山东省潍坊市高二数学下学期期末试卷 文(含解析)

2015-2016学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∩B）=（）A．{2，3} B．{1，4，5} C．{4，5} D．{1，5}2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=（）|x|3．幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（4）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．24．设a=20.3，b=log21.5，c=ln0.7，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）的对应表：x 1 2 3 4 5 6f（x）136.13 15.552 ﹣3.92 10.88 ﹣52.488 ﹣232.064 则函数f（x）存在零点的区间有（）A．区间[1，2]和[2，3] B．区间[2，3]和[3，4]C．区间[3，4]、[4，5]和[5，6] D．区间[2，3]、[3，4]和[4，5]6．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．18．若函数f（x）=a x，g（x）=log a|x|（a＞0，且a≠1），若f（2）•g（2）＜0，则函数f （x），g（x）在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．9．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．610．已知奇函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，且f（﹣1）=0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，1）∪（0，1） C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数f（x）=的定义域是．12．已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x﹣2），当x∈（0，1）时，f（x）=3x，则f（）= ．13．已知=2， =3， =4，…，类比这些等式，若=7（a，b均为正整数），则a+b= ．14．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1，若f（x）在（﹣1，1）在单调递减，则a的取值范围为．15．函数f（x）=，若y=f（x）+x有且只有一个零点，则a的取值范围是．三.解答题：6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（4﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜3}．（1）求A∩∁U B；（2）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若C⊆A∪B，求实数a的取值范围．17．已知命题p：函数y=2在x∈[1，+∞）上为增函数；命题q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x∈R恒成立，若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．18．已知定义在R上的函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）若f（2﹣t2）+f（t）＜0，求实数t的取值范围．19．设函数f（x）=e x﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当a＞0时，若函数f（x）在区间（0，2]上存在唯一零点，求a的取值范围．20．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x（1）若函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）若a＞0，讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，求证：．2015-2016学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∩B）=（）A．{2，3} B．{1，4，5} C．{4，5} D．{1，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A∩B，然后求出它的补集即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}所以A∩B={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}；∁U（A∩B）={1，4，5}；故选B．2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=（）|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】利用奇偶函数的定义及基本函数单调性，即可得出结论．【解答】解：一一进行判断即可：A．y=2x3为奇函数，不是偶函数，故A错误；B．y=|x|+1符合题意，故B正确；C．y=﹣x2+4，是偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，故C错误；D．y=（）|x|是偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，故D错误．故选：B．3．幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（4）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f（x）=xα，根据函数图象过点（2，）求出α的值，再写出f（x），计算f（4）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，函数图象过点（2，），∴2α=，解得α=﹣，∴f（x）=；∴f（4）==．故选：C．4．设a=20.3，b=log21.5，c=ln0.7，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性比较大小．【解答】解：∵a=20.3＞20=1，0=log21＜b=log21.5＜log22=1，c=ln0.7＜ln1=0，∴a＞b＞c．故选：A．5．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）的对应表：x 1 2 3 4 5 6f（x）136.13 15.552 ﹣3.92 10.88 ﹣52.488 ﹣232.064 则函数f（x）存在零点的区间有（）A．区间[1，2]和[2，3] B．区间[2，3]和[3，4]C．区间[3，4]、[4，5]和[5，6] D．区间[2，3]、[3，4]和[4，5]【考点】二分法的定义．【分析】利用根的存在性定理：f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有根．结合题中的表求出函数f（x）存在零点的区间．【解答】解：据根的存在性定理知：f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有根．