江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学(文)试题(七) Word版含答案

南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（七）数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一.选择题(本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)1．已知复数1z i =+，则3z 的虚部为( )A.2iB. 2i -C.2D. 2- 2．设,A B 为非空集合,定义集合A*B 为如图阴影．．部分表示的集合，若{|A x y ={|3,0},xB y y x ==>则A*B=( )A ．（0，2）B ．[][)0,12,⋃+∞C ．（1,2]D ．[]()0,12,⋃+∞3．已知cos ,0()(1)1,0x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，则11()()33f f +-的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．24．若(0,)2πα∈，且21sin cos24αα+=，则tan α=( )A B C D5．观察下列各式：=，=，=，…．若=n m -=( ) A.43 B ．57 C ．73 D ．916．一次考试某简答题满分5分，以5.0分为给分区间．这次考试有100人参加，该题没有得零分的人，所有人的得分按]5,4(,],2,1(],1,0( 分 组所得的频率分布直方图如图所示．设其众数、中位数、平均分最大的可 能值分别为x m m c ,,0，则( ) A. xm m c >>0 B. x m m c <<0C. x m m c <<0D. c m x m <<07. 给定下列命题①过点(3,3)且与圆22(1)4x y -+=相切的直线方程为512210x y -+=.②在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为12③1x <是不等式2320x x -+>成立的一个充分不必要条件.④“存在实数x 使1sin 22x >”的否定是“存在实数x 使1sin 22x ≤”.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4A ．B ．C ．D ．9.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为,B F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎣⎦C ⎫⎪⎪⎣⎭D ⎣⎦第Ⅱ卷二.填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 11. 不等式x x <-≤|2|1的解集为 ．12. 已知两个单位向量12,e e 的夹角为3π，若向量1122b e e =- ，2121232,b e e b b =+⋅则= .13. 曲线x exy =在0=x 处的切线方程为 ． 14. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,3a 、7a 是方程22120x x c -+=的两根,且13S c =,则数列{}n a 的公差为__________.15. 执行如下图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是三.解答题(本大题6个小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分12分) 已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos POQ ∠的值.17. (本小题满分12分) 已知}{n a 是单调递增的等差数列，首项31=a ，前n 项和为n S ，数列}{n b 是等比数列，首项.20,12,123221=+==b S b a b 且 （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）设1(1)(1)n n n n b c b b +=++，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．18. (本小题满分12分) 已知集合{1,1,2}M =-,{1,1,2}N =-,{1,1,2}P =-.从集合,,M N P 中各取一个元素分别记为,,a b c ，设方程C 为22x y c a b+=． （1）求方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线的概率. （2）求方程C 不表示椭圆也不表示双曲线的概率．19. (本小题满分12分) 如图,正三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C 是边长为2的正方形,E 是1A B 的中点,F 在棱1CC 上.(1)当112C F CF =时,求三棱锥1F A BC -的体积.(2)当点F 使得1A F BF +最小时,判断直线AE 与1A F 是否垂直,并证明结论.20. (本小题满分13分) 已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分) 已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()ag x x=-.若至少存在一个0[1,4]x ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．y xQ 1QP 1PO 2013届高三模拟试卷（07）数学(文)参考答案(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭ ∴2),(4,2)P Q -.∴6,23,32OP PQ OQ ===∴222222632233cos 232632OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===⨯. 解法2：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭∴2),(4,2)P Q -.∴2),(4,2)OP OQ ==-.∴3cos cos ,3632OP OQ POQ OP OQ OP OQ ⋅∠=<>===⨯. 解法3: ∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭∴2),(4,2)P Q -. 作1PP x ⊥轴, 1QQ x ⊥轴,垂足分别为11P Q ,, ∴116,2,2,32OP OP PP ====1142OQ QQ ,==设11POP QOQ ,αβ∠=∠=,则361223333sin ,cos ,sin ,cos ααββ====. ∴cos cos POQ ∠=()3cos cos sin sin αβαβαβ+=-=. 17. (本小题满分12分)解：(1)设公差为d ，公比为q ，则22(3)12a b d q =+=322233(3)9320S b a b d q d q +=+=++=++= 311,113dq q d +==- 2(3)(11)332312d d d d +-=+-=,232210,(37)(3)0d d d d --=+-=，{}n a 是单调递增的等差数列，0d >.