课时作业6：章末复习课
课时作业5：章末复习课
章末复习课一、选择题1．当0≤x ≤2时，若a ＜x 2－2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1)2．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．{k |－3＜k ＜0}B ．{k |－3≤k ≤0}C ．{k |－3≤k ＜0}D ．{k |－3＜k ≤0}3．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]4．(多选题)不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立的充分不必要条件是( )A ．m ＞14B ．m ＞1C ．m ＞2D ．m ＜145．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意0<x ≤1恒成立，则m 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．3 二、填空题6．若不等式2x ＞x 2＋a 对于一切x ∈[－2,3]恒成立，则实数a 的取值范围为________．7．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．8．ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)在R 上恒成立，须使⎩⎪⎨⎪⎧a 0；Δ 0. 三、解答题9．要使函数y ＝mx 2＋mx ＋(m －1)的值恒为负值，求m 的取值范围．10．对任意－1≤x ≤1，函数y ＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1．【答案】D【解析】当0≤x ≤2时，x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以a ＜－1，故选D ．2．【答案】D【解析】当k ＝0时，－38＜0显然成立；当k ≠0时， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0. 即k 的取值范围为{k |－3＜k ≤0}.3．【答案】B【解析】由x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0得(x －a )(x －1)≤0，若a ＝1，不等式的解集为{1}符合题意，若a ＜1，不等式的解集为[a,1]，若满足[a,1]⊆[－4,3]，则－4≤a ＜1，若a ＞1，不等式的解集为[1，a ]，若满足[1，a ]⊆[－4,3]，则1＜a ≤3，综上，－4≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[－4,3]．4．【答案】BC【解析】∵不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，故应在选项中寻求范围比m ＞14小的即可，故选BC ． 5．【答案】C【解析】令y ＝x 2－4x －m ，则只需满足在x ＝1处的函数值非负即可，解得m ≤－3.二、填空题6．【答案】(－∞，－8)【解析】∵2x ＞x 2＋a ，∴a ＜2x －x 2，∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1在x ∈[－2,3]的最小值为－8，∴实数a 的取值范围为(－∞，－8)．7．【答案】(－∞，－6]∪[2，＋∞)【解析】不等式x 2－ax －a ≤－3变形为x 2－ax ＋3－a ≤0，∵不等式有解，∴方程x 2－ax ＋3－a ＝0的判别式Δ≥0，即a 2－4(3－a )≥0，解得a ≤－6或a ≥2，故实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．8．【答案】＞ ＜【解析】要使ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)在R 上恒成立，须使y ＝ax 2＋bx ＋c 开口方向向上，与x 轴无交点．三、解答题9．[解]函数y ＝mx 2＋mx ＋(m －1)的值恒为负值，即不等式mx 2＋mx ＋(m －1)＜0对一切实数x 恒成立，于是当m ＝0时，－1＜0恒成立；当m ≠0时，要使其恒成立，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2－4m (m －1)＜0，解得m ＜0.综上，m 的取值范围为{m |m ≤0}． 10．[解]∵x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，即x 2＋ax －4x ＋4－2a ＞0恒成立．∴(x －2)·a ＞－x 2＋4x －4.∵－1≤x ≤1，∴x －2＜0.∴a ＜－x 2＋4x －4x －2＝x 2－4x ＋42－x＝2－x . 令y ＝2－x ，则当－1≤x ≤1时，y 的最小值为1，∴a ＜1．故a 的取值范围为{a |a ＜1}．。
第6章数据的分析复习课(教案)
1.理论介绍：首先，我们要回顾数据分析的基本概念。数据分析是指通过数学方法对收集到的数据进行分析、整理和解释，以便发现其中的规律和趋势。它是理解和解决问题的关键，可以帮助我们做出更合理的决策。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过数据分析来帮助我们了解班级同学的阅读习惯，以及如何根据这些数据提出改进建议。
d.能够根据数据进行分析、解决问题，并作出合理的推断。
二、核心素养目标
1.培养学生的数据分析观念，使其能够运用所学知识对现实生活中的数据进行整理、分析和解释，提高解决实际问题的能力；
2.培养学生的数学思维能力，特别是在抽象、推理和模型构建方面的能力，使学生能够运用数学语言和方法描述现象、发现规律；
3.培养学生的空间观念和几何直观，通过绘制和解读统计图，提高学生对数据的直观认识和理解；
b.统计图的选择与解读：学生应学会根据数据的特点选择合适的统计图进行展示，并能从统计图中获取有效信息。
-举例：根据不同数据类型选择条形图、折线图或扇形图，解读统计图中的数据变化和比例关系。
c.数据分析的基本步骤：学生需要掌握数据分析的基本流程，包括数据收集、整理、展示和分析。
-举例：分析班级同学的身高分布，掌握从数据收集到得出结论的整个过程。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平均数、中位数和众数这三个重点概念。对于难点部分，比如如何选择合适的统计图来展示数据，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组பைடு நூலகம்论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与数据分析相关的实际问题，例如分析最近一次考试的分数分布。
其次，数据分析的综合运用能力有待提高。在小组讨论环节，虽然学生们能够针对某一问题提出自己的看法，但在将这些零散的观点整合起来，形成一个完整、有逻辑的分析过程时，他们显得有些力不从心。这可能是因为他们在之前的课程中，较少进行这种综合性的数据分析练习。因此，我计划在接下来的课程中，增加一些综合性的案例分析，帮助学生提高这方面的能力。
第二册课时作业：第6章 平面向量及其应用 6.3 课时作业7 Word版含解析
课时作业7 平面向量基本定理知识点一 基底的概念1.下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③答案 B解析 只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确，故选B.2．已知e 1与e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝λe 1＋e 2，且a 与b 是一组基底，则实数λ的取值范围是________．答案 λ≠12解析 考虑向量a ，b 共线，则有λ＝12，故当λ≠12时，向量a ，b 不共线，可作为一组基底.知识点二 用基底表示向量3.已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AP →＝yAD →，AQ →＝xAB →，其中x ，y ∈R ，且均不为0.若PQ →∥BE →，则xy ＝________.答案12解析 因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →，由PQ →∥BE →，可设PQ →＝λBE →，即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →，所以⎩⎨⎧x ＝－12λ，y ＝－λ，则x y ＝12.4．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解 因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b . 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .5．在▱ABCD 中，设AC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 表示AB →，BC →.解 解法一：(转化法) 如图，设AC ，BD 交于点O ， 则有AO →＝OC →＝12AC →＝12a ， BO →＝OD →＝12BD →＝12b .∴AB →＝AO →＋OB →＝AO →－BO →＝12a －12b ， BC →＝BO →＋OC →＝12b ＋12a . 解法二：(方程思想) 设AB →＝x ，BC →＝y ，则有AB →＋BC →＝AC →，AD →－AB →＝BD →且AD →＝BC →＝y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，∴x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ， 即AB →＝12a －12b ，BC →＝12a ＋12b .6．如图所示，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示A G →.解 易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →，设CG →＝λCA →，则 由平行四边形法则，得CG →＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →.由于E ，G ，F 三点共线，则2λ＋2λ＝1，故λ＝14. 从而CG →＝14CA →，AG →＝34AC →＝34(a ＋b ). 知识点三 平面向量基本定理的应用7.设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果AB →＝3e 1－2e 2，BC →＝4e 1＋e 2，CD →＝8e 1－9e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．证明 ∵AB →＝3e 1－2e 2，AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝15e 1－10e 2＝5(3e 1－2e 2)＝5AB →，即AD →＝5AB →，∴AD →与AB →共线，又AD →与AB →有公共点A ，∴A ，B ，D 三点共线．8．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．证明 如图，设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，令AC →＝a ，BC →＝b 为基底， 则AB →＝a －b ，AD →＝a －12b ， BE →＝－12a ＋b ，设AD 与BE 交于点G ，且AG →＝ λAD →，BG →＝μBE →，则有AG →＝λa －λ2b ，BG →＝－μ2a ＋μb . 又有AG →＝AB →＋BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－μ2a ＋(μ－1)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23.∴AG →＝23a －13b ，CG →＝CA →＋AG →＝－a ＋23a －13b ＝－13a －13b ＝23×12(－a －b )． 而CF →＝12(－a －b )，∴CG →＝23CF →.∴点G ∈CF .∴三角形三条中线交于一点．一、选择题1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →＝2DC →，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →可用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b )答案 C解析 因为BD →＝2DC →，所以BD →＝23BC →.所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b . 2．