2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)pdf
2016年高考四川卷文科数学PPT版(共33张PPT)
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ln x , 0 x 1, 10.设直线l1 , l2分别是函数f ( x ) 图像上 ln x , x 1, 点P1 , P2处的切线, l1与l2垂直相交于点P , 且l1 , l 2分别与y轴 相交于点A, B , 则△PAB的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B .(0, 2) C .(0, ) D.(1, )
结束
9.已知正三角形ABC的边长为2 3, 平面ABC的动点P , M 2 满足 AP 1, PM MC , 则 BM 的最大值是( ) 43 49 37 6 3 37 2 33 A. B. C. D. 4 4 4 4 设△ABC的中心为D, 则ADC ADB BDC 120 DA DB DC 2,以D为原点, 直线
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向左平移
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5.设p : 实数x , y满足x 1, 且y 1, q : 实数x , y满足x y 2, 则p是q的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充要条件 D.既不充分也不必要条件
x 1且y 1时, x y 2; 而当x y 2时不能得出x 1且y 1, 如x 1, y 4.
200 200 , 1.12 130
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8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家, 普州(现四川省安岳县)人,他在所著 的《数书九章》中提出的多项式求 值的秦九韶算法,至今仍是比较先进 的算法.如图所示的程序框图给出了 利用秦九韶算法求多项式值的一个 实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输 出v的值为( C ) A.35 B.20 C.18 D.9
2016年四川省高考数学文科试题含答案(Word版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)第I 卷 (选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位,则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集,则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象,只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度5.设p:实数x ,y 满足x>1且y>1,q: 实数x ,y 满足x+y>2,则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点,则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n ,x 的值分别为3,2,则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32,平面ABC 内的动点P ,M 满足1AP =uu u r ,PM MC =uuu r uuu r ,则2BM uuu r 的最大值是 (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1,l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第II 卷 (非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
2016年高考四川卷文数试题解析(正式版)
第 1 页 共 15 页2016年高考四川文科数学一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位,则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】试题分析:由题意,22(1)122i i i i +=++=,故选C. 考点:复数的运算.2. 设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集,则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B考点:集合中交集的运算. 3. 抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】D 【解析】试题分析:由题意,24y x =的焦点坐标为(1,0),故选D. 考点:抛物线的定义. 4. 为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象,只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度【答案】A第 2 页 共 15 页【解析】试题分析:由题意,为得到函数sin()3y x π=+,只需把函数sin y x =的图像上所有点向左移3π个单位,故选A.考点:三角函数图像的平移.5. 设p:实数x ,y 满足x>1且y>1,q: 实数x ,y 满足x+y>2,则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析:由题意,1x >且1y >,则2x y +>,而当2x y +>时不能得出,1x >且1y >.故p 是q 的充分不必要条件,选A. 考点:充分必要条件.6. 已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点,则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D考点:函数导数与极值.7. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。
年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学及参考答案
普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学及参考答案第Ⅰ卷参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CADABDBCDBAC(1)已知集合{}2560A x x x =-+=,集合{}213B x x =->,则集合A B =(A ){}23x x ≤≤ (B ){}23x x ≤< (C ){}23x x <≤ (D ){}13x x -<< (2)函数()()()ln 1,1f x x x =->的反函数是 (A )()()11x f x e x R -=+∈ (B )()()1101x f x x R -=+∈ (C )()()11011x fx x -=+> (D )()()111x f x e x -=+>(3)曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是(A )74y x =+ (B )72y x =+ (C )4y x =- (D )2y x =-(4)如图,已知正六边形123456PP P P P P ,下列向量的数量积中最大的是 (A )1213PP PP ⋅ (B )1214PP PP ⋅ (C )1215PP PP ⋅ (D )1216PP PP ⋅(5)甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为90人的样本,应在这三校分别抽取学生 (A )30人,30人,30人 (B )30人,45人,15人 (C )20人,30人,10人 (D )30人,50人,10人 (6)下列函数中,图象的一部分如右图所示的是 (A )sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭(B )sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(C )cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(D )cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(7) 已知二面角l αβ--的大小为060,,m n 为异面直线,且,m n ββ⊥⊥,则,m n 所成的角为(A )030 (B )060 (C )090 (D )0120 (8) 已知两定点()()2,0,1,0A B -,如果动点P 满足2PA PB =,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于(A )9π (B )8π (C )4π (D )π (9) 如图,正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一 个大圆上,点P 在球面上,如果163P ABCD V -=,则球O 的表面积是 (A )4π (B )8π (C )12π (D )16π(10) 直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点,过,A B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为,P Q ,则梯形APQB 的面积为(A )36 (B )48 (C )56 (D )64(11)设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边,则()2a b b c =+是2A B =的(A )充要条件 (B )充分而不必要条件 (C )必要而充分条件 (D )既不充分又不必要条件(12)从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率为 (A )4160 (B )3854 (C )3554 (D )1954第Ⅱ卷二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分;把答案填在题中的横线上。
