2021届高考数学(文)一轮复习午间练+晚间练

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2021高三数学(文)一轮复习专练45两条直线的位置关系及距离公式含解析

2021高三数学（文）人教版一轮复习专练45两条直线的位置关系及距离公式含解析专练45两条直线的位置关系及距离公式命题范围：两条直线平行与垂直的条件，两点间的距离及点到直线的距离［基础强化］一、选择题1．过点(1，0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是（）A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝02．若直线l1：（a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直,则实数a的值为()A。

错误! B.错误!C。

错误! D.错误!3．“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行"的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．当0<k<错误!时,直线l1：kx－y＝k－1与直线l2:ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．“C＝2"是“点(1，错误!）到直线x＋错误!y＋C＝0的距离为3"的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6．过点P（2，1)且与原点O距离最远的直线方程为（) A．2x＋y－5＝0 B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝07．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0（m〉0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m＋n＝（)A．0 B．1C．－2 D．－18．[2020·四川成都一中高三测试]三条直线l1:x－y＝0,l2：x＋y －2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形,则k的取值范围是（）A．k∈RB．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10D．k∈R且k≠±5，k≠19．直线l经过点M(2，1），若点P(4，2）和Q（0，－4）到直线l的距离相等，则直线l的方程为（)A．3x－2y－4＝0B．x＝2或3x－2y－4＝0C．x＝2或x－2y＝0D．x＝2或3x－2y－8＝0二、填空题10．若曲线y＝a x(a>0且a≠1）恒过定点A(m，n），则A到直线x＋y－3＝0的距离为________．11．若直线ax＋2y－6＝0与x＋（a－1）y＋a2－1＝0平行，则a＝________。

2021年高考数学第一轮复习课后练习册子及其答案和详细解析

高考Байду номын сангаас复习课程--2021 年高考数学第一轮总复习
强化练习题
目录
第 1 讲集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................

北师大版2021高考数学文科一轮复习课后限时集训2附解析

课后限时集训(二)(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．已知a，b∈R，命题“若ab＝2，则a2＋b2≥4”的否命题是( )A．若ab≠2，则a2＋b2≤4B．若ab＝2，则a2＋b2≤4C．若ab≠2，则a2＋b2＜4D．若ab＝2，则a2＋b2＜4C[命题“若ab＝2，则a2＋b2≥4”的否命题是“若ab≠2，则a2＋b2＜4”，故选C.] 2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”B[命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”，故选B.]3．已知函数f(x)的定义域为R，则f(0)＝0是f(x)为奇函数的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[f(0)＝0D/⇒f(x)是奇函数，但f(x)在R上是奇函数⇒f(0)＝0，因此f(0)＝0是f(x)为奇函数的必要不充分条件，故选B.]4．已知x∈R，则“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－3x＋2＞0得x＜1或x＞2，所以“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件，故选A.]5．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪、非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D ．必要不充分条件D [“非有志者不能至也”的等价说法是“到达奇伟、瑰怪，非常之观的人是有志的人”，因此“有志”是“到达奇伟，瑰怪，非常之观”的必要条件，但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件，故选D.]6．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”C [对于C ，命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0”，由Δ＝1＋4m ≥0得m ≥－14，故C 错误．] 7．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．a ＞5B ．a ≥5C ．a ＜5D ．a ≤5 D [由x ＞5是x ＞a 的充分条件知，{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a }．∴a ≤5，故选D.]二、填空题8．有下列几个命题：①命题“若α＝β，则sin α＝sin β”的逆否命题为真命题；②命题“若a ＜b ，则ac 2≤bc 2”的逆命题为真命题；③“常数m 是2与8的等比中项”是“m ＝4”的必要不充分条件；④“x ＜－1”是“ln(x ＋2)＜0”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________．①③ [对于①，原命题为真命题，∴逆否命题为真命题，故①正确；对于②，逆命题为“若ac 2≤bc 2，则a ＜b ”，当c ＝0时不成立，故②错误；对于③，由m 是2与8的等比中项得m 2＝16，解得m ＝±4.因此，“常数m 是2与8的等比中项”是“m ＝4”的必要不充分条件，故③正确；对于④，由ln(x ＋2)＜0得，0＜x ＋2＜1，即－2＜x ＜－1，因此“x ＜－1”是“ln(x ＋2)＜0”的必要不充分条件，故④错误．]9．“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．充分不必要 [x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m ＜14⇒m ≤14，反之不成立．故“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．] 10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(4，＋∞) [A ＝{x |x ＜4}，由题意知A B ，所以a ＞4.]B 组能力提升 1．“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1 C [由Δ＝1－4m ＜0得m ＞14，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞应是所求的一个真子集，故选C.] 2．若向量a ＝(a －1,2)，b ＝(b,4)，则“a∥b ”是“a ＝1，b ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [由a∥b 可知4(a －1)－2b ＝0，即2a －b ＝2，推不出“a ＝1，b ＝0”；而a ＝1，b ＝0，满足2a －b ＝2，可推出“a∥b ”．故选B.]3．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．(－∞，－7]∪[1，＋∞) [由命题p 中的不等式(x －m )2＞3(x －m )，得(x －m )(x －m －3)＞0，解得x ＞m ＋3或x ＜m .由命题q 中的不等式x 2＋3x －4＜0，得(x －1)(x ＋4)＜0，解得－4＜x ＜1.因为命题p 是命题q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，即m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.所以m 的取值范围为m ≥1或m ≤－7.]4．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．－1，－2，－3(答案不唯一) [只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．]。

2021新高考版数学一轮习题：专题3+阶段滚动检测(二)Word版含解析

专题 3 阶段滚动检测(二)一、单项选择题1．已知集合A＝｛x|－2≤x≤3｝，B＝｛x|x2－3x≤0｝，则A∪B等于( )A．[－2,3] B．[－2,0]C．[0,3] D．[－3,3]2．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q 的充分不必要条件，则实数a A ．a ≤1 B ．a≥1 C ．a ≥－1 D．a≤－313．(2020 重·庆模拟)命题p：? x0>0，x0＋x＝2，则綈p 为( )A ．?x>0，1x＋＝2 x1B．? x>0，x＋≠2xC．? x≤0，x＋x1＝21D．? x≤0，x＋≠ 2xlog3 x＋m －1，x≥0，4．已知函数f (x)＝1 ，x<02 019的图象经过点(3,0)，则f (f (2))等于(A．2 0191B.2 019C．2 D．15．若函数1f (x)＝3x3－f′(－1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为()A ．2B ．－2 C．6 D．－66．三个数a＝0.312，b＝log20.31，c＝20.31之间的大小关系为()A．a<cb>0 ，c>1 ，则下列各式不成立的是()A ．sin a>sin b B．c a>cbc－1c－1C．a cbc2”是“ a>b”的充分不必要条件x 2y2C．若椭圆1x6＋2y5＝1的两个焦点为F1，F2，且弦AB过点F1，则△ ABF2的周长为16xD ．“ a ＝1”是“函数 f (x)＝a － ex 在定义域上是奇函数”的充要条件 1＋ aey ＝tan x ＋ta 1n x ，0<x<2πtan x 2D ．f (x)＝ log 1 (2 x) ＋12三、填空题13．已知函数 f ( x)＝ x 2＋ 2(a － 1)x ＋ 2 在区间 (－∞， 5］上为减函数，则实数 a 的取值范围为 __________ ；当 a＝2 时，函数 f (x)在［－ 3,2］上的值域为 ______ ．ππ14．在曲线 f (x)＝sin x －cos x ，x ∈－2，2的所有切线中，斜率为 1 的切线方程为 ___________________ ．115．设函数 f (x)＝ e x －e x －2x ，若 f (a －3)＋f (2a 2)≤0，则实数 a 的取值范围为 ______________ ．x － 1＝x .其中为“敛 1 函数”的有 _________ ． (填序号 )四、解答题17．设函数 f (x)＝ 6＋x ＋ln(2－x)的定义域为 A ，集合 B ＝ { x|2x >1} ． (1) 求 A ∪ B ；(2) 若集合 {x|a<x<a ＋1}是 A ∩B 的子集，求实数 a 的取值范围．11．在下列函数中，其中最小值为 2 的函数的是 ( ) A ． 1 y ＝ x ＋ xB ．x 2＋2 y ＝x 2＋1C ．y ＝log 2x ＋log x 2(x>0 且 x ≠1) D ．12．列函数中，满足“对任意的 x 1， x 2∈ (0，＋∞ )，使得 f x 1 － f x 2f x x 11－－f x2x2 <0”成立的是 ( ) A ．f (x)＝－ x 2－ 2x ＋1 B ． f (x)＝x －1xxC ． f (x)＝ x ＋ 116．对一定义域为D 的函数y＝f (x)和常数c，若对任意正实数ξ，? x∈D 使得0<|f (x)－c|<ξ成立，则称函1数y＝f (x)为“敛c 函数”，现给出如下函数：①f (x)＝x(x∈Z)；②f (x)＝2x＋1(x∈Z)；③f (x)＝log2x；④f (x) 18．计算：(1)( 3－1)0＋3－π2＋2 log2 3(2)2lg 5＋lg 5＋2log23a19．(2019 天·津调研)设函数f (x)＝lg x＋1(a∈R)，且f (1)＝0.(1) 求a 的值；(2) 求f (x)的定义域；(3) 判断f (x)在区间(0，＋∞ )上的单调性，并用单调性定义证明．20．为了落实国务院“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户消费资费．已知该公司共有移动用户10 万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x%，则用户人数会增加x万人．8 (1)若要保证该公司月总收入不减少，试求x 的取值范围；(2)为了布局“ 5G 网络”，该公司拟定投入资金进行5G 网络基站建设，投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2 元进入基站建设资金，若使该公司总盈利最大，试求x 的值．(总盈利资金＝总收入资金－总投入资金)1421．已知函数f (x)＝3x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2 处取得极小值－3.(1) 求函数f (x)的单调递增区间；1 10(2)若3x3＋ax＋b≤m2＋m＋3对x∈［－4,3］恒成立，求实数m 的取值范围．33122．(2019 ·北京四中期中)已知函数f (x)＝ln x＋x.x(1) 求函数f (x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝( x＋1)ln x－x＋1，证明：当x>0且x≠ 1时，x－1与g( x)同号．1． A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8． C 9.ACD 10.CD11 111．ABD [对于 A ，y ＝ x ＋x ＝|x|＋ 3≥2 |x| ·1 ＝ 2，当且仅当 x ＝±1 时取等号，正确； x |x| |x|1 ＋ 1 ≥ 2，当且仅当 x ＝0 时取等号，正确； x 4 5＋1对于 C ，当 x ∈ (0,1)时， log x 2<0 ， log 2x<0 ，得 y ＝ log 2x ＋ log x 2(x>0且 x ≠ 1)的最小值不可能为 2，错误；π1对于 D ，x ∈ 0，2π，所以 tan x ∈(0，＋∞)，令 tan x ＝ t ，所以 t ∈(0，＋∞)，所以 y ＝ t ＋ 1t ≥ 2，当且仅当 t ＝1 时取等号，正确． ]12．AD [根据题意， “ 对任意的f x 1 － f x 2x 1，x 2∈(0，＋ ∞)，使得<0 ”，则函数 f (x)在(0，＋ ∞)上为减函数，据此依次分析选项：对于选项A ，f (x)＝－x 2－2x ＋1为二次函数，其对称轴为 x ＝－1，在(0，＋∞) 上单调递减，符合题意；对于选项B ，f (x)＝x －1x ，其导数 f ′ (x) ＝ 1＋ x 12>0 ，所以 f (x)在(0，＋ ∞ )上单调递增，不符合题意；对于选项 C ，f (x)＝x ＋1为一次函数，所以 f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于选项 D ，f (x)＝ log 1 (2 x) ＋ 1，在(0，＋ ∞ )上单调递减，符合题意． ]213． (－∞，－ 4] [1,10] 14.x －y －1＝0 3 15. － 2， 11解析根据题意，函数 f (x)＝ e x － e 1x － 2x ，e1其导数 f ′ (x)＝e x ＋ 1x －2，e3f ′(x)＝e x ＋ x － 2≥0 恒成立，e则函数 f (x)在 R 上为增函数，又因为 f (－ x)＝ e －x － e x ＋ 2x ＝－ f (x)，所以 f (x)为奇函数，原式等价于 f (a －3)≤－f (2a 2)， f (a －3)≤f(－2a 2)，a －3≤－2a 2,2a 2＋a －3≤ 0，5(2a ＋3)(a －1)≤0，－ 2≤a ≤1. 16．②③④解析由新定义知，对任意正实数 ξ，? x ∈ D 使得 0<|f (x)－ c|<ξ成立，答案精析对于 B ，y ＝ x x ＋2＋21＝ x 2＋1即 0<|f (x)－c|<ξ有解．对于函数 ① 解得，1－ξ<x<1＋ξ，且x ≠1，x ∈Z ，因为 ξ为任意正实数，所以无解，故函数 ①不是“敛1函数”；对于函数 ② 解得，x>－log 2ξ且 x ∈Z ，故函数②是“敛1函数”；对于函数③解得，21－ξ<x<21＋ξ，且 x ≠2，故函数③是“敛11函数”；对于函数 ④解得， |x|>1ξ，故函数 ④是“敛 1函数”．因此正确答案为 ②③④ .6＋ x ≥ 0 ，17．解 (1)由得，－ 6≤x<2，2－ x>0由 2x >1 得， x>0， ∴A ＝[－ 6,2)，B ＝(0，＋ ∞)，∴A ∪B ＝[－6，＋ ∞)．(2)A ∩B ＝(0,2)，∵集合 {x|a<x<a ＋1}是 A ∩B 的子集，a ≥ 0，∴ 解得 0≤ a ≤1，a ＋1≤2， ∴a 的取值范围是 [0,1] ．18．解 (1)原式＝ 1＋ |3－ π＋|2＝ 1＋ π－ 3＋2＝π. 2(2)原式＝ lg 25＋lg 5＋3 2＝lg ×25 ＋ 3＝4.5a19．解 (1)根据题意，函数 f (x)＝ lg x ＋1(a ∈R)，且 f (1)＝0，＋aa则 f (1)＝lg 2＝0，则 2＝1，解得 a ＝2.2必有x ＋ 1>0，解得 x>－1，即函数 f (x)的定义域为 (－1，＋ ∞ )．2(3)根据题意， f (x)＝ lg x ＋ 1在(0，＋ ∞ )上的单调递减，证明：设 0<x 1<x 2 ，22 f (x 1)－ f (x 2)＝ lg －lg x 1＋1 x 2＋ 1x 2＋1＝lg x x 21＋＋11＝lg （x 2＋1）－lg （x 1＋1），又由 0<x 1<x 2，则 lg(x 2＋ 1)>lg( x 1＋ 1)，(2)根据题意， f （x ）＝ lg2，x ＋ 1，即f (x1)－f (x2)>0，即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减．20．解 (1)根据题意，设该公司的总收入为 W 万元，则 W ＝50 10＋x 1－ x ， 0<x<100，8 100若该公司月总收入不减少，xx则有 50 10＋ 1－≥ 10×50，8 100解得 0<x ≤ 20.(2) 设该公司盈利为 y 万元，x x xx2则 y ＝50 10＋8 1－100 －2 10＋8 ＝－ 16＋x ＋480,0<x<100，结合二次函数的性质分析可得，当 x ＝ 8时，该公司的总盈利最大．21．解 (1)f ′(x)＝x 2＋a ，由 f ′(2)＝0得 a ＝－4，41由 f (2)＝－ 3得 b ＝ 4，则 f (x) ＝3x 3－4x ＋ 4，33令f ′(x)＝x 2－4>0得x>2或 x<－2，∴f (x)的单调递增区间为 (－∞，－ 2)，(2，＋ ∞)．(2)由 f (－4)＝－34，f (－2)＝238，f (2)＝－43，f (3)＝1，28 2 10 即 ≤ m 2＋ m ＋， 33 解得 m ≥2 或 m ≤ － 3，所以实数 m 的取值范围是 (－∞，－ 3］∪［2，＋ ∞)．22． (1)解函数 f (x)的定义域是 (0，＋ ∞)，(x)＝x 1－x 12＝x －x 21x x 2 x 2令 f ′(x)＝0，得 x ＝ 1，当 x 变化时， f ′(x)与 f (x)的变化情况如下表，x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x) － 0＋ f (x)↘↗所以 f (x)的单调递增区间是 (1，＋ ∞)，单调递减区间是 (0,1)． (2)证明函数 g(x)的所以 f (x)在［－ 4,3］上的最大值为 281 要使 3x 3＋ax ＋ b ≤m 2＋ m ＋x ∈［－4,3］恒成立，只要 f (x) max ≤ m 2＋ m ＋ 10 3就可以了，定义域是(0，＋∞ )，又g′ (x)＝ln x＋x＋x1－1＝ln x＋1x＝f (x)，xx由(1)可知，f (x)min＝f (1)＝1，所以当x>0 时，g′(x)>0，所以g(x)在区间(0，＋∞ )上单调递增．因为g(1)＝0，所以当x>1 时，g(x)>g(1)＝0 且x－1>0；当0<x<1 时，g(x)< g(1) ＝0 且x－1<0 ，所以当x>0 且x≠1时，x－1与g(x)同号．。