如果a 与b 是一组基底，则下列不能作为基底的是( ) A ．a ＋b 与a －b B ．a ＋2b 与2a ＋b C ．a ＋b 与－a －b D ．a 与－b 答案 C解析 由已知，a 与b 不共线，根据平行四边形法则，可知A ，B ，D 选项中的两个向量都可以作为基底，而a ＋b 与－a －b 共线，不能作为基底．3．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则O P →等于( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)b C ．λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb 答案 D解析 ∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)，∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→，∴OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λ·OP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .故选D. 4．已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3 答案 D解析 如图所示，在四边形ABCD 中，AD →＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，∵c ＝a ＋b ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵c ⊥a ，∴△ACD 为直角三角形，又|AD →|＝1，|DC →|＝2，∴θ＝π6，所以a 与b 的夹角为2π3.5．如图，在四边形ABCD 中，DC →＝13AB →，E 为BC 的中点，且AE →＝xAB →＋yAD →，则3x －2y ＝( )A.12B.32 C ．1 D ．2 答案 C解析 由题意，得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋DC →)＝AB →＋12⎝⎛⎭⎪⎫－AB →＋AD →＋13AB →＝23AB →＋12AD →.∵AE →＝xAB →＋yAD →，∴xAB →＋yAD →＝23AB →＋12AD →.∵AB→与AD →不共线，∴由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝12.∴3x －2y ＝3×23－2×12＝1.故选C.二、填空题6．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a ，b 为基底表示向量AM →，则AM →＝________.答案 b ＋12a解析 AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .7．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则A B →与A C →的夹角为________．答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴O 为BC 的中点． 则BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°. 故AB →与AC →的夹角为90°.8．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 311解析 设BP →＝kBN →，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，又AP →＝mAB →＋211AC →， 所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311. 三、解答题9．如图所示，已知△AOB中，点C是点B关于点A的对称点，OD→＝2DB→，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．解(1)由题意，知A是BC的中点，且OD→＝23OB→，由平行四边形法则，知OB→＋OC→＝2OA→.∴OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.(2)∵EC→∥DC→，又EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.10．如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M.设OA→＝a，OB→＝b.(1)试用向量a ，b 表示OM →；(2)在线段AC 上取点E ，在线段BD 上取点F ，使EF 过点M ，设OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，求证：1λ＋3μ＝7.解 (1)不妨设OM →＝m a ＋n b ，一方面，由于A ，D ，M 三点共线，则存在α(α≠－1)使得AM →＝αMD →，于是OM →＝OA →＋αOD →1＋α，又OD →＝12OB →，所以OM →＝OA →＋α2OB →1＋α＝11＋αa ＋α2(1＋α)b ，则⎩⎨⎧m ＝11＋α，n ＝α2(1＋α)，即m ＋2n ＝1；①另一方面，由于B ，C ，M 三点共线，则存在β(β≠－1)使得CM →＝βMB →，于是OM →＝OC →＋βOB →1＋β，又OC →＝14OA →，所以OM →＝14OA →＋βOB→1＋β＝14(1＋β)a ＋β1＋βb ，则⎩⎨⎧m ＝14(1＋β)，n ＝β1＋β，即4m ＋n ＝1.②由①②可得m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .(2)证明：由于E ，M ，F 三点共线，所以存在实数η(η≠－1)使得EM →＝ηMF →，于是OM →＝OE →＋ηOF →1＋η，又OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，所以OM →＝λOA →＋ημOB→1＋η＝λ1＋ηa ＋μη1＋ηb ，于是17a ＋37b ＝λ1＋ηa ＋μη1＋ηb ，从而⎩⎨⎧λ1＋η＝17，μη1＋η＝37，消去η即得1λ＋3μ＝7.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】章末复习课(一)
证明 (1)∵BG∶GC＝DH∶HC，
∴GH∥BD，又 EF∥BD，∴EF∥GH，
∴E、F、G、H 四点共面．
(2)∵G、H 不是 BC、CD 的中点，∴EF≠GH.
又 EF∥GH，∴EG 与 FH 不平行，则必相交，设交点为 M.
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章末复习课
EG⊂面ABC ⇒M∈面 ABC 且 M∈面 ACD HF⊂面ACD
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⇒M 在面 ABC 与面 ACD 的交线上⇒M∈AC. ∴GE 与 HF 的交点在直线 AC 上．
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跟踪训练 3 如图，O 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 上底面 ABCD 的中心，M 是正方体对角线 AC1 和截 面 A1BD 的交点．求证：O、M、A1 三点共线．
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章末复习课
例 4 如图，E、F、G、H 分别是正方体 ABCD —A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点， 求证： (1)GE∥平面 BB1D1D；
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(2)平面 BDF∥平面 B1D1H.
证明 (1)取 B1D1 中点 O，连接 GO，OB， 1 易证 OG 綊2B1C1， 1 BE 綊2B1C1， ∴OG 綊 BE， 四边形 BEGO 为平行四边形．
又∵DN⊄平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴DN∥平面 ABC，又∵MN∩DN＝N， ∴平面 DMN∥平面 ABC.
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题型五
空间中的垂直关系
1．空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法：
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课时作业6
课时作业(六)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本题包括12小题，每小题4分，共48分)1．关于钠的说法不正确的是()A．钠是银白色金属，硬度小B．将钠放在石棉网上用酒精灯加热，钠剧烈燃烧产生黄色火焰，生成过氧化钠C．钠在空气中燃烧生成氧化钠D．钠蒸气可作电光源答案：C2．下列关于钠与水反应的说法不正确的是()①将小块钠投入滴有石蕊试液的水中，反应后溶液变红②将钠投入稀盐酸中，钠先与水反应，后与盐酸反应③钠在水蒸气中反应时因温度高会发生燃烧④将两小块质量相等的金属钠，一块直接投入水中，另一块用铝箔包住，在铝箔上刺些小孔，然后按入水中，两者放出的氢气质量相等。
A．①②B．②③C．②③④D．①②③④答案：D3．(2011年安庆模拟)向一定量的饱和NaOH溶液中加入少量Na2O2固体，恢复到原来温度时，下列说法中正确的是()①溶液中的Na＋总数不变②单位体积内的OH－数目减少③溶质的物质的量浓度不变④溶液的质量不变⑤有晶体析出⑥有气泡产生A．①③⑥B．②⑤⑥C．③⑤⑥D．①③④解析：Na2O2放入NaOH溶液中，与水反应生成NaOH和O2，由于原溶液是饱和溶液且温度不变，故有NaOH晶体析出而溶液的浓度不变。
答案：C4．(广东中山2012届高三六校联考)下列叙述正确的是()A．Na2O与Na2O2都能和水反应生成碱，它们都是碱性氧化物B．Na2CO3溶液和NaHCO3溶液都能跟CaCl2溶液反应得到白色沉淀C．钠在常温下不容易被氧化D．Na2O2可作供氧剂，而Na2O不行解析：Na2O2不属于碱性氧化物，A错；B项NaHCO3与CaCl2溶液不反应，得不到白色沉淀；C项Na在常温下很容易被空气中的O2氧化。
答案：D5．对于钠和钠的化合物的性质或用途的相关叙述不正确的是()A．用钠作还原剂可以从锆的氯化物中制备锆B．钠和钾的合金常温下为液体，用于原子反应堆作热交换剂C．苏打固体的pH大于小苏打固体的pHD．热的碳酸钠溶液有去油污的作用解析：苏打溶液的pH大于小苏打溶液的pH。
高中数学同步教学课件 第六章 章末复习课
反思感悟
解决排列、组合综合问题要注意以下几点 (1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题. (2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考 虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接. (3)对于含有“至多”“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面， 排除干净.
(2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0，求(a0＋a2＋a4＋ a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25； 令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65. 两式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25× 65＝125.
跟踪训练2 6个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演. (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？
要完成这件事分三步. 第一步，从 8 人中选 4 人站在前排，另 4 人站在后排，共有 C48C44种不 同的排法； 第二步，前排 4 人进行全排列，有 A44种不同的排法； 第三步，后排 4 人进行全排列，有 A44种不同的排法. 由分步乘法计数原理知，有 C48C44A44A44＝40 320(种)不同的排法.
反思感悟
(4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：求展开式中系数最大项与 求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况， 一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解.
