光学第五章 - 多元多维结构衍射

ikL0
i
I (1,2 ) U (1,2 ) U * (1,2 )
第五章 多元多维结构衍射
0、光的衍射 1、位移-相移定理 2、有序结构 一维光栅的衍射 3、光栅光谱仪 闪耀光栅 4、二维周期结构的衍射 5、三维周期结构 X.射线晶体衍射 6、无规分布的衍射 7、分形光学—自相似结构的衍射 8、光栅自成像
d sin k 的地方出现主极强， d sin k k，k 0， 1 ， 2， 3..., 此式称为光栅公式。
sin N 2 此时结构因子的极限值： N sin
2
于是：
I k N 2 I0 k
i ( i1 i 2 )
U 0 (1 , 2 );
i1 kxi sin 1 其中： i 2 kyi sin 2
总的衍射场：
N 1 i (i1 i 2 ) U (1 ,2 ) Ui (1 ,2 ) U 0 (1 ,2 ) (e ) i 0 i 0
位移后：
U ' (1 ,2 ) i


'0
1 1 经透镜变换 1 在傍轴条件下，f (0 , ) 1 ，振幅系数 ， r r' f
正入射平面波照明： U 0 ( x x0 , y y0 ) U 0 ( x, y )， kr ' kr k ( x0 sin 1 y0 sin 2 ) '0 0
1 kx0 sin 1 这里： 2 ky0 sin 2
说明：对该定理的证明中，隐含了“系统具有空间不变性”。
全同结构的夫琅禾费衍射场
x (1,2) (1,2)
x’
y
y’
图像位移( xi , yi ) 衍射场相移i1，i 2
U i (1 , 2 ) e
于是光栅的衍射图样仅仅观察到离散的非常细锐的条纹。
(2) 主峰位置：
N=5
sin sin N I I 0 sin
(极大值） tan( N )
2

2

a sin d sin ，
N tan
菲涅耳衍射： 光源—衍射屏—接受屏之间 距离为有限远(远大于波长)。
S
P ( )
夫琅禾费衍射： 光源—衍射屏—接受屏之间 距离为无限远。 远场 近场？


第五章 多元多维结构衍射
0、光的衍射 1、位移-相移定理 2、有序结构 一维光栅的衍射 3、光栅光谱仪 闪耀光栅 4、二维周期结构的衍射 5、三维周期结构 X.射线晶体衍射 6、无规分布的衍射 7、分形光学—自相似结构的衍射 8、光栅自成像
位移后图像 t ( x+x0 , y+y0 ) U '(1,2 )
x
x’
d0
L0
1 2
方向(1, 2)
P z
y
透过率t ( x, y)
f
y’
U (1 , 2 )
i


0
eikr f (0 ,1 , 2 )U 0 ( x, y) dxdy r
ikr ' e f (0' ,1 ,2 )U 0 ( x x0 , y y0 ) dxdy r'
d1 , a, a ， d2 , a, a ， d3 , a, a ， d4 , a, a
位移—相移定理： d1, a, a ， d2 , a, a ， d3 , a, a ， d4 , a, a ~ ik ( a sin 1 a sin 2 ) ~ U1 (1,2 ) e U0 (1,2 ) ~ ik ( a sin 1 a sin 2 ) ~ U 2 (1 , 2 ) e U 0 (1 , 2 ) ~ ik ( a sin 1 a sin 2 ) ~ U 3 (1 , 2 ) e U 0 (1 , 2 ) ~ ik ( a sin 1 a sin 2 ) ~ U 4 (1 , 2 ) e U 0 (1 , 2 ) 这五个方孔的衍射场为：
U (1 , 2 ) U 0 (1 , 2 ) U1 (1 , 2 ) U 2 (1 , 2 ) U 3 (1 , 2 ) U 4 (1 , 2 ) U 0 (1 , 2 )(1 eik ( a sin 1 a sin 2 ) eik ( a sin 1 a sin 2 ) e ik ( a sin 1 a sin 2 )
i 其中 d sin ，这里利用了公式(1 ei ) 2i sin e 2 2 2

