微积分(二)知识点总结9-4-9
微积分上重要知识点总结
1、常用无穷小量替换2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有界集。
3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角函数:定义域、值域4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。
5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。
6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。
7、极限的四则运算法则。
8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。
9、两个重要极限及其变形10、等价无穷小量替换定理11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。
左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。
13、连续函数的四则运算14、反函数、复合函数、初等函数的连续性15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。
16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。
17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式18、隐函数的导数。
19、高阶导数的求法及表示。
20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。
21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、22、微分形式的不变性23、微分近似公式:24、导数在经济问题中的应用(应用题):（1）边际(变化率,即导数)与边际分析:总成本函数与边际成本、总收益函数与边际收益、利润函数与边际利润（2）弹性(书78页)及其分析、弹性函数及应用、需求量与价格之间的变化关系25、中值定理:罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论、可喜中值定理、26、洛必达法则求极限(89页)27、函数单调性28、函数的极值、最值、极值点与驻点及其区别,最大利润、最小平均成本、最大收益问题,经济批量问题。
物理微积分知识点总结
物理微积分知识点总结微积分作为数学的一个分支，是研究函数的变化规律、求积分与求导数的学科。
在物理学中，微积分是非常重要的工具，它可用于描述物体的运动规律、研究场景中的能量变化、求解力学问题等方面。
本文将从宏观角度对物理微积分知识进行总结，主要包括导数、积分、微分方程和级数发散收敛等方面。
一、导数导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。
对于给定函数y=f(x)，函数在点x处的导数可以用极限的概念表示，即导数f'(x)等于函数在x+h处减去x处的函数值除以h，当h趋近于0时得到：f'(x)=lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h导数的应用十分广泛，如物理学中的速度、加速度等概念都与导数有关。
例如，对于物体的位移函数s(t)，它的导数s'(t)就是物体在t时刻的瞬时速度；再对速度函数求导得到加速度函数就可以描述物体在某一时刻的瞬时加速度。
二、积分积分是导数的逆运算，它描述了函数在某一区间上的总体变化量。
对于给定函数y=f(x)，函数在区间[a,b]上的积分可以用定积分的概念表示，即积分{a到b}f(x)dx=lim(n->∞)(b-a)/n*Σi=1到n(f(xi*)),其中xi*是区间[a,b]上的任意取点。
物理学中使用积分的情况也非常多，例如能量的积分就描述了物体在某一过程中的总体变化量，物理场景中的力对位移的积分可以求得功等。
三、微分方程微分方程是描述自变量与因变量之间的关系，并且含有导数或者积分的方程。
它在物理学中的应用同样很广泛，例如描述运动物体的牛顿运动定律可以形式化为微分方程，电路中的电压和电流关系也可以用微分方程来描述。
微分方程的求解有很多不同的方法，其中包括分离变量法、变换法、特解法等。
这些方法可以用来求解一阶或者高阶的微分方程，常见的微分方程类型有线性微分方程、非线性微分方程等。
四、级数的发散和收敛级数是一种无穷项的无穷和，对于数列a1,a2,a3,...,an,...，它的部分和Sn=a1+a2+...+an，当n趋近于无穷时得到级数的和。
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
大学数学2知识点总结
大学数学2知识点总结在大学数学2中，学生将进一步学习数学的相关概念和技巧，包括微积分、线性代数和微分方程等。
这些知识点对于理解更高级的数学和科学课程是至关重要的。
本文将对大学数学2中的一些重要知识点进行总结和讨论。
微积分微积分是大学数学2课程中的一个重要组成部分。
学生将学习如何对函数进行微分和积分。
微积分可以帮助我们研究函数的变化率、极值和曲线的凹凸性。
微积分还可以用于求解各种问题，如曲线的长度、曲线下面积和曲线的旋转体体积等。
以下是微积分课程中的一些重要知识点：1. 导数：导数是函数在某一点的变化率。
通过导数可以求得函数的切线、极值和凹凸性等信息。
学生需要学会如何利用导数来解决实际问题，并掌握各种函数的导数计算方法。
2. 积分：积分是导数的逆运算，可以用来求解函数的面积、体积和质量等。
学生需要学会如何进行积分计算，包括定积分、不定积分和多重积分等。
3. 微分方程：微分方程描述了变化率和未知函数之间的关系。
学生需要学会如何对微分方程进行求解，并掌握一些常见的微分方程解法方法，如分离变量法、特解法和变换法等。
线性代数线性代数是大学数学2课程中的另一个重要组成部分。
学生将学习如何利用线性代数的方法来描述和解决各种问题，包括矩阵运算、线性方程组、特征值和特征向量等。
以下是线性代数课程中的一些重要知识点：1. 矩阵运算：矩阵是一个二维数组，可以用来表示线性方程组的系数矩阵和向量矩阵。
学生需要学会如何对矩阵进行加法、减法、乘法和转置等运算。
2. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，可以用矩阵表示。
学生需要学会如何对线性方程组进行求解，包括高斯消元法、矩阵求逆法和克拉默法则等。
3. 特征值和特征向量：特征值和特征向量是矩阵的重要性质，可以用来描述矩阵的特征和性质。
学生需要学会如何计算矩阵的特征值和特征向量，并掌握它们在实际问题中的应用。
微分方程微分方程是大学数学2课程中的另一个重要内容。
学生将学习如何对各种类型的微分方程进行求解，并掌握微分方程在科学和工程领域中的应用。
微积分简单知识点总结
微积分简单知识点总结微积分的基本概念包括导数和积分。
导数描述了函数在某一点的变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。
导数和积分是微积分的两个基本概念，它们之间通过微积分基本定理建立了联系。
在微积分中，除了导数和积分，还有极限、微分方程、泰勒级数等概念，它们都是微积分的重要内容。
微积分的学习需要掌握一些基本的概念和方法。
首先是要掌握函数的概念，函数是自变量和因变量之间的对应关系，它是微积分研究的基本对象。
其次是要理解导数和积分的概念及其意义，导数描述了函数在某一点的变化率，而积分描述了函数在一定区间内的累积效应。