跟踪训练 4 已知( x－3 x)n 的展开式中所有项的二项式系数之和为 1 024. (1)求展开式中的所有有理项；
跟踪训练1 (1)用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区
课时作业6讲解
六细胞器——系统内的分工合作一、选择题1．结合图形分析，下列说法正确的是()A．若判断甲是否为需氧型生物，依据的是细胞中是否含有线粒体B．若判断乙是否为植物细胞，不能仅依据细胞中是否含有叶绿体C．甲、乙、丙均可以发生基因突变和染色体变异D．根据细胞中是否含有细胞核，可将甲、乙、丙分为真核细胞和原核细胞两类解析：结合题图可判断甲、乙、丙依次为细菌、植物细胞和病毒。
细菌是原核生物，无论是需氧型还是厌氧型，都没有线粒体，故A项错误；不是所有植物细胞都含有叶绿体，如根尖细胞就没有叶绿体，但却是植物细胞，故B项正确；由于甲和丙没有染色体，不会出现染色体变异，故C项错误；丙为病毒，没有细胞结构，既不是真核细胞也不是原核细胞，故D项错误。
答案：B2．(2015·河南中原名校模拟)美国和以色列的三位科学家因在核糖体结构和功能的研究中做出巨大贡献，而获得诺贝尔奖。
右图为核糖体立体结构模式图。
分析下列有关叙述正确的是()A．在光学显微镜下可观察到原核细胞和真核细胞中都有核糖体分布B．核糖体是蛔虫细胞和绿藻细胞中唯一共有的无膜结构的细胞器C．发菜的核糖体一部分游离于细胞质基质中，一部分附着在内质网上D．通常情况下，一条mRNA上可以结合多个核糖体，同时进行多条肽链的合成解析：虽然原核细胞和真核细胞均有核糖体，但是光学显微镜下观察不到核糖体，A错；蛔虫细胞和绿藻细胞中共有的无膜结构是核糖体和中心体，B错；发菜是原核生物，不含内质网，C错；合成蛋白质时，多个核糖体串联在一个mRNA分子上，形成似念珠状结构，这样，一条mRNA就可以在几乎同一时间被多个核糖体利用，同时合成多条肽链，D对。
答案：D3．如图表示胰岛B细胞中，将胰岛素原分子的C段切除后加工成具有活性的胰岛素，并被包装在囊泡中的过程。
胰岛素和C段肽链在被排出胰岛B细胞前，一直贮存在此囊泡中。
该过程发生的场所应是()A．核糖体B．细胞核C．高尔基体D．细胞质基质解析：高尔基体具有加工修饰蛋白质的功能，因此将胰岛素原分子的C段切除以及加工成有活性的胰岛素，都是在高尔基体内进行的。
课时作业4：第六章 章末复习
第六章 章末复习一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③D ．①②2．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( ) A ．(2，16) B ．(－2，－16) C ．(4，16)D ．(2，0)3．设O 是△ABC 的内心，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，若AO →＝λ1AB →＋λ2AC →，则( ) A.λ1λ2＝b c B.λ21λ22＝b c C.λ1λ2＝c 2b2 D.λ21λ22＝c b4．设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |>|b |5．在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13b C.13a －13b D ．－13a －13b 6．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则a ＋b ＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |7．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝( ) A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD.13a －23b 8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A.43a ＋23bB.23a ＋43bC.23a －43bD ．－23a ＋43b9.如图所示，△ABC 中，AD ＝23AB ，BE ＝12BC ，则DE →＝( )A.13AC →－12AB →B.13AC →－16AB →C.12AC →－13AB →D.12AC →－16AB → 10．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( ) A.13B.12C ．1D ．211．P 是△ABC 所在平面上的一点，满足P A →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△P AB 的面积为( ) A ．2B ．3C ．4D ．812．已知向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，p ＝(x ，y )，定义新运算m ⊗n ＝(ac ＋bd ，ad ＋bc )，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m 都有m ⊗p ＝m 成立，则向量p 为( )A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(0，－1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 14．在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y＝________．15．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________．(用e 1，e 2 表示)16．在直角梯形ABCD 中，A ＝90°，B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)设x ，y 是实数，分别按下列条件，用x a ＋y b 的形式表示c . (1)若a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(－3，－5)； (2)若a ＝(5，2)，b ＝(－4，3)，c ＝(－3，－5)．18. (本小题满分12分)如图，已知E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用向量法证明：四边形EFGH 是平行四边形．19．(本小题满分12分)M ，N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC ，CE 上的点，且AMAC＝CNCE ＝λ.若B ，M ，N 三点共线，试求λ的值．20. (本小题满分12分)如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA→＝a ，OB →＝b ，以{a ，b }为基底表示OM →.21．(本小题满分12分)已知e 1，e 2 是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线． (1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．22．(本小题满分12分)(1)已知A 、B 、P 三点共线，O 为任意一点，若OP →＝mOA →＋nOB →.求证m ＋n ＝1；(2)如图所示，已知△OAB 中，点B 关于点A 的对称点为C ，D 在线段OB 上，且OD ＝2DB ，DC 和OA 相交于点E .设OA →＝a ，OB →＝b .若OE →＝λOA →，求实数λ的值．【参考答案】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解析】选A.根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．2．【解析】选A.设D (x ，y )，由题意可知AD →＝(x ＋1，y －2)， AB →＝(3，1)，BC →＝(1，－4)，所以2AB →－3BC →＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3，y －2＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A.3．【解析】选A.O 是△ABC 的内心，AB ＝c ，AC ＝b ，则aOA →＋bOB →＋cOC →＝0， 所以a OA →＋b (OA →＋AB →)＋c (OA →＋AC →)＝0，所以(a ＋b ＋c )AO →＝bAB →＋cAC →， 所以AO →＝b a ＋b ＋c AB →＋c a ＋b ＋cAC →.又AO →＝λ1AB →＋λ2AC →，所以λ1＝b a ＋b ＋c ，λ2＝c a ＋b ＋c ，所以λ1λ2＝b c .4．【解析】选A.利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|， 从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .5．【解析】选A.PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .6．【解析】选C.若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ，故C 正确；选项A ：当|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为反向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由矩形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得b ＝λa ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然 |a ＋b |＝|a |－|b |不成立．7．【解析】选C.如图，因为点E 为CD 的中点，CD ∥AB ，所以BF EF ＝AB EC ＝2，所以BF →＝23BE→＝23(BC →＋CE →)＝23⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－13a ＋23b .8.【解析】选B.由题意得BE →＝12(BA →＋BC →)，所以2BE →＝BA →＋BC →，①同理得2AD →＝AB →＋AC →＝－BA →＋(BC →－BA →)＝－2BA →＋BC →， 即2AD →＝－2BA →＋BC →.② ①×2＋②得4BE →＋2AD →＝3BC →，即4b ＋2a ＝3BC →，所以BC →＝23a ＋43b .选B.9.【解析】选D.DE →＝DB →＋BE →＝13AB →＋12(AC →－AB →)＝12AC →－16AB →，故选D.10．【解析】选A.因为D 是AC 的中点，所以DA →＋DC →＝0. 又因为MB →＋32MA →＋32MC →＝0，所以MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－32(DA →－DM →＋DC →－DM →)，即MB →＝3DM →，故MD →＝13BM →，所以|MD →||BM →|＝13.11．【解析】选A.因为P A →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－P A →)， 所以3P A →＝PB →－PC →＝CB →，所以P A →∥CB →，且方向相同， 所以S △ABC S △P AB ＝BC AP ＝|CB →||P A →|＝3，所以S △P AB ＝S △ABC3＝2.12．【解析】选A.因为m ⊗p ＝m ，即(a ，b )⊗(x ，y )＝(ax ＋by ，ay ＋bx )＝(a ，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝a ，ay ＋bx ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a （x －1）＋by ＝0，ay ＋b （x －1）＝0.由于对任意m ＝(a ，b )，都有(a ，b )⊗(x ，y )＝(a ，b )成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以p ＝(1，0)．故选A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．【解析】由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.【答案】1214．【解析】由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)，即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14，故xy ＝3.【答案】315．【解析】在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点， 所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)＝52e 1＋32e 2.【答案】52e 1＋32e 216．【解析】由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →， 因为点E 在线段CD 上，所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)．因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，所以2μλ＝1，即λ＝2μ，因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 【答案】⎣⎡⎦⎤0，12 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1)c ＝(－3，－5)＝x (1，0)＋y (0，1)＝(x ，y )， 所以x ＝－3，y ＝－5，所以c ＝－3a －5b .(2)c ＝(－3，－5)＝x a ＋y b ＝x (5，2)＋y (－4，3)＝(5x －4y ，2x ＋3y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －4y ＝－3，2x ＋3y ＝－5，所以⎩⎨⎧x ＝－2923，y ＝－1923，所以c ＝－2923a －1923b .18. 证明：在三角形BCD 中，G 、F 分别为CD 、CB 的中点， 所以CG →＝12CD →，CF →＝12CB →，所以GF →＝CF →－CG →＝12(CB →－CD →)＝12DB →，同理可得HE →＝12DB →，所以GF →＝HE →，即GF →，HE →共线，又因为G 、F 、H 、E 四点不在同一直线上，所以GF 平行HE 且GF ＝HE ，所以四边形EFGH 是平行四边形 19．解：作出示意图，如图所示，延长EA ，CB 交于点P ，设正六边形ABCDEF 的边长为1，则EC ＝AE ＝3， ∠PEC ＝60°，∠PCE ＝90°，所以PC ＝3，PE ＝2 3. 则在△EPC 中，CB →＝13CP →，CN →＝λCE →，A 为EP 中点，可得CM →＝23＋1λCA →＝2λ3λ＋1CA →，又AM AC ＝λ，所以CM →＝(1－λ)CA →，因此2λ3λ＋1＝1－λ，解得λ＝33.20. 解：因为A ，M ，D 三点共线， 所以OM →＝mOD →＋(1－m )OA →＝12m b ＋(1－m )a .又因为C ，M ，B 三点共线，所以OM →＝tOB →＋(1－t )OC →＝t b ＋1－t 4a ，由⎩⎨⎧12m ＝t ，1－m ＝1－t4，解得⎩⎨⎧m ＝67，t ＝37.所以OM →＝17a ＋37b .21．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2. 因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE →＝kEC →， 即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2. 因为e 1，e 2 是平面内两个不共线的非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， 所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD →＝(3－x ，5－y )，因为BC →＝(－7，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10，7)．22．解：(1)证明：因为A 、B 、P 三点共线，所以可设AP →＝μAB →， 所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋μAB →＝OA →＋μ(OB →－OA →)＝(1－μ)·OA →＋μOB →，又因为OP →＝mOA →＋nOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－μ＝m μ＝n ，，所以m ＋n ＝1.(2)由C 、D 、E 三点共线，可设CE →＝kCD →，因为OD ＝2DB ，所以OD →＝23OB →＝23b ，又BC →＝2BA →，所以OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋2BA →＝OB →＋2(OA →－OB →)＝2a －b ， 所以CD →＝OD →－OC →＝23b －(2a －b )＝53b －2a ，所以CE →＝kCD →＝53k b －2k a ，而OE →＝λOA →＝λa ，所以CE →＝OE →－OC →＝λa －(2a －b )＝b ＋(λ－2)a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧5k 3＝1－2k ＝λ－2，解得λ＝45，故实数λ＝45.。
课时作业19：章末复习课
