2008中科院中科大考研量子力学试题答案
中科大理论力学课后习题答案
功和功率的概念及计算
功的定义
力对物体所做的功等于力的大小、 位移的大小、力与位移夹角的余 弦三者的乘积，即 $W=Flcostheta$。
功率的概念
功率是指物体在单位时间内所做的 功，即功率等于功和做功所用时间 之比，$P=W/t$。
计算方法和技巧
在计算功和功率时，需要注意力的 方向、位移的方向以及时间的对应 关系，同时要掌握一些计算技巧， 如利用动能定理等。
03 动力学基础与牛 顿定律
动力学基本概念及原理
动力学
研究物体运动与所受力 的关系，以及物体运动
状态改变的原因。
力的概念
力是物体之间的相互作 用，可以改变物体的运
动状态或形状。
惯性
物体保持静止或匀速直 线运动状态的性质，是
物体的固有属性。
动量
描述物体运动状态的物 理量，与物体的质量和
速度有关。
牛顿定律及其适用范围
典型习题解析与答案
习题一
解析物体在水平面上滑动时的受力情况，计算物体的加速度 和速度。
答案
根据牛顿第二定律，物体所受合力等于物体质量与加速度的 乘积，通过受力分析可以求出物体所受的合力，进而求出物 体的加速度和速度。
习题二
解析两个物体之间的碰撞过程，计算碰撞后的速度和能量变 化。
答案
根据动量守恒和能量守恒定律，可以求出碰撞后两个物体的 速度和能量变化。需要注意的是，碰撞过程中可能存在能量 损失，因此实际计算时需要考虑能量损失的因素。
03
题目2
04
一轻绳跨过定滑轮，两端分别系 有质量为m1和m2的物体，且 m1>m2，开始时两物体均静止， 当剪断轻绳后，求两物体的加速 度和速度变化。
中国科学技术大学量子力学考研内部讲义一(01-06)
量子力学理论处理问题的思路① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger 方程； ② 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及E n ，求得ψn ； ③ 描绘ψn ， ψn *ψn 等图形，讨论其分布特点；④ 用力学量算符作用于ψn ，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；⑤ 联系实际问题，应用所得结果。
有人认为量子力学的知识很零碎，知识点之间好像很孤立，彼此之间联系不是很紧凑，其实不是这样的，我们可以将量子力学分成好几个小模块来学习的，但是每个模块之间都有一定的联系，都相互支持的，比如算符和表象，表面看二者之间好像不相关，实际上在不同的表象中算符的表示是不一样的：在坐标表象中动量算符ˆp和坐标算符ˆx 之间的关系是ˆx p i x∂=-∂，在动量表象中它们之间的关系为ˆˆx x i p ∂=∂，所以我们在解答一个题目的时候一定要明确所要解决的问题是在哪个表象下，当然一般情况下都是在坐标表象下的。
这里还有一点建议就是经典力学跟量子力学是相对应的，前者是描述宏观领域中物体的运动规律的理论而后者是反映微观粒子的运动规律的理论，所以量子学中的物理量都可以与经典力学中的物理量相对应：薛定谔方程与运动方程；算符与力学量；表象与参考系，所以我们在解答量子力学问题的时候不要单纯的把它当作一个题目来解决，而是分析一个“有趣”的物理现象！针对中科大历年的硕士研究生入学考试，我们可以将量子力学分为六个模块来系统学习：一、薛定谔方程与波函数；二、力学量算符；三、表象；四、定态问题（一维和三维）；五、微扰近似方法；六、自旋，其实前三部分是后三部分的基础，后三部分为具体的研究问题提供方法。
所以在以后的学习中我们就从这几部分来学习量子力学，帮助大家将所有的知识系统起来。
第一部分 薛定谔方程与波函数在经典力学中我们要明确一个物体的运动情况，就需要通过解运动方程得到物体的位移与时间的关系、速度与时间的关系等等，同样的道理，在量子力学中我们要解薛定谔方程，得到粒子的波函数，也就明确了粒子的运动情况，然后再通过对波函数的分析就能得到一系列与之有关的力学量和整个体系的性质。
量子力学填空题答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版填空题答案1．量子力学的最早创始人是 普朗克 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 能量量子化 假设，解决了黑体辐射 的问题。
2．按照德布罗意公式λνεh p h ==,，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1 ；能量比E 1：E 2=12:μμ；若粒子速度为v=0.9c ，按相对论公式计算，其德布罗意波长'λ=24202//p c c μλ+。
3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=kT 23（k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max =K h k 221031-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛λμ。
