外积和内积
线性代数：3内积、外积、混和积
例： 若 ， ， 证明： 与 共线.
证明：
所以，
16
外积的坐标表示 由定义直接可以得到: ii j j kk 0 i j k , jk i , ki j
设 ( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z2 )
18
( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z2 )
6
例： 证明：直径所对应的圆周角为直角.
C
证明：
A O
B
因此
所以
7
例： 证明：
8
内积的坐标表示
i 2 i 2 1, j2 j 2 1, k 2 k 2 1,
i j jk ki 0
对任意向量 x1, y1, z1， x2 , y2 , z2
(1) x1 x2 y1 y2 z1z2
14
例: 已知α，β不共线，当k取何值时，向量kα+9β 与4α+kβ共线。
解： 据题设 （kα+9β）×（4α+kβ）＝０ 即 kα×4α＋kα×kβ＋9β×4α+9β×kβ＝０
又 α×α＝β×β＝０，α×β＝－β×α
因而 (k 2 36) 0
因为α，β不平行， 所以 α×β≠０
故有 k 2 36 0 ， 即 k=±6．
002
20 10 12
i
j
k
02 02 00
4i 2 j
20
例: 求以 A(1, 2, 3) ， B(2, 0, 5) ， C (3, 0, 1) 为顶点的Байду номын сангаас 角形ABC的面积.
解： 构造向量 AB (1,2,2), AC (2,2,4) ，
ijk
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读
概念向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。
点乘公式对于向量a和向量b：a和b的点积公式为：要求一维向量a和向量b的行列数相同。
点乘几何意义点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式：推导过程如下，首先看一下向量组成：定义向量：根据三角形余弦定理有：根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：即：向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。
从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间a·b=0 正交，相互垂直a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间叉乘公式两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量a和向量b：a和b的叉乘公式为：其中：根据i、j、k间关系，有：叉乘几何意义在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。
如下图所示：在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
数学中的乘积,点积,内积,外积,克罗内克积,括积区别与联系
数学中的乘积,点积,内积,外积,克罗内克积,括积区别与联系乘积、点积、内积、外积、克罗内克积以及括积是数学中常见的几种乘积运算，它们在不同的场景和背景下有着各自的定义和应用。
下面我们将详细地探讨这些乘积的区别与联系。
一、乘积乘积，又称笛卡尔积，是指两个集合之间的元素逐个对应相乘的结果。
设A、B为两个集合，其乘积记为A×B，表示由所有有序对(a,b)组成，其中a∈A，b∈B。
二、点积点积，又称数量积，主要应用于向量空间。
给定两个向量a和b，它们的点积定义为：a·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为向量a和向量b之间的夹角。
点积的结果是一个标量，而非向量。
三、内积内积，又称希尔伯特空间中的数量积，是在向量空间点积的基础上引入了内积空间的概念。
给定一个希尔伯特空间H和两个元素a、b∈H，它们的内积定义为：<a, b> = ∫∫a(x)b(x)dx，其中x为希尔伯特空间H上的变量。
内积结果为一个实数。
四、外积外积，又称外乘积，主要应用于代数领域。
设R是一个环（或域），a、b 是R中的元素，则a与b的外积定义为：a × b = ab + ba。
外积的结果是一个元素，而非向量或标量。
五、克罗内克积克罗内克积，又称克罗内克和，应用于矩阵和向量的乘积。
给定一个m×n 矩阵A和一个n×p向量b，它们的克罗内克积是一个m×p的矩阵C，定义为：C = A×b = (a1b1, a2b2, ..., ambp)。
六、括积括积，又称哈达玛积，应用于矩阵和矩阵的乘积。
给定两个m×n矩阵A 和B，它们的括积是一个m×m矩阵，定义为：A○B = (a1b1, a1b2, ..., anbn)。
七、区别与联系这些乘积运算在数学中有着明确的区别和联系。
乘积、点积、内积和外积主要应用于向量或矩阵的运算，它们的结果可以是向量、标量或矩阵。
数学中的乘积,点积,内积,外积,克罗内克积,括积区别与联系
数学中的乘积,点积,内积,外积,克罗内克积,括积区别与联系乘积、点积、内积、外积、克罗内克积和括积是数学中常见的几种乘积运算，它们在不同的情境和领域中有着广泛的应用。
下面我们将逐一探讨这些乘积的特点和用途，并分析它们之间的区别与联系。
一、乘积乘积指的是两个或多个数的相乘，通常用符号“×”表示。
在数学中，乘积运算是最基本的运算之一，它在线性代数、概率论、组合数学等领域有着广泛的应用。
