 = 12+1n，再利用极限运算法则即可得出．【解答】：解： lim n→∞n 2n+1 = lim n→∞12+1n= 12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了极限运算法则、乘法公式，属于基础题． 2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ． 【正确答案】：[1]16π【解析】：利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】：解：球的半径为2，所以球的表面积为：4πr 2=16π 故答案为：16π【点评】：本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题． 3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ． 【正确答案】：[1]y=1【解析】：由抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p2 =1，即可求得抛物线的准线方程．【解答】：解：抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p 2 =1， ∴抛物线的焦点坐标为（0，-1），准线方程：y=1， 故答案为：y=1．【点评】：本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞0}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】：解：复数z满足z（1-i）=4，则z=41−i，所以|z|=4|1−i|=√2=2√2．故答案为：2 √2【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）在△ABC中，若AB=2，∠B= 5π12，∠C= π4，则BC=___ ．【正确答案】：[1] √6【解析】：由三角形的内角和即B，C的值，求出A角的值，再由正弦定理可得边BC的值．【解答】：解：A=π−B−C=π−5π12−π4=π3，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=ABsinAsinC=2sinπ3sinπ4=√6．故答案为：√6．【点评】：本题考查正弦定理的应用，属于基础题．7.（填空题，5分）函数f（x）=1+log2x（x≥4）的反函数的定义域为___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：直接利用反函数的定义域和值域的关系求出结果．【解答】：解：函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的值域为[3，+∞）， 故其反函数的定义域为[3，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：反函数的定义域与原函数的值域的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答） 【正确答案】：[1] 12【解析】：先求出展开式的通项公式，然后根据通项公式判断系数为有理数的情况的个数，再根据古典概率的求法艰苦求解．【解答】：解：因为 (x +√2)7展开式的通项为 T r+1=C 7r x 7−r(√2)r =C 7r 2r2x 7−r，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而r∈[0，7]（r∈N ），故有r=0，2，4，6满足题意， 所以所求概率 P =48=12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了二项式定理的简单应用，涉及到古典概率的求法，属于基础题． 9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1][0，1]【解析】：由题意取EF 中点为，然后结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【解答】：解：取EF 中点为O ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO 2−OE 2 ， 因为正方形的边长为2，所以 AO =√2，OE ∈[1，√2] ， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0，1] ．故答案为：[0，1]．【点评】：本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ． 【正确答案】：[1]S n =2n+1-2【解析】：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由 |an+1S n11|=2 变形可得a n+1-S n =2，令n=1和n=2可得a 2-S 1=a 2-a 1=2和a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，联立两式可得a 1、q ，由等比数列的前n 项和公式可得答案．【解答】：解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设等比数列{a n }的公比为q ， 数列{a n }满足 |a n+1S n11|=2 ，则有a n+1-S n =2， 当n=1时，有a 2-S 1=a 2-a 1=2，即a 1q-a 1=2 ①当n=2时，有a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，即a 1q 2-（a 1+a 1q ）=2 ② 联立 ① ② 可得：a 1=2，q=2， 则数列{a n }的前n 项和为S n = a 1(1−q n )1−q =2n+1-2，故答案为：S n =2n+1-2．【点评】：本题考查等比数列的前n 项和，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题． 11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 【正确答案】：[1] {1−2√22，1+2√22，2} 【解析】：由题意，转化为两个函数问题，即设 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ，作出图，即可求解实数a 的取值构成的集合．【解答】：解：由方程f （x ）=1，得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 令 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ， 则h （x ）=|x-a|+a 的顶点（a ，a ）在y=x 上，而y=x 与 g (x )=2x +1 的交点坐标为（2，2），（-1，-1），联立 {y =−x +2a y =2x +1 得x 2+（1-2a ）x+2=0，由Δ=（1-2a ）2-8=0，解得 a =1−2√22 或 1+2√22， 作出图象，数形结合，要使得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是 a =1−2√22 或 1+2√22或2．故答案为 {1−2√22，1+2√22，2} ．【点评】：本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [√22，1)【解析】：首先利用直线和曲线的位置关系，求出直线的斜率的最小值，进一步求出结果．【解答】：解： 2√2a+√a 2+9b 25a+3b =2√2+√1+9(b a)25+3⋅b a，故可看作 A (3×ba，√1+9(b a)2) 与 B(−5，−2√2) 两点的斜率，其中点A 在y 2-x 2=1（x ＞0，y ＞0）上，故k AB 最小值在相切时取得， 设 y +2√2=k (x +5) ，联立 {y +2√2=k (x +5)y 2−x 2=1，消去y ，可得（k 2-1）x 2+2k （5k-2 √2 ）x+（5k-2 √2 ）2-1=0， 由Δ=26k 2-20 √2 k+7=0，解得 k 1=√22，k 2=713√2 （舍）当 ba →+∞时， k AB =2√2+√1+9(b a)25+3×b a →1，故 2√2a+√a 2+9b 25a+3b 的取值范围是 [√22，1) ． 故答案为： [√22，1) ．【点评】：本题考查的知识要点：基本不等式，关系式的变换，极限的求法，属于中档题．13.（单选题，5分）若a、b是实数，则a＞b是2a＞2b的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，由充分必要条件的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，则a＞b是2a＞2b的充要条件，故选：C．【点评】：本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．)，则该线性方程组的解的个数14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为(1282416为（）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【正确答案】：C【解析】：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y即可．【解答】：解：该线性方程组可化为方程x+2y=8，故有无数组解；故选：C．【点评】：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（）A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【正确答案】：D【解析】：利用平面的基本性质及推论可知A ，B 错误，D 正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C 错误．【解答】：解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为a || b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】：B【解析】： ① 由偶函数的定义，举例即可判断； ② 举例即可判断； ③ F （x ）的值域中不含负无理数，故可判断； ④ 根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．【解答】：解： ① 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，所以f （1）=1，f （-1）=-1，所以f （x ）不是偶函数，故错误；② 因为f （3）=3＜f （ √5 ）=5，所以f （x ）在[0，+∞）不是增函数，故错误； ③ 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，显然F （x ）的值域中不含负无理数，故f （x ）的值域不为R ，故错误；④ g （x ）=f （x ）-a 的零点即x=a ，x 为有理数或x 2=a ，x 为无理数， 对于x=a ，x 为有理数，必有解x=a ，对于x 2=a ，x 为无理数，必有解x=± √a 或无解， 故g （x ）=f （x ）-a 有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．【点评】：本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2 ，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）由V=S △ABC •A 1A ，即可得解；（2）易知∠MBC 或其补角即为所求，再在△MBC 中，由余弦定理求得cos∠MBC 的值，即可．【解答】：解：（1）∵ S △ABC =12×1×1=12 ， ∴V=S △ABC •A 1A= 12 ×4=2． （2）∵BC || B 1C 1，∴∠MBC 或其补角是异面直线BM 与B 1C 1所成的角， 在△MBC 中，BM=CM= √5 ，BC= √2 ，由余弦定理得，cos∠MBC= BM 2+BC2−CM22BM•BC= √1010，∴∠MBC=arccos √1010，故异面直线BM与B1C1所成的角为arccos√1010．【点评】：本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的额关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；（2）由（1）及f（A2）=1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．【解答】：解：（1）因为f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，所以T=2πω=π，所以ω=2，f（x）=sin（2x+ π6），令2kπ- π2≤2x+ π6≤2kπ+ π2，k∈Z，解得：kπ- π3≤x≤kπ+ π6，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是[kπ- π3，kπ+ π6]，k∈Z．（2）在△ABC中，若f(A2)=1，由（1）得，f(x)=sin(2x+π6)，所以sin(A+π6)=1因为0＜A＜π，所以A+π6=π2，解得：A= π3，即sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)，因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+π6＜5π6；所以12＜sin(B+π6)≤1，√32＜√3sin(B+π6)≤√3，所以sinB+sinC 的取值范围 (√32，√3] ．【点评】：本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）当1≤n≤6时，每月食材显然都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=16＞0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立，分两种情况，分别求出p 的最小值，再取较大者即可求出结果．【解答】：解：（1）当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=646×7-（-6×49+774×7-618）=16＞0，第7个月该食材够用， 所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立， ① 当1≤n≤6时，pn≥635n 恒成立，可得p≥635，② 当7≤n≤12时，pn≥-6n 2+774n-618恒成立，即 p ≥774−6(n +103n) 恒成立， 因为774-6（n+ 103n） ≤774−6×2√n •103n≈652.2，当且仅当n=103n，即n= √103 ≈10.15时，等号成立，又因为n∈N *，且n≤12，所以当n=10时， 774−6(n +103n) 的最大值为652.2，综上所述，p≥652.2，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点． （1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得椭圆的a ，b ，c ，可得焦距2c ；（2）设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m ，进而得到直线方程；（3）求得M 的坐标，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，运用向量的坐标运算，可得 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ，分别讨论M 在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．【解答】：解：（1）由椭圆C 1： x 24+y 2 =1， 可得a=2，b=1，c= √a 2−b 2 = √3 ， 则椭圆C 1的焦距为 2c =2√3 ；（2）由k OQ = 12 ，设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx+2m 2-2=0， 由Δ=4m 2-8（m 2-1）=8-4m 2＞0，得 |m |＜√2 ， x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以|AB|= √1+14 • √(−2m )2−4(2m 2−2) = √5 • √2−m 2 ， 又Q 到直线l 的距离为 d =√52由 S △QAB =12d |AB |=|m |√2−m 2=1，m =±1 ，所以 l ：y =12x ±1 ；（3）由 { x 2+4y 2=4 x 2−y 2=1 ，解得 {x M =2√105 y M =√155 ，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，则 F 1(−√3 ， 0) ， F 2(√3 ， 0) ， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x ， −y) ， NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−x ， −y) ， 所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ；当点N 在曲线x 2+4y 2=4（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3y 2 ， 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45 ，当y=0时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =1 ，所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， 1] ；当点N 在曲线x 2-y 2=1（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2 ； 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ；综上， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x3)=12 h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合非减函数的定义，即可得出答案．（2）根非减函数的定义，推出2≤x 1＜x 2≤4，则g （x 1）-g （x 2）≤0恒成立，即可得a 的取值范围．（3）由h（1）+h（0）=1，推出h（1）=1，h（13）=h（23）= 12，根据题意可得12≤h（x）≤ 12，推出∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，再结合由② 推出，h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020）的值．【解答】：解：（1）f1（x）不是，f2（x）是．因为f1（1）＞f1（2），则f1（x）不是[1，4]上的非减函数，f2（x）= {1，1≤x≤2 2，2＜x≤4，∀x1，x2∈[1，2]，且设1≤x1＜x2≤2，则f2（x1）=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1，x2∈（2，4]，且设2＜x1＜x2≤4，则f2（x1）=2x1-3＜2x2-3=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1∈[1，2]，∀x2∈（2，4]，则f2（x1）=1，f2（x2）=2x2-3＞1，显然满足f2（x1）≤f2（x2），综上所述，f2（x）是[1，4]上的非减函数．（2）∀x1，x2∈[2，4]，设2≤x1＜x2≤4，则g（x1）-g（x2）≤0，g（x1）-g（x2）=2 x1 + 2a2x1 -（2 x2 + 2a2x2）=2 x1 -2 x2 +（2a2x1 - 2a2x2）=2 x1 -2 x2 + 2a2x12x2（2 x2 -2 x1）=（2 x1 -2 x2）（1- 2a2x12x2）≤0，则∀x1，x2∈（2，4]，设2≤x1＜x2≤4，不等式1- 2a2x12x2≥0恒成立，即2a≤2 x1 2 x2，则a≤8．（3）h（1）+h（0）=1，所以h（1）=1，所以h（13）= 12h（1）= 12，h（23）=1-h（13）= 12，得出h（13）=h（23）= 12，∀x∈（13，23），因为函数h（x）在[0，1]上为非减函数，所以h（13）≤h（x）≤h（23），所以12≤h（x）≤ 12，得到∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，由② h（x3）= 12h（x）知，h（x）= 12h（3x），h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020），所以h（12020）= 1128．【点评】：本题考查函数的非减函数的定义，函数的单调性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