4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩小） 缩小1倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n =3,2,12/2222=n a n μπ，相应的波函数=)(x n ψ()a x ax n a n <<=0sin 2πψ和()a x x n≥≤=,00ψ。
5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E=eV eV 51.136.132-=；L= 2；L z = ，轨道磁矩M z =B M 。
6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ϕ，当它们是玻色子时波函数为),(21q q s ψ=()()()()[]玻色体系1221221121q q q q k k k k ϕϕϕϕ+；为费米子时),(21q q A ψ()()()()]费米体系12212211q q q q k k k k ϕϕϕϕ-7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是E n =()()+-'+'+∑≠020m nn m mn mnnE EH H E ，)(x n ψ = ()()() +-'+∑≠00020m m nnm mnn E EH ψψ，其中微扰矩阵元'mn H =()()⎰'τψψd H n m 00ˆ；而'nn H 表示的物理意义是 在未受微扰体系中，H '的平均值 。
中科院量子力学真题
x <a 势场中运动 (V0 > 0 ) 。试求系统能级或能级方 x >a
-6-
putiansong 3@
试证明位力定理：
ψn
ˆ2 p 1 � � ψ n = ψ n r ⋅∇V (r ) ψ n 2m 2 ˆ2 1 p 4 ˆ ' = −λ p ˆx + mω 2 x 2 ，设受到微扰 H 的作 2m 2
-1-
putiansong 3@
（1）求其能级和本征函数；
⎧V1 , −α < ϕ < 0 ˆ ' = V (ϕ ) = ⎪ （2）加 H ⎨V2 , 0 < ϕ < α 微扰， ⎪ 0, 其他 ⎩
求对最低的两能级的一级微扰修正。 注：在坐标系中 ∇ 2 =
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 。 (r ) + 2 + r ∂r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z 2 ⎧ 0, 0 < x < a 中运动， t = 0 时刻处于基态， 此 ⎩∞, a < x, x < 0
ˆ = 五、一维谐振子系统哈密顿量为 H 0
用，试求对第 n 个谐振子能级的一级微扰修正。
ˆ n = （已知矩阵元 n ' x ℏ ( n + 1δ n ', n+1 + nδ n ', n−1 ) ） 2mω
� � 1⎛r � � r⎞ ˆ ˆ ˆ r = ⎜ ⋅ p + p ⋅ ⎟ ，则： 二、 (30') 在三维体系中粒子的径向动量算符 p 2⎝ r r⎠ ˆ r 是否为厄密算符，为什么？ （1） p ˆ r 的表示； （2）写出在球坐标系中 p ˆr ] = ? （3）求 [ r, p
量子力学典型例题分析解答(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级. 2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3 分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5) [证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
[证]。
是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。
本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率, 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
Removed_量子力学试题(2008年)含答案
题号 一 二 三 得分
总分
（说明：考试时间 120 分钟，共 6 页，满分 100 分）
计分人：
复查人：
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）
得分 评卷人
1. 微观粒子具有 波粒 二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量 E、动量 P 与频率、波长之间的关系，其表达式为：
[Lˆ x , Lˆ y ] [ ypˆ z zpˆ y , zpˆ x xpˆ z ]
[ ypˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zpˆ y , zpˆ x xpˆ z ]
[ ypˆ z , zpˆ x ] [ ypˆ z , xpˆ z ] [zpˆ y , zpˆ x ] [zpˆ y , xpˆ z ]
1、（10 分）设氢原子处于状态
(r, , )
1 2
R21 (r)Y10
( ,)
3 2
R21 (r)Y11 (
,)
求氢原子能量 E、角动量平方 L2、角动量 Z 分量 LZ 的可能值及这些可能值出现的几率。