另外，微积分中的极限和微分方程、泰勒级数等概念也是学习微积分的重点内容。
最后，要掌握微积分的计算方法，包括导数和积分的计算方法，以及一些常见函数的导数和积分。
微积分在实际应用中有很多重要的作用。
在物理学中，微积分的应用包括描述物体的运动和变形规律，求解力学、电磁学、热力学等问题。
在工程学中，微积分的应用包括求解工程问题、优化设计等。
在经济学和管理学中，微积分的应用包括求解生产函数和效用函数，分析市场供求关系等。
在生物学和医学中，微积分的应用包括描述生物体的生长发育规律，分析生物体的代谢过程等。
可见，微积分在各个领域都有着广泛的应用，是一门非常重要的学科。
总之，微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化的规律和积分的概念。
微积分的基本概念包括导数和积分，它们之间通过微积分基本定理建立了联系。
微积分的学习需要掌握一些基本的概念和方法，包括函数的概念、导数和积分的概念及其意义、微积分中的极限和微分方程、泰勒级数等概念，以及微积分的计算方法。
微积分在实际应用中有着广泛的作用，包括物理学、工程学、经济学和管理学、生物学和医学等各个领域。
因此，学习微积分是非常重要的，它不仅可以增强我们的数学思维能力，而且对我们的日常生活和工作都有着深远的影响。
微积分知识点总结笔记
微积分知识点总结笔记微积分是数学中的一个重要分支，它涉及到了各种变化率、积分、微分和极限等概念。
在现代数学中，微积分是一门非常基础的学科，它广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
本文将从微积分的基本概念、函数的极限、导数和微分、不定积分和定积分、微分方程等方面对微积分的知识点进行总结。
1.微积分的基本概念微积分的基本概念包括函数、极限、导数和积分。
首先，函数是自变量到因变量的映射规律，通常用f(x)或y来表示。
当自变量x的取值逐渐接近某一数值时，函数值f(x)也有着确定的趋势，这种趋势称为极限。
导数是函数在某一点处的变化率，而积分则是对函数在某一区间上的累积效应。
2.函数的极限函数的极限是微积分中的基础概念之一，它用来描述自变量趋于某一数值时，函数值的变化情况。
数学上通常用极限符号lim来表示，比如lim(x->a)f(x)=L表示当x趋近a时，函数f(x)的极限是L。
在微积分中，函数的极限经常用来计算导数和积分，因此对于函数的极限有着很重要的意义。
3.导数和微分导数是函数在某一点处的变化率，它描述了函数在这一点附近的近似线性变化。
导数的计算可以通过极限的方法进行，通常用f'(x)或dy/dx来表示。
微分是导数的积分形式，它表示了函数的微小变化。
在实际中，导数和微分常用来描述函数的变化趋势和优化问题，比如求解最大值、最小值和函数图像的曲线斜率等。
4.不定积分和定积分不定积分是对函数的积分形式，它表示了函数在某一区间上的累积效应。
通常用∫f(x)dx来表示，它求解的是函数的原函数。
定积分则是对函数在某一区间上的定量描述，它表示了函数曲线与x轴之间的面积。
在微积分中，不定积分和定积分是密切相关的，它们有着许多重要的性质和应用，比如面积、体积、弧长、曲线图形的面积等。
5.微分方程微分方程是描述变化规律的数学方程，它由未知函数、自变量和导数等组成。
微分方程在物理、工程、生物等领域中有着广泛的应用，它可以用来描述各种自然现象的变化规律，比如弹簧振动、电路运行、生物种群的增长和衰减等。
大学微积分l知识点总结(二)
大学微积分I知识点总结（二）【第五部分】不定积分1.书本知识(包含一些补充知识)(1)原函数：F'( x) =f (x), x € I ，则称F ( x )是f (x)的一个“原函数”。
(2)若F (x)是f (x)在区间上的一个原函数，贝U f (x)在区间上的全体函 数为F (x) +c (其中c 为常数) (3)基本积分表（aM 1 , a 为常数）1dxdx x cx dxdxxaInaca>0, a 1, a为常数dxx2dx arctanx 或arc cotx 1_xdx arcsinx 或arccosxIn xdxIn x x c_1_"Cx2dx In x . 1 x2 c_1_a2x21 ~~2 2 a x12 2a xdx arcsY c a dxdx1 + xarctan c a12aInshx dx chx cchx dx shx cd cosxIn cosxcosxsinxdx cosxcosx dx sin x ctan x dx In cosxcotx dx In sinxsecx dx In secx tan x cscx dx In cscx cosx.2sin x dx2cos x dx 1-sin 2x 41 sin 2x 4tan2dx tan xcot2dx cotx2sec dx tanx2csc dx cot x c secx tanxdx secx cscx cotx dx cscx(4)(5)(6)——dx2 aIn./x2 a2零函数的所有原函数都是c C代表所有的常数函数运算法则① a f(x) dx a f (x) dx -数乘运② f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx T加减线性(7)复合函数的积分：f (x) '(x) dx F (x) c1 1般地，f(ax b) dx f (ax b) d (ax b) F (ax b) ca af (x b) dx F (x b) c(9)连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。
微积分下册知识点
微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b = ,则),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±,),,(z y x a a a a λλλλ=；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =,其中ϕ为向量a 与u 的夹角;（二） 数量积,向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ,方向：c b a,,符合右手规则10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a=⨯运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：),(=y x F 表示母线平行于z轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面不考1） 椭圆锥面：22222z by a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+czb y a x4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b y a x 8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程 1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n = ,222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =,过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数：),(y x f z =,图形：3、 极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 4、 