2021年高三下学期统一练习(一)数学文试题 Word版含答案

2021年高三下学期统一练习（一）数学文试题 Word版含答案高三数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集，集合，集合，则集合=（A）（B）（C）（D）2. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（A）（B）（C）（D）3.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用茎叶图表示，如图，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为（A）20、18 （B）13、19（C）19、13 （D）18、204. 已知直线和平面，，∥,那么“”是“∥”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5.已知双曲线的一个焦点F，点P在双曲线的一条渐近线上，点O为双曲线的对称中心，若△OFP为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）2 （D）6.已知等比数列{}中，且，那么的值是（A）15 （B）31 （C）63 （D）647. 如图，已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90O，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x,y,z分别是（A）,,2（B）4,2,（C）,2，2（D）,2,8.经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，用横轴表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，则需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，则供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此继续波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0．能正确表示上述供求关系的图形是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b,c，若，则∠A=_________．PP1P单价需求曲线供应曲线P1P单价需求曲线供应曲线ABP侧视图zyyx10.已知△ABC中，AB=4，AC=3，∠CAB=90o，则___________．11.已知圆，则圆被动直线所截得的弦长__________．12.已知，则函数的最小值为________．13.已知满足目标函数的最大值为5，则的值为．14.函数．①当b=0时，函数f(x)的零点个数_______；②若函数f(x)有两个不同的零点，则b的取值范围________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数．(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.16. （本小题共13分）下图是根据某行业网站统计的某一年1月到12月（共12个月）的山地自行车销售量（1k代表1000辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：（Ⅰ）在一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不足200k 的概率；（Ⅱ）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率；（Ⅲ）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程）.17. （本小题共14分）已知在△ABC 中，∠B =90o ，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点，将△CDE 沿DE 翻折后，使之成为四棱锥（如图）. （Ⅰ）求证：DE ⊥平面；（Ⅱ）设平面平面，求证：AB ∥l ；（Ⅲ）若，，，F 为棱上一点，设，当为何值时，三棱锥的体积是1？18. （本小题共13分）已知函数，数列满足：. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求数列的前项和. 19 . （本小题共14分）ABEDCC'DEFBA已知函数．（Ⅰ）求曲线在处的切线的方程；（Ⅱ）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；（Ⅲ）当时，（Ⅰ）中的直线l 与曲线有且只有一个公共点，求的取值范围. 20. （本小题共13分）已知椭圆:过点A （2，0），离心率，斜率为直线过点M （0，2），与椭圆C 交于G ，H 两点（G 在M ，H 之间），与轴交于点B . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）P 为轴上不同于点B 的一点，Q 为线段GH 的中点，设△HPG 的面积为，面积为，求的取值范围.丰台区xx 年高三年级第二学期数学统一练习（一）数学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 10.16 11. 12. 3 13. 14 . 0 ；注：14题第一空2分，第二空3分。

2021高考数学一轮复习课后限时集训4函数及其表示文北

1
1
①f(x)＝x－x；②f(x)＝x＋x；③f(x)＝Error!
其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)
( ) ( ) 1 1 1
11
①③ [对于①，f(x)＝x－x，f x ＝x－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f x ＝x＋x＝f(x)，不满
( )1
足题意；对于③，f x ＝Error!
1 [解](1)f(x)＝x2－3x 是 Ω 函数，g(x)＝sin πx 不是 Ω 函数．
( ) ([ ]) 3
a3
33
(2)法一：取 k＝1，a＝2∈(1,2)，则令[m]＝1，m＝1＝2，此时 f 2 ＝f 2 ＝f(1)，
所以 f(x)是 Ω 函数．
a
a a－k2
证明：设 k∈N*，取 a∈(k2，k2＋k)，令[m]＝k，m＝k，则一定有 m－[m]＝k－k＝ k ∈(0,1)，
y＝(x－a)2－1 的图像的对称轴为直线 x＝a，所以 a≥1.由分段函数性质得(1－a)2－1≤ln
1，得
0≤a≤2.综上可得，实数 a 的取值范围为 1≤a≤2，故选 A.]
( )1
4．(2019·平顶山模拟)已知具有性质：f x ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，
下列函数：
且 f(m)＝f([m])，所以 f(x)是 Ω 函数．
( ) ([ ]) 1
1
1
1
－
－
法二：取 k＝1，a＝2∈(0,1)，则令[m]＝－1，m＝－2，此时 f 2 ＝f 2 ＝f(－1)，
所以 f(x)是 Ω 函数．
a
a
证明：设 k∈N*，取 a∈(k2－k，k2)，令[m]＝－k，m＝－k，则一定有 m－[m]＝－k－(－k)＝

2021年高考数学一轮总复习 5.4数列求和练习

2021年高考数学一轮总复习 5.4数列求和练习一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a nn 为奇数，a n ＋1 n 为偶数，则其前6项之和是( )A ．16B ．20C ．33D ．120解析 ∵a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.答案 C2．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n解析由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.答案 C3．若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，n ∈N *，则数列{b n }的前n 项和是( )A ．n 2B ．n (n ＋1)C ．n (n ＋2)D ．n (2n ＋1)解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n －1)＝4(1＋2＋…＋n )－n ＝2n (n ＋1)－n ＝2n 2＋n ，∴b n ＝2n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1) ＝n 2＋2n ＝n (n ＋2)．答案 C4．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝⎛⎭⎪⎫1－12n解析 a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .答案 C5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2cos n π(n ∈N *)，S n 为它的前n 项和，则S 2 0122 013等于( )A ．1 005B ．1 006C ．2 011D ．2 012解析注意到cos n π＝(－1)n (n ∈N *)，故a n ＝(－1)n n 2.因此有S 2 012＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋(－2 0112＋2 0122)＝1＋2＋3＋…＋2 011＋2 012＝2 012×1＋2 0122＝1 006×2 013，所以S 2 0122 013＝1 006.答案 B6．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y＋2＝0平行，若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1fn(n ∈N *)的前n 项和为S n ，则S 2 012的值为( )A.2 0092 010 B.2 0102 011 C.2 0112 012D.2 0122 013解析由于f ′(x )＝2x ＋b ，据题意则有f ′(1)＝2＋b ＝3，故b ＝1，即f (x )＝x 2＋x ，从而1f n＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，其前n 项和S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故S 2 012＝2 0122 013. 答案 D 二、填空题7．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，则数列{a n b n }的前n 项和S n ＝__________.解析由条件易求出a n ＝n ，b n ＝2n －1(n ∈N *)． ∴S n ＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2S n ＝1×2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n .② 由①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ， ∴S n ＝(n －1)·2n＋1. 答案 (n －1)·2n ＋18．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为__________．解析 ∵a n ＝n n ＋12n ＋1＝n2， ∴b n ＝8nn ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴b 1＋b 2＋…＋b n＝8⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8n n ＋1.答案8nn ＋19．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.解析由a n＋2－a n＝1＋(－1)n，知a2k＋2－a2k＝2，a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋100＋2×502＝2 600.答案 2 600三、解答题10．(xx·山东卷)在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n n＋12，记T n＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)n b n，求T n.解(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)由题意知b n＝a n n＋12＝n(n＋1)，所以T n＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n·(n＋1)．因为b n＋1－b n＝2(n＋1)，可得当n为偶数时，Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－b n－1＋b n)＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n24＋2n 2＝n n ＋22，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝n －1n ＋12－n (n ＋1)＝－n ＋122.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋122，n 为奇数，n n ＋22，n 为偶数.11．已知数列{a n }的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成等差数列{b n }，S n 是{b n }的前n 项和，且b 1＝a 1＝1，S 5＝15.a 1a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10…(1)若数阵中从第3行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a 9＝16，求a 50的值；(2)设T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，求T n .解 (1)设等差数列{b n }的公差为d .∵b 1＝1，S 5＝15，∴S 5＝5＋10d ＝15，d ＝1， ∴b n ＝1＋(n －1)×1＝n .设从第3行起，每行的公比都是q ，且q >0，则a 9＝b 4q 2，即4q 2＝16，q ＝2，又1＋2＋3＋…＋9＝45，故a 50是数阵中第10行的第5个数，a 50＝b 10q 4＝10×24＝160.(2)∵S n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12，∴T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝2n ＋1n ＋2＋2n ＋2n ＋3＋…＋22n2n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－12n ＋1＝2nn ＋12n ＋1.培优演练1．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845D ．1 830解析当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋1＋a2k＋3＝2，∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝30×3＋1192＝30×61＝1 830.答案D2．(xx·湖北三校联考改编)已知等比数列的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4，…，2n－1lg a n，…的前n项和S n等于( )A．n·2n B．(n－1)·2n－1－1C．(n－1)·2n＋1 D．2n＋1解析∵等比数列{a n}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，∴a2n＝102n，即a n＝10n，∴2n－1lg a n＝2n－1lg10n＝n·2n－1，∴S n＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①2S n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②∴①－②得－S n＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴S n＝(n－1)·2n＋1.答案 C3．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝15，且对任意正整数m ，n ，都有a m ＋n＝a m a n ，若S n <t 恒成立，则实数t 的最小值为________．解析令m ＝1，则a n ＋1a n＝a 1， ∴{a n }是以a 1为首项，15为公比的等比数列．∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n，∴S n ＝15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ＋11－15＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n＝14－14·5n <14.由S n <t 恒成立， ∴t >S n 的最大值，可知t 的最小值为14.答案144．(xx·四川资阳高考模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足：S n ＝32a n ＋n－3.(1)求证：数列{a n －1}是等比数列．(2)令c n ＝log 3(a 1－1)＋log 3(a 2－1)＋…＋log 3(a n －1)，对任意n ∈N *，是否存在正整数m ，使1c 1＋1c 2＋…＋1c n ≥m3都成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－2，解得a 1＝4.当n ≥2时，由S n ＝32a n ＋n －3得S n －1＝32a n －1＋n －4，两式相减，得S n －S n －1＝32a n －32a n －1＋1，即a n ＝3a n －1－2，则a n －1＝3(a n －1－1)，故数列{a n －1}是以a 1－1＝3为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －1＝3n ，c n ＝log 3(a 1－1)＋log 3(a 2－1)＋…＋log 3(a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12，所以1c n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，则1c 1＋1c 2＋…＋1c n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，由1c 1＋1c 2＋…＋1c n ≥m 3对任意n ∈N *都成立，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1≥m 3，即m ≤6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1对任意n ∈N *都成立，又m ∈N *，所以m 的值为1,2,3.36334 8DEE 跮^39013 9865顥33933 848D 蒍!d22408 5788 垈39291 997B 饻W35888 8C30 谰 s33571 8323 茣E精品文档实用文档。

2021高考数学人教版一轮复习练习：第五章第1节数列的概念与简单表示法

多维层次练28[A级基础巩固]1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的() A．第19项B．第20项C．第21项D．第22项解析：数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n＝5＋6（n－1）＝6n－1，令6n－1＝55，得n＝21.答案：C2．记S n为数列{a n}的前n项和．“任意正整数n，均有a n>0”是“{S n}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“a n>0”⇒“数列{S n}是递增数列”，所以“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分条件．如数列{a n}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{S n}是递增数列，但是a n不一定大于零，还有可能小于零，所以“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n>0”，所以“a n>0”不是“数列{S n}是递增数列”的必要条件．所以“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．答案：A3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( )A ．31B ．42C ．37D ．47解析：由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＋1＋1＝2(S n＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47.答案：D4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋n ln nB ．2n ＋(n －1)ln nC ．2n ＋n ln nD ．1＋n ＋n ln n解析：由题意得a n ＋1n ＋1－a nn ＝ln(n ＋1)－ln n ，n 分别用1，2，3，…，(n －1)取代，累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1＝ln n ，a nn ＝2＋ln n ，所以a n ＝2n ＋n ln n .答案：C5．(2020·广东广雅中学模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，则a n 的表达式为( ) A ．a n ＝24n －3B ．a n ＝26n －5C ．a n ＝24n ＋3D ．a n ＝22n －1解析：(1)数列{a n }中，由a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，可得1a n ＋1＝3＋1a n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为3的等差数列，所以1a n ＝12＋3(n －1)＝6n －52.可得a n ＝26n －5(n ∈N *)．答案：B6．(2019·上海卷)已知数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S n ＋a n ＝2，则S 5＝________．解析：n ＝1时，S 1＋a 1＝2，所以a 1＝1. n ≥2时，由S n ＋a n ＝2得S n －1＋a n －1＝2，两式相减得a n ＝12a n －1(n ≥2)，所以{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以S 5＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：31167．(2020·河北省级示范性高中联考)数列{a n }满足a 1＝3，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1－a n ＝n ＋2，则a 39＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝n ＋2，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝5，…， a n －a n －1＝n ＋1(n ≥2)，上面(n －1)个式子左右两边分别相加得a n －a 1＝（n ＋4）（n －1）2(n ≥2)，即a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝3适合上式，所以a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，n ∈N *，所以a 39＝40×412＝820.答案：8208．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．解析：由题意可知，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，所以a n ＝n 2（n －1）2(n ≥2)，所以a 3＋a 5＝3222＋5242＝6116.答案：61169．(2020·天河模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1<2，a n >0，6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，b n ＝(－1)n a 2n ，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n . 解：(1)当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1＋2，且a 1<2，解得a 1＝1.当n ≥2时，6a n ＝6S n －6S n －1＝a 2n ＋3a n ＋2－(a 2n －1＋3a n －1＋2)．化简得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0，因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)b n ＝(－1)n a 2n ＝(－1)n (3n －2)2.所以b 2n －1＋b 2n ＝－(6n －5)2＋(6n －2)2＝36n －21. 所以数列{b n }的前2n 项的和T 2n ＝36(1＋2＋…＋n )－21n ＝36×n （n ＋1）2－21n ＝18n 2－3n .10．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.[B 级能力提升]11．数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝( ) A.9998 B ．2 C.9950D.99100解析：由a n ＋1＝1＋a n ＋n ，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2×[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫199－1100]＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－1100＝9950. 答案：C12．(一题多解)(2020·湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(约公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a ，当a ∈[2，2 019]时，符合条件的a 共有________个．解析：法一由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，则3m＝5n ＋1，m，n∈N，当m＝5k时，n不存在；当m＝5k＋1时，n不存在；当m＝5k＋2时，n＝3k＋1，满足题意；当m＝5k＋3时，n不存在；当m＝5k＋4时，n不存在，其中k∈N.故2≤a＝15k＋8≤2 019，解得－615≤k≤2 01115，故k＝0，1，2，…，134，共135个，即符合条件的a共有135个．故答案为135.法二一个整数除以三余二，这个整数可以为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…，一个整数除以五余三，这个整数可以为3，8，13，18，23，28，33，38，…，则同时除以三余二、除以五余三的整数为8，23，38，…，构成首项为8，公差为15的等差数列，通项公式为a n＝8＋15(n－1)＝15n－7，由15n－7≤2 019得15n≤2 026，n≤135115，因为n∈N*，所以n＝1，2，3，…，135，共有135个．答案：13513．(一题多解)已知数列{a n}中，a1＝3，且n(n＋1)(a n－a n＋1)＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a1·a2·…·a n（n＋1）·2n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)法一由题意知，a n －a n ＋1＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1，所以n ≥2时，a n －1－a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ，a n －2－a n －1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －2－1n －1，…，a 1－a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12，以上(n －1)个式子左右两边分别相加得a 1－a n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ，又a 1＝3，所以a n ＝1＋2n (n ≥2)．又a 1＝3符合上式，故a n ＝1＋2n(n ∈N *)．法二由题意知，a n －a n ＋1＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1，所以a n ＋1－2n ＋1＝a n －2n ，所以a n －2n ＝a n －1－2n －1＝…＝a 1－21＝3－2＝1，所以a n ＝1＋2n.(2)法一由(1)知，a n ＝1＋2n ＝n ＋2n，所以a 1a 2…a n ＝31×42×…×n ＋1n －1×n ＋2n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，所以b n ＝a 1·a 2·…·a n（n ＋1）·2n＝n ＋22n ＋1，所以S n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12S n ＝322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋123⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n ＋2＝1－12n ＋1－n ＋22n ＋2＝1－n ＋42n ＋2，故S n ＝2－n ＋42n ＋1.法二由(1)知a n ＝1＋2n ＝n ＋2n，所以a 1·a 2·…·a n ＝31×42×…×n ＋1n －1×n ＋2n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，所以b n ＝a 1·a 2·…·a n（n ＋1）·2n ＝n ＋22n ＋1＝n ＋32n －n ＋42n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫421－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－623＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32n －n ＋42n ＋1＝2－n ＋42n ＋1.[C 级素养升华]14．(多选题)已知数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则下列数字在数列{a n }中的是( )A ．14B ．18C ．20D ．32解析：由题意知，数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1＝2(n －1)＋5，n >1，两式相减得，a n2n ＝2n ＋5－2(n －1)－5＝2，所以a n ＝2n ＋1，n >1，n ∈N *. 当n ＝1时，a 12＝7，所以a 1＝14.综上可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧14，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：AD。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：幂函数(一)(含解析)