解：在此状态中，氢原子能量有确定值
E2
e
2 s
2 2n2
e
2 s
8 2
角动量平方有确定值为
L2 ( 1) 2 2 2
[ ypˆ z , zpˆ x ] [zpˆ y , xpˆ z ]
y[ pˆ z , zpˆ x ] [ y, zpˆ x ] pˆ z z[ pˆ y , xpˆ z ] [z, xpˆ z ] pˆ y
y[ pˆ z , zpˆ x ] [z, xpˆ z ] pˆ y
yz[ pˆ z , pˆ x ] y[ pˆ z , z] pˆ x x[z, pˆ z ] pˆ y [z, x] pˆ z pˆ y
2012-2013年中国科学院大学考研试题 量子力学
∞
∫ 数为
ψ
( x,0)
=
(α π
)1
4 eik0 x−αx2
2
（ k0、α 为实常数；
dx e−ax2 =
π ,
a
a > 0 ）。
−∞
(1)求 t > 0 时刻动量表象波函数 Ψ~ (k,t) 及粒子动量几率分布 Π(k,t) 。
(2)求 t > 0 时刻波函数 Ψ(x,t) 及粒子位置几率分布 Ρ(x,t) 。
四、（共 30 分） (1) 写出角动量算符的三个分量 J x 、 J y 、 J z 相互间满足的所有对易关系。
(2) 试利用这些对易关系，证明矩阵元 m J x n 仅当 m n 1 时不为零。其中
m 、 n 分别为 J z 的本征值为 m 、 n 的本征态。
(3) 设角动量量子数 j 1。 已知在 J z 的某一个本征态 m 中， J x 取值为 0 的概
科目名称：量子力学
第 2 页，共 2 页
为第一
Bohr
轨道半径。
设体系受到微扰 H e z 的作用（沿 z 方向加上均匀电场 ），哈密顿量变成
H H0 H。
(1)计算对易关系：[H0, H ] 及 [H ,[H0, H ]] 。
(2)计算 0 下的平均值：
H 0
及
H2 。 0
(3)取基态试探波函数为 () N(1 H) 0 ，其中 N 为归一化常数。试以 为
一、（共 30 分）质量为 µ 的粒子在一个无限深球方势阱
0, r ≤ a V (r) = ∞, r > a
中运动。
(1)写出径向波函数 Rl (r ) 满足的方程（已知：= ∇2
(NEW)中国科学技术大学《828量子力学》历年考研真题汇编(含部分答案)
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
5．（30分）假设自由空间中有两个质量为m、自旋为 /2的粒子，它们 按如下自旋相关势
相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g>0为常量，而 （i=l，2）为 分别作用于第1个粒子自旋的Pauli矩阵。
。算符 ， 与升降算符之间的关系为：
其中
。对于体系基态，相关的平均值为：
所以，
，
最终得到：
。 4．（20分〉设有2维空间中的如下矩阵
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
解：（a）矩阵A的转置共轭为：
因此，矩阵A为厄米矩阵。 （b）Pauli矩阵分别为：
令
，则 ， 与哈密顿量对易。对于 ，此结果是显然的。对
于，
体系的角动量 显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组 即为体系的一组可对易力学量完全集。
（b）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写 为：
其中 为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数 首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部 分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量 完全集的本征函数：
目 录
2014年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2013年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2012年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2011年中国科学技术大学809量子力学 考研真题
中科院量子力学1990-2008(部分有答案)
考试科目：量子力学
To My Parents My Teachers and My Love
前
言
中科院并不是高不可攀的，只要你有能力，就会看重你。所以要 多注重基础，当然做题时关键。希望大家不要天天泡在网上，期待有 所谓的中科院考研秘籍、考研笔记、或内部资料什么的来透题，我把 历年的试题都做成了电子档，并上传到了网，让那些高价的所谓的内 部笔记都见鬼去吧！中科院看中的是你的能力，英雄不问出路，作者 以前毕业的学校也并不好，但也来到了中科院研究生院，在 2009 年 研究生考试还有一个月的时候，希望大家都能注重基础知识，多做真 题(真题很有用的)，平心和气，在考场上亮出自己的最好成绩。 本 书 收 集 了 中 国 科 学 院 1900-2008 年 研 究 生 考 试 的 真 题 。 （1990-2002 年的包括理论型和实验型） ，近几年的试题还配有答案， 但也有部分试题还未有答案，但在以前的其他的真题中也都出现过 的。本书的主要源自于《量子力学习题解答》陈鄂生著，山东大学物 理系； 《中国科学院硕士研究生入学考试物理真题及解答 (2006-2007)》 ，世界图书出版社；还有网络论坛上有人总结的真题回 忆版，时间长了是哪个论坛的我已经不记得了，不能一一列出，在表 示感谢！ 由于时间仓促，书中未免会出现错误，希望大家及时给予指出， 提出宝贵建议（bohl0206@）使更多的同学受益！
