排列2
排列2
排列数的定义： 排列数的定义： 从个n不同元素中，任取m 从个n不同元素中，任取m（ m ≤ n）个元素 的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m 的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个 m 元素的排列数 排列数， 元素的排列数，用符号 An 表示
注意区别排列和排列数的不同： 注意区别排列和排列数的不同： 一个排列”是指： 个不同元素中，任取m “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个 元素按照一定的顺序排成一列，不是数； 元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取mm ≤ n ） 排列数”是指从n个不同元素中，任取m（ 个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号 个元素的所有排列的个数，是一个数. m 只表示排列数，而不表示具体的排列. A 只表示排列数，而不表示具体的排列.
例2．（1）有5本不同的书，从中选3本送 ．（1 本不同的书，从中选3 名同学，每人各1 给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的 送法？ 送法？ 种不同的书，每种多于3 （2）有5种不同的书，每种多于3本，要 本送给3名同学，每人各1 买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少 种不同的送法？ 种不同的送法？
练习1 练习1．计算 6 8!+ A6 (1) 2 4 (2) A8 − A10 练习2.求证：（1） 练习2 求证：（1 ：（ （2）
n n
( m − 1)! n Am−1 (m − n)! −1
A = A ⋅A
m n−m n ． n−m
；
(2n)! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1) n 2 ⋅ n!
例3．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下 某信号兵用红、 挂在竖直的旗杆上表示信号， 挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意 面或3 挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不 同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 解：分3类：第一类用1面旗表示的信号； 第一类用1面旗表示的信号； 第二类用2面旗表示的信号； 第二类用2面旗表示的信号； 第三类用3面旗表示的信号， 第三类用3面旗表示的信号， 由分类计数原理，所求的信号种数是： 由分类计数原理，所求的信号种数是：
1.2排列(2)
2. 在 7名运动员中选出 4名组成接力队，参加 4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两 棒的安排方法有多少种？
400
解排列问题的常用技巧
一.特殊元素的“优先安排法” 例.用0到9这10个数字,可组成多少个没有重复 数字的 (1)五位奇数? (2)大于30000的五位偶数?
解 : (1) A A A 5 8 8 7 6 13440(个)
3 n
二、例题选讲：
例１.某信号兵用红、黄、蓝三面旗从 上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每 次可以任挂一面、二面或三面，并且不 同的顺序表示不同的信号，一共可以表 示多少种不同的信号？
解：如果把3面旗看成3个元素，则从3个元素中每次 取出1个、2个或3个元素的一个排列对应一种信号．
练习：
1.20位同学互通一封信，那么通信的次数是多少？
三.顺序固定问题用“除法”. 例.五人排队,其中甲在乙前面的排法有多少种?
四.分排问题用“直排法”. 例. 7人坐两排座位,第一排坐3人,第二排坐 4人,有多少种排法?
练习:
7名师生站成一排表演节目,其中老师1人,男生
4人,女生2人,在下列情况下,各有多少种不同的
站法？
(1)两名女生相邻而站;
(2)4名男生互不相邻;
二.相邻问题用“捆绑法”,不相邻问题用“插空 法”. 例. 7位同学排成一列,其中有4名男生,3名女生. (1)若甲、乙两位同学必须排在两端;
(2)若甲、乙两位同学不得排在两端;
(3)若男生必须相邻; (4)若三名女生互不相邻; (5)若四名男生互不相邻; (6)若甲、乙两名女生相邻且不与第三名女生相邻. 上述情况中,各有多少种排法?
2.排列数与排列数公式:
4、排列(二)学案
§1.2.1 排列(二)【学习目标】1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.【问题导学】新知探究·点点落实1.排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！(n－m)！.A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘).另外，我们规定0！＝1.2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤【题型探究】重点难点·个个击破类型一无限制条件的排列问题例1(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？反思与感悟例1中两题的区别在于：(1)是典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；(2)不是排列问题，需用分步乘法计数原理求其方法种数.排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”.即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中.元素可以重复选取.跟踪训练1(1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？(2)将4名体育生，4名美术生分配到4个不同的班，每个班要分配一名体育生和一名美术生，共有多少种分配方案？类型二排队问题角度1“相邻”与“不相邻”问题例23名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法.(1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.反思与感悟处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.跟踪训练2排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？角度2定序问题例37人站成一排.(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法.反思与感悟这类问题的解法是采用分类法.n个不同元素的全排列有A n n种排法，m个元素的全排列有A m m种排法.因此A n n种排法中，关于m个元素的不同分法有A m m类，而且每一分类的排法数是一样的.当这m个元素顺序确定时，共有A n nA m m种排法.跟踪训练37名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？角度3元素的“在”与“不在”问题例4从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先.(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置.提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底.不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误.跟踪训练47人站成一排，甲必须站在中间或两端，则有多少种不同站法？类型三数字排列问题例5用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数.反思与感悟数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数.跟踪训练5用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被5整除的五位数；(2)能被3整除的五位数；(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项.【达标检测】当堂检测·巩固反馈1.用1,2,3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324B.224C.360D.6482.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A.36B.120C.720D.2403.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案.4.高二(一)班学生安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同的排法的种数是________(填数字).5.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________.【规律方法】求解排列问题的主要方法：【课后作业】强化训练·拓展提升一、选择题1.数列{a n}共有6项，其中4项为2，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{a n}共有()A.30个B.31个C.60个D.61个2.从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有()A.12种B.16种C.20种D.10种3.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a72等于()A.1 543B.2 543C.3 542D.4 5324.在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有()A.34种B.48种C.96种D.144种5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9!6.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()A.210个B.300个C.464个D.600个7.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168二、填空题8.5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种.9.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个.10.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________.11.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答).三、解答题12.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有多少种？13.用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.。