章末检测卷（二）（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 020，则序号n 等于( )A.669B.670C.672D.674 答案 D解析 由2 020＝1＋3(n －1)，解得n ＝674.2.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5等于() A.－1 B.1 C.0 D.2答案 A解析 由递推关系式得a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1.3.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( )A.1B.2C.4D.8答案 A解析 ∵a 3·a 11＝a 27＝16，∴a 7＝4，∴a 5＝a 7q 2＝422＝1.4.在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A.58B.88C.143D.176答案 B解析 S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（a 4＋a 8）2＝11×162＝88.5.等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A.81B.120C.168D.192答案 B解析 由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝3，S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝3（1－34）1－3＝120.6.数列{(－1)n ·n }的前2 019项的和S 2 019为( )A.－2 019B.－1 010C.2 019D.1 010答案 B解析 S 2 019＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 018－2 019＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 018－2 019)＝(－1)＋(－1)×1 009＝－1 010.7.若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( )A.1或2B.1或－2C.－1或2D.－1或－2 答案 C解析 依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.8.一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是( )A.－2B.－3C.－4D.－6 答案 C解析 由题意，知a 6≥0，a 7＜0.∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝23＋5d ≥0，a 1＋6d ＝23＋6d <0，∴－235≤d ＜－236. ∵d ∈Z ，∴d ＝－4.9.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A.－12B.－10C.10D.12 答案 B解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3⎝⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1.∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.方法二 设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3S 3＝S 3－a 3＋S 3＋a 4，∴S 3＝a 4－a 3，∴3a 1＋3×22d ＝d .∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.10.设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A.d <0B.a 7＝0C.S 9>S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值答案 C解析 由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5.11.某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A.qB.12qC.(1＋q )12D.(1＋q )12－1 答案 D解析 设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂第一年的生产总值为：S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1， ∴该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.12.已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )A.9B.15C.18D.30 答案 C解析 ∵a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，∴数列{a n }是公差为2的等差数列.∴a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7.数列{a n }的前n 项和S n ＝n （－5＋2n －7）2＝n 2－6n . 令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥72.∴n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n .则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________.答案 16解析 方法一 由S 9＝27⇒9（a 1＋a 9）2＝27⇒a 1＋a 9＝6⇒2a 5＝6⇒a 5＝3，即a 1＋4d ＝3.又a 2a 5＋a 8＝0⇒2a 1＋5d ＝0，解得a 1＝－5，d ＝2.故S 8＝8a 1＋8×（8－1）2d ＝16. 方法二 同法一得a 5＝3.又a 2a 5＋a 8＝0⇒3a 2＋a 8＝0⇒2a 2＋2a 5＝0⇒a 2＝－3.∴d ＝a 5－a 23＝2，a 1＝a 2－d ＝－5. 故S 8＝8a 1＋8×（8－1）2d ＝16. 14.已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.答案 63解析 由题意知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q 2＝a 3a 1＝4，q ＝2，代入等比数列求和公式得S 6＝63. 15.如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)，∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N ＋.16.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________. 答案 5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12.三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17. (10分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .解 设{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧（a 1＋2d ）（a 1＋6d ）＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎨⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d .解得⎩⎨⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎨⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n 2－9n ，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n 2＋9n .18(12分).记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值.解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.19. (12分)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2.(1)求{a n }的通项公式；(2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n .解 (1)设{a n }的公差为d .因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2.又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2.(2)因为e a 1＝e ln 2＝2，e a ne a n －1＝e a n －a n －1＝e ln 2＝2，所以{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列.所以ea 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×1－2n 1－2＝2n ＋1－2.20.(12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；(2)求{a n }和{b n }的通项公式.(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n ).又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列.由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2.又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列.(2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1， 所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.21. (12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝125，得a 2＝5，又a 2|q －1|＝10， ∴q ＝－1或3, 所以数列{a n }的通项a n ＝5·(－1)n －2或a n ＝5×3n －2.(2)不存在.理由：若q ＝－1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a m＝－15或0，不存在满足题意的正整数m ；若q ＝3，则1a 1＝35，1q ＝13， 1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝910⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910， 综上可知，不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1. 22. (12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1. ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n . ∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，两边乘以2得： 2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， 两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。
课时作业4：章末复习课
章末复习课本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．sin x B ．cos x C ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝⎛⎦⎤0，22B.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0， 22 D.⎣⎡⎭⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎤0，22 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( )A ．1 B.12C ．0D ．－16．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2B ．3C ．4D ．57．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67B.⎝⎛⎭⎫－85，－316 C.⎝⎛⎭⎫－83，－116D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 8．已知定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋xf ′(x )＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af (a )＜bf (b ) B ．af (b )＜bf (a ) C ．af (a )＞bf (b )D ．af (b )＞bf (a )二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．下列结论中不正确的是( ) A ．若y ＝cos 1x ，则y ′＝－1x sin 1xB ．若y ＝sin x 2，则y ′＝2x cos x 2C ．若y ＝cos 5x ，则y ′＝－sin 5xD ．若y ＝12x sin 2x ，则y ′＝x sin 2x10．下列函数中，存在极值点的是( ) A ．y ＝x －1xB ．y ＝2|x |C ．y ＝－2x 3－xD ．y ＝x ln x11.定义在区间⎣⎡⎦⎤－12，4上的函数f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0,4)上单调递增B ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，0上单调递减 C ．函数f (x )在x ＝1处取得极大值 D ．函数f (x )在x ＝0处取得极小值12．已知函数f (x )＝e x －ax 有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则下列说法正确的是( ) A ．a ＞e B ．x 1＋x 2＞2C ．x 1x 2＞1D ．f (x )有极小值点x 0，且x 1＋x 2＜2x 0第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．已知奇函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx －1(x >0)，h (x )(x <0)，则函数h (x )的最大值为________．15．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．16．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值4.(1)求实数a，b的值；(2)当a>0时，求曲线y＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程．18．(本小题满分12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx在x＝22处取得极小值－ 2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点M(1，m)的直线与曲线y＝f(x)相切且这样的切线有三条，求实数m的取值范围．20. (本小题满分12分)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＜0时，证明f (x )≤－34a －2.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax .(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围．【参考答案】本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．【解析】函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数． 【答案】A2．【解析】y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 【答案】A3．【解析】设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点． 【答案】A4．【解析】∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，22.【答案】A5．【解析】f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 【答案】A6．【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5. 【答案】D7．【解析】f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)， 要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0， 即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D. 【答案】D8．【解析】令y ＝xf (x )，则y ′＝[xf (x )]′＝x ′f (x )＋xf ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0， ∴函数y ＝xf (x )是R 上的减函数，∵a ＜b ，∴af (a )＞bf (b )． 【答案】C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．【解析】对于A ，y ＝cos 1x ，则y ′＝1x 2sin 1x ，故错误；对于B ，y ＝sin x 2，则y ′＝2x cos x 2，故正确；对于C ，y ＝cos 5x ，则y ′＝－5sin 5x ，故错误；对于D ，y ＝12x sin 2x ，则y ′＝12sin 2x＋x cos 2x ，故错误． 【答案】ACD10．【解析】由题意，函数y ＝x －1x ，则y ′＝1＋1x 2＞0，所以函数y ＝x －1x 在(－∞，0)，(0，＋∞)内单调递增，没有极值点．函数y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，2－x ，x ＜0根据指数函数的图象与性质可得，当x ＜0时，函数y ＝2|x |单调递减，当x ≥0时，函数y ＝2|x |单调递增，所以函数y ＝2|x |在x ＝0处取得极小值；函数y ＝－2x 3－x ，则y ′＝－6x 2－1＜0，所以函数y ＝－2x 3－x 在R 上单调递减，没有极值点；函数y ＝x ln x ，则y ′＝ln x ＋1，x ＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，y ′＜0，函数单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，y ′＞0，函数单调递增，当x ＝1e 时，函数取得极小值，故选B 、D.【答案】BD11.【解析】根据导函数图象可知，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，0上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，在区间(0,4)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝0处取得极小值，没有极大值，所以A 、B 、D 选项正确，C 选项错误．故选A 、B 、D. 【答案】ABD12．