3.1.2用二分法求方程的近似解

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( 0 求方程ln x + 2x − 6 = 0的近似解精确度 .1).
方法2 方法2
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用二分法求方程的近似解一般步骤： 用二分法求方程的近似解一般步骤：
口 诀
定区间，找中点， 定区间，找中点， 同号去，异号算， 同号去，异号算， 周而复始怎么办? 周而复始怎么办? 中值计算两边看. 中值计算两边看 零点落在异号间. 零点落在异号间 精确度上来判断. 精确度上来判断.
2.5 2.75 2.625 2.562 5 2.531 25 2.546 875 2.539 062 5
-0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.01 0.001
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.007813 奋力
- - -
x
-1 0 1 2 3 2.25
2.5
2
2.5
3
2 2.4,停止操作,所求近似解为2.4。 以上求方程的近似解的方法叫二分法 求方程的近似解的方法叫 以上求方程的近似解的方法叫二分法
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构建数学：
解：设f (x)=x2-2x-1，设x1为其正的零点 1．简述上述求方程近似解的过程 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4 通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解! 奋力
问题5：二分法实质是什么？ 问题 ：二分法实质是什么？
用二分法求方程的近似解，实质上就是通 用二分法求方程的近似解， 取中点”的方法，运用“ 过“取中点”的方法，运用“逼近思想逐步缩 小零点所在的区间。 小零点所在的区间。
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数学运用
例题：利用计算器，求方程 例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解 的近似解 精确到0.1） （精确到 ） 怎样找到它的解所在的区间呢？ 在同一坐标系内画函数y=2x 在同一坐标系内画函数 的图象， 与y=4-x的图象，如图： 的图象 如图：
x
-1 0 1 2 3
由此可知：借助函数f(x)= x2-2x-1的图象， 我们发现f(2)=-1<0,f(3)=2>0，这表明此函数 图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方 程在区间(2,3)上有惟一解.
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数离形时少直观，形离数时难入微！ 数离形时少直观，形离数时难入微！ 学生活动 思考： 思考：如何进一步 讨论 有效缩小根所在的区间？ 有效缩小根所在的区间？
由f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0得：x0∈(1.375,1.4375)
∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4
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用二分法求方程的近似解
探究: 探究 函数 ( x) = ln x + 2x − 6的零点 f .
. ⇔方程ln x + 2x − 6 = 0的根
a+b x1 = 2
(a , b) 的中点
3．计算 f ( x 1 ) ： ． ①若 f ( x 1 ) = 0, 则x 0 = x 1 ②若 f ( a ) • f ( x 1 ) < 0，则令 b = x（此时 x 0 ∈ ( a , x 1 )) 1 ③若 f ( b ) • f ( x 1 ) < 0，则令 a = x（此时 x 0 ∈ ( x 1 , b )) 1
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1
ห้องสมุดไป่ตู้
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
课堂小结
1.明确二分法是一种求一元方程近似解的常用 明确二分法是一种求一元方程近似解的常用 方法。 方法。 2.二分法求方程的近似解的步骤，以及计算机 二分法求方程的近似解的步骤， 二分法求方程的近似解的步骤 的使用， （器）的使用，让我们感受到程序化的方法 即算法的价值。 即算法的价值。 3.尝试对二分法进行编程，通过计算机来求方 尝试对二分法进行编程， 尝试对二分法进行编程 程的近似解。 程的近似解。 4.数学来源于生活，又应用于生活。 数学来源于生活， 数学来源于生活 又应用于生活。 5.本节课充分体现了数学中的四大数学思想， 本节课充分体现了数学中的四大数学思想， 本节课充分体现了数学中的四大数学思想 即：……以及无限逼近的思想 以及无限逼近的思想
数学建构
问题4．能否描述二分法？ 问题 ．能否描述二分法？
对于在区间[a,b]上连续不断，且f (a)f (b)<0 上连续不断， 对于在区间 上连续不断 的函数y=f (x)，通过不断地把函数 的零点所 的函数 ，通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近 在的区间一分为二， 零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解 零点，进而得到零点(或对应方程的根) 的方法叫做二分法。 的方法叫做二分法。
