2.1圆周运动典例

－5
m/s
465 m/s
(2)7.27×10－5 rad/s
232.6 m/s
解析：(1)由题意知，a、 b 两点处的物体脱离圆轮 后在空中的运动时间相等，因 hb>ha，所以脱离时 b 点处物体的速度应竖直向下， 即圆轮的转动方向 为逆时针．
(2)a、b 两点处的物体脱落前分别随圆盘做匀速圆 周运动 v0＝ ωR① 脱落后 a 点处物体做平抛运动 1 2 ha＝ gt ＝ R② 2 b 点处物体做竖直下抛运动 1 2 hb＝ v0t＋ gt ＝ 2R③ 2 联立以上方程得 ω＝
c 三点的角速度之比和线速度之比．
图 2－1－3
解：A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，A、B两轮边
缘上各点的线速度大小相等，即va＝vb，故va∶vb＝1∶1.
B、C两个轮子固定在一起，属于同轴传动，它们上面的 任何一点具有相同的角速度，即ωb∶ωc＝1∶1. 因为ω＝ v ，va＝vb，rA＝2rB 所以ω ∶r ω ＝ r ∶ r ＝ 1∶ 2
答案
1∶12∶720
1∶18∶1 080
4 如图 2－ 1－ 10所示，半径为 R的圆轮在竖直面 内绕O轴匀速转动，O轴离地面高为2R，轮上a、b 两点与 O 点连线相互垂直， a 、 b 两点均粘有一小 物体，当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物 体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上．
图2－1－10 (1)试判断圆轮的转动方向． (2)求圆轮转动的角速度的大小．
解析
d 设子弹的速度为 v，则子弹穿过纸筒的时间 t1＝ ， v
在此时间内筒转过的角度最小为 θ，筒转动最短时间 t2＝ π －θ d π －θ ωd ，由等时关系 t1＝ t2，得 ＝ ，故 v＝ ，这是子 ω v ω π －θ 弹的最大速度； 若在 t1 时间内筒转过的角度为 2nπ ＋ (π － θ) ，则 t2′ ＝ 2nπ＋ (π－θ) . ω d 2nπ＋ (π－θ) 由 t1＝t2′得 ＝ v ω ωd 所以 v＝ (n＝ 0,1,2，… )． (2n＋ 1)π－ θ ωd 答案 (n＝0,1,2，…) (2n＋1)π－θ
2 1 rad / s T1 1800
2 2 rad / s T2 30
设分针和秒钟重合后再经历t时间后第二次重合，此时秒针比 分针刚好多转一周，即
2t 1t 2
得 t=3600/59s
易错易混辨析 忽视圆周运动的周期性 例 6 如图 9 所示，半径为 R 的圆盘匀速 转动，在距半径高度 h 处以平行 OB 方向 水平抛出一小球，抛出瞬间小球的初速度 与 OB 方向平行，为使小球和圆盘只碰撞 一次且落点为 B ，求： (1)小球的初速度大小； (2)圆盘转动的角速度．
跟踪训练 6
如图 10 所示，直径为 d
的纸筒以角速度ω绕垂直于纸面的 O 轴匀速转动(图示为截面)．从枪口 射出的子弹沿直径穿过圆筒，在圆周 上留下 a、b 两个弹孔．已知 aO 与 bO 的夹角为 ，求子弹 图θ 10 的速度．
1、下列说法正确的是（
）
A.匀速圆周运动是一种匀速运动
B.匀速圆周运动是一种匀加速运动
(2)在纬度θ＝60°的地方，物体随 地球自转的角速度也为 ω＝ 7.27×10 － 5rad/s. 如图所示，物体随 地球做匀速圆周运动的圆心在 O′， 而不是地心 O，设其半径为 R′，R′ 1 ＝Rcos 60°＝ R＝3.2×106 m． 故v 2 ＝ ωR′ ＝ 3.2×106 × 7.27 × 10 ＝232.6 m/s. 答案 (1)7.27×10－5 rad/s
图 2－ 1－ 9 (1)B球抛出时的水平速度多大？ (2)A球运动的线速度最小值为多大？
【答案】
(1)R
g (2)2πR 2h
g 2h
例5、机械手表的分针与秒针可视为匀速圆周运动 ，分针与秒针从第一次重合到第二次重合，中间经 历的时间为多少？
解析：设分针和秒钟的周期分别为T1和T2，则 T1=3600s， T2=60s 两者转动的角速度分别为
答案：(1)逆时针 (2)
g . 2R
g 2R
5．地球的半径为R＝6 400 km，试计算： (1)赤道上的物体随地球自转的角速度、线速度各 是多少？ (2)在纬度为60°的地面上，物体随地球自转的角 速度、线速度各是多少？
解析
(1)地球自转周期为一天，所以 T＝24×3 600 s＝86
400 s， 转一周转过的角度为 2π rad， 2π rad＝2×3.14 rad ＝6.28 rad. 2π 6.28 － 据 ω＝ T 有 ω＝ rad/s＝7.27×10 5rad/s，又据 v＝ 86 400 2πR 6.28×6 400×103 m/s ＝ 465 m/s( 或用 v ＝ R ω T 有 v＝ 86 400 求)．
①运动特点：两轮的转动方向与皮 带的绕行方式有关，可同向转动， 也可反向转动 ②定量关系：由于 A、B 两点相当 于皮带上的不同位置的点， 所以 它们的线速度必然相同，两者角速 度与其半径成反比、周期与其半径 成正比
续表
传动类型 图示 结论