2021年上海市高考数学一模试卷(理科)含解析答案
2021年上海市高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则∁U A=[﹣1，4]．【考点】：补集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集即可．【解析】：解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U=R，∴∁U A=[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]【点评】：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（4分）（2021•闵行区一模）若复数z满足（z+2）（1+i）=2i（i为虚数单位），则z=﹣1+i．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由（z+2）（1+i）=2i，得，∴z=﹣1+i．故答案为：﹣1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（4分）（2021•闵行区一模）函数f（x）=xcosx，若f（a）=，则f（﹣a）=﹣．【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知得f（a）=acosa=，由此能求出f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．【解析】：解：∵f（x）=xcosx，f（a）=，∴f（a）=acosa=，∴f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．故答案为：﹣．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．（4分）（2021•闵行区一模）计算=．【考点】：极限及其运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：利用极限的运算法则即可得出．【解析】：解：∵=，∴=．∴原式==．故答案为：．【点评】：本题考查了极限的运算法则，属于基础题．5．（4分）（2021•闵行区一模）设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=1．【考点】：反函数．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系得到4x﹣2x+1=0，求解x的值得答案．【解析】：解：由4x﹣2x+1=0，得（2x）2﹣2•2x=0，即2x=0（舍）或2x=2，解得x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系，是基础题．6．（4分）（2021•闵行区一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．【考点】：二倍角的余弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由θ∈（，π），sin﹣cos=，求出sin2θ，然后求出cos2θ．【解析】：解：∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．【点评】：本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取．7．（4分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解析】：解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．8．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，由此能求出“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率．【解析】：解：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p=．故答案为：．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．（4分）（2021•闵行区一模）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：画出图形，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径，则当且同向时，则取得最大值．【解析】：解：如图，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径为3×=，则当且同向时，则取得最大值．所以3||cos∠BAM=3（+OM）=；故答案为：．【点评】：本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，考查了推理能力和计算能力，属于难题．10．（4分）（2021•闵行区一模）函数y=|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．【考点】：对数的运算性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：y=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．对x分类讨论：当x≥1时，f（x）=1+2log2x；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x；当时，f（x）=1，即可得出．【解析】：解：y=|2x|+|x|=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．当x≥1时，f（x）=1+2log2x≥1，当且仅当x=1时取等号；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x=时取等号；当时，f（x）=1，因此时等号成立．综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了绝对值函数、对数函数的单调性、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）（2021•闵行区一模）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：运用函数f（x）=（）x与g（x）=x关于直线y=x对称，可知h（x）关于直线y=x对称．利用y=x与y=5﹣x的交点，结合图求解即可．【解析】：解：∵函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，记函数h（x）=，∴可知h（x）关于直线y=x对称．∵y=x与y=5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y=5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=2×=5∴函数F（x）=h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y=5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．【点评】：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，12．（4分）（2021•闵行区一模）已知F1、F2是椭圆Γ1：=1和双曲线Γ2：=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则mn的最大值为．【考点】：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】：解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设|PF1|=s，|PF2|=t，求出焦点，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由椭圆和双曲线的定义可得m，n的关系，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可求得最大值．【解析】：解：设|PF1|=s，|PF2|=t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c=2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=s2+t2﹣2stcos60°即s2+t2﹣st=16，由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t=2n（n＞0），解得s=m+n，t=m﹣n．即有16=（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）=m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m=n，取得最大值．故答案为：．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查椭圆和双曲线的定义，同时考查三角形的余弦定理和重要不等式的运用，属于中档题．13．（4分）（2021•闵行区一模）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2SsinA＜（•）sinB，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cosBcosC＞sinBsinC；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是①②④．【考点】：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：解三角形．【分析】：由题意可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又bsinA=asinB＞0，可得cosB＞sinA＞0，可得A、B均是锐角，从而可得A+B＜90°，∠C＞90°，由余弦定理及两角和的余弦公式结合三角函数值的符合即可判断得解．【解析】：解：∵2SsinA＜（•）sinB，∴2×bcsinA×sinA＜cacosBsinB，∴可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又由正弦定理可得：bsinA=asinB＞0，则cosB＞sinA＞0，可得：A、B均是锐角，而cosB=sin（90°﹣B），故有sin（90°﹣B）＞sinA，即90°﹣B＞A，则A+B＜90°，∠C＞90°，∴由余弦定理可得：cos∠C=＜0，即有：c2＞a2+b2，故②正确，∴由余弦定理可得：cos∠A=＞0，可得a2＜b2+c2，故①正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=﹣cosA＜0，故③不正确；故答案为：①②④．【点评】：本题考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，两角和的余弦公式等知识的应用，借助考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，属于中档题．14．（4分）（2021•闵行区一模）已知数列f（2x）=af（x）+b满足：对任意n∈N*均有a n+1=pa n+3p ﹣3（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为{﹣1，﹣3，﹣29}．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：从{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}中任取两值作为a2，a3的值，求出p．从而求出a4，a5，由此能求出a1所有可能值的集合．【解析】：解：（1）取a2=﹣19，a3=﹣7时，﹣7=﹣19p+3p﹣3，解得p=，=﹣4，不成立；（2）取a2=﹣19，a3=﹣3时，﹣3=﹣19p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（3）取a2=﹣19，a3=5时，5=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=5×=﹣7，a5=﹣7×=﹣1，不成立；（4）取a2=﹣19，a3=10时，10=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=10×=﹣，不成立；（5）取a2=﹣19，a3=29时，29=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（6）取a2=﹣7，a3=﹣3时，﹣3=﹣7p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（7）取a2=﹣7，a3=5，得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19，a5=﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3=29，∴﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1=﹣1；（8）取a2=﹣7，a3=10时，10=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣，=，不成立；（9）取a2=﹣7，a3=29时，29=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣8，a4=29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3=﹣259，不成立；（10）取a2=﹣7，a3=﹣19时，﹣19=﹣7p+3p﹣3，解得p=4，a4=﹣19×4+3×4﹣3=﹣67，不成立；（11）取a2=﹣3，a3=﹣19时，﹣19=﹣3p+3p﹣3，不成立；（12）取a2=﹣3，a3=﹣7时，﹣7=﹣3p+3p﹣3，不成立；（13）取a2=﹣3，a3=5时，5=﹣3p+3p﹣3，不成立；（14）取a2=﹣3，a3=10时，10=﹣3p+3p﹣3，不成立；（15）取a2=﹣5，a3=29时，29=﹣3p+3p﹣3，不成立；（16）取a2=5，a3=﹣19时，﹣19=5p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=29，a5=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（17）取a2=5，a3=﹣7时，﹣7=5p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣1，不成立；（18）取a2=5，a3=﹣3时，﹣3=5p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（19）取a2=5，a3=10时，10=5p+3p﹣3，解得p=，=，不成立；（20）取a2=5，a3=29时，29=5p+3p﹣3，解得p=4，a4=29×4+3×4﹣3=125，不成立；（21）取a2=10，a3=﹣19时，﹣19=10p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣，不成立；（22）取a2=10，a3=﹣7时，﹣7=10p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×=﹣，不成立；（23）取a2=10，a3=﹣3时，﹣3=10p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（24）取a2=10，a3=5时，5=10p+3p﹣3，解得p=，a4=5×﹣3=，不成立；（25）取a2=10，a3=29时，29=10p+3p﹣3，解得p=，a4=29×+3×=，不成立；（26）取a2=29，a3=﹣19时，﹣19=29p+3p﹣3，解得p=﹣，=5，，29=﹣﹣3×，解得a1=﹣67；（27）取a2=29，a3=﹣7时，﹣7=29p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×﹣3=﹣，不成立；（28）取a2=29，a3=5时，5=29p+3p﹣3，解得p=，a4==1，不成立；（29）取a2=29，a3=10时，10=29p+3p﹣3，解得p=，a4=10×=，不成立；（30）取a2=29，a3=﹣3时，﹣3=29p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3．综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．【点评】：本题考查满足条件的集合的求法，是基础题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）（2021•闵行区一模）已知圆O：x2+y2=1和直线l：y=kx+，则k=1是圆O与直线l相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆；简易逻辑．【分析】：圆O与直线l相切，可得圆心到直线的距离d==1，求出k，即可得出结论．【解析】：解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=±1，∴k=1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查充要条件的判断，正确运用点到直线的距离公式是关键．16．（5分）（2021•闵行区一模）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1 B．1 C．256 D．﹣256【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和．【解析】：解：令二项式（2﹣）8中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8=1∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．【点评】：求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．17．（5分）（2021•闵行区一模）已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可．【解析】：解：①y=x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A不正确，②y=x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）=﹣1，f（b）=1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选；D【点评】：本题主要考查函数零点的定义，函数零点的判定定理，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题18．