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题(全国卷Ⅰ)word版(有答案)
绝密★启封并使用完毕前试题类型:2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合,,则(A ){1,3} (B ){3,5} (C ){5,7} (D ){1,7}(2)设的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=(A )-3 (B )-2 (C )2 (D )3(3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(A ) (B ) (C )32 (D ) (4)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知,,,则b=(A ) (B ) (C )2 (D )3(5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到的l 距离为其短轴长的41,则该椭圆的离心率为(A )31 (B )21 (C )32 (D )43 (6)若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后,所得图像对应的函数为(A )y =2sin(2x +4π) (B )y =2sin(2x +3π) (C )y =2sin(2x –4π) (D )y =2sin(2x –3π ) ) (7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328π,则它的表面积是(A)17π (B)18π (C)20π (D)28π(8)若a>b>0,0<c<1,则(A)log a c<log b c (B)log c a<log c b (C)a c<b c (D)c a>c b(9)函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为(A)(B)(C)(D)(10)执行右面的程序框图,如果输入的n=1,则输出的值满足(A)(B)(C)(D)(11)平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,,,则m,n所成角的正弦值为(A)(B)(C)(D)(12)若函数在单调递增,则a的取值范围是(A ) (B ) (C ) (D )第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)~(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分(13)设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a b ,则x =(14)已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ–)=.(15)设直线y=x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若32AB ,则圆C 的面积为(16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
2016高考文科数学(四川卷)
2016高考文科数学(四川卷)一、选择题1.设i 为虚数单位,则复数(1+i )2=(A )0 (B )2 (C )2i (D )2+2i2.设集合A={x|1≤x≤5},Z 为整数集,则集合A∩Z 中元素的个数是(A )6 (B )5 (C )4 (D )33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A )(0,2) (B )(0,1) (C )(2,0) (D )(1,0)4.为了得到函数y=sin 3x π(+)的图象,只需把函数y=sinx 的图象上所有的点 (A )向左平行移动3π个单位长度 (B )向右平行移动3π个单位长度 (C )向上平行移动3π个单位长度 (D )向下平行移动3π个单位长度 5.设p:实数x ,y 满足x >1且y >1,q: 实数x ,y 满足x+y >2,则p 是q 的(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件6.已知a 为函数f (x )=x 3–12x 的极小值点,则a=(A )–4 (B )–2 (C )4 (D )27.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)(A )2018年 (B )2019年 (C )2020年 (D )2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为(A)35 (B)20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABCABC内的动点P,M满足|1|AP=,PMMC=,则2||BM的最大值是(A(B(C(D10.设直线l1,l2分别是函数f(x)=ln01,ln,1x xx x-<<⎧⎨>⎩,图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+∞)(D)(1,+ ∞)二、填空题11.sin750︒= .12.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .13.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b为整数的概率是 .14.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f(52-)+f(2)= .15.在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P'(22yx y+,22xx y-+);当P 是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是A.②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是(写出所有真命题的序号).三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5), [0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求直方图中a 的值;(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由;(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数.17.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥CD ,AD ∥BC ,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD. (Ⅰ)在平面PAD 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PAB ,并说明理由;(Ⅱ)证明:平面PAB ⊥平面PBD.18.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c(Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC ;(ⅡtanB. 19.已知数列{a n }的首项为1, S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q ﹥0,n ∈N *.(Ⅰ)若a 2,a 3,a 2+ a 3成等差数列,求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ,且22e =,求22212n e e e ++⋅⋅⋅+. 20.已知椭圆E :22221x y a b +=(a ﹥b ﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点1)2P 在椭圆E 上.(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为M ,直线OM 与椭圆E 交于C ,D ,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.21.设函数f (x )=ax 2–a –lnx ,g (x )=1e ex x -,其中a ∈R ,e=2.718…为自然对数的底数. (Ⅰ)讨论f (x )的单调性;(Ⅱ)证明:当x >1时,g (x )>0;(Ⅲ)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立.2016高考文科数学(四川卷)参考答案1—5 CBDAA 6—10 DBCBA11.12 12.3 13.1614.2- 15.②③ 16.(Ⅰ)由频率分布直方图,可知:月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a ,解得a=0.30.(Ⅱ)由(Ⅰ),100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000. (Ⅲ)设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×(x –2)=0.5–0.48,解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.17.