《幂函数》（一）考查内容：幂函数的定义、定义域、值域，函数图像等一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知幂函数()y f x =的图象经过点1,93⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式为（） A ．()2f x x -=B ．()2f x x =C ．()2x f x =D ．()2xf x -=2．已知幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)，则f 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．若12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则(3)f =（）A ．9B ．19CD 4．已知幂函数()()37m f x x m N -=∈的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，则m 的值为（） A ．1- B ．0C ．1D ．25．设函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数，且当(0,)x ∈+∞，()f x 单调递增，则m 的值为（） A ．2-B ．2-或1C ．2D ．2或1-6．已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->≠且的图象所经过的定点，则b 的值等于（）A ．12±B ．2±C ．2D ．2±7．5个幂函数：①2y x；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x-=.其中定义域为R 的是（） A ．只有①②B ．只有②③C ．只有②④D ．只有④⑤8．设11,0,,1,2,32n ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使得()n f x x =的定义域为R 且()f x 为奇函数的所有n 值的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．49．下列命题中正确的是（）A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0),(1,1) 两点C ．幂函数的图象不可能出现在第三象限D ．图象不经过点(1,1)-的幂函数，一定不是偶函数 10．以下函数12y x =，2y x ，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（）个 A ．1B ．2C ．3D ．411．已知幂函数n y x =在第一象限内的图象如图所示．若112,2,,22n ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为（）A ．11,2,2,22-- B ．112,,2,22-- C ．112,,,222--D ．11,2,,222--12．若幂函数mn y x =（*,m n ∈N ，且m 、n 互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．m 、n 是奇数且1mn C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n< D ．m 、n 是偶数，且1m n> 二．填空题13．若幂函数f (x )的图象经过点(4，14)，则()21log 32f -的值等于________.14．在函数①75y x =；②56y x =；③47y x =；④25y x -=；⑤13y x-=；⑥23y x =中定义域与值域相等的有_________个. 15．对幂函数32()f x x -=有以下结论（1）()f x 的定义域是{|0,}x x x R ≠∈；（2）()f x 的值域是(0,)+∞；（3）()f x 的图象只在第一象限；（4）()f x 在(0,)+∞上递减；（5）()f x 是奇函数．则所有正确结论的序号是______. 16．若1144(1)(32)a a --+<-,则a 的取值范围是 ______三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知幂函数()y f x =的图象过点(.（1）求函数()f x 的解析式，并求出它的定义域；（2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围.18．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在0,单增函数，函数()22g x kx =+.（1）求m 的值；（2）对任意[]11,2x ∈-总存在[]21,2x ∈使()()12g x f x =，求实数k 的取值范围.19．若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围.20．已知幂函数()223m m y f x x --+==（其中22m -<<，m ∈Z ）满足：①在区间(),0-∞上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.求幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域.21．如图所示的函数()F x 的图象，由指数函数()x f x a =与幂函数()b g x x =“拼接”而成．（1）求()F x 的解析式；（2）比较b a 与a b 的大小；（3）已知(4)(32)b bm m --+<-，求m 的取值范围．22．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为[4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.《幂函数》（一）解析1.【解析】依题意，设()af x x =，则1()93a=，解得2a =-，()2f x x-∴=，故选:A ．2.【解析】∵幂函数y ＝f （x ）＝x a 的图象经过点（2，4），∴2a ＝4，解得a ＝2，∴y ＝x 2，∴f2＝2．故选B ．3.【解析】12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则lg 111m m +=⇒=，则()12f x x =，则(3)f =C4.【解析】由题意可得：370m -<且37m -为偶数，m N ∈，解得73m <，且37m -为偶数，m N ∈， ∴1m =．故选：C ． 5.【解析】由题意()f x 是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-，因为()f x 在()0,x ∈+∞上是增函数，而当2m =时，2330m m +-=>符合题意；当1m =-时，2330m m +-=-<，所以()f x 在()0,x ∈+∞上是减函数，不符合题意，2m ∴=.故选：C6.【解析】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，函数1()2x bf x m-=-，(0,m >且1)m ≠，当x b =时，11()22b bf b m -=-= ，故()f x 的图像所经过的定点为1(,)2b ，所以1()2g b =，即212b =，解得：2b =±,故答案选B 7.【解析】①2yx的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，②45y x =的定义域为R ， ③54y x =的定义域为(0,)+∞， ④23y x =的定义域为R ， ⑤45y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C .8.【解析】当1n =-时，1()f x x=定义域为{}0x x ≠，不满足题意当0n =时，0()f x x =定义域为{}0x x ≠，不满足题意当12n =时，()f x ={}0x x ≥，不满足题意当1n =时，()f x x =定义域为R ，且为奇函数，满足题意当2n =时，2()f x x =定义域为R ，是偶函数，不满足题意当3n =时，3()f x x =定义域为R ，且为奇函数，满足题意所以，使得()n f x x =的定义域为R 且()f x 为奇函数的所有n 值的个数为2故选：B9.【解析】A ，错误，因为函数y x α=的的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ ，故图像为是一条直线除去点()0,1 B 错误，当幂函数,0y x αα=<时图象不经过()0,0, C ，错误，如幂函数1y x -=图象在第三象限和第一象限D ，正确，故选D 10.【解析】函数12y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞；函数2yx 的定义域为R ，值域为[0,)+∞；函数23y x ==20x ≥，∴函数值域为[0,)+∞；函数331y xx-==，值域为(,0)(0,)-∞+∞． ∴值域为[0,)+∞的函数共3个．故选：C.11.【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为：112,,,222--，故选：C.12.【解析】将分数指数式化为根式，mn y x ==由定义域为R ，值域为[)0,+∞知n 为奇数，m 为偶数，故排除A 、D ，又由幂函数y x α=，当1α>时，图像在第一象限的部分下凸，当01α<<时，图像在第一象限的部分上凸.故选：C13.【解析】因为f (x )为幂函数，所以设()f x x α=，因为f (x )的图象经过点(4，14)，所以14=14αα∴=-，因此()2221log 31log 3111log 32232(2)()()232f -----====，故答案为：3214.【解析】①75y x =的定义域为R ，值域为R .②56y x =的定义域为[)0+∞，，值域为[)0+∞，. ③47y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. ④25y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(0+)∞，.⑤13y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.⑥23y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. 故定义域与值域相等的有①, ②和⑤，故答案为：3 15.【解析】对幂函数()32f x x-=，以下结论（1）()f x 的定义域是{}0,x x x R ∈，因此不正确；（2）()f x 的值域是()0,+∞，正确；（3）()f x 的图象只在第一象限，正确；（4）()f x 在()0,+∞上递减，正确；（5）()f x 是非奇非偶函数，因此不正确．则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）． 16.【解析】幂函数yx α=，当0α<时是减函数，函数 14y x -=的定义域为()0,∞+，所以有1320a a +>->，解得2332a <<，故答案为 23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.17.【解析】（1）设()f x x α=，代入点(得2α=，解得12α=，即()12f x x ==.故函数()f x 的定义域为[)0,+∞.（2）由于()f x 的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞上递增，由已知()()13f a f a +>-可得103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩，a 的范围是(]1,3.18.【解析】（1）由题：()2211420m m m ⎧-=⎪⎨-+>⎪⎩解得0m = ；（2）由（1）()2f x x =，记()[]{},1,2A y y f x x ==∈，()[]{},1,2B y g x x ==∈-，由题意B A ⊆，容易求得[]1,4A =.由B A ⊆得12241424k k ≤-+≤⎧⎨≤+≤⎩，解得1142k -≤≤，即k 的取值范围是11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 19.【解析】∵()()11132a a --+<-，∴10,320,132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,320,132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或320,10,a a ->⎧⎨+<⎩解得2332a <<或1a <-.故a 的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.20.【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②；当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256.21.【解析】（1）由题意得14b 12,1142a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,16{1,2a b ==∴x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩（2）因为3211()22<，所以1116321611()()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b aa b <．（3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，所以40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<，所以m 的取值范围是12(,)33-． 22.【解析】（1）因为幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去），所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩；当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解；综上所述：存在6a =使命题成立.。

2021届高三数学(文科)一轮复习通关检测卷全国卷(一)(解析版)

2021届高三数学（文科）一轮复习通关检测卷全国卷（一）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位,则复数313i 12iz -=-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.如图,U 是全集,,,M P S 是U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.()M P S ⋂⋂B.()M P S ⋂⋃C.()()U M P S ⋂⋂D.()()U M P S ⋂⋃3.函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．54.函数cos sin y x x x =+在区间[-π,+π]上的图像可能是( ) A. B.C. D.5.已知154432,2,log 2p q s ===,则,,p q s 的大小关系为( ) A.q s p <<B.q p s <<C.s p q <<D.s q p <<6.已知π3sin 245x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.则sin 4x 的值为( )A.725B.725±C.1825D.1825±7.执行右面的程序框图，若输入的00k a ==，，则输出的k 为：（）A.2B.3C.4D.58.已知向量(3,1)a =,b 是不平行于x 轴的单位向量,且3a b ⋅=,则b 等于( )A.12⎫⎪⎪⎝⎭B.12⎛ ⎝⎭C.14⎛ ⎝⎭D.(1,0)9.若变量,x y 满足约束条件10,210,10,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩则目标函数2z x y =+的最小值为()A.4B.1-C.2-D.3-10.已知,a b 是方程20x x -的两个不等实数根,则点(),P a b 与圆22:8C x y +=的位置关系是( ) A.点P 在圆内B.点P 在圆上C.点P 在圆外D.无法确定11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,2(),F F a c b P -=是椭圆 C 上的动点.若12PF F 的面积的最大值为S ,则2Sc=( )B.145C.43D.16912.已知函数()223f x x ax ax b =+++的图像在点()()1,1f 处的切线方程为12y x m =-+.若函数()f x 至少有两个不同的零点,则实数b 的取值范围是( )A.()5,27-B.[]5,27-C.(]1,3-D.[]1,3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.14.若sin cos αα+则sin 2α的值为__________. 15.从数学内部看，推动几何学发展的矛盾有很多，比如“直与曲的矛盾”，随着几何学的发展，人们逐渐探究曲与直的相互转化，比如：“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题. 如图，设等腰直角三角形ABC 中，,90AB BC ABC =∠=︒，以A C 为直径作半圆，再以为直径作半圆AmB ，那么可以探究月牙形面积（图中黑色阴影部分）与AOB △面积（图中灰色阴影部分）之间的关系，在这种关系下，若向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为___________.16.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点A 是抛物线C 上一点,以点A 为圆心,23AF 为半径的圆与y 轴相切,且截线段AF,则p =_______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，且236a a ⋅=，238b b a ⋅=(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.(2)若2221log n n n c a b +=，求12n c c c ++⋯+.18. （12分）某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学,对其每月平均课外阅读时间(单位:小时)进行调查,所得数据的茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”. （1）.将频率视为概率,估计该校900名学生中“读书迷”有多少人?（2）.从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人,参加读书日宣传活动. (i)共有多少种不同的抽取方法?(ii)求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.19. （12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=︒∠=∠=︒,PA ⊥平面,2,1ABCD PA AB ==.设,M N 分别为,PD AD 的中点.(1)求证：平面CMN 平面PAB .(2)求三棱锥P ABM -的体积.20. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,且经过点⎝⎭. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点()0,2P 的直线交椭圆C 于,A B 两点,求OAB (O 为原点)面积的最大值.21. （12分）已知函数2()ln 2()f x a x x a =+-∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x =处的切线方程为45y x =-，且当对于任意实数[1,2]λ∈时，存在正实数12,x x ，使得()()()1212x x f x f x λ+=+，求12x x +的最小正整数.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4 – 4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩：（θ为参数），211x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，：（t 为参数）. （1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程. 23. [选修4 – 5：不等式选讲]（10分）已知函数()112f x x a x =-++的最小值为2. （1）.求实数a 的值;（2）.若0a >,求不等式()4f x ≤的解集.答案以及解析一、选择题 1.答案：C解析：由题设得313i (13i)(12i)55i1i 12i (12i)(12i)5z -++-+====-+--+,故1i z =--,其在复平面内对应的点位于第三象限,故选C 。

2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第二章函数导数及其应用考点测试9指数与指数函数含解析人教B版