（5分）（2021•闵行区一模）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2021的方差为λ1，数据的方差为λ2，k=．则（）A．k=4．B．k=2．C．k=1．D．k的值与公差d的大小有关．【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：分别计算平均数与方差，即可得出结论．【解析】：解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2021的平均数为=a1008，所以λ1=[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2021﹣a1008）2]=•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2=[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2021﹣a1﹣d）2]=•（12+22+…+10072）．所以k==2，故选：B．【点评】：本题考查等差数列的通项与求和，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2021•闵行区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：解法一：利用线面垂直的判定定理可得：A1C1⊥平面BB1C1C，因此∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．利用tan∠A1BC1=即可得出．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，利用线面角公式：即可得出．【解析】：解法一：∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩C1C=C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．设CC1=y，，∴，∴．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．则，平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则，∴．【点评】：本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的向量计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）（2021•闵行区一模）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【考点】：函数模型的选择与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x；（Ⅱ）4360﹣﹣16x≥2760，由此得到年产量x的取值范围．【解析】：解：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x=50．【点评】：本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．属于中档题．21．（14分）（2021•闵行区一模）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•=0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）代入点P，求得a2=2，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，b，c的关系，解方程即可得到c，即有椭圆方程；（2）方法一、运用点差法，设出C，D的坐标，代入椭圆方程，作差再由中点坐标公式，求得CD的斜率，得到直线CD的方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到；方法二、运用对称的方法，设出C，D的坐标，再作差，可得直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到．【解析】：解：（1）由于椭圆Γ过点，即有，解得a2=2，又•=0，则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，又，得，，即有，而b2=a2﹣c2=2﹣c2，所以c2﹣2c+1=0得c=1，故椭圆Γ的方程是．（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且x1+x2=2，y1+y2=1，由，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即，所以CD所在直线的方程为，将，代入x2+2y2=2得，即有x1+x2=2，x1x2=．．法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），则，两等式相减得，将，代入x2+2y2=2得，则有．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和点差法、弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．22．（16分）（2021•闵行区一模）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立，请说明理由．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的取值范围．（3）利用函数的单调性求出函数的值域，进一步说明函数的单调性问题．【解析】：解：（1）=，函数f（x）的最小正周期T=π，（2）当时，，，存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）=1成立．当时，，，设，则a∈[﹣1，1]，由，得．所以x2的集合为，∵，∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）=1成立．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，函数的存在性问题的应用．23．（18分）（2021•闵行区一模）已知数列{a n}为等差数列，a1=2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=2022成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】：数列与不等式的综合．【专题】：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】：（1）法1、求数列{a n}、{b n}的通项公式，在于求等差数列的公差和等比数列的首项和公比，设出等差数列{a n}的公差d和等比数列{b n}的公比为q．在已知数列递推式中令n=1，2，3分别得到关于待求量的关系式，然后求解公差和公比，则等差数列的公差和等比数列的公比可求；法2：由已知数列递推式取n=n﹣1（n≥2）得另一递推式，两式作差后得到，由数列{a n}为等差数列，可令a n=kn+b，得，由，得（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，由系数为0求得q，b，k的值得数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，由（4p+4）2﹣2q=2022，得4p2+8p﹣501为奇数，进一步得到2q﹣2为奇数，求得q=2，进一步求出，这与p∈N*矛盾；（3）把数列{a n}的通项公式代入λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos整理，设，可得数列{b n}单调递增．则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n，然后假设存在实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，分n为奇数和n为偶数求得，结合λ是非零整数可求得满足条件的λ．【解析】：解（1）法1：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q．∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4，令n=1，2，3分别得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，又a1=2，∴，即，解得：或．经检验d=2，q=2符合题意，不合题意，舍去．∴．法2：∵①则（n≥2）②①﹣②得，，又a1b1=4，也符合上式，∴，由于{a n}为等差数列，令a n=kn+b，则，∵{b n}为等比数列，则（为常数），即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，∴q=2，b=0，又a1=2，∴k=2，故；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q=2022，化简得4p2+8p﹣501=2q﹣2，由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，∴2q﹣2为奇数，故q=2．得4p2+8p﹣501=1，即2p2+4p﹣251=0，故，这与p∈N*矛盾，∴不存在满足题设的正整数p，q；（3）由a n=2n，得，设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n.，∵b n＞0，∴b n+1＞b n，数列{b n}单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，则①当n为奇数时，得；②当n为偶数时，得，即．综上，，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了利用函数的单调性求函数的最值，体现了数学转化、分类讨论、分离参数等数学思想方法，属难题．。
上海市浦东新区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
上海市浦东新区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为 A ．()0,2 B ．(]2,4 C ．[)4,+∞ D ．(),0-∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意知{}02A ⊆，且4A ∉，结合数轴即可求得a 的取值范围. 【详解】 由题意知，{}=02AB ，，则{}02A ⊆，，故2a >，又4A ∉，则4a ≤，所以24a <≤， 所以本题答案为B. 【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定A B 中的元素是解题的关键，属于基础题.2．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5 B ．11 C ．20 D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n 项和，从而得到最值. 【详解】等差数列{}n a 的公差为-2，可知数列单调递减，则2a ，3a ，4a 中2a 最大，4a 最小， 又2a ，3a ，4a 为三角形的三边长，且最大内角为120︒，由余弦定理得22223434a a a a a =++，设首项为1a ，所以14a =或19a =，又41a 60a ，=->即1a 6>,14a =舍去，19a =故，d=-2 前n 项和()()()219n 25252n n n S n -=+⨯-=--+.故n S 的最大值为525S =. 故选：D 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查求前n 项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.3．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行 D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】C 【解析】 【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断． 【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点 分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，//A M D E ，A M ⊂/平面D AE ，D E ⊂平面D AE ，1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ， 1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确． 对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ， 1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．2328【答案】B 【解析】 【分析】首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”， 记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，利用对立事件的概率公式计算可得； 【详解】解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为3984C =（个），则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，则339319()128P E C =-=. 故选：B本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．5．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+i B ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+【答案】C 【解析】 【分析】由题意得210m m -+=，可求得13m =，再根据共轭复数的定义可得选项.【详解】由题意得210m m -+=，解得13m =，所以1133z i =-+，所以1133z i =--，故选：C. 【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.6．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}【答案】B 【解析】 【分析】按补集、交集定义，即可求解. 【详解】UA ＝{1，3，5，6}，UB ＝{1，2，5，6}，所以()()UU A B ＝{1，5，6}.故选：B. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 7．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2【答案】C显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,由()f x 的一个零点在区间()1,2内,则()()120f f <,即可求解. 【详解】由题,显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a ,故选:C 【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.8．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，//n α或n ⊂α；在C 中，由线面垂直的判定定理得n α⊥；在D 中，m 与β平行或m β⊂． 【详解】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则： 在A 中，若//m α，//m β，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误；在C 中，若m α⊥，//m n ，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故C 正确； 在D 中，若αβ⊥，m α⊥，则m 与β平行或m β⊂，故D 错误． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 9．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ）A B ．1C ．2D【解析】 【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ． 【详解】 ∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴22||112z =+=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用， 属于容易题．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．6423πD ．2053π【答案】C 【解析】 【分析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =(3422233V π=⨯=. 故选：C本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.11．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x≤2}【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 【详解】∵集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥=+{x ∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A ． 【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 12．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+，再将其用AM ，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值. 【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1m nM 、O 、N 三点共线，122m n∴+=， 2m n ∴+=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(省重点高中附答案)2021年上海市高考一模数学试卷