(Ⅰ)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD ),点M 即为所求的一个点.理由如下:因为AD ∥BC,BC=12AD ,所以BC ∥AM, 且BC=AM. 所以四边形AMCB 是平行四边形,从而CM ∥AB.又AB ⊂平面PAB,CM ⊄平面PAB,所以CM ∥平面PAB.(说明:取棱PD 的中点N,则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(Ⅱ)由已知,PA ⊥AB, PA ⊥CD,因为AD ∥BC,BC=12AD ,所以直线AB 与CD 相交, 所以PA ⊥平面ABCD.从而PA ⊥BD.因为AD ∥BC,BC=12AD , 所以BC ∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM 是平行四边形.所以BM=CD=12AD ,所以BD ⊥AB. 又AB∩AP=A,所以BD ⊥平面PAB.又BD ⊂平面PBD,所以平面PAB ⊥平面PBD.18.(Ⅰ)根据正弦定理,可设(0)sin sin sin a b c k k A B C===>, 则a=ksin A ,b=ksin B ,c=ksinC. 代入cos cos sin A B C a b c+=中,有 cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k A+=,变形可得 sin A sin B=sin Acos B+cosAsinB=sin (A+B ).在△ABC 中,由A+B+C=π,有sin (A+B )=sin (π–C )=sin C ,所以sin A sin B=sin C.(Ⅱ)由已知,b 2+c 2–a 2=65bc ,根据余弦定理,有 2223cos 25b c a A bc +-==.所以45=. 由(Ⅰ),sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B ,所以45sin B=45cos B+35sin B , 故tan B=sin cos B B=4. 19.(Ⅰ)由已知,1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ≥++=. 又由211S qS =+得到21a qa =,故1n n a qa +=对所有1n ≥都成立.所以,数列{}n a 是首项为1,公比为q 的等比数列.从而1=n n a q -.由2323+a a a a ,,成等差数列,可得32232=a a a a ++,所以32=2,a a ,故=2q .所以1*2()n n a n -=?N .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,1n n a q -=. 所以双曲线2221n y x a -=的离心率n e =由22e =解得q =.所以,22222(1)12222(1)2(11)(1+)[1]1[1]11(31).2n n n n n e e e q q q n q qn q n --++鬃?=+++鬃?+-=+++鬃?=+-=+-,20.(Ⅰ)由已知,a=2b. 又椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点1)2P ,故2213414b b +=,解得21b =. 所以椭圆E 的方程是2214x y +=. (Ⅱ)设直线l 的方程为1(0)2y x m m =+≠,1122(,),(,)A x y B x y ,由方程组221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 得222220x mx m ++-=,①方程①的判别式为24(2)Δm =-,由Δ>0,即220m ->,解得m <<由①得212122,22x x m x x m +=-=-. 所以M 点坐标为(,)2m m -,直线OM 方程为12y x =-, 由方程组221,41,2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得(22C D -.所以25)(2)4MC MD m m m ⋅=-+=-. 又222212*********[()()][()4]4416MA MB AB x x y y x x x x ⋅==-+-=+- 22255[44(22)](2)164m m m =--=-. 所以=MA MB MC MD ⋅⋅.21.(Ⅰ)2121()20).ax f x ax x x x-'=-=>( 0a 当≤时, ()f x '<0,()f x 在0+∞(,)内单调递减. 0a >当时,由()f x '=0有x = 当x∈(时,()f x '<0,()f x 单调递减; 当x∈+)∞时,()f x '>0,()f x 单调递增. (Ⅱ)令()s x =1e x x --,则()s x '=1e 1x --.当1x >时,()s x '>0,所以1e x x ->,从而()g x =111ex x -->0. (Ⅲ)由(Ⅱ),当1x >时,()g x >0.当0a ≤,1x >时,()f x =2(1)ln 0a x x --<. 故当()f x >()g x 在区间1+)∞(,内恒成立时,必有0a >. 当102a <<>1. 由(Ⅰ)有(1)0f f <=,而0g >, 所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞(,内不恒成立. 当12a ≥时,令()h x =()f x -()g x (1x ≥). 当1x >时,()h x '=122111112e x ax x x x x x x--+->-+-=322221210x x x x x x -+-+>>. 因此,()h x 在区间1+)∞(,单调递增.又因为(1)h =0,所以当1x >时,()h x =()f x -()g x >0,即()f x >()g x 恒成立. 综上,a ∈1+)2∞[,.。
2016年全国普通高等学校统一招生考试文科数学及解答
2016年全国普通高等学校统一招生考试文科数学及解答D(2)若43i z =+,则||z z = (A )1 (B )1- (C )43+i 55(D )43i 55-【答案】D 【解析】试题分析:因i z 34+=,则其共轭复数为i z 34-=,其模为534|34|||22=+=+=i z ,故i z z5354||-=,应选答案D 。
(3)已知向量BA →=(123,BC →=312),则∠ABC =(A )30° (B )45° (C )60° (D )120° 【答案】A 【解析】:试题分析:因为1331(,),(,)22BA BC ==,故333442BA BC ⋅=+=,又因为||||cos 11cos cos BA BC BA BC ABC ABC ABC⋅=⋅∠=⨯⨯∠=∠所以3cos 2ABC ∠=,所以6ABC π∠=,应选答案A (4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在0℃以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】试题分析:从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出:深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温,稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温,故结合所提供的四个选项,可以确定D是不正确的,因为从图中可以看出:平均最高气温高于20C0只有7、8两个月份,故应选答案D 。
(5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M ,I,N 中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(A )815 (B )18 (C )115(D )130【答案】C 【解析】试题分析:前2位共有3515⨯=种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为115P =.故选C . (6)若tanθ=13,则cos2θ= (A )45-(B )15-(C )15(D )45【答案】D 【解析】 试题分析:22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan θθθθθθθθθ--=-==++2211()43151()3--==+-.故选D .(7)已知4213332,3,25a b c ===,则(A)b<a<c (B) a < b <c (C) b <c<a (D) c<a< b 【答案】A 【解析】 试题分析:423324a ==,1233255c ==,又函数23y x =在[0,)+∞上是增函数,所以b a c <<.故选A .(8)执行右面的程序框图,如果输入的a =4,b =6,那么输出的n =(A )3 (B )4 (C )5 (D )6 【答案】B(9)在ABC中 ,B=1,,sin 43BC BC A π=边上的高等于则(A)310105310【答案】D 【解析】试题分析:由题意得,1112=sin 2323ABCS a a ac B c a ∆⋅=⇒=, ∴232sin sin()4C A A A π=⇒-=222A A A +=,∴310tan 3sin A A =-⇒=,故选D.(10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(A)18365+(B)54185+(C)90(D)81【答案】B【解析】试题分析:由题意得,该几何体为一四棱柱,∴表面积为(3336335)2545⋅+⋅+⋅⋅=+ B.