考点测试9 指数与指数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4．体会指数函数是一类重要的函数模型一、基础小题 1．设2x＝8y ＋1,9y＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．27答案 D 解析因为2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，所以x ＝3y ＋3，因为9y ＝3x －9＝32y，所以x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27.2．化简(a >0，b >0)的结果是( )A.b aB ．abC ．a 2b D ．a b答案 D 解析原式＝＝ab －1＝ab .故选D.3．若f (x )＝(2a －3)a x为指数函数，则f (x )在定义域内( ) A ．为增函数 B ．为减函数 C ．先增后减 D ．先减后增答案 A解析由指数函数的定义知2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (x )＝2x，所以f (x )在定义域内为增函数．故选A.4．已知，则( )A ．b <a <cB ．a 25，得a >b ，故c >a >b .故选A.5．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2B ．－1<a <1C ．a >2或a <－ 2D ．－2<a < 2答案 C解析 ∵x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，∴a 2－1>1，即a 2>2.∴a >2或a <－ 2.故选C.6．下列函数中，在(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝22－xB ．y ＝x －11＋xC ．D ．y ＝－x 2＋2x ＋a答案 A解析根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝22－x＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在(0，＋∞)内单调递减，符合题意；对于B ，y ＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，在(0，＋∞)内单调递增，不符合题意；对于C ，y ＝＝log 2x ，在(0，＋∞)内单调递增，不符合题意；对于D ，y ＝－x 2＋2x ＋a ＝－(x －1)2＋a ＋1，在(0,1)内单调递增，不符合题意．故选A.7．已知函数f (x )满足对一切x ∈R ，f (x ＋2)＝－1f x都成立，且当x ∈(1,3]时，f (x )＝2－x，则f (2019)＝( )A.14 B ．18 C ．116 D ．132答案 B解析由已知条件f (x ＋2)＝－1f x可得f (x )＝－1fx －2，故f (x ＋2)＝f (x －2)，易得f (x )是周期为4的周期函数，∴f (2019)＝f (3＋504×4)＝f (3)，∵当x ∈(1,3]时，f (x )＝2－x ，∴f (3)＝2－3＝18，即f (2019)＝18.故选 B.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x＋31＋2x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 B ．(0,2] C ．{0,1,2} D ．{0,1,2,3}答案 C解析因为f (x )＝2x＋31＋2x ＋1＝121＋2x ＋1＋521＋2x ＋1＝12＋521＋2x ＋1，2x ＋1>0，所以0<11＋2x ＋1<1，所以12<12＋521＋2x ＋1<3，即12<f (x )<3，所以y ＝[f (x )]的值域为{0,1,2}，故选C. 9．下列说法中，正确的是( ) ①任取x ∈R 都有3x >2x；②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x； ③y ＝(3)－x是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称． A ．①②④ B ．④⑤ C ．②③④ D ．①⑤答案 B解析 ①中令x ＝－1，则3－1<2－1，故①错误；②中当x <0时，a x <a －x，故②错误；③中y ＝(3)－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，∵0<33<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x为减函数，故③错误；④中x ＝0时，y 取最小值1，故④正确；⑤由函数图象变换，可知y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，故⑤正确．故选B.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x－1，则在(1,3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 D ．[2,3)答案 C解析 ∵0≤x ≤1时，f (x )＝4x－1，∴f (x )在区间[0,1]上是增函数，又f (x )是奇函数，∴f (x )在区间[－1,1]上是增函数．∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1，∴在区间(1,3)上不等式f (x )≤1的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3，故选C.11．求值：＝________.答案14380解析原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380.12．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．答案 e解析由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e |x |，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e |x |＝e x≥e(当x ＝1时，取等号)；当x <1时，f (x )＝e|x －2|＝e2－x>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a 1,0<c ＝0.20.3<1，所以a <c <b .故选B. 14．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析令t ＝2x ＝3y ＝5z，∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t 2lg 3－3lg 2lg 2×lg 3＝lg t lg 9－lg 8lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t 2lg 5－5lg 2lg 2×lg 5＝lg t lg 25－lg 32lg 2×lg 5＜0，∴2x＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D.15．(2018·上海高考)已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q＝36pq ，则a ＝________.答案 6解析由已知条件知f (p )＝65，f (q )＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p2p＋ap ＝65， ①2q 2q＋aq ＝－15， ②①＋②，得2p2q ＋aq ＋2q2p＋ap2p ＋ap 2q＋aq＝1，整理得2p ＋q＝a 2pq ，又2p ＋q＝36pq ，∴36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，∴a 2＝36，∴a ＝6或a ＝－6，又a >0，∴a ＝6. 16．(2015·江苏高考)不等式<4的解集为________．答案 {x |－1<x <2} 解析不等式<4可转化为<22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．17．(2015·福建高考)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．答案 1解析因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示．因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.三、模拟小题18．(2020·河北张家口摸底)化简的结果为( )A ．－4aB ．4aC ．11aD ．4ab答案 B解析原式＝＝4ab 0＝4a ，故选B.19．(2019·湖北八校联考)若，则函数y ＝2x的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18 D ．[2，＋∞)答案 B 解析因为＝24－2x ，则x 2＋1≤4－2x 即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x ≤1.所以18≤y ≤2.20．(2019·沧州模拟)已知函数f (x )＝e x －1－e－x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是1B ．函数f (x )是单调递减函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1轴对称D ．函数f (x )的图象关于(1,0)中心对称答案 D解析函数f (x )＝ex －1－e－x ＋1，即f (x )＝ex －1－1e x －1，可令t ＝e x －1，即有y ＝t －1t，由y ＝t －1t在t ＞0时单调递增，t ＝e x －1在R 上单调递增，可得f (x )在R 上为增函数，则A ，B 均错误；由f (2－x )＝e1－x－ex －1，可得f (x )＋f (2－x )＝0，即有f (x )的图象关于点(1,0)对称，则C 错误，D 正确．故选D.21．(2020·湖南衡阳高三摸底考试)设函数f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≤K ，K ，f x >K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1答案 D解析根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1时恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.22．(2019·江苏省镇江市期末)已知函数f (x )＝12x －2x ，则满足f (x 2－5x )＋f (6)>0的实数x 的取值范围是________．答案 (2,3)解析根据题意，函数f (x )＝12x －2x ，f (－x )＝12－x －2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2x ＝－f (x )，即f (x )为奇函数，又由y ＝12x 在R 上为减函数，y ＝－2x在R 上为减函数，则f (x )在R 上为减函数，则f (x 2－5x )＋f (6)>0⇒f (x 2－5x )>－f (6)⇒f (x 2－5x )>f (－6)⇒x 2－5x <－6，解得2<x <3，即x 的取值范围为(2,3)．23．(2019·浦东新区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 4x 2＋16，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |，x <2，若对任意的x 1∈[2，＋∞)，都存在唯一的x 2∈(－∞，2)，满足f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围为________．答案 [－2,6)解析当x 1∈[2，＋∞)时， x 14x 21＋16＝14x 1＋16x 1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，116.当x 2∈(－∞，2)时，(1)若a ≥2，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －x 在(－∞，2)上是单调递增函数，所以f (x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2.若满足题目要求，则⎝ ⎛⎦⎥⎤0，116⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2>116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124，∴a －2<4，a <6.又a ≥2，所以a ∈[2,6)．(2)若a <2，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －x，x <a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －a，a ≤x ＜2.如果f (x )在(－∞，a )上是单调递增函数，此时f (x 2)∈(0,1)；如果f (x )在[a,2)上是单调递减函数，此时f (x 2)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－a ，1.若满足题目要求，则116≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－a，∴a ≥－2，又a <2，所以a ∈[－2,2)．综上，a ∈[－2,6)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2019·兰州模拟)已知函数.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求实数a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求实数a 的值．解 (1)当a ＝－1时，，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，实数a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使的值域为(0，＋∞)，则应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.2．(2020·河南洛阳高三阶段考试)已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求实数b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a ，b 应满足的条件．解 (1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得实数b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，实数a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2. 3．(2019·渭南模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求实数a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得实数b ＝1，所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得实数a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，所以由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13. 4．(2020·山东枣庄高三摸底考试)已知函数f (x )＝e x＋a ·e －x，x ∈R . (1)当a ＝1时，证明：f (x )为偶函数；(2)若f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝1，求实数m 的取值范围，使m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1在R 上恒成立．解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝e x＋e －x，定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，而f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为x 1<x 2，函数y ＝e x 为增函数，所以，则，又因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x 1)－f (x 2)<0，所以对任意的0≤x 1<x 2恒成立，所以a ≤1.故实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)由(1)(2)知函数f (x )＝e x ＋e －x在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以其最小值f (0)＝2，且f (2x )＝e 2x＋e－2x＝(e x ＋e －x )2－2，设t ＝e x ＋e －x，则t ∈[2，＋∞)，1t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则不等式m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1恒成立，等价于m ·t 2≥t ＋1，即m ≥t ＋1t 2恒成立，而t ＋1t 2＝1t 2＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122－14，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时t ＋1t 2取得最大值34，故m ≥34.因此实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

