2019-2020江苏省扬州市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省扬州市高三(上)12月调研数学试卷
2019-2020学年江苏省扬州市高三（上）12月调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝________．【答案】(0, +∞)【考点】并集及其运算【解析】进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x>1}；∴A∪B＝(0, +∞)．2. 已知i为虚数单位，若复数(1+ai)(1+i)纯虚数，则实数a＝________．【答案】1【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】∵(1+ai)(1+i)＝(1−a)+(1+a)i是纯虚数，∴{1−a=0，得a＝1．1+a≠03. 已知p:x≥a，q：(x−1)(x−2)≥0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．【答案】[2, +∞)【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由p:x≥a，q:x≤1或x≥2，p是q的充分不必要条件，能求出实数a的取值范围．【解答】∵p:x≥a，q：(x−1)(x−2)≥0，即q:x≤1或x≥2，p是q的充分不必要条件，∴a≥2．∴实数a的取值范围是[2, +∞)．4. 运行如图所示的伪代码，其结果为________．【答案】5050【考点】伪代码（算法语句）【解析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+2+3+...+100的值．【解答】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+2+3+...+100的值，所以S＝1+2+3+...+100＝5050．5. 圆柱形容器内部盛有高度为4cm的水，若放入1个铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）沉到水底后，水恰好将球淹没，则球的半径是6cm．【答案】6【考点】球的体积和表面积【解析】直接利用体积相关的等量关系式的应用求出球的半径．【解答】设球的底面半径为R，放入1个铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）沉到水底后，水恰好将球淹没，所以π⋅R2⋅4+43⋅πR3=π⋅R2⋅2R，解得R＝6．6. 角α的终边经过点P(−3, 4)，则cos(π2−α)=________．【答案】4【考点】任意角的三角函数【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值．【解答】∵角α的终边经过点P(−3, 4)，则cos(π2−α)=sinα=√9+16=45，7. 设直线l:3x+4y+a＝0，与圆C：(x−2)2+(y−1)2＝25交于A，B，且|AB|＝6，则a的值是________．【答案】10或−30【考点】直线和圆的方程的应用【解析】首先利用垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求出a即可．【解答】根据题意，圆C：(x−2)2+(y−1)2＝25，其圆心C(2, 1)，半径为r＝5，又由|AB|＝6，则d=√r2−(|AB|2)2=√25−9=4，即圆心到直线的距离为4；则有d=√9+16=4，解可得a＝10或−30；8. 平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为________ 【答案】1【考点】等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质即可得出．【解答】设该数列的首项为x，由题意可得：1010=2019+x2，解得x＝1．9. 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是x2 a2+y2b2=1(a>b>0)与x2+y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．【答案】abπ【考点】类比推理【解析】根据拨给原理的条件，先用平行于y轴的直线截椭圆x 2a2+y2b2=1与圆x2+y2＝a2，可得出所截得线段的比都为ba，再根据所给的原理可知，椭圆x 2a2+y2b2=1的面积是圆x2+y2＝a2的面积的ba倍．从而结合圆x2+y2＝a2的面积公式即可得出椭圆x2a2+y2b2=1的面积．【解答】图③中的曲线分别是x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与x2+y2＝a2，如果用平行于y轴的直线截椭圆x 2a2+y2b2=1与圆x2+y2＝a2，所截得线段的比都为ba，根据所给的原理可知，椭圆x 2a +y2b=1的面积是圆x2+y2＝a2的面积的ba倍．又圆x2+y2＝a2的面积为a2π，∴椭圆x2a2+y2b2=1的面积是a2π×ba=abπ．10. 若曲线f(x)＝(ax−1)e x在点A（0, f(0)）处的切线与y轴垂直，则a＝________．【答案】1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由题意可得f′(0)＝0，则答案可求．【解答】由f(x)＝(ax−1)e x，得f′(x)＝ae x+(ax−1)e x，∴f′(0)＝a−1，由题意可得：a−1＝0，则a＝1．11. 已知函数f(x)＝sin x+12x2+ln x，f(1−a)<f(2a)，则实数a的取值范围________．【答案】(1,1)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】先对f(x)求导，判断f(x)的单调性，然后由f(1−a)<f(2a)，得到关于a的不等式，进一步得到a的范围．【解答】由f(x)＝sin x+12x2+ln x，得f′(x)=cos x+x+1x(x>0)，∵当x>0时，x+1x>√2，cos x∈[−1, 1]，∴当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴由f(1−a)<f(2a)，得{1−a >02a >01−a <2a ，∴ 13<a <1，∴ a 的取值范围为(13,1)．12. 在△ABC 中，AB ＝2BC ，DB →=AD →,CE →=12EA →，则BE →与CD →的夹角为________． 【答案】 π2【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】可设AB ＝2BC ＝2，根据DB →=AD →,CE →=12EA →及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出CD →=12BA →−BC →,BE →=23BC →+13BA →，然后进行数量积的运算即可求出BE →⋅CD →=0，从而可得出BE →,CD →的夹角． 【解答】如图，设AB ＝2BC ＝2， ∵ DB →=DA →,CE →=12EA →，∴ CD →=BD →−BC →=12BA →−BC →，BE →=BC →+CE →=BC →+13CA →=BC →+13(BA →−BC →)=23BC →+13BA →， ∴ BE →⋅CD →=(23BC →+13BA →)⋅(12BA →−BC →)=−23BC →2+16BA →2=−23×1+16×4=0，∴ BE →⊥CD →， ∴ <BE →,CD →>=π2．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2−8x +15＝0，若直线y ＝kx −2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________43 ．【答案】4 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 直线与圆的位置关系 【解析】由于圆C 的方程为(x −4)2+y 2＝1，由题意可知，只需(x −4)2+y 2＝1与直线y ＝kx −2有公共点即可． 【解答】∵ 圆C 的方程为x 2+y 2−8x +15＝0，整理得：(x −4)2+y 2＝1，即圆C 是以(4, 0)为圆心，1为半径的圆；又直线y ＝kx −2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， ∴ 只需圆C′：(x −4)2+y 2＝4与直线y ＝kx −2有公共点即可． 设圆心C(4, 0)到直线y ＝kx −2的距离为d ， 则d =2≤2，即3k 2−4k ≤0，∴ 0≤k ≤43． ∴ k 的最大值是43．14. 若对任意的x ≥0，都有e x ≥ax 2+x +1恒成立，则a 的取值范围为________(−∞,12] ． 【答案】(−∞,12]【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】设g(x)＝e x −ax 2−x −1(x ≥0)，分a ≤12及a >12讨论即可． 【解答】设g(x)＝e x −ax 2−x −1(x ≥0)，则g′(x)＝e x −2ax −1，g ′′(x)＝e x −2a ， 当a ≤12时，g ′′(x)≥0在[0, +∞)上恒成立，即函数g′(x)在[0, +∞)上单调递增， 故g′(x)≥g′(0)＝0，∴ 函数g(x)在[0, +∞)上单调递增，故g(x)≥g(0)＝0，即e x ≥ax 2+x +1恒成立，满足题意；当a >12时，令g ′′(x)＝0，解得x ＝ln (2a)，易知当x ∈[0, ln 2a)时，函数g ′′(x)<0，g′(x)单调递减；当x ∈(ln (2a)，+∞)时，函数g ′′(x)>0，g′(x)单调递增，又g′(0)＝0，故当x ∈[0, ln 2a)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，则g(x)≤g(0)＝0，这与题设矛盾．综上，实数a 的取值范围为(−∞,12]．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知向量a →=(sin θ, −2)与b →=(1, cos θ)互相垂直，其中θ∈(0, π2)． （1）求sin θ和cos θ的值；（2）若5cos (θ−φ)＝3√5cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．【答案】 ∵ a →⊥b →，∴ a →⋅b →=sin θ−2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ 又∵ sin 2θ+cos 2θ＝1，∴ 4cos 2θ+cos 2θ＝1，即cos 2=15，∴ sin 2θ=45⋯又 θ∈(0,π2)∴ sin θ=2√55，cos θ=√55⋯ ∵ 5cos (θ−φ)＝5(cos θcos φ+sin θsin φ)=√5cos φ+2√5sin φ=3√5cos φ⋯∴ cos φ＝sin φ，∴ cos 2φ＝sin 2φ＝1−cos 2φ， 即cos 2φ=12⋯ 又 0<φ<π2，∴ cos φ=√22⋯ 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 同角三角函数间的基本关系 【解析】（1）由a →⊥b →得到sin θ＝2cos θ，再结合sin 2θ+cos 2θ＝1求出sin θ和cos θ的值； （2）5cos (θ−ϕ)=3√5cos ϕ，对等式左边用余弦的差角公式展开，得到cos φ＝sin φ再有sin 2φ+cos 2φ＝1，及0<φ<π2求得cos φ的值【解答】 ∵ a →⊥b →，∴ a →⋅b →=sin θ−2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ 又∵ sin 2θ+cos 2θ＝1，∴ 4cos 2θ+cos 2θ＝1，即cos 2=15， ∴ sin 2θ=45⋯ 又 θ∈(0,π2)∴ sin θ=2√55，cos θ=√55⋯ ∵ 5cos (θ−φ)＝5(cos θcos φ+sin θsin φ)=√5cos φ+2√5sin φ=3√5cos φ⋯∴ cos φ＝sin φ，∴cos2φ＝sin2φ＝1−cos2φ，⋯即cos2φ=12，又0<φ<π2∴cosφ=√2⋯2如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1 // 平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE // AB，AB // A1B1，∴DE // A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1 // 平面DEC1．∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【考点】棱柱的结构特征直线与平面平行【解析】（1）推导出DE // AB，AB // A1B1，从而DE // A1B1，由此能证明A1B1 // 平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE // AB，AB // A1B1，∴DE // A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1 // 平面DEC1．∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．某公园为监控“旋转木马”游乐项目，要求在木马一边的护栏上安装监控摄像头，使整个木马始终在摄像头的监控范围内．如图为木马和护栏的水平示意图，分别记作圆C和直线l，入口为A，AC与l垂直，A，B，C高度一致．已知木马轮盘的半径为5米，AC的距离为6米，B处的摄像头摄像视角的一边固定为直线l．（注：摄像视角指镜头中心点观察物体边缘的光线的夹角）．（1）若AB的长为8米，求最小摄像视角的正切值；（2）若摄像视角最大为60∘，求B距离A至少有多远？【答案】..…当AB的长为8米时，最小摄像视角的正切值为48+25√339B距离A至少16√3米..…3【考点】解三角形【解析】（1）利用圆的性质作出圆的切线，解直角三角形即可；（2）建立直角坐标系，利用点到直线距离公式求解．【解答】过B作圆C的切线BE，切点为E，连接CE，BC，则CE⊥BE，在Rt△ABC中，由AC＝6，AB＝8，，．…得BC＝10，tan∠CBA=34在Rt△BCE中，由BC＝10，CE＝5，得BE＝5√3，tan∠CBE=√3，．…3∴ tan ∠ABE ＝tan (∠ABC +∠CBE)=34+√331−34⋅√33=48+25√339，．… 答：当AB 的长为8米时，最小摄像视角的正切值为48+25√339..… 以B 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设BA ＝a ，则C(a, 6)， 当∠ABE 的最大值为60∘时，若直线BE 与圆C 相切，则BA 的值最小，．… ∴ 直线BE 的方程为y =√3x ， ∴ CE =|√3a−6|2=5，．…得a =16√33（负值舍去）..…答：B 距离A 至少16√33米..…设椭圆E:x 2a+y 2b =1(a >b >0)过M(√6, 1)，N(2, √2)两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 上有两点A ，B 且OA →⊥OB →，证明1OA 2+1OB 2是定值，并求出|AB|的最小值． 【答案】因为椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过M(√6, 1)，N(2，√2 两点， 所以{6a 2+1b 2=14a2+2b 2=1解得：a 2＝8，b 2＝4 椭圆E 的方程为x 28+y 24=1．因为OA →⊥OB →，若OA ，OB ，斜率不存在或为0，则1OA +1OB =18+14=38， 若OA ，OB 斜率存在且不为0，设OA 斜率为k ， 设直线OA 的方程为y ＝kx ，联立与椭圆的方程整理得：（(1+2k 2)x 2＝8，∴ x 2=81+2k 2，y 2=8k 21+2k 2， ∴ 1OA 2=1x 2+y 2=1+2k 28+8k 2；所以由题意知直线OB 的方程：y =−1k x ，同理得：1OB 2=k 2+28+8k 2， 所以1OA2+1OB2=3+3k 28+8k 2=38，综上，总有1OA 2+1OB 2=38成立．因为AB 2=OA 2+OB 2=83(OA 2+OB 2)(1OA 2+1OB 2)， 所以AB 2=83(2+OB 2OA2+OA 2OB2)≥83(2+2√OB 2OA2⋅OA 2OB 2)=323，当且仅当OA ＝OB 即k ＝±1时取等号． 所以AB min =4√63． 【考点】椭圆的离心率 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）由椭圆过两点求出a ，b 的值进而求出椭圆的方程；（2）分OA ，OB 的斜率存在和不存在两种情况讨论，再由OA →⊥OB →，与椭圆联立求出OA ，OB 的长，进而证明1OA2+1OB 2是定值，|AB|2＝OA 2+OB 2，由均值不等式求出它的最小值． 【解答】因为椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过M(√6, 1)，N(2，√2 两点， 所以{6a 2+1b 2=14a+2b =1解得：a 2＝8，b 2＝4 椭圆E 的方程为x 28+y 24=1．因为OA →⊥OB →，若OA ，OB ，斜率不存在或为0，则1OA 2+1OB 2=18+14=38， 若OA ，OB 斜率存在且不为0，设OA 斜率为k ， 设直线OA 的方程为y ＝kx ，联立与椭圆的方程整理得：（(1+2k 2)x 2＝8，∴ x 2=81+2k 2，y 2=8k 21+2k 2， ∴ 1OA 2=1x 2+y 2=1+2k 28+8k 2；所以由题意知直线OB 的方程：y =−1k x ， 同理得：1OB 2=k 2+28+8k 2，所以1OA 2+1OB 2=3+3k 28+8k 2=38， 综上，总有1OA 2+1OB 2=38成立． 因为AB 2=OA 2+OB 2=83(OA 2+OB 2)(1OA 2+1OB 2)，所以AB 2=83(2+OB 2OA +OA 2OB )≥83(2+2√OB 2OA ⋅OA 2OB )=323，当且仅当OA ＝OB 即k ＝±1时取等号． 所以AB min =4√63．已知数列{a n }的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n 都有(a 1+a 2+...+a n )2＝a 13+a 23+...a n 3．（1）若数列{a n }共三项，且为等比数列，求数列{a n }的公比．（2）是否存在满足条件的无穷数列{a n }，使得a 2020＝−2019？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 【答案】由题意，当n ＝1时，a 12＝a 13，由a 1≠0，得a 1＝1．当n ＝2时，(1+a 2)2＝1+a 23，由a 2≠0，得a 2＝2或−1．当n ＝3时，(1+a 2+a 3)2＝1+a 23+a 33，若a 2＝2，得a 3＝3或−2． 若a 2＝−1，得a 3＝1．又∵ 数列{a n }为等比数列， ∴ a 1＝1，a 2＝−1，a 2＝1， ∴ 数列{a n }的公比为−1．由题意，令S n ＝a 1+a 2+...+a n ，则S n 2＝a 13+a 23+...+a n 3，∴ (S n +a n+1)2＝a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ S n 2+2S n a n+1+a n+12=a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ 2S n a n+1+a n+12=a n+13． ∵ a n+1≠0，∴ 2S n ＝a n+12−a n+1．当n ＝1时，由（1）得a 1＝1．当n ≥2时，2a n ＝2(S n −S n−1)＝(a n+12−a n+1)−(a n 2−a n )．整理得：(a n+1+a n )(a n+1−a n −1)＝0．所以，a n+1＝−a n 或a n +1． 又∵ a 1＝1，a 2020＝−2019，∴ 数列{a n }的一个通项公式是a n ={n,1≤n ≤20192019×(−1)n+1,n ≥2020．【考点】 数列递推式 【解析】本题第（1）题根据题意取n ＝1，n ＝2，n ＝3分别计算出a 1，a 2，a 3的值，然后根据数列{a n }为等比数列确定一组正确的a 1，a 2，a 3的值，由此可得数列{a n }的公比；第（2）题先令S n ＝a 1+a 2+...+a n ，则S n 2＝a 13+a 23+...+a n 3，然后添加a n+1，则有(S n +a n+1)2＝a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．通过化简整理，可得2S n ＝a n+12−a n+1．再利用公式a n ＝S n −S n−1，进行计算，最终可得数列{a n }的一个通项公式． 【解答】由题意，当n ＝1时，a 12＝a 13，由a 1≠0，得a 1＝1．当n ＝2时，(1+a 2)2＝1+a 23，由a 2≠0，得a 2＝2或−1．当n ＝3时，(1+a 2+a 3)2＝1+a 23+a 33，若a 2＝2，得a 3＝3或−2． 若a 2＝−1，得a 3＝1．