二、点积点积，又称为数量积，是指向量之间的乘积。
设有两个向量A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)，它们的点积定义为：A·B = a1*b1 + a2*b2 + ...+ an*bn。
点积在向量空间中有着重要的应用，如计算向量的模、计算夹角等。
三、内积内积，又称作希尔伯特空间中的点积，是指两个函数之间的乘积。
设有两个函数f(x)和g(x)，它们的内积定义为：<f, g> = ∫[f(x)g(x)]dx。
内积在函数空间中有着重要的应用，如计算函数的模、计算函数之间的相似度等。
四、外积外积，又称作张量积，是指两个或多个向量的乘积。
设有两个向量A和B，它们的外积定义为：A × B = (a1b2 - a2b1, a1b1 + a2b2, a3b1 -a3b2, ...，an-1bn-1 + annbn)。
外积在向量空间中有着重要的应用，如计算向量的叉乘、计算三维空间的体积等。
五、克罗内克积克罗内克积又称作克罗内克乘积，它是指两个矩阵的乘积。
设有两个矩阵A和B，它们的克罗内克积定义为：A B = C，其中C的元素为A和B对应行（或列）的元素之积。
克罗内克积在矩阵论中有着重要的应用，如计算矩阵的秩、计算矩阵的逆等。
六、括积括积又称作笛卡尔积，它是指两个集合的元素之间的乘积。
设有两个集合A和B，它们的括积定义为：A × B = {(a, b)|a∈A, b∈B}。
空间向量(内积、外积、混和积)
1
向量的内积
向量是一个具有很强的物理背景的概念，尤 其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用，
要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的
关系，仅仅只有向量的线性运算就远远不够了， 还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的
一种乘法。
2
例: 物体放在光滑水平面上，设力 F以与水平线成θ角的方向作用于 物体上，物体产生位移S，求力F 所作的功。
D(4, 1, 2) 为顶点的四面体的体积。
以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积 分析: 是以三角形ABC为底面，AD为棱的三棱柱体 积的2倍，而四面体的体积是三棱柱体积的三
分之一。 所以，D-ABC的体积 VD ABC 可用混合积求
出。
32
解： 构造向量
AB (3,0,3), AC (1,1,2), AD (4,1,0),
F
S
解: 根据物理知识，F 可以分解成水平方向分力 Fx 和垂直方向分力 F y 。其中只有与位移平行的分力 Fx 作功，而 F y 不作功。 于是功W为: W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ 为反映这一类物理现象，引入向量的内积。
3
内积及其运算规律 定义 两个向量α与β的内积是一个数，它等于
( ) ( )
5
例： 用向量证明余弦定理 证明：
B
A
C
即 AB AC BC 2 AC BC cos
2 2 2
6
例： 证明：直径所对应的圆周角为直角.
C
证明：
A
O
B
因此
所以
7
例： 证明：
内积和外积运算规则
内积和外积运算规则内积和外积是向量运算中常用的概念和操作。
它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍内积和外积的定义、性质以及运算规则。
一、内积1. 定义内积，也称为点积或数量积，是两个向量之间的一种运算。
对于两个n维向量a和b，它们的内积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn，其中a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn分别是向量a 和b的分量。
2. 性质内积具有以下性质：(1) 交换律：a·b = b·a，即内积的顺序不影响结果。
(2) 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c，即内积对向量的加法满足分配律。
(3) 数乘结合律：(k·a)·b = k·(a·b) = a·(k·b)，其中k是一个标量。
(4) 内积的结果是一个实数。
3. 几何意义内积具有重要的几何意义。
如果两个向量a和b的内积为0，即a·b = 0，那么它们垂直或正交。
这是因为内积的定义表示了向量a 在向量b上的投影与b的长度的乘积。
当内积为0时，投影为0，即向量a在向量b上没有分量。
二、外积1. 定义外积，也称为叉积或向量积，是两个向量之间的一种运算。
对于三维空间中的两个向量a和b，它们的外积定义为：a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
2. 性质外积具有以下性质：(1) 反交换律：a×b = -b×a，即外积的顺序颠倒后需要加负号。
(2) 分配律：a×(b + c) = a×b + a×c，即外积对向量的加法满足分配律。
(3) 数乘结合律：k×(a×b) = (k·a)×b = a×(k·b)，其中k是一个标量。
模糊数学(格贴近度)
A(x)=B(x)，求 x*，
即从
( xa1 )2
( xa2 )2
e 1 e 2
求得
x1
1 2 1
21 2
,
x2
21 2
1 2 1
其中 x2 不是其最大值点，故选 x*=x1.于是
(
2
1
)2
A B A(x1) e 21
而
Ac Bc ((1 A(x)) (1 B(x))) 1
xR
性质 7 A B A C B C, 并且 AC BC .