2021年上海市重点高中高考一模数学试卷(附答案)1.设集合A={x∣ (x+1)(x−2)<0}，集合B={x∣ 1<x<3}，则A∪B=．2.已知z=(a−i)(1+i)（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则a=．3.抛物线x2=8y的焦点到准线的距离为．4.(x2−1x )8的展开式中x的系数为．（用数字作答）5.设θ为第二象限的角，sinθ=35，则tan2θ的值为．6.母线长为3，底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为．7.若无穷等比数列{a n}满足：a2a3=a4，a5=116，(n∈N∗)，则数列{a2n−1}的所有项的和为．8.四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是．（结果用数字作答）9.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120∘，则E的两条渐近线的夹角为．10.已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，若f(x)=x+log2(2x+2)，则满足f(x)>log23>g(x)的x的取值范围是．11.设函数y=f(x)的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f(x1)⋅f(x2)=1，则称函数f(x)具有性质M．下列结论：①函数y=x3−x具有性质M；②函数y=3x+5x 具有性质M；③若函数y=log8(x+2)，x∈[0,t]具有性质M，则t=510；④若y= 3sinx+a4具有性质M，则a=5．其中正确结论的序号是．12.已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2，点P是该正六边形边上的动点，记σ=A1P⋅A2P+A2P⋅A3P+A3P⋅A4P+A4P⋅A5P+A5P⋅A6P+A6P⋅A1P，则σ的取值范围是．13.方程∣∣∣2x13x∣∣∣=5的解集是( )A．{2}B．{2,−2}C．{1,−1}D．{i,−i}14.将函数y=sin(4x+π3)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π3个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为( )A．x=−π12B．x=π16C．x=π4D．x=π215.若函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“f(∣x∣)=f(x)对切x∈R恒成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16.设曲线E的方程为4x2+9y2=1，动点A(m,n)，B(−m,n)，C(−m,−n)，D(m,−n)在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π，下面说法正确的是( )A．①错，②对B．①对，②错C．①②都错D．①②都对17.在三棱锥P−ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=3，PC=4，且三棱锥P−ABC的体积为10．(1) 求点A到直线BC的距离．(2) 若 D 是棱 BC 的中点，求异面直线 PB ，AD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，且 acosC =(2b −c )cosA ．(1) 若 AB ⋅AC =3，求 △ABC 的面积．(2) 若 ∠B <∠C ，求 2cos 2B +cos 2C 的取值范围．19. 某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度 y （微克/毫升）与给药时间 x （小时）之间的若干组数据，并由此得出 y 与 x 之间的一个拟合函数 y =40(0.6x −0.62x )(x ∈[0,12])，其简图如图所示，试根据此拟合函数解决下列问题：(1) 求药峰浓度与药峰时间（精确到 0.01 小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；(2) 求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到 0.01 小时）．20. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点焦点在 x 轴上，椭圆 C 上一点 A(2√3,−1) 到两焦点距离之和为8．若点 B 是椭圆 C 的上顶点，点 P ，Q 是椭圆 C 上异于点 B 的任意两点． (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若 BP ⊥BQ ，且满足 3PD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的点 D 在 y 轴上，求直线 BP 的方程； (3) 若直线 BP 与 BQ 的斜率乘积为常数 λ(λ<0)，试判断直线 PQ 是否经过定点．若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．21. 对于数列 {a n }，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 {a n } 为 P 数列．(1) 若 {a n } 的前 n 项和 S n =3n +2，试判断 {a n } 是否是 P 数列，并说明理由．(2) 设数列 a 1，a 2，a 3，⋯，a 10 是首项为 −1，公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数列，求 d 的取值范围．(3) 设无穷数列{a n}是首项为a，公比为q的等比数列，有穷数列{b n}，{c n}是从{a n}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1，T2，求{a n}是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若a>0且T1=T2，则{a n}不是P数列”．答案1. 【答案】(−1,3)【解析】因为A={x∣ −1<x<2}，B={1<x<3}，所以A∪B=(−1,3)．2. 【答案】−1【解析】因为z=(a−i)(1+i)=(a+1)+(a−1)i为纯虚数，所以{a+1=0, a−1≠0,即a=−1．3. 【答案】4【解析】抛物线x2=8y，所以p=4，抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是：4．4. 【答案】−56【解析】(x2−1x )8的展开式通项为T r+1=C8r(x2)8−r(−1x)r=(−1)r C8r x16−3r，令16−3r=1，可得r=5，所以在(x2−1x )8的展开式中，x的系数是(−1)5C85=−56．5. 【答案】−247【解析】因为θ为第二象限的角，sinθ=35，所以cosθ=−√1−sin2θ=−45，所以tanθ=sinθcosθ=−34，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−247．6. 【答案】2π3【解析】由题意知扇形的弧长为圆锥底面周长2π，半径为圆锥的母线长为3，由弧长公式有圆心角为2π3，故所求扇形的圆心角为2π3．7. 【答案】 43【解析】根据题意，设等比数列 {a n } 的公比为 q ，若 a 2a 3=a 4，a 5=16，则有 {a 1q ×a 1q 2=a 1q 3a 1q 4=116. 解可得 a 1=1，q =12，则数列 {a 2n−1} 的首项为 a 1=1，其公比为 q 2=14， 则数列 {a 2n−1} 的所有项和 S =11−14=43；故答案为：43．8. 【答案】 144【解析】根据题意，分 2 步进行分析：①、将 2 名女生全排列，有 A 22=2 种情况，排好后，有 3 个空位，②、从 4 位男生中选 2 位，看成一个整体，考虑其顺序，有 C 42A 22=12 种情况，再将这个整体与其他 2 名男生全排列，安排在女生的 3 个空位中，有 A 33=6 种情况， 则一共有 2×12×6=144 种排法．9. 【答案】 90°【解析】设双曲线的方程为 x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)， 设 M (m,n ) 在第一象限，A (−a,0)，B (a,0)， 由题意可得 ∣AB ∣=∣BM ∣=2a ，∠MBA =120∘， 则 m =2acos60∘+a =2a ，n =2asin60∘=√3a ， 即 M(2a,√3a)，可得4a 2a 2−3a 2b 2=1，即为 a =b ，则双曲线的渐近线方程为 y =±x ， 可得两条渐近线的夹角为 90∘．10. 【答案】 (0,log 215)【解析】因为函数 y =f (x ) 与 y =g (x ) 的图象关于直线 y =x 对称， f (x )=x +log 2(2x +2)， 设 y =x +log 2(2x +2)， 则 y −x =log 2(2x +2)， 所以 2y−x =2x +2， 所以 2y =22x +2x+1， 所以 2x =−2+√4+4×2y2=√1+2y −1，x=log2(√1+2y−1)．互换x，y，得g(x)=log2(√1+2x−1)，因为f(x)>log23>g(x)，所以x+log2(2x+2)>log23>log2(√1+2x−1)，解得0<x<log215．所以满足f(x)>log23>g(x)的x的取值范围是(0,log215)．故答案为：(0,log215)．11. 【答案】②③【解析】对于①，f(x)=x3−x的值域为R，则当f(x1)=0时，不存在x2，使得f(x1)⋅f(x2)=1，故①不正确；对于②，f(x)=3x+5x∈(0,+∞)，所以f(x2)=1f(x1)=13x1+5x1∈(0,+∞)，故对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f(x1)⋅f(x2)=1，故②正确；对于③，当x∈[0,t]时，y∈[13,log8(t+2)]，若满足f(x1)⋅f(x2)=1，则13×log8(t+2)=1，则log8(t+2)=3，解得t=510，故③正确；对于④，若y=3sinx+a4∈[a−34,a+34]，值域必须满足对称性，且不包含0，则a−34⋅a+34=1，解得a=±5；故④不正确．12. 【答案】[30,36]【解析】建立直角坐标系，如图所示：所以A1(0,0)，A2(2,0)，A3(3,√3)，A4(2,2√3)，A5(0,2√3)，A6(−1,√3)，设点P(x,y)，所以A1P=(x,y)，A2P=(x−2,y)，A3P=(x−3,y−√3)，A4P=(x−2,y−2√3)，A5P= (x,y−2√3)，A6P=(x+1,y−√3)，所以σ=A1P⋅A2P+A2P⋅A3P+A3P⋅A4P+A4P⋅A5P+A5P⋅A6P+A6P⋅A1P=x(x−2)+y2+(x−2)(x−3)+y(y−√3)+(x−3)(x−2)+(y−√3)(y−2√3)+x(x−2)+(y−2√3)2+x(x+1)+(y−2√3)(y−√3)+x(x+1)+y(y−√3)=6x2+6y2−12x−12√3y+36=6[(x−1)2+(y−√3)2+2],因为正六边形的中心Q(1,√3)，所以S=(x−1)2+(y−√3)2表示点P(x,y)与点Q(1,√3)之间距离的平方，所以由图可知S的最大值为4，最小值为3，所以σ的最大值为36，最小值为30，所以σ的取值范围是[30,36]．13. 【答案】B【解析】根据题意得2x2−3=5，解得x=±2．14. 【答案】A【解析】将函数y=sin(4x+π3)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得函数y=sin(2x+π3)的图象；再向右平移π3个单位，可得函数y=sin(2x−π3)的图象．令2x−π3=kπ+π2，求得x=kπ2+5π12，k∈Z，再令k=−1，可得所得函数图象的一条对称轴的方程为x=−π12．15. 【答案】C【解析】根据题意，若f(x)是偶函数，当x≥0时，有f(∣x∣)=f(x)，当x<0时，f(∣x∣)=f(−x)=f(x)，综合可得：f(∣x∣)=f(x)对切x∈R恒成立，故“f(x)是偶函数”是“f(∣x∣)=f(x)对切x∈R 恒成立”的充分条件；若f(∣x∣)=f(x)，而函数f(∣x∣)为偶函数，则函数f(x)是偶函数，故“f(x)是偶函数”是“f(∣x∣)=f(x)对切x∈R恒成立”的必要条件；综合：“f(x)是偶函数”是“f(∣x∣)=f(x)对切x∈R恒成立”的充分必要条件．16. 【答案】D【解析】不妨设m>0，n>0，则S四边形ABCD=4mn，因为1=4m2+9n2≥2⋅2m⋅3n，所以mm≥12，从而S四边形ABCD=4mn≥48，故①对；设四边形 ABCD 外接圆半径为 r ，则 r 2=m 2+n 2=(4m 2+9n 2)(m 2+n 2)=13+4n 2m 2+9m 2n 2≥25，所以四边形 ABCD 外接圆的面积 ≥25π，故②对．17. 【答案】(1) 在三棱锥 P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直， 因为 PB =3，PC =4，且三棱锥 P −ABC 的体积为 10． 所以 V P−ABC =V A−PBC =13×12×3×4⋅PA =10，解得 PA =5， 过 P 作 PO ⊥BC ，交 BC 于 O ，连接 PO ， 由三垂线定理得 AO ⊥BC ， 因为 12⋅PB ⋅PC =12⋅BC ⋅PO ， 所以 PO =PB⋅PC BC=√32+42=125，所以点 A 到直线 BC 的距离：AO =√PA 2+PO 2=√25+14425=√7695． (2) 以 P 为原点，PB 为 x 轴，PC 为 y 轴，PA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A (0,0,5)，P (0,0,0)，B (3,0,0)，C (0,4,0)，D (32,2,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,2,−5)，设异面直线 PB ，AD 所成角的大小为 θ， 则 cosθ=∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=923√1254=3√525． 所以异面直线 PB ，AD 所成角的大小为 arccos 3√525．18. 【答案】(1) 因为 acosC =(2b −c )cosA ，所以由正弦定理可得 sinAcosC =(2sinB −sinC )cosA ， 可得 sinAcosC +sinCcosA =sin (A +C )=sinB =2sinBcosA ， 因为 B 为三角形内角，sinB ≠0， 所以 cosA =12，又因为 A ∈(0,π)， 所以 A =π3，因为 AB ⋅AC =bccosA =12bc =3，可得 bc =6， 所以 S △ABC =12bcsinA =12×6×√32=3√32．(2) 因为∠B<∠C，C=2π3−B，可得B∈(0,π3)，所以2B+π6∈(π6,5π6)，所以cos(2B+π6)∈(−√32,√32)，所以2cos2B+cos2C=1+cos2B+1+cos2C2=32+cos2B+12cos2(2π3−B)=32+cos2B−14cos2B−√34sin2B=32+√32cos(2B+π6)∈(34,94),所以2cos2B+cos2C的取值范围(34,94 )．19. 【答案】(1) 由y=40(0.6x−0.62x)(x∈[0,12])，令0.6x=t，t∈[0.612,1]，则y=40(0.6x−0.62x)=40(−t2+t)，所以当t=12∈[0.612,1]，即0.6x=12，x=−lg2lg2+lg3−1≈1.36时，y有最大值为10．故药峰浓度为10，药峰时间为1.36小时；由图象可知，注射该药后血药浓度逐渐增加，到1.36小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低．(2) 在y=40(0.6x−0.62x)中，取y=5，得40(0.6x−0.62x)=5，即−8t2+8t−1=0，解得t=2−√24或t=2+√24（舍），即0.6x=2−√24≈0.147，得x=lg0.147lg0.6≈3.72，故血药浓度的半衰期为3.72−1.36=2.36小时．20. 【答案】(1) 由题意设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1，由题意知：2a=8，12a2+1b2=1，解得：a2=16，b2=4，所以椭圆的方程为：x 216+y24=1；(2) 由（1）得B(0,2)显然直线BP的斜率存在且不为零，设直线BP为：y=kx+2，与椭圆联立整理得：(1+4k2)x2+16kx=0，x=−16k1+4k2，所以P(−16k1+4k2,2−8k21+4k2)；直线BQ:y=−1kx+2，代入椭圆中：(4+k2)x2−16kx=0，同理可得Q(16k4+k2,2k2−84+k2)，足3PD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得，所以3(x D−x P)=2(x Q−x D)，所以5x D=2x Q+3x P=32k4+k2−48k1+4k2，由于D在y轴上，所以x D=0，所以32k4+k2=48k4+k2，解得：k2=2，所以k=±√2，所以直线BP的方程为：y=±√2x+2；(3) 由（2）得，当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程：x=t，P(x,y)，Q(xʹ,yʹ)，与椭圆联立得：4y2=16−t2，yyʹ=t2−164，xxʹ=t2，k BP⋅k BQ=y−2x ⋅yʹ−2xʹ=yyʹ−2(y+yʹ)+4xxʹ=1,要使是一个常数λ，λ<0，所以不成立．当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为：y=kx+t，设P(x,y)，Q(xʹ,yʹ)，与椭圆联立整理得：(1+4k2)x2+8ktx+4t2−16=0，x+xʹ=−8kt1+4k2，xxʹ=4t2−161+4k2，所以y+yʹ=k(x+xʹ)+2t=2t1+4k2，所以k BP⋅k BQ=y−2x ⋅yʹ−2xʹ=yyʹ−2(y+yʹ)+4xxʹ=t−24(t+2),所以由题意得：t−24(t+2)=λ，解得：t=1+8λ1−4λ，所以不论k为何值，x=0时，y=1+8λ1−4λ，综上可知直线恒过定点(0,2+8λ1−4λ)．21. 【答案】(1) 因为 S n =3n +2，所以 a n =S n −S n−1=2⋅3n−1(n ≥2)，当 n =1 时，a 1=S 1=5，故 a n ={5,n =12⋅3n−1,n ≥2， 那么当 k ∈N ∗ 时，a k+1−S k =2⋅3k −3k −2=3k −2>0，符合题意，故数列 {a n } 是 P 数列．(2) 由题意知，该数列的前 n 项和为 S n =−n +n (n−1)2d ，a n+1=−1+nd ，由数列 a 1，a 2，a 3，⋯，a 10 是 P 数列，可知 a 2>S 1=a 1，故公差 d >0，S n −a n+1=d 2n 2−(1+32d)n +1<0 对满足 n =1,2,3⋯⋯,9 的任意 n 都成立，则d 2⋅92−9(1+32d)+1<0，解得 d <827，故 d 的取值范围为 (0,827)．(3) ①若 {a n } 是 P 数列，则 a =S 1<a 2=aq ，若 a >0，则 q >1，又由 a n+1>S n 对一切正整数 n 都成立，可知 aq n >a ⋅q n −1q−1，即 2−q <(1q )n 对一切正整数 n 都成立，由 (1q )n >0，lim n→∞(1q )n =0，故 2−q ≤0，可得 q ≥2， 若 a <0，则 q <1，又由 a n+1>S n 对一切正整数 n 都成立，可知 aq n >a ⋅q n −1q−1，即 (2−q )q n <1 对一切正整数 n 都成立，又当 q ∈(−∞,−1] 时，(2−q )q n <1 当 n =2 时不成立，故有 {q ∈(0,1),(2−q )q <1 或 {q ∈(−1,0),(2−q )q 2<1,解得 q ∈(1−√52,0)∪(0,1)，所以当 {a n } 是 P 数列时，a 与 q 满足的条件为 {a >0,q ≥2 或 {a <0,q ∈(1−√52,0)∪(0,1); ②假设 {a n } 是 P 数列，则由①可知，q ≥2，a >0，且 {a n } 中每一项均为正数，若 {b n } 中的每一项都在 {c n } 中，则由这两数列是不同数列，可知 T 1<T 2；若 {c n } 中的每一项都在 {b n } 中，同理可得 T 1>T 2；若 {b n } 中至少有一项不在 {c n } 中且 {c n } 中至少有一项不在 {b n } 中，设 {b n ʹ}，{c n ʹ} 是将 {b n }，{c n } 中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为 {T 1ʹ}，{T 2ʹ}，不妨设 {b n ʹ}，{c n ʹ} 中最大的项在 {b n ʹ} 中，设为 a m (m ≥2)，则T2ʹ≤a1+a2+⋯⋯+a m−1<a m≤T1ʹ，故T2ʹ<T1ʹ，故总有T1≠T2与T1=T2矛盾，故假设错误，原命题正确．。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十三答案
17、（1）
fmax (x)
f
()
6
2 1 1 ，此时 2x 6
2
2k
，则
x
6
k
，(k Z) ；
（2） a 2 ； 18、（1）侧面积为 48，体积为 36；（2） arctan 4 5 .