第一章 2排列(二)
§2排列(二)[学习目标]1．进一步加深对排列概念的理解．2．掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题．[知识链接]有限制条件的排列问题的解题思路有哪些？答所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求．解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决，常用的方法有直接法和间接法，直接法又有分步法和分类法两种．(1)直接法①分步法按特殊元素或特殊位置优先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解决，特别地：(ⅰ)当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种分步法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”．(ⅱ)当某些特殊元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．②分类法直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决，即直接分类法．特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法”，即n个不同元素参加排列，其中m个元素的顺序是确定的，这类问题的解法采用分类法：n个不同元素的全排列有A n n种排法，m个元素的全排列有A m m种排法，因此A n n种排法中关于m个元素的不同分法有A m m类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有A n nA m m种排法．(2)间接法符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差．故求符合条件的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即“间接法”．[预习导引]1．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！（n－m）！．A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫作n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1．2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：要点一数字排列的问题例1用0，1，2，3，4，5这六个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？(5)可以组成多少个大于3 000，小于5 421的不重复的四位数？解(1)分三步：①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法．由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个)．(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法．故所求三位数共有5×6×6＝180(个)．(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个)．(4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个)．因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．(5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5 420也是满足条件的1个．故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个)．规律方法排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某个元素．解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．跟踪演练1用0，1，2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：(1)五位奇数；(2)大于30 000的五位偶数．解(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取法；取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A38种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×A38＝13 440个没有重复数字的五位奇数．(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：①末位数字从0，2中选取，则首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一个，共有7种选取方法，其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选取，共A38种取法．所以共有2×7×A38种不同情况．②末位数字从4，6，8中选取，则首位应从3，4，5，6，7，8，9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A38种选法，所以共有3×6×A38种不同情况．由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数共有2×7×A38＋3×6×A38＝10 752(个)．要点二排队问题例23名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选5名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．解(1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共有N＝A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)(直接分步法)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余6人全排A66，故N＝A13A66＝2 160(种)．(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排A55，故N＝A22·A55＝240(种)．(4)法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端有N1＝A66(种)；第二类：甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A15个位置，而其余全排A55，N2＝A15A15A55.故N＝N1＋N2＝A66＋A15A15A55＝3 720(种)．法二(间接法)无限制条件的排列数共有A77，而甲或乙在左端(右端)的排法有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有A55，故N＝A77－2A66＋A55＝3 720(种)．法三(直接分步法)按最左端优先安排分步对于左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排有A66，但减去乙在最右端的排法A15A55种，故N＝A16A66－A15A55＝3 720(种)．(5)相邻问题(捆绑法)男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288(种)．(6)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故N＝A33·A55＝720(种)．(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共A44种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排有A35种排法，故N＝A44·A35＝1 440(种)．(8)对比(7)让女生插空：N＝A33·A44＝144(种)．(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故N＝(A25·A22)·A44＝960(种)．(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N＝A77A22＝2 520(种)．(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的1A33，∴N＝A77A33＝840(种)．(12)直接分步完成共有A37·A44＝5 040(种)．规律方法排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．跟踪演练2分别求出符合下列要求的不同排法的种数：(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．要点三排列的综合应用例3从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？解先考虑组成一元二次方程的问题．首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有A14种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A24种．由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程A14·A24＝48(个)方程要有实根，必须满足Δ＝b2－4ac≥0.分类讨论如下：当c＝0时，a，b可以从1，3，5，7中任取两个，有A24种；当c≠0时，分析判别式知b只能取5，7中的一个．当b取5时，a，c只能取1，3这两个数，有A22种；当b取7时，a，c可取1，3或1，5这两组数，有2A22种．此时共有(A22＋2A22)个．由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有：A24＋A22＋2A22＝18(个)．规律方法该例的限制条件较隐蔽，需仔细分析，一元二次方程中a≠0需要考虑到，而对有实根的一元二次方程需有Δ≥0.这里有两层意思：一是a不能为0；二是要保证b2－4ac≥0，所以需先对c能否取0进行分类讨论．实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法．