【解析】由题意，函数f (x )＝e x －ax ，则f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a ＞0在R 上恒成立，所以函数f (x )单调递增，不符合题意；当a ＞0时，令f ′(x )＝e x －a ＞0，解得x ＞ln a ，令f ′(x )＝e x －a ＜0，解得x ＜ln a ，所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，因为函数f (x )＝e x －ax 有两个零点x 1，x 2且x 1＜x 2，则f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＜0，且a ＞0，所以1－ln a ＜0，解得a ＞e ，所以A 项正确；又由x 1＋x 2＝ln(a 2x 1x 2)＝2ln a ＋ln(x 1x 2)＞2＋ln(x 1x 2)，取a ＝e 22，则f (2)＝e 2－2a ＝0，x 2＝2，f (0)＝1＞0，所以0＜x 1＜1，所以x 1＋x 2＞2，所以B 正确；由f (0)＝1＞0，则0＜x 1＜1，但x 1x 2＞1不能确定，所以C 不正确；由函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，所以函数的极小值点为x 0＝ln a ，且x 1＋x 2＜2x 0＝2ln a ，所以D 正确．故选A 、B 、D. 【答案】ABD第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．【解析】f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.【答案】2314．【解析】先求出x >0时，f (x )＝e xx －1的最小值．当x >0时， f ′(x )＝e x (x －1)x 2，∴x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x ) >0，函数单调递增， ∴x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，∴由已知条件得h (x )的最大值为1－e. 【答案】1－e15．【解析】f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 【答案】c <a <b16．【解析】f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又因为f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.【答案】(－1,0]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．解：(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∵f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝4，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.经检验都符合题意． (2)当a >0时，由(1)得f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋9， ∴f ′(x )＝3x 2＋6x －9，∴f (－2)＝31，f ′(－2)＝－9. ∴所求的切线方程为y －31＝－9(x ＋2)，即9x ＋y －13＝0. 18．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，注意到e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)． (2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又因为f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0， 注意到e x >0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立， 也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y <1＋1－11＋1＝32，故a ≥32.即实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 19．解：(1)由题意得，f ′(x )＝3ax 2＋b .∵函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝22处取得极小值－2， ∴⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f ′⎝⎛⎭⎫22＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝－4，32a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，经检验满足条件，则函数f (x )的解析式为f (x )＝2x 3－3x .(2)设切点坐标为(x 0,2x 30－3x 0)，则曲线y ＝f (x )的切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3， 切线方程为y －(2x 30－3x 0)＝(6x 20－3)(x －x 0)， 代入点M (1，m )，得m ＝－4x 30＋6x 20－3，依题意，方程m ＝－4x 30＋6x 20－3有三个不同的实根．令g (x )＝－4x 3＋6x 2－3，则g ′(x )＝－12x 2＋12x ＝－12x (x －1)，∴当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0；当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.故g (x )＝－4x 3＋6x 2－3在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )极小值＝g (0)＝－3，g (x )极大值＝g (1)＝－1.∴当－3<m <－1时，g (x )＝－4x 3＋6x 2－3的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点， ∴－3<m <－1时，存在这样的三条切线．故实数m 的取值范围是(－3，－1)．20. 解：(1)解：由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得x >0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－k x. 由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)．f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2，无极大值． (2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2. 因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e. 当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1， e ]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(1， e ]上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点．21．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x. 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a处取得最大值， 最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a. 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a－2，即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得极大值且为最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x ＞0时，g (x )≤0.从而当a ＜0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0，即f (x )≤－34a－2. 22．解：(1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2(x >0)， 当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值；当a <0时，由f ′(x )＝0得x ＝－a ，且0<x <－a 时，f ′(x )<0，x >－a 时，f ′(x )>0. ∴x ＝－a 时，f (x )取得最小值，f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e.(2)g (x )<x 2即ln x －a <x 2，即a >ln x －x 2，故g (x )<x 2在(0，e]上恒成立，也就是a >ln x －x 2在(0，e]上恒成立．设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x ， 由h ′(x )＝0及0<x ≤e 得x ＝22. 当0<x <22时，h ′(x )>0，当22<x ≤e 时，h ′(x )<0， 即h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上为增函数，在⎝⎛⎦⎤22，e 上为减函数， 所以当x ＝22时h (x )取得最大值为h ⎝⎛⎭⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )<x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫ln 22－12，＋∞.。
课时作业3：章末复习课
章末复习课一、选择题1.下列说法不正确的是( )A.空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直2.设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面，则正确的命题是( ) A.若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ∥b B.若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b C.若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β D.若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b3.设l 为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( ) A.若l ∥α，l ∥β，则α∥β B.若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β C.若l ⊥α，l ∥β，则α∥β D.若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β4.如图所示，在三棱锥V -ABC 中，∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°，下列结论不正确．．．的是( )A.平面VAC ⊥平面ABCB.平面VAB ⊥平面ABCC.平面VAC ⊥平面VBCD.平面VAB ⊥平面VBC5.在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( ) A.292B.135C.175D.11956.正方体ABCDA1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是()A.点H是△A1BD的垂心B.AH⊥平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.AH⊥BB1二、填空题7.如图所示，四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.8.已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD 的中点，则①棱AB与PD所在直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△P AB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题9.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点.(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.10.如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.11.如图所示，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.参考答案1.【解析】A 、B 、C 显然正确.易知当直线与平面垂直时，过这条直线有无数个平面与已知平面垂直.选D. 【答案】D2.【解析】A 中，a 、b 可以平行或异面；B 中，a 、b 可以平行或异面；C 中，α、β可以平行或相交. 【答案】D3.【解析】选项A ，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A 错误；选项B ，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B 正确；选项C ，由条件应得α⊥β，故选项C 错误；选项D ，l 与β的位置不确定，故选项D 错误.故选B. 【答案】B4.【解析】AV ⊥BA ，VA ⊥AC ，BA ∩AC ＝A ，∴VA ⊥平面ABC ，易知A 、B 正确，∵BC ⊥AB ，平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，∴BC ⊥平面VAB ，易知D 正确，故选C. 【答案】C5.【解析】如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接PE .∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AE ，∴BD ⊥PE . ∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，P A ＝1，∴PE ＝1＋⎝⎛⎭⎫1252＝135.【答案】B6.【解析】因为AH ⊥平面A 1BD ， BD ⊂平面A 1BD ，所以BD ⊥AH . 又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A .所以BD ⊥平面AA 1H . 又A 1H ⊂平面AA 1H .所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ， 所以点H 是△A 1BD 的垂心，A 正确.因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确. 易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合.故C 正确. 因为AA 1∥BB 1，AA 1与AH 显然不垂直，∴AH 与BB 1也不垂直，故D 错误.二、填空题7.【解析】当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.设AC与BD的交点为O，连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点.又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线.∴OE∥SC.∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，∴SC∥平面EBD.【答案】E是SA的中点8.【解析】(图略)由条件可得AB⊥平面P AD，∴AB⊥PD，故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，从而P A∥PB，这是不可能的，故②错；S△PCD＝12CD·PD，S△P AB＝12AB·P A，由AB＝CD，PD>P A知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE与BF 共面，④错.【答案】①③三、解答题9.【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1.∴AC 1∥平面CDB 1. 10.【证明】(1)如图，设AC 与BD 交于点G . 因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形.所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)连接FG ，∵EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1， ∴四边形CEFG 为平行四边形，又∵CE ＝EF ＝1，∴▱CEFG 为菱形，∴EG ⊥CF . 在正方形ABCD 中，AC ⊥BD .∵正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直， ∴BD ⊥平面CEFG .∴BD ⊥CF . 又∵EG ∩BD ＝G ，∴CF ⊥平面BDE .11.【解】(1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH .在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ， 所以四边形DFCG 为平行四边形，则M 为CD 的中点. 又H 为BC 的中点，所以MH ∥BD .又MH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以BD ∥平面FGH . 证法二：在三棱台DEF ABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点， 可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形BHFE 为平行四边形，可得BE ∥HF . 在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB . 又GH ∩HF ＝H ，所以平面FGH ∥平面ABED . 因为BD ⊂平面ABED ，所以BD ∥平面FGH .(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形.所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.。
课时6课后作业课件
—Yes. Many parents send their children to all kinds of
classes during holidays. A．teach B．help C．value D．achieve
12．All the students went home ___C_____Jack，for he was left to do his homework by Mr. Li.
you some suggestions and advices about Chinese customs. When you are eating at the table，it's polite to stick your chopsticks into your food. You are not supposed point at anyone with your chopsticks.