连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→5、 偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、 方向导数：βαcos cos y fx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角; 7、 梯度：),(y x f z =,则j y x f i y x f y x gradf y x),(),(),(000000+=;8、 全微分：设),(y x f z =,则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （二） 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质有界性定理,最大最小值定理,介值定理3、 微分法 1） 定义：u x2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===,则v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 充分条件3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用 1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值；② 若02<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02=-B AC ,不定;2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ———Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(0y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：))(,,())(,,())(,,(0=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F zyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第三章 重积分（一） 二重积分一般换元法不考1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k k Df y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积;4、 计算：1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,21()()(,)d d d (,)d dy cy Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z zz y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,(-------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bayx z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,(-------------“先二后一”2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r rr φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（三） 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：y x yz x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=第五章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分 1、 定义：1(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、 性质： 1[(,)(,)]d (,)d (,)d .LLLf x y x y s f x y sg x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰ 212(,)d (,)d (,)d .LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰).(21L L L +=3在L上,若),(),(y x g y x f ≤,则(,)d (,)d .LLf x y sg x y s ≤⎰⎰4l s L=⎰d l 为曲线弧 L 的长度3、 计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数),(y x P ,),(y x Q 在 L 上有界,定义∑⎰=→∆=nk k k k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ,∑⎰=→∆=nk k k kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、 性质：用-L 表示L 的反向弧 , 则⎰⎰⋅-=⋅-LL r y x F r y x F d ),(d ),( 3、 计算： 设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d (,)d {[(),()]()[(),()LP x y x Q x y y P t t t Q t t βαφψφφψ'+=+⎰⎰4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：,L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,,)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=,)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=, 则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域,函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数,则y Px Q ∂∂=∂∂ ⇔曲线积分 d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关 ⇔曲线积分d d 0LP x Q y +=⎰⇔ y y x Q x y x P d ),(d ),(+在G 内为某一个函数),(y x u 的全微分 （四） 对面积的曲面积分1、 定义：设∑为光滑曲面,函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数,定义 i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(10ζηξλ 2、 计算：———“一投二换三代入”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,则x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx ,(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量2、 