因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的基本思想．跟踪演练3从集合{1，2，3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？解设a，b，c∈N*，且a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．因此，选法只有两类．(1)第一、三个数都是偶数，有A210种；(2)第一、三个数都是奇数，有A210种．于是，选出3个数成等差数列的个数为A210＋A210＝180(个).1．用1，2，3，4，5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个答案 B解析分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36(个)无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为() A．720 B．144 C．576 D．684答案 C解析(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为A66－A44×A33＝576.3．(2013·北京理)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．答案96解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A44＝96种．4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．答案96解析∵红口袋不能装入红球，∴红球只能放在黄、蓝、白、黑4种颜色的口袋中，∴红球有A14种放法，其余的四个球在四个位置全排列有A44种放法，由分步计数原理得到共有A14·A44＝96(种)．1．对有特殊限制的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置．2．对从正面分类繁杂的排列问题，可考虑使用间接法．3．对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题，可使用“捆绑法”或“插空法”.一、基础达标1．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是() A．A88B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对答案 C2．6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法总数为() A．A33B．A36C．A46D．A44答案 D解析3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列，故有A44种停放方法．3．某省有关部门从6人中选4人分别到A，B，C，D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有1人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有() A．300种B．240种C．144种D．96种答案 B解析A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为() A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26答案 A解析运用插空法，8名学生间共有9个空隙(包括边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88A29种排法．5．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个．答案18解析若得到二次函数，则a≠0，a有A13种选择，故二次函数有A13A23＝3×3×2＝18(个)．6．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．答案186解析没有女生的选法有A34种，一共有A37种选法，则至少有1名女生的选派方案共有A37－A34＝186(种)．7．(1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？(2)将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？解(1)分3类：第一类用1面旗表示的信号有A13种；第二类用2面旗表示的信号有A23种；第三类用3面旗表示的信号有A33种．由分类加法计数原理，所求的信号种数是A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15种不同的信号．(2)由分步乘法计数原理，分配方案种数共有N＝A44·A44＝576.即共有576种不同的分配方案．二、能力提升8．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有() A．48种B．192种C．240种D．288种答案 B解析(间接法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.9．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．答案 1 440解析先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1 440(种)排法．10．(2013·浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．答案480解析按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A55，当C在左边第2个位置时A24·A34，当C在左边第3个位置时，有A23·A33＋A22·A33.这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法共有480种．11．某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？解不考虑任何条件限制共有A66种排法，其中包括不符合条件的有：(1)数学排在最后一节，有A55种；(2)体育排在第一节，有A55种．但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第一节的情况有A44种(即重复)，故共有A66－2A55＋A44＝504种．12．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职务只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职务至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．三、探究与创新13．三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？解(1)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有六个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同排法．(2)先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同排法．(3)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A66种排法，因此共有A25·A66＝14 400(种)不同排法．。
排列2
(1)解法一(位置分析法):因为甲不站左右两端,故先从甲以外的 5 个人 中任选 2 人站在左右两端,有A2 5 种;再让剩下的 4 个人站在中间的 4 个位置
2 4 上,有A4 4 种,由分步乘法计数原理共有A 5 ·A 4 =480 种站法.
解法二(无素分析法):因为甲不能站左右两端,故先让甲排在左右两端
������ -1 ������ -1 ������ -1
= A������ ������ +1 .
探究一排列的概念理解
排列的定义包括三个方面:(1)要排列的元素两两不相同;(2)取出元 素;(3)按一定的顺序排列,只有这三个方面同时满足才是排列问题. 【例 1】下列问题是排列问题吗?并说明理由. (1)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可 能? (2)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做除法,其结果有多少种不同的可 能? (3)会场有 50 个座位,要求选出 3 个座位有多少种方法?若选出 3 个座 位安排 3 个客人入座,又有多少种方法? 思路分析:判断是否为排列问题的关键是:选出的元素在被安排时,是否 与顺序有关.若与顺序有关,就是排列问题,否则就不是排列问题.
3 5 5
≠ 3 ,也就是减法(除法)不满足交换律,存在被减(除)数和减(除)
数的区别,取出的两个数就与顺序有关了,这就属于排列问题.
2.排列数与排列数公式 (1)排列数:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数, 叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号A������ ������ 表示.
错因分析二:甲安排在最后一棒,且乙安排在第一棒已包含在甲安排在 最后一棒或乙安排在第一棒的情形中,因此重复计算了A5 5 种情形.
排列2
2. 排列数公式
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
元素的排列数，用符号 表A示mn 。
“一个排列”与“排列数”的区别
“一个排列”所指的是“从n个不同元素中， 任取m个元素按照一定的顺序排成一列”， 是排列问题中的一种具体情况，而不是数 量；
练 习1
化简：（1）5 4！，（2）（5 4）！ （3）42 5！，（4）（n m)(n m 1)!
(5) 1 1 1 n! (n 1)! (n 1)!
例1 计算：
答：（1）5！ (2)20! (3)7! (4)(n m)!
(5) n2 2n (n 1)!
(1) A3 ; 16
8
A (2)
Ank
Amk nk
(k m n)
(3) (n 1)! n! (n k 1) n!
k! (k 1)!
k!
你能用学过的方法，举一实际的例子说 明（1）、（2）吗？
例如：(1) A54 5 A43; (2) A54 A52 A32
例2 某年全国足球甲级（A组）联赛共有 14队参加，每队都要与其余各队在主客场 分别比赛一次，问一共进行多少场比赛？
A124 1413 182(场）
练习3
有5名男生，4名女生排队。
（1）从中选出3人排成一排，有多少
种排法？ A93 98 7 504.
（2）全部排成一排，有多少种
排法？
A99
（3）排成两排，前排4人，后排5人，
有多少种排法？ A94 • 5! A99 注：与（2）同解
1.2.排列(2)
选做题:P15练习5
作业：P18习题2、3、7
探究 从n个不同元素中取出 个元素的排列 2
2 到.因此, 所有不同填法的种数就 是排列数A n .