又∵ 数列{a n }为等比数列， ∴ a 1＝1，a 2＝−1，a 2＝1， ∴ 数列{a n }的公比为−1．由题意，令S n ＝a 1+a 2+...+a n ，则S n 2＝a 13+a 23+...+a n 3，∴ (S n +a n+1)2＝a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ S n 2+2S n a n+1+a n+12=a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ 2S n a n+1+a n+12=a n+13． ∵ a n+1≠0，∴ 2S n ＝a n+12−a n+1．当n ＝1时，由（1）得a 1＝1．当n ≥2时，2a n ＝2(S n −S n−1)＝(a n+12−a n+1)−(a n 2−a n )．整理得：(a n+1+a n )(a n+1−a n −1)＝0．所以，a n+1＝−a n 或a n +1． 又∵ a 1＝1，a 2020＝−2019，∴ 数列{a n }的一个通项公式是a n ={n,1≤n ≤20192019×(−1)n+1,n ≥2020 ．若函数f(x)满足f(x 0)＝x 0成立，则称函数f(x)有不动点x 0． （1）判断函数f(x)=1+x x在区间(0, 1)内是否有不动点，说明理由；（2）证明：函数g(x)＝a x +a −x +x −2x (a >0且a ≠1)在区间(0, 1)内有不动点；（3）若函数ℎ(x)＝ax 2−ln x 有两个不动点，求实数m 的取值范围． 【答案】 令1+x x=x ，解得x =1±√52均不在区间(0, 1)内， 所以f(x)=1+x x在区间(0, 1)内没有不动点；证明：要证g(x)在区间(0, 1)内有不动点，即证方程a x +a −x −2x =0在(0, 1)上有解， 即证方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, 1)上有解，记ℎ(x)＝x(a x )2−2a x +x ，因为ℎ(x)图象在[0, 1]上不间断，ℎ(0)＝−2<0，ℎ(1)＝a 2−2a +1＝(a −1)2>0， ，所以ℎ(x)(0, 1)上有零点，所以方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, +∞)上有解，从而原命题得证； 记H(x)＝ax 2−ln x −x ，则H(x)有两个零点.H ′(x)=2ax −1x −1=2ax 2−x−1x,x >0，所以当a ≤0 时，H ′(x)<0，函数H(x)减，最多一个零点， 所以a >0， 考虑a =ln x+x x ，下面证明：ln x ≤x −1，设t(x)＝x −ln x −1，所以t ′(x)=1−1x =x−1x(x >0)，x ∈(0, 1)时，t ′(x)<0，t(x)减；x >1时，t ′(x)>0，t(x)增，t(x)≥t(1)＝0，ln x ≤x −1， a =ln x+x x 2≤2x−1x 2=2x−1x 2=−(1x−1)2+1≤1，a ＝1时x 只能取1，故a ∈(0, 1)，下面证明a ∈(0, 1)时H(x)有两个零点a ∈(0, 1)时，H(1)＝a −1<0，H(1e )=a e 2+1−1e =e 2−e+a e 2>0，H(1a )=ln a <0，H(x)图象不间断，所以H(x)在(1e,1)，(1,1a)上各有一个零点符合题意．综上，a ∈(0, 1)． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）利用定义直接判断即可；（2）根据定义即证方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, 1)上有解，利用零点存在性定理易得证；（3）先判断a ∈(0, 1)，再验证即可． 【解答】 令1+x x=x ，解得x =1±√52均不在区间(0, 1)内， 所以f(x)=1+x x在区间(0, 1)内没有不动点；证明：要证g(x)在区间(0, 1)内有不动点，即证方程a x +a −x −2x=0在(0, 1)上有解，即证方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, 1)上有解，记ℎ(x)＝x(a x )2−2a x +x ，因为ℎ(x)图象在[0, 1]上不间断，ℎ(0)＝−2<0，ℎ(1)＝a 2−2a +1＝(a −1)2>0， ，所以ℎ(x)(0, 1)上有零点，所以方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, +∞)上有解，从而原命题得证； 记H(x)＝ax 2−ln x −x ，则H(x)有两个零点.H ′(x)=2ax −1x −1=2ax 2−x−1x,x >0，所以当a ≤0 时，H ′(x)<0，函数H(x)减，最多一个零点， 所以a >0， 考虑a =ln x+x x 2，下面证明：ln x ≤x −1，设t(x)＝x −ln x −1，所以t ′(x)=1−1x =x−1x(x >0)，x ∈(0, 1)时，t ′(x)<0，t(x)减；x >1时，t ′(x)>0，t(x)增，t(x)≥t(1)＝0，ln x ≤x −1， a =ln x+x x 2≤2x−1x 2=2x −1x 2=−(1x −1)2+1≤1，a ＝1时x 只能取1，故a ∈(0, 1)，下面证明a ∈(0, 1)时H(x)有两个零点a ∈(0, 1)时，H(1)＝a −1<0，H(1e )=ae 2+1−1e =e 2−e+a e 2>0，H(1a )=ln a <0，H(x)图象不间断，所以H(x)在(1e,1)，(1,1a)上各有一个零点符合题意．综上，a ∈(0, 1)．已知可逆矩阵A =[a273]的逆矩阵为A −1=[b −2−7a ]，求A −1的特征值．【答案】∵ 可逆矩阵A =[a 7 的逆矩阵为A −1=[b −2−7a ]，∴ A ⋅A −1=[a273][b −2−7a ]=[1001]， ∴ {ab −14=17b −21=0−14+3a =1 ，解得a ＝5，b ＝3，∴ A −1=[3−2−75]，∴ f(λ)=|λ−327λ−5|=λ2−8λ+1，由f(λ)＝0，得λ1＝4+√15，λ2＝4−√15．【考点】特征值与特征向量的计算 【解析】由A ⋅A −1=[a273][b −2−7a ]=[1001]，求出a ＝5，b ＝3，从而A −1=[3−2−75]，进而f(λ)=|λ−327λ−5|=λ2−8λ+1，由f(λ)＝0，能求出A −1的特征值． 【解答】∵ 可逆矩阵A =[a 7 的逆矩阵为A −1=[b −2−7a ]，∴ A ⋅A −1=[a273][b −2−7a ]=[1001]，∴ {ab −14=17b −21=0−14+3a =1 ，解得a ＝5，b ＝3，∴ A −1=[3−2−75]，∴ f(λ)=|λ−327λ−5|=λ2−8λ+1，由f(λ)＝0，得λ1＝4+√15，λ2＝4−√15．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程{x =1+cos φy =sin φ（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin (θ+π3)=3√3，射线OM:θ=π3与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程{x =1+cos φy =sin φ（φ为参数）化为(x −1)2+y 2=1，∴ ρ2−2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cos θ1θ1=π3，解得{ρ1=1θ1=π3． 设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，由{ρ2(sin θ2+√3cos θ2)=3√3θ2=π3，解得{ρ2=3θ2=π3． ∵ θ1=θ2，∴ |PQ|=|ρ1−ρ2|=2．∴ |PQ|=2． 【考点】圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】 解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，即可把圆C 的参数方程化为直角坐标方程．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cos θ1θ1=π3，联立即可解得．设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1−ρ2|即可得出． 【解答】解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程{x =1+cos φy =sin φ（φ为参数）化为(x −1)2+y 2=1，∴ ρ2−2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cos θ1θ1=π3，解得{ρ1=1θ1=π3． 设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，由{ρ2(sin θ2+√3cos θ2)=3√3θ2=π3，解得{ρ2=3θ2=π3． ∵ θ1=θ2，∴ |PQ|=|ρ1−ρ2|=2．∴ |PQ|=2．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠BAC =90∘，F 为棱AA 1上的动点，A 1A =4，AB =AC =2．(1)当F 为A 1A 的中点，求直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值；(2)当AFFA 1的值为多少时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘．【答案】解：(1)如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)， A 1(0, 0, 4)，C 1(0, 2, 4)， ∵ F 为AA 1中点， ∴ F(0,0,2)，则BF →=(−2,0,2)，BC 1→=(−2,2,4)，BC →=(−2,2,0)， 设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +2z =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0， 取x =1，得n →=(1,−1,1)，设直线BC 与平面BFC 1的法向量n →=(1,−1,1)的夹角为θ， 则cos θ=BC →⋅n→|BC →|⋅|n →|=2√2⋅√3=−√63， ∴ 直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值为√63．(2)设F(0,0,t)(0≤t ≤4),BF →=(−2,0,t)，BC 1→=(−2,2,4)， 设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +tz =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0，取z =2，得n →=(t,t −4,2)，AB →=(2,0,0)是平面FC 1C 的一个法向量， cos <n →, AB →>=AB →⋅n→|AB →|⋅|n |=22=√22， 解得t =52，即AF =52，FA 1=32，∴ 当AF FA 1=53时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 与二面角有关的立体几何综合题 异面直线及其所成的角 【解析】（1）以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值．（2）求出平面BFC 1的一个法向量，利用向量法能求出当AF FA 1=53时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘． 【解答】解：(1)如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)， A 1(0, 0, 4)，C 1(0, 2, 4)， ∵ F 为AA 1中点， ∴ F(0,0,2)，则BF →=(−2,0,2)，BC 1→=(−2,2,4)，BC →=(−2,2,0)， 设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +2z =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0， 取x =1，得n →=(1,−1,1)，设直线BC 与平面BFC 1的法向量n →=(1,−1,1)的夹角为θ， 则cos θ=BC →⋅n→|BC →|⋅|n →|=2√2⋅√3=−√63， ∴ 直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值为√63．(2)设F(0,0,t)(0≤t ≤4),BF →=(−2,0,t)，BC 1→=(−2,2,4)，设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +tz =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0， 取z =2，得n →=(t,t −4,2)，AB →=(2,0,0)是平面FC 1C 的一个法向量， cos <n →, AB →>=AB →⋅n→|AB →|⋅|n →|=22=√22， 解得t =52，即AF =52，FA 1=32，∴ 当AF FA 1=53时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘．某空间中存在2n 个基本粒子，每个基本粒子在每个时间均等可能的处于A ，B 两种状态之一，若处于A 状态的粒子数和处于B 状态的粒子数相等，则称该空间处于基态． （1）n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数的数学期望．（2）记该空间处于处于基态的概率为P(n)，研究P(n)的单调性，并证明n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．【答案】记n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ， 则ξ的取值集合为{0, 1, 2, 3, 4}P(ξ＝0)=C 40(12)4=116， P(ξ＝1)=C 41(12)4=14，P(ξ＝2)=C 42(12)4=38， P(ξ＝3)=C 43(12)4=14， P(ξ＝4)=C 44(12)4=116，所以E(ξ)=1×14+2×38+3×14+4×116=2．P(n)=C 2n n (12)2n ，P(n +1)−P(n)=C 2n+2n+1(12)2n+2−C 2n n (12)2n =C 2n n (12)2n ⋅(−12n+2)<0，所以P(n)单调递减．n ＝2时P(2)=C 42(12)4=38>12，假设n ＝k 时P(k)>(12)k 成立，则n ＝k +1时P(k +1)=2k+12k+2P(k)>(12)P(k)>(12)⋅(12)k =(12)k+1成立 综上，n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）记n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ，则ξ的取值集合为{0, 1, 2, 3, 4}，分别求出相应的概率，由此能求出该空间处于A 状态的粒子数的数学期望．（2）P(n)=C 2n n (12)2n ，P(n +1)−P(n)=C 2n+2n+1(12)2n+2−C 2n n (12)2n =C 2n n(12)2n ⋅(−12n+2)<0，从而P(n)单调递减．再利用数学归纳法能证明n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．【解答】记n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ， 则ξ的取值集合为{0, 1, 2, 3, 4}P(ξ＝0)=C 40(12)4=116， P(ξ＝1)=C 41(12)4=14， P(ξ＝2)=C 42(12)4=38， P(ξ＝3)=C 43(12)4=14， P(ξ＝4)=C 44(12)4=116，所以E(ξ)=1×14+2×38+3×14+4×116=2．P(n)=C 2n n (12)2n ，P(n +1)−P(n)=C 2n+2n+1(12)2n+2−C 2n n (12)2n =C 2n n (12)2n ⋅(−12n+2)<0，所以P(n)单调递减．n ＝2时P(2)=C 42(12)4=38>12，假设n ＝k 时P(k)>(12)k 成立，则n ＝k +1时P(k +1)=2k+12k+2P(k)>(12)P(k)>(12)⋅(12)k =(12)k+1成立 综上，n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．。
江苏省扬州市2019届高三上学期期末检测数学试题(解析版)
扬州市2019届高三上学期期末检测试题数 学2019．01第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0}，N ＝1()22xx ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝ ．答案：{2}-考点：集合的运算，指数运算。
解析：N ＝111()()22x x -⎧⎫>⎨⎬⎩⎭＝{}1x x <-，所以，MN ＝{2}-2．若i 是虚数单位，且复数z 满足(1i)2z +=，则z ＝ ． 答案：2考点：复数的运算，复数的模。
解析：211z i i==-+，所以，z ＝2 3．底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ． 答案：223π考点：圆锥的几何结构，体积计算。
解析：圆锥的高为h ＝223122-=， 圆锥的体积V ＝211223π⨯⨯⨯＝223π4．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 ． 答案：10考点：分层抽样方法。
解析：设高一抽取x 人，则84050x =，解得：x ＝105．根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为 ．答案：－2考点：算法初步。
解析：y ＝sinx 不可能等于3，所以，y ＝x 2－1＝3，又x ＜0，所以，x ＝－2。
6．甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3．两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a ，乙抽出卡片的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为 ． 答案：49考点：古典概型。
解析：设甲乙抽出的卡片为（a ，b ），则所有可能为：（1，0），（1，1），（1，3），（2，0），（2，1），（2，3），（3，0），（3，1），（3，3），共9种，积为奇数的有：（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），共4种，所以，所示概率为：497．若直线l 1：240x y -+=与l 2：430mx y -+=平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为 ． 答案：52考点：直线平行的性质，两平行线之间的距离。
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
江苏省扬州市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
5, 2e2 1 ，即 2n m
5, 2e2 1 .
故答案为： 5, 2e2 1
【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题.
sin 2A 13.在 ABC 中，若 sin B cos B 2 ，则 tan B tan C 的最大值为________.
1.已知集合 A {1, k 2}, B {2, 4} ，且 A B {2} ，则实数 k 的值为________.
【答案】4 【解析】 【分析】
根据交集结果知 k 2=2 ，即可求得 k. 【详解】因为 A B {2}，所以 2 A ， k 2=2 ，解得 k 4 .
故答案为：4 【点睛】本题考查根据交集结果求参数的值，属于基础题.
已知不等式确定符号，从而确定单调性，这类新函数一般有 g(x) xf (x), g(x) ex f (x),
g(x) f (x) , g(x) f (x)
x
ex 等，属于中档题.
11.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，圆台的高为 2 3cm ，母线与轴的夹 角为 30 ，则这个圆台的轴截面的面积等于________ cm2 .
故答案为：-2 【点睛】本题考查复数代数形式的四则运算，属于基础题. 3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为 90 的样本，在高一抽 40 人，高二 抽 30 人，若高三有 400 人，则该校共有________人. 【答案】1800 【解析】 【分析】
首先求出高三抽取的人数，从而求出抽样比，根据样本总容量即可求出总人数.
因此“ a 0 ”是“函数 f (x) 2x(a sin x) 为偶函数”的充要条件.