定义：设∑为有向光滑曲面,函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数,定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理,1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰1(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰3、 性质： 121∑+∑=∑,则12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2-∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则d d d d R x y R x y -∑∑=-⎰⎰⎰⎰4、 计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数,),,(z y x R 在∑上连续,则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“ + ”, ∑为下侧取“ - ”. 5、 两类曲面积分之间的关系：()R Q P y x R x z Q z y P dcos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角;（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函数,,P Q R 在Ω上有连续的一阶偏导数,则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂yx R x z Q z y P z y x z R y Q x P d d d d d d d d d或()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂S R Q P z y x z R y Q x P d cos cos cos d d d γβα（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 ∑ 的边界 Γ是分段光滑曲线, ∑ 的侧与 Γ 的正向符合右手法则,),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含∑ 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有⎰⎰⎰Γ∑++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z R y Q x P y x y P x Q x z x R z P z y z Q y R d d d d d d d d d为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂z R y Q x P RQ P zy x y x x z z y d d d d d d d d d 第六章 常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数或微分的方程称为微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程,称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的即不可合并而使个数减少的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程： 对于第1种形式,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：)()(d )(d )(y g x h dxdyx x f y y g ==或2、 齐次微分方程：代入微分方程即可;3、 一阶线性微分方程型如称为一阶线性微分方程; 其对应的齐次线性微分方程的解为利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解4、 伯努利方程： 于是U 的通解为：5、 全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程 12型的微分方程),(6.4.2 )1()(-=n n y x f y 3型的微分方程),(6.4.3 y y f y '='' 8、线性微分方程解的结构 1函数组的线性无关和线性相关 2线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解 3刘维尔公式4二阶非齐线性微分方程解的结构特解的求解过程主要是通过常数变异法,求解联立方程的解：⎰⎰=xx f y y g d )(d )( )( )( yxx x y y ψϕ='='或者 ,)( 可将其化为可分离方程中，令在齐次方程xy u x y y =='ϕ , xu y x y u ==，则令,u dx du x dx dy +=.)()1(的方程形如c by ax f y ++=',y b a u '+=').(u f bau =-'原方程可化为)()(x q y x p y =+' d )(。
小学微积分知识点总结
小学微积分知识点总结微积分是数学中的一门重要学科，它主要研究函数的变化规律和函数的积分与导数之间的关系。
小学微积分主要涉及一些基本概念和知识点，下面将对小学微积分的知识点进行总结。
第一，基本概念。
微积分研究的主要对象是函数，函数表示了一种变化的规律，常表示为f(x)。
在微积分中，我们研究的函数可以是任意类型的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数等。
第二，变化率和导数。
函数的变化率可以用导数来表示，导数可以理解为函数在某一点上的斜率。
例如，当我们研究一辆车的速度时，车速的变化率就是速度的导数。
导数可以帮助我们研究函数的变化情况，包括函数的局部最大值、最小值和拐点等。
第三，极限。
在微积分中，极限是一个非常重要的概念。
极限可以理解为某个数值或函数在某一点附近的趋向情况。
例如，当我们计算一个函数在某一点的导数时，实际上是研究这个函数在这一点附近的极限情况。
第四，微分和积分。
微分和积分是微积分中的两个核心概念。
微分是求导的逆运算，它可以求得函数在某一点的变化率。
积分则可以求得函数在某一区间内的总变化量。
微分和积分是一对互为逆运算的概念，它们在微积分中起着非常重要的作用。
第五，求导法则。
为了方便计算导数，微积分中有一些常用的求导法则。
其中，常数法则表示常数的导数为0，幂法则表示x的n次幂函数的导数为n乘以x的n-1次幂函数，指数函数和对数函数的导数有特定的求导法则等。
第六，应用领域。
微积分是一门非常实用的学科，在实际生活和工作中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，微积分可以用来研究物体的运动和力学问题；在经济学中，微积分可以用来分析市场需求曲线和成本曲线等；在工程学中，微积分可以用来求解复杂的工程问题，如电路分析和信号处理等。
综上所述，小学微积分主要涉及基本概念、变化率和导数、极限、微分和积分、求导法则以及应用领域等知识点。
微积分的研究将帮助我们更好地理解和描述函数的变化规律，对于解决实际问题起着重要的作用。
微积分知识点归纳总结
微积分知识点归纳总结微积分的基本概念包括极限、导数和积分。
极限是微积分理论的基础，它描述了函数在某一点附近的行为。
导数描述了函数在某一点的变化率，而积分则描述了函数在某一区间上的累积。
首先我们来讨论一下极限。
在微积分中，极限是一个非常重要的概念，它用来描述一个函数在某一点附近的取值趋势。