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4
由性质发现，给定F集A，让F集B靠近A， 会使内积增大而外积减少。即，当内积较 大且外积较小时，A与B比较贴近。
所以，以内外积相结合的“格贴近度” 来刻划两个F集的贴近程度。
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5
Hale Waihona Puke 引理 1 设 A, B F(U )，令 (A, B) (A B) (A B)c, 则下
列结论成立： （1） 0 (A, B) 1; （2） (A, B) (B, A); （3） (A, A) a (1 a); （4） A B C (A,C) (A, B) (B,C). 特别当 a 1时， a 0, 则 (A, A) 1.
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6
根据引理 1 和格贴近度的定义，立即得到：
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8
解法（格贴近度法） 对上述函数，有
若 A(x) B(x), 则 A B ( A(x) B(x)) A(x) B(x*).
xR
xR
若 B(x) A(x), 则 A B (A(x) B(x)) B(x) A(x*).
xR
xR
可见，内积 A B 是 A(x)与 B(x)相等时的值，这时，x=x*.故令
向量的积题型-概述说明以及解释
向量的积题型-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述向量的积是高中数学中的一个重要概念，也是解决几何与代数问题的基础。
在数学中，我们常常遇到需要计算两个向量的积的情况，例如内积和外积。
内积也被称为点积，是两个向量乘积的数量积，结果是一个标量。
外积也被称为叉积，是两个向量乘积的向量积，结果是一个向量。
在几何中，向量的积有很多重要的应用。
内积可以用来求解向量的长度、夹角以及判定两条线段是否相交。
外积可以用来求解平面的面积、法向量等几何问题。
在物理中，向量的积还有更广泛的应用，例如力矩、磁场等。
本文将围绕向量的积这一主题展开讨论。
首先，我们将介绍内积和外积的定义和性质，包括计算公式和几何意义。
然后，我们将详细讨论内积和外积在几何和物理中的具体应用。
最后，我们将总结向量的积的重要性，并展望未来在数学和科学领域的应用前景。
通过深入学习向量的积的知识，我们可以更好地理解几何和代数问题，并能够灵活运用向量的积解决实际问题。
不仅如此，向量的积还是数学和物理领域中的基础概念，对于进一步学习和研究相关领域具有重要意义。
在接下来的正文部分，我们将逐一介绍向量的积的各个方面，包括内积和外积的定义、性质以及应用。
希望读者通过阅读本文，能够对向量的积有一个全面的了解，进一步提升数学水平和问题解决能力。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构部分的主要目的是介绍整篇文章的组织和布局，让读者能够清楚地了解文章的主要部分和内容安排。
本文的结构如下：第一部分为引言，包括概述、文章结构和目的。
在这一部分，我们将简要介绍本篇文章的主题和目的，并概述各个章节的主要内容。
第二部分是正文，包括第一个要点和第二个要点。
在这一部分，我们将详细介绍向量的积题型的相关知识和技巧。
第一个要点将重点介绍某一种特定类型的向量积题目，并提供解题方法和实例。
第二个要点将介绍另一种类型的向量积题目，同样提供解题方法和实例。
通过这两个要点的介绍，读者将对向量的积题型有一个全面的了解。
《内积外积混合积》课件
内积具有交换律、分配律和结合 律等基本性质。
内积的性质
内积的结果是一个标量，其值在 -1到1之间，表示两向量的相似
程度。
当两向量垂直时，内积为0；当 两向量平行或同向时，内积为正 ；当两向量反向时，内积为负。
内积可以用于计算向量的投影、 角度、距离等几何量。
内积的应用
01
在线性代数中，内积用 于定义向量空间和矩阵 运算。
应用举例
通过具体的应用举例，演示内 积、外积和混合积在解决实际
问题中的应用。
02 内积（点积）
内积的定义
内积是指两个向量的点乘，其结 果是一个标量，表示两个向量的
相似程度。
内积的定义公式为：a·b = |a||b|cosθ，其中a和b是两个向 量，|a|和|b|分别是它们的模，θ
是两向量之间的夹角。
不同点