故答案为：充要条件
江苏省扬州市2020届高三数学第一学期期末调研测试试题参考答案
扬州市 2019—2020 学年度第一学期期末检测试题高三数学参考答案一、填空题：1. 42. 23. 18004. 355. 充要6. 27. y 2 2x8. 149.9710. x 1x411. 8 3 12.5, 2e 113.2二、解答题：2 1214. 5 2, 5215．解：(1) f (x ) 3 sin 2x cos 2 2sin(2 )x x ，………………3 分6∵函数y sin x 的单调递增区间为2k,2k2 2，k Z .令 2 2 ,2x k k6 2 2，∴,x k k.3 6∴ f (x) 的单调递增区间为k,k3 6，k Z . …………7 分(2) ∵ f3 ，∴sin(2) 3( ) 2sin(2 ).6 2 6 4∵(0, ) ，∴ 2 , ，6 6 6 2∴ cos(2 ) 1 sin2 (2 ) 1 (3)2 7，…………9 分6 6 4 4∴sin 2 sin 2 sin(2 ) cos cos(2 )sin6 6 6 6 6 63 3 7 1 3 3 7. …………14 分4 2 4 2 816.(1) 因为△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，M 是BC 的中点，所以AM BC .因为EB 平面ABC ，AM 平面ABC ，所以EB AM .又BC 、EB 平面EBC ，EB BC B ，所以AM 平面EBC . ……6 分(2)证法一：如图 16-1，连结BN 并延长，交AD 的延长线于I ，连结IC .因为EB 平面ABC ，DA 平面ABC ，所以EB∥DA，所以EN BN，……9 分ND NI又N 为ED 的中点，所以BN NI ，即N 为BI 的中点.又M 是BC 的中点，所以在△BCI 中，MN∥CI .……11 分又MN 平面DAC ，CI 平面DAC ，所以MN∥平面DAC . ……14 分数学参考答案第 1 页（共 9 页）ID D DQN N NPE E EHA A AB B BOM M MC C C图 16-1 图 16-2 图 16-3证法二：如图 16-2，因为EB 平面ABC ，DA平面ABC ，所以EB∥DA，所以A, B, E, D 四点共面.在平面ABED 中，分别过E,N 作EP∥BA，NQ∥BA ，分别交AD 于P,Q .取AC 的中点O ，连结MO,OQ .因为EP∥BA，EB∥PA，所以四边形ABEP为平行四边形，所以EP∥BA .上面三行也可以叙述为：在AD 上取一点P ，使AP BE . 在平面ABED 中，过N 作NQ∥BA ，交AD 于Q .取AC 的中点O ，连结MO,OQ .因为EB∥DA，AP BE ，所以四边形ABEP为平行四边形. 所以EP∥BA .因为EP∥BA，NQ∥BA ，所以NQ∥EP ，又N 是ED 的中点，所以1NQ∥EP ，所以21NQ∥BA.2因为M ,O 分别为BC,CA 的中点，所以在△ABC 中，1 MO∥BA .2所以MO∥NQ，所以四边形MOQN 为平行四边形，所以MN∥OQ，又MN 平面DAC ，OQ 平面DAC ，所以MN∥平面DAC . ……14 分法三：如图 16-3，取AB 的中点H ，连结MH 、NH .在△ABC 中，因为M , H 分别为BC,BA 的中点，所以MH∥BA.又MH 平面DAC ，BA 平面DAC ，所以MH∥平面DAC .……9 分因为EB 平面ABC ，DA 平面ABC ，所以EB∥DA，又EB DA ，所以四边形ADEB 为梯形.又N, H 分别为ED,BA 的中点，所以NH∥DA.又NH 平面DAC ，DA 平面DAC ，所以NH∥平面DAC .因为NH,MH 平面NHM ，NH MH H ，所以平面NHM∥平面DAC ，……11 分又MN 平面NHM ，所以MN∥平面DAC .……14分17．解：(1) 因为AOB ，OC OB ，所以AOC .3 6数学参考答案第 2 页（共 9 页）AP AO OP，又△ABC 中，sin AOP sin APO sinOAPAO sin AOP 1所以APsin APO2sin……4 分sinOPAO OAPsin 6 3 sincossin APO sin 2sin所以f ＝ 3 sin cos 2 2 3 sin cos 6a a2sin 2sin 2sina， 7 .…7 分3 sin cos6a 3 3a 2 cos3a 3a2sin 2sin 2 2sin 6 12(2)f ' 3a 3a ，sin cos 2 cos 1 2cos22sin 2sin2 2由f ' 0 得 cos 1 ，又 7，所以……9 分2 6 12 3上单调递减当时，f ' 0 ，f在,6 3 6 3上单调递增当时，f ' 0 ，f在, 773 12 3 12时，f 取最小值．此时3 所以当OP ……13 分3 3答：当点P 距离O 处 33千米时，总费用的最小．……14 分18．(1) 因为椭圆C 的离心率为12，所以ca1.2因为椭圆C 的右准线的方程为x 4，所以a2c4.解之得a 2，c 1，所以a 2 4 ，b 2 a 2 c 2 3 . 所以椭圆C 的标准方程为x y . (4)分2 214 3(2) 设M(x , y ) ，1 1 N(x , y ) .2 2因为过T(t,0)(t a)作斜率为k (k 0) 的直线l 交椭圆C 于M, N 两点，所以l : y k(x t).由y k x t( ),得(3 4k2 )x 2 8k2tx 4k2t 2 120，3x 4y 122 2所以 28k tx x ,1 2 23 4k……6 分4 12k t2 2x x .1 2 23 4k因为F，1 (1, 0) F ，所以2 (1, 0)F M xy ，1 ( 1 1, 1)F N xy .2 ( 2 1, 2 )因为F M∥F N ，所以 (x 1)y (x 1)y ，即1 2 1 2 2 1 k(x 1)(x t ) k(x 1)(x t) ，1 2 2 1数学参考答案第 3 页（共 9 页）整理得t x x xx t ，所以() () 22112又 (xx )2(xx )24x x ，12211 2xxk862xx 2 1222122t 3 4k 34k，8k 2t64k 2t 2 12 所以 ()( ) 4 22 3 43 43 4k 2k 2k2，即 64k 4t 236 44(k 2t 2 3)(3 4k 2 ) ，即16k 4t 2 9 4(k 2t 2 3)(3 4k 2 ) ，整理得 4k 2 (t 24) 9(*).……10 分因为直线 AM ， BN 的斜率分别为 k k ，且 A (2, 0) ， B (2,0) ， 1, 2所以y y k (x t )(x t ) k [x x t (x x ) t ]222kk12121 21212x 2 x2 (x 2)(x2)x x2(xx ) 412121 2214 12 8 k tk t2 22k [tt ]223 4k3 4k2 24k t 12 62 2243 4k3 4k22k [4k t 12 8k tt (34k )]22 22 2224k t12 12 4(3 4k )2 229 3k (3t 12)3k (t4)4922224k t16k 12 4k (t 4) 12 9 12 42 222 2.……16 分 19.解：(1) 当 a1时， g xx b ， f 'xln x ，设切点A x 0 , f x 0 ，因为 g x x b 是 f x 的一条切线，所以 f x x ，解得ln1xe ，所以f xf e又切点 A e ,0在切线 y x b 上，所以 0 e b 得 b e ． ……4 分(2) 当ba时，令h x f x g x x ln x 1a x ee则h 'x ln x a若a 1，则当x e时，h 'x 0恒成立，h x 在e ,上单调递增，h x h e 0 ，即f x g x符合题意．……6 分若a 1时，由h 'x 0，得x e ea当e x e a 时，h 'x 0 ，h x在,e ea 上单调递减，h x h e 0与已知h x在x e ,上恒成立矛盾，舍去……9 分综上，a 1 ……10 分(3) 法一：x x ln x 1ax b ， 'x ln x a若a 1，则 'x 0在区间 e e 上恒成立，x在区间, 222e,e 上单调递增因为x在区间2上有零点，e,e所以e ae be e ae b2 2 2，解得ae b e 2ae2所以a 2 4b a 2 4ae a 2e 4e 2 1 4e ，2当a 1时，等号成立，此时b ae……12 分数学参考答案第 4 页（共 9 页）若1 a 2 时，当e x e a 时， 'x 0 ，x 在1,e 上单调递减a当e a x e2 时， 'x 0，x 在1,e 上单调递增a因为x在区间2上有零点，e,e所以10，所以b e a ，所以a 2 4b a 2 4e ae e a ae b e ba a a a令h a a 2 4e a ，1 a 2则' 2 4 2 2 0h a a e a a e a ，所以h a在1, 2上单调递减所以 2 2 2h a e e ……14 分2 4 4 4若a 2 ，则 'x 0 在区间e e 上恒成立，x在区间,22e,e 上单调递减因为x在区间 2e,e 上有零点，所以e aeb 0e e ae b2 2 2，解得e 2 ae 2 bae所以 2a 2 4b a 2 4ae 2 4e 2 a 2e 2 4e 2 4e 4 4e 2 4e4 ，当a 2e2 时，等号成立，此时b e 2 2e4 ；综上，a 2 4b的最小值是 4e 2 4e4 ……16 分法二：x x ln x 1ax b ，设x在e,e 2上的一个零点为x ，则，x0 x0 ln x0 1 ax0 b 0 0 ln 0 1 0b x x axa 4b a 4x ln x 1 4ax a 2x 4x ln x 1 4x2 2 220 0 0 0 0 0 04x ln x 14x ，当20 0 0 a 2x 时等号成立 (12)分令t x x x x ，e x e2 ，则t 'x 4ln x 8x24 ln 1 4因为e x e2 ，则1 ln x 2, 4ln x 8x 4 2 8e 0 ，即t 'x 0所以t x的区间2e,e 上单调递减，所以t x的最小值为t e 2 4e 2 4e4故a 2 4b的最小值为 4e 2 4e4 ……16 分20.解：(1) 数列{b }为2019, 2019, 2019, 2018, 2017；…………3 分n(2) 由已知得:当n 6时， a 关于n 递减；当n 7 时，a 关于n 递减，n n又 a a ，n N* 时，a 关于 n 递减.6 7 na m 又m21, 30m21N* 21n共 21 项,且各项分别与b a 中各项相同, …………5 分n n2 61 1 1其和为1024 1024 1024 15 14 1T212 2 2数学参考答案第 5 页（共 9 页）1 1(1) 15(151) 2 261024 1128. …………8 分1 212(3) 先不妨设数列a 单调递增.n当m 2时，a a N* ,1, 2 1 2 1 2 2 2a a a a aa 1 2,a 1 1，此时无解，不满足题意；…………9 分当m 3 时，由a a a a aa 得1 2 3 1 2 3 a 1 a 2 a 3 a1a2a 3 3a3a1a 2 3,又a1 <a 2 a 1 1,a 2 2 .代入原式得 3 3a ……10分当m 4 时，a a a a a a ma ，1 2 m 1 2 m m而a1a2 a m (m 1)!a m ma m ，矛盾!所以不存在满足题意的数列a .…………12分n综上，满足题意的数列a ：1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1. ……14分n所以对应的“新型数列”{b }分别为：1,1,1；1,1,1；2,1,1；2,2,1；3,1,1；3,2,1.…16分n21.(1) 矩阵M 的特征多项式为f2 1() (2)(1)0 1，f () 0 M 1令，得矩阵的特征值为或 2，……2分x y 0x y 0 x 1 y 1当时由二元一次方程1 得，令，则，0x 0y 01所以特征值 1 对应的特征向量为；……4分110x y当=2 时由二元一次方程0x y 0 得y=0 ，令x1 ，所以特征值=2 对应的特征向量为=21；……6分0(2)2=1 2-1……7分1 19M M M 33 3 3 3 31 2 1 1 2 2 = 2-1 0 -1……10分22.解法一：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则点 M，N 的直角坐标分别为0，2，2， 2，直线l 的直角坐标方程为y 3x ，(1) ∵线段 MN 为圆 C 的直径，∴圆 C 的圆心为 C1，0，半径为 5 ，∴圆 C 的直角坐标方程为 2 2x y ，即x 2 y 2 2x 4 ，1 5化为极坐标方程为： 2 2 cos 4 . ……5 分(2)∵圆 C 的直角坐标方程为x y ，直线l 的直角坐标方程为y 3x ，1 52 2数学参考答案第 6 页（共 9 页）∴圆心 C 到直线l 的距离为 3d ，2∴所求弦长为232 5172.……10 分解法二：(1) ∵线段 MN 为圆 C 的直径，点 M，N 的极坐标分别为2，π， 2 2 7π，，2 4∴圆心 C 的极坐标为 C1，0，半径为 5 ，设点P ，为圆 C 上任一点，则在△POC 中，由余弦定理得25 1 2 cos（P、O、C 共线此式也成立），2 2∴圆 C 的极坐标方程为： 2 2 cos 4 . ……5 分(2) 在圆 C 的极坐标方程 2 2 cos 4 中，令，得32 4 0，显然该方程0 ，且1 21，，1 2 4∴所求弦长为1 2 1 2 4 1 2 17 . ……10 分223.解：(1)因为X 3即甲连胜三局或乙连胜三局，所以( 3) (2)3 (1)3 9 1P X ；……2 分3 3 27 3答：X 3的概率为1.3……3 分(2) X 可能取值为 3,4,5，所以( 3) (2)3 (1)3 9 1P X ；3 3 27 31 2 2 1 10( 4) 1( )( )3 1( )( )33 3 3 3 27P X C C ；3 31 2 2 1 8P(X 5) C ( ) ( ) C ( ) ( ) .2 23 2 2 34 43 3 3 3 27所以X 的分布列为X 3 4 5P 9271027827……8 分所以9 10 8 107 E(X ) 3 4 5．27 27 27 2710727答：X 的期望为．……10 分124. 解：(1) 法一：∵a = ，且a1 n21 2，∴an 11 12 2，∴a= ，2 a 232同样可求得 3a = ，344a = ，猜想：a =4 n5n，……1 分n 1以下用数学归纳法证明:1 1 n 1°当n 1时，a= ，符合a = ，1 n2 1 1 n12°假设n k 时，=akkk1（k N），数学参考答案第 7 页（共 9 页）则n k 1时，ak1+ 2 ，即ak 1k 1+ 2，k 1 ak 1∴ 1 2 k = k 2a k k11k 1 ，∴a =k 1kk 12符合a =nn，n 1综上：a =nn．……4 分n 1法二：由an1 2得an 11 a1 1 1，∴n 1aan an 1 1n1a ，na1 ∴ 1n1 a 1an 1 n ，即 1 111 a 1an 1 n，∴是等差数列，首项为 2，公差为 1，1 1 1，∴ 11 a 1 a1 an 1 n n∴ 1 1n ，∴a=1 annn．……4 分n 1(2) 当n≥2 时，n n 1 2n 1 S S a a a，2n 1 n 1 n n 1 2n 1n 1 n 2 2n法一：先证明x(0,1) 时，x 1 ln x令f (x) x 1 ln x, x(0,1) ，则f (x) 1 1 x 1 0，x x∴ f (x) x 1 ln x, x(0,1) 为减函数，∴ f (x) f (1) 0，∴x(0,1) 时，x 1 ln x ．∴n≥2 时，n n 1 2n 1 n n 1 2n 11 ln 1 ln 1nnn n n n1 2 2 122 =1ln n ln n 11ln n1ln n 21 ln 2n 1 ln 2n=nln n ln2nnln2 ，又∵ e 4 2.54 >6.252 >36>25 ，∴ 4 5ln 2 ，∴ 2< 4ln，∴ 54 n ln 2>n ，5∴ n ≥2 时， nn 12n 14n ， n1 n2 2n 5∴当 n ≥2 时，4 S Sn ．……10 分2n 1n 15法二：∵n n 1 2n 11 1 11 11n 1 n 2 2n n 1n 22n1 1 1n，n 1 n 2 2n∴要证明 121 4 2nn nn nn 1 n 2 2n 5，即证 1 11 4n 1 n 2 2n5，设 s 11 1 n 1 n2 2n ，则 s 1 1 1 12n 2n 1 n 2 n 1，∴ 2s1 1 1 1 1 1 n 1 2n n2 2n 1 2n n 12nn1 2n 1 n 2n 1 2nn 12nn22n 1 2n n 1数学参考答案第 8 页（共 9 页）1 1 13n 1n 1 2n n 2 2n 1 2n n 1由n k +12n k 2n n +1 2n k k n k +1 2n n +1 k n k 1得：当1 k n 1时，n k +12n k 2n n +1，∴ 1 1 1 nn n n n n nn n1 2 2 2 1 2 1 1 2，n 3n 1 3n 33∴2s 3n 1∴1 2 2121 2n n n n，∴ 3 4s，4 5∴当n≥2 时， 4S S n．……10 分2n 1 n 15法三：由法二知即证 1 1 1 4 2n 1 n 2 2n 5n ，设s1 1 1n 1 n 22n1 1 1 1 1 11 12 n n 1 2n 2 n1 1 1 1 1 1 11 22 n n 1 2n 2 4 2n1 1 1 1 112 3 4 2n 1 2n当n=2 时，1 1 4s + 成立，3 4 5当n 3时，s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 3 4 5 6 7 2n 2 2n12n1 1 1 1 47 4<1< ，2 3 4 5 60 5∴当n≥2 时， 4S S n．……10 分2n 1 n 15数学参考答案第 9 页（共 9 页）。
江苏省扬州市2019-2020学年高二上学期期末调研测试数学试题 Word版含解析
扬州市2019-2020学年度第一学期期末调研测试试题高二数学2019.01 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.命题“，”的否定是________．【答案】，【解析】【分析】根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果.【详解】因为“”的否定是“”，“，”的否定是“，”，故答案为，.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.2.已知直线过点,则直线的斜率为________．【答案】-1【解析】【分析】直接根据直线的斜率公式计算斜率的值即可.【详解】因为直线过点,所以直线的斜率为，故答案为.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.3.一质点的运动方程为（位移单位：；时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为________ ．【答案】6【解析】【分析】先求质点的运动方程为的导函数，再求得秒时的导函数值,即可得到所求的瞬时速度.【详解】质点的运动方程为，所以该质点在秒的瞬时速度为，故答案为6.【点睛】本题主要考查了导数的物理意义，属于基础题，导数在物理的应用,是近几年高考的热点，利用数学知识解决物理问题，在高考试卷中的份量在逐年加重，对此类题解题规律应好好把握.4.课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为, 若用分层抽样的方法抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为________个. 【答案】2【解析】【分析】根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.【详解】城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.本市共有城市数24 ,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，每个个体被抽到的概率是，丙组中对应的城市数8，则丙组中应抽取的城市数为,故答案为2.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.5.在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】【分析】直接利用抛物线的标准方程求得,再利用准线为可得结果.【详解】抛物线的开口向右，,所以抛物线的准线方程，即，故答案为.【点睛】本题考查抛物线的方程与准线方程,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.6.执行如图所示的伪代码，若输出的的值为，则输入的的值是________．【答案】3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值，根据输出的值为10 ,分别求出当时和当时的值即可.【详解】由程序语句知：算法的功能是求的值，当时，，解得(或 ,不合題意舍去)；当时，,解得 ,舍去，综上，的值为3，故答案为3 .【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.7.若,则“”是“直线：与：垂直”的________条件．（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个）【答案】充分不必要【解析】【分析】两直线垂直等价于 ,即或 ,再根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】“直线与垂直” 等价于,即或,又易知：“”与“或”的充分不必要条件，即“”是直线与垂直的充分不必要条件，故答案为充分不必要.【点睛】本题考查了两直线垂直的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8.函数的单调递减区间为________．【答案】（写成，，也算对）【解析】【分析】由,知,由能求出的单调递减区间.【详解】,,由，得,的单调递减区间为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.利用导数求函数的单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间；求得的范围，可得函数的减区间.9.已知椭圆左焦点为，左准线为，若过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是________．【答案】【解析】【分析】先求出过且垂直于轴的弦长和点到的距离,由过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，建立方程，再利用的关系求出的值.【详解】过且垂直于轴的弦长等于，点到的距离,因为过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，所以，即，故答案为.【点睛】本题主要考查椭圆的方程与离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．10.有一个质地均匀的正四面体木块个面分别标有数字.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于的概率为__________．【答案】【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有种情况，其中两次看不到的数字都大于的情况有，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为．答案：11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为_______．