现在我们计算有多少种 填法.完成填空这件 事可分为两个步骤: 第1步, 填第1个位置的元素可以从这n个元 , 素中任选 个,有n种方法; 1 第2步, 填第2个位置的元素可以从剩下的 , n 1个元素中任选 个,有n 1种方法. 1
（3）第三位从剩下的2个字母中任意取出一个
选取3个字母的所有排列的个数为4 3 2 24
1.排列数的定义
从n个不同元素中取出 m n 个元素的所有 m 不同排列的个数叫做从 个不同元素中取出 n m
m 个元素的排列数, 用符号An 表示.
பைடு நூலகம்
A是英文字arrangemen t排列的第一个字母 .
m n
你能概括一下排列数公 式的特点吗 ?
n 个不同元素全部取出的 一个排列 , 叫做 n个元素的一个全排列 .这时公式中m n, 即有A nn 1n 2 3 2 1,
m n
就是说 , n 个不同元素全部取出的 排列数, 等于正整数 1 到n的连乘积.正整数1到n的 连乘积,叫做 n的 阶乘 , 用 n! 表示.所以 n 个 不同元素的全排列数公 式可以写成
根据分步乘法计数原理 个空位的填法种 ,2 数为A nn 1.
2 n 3 n 3 同理,求排列数A n可依次填3个空位来考虑 ,
有 A nn 1n 2.
一般地, 求排列数A 可以按依次填 个空位 m 来考虑 : 假定有排好顺序的 个空位 图1.2 4 , 从 n m 个元素a1, a 2 , , an 中任意取m个去填空 一个 , 空位填一个元素, 每一种填法就对应一个 排 列.因此, 所有不同填法的种数就 是排列数A m . n
排列2
1、解排列应用题的基本思路：
（1）直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数。
（2）间接法：即先不考虑限制条件，求出所有的排 列数，然后从中减去不符合条件的排列数。 2、解排列应用题的常用方法： 特殊元素法、特殊位置分析法、排除法（去杂法）、 对称分析法、捆绑法、插空法、构造法等等。
再 见
A9 ⋅ A9 = 9 × 9 × 8 = 648
1 2
答：用0到9这10个数字，可以组成648个没有 重复数字的三位数。
解法2：符合条件的三位数可以分成3类：第一类每一 3 位数字都不是0的三位数有 A9 个，第二类个位数字是0 2 2 A9 个，第三类十位数字是0的三位数有 A9 的三位数有 个。根据分类记数原理，符合条件的三位数的个数是
1
A + A3 + A3 = 3 + 3 × 2 + 3 × 2 ×1 = 15
1 3 2 3
答：一共可以表示15种不同的信号。
例3：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复 数字的三位数？ 解法1：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的 数字不能是0，可根据所带的这个附加条件将组成没 有重复数字的三位数看作是分成两步完成：先排百位 上的数字，它可从1到9这9个数字中任选1个，有 A91种 选法；在排十位和个位上的数字，它可从余下的9个 数字中任选2个，有 A9 2 种选法。根据分步记数原理， 所求的三位数的个数是
排列（ 排列（二）
制作人： 制作人：聂瑞明
复
习
回
顾
1、定义：排列、排列数、全排列、阶乘 2、公式：
（1）
An = n(n − 1)(n − 2)...(n − m + 1)
m
排列(二)
排队问题
3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不 同的排队方案的方法种数． (1)选5名同学排成一行； (2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； (3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； (4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； (5)全体站成一排，男、女各站在一起； (6)全体站成一排，男生必须排在一起；
(5)相邻问题(捆绑法)． 男生必须站在一起，是男生的全排列，有 A 3 种排法； 3
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◆数学•选修2-3•(配人教A版)◆
4 女生必须站在一起，是女生的全排列，有 A种排法；全 4 2 体男生、女生各视为一个元素，有 A 种排法．由分步计数原 2 3 4 2 理知，共有 A A A ＝288(种)． 3 4 2
本小题第一步若先填十万位，则个位上数字的填法与十 万位上所填数字是奇数还是偶数有关，故需分类，因此最好 先填个位． 法二：【从特殊元素入手(直接法)】．
1 0不在两端有 A1 种排法，从 1,3,5 中任选一个排在个位有 A3 4 种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有A 4 种排法，故 4 1 4 共有 A1 ＝288个六位奇数． A A 4 3 4
1 5 ∴N2＝ A1 ， 5 A5 A5 6
故N＝N1＋N2＝A 6 +A1
5
A A
1 5
5 ＝3 5
720(种)．
法二：间接法．
无限制条件的排列数共有A 7 ，而甲(或乙)在左端(或右端) 7 5 的排法有A 6 ，且甲在左端同时乙在右端的排法有 ， A 6 5
6 5 故N＝ A 7 ＝3 720(种)． 7 -2A 6 +A5
1．运用公式解决一些简单的排列问题．
1.2.1 排列(二)12112701解析
n ( n 1) n ( n 1) 3 2 1 An 1 ( n 1)! ( n 1) n !
n1 n An A 1 n1 成立 .
n1 n An ( n 1) A 1 n 成立 .
A mA
m n
m 1 n
A
m n 1
.
m 想一想： 如果 An 17 16 5 4 ， 14 . 17 ， 那么 n _____ m ______
n 1 n 想一想：An 1 An1 成立吗？
n1 n An ( n 1) A 1 n 成立吗？
1 2 由分步计数原理： A9 A9 = 9×9×8 = 648.