2021届高考数学一轮复习资料

2021届⾼考数学总复习⼀轮复习资料⽬录专题1 集合与常⽤逻辑⽤语1§1.1 集合的概念与运算1§2 命题及其条件、充分条件与必要条件2§3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词3专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ5§1 函数及其表⽰5§2 函数的单调性与最值7§3 函数的奇偶性与周期性8§4 ⼆次函数与幂函数9§5 指数与指数函数11§6 对数与对数函数12§7 函数的图像15§8 函数与⽅程17§9 实际问题的函数建模18专题3 导数及其应⽤20§1 导数的概念及运算20§2 导数的应⽤222.1 导数与函数的单调性222.2 导数与函数的极值、最值23§3 定积分与微积分基本定理26专题4 三⾓函数、解三⾓形27§1 任意⾓、弧度制及任意⾓的三⾓函数27§2 同⾓三⾓函数基本关系式及诱导公式29§3 三⾓函数的图像与性质31§4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应⽤32§6 简单的三⾓恒等变换35§7 正弦定理、余弦定理36§8 解三⾓形的综合运⽤37 专题5 平⾯向量39§1 平⾯向量的概念及线性运算39§2 平⾯向量基本定理及坐标表⽰41§3 平⾯向量的数量积42§4平⾯向量应⽤举例43专题6 数列44§1 数列的概念与简单表⽰法44§2 等差数列及其前n项和46§3 等⽐数列及其前n项和47§4 数列求和49专题7 不等式50§1 不等关系与不等式50§2 ⼀元⼆次不等式及其解法52§3 ⼆元⼀次不等式（组）与简单的线性规划问题53§4 基本不等式及其应⽤55专题8 ⽴体⼏何与空间向量57§1 简单⼏何体的结构、三视图和直观图57§2 空间图形的基本关系与公理59§3 平⾏关系61§4 垂直关系64§5 简单⼏何体的⾯积与体积66§6 空间向量及其运算68§7 ⽴体⼏何中的向量⽅法707.1 证明平⾏与垂直707.2 求空间⾓和距离72专题9 平⾯解析⼏何74§1 直线的⽅程74§3 圆的⽅程78§4 直线与圆、圆与圆的位置关系80§5 椭圆82§6 抛物线84§7 双曲线86§8 曲线与⽅程88§9 圆锥曲线的综合问题90专题10 计数原理99§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理99§2 排列与组合100§3 ⼆项式定理102专题11 统计与统计案例104§1 随机抽样104§2 统计图表、⽤样本估计总体106§3 变量间的相关关系、统计案例108专题12 概率、随机变量及其分布110§1 随机事件的概率110§2 古典概型113§3 ⼏何概型115§4离散型随机变量及其分布列116§5 ⼆项分布及其应⽤118§6离散型随机变量的均值与⽅差、正态分布120专题13 推理与证明、算法、复数122§1 归纳与类⽐122§2综合法与分析法、反证法124§3 数学归纳法126§4 算法与算法框图128§5 复数130专题14 系列4选讲132§1 ⼏何证明选讲1321.1 相似三⾓形的判定及有关性质1321.2 直线与圆的位置关系133§2 坐标系与参数⽅程1342.1 坐标系1342.2 参数⽅程135§3 不等式选讲1363.1 绝对值不等式1363.2 不等式的证明138专题1 集合与常⽤逻辑⽤语§1.1 集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、⽆序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，⽤符号∈或∉表⽰.(3)集合的表⽰法：列举法、描述法.(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系3.集合的运算4.集合关系与运算的常⽤用结论(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的⼦集个数为2n 个，⾮空⼦集个数为2n －1个，真⼦集有2n －1个. (2)A ⊆B A ∩B ＝A A ∪B ＝B . 典例例　设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x＋a 2－1＝0，x ∈R }.若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________.易易错分析　集合B 为⽅方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的实数根所构成的集合，由B ⊆A ，可知集合B 中的元素都在集合A 中，在解题中容易易忽视⽅方程⽆无解，即B ＝∅的情况，导致漏漏解. 解析　因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是⽅方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关集合⾃然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋(或N *)ZQR关系⾃然语⾔符号语⾔Venn 图⼦集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，则x ∈B )A ⊆B (或 B=A )真⼦集集合A 是集合B 的⼦集，且集合B 中⾄少有⼀个元素不在集合A 中A ⊊B集合相等集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为⼦集A ＝B集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.遗忘空集致误解得a＝1；②当B≠∅且B A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满⾜足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.答案　(－∞，－1]∪{1}温馨提醒　(1)根据集合间的关系求参数是⾼考的⼀个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则考⽣很容易忽视A＝∅⽽造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进⾏讨论.[⽅方法与技巧]1.集合中的元素的三个特征，特别是⽆无序性和互异性在解题时经常⽤用到.解题后要进⾏行行检验，要重视符号语⾔言与⽂文字语⾔言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进⾏行行合理理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的⼜又⼀一体现.[失误与防范]1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.2.空集是任何集合的⼦子集，是任何⾮非空集合的真⼦子集，时刻关注对空集的讨论，防⽌止漏漏解.3.解题时注意区分两⼤大关系：⼀一是元素与集合的从属关系；⼆二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进⾏行行集合交、并、补运算的常⽤用⽅方法，其中运⽤用数轴图示法时要特别注意端点是实⼼心还是空⼼心.§2 命题及其条件、充分条件与必要条件1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.思想与⽅法系1.等价转化思想在充要条件中的应⽤列典例例　(1)已知p：(a－1)2≤1，q：任意x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成⽴的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且┐q的⼀个充分不必要条件是┐p，则a的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析　(1)由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，∴p：0≤a≤2.当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对任意x∈R恒成⽴立；当a≠0时，由得0<a≤4，∴q：0≤a≤4.∴p是q成⽴立的充分不不必要条件.(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由┐q的⼀个充分不必要条件是┐p，可知┐p是┐q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.∴{x|x>a}⊊{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.答案　(1)A　(2)A温馨提醒　(1)本题⽤到的等价转化①将┐p，┐q之间的关系转化成p，q之间的关系.②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.(2)对⼀些复杂、⽣疏的问题，利⽤等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常⽤到.[⽅方法与技巧]1.写出⼀一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的⼏几种判断⽅方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利利⽤用A B与┐B ┐A；B A与┐A ┐B；A B与┐B ┐A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，⼀一般运⽤用等价法.(3)利利⽤用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A⊊B，则p是q的充分不不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.[失误与防范]1.当⼀一个命题有⼤大前提⽽而要写出其他三种命题时，必须保留留⼤大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，⼀一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的⽅方向，正确理理解“p的⼀一个充分⽽而不不必要条件是q”等语⾔言.§3 简单的逻辑连接词、全称量量词与存在量量词1.全称量量词与存在量量词(1)常见的全称量词有“所有”“每⼀个”“任何”“任意⼀条”“⼀切”等.(2)常见的存在量词有“有些”“⾄少有⼀个”“有⼀个”“存在”等.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.3.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定：┐p且┐q；p且q的否定：┐p或┐q.4.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“⾮”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表：p q┐p┐q p或q p且q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假1.常⽤逻辑⽤语及其应⽤⼀一、命题的真假判断典例例　已知命题p：存在x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成⽴，则－4<m<0，那么( )A.“┐p”是假命题B.q是真命题C.“p或q”为假命题D.“p且q”为真命题解析　由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x2＋1≥2x，所以p为假命题；对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成⽴立，所以命题q为假命题.综上可知：┐p为真命题，p且q为假命题，p或q为假命题，故选C.答案　C温馨提醒　判断与⼀元⼆次不等式有关命题的真假，⾸先要分清是要求解⼀元⼆次不等式，还是要求⼀元⼆次不等式恒成⽴(有解、⽆解)，然后再利⽤逻辑⽤语进⾏判断.⼆二、求参数的取值范围典例例　已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________.解析　若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案　[e,4]温馨提醒　含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要⾸先考虑简单命题为真时参数的范围.三、利利⽤用逻辑推理理解决实际问题典例例　(1)甲、⼄、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市⽐⼄多，但没去过B城市；⼄说：我没去过C城市；丙说：我们三⼈去过同⼀城市.由此可判断⼄去过的城市为________.(2)对于中国⾜球参与的某次⼤型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国⾮第⼀名，也⾮第⼆名；⼄：中国⾮第⼀名，⽽是第三名；丙：中国⾮第三名，⽽是第⼀名.竞赛结束后发现，⼀⼈全猜对，⼀⼈猜对⼀半，⼀⼈全猜错，则中国⾜球队得了第________名.解析　(1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但⽐比⼄乙去的城市多，⽽而丙说“三⼈人去过同⼀一城市”，说明甲去过A ，C 城市，⽽而⼄乙“没去过C 城市”，说明⼄乙去过城市A ，由此可知，⼄乙去过的城市为A .(2)由上可知：甲、⼄乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对⼀一半者也说了了错误“命题”，即只有⼀一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国⾜足球队得了了第⼀一名. 答案　(1)A (2)⼀温馨提醒　在⼀些逻辑问题中，当字⾯上并未出现 “或”“且”“⾮”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题⽬进⾏逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从⽽解决问题.[⽅方法与技巧]1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字⾯面上未出现“或”、“且”时，要结合语句句的含义理理解.2.要写⼀一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律律是“改量量词，否结论”. [失误与防范]1.p 或q 为真命题，只需p 、q 有⼀一个为真即可；p 且q 为真命题，必须p 、q 同时为真.2.两种形式命题的否定p 或q 的否定：⾮非p 且⾮非q ；p 且q 的否定：⾮非p 或⾮非q . 3.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定⽽而得到的命题，它既否定其条件，⼜又否定其结论；“命题的否定”即“⾮非p ”，只是否定命题p 的结论.专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ§1 函数及其表示1.函数与映射2.函数的有关概念函数映射两集合 A 、B设A ，B 是两个⾮空数集设A ，B 是两个⾮空集合对应关系 f ：A →B 如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都存在唯⼀确定的数f (x )与之对应集合A 与B 间存在着对应关系f ，⽽且对于A 中的每⼀个元素x ，B 中总有唯⼀的⼀个元素y 与它对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的⼀个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的⼀个映射记法y ＝f (x )(x ∈A )对应f ：A →B 是⼀个映射(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作⾃变量，集合A 叫作函数的定义域，集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域. (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域. (3)函数的表⽰法表⽰函数的常⽤⽅法有列表法、图像法和解析法. 3.分段函数若函数在其定义域的不同⼦集上，因对应关系不同⽽分别⽤⼏个不同的式⼦来表⽰，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由⼏个部分组成，但它表⽰的是⼀个函数. 4.常⻅见函数定义域的求法典例例　(1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成⽴的x 的取值范围是________. (2)(2015·⼭山东)设函数f (x )＝则满⾜f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A. B.[0,1] C. D.[1, ＋∞) 解析　(1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.当x ≥1时，≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8].(2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥，∴≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥，故选C.答案　(1)(－∞，8]　(2)C温馨提醒　(1)求分段函数的函数值，⾸先要确定⾃变量的范围，然后选定相应关系式代⼊求解.(2)当给出函数值或函数值的取值范围求⾃变量的值或⾃变量的取值范围时，应根据每⼀段解析式分别求解，但要注意检验所求⾃变量的值或取值范围是否符合相应段的⾃变量的值或取值范围. (3)当⾃变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同⼦集进⾏分类讨论.[⽅方法与技巧]类型x 满⾜的条件，n ∈N ＋f (x )≥0与[f (x )]0f (x )≠0log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x )f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋，k ∈Z2.分类讨论思想在函数中的应⽤1313x2.定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进⾏行行.3.函数解析式的⼏几种常⽤用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.4.分段函数问题要分段求解. [失误与防范]1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数⽆无论分成⼏几段，都是⼀一个函数，求分段函数的函数值，如果⾃自变量量的范围不不确定，要分类讨论.§2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值典例例　(12分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨　(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能⽤用定义.应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0⽐比较⼤大⼩小.(2)将函数不不等式中的抽象函数符号“f ”运⽤用单调性“去掉”是本题的切⼊入点.要构造出f (M )<f (N )的形式. 规范解答(1)证明　设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分]f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分] ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0 f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数.[6分](2)解　∵m ，n ∈R ，不不妨设m ＝n ＝1，增函数减函数定义在函数f (x )的定义域内的⼀个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么，就称函数f (x )在区间A 上是增加的当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么，就称函数f (x )在区间A 上是减少的图像描述⾃左向右看图像是上升的⾃左向右看图像是下降的前提函数y ＝f (x )的定义域为D条件(1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M .(3)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (4)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M .结论M 为最⼤值M 为最⼩值1.确定抽象函数单调性解函数不等式∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1 f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4 f(2＋1)＝4 f(2)＋f(1)－1＝4 3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1 －3<a<2，即a∈(－3,2).[12分]解函数不不等式问题的⼀一般步骤：第⼀一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第⼆二步：(转化)将函数不不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运⽤用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成⼀一般的不不等式或不不等式组；第四步：(求解)解不不等式或不不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易易错点及解题规范.温馨提醒　本题对函数的单调性的判断是⼀个关键点.不会运⽤条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破⼜.第⼆个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.[⽅方法与技巧]1.利⽤定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常⽤⽅法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利⽤单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常⽤求法：单调性法、图像法、换元法.[失误与防范]1.分段函数单调性不不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点.2.函数在两个不不同的区间上单调性相同，⼀一般要分开写，⽤用“，”或“和”连接，不不要⽤用“∪”.§3 函数的奇偶性与周期性1.奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，⼀般都按照定义严格进⾏，⼀般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称.(2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既⾮奇⾮偶函数.3.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在⼀个⾮零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最⼩正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在⼀个最⼩的正数，那么这个最⼩正数就叫做f (x )的最⼩正周期.典例例　(1)若函数f (x )＝在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝则满⾜不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________. 易易错分析　(1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了了1－x 2>0导致解答失误. 解析　(1)∵f (－x )＝＝， ∴f (－x )＋f (x ) ＝＝.由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝的图像，由图像可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则即得x ∈(－1，－1).答案　(1)±1　(2)(－1，－1)温馨提醒　(1)已知函数的奇偶性，利⽤特殊值确定参数，要注意函数的定义域.(2)解决分段函数的单调性问题时，应⾼度关注：①对变量所在区间的讨论.②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的⼤⼩关系.③弄清最终结果取并集还是交集.[⽅方法与技巧]1.判断函数的奇偶性，⾸先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的⼀个必要条件.2.利⽤函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图像，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应⽤. [失误与防范]1.f (0)＝0既不不是f (x )是奇函数的充分条件，也不不是必要条件.应⽤用时要注意函数的定义域并进⾏行行检验.2.判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进⾏行行判断，不不可以利利⽤用函数在定义域某⼀一区间上不不是奇偶函数⽽而否定函数在整个定义域的奇偶性.§4 ⼆二次函数与幂函数1.⼆二次函数(1)⼆次函数解析式的三种形式 22.忽视定义域致误②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0). (2)⼆次函数的图像和性质 2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是⾃变量，α是常数. (2)幂函数的图像⽐较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图像过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 典例例　已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最⼩值.思维点拨　参数a 的值确定f (x )图像的形状；a ≠0时，函数f (x )的图像为抛物线，还要考虑开⼝口⽅方向和对称轴与所给范围的关系. 规范解答解　(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图像的开⼝口⽅方向向上，且对称轴为x ＝. ①当≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在[0，]上递减，在[，1]上递增. 解析式f (x)＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图像定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x ∈上单调递减；在x ∈上单调递增在x ∈上单调递增；在x ∈上单调递减对称性函数的图像关于x ＝－对称思想与⽅法系列3.分类讨论思想在⼆次函数最值中的应⽤②当>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图像的开⼝口⽅方向向下，且对称轴x ＝<0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2. 综上所述，f (x )min ＝温馨提醒　(1)本题在求⼆次函数最值时，⽤到了分类讨论思想，求解中既对系数a 的符号进⾏讨论，又对对称轴进⾏讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：⼀是分类的标准要⼀致，⼆是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不⽆原则的分类讨论.(2)在有关⼆次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进⾏分类讨论.[⽅方法与技巧]1.⼆二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜⽤用⼀一般式.(2)已知⼆二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最⼤大(⼩小)值有关的量量时，常使⽤用顶点式. (3)已知⼆二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选⽤用零点式求f (x )更更⽅方便便. 2.研究⼆二次函数的性质要注意： (1)结合图像分析；(2)含参数的⼆二次函数，要进⾏行行分类讨论. 3.利利⽤用幂函数的单调性⽐比较幂值⼤大⼩小的技巧在⽐比较幂值的⼤大⼩小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进⾏行行⽐比较.[失误与防范]1.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是⼆二次函数，就必须满⾜足a ≠0，当题⽬目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.2.幂函数的图像⼀一定会出现在第⼀一象限内，⼀一定不不会出现在第四象限，⾄至于是否出现在第⼆二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点⼀一定是原点.§5 指数与指数函数1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)幂的运算性质：a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，其中a >0，b >0，m ，n ∈R . 2．指数函数的图像与性质 (0),,m mn na a a m n +=>∈N m na −y ＝a x a >10<a <1图像典例例　(1)函数y ＝x －x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数的单调减区间为__________________________．思维点拨　(1)求函数值域，可利利⽤用换元法，设t ＝x ，将原函数的值域转化为关于t 的⼆二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进⾏行行探求．解析　(1)因为x ∈[－3,2]，所以若令t ＝x ，则t ∈，故y ＝t 2－t ＋1＝2＋.当t ＝时，y min ＝；当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数值域为. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝u 在R 上为减函数，∴函数的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．⼜又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]．答案　(1)　(2)(－∞，1]温馨提醒　(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利⽤换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[⽅方法与技巧]1．通过指数函数图像⽐较底数⼤⼩的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进⾏⽐较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，⼀定要分清a >1与0<a <1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合⽽成． [失误与防范]1．恒成⽴立问题⼀一般与函数最值有关，要与⽅方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，⼀一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的⽅方程或不不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．§6 对数与对数函数1.对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中 a 叫定义域(1)R 值域(2)(0，＋∞)性质(3)过点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1(6)是R 上的增函数(7)是R 上的减函数4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应⽤用2211()()2x x f x −++=2211()()2x x f x −++=作对数的底数， N 叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log am M n ＝log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (2)对数的性质①＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝ (a ，b 均⼤于零且不等于1)； ②log a b ＝，推⼴log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数的图像与性质4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图像关于直线 y ＝x 对称. 典例例　(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是( ) A.c b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a(3)已知a ＝，b ＝，c ＝，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b思维点拨　(1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或⽐比商法确定a ，b 的⼤大⼩小关系，然后利利⽤用中间值⽐比较a ，c ⼤大⼩小.(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利利⽤用中间变量量和c ⽐比较.(3)化为同底的指数式. 解析　(1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；log m n a M log a Na a >10<a <1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0当0<x <1时，y >0(6)是(0，＋∞)上的增函数(7)是(0，＋∞)上的减函数2.⽐比较指数式、对数式的⼤大⼩小12log π2log3.454log 3.653log 0.31()5。

2021版新高考数学(文科)一轮复习课后限时集训61 用样本估计总体

用样本估计总体建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8C[根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.]2．(2019·武汉模拟)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式．并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，本次抽查的学生中A类人数是()A．30 B．40 C．42 D．48A[由条形统计图知，B—自行乘车上学的有42人，C—家人接送上学的有30人，D—其他方式上学的有18人，采用B，C，D三种方式上学的共90人，设A—结伴步行上学的有x人，由扇形统计图知，A—结伴步行上学与B—自行乘车上学的学生占60%，所以x＋42x＋90＝60100，解得x＝30，故选A.]3．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是()A．323432B．334535C．344532D．333635B[由茎叶图知，该样本的众数为45，极差为47－12＝35，样本数据共有16个，从小到大排列，第8个数据为32，第9个数据为34，因此样本的中位数为33.故选B.]4.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为()A．10万元B．12万元C．15万元D．30万元D[9时至10时的销售额频率为0.1，因此9时至14时的销售总额为3 0.1＝30(万元)，故选D.]5．(2019·拉萨模拟)某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是10分，在答题过程中，各小队每答对1题加0.5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道，7道，7道，3道，则四个小队积分的方差为()A．0.5 B．0.75 C．1 D．1.25C[四个小队积分分别为11.5,13.5,13.5,11.5，平均数为11.5＋13.5＋13.5＋11.54＝12.5，故四个小队积分的方差为14×[(11.5－12.5)2×2＋(13.5－12.5)2×2]＝1，故选C.二、填空题6．从某企业的某种产品中抽取1 000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，假设这项指标在[185,215]内，则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为．79%[指标值在[185,215]内的频率为(0.022＋0.024＋0.033)×10＝0.79，故合格率为79%.]7．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行追踪调查的结果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10；乙：4,6,6,6,8,9,12,13；丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数．甲：；乙：；丙：.众数平均数中位数[甲厂数据的众数是8，乙厂数据的平均数是8，丙厂数据的中位数是8.]8．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为．367[由茎叶图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.]三、解答题9．某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：成绩分组频数频率平均分 [0,20) 3 0.015 16 [20,40) a b 32.1 [40,60) 25 0.125 55 [60,80) c 0.5 74 [80,100]620.3188(1)求a ，b ，c (2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P (注：60分及60分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分．[解] (1)由题意可得，b ＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05， a ＝200×0.05＝10，c ＝200×0.5＝100.(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．所以P＝162200＝0.81.(3)这次数学测验样本的平均分为x＝16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62200＝73，所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．10．(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7) 频数1324926 5日用水量[0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) 频数15131016 5(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)[解](1)如图所示．(2)根据题表中数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x－1＝150(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x－2＝150(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．1．(2019·济南模拟)随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是()A．该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半B．该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当C．该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍D．该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍C[设该家庭2014年全年收入为a，则2018年全年收入为2a.对于A,2018年食品消费额为0.2×2a＝0.4a,2014年食品消费额为0.4a，故两者相等，A不正确．对于B,2018年教育医疗消费额为0.2×2a＝0.4a,2014年教育医疗消费额为0.2a，故B不正确．对于C,2018年休闲旅游消费额为0.25×2a＝0.5a,2014年休闲旅游消费额为0.1a，故C正确．对于D,2018年生活用品的消费额为0.3×2a ＝0.6a,2014年生活用品的消费额为0.15a，故D不正确．]2．(2019·泉州质检)已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为s2，则()A.x＝70，s2＜75B.x＝70，s2＞75C.x＞70，s2＜75D.x＜70，s2＞75A[由题意，可得x＝70×50＋80－60＋70－9050＝70，设收集的48个准确数据分别记为x1，x2， (x48)则75＝150[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x48－70)2＋(60－70)2＋(90－70)2]＝150[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x48－70)2＋500]s2＝150[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x48－70)2＋(80－70)2＋(70－70)2]＝150[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x48－70)2＋100]＜75，所以s2＜75.故选A.3．已知数据x1，x2，…，x n的平均数x＝5，方差s2＝4，则数据3x1＋7,3x2＋7，…，3x n＋7的平均数为，标准差为．226[数据3x1＋7,3x2＋7，…，3x n＋7的平均数为3×5＋7＝22，方差为32×4＝36，则标准差为6.]4．某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表：质量指标值M M＜8080≤M＜110M≥110等级三等品二等品一等品M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．(1)记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率；(2)已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10 000件该产品的利润；(3)根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值．(精确到0.01)[解](1)记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，且由频率分布直方图估计P(B)＝0.2＋0.3＋0.15＝0.65，P(C)＝0.1＋0.09＝0.19，又P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.84，所以事件A 的概率估计为0.84.(2)由(1)知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19,0.65，故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16，从而10 000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1 900,6 500,1 600件，故利润估计为1 900×10＋6 500×6＋1 600×2＝61 200元． (3)因为在产品质量指标值M 的频率分布直方图中，质量指标值M ＜90的频率为0.06＋0.1＋0.2＝0.36＜0.5，质量指标值M ＜100的频率为0.06＋0.1＋0.2＋0.3＝0.66＞0.5，故质量指标值M 的中位数估计值为90＋0.5－0.360.03≈94.67.1．(2019·郑州模拟)某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则4x ＋2y 的值是( )A ．12B ．14C ．16D ．18A [因为中位数为12，所以x ＋y ＝4，数据的平均数为110×(2＋2＋3＋4＋x ＋y ＋20＋19＋19＋20＋21)＝11.4，要使该总体的标准差最小，即方差最小，所以(10＋x －11.4)2＋(10＋y －11.4)2＝(x －1.4)2＋(y －1.4)2≥2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －2.822＝0.72，当且仅当x －1.4＝y －1.4，即x ＝y ＝2时取等号，此时总体标准差最小，4x＋2y＝12，故选A.]2．随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某“共享自行车”运营公司为了了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了40名用户，得到用户的满意度评分如下：到的评分数据为92.(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据；(2)计算所抽到的10个样本的均值x和方差s2；(3)在(2)的条件下，若用户的满意度评分在(x－s，x＋s)之间，则满意度等级为“A级”．试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？(精确到0.1%)参考数据：30≈5.48，33≈5.74，35≈5.92.[解](1)由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据分别为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.(2)由(1)中样本的评分数据可得x＝110(92＋84＋86＋78＋89＋74＋83＋78＋77＋89)＝83，则有s2＝110[(92－83)2＋(84－83)2＋(86－83)2＋(78－83)2＋(89－83)2＋(74－83)2＋(83－83)2＋(78－83)2＋(77－83)2＋(89－83)2]＝33(3)由题意知用户的满意度评分在(83－33，83＋33)即(77.26,88.74)之间满意度等级为“A级”．由(1)中样本容量为10的样本评分在(77.26,88.74)之间的用户有5人，则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为510×100%＝50.0%.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2021版新高考数学(文科)一轮复习课后限时集训54 双曲线