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的一个焦点为（3，0），即可求出m的值，然后求解渐近线方程．【详解】∵双曲线的一个焦点为（3，0），∴m+m+1=9，∴m=4，双曲线方程化为：，可得渐近线方程：y=±x．故答案为：y=±x．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，是基本知识的考查．12.已知可导函数的定义域为，，其导函数满足,则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】先构造函数，根据可得函数在上单调递增函数，结合不等式,变形得到,根据单调性解之即可.【详解】不等式，令，因为，所以则,函数在上单调递增函数，，即,根据函数在上单调递增函数可知，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.13.已知圆，为圆上的两个动点，且，为弦的中点.直线上有两个动点，且.当在圆上运动时，恒为锐角，则线段中点的横坐标取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由已知可得，在以为圆心，以2为半径的圆上，把在圆上运动恒为锐角转化为以为圆心，以2为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆外离求解.【详解】圆的半径为为弦的中点，，的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，设中点为，，且当在圆上运动时，恒为锐角，则以为圆心以2为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆外离，则，即，解得或，线段中点的横坐标取值范围为，故答案为.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、圆与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为圆与圆的位置关系是解题的关键.14.函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】分段去绝对值，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于的不等式组，求解后再取并集得结果.【详解】，当时，，要使在上单调递增，则在上恒成立，即；当时，，要使在上单调递增，则在上恒成立，即，综上，实数的取值范囿是，故答案为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，以及不等式恒成立问题，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知为实数.命题：方程表示双曲线；命题：对任意，恒成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由真可得,解不等式即可得到所求范围；(2)由真可得判别式小于0 ,解得的范国，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若命题为真命题，则，即的取值范围是.（2）若命题为真命题，则，解得.即.∵命题“或”为真命题、“且”为假命题，∴和中有且仅有一个正确.若真假，则，解得；若假真，则，解得或.所以，综上所述：的取值范围为.【点睛】本题通过判断或命题、且命题真假，综合考查双曲线的方程以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.16.某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭.在进行资产清算时发现有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额.为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求的值；（2）求余额不低于元的客户大约为多少人？（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？(用组中值代替各组数据的平均值)．【答案】（1）（2）300人（3）765元【解析】【分析】(1)由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出的值；(2) 由直方图的性质求得余额在之间的频率为，由此能估计余额不低于900元的客户数量；（3）利用频率分布直方图中每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，能求出客户人均损失的估计值.【详解】（1）由，解得.（2）余额在之间的频率为0.1，故可估计余额不低于900元的客户大约为（人）.（3）客户人均损失的估计值为：（元）.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.17.在平面直角坐标系中，直线，.(1)直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;(2)已知点，若直线上存在点满足条件，求实数的取值范围.【答案】（1）过定点，定点坐标为；（2）或.【解析】【分析】(1) 假设直线过定点，则关于恒成立，利用即可结果；(2)直线上存在点,求得 ,故点在以为圆心，2为半径的圆上，根据题意，该圆和直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，由此求得实数的取值范围. 【详解】（1）假设直线过定点，则，即关于恒成立，∴，∴，所以直线过定点，定点坐标为（2）已知点,，设点，则，，∵,∴,∴所以点的轨迹方程为圆，又点在直线：上，所以直线：与圆有公共点，设圆心到直线的距离为，则，解得实数的范围为或.【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.18.2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，，，均在圆弧上，于点．设.当时,求喷泉的面积;(2)求为何值时，可使喷泉的面积最大?.【答案】（1）平方米（2）【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性质求出,即可求出喷泉的面积； (2)要构造矩形的面积关于角的函数，需要利用三角函数把矩形的长和宽用角表示出来，进而利用矩形的面积公式表示面积,然后利用导数求函数的最值，在求解时要注意角的取值范围.【详解】（1）在直角中，，，则,所以(平方米)答：矩形的面积为平方米.（2）在直角中，，，则，所以矩形的面积，令，，则，令，得.设，且列表如下：所以当时，最大，即最大.此时答：当为时，喷泉的面积最大【点睛】本题主要考查三角函数的应用以及利用导数求最值，属于中档题. 求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.19.已知椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，(在第一象限)，且是线段的中点.过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.①设直线、的斜率分别为，证明为定值;②求直线斜率取最小值时，直线的方程.【答案】（1）（2）①详见解析②【解析】【分析】(1) 利用长轴长为，离心率为分别求出的值，再求出的值，即可求出椭圆方程；(2)①设出的坐标，表示出直线的斜率，作比即可；②设出的坐标，分别求出的方程，联立方程组，求出直线的斜率的解析式，根据不等式的性质计算出的最小值，再求出的值即可.【详解】（1）由题意得：，所以，，故椭圆方程为.（2）①设，（，），由，可得，所以直线的斜率，直线的斜率此时，所以为定值.②设，，直线的方程为，直线的方程为.联立，整理得，由，可得，同理，.所以，，，所以，由，，可知，所以，当且仅当时取得等号.由，，在椭圆：上得，此时，即，由得，，所以时，符合题意.所以直线的斜率最小时，直线的方程为.【点睛】本题主要考查椭圆的方程，椭圆的定值问题、最值问题，以及直线圆椭圆的位置关系，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20.已知函数，.(1)求在处的切线方程；(2)当时，求在上的最大值；(3)求证：的极大值小于1.【答案】（1）；（2）故当时，；当时，；当时，；（3）详见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率再由点斜式可得结果；(2)求出的解析式，求出，分别令可得函数增区间，令可得函数的减区间，分类讨论，根据函数的单调性可求出的最大值；(3)求出函数的导数，两次求导可判断函数的单调性，利用单调性求出函数的极值，判断即可.【详解】（1）∵，∴，∴在处的切线方程为，即，（2），（），令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故当时，在上递减，.当时，先增后减，故.当时，在上递增，此时.（3），令，，则函数在上单调递减，，，所以存在唯一的，当时，当时，，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，其中，所以函数有极大值.函数的极大值是，由，得，所以，因为，所以，即，所以的极大值小于1.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。
江苏省扬州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(PDF含答案)
江苏省扬州市2019-2020学年高二上学期期末考试试题高二数学2020．1（全卷满分150分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．抛物线28y x =的准线方程是（）A ．2x =-B ．4x =-C ．2y =-D ．4y =-2．如果0,0a b <>，则下列不等式中正确的是（）A ．22a b<B ．22ab a b<C ．a b -<D ．||||a b >3．已知命题:p 双曲线C 的方程为2214y x -=，命题:q 双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知23a =+，23b =-，则a b ,的等比中项为（）A ．2B ．1C ．1-D ．1±5．不等式102xx -≤+的解集为（）A ．(]2,1-B ．[]2,1-C ．()[).21,-∞-⋃+∞D ．(][),21,-∞-⋃+∞6．已知等差数列}{n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于()A ．－4B ．－6C ．－8D ．－107．空间向量(1,0,1)AB =- ，平面α的一个法向量(0,1,1)n =，则直线AB 与平面α所成角为（）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π8．如果关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-,则关于x 的不等式20bx ax c -->的解集为（）A ．(1,2)-B ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞C.(,2)(1,)-∞-⋃+∞D ．(2,1)-9．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3744a a =-=，，则（）A ．46S S >B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =10．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是坐标原点,若32=AF ，则AOB ∆的面积为（）A ．22B ．2C ．322D ．2211．已知0x >，0y >，228++=x y xy ，则2+x y 的最小值是（）A ．3B ．2C ．322D ．412．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与一条渐近线交于点P （P 在第一象限），1PF 交双曲线左支于Q ，若12QF PQ =，则双曲线的离心率为（）A ．1012+B ．10C ．512+D ．5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“x R ∃∈，2>x ”的否定是．14．已知数列{}n a 满足*+1111()n nn N a a -=∈,1=1a ,记+1n n n b a a =，则数列{}n b 的前10项和为．15．已知P 点是椭圆2214x y +=上的动点，Q 点是圆22(2)1x y +-=上的动点，则线段PQ 长度的最大值为．16．若关于x 的不等式2(2)(410)4120a x a x a -+-+->的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知命题p ：对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+都成立，命题q ：方程2212x ya m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1+1=1,21()n n a a S n N =+∈，等差数列{}n b 满足39b =，15272b b +=．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n n n c a b =⋅，求n T ．19．（本小题满分12分）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，11AB A B O = ，1112,AA AB A B AB BC ===⊥．（1）求直线1BB 与平面1A BC 所成的角；（2）若12,1A C BC ==，求三棱锥11C A BC -的体积．20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，点O 为AB 中点，点D 为1AA 中点．（1）求平面ABC 与平面1B CD 所成锐二面角的大小；（2）已知点E 满足(01)AE AC λλ=≤≤ ，当异面直线DE 与1CB 所成角最小时，求实数λ的值．21．（本小题满分12分）已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，直线1:l y kx m =+与抛物线C 相切于点(6,6)．（1）求p 、k 、m 的值；（2）已知动直线21⊥l l ，且2l 与抛物线C 交于两个不同点,A B ，问抛物线上是否存在定点P （异于,A B ），使得直线,PA PB 的倾斜角互补，若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，两条准线之间的距离为833，过(1,0)M 的直线l 交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若OA OB ⊥，且直线l 与x 轴不垂直，求直线l 的斜率；（3）设N 为直线4x =上任意一点，记直线,,AN MN BN 的斜率分别为123,,k k k ，判断123,,k k k 是否成等差数列，并给出理由．2019—2020学年度第一学期期末检测试题高二数学 参考答案 2020．11、A2、B3、A4、D5、C6、C7、A8、C9、B 10、C 11、B 12、A 13、x R ∀∈, 14、1011 15、+1316. 41]3（， 17、解：⑴因为对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+成立，所以min 1a x x ⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦………………2分 因为(0,)x ∈+∞，所以12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， …………………4分 所以2a ≤； …………………5分⑵因为方程2212x y a m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线，所以020a m a m ->⎧⎨--<⎩，即2m a m <<+， …………………7分因为p 是q 的必要不充分条件，所以(](2)2m m +⊆-∞,，且(](2)2m m +≠-∞,， …………………9分 所以22m +≤，即0m ≤。
2020-2019学年度江苏省扬州市第一学期高三期末化学试卷
2020-2019学年度江苏省扬州市第一学期高三期末调研测试化学试卷第Ⅰ卷（选择题共48 分）本卷可能用到的相对原子质量：H:1 C:12 N:14 O:16 Na:23 Mg:24 S:32 Cl:35.5 Fe:56 Cu:64 Ag:108一、选择题（本题包括8小题，每小题3分，共24分。
每小题只有一个选项符合题意。
）1. 美国科学家马丁・查非（Martin Chalfie）、美国华裔化学家钱永健（Roger Tsien）以及日本科学家下村修（Osamu Shimomura）因发现和研究绿色荧光蛋白(green fluorescent protein，GFP)而获2020年度诺贝尔化学奖。
GFP在紫外线照射下会发出鲜艳绿光。
下列有关说法正确的是A．重金属离子能使GFP变性B．天然蛋白质属于纯净物C．GFP发出荧光是蛋白质的颜色反应D．蛋白质通常用新制氢氧化铜检验2．已知：①2H2(g) + O2(g) = 2H2O(l) △H =－571.6 kJ·mol－1②H+(aq) + OH－(aq) = H2O(l) △H = －57.3kJ·mol－1。
下列说法中错误．．的是A．①式表示25℃，101 kpa时，2mol H2和1mol O2完全燃烧生成2mol H2O(l)放热571.6 kJB．2H2(g) + O2(g) = 2H2O(g)中△H大于－571.6 kJ·mol-1C．将含1 mol NaOH的水溶液与50 g 98%的硫酸溶液混合后放出的热量为57.3 kJD．将含1 mol NaOH的稀溶液与含1 mol CH3COOH的稀溶液混合后放出的热量小于57.3 kJ3．用N A表示阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．100 mL1 mol·L－1的Na2S溶液中离子总数为0.3N AB．2.3 gＮa在空气中完全燃烧失去0.1 N A个电子C．1 mol C2H4分子中共用电子对数目为5N AD．标准状况下，44.8 L CCl4中含2N A个分子4．下列说法正确的是A．用干馏的方法可将煤焦油中的苯等芳香族化合物分离出来B．用50 mL碱式滴定管准确量取25.00 mL的KMnO4溶液C．检验SO2中是否含有CO2，应将气体依次通过氢氧化钠溶液和澄清石灰水D．分离苯和水时，水从分液漏斗下端流出，苯从上口倒出5．利用相关数据作出的推理或判断一定正确的是A．用弱酸的电离常数比较相同条件下强碱弱酸盐溶液的碱性强弱B．用物质熔沸点数据推断出物质的晶体类型C．根据溶液的pH判断该溶液的酸碱性D．根据焓变是否小于零判断反应能否自发6．下列排列顺序正确的是A．常温下将0.1 mol·L－1 NH4Cl溶液与0.05 mol·L－1 NaOH溶液等体积混合，c (Cl－)> c (Na+)> c(NH4+)> c (OH－)> c (H+)B．常温下物质的量浓度相等的①NH4HSO4②CH3COONH4③NH4Cl三种溶液中c(NH4＋)：①＞③＞②C．0.1mol·L－1的NaHA溶液，其pH=11，则溶液中：c(HA－)＞c(OH－)＞c(A2－)＞c(H2A) D．在相同条件下，将足量AgCl加入等体积的①0.01 mol·L－1 KCl②0.1 mol·L－1 KCl溶液③蒸馏水三种液体中，所能溶解的AgCl质量关系为：①＞②＞③7．下列各组离子在指定溶液中可能大量共存的是A．由水电离的c (H+)=10－12mol·L－1的溶液中：Cl－，Na+，NH4+，SO32－B．加入铝能放出H2的溶液中：Mg2+，NO3－，Na+，SO42－C．碱性溶液中：Na+，ClO－，I－，S2－D．使甲基橙变红的溶液中：Al3+，Cl－，Na+，SO42－8．锑(Sb)在自然界一般以硫化物的形式存在，我国锑的蕴藏量占世界第一。
2019届江苏省扬州市高三上学期期末考试数学试卷及答案
∴ 在 和 上各有一个实根
∴函数 在 上既存在极大值又存在极小值时，有 ，并且在区间 上存在极小值 ，在区间 上存在极大值 ．
∴ ，且
， …………13分
令 ，当 时， ， 单调递减
∵ ，∴ ，即 ，则
∵ 的极大值小于整数 ，∴满足题意的整数 的最小值为 ．…………16分
20．解：（1）∵数列 是首项为2，公比为2的等比数列，∴ ，∴ ，
（2）由 ，得
∵ ，令 ，
∴函数 在区间 上单调递增等价于对任意的 ，函数 恒成立
∴ ，解得 ．…………8分
（3） ，
令 ，
∵ 在 上既存在极大值又存在极小值，∴ 在 上有两个不等实根，
即 在 上有两个不等实根 ．…………10分
∵
∴当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减
则 ，∴ ，解得 ，∴
即 ， ，∴ 为常数数列，所以 为等差数列，
综上，数列 也一定是等差数列．…………10分
方法（二）若数列 是等差数列，设通项公式为 ，则 ．
对于数列 ： ，增加 时，有下列情况：
①若 时，则 ，此时 ，∴ 对 恒成立
则 ， ，∴
即 为常数，则数列 是等差数列．…………7分
②若 时，则 ，∴
∵数列 是等差数列且 ∴ ，
∴ ，即 ；
同理可证： ，即 时， ．
①当 时， ， ∴ ∴ ，
∵ ∴
∴ …………13分
②当 时， ，且
∴ ，则 为 或 ．若 为 ，则 为常数，与题意不符
∴ ∴ ∴
∴
∴ ．…………16分
第二部分（加试部分）
21．（B）解：∵ ∴ …………5分
矩阵A的特征多项式为 ，
2019届江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷【含答案及解析】