当自变量趋近于某一特定的值时，函数的取值趋近于一个确定的值，这个确定的值就是极限。
我们通常用符号lim来表示极限，即lim(x->a)f(x)=L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的取值趋近于L。
在微积分中，我们主要关注的是无穷小量和无穷大量的极限。
接下来是导数的概念。
导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数曲线在某一点的切线斜率。
导数的计算公式是f'(x)=lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h，表示当自变量x的变化很小时，函数值的变化率。
在实际应用中，导数可以用来描述物体的运动状态、求解优化问题等。
最后是积分的概念。
积分是导数的逆运算，它描述了函数在某一区间上的累积。
在微积分中，我们通常用定积分来表示函数在某一区间上的积分值，即∫[a,b]f(x)dx。
积分的计算公式是定积分和不定积分，它们可以用来求解曲线下面的面积、求解物体的质量、求解函数的平均值等。
除了极限、导数和积分之外，微积分还涉及到一些其他重要的概念，比如微分方程、级数、多元函数等。
微分方程是描述自然界规律的重要数学工具，它可以用来描述动力系统的演化、化学反应的动力学等。
级数是将无穷个数相加得到的一个数，它在数学分析、概率统计等领域有广泛的应用。
多元函数是描述多个变量之间的关系，它在物理学、工程学等领域有重要的应用。
总之，微积分是数学中非常基础和重要的一门学科，它提供了描述变化和积分的工具，对于理解自然界规律和解决实际问题有着极大的帮助。
通过对微积分的学习，我们可以更好地理解自然界的规律，并运用数学工具解决实际问题。
希望本文的知识点归纳总结能够帮助读者更好地理解微积分的基本原理和应用。
微积分上重要知识点总结
微积分上重要知识点总结微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的变化率和积分，是应用数学和理论数学的基础。
以下是微积分的重要知识点总结。
1.限制和连续性微积分的基础是限制和连续性的概念。
限制是指函数在其中一点的极限值，可以通过求导来计算。
连续性是指函数在其中一区间上连续，也可以通过求极限来判断。
2.导数导数是描述函数在其中一点的变化率的量，表示函数的斜率或切线的斜率。
如果函数的导数存在，那么函数在该点处是可导的。
导数可以通过求极限的方法来计算。
3.基本导数一些基本函数的导数是我们需要熟记的，如常数函数的导数为0，幂函数的导数为其幂次减1，指数函数的导数为其自身。
此外，常用基本函数的和、差、积、商等的导数运算法则也需要掌握。
4.高阶导数除了一阶导数之外，函数还可以有更高阶的导数。
高阶导数表示函数的变化速率的变化率，可以通过多次求导来获得。
5.泰勒级数和泰勒公式泰勒级数是一种用无穷级数来表示函数的方法，可以将一个光滑的函数在其中一点展开成无穷和的形式。
而泰勒公式是将泰勒级数截断为有限项，用来近似计算函数的值。
6.积分积分是求函数在其中一区间上的累积之和。
通过求和的极限可以计算定积分。
积分是导数的逆运算，反映了从变化率恢复到原函数的过程。
7.定积分定积分是对函数在一个区间上的积分，表示该区间上函数的累积值。
可以通过定积分来计算曲线下的面积、质心、弧长等。
8.基本积分公式与导数类似，一些基本函数的积分也是需要熟记的，如常数函数的积分为其积分常数，幂函数的积分为其幂次加1的导数，指数函数的积分为其自身。
此外，常用基本函数的和、差、积、商等的积分运算法则也需要掌握。
9.使用积分求解面积、体积和弧长通过积分可以计算曲线下的面积、旋转曲线生成的体积以及曲线的弧长。
这些应用包括求解几何图形的面积、立体图形的体积和弯曲线的长度。
10.偏导数偏导数是多变量函数中对其中一变量求导的概念。
通过偏导数可以获得函数在一些方向上的变化率。
高中微积分重要知识点总结
高中微积分重要知识点总结一、函数与极限1. 函数概念：函数是一种特殊的映射关系，它将一个自变量映射为一个因变量。
2. 函数的性质：奇函数、偶函数、周期函数等。
3. 极限概念：当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于一个确定的常数。
4. 极限的性质：唯一性、有界性、保号性等。
5. 极限的计算方法：无穷小替换法、洛必达法则、泰勒展开式等。
二、导数与微分1. 导数的概念：函数在某一点的变化率。
2. 导数的性质：可加性、可积性、伊尔米特公式等。
3. 导数的计算方法：基本导数公式、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导等。
4. 微分的概念：函数值的变化量与自变量的变化量的比值。
5. 微分的性质：可加性、可积性、微分中值定理等。
三、微分中值定理与应用1. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等。
2. 泰勒公式及应用：泰勒展开式、泰勒公式的应用。
3. 凹凸性与拐点：二阶导数的概念、凹凸性的判定、拐点的判定。
四、不定积分与定积分1. 不定积分：初等函数的不定积分、换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、三角函数的积分等。
2. 定积分：黎曼积分的概念、定积分的性质、定积分的计算方法、定积分的应用。
五、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、微分方程的分类、微分方程的初值问题等。
2. 微分方程的解法：可分离变量法、齐次微分方程、常数变易法、一阶线性微分方程等。
3. 高阶微分方程：高阶微分方程的基本概念、高阶微分方程的解法、特解与通解等。
六、级数与收敛1. 级数的概念：无穷级数、收敛级数、发散级数、等比级数、调和级数等。
2. 收敛的判定：级数的收敛判定、级数的比较判别法、级数的积分判别法、级数的根值判别法等。
3. 级数的运算：级数的加法、级数的乘法、级数的分解、级数的换序等。
综上所述，高中微积分的重要知识点包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与应用、不定积分与定积分、微分方程以及级数与收敛等内容。
微积分(下册)第二版 第9章 微分方程
又y 0是原方程的解 ,
方程的解为: y C 1 x2 , C为任意常数.
二、齐次方程 形式：
dy dx
f
y x
解法 作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x du , u x du f (u),
dx
dx
dx
即
1 du f (u) u
1 dx. x
du f (u) u
◆微分方程的分类： 分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
2023/8/29
2
分类3: 线性与非线性微分方程: y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x y 0.
1 dx, x
例3
求解 dy x y 1. , 令u y，
dx
x
x
则y xu， dy u x du ,
dx
dx
u x du 2 u, dx
即 x du 2, dx
x du 2, dx
du 2 dx, 两边积分,得 u ln x2 c, x
如: y y, 通解 y cex;
y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x.
(2)特解: 通解中任意常数为确定值的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件.