双曲线建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·北京高考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率是5，则a ＝( ) A.6 B ．4 C ．2 D.12 D [由双曲线方程可得c 2＝a 2＋1，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2＝5，解得a 2＝14.又a ＞0，所以a ＝12，故选D.]2．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32xA [因为双曲线的离心率为3，所以ca ＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以y ＝±2x .故选A]3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝( )A ．1B ．13C ．17D ．1或13B [由题意知双曲线x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，可得4a ＝43，解得a ＝3，所以c ＝a 2＋b 2＝5.又由F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝7，可得点P 在双曲线的左支上，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，可得|PF 2|＝13.故选B.]4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2D [法一：由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.法二：离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.]5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1D [不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，3)，所以b a ＝3，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D.]二、填空题6．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝ .5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.]7．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是．y ＝±2x [由双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3,4)，得9－16b 2＝1，解得b ＝±2，又b ＞0，所以b ＝2，易知双曲线的焦点在x 轴上，故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .]8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为．2 [双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点F (c,0)到渐近线的距离d ＝|bc |b 2＋a2＝b .∴b ＝32c ，∴a ＝c 2－b 2＝12c ，∴e ＝ca ＝2.]三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9.双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．[解] 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3， ∴|5a |b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. [解] (1)∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1.(2)证明：法一：由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.1．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°D [由题意可得－ba ＝tan 130°，所以e ＝1＋b 2a 2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos 130°|＝1cos 50°.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324B.322 C ．2 2D ．3 2A [不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.]3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ .2 [由OA ，OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.]4．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．[解] (1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎨⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.1．如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2xB [∵|NF 1|＝2|MF 1|， ∴M 为NF 1的中点，又OM ⊥F 1N ，∴∠F 1OM ＝∠NOM ，又∠F 1OM ＝∠F 2ON ，∴∠F 2ON ＝60°，∴双曲线C 的渐近线的斜率k ＝±tan 60°＝±3，即双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .故选B.]2．双曲线C 的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且双曲线C 过点(22，1)． (1)求双曲线C 的方程；(2)设双曲线C 的左、右顶点分别是A 1，A 2，P 为C 上任意一点，直线P A 1，P A 2分别与直线l ：x ＝1交于M ，N ，求|MN |的最小值．[解] (1)由渐近线方程可设双曲线C 的方程为x 2－4y 2＝k (k ≠0)，把(22，1)代入可得k ＝4，所以双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1.(2)由题易知，P 在右支上时|MN |取最小值．由(1)可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，根据双曲线方程可得yx －2·y x ＋2＝14，设P (x ，y )，直线P A 1，P A 2的斜率分别为k 1，k 2(k 1，k 2＞0)，则k 1k 2＝14， P A 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)，令x ＝1，得M (1,3k 1)， P A 2的方程为y ＝k 2(x －2)，令x ＝1，得N (1，－k 2)，所以|MN |＝|3k 1－(－k 2)|＝3k 1＋k 2≥23k 1k 2＝3，当且仅当3k 1＝k 2，即k 1＝36，k 2＝32时，等号成立．故|MN |的最小值为 3.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2021年高三数学晚间训练(02) Word版含答案

2021年高三数学晚间训练（02） Word版含答案编写：李伟班级：姓名：1.复数，若复数的虚部为0，则的取值为2.已知函数，若对任意恒成立，则3.在高为，底面半径为的圆柱体中截取一个圆锥，其中圆锥的底面是圆柱的下底面，圆锥的顶点为圆柱的上底面的圆心，若得到的圆锥的侧面积与圆柱的侧面积相等，则的值为4.已知非零向量与满足，若，则向量与夹角余弦值的取值范围为5.已知函数，若曲线在点处的切线过原点，则实数的取值为6.设满足约束条件，则目标函数的取值范围为7.已知等差数列的首项为，公差为-4，是其前项和，若存在，使得，则的最小可能值为8.已知函数，若方程（）有且仅有两个不相等的实根，求实数的取值范围9.如图，已知城市周边有两个乡镇和，其中乡镇位于城市的正东方向处，乡镇与城市相距，与夹角的正切值为2. 为方便交通，现准备建设一条经过城市的公路，使乡镇和分别位于的两侧.过和建设两条垂直于的公路和，分别与公路交汇于两点.（1）当两个交汇点重合时，试确定路段的长度；（2）若，计算此时两个交汇点到城市的距离之比；（3）若要求两个交汇点之间的距离不超过，求角正切值的取值范围.10.如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为的中点，点为椭圆上任意两动点（异于），直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点. 当直线与轴垂直且在轴下方时，点的坐标为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若动点满足,证明：.11.已知各项均为正数且公比的等比数列，为其前项和.(1)若,求证：；(2)若数列有最大项，求公比的取值范围；(3)试判断是否存在，使得在等比数列中可以取出无穷多项组成等差数列，若存在，求出需要满足的条件；若不存在，请说明理由。

xx届高三数学晚间训练（02）答案1.-62.3.4.5.e6.7. 158.9.以为原点，方向为轴建立平面直角坐标系，因为易得，设直线的方程为，（1）若两个交汇点重合，则公路共线，连线的斜率为,又因为此时,所以直线的斜率为，有点到直线距离公式：.（2）由可得，解得，即，此时,从而.（3）因为，所以，又因为，且，所以，所以，令，解得.答：（1），（2），(3).10.(1)(2)设，且令,由，且,易得，分贝将带入椭圆方程，化简可得)()211121220x yλλλλ++++--=，)()222121220x yλλλλ++++--=)()2121220x yλλλλ++++--=，所以.从而有11.(1)由可得()()1111111111k m k m m ka q a q q a q a q qq q q---->=---即，故，原命题得证.(2)由（1）易知与正负情况相同.设，则()21112123212,n n n nn n n n nS S S q ST T n n Nq q q---+-----=-=≥∈要判断的正负，只需要判断正负即可,又.①当时，对恒成立.即对恒成立.故数列无最大项，不符题意.②当，且取时，即当时，均有成立，故数列必存在最大项.综上，公比的取值范围为.(3)假设在等比数列中可以取出无穷多项组成等差数列，不妨取公差为①当时，显然有对恒成立，设组成的等差数列首项为，此时取正整数，则当时，均有，即等差数列到第项均不在数列中.②当时，显然有对恒成立.此时取正整数，则当时，均有，即当时不存在两项差为. 故在等比数列中不可取出无穷多项组成等差数列；综上，不存在，使得在等比数列中可以取出无穷多项组成等差数列. d31880 7C88 粈31965 7CDD 糝_X37238 9176 酶 P38940 981C 頜21695 54BF 咿M23843 5D23 崣 27053 69AD 榭。

(福建专版)2021高考数学一轮复习课时规范练45双曲线文

课时标准练45 双曲线根底稳固组1.双曲线x2x2−x23=1(a>0)的离心率为2,那么a=()A.2B.√62C.√52 D.12.(2021辽宁抚顺重点校一模,文8)当双曲线M:x2x2−x22x+6=1(-2≤m<0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为()A.y=±√2xB.y=±√22xC.y=±2xD.y=±12x〚导学号24190785〛3.(2021河南濮阳一模,文11)双曲线x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,假设∠AF2B<π3,那么双曲线离心率的取值范围是()A.(1,√3)B.(1,√6)C.(1,2√3)D.(√3,3√3)4.双曲线x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,那么双曲线的方程为()A.x29−x213=1B.x213−x29=1C.x23-y2=1D.x2-x23=15.M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.假设xx1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,那么y0的取值范围是()A.(-√33,√33)B.(-√36,√36)C.(-2√23,2√23)D.(-2√33,2√33)6.(2021河北武邑中学一模,文6)双曲线x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),那么此双曲线的方程为()A.x216−x29=1B.x23−x24=1C.x29−x216=1D.x24−x23=17.(2021天津,文5)双曲线x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),那么双曲线的方程为()A.x24−x212=1B.x212−x24=1C.x23-y2=1D.x2-x23=18.(2021安徽淮南一模,文11)点F1,F2是双曲线C:x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,那么双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,+∞)B.[√102,+∞)C.(1,√102]D.(1,52]〚导学号24190786〛9.(2021辽宁大连一模,文15)过双曲线x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,那么双曲线的离心率为.10.方程x2x2+x −x23x2-x=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,那么n的取值范围是.11.(2021江苏无锡一模,8)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线x2x2−x23=1的右焦点,那么双曲线的离心率为.综合提升组12.(2021辽宁沈阳一模,文5)设F1和F2为双曲线x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的两个焦点,假设F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,那么双曲线的渐近线方程是()A.y=±√33xB.y=±√3xC.y=±√217xD.y=±√213x13.(2021广西桂林一模,文11)双曲线C:x2x2−x2x2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),圆F:(x-c)2+y2=c2,直线l与双曲线C的一条渐近线垂直且在x轴上的截距为23a.假设圆F被直线l所截得的弦长为4√23c,那么双曲线的离心率为()A.43B.53C.2D.3〚导学号24190787〛14.(2021河北张家口4月模拟,文12)A ,B 为双曲线x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,F 1,F 2为其左、右焦点,双曲线的渐近线上一点P (x 0,y 0)(x 0<0,y 0>0)满足xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且∠PBF 1=45°,那么双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√3C.√5+12D.√515.(2021江苏,8)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 23-y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是F 1,F 2,那么四边形F 1PF 2Q 的面积是 .16.(2021山东,文15)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x 2x 2−x 2x2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py (p>0)交于A ,B 两点,假设|AF|+|BF|=4|OF|,那么该双曲线的渐近线方程为 .创新应用组17.(2021石家庄二中模拟,文12)直线l 1与双曲线C :x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)交于A ,B 两点,且AB 中点M 的横坐标为b ,过点M 且与直线l 1垂直的直线l 2过双曲线C 的右焦点,那么双曲线的离心率为( ) A.1+√52B.√1+√52C.1+√32D.√1+√32〚导学号24190788〛18.(2021湖北武昌1月调研,文11)F 1,F 2是椭圆与双曲线的公共焦点,M 是它们的一个公共点,且|MF 1|>|MF 2|,线段MF 1的垂直平分线过点F 2,假设椭圆的离心率为e 1,双曲线的离心率为e 2,那么2x 1+x 22的最小值为( )A.6B.3C.√6D.√3 答案： 1.D 由得√x 2+3x=2,且a>0,解得a=1,应选D .2.C 由题意,c 2=m 2+2m+6=(m+1)2+5,当m=-1时,焦距2c 取得最小值,那么双曲线的方程为x 2-x 24=1,其渐近线方程为y=±2x.3.A 由题意,将x=-c 代入双曲线的方程,得y 2=b 2(x 2x 2-1)=x 4x 2,∴|AB|=2x 2x.∵过焦点F 1且垂直于x 轴的弦为AB ,∠AF 2B<π3, ∴tan ∠AF 2F 1=x 2x2x <√33,e=x x>1. ∴x 2-x 22xx<√33,12e-12x<√33. 解得e ∈(1,√3),应选A . 4.D由题意知,双曲线x 2x2−x 2x2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±xx x.因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y 2=3相切, 所以2|x x|√1+(x)2=√3,解得b 2=3a 2. 又因为c 2=a 2+b 2=4, 所以a 2=1,b 2=3.故所求双曲线的方程为x 2-x 23=1.5.A 由条件知F 1(-√3,0),F 2(√3,0),∴xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3-x 0,-y 0),xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3-x 0,-y 0), ∴xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+x 02-3<0.①又x 022−x 02=1,∴x 02=2x 02+2.代入①得x 02<13,∴-√33<y 0<√33.6.C ∵点(3,4)在以|F 1F 2|为直径的圆上,∴c=5,可得a 2+b 2=25.① 又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y=xx x 上,∴xx =43.②①②联立解得a=3,b=4,可得双曲线的方程为x 29−x 216=1.7.D ∵双曲线x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F (c ,0),点A 在双曲线的渐近线上,且△OAF 是边长为2的等边三角形,不妨设点A 在渐近线y=xx x 上,∴{x =2,x x =tan60°,x 2+x 2=x 2,解得{x =1,x =√3.∴双曲线的方程为x 2-x 23=1.应选D .8.C 由|F 1F 2|=2|OP|,可得|OP|=c ,那么△PF 1F 2为直角三角形,且PF 1⊥PF 2,可得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,由双曲线定义可得|PF 1|-|PF 2|=2a.又|PF 1|≥3|PF 2|,所以|PF 2|≤a , 所以(|PF 2|+2a )2+|PF 2|2=4c 2, 化为(|PF 2|+a )2=2c 2-a 2, 即有2c 2-a 2≤4a 2,可得c ≤√102a , 由e=x x >1可得1<e ≤√102, 应选C .9.√2 由题意,所给直线应与双曲线的一条渐近线y=x x x 平行,∴xx =1,即x 2-x 2x 2=1. 解得e 2=2,故答案为√2.10.(-1,3) 因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m 2+n+3m 2-n=4,解得m 2=1.又由方程表示双曲线得(1+n )(3-n )>0,解得-1<n<3,应选A . 11.2 抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0),那么双曲线x 2x 2−x 23=1的右焦点为(2,0),即有c=√x 2+3=2,解得|a|=1,所以双曲线的离心率为e=x|x |=2. 故答案为2.12.B ∵F 1,F 2,P (0,2b )是正三角形的三个顶点,设F 1(-c ,0),F 2(c ,0),那么|F 1P|=√x 2+4x 2,∴√x 2+4x 2=2c.∴c 2+4b 2=4c 2, ∴c 2+4(c 2-a 2)=4c 2.∴c 2=4a 2,即c=2a ,b=√x 2-x 2=√3a.∴双曲线的渐近线方程为y=±xx x ,即为y=±√3x.应选B .13.C 由题意,设直线l 的方程为y=-xx (x -23x ),即xx x+y-2x 23x =0,∵圆F 被直线l 所截得的弦长为4√23c ,∴圆心到直线的距离d=|xx x -2x 2x|√2x2+1=√x 2-(2√23x )2.∴e 2-3e+2=0. ∵e>1,∴e=2,应选C .14.D ∵满足xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PF 1⊥PF 2. ∴|PO|=12|F 1F 2|=c.由双曲线的渐近线方程y=-xx x ,将点P (x 0,y 0)代入得bx 0+ay 0=0.① 又在Rt △PAO 中,|PA|2+|AO|2=|PO|2,即x 02+x 02=c 2.②联立①②解得P (-a ,b ), 那么PA ⊥AB. 又∠PBF 1=45°,那么|PA|=|AB|,即有b=2a , 可得c=√x 2+x 2=√5a , 那么e=xx =√5. 应选D .15.2√3 该双曲线的右准线方程为x=√10=3√1010,两条渐近线方程为y=±√33x ,得P (3√1010,√3010),Q (3√1010, -√3010), 又c=√10,所以F 1(-√10,0),F 2(√10,0),四边形F 1PF 2Q 的面积S=2√10×√3010=2√3. 16.y=±√22x 抛物线x 2=2py 的焦点F (0,x 2),准线方程为y=-x2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 那么|AF|+|BF|=y 1+x2+y 2+x2=y 1+y 2+p=4|OF| =4·x2=2p.所以y 1+y 2=p.联立双曲线与抛物线方程得{x 2x 2-x 2x 2=1,x 2=2xx ,消去x ,得a 2y 2-2pb 2y+a 2b 2=0. 所以y 1+y 2=2xx 2x 2=p ,所以x 2x2=12.所以该双曲线的渐近线方程为y=±√22x. 17.B 解法一:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (b ,y M ),由{x 12x 2-x 12x 2=1,x 22x 2-x 22x 2=1,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)x 2−(x 1-x 2)(x 1+x 2)x 2=0,又{x 1-x 2x 1-x 2=x x 1=-1x x 2=x -xx x,x 1+x 2=2x ,x 1+x 2=2x x ,代入上式得a 2=bc ,即a 4=(c 2-a 2)c 2,有e 4-e 2-1=0,得e=√1+√52.解法二:设M (b ,d ),那么k OM =xx ,那么由双曲线中点弦的斜率公式k AB ·k OM =x 2x 2,得k AB =x 3x 2x ,∵过点M 且与直线l 1垂直的直线l 2过双曲线C 的右焦点, ∴x x 2=k MF =xx -x ,k AB ·x x 2=-1,即x 3x 2x ·xx -x =-1,化简得bc=a 2.∴√x 2-x 2·c=a 2,e 4-e 2-1=0,e=√1+√52.18.A 设椭圆方程为x 2x 12+x 2x 12=1(a 1>b 1>0),双曲线方程为x 2x 22−x 2x 22=1(a 2>0,b 2>0).∵线段MF 1的垂直平分线过点F 2,∴|F 1F 2|=|F 2M|=2c.又|F1M|+|F2M|=2a1,|F1M|-|F2M|=2a2, ∴|F1M|+2c=2a1,|F1M|-2c=2a2.两式相减得a1-a2=2c,∴2x1+x22=2x1x+x2x2=4x1x2+x22xx2=4(2x+x2)x2+x22xx2=4+2x2x +x2x2≥4+2=6,当且仅当2x1x =x2x2时等号成立,∴2x1+x22的最小值为6.。

