2020版高考人教A版文科数学一轮复习文档：选修4-4 第二节 参 数 方 程 Word版含答案

2020版高考数学（文）总复习第二节 参 数 方 程2019考纲考题考情1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )。

①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．直线的参数方程过定点P 0(x 0，y 0)且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，则参数t 的几何意义是有向线段P 0P →的数量。

3．圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r ，以圆心为顶点且与x 轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)α∈[0,2π)。

4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)θ∈[0,2π)。

1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围。

2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离。

一、走进教材1．(选修4－4P 26T 4改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________。

解析 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0。

答案 x －y －1＝0 2．(选修4－4P 37例2改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值。

解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，所以a ＝3。

二、走出误区微提醒：①不注意互化的等价性致误；②直线参数方程中参数t 的几何意义不清致误；③交点坐标计算出错致误。

3．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( )A ．直线x ＋2y －2＝0B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析 将曲线C 的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2,0≤y ≤1)。

故选D 。

答案 D4．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)上两点A ，B 对应的参数值是t 1，t 2，则|AB |＝( )A ．|t 1＋t 2|B ．|t 1－t 2|C ．a 2＋b 2|t 1－t 2|D ．|t 1－t 2|a 2＋b2 解析 依题意，A (x 0＋at 1，y 0＋bt 1)，B (x 0＋at 2，y 0＋bt 2)，则|AB |＝[x 0＋at 1－(x 0＋at 2)]2＋[y 0＋bt 1－(y 0＋bt 2)]2＝a 2＋b 2|t 1－t 2|。

故选C 。

答案 C5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝22t (t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________。

解析 由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2①。

又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝22t 消去t ，得y 2＝8x ②。

联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)。

答案 (2，－4)考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 把下列参数方程化为普通方程。

(1)⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)。

(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数，θ∈[0,2π))。

解 (1)由已知得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x－2)。

即它的普通方程为3x －y ＋5－3＝0。

(2)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以x 2＋y ＝1，即y ＝1－x 2。

又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y ＝1－x 2(|x |≤1)。

将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x ，y (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性。

参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等。

【变式训练】 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22m 。

(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1与曲线C 2有公共点，求实数m 的取值范围。

解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α(α为参数)，可得其普通方程为y ＝x 2(－2≤x ≤2)，由曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22m ，可得其直角坐标方程为x －y ＋m ＝0。

(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程，可得x 2－x －m ＝0，所以m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14， 因为－2≤x ≤2，曲线C 1与曲线C 2有公共点，所以－14≤m ≤6。

考点二 直线参数方程的应用【例2】 (2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)。

(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率。

解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1。

当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1。

(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0①。

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0。

又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α， 故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2。

1．直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，即参数t 的绝对值表示对应的点到定点的距离。

2．根据直线的参数方程的标准形式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|。

(2)若定点M 0(标准形式中的定点)是线段M 1M 2(点M 1，M 2对应的参数分别为t 1，t 2，下同)的中点，则t 1＋t 2＝0。

(3)设线段M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数为t M ＝t 1＋t 22。

【变式训练】 (2019·西安八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－3t ，y ＝－1＋2t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ。

(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |。

解 (1)由ρsin 2θ＝4cos θ，可得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x 。

(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝4x ，整理得4t 2＋8t －7＝0，所以t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－74，所以|AB |＝(－3)2＋22|t 1－t 2|＝13×(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝13×4＋7＝143。

考点三 圆与椭圆参数方程的应用【例3】 (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)。

(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a 。

解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1。

当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0。

由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧ x ＝－2125，y ＝2425。

从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425。

(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17＝|5sin (θ＋φ)－a －4|17， 其中sin φ＝35，cos φ＝45。

当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917。

由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8； 当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117。

由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16。

综上，a ＝8或a ＝－16。

椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解。

【变式训练】 (2019·安徽质检)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2－22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－2＝0，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，C 1与C 2相交于A ，B 两点。