∵f（x）的图象是连续不断的，∴由表知，f（2）•f（3）＜0，f（4）•f（3）＜0，f（4）•f（5）＜0，∴函数f（x）存在零点的区间为[2，3]、[3，4]和[4，5]，故选：D．6．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．故是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．7．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，显然直线过A（2，2）时，z取得最大值，代入求出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，2），由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，由图知，直线过A（2，2）时，z取得最大值，∴z的最大值是2，故选：C．8．若函数f（x）=a x，g（x）=log a|x|（a＞0，且a≠1），若f（2）•g（2）＜0，则函数f （x），g（x）在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先由条件f（2）•g（2）＜0确定a的取值范围，然后利用指数函数和对数函数的性质去判断f（x），g（x）的图象．【解答】解：∵f（2）•g（2）=a2•log a2＜0，∴log a2＜0，∴0＜a＜1，∴函数f（x）=a x单调递减，g（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递减，故选：A．9．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．6【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5当且仅当=时取等号∴3x+4y≥5即3x+4y的最小值是5故选：C10．已知奇函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，且f（﹣1）=0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，1）∪（0，1） C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，∵当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，∴当x＞0时，g′（x）＜0，此时函数g（x）为减函数，∵f（x）是奇函数，∴g（x）=是偶函数，即当x＜0时，g（x）为增函数．∵f（﹣1）=0，∴g（﹣1）=g（1）=0，当x＞0时，f（x）＜0等价为g（x）=＜0，即g（x）＜g（1），此时x＞1，当x＜0时，f（x）＜0等价为g（x）=＞0，即g（x）＞g（﹣1），此时﹣1＜x＜0，综上不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：A二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数f（x）=的定义域是[2，）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则log（5﹣2x）≥0，即0＜5﹣2x≤1，即2≤x＜，即函数的定义域为[2，），故答案为：[2，）12．已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x﹣2），当x∈（0，1）时，f（x）=3x，则f（）= ．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】由题意可得函数周期T=4，再由奇函数的性质，结合x∈（0，1）时，f（x）=3x，进而可得答案．【解答】解：由题意可得f（x+4）=f[（x+2）﹣2]=f（x），故函数f（x）的周期T=4，又函数为奇函数，故有f（﹣x）=﹣f（x），∵当x∈（0，1）时，f（x）=3x，∴f（0.5）=，∴f（）=﹣f（0.5）=．故答案为：．13．已知=2， =3， =4，…，类比这些等式，若=7（a，b均为正整数），则a+b= 55 ．【考点】归纳推理．【分析】观察所给式子的特点，找到相对应的规律，问题得以解决．【解答】解：∵=2，=3，=4，…，∴=2=2，=3=3，=4=4，…，=7=7∴a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=48+7=55．故答案为：5514．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1，若f（x）在（﹣1，1）在单调递减，则a的取值范围为[3，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数f（x）的导函数，由函数f（x）在区间（﹣1，1）上是单调减函数，f′（x）≤0在x∈（﹣1，1）上恒成立，转化为求函数的最值恒成立即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣ax﹣1，∴f'（x）=3x2﹣a，要使f（x）在（﹣1，1）上单调递减，则f′（x）≤0在x∈（﹣1，1）上恒成立，则3x2﹣a≤0，即a≥3x2，在x∈（﹣1，1）上恒成立，在x∈（﹣1，1）上，3x2＜3，即a≥3，∴a的取值范围为[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．15．函数f（x）=，若y=f（x）+x有且只有一个零点，则a的取值范围是a＜﹣1 ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】化简构造得出g（x）=与y=﹣a有且只有一个交点，利用函数的图象的交点求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=，若y=f（x）+x有且只有一个零点，∴g（x）=与y=﹣a有且只有一个交点，根据图形得出：﹣a＞1，∴a＜﹣1故答案为：a＜﹣1．三.解答题：6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（4﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜3}．（1）求A∩∁U B；（2）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若C⊆A∪B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）由题目所给的条件，可以分别解出集合A与集合B，由补集的知识，可得∁U B，即可求得A∩∁U B；（2）求出A∪B，通过分类讨论，对a进行分类，可以确定C是否为空集，进而可以讨论的a的取值范围．【解答】解：（1）集合A={x|（x+3）（4﹣x）≤0}={x|x≤﹣3或x≥4}，…．对于集合B={x|log2（x+2）＜3}．，有x+2＞0且x+2＜8，即﹣2＜x＜6，…．即B=（﹣2，6），∴C U B=（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞），所以A∩∁U B=（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）．…（2）因为A∪B=（﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞）．