Ⅴ.按要求完成下列句子，每空一词(缩写词算一词)。21． To go out with strangers is dangerous.(改为同义句)
________ ____________to go out with strangers. 22．MyIbt'rsother wdanatnsgteorloeuasrn some table manners in England
gradually getting used to________(talk)with others. talking
【点拨】get used to doing sth.意为“习惯于做某事”。本 题意为“莎莉害怕在公众面前说话，但是现在她渐渐习 惯跟别人交流。”故填talking。
课时作业6
1．(2012·天津一中高一检测)做匀变速直线运动的物体，加速度为a，在时间t内位移为x，末速度为v，则下列关系中正确的是()A．x＝v t＋12at2B．x＝－v t＋12at2C．x＝－v t－12at2D．x＝v t－12at22．对于一做单向匀减速运动的物体，在静止前下列说法中正确的是()A．速度越来越小，位移也越来越小B．速度越来越小，位移越来越大C．加速度越来越小，位移越来越大D．加速度越来越小，位移越来越小图2－3－83．某质点做直线运动的速度v和时间t的关系，如图2－3－8所示，则该质点在3 s内的位移是() A．4.5 mB．3 mC．1 mD．0.5 mx，则以下说法正确的是()图2－3－9—时间图象，由图象可知()A．甲启动的时间比乙早t1秒B．当t＝t2时，两物体相遇C．当t＝t2时，两物体相距最远D．当t＝t3时，两物体相距x0米图2－3－106．某物体运动的速度图象如图2－3－10所示．根据图象可知()A．0～2 s内的加速度为1 m/s2B. 0～5 s内的位移为10 mC. 第1 s末与第3 s末的速度方向相同D. 第1 s末与第5 s末加速度方向相同7．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m．则刹车后6 s内的位移是()A．20 m B．24 m C．25 m D．75 m8．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，设斜面足够长，最初3秒的位移为x1，第2个3秒内的位移为x2，且x2－x1＝1.8 m．试求：(1)x1、x2分别为多大；(2)物体下滑的加速度；(3)6 s末的速度．图2－3－129．(2013·丽水高一期末)一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图2－3－13所示，汽车通过AB两相邻的树用了3 s，通过BC两相邻的树用了2 s，求汽车运动的加速度和通过树B时的速度为多少？图2－3－13。
高中数学课时作业6新人教A选修23
课时作业(六)1．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么分歧的排法共有( ) A．30种B．360种C．720种D．1 440种答案 C解析本题概况上看似乎带有附加条件，但实际上这和6个人站成一排照相一共有多少种分歧排法的问题完全相同．分歧的排法总数为A66＝6×5×4×3×2×1＝720种．2．电视台连续播放6个广告，其中含4个分歧的商业广告和2个分歧的公益广告，要求首尾必需播放公益广告，则分歧的播放方式共有( )A．6种B．24种C．48种D．720种答案 C解析据题意知4个分歧的商业广告可排在中间的4个位置上共有A44种方式，再将2个公益广告排在首末2个分歧的位置共有2种方式，按照分步计数原理可得分歧的播放方式共有2A44＝48种．3．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则分歧排法的种数是( )A．360 B．288C．216 D．96答案 B解析先排三名男生可分两种情况：(1)当甲在中间时，满足条件的分列共有A22A23A24＝144种；(2)当甲在三名男生分列的两边时，满足条件的分列共有2×A22A12A23A13＝144种．综上可知，共有144＋144＝288种情况．4．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的分歧点的个数为( )A．33 B．34C．35 D．36答案 A解析分列总数为1·2·3·A33＝36，其中点(5,1,1)，(1,1,5)，(1,5,1)分别反复2次，故共确定分歧的点数为36－3＝33(个)．5．某地奥运会火炬接力赛传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，那么分歧的传递方案共有________种．(用数字作答)答案 96解析 先放置最后一棒有A 12种，再放置第一棒有A 12种，最后放置中间四棒有A 44种，所以分歧的传递方案有A 12A 12A 44＝96种．6．某年全国足球甲级(A 组)联赛共有16队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛，共进行比赛________场．答案 240解析 任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，因此共进行的比赛场次是：A 216＝16×15＝240(场)．7．用1、2、3、4、5这5个数字，组成没有反复数字的三位数，其中偶数的个数为________． 答案 24解析 方式一 先排个位，有2种排法(即排2或4)；再排十位，有4种排法；再排百位，有3种排法．应用乘法原理，得适合题意的三位数个数为2×4×3＝24.方式二 由题设知5个数字排成无反复数字的三位数的个数为A 35，这5个数字中奇数3个，偶数2个，所以在所得三位数中，偶数占25，故其个数为25·A 35＝24.8．由数字0,1,2,3,4,5组成没有反复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个？答案 300解析 个位数字小于十位数字与个位数字大于十位数字的六位数个数相等，而所有组成的六位数共有A 66－A 55＝600个．∴符合条件的六位数是300个．9．5个人围坐在如图所示的8张椅子上听敷陈，其中甲、乙两人不能相对而坐，问共有多少种分歧的坐法？答案 5 760解析 去掉各种概况现象，问题变成甲乙两人不能同时坐在1、8位置或2、7位置或3、6位置或4、5位置问题，用直接法可得共有A 18·A 16·A 36＝5 760(种)分歧的坐法．10．7名班委中有A 、B 、C 三人，有7种分歧的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？答案(1)720 (2)3600解析(1)先排正、副班长有A23种方式，再放置其余职务有A55种方式，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55种，因此A、B、C三人中至少有一个任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．►重点班选做题11．(2021·纲目全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则分歧的分列方式共有( )A．12种 B．18种C．24种 D．36种答案 A12．停车场划出一排12个停车位置，今有8辆分歧的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则分歧的停车方式有( )A．A812种B．2A88A44种C．8A88种D．9A88种答案 D解析将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全分列，共有A99＝9A88种．13．三张卡片的正反两面分别写上数字1和2,3和4,5和6，若用这三张卡片上的数字放在桌面上排成一行组成一个三位数，则可能获得的分歧的三位数的个数是( ) A．120 B．36C．48 D．20答案 C解析百十个确定百位有62种方式，共有6×4×2＝48种分歧三位数．1．由1、2、3、4、5、6组成没有反复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A．72 B．96C．108 D．144答案 C解析由于为偶数，故末位共有3种选法，然后分类：①当5在十万位和十位时，共有2A12A33＝24(种)；②当5在万位、千位、百位时，共有3A22A22＝12(种)．2．某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的按次不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有分歧的闪烁，那么需要的时间至少是( )A．1 205秒B．1 200秒C．1 195秒D．1 190秒答案 C解析由于有5个彩灯，并且每个彩灯能闪亮5种颜色，因此一共有A55＝120(个)分歧的闪烁．由于相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，因此所有分歧的闪烁的时间间隔共为119×5＝595(秒)．又因为每一个闪烁时，每个彩灯持续时间为1秒，因此有120×5＝600(秒)闪亮彩灯的时间，故满足题意的时间至少为595＋600＝1 195(秒)．3．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所获得的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是________．答案1 15。
北师大版八年级数学上册《第六章复习》课时作业(含答案)
第六章数据的分析检测题（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.（2013·潍坊中考）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A.众数B.方差C.平均数D.中位数2.（2013·莱芜中考）一组数据:10,5,15,5,20,则这组数据的平均数和中位数分别是( )A.10,10B.10,12.5C.11,12.5D.11,103.对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2.（1）这组数据的众数是3;（2）这组数据的众数与中位数的数值不相等;（3）这组数据的中位数与平均数的数值相等;（4）这组数据的平均数与众数的数值相等.其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.44.（2013·临沂中考）在一次歌咏比赛中,某选手的得分情况如下:92,88,95,93,96,95,94.这组数据的众数和中位数分别是( )A.94,94B.95,95C.94,95D.95,945.某公司员工的月工资如下表：则这组数据的平均数错误!未找到引用源。
众数错误!未找到引用源。
中位数分别为（）A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
6.下列说法中正确的有（）①描述一组数据的平均数只有一个；②描述一组数据的中位数只有一个；③描述一组数据的众数只有一个；④描述一组数据的平均数、中位数和众数都一定是这组数据里的数；⑤一组数据中的一个数大小发生了变化，一定会影响这组数据的平均数、众数和中位数.A.1个B.2个C.3个D.4个7.某同学在本学期的前四次数学测验中得分依次是95,82,76,88，马上要进行第五次测验了，他希望五次成绩的平均分为85分，那么这次测验他应得（）分.A.84B.75C.82D.878.（2013·陕西中考）我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为111，96，47，68，70，77，105.则这七天空气质量指数的平均数是（）A.71.8B.77C.82D.95.79.（2013·重庆中考）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1 000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（）A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人成绩的稳定性相同D.无法确定谁的成绩更稳定10.某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是（）A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C.甲运动员得分的平均数大于乙运动员得分的平均数D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定二、填空题（每小题3分,共24分）11.某校八年级（1）班一次数学考试的成绩为：错误!未找到引用源。
课时作业：章末复习课
章末复习课一、选择题1．下列语句中是命题的是( )A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．sin 45°＝1C ．x 2＋2x －1>0D ．梯形是不是平面图形呢？2．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤03．有下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③若直线m ，n 与同一个平面所成的角相等，则m ，n 互相平行；④若直线m ，n 是异面直线，则与m ，n 都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知直线l 1：ax ＋y ＝1和直线l 2：9x ＋ay ＝1，则“a ＋3＝0”是“l 1∥l 2”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．将函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象向右平移m (m >0)个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，若y ＝f (x )在区间[－π6，π3]上单调递增，则m 的最小值为( ) A.π3B.π4C.π6D.π126．下列命题中的真命题是( )A ．对于实数a 、b 、c ，若a >b ，则ac 2>bc 2B ．x 2>1是x >1的充分不必要条件C ．∃α，β∈R ，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立D ．∀α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β成立 二、填空题7．若命题p ：常数列是等差数列，则綈p ： _____________________________________.8．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________．9．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．10．定义f (x )＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________(请写出所有真命题的序号)．①f (2x )＝2f (x )；②若f (x )＝f (y )，则x －y <1；③任意x ，y ∈R ，f (x ＋y )≤f (x )＋f (y )；④f (x )＋f (x ＋12)＝f (2x )；⑤函数f (x )为奇函数． 三、解答题11．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)任意x ∈{x |x >0}，x ＋1x≥2； (4)存在x ∈{x |x ∈Z }，log 2x >2.12．已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)内单调递减；q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 为真，且p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．13．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．答案精析1．B [只有B 是可以判断真假的陈述句．]2．D [命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”，故选D.]3．C [①垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确；②垂直于同一平面的两个平面平行或相交，错误；③若直线m ，n 与同一个平面所成的角相等，则m ，n 互相平行或相交或异面，错误； ④若直线m ，n 是异面直线，则与m ，n 都相交的两条直线是异面直线或相交直线，错误．]