2021年高考数学一轮复习综合测试文

2021年高考数学一轮复习综合测试文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·沈阳质监)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,5}，则(∁U A)∪B＝( )A．{3,5} B．{3,4,5}C．{2,3,4,5} D．{1,2,3,4}解析：依题意得∁U A＝{3,4,5}，则(∁U A)∪B＝{2,3,4,5}，选C.答案：C2．(xx·东北三校模拟)已知复数z＝－12＋32i，则z＋|z|＝( )A．－12－32i B．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i解析：∵z＝－12－32i，|z|＝1，∴z＋|z|＝12－32i，故选D.答案：D3．(xx·大连双基测试)已知向量|a|＝1，|b|＝2，a，b＝π3，则|a＋b|为( )A．9 B．7C ．3D.7解析：依题意得，|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝5＋2×1×2×co sπ3＝7，选D. 答案：D4．(xx·唐山统考)在公比大于1的等比数列{a n }中，a 3a 7＝72，a 2＋a 8＝27，则a 12＝( ) A ．96 B ．64 C ．72D ．48解析：∵a 3a 7＝a 2a 8＝72，a 2＋a 8＝72，∴a 2，a 8为方程x 2－27x ＋72＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝24，a 8＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3a 8＝24，又公比大于1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3a 8＝24，∴q 6＝8即q 2＝2，∴a 12＝a 2q10＝3×25＝96.答案：A5．已知中心在原点的双曲线C 的左焦点为F (－3,0)，离心率为32，则双曲线C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：依题意双曲线中c ＝3，e ＝32，所以a ＝2，从而a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝5，故选B.答案：B6．(xx·东北三校一模)直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题： ①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ∥β，α∥β，则m ∥α； ③若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由空间直线与平面平行关系可知①正确；由空间直线与平面平行关系可知②正确；由线面垂直，线面平行的判定和性质可知③正确；由线面垂直，面面垂直可知④正确．故选D.答案：D7．(xx·山西忻州市联考)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A.572B ．27C ．26D ．28 解析：由几何体的三视图知，该几何体是一个正方体与一个三棱锥的组合体，因此其体积V ＝33＋13×12×32×1＝27＋32＝572.答案：A8．(xx·郑州质量预测)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元) 4 5 6 7 8 9 销量y (件)908483807568由表中数据，求得线性回归方程为y ＝－4x ＋a .若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )A.16B.13C.12D.23解析：由表中数据得x ＝6.5，y ＝80，由y ＝－4x ＋a 得a ＝106，故线性回归方程为y ^＝－4x ＋106.将(4,90)，(5,84)，(6,83)，(7,80)，(8,75)，(9,68)分别代入回归方程可知有6个基本事件，因84<－4×5＋106＝86,68<－4×9＋106＝70，故(5,84)和(9,68)在直线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为26＝13，选B.答案：B9．运行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A．55 B．－55 C．45 D．－45解析：由题意得，输出的S＝12－22＋32－42＋52－62＋72－82＋92＝45.故选C.答案：C10．(xx·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B．16π C．9π D.27π4解析：如图，正四棱锥P－ABCD的底面中心为H. 在底面正方形ABCD中，AH＝22AB＝2，又PH＝4，故在Rt△PAH中，PA＝PH2＋AH2＝42＋22＝3 2.则由正四棱锥的性质可得，其外接球的球心O在PH所在的直线上，设其外接球的直径为PQ ＝2r .又A 在正四棱锥外接球的表面上，所以AP ⊥AQ .又AH ⊥PH ，由射影定理可得PA 2＝PH ×PQ ，故2r ＝PQ ＝PA 2PH ＝3224＝92，所以r ＝94.故该球的表面积为S ＝4πr 2＝4π942＝81π4，故选A.答案：A11．(xx·合肥一模)已知实系数一元二次方程x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1＝0的两个实根为x 1，x 2，且0<x 1<1，x 2>1，则ba的取值范围是( )A ．－1，－12B ．－1，－12C ．－2，－12D ．－2，－12解析：方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的二次项系数为1>0，故函数f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b 的图象开口向上，又方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根满足0<x 1<1<x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b >02a ＋b ＋3<0，其对应的平面区域如图中阴影部分所示，∵ba表示阴影区域内一点与原点连线的斜率，由图可知b a ∈－2，－12.故选D.答案：D12．(xx·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，当a ＝0时，不满足题意．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a，当a >0时，f (x )在(－∞，0)，2a ，＋∞上单调递增，在0，2a上单调递减．又f (0)＝1，此时f (x )在(－∞，0)上存在零点，不满足题意；当a <0时，f (x )在－∞，2a ，(0，＋∞)上单调递减，在2a，0上单调递增，要使f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则需f 2a >0，即a ×2a 3－3×2a2＋1>0，解得a <－2，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0g x ，x <0是奇函数，则g (x )＝__________.解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x <0时，解析式为－f (x )＝2(－x )－3，即g (x )＝2x ＋3.答案：2x ＋314．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是__________．解析：设圆心为(a ，b )(a ，b >0)，由与x 轴相切得b ＝1，由与直线4x －3y ＝0相切得|4a －3|5＝1，得a ＝2，所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝115．(xx·重庆卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 解析：把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin 12x ＋π6的图象，所以f π6＝sin 12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案：2216．(xx·甘肃兰州、张掖联考)如下图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D ，则|BF |＝|BD |， ∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |， ∴∠BCD ＝30°，又∵|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x . 答案：y 2＝3x三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(12分)(xx·陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin (A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin (A ＋C )． (2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 18．(12分)如图是根据部分城市某年9月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.45,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11.(1)求抽取的样本个数和样本数据的众数；(2)若用分层抽样在数据组[21.5,22.5)和[25.5,26.5]中抽取5个城市，求在这5个城市中恰好抽到2个城市在同一组中的概率．解：(1)设抽取的样本个数为N ，依题意有11N＝(0.10＋0.12)×1，解得N ＝50，由图知样本数据的众数为23.5＋24.52＝24，所以抽取的样本个数为50，样本数据的众数为24.(2)由图知气温数据组[21.5,22.5)与[25.5,26.5]的概率比为0.120.18＝23，又用分层抽样共抽取5个城市，所以在[21.5,22.5)中抽取5×25＝2个城市，不妨设为甲，乙；在[25.5,26.5]中抽取5×35＝3个城市，不妨设为A ，B ，C .于是在这5个城市中抽到的2个城市有：甲乙，甲A ，甲B ，甲C ，乙A ，乙B ，乙C ，AB ，AC ，BC ，共10种情况， 2个城市在同一组中的有甲乙，AB ，AC ，BC ，共4种情况．所以在这5个城市中恰好抽到2个城市在同一组中的概率P ＝410＝25.19．(12分)(xx·延边质检)如图，在体积为1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AC ⊥AB ，AC ＝AA 1＝1，P 为线段AB 上的动点．(1)求证：CA 1⊥平面AC 1P ；(2)在线段AB 上是否存在一点P ，使四面体P －AB 1C 1的体积为16？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AB . 又AC ⊥AB ，∴AB ⊥平面AA 1C 1C ，即AP ⊥平面AA 1C 1C ， ∴AP ⊥CA 1.又AC ＝AA 1＝1，∴四边形AA 1C 1C 是正方形， ∴CA 1⊥AC 1，又AP ∩AC 1＝A ，从而CA 1⊥平面AC 1P .(2)在线段AB 上存在一点P ，使四面体P －AB 1C 1的体积为16.∵VABC －A 1B 1C 1＝12×AB ×1×1＝1，∴AB ＝2.又VP －AB 1C 1＝VC 1－PAB 1＝13×C 1A 1×12×AP ×BB 1＝13×1×12×AP ×1＝16，解得PA ＝1，∴存在AB 的中点P ，使VP －AB 1C 1＝16.20．(12分)已知椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，a >b >0.由c ＝2，e ＝22，可得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故所求方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 21－y 1＝2y 2－1，可得x 1＝－2x 2.①由题意知直线斜率存在，故设直线方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，则x 1＋x 2＝－4k2k 2＋1.② x 1x 2＝－22k 2＋1.③ 由①②得，x 2＝4k 2k 2＋1，将x 1＝－2x 2代入③得x 22＝12k 2＋1，所以4k 2k 2＋12＝12k 2＋1，解得k 2＝114.又△AOB 的面积S ＝12|OP |·|x 1－x 2|＝12·28k 2＋22k 2＋1＝1268＝3148. 故△AOB 的面积是3148.21．(12分)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )的图象过点(1,0)，且此点处的切线斜率为1.(1)求f (x )的单调递减区间；(2)若g (x )＝12x 2－mx ＋32，存在x 0∈(0，＋∞)使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ln 1＋a ＝a ＝1. ∵f (1)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝x ln x . 由f ′(x )＝ln x ＋1<0，得0<x <1e .∴f (x )的单调递减区间是0，1e.(2)由题意，存在x 0∈(0，＋∞)，使得x 0ln x 0≥12x 20－mx 0＋32，∴m ≥12x 0－ln x 0＋32x 0.设h (x )＝12x －ln x ＋32x (x >0)，则h ′(x )＝12－1x －32x 2＝x 2－2x －32x 2＝x －3x ＋12x2.∵当x ∈(0,3)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈(3，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (3)＝2－ln 3， ∴m 的取值范围为[2－ln 3，＋∞)．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(10分)选修4－1：几何证明选讲(xx·山西太原模拟)如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 、C ，∠APC 的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E .(1)证明：∠ADE ＝∠AED ； (2)若AC ＝AP ，求PCPA的值．解：(1)证明：∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP ＝∠C ，又∵∠APD ＝∠CPE ，∴∠BAP ＋∠APD ＝∠C ＋∠CPE ， ∵∠ADE ＝∠BAP ＋∠APD ，∠AED ＝∠C ＋∠CPE ，∴∠ADE ＝∠AED . (2)由(1)知∠BAP ＝∠C ，∵∠APC ＝∠BPA ， ∴△APC ∽△BPA ，∴PC PA ＝CA AB，又∵AC ＝AP ，∴∠APC ＝∠C ＝∠BAP .由三角形内角和定理可知，∠APC ＋∠C ＋∠CAP ＝180°，∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠APC ＋∠C ＋∠BAP ＝180°－90°＝90°， ∴∠C ＝∠APC ＝∠BAP ＝13×90°＝30°，在Rt △ABC 中，CA AB ＝3，∴PC PA ＝CAAB＝ 3. 23．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程(xx·贵阳监测)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.24．(10分)选修4－5：不等式选讲(xx·黑龙江大庆质检)设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|. (1)解不等式：f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围．解：(1)原不等式即为|2x －1|－|x ＋4|>0，当x ≤－4时，不等式化为1－2x ＋x ＋4>0，解得x <5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x ≤－4}．当－4<x <12时，不等式化为1－2x －x －4>0，解得x <－1，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ －4<x <12|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |－4<x <－1}．当x ≥12时，不等式化为2x －1－x －4>0，解得x >5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x >5}．综上，原不等式的解集为{x |x <－1，或x >5}．(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9.∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10，故所求a 的取值范围是{a |－8≤a ≤10}．o•27270 6A86 檆27885 6CED 泭30480 7710 眐37177 9139 鄹40303 9D6F 鵯32181 7DB5 綵€28247 6E57 湗37986 9462 鑢30926 78CE 磎p30118 75A6 疦。

2021年高考数学一轮复习题组层级快练18(含解析)