Schrödinger's Kitten 2008 年 12 月 14 日
1
中国科学院－中国科技大学 1990 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、在 t 0 ，氢原子波函数为
量子力学(二)习题参考答案
ψ 1 (− a ) = ψ 2 (− a ) → −C sin ka = A1e −α a
比较以上两式可以得到
B2 = − A1
A1eα x , x < − a 于是有 ψ 0 ( x) = C sin kx, −a < x < a − A e −α x , x > a 1
——奇宇称态！
+∞
( p x x − Et )
4） 、由归一化条件 ψ * ( x)ψ p ' ( x )dx = δ ( p ' − p '' ) 可定出归一化常数 p'
−∞
∫
A= 1
2π h h2 d 2 ,U = 0 2 I dϕ 2
µ =− 4、平面转子（见教科书）—— H
其解为： E m =
m2 h2 , m = 0, ±1, ±2 …… 2I 1 imϕ e ， 2π
比较得到：
B2 ＝ A1
于是得
A1eα x , x < − a ψ e ( x) = C cos kx, − a < x < a −α x A1e , x > a
——偶宇称态！
（23）
其中的 C，A1 可由归一化条件和连续性条件定出。 7、 δ 形势—— U ( x ) = f ( x )δ ( x) U(x) E 1 0 2 x （1）
①
②
由①和②消去 B
→ 2 A = (1 +
2k1 k2 k +k )C = 1 2 C → C = A k1 k1 k1 + k 2
③
由①和②消去 C
→
A − B k2 = → A + B k1
07-08中科院量子力学
=0
第 6 页 共 8 页
E1 = E +E +E
(0) 1 (1) 1
(2) 1
= 1+ 0 +
λ2
−2
= 1−
λ2
2
∴
(0) (1) (2) E2 = E2 +E2 +E2 = 3+ 0+ (0) 3 (1) 3 (2) 3
λ
2
2 2 E3 =E +E +E = − 2+λ +0= − 2+λ
'
已知： E1 =1, E2 =3, E3
(1) ' ∵ En = H nn
似水骄阳 3周年留念
ε 2 =2+ 1 + λ 2 , ε 3 = − 2+λ
(0) (0) (0)
= −2
(1) ∴ E1(1) =0, E2 =0, E3(1) = λ
' H mn 2
又∵ En
(2)
=∑
n
(0) (0) En − Em ' H 21 2 ' H 31 2
（4）
由连续条件 u (b) = 0 得
k (b − a ) = nπ , k =
由（5）式及（3）式得定态能量
nπ , b−a
n = 1, 2,3,
（5）
E=
n 2π 2 2 2m(b − a ) 2
b
（6）
将（5）式代入（4）式，并利用归一化条件
∫
求得归一化系数 A = 定态波函数为：
∞
0
ψ (r ) 4π r 2 dr = 4π ∫ u (r ) dr = 1
中科院量子力学历年详解
1.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 详解 i 19
4 曾谨言《量子力学》卷 I 练习详解 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
量子力学的诞生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 波函数与 Schrödinger 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 一维定态问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 力学量用算符表达 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 力学量随时间的演化与对称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 中心力场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 粒子在电磁场中的运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 表象变换与量子力学的矩阵形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 自旋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 ii 目录 返回