2023/8/29
5
§9.2 可分离变量的微分方程 一、 可分离变量的微分方程 二、 齐次方程
一、可分离变量的微分方程
dx
dx
2 y3 dy 2xy2 2x3 dx
微积分函数知识点总结
微积分函数知识点总结一、函数的极限函数的极限是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某点处的值随着自变量的变化趋于某个值的情况。
函数的极限可以用数学语言表示为：若当x趋于a时，f(x)趋于L，则称函数f(x)在点x=a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
其中，a为自变量x的取值，L为函数f(x)的极限值。
极限的计算是微积分中的重要内容，它可以分为一侧极限和两侧极限。
一侧极限是指自变量x在趋于某一点a时，只从某一侧（左侧或右侧）接近a；而两侧极限是指自变量x在趋于某一点a时，既从左侧接近a，又从右侧接近a。
举例说明一下：对于函数y=1/x，当x趋于无穷大时，函数y的极限为0。
这是因为随着x的增大，1/x的值会越来越小，最终趋于0。
又比如对于函数y=x^2，当x趋于2时，函数y的极限为4。
因为当x接近2时，x^2的值也会接近4。
二、导数与微分导数是微积分中的另一个核心概念，它描述了函数在某一点处的斜率或变化率。
在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某点处的切线斜率，用数学语言表示为f’(x)或dy/dx。
导数的计算可以用极限的方法来进行，即导数等于极限值limΔx→0[f(x+Δx)-f(x)]/Δx。
微分是导数的一个应用，用以研究函数的变化率与微小的增量之间的关系。
微分的计算可以用导数的方法，即dy=f’(x)dx，表示函数y=f(x)的微小增量dy与自变量x的微小增量dx之间的关系。
导数与微分有很多重要的性质和定理，比如导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数等。
这些性质和定理在微积分中有着广泛的应用，可以用来简化复杂函数的导数计算，并且可以解决很多实际问题。
三、积分与定积分积分是微积分的另一个基本概念，它描述了函数在某一区间内的累积效果。
在几何意义上，积分可以理解为函数图像与坐标轴之间的面积，用数学语言表示为∫f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a,b]上的积分。
定积分是积分的一种特殊形式，它描述了函数在一定区间内的累积效果。
微积分(二)知识点总结9-4-5
第四节 多元复合函数的求导法则三、1. (10-7)设函数()(,)zf xy xg x xy =+，其中f 二阶可导，g 具有连续的二阶偏导数，计算2zx y∂∂∂。
分析: 在函数()xy x g ,中，第一个自变量为x ，按照习惯设xy v =，这时()()v f xy f =，()()v x g xy x g ,,=，而函数()v f 为一元函数（求导即可，不需要求偏导。
）；函数()v x g ,和xy v =为二元函数（需要求偏导。
）。
图示如下：yv dvdf yf∂∂∙=∂∂（下面用到的就是这一个）yv vg yg∂∂∙∂∂=∂∂（下面用到的就是这一个）口诀：分段用乘，分叉用加；单路全导，叉路偏导。
（题中X 和Y 关系不对等，显然y 的关系少，这样优先选择y 就会简单的多！） 解：设xyv =，（这个属于具体函数）则()()⑴v x xg v f z ,+=（这里面既有具体函数又有抽象函数。
）yv dvdf yf∂∂∙=∂∂（下面用到的就是这一个）yv vg yg∂∂∙∂∂=∂∂（下面用到的就是这一个）口诀：分段用乘，分叉用加；单路全导，叉路偏导。
（题中X 和Y 关系不对等，显然y 的关系少，这样优先选择y 就会简单的多！）对 ⑴ 式，把x 看作常数，由链式法则和函数求导法则中的⑴、⑵得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∙∂∂+∂∂∙=∂∂y v v g x y vdvdf yzx g x x f ⋅⋅+⋅=2＇22g x f x +⋅=＇⑵xv dvdf xf ∂∂∙=∂∂''（下面用到的就是这一个）口诀：分段用乘，分叉用加；单路全导，叉路偏导。
xv vg xg xg ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂222（下面用到的就是这一个）口诀：分段用乘，分叉用加；单路全导，叉路偏导。
对 ⑵ 式，把y看作常数，由链式法则和函数的和、积求导法则得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∙⋅+⋅=∂∂∂x v v g x g x xg x v dv df x f x y z222222'1＇ ()y g g xxg y f x f ⋅+++⋅⋅+=2221222〃＇所以，222212222yg x g x xg xyff yx z++++=∂∂∂〃＇。
微积分二知识点总结
微积分二知识点总结微积分二是大学数学的一门重要的基础课程，它是微积分的延伸和拓展。
在微积分一中，我们学习了函数的极限、连续性、导数和积分等基本概念和定理，而微积分二则进一步研究函数的微分方程、级数、多元函数及其常微分方程的计算方法等内容。
本文将对微积分二的一些重要知识点进行总结。
1. 级数级数是微积分二中的重要概念，它由一列数相加而成。
我们学习了级数的定义、收敛性判定准则（比较判别法、求和公式、积分判别法等）、级数运算（加法、乘法等）以及收敛级数的性质等。
2. 函数的多元极限在微积分一中，我们已经学习了函数的一元极限。
而在微积分二中，我们将进一步研究多元函数的极限。
多元极限研究的是当函数的自变量趋于某个值时，函数的取值趋于的情况。
我们学习了多元极限的定义、极限存在性的判定方法（夹逼准则、两变量函数的极限、多元函数的极限等）以及多元极限的性质等。
3. 偏导数偏导数是微积分二中的重要概念。
它用于描述多元函数在给定点上的变化率。
我们学习了偏导数的定义、求导法则（如多元复合函数的求导法则、高阶偏导数等）以及偏导数应用于切线、法线及极值等问题的求解。
4. 多元函数的微分微分是微积分二的重要内容之一。
我们学习了多元函数的微分定义、微分的性质（如线性性质、乘积规则、链式法则等）以及微分在函数近似计算中的应用等。
5. 多元积分多元积分在微积分二中有着重要的地位。