(11)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(A)4π(B)9π2(C)6π(D)32π3【答案】B(12)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为(A )13(B )12(C )23(D )34【答案】A 【解析】 试题分析:由题意得,(,0)A a -,(,0)B a ,根据对称性,不妨2(,)b Pc a-,设:l x my a =-,∴(,)a c M c m --,(0,)aE m,∴直线BM :()()a c y x a m a c -=--+,又∵直线BM 经过OE 中点,∴()1()23a c a a c e ac m m a -=⇒==+,故选A. 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分(13)设x ,y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y –5的最小值为______.【答案】-10 【解析】试题分析:可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中(1,0),(-1,-1),(1,3)A B C ,直线z 235x y =+-过点B 时取最小值-10(14)函数y =sin x –3cos x 的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到. 【答案】3π 【解析】试题分析:2sin()3y x π=-,所以至少向右平移3π(15)已知直线l :360x -+=与圆x2+y2=12交于A 、B 两点,过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点,则|CD|= . 【答案】3 【解析】试题分析:由题意得:26212()232AB =-=因此23cos3.6CD π==(16)已知f (x )为偶函数,当0x ≤ 时,1()x f x e x--=-,则曲线y = f (x )在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】y 2x.= 【解析】 试题分析:110,(),()1,x x x f x e x f x e --'>=+=+时(1)2,y 22(x 1)y 2x.f '=-=-⇒=三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分) 已知各项都为正数的数列{}na 满足11a=,211(21)20n n n n a a a a ++---=.(I )求23,a a ;(II )求{}na 的通项公式.【答案】(1)11,24;(2)112nn a -=.【解析】试题分析:(I )因为11a =,211(21)20n n n n aa a a ++---=,所以21212(21)20aa a a ---=,解得212a=同理可得 22323(21)20aa a a ---=,解得314a=(II )由已知得211220n n n n n aa a a a ++-+-=,即1(2)(1)0n n n aa a +-+=因为{}na 各项都为正数,所以12n na a +=,即112n na a+=,故数列{}na 是首项为11a=,公比为12q =的等比数列,其通项公式为112nn a-=(18)(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1–7分别对应年份2008–2014. (Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明; (Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注:参考数据:719.32ii y ==∑,7140.17i ii t y ==∑721()0.55ii y y =-=∑,7≈2.646. 参考公式:12211()()()(yy)n iii nni ii i t t y y r t t ===--=--∑∑∑回归方程y a bt =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:121()()()niii ni i t t y y b t t ==--=-∑∑,=.a y bt -【答案】(1)可用线性回归模型拟合变量y 与t 的关系.(2)我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理1.83 亿吨. 【解析】试题分析:(1)变量y 与t 的相关系数77771111777722221111()()7()()7()()iii i i ii i i i iii ii i i i t t y y t y t y r t t y y t t y y ========---⋅==-⋅-⨯-⋅-∑∑∑∑∑∑∑∑,又7128ii t==∑,719.32ii y ==∑,7140.17i ii t y ==∑721()27 5.292ii t t =-==∑,721()0.55ii y y =-=∑,所以740.17289.320.997 5.2920.55r ⨯-⨯=≈⨯⨯ , 故可用线性回归模型拟合变量y 与t 的关系. (2)4t =,y =7117ii y =∑,所以7172211740.17749.327ˆ0.10287i ii ii t y t ybtt ==-⋅-⨯⨯⨯===-∑∑,1ˆˆ9.320.1040.937ay bx =-=⨯-⨯≈,(19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥地面ABCD ,AD ∥BC ,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD ,N 为PC 的中点. (I )证明MN ∥平面PAB; (II )求四面体N-BCM 的体积.【答案】(I )见解析;(II )53。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,答案不全)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤,Z 为整数集,则A Z 中元素的个数是(A )3(B )4(C )5(D )62.设i 为虚数单位,则6(i)x +的展开式中含x 4的项为 (A )-15x 4(B )15x 4(C )-20i x 4(D )20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 (A )向左平行移动π3个单位长度(B )向右平行移动π3个单位长度 (C )向左平行移动π6个单位长度(D )向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(A )24(B )48(C )60(D )725.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg2≈0.30)( A )2018年(B )2019年(C )2020年(D )2021年6.秦九韶是我国南宋使其的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n ,x 的值分别为3,2,则输出v 的值为(A )9 (B )18 (C )20 (D )357.设p :实数x ,y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2,q :实数x ,y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的(A )必要不充分条件(B )充分不必要条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点,M 是线段PF 上的点,且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为(A)3(B )23(C)2(D )1 9.设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是(A )(0,1) (B )(0,2) (C )(0,+∞) (D )(1,+∞)10.在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA =-2,动点P ,M 满足AP =1,PM =MC ,则2BM 的最大值是(A )434(B )494(CD二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