①运动特点：当 A 顺时针转动时，B
逆时针转动；当 A 逆时针转动时，B 顺时针转动 齿轮传动
C.匀速圆周运动是一种变速运动 D.做匀速圆周运动的物体处于平衡状态
C
2 ．做匀速圆周运动的物体， 10 s 内沿半径 是20 m的圆周运动100 m，转过5 rad，试求 物体做匀速圆周运动的： (1)线速度的大小？ (2)角速度的大小？ 解析：(1)依据线速度的定义式v＝s/t可得 v＝s/t＝100/10 m/s＝10 m/s. (2)依据角速度的定义式ω＝θ/t可得 ω＝θ/t＝5/10 rad/s＝0.5 rad/s. 答案：(1)10 m/s (2)0.5 rad/s
TA r1 ②定量关系：va＝vb(线速度)； ＝ TB r2
n1 ωA r2 n2 ＝ ； ＝ ＝ (n 、n2 分别表示两 n2 ωB r1 n1 1 齿轮的齿数)
典型问题：常见传动装置
关键：角速度相等
关键：轮缘线速度大小相等
关键：轮缘线速度 大小相等
齿轮个数与 半径成正比
例1．如图2－1－5所示，A、B是两个摩擦传动的 靠背轮，A是主动轮，B是从动轮，它们的半径RA ＝2RB，a和b两点在轮的边缘，c和d在各轮半径的 中点，下列判断正确的是 ( ) A．va＝2vb B．ωb＝2ωa C．vc＝va D．ωb＝ωc
图9
误区警示
本题的常见错误是认为圆盘转动一周时，小球恰 2h 2π g 好落在 B 点，即 t1＝ . g ，t2＝T，故得 ω＝ T ＝2π 2h 忽视了圆周运动的周期性，即 t1 这段时间内，只要 B 点转动 2π 的整数倍角度，小球都可以与 B 点相碰．
设小球在空中的飞行时间为 t1，初速度为 v0， 2h 圆盘的角速度为 ω，小球平抛时间 t1＝ g .小球水平方 R g 向分运动 v0t1＝R，可得 v0＝ ＝R . t1 2h 正确解析 当 OB 再 次 与 v0 平行 时 ，圆 盘 运动 时间 t2 ＝ nT(n ＝ 2π 2h 2nπ 1,2,3,4，…)，T＝ ω ，依题意 t1＝t2, g ＝ ω ，解得 ω 2g ＝ nπ h (n＝1,2,3,4，…)．
图2－1－5
例 2 如图 2 － 1 － 6 所示，静止在地球上的物体都 要随地球一起转动，下列说法正确的是 ( )
图 2－ 1－ 6 A．它们的运动周期都是相同的 B．它们的线速度都是相同的 C．它们的线速度大小都是相同的 D．它们的角速度是不同的
例3、如图 2－1－3 所示的传动装置中，B、C 两轮固定 在一起绕同一转轴转动，A、B 两轮用皮带传动，三轮半径关系 为 rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求 A、B、C 轮边缘上的 a、b、
a b B A
又因为v＝ωr，ωb＝ωc，rC＝2rB
所以vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2 综合可知：ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2 va∶vb∶vc＝1∶1∶2.
例4、如图2－1－9所示，小球A在光滑的半径为R 的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中的a 点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B 沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a 点与A球相碰，求：
3、 如图2－1－6所示，电子钟上的 时针、分针和秒针在运动时的转 速之比n1∶n2∶n3是多少？如果 三针的长度之比是L1∶L2∶L3＝
1∶1.5∶1.5，那么三针尖端的线
速度大小之比v1∶v2∶v3是多少？
图 2－ 1 － 6Fra bibliotek解析 时针、分针、秒针周期分别为 T1＝12 h， 1 1 T2＝1 h，T3＝1 min＝ h．根据 f＝n＝T得 60 2πr 1 1 1 n1∶n2∶n3＝ ∶ ∶ ＝1∶12∶720，根据 v＝ T T1 T2 T3 L1 L2 L3 得 v1∶v2∶v3＝ ∶ ∶ ＝1∶18∶1 080. T1 T2 T3
飞轮
曝光时间内，一 根辐条上的各点 沿圆轨迹通过的 弧长不同
链轮
后轮
五、传动装置中各物理量之间的关系
传动类型 图示 结论 ①运动特点：转动方向相同， 即 都逆时针转动，或都顺时针转动 ②定量关系：A 点和 B 点转动的周 期相同、角速度相同，进而可知两 者线速度与其半径成正比
共轴传动
皮带(链 条)传动
答案 (1)R g 2h (2)nπ 2g h (n＝1,2,3,4，…)
正本清源 (1)多解原因：因匀速圆周运动具有周期性，使得 前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这 将造成多解. (2)多解问题模型：常涉及两个物体的两种不同的运动，其中 一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动 . 由于涉及两个物体的运动是同时进行的，因此求解的基本思 路是依据等时性建立等式求出待求量 .