4 y=4-x 1 y=2x
y
方程有一个解x 得:方程有一个解 0 ∈(0,4) 方程有一个解 0 1 2 如果画得很准确，可得x 如果画得很准确，可得 0 ∈(1,2) 提问：能否不画图确定根所在的区间？ 提问：能否不画图确定根所在的区间？
x
4
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解：设函数f (x)=2x+x-4
则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0
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活动探究： 活动探究：
问题1.能否求解以下几个方程 问题 能否求解以下几个方程 (1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0 (3) x3+3x-1=0 指出：用配方法可求得方 程x2-2x-1=0的解，但此法不 能运用于解另外两个方程。
学生活动 学生活动 与讨论 与讨论
问题2. 不解方程,能否求出方程 能否求出方程（ ）的近似解？ 问题 不解方程 能否求出方程（2）的近似解？
用二分法求方程的近似解
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问题情境： 问题情境： 智力游戏
12只球中有一只假球，假球比真球略轻.现有一 只球中有一只假球，假球比真球略轻 现有一 只球中有一只假球 座无砝码的天平， 座无砝码的天平，如何用最少的次数称出这只假 球？
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问题情境： 问题情境：
从百草园到三味书屋的电缆有5个接点. 从百草园到三味书屋的电缆有5个接点. 现在某处发生故障，需及时修理. 现在某处发生故障，需及时修理.为了尽 快把故障缩小在两个接点之间， 快把故障缩小在两个接点之间，一般至 少需要检查多少___ ___次 少需要检查多少___次． 2
1
2
3
4
5
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问题情境： 问题情境： 中学电视台 幸运52”录制现场 “幸运 录制现场
有奖竞猜
请同学们猜一猜某物品的价格
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四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
用二分法求方程的近似解
学习目标： 学习目标 1、探究发现求一元方程近似解的常 、 用方法， 用方法， 2、能够应用二分法来解决有关问题 、 3、培养探究问题的能力，能够初步 、培养探究问题的能力， 理解算法思想。 理解算法思想。 重点： 重点 用二分法求方程的近似解 难点： 难点 二分法求方程近似解的算法
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问题3． 不解方程， 如何求方程x 问题 ． 不解方程 ， 如何求方程 2-2x-1=0 的一个正的近似解（精确到0.1） 的一个正的近似解（精确到 ）?y 画出y=x2-2x-1的图象，如图 可得：方程x2-2x-1=0 一个根x1在区间(2,3)内， 另一个根x2在区间(-1,0)内
y=x2-2x-1
知识拓展
介绍如何利用excel来 来 介绍如何利用 帮助研究方程的近似解？ 帮助研究方程的近似解？
1
y=x3
x
0 1
y=1-3x
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练习2: 练习 下列函数的图象与x轴均有交点 轴均有交点,其中不能 下列函数的图象与 轴均有交点 其中不能 用二分法求其零点的是 （ C） y y y y
0
x
0
x
0
x
0
x
问题7:根据练习 ， 问题 根据练习2，请思考利用二分法求函数 根据练习 零点的条件是什么？ 零点的条件是什么？
1、函数y=f (x)在[a,b]上连续不断。 函数 在 上连续不断。 2、 y=f (x)满足 f (a)f (b)<0，则在 、 满足 ，则在(a,b)内必有零点 内必有零点
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牛刀小试： 牛刀小试：
； ；
4、判断是否达到给定的精确度，若达到，则得出近 、判断是否达到给定的精确度，若达到， 似解；若未达到，则重复步骤2～ 。 似解；若未达到，则重复步骤 ～4。
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练习1： 练习 ： 求方程x3+3x-1=0的一个近似解 精确到 0.01) 求方程 的一个近似解(精确到 的一个近似解
画y=x3+3x-1的图象比较困难， 变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？ y 有惟一解x 有惟一解 0∈(0,1)
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思考: 思考:怎样计算函数 f (x) = lnx + 2x − 6在区 内精确到0.01的零点近似值？ 0.01的零点近似值 间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
区间（ 区间（a，b） 中点值m 中点值 f（m）的 （ ） 近似值 精确度| 精确度|ab| |