15
19、（1）g
n
n
10 49
,
n2
20n n 1090
,
1 n 10 ；（2）第 33 个月利润率最大，最大为： 330 ；
……14 分
故只需当 n 2k, k N * 时， bn bq2k1 22k1 an ，
即
2 q
2k1
b
对
k
N
*
恒成立，得
q
2 ；
……………15 分
④当 1 b 0 时， b1 a1 ，则 b2 bq a2 2 ， 下证只需 bq 2 ： 若 bq 2 ，则 q 2 ，
9 时，比值为定值，此时 M 3,0
21． 解：（1） cn (1)n ，
…………………………………………2 分
此时， (an bn )(an1 bn1) [an an (1) n][an1 an1 (1) n 1] (1) 2n 1 0
所以 bn是数列 an的“相伴数列”．
…………………………………………4 分
故只需当 n 2k 1, k N * 时， bn bq2k 22k an ，
即
2 q
2k
b
对
k
N
*
恒成立，得
q
2 ；
………………13 分
②当 0 b 1 时，
b1 a1 ， b2 bq 0 a2 ，与 a1 b1a2 b2 0 矛盾，不符合题意；
上海市2021年高三数学一模汇编——三角函数(含答案)
上海市2021年高三数学一模汇编：三角函数长宁19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区. 经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒.（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.杨浦18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数k ∈R , 2()cos 3sin cos f x k x x x =+, x ∈R . （1）若()f x 是奇函数, 求实数k 的值;（2）设1k =, ABC △中, 内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,. 若()1f A =, 7a =, 3b =,求ABC △的面积S .19. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）进博会期间，有一个边长80m 的正方形展厅OABC ， 由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O 为圆心，60m 为半径的扇形ODE 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF ，矩形有两条边分别落在边AB 和BC 上，设∠POA=α51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭． （1）用α表示矩形PGBF 的面积，并求出当矩形PGBF 为正方形时的面积（精确到21m ）； （2）当α取何值时，矩形PGBF 的面积S PGBF 最大？并求出最大面积（精确到21m ）．松江18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数2()cos cos 1f x x x x =++．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求实数k 的取值范围．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米． （1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．普陀区17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设a 为常数，函数1)22cos(2sin )(+-+=x x a x f π（R ∈x ） （1）设3=a ，求函数)(x f y =的单调递增区间及频率f ；（2）若函数)(x f y =为偶函数，求此函数的值域.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π.（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围.闵行18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()cos 222x x xf x =+ （1）求函数在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．()f x14．（本题满分16分；第1小题7分，第2小题9分）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD 和EF ．张明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）的条件下，为了计算塔CD 的高度，他在点A 测得点D 的仰角为 30， 75=∠CAB ，又选择了相距100米的B 点，测得 60=∠ABC ． （1）请你根据张明的测量数据求出塔CD 高度；（2）在完成（1）的任务后，张明测得 90=∠BAE ，并且又选择性地测量了两个角的大小（设为α、β）．据此，他计算出了两塔顶之间的距离DF ． 请问：①张明又测量了哪两个角？（写出一种测量方案即可）②他是如何用α、β表示出DF 的？（写出过程和结论）金山17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，34=a ，6=b ，31cos -=A ． (1) 求c ；(2) 求B 2cos 的值．嘉定18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域； （2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．黄浦18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若A 为钝角，且2sin 0a B =.(1) 求角A 的大小；(2) 记B x =，求函数()cos cos()3f x x x π=++的值域.虹口18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知函数)1()1()1()(22-+-++=a x a x a x f ，其中R a ∈． （1）当)(x f 是奇函数时，求实数a 的值；（2）当函数)(x f 在),2[+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围．奉贤区19、在①3=ac ；②3sin =A c ；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在ABC ∆，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且B A sin 3sin =，6π=C ，______________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．崇明18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数21()sin 22f x x x =．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若锐角A 满足()f A =，6C π=， 2c =，求ABC △的面积．宝山1. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）最小正周期为2π，且f (x )的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC 中，若＋＝2 f (A )▪f (B )▪f (C )＋，且三边a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C ．试求b ·f (B ＋C )c 的值．答案长宁区19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）连接BD ，由题意ABD ∆是等边三角形，所以20BD =又因为105ADC ∠=，所以45DBC ∠= …………2分 在BCD ∆中，sin sin BC BDBDC C=∠∠， …………4分 得BC=3620≈16（米） …………6分 （2）设θ=∠ADC ， 则3BDC πθ∠=-，23CBD πθ∠=-， 在BCD ∆中，sin sin sin CD BC BDCBD BDC C==∠∠∠，所以3BC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………4分 所需板材的长度=40+⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3340πθ+⎪⎭⎫⎝⎛-θπ32sin 3340=θsin 334040+， …………6分 答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为334040+≈73（米）. …………8分杨浦18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）(1) 解: 由题意()00==k f （2分）检验： ()cos =f x x x 对任意x ∈R 都有()()()cos =cos =()-=----f x x x x x f x （5分）∴()f x 是奇函数 ∴0k =.（6分）(2)解: 2()cos cos 1f A A A A ==, 整理得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,（8分）A 是三角形的内角∴π3A =（10分） 由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=, 即219726c c+-=整理得2320c c -+=,解得1c =或2c =（12分）1sin 24==S bc A ,或2.（14分）徐汇19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1)S ＝（80-60cos α）（80-60sin α），51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，-----------------3分当矩形PGBF 为正方形时，4πα=，此时S PGBF =(280-≈1412（2m ）-------6分(2)S ＝3600sin αcos α－4800(sin α＋cos α)＋6400＝1800sin2α－48002sin(α+4π)＋6400 ＝－1800cos(2α+2π)－48002sin(α+4π)＋6400＝3600 sin 2(α+4π)－48002sin(α+4π)＋4600，51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭-----------10分记t ＝sin(α+4π)∈[2,1],则236004600S t =-+对称轴为t ＝322，∵1－322＜322∴t 即∴α＝12π或512π时， max 1421S ≈（2m ）------------------------------------------------------14分（注意：若令sin cos t αα=+，则相应给分）松江18.已知2()cos cos 1f x x x x =++（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求k 的取值范围．解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++cos21133212cos2sin(2)2222262x x x x x π+=++=++=++ ………3分 ∴()f x 的为最小正周期22T ππ==， ………5分 值域为 15()[,]22f x ∈ ……………7分 （2）记()f x t = ，则15[,]22t ∈ ，…………………8分由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立， 即22kt t ≥-恒成立，∵0t > ∴ 222t k t t t -≥=- ……………11分 ∵ 2()g t t t =- 在15[,]22t ∈时单调递增max 55417()()22510g t g ==-=∴k 的取值范围是1710k ≥……………14分青浦19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 43sin sin cos sin()4PE PEM PM PME πθθθ⨯∠===∠+-， 同理在∆PNE 中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin cos sin()2PE PEN PN PNE πθθ⨯∠===∠-， 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即arctan3APD ∠=，π3ππtan 3tan 344arc arc θ=--=-，所以3π0tan 34arc θ≤≤-；（2）∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， 因为3π0tan 34arc θ≤≤-，所以当242ππθ+=即30,tan 384atc ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时， S1)= 所以可视区域∆PMN面积的最小值为1)平方米．普陀17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）当3=a 时，1)62sin(212cos 2sin 3)(++=++=πx x x x f ……2分由226222πππππ+≤+≤-k x k ，得63ππππ+≤≤-k x k ，所以此函数的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k ，Z k ∈. ……4分 频率f ππ122==.……6分 （2）定义域R =D ，因为函数)(x f y =为偶函数，所以对于任意的R ∈x ，均有)()(x f x f =-成立.……7分即=+-+-1)2cos()2sin(x x a 12cos 2sin ++x x a ……9分也即02sin 2=x a 对于任意实数x 均成立，只有0=a .……11分 此时12cos )(+=x x f ，因为12cos 1≤≤-x ，……12分 所以22cos 10≤+≤x ，故此函数的值域为]2,0[.……14分浦东18．解：（1） 2ω=()f x 的单调递增区间：222262k x k πππππ-≤+≤+即36k x k ππππ-≤≤+()f x 的单调递增区间,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈（2）()sin(2)6f x x π=+，由()12A f =，sin()16A π+=，(0,)A π∈，3A π=由A B C π++=，23B C π+=，23B C π=-23sin sin sin()sin sin )326B C C C C C C ππ+=-+=+=+ 250,3666C C ππππ<<∴<+<，1sin()126C π<+≤ sin sin B C +的取值范围为⎝ 闵行18．[解]（1）()f x x x =+， ………………………2分所以()2sin()4f x x π=+， ………………………4分因为函数在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以当4x π=时，()f x 的最大值为2，当x π=时，()f x的最小值为．所以函数的值域为]2,2[-． ………………………6分 （2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>………………………8分由(f x ω得sin()=42x πω+ 所以2=2=2()4343x k x k k ππππωπωπ++++∈Z 或…………………10分 所以225==()1212k k x x k ππππωωωωω++∈Z 或．由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解， 所以只需[]5,0,1212πππωω∈， ………………………12分 解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ………………………14分 静安14．解：（1）在ABC ∆中，45180=∠-∠-=∠CBA CAB ACB ，（1分）由正弦定理，有ACBABCBA AC ∠=∠sin sin ，（3分） ()f x所以，65045sin 60sin 100=⨯=AC 米．（2分） DAC AC CD ∠=tan25030tan 650=⋅= 米．（1分）（2）由（1）有2100=AD 米． 测得α=∠ABF ，β=∠DAF ．（2分） 由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥．所以，ααtan 100tan ==AB AF ．（2分） 在ADF ∆中，由余弦定理，有=DF βcos 222AF AD AF AD ⋅-+（3分）βααcos tan 22tan 21002-+=米．（2分） 【另解1】测得α=∠ABF ，β=∠DBF ．解得，αsec 100=BF ，)13(50+=BC ，32650+=BD ．在BDF ∆中，由余弦定理，有DF βααcos sec 3264sec 4326502+-++=米．（同样给分） 【另解2】测得α=∠ABE ，β=∠EAF ．（2分） 由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥． 所以，αtan 100=AE ．（2分） 在ACE ∆中，由余弦定理，有EC 15cos tan 61000015000tan 100002αα-+=米．（2分） βαtan tan 100=EF 米． （1分） 截取CDEG =，则，=DF 22EC FG +ααβαtan )326(6tan 4)2tan tan 2(5022+-++-=米． （2分） 【另解3】测得α=∠ABE ，β=∠EBF ．（2分）由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥． 解得，αsec 100=BE ．（2分） 在ACE ∆中，由余弦定理，有EC 15cos tan 61000015000tan 100002αα-+=米． （2分） βαtan sec 100=EF 米． （1分）截取CDEG =，则，=DF 22EC FG +ααβαtan )326(6tan 4)2tan sec 2(5022+-++-=米． （2分）金山17．解：(1) 在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=，………………………………2分即)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c ， ………………………………………………………………4分整理，得01242=-+c c ，…………………………………………………………………………6分解得2=c ； …………………………………………………………………………………………7分 (2)在ABC△中，由余弦定理得，acb c a B 2cos 222-+=，……………………………………9分得33cos =B ，……………………………………………………………………………………11分311cos 22cos 2-=-=B B . ……………………………………………………………………14分嘉定18、（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT ，2||=ω， 又因为0>ω，所以2=ω． 此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即 x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ， 所以所求函数的值域为[]2,1-．（2）由题意得 212cos -=A ． 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ． 因为ABC △的面积为33，则得 33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ， 即 12=bc ．又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)(41222=+=，所以 4=a ．黄浦18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解 (1)ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，2sin 0a B =，∴ 根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，2sin 0a B =可化为22sin sin 2sin 0(0,sin 0)R A B R B B B π⋅=<<≠．