【全国Ⅱ卷】2016年普通高校招生全国统一考试数学文科试卷含答案解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}2.设复数z满足z+i=3-i,则=( )A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i3.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )A.y=2sin-B.y=2sin-C.y=2sinD.y=2sin4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12πB.πC.8πD.4π5.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )A. B.1 C. D.26.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.27.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A. B. C. D.9.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( )A.7B.12C.17D.3410.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=11.函数f(x)=cos 2x+6cos-的最大值为( )A.4B.5C.6D.712.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则 =( )A.0B.mC.2mD.4m第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= .14.若x,y满足约束条件-,-,-,则z=x-2y的最小值为.15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.18.(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:(Ⅰ)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值; (Ⅲ)求续保人本年度平均保费的估计值.19.(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(Ⅰ)证明:AC⊥HD';(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(Ⅰ)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时, f(x)>0,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(Ⅰ)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F. (Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的参数方程是,(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=-+,M为不等式f(x)<2的解集.(Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.D由已知得B={x|-3<x<3},∵A={1,2,3},∴A∩B={1,2},故选D.2.C z=3-2i,所以=3+2i,故选C.3.A由题图可知A=2,=-=,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),因为题图经过点,所以2sin 3+φ=2,所以23+φ=2kπ+2,k∈Z,即φ=2kπ-6,k∈Z,当k=0时,φ=-6,所以y=2sin2−6,故选A.4.A设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=a,即R=,所以球的表面积S=4πR2=12π.故选A.5.D由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y=(k>0)得k=1×2=2,故选D.6.A由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得=1,解得a=-,故选A.7.C由三视图知圆锥的高为2,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π,圆柱的侧面积为4×4π=16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C.8.B行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P==,故选B.9.C执行程序框图,输入a为2时,s=0×2+2=2,k=1,此时k>2不成立;再输入a为2时,s=2×2+2=6,k=2,此时k>2不成立;再输入a为5,s=6×2+5=17,k=3,此时k>2成立,结束循环,输出s为17,故选C.10.D函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x的值域为R,排除B,故选D.11.B f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2+,当sin x=1时,f(x)取得最大值5,故选B.12.B由题意可知f(x)的图象关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线x=1对称,所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所以x i=m,故选B.二、填空题13.答案-6解析因为a∥b,所以=,解得m=-6.14.答案-5解析由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,z取得最小值,z min=3-2×4=-5.15.答案解析由cos C=,0<C<π,得sin C=.由cos A=,0<A<π,得sin A=.所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ccos A=,根据正弦定理得b==.16.答案1和3解析丙的卡片上的数字之和不是5,则丙有两种情况:①丙的卡片上的数字为1和2,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和3,满足题意;②丙的卡片上的数字为1和3,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和2,这时甲与乙的卡片上有相同的数字2,与已知矛盾,故情况②不符合,所以甲的卡片上的数字为1和3.三、解答题17.解析(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.(3分)所以{a n}的通项公式为a n=.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b n=.(6分)当n=1,2,3时,1≤<2,b n=1;当n=4,5时,2≤<3,b n=2;当n=6,7,8时,3≤<4,b n=3;当n=9,10时,4≤<5,b n=4.(10分)所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)18.解析(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(3分)(Ⅱ)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(6分)(Ⅲ)由所给数据得(10分)调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.(12分)19.解析(Ⅰ)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得=,故AC∥EF.(2分)由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)(Ⅱ)由EF∥AC得==.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO==4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(Ⅰ)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分)又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.(10分)所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=××2=.(12分)20.解析(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f'(x)=ln x+-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(3分)(Ⅱ)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于ln x->0.(4分)设g(x)=ln x-,则g'(x)=-=,g(1)=0.(6分)(i)当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)单调递增,因此g(x)>0;(8分) (ii)当a>2时,令g'(x)=0得x1=a-1-,x2=a-1+.(10分)由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x∈(1,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(1,x2)单调递减,因此g(x)<0.(11分)综上,a 的取值范围是(-∞,2].(12 分) 21. 解析 (Ⅰ)设 M(x1,y1),则由题意知 y1>0. 由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 . 又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2.(2 分) 将 x=y-2 代入 + =1 得 7y2-12y=0. 解得 y=0 或 y= ,所以 y1= . 因此△AMN 的面积 S△AMN=2× × × = .(4 分)(Ⅱ)将直线 AM 的方程 y=k(x+2)(k>0)代入 + =1 得 (3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0. 由 x1· (-2)= 故|AM|=|x1+2| 得 x1= = , .由题设,直线 AN 的方程为 y=- (x+2), 故同理可得|AN|= 由 2|AM|=|AN|得 = .(7 分) ,即 4k3-6k2+3k-8=0.(9 分)设 f(t)=4t3-6t2+3t-8,则 k 是 f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以 f(t)在(0,+∞)单调递增. 