内积和外积的结果分别是标量和向量 ，而混合积的结果是标量；内积和外 积分别用于计算长度和方向，而混合 积用于计算平行和垂直关系。
课程中的难点和重点
难点
理解内积、外积和混合积的概念 和应用，掌握它们的计算方法和 技巧。
重点
掌握内积、外积和混合积的基本 性质和几何意义，理解它们在解 决实际问题中的应用。
外积与内积的关系
外积与内积之间存在一定的关系 ，即两向量的内积等于它们所构 成的平行四边形的面积在它们所
构成的平面上的投影。
外积的应用
物理应用
01
外积在物理中有广泛的应用，如描述旋转物体的角速度和线速
度之间的关系，以及磁场中电流产生的力矩等。
计算机图形学应用
02
在计算机图形学中，外积常用于计算旋转和缩放矩阵，以及实
混合积
混合积是三个向量的运算，表示一 个向量在另外两个向量构成的平面 上的投影长度。
内积外积及其计算公式
内积外积及其计算公式内积和外积是线性代数中的两种运算，常用于向量和矩阵的计算。
在本文中，我将介绍它们的概念和计算公式。
一、内积（Inner Product）内积是向量空间中两个向量的一种二元运算，也称为点积、数量积或标量积。
在几何上，内积可以用来计算两个向量的夹角和长度。
1.向量的内积对于二维向量（a,b）和（c,d），它们的内积可以通过以下公式计算：(a, b) · (c, d) = ac + bd对于三维向量（a,b,c）和（d,e,f），它们的内积可以通过以下公式计算：(a, b, c) · (d, e, f) = ad + be + cf对于n维向量（a1, a2, ..., an）和（b1, b2, ..., bn），它们的内积可以通过以下公式计算：(a1, a2, ..., an) · (b1, b2, ..., bn) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn2.向量的长度向量的长度（也称为模）可以通过内积来计算。
对于向量v，其长度可以通过以下公式计算：v，=√(v·v二、外积（Cross Product）外积是三维向量空间中两个向量的一种二元运算，也称为叉积或向量积。
在几何上，外积可以用来计算两个向量的垂直向量。
对于三维向量v=(a,b,c)和w=(d,e,f)，它们的外积可以通过以下公式计算：v × w = (bf - ce, cd - af, ae - bd)其中，bf - ce表示新向量v × w的x分量，cd - af表示y分量，ae - bd表示z分量。
外积操作后得到的向量垂直于原始两个向量，且符合右手法则。
这意味着如果将右手的四指从向量v转向向量w的方向，那么大拇指指向的方向就是新向量v×w的方向。
三、计算示例接下来，我们通过一个计算示例来说明内积和外积的计算过程。
假设有向量v=(1,2,3)和w=(4,5,6)。
内积外积及其计算公式
内积外积及其计算公式内积和外积都是向量运算中常见的概念，它们具有不同的定义和计算公式。
下面将分别介绍内积和外积及其计算公式。
一、内积（Dot Product）：内积是向量运算中最基本的运算之一，它将两个向量投影到彼此上。
内积也被称为点积、数量积或标量积。
1.定义：给定两个n维向量A=(A1,A2,⋯,AA)和A=(A1,A2,⋯,AA)，它们的内积定义为：A·A=A1A1+A2A2+⋯+AAAA2.计算公式：两个向量的内积计算公式可以写为：A·A = ，A，，A， cos A其中，A和A的模分别为，A，和，A，A是A和A之间的夹角。
3.特性：内积具有以下几个重要的特性：-交换律：A·A=A·A-分配律：A·(A+A)=A·A+A·A-数乘结合律：A(A·A)=(AA)·A=A·(AA)-长度关系：A·A=，A，^2内积在向量的投影、长度计算、角度计算等方面具有广泛的应用，如在几何学、物理学、工程等领域。
二、外积（Cross Product）：外积是三维向量运算中的一种运算，它将两个向量的法向量叉乘得到一个新的向量。
1.定义：给定两个三维向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，它们的外积定义为：A×A=(A2A3−A3A2,A3A1−A1A3,A1A2−A2A1)2.计算公式：两个向量的外积计算公式可以写为：A×A， = ，A，，A， sin A其中，A和A的模分别为，A，和，A，A是A和A之间的夹角。
3.特性：外积的一些特性包括：-非交换律：A×A=−A×A-分配律：A×(A+A)=A×A+A×A-数乘结合律：A(A×A)=(AA)×A=A×(AA)-结果垂直于原向量：A×A与A、A垂直外积在确定平面、求取面积、求取法向量等方面具有广泛的应用，如在计算机图形学、力学、电磁学等领域。