a b
A N

R
N
d=a+b A
矢量图解法：
N 1 i m 光栅衍射场：U ( ) U 0 ( ) (e ) m0
N sin A N 2 A 2 R sin R A 2 R sin A 2 2 2sin sin 2 2
f
y’
原图像 t ( x, y) U (1,2 )
光程差 L x0 sin 1 y0 sin 2
i (1 2 )
1 kx0 sin 1 U '(1,2 ) e U (1,2 ) 2 ky0 sin 2 图像位移( x0 , y0 ) 衍射场相移1，2
强度单元因子
强度结构因子
一维光栅强度的主要特点
sin sin N I I 0 sin
2
2
N=1 N=2
N=3
N=4 N=5 N=6 N=7
(1) 两个主峰之间的零点和次极大
N=4
N=5
两个主峰之间有N-1个零点和N-2个次极大值， 随N的增加，次极强的高度相对于主极强迅速下降， 一般光栅N比较大，所以次极强非常弱，
其中：c Aabe eik ( a sin1 a sin 2 ) ) f sin sin c 1 2cos(a sin 1 a sin 2 ) 2cos(a sin 1 a sin 2 )
k有限，|k|<d/
N=5
(3) 极小值 sin(N)=0且sin0 dsinzero=j/N，j=1,2,.., jmN 两个主峰之间有N-1个零点, N-2个次极大 (4) 主峰的半角宽度： 第 k 级主峰，其左右的第一个零点， 即暗点的位置(k )，应该满足：
sin I I 0 a sin ，
0、光的衍射
当光波遇到障碍物时，会偏离几何光学的直线传播 而绕行的现象称为光的衍射(diffraction of light).
a >> 直线传播 a 1000 > a > a >1000 a< 散射
衍射
按光源、衍射屏和接受屏三者之间的距离的远近将 衍射分为两大类(傍轴）：
(x0,y0) (x,y)
a b
A N

Rin sin （N ） 2 光栅衍射场：A( ) A( ) A( ) sin sin 2
其中 2

d sin
矢量图解和等比求和得到的结果完全一样。
sin （N ） 光栅衍射场：A( ) A( ) sin
描述光栅的参数： 1 单元密度：n ，比如600 / mm、 1200 / mm等； d 光栅的有效宽度：D，比如5cm、 10cm等 D 光栅的单元总数：N nD d
a b

N
d=a+b
第m个单元位移xm md

相移 m
2

md sin m
N 1 i m 光栅衍射场：U ( ) U 0 ( ) (e ) m0 1 eiN i ( N 1) sin N U 0 ( ) U 0 ( )e i 1 e sin
U (1,2 )
位移-相移定理 (displacements and phase shifts): 在夫琅禾费衍射系统中，当一个图像位移时， 夫琅禾费衍射场相应有一个相移；
图像位移( x0 , y0 ) 衍射场相移1，2
U '(1,2 ) ei (1 2 ) U (1,2 )
2、有序结构 一维光栅的衍射
光栅： 凡是含有众多全同单元，并且排列规则、取向 有序的周期结构，统称为光栅（grating）。
a b

N
d=a+b
一维光栅是最简单的一种光栅，也是常用的一种光栅。 其透光缝宽为a，挡光宽度为b，则光栅的空间周期d =a+b， d.也称为光栅常数。
a b

N
d=a+b
1、位移-相移定理
(1) 点源位移
x x0 O P
F

L x0 sin
点源在原点O处，在透镜后焦面产生一光场分布 u() 点源位移至x0处，在透镜后焦面产生另一光场分布 u’() 只是到达P点的光程都存在相同的光程差 L=x0sin
点源(O) u( )
点源(x0 ) u' ( ) eikx0 sin u( )
U '(1 ,2 )
i
U ( x, y)
0 0
e
ikr ik ( x0 sin 1 y0 sin 2 )
f i
dxdy
ikr e eik ( x0 sin1 y0 sin2 ) U 0 ( x, y ) dxdy 0 f
e
ik ( x0 sin1 y0 sin2 )
(2) 图像位移
x
x’