∴ sin A =A 为钝角，即2A ππ<<，34A π∴=. (2)B x =，A BC π++=，344C x x πππ∴=--=-，且04x π<<. ∴()cos cos()3f x x x π=++1cos cos 2x x x =+sin()3x π=-.又04x π<<，可得1263x πππ<-<.考察函数sin y x =的图像，可知sin sin()123x ππ<-<.3sin()1232x ππ<-<. 所以函数()f x的值域是3,)122π. (写成3)2也可以) 虹口19、（14分）解：（1）由条件，得505303PA PB ==, 15,9PA PB ==，……2分 则222159165cos 215927APB +-∠==⨯⨯ ,所以5arccos 27APB ∠=； (6)（2）由条件①，得505303PA PB ==，可设5,3PA t PB t ==，其中28t <<……8分22222(5)(3)1617128cos 25315t t t APB t t t +--∠==⨯⨯ , sin APB ∠=……10分 则=∆PAB S 11165322h t t ⨯⨯=⨯⨯=900)34(440961088162224+--=-+-t t t当t =,PA PB ==时，h 取得最大值15千米. …………13分 即当PA =千米，PB =.…………14分奉贤居民生活区 北崇明18.解：（1）1cos2)()sin 2sin(2)2232x f x x x π+=-=--...........................4分所以函数()y f x =的最小正周期2||T ππω==...........................6分（2）由()f A =1sin(2)=32A π- 因为(0,)2A π∈，所以22(,)333A πππ-∈-，所以2=36A ππ-，4A π=...........................3分所以22224cos 24b c a b A bc b +--===b =...........................6分所以1sin 12ABCSbc A ==...........................8分 宝山19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．解：（1）依题意，可得 2π ω＝2π，所以ω＝1，故f (x )=sin(x ＋φ)，因为f (x )的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，即 sin φ=0，注意到－π2＜φ＜π2，因此，φ=0．（2） 由（1）得f (x )=sin x ，故由已知，可得2sin 2B ＋3sin 2C ＝2sin A ▪sin B ▪sin C ＋sin 2A ，利用正、余弦定理，并整理得sin A －cos A ＝b 2＋2c 22bc ，因为 b 2＋2c 22bc ≥2，所以 sin A －cos A ≥2，又sin A －cos A ＝≤2，所以sin A －cos A ＝2，且b =2c ，A ＝3π4， 故b ·f (B ＋C )c ＝2c ·sin(B ＋C )c＝2sin A ＝1．。
上海市2021-2021年高考数学一模试卷(解析版)
2016-2021年高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每题4分，共56分）1．设复数z1=1+i，z2=2+xi，（x∈R），若z1•z2∈R，则x的值等于．2．函数f（x）=+的定义域是．3．已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为．4．在二项式的展开式中，x的一次项系数为．（用数字表示）5．已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k=．6．圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为．7．设无穷等比数列{a n}（n∈N*）的公比q=﹣=1，则=．8．为了估计鱼塘中鱼的尾数，先从鱼塘中捕出2000尾鱼，并给每条尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回鱼塘，经过适当的时机，再从鱼塘中捕出600尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为．9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为．10．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．11．f（x）是定义在R上周期为2的函数，在区间[﹣1，1]时，有f（x）=，其中a，b∈R，若，则a+3b的值为．12．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC，，则△ABC面积的最大值为．13．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．14．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．二、选择题（共4小题，每题5分，共20分）15．若a＜0，b＜0，则p=与q=a+b的大小关系为（）A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q16．已知圆x2+y2=1及以下三个函数：（1）f（x）=x3；（2）f（x）=xcosx；（3）f（x）=tanx．其中图象能等分圆的面积的函数个数为（）A．3 B．2 C．1 D．017．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．18．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．三、解答题（共5大题，满分74分）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．20．已知函数f（x）=cos2x sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；月数 1 2 3 4 …污染度60 31 13 0 …污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），g（x）=（x≥1），h（x）=30|log2x﹣2|（x≥1），其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？22．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．23．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每题4分，共56分）1．设复数z1=1+i，z2=2+xi，（x∈R），若z1•z2∈R，则x的值等于﹣2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由虚部等于0求得x的值．【解答】解：∵z1=1+i，z2=2+xi，由z1•z2=（1+i）（2+xi）=（2﹣x）+（x+2）i∈R，得x+2=0，即x=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．函数f（x）=+的定义域是[0，1）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，则，解得0≤x＜1，故函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】此题主要考查函数定义域的求法问题，题中涉及到对数函数和幂函数的定义域求法，计算量小，属于基础题目．3．已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题．【分析】首先应理解线性方程组增广矩阵的涵义，由增广矩阵即可直接写出原二元线性方程组．【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得到线性方程组的表达式：．故答案为：．【点评】此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．4．在二项式的展开式中，x的一次项系数为﹣10．（用数字表示）【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】运用二项式的通项公式，即得T r+1=，化简整理，再令x的指数为，即可得到系数．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：T r+1==，令10﹣3r=1，解得，r=3．则有x的一次项系数为=﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题考查二项式的展开式的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k=．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），可求出渐近线的斜率，由此求出k的值即可．【解答】解：由题意双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），可得渐近线的斜率为﹣，由于双曲线的渐近线方程为y=±kx故k=，故答案为：【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线的法向量是（1，2），由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．6．圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为3π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先求圆锥的母线，然后直接利用圆锥侧面积公式求解即可．【解答】解：圆锥的高为1，底面半径为3，所以圆锥的母线为：，圆锥的侧面积：×2×3×π×=3π，故答案为：3π．【点评】本题考查圆锥的侧面积公式，是基础题．7．设无穷等比数列{a n}（n∈N*）的公比q=﹣=1，则=﹣．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】运用等比数列的通项公式，求出数列{a2n}为公比为，首项为﹣的等比数列，再由无穷递缩等比数列的求和公式，即可得到极限．【解答】解：a2=a1q=﹣，a4=a1q3=﹣，…，a2n=a1q2n﹣1=（﹣）2n﹣1．则数列{a2n}为公比为，首项为﹣的等比数列，则===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查无穷递缩等比数列的和，考查等比数列的通项和求和，考查运算能力，属于基础题．8．为了估计鱼塘中鱼的尾数，先从鱼塘中捕出2000尾鱼，并给每条尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回鱼塘，经过适当的时机，再从鱼塘中捕出600尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为30000．【考点】收集数据的方法．【专题】概率与统计．【分析】根据题意，利用抽样方法中样本与总体的比例是一致的，列出方程，求出该鱼塘中鱼的尾数即可．【解答】解：根据题意，设该鱼塘中鱼的尾数为x，则；=，解得x=30000；∴估计该鱼塘中鱼的尾数为30000．故答案为：30000．【点评】本题考查了抽样方法的应用问题，是基础题目．9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为8．【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据抛物线的方程可求得其焦点坐标，和k的坐标，过A作AM⊥准线，根据抛物线的定义可知|AM|=|AF|根据已知条件可知|AK|=|AM|，设出A的坐标，利用|AK|=|AF|求得m，然后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：F（2，0）K（﹣2，0）过A作AM⊥准线则|AM|=|AF|∴|AK|=|AM|∴△AFK的高等于|AM|设A（m2，2m）（m＞0）则△AFK的面积=4×2m=4m又由|AK|=|AF|，过A作准线的垂线，垂足为P，三角形APK为等腰直角三角形，所以m=2，∴△AFK的面积=4×2m=8故答案为：8【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．10．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．【考点】等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．【专题】等差数列与等比数列；概率与统计．【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题11．f（x）是定义在R上周期为2的函数，在区间[﹣1，1]时，有f（x）=，其中a，b∈R，若，则a+3b的值为﹣10．【考点】函数的周期性；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由周期性可得f（）=f（﹣2）=f（﹣），代已知解析式可得3a+2b=﹣2，①，再由f（﹣1）=f（1）可得﹣a+1=，②，联立①②可解得a=2，b=﹣4，可得a+3b的值．【解答】解：由题意可得f（）==，又f（）=f（﹣2）=f（﹣）=+1，∴=+1，∴3a+2b=﹣2，①又∵f（﹣1）=f（1），∴﹣a+1=，②联立①②解得a=2，b=﹣4，∴a+3b=﹣10故答案为：﹣10【点评】本题考查函数的周期性，涉及分段函数和方程组的解法，属基础题．12．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC，，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即2=a2+c2﹣ac，∴2+ac=a 2+c2≥2ac，即ac≤=2+，当且仅当a=c，即a=c=时取“=”，∵S△ABC=acsinB=ac，∴△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．13．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．【专题】导数的概念及应用．【分析】先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．【解答】解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y=x的距离为=2，∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，即解得a=或﹣．当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．14．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．【解答】解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．二、选择题（共4小题，每题5分，共20分）15．若a＜0，b＜0，则p=与q=a+b的大小关系为（）A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用作差法即可得到结论．【解答】解：p﹣q=﹣a﹣b==（b2﹣a2）=，∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a=b，则p﹣q=0，此时p=q，若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，综上p≤q，故选：B【点评】本题主要考查不等式的大小比较，利用作差法是解决本题的关键．16．已知圆x2+y2=1及以下三个函数：（1）f（x）=x3；（2）f（x）=xcosx；（3）f（x）=tanx．其中图象能等分圆的面积的函数个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】若图象能等分圆的面积，则等价为函数为奇函数，关于原点对称即可．【解答】解：若函数图象能等分圆的面积，则函数为奇函数，则：（1）f（x）=x3；为奇函数，满足条件．（2）f（x）=xcosx；为奇函数，满足条件．（3）f（x）=tanx．为奇函数，满足条件，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，比较基础．17．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】函数单调性的性质；函数的周期性．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求f（），则必须用f（x）=sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0]上，再应用其解析式求解．【解答】解：∵f（x）的最小正周期是π∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）∵函数f（x）是偶函数∴f（）=f（）=sin=．故选D【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，是基础题，应熟练掌握．18．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．【解答】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=﹣，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．【点评】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．三、解答题（共5大题，满分74分）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题．【分析】（1）利用平移法作出异面直线所成的角，进而利用余弦定理可求线线角；（2）四棱锥的体积为×底面积×高，求出底面梯形的面积即可．（1）连接AC，过点C作CF∥AB交AD于点F，因为∠ADC=45°，所以FD=1，从而BC=AF=2，……【解答】解：延长BC至E，使得CE=AD=3，则AC∥DE，∴∠PDE（或其补角）是异面直线PD与AC所成角，且DE=AC=，AE=，PE=3，PD=．在△PDE中，cos∠PDE=﹣．…所以，异面直线PD与AC所成角的大小为arccos．…（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，∴底面梯形面积为∵PA⊥平面ABCD，PA=1．∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．…【点评】本题考查线线角，考查棱锥的体积，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．20．已知函数f（x）=cos2x sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）根据二倍角的余弦、两角和的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期；（Ⅱ）由x的范围求出“”的范围，再由正弦函数的最值求出此函数的最值，以及对应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，==则f（x）的最小正周期T=π（Ⅱ）∵，∴，当=时，即x=时，f（x）的最大值为1+，当=0时，即x=时，f（x）的最小值为．【点评】本题考查了二倍角的余弦、两角和的正弦公式，以及正弦函数的最值的应用，考查了整体思想．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表；月数 1 2 3 4 …污染度60 31 13 0 …污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），g（x）=（x≥1），h（x）=30|log2x﹣2|（x≥1），其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）；g（1），g（2），g（3），g（4）和h（1），h（2），h（3），h（4）的值；可知h（x）更接近表中的实际值，用h（x）模拟较为合理．（2）由复合函数的单调性知，函数h（x）=30|log2x﹣2|在x≥4上是增函数，且h（16）=60，知整治后有16个月的污染度不超过60．