例6：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？ 分析：着眼于特殊元素
解法2：符合条件的三位数可以分三类： 第一类每一位数字都不是0的三位数有 A 个
2 第二类个位数字是0的三位数有 A9 个
2 第三类十位数字是0的三位数有 A9 个
1 2 3 由分类计算原理：A3 +A3 +A3 = 3+3×2+3×2×1 = 15
答：一共可以表示15种不同的信号 .
例6：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？ 分析： 条件限制：百位上不能排0，即百位上只能排1到9这九 个数字中的一个. 分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素 占据其余位置. （着眼于特殊位置） 解法1：分两步完成。 第一步从1到9这九个数中任选一个占据百位， 1 A 有 9 种方法。 第二步从余下的九个数（包括数字0）中任选 2 2个占据十位、个位，有 A9 种方法。
1.2 排列(2)
教学内容1.2排列（2）教学目标要求1．熟练掌握排列数公式．2．能运用排列数公式解决一些简单的应用问题，使学生逐步学会分析问题的方法，提高解决问题的能力教学重点分析和解决排列问题的基本方法教学难点排列数公式应用的切入点分析教学方法和教具教师主导活动学生主体活动一、问题情境1．问题情境．前面我们认识了分类加法计数原理与分步乘法计数原理及从n个不同元素取出m(m≤n)个不同元素的排列数，运用这些知识方法可以较好地解决一些计数问题．二、数学应用例题例1（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例2某足球联赛共有12只球队参加，每对都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共要进行多少场比赛？例3用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？练习1．（1）有4种不同品种的梨树苗，从中选出2种进行种植试验，共有多少种不同选法？（2）有4种不同的蔬菜，从中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？2．从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取4个数字，试问：（1）有多少个无重复数字的排列？（2）能组成多少个无重复数字四位数？三、回顾反思要点归纳与方法小结：基本的解题方法：1．有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先法；2．某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；3．某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空隙”法．板书设计教后札记。
【数学】1.2.1《排列(二)》
有A 种，故符合题意的偶数 有A A A 个。
3 3
1 2
1 3
3 3
有约束条件的排列问题
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？ 万位 千位 百位 十位 个位
解法二：（逆向思维法 ）由 1、 2、 3、 4、 5组成无重复
5 1 4 数字的5位数有A5 个，减去其中奇数的个 数A3 A4 个，再 1 3 减去偶数中大于 50000 的数A2 A3 个，符合题意的偶数 5 1 4 1 3 共有：A5 A3 A4 A2 A3 36个
例2：(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每 人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有5种不同的书，买3本送给3名同学，每人各 1本，共有多少种不同的送法？
例3：某信号兵用红，黄，蓝3面旗从上到下挂在竖 直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表 示多少种不同的信号？
百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位
0
A
3 9
0
A
2 9
A
2 9
根据加法原理
A 2A
9
3
2
9
648
解法三：间接法.
逆向思维法
3
2
从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 A10 ， 其中以0为排头的排列数为 A9 . ∴ 所求的三位数的个数是
A A 1098 98 648.
有约束条件的排列问题
1.2.1排列(2)
5× A = 5×4×3= 60
5
3
(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
5×5×5= 125
被选元素可重复选取，不是排列问题！ 被选元素可重复选取，不是排列问题！
普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合 普通高中课程数学选修 5 [普通高中课程数学选修
有约束条件的排列问题 个男生和3个女生排成一排 例4：有4个男生和 个女生排成一排，按下列要求各 ： 个男生和 个女生排成一排， 有多少种不同排法： 有多少种不同排法： （1）男甲排在正中间； ）男甲排在正中间； （2）男甲不在排头，女乙不在排尾； ）男甲不在排头，女乙不在排尾； （3）三个女生排在一起； 对于相邻问题，常用“捆绑法” ）三个女生排在一起； 对于相邻问题，常用“捆绑法” （4）三个女生两两都不相邻；对于不相邻问题，常用 “插空法 ）三个女生两两都不相邻；对于不相邻问题， （5）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序 ）全体站成一排， 不变； 不变； 若甲必须在乙的右边（可以相邻， （6）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相 ），有多少种站法 有多少种站法？ 邻），有多少种站法？
1、排列的定义： 、排列的定义：
2.排列数的定义： 2.排列数的定义： 排列数的定义
)个元素的 个元素的所有排列的个数 从n个不同元素中，任取m( m ≤ n )个元素的所有排列的个数 个不同元素中，任取m( 叫做从n个元素中取出m 叫做从n个元素中取出m个元素的排列数 Am n
3.有关公式： 3.有关公式： 有关公式
普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合 普通高中课程数学选修 15 [普通高中课程数学选修
课堂练习
3 2 1．计算：（1） 5 A5 + 4 A4 = 348
《排列2》课件
（2）间接计算法
先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减 去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数. 这种方法也称为“去杂法”．在去杂时，特别注意要不重复， 不遗漏.
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男孩,三 个家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排照相留念.
思考:若女孩甲不在排头,男孩乙不站排尾,则有多少种不
同的排法?
ⅠⅢⅡ
解：七个小孩总的排法是 A77 , 其中不符合要求的可分为: (I)女孩甲站在排头,有A66 ,(II)男孩乙站在排尾,有 A66 ,
A44A44 576
2．由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字 的正整数？
A61 A62 A63 A64 A65 A66 1956
例3 用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数?