4．C [因为两直线平行，所以有a 2－9＝0，解得a ＝±3，当a ＝±3时，显然两条直线平行，故“a ＋3＝0”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选C.]5．C [y ＝f (x )＝sin[2(x －m )＋π6] ＝sin(2x ＋π6－2m )， y ＝f (x )的单调递增区间为[k π－π3＋m ，k π＋π6＋m ]，k ∈Z ， ∴m ＝π6，故选C.] 6．C [A 项中当c ＝0时不符合题意，故A 项错误，B 项中x 2>1是x >1的必要不充分条件，故B 项错误，当α＝β＝0时，符合题意，故C 项正确，当α＝β＝π2时，不符合题意，故D 项错误．]7．存在一个常数列，不是等差数列解析 全称命题的否定是特称命题．8．0<m <1解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1， 故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件．故填0<m <1.9．[－1,6]解析 p ：－4<x －a <4，即a －4<x <a ＋4；q ：(x －2)(3－x )>0，即2<x <3，所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3；而綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6， 故答案为[－1,6]．10．②③解析 根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )＝2f (x )不一定成立；如x 取1.5，f (x )＋f (x ＋12)＝f (2x )不一定成立；如x 取0，函数f (x )不满足奇函数的关系，如f (1.6)＝f (2)，f (－1.6) ＝f (－1)．正确答案为②③.11．解 (1)本题隐含了全称量词“任意的”，原命题应为：“任意的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，是特称命题，真命题．(3)命题中含有全称量词“任意”，是全称命题，真命题．(4)命题中含有存在量词“存在”，是特称命题，真命题．12．解 对于命题p ：当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，当a >1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以若p 为真命题，则0<a <1.若p 为假命题，则a >1.对于命题q ：若函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，则Δ＝(2a －3)2－4>0，即4a 2－12a ＋5>0⇔a <12或a >52. 又因为a >0，所以若q 为真命题，则0<a <12或a >52. 若q 为假命题，则12≤a <1或1<a ≤52. 因为p ∨q 为真，且p ∧q 为假，所以p 与q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12≤a <1或1<a ≤52⇒12≤a <1. 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12或a >52⇒a >52.综上所述，所求a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)．13．解(1)当m＝0时，f(x)＝x－a，其图象与x轴恒有交点，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1,1]．。
课时作业4：第六章 章末复习
第六章 章末复习一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A ．BC → B ．AB → C ．AC →D ．AM →2．设点A (－1,2)，B (2,3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( ) A ．(2,16) B ．(－2，－16) C ．(4,16) D ．(2,0)3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．34．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°5．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A ．152B ．15C ．8155D ．636．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形7．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32B ．－12C ．12D ．328.如图，已知等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝4，AD ＝BC ＝5，E 是DC 的中点，点P 在线段BC 上运动(包含端点)，则EP →·BP →的最小值是( )A ．－95B ．0C ．－45D ．19．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( ) A ．7 km B ．13 km C ．19 kmD ．10－3 3 km10．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝( ) A ． 3 B ．2 C ．2 3D ．411．设0≤θ<2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( ) A ． 2 B ． 3 C ．3 2D ．2312．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标分别为(a,0)，(0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为( ) A ．a B ．2a C ．3a D ．a 2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.15．如图，在正方形ABCD 中，已知|AB →|＝2，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AB →·AN →的最大值是________．16．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且b sin B ＝a sin A ＋(c －a )sin C ． (1)求B ；(2)若3sin C ＝2sin A ，且△ABC 的面积为63，求b .18．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，F 为BC 上一点，且BF ＝13BC ．(1)以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →.19．(本小题满分12分)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．20．(本小题满分12分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，函数f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．21．(本小题满分12分)在四边形ABCD 中，AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →.(1)求x 与y 的关系式；(2)若AC →⊥BD →，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积．22．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a，b满足关系|k a＋b|＝3|a－k b|(k>0)．(1)求a与b的数量积用k表示的解析式f(k)；(2)a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值；(3)求a与b夹角的最大值．【参考答案】一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】C【解析】原式＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →. 2．【答案】A【解析】设D (x ，y )，由题意可知AD →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3,1)，BC →＝(1，－4)，所以2AB →－3BC →＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝3，y －2＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.3．【答案】C【解析】∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又(8a －b )·c ＝30， ∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4. 4．【答案】B【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，则|c |2＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ，则cos θ＝－12.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°. 5．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0. ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即6＝4c 2＋c 2－4c 2·78.∴c ＝2，从而b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－⎝⎛⎭⎫782＝152. 6．【答案】C【解析】∵BA →＝(4，－3)，BC →＝(2，－4)，∴AC →＝BC →－BA →＝(－2，－1)， ∴CA →·CB →＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C ＝90°，且|CA →|＝5，|CB →|＝25，|CA →|≠|CB →|. ∴△ABC 是直角非等腰三角形． 7．【答案】B【解析】由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos120°|BC →|＝－12.8.【答案】A【解析】由四边形ABCD 是等腰梯形可知cos B ＝55.设BP ＝x (0≤x ≤5)，则CP ＝5－x .所以EP →·BP →＝(EC →＋CP →)·BP →＝EC →·BP →＋CP →·BP →＝1·x ·⎝⎛⎭⎫－55＋(5－x )·x ·(－1)＝x 2－655x .因为0≤x ≤5，所以当x ＝355时，EP →·BP →取得最小值－95.故选A ．9．【答案】B【解析】如图，设行驶15分钟时，甲船到达M 处，由题意，知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ×BN cos120°＝1＋9－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－12＝13，所以MN ＝13(km)．10．【答案】B【解析】cos θ＝a ·b |a ||b |＝－3－32×2＝－32，∴sin θ＝12，∴|a ×b |＝2×2×12＝2.11．【答案】C【解析】∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)， ∴|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤3 2. 12．【答案】D【解析】AB →＝OB →－OA →＝(0，a )－(a,0)＝(－a ，a )， ∴AP →＝tAB →＝(－at ，at )．又OP →＝OA →＋AP →＝(a,0)＋(－at ，at )＝(a －at ，at )， ∴OA →·OP →＝a (a －at )＋0×at ＝a 2(1－t )(0≤t ≤1)． ∴当t ＝0时，OA →·OP →取得最大值，为a 2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．【答案】(－4，－2)【解析】设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝－4，y ＝－2. 即a ＝(－4，－2)． 14．【答案】2【解析】由题知，AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 15．【答案】4【解析】∵AB →·AN →＝|AB →||AN →|·cos ∠BAN ，|AN →|cos ∠BAN 表示AN →在AB →方向上的投影， 又|AB →|＝2，∴AB →·AN →的最大值是4. 16．【答案】－2【解析】以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ，B ，C 三点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(0,3)．设M 点的坐标为(x ，y )，则CM →＝(x ，y －3)，CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)，又CM →＝16CB →＋23CA →，即(x ，y －3)＝⎝⎛⎭⎫－32，－52，可得M ⎝⎛⎭⎫－32，12，所以MA →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫332，－12，所以MA →·MB →＝－2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解 (1)由b sin B ＝a sin A ＋(c －a )sin C 及正弦定理， 得b 2＝a 2＋(c －a )c ，即a 2＋c 2－b 2＝ac . 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，所以△ABC 的面积为12ac sin B ＝34ac ＝63，得ac ＝24.由3sin C ＝2sin A 及正弦定理，得3c ＝2a ，所以a ＝6，c ＝4.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝36＋16－24＝28，所以b ＝27. 18．解 (1)由已知，得AM →＝AD →＋DM →＝12a ＋b .连接AF ，∵AF →＝AB →＋BF →＝a ＋13b ，∴HF →＝HA →＋AF →＝－12b ＋⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝a －16b . (2)由已知，得a ·b ＝|a ||b |cos120°＝3×4×⎝⎛⎭⎫－12＝－6， 从而AM →·HF →＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113. 19．解 (1)若AP →＝PB →，则OP →＝12OA →＋12OB →，故x ＝y ＝12.(2)若AP →＝3PB →，则OP →＝OA →＋34AB →＝OA →＋34(OB →－OA →)＝14OA →＋34OB →，OP →·AB →＝⎝⎛⎭⎫14OA →＋34OB →·(OB →－OA →)＝－14OA →2－12OA →·OB →＋34OB →2 ＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22＝－3.20．解 由题意，得f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. (1)由f (x )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3－x 2－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6－1＝－12. (2)已知a cos C ＋12c ＝b ，由余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又因为A 为三角形的内角，所以A ＝π3，从而B ＋C ＝2π3，易知0<B <2π3，0<B 2<π3，则π6<B 2＋π6<π2，所以1<sin ⎝⎛⎭⎫B 2＋π6＋12<32， 故f (B )的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，32. 