2019届江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. （2015秋•扬州期末）已知集合A={x|x 2 ﹣2x＜0}，B={0，1，2}，则A∩B=___________ ．2. （2015秋•扬州期末）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的虚部为___________ ．3. （2015秋•扬州期末）如图，若输入的x值为，则相应输出的值为_________ ．4. （2015秋•扬州期末）某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195 ] ．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为___________ ．5. （2015秋•扬州期末）已知双曲线的方程为﹣ =1，则双曲线的焦点到渐近线的距离为___________ ．6. （2015秋•扬州期末）从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是_________ ．7. （2015秋•扬州期末）已知等比数列{a n }满足a 2 +2a 1 =4，，则该数列的前5项的和为___________ ．8. （2015秋•扬州期末）已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为___________ ．9. （2015秋•扬州期末）已知函数（0≤x＜π），且（α≠β），则α+β=_________ ．10. （2015秋•扬州期末）已知，，，若，则 =_________ ．11. （2015秋•扬州期末）已知a＞b＞1且2log a b+3log b a=7，则的最小值为___________ ．12. （2015秋•扬州期末）已知圆O：x 2 +y 2 =4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为___________ ．13. （2015秋•扬州期末）已知数列{a n }中，a 1 =a（0＜a≤2），a n+1 =（n ∈ N * ），记S n =a 1 +a 2 +…+a n ，若S n =2015，则n=___________ ．14. （2015秋•扬州期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）= （|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x ∈ R}= ∅，则实数a的取值范围为_________ ．二、解答题15. （2015秋•扬州期末）如图，已知直三棱柱ABC﹣A 1 B 1 C 1 中，AB=AC，D、E分别为BC、CC 1 中点，BC 1 ⊥ B 1 D．（1）求证：DE ∥ 平面ABC 1 ；（2）求证：平面AB 1 D ⊥ 平面ABC 1 ．16. （2015秋•扬州期末）已知函数f（x）= ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）已知△ ABC 的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且a=4，b+c=5，求△ ABC 的面积．17. （2015秋•扬州期末）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1 、F2 ，P是椭圆上一点，M在PF 1 上，且满足（λ ∈ R），PO ⊥ F 2 M，O为坐标原点．（1）若椭圆方程为，且，求点M的横坐标；（2）若λ=2，求椭圆离心率e的取值范围．18. （2015秋•扬州期末）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S= lh）19. （2015秋•扬州期末）已知函数f（x）=（ax 2 +x+2）e x （a＞0），其中e是自然对数的底数．（1）当a=2时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在[﹣2，2 ] 上是单调增函数，求a的取值范围；（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1 ] 上有解．20. （2015秋•扬州期末）若数列{a n }中不超过f（m）的项数恰为b m （m ∈ N* ），则称数列{b m }是数列{a n }的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{a n }生成{b m }的控制函数．（1）已知a n =n 2 ，且f（m）=m 2 ，写出b 1 、b 2 、b 3 ；（2）已知a n =2n，且f（m）=m，求{b m }的前m项和S m ；（3）已知 a n =2 n ，且f（m）=Am 3 （A ∈ N * ），若数列{b m }中，b 1 ，b 2 ，b 3 是公差为d（d≠0）的等差数列，且b 3 =10，求d的值及A的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
江苏省扬州市2020届高三上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年度第一学期期未检测试题高三数学（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.2.试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.已知集合{1,2},A k =-{2,4}B =，且{2}A B =I ，则实数k 的值为________.【答案】4【分析】根据交集结果知2=2k -，即可求得k .【详解】因为{2}A B =I ，所以2A ∈，2=2k -，解得4k =.故答案为：4【点睛】本题考查根据交集结果求参数的值，属于基础题.2.设2(13)i a bi +=+(),a b ∈R ，其中i 是虚数单位，则a b +=________.【答案】-2【分析】先求出2(13)i +，即可求得8,6a b =-=，得解.【详解】因为2(13)86i i a bi +=-+=+，所以8,6a b =-=，2a b +=-故答案为：-2【点睛】本题考查复数代数形式的四则运算，属于基础题.3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本，在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有________人.【答案】1800【分析】首先求出高三抽取的人数，从而求出抽样比，根据样本总容量即可求出总人数.【详解】由题意知高三抽取20人，所以抽样比为20140020=， 该校共有学生190180020÷=. 故答案为：1800【点睛】本题考查分层抽样，属于基础题.4.下图是一个算法流程图，若输入x 的值为1，则输出S 的值为________.【答案】35【分析】输入x 的值为1，计算S 并判断是否满足条件20S ≥，不满足条件继续循环，满足条件即结束输出S .【详解】第一步：21,01120x S ==+=<；第二步：2123,131020x S =+==+=<；第三步：2325,1053520x S =+==+=>，输出35.故答案为：35【点睛】本题考查算法流程图，属于基础题.5.已知a ∈R ，则“0a =”是“函数()2(sin )f x x a x =+为偶函数”的________条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要"）.【答案】充要【分析】根据偶函数的定义()()f x f x -=，列出方程求解a ，再进行判断.【详解】函数()2(sin )f x x a x =+为偶函数，可得()()f x f x -=，即2(sin )2(sin )x a x x a x --=+，0ax =，所以0a =；当0a =时，()2sin f x x x =，因为()2sin ()f x x x f x -==，所以函数()f x 为偶函数，因此“0a =”是“函数()2(sin )f x x a x =+为偶函数”的充要条件.故答案为：充要条件【点睛】本题考查充要条件的定义及偶函数的性质，属于基础题.6.若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________.【答案】2【分析】根据平均数求出x ，再求数据的方差. 【详解】21192018205x ++++=，解得22x =， 该组样本数据的方差为22222(2120)(1920)(2220)(2020)(1820)25-+-+-+-+-=. 故答案为：2【点睛】本题考查样本数据的平均值与方差，属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点且以双曲线2213y x -=的右准线为准线的抛物线方程是________. 【答案】22y x =-【分析】求出双曲线右准线方程即为抛物线的准线方程，从而求出p ，即可得解. 【详解】双曲线的右准线为：12x =， 则抛物线的准线为：12x =，所以122p =，1p =， 又抛物线开口向左，所以抛物线方程为： 22y x =-.故答案为：22y x =-【点睛】本题考查抛物线的标准方程，双曲线的简单性质，属于基础题.8.已知{(,)|4,0,0},x y x y x y Ω=+<>>{(,)|2,0,0}A x y x y x y =<>->，若向区域Ω随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________. 【答案】14【分析】在同一坐标系中作出两个集合所对应的图形，分别求出两个区域的面积，根据几何概型计算公式求解即可.【详解】Ω表示的图形是图中OAB V 所包含的区域，1144822OAB S OA OB ==⨯⨯=V A 表示的图形是图中OCD V 所包含的区域，1122222OCD S OC OD ==⨯⨯=V。
江苏省扬州市第一中学2019-2020学年高三数学理上学期期末试题含解析
江苏省扬州市第一中学2019-2020学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设命题函数的最小正周期为；函数函数的图象关于直线对称.则下列的判断正确的是( )A 为真B 为假C 为假D 为真参考答案：A略2. “”是“函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）=sin（2x+φ）为偶函数，则φ=+kπ，k∈Z，则“φ=”是“函数f（x）=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故选：A．3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16πB．8πC．πD．π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，利用圆锥的体积公式，求出几何体的体积．【解答】解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，几何体的体积为=，故选D．4. 设集合A={0，1}，集合B={x|x＞a}，若A∩B只有一个元素，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜1} B．{a|a≥1}C．{a|0≤a＜1} D．{a|a≤1}参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据集合A中元素的个数以及交集的个数求出a的范围即可．【解答】解：∵集合A={0，1}，集合B={x|x＞a}，若A∩B只有一个元素，则0≤a＜1，故选：C．【点评】本题考察了集合的运算，注意“=”能否取到，本题是一道基础题．5. 在R上定义运算⊙: ⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为( ).A.(0,2)B.(-2,1)C.D.(-1,2)参考答案：解析:根据定义⊙,解得,所以所求的实数的取值范围为(-2,1),故选B.6. 已知函数恒成立，设，则的大小关系为A. B. C. D.参考答案：A略7. 已知函数f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx），则下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间上是增函数参考答案：C【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】将f（x）化简，结合三角函数的性质求解即可．【解答】解：函数，化简可得：f（x）=cos2x+3sinxcosx﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+）最小正周期T=．∴A对．令x=，即f（）=2sin（）=2，∴关于直线对称，B对．函数g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位，可得：2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）≠f（x），∴C不对．令2x+≤上单调递增，可得：，∴函数f（x）在区间上是增函数，∴D对．故选：C．8. 已知函数f（x）＝x3＋3x，g（x）＝－f（｜x｜），若g（lgx）＞g（1），则x的取值范围是A．（10，＋∞） B．（，10）C．（0，10）D．（0，）∪（10，＋∞）参考答案：B略9. 已知函数①y=x·sin x，②y=x·cos x，③y=x·|cos x|，④y=x·2x的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到名，对应的函数序号正确的一组是(A) ①④②③(B)①④③②(C) ④①②③(D) ③④②①参考答案：A略10. 已知,则( )A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某高中共有1 200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为．参考答案：16；12. 若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为．参考答案：﹣7【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：x，y满足约束条件对应的平面区域如图：当直线y=3x﹣z经过C时使得z最小，解得，所以C（﹣2，1），所以z=3x﹣y的最小值为﹣2×3﹣1=﹣7；故答案为：﹣7．【点评】本题考查了简单的线性规划，关键是正确画出平面区域，利用z的几何意义求最值；考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13. 设等差数列的前项和为，已知，，则．参考答案：14. 已知圆：，直线：，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则参考答案：415. 甲盒子里装有分别标有数字1、2、4、7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1、4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是。
江苏省扬州市城北中学2019-2020学年高三数学文期末试卷含解析
江苏省扬州市城北中学2019-2020学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：D2. （5分）如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若 f（x1）=f（x2），有，则（）A． f（x）在上是减函数 B． f（x）在上是减函数C． f（x）在上是增函数 D． f（x）在上是减函数参考答案：C【考点】：正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，求得a+b=﹣φ，再根据f（a+b）=2sinφ=，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论．解：由函数图象的一部分，可得A=2，函数的图象关于直线x==对称，∴a+b=x1+x2．由五点法作图可得2a+φ=0，2b+φ=π，∴a+b=﹣φ．再根据f（a+b）=2sin（π﹣2φ+φ）=2sinφ=，可得sinφ=，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．在上，2x+∈（﹣，），故f（x）在上是增函数，故选：C．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题．3. 已知f(x)＝则f(x)>1的解集为()A．(－1,0)∪(0，e)B．(－∞，－1)∪(e，＋∞)C．(－1,0)∪(e，＋∞)D．(－∞，1)∪(e，＋∞)参考答案：C4. 设变量x，y满足约束条件.目标函数处取得最小值，则a的取值范围为(A)(-1,2) (B)(-2,4) (C)(-4,0] (D)(-4,2)参考答案：D略5. 执行右边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝（）.（A）4 （B）3 （C）2 （D）1参考答案：A略6. 已知三条边为,, ,,且三个向量共线，则的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形参考答案：B7. 设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．【解答】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：①若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直的性质知m⊥n，故①正确；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则由平面与平面平行的判定定理和直线与平面垂直的判定定理知m⊥γ，故②正确；③若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故③错误；④若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故④错误．故选：B．8. 已知关于X的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（）A. 3,6,9B. 6,9,12C. 9,12,15D. 6,12,15参考答案：B略9. 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)参考答案：D10. 已知i为虚数单位，则复数z=在复平面内表示的点位于( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的除法运算化简复数z，然后求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．解答：解：由=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第三象限．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则的值为．参考答案：．试题分析：考点：倍角的正切．12. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B两点，点，若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．参考答案：13. 经调查某地若干户家庭的年收入 (万元)和年饮食支出(万元)具有线性相关关系，并得到关于的线性回归直线方程：=0．254+0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加万元．参考答案：0.254．根据线性回归直线方程：=0．254+0．321：家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加0.254万元．14. 曲线在点（1，f（1））处的切线方程为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导函数，确定切线的斜率，求出切点坐标，即可得到切线方程．【解答】解：由题意，，∴，∴f′（1）=e∴∴∴所求切线方程为y﹣e+=e（x﹣1），即故答案为：15. 已知数列{a n}的前n项和为，且，则数列{a n}的通项公式__________.参考答案：16. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A-BCD 中，AB⊥平面BCD，且有，则此鳖臑的外接球O（A、B、C、D均在球O表面上）的直径为__________；过BD的平面截球O所得截面面积的最小值为__________.参考答案：3 π【分析】判断出鳖臑外接球的直径为，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过的平面截球所得截面面积的最小值.【详解】根据已知条件画出鳖臑，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑外接球的直径为，且.过的平面截球所得截面面积的最小值的是以为直径的圆，面积为.故答案为：3 π【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.17. （06年全国卷Ⅰ文）已知函数，若f（x）为奇函数，则a=参考答案：答案：解析：函数若为奇函数，则，即，a=.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年江苏省扬州市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷一、填空题：1．（5分）已知集合{1A =，2}k -，{2B =，4}，且{2}A B =I ，则实数k 的值为 ．2．（5分）设2(13)i a bi +=+，则a b += ．3．（5分）用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本．在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有 人．4．（5分）如图是一个算法流程图，如输入x 的值为1，则输出S 的值为 ．5．（5分）已知a R ∈，则“0a =”是“()2(sin )f x x a x =+”为偶函数的 条件． 6．（5分）若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 ．7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点且以双曲线2213y x -=的右准线为准线的抛物线方程是 ．8．（5分）已知{(,)|4x y x y Ω=+<，0x >，0}y >，{(,)|2A x y x =<，0y >，0}x y ->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 ． 9．（5分）等差数列{}n a 的公差不为零，11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则159246a a a a a a ++=++ ．10．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0xf x f x '+<，则(1)(1)(3)3x f x f -->的解集为 ．11．（5分）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为23cm ，母线与轴的夹角为30︒，则这个圆台的轴截面的面积等于 2cm．12．（5分）已知函数13,1()22,1x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩…，若存在实数m ，()n m n <满足()()f m f n =，则2n m -的取值范围为 ．13．（5分）在ABC ∆中，若sin cos 2B B +=，则sin 2tan tan AB C+的最大值为14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 是圆22:(1)1C x y -+=上两点，且2AB =，点P 的坐标为(2,1)，则|2|PA PB -u u u r u u u r的取值范围为 ．二、解答题：15．（14分）已知2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-g ． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若(0,)6πθ∈，3()2f x =，求sin 2θ的值．16．（14分）如图，ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，DA ，EB 都垂直于平面ABC ，且线段DA 长度大于线段EB 的长度，M 是BC 的中点，N 是ED 的中点．求证： （1）AM ⊥平面EBC ； （2）//MN 平面DAC ．17．（14分）如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，23AOB π∠=．原有观光道路OC ，且OC OB ⊥．为便于游客观赏，景点2部门决定新建两条道路PQ ，PA ，其中P 在原道路OC （不含端点O ，)C 上，Q 在景点边界OB 上，且OP OQ =，同时维修原道路OP 段．因地形原因，新建PQ 段、PA 2a 万元，6a 元，维修OP 段的每千米费用是a 万元．（1）设APC θ∠=，求所需总费用()f θ，并给出θ的取值范围； （2）当P 距离O 处多远时，总费用最小．