空间向量计算向量的内积外积和投影
空间向量计算向量的内积外积和投影空间向量计算向量的内积、外积和投影向量是空间中一个具有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在计算中，我们经常需要进行向量的操作，比如计算向量的内积、外积和投影。
本文将详细介绍如何计算空间向量的这些操作。
一、向量的内积向量的内积又称为点积，表示两个向量之间的夹角和大小关系。
设向量A和B分别为：A = (A₁, A₂, A₃)B = (B₁, B₂, B₃)则A和B的内积为：A·B = A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃根据内积的定义，我们可以计算向量A和B的夹角θ：cosθ = A·B / (|A||B|)其中，|A|表示向量A的模，|B|表示向量B的模。
二、向量的外积向量的外积又称为叉积，表示两个向量之间的垂直关系和产生的新向量。
设向量A和B分别为：A = (A₁, A₂, A₃)B = (B₁, B₂, B₃)则A和B的外积为：AxB = (A₂B₃ - A₃B₂, A₃B₁ - A₁B₃, A₁B₂ - A₂B₁)根据外积的定义，我们可以计算向量A和B的模|AxB|：|AxB| = |A||B|sinθ其中，θ为A和B之间的夹角。
三、向量的投影向量的投影表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
设向量A和B分别为：A = (A₁, A₂, A₃)B = (B₁, B₂, B₃)向量A在向量B上的投影长度为：projB(A) = (A·B / |B|) * (B / |B|)其中，A·B为向量A和B的内积，|B|为向量B的模，B / |B|为向量B的单位向量。
综上所述，空间向量的内积、外积和投影可以通过上述公式进行计算。
在实际应用中，我们可以利用矩阵运算来简化计算过程。
例如，计算向量A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)的内积、外积和投影：A·B = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32AxB = (2*6 - 3*5, 3*4 - 1*6, 1*5 - 2*4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)projB(A) = (A·B / |B|) * (B / |B|) = (32 / √(4² + 5² + 6²)) * (4/√(4² + 5² + 6²), 5/√(4² + 5² + 6²), 6/√(4² + 5² + 6²))≈ (32 / √77) * (0.516, 0.645, 0.774) ≈ (14.56, 18.20, 21.84)通过以上计算，我们得到了向量的内积、外积和投影的结果。
两个空间向量相乘公式
两个空间向量相乘公式向量积是两个向量之间的一种运算，在空间解析几何中有两种形式：内积和外积。
一、内积1.1定义：内积（也称为点积或数量积）是两个向量之间的一种二元运算。
它是将两个向量的对应分量分别相乘，再将乘积相加而得到的一个标量。
设向量a和向量b的坐标分别为(a₁,a₂,a₃)和(b₁,b₂,b₃)，则它们的内积可以表示为：a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃。
1.2性质：内积具有以下几个性质：（1）交换律：a·b=b·a（2）分配律：(a+b)·c=a·c+b·c（3）常量的分配律：(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)，其中λ为常数（4）对任意向量a，a·a≥0，并且当且仅当a=0时，a·a=0。
1.3应用：内积在物理学、工程学、计算机图形学等领域具有广泛的应用。
例如，在物理学中，力和位移的内积可以得到功；在计算机图形学中，内积可以用来计算向量的夹角、判断两个向量是否垂直等。
二、外积2.1定义：外积（也称为叉积或矢量积）是两个向量之间的一种二元运算。
它是用来得到一个新向量，该新向量与原来的两个向量都垂直，并且符合右手定则。
设向量a和向量b的坐标分别为(a₁,a₂,a₃)和(b₁,b₂,b₃)，则它们的外积可以表示为：axb=(a₂b₃-a₃b₂,a₃b₁-a₁b₃,a₁b₂-a₂b₁)。