1．若定义在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且f(x0)为极小值，则下列说法正确的是( )A．函数f(x)有最小值f(x0)B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)C．函数f(x)有最大值也可能是f(x0)D．函数f(x)不一定有最小值答案A解析闭区间上的唯一的极值点就是最值点．2．函数f(x)＝xe x，x∈[0,4]的最大值是( )A．0 B.1 eC.4e4D.2e2答案B3．若函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则实数a的取值范围为( ) A．0≤a<1 B．0<a<1C．－1<a<1 D．0<a<1 2答案B4．(xx·云南昆明一模)已知函数f(x)＝ln x＋1ln x，则下列结论中正确的是( )A．若x1，x2(x1<x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1，x2)上是增函数B．若x1，x2(x1<x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1，x2)上是减函数C．∀x>0，且x≠1，f(x)≥2D．∃x0>0，f(x)在(x0，＋∞)上是增函数答案D解析由已知f′(x)＝1x－1x ln2x＝ln2x－1x ln2x(x>0，且x≠1)，令f′(x)＝0，得x＝e或x＝1e.当x∈(0，1e)时，f′(x)>0；当x∈(1e，1)∪(1，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.故x＝1e和x＝e分别是函数f(x)的极大值点和极小值点，故函数f(x)在(1e，1)和(1，e)上单调递减，所以A，B错；当0<x<1时，ln x<0，f(x)<0，故C错；若x0≥e，f(x)在(x0，＋∞)上是增函数，D正确．5．(xx·四川内江一模)已知函数f(x)＝13x3－12x2＋cx＋d有极值，则实数c的取值范围为( )A．c<14B．c≤14C．c≥14D．c>14答案A解析由题意可知f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0有两个不同的实根，所以Δ＝1－4c >0⇒c <14.6．f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．1＋1eB ．1C ．e ＋1D ．e －1答案 D解析 f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0.令f ′(x )>0，得x >0，令f ′(x )<0，得x <0，则函数f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f (－1)＝e －1＋1，f (1)＝e －1，f (－1)－f (1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f (1)>f (－1)．故选D.7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝x 2＋2x －ax ＋12，由f (x )在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.8．(xx·黑龙江哈尔滨一模)函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0，π2]上的最大值是________．答案 π6＋3解析 y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，且x ∈[0，π2]，得x ＝π6.则x ∈[0，π6)时，y ′>0；x ∈(π6，π2]时，y ′<0，故函数在[0，π6)上单调递增，在(π6，π2]上单调递减，所以当x ＝π6时，函数取最大值π6＋ 3.9．(xx·昌平一模)已知函数f(x)＝4ln x＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f(x)的一个极值点，则实数a的值为________．答案1解析由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)＝4x＋2ax－6，∴f′(2)＝2＋4a－6＝0，即a＝1.10．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)e x的判断正确的是________．①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)既没有最小值，也没有最大值．答案①②③解析若f(x)＝(2x－x2)e x>0，则0<x<2，①正确；∵f′(x)＝－e x(x＋2)(x－2)，∴f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增．∴f(－2)是极小值，f(2)是极大值，②正确；易知③也正确．11．(xx·启东中学调研)已知函数f(x)＝e x＋a ln x的定义域是D，关于函数f(x)给出下列命题：①对于任意a∈(0，＋∞)，函数f(x)是D上的减函数；②对于任意a∈(－∞，0)，函数f(x)存在最小值；③存在a∈(0，＋∞)，使得对于任意的x∈D，都有f(x)>0成立；④存在a∈(－∞，0)，使得函数f(x)有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)答案②④解析由f(x)＝e x＋a ln x，可得f′(x)＝e x＋ax，若a>0，则f′(x)>0，得函数f(x)是D上的增函数，存在x∈(0,1)，使得f(x)<0即得命题①③不正确；若a<0，设e x＋ax＝0的根为m，则在(0，m)上f′(x)<0，在(m，＋∞)上f′(x)>0，所以函数f(x)存在最小值f(m)，即命题②正确；若f(m)<0，则函数f(x)有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.12．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－ln x.(1)若f(x)在(0，12)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案(1)a≤3(2)a>22解析(1)f′(x)＝－2x＋a－1 x ，∵f (x )在(0，12)上为减函数，∴x ∈(0，12)时－2x ＋a －1x ≤0恒成立，即a ≤2x ＋1x恒成立．设g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x2.∵x ∈(0，12)时1x 2>4，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，12)上单调递减，g (x )>g (12)＝3，∴a ≤3.(2)若f (x )既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎨⎧Δ>0，a2>0⇒⎩⎨⎧a 2－8>0，a >0⇒a >2 2.∴当a >22时，f ′(x )＝0有两个不等的实数根．不妨设x 1<x 2，由f ′(x )＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x(x －x 1)(x －x 2)知，0<x <x 1时f ′(x )<0，x 1<x <x 2时f ′(x )>0，x >x 2时f ′(x )<0，∴当a >22时f (x )既有极大值f (x 2)又有极小值f (x 1)． 13．(xx·衡水调研卷)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上函数f(x)的图像在函数g(x)＝23x3的图像的下方．答案(1)极小值为1 2(2)f(x)min＝12，f(x)max＝12e2＋1 (3)略解析(1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝x－1x＝x＋1x－1x，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)．当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为1 2 .(2)当a＝1时，易知函数f(x)在[1，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(e)＝12e2＋1.(3)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋ln x－23x3，则F′(x)＝x＋1x－2x2＝1－x1＋x＋2x2x，当x>1时，F′(x)<0，故F(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．又因为F(1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上F(x)<0恒成立，即f(x)<g(x)恒成立．因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上函数f (x )的图像在函数g (x )图像的下方．14．(xx·江西文)已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间[1,4]上的最小值为8，求a 的值．答案 (1)单调递增区间为(0，25)，(2，＋∞)(2)a ＝－10解析 (1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝25x －2x －2x＝0，得x ＝25或x ＝2.由f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)．故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)．(2)f ′(x )＝10x ＋a 2x ＋a2x，a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝－a 10或x ＝－a2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a10，－a 2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增．易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a <0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a 2≤4，即－8≤a <－2时，f (x )在[1,4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2>4，即a <－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8，得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f (x )在(1,4)上单调递减，f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上有a ＝－10.15．(xx·重庆理)已知函数f (x )＝a e 2x－b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求实数c 的取值范围．答案 (1)a ＝1，b ＝1 (2)f (x )在R 上为增函数 (3)(4，＋∞)思路对于(1)，先根据相关的求导法则，正确求得相应函数的导数；再结合偶函数的定义及导数的几何意义确定相关的待定系数，对于(2)，结合函数的导函数与基本不等式，由此判定相应函数的导数的符号，进而确定其单调性；对于(3)，结合函数的导数与极值的意义，通过判断相关函数的零点情况，确定待定系数的取值范围．解析(1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1＞0，故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c＜4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c＞0，此时f(x)无极值；当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4＞0，此时f(x)无极值；当c＞4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋2t－c＝0有两根t1,2＝c±c2－164＞0，即f′(x)＝0有两个根x1＝12ln t1，或x2＝12ln t2.当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；又当x＞x2时，f′(x)＞0，从而f(x)在x＝x2处取得极小值．综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．sD 30948 78E4 磤26929 6931 椱;L精品文档lV[33989 84C5 蓅Z 39793 9B71 魱实用文档。

2021年高三下学期第一次夜模测试卷数学(文)试题

2021年高三下学期第一次夜模测试卷数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝i1＋i在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数y ＝－1的图像关于x 轴对称的图像大致是3．函数y ＝1x 2－4的定义域为M ，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是A ．{x |－2≤x ＜1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |x ＜2}4．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于A.22B.33C.2D. 3 5．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为 A ．12 B ．18 C ．22 D ．446．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如右图)．s 1，s 2分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准有效期，则A ．s 1>s 2B ．s 1<s 2C ．s 1＝s 2D ．s 1，s 2大小不能确定7．程序框图，如图所示，已知曲线E 的方程为ax 2＋by 2＝ab (a ，b ∈R )，若该程序输出的结果为s ，则 A ．当s ＝1时，E 是椭圆 B ．当s ＝－1时，E 是双曲线 C ．当s ＝0时，E 是抛物线 D ．当s ＝0时，E 是一个点8．已知a 、b 、c 是三条不同的直线，命题“a ∥b 且a ⊥c ⇒b ⊥c ”是正确的，如果把a 、b 、c 中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知函数f (x )＝|lg x |－(13)x 有两个零点x 1，x 2，则有A ．0<x 1x 2<1B ．x 1x 2=1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥210．已知△ABC 外接圆半径R ＝1433，且∠ABC ＝120°，BC ＝10，边BC 在x 轴上且y轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线方程为A.x 275－y 2100＝1B.x 2100－y 275＝1C.x 29－y 216＝1D.x 216－y 29＝1第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若“x 2－2x －8>0”是“x <m ”的必要不充分条件，则m 最大值为________． 12．已知函数f (x )＝xe x ，则函数f (x )图象在点(0，f (0))处的切线方程为________． 13．已知关于x 的方程x 2＋2px －(q 2－2)＝0(p ，q ∈R )无实根，则p ＋q 的取值范围是________．14．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CC 1中点为E ，则直线AE与BC1所成的角的大小为________．15．若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是________．三、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)已知向量p＝(－cos 2x，a)，q＝(a,2－3sin 2x)，函数f(x)＝p·q－5(a>0)．(1)求函数f(x)(x∈R)的值域；(2)当a＝2时，求函数y＝f(x)在[0，π]上单调递增区间．17．(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n为数列{1a n a n＋1}的前n项和，若T n≤λa n＋1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．18．(本小题满分12分)《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 ml(不含80)之间，属于酒后贺车；在80 mg /100 ml (含80)以上时，属醉酒贺车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒贺车的驾驶员20人，下图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；(2)从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．19．(本小题满分12分)在三棱锥P－ABC中，△P AC和△PBC都是边长为2的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．(1)求证：OD∥平面P AC；(2)求证：PO⊥平面ABC；(3)求三棱锥P－ABC的体积．20．(本小题满分13分)椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12.点P (1，32)、A 、B 在椭圆E 上，且P A →＋PB →＝mOP →(m ∈R )．(1)求椭圆E 的方程及直线AB 的斜率；(2)当m ＝－3时，证明原点O 是△P AB 的重心，并求直线AB 的方程．21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝mxx 2＋n(m ，n ∈R )在x ＝1处取到极值2.(1)求f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝ln x ＋ax.若对任意的x 1∈[－1,1]，总存在x 2∈[1，e ]，使得g (x 2)≤f (x 1)＋72，求实数a 的取值范围．2011—xx 学年度高三第一次夜模测试卷数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 91答案A B C D C B B C A D二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11． 12． 13． 14． π4 15. 三、解答题：（本大题共6小题，共75分） 16. 解：（1）……………………………………………………………3分因为，所以因为，所以2125()2(1)2 5.a a f x a a -⨯+-≤≤-⨯-+- 即的值域为 ………………………………………………………6分（2）当……………………………………8分由，得……10分因为，所以，故：函数在上的单调递增区间为…………………………12分 17. 解：（1）设公差为。

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__________ 姓名：__________ 班级：__________一、选择题1．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推那么该数列的前50项和为()A. 1044B. 1024C. 1045D. 1025 2．若随机变量X服从正态分布N(8，1)，则P(6＜x＜7)＝A.1B.0.1359C.0.3413D.0.4472附：随机变量X～N(μ，σ2)(σ＞0)，则有如下数据：P(μ－σ＜x＜μ＋σ)＝0.6826；P(μ－2σ＜x＜μ＋2σ)＝0.9544；P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.9974.3．设[0,1]()1,[1,0)xf xx x∈=+∈-⎪⎩，则11()f x dx-⎰等于（）A.12π+ B.122π+ C.124π+ D.14π+4．将函数)4y xπ=+的图像向右平移12π单位后，所得图像对应的函数解析式为（）A. 5)12y xπ=-B. 5)12y xπ=+C. )12y xπ=- D. )12y xπ=+5．设函数()3sin26f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则以下结论正确的是（）A. 函数()f x在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B. 函数()f x2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减C. 函数()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 函数()f x在2,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增6．已知O 为ABC 内一点且满足0OA OB OC ++=，若AOC △的面积为3且2AB BC ⋅=-，则ABC ∠=( )A.3π B.4π C.6π D.12π 7．用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是 A. ,a b 都能被5整除 B. ,a b 都不能被5整除 C. ,a b 不都能被5整除 D. a 能被5整除二、填空题8．已知α∈(0，π)，cos 5α=，则tan()2πα+＝_______．9．已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点M ，若12F MF ∠4π=，则双曲线的离心率为______.三、解答题10．已知函数2()3ln 4f x x m x =++，且()f x 在1x =处的切线方程为y nx =.（1）求()f x 的解析式，并讨论其单调性. （2）若函数12()34()x g x ex f x -=++-，证明：()1g x ≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】【分析】将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：02，第二组：02，12，第三组：02，12，22，…第k 组：02，12，22，…，12k -，根据等比数列前n 项和公式，能求出该数列的前50项和．【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：02，第二组：02，12，第三组：02，12，22， …第k 组：02，12，22，…，12k -，根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：121-，221-，321-，…，21k -，每项含有的项数为：1，2，3，…，k ，总共的项数为()11232k k N k +=+++⋯+=，当9k =时，()1452k k+=，故该数列的前50项和为()912395021221212121124816931104412S -=-+-+-+⋯+-+++++=-+=-．故选：A ．【点睛】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．2．无 3．C解析：C【解析】【分析】利用()1111()f x dx dx x x --+=+⎰⎰⎰计算出定积分的值.【详解】依题意得()10111()f x dx dx x x --+=+⎰⎰⎰202111π|π12424x x -⎛⎫=++⨯⨯=+ ⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查运算求解能力，属于基础题.4．D解析：D 【解析】【分析】先将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2()124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化解为212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换.5．D解析：D 【解析】【分析】求出()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调区间，再判断各选项x 的取值范围是否在函数单调区间上.【详解】令222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈解得63k x k ππππ，k Z ∈，()f x ∴在区间2,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是增函数. 故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质，熟练掌握正弦函数的单调性是解题的关键..6．A解析：A 【解析】【分析】由0OA OB OC ++=得O 为重心，进而得ABC 的面积，结合面积公式及数量积求解即可【详解】0OA OB OC ++=，∴O 为ABC 重心，故33ABCAOCSS== ，1sin 3,cos()22AB BCABC AB BC ABC π∠=-∠=- 故tan ABC ∠= ，则ABC ∠=3π 故选：A【点睛】本题考查向量的简单应用，面积公式，向量的数量积，考查基本公式是基础题7．B解析：B 【解析】试题分析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b 都不能被5整除”．考点：反证法二、填空题8．－2 【解析】【分析】由题意得，再利用同角三角函数关系及诱导公式计算即可. 【详解】由(0，)，且，得＝，所以＝＝＝－2. 故答案为：-2【点睛】本题考查了同角三角函数关系及诱导公式的应用，解析：－2 【解析】【分析】由题意得sin α=. 【详解】由α∈(0，π)，且cos α=，得sin α 所以tan()2πα+＝sin()cos 2sin cos()2πααπαα+=-+＝2. 故答案为：-2【点睛】本题考查了同角三角函数关系及诱导公式的应用，属于基础题.9．【解析】【分析】设切点为，连接，过作，垂足为,由三角形中位线定理和圆切线的性质，结合双曲线的定义，可以得到的关系，再结合，最后求出双曲线的离心率. 【详解】设切点为，连接，过作，垂足为，如下图【解析】【分析】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F A MN ⊥，垂足为A ,由三角形中位线定理和圆切线的性质，结合双曲线的定义，可以得到,a b 的关系，再结合22c a b =+，最后求出双曲线的离心率.【详解】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F A MN ⊥，垂足为A ，如下图：由圆的切线性质可知：1ON F M ⊥,ON a =，由三角形中位线定理可知：22AF a =，21AF F M ⊥，在12Rt AF F ∆中，2211222AF F F AF b =-=，在2Rt AF M ∆中，12F MF ∠4π=，所以2MA a =，222F M a =，由双曲线定义可知：122F M F M a -=，即22222b a a a +-=，所以2b a =，而22c a b =+223c a b a =+，因此3ce a==3 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，运用双曲线的定义、平面几何的相关知识是解题的关键. 评卷人得分三、解答题10．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先求出切点的坐标，通过切线方程可以求出切线的斜率，对函数进行求导，求出切线方程的斜率，这样得到一个等式，最后求出m 的值，这样就求出()f x 的解析式。

求出定义域，讨论导函数的正负性，判断其单调性。

（2）研究() g x 的单调性，就要对()g x 进行求导，研究()g x 导函数()'g x 的正负性，就要对()()g x h x '=进行求导，得到()'h x ，研究()'h x 的正负性，从而判断出()h x 的单调性，进而判断出()g x '的正负性，最后判断出() g x 的单调性，利用单调性就可以证明结论。

【详解】（1）由题切点为()1,n 代入()f x 得：7n =①()'6mf x x x =+即()'16k f m n ==+=②解得17m n =⎧⎨=⎩，∴()23ln 4f x x x =++，()0,x ∈+∞，∴()1'60f x x x=+>，即()f x 为()0,+∞上的增函数. （2）由题()1ln x g x ex -=-，即证()1g x ≥，()11'x g x e x -=-.构造函数()()11'x h x g x ex-==-，0x >， ()121'0x h x e x -=+>，即()h x 为()0,+∞上的增函数，又()10h =，即01x <<时()'0g x <，即()g x 在()0,1上单调递减，1x >时，()'0g x >，即()g x 在()1,+∞上单调递增，∴()()11g x g ≥=得证. 【点睛】本题考查了函数的导数的几何意义、用导数研究函数单调性、利用二次求导证明恒成立问题。