21．解 (1)如图所示．因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)， 所以DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )． 又因为BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0. (2)AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)． 因为AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，于是BC →＝(－6,3)，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)． 所以|AC →|＝4，|BD →|＝8，所以S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16.当y ＝－1时，x ＝2，于是有BC →＝(2，－1)，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)． 所以|AC →|＝8，|BD →|＝4，S 四边形ABCD ＝16.综上可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，S 四边形ABCD ＝16.22．解 (1)由已知|a |＝|b |＝1.∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， ∴k 2|a |2＋2k a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2k a ·b ＋k 2|b |2)， ∴8k a ·b ＝2k 2＋2，∴f (k )＝a ·b ＝k 2＋14k(k >0)． (2)∵a ·b ＝f (k )>0，∴a 与b 不可能垂直．若a ∥b ，由a ·b >0知a ，b 同向， 于是有a ·b ＝|a ||b |cos0°＝|a ||b |＝1，即k 2＋14k＝1，解得k ＝2± 3. ∴当k ＝2±3时，a ∥b .(3)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b ＝k 2＋14k(k >0)， ∴cos θ＝14⎝⎛⎭⎫k ＋1k ＝14⎣⎡⎦⎤()k 2＋⎝⎛⎭⎫1k 2＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫k －1k 2＋2， ∴当k ＝1k 即k ＝1时，cos θ取到最小值为12. 又0°≤θ≤180°，∴a 与b 夹角θ的最大值为60°.。
课时作业1：章末复习课
章末复习课一、选择题1．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．袋中装白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是( ) A.15 B.45 C.13 D.123．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A.118B.19C.16D.1124．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，则恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．15．某运动会期间，从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115B.25C.35D.14156．从正方形的四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.457．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8二、填空题8．从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．9．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________．10．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．11．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．三、解答题12．如图所示，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，求弦AA ′的长度大于等于半径的概率．13．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵孵出8 513条鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？(2)30 000个鱼卵大约能孵化出多少条鱼苗？(3)要孵化出5 000条鱼苗，大约需准备多少个鱼卵(精确到百位)?14．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．答案精析1．A [从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，基本事件为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑．除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立．②符合，理由同上．③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥．]2．B [把白球编号为1,3,5，黑球编号为2,4,6.从中任取2个，基本事件为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15个．其中至多一个黑球的事件有12个．由古典概型公式得P ＝1215＝45.] 3．B [基本事件36个，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，故概率为436＝19.] 4．B [用列举法列出基本事件总数为10.事件“恰有一件次品”包含的基本事件个数为6，则P ＝610＝0.6.] 5．C [用列举法．基本事件总数为15，事件包括的基本事件数为9，∴P ＝915＝35.] 6．C [共可组成10条线段，其中小于边长的有4条，故不小于边长的有6条，所以不小于边长的概率为35.] 7．B [由几何概型公式知，所求概率为半圆的面积与矩形的面积之比，则P ＝12π·122＝π4，故选B.]8.25解析 基本事件有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10个．其中有a 的事件的个数为4个，故所求概率为P ＝410＝25. 9.3510.23解析 两本数学书编号为1,2，语文书编号为3，则共有123,132,231,213,312,321,6个基本事件．其中2本数学书相邻的事件有4个，故所求概率P ＝46＝23. 11.1312．解 如图，当AA ′的长度等于半径时，∠AOA ′＝60°，使AA ′大于半径的弧度为240°，所以P ＝240°360°＝23.13．解 (1)这种鱼卵的孵化频率为8 51310 000＝0.851 3，把它近似作为孵化的概率，即这种鱼卵的孵化概率是0.851 3.(2)设能孵化出x 条鱼苗，则x 30 000＝0.851 3，所以x ＝25 539，即30 000个鱼卵大约能孵化出25 539条鱼苗．(3)设大约需准备y 个鱼卵，则5 000y＝0.851 3，所以y ≈5 900，即大约需准备5 900个鱼卵． 14．解 (1)由题意，得(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3, 1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P (A )＝327＝19. 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89. 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.。
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章末复习课
一、选择题
1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( )
A ．它的首项是－2，公差是3
B ．它的首项是2，公差是－3
C ．它的首项是－3，公差是2
D ．它的首项是3，公差是－2
2．在等比数列{a n }中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( )
A ．2
B ．－2
C ．2或－2
D ．2或－1
3．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋t ，则t ＋a 3的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．17
D ．18
4．已知等差数列前n 项和为S n ，且S 13＜0，S 12＞0，则此数列中绝对值最小的项为( )
A ．第5项
B ．第6项
C ．第7项
D ．第8项
5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14
，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－
n ) C.323(1－4－n ) D.323
(1－2－n ) 6．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，n 为自然数，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )
A ．2n ＋1－2
B ．3n
C ．2n
D ．3n －1 二、填空题
7．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，n ∈N ＋，则它的通项公式为________．
8．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．
9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n
(n ∈N ＋)，则S 100＝________.
10．已知等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则这个数列的前n 项和最大时n ＝________.
三、解答题
11．在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S n n
最大时，求n 的值．
12．求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．
13．已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N ＋)．
(1)求a 2，a 3的值；
(2)是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(3)求通项公式a n .
答案精析
1．A 2.C 3.C 4.C 5.C 6.C
7．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
5， n ＝1，2n ＋2， n ≥2 8.110 9.2 600 10．15
解析 设数列{a n }的公差为d ， ∵S 10＝S 20，
∴10×29＋10×92
d ＝20×29＋20×192
d ， 解得d ＝－2，
∴a n ＝－2n ＋31，
设这个数列的前n 项和最大，
则需⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，
a n ＋1≤0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
－2n ＋31≥0，
－2(n ＋1)＋31≤0， ∴14.5≤n ≤15.5，
∵n ∈N ＋，∴n ＝15.
11．解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，
∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 即(a 3＋a 5)2＝25.
又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.
又a 3与a 5的等比中项为2，
∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，
∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1.
∴q ＝12
，a 1＝16， ∴a n ＝16×(12
)n －1＝25－n . (2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，
∴b n ＋1－b n ＝－1，
∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，
∴S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n 2
， ∴当n ≤8时，S n n
>0； 当n ＝9时，S n n
＝0； 当n >9时，S n n
<0. ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n n
最大． 12．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.
(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，
则S n ＝n [1＋(2n －1)]2
＝n 2. (3)当a ≠1且a ≠0时，
有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋
(2n －1)a n －1，①
aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋
(2n －1)a n ，②
①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)
＝1－(2n －1)a n
＋2·a (1－a n －1)1－a
＝1－(2n －1)a n
＋2(a －a n )1－a ， 又1－a ≠0，
∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2
. 综上，
S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，a ＝0，n 2，a ＝1，n ∈N ＋，1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2，a ≠0且a ≠1，n ∈N ＋.
13．解 (1)a 2＝13，a 3＝33.
(2)假设存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列． 设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列， 则有2b 2＝b 1＋b 3.
∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23， 13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8
. 解得λ＝－1.
又b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝12n ＋1
[(a n ＋1－2a n )＋1] ＝
1
2n ＋1[(2n ＋1－1)＋1] ＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n }为首项是2，公差是1的等差数列．
(3)a n＝(n＋1)2n＋1.。