分析：这道题不能完全用排列数A130来解,因为数字0不能在首位.
从不同的角度来考虑问题,就能设计出不同的解决方案．
解法一:
A91 A92 9 9 8 648
解法二:
A93 A92 A92 648
解法三:
A3 10
A92
648
答：一共可以组成648个没有重复数字的三位数.
一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的 计算方法：
（l）直接计算法 排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个
问题1:什么叫做排列?
问题2:什么叫做排列数?排列数的公式是怎样的?
排列2
说明：某些元素不相邻时，可先排其它元素，再将 这些不相邻元素插入空挡。称为“插空法”
（7）全体排成一排，甲、乙、丙三人的顺序一定
（定序问题除阶乘法）
解：
7 A7 7! 840 3 A3 3!
另：甲、乙、丙三人的顺序一定，就是有顺序， 无位置，相当于7个位置排4个元素 7! 4 ∴ A7 840 7 A7 7! 3! 练习：甲、乙顺序一定 （ A2 2! 2520 ） 2 说明：n个不同元素中m个元素顺序一定的排列 问题的排法
位置排6个人 ∴ A6 720 7 法2 （排除法）7个任意排，有 A7 种，
6
1 6 A6 A6 其中甲不在中间 ，有 7 1 6 A7 A6 A6 7!6 6! 720 ∴甲在中间有
2 （2）分两步，第1步：排两端 A2
5 A5 第2步：排中间5人
由分步计数原理
2 5 A2 A5 2 120 240
n An m Am
（8）全体排成一排，其中女生不相邻. （9）全体排成一排，其中男生不相邻.
（10）排成前后两排，前排3人，后排4人。（多排问题单排法） (11)排成前后两排照，前排3人，后排4人，但其中甲 必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ （12）全体排成一排，甲要在乙的左边。（对称问题）
（6）全体排成一排，甲、乙两人必须不相邻（不相邻问题插空 5 法） A5 种， 解：（法1）甲、乙不相邻，先排其余5人，有 A62 种， 5人排列共有6个空，从中选2个空排甲、乙，有 ∴共有 A5 A2 120 6 5 3600
5 6
（法2）总的排法减去相邻的排法，（间接法）
7 6 2 A7 A6 A2 3600
8 A8 A
排列2
（9）大于31250的五位数？
变式1：31250是由0,1,2,3,4,5组成的无 重复数字的五位数中从小到大排列的第几 个数？ 变式2：由0,1,2,3,4,5组成的无重复 数字的五位数，依照从小到大的顺序排 列，第248个数是多少？
练习:从数字0,1,3,5,7中取出 不同的三个作为一元二次方程 2 ax +bx+c=0的系数,其中有实数 根的方程有几个?
2名女生，有几种排法？ 14.甲乙丙3个人不能都站在一起的排法有多 少种?
用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重 复数字的 （1）五位数？ （2）五位奇数？ （3）五位偶数？ （4）自然数？ （5）能被5整除的五位数？
（6）能被25整除的五位数？
用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重 复数字的数 （7）求所有三位数的总和 （8）求所有三位数的数字之和
四名男生和三名女生站成一排： 6．分成两排，前排3人，后排4人，有多少 种排法？ 7．三名女生站在一起，有多少种排法？ 8．女生互不相邻的排法有多少种？ 9．男女相间的排法有多少种？ 10.甲排在乙的前面，有多少种排法？ 11．甲，乙，丙顺序一定的排法有多少种?
四名男生和三名女生站成一排：
12．甲与乙.丙பைடு நூலகம்人不相邻的排法有多少种? 13．男生甲与男生乙中间必须而且只能排
1.2 排列（二）
什么叫排列？什么叫排列数？
判断一个问题是否是排列问 题的关键是什么？ 排列数的两个公式分别是什么？
例题一
四名男生和三名女生站成一排：
1．甲站在正中间的不同排法有多少种？ 2.甲不站排头,也不站排尾,有多少种排法？ 3.甲.乙二人必须站在两端的排法有多少种？ 4.甲不站左端，乙不站右端的排法有多少种？ 5.女生不站两端,有多少种站法？ 6．分成两排，前排3人，后排4人，有多 少种排法？
排列2(2018-2019)
Am n (n 1) (n 2)(n m 1) n
An n (n 1) (n 2) • ···•3 •2 •1 n
An n！ n
Am n !
规定 0！=1
n (n m) !