…①当2a≥a+!，即a≥1时，C=∅，满足题意．…②当2a＜a+1，即a＜1时，有a+1≤﹣3或2a≥﹣2，即a≤﹣4或﹣1≤a＜1．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，+∞）．…17．已知命题p：函数y=2在x∈[1，+∞）上为增函数；命题q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x∈R恒成立，若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题的真假关系进行求解即可．【解答】解：命题p为真时，函数y=x2﹣2ax在x∈[1，+∞）为增函数，故对称轴x=﹣=a≤1，从而命题p为假时，a＞1．…..若命题q为真，当a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0符合题意．…..当a≠2时，有…..即﹣2＜a＜2．故命题q为真时：﹣2＜a≤2；q为假时：a≤﹣2或a＞2．…．若p∨q为假命题，则命题p，q同时为假命题．即，所以a＞2．…．∴p∨q为真命题时：a≤2．…18．已知定义在R上的函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）若f（2﹣t2）+f（t）＜0，求实数t的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）函数f（x）的定义域为R，验证f（﹣x）=﹣f（x），即可判断函数f（x）的奇偶性；（2）利用f′（x）=＜0，判断并证明f（x）的单调性；（3）根据函数f（x）在定义域R上既为奇函数又为减函数，f（2﹣t2）+f（t）＜0，可得t2﹣t﹣2＜0，即可求实数t的取值范围．【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=﹣1=1﹣=﹣（﹣1）=﹣f（x），即f（﹣x）=﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数．…（Ⅱ）因为f′（x）=＜0，…所以f（x）为R上的单调递减函数．…（Ⅲ）因为函数f（x）在定义域R上既为奇函数又为减函数，f（2﹣t2）+f（t）＜0，即f（2﹣t2）＜﹣f（t）=f（﹣t），…所以2﹣t2＞﹣t，即t2﹣t﹣2＜0，解得﹣1＜t＜2．…19．设函数f（x）=e x﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当a＞0时，若函数f（x）在区间（0，2]上存在唯一零点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）可求导数，f′（x）=e x﹣a，从而可讨论a的符号，进而判断导数的符号，这样即可得出函数f（x）的单调区间，进而得出其极值；（2）根据上面知x=lna为f（x）的最小值点，从而可讨论零点为极小值点，或零点在极小值点的左侧两种情况，对于每种情况可以求出a的取值，两种情况求并即可得出a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣a①若a≤0，则在区间（﹣∞，+∞）上f′（x）＞0∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），没有极值点；②若a＞0，令f′（x）=0，即e x=a，解得x=lna故在区间（﹣∞，lna）内f′（x）＜0，f（x）单调递减；在区间（lna，+∞）内f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，lna），f（x）的单调递增区间为（lna，+∞），当x=lna时，函数f（x）有极小值为2a﹣alna；（2）当a＞0时，由（1）知，x=lna为函数f（x）的最小值点因为f（0）=1+a＞0，若函数f（x）在区间上（0，2]上存在唯一零点，则当零点为函数的极小值点时：，得a=e2；当零点在极小值点左侧时：，得a＞e2；综上所述，函数f（x）在区间（0，2]上存在唯一零点，则a≥e2，∴a的取值范围为[e2，+∞）．20．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【考点】函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（I）当x∈[200，300]时，该项目获利S=200x﹣＜0，说明不获利；当x=300时，S取得最大值﹣5000，说明国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损；（II）二氧化碳的每吨平均处理成本为： =；分段讨论，①当x∈[120，144）时，求出的最小值；②当x∈[144，500]时，求出的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低．【解答】解：（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则S=200x﹣=﹣x2+400x﹣80000=﹣（x﹣400）2；当x∈[200，300]时，S＜0，此时该项目不会获利；当x=300时，S取得最大值﹣5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．（II）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：=，则：①当x∈[120，144）时， =x2﹣80x+5040=（x﹣120）2+240，∴当x=120时，取得最小值240；②当x∈[144，500]时， =x+﹣200≥2﹣200=200，当且仅当x=，即x=400时，取得最小值200；∵200＜240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x（1）若函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）若a＞0，讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）利用斜率计算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2﹣3x，则g′（x）=+2ax﹣3，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴可得，g′（1）=1+2a﹣3=0，∴a=1；（2）g（x）=lnx+ax2﹣3x，则g′（x）=+2ax﹣3=，设t（x）=2ax2﹣3x+1，△=9﹣8a，①当0＜a＜时，设t（x）=0的两根为x1=，x2=，由g′（x）＞0可得x＞x2，或0＜x＜x1；由g′（x）＜0可得x＞x2，或＜x1＜x＜x2，即g（x）的单调增区间为（0，），（，+∞）；单调减区间为（，）；②当a≥时，2ax2﹣3x+1≥0恒成立，g′（x）≥0恒成立，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；（3）证明：依题意得k==，＜k＜⇔＜＜⇔x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则h′（x）=1﹣，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则m′（x）=1﹣，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．。