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右准线的方程为4x =，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过(T t ，0)()t a >作斜率为(0)k k <的直线l 交椭圆C 与M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），且12//F M F N ．设直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k g 的值． 19．（16分）已知函数()(1)f x x lnx =-，()(g x ax b a =+，)b R ∈． （1）若1a =时，直线()y g x =是曲线()f x 的一条切线，求b 的值； （2）若be a=-，且()()f x g x …在[x e ∈，)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）令()()()x f x g x ϕ=-，且()x ϕ在区间[e ，2]e 上有零点，求24a b +的最小值． 20．（16分）对于项数为(*,1)m m N m ∈>的有穷正整数数列{}n a ，记1{k b min a =，2a ，⋯，}(1k a k =，2，⋯，)m ，即k b 为1a ，2a ，⋯，k a 中的最小值，设由1b ，2b ，⋯，m b 组成数列{}n b 称为{}n a 的“新型数列”．（1）若数列{}n a 为2019，2020，2019，2018，2017，请写出{}n a 的“新型数列” {}n b 的所有项；（2）若数列{}n a 满足101(),6,222,7,n n n a n n -⎧⎪=⎨⎪-⎩„…且其对应的“新型数列” {}n b 的项数[21m ∈，30]，求{}n b 的所有项的和；（3）若数列{}n a 的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的{}n a 及其对应的“新型数列” {}n b ． 三、附加题21．已知矩阵2101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r ，求3M αr ．22．在极坐标系中，已知点M ，N 的极坐标分别为(2,)2π，7)4π，直线l 的方程为3πθ=． （1）求以线段MN 为直径的圆C 的极坐标方程； （2）求直线l 被（1）中的圆C 所截得的弦长．23．甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束．甲每场比赛获胜的概率均为23．设比赛局数为X ． （1）求3X =得概率；（2）求X 的分布列和数学期望． 24．已知数列{}n a 满足*112()n n a n N a ++=∈，且112a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：当2n …时，21145n n S S n --->-．2019-2020学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（5分）已知集合{1A =，2}k -，{2B =，4}，且{2}A B =I ，则实数k 的值为 4 ． 【解答】解：{2}A B =Q I ，2A ∴∈，22k ∴-=，4k ∴=．故答案为：4．2．（5分）设2(13)i a bi +=+，则a b += 2- ． 【解答】解：由2(13)16986i i i a bi +=+-=-+=+， 得86a b =-⎧⎨=⎩， 2a b ∴+=-．故答案为：2-．3．（5分）用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本．在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有 1800 人．【解答】解：用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本， 在高一抽40人，高二抽30人，固在高三抽取90403020--=（人)． 设全校共有x 人，则9020400x =，求得1800x = （人) 故答案为：1800．4．（5分）如图是一个算法流程图，如输入x 的值为1，则输出S 的值为 35 ．【解答】解：1x =，0S =，011S =+=；3x =，1910S =+=；5x =，102535S =+=，跳出循环，故答案为35．5．（5分）已知a R ∈，则“0a =”是“()2(sin )f x x a x =+”为偶函数的 充要 条件． 【解答】解：由()2(sin )f x x a x =+为偶函数()()0f x f x ⇒--= 2(sin )2(sin )0400x a x x a x ax a ⇒---+=⇒-=⇒=；反之，由0a =，得()2sin f x x x =g ，定义域为R ，且()()f x f x -=，函数为偶函数．∴ “0a =”是“()2(sin )f x x a x =+”为偶函数的充要条件．故答案为：充要．6．（5分）若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 2 ．【解答】解：数据21，19，x ，20，18的平均数为1(21192018)205x ⨯++++=， 解得22x =；所以该组样本数据的方差为2222221[(2122)(1920)(2220)(2020)(1820)]25s =⨯-+-+-+-+-=．故答案为：2．7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点且以双曲线2213y x -=的右准线为准线的抛物线方程是 22y x =-．【解答】解：由双曲线2213y x -=的右准线为12x =，设顶点在原点且以双曲线2213y x -=的右准线为准线的抛物线方程为22(0)y px p =->，则122p =， 所以抛物线方程是22y x =-． 故答案为：22y x =-．8．（5分）已知{(,)|4x y x y Ω=+<，0x >，0}y >，{(,)|2A x y x =<，0y >，0}x y ->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 14． 【解答】解：如图所示，区域A 为阴影部分，(2,2)D ．向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率1221214442P ⨯⨯==⨯⨯． 故答案为：14．9．（5分）等差数列{}n a 的公差不为零，11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则159246a a a a a a ++=++97． 【解答】解：等差数列{}n a 的公差d 不为零，11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，可得2215a a a =，即2(1)14d d +=+， 解得2(0d =舍去），可得12(1)21n a n n =+-=-， 则159********37117a a a a a a ++++==++++，故答案为：97． 10．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0xf x f x '+<，则(1)(1)(3)3x f x f -->的解集为 {|14}x x << ．【解答】解：令()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+<， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递减， 则(1)(1)(3)3x f x f -->可化为(1)(1)3x f x f -->（3）， 即(1)g x g ->（3）， 所以，013x <-<， 解可得，14x <<， 故答案为{|14}x x <<．11．（5分）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为，母线与轴的夹角为30︒，则这个圆台的轴截面的面积等于2． 【解答】解：设圆台的下底面半径为R ，上底面半径为r ； 由232R r ππ=g ，得3R r=；由圆台的高为h =，母线与轴的夹角为30︒，如图所示； 则tan30R rh-=︒=， 解得1r =，所以33R r ==；所以圆台的轴截面的面积为())21262S cm =⨯+⨯轴截面．故答案为：12．（5分）已知函数13,1()22,1x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩„，若存在实数m ，()n m n <满足()()f m f n =，则2n m -的取值范围为 (5，221]e - ．【解答】解：由函数13,1()22,1x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩„，知()f x 在(-∞，1]和(1,)+∞上单调递增， (3)0f ∴-=，f （1）2=，当()2ln x =时，2x e =，在直角坐标系中画出()f x 图象，如下：Q 存在实数m ，()n m n <满足()()f m f n =，∴由图象，可知31m -<„，21n e <„， ∴由()()f m f n =，得1322m lnn +=， 23m lnn ∴=-，2223n m n lnn ∴-=-+，令2()223(1)g x x lnx x e =-+<„，则22()0x g x x-'=>， ()g x ∴在(1，2]e 上单调递增，()(5g x ∴∈，221]e -． 2(5n m ∴-∈，221]e -．故答案为：(5，221]e -．13．（5分）在ABC ∆中，若sin cos 2B B +sin 2tan tan AB C+的最大值为21- 【解答】解：sin cos 2B B +=Q 2)24B π+=，sin()14B π∴+=，(0,)B π∈Q ，(44B ππ+∈，5)4π，42B ππ∴+=， ∴可得4B π=，34C A π=-， ∴22222tan sin 1sin 2sin 2tan 111cos 2211cos sin cos cos sin 2)31tan sin tan tan 122421tan()1()141tan cos A AA A A A tan A A A A A A A A ABC tan A A A Aππ--++=====-=-----+++-++-， 3(0,)4A π∈Q ，可得2(44A ππ-∈-，5)4π，可得2sin(2)(42A π-∈，1]， ∴sin 221)(1tan tan 42A A B C π=--∈-+21-， ∴sin 2tan tan AB C+21-．21-． 14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 是圆22:(1)1C x y -+=上两点，且2AB =点P 的坐标为(2,1)，则|2|PA PB -u u u r u u u r的取值范围为 [52，52] ．【解答】解：设2PA PB PE -=u u u r u u u r u u u r ，则有，1()2PA PB PE =+u u u r u u u r u u u r所以A 为BE 的中点，2AE AB ==， 过O 作OF AB ⊥，垂足为F ， 因为2AB =，所以22AF BF ==，2221()2OF =-=，2322EF AE AF =+=+=， 2222232()()522OE OF EF =+=+=， 所以点E 的轨迹方程为：22(1)5x y -+=， 所以2OP =，所以|2|PA PB -u u u r u u u r的取值范围为：[52-，52]+，故答案为：[52-，52]+．二、解答题：15．（14分）已知2()23cos 2cos 1f x x x x =+-g ． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若(0,)6πθ∈，3()2f x =，求sin 2θ的值．【解答】解：（1）2()23sin cos 2cos 13sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x x π=+-+=+Q g ，令222262k x k πππππ-++剟，求得36k x k ππππ-+剟，可得函数()f x 的增区间为[3k ππ-，]6k ππ+，k Z ∈， （2）若(0,)6πθ∈，3()2sin(2)62f x πθ=+=，3sin(2)64πθ∴+=，27cos(2)1sin (2)66ππθθ∴+=-+=， 3371337sin 2sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 66666642ππππππθθθθ-∴=+-=+-+=-=g g ． 16．（14分）如图，ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，DA ，EB 都垂直于平面ABC ，且线段DA 长度大于线段EB 的长度，M 是BC 的中点，N 是ED 的中点．求证： （1）AM ⊥平面EBC ； （2）//MN 平面DAC ．【解答】证明：（1）ABC ∆Q 是以BC 为底边的等腰三角形，M 是BC 的中点，AM BC ∴⊥，EB ⊥Q 平面ABC ，AM 在平面ABC 内， EB AM ∴⊥，又BC 、EB 在平面EBC 内，且BC EB B =I ，AM ∴⊥平面EBC ；（2）取AB 的中点H ，连接MH 、NH ，在ABC ∆中，因为M 、H 分别为BC 、BA 的中点，所以//MH AC ， 又MH 不在平面ACD 内，AC 在平面ACD 内，//MH ∴平面ACD ；又DA ，EB 都垂直于平面ABC ，且线段DA 长度大于线段EB 的长度，//DA EB ∴，则四边形ABED 为以BE 、AD 为底边的梯形，又H ，N 分别为AB ，ED 的中点，//NH AD ∴，又NH 不在平面ACD 内，AD 在平面ACD 内，//NH ∴平面ACD ；又MH NH H =I ，且都在平面MNH 内，∴平面//MNH 平面DAC ，又MN 在平面MNH 内，//MN ∴平面DAC ．17．（14分）如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，23AOB π∠=．原有观光道路OC ，且OC OB ⊥．为便于游客观赏，景点2部门决定新建两条道路PQ ，PA ，其中P 在原道路OC （不含端点O ，)C 上，Q 在景点边界OB 上，且OP OQ =，同时维修原道路OP 段．因地形原因，新建PQ 段、PA 段的每千米费用分别是2a 万元，6a 元，维修OP 段的每千米费用是a 万元．（1）设APC θ∠=，求所需总费用()f θ，并给出θ的取值范围； （2）当P 距离O 处多远时，总费用最小．【解答】解：（1）Q 23AOB π∠=，OC OB ⊥，∴6AOC π∠=， AOP ∆中，sin sin sin AP AO OPAOP APO OAP==∠∠∠， sin 1sin 2sin AO AOP AP APO θ∠∴==∠g ，sin()sin 3sin cos 6sin sin AO OAP OP APO πθθθθ-∠-===∠g ，3sin cos 3sin cos 6()222sin af a a θθθθθθ--∴=++g g g 3sin cos 6332cos 332sin 2a a a a sin θθθθθ--=+=+gg，7612ππθ<<． （2）332cos ()32a f a sin θθθ-=+Q g，7612ππθ<<． ∴222cos (2cos )12cos ()3322sin f a a sin sin θθθθθθθ---'==g g ， 由()0f θ'=，得1cos 2θ=，又7612ππθ<<，3πθ∴=，当63ππθ<<时，()0f θ'<，()f θ在(,)63ππ上单调递减，当7312ππθ<<时，()0f θ'>，()f θ在7(,)312ππ上单调递增，∴当3πθ=时，()f θ取最小值，此时3OP =． ∴当P 距离O 处3千米时，总费用最小． 18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右准线的方程为4x =，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过(T t ，0)()t a >作斜率为(0)k k <的直线l 交椭圆C 与M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），且12//F M F N ．设直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k g 的值．【解答】解：（1）由题意知12c a =，24a c =，222b a c =-，解得：24a =，23b =，所以椭圆的标准方程为：22143x y +=；（2）设(,)M x y ，(,)N x y ''，因为过(,0)T t ，设直线l 的方程为：()y k x t =-，联立直线l 与椭圆的方程整理得：22222(34)84120k x k tx k t +-+-=，22834k t x x k '+=+，22241234k t xx k -'=+，因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以1(1,)F M x y =+u u u u r ，2(1,)F N x y ''=-u u u u r，且12//F M F N ，所以(1)(1)x y x y ''+=-，即(1)()(1)()k x x t k x x t ''+-=--， 整理得：()2t x x x x t ''-++=，所以22286223434x x k x x t k k '+'-=-=-=++， 又22()()4x x x x xx '''+--=，即2222222286412()()4343434k t k t k k k--=+++g ，整理得：224(4)9k t -=， 因为直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，且(2,0)A -，(2,0)B ， 所以22222222222221222222222241289[]3()()[()](312)3(4)934344412622(2)(2)2()4416124(4)129124243434k t k t k t t y y k x t k x t k xx t x x t k t k t k k k k k t x x x x xx x x k t k k t k k--+⨯''''---++--++========-''''-+-+-+-------+-++g g g g ．所以12k k g 的值为94-．19．（16分）已知函数()(1)f x x lnx =-，()(g x ax b a =+，)b R ∈． （1）若1a =时，直线()y g x =是曲线()f x 的一条切线，求b 的值； （2）若be a=-，且()()f x g x …在[x e ∈，)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）令()()()x f x g x ϕ=-，且()x ϕ在区间[e ，2]e 上有零点，求24a b +的最小值． 【解答】解：（1）当1a =时，()g x x b =+，()f x lnx '=，设切点0(x ，0())f x ， 因为()g x x b =+是()y f x =的一条切线， 所以01lnx =即0x e =， 所以f （e ）0=，又切点(,)A e o 在切线y x b =+上，所以b e =-，（2）当be a=-时，令()()()(1)()h x f x g x x lnx a x e =-=---， 则()h x lnx a '=-，若1a „，则当x e …时，()0h x '…，()h x 单调递增，()h x h …（e ）0=，即()()f x g x …符合题意， 若1a >，则由()0h x '=可得a x e e =>，当a e x e <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，()h x h „（e ）0=，与已知()h x 在[e ，)+∞上恒大于等于0矛盾，舍去， 又0a ≠，综上可得，a 的取值范围(-∞，0)(0⋃，1]，（3）()(1)x x lnx ax b ϕ=---，设()x ϕ在[e ，2]e 上的一个零点0x ， 则0000()(1)0x x lnx ax b ϕ=---=可得000(1)b x lnx ax =--，所以，2222000000044[(1)](2)4(1)4a b a x lnx ax a x x lnx x +=+--=-+--，20004(1)4x lnx x --…，当且仅当02a x =时等号成立，令2()4(1)4t x x lnx x =--，2e x e 剟，则()48t x lnx x '=-，因为2e x e 剟，则12lnx 剟，480lnx x -„， 所以()t x 在[e ，2]e 上单调递减， 所以()t x 的最小值224()44t e e e =-， 故24a b +的最小值2444e e -，20．（16分）对于项数为(*,1)m m N m ∈>的有穷正整数数列{}n a ，记1{k b min a =，2a ，⋯，}(1k a k =，2，⋯，)m ，即k b 为1a ，2a ，⋯，k a 中的最小值，设由1b ，2b ，⋯，m b 组成数列{}n b 称为{}n a 的“新型数列”．（1）若数列{}n a 为2019，2020，2019，2018，2017，请写出{}n a 的“新型数列” {}n b 的所有项；（2）若数列{}n a 满足101(),6,222,7,n n n a n n -⎧⎪=⎨⎪-⎩„…且其对应的“新型数列” {}n b 的项数[21m ∈，30]，求{}n b 的所有项的和；（3）若数列{}n a 的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的{}n a 及其对应的“新型数列” {}n b ．【解答】解：（1）数列{}n b 为2019，2019，2019，2018，2017； （2）由已知得：当6n „时，{}n a 关于n 递减； 当6n …时，{}n a 关于n 递减；又67a a >，所以*n N ∈时，{}n a 关于n 递减；因为0n a >，所以21m „又[21m ∈，30]，所以21m =， 所以{}n b 共21项且各项分别与{}n a 中各项相同，其和为26211111024()1024()1024()15141222T =++⋯++++⋯+611(1)15(151)22102411281212-+=+=-． （3）先不妨设数列{}n a 单调递增．当2m =时，1a ，*2a N ∈，121222a a a a a +=<， 所以12a <，11a =，此时无解，不满足题意，当3m =时，由123123a a a a a a ++=，得12312333a a a a a a a ++=<， 所以123a a <，又12a a <，所以11a =，22a =，代入原式得33a =，当4m …时，由123123m m m a a a a a a a a ma +++⋯+=⋯<， 而123(1)!m m m a a a a m a ma ⋯->…，矛盾! 所以不存在满足题意的数列{}n a ，综上满足题意的数列{}:1n a ，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1． 所以对应的“新型数列” {}n b 分别为：1，1，1；1，1，1；2，1，1；2，2，1；3，1，1；3，2，1． 三、附加题21．已知矩阵2101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r ，求3M αr ．【解答】解：矩阵M 的特征多项式为21()(2)(1)01f λλλλλ--==---，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2．