又 f( )=15 -26<0, f(2)=6>0,因此 f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点 k 在( ,2)内,所以 <k<2.(12 分)22. 解析 (Ⅰ)证明:因为 DF⊥EC,所以△DEF∽△CDF,则有∠GDF=∠DEF=∠FCB, = = , 所以△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=∠CBF. 因此∠CGF+∠CBF=180°,所以 B,C,G,F 四点共圆.(5 分) (Ⅱ)由 B,C,G,F 四点共圆,CG⊥CB 知 FG⊥FB,连结 GB.由 G 为 Rt△DFC 斜边 CD 的中点,知 GF=GC, 故 Rt△BCG≌Rt△BFG, 因此,四边形 BCGF 的面积 S 是△GCB 面积 S△GCB 的 2 倍,即 S=2S△GCB=2× × ×1= .(10 分) 23. 解析 (Ⅰ)由 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 可得圆 C 的极坐标方程为ρ 2+12ρ cos θ +11=0.(3 分) (Ⅱ)在(Ⅰ)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为θ =α (ρ ∈R). 设 A,B 所对应的极径分别为ρ 1,ρ 2,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得ρ 2+12ρ cos α +11=0.(6 分) 于是ρ 1+ρ 2=-12cos α ,ρ 1ρ 2=11. |AB|=|ρ 1-ρ 2|= 由|AB|= 得 cos2α = ,tan α =± 或.(10 分) = .(9 分) .(8 分)所以 l 的斜率为方法总结 利用整体运算的技巧可以大大提高解题效率.24. 解析 (Ⅰ)f(x)=(2 分)当 x≤- 时,由 f(x)<2 得-2x<2,解得 x>-1;(3 分) 当- <x< 时, f(x)<2;(4 分) 当 x≥ 时,由 f(x)<2 得 2x<2,解得 x<1,(5 分) 所以 f(x)<2 的解集 M={x|-1<x<1}.(6 分) (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当 a,b∈M 时,-1<a<1,-1<b<1, 从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,因此|a+b|<|1+ab|.(10 分)。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)答案
2 x1 1 x12 2 x1 1 x12 1 P , ln x . ∵ x 1 ,∴ S y y x 1,∴0 S△PAB 1 . 1 1 △PAB A B P 2 1 x12 2 1 x12 1 x12 1 x1
2
5 f 2
1 f 2 2
1 f f 2
1 2 4 2 ,所以 2
1
5 f f (2) 2 . 2
【提示】利用周期性 f ( x) f ( x T ) ,化函数值的自变量到已知区间或相邻区间,如果是相邻区间,再利 用奇偶性转化到已知区间上,由函数式求值即可. 【考点】函数的奇偶性,函数的周期性. 15.【答案】②③
2
49 4
2/9
【提示】首先对条件进行化简变形,得出 ADC ADB BDC 120 ,且 DA DB DC 2 ,因此
采用解析法,即建立直角坐标系,写出点 A,B,C,D 的坐标,同时动点 P 的轨迹是圆,则 2 ( x 1) 2 ( y 3 3) 2 ,因此可用圆的性质得出最值. BM 4 【考点】向量的夹角,解析几何中与圆有关的最值问题. 10.【答案】A
【提示】先设出切点坐标,利用切线垂直求出这两点横坐标的关系,同时得出切线方程,从而得点 A, B 的 坐标,由两直线相交得出 P 点坐标,从而求得面积,把面积用 x1 表示后,可得面积的取值范围. 【考点】导数的几何意义,两直线的垂直关系,直线方程的应用,三角形面积的取值范围.
第 Ⅱ卷
二、填空题 11.【答案】
y ln x1
1 1 1 ( x x1 ) ,切线 l2 的方程为 y ln x2 ( x x2 ) ,即 y ln x1 x1 x . 分别令 x 0 得 x1 x2 x1
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2016 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)第 I 卷(选择题共 50 分)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位,则复数(1+i)2=(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是(A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线 y2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)4.为了得到函数 y=sin (x +π) 的图象,只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点3π (A)向左平行移动3π个单位长度(B) 向右平行移动3个单位长度π (C) 向上平行移动3π个单位长度(D) 向下平行移动3个单位长度5.设 p:实数 x,y 满足 x>1 且 y>1,q: 实数 x,y 满足 x+y>2,则 p 是 q 的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x3-12x 的极小值点,则a=(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司 2015 年全年投入研发奖金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30) 学科&网(A)2018 年(B) 2019 年(C)2020 年(D)2021 年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为⎨(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9u u u ruuur 2 9.已知正三角形 ABC 的边长为2 3 ,平面 ABC 内的动点 P ,M 满足 AP = 1, PM = MC ,则 BM 的最大值是43 (A)449 (B)4(C) 4(D)410. 设直线 l 1,l 2 分别是函数 f(x)= ⎧-ln x , 0 < x < 1, ⎩ln x , x > 1,图象上点 P 1,P 2 处的切线,l 1 与 l 2 垂直相交于点 P ,且 l 1,l 2 分别与 y 轴相交于点 A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第 II 卷 (非选择题 共 100 分)二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
2016年高考文科数学四川卷(含详细答案)
数学试卷 第1页(共33页)数学试卷 第2页(共33页) 数学试卷 第3页(共33页)绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项:必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设i 为虚数单位,则复数21i =+() ( )A .0B .2C .2iD .2+2i2. 设集合{|15}A x x =≤≤,Z 为整数集,则集合A Z 中元素的个数是( )A .6B .5C .4D .3 3. 抛物线24y x =的焦点坐标是( )A .0,2()B .0,1()C .2,0()D .1,0()4. 为了得到函数3y sin x π=+()的图像,只需把函数y sinx =的图象上所有的点( )A .向左平行移动个单位长度B .向右平行移动个单位长度C .向上平行移动个单位长度D .向下平行移动个单位长度5. 设p :实数x y ,满足1x >且1y >,q :实数x y ,满足2x y +>,则p 是q 的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6. 已知a 为函数312f x x x =-()的极小值点,则a =( )A .4-B .2-C .4D .27. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据: 1.120.05lg ≈, 1.30.11lg ≈,20.30lg ≈)( )A .2018年B .2019年C .2020年D .2021年8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提到的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n ,x 的值分别为3,2,则输出v 的值为( )A .35B .20C .18D .99. 已知正三角形ABC的边长为平面ABC 内的动点P ,M 满足||1AP =,PM =MC ,则2||BM 的最大值是( )A .434B .49C D10.设直线1l ,2l 分别是函数l n 01l n 1x x f x x x -⎧=⎨⎩,<<,(),>,图像上点1P ,2P 处的切线,1l 与2l 垂直相交于点P ,且1l ,2l 分别与y 轴相交于A ,B ,则PAB △的面积的取值范围是( )A .0,1()B .0,2()C .0+∞(,)D .1+∞(,)姓名________________ 准考证号_____________----------在-------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题--------------------无--------------------效-----------数学试卷 第4页(共33页)数学试卷 第5页(共33页) 数学试卷 第6页(共33页)第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11. 