2.2性质：外积具有以下几个性质：（1）反交换律：axb=-bxa（2）分配律：ax(b+c)=(axb)+(axc)（3）常量的分配律：(λa)xb=ax(λb)=λ(axb)，其中λ为常数（4）对任意向量a，axa=0。
2.3应用：外积在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在物理学中，力矩可以通过位置向量和力向量的外积得到；在工程学中，外积可以用来计算力的矩臂、计算液体动力学的表面张力等。
a·b = ，a，b，cosθ ，其中，a，和，b，分别为向量a和b的模，θ为a和b之间的夹角。
向量内积和外积的几何意义
向量内积和外积的几何意义
**内积和外积的几何意义：**
1. 内积：
内积是指两个向量相乘，结果是一个标量（实数）。
例如，给定两个实数向量（x1，y1）和（x2，y2），他们的内积就是：x1*x2+y1*y2。
内积可以用来表示空间中两个向量的位置和比例关系，而且它的大小是受向量的角度和大小的影响的。
意义：内积的几何意义就是可以用来判断两个向量之间是相互垂直，相互平行，还是有任意夹角。
当两个向量垂直时，他们的内积为0；当两个向量平行时，他们的内积等于其中一个向量的模长的平方乘以另一个向量模长的绝对值；而介于这两者之间的内积都不为0且小于上述的数值。
2. 外积：
外积又称叉积，是一种向量的乘法，一般指两个空间上的向量相乘所得的向量，而不是标量。
例如，给定两个实数向量（x1，y1）和（x2，y2），他们的外积可以表示成：
(x1*y2-y1*x2，x2*y1-y2*x1)
外积的大小可以用来表示两个向量间距离。
外积可以具有正数，负数和0三种不同的值。
意义：外积的几何意义是表示两个向量相乘之后所产生的新向量的方向和大小，以及它们之间的方向关系。
通常，外积的大小与两个向量之间角度大小成正比，外积模值乘以两个向量模值的乘积等于正弦值的角度值的平方。
而当两个向量互斥（垂直）时，外积的模值等于这两个向量的模长的乘积。
如果外积的结果是正的，则表明两个向量的夹角是逆时针；如果外积的结果是负的，则表明两个向量的夹角是顺时针。
矩阵内积和外积
矩阵内积和外积
矩阵的内积参照向量的内积的定义是：两个向量对应分量乘积之和。
内积（inner product），又称数量积（scalar product）、点积（dot product）是一种向量运算，但其结果为某一数值，并非向量。
其物理意义是质点在f的作用下产生位移s，力f所做的功，w=|f||s|cosθ。
在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数r 上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。
它是欧几里得空间的标准内积。
两个向量a=[a1,a2,…,an]和b=[b1,b2,…,bn]的点积定义为：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。
使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1矩阵，点积还可以写为：a·b=a*b^t，这里的b^t 指示矩阵b的转置。
向量点乘向量
向量点乘向量
向量的点乘怎么算？
在线性代数中，两个向量相乘有几种不同的定义，其中最常见的为点积（内积）和叉积（外积）。
1. 点积（内积）：
- 定义：对于两个n维向量a和b，它们的点积（内积）被定义为两个向量对应元素的乘积之和。
点积通常用符号"·" 表示。
- 公式：a ·b = a₁b₁+ a₂b₂+ ... + aₙbₙ
- 示例：假设有两个向量a = [2, 3] 和b = [4, -1]，它们的点积计算如下：
a ·
b = 2·4 + 3·(-1) = 8 - 3 = 5
2. 叉积（外积）：
- 定义：对于三维向量，叉积（外积）可以用来计算两个向量所张成平面的法向量，其结果是一个新的向量。
叉积通常用符号"×" 表示。
- 公式：a ×b = [a₂b₃- a₃b₂, a₃b₁- a₁b₃, a₁b₂- a₂b₁]
- 示例：假设有两个向量a = [2, 3, 1] 和b = [4, -1, 5]，它们的叉积计算如下：a ×b = [3×5 - 1×1, 1×4 - 2×5, 2×(-1) - 3×4] = [14, -6, -11]
这些向量相乘的公式可以应用于各种数学和物理问题中，例如计算两个向量的夹角、平面的法向量以及向量的投影等。