当1λ=时由二元一次方程组0000x y x y --=⎧⎨+=⎩得0x y +=，令1x =，则1y =-，∴特征值1λ=对应的特征向量111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r； 当2λ=时由二元一次方程组0000x y x y -=⎧⎨+=⎩得0y =，令1x =，∴特征值2λ=对应的特征向量210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r；（2）Q 1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u ur u u r r ，∴33312M M M ααα=+u u r u u rr33312119122101αα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦u u r u u r ．22．在极坐标系中，已知点M ，N 的极坐标分别为(2,)2π，7)4π，直线l 的方程为3πθ=． （1）求以线段MN 为直径的圆C 的极坐标方程； （2）求直线l 被（1）中的圆C 所截得的弦长．【解答】解：（1）已知点M ，N 的极坐标分别为(2,)2π，7)4π，转换为直角坐标为(0,2)M ，(2,2)N -所以：以MN 为直径的圆心坐标为(1,0)． 圆的方程为：22(1)5x y -+=．转换为极坐标方程为：22cos 40ρρθ--=． （2）直线l 的方程为3πθ=．转换为直角坐标方程为：y =．由（1）得：圆心(1,0)0y -=的距离d =，所截得的弦长为：l = 23．甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束．甲每场比赛获胜的概率均为23．设比赛局数为X ． （1）求3X =得概率；（2）求X 的分布列和数学期望．【解答】解：（1）3X =Q 即甲连胜三局或乙连胜三局，3X ∴=的概率33211(3)()()333P X ==+=．（2）由题意得X 的可能取值为3，4，5，33211(3)()()333P X ===+=，131333122110(4)()()()()333327P X C C ==+=， 2232234412218(5)()()()()333327P X C C ==+=， X ∴的分布列为：9108107()34527272727E X =⨯+⨯+⨯=． 24．已知数列{}n a 满足*112()n n a n N a ++=∈，且112a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：当2n …时，21145n n S S n --->-．【解答】证明：（1）数列{}n a 满足*112()n n a n N a ++=∈， 所以1111n n a a +-=-， 整理得1111n n n a a a ++-=-， 所以11111n n n a a a ++=--，转换为111111n na a +-=--（常数）， 所以数列1{}1na -且是以2为首项1位公差的等差数列．所以111nn a =+-， 故1n na n =+． （2）由于2111221121122n n n n n n n n n S S a a a a n n n--++-+--=+++⋯+=++⋯+++， 所以121111111111()122122122n n n n n n n n n n n n n +-++⋯+=-+-+⋯+-=-++⋯+++++++， 要证12141225n n n n n n n +-++⋯+>-++， 只需证明1114(2)1225n n n n ++⋯+<++… 设111111111111111111(1)12()12221222342242S n n n n n n n n n n=++⋯+=++⋯+++⋯+-++⋯+=++++⋯++⋯+-++⋯++++，111111234212n n=-+-+⋯+--， 当2n =时，114345S =+<恒成立．当3n …时， 11111111111114741()()1234567222122345605S n n n =-+-++-++⋯+-+-<-+-+=<--， 故：当2n …时，21145n n S S n --->-．。
江苏省扬州市江都邵伯中学2019-2020学年高三数学文期末试题含解析
江苏省扬州市江都邵伯中学2019-2020学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若向量，，则A. B. C. D.参考答案：B2. 已知都是非零实数，则“”是“”成等比数列的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C. 充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B略3. 若函数则函数f（x）的图象关于（）A．原点轴对称B．x轴对称C．y轴对称D．y=x对参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】判断f（x）的奇偶性，即可得出结论．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（x）=x（1﹣）=x?f（﹣x）=﹣x?=﹣x?=f（x），∴f（x）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故选：C．4. 设A、B是两个集合，定义M*N＝{x|x∈M且x?N}．若M＝{y|y＝log2(－x2－2x＋3)}，N＝{y|，x∈[0,9]}，则M*N＝()A．(－∞，0] B．(－∞，0)C．[0,2] D．(－∞，0)∪(2,3]参考答案：B5. 已知等比数列{a n}中，a3=4，a6=，则公比q=（）A．B．﹣2 C．2 D．参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质求出公比q的值即可．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3=4，a6=，∴a6=a3q3，即=4q3，∴q3=，解得：q=．故选D6. 已知数列{a n}是等差数列，其前n项和S n有最大值，且＜﹣1，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．2016 B．2017 C．4031 D．4033参考答案：C【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论．【解答】解：由题意知d＜0，a2016＞0，a2016+a2017＜0，因此S4031＞0，S4032＜0．故选：C．7. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则a3=（）A．﹣2 B．0 C．3 D．6参考答案：A【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可求得公差d，再利用等差数列的通项公式即可求出答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，a5=3a3，∴2+4d=3（2+2d），解得d=﹣2．则a3=a1+2d=2+2×（﹣2）=﹣2．故选：A．8. 已知集合，，若，则m 的值为（）A．1 B．－1 C．±1 D．2参考答案：A由，，且，得，又由，则必有，且，所以.故选A.9. 函数有且只有一个零点的充分不必要条件是()A．B． C. D．参考答案：A10. 已知函数，若存在正实数，使得方程在区间（1，+）上有三个互不相等的实数根，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系xOy中，设点、，定义：．已知点，点M为直线上的动点，则使取最小值时点M的坐标是．参考答案：12. 已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为 .参考答案：13. 实数x满足log3x=1+sinθ，则|x﹣1|+|x﹣9|的值为．参考答案：8【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题．【分析】由于﹣1≤sinθ≤1 及 log3x=1+sinθ，可得 0＜1+sinθ≤2，故有 x=31+sinθ∈（1，9]，再由绝对值的意义和性质可得|x﹣1|+|x﹣9|的值．【解答】解：由于﹣1≤sinθ≤1，∴0≤1+sinθ≤2．又 log3x=1+sinθ，∴0＜1+sinθ≤2． x=31+sinθ∈（1，9]．故|x﹣1|+|x﹣9|=x﹣1+9﹣x=8，故答案为：8【点评】本小题主要考查对数与指数的互化，正弦函数的值域，绝对值的意义和性质，不等式性质的应用，求出 x=31+sinθ∈（1，9]，是解题的关键，属于中档题．14. 若方程在内有解，则的取值范围是____________参考答案：15. 设实数，满足约束条件，则的最大值为．参考答案：1416. 函数y=2x-log0.5(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为参考答案：略17. 如图，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为则．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年江苏省扬州市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省扬州市高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=，则集合A B U 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】求得A B U ，由此判断出A B U 中元素的个数. 【详解】依题意{}1,0,1,2A B ⋃=-，有4个元素. 故选：D 【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题. 2．与角330-o 终边相同的最小正角是（ ） A ．30-o B ．330oC ．30oD ．60o【答案】C【解析】利用终边相同的角的关系，求得与角330-o 终边相同的最小正角. 【详解】与角330-o 终边相同的最小正角为33036030-+=o o o . 故选：C 【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.3．若)11f x =+，则()3f 的值为（ ）A ．4B ．5C ．9D ．10【答案】B【解析】13=计算出x 的值，由此求得()3f 的值. 【详解】13=由解得4x =，所以()3415f =+=.故选：B 【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题. 4．已知幂函数()()23mf x m x-=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）A B ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值. 【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意.故选：D 【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题. 5．若()()(0)f x tan x ωω=>的周期为1，则1()3f 的值为（ ）A ．B ．-C D【答案】D【解析】根据()f x 的周期求得ω，由此求得13f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】依题意()()π1,π,tan πT f x x ωω====，所以1πtan 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本小题主要考查正切函数的周期性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.6．已知0.6 1.21.2log 0.6, 1.2,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】利用“0,1分段法”判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于()0.60 1.21.2 1.2log 0.6log 10, 1.2 1.21,0.60,1a b c =<==>==∈，所以a c b <<.故选：A 【点睛】本小题主要考查0,1分段法比较指数式、对数式的大小，考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题.7．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为（ ）2cm A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积. 【详解】依题意，扇形的半径为π4π4=，所以扇形面积为1π42π2⋅⋅=.故选：C 【点睛】本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.8．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()21f x x mx =++，且()12f =-，则实数m 的值为（ ） A ．4- B ．0C ．4D ．2【答案】B【解析】利用函数的奇偶性和()12f =-列方程，求得解方程求得实数m 的值. 【详解】由于()f x 为奇函数，所以()()()2111122,0f f m m m ⎡⎤=--=---+=-=-=⎣⎦.故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，属于基础题. 9．1cos80cos10-o o的值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】利用诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式进行化简，求得表达式的值. 【详解】1cos80o1sin10=o=()2sin 3010sin10cos10-=o oo o2sin 2041sin 202==o o. 故选：B 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，主要是诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10．已知函数20()(2)20x x f x f x x ⎧≤=⎨-+>⎩，，，则()2log 12f 的值为（ ）A ．12B ．5C ．194D ．114【答案】C【解析】利用分段函数解析式，化简求得()2log 12f 的值. 【详解】 依题意()2log 12f ()()22log 1222log 32f f =-+=+()2log 324f =-+23log 44f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23log 431924444=+=+=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查利用分段函数解析式求函数值，考查对数运算，属于基础题. 11．在平行四边形ABCD中，AB =2AD =，135A ∠=︒，,E F 分别是,AB AD上的点，且AE AB λ=u u u r u u u r ，AF AD μ=u u ur u u u r ，（其中,(0,1)λμ∈），且41λμ+=.若线段EF的中点为M ，则当||MC u u u u r取最小值时，μλ的值为（ ） A ．36 B ．37C ．38D ．39【答案】B【解析】利用MC =u u u u r ，结合向量线性运算、数量积运算，以及41λμ+=，求得当,λμ为何值时MC u u u u r 取得最小值，进而求得μλ的值.【详解】依题意可知cos1352AB AD AB AD ⋅=⋅⋅=-ou u u r u u u r u u u r u u u r ，MC AC AM =-u u u u r u u u r u u u u r ()12AB AD AE AF =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r 111122AB AD λμ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r，所以MC =u u u u r=.由于41,14λμμλ+==-，所以①，根据二次函数的性质可知，∆<0，当11414122λ-=-=⋅时，②取得最小值，此时371441μλ=-=，所以37μλ=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算、数量积运算，模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．已知函数()cos([])2f x x π=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列关于()f x 说法正确的是（ ）①函数1()2y f x =+为偶函数； ②()f x 的值域为[]1,1-； ③()f x 为周期函数，且周期4T =； ④()f x 与7|1og |l y x =-的图象恰有一个公共点． A ．①③ B ．②③C ．③④D ．①④【答案】C【解析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确，由此得出正确结论. 【详解】对于①，由于()110cos 0122f f ⎛⎫-+=== ⎪⎝⎭，()11π1cos 0222f f ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以11112222f f ⎛⎫⎛⎫-+≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()2y f x =+不是偶函数.对于②，由于[]x 为整数，所以(){}0,1,1f x ∈-，②错误. 对于③，由于[][]44x x +=+，所以()[][][]()πππ4cos 4cos 2πcos 222f x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以③正确.对于④，由②得(){}0,1,1f x ∈-.令7|og |l 10x -=，得2x =或0x =，而()2cos π1f ==-，()0cos01f ==，不是公共点的横坐标.令7|og |l 11x -=，解得8x =或6x =-，而()()()8cos4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1的两个函数图像的一个公共点.令7|og |1l 1x -=-，解得87x =，或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是公共点的横坐标.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故④正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查三角函数的周期性，考查函数的奇偶性，考查对数函数的性质，属于中档题.二、填空题13．设12,e e u r u u r是平面内的一组基底，若,,A B C 三点共线，且()121232,12AB e e BC e me m R =-=+∈u u u r r r u u u r r r，则实数m 的值为___________．【答案】8-【解析】根据,,A B C 三点共线，得到BC AB λ=u u u r u u u r，由此列方程组，解方程组求得m 的值. 【详解】由于,,A B C 三点共线，所以BC AB λ=u u u r u u u r，即()12121232e me e e λ+=-u r u u r u r u u r ，所以3122m λλ=⎧⎨-=⎩，解得8m =-.本小题主要考查三点共线的向量表示，考查方程的思想，属于基础题. 14．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=,则tan()4πα+=________. 【答案】322【解析】由()()44ππααββ+=+--，再结合两角差的正切公式求解即可. 【详解】解：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=, 又()()44ππααββ+=+--，所以tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-=213542122154-=+⨯， 故答案为：322. 【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑()()44ππααββ+=+--，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题.15．已知物体初始温度是0T ,经过t 分钟后物体温度是T ，且满足0()2kt T T T T αα-=+-g ，（T α为室温，k 是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的90C o 的热水，在10C o 室温下，温度降到50C o 需要30分钟，那么降温到20C o 时，需要___________分钟. 【答案】90【解析】根据已知条件求得k 的值，由此求得温到20C o 时，需要的时间. 【详解】由于“从发电厂出来的90C o 的热水，在10C o 室温下，温度降到50C o 需要30分钟”，所以()30501090102k-=+-⋅，解得130k =.则降温到20C o 时，需要()130201090102t -=+-⋅，解得90t =分钟.本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查待定系数法求函数解析式，属于基础题. 16．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=．且当01x ≤≤时，()3log ()f x a x =-．若对于任意[1,0]x ∈-，都有321()1log 35f x tx --≥-，则实数t 的取值范围为___________． 【答案】7[,1]3-【解析】先求得()1f 的值，由此求得a 的值.证得()f x 是周期为4的周期函数，将31log 5-转化为53f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据()f x 的周期性和对称性，将321()1log 35f x tx --≥-转化为25154333k x tx -+≤--≤，结合[1,0]x ∈-求得t 的取值范围. 【详解】由(1)(1)0f x f x ++-=，令0x =，得()()210,10f f ==.由于当01x ≤≤时，()3log ()f x a x =-，所以()()31log 10,2f a a =-==.故当01x ≤≤时，()3log (2)f x x =-.33352211511log 2log 1log 5333333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 为偶函数，所以5533f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由()()(1)(1)0,f x f x f x f x ++-=-=，得()()()41313f x f x f x +=++=--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()[]22f x f x =--+=-+⎡⎤⎣⎦()11f x =-++⎡⎤⎣⎦()[]()11f x f x f x =-+=-=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是周期为4的周期函数.