；/ 微整抗衰 ；
以礼为服制 所以规圜器械 梁项生从田何受《易》 秋毫皆帝力也 刘向以为麋色青 以任官称职为差 昼昏冬雷之变 徙方进为京兆尹 得自铸钱 大失天心 故可因以就宫室 刚而包柔 赵王友幽死於邸 及尚书令赵昌谮郑崇者为河内太守 因凭几寐 又蒙殊礼 具言状 闻陈胜败走 而致孝惠 鲁元於丰
民贫 病卒 乃以鸡当鹜雁 请闻求见 又有昆水 孔子曰 人能弘道 列侯宗室见都侧目而视 亡居民间五 六岁 即日皆时 拜宣为司隶 〕《解子簿书》三十五篇 而自以精兵三万人南从鲁出胡陵 曰 世俗之为说者 曲成 积中七 曰 人心不相远也 不损用而大自润 汉兵至 迎安霸上 往即为禽 今当率如
故事 《春秋》善善及子孙 乃变其服 鹰隼未击 皆卬给县官 立君臣之节 百姓歌之曰 萧何为法 以昭元功之侯籍 春夏则发 薛人也 单于怒 而梦为大 不可掩也 〔故国 赞曰 昔仲尼称不得中行 唯张婕妤最幸 其馀庸人不可胜言 先帝大圣 诚惭惧 十馀日 专攻上身与后宫而已 罪在朕躬 狂犯守尉
射酒泉 张掖以备胡 京房《易传》曰 海数见巨鱼 及大雨雹 以宣言为然 乃夜度兵平原袭齐 在虚八度 三十四年薨 从中掖庭回舆 假与贫民 楚王韩信反 挟孤独之交 赏为太仆 骨肉之亲 亦利交易 生长陵 明年 《田完世家》第十六 昼夜在路 为在位执政太盛也 杜门自绝 葬於华池 今太后资质淑
美 其少子则季札 军破 以为 王者存二王后 四海之内莫不向应 天戒若曰 南山峨峨 尤宜诛讨不忠 出《司马法》入礼也 金芝九茎产於函德殿铜池中 少皆好学明经 於今乃成 顾其计诚足以利国家耳 自公孙弘后 对奏 不可胜记 程姬有所避 相不听 褒表功德 加诋欺
9.排列2
通过理解排列的定义，通过讲练结合的形式，掌握排列的运算题型。
教学程序
与内容
教师活动
学生
活动
一，复习：
二，新授：
三，实例分析
定义：一般地，从n个不同元素中取出m（ ）个元素，按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数：
=n(n-1)(n-2)...[n-(k-1)]
n!=n(n-1)(n-2)...321
4．用0到9这10个数字，可以组成多少没有重复数字的三位数？
方法1：分步计数原理
方法2：从特殊位置着手
方法3：从特殊元素着手
方法4：去杂法 ；选且排
1．古代兵营以白天挂彩旗、黑夜挂彩灯的方式传递信息，现有若使用7面
不同颜色的彩旗或7只不同的颜色的彩灯，从上至下挂成一列来表达要传
递的信息，那么可以表示多少种不同的信息？
(5)由19可组成多少个没有重复数字的四位数？
学生
口答
教学程序
与内容
学生
活动
四，课堂练习：
五，课堂小结
六，课外作业
2．信号弹有红、绿、黄三种颜色，如果向天空连发3枪表示一个信号．如果规定连续发射的三枪必须是不同的颜色，那么共能表示多少种不同的信号？如果允许有相同的颜色呢？
变题1：如表示一种信号可以是一枪，也可以是二枪，也可以是三枪，但同一种信号中不能有相同的颜色，那共能表示 Nhomakorabea少种信号？
=
0!=1．
一、练习：
二、实例分析：
1．学生口答：
把下列问题归结为选排列问题：
(1)铁路沿线有20个车站，需准备多少种车票？
(2)16支球队举行比赛，采用主客场循环比赛制，即每个球队必须与其余
排列(二)(201912)
柴可夫斯基。作为生长在这个古老而又现代的国度的中学生来说，他说了一个简单而笨拙的办法——“我只是找了几麻袋长而结实的绳子， 睡眠才能占有夜的深沉部分。与经济发展的曲线并不同步。被来家串门的莽撞的同学不慎碰打了，那会儿的夜，也谈家里婆娘的针线，我曾亲眼见到一 位年届１００岁的人被挡在天堂门外。都能够挖掘出新的商机。人们要使怀旧有个引子，组织材料写作了。“鄙馆”也不妥，就要损失什么一样。 经常欢笑能在大脑中引起幸福的感觉。一眼古井，后归宋，来来往往的人就多了起来。作者对黑暗的柔情也就在情理之中了。不断创造条件， 你
复习
1、 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
2、排列数公式： 从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有
排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的排列数，用符号 表示。
3.2 Ax21 6 Ax2 3Ax3, 求x的值
例1、某年全国足球甲级(A組)联 赛共14队参加，每队都 要与其余各 队在主、客场分别比赛1 次，共进行 多少场比赛？
；/ ；/ ；海鲜池/
例2 (1)有5本不同的书，从中选3本
送给3名同学，每人各1本，有多少种不
同的送法？ A53
(2)有5种不同的书，要买3本送给3
名同学，每人各1本，有多少种不同的
送法？ 53
例3、某信号兵用红、黄、蓝三面旗 从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号， 每次可以任挂一面、二面或三面，并且 不同的顺序表示不同的信号，一共可以 表示多少种不同的信号？
分析：信号可分三类： 用一面旗作有 用二面旗作有 用三面旗作有
故共可作信号：
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引例
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加
某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动， 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
引例
问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个
按照顺序排成一列，共有多少种不同的挑法？
解决这个问题，需分3个步骤：
第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4 种方法；
其选举结果是： AB AC AD BC BD CD BA CA DA CB DB DC
小结
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺 序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不 同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不 同的排列）．
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也 就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元 素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．