【解答】解：（1）∵f（2）=40，g（2）≈26.7，h（2）≈27.3f（3）=20，g（3）≈6.7，h（3）≈10.9由此可得h（x）更接近实际值，所以用h（x）模拟比较合理．（2）因h（x）=30|log2x﹣2|在x≥4上是增函数，又因为h（16）=60故整治后有16个月的污染度不超过60．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用问题，选择函数模拟实际问题时，函数值越接近实际值，函数模拟效果越好．22．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆的顶点为P，则a=2c，又由a﹣c=1，由PF1=PF2=2结合椭圆的定义可得2a，结合b2=a2﹣c2可求椭圆的方程；（2）存在直线l，使得成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8lmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）设椭圆的顶点为P，由两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，可得a=2c，又∵右焦点到右顶点的距离为1．∴a﹣c=1，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3椭圆的方程为：，（2）解：存在直线l，使得成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8lmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=．若成立，即，等价于=0．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•﹣km•+m2=0，化简得7m2=12+12k2．即k2=m2﹣1，代入3+4k2＞m2中，3+4（m2﹣1）＞m2，解得m2＞．又由7m2=12+12k2≥12，得m2≥，从而m2≥，解得m≥或m≤﹣．所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．23．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由等差数列有通项公式，得到首项与公差的方程组，得出首项与公差的值，得到通项公式；（2）已知数列的递推公式，由叠加法，得到数列的通项公式；（3）将数列求和得到前n项和后，将条件变形后，得到关于参数p的关系式，这是一个恒成立问题，通过最值的研究，得到本题结论．【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为d，由已知，有解得所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，即差数列a n的通项公式为a n=2n+1，n∈N*．（2）因为，所以，当n≥2时，．证法一（数学归纳法）：①当n=1时，b1=1，结论成立；②假设当n=k时结论成立，即，那么当n=k+1时，=2k﹣1+2k=2k+1﹣1，即n=k+1时，结论也成立．由①，②得，当n∈N*时，成立．证法二：当n≥2时，，所以将这n﹣1个式子相加，得，即=．当n=1时，b1=1也满足上式．所以数列{b n}的通项公式为．（3）由（2），所以，∴原不等式变为（1﹣n）2n+1+（n+p）•2n+1＜2，即p•2n+1＜2﹣2n+1，∴对任意n∈N*恒成立，∵n为任意的正整数，∴p≤﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查的是数列和不等式的知识，涉及到等差数列的通项公式、前n项和公式、叠加法求通项，以及不等关系式．本题有一定的思维量，运算量较大，属于难题．精品Word 可修改欢迎下载。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷六答案
参考答案：一、填空题：1．12n n a -=；2．()()211(1)f x x x -=-≥；3．160；4．43；5、25；6、±；7、3；8、π；9、[3；10、(],1-∞-；11、⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0；12、①②③；二、选择题：13、A；14、D；15、C；16、A；三、解答题：17、解：（1）作CE E A //'交CD 于E '，因为11AD AA DE'===，所以1AE D E ''==，故∆E AD '1为正三角形，异面直线1AD 与EC 所成角为60︒…………………6分（2）E 是棱AB 上的中点，则∆ADE 、CBE ∆均为等腰直角三角形，故90DEC ∠=︒，所以DEC ∆为直角三角形.………………………………………9分由1DD ⊥平面ABCD ，DE CE ⊥，知CE ⊥平面1DD E ，故1CE D E ⊥，所以EC D 1∆为直角三角形…………………………………………………………………………13分而显然∆1DD E 、∆1DD C 均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形，为鳖臑.…………………………………………………………………………………14分18、解：（1）由条件知：224a c +=+，:a b = 222c b a +=解得：2,2a b c ===，…………4分所以椭圆C 的方程为22184x y +=………………6分（2）设直线2PF 的方程为：2,x ty =+1122(,),(,)P x y Q x y ；因为1212F P F Q FO OP F O OQ OP OQ +=+++=+ ，所以OP OQ PQ += ，所以OP OQ ⊥,所以12120x x y y +=。
…………9分221842x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩⇒()222440t y ty ++-=12122244,22t y y y y t t --+==++………………………………………11分()()2121212121240x x y y t y y t y y +=++++=解得：212,22t t ==±…………………………………………………………13分所以直线PQ 的方程为0y ±-=…………………………………14分19．[解]（1）分别单独建厂，共需总费用0.70.71253255131.1y =⨯+⨯≈万元…………………………4分（2）联合建厂，共需总费用()0.72535 3.2y =⨯+++020x ≤≤）所以y 与x 的函数关系式为0.72583.2y =⨯+（020x ≤≤）……8分令()h x =+020x ≤≤）()[]2202020,40h x =+=+………10分0.70.7121.5258 3.2258 3.2127.4y ≈⨯+≤≤⨯+≈y 的取值范围为[]121.5,127.4．…………………………14分20、【解】（1）若1=m ，则x x f m sin )(=⋅()()k x k x k x f k x f -++=-++sin sin )()(kx cos sin 2=要使得)(x f 为“可平衡”函数，需使故()0sin cos 21=⋅-x k 对于任意实数x 均成立，只有21cos =k ……3分，此时32ππ±=n k ，Z n ∈，故k 存在，所以x x f sin )(=是“可平衡”函数（2）2)(x x f =及x a x g 2)(+=的定义域均为R根据题意可知，对于任意实数x ，()()2222222k x k x k x mx +=-++=即22222k x mx +=,即()02222=--k x m 对于任意实数x 恒成立只有0,2==k m ，故函数2)(xx f =的“平衡”数对为()0,2对于函数x a x g 2)(+=而言，()()kk x k x k x x a a a a m --++⋅+=+++=+⋅2222222所以()()k k x x a a m -+⋅+=+⋅22222()[]()02222=-⋅++-⋅-m a m k k x ，()⎩⎨⎧=-⋅+=-0222m a m kk ，即⎩⎨⎧=≥22m m ，故2=m ，只有0=k ，……9分，所以函数x a x g 2)(+=的“平衡”数对为()0,2综上可得函数2)(x x f =与x a x g 2)(+=的“平衡”数对相同（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos 2cos cos 2221ππx x x m ，所以x x m 221sin 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 4cos cos 2222ππx x x m ，所以1cos 22=x m 由于40π≤<x ，所以1cos 212<≤x ，故x m 21tan 2=(]2,0∈,(]2,1sec 22∈=x m 2221m m +=()()1tan 2tan 5tan 4tan 1222422++=++x x x x 5451tan 522+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x ，由于40π≤<x ，所以1tan 02≤<x 时，56tan 51512≤+<x ()832tan 2122≤-+<x ，所以<12221m m +8≤21.（1）由条件得1()3n n b =-，*N n ∈，即11()3n n n a a +-=-，………………1分则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则322113a a q a a -==--，又1(1)3a q -=-，则14a =.…………………………3分当14a =，13q =-时，111(43n n a -=-，*N n ∈，则111111111111()()([(]()434334433n n n n n n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意，故所求的a 的值为14.………………………………………4分（2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-，21221n n n b b ----=-， ，2121b b -=-，以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++-- ，………2分又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--，即224n n b n a =-+-.由1210n n n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，………4分又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-.…………………6分（3）由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列，则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+，则223222n n n n S n n C λλ+++==.………………………………2分则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=，当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<，即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾.………………………4分又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=.当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=，又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<，即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522k k k λλ+++=矛盾.又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-；当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-.综上得λ的所有可能值为1-和2-.…………………………………8分。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十 PDF版含答案
它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2018i
表示的复数在复平面中位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
16. 给出下列四个命题：（1）函数 y arccos x（ 1 x 1 ）的反函数为 y cos x（ x R ）；
证明(2) 用反证法证明 g(x) M .
假设 g(x) M ，则存在实数对 (a, k)(k 0) 使得 g(2a x) k g(x) 成立.
又 g(x) 2x ，于是， 22ax k 2x ，即 22a k 22x . 一方面，此等式对 x R 都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随 x 变
8(n 1) (2n 1)(2n 1)(2n 3)
，
知 A1 A2 ，且从第二项起，{An} 递增，即 A1 A2 A3 A4
而
Bn
1
1 (2n 1)2
递减，故实数
的范围为 A1, B1 ,即
2 3
,
10 9
.…………18
分
【注】求出 A1 给 3 分，求出 B1 给 2 分，结论 1 分
（）
A. 向右平移 个单位 4
C. 向右平移 个单位 12
B. 向左平移 个单位 4
D. 向左平移 个单位 12
15. 欧拉公式 eix cos x isin x （ i 为虚数单位， x R ， e 为自然底数）是由瑞士著名数
学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，
a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 ，若 ai 与 a j 的夹角记为ij ，其中 i, j 1,2,3,4,5 ，且 i j ，则
上海市浦东新区2021届高三上学期一模数学试题
（2）若每月初等量进货 （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求 的最小值．
20．已知椭圆 ， 、 为 的左、右焦点.
（1）求椭圆 的焦距；
（2）点 为椭圆 一点，与 平行的直线 与椭圆 交于两点A、B，若 面积为 ，求直线 的方程；
B.由墙角模型，显然B错误；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线 与平面 内的两条相交直线垂直，则直线 与平面 垂直，若直线 与平面 内的无数条平行直线垂直，则直线 与平面 不垂直，故C错误；
D.因为 ，所以 确定唯一一个平面，又 与 都相交，故直线 共面，故D正确；
故选：D.
16．B
【分析】
取特殊值可判断①②；根据值域中不含负无理数可判断③；根据 为有理数或 为无理数，解出可判断④.
上海市浦东新区2021届高三上学期一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1． ________.
2．半径为2的球的表面积为________.
3．抛物线 的准线方程为______________.
4．已知集合 ， ，则 =________．
21．（1） 在 上不是非减函数， 在 上是非减函数；（2） ；（3） .
【分析】
（1）化简两个函数的解析式，结合二次函数和一次函数的单调性可得出结论；
（2）任取 、 且 ，由题中定义可得 ，通过作差法得出 ，求出 的取值范围，即可得出实数 的取值范围；
（3）根据题意计算出 ，根据非减函数的定义得知，对任意的 ， ，由已知条件得出 ，进而可得出 ，即可得解.
上海市浦东新区2021届高三上学期一模数学试题
浦东新区2020学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大 题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1. lim 21n nn →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭________. 12由lim 21n n n →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭lim 112n n →∞⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，再求解即可. 解：因为lim 21n n n →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭1lim 1221n n →∞⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭， 故答案为：12. 本题考查了数列的极限的运算，属基础题. 2. 半径为2的球的表面积为________.16π代入球的表面积公式:2=4S R π表即可求得.2R =，∴由球的表面积2=4S R π表公式可得,2=42=16S ππ⨯⨯球表, 故答案为:16π本题考查球的表面积公式;属于基础题. 3. 抛物线24x y=-准线方程为______________.1y =根据抛物线的性质得结论．由抛物线方程得2p =，焦点为(0,1)-，准线方程为1y =． 故答案为：1y =．4. 已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =≤，则A B =________．(]0,1利用集合间的运算直接求解{}[]2{0},11,1A x x B x x =>=≤=-，所以(]0,1A B ⋂=.故答案为：(]0,1.5. 已知复数z 满足(1)4z i -=（i 为虚数单位），则||z =___________.求出41z i=-，再根据复数模的求法即可求解. 41z i=-，所以4|||1|z i ===-故答案为：6. 在ABC 中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC =_________.由内角和求得A ，然后由正弦定理求得BC ．51243A πBC ππππ-=--==-， 由正弦定理得sin sin AB BC C A =，所以2sinsin 3sin sin 4πAB A BC πC ===．7. 函数2()1log f x x =+(4)x ≥的反函数的定义域为___________.[)3,+∞根据原函数与反函数的关系，直接求原函数的值域. 函数2()1log (4)f x x x =+≥值域为[)3,+∞，反函数的定义域是原函数的值域，故其反函数的定义域为[)3,+∞. 故答案为：[)3,+∞ 8. 在7(x 二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答）12根据二项展开式的通项，确定有理项所对应的r 的值，从而确定其概率.7(x +展开式的通项为7721772r rr rr r r T C xC x --+==，07,r r N ≤≤∈，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 故有0,2,4,6r =满足题意， 故所求概率4182P ==. (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．9. 正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则AE AF 的取值范围为________．[]0,1EF 与AC 的交点O 为它们的中点，这样AO =AO 表示出,AE AF ，计算数量积易得取值范围．连接EF 交AC 于点O ，则正方形中，由于AE CF =，得AEO CFO ≅△△，∴AO OC ==OE OF =，22()()AE AF AO OE AO OE AO OE ⋅=+⋅-=-，因为正方形的边长为2，所以OE ⎡∈⎣，所以[]0,1AE AF ⋅∈. 故答案为：[0,1]．关键点点睛：本题考查平面向量的数量积．解题关键是EF 的中点O 也是AC 的中点，从而只要用AO 表示出,AE AF ，就易求得取值范围． 10. 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1211n n a S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为________．122n +- 由1211n n a S +=可得12n n a S +-=，令1n =，2n =，求得1a 和q ，确定数列的前n 项和为n S .11211n n n n a S a S ++=-=（*），在（*）式中，分别令1,2n =，得213212{2a a a a a -=--=，即21312{24a a a a =+=+，因为{}n a 是等比数列，所以公比322a q a ==，解得12a =， 所以11(1)2(12)22112n n n n a q S q +--===--- 故答案为：122n +-.11. 