则3,2d q ==,3(1)33n a n n =+-⨯=,12n n b -=（2）∵1(1)(1)n n n n b c b b +=++112(21)(21)n n n --=++1112121n n-=-++， ∴n T 112231111111111121212121212121n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111121n =-++11221n =-+12<.18. (本小题满分12分)解：a b 、、c 所有可能的取法有：(1,1,1),(1,1,1),(1,1,2)-------，(1,1,1)--，L L ，(2,2,1),(2,2,1),(2,2,2)-，共27种，（1）其中表示焦点在x 轴上的双曲线的有：(1,1,1),(2,1,1),(1,1,1),(1,2,1),------(1,1,2),(2,1,2)--共6种，故方程C 表示焦点在x 轴的上双曲线的概率为：162279P ==； （2）其中不表示椭圆也不表示双曲线的有：(1,1,1),(1,1,1),(1,1,2),------- (1,1,1),(1,1,1),(1-(1,2,1),(2,1,1),(2---(2,2,1),(2,2共11种，故方程C 不表示椭圆也不表示双曲线的概率为：21127P =19. (本小题满分12分) 解：(1)因为侧面11AAC C 是边长为2的正方形，12AC CC ∴==2BC ∴= 又11423C F CF CF =∴=1111422323F A BC A FBC V V --∴==⨯⨯⨯=(2)解法1：将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时点F 使得BF F A +1最小.此时FC 平行且等于A A 1的一半,F ∴为C C 1的中点.连接EF AF 、在1Rt A AB 中，12AA AB ==得AE =在Rt AFC 中，2,1AC FC ==得AF =在等腰1A FB中，1A F BF ==EF =所以由AE =AFEF 222AE EF AF +=有勾股定理知AE EF ⊥1111AE AF AE A B AE A FB AE A F A F EF F ⊥⎧⎪∴⊥⇒⊥⇒⊥⎨⎪=⎩ 面 解法2：将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时点F 使得BF F A +1最小.此时FC 平行且等于A A 1的一半,F ∴为C C 1的中点.过点C 作CG AB ⊥交AB 于G ,连接EF ，由FC EG 且FC EG =知四边形EGCF 为 所以EF CG .在正三棱柱111ABC A B C -中知CG ⊥面1A AB ,而EF CG ，所以EF ⊥面1A AB .AE EF ∴⊥1111AE AF AE A B AE A FB AE A F A F EF F ⊥⎧⎪∴⊥⇒⊥⇒⊥⎨⎪=⎩ 面 20. (本小题满分13分)(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=.解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=.(2) 解法1：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=.设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-.由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x yC :+=上. ∴()()2222311612k k -+=. 化简得271230k k --=.(*) 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个.解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x xy -=. ①同理， 20202y x xy -=. ② 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002.∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002，∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ∴点P 的轨迹方程为3-=x y .若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点.∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. 解法3：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=，)413,2(211x x --=， ∵C B A ,,三点共线, BC BA // . ()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 化简得：1212212x x x x ()+-=. ① 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ②同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=.代入②得 2141x x y =， 则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. 21. (本小题满分14分) 解：（1）函数的定义域为()0,+∞，222122()(1)ax x af x a x x x-+'=+-=．设2()2h x ax x a =-+ ， ①当0a =时，()20h x x =-<，2()20h x ax x a =-+<在),0(+∞上恒成立，则()0f x '<在),0(+∞上恒成立，此时()f x 在),0(+∞上单调递减．②当0a ≠时，（I ）由,0442=-=∆a 得1±=a .当1=a 时，2()2h x ax x a =-+0)1(1222≥-=+-=x x x 恒成立，)(x f ∴在),0(+∞上单调递增．当1-=a 时，2()2h x a x x a =-+0)1(1222≤--=-+-=x x x 恒成立，)(x f ∴在),0(+∞上单调递减．（II ）由,0442<-=∆a 得1-<a 或1>a ；.当1-<a 时，开口向下，2()20h x ax x a =-+<在),0(+∞上恒成立，则()0f x '<在),0(+∞上恒成立，此时()f x 在),0(+∞上单调递减． 当1>a ，开口向上，()0h x ≥在),0(+∞上恒成立，则()0f x '≥在),0(+∞上恒成立， 此时()f x 在),0(+∞上单调递增．（III ）由2440,a ∆=->得11a -<<若01a <<，开口向上，12x x ==，且1220x x a +=>，121x x =，12,x x 都在),0(+∞上. 由()0f x '>，即()0h x >，得x <或x >； 由()0f x '<，即()0h x <x<<． 所以函数()f x的单调递增区间为和)+∞， 单调递减区间为11(a a+． 当10a -<<时，抛物线开口向下，2120,0,()20x x h x ax x a <<=-+<在(0,)+∞恒成立，即'()0f x <在（0，+)∞恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减其中1x （2）因为存在一个0[1,4]x ∈使得00()()f x g x >， 则002ln ax x >，等价于002l n x a x >.令2ln ()x F x x=，等价于“当[]1,4x ∈ 时，()m i n a F x >”.对()F x 求导，得22(1ln )()x F x x-'=. 因为[]1,4x ∈，由()0,1F x x e '>∴<<，()0,4F x e x '<∴<<所以()F x 在[1,e]上单调递增，在[,4]e 上单调递减. 由于(4)(1)F F >，所以min ()(1)0F x F ==，因此0a >.。