我们学习了二重积分和三重积分的定义以及性质，如积分的可加性、线性性质、换序性质等。
我们还学习了极坐标和球坐标系下的坐标变换和应用于积分计算的方法。
6. 常微分方程常微分方程是微积分二的重要内容。
我们学习了一阶线性微分方程和高阶线性微分方程的求解方法，如分离变量法、常系数线性齐次微分方程的求解法、特殊非齐次微分方程的求解法等。
我们也学习了常微分方程在生活中的应用，如人口增长问题和生物钟模型等。
通过对微积分二的这些重要知识点的总结，我们可以更好地理解微积分的基本原理和方法，并且能够应用于实际问题的求解。
大学数学微积分第九、十章 多元函数积分学曲面积分 知识点总结
第九、十章 多元函数积分学§9.4 曲面积分一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）基本计算公式：设曲面S 的方程 ()(),,,z z x y x y D =∈，(),z x y 在D 上有连续偏导数，(),,f x y z 在S 上连续，则()(),,,,,SDf x y z ds f x y z x y =⎡⎣⎰⎰⎰⎰这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算 二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）基本计算公式：如果曲面S 的方程 ()(),,,xy z z x y x y D =∈()xy ,Z x y D 在上连续，(),,R x y z 在S 上连续，则()(),,,,,xySD R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 若曲面S 指定一侧的法向量与Z 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积分化为xy 平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。
三、两类曲面积分之间的关系：[]cos cos cos SSpdydz Qdzdx Rdxdy p Q R dS αβγ++=++⎰⎰⎰⎰其中()cos ,cos ,cos ,,S x y z αβγ为曲面在点处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦{}{}00,,,cos ,cos ,cos SSF P Q R n Pdydz Qdzdx Rdxdy F n ds αβγ==++=⎰⎰⎰⎰令四、高斯公式定理 设Ω是由分块光滑曲面S 围成的单连通有界闭区域，()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在Ω上有连续的一阶偏导数，则S P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰[]cos cos cos SP Q R dS αβγ=++⎰⎰其中cos ,cos ,cos αβγ为S 在点(),,x y z 处的法向量的方向余弦 五、斯托克斯公式定理：设L 是逐段光滑有向闭曲线，S 是以L 为边界的分块光滑有向曲面，L 的正向与S 的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在包含S 的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有L Sdydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q R∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰S R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 也可用第一类曲面积分cos cos cos L SPdx Qdy Rdz dS x y z P QRαβγ∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰ 六、梯度、散度和旋度(外侧)1、梯度 设(),,,,,u u u u u x y z gradu x y z ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭则称为u 的梯度 ，令,,x y z ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭是算子则 gradu u =∇2、散度设()()()(),,,,,,,,F P x y z Q x y z R x y z =则P Q R divF F x y z∂∂∂=++=∇⋅∂∂∂ 称为F 的散度高斯公式可写成0SdivFdv F n dS Ω=⎰⎰⎰⎰⎰（外侧） 其中()0cos ,cos ,cos n αβγ=为外侧单位法向量 3、旋度()()()(),,,,,,,,,ij k F P x y z Q x y z R x y z rotF F x y z PQR∂∂∂==∇⨯=∂∂∂设 R Q P R Q P i j k y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝，称为F 的旋度。
微积分上知识点总结
微积分上知识点总结微积分的基本概念在学习微积分之前，我们首先要了解微积分的一些基本概念。
微积分的核心概念包括函数、极限、导数和积分。
函数：函数是自变量和因变量之间的关系。
通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数在微积分中扮演着非常重要的角色，因为微积分的很多概念都是建立在函数之上的。
极限：极限是微积分中的一个非常重要的概念。
在数学中，极限表示当自变量趋向于某个特定的值时，函数的变化趋势。
极限的计算可以帮助我们理解函数的性质，比如函数的连续性、存在性等问题。
导数：导数是函数的变化率的衡量。
如果一个函数在某一点的导数存在，那么这个导数表示了函数在这一点的瞬时变化率。
导数在微积分中有着广泛的应用，比如求解函数的极值、函数的图像特征等。
积分：积分是导数的逆运算。
通过积分，我们可以得到函数下某一区间的面积、函数的平均值等。
积分在微积分中也有着重要的应用，比如求解曲线下的面积、求解物体的体积等。
微积分的应用微积分作为数学的一颗明珠，其在自然科学、工程学、经济学、金融学等领域应用广泛。