当[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，所以()()()3log 2f x f x x =-=+.所以当[]1,1x ∈-，()()3log 2f x x =-.(1)(1)0f x f x ++-=得()()20f x f x -+=，故()()2f x f x =--.所以当[]1,3x ∈时，[]21,1x -∈-，所以()()()32log 22f x f x x =--=---.结合()f x 是周期为4的周期函数，画出()f x 的图像如下图所示.由3215()1log 335f x tx f ⎛⎫--≥=- ⎪⎝⎭得251544333k x tx k -+≤--≤+（k Z ∈），对于任意[1,0]x ∈-成立.0x =时，51544333k k -+≤-≤+，解得1123k -≤≤，所以0k =，即2515333x tx -≤--≤对于任意[1,0]x ∈-成立.当[)1,0x ∈-时，由25133x tx -≤--得max 43t x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，由于43y x x =+在[)1,0-递减，所以47133t ≥-+=--；由21533x tx --≤得min 2t x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于2y x x =-在在[)1,0-递增，所以2111t ≤--=-.综上所述，t 的取值范围是7[,1]3-. 故答案为：7[,1]3-【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性，考查函数解析式的求法，考查不等式恒成立问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.三、解答题17．已知函数()sin ()f x x a a R =+∈的值域为集合A ，函数()()02142.g x log x x =-+-B ，全集U =R ． （1）若1a =，求A B I ；（2）若U A B ⊆ð，求a 的取值范围．【答案】（1）1[,2]2A B =I ；（2）1(,)[5,)2-∞-+∞U .【解析】求()f x 的值域求得集合A ，求()g x 的定义域求得集合B . （1）根据交集的概念和运算，求得A B I .（2）首先求得U B ð根据U A B ⊆ð列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】由函数sin y x =的值域为[1,1]-，得函数()sin ()f x x a a R =+∈的值域为[1,1]A a a =-+ ,又由40102x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得142x ≤<，即1[,4)2B =. （1）当1a =时，[0,2]A =，所以1[,2]2A B =I ； （2）因为U =R ，所以1(,)[4,)2U B =-∞+∞U ð 由U A B ⊆ð，得112a +<，或14a -≥， 解得12a <-，或5a ≥ 所以a 的取值范围为1(,)[5,)2-∞-+∞U 【点睛】本小题主要考查三角函数值域的求法，考查函数定义域的求法，考查集合交集、补集的概念和运算，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 18．已知角α的终边过点()3,4P -.（1）求()()tan 2sin 7cos 2απαα-π⎛⎫π-+- ⎪⎝⎭的值；（2）若β为第二象限角，且4sin 5β=，求()cos αβ+的值. 【答案】（1）56；（2）725. 【解析】（1）根据三角函数的定义求得sin ,cos αα的值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.（2）首先求得cos β的值，然后利用两角和的余弦公式，求得()cos αβ+的值. 【详解】（1）因为角α的终边经过点(3,4)P -，所以5r OP === 由三角函数定义可知，4sin 5y r α==-，3cos 5x r α==所以sin tan(2)15cos sin sin 2cos 6sin(7)cos()2ααπαπαααπαα-===+-+-；（2）因为4sin 5β=，所以22249cos 1sin 1()525ββ=-=-=由β是第二象限角，知cos 0β<，所以3cos 5β=-由（1）知，4sin 5α=-，3cos 5α=所以()33447cos cos cos sin sin 555525αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=-=⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查两角和的余弦公式，属于基础题.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A -，(5,4)B -，(1,1)C -． （1）分别求出以线段,AB AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长；（2）是否存在实数t ，使得向量AC tOB -u u u r u u u r 与向量OB uuu r垂直．若存在，求出实数t 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1；（2）存在,2241t =-. 【解析】（1）求得AB AC +u u u r u u u r 、AB AC -u u u r u u u r的坐标，进而求得它们的模，也即求得以线段,AB AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长.（2）利用()0AC tOB OB -⋅=u u u r u u u r u u u r，以及向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得t 的值.【详解】（1）(4,2)AB =-u u u r ，(2,3)AC =-u u u r，由(2,1)AB AC +=--u u u r u u u r，得AB AC +=u u u v u u u v由(6,5)AB AC -=-u u u r u u u r，得||AB AC -u u u r u u u r故以线段,AB AC. （2）(5,4)OB =-u u u r，由向量AC tOB -u u u r u u u r 与向量OB uuu r垂直，得()0AC tOB OB -⋅=u u u r u u u r u u u r，又因为()()()325,34AC tOB t t t -=--=+--u u u r u u u r 2，-5，4，所以()()()2553440t t +⨯-+--⨯=， 所以2241t =-. 【点睛】本小题主要考查向量坐标的加法、减法、模和数量积的运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.20．某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上面表格中①的数据填写在答题卡相应位置上，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求当[]0,2x π∈时，函数()g x 的单调递增区间；（3）若将函数()f x 图象上的所有点向右平移()0θθ>个单位长度，得到()y k x =的图象. 若()y k x =图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值.【答案】（1）表格中①填:712π，()f x =2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）12π.【解析】（1）利用5362ππ+求得①求得中填写的数值.根据表格所给数据，求得,,A ωϕ的值.（2）根据三角函数图像变换的知识，求得()g x 的解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得()g x 的单调递增区间.（3）根据三角函数图像变换的知识，求得()k x 的解析式，根据()k x 的对称中心列方程，由此求得θ的表达式，进而求得θ的最小值. 【详解】（1）依题意5736212πππ+=，故表格中①填:712π.由表格数据可知2A =，52632T πππ=-=，所以2,2T ππωω===，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，由22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,326πππϕϕ+==-.所以()f x 的解析式为:()f x =2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）()2sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭令22262k x k πππππ-≤-≤+222,33k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈ []0,2x π∈Q 20,3x π⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦和5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦即()g x 的单调递增区间为20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （3）()()2sin 226k x f x x πθθ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭， Q ()y k x =图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭ 2sin 2066k ππθ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,6k k Z πθπ∴-=∈ 即,212k k Z πθπ=-+∈ min 12πθ∴=【点睛】本小题主要考查三角函数五点作图法，考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，考查三角函数的对称中心，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()()22xx af x a R =+∈为定义在[]1,1-上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()2110f x f x++-<；（3）设()()sin 2g x f x =，当,12x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y g x =的最小值为2，求θ的取值范围.【答案】（1）1a =-；（2）)1⎡-⎣；（3）51212ππθ<≤. 【解析】（1）利用()()f x f x -=-列方程，由此求得a 的值.（2）利用函数单调性的定义证得()f x 在[]1,1-上为单调递增函数，结合()f x 为奇函数化简所求不等式，由此求得不等式的解集.（3）利用换元法化简()g x 解析式，利用最小值列方程，结合x 的取值范围，求得θ的取值范围. 【详解】（1）()f x Q 为定义在[]1,1-上奇函数，()()f x f x ∴-=-在[]1,1-上恒成立，2222xx x x a a--⎛⎫∴+=-+ ⎪⎝⎭， ()12102x x a ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭在[]1,1-上恒成立，等价于10a +=，即1a =-；（2）()122xx f x =-，任取1211x x -??，()()121212112222x x x x f x f x ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭()1212211211122221222x x x x x x x x+⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭1211x x -≤<≤Q 1222x x ∴< ()()12f x f x ∴< 即()f x 在[]1,1-上为单调递增函数，Q ()f x 为奇函数，∴ ()()2110f x f x ++-<等价于()()211f x f x +<-， Q ()f x 在[]1,1-上为单调递增函数，21111x x ∴-≤+<-≤，)1x ⎡∴∈-⎣（3）()()sin 2sin 21sin 222x xg x f x ==-令sin 2x t =()122tt h t ∴=-由()1222t th t =-=解得2t=或22t =-（舍去），12t ∴= 即1sin 22x =，,12x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 2,26x πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦ 1sin 62π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ∴由三角函数图像可知5266ππθ<≤，即51212ππθ<≤. 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查定义法正函数的单调性，考查三角函数最值有关计算.22．已知函数2()2(1)1f x x a x a =-+-+，a R ∈． （1）若()f x 在区间[1,1]-上不单调，求a 的取值范围；（2）设2()[(2)()]g x x ax a f x x =---⋅，若函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，求实数t 的取值范围；（3）已知方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(2,0)-；（2）1(,1)2；（3）91,)5.【解析】（1）根据()f x 的对称轴在区间()1,1-内列不等式，解不等式求得a 的取值范围.（2）先求得()g x 表达式，将函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，转化为“对于任意的实数[,1]x t ∈，不等式()(21)||0g x x x =->恒成立”，对t 分成11,22t t ≤>两种情况进行分类讨论，由此求得t 的取值范围.（3）构造函数()2=()|2|h x f x x x ++，将()h x 写出分段函数的形式，对a 分成2,2a a =-≠-两种情况进行分类讨论，结合()h x 在(1,2)-有两个不相等的实数根，求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为()f x 在区间[1,1]-上不单调，则111a -<+<，解得20a -<< 即a 的取值范围(2,0)-；（2）222()[(2)()]||[(2)(2(1)1)]||g x x ax a f x x x ax a x a x a x =---⋅=----+-+⋅(21)||x x =-函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，等价于对于任意的实数[,1]x t ∈，不等式()(21)||0g x x x =->恒成立，（）当12t ≤时，1[,1]2t ∈，此时1()02g =，与（）式矛盾，不合题意 当12t >时，由[,1]x t ∈可知，210x ->，||0x >，所以()0>g x 恒成立，即（）成立又在区间[,1]t 上实数t 必须满足1t <综上，所求实数t 的取值范围为1(,1)2； （3）令()2=()|2|h x f x x x ++方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根 等价于函数()h x 在区间(1,2)-上存在两个零点因为222(2)1,10(=()2221,?02a x a x h x f x x x x ax a x -+-+-<<⎧++=⎨--+≤<⎩）且()h x 在0x =处图象不间断当2a =-时，23,?10()=243,? 02x h x x x x -<<⎧⎨++≤<⎩无零点；当2a ≠-时，由于()2(2)1h x a x a =-+-+在(1,0)-单调，∴在(1,0)-内()h x 至多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为12,x x ，并且12x x <若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是26,?10()22,02x x h x x x x --<<⎧=⎨-≤<⎩，零点为0或1，所以1a =满足题意若0不是函数()h x 零点，则函数()h x 在区间(1,2)-上存在两个零点有以下两种情形： ①若110x -<<，202x <<，则15(1)(0)0(1)(5)0919(0)(2)0(1)(95)0515a a h h a a a h h a a a ><-⎧-⋅<-+<⎧⎧⎪⇒⇒⇒<<⎨⎨⎨⋅<--<<<⎩⎩⎪⎩或. ②若1202x x <<<，则248(1)01104 022111(0)09(2)05(1)(0)051a a a a a a a h a h h h a ⎧⎧∆=-->--⎪⎪<<⎪⎪<<⎪⎪<⇒⇒<<⎨⎨>⎪⎪<⎪⎪>⎪⎪->-<<⎩⎩． 综合①②得，实数a的取值范围是91,)5. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查函数定义域问题的求解，考查方程的根的问题求解，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.。
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2019-2020年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷
一、填空题
1．已知集合A＝{1，k﹣2}，B＝{2，4}，且A∩B＝{2}，则实数k的值为4．
2．设（1+3i）2＝a+bi，则a+b＝﹣2．
3．用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本．在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有1800人．
4．如图是一个算法流程图，如输入x的值为1，则输出S的值为35．
5．已知a∈R，则“a＝0”是“f（x）＝2x（a+sin x）”为偶函数的充要条件．
6．若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为2．7．在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是y2＝﹣2x．
8．已知Ω＝{（x，y）|x+y＜4，x＞0，y＞0}，A＝{（x，y）|x＜2，y＞0，x﹣y＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P，则点P落在区域A的概率为．
9．等差数列{a n}的公差不为零，a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则＝．10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且xf'（x）+f（x）＜0，则
的解集为{x|1＜x＜4}．
11．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为，母线与轴的夹角为30°，则这个圆台的轴截面的面积等于8cm2．
12．已知函数，若存在实数m，n（m＜n）满足f（m）＝f（n），则2n﹣m的取值范围为（5，2e2﹣1]．
13．在△ABC中，若sin B+cos B＝，则的最大值为
14．在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆C：（x﹣1）2+y2＝1上两点，且AB＝，点P 的坐标为（2，1），则|2﹣|的取值范围为[﹣，+]．
二、解答题
15．已知f（x）＝2x﹣1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若，f（x）＝，求sin2θ的值．
16．如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，DA，EB都垂直于平面ABC，且线段DA 长度大于线段EB的长度，M是BC的中点，N是ED的中点．求证：
（1）AM⊥平面EBC；
（2）MN∥平面DAC．
17．如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，．原有观光道路OC，且OC⊥OB．为便于游客观赏，景点2部门决定新建两条道路PQ，P A，其中P在原道路OC（不含端点O，C）上，Q在景点边界OB上，且OP＝OQ，同时维修原道路OP 段．因地形原因，新建PQ段、P A段的每千米费用分别是万元，6a元，维修OP段的每千米费用是a万元．
（1）设∠APC＝θ，求所需总费用f（θ），并给出θ的取值范围；
（2）当P距离O处多远时，总费用最小．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右
准线的方程为x＝4，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左右顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过T（t，0）（t＞a）作斜率为k（k＜0）的直线l交椭圆C与M，N两点（点M在点N的左侧），且F1M∥F2N．设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值．19．已知函数f（x）＝x（lnx﹣1），g（x）＝ax+b（a，b∈R）．
（1）若a＝1时，直线y＝g（x）是曲线f（x）的一条切线，求b的值；
（2）若，且f（x）≥g（x）在x∈[e，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）令φ（x）＝f（x）﹣g（x），且φ（x）在区间[e，e2]上有零点，求a2+4b的最小值．20．对于项数为m（m∈N*，m＞1）的有穷正整数数列{a n}，记b k＝min{a1，a2，…，a k}（k ＝1，2，…，m），即b k为a1，a2，…，a k中的最小值，设由b1，b2，…，b m组成数列{b n}称为{a n}的“新型数列”．
（1）若数列{a n}为2019，2020，2019，2018，2017，请写出{a n}的“新型数列”{b n}的所有项；
（2）若数列{a n}满足且其对应的“新型数列”{b n}的项数m∈[21，30]，求{b n}的所有项的和；
（3）若数列{a n}的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的{a n}及其对应的“新型数列”{b n}．
三、附加题
21．已知矩阵M＝．
（1）求矩阵M的特征值及特征向量；
（2），求．
22．在极坐标系中，已知点M，N的极坐标分别为，，直线l的方程为．
（1）求以线段MN为直径的圆C的极坐标方程；
（2）求直线l被（1）中的圆C所截得的弦长．
23．甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束．甲每场比赛获胜的概率均为．设比赛局数为X．
（1）求X＝3得概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
24．已知数列{a n}满足a n+，且a1＝．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：当n≥2时，S2n﹣1﹣S n﹣1＞n﹣．。