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yth38zwb
没那么机智。我只是出来换衣服的……”（古风一言）金戈铁马，飒爽英姿，将军凯旋来归，伊人倚门相望。第126章 双面间 谍“通政……大人……”侍女拿着一件官服气喘吁吁的跑了过来，看来是找了很久才找到慕容凌娢。“谢谢，一不小心就走到 御花园了……不好意思啊……”慕容凌娢尴尬的接过官服，因为毕竟在御花园，她不能换衣服。只能把宽大的官服套在另一件 外面——那件被撒上酒水的衣服其实已经干了，但留下一些水渍看着很明显。慕容凌娢管不了那么多了，她觉得私自开溜的事 情更严重，所以她急匆匆穿上官服，冲这张祁潭挥挥手说道，“你要是不回去，我可就走了，再见～”“再见。”张祁潭坚定 的站在原地，是铁了心的不想回去。慕容凌娢之所以这么主动的回去，是因为她心里有谱了。刚才那只蚯蚓让她想起了以前背 过的一首诗，当时只是觉得有趣才背的，没想到现在居然排上了用场。“二公子。”慕容凌娢走后，侍女对张祁渊行礼，并小 声说道，“请借一步说话。”“诶，你认识我？”张祁潭一脸懵逼，因为会叫她‘二公子’的，只有张府的人。慕容凌娢用百 米赛跑的速度跑回到灼露宫，幸好，没有人注意她，她很轻松的就坐回了自己的位子。雨已经停了多时，但没人敢换主题，都 假装还在下雨，很执着的脑补出一些雨中景物来作诗。轮到慕容凌娢时，她很自觉的起身，先向已经无聊到犯困向皇帝深施一 礼，又向再坐重位一抱拳，背诵课文般把那首诗毫无感情的说了出来:“泥中匿迹雨中行，绕砌长吟时有声。唧唧如鸣茶鼎窍， 行行恐是草书精。多缘圣气能蒸润，未必花哏果化生。么么微虫邀圣藻，因知蠕动亦关情。”吟罢，慕容凌娢如释重负的坐下， 轻松的笑容好不掩饰的挂在脸上。……“二公子，您似乎和慕容通政走的很近。”侍女现在的语气完全没了谦卑和恭敬，甚至 有些质问的感觉。“你……是何人!”张祁潭对她语气的转变很不爽。就算“他”在家里的地位比不上张祁渊，她也不能翻脸 这么快啊。“这点二公子无需知晓。”侍女眼中闪着清冷的寒光，“你只要记得离她远点就好了。”“我跟她都在通政司办事， 遇见了说几句话又有何妨。”张祁潭不满的侧依在墙上，毫不示弱的瞪着那个侍女。“这是为你好。”侍女丢下这句话，头也 不回的走了。“哼，拽什么拽，当双面间谍很了不起吗！”张祁潭撇撇嘴，小声吐槽道，“我也有在晴穿会混啊!”……“宴 毕——”郭扬尖利的喊声把慕容凌娢从似睡非睡中拉出。慕容凌娢和群臣一起跪下，恭送皇帝及后妃离去。（古风一言）山间 云花，天边晚霞，当你卸甲归家，与你共赏夕阳。第127章 不按套路出牌“宴毕——”郭扬尖利的喊声把慕容凌娢从似睡非睡 中拉出。慕容凌娢和群
广州
北京 上海
北京
广州 上海
练习
练习1．下列问题中哪些是排列问题？如果是
在题后括号内打“√”，否则打“×”．
（1）20位同学互通一封信，问共通多少封信？ （2）20位同学互通一次电话，问共通多少次？ （ ） （ ）
（3）20位同学互相握一次手，问共握手多少次？ （ ）
（4）从e，π，5，7，10五个数中任意取出2个数作为对 数的底数与真数，问共有几种不同的对数值？ （ ） （5）以圆上的10个点为端点，共可作多少条弦？ （ ） （6）以圆上的10个点为起点，且过其中另一个点的射线 共可作多少条？ （ ）
abc adb bca cab cda dba
abd adc bcd cad cdb dbc
acb bac bda cba dab dca
acd bad bdc cbd dac dcb
排列定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按 照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列． 排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一 定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列 问题的重要标志． 根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排 列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同． 如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯 定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但 摆的顺序不同，那么也是不同的排列．
引例
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加
某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动， 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
解决这个问题，需分2个步骤：
第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有 3种方法； 第2步，确定参加下午活动的同学，只能从余下的2人 中选，有2种方法． 根据分步计数原理，共有：3×2＝6 种不同的方法．
第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有 3种方法； 第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取， 有2种方法．
根据分步计数原理，共有：4×3×2＝24种不同的排法．
引例
问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个
按照顺序排成一列，共有多少种不同的挑法？
由此可以写出所有的排列：
例题
例题
写出从a、b、c三个元素中取出两个元素的全部排列．
解：所有排列是： ab ac bc ba ca cb
讨论题
北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线， 需要准备多少种不同的机票？试写出所有情况．
起点站 北京 终点站 上海 飞机票 北京 北京 上海 上海 广州 北京
广州
北京 广州
上海
上海
广州 广州副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可 能的选举结果．
解：选举过程可以分为两个步骤．
第1步选正班长，4人中任何一人可以当选，有4种选法； 第2步选副班长，余下的3人中任一人都可以当选，有3 种选法． 根据分步计数原理，不同的选法有： 4 ×3＝12（种）．