设函数()2f x x a a x=--+，若关于x 的方程1f x有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为________．1212222⎧⎫-+⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 将方程的解转化为两个函数交点问题求解. 由()1f x =得2||1x a a x-+=+有两个不同的解，令2 ()||,()1 h x x a ag xx=-+=+，()||h x x a a=-+的顶点(,)a a在y x=上，而y x=与2()1g xx=+的交点坐标为(2,2),(1,1)--，联立221y x ayx=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩得2(12)20x a x+-+=，由2(12)80a∆=--=，解得1222a-=或1222+，数形结合，要使得2||1x a ax-+=+有两个不同的解，则实数a的取值范围是1222a-=或1222+或2.故答案为：122122,2⎧⎫-+⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，12. 对于任意的正实数a，b，则222953a a ba b+++的取值范围为___________.2⎫⎪⎪⎣⎭法一，原式上下同时除以a，再构造斜率的几何意义，求表示打算的取值范围；法二，原式上下同时除以a后，利用换元，再变形，利用基本不等式求表达式的取值范围.法一：转化为斜率先把22 22953a a ba b+++化作2221953baa⎛⎫++ ⎪⎝⎭+⋅，故可看作23,19bAa ab⎛⎫⎛⎫⎪⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭与(5,22)B--两点的斜率其中点A在221(0,0)y x x y-=>>上，数形结合（如下图），故ABk最小值为相切时取得，设22(5)y k x+=+，联立2222(5)1y k xy x⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩由0∆=解得122132k k==（舍）当ba→+∞时，22219153ABbaka⎛⎫++ ⎪⎝⎭=→+（极限思想）故2222953a a ba b++的取值范围是2⎫⎪⎪⎣⎭.法二：令0bta=＞，则222222192292219535353baa ab ta b ta⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭==+++，再令3(0)t x x=>，则原式222122222x x x++++=≥=当且仅当1x=时取等号，再令22m x =+＞，则22119(2)522944x m m m m+==≤=-+-+-， 当且仅当3,1m x ==时取等号，故原式122=22≥⋅，又x →+∞时，222115x x+→+，22229a a b ++的取值范围是2,12⎫⎪⎪⎣⎭. 故答案为：2,12⎫⎪⎪⎣⎭关键点点睛：本题上下同时除以a 后，法一的关键是点2319b A a a b ⎛⎛⎫⨯+ ⎪ ⎝⎭⎝在221(0,0)y x x y -=>>上运动，宜采用数形结合分析问题，法二的关键是通过换元，降次，变形再利用基本不等式求取值范围.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. 若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件C根据2x y =是增函数可得出.因为2x y =是增函数，所以a b >是22a b >的充要条件. 故选：C.14. 若某线性方程组的增广矩阵为1282416⎛⎫⎪⎝⎭，则该线性方程组的解的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 无数个D. 不确定C将线性方程组转化为方程，即可判断解的个数. 该线性方程组可化为方程28x y +=，故有无数组解，故选：C .15. 下列命题中正确的是（ ） A. 三点确定一个平面B. 垂直于同一直线的两条直线平行C. 若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥D. 若a b c 、、是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a b c 、、共面. D利用空间点、线、面位置关系直接判断.A.不共线的三点确定一个平面，故A 错误；B.由墙角模型，显然B 错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误；D.因为//a b ，所以a b 、确定唯一一个平面，又c 与a b 、都相交，故直线a b c 、、共面，故D 正确； 故选：D.16. 已知函数2,(),x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数，则以下4个命题：①()f x 是偶函数；②()f x 在[)0,+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点. 其中正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3B取特殊值可判断①②；根据值域中不含负无理数可判断③；根据,x a x =为有理数或2,x a x =为无理数，解出可判断④.①因为2,(),x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数，所以(1)1,(1)1f f =-=-，所以()f x 不是偶函数，故错误；②因为(3)35)5f f ==＜，所以()f x 在[)0,+∞不是增函数，故错误；③因为2,(),x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数，显然()f x 的值域中不含负无理数，故()f x 的值域不为R ，故错误；④()()g x f x a =-的零点即,x a x =为有理数或2,x a x =为无理数， 对于,x a x =为有理数，必有解x a =，对于2,x a x =为无理数，必有解x a=±或无解， 故()()g x f x a =-有三个零点或一个，故正确； 故选：B.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 如图，直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，点M 为线段1A A 的中点．()1求直三棱柱111A B C ABC -的体积；()2求异面直线BM 与11B C 所成的角的大小．（结果用反三角表示） ()12；()210. ()1利用体积公式代入数据求值即可；()2MBC ∠是异面直线BM 与11B C 所成的角或其补角，在MBC △中，利用余弦定理求得结果即可.解：()1因为1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，所以11111222ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯=△，因为1111A B C ABC ABC V S A A -=⋅△，所以11111422A B C ABC ABC V S A A -=⋅=⨯=△．()2因为11//BC B C ，MBC ∴∠是异面直线BM 与11B C 所成的角或其补角. 在MBC △中，1AB =,1114222AM AA =⋅=⨯=,BM ==BC ==，MC ===,由余弦定理得，222222cos 210MB BC MC MBC MB BC+-+-∠===⋅⋅，MBC ∴∠=. ∴异面直线BM 与11B C 所成的角为arccos 10.本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出一面直线的夹角是解题的关键点，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题.18. 已知函数()sin()6f x x πω=+(0)>ω的最小正周期为π.（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，若()12A f =，求sin sinBC +的取值范围. （1）2ω=，,,36k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）⎝ （1）根据函数的最小正周期为π，可求ω，并写出函数式进而求()f x 的单调递增区间；（2）由（1）结论，()12Af =求角A ，根据三角形内角和的性质可知角B 、C 的关系，进而求B 的范围，即可求sin sin BC +的取值范围.（1）因为()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，即2T ππω== ∴2,()sin(2)6f x x πω==+，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈∴()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）在ABC 中，若12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由（1）得，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0,A π<< 所以62A ππ+=，即3A π=23sin sin sin sin sin 326B C B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为203B π<<，所以5666B πππ<+<；所以1sin 266B B ππ⎛⎫⎛⎫<+≤<+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin sin B C +的取值范围⎝ 关键点点睛： （1）由最小正周期2||T πω=求参数，利用整体代入法求()f x 的单调递增区间； （2）应用三角形内角和性质可得内角B 、C 的关系，进而用其中一角表示另一角并确定角的范围，进而求函数值的范围.19. 勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1,2,3,,12)n n =个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n n n S n n n ≤≤⎧=⎨-+-≤≤⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量.（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值． （1）前7个月每月该食材都够用；（2）为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．（1）由题意知6460n n S -≥恒成立，讨论16n ≤≤、7n =确定不等式是否成立即可. （2）保证全年每一个月该食材都够用有n pn S ≥恒成立，即max ()nS p n≥，可求p 的最小值． （1）当16n ≤≤时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用；当7n =时，因为()7646764676497747618160S ⨯-=⨯--⨯+⨯-=>，第7个月该食材够用． 所以，前7个月每月该食材都够用（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式n pn S ≥对1,2,,12n =恒成立．当16n ≤≤时，635pn n ≥恒成立，可得635p ≥；当712n ≤≤时，26774618pn n n ≥-+-恒成立，即1037746()p n n≥-+恒成立，而当10n =时，1037746()n n-+的最大值为652.2 综上，可得652.2p ≥．∴为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．20. 已知椭圆1:C 2214xy +=，1F 、2F 为1C 的左、右焦点.（1）求椭圆1C 的焦距；（2）点,2Q 为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线2221:C x y -=在第一象限交点为(,)M M M x y ，椭圆 1C 和双曲线2C 上满足||||M x x ≥的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求12NF NF ⋅的取值范围．（1）（2）112y x =±；（3）45,⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（1）由椭圆方程，根据参数关系以及焦距的含义即可求焦距. （2）由直线与椭圆关系，令1:2l y x m =+，与椭圆方程联立有1212,x x x x +，应用弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式，结合已知QAB 面积为1，即可求m 的值. （3）由题意知(,55M 则曲线C 由双曲线、椭圆中||5x ≥的部分构成，令(),N x y 应用向量数量积的坐标表示即可得22123NF NF x y ⋅=+-，讨论N 在椭圆部分或双曲线部分，求12NF NF ⋅的取值范围.（1）由椭圆1C的方程知：3c ==，即焦距为2c =（2）设1:2l y x m =+，代入2244x y +=得222220x mx m ++-=， 由()222481840m m m ∆=--=->得||m <212122,22+=-=-x x m x x m ，所以12||AB x x =-== 所以Q 到直线l的距离d =，由1||||12QABS d AB m =⋅==，得1m =± 所以1:12l y x =±（3）由2222441x y x y ⎧+=⎨-=⎩解得M M x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设(),N x y 是曲线C上一点，又1(0)F，2,0)F，()1,NF x y =--，()23,NF x y=-，∴22123,(||5NF NF x y x ⋅=+-≥，当N 在曲线2244(||||)M x y x x +=≥上时，21213NF NF y ⋅=-，当15y =()12min45NF NF ⋅=-，当0y =时，()12max1NF NF ⋅=，所以124,15NF NF ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦； 当N 在曲线221(||||)M x y x x -=≥上时，21222NF NF y ⋅=-；当155y =时，()12min45NF NF ⋅=-，124,5NF NF ⎡⎫⋅∈-+∞⎪⎢⎣⎭；综上，124,5NF NF ⎡⎫⋅∈-+∞⎪⎢⎣⎭. 关键点点睛：（1）由椭圆方程求参数c ，进而求焦距.（2）设直线方程，由直线与椭圆相交关系联立方程求1212,x x x x +，结合弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式求参数，写出直线方程. （3）由题意知曲线C 由双曲线、椭圆中210||x ≥结合向量数量积的坐标表示构造函数，讨论N 点的位置求向量数量积的范围.21. 已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的1x 、2x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.（1）判断()214f x x x =-，[]1,4x ∈与()212f x x x =-+-，[]1,4x ∈是否是非 减函数? （2）已知函数()122xx ag x -=+在[]2,4上为非减函数，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()h x 在[]0,1上为非减函数，且满足条件：①()00h =，②()132x h h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，③()()11h x h x -=-，求12020h ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. （1）()214f x x x =-在[]1,4上不是非减函数，()212f x x x =-+-在[]1,4上是非减函数；（2）(],8-∞；（3）112020128h ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）化简两个函数的解析式，结合二次函数和一次函数的单调性可得出结论；（2）任取1x 、[]22,4x ∈且12x x <，由题中定义可得()()12g x g x ≤，通过作差法得出1222x x a +≤，求出122x x +的取值范围，即可得出实数a 的取值范围；（3）根据题意计算出121332h h ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据非减函数的定义得知，对任意的12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()12h x =，由已知条件得出()()132h x h x =，进而可得出611729202022020h h ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得解.（1）()()221424f x x x x =-=--，所以，函数()1f x 在区间[)1,2上为减函数，在区间(]2,4上为增函数， 则函数()1f x 在区间[]1,4上不是非减函数， 当[]1,4x ∈时，()21,1223,24x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，所以，函数()212f x x x =-+-在区间[]1,4上为非减函数； （2）任取1x 、[]22,4x ∈且12x x <，即1224x x ≤<≤，因为函数()122xx ag x -=+在[]2,4上为非减函数， 有()()()()()()2112121121221212122222222112222202222x x x x x x x x x x x x x x x x a a g x g x a +++---⎛⎫-=-+-=-+=≤ ⎪⎝⎭， 1224x x ≤<≤，1222x x ∴<， 12220x x a +∴-≥，1222x x a +∴≤，1224x x ≤<≤，则1248x x <+<，则()12216,256x x +∈，216a ∴≤，即8a ≤，因此，实数a 的取值范围是(],8-∞；（3）由已知得，()00h =，得()()1101h h =-=，从而()1111322h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，2111332h h ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，121332h h ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为函数()h x 为[]0,1上的非减函数，对任意的12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1233h h x h ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1122h x ≤≤，所以，()12h x =， ()132x h h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，()()132h x h x =，所以，261131917292020220202202022020h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 17292320203<<，则729120202h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此，661172911120202202022128h h ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 关键点点睛：本题考查函数的新定义“非减函数”，解题时要充分理解“非减函数”的定义，本题第（2）问，在解题时充分利用定义，结合函数单调性、作差法以及参变量分离得出1222x x a +≤，进而可求得参数a 的取值范围；在求解第（3）问时，要结合赋值法以及非减函数的定义得出()12h x =对任意的12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，再结合已知条件将所求函数值转化至已知区间进行求解.。