根据具体情况，选择适当的向量相乘操作可以得到所需的结果。
向量点乘(内积)和叉乘(外积向量积)概念及几何意义解读
概念向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，确实是对这两个向量对应位一一相乘以后求和的操作，点乘的结果是一个标量。
点乘公式关于向量a和向量b：a和b的点积公式为：要求一维向量a和向量b的行列数相同。
点乘几何意义点乘的几何意义是能够用来表征或计算两个向量之间的夹角，和在b向量在a向量方向上的投影，有公式：推导进程如下，第一看一下向量组成：概念向量：依照三角形余弦定理有：依照关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：即：向量a，b的长度都是能够计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：依照那个公式就能够够计算向量a和向量b之间的夹角。
从而就能够够进一步判定这两个向量是不是是同一方向，是不是正交(也确实是垂直)等方向关系，具体对应关系为：a·b>0 方向大体相同，夹角在0°到90°之间a·b=0 正交，彼此垂直a·b<0 方向大体相反，夹角在90°到180°之间叉乘公式两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。
而且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
关于向量a和向量b：a和b的叉乘公式为：其中：依照i、j、k间关系，有：叉乘几何意义在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量组成的平面。
在3D图像学中，叉乘的概念超级有效，能够通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。
如下图所示：在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义确实是：aXb等于由向量a和向量b组成的平行四边形的面积。
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外积后的张量是反对称的张量，因此对于某个矢量两次点乘为零。
因此可以二阶张量点乘得到与 正交的矢量 。
其中
很容易证明
用给定矢量 构造与另一个矢量 正交的矢量 非常简单，就是
用给定矢量 构造与另一个矢量 和 都正交的矢量 非常简单，就是
过矢量a，将b反射为c将c反射为b的操作矩阵为
过矢量a，将b变为-c将c变为b的操作矩阵为
将a变为b,将b变为c,将c变为a的操作矩阵为
那么
P的三次操作变为恒等操作
应用4：用倒矢量计算逆矩阵
矩阵 的行矢量分别为
可以写为
那么逆矩阵为
矩阵 的列矢量分别为
可以写为
那么逆矩阵为
应用5：用倒矢量解方程
方程组写为
这里：表示前面和后面的张量的进行两次点乘。
同样地给定一组矢量 ，构造与 之外所有矢量都正交的矢量 就很容易了，
这里的 表示前后两个矢量进行n-1次点乘。
应用2计算倒矢量
给定一组矢量 ，我们可以定义 的倒矢量 ：
与 点乘为1且与 之外所有矢量都正交的矢量
这里分子上 表示前后两个矢量进行n-1次点乘，分母 表示前后两个矢量进行n次点乘，分子上只有第j行没有进行点乘。
两边与倒矢量相乘，求和
因为 是单位矩阵
于是
方程组也可以写为矩阵列矢量组合形成的等式
两边点乘
应用6：非正交归一坐标系中矢量和张量的表示
给定坐标系的基本矢量 ，他们的倒矢量为
，
那么给定一个矢量 可以有两种表示
其中
这就是矢量协变分量和逆变分量。
同样二阶张量 有四种表示
其中
外积和内积
外积主要在于甄别线性相关上起作用；内积是甄别线性不相关上起作用，这两者结合可以做好多事。
外积运算
外积定义为反对称张量
注意行列式求值时乘法是并矢，不能交换次序。
内积运算
内积定义有多种，最简单的是
这里采用爱因斯坦记号（只要出现两个相同的指标，就表示将这个指标求和）。在正交归一坐标系中 ，因此 。
因此有
比如晶体中有3个基本晶格矢量 ，那么他们的倒格矢量为
恒等矩阵可以表述为
应用3：用倒矢量构造投影矩阵
给定一组矢量 ，我们可以定义 的倒矢量 。可以方便地定义投影矩阵。
向由 构造的子空间投影的投影矩阵是
如果实际空间是n维空间
则恒等矩阵
应用3：用倒矢量构造镜面发射操作等矩阵
三维空间上的三个不相关矢量 。