下面我们简单介绍一下微积分在各个领域的应用。
自然科学：在物理学、化学、生物学等自然科学领域，微积分被广泛应用。
比如在物理学中，我们可以通过微积分来求解物体的速度、加速度、力等。
在生物学中，微积分可以用来建立生物模型、求解生物群体的增长速度等。
工程学：在工程学领域，微积分也有着广泛的应用。
比如在机械工程中，微积分可以用来求解机械零件的强度、材料的刚度等。
在电子工程中，微积分可以用来分析电路的稳定性、响应速度等。
经济学、金融学：在经济学和金融学领域，微积分也有着广泛的应用。
比如在经济学中，微积分可以用来建立经济模型、分析经济增长速度等。
在金融学中，微积分可以用来分析金融市场的波动性、利率的变化等。
微积分的学习方法学习微积分是一项相对较难的任务，因此学生需要有一套科学的学习方法。
下面给出一些学习微积分的方法。
掌握基础知识：在学习微积分之前，学生首先需要掌握好函数、极限、导数和积分的基础知识。
微积分知识点总结
微积分知识点总结
微积分是数学中重要的一门学科，它研究了函数的变化以及与其相关的概念和定理。
以下是微积分的一些基本知识点总结：
导数
导数是描述函数变化率的概念。
对于函数f(x)，导数f'(x)表示函数在某一点x处的变化率。
导数可以通过以下公式计算：
其中h表示极限趋近于0的一个小量。
积分
积分是导数的逆运算，用来求取曲线下的面积。
定积分可被定义为下面的极限形式：
其中a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数。
基本积分公式
微积分中有一些常见的函数的积分公式，它们被称为基本积分
公式。
这些公式可以用来简化积分运算。
一些常见的基本积分公式
包括：
微分方程
微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
它们在物理学、工程学等领域中广泛应用。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分
方程两类。
常见的微分方程类型有：
- 一阶线性微分方程
- 二阶齐次线性微分方程
- 二阶非齐次线性微分方程
泰勒级数
泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法。
通过使用泰勒
级数展开，我们可以近似表示函数在某一点附近的值。
泰勒级数可
由以下公式表示：
其中f(n)(x)表示函数f(x)的n阶导数。
这些是微积分的一些基本知识点总结。
深入学习微积分可以帮助我们更好地理解数学和解决实际问题。
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第四节 多元复合函数的求导法则
x w f x v f f x u ∂∂⋅+∂∂⋅+=∂∂321
y w f y v f y u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂32
z w f z u ∂∂⋅=∂∂3
x w
f x v f f x f ∂∂⋅+∂∂⋅+=∂∂2322212
y w f y v f y f ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂23222
z w f z f ∂∂⋅=∂∂232
x w f x v f f x f ∂∂⋅+∂∂⋅+=∂∂3332313
y w
f y v f y f ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂33323
z w f z f ∂∂⋅=∂∂333
三、1. (05-7) 设
),,(xyz xy x f u =，其中f
具有连续二阶偏导数，
试求
22
y u ∂∂，z x u
∂∂∂2
， z
y u ∂∂∂2。
(y
u ∂∂，z
u ∂∂.)
分析：对于22y u
∂∂别无选择---只能对y 求二次偏导数；
z
x u ∂∂∂2
，
z
y u ∂∂∂2
这个属于混合偏导数，且f 具有连续二阶偏
导数，所以可以自由选择求导次序。
题中X 、Y 、Z 关系不对等，显然z 的关系最少，这样优先选择z 就会简单的多！
解：设xy v =，xyz
w =（这两个属于具体函数）
则
()⑴ w v x f u ,,=（这个是抽象函数）
（题中X 、Y 、Z 关系不对等，显然z 的关系最少，这样优先选择z 就会简单的多！）
㈠、对 ⑴ 式，把、看作常数，由链式法则和函数求导法则得：
y w f y v f y u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂32
⑵⋯⋯+=32xzf xf
对 ⑵ 式，把、看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅⋅=∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂y w f y v f xz y w f y v f x y
f xz y f x y u 333223223
222 ()()xz f x f xz xz f x f x ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=33322322
3322322232222f z x zf x zf x f x +++=
33222322222f z x zf x f x ++=
㈡、对 ⑴ 式，把、y 看作常数，由链式法则和函数求导法则得：
z w f z u ∂∂⋅=∂∂3
⑶ 3xyf =
对⑶ 式，把
y
、看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂⋅+∂∂⋅+⋅+=∂∂⋅+=∂∂∂=∂∂∂x w f x v f f xy yf x
f xy yf x z u z x u 33323133
322 ()yz f y f f xy yf ⋅+⋅+⋅+=3332313
332322313zf xy f xy xyf yf +++=
㈢、对⑶ 式，把、看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅⋅+=∂∂⋅+=∂∂∂=∂∂∂y w f y v f xy xf y f xy xf y z u z y u 333233
322 ()xz f x f xy xf ⋅+⋅⋅+=33323
3323223yzf x yf x xf ++=。