750sin ︒= .12. 已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .13. 从2389,,,中任取两个不同的数字,分别记为a ,b ,则 log a b 为整数的概率是 .14. 若函数f x ()是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<1x <时,4xf x =(),则522f f -+()()= . 15. 在平面直角坐标系中,当Px y (,)不是原点时,定义P 的“伴随点”为2222'(,)y x P x y x y -++;当P 是原点时,定义P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点A 的“伴随点”是A ',则点A '的“伴随点”是点A ; ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于x 轴对称,则它们的“伴随点”关于y 轴对称; ④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线. 其中真命题是 (写出所有真命题的序号).三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市 为了制定合理的节水方案,对居民用 水情况进行了调查.通过抽样,获得了 某年100位居民每人的月均用水量 (单位:吨).将数据按照[0,0.5), [0.5,1),…[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求直方图中a 的值;(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由; (Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数.17. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA CD ⊥,ADBC ,90ADC PAB ∠=∠=︒,BC =12CD AD =.(Ⅰ)在平面PAD 内找一点M ,使得直线CM 平面PAB ,并说明理由;(Ⅱ)证明:平面PAB ⊥平面PBD .18. (本小题满分12分)在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin +=A B Ca b c. (Ⅰ)证明:sin sin sin A B C =;(Ⅱ)若22265b c a bc +-=,求tan B .19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的首项为1,n S 为数列{}n a 的前n 项和,11n n S qS +=+,其中0q >,*n ∈N .(Ⅰ)若2a ,3a ,23a a +成等差数列,且数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ,且22e =,求22212n e e e ++⋯+.20. (本小题满分13)已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点12P ,)在椭圆E 上.(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为M ,直线OM 与椭圆E 交于C ,D ,证明:|| |||| ||MA MB MC MD =.21. (本小题满分14分)设函数2ln f x ax a x =--(),1=x eg x x e-(),其中a ∈R ,e =2.718…为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论f x ()的单调性; (Ⅱ)证明:当1x >时,0gx ()>; (Ⅲ)确定a 的所有可能取值,使得f x g x ()>()在区间1+∞(,)内恒成立.{1,2,3,4,5}Z A Z中元素的个数为A=A=的元素一一列举出来即可【提示】把集合{【考点】集合中交集的运算3 / 11数学试卷 第10页(共33页)数学试卷 第11页(共33页)数学试卷 第12页(共33页)|||DB|||2DA DC ===,,以3).设(,)P x y ,由已知||1AP =,得131,x y x PM MC M BM ⎛⎫⎛-++== ⎪ ,∴,∴22(1)(||x y BM ++=∴()2max||44BM=2DA DB DC===,因此的轨迹是圆,则2(xBM=【考点】平面向量的计算121B Pxxx=+【提示】先设出切点坐标,利用切线垂直求出这两点横坐标的关系,同时得出切线方程,从而得点5 / 11数学试卷第16页(共33页)数学试卷第17页(共33页)数学试卷第18页(共33页)7 / 11数学试卷 第23页(共33页) 数学试卷 第24页(共33页)ABAP A =,PBD ⊂平面【提示】(Ⅰ)先证明线线平行,再利用线面平行的判定定理证明线面平行;9 / 11222(1)(11)(1)[1]n n e q q -++=++++++222(1)1]n n q q--++数学试卷 第28页(共33页)数学试卷 第29页(共33页)数学试卷第30页(共33页)555(2)(2)(2224MC MD m m =-++=222121211[()()]44MA MB AB x x y y ==-+-=24(2m m -=MA MB MC MD .【提示】(Ⅰ)利用点在椭圆上,列出方程,解出(,),(,x y x y MA MB 用1x ,【考点】直线与圆锥曲线的交线11 / 11。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题 (文科)解析版
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位,则复数2(1)i +=( )(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】试题分析:由题意,22(1)122i i i i +=++=,故选C. 考点:复数的运算.【名师点睛】本题考查复数的运算.数的概念及运算也是高考的热点,几乎是每年必考内容,属于容易题.一般来说,掌握复数的基本概念及四则运算即可.2. 设集合{|15}A x x =≤≤,Z 为整数集,则集合A ∩Z 中元素的个数是( )(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B考点:集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点,几乎是每年必考内容,属于容易题.一般是结合不等式,函数的定义域值域考查,解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.3. 抛物线24y x =的焦点坐标是( )(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】D 【解析】试题分析:由题意,24y x =的焦点坐标为(1,0),故选D. 考点:抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义.解析几何是中学数学的一个重要分支,圆锥曲线是解析几何的重要内容,它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容,一定要熟记掌握.4. 为了得到函数sin()3y x π=+的图象,只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度 【答案】A考点:三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,函数()y f x =的图象向右平移a 个单位得()y f x a =-的图象,而函数()y f x =的图象向上平移a 个单位得()y f x a =+的图象.左右平移涉及的是x 的变化,上下平移涉及的是函数值()f x 加减平移的单位.5. 设p:实数x ,y 满足1x >且1y >,q: 实数x ,y 满足2x y +>,则p 是q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析:由题意,1x >且1y >,则2x y +>,而当2x y +>时不能得出,1x >且1y >.故p 是q 的充分不必要条件,选A. 考点:充分必要条件.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题,首先是分清条件和结论,然后考察条件推结论,结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考.有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论.6. 已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点,则a =( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D 【解析】试题分析:()()()2312322f x x x x '=-=+-,令()0f x '=得2x =-或2x =,易得()f x 在()2,2-上单调递减,在()2,+∞上单调递增,故()f x 极小值为()2f ,由已知得2a =,故选D.考点:函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值.在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解,但0x 是极大值点还是极小值点,需要通过这点两边的导数的正负性来判断,在0x 附近,如果0x x <时,'()0f x <,0x x >时'()0f x >,则0x 是极小值点,如果0x x <时,'()0f x >,0x x >时,'()0f x <,则0x 是极大值点,7. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B考点:1.增长率问题;2.常用对数的应用.【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用.在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用,解题时要注意把哪个作为数列的首项,然后根据等比数列的通项公式写出通项,列出不等式或方程就可解得结论.8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n ,x 的值分别为3,2,则输出v 的值为( )(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9 【答案】C考点:1.程序与框图;2.秦九韶算法;3.中国古代数学史.【名师点睛】程序框图是高考的热点之一,几乎是每年必考内容,多半是考循环结构,基本方法是将每次循环的结果一一列举出来,与判断条件比较即可.9. 已知正三角形ABC 的边长为32,平面ABC 内的动点P ,M 满足1AP =uu u r ,PM MC =uuu r uuu r ,则2BMuuu r的最大值是( ) (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+【答案】B 【解析】考点:1.向量的数量积运算;2.向量的夹角;3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模,由于结论是要求向量模的平方的最大值,因此我们要把它用一个参数表示出来,解题时首先对条件进行化简变形,本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒,且2DA DBDC ===,因此我们采用解析法,即建立直角坐标系,写出,,,A B C D 坐标,同时动点P 的轨迹是圆,()(22214x y BM +++=,因此可用圆的性质得出最值.因此本题又考查了数形结合的数学思想.10. 设直线l 1,l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△P AB 的面积的取值范围是( ) (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A 【解析】试题分析:设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -(不妨设121,01x x ><<),则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-,切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--,即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121121,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭,故选A.考点:1.导数的几何意义;2.两直线垂直关系;3.直线方程的应用;4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义,其次考查最值问题,解题时可设出切点坐标,利用切线垂直求出这两点的关系,同时得出切线方程,从而得点,A B 坐标,由两直线相交得出P 点坐标,从而求得面积,题中把面积用1x 表示后,可得它的取值范围.解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论.这也是我们解决问题的一种基本方法,朴实而基础,简单而实用.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.0750sin = .【答案】12考点:三角函数诱导公式【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题,直接利用课本公式解题,这告诉我们一定要立足于课本.有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解.12.已知某三菱锥的三视图如图所示,则该三菱锥的体积.侧视图俯视图【答案】3【解析】试题分析:由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为112S =⨯=1,所以该几何体的体积为11133V Sh ===考点:1.三视图;2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图,考查几何体体积,考查学生的识图能力.解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状,由三视图得出几何体的尺寸,为此我们必须掌握基本几何体(柱、锥、台、球)的三视图以及各种组合体的三视图.13.从2、3、8、9任取两个不同的数值,分别记为a 、b ,则log a b 为整数的概率= . 【答案】16考点:古典概型.【名师点睛】本题考查古典概型,解题关键是求出基本事件的总数,本题中所给数都可以作为对数的底面,因此所有对数的个数就相当于4个数中任取两个的全排列,个数为44A ,而满足题意的只有2个,由概率公式可得概率.在求事件个数时,涉及到排列组合的应用,涉及到两个有理的应用,解题时要善于分析.14.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,()4xf x =,则5()(1)2f f -+= .【答案】-2考点:1.函数的奇偶性;2.函数的周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性.属于基础题,在涉及函数求值问题中,可利用周期性()()f x f x T =+,化函数值的自变量到已知区间或相邻区间,如果是相邻区间再利用奇偶性转化到已知区间上,再由函数式求值即可.15.在平面直角坐标系中,当P (x ,y )不是原点时,定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++;当P 是原点时,定义P 的“伴随点”为它自身,现有下列命题: ①若点A 的“伴随点”是点'A ,则点'A 的“伴随点”是点A. ②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.③若两点关于x 轴对称,则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 【解析】 试题分析:对于①,若令(1,1)P ,则其伴随点为11(,)22P '-,而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--,而不是P ,故①错误;对于②,设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称,则(,)0f x y -=对曲线(,)0f x y =表示同一曲线,其伴随曲线考点:1.新定义问题;2.曲线与方程.【名师点睛】本题考查新定义问题,属于创新题,符合新高考的走向.它考查学生的阅读理解能力,接受新思维的能力,考查学生分析问题与解决问题的能力,新定义的概念实质上只是一个载体,解决新问题时,只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可.本题新概念“伴随”实质是一个变换,一个坐标变换,只要根据这个变换得出新的点的坐标,然后判断,问题就得以解决.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、(12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),……[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.0.500.42(I)求直方图中的a值;(II)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由;(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数.a ;(Ⅱ)36000;(Ⅲ)2.04.【答案】(Ⅰ)0.30试题解析:(Ⅰ)由频率分布直方图,可知:月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.同理,在[0.5,1),(1.5,2],[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,解得a=0.30.(Ⅱ)由(Ⅰ),100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.(Ⅲ)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×(x–2)=0.5–0.48,解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.考点:频率分布直方图、频率、频数的计算公式【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力.在频率分布直方图中,第个小矩形面积就是相应的频率或概率,所有小矩形面积之和为1,这是解题的关键,也是识图的基础.17、(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,12BC CD AD==.D CBAP(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;(II)证明:平面PAB⊥平面PBD.【答案】(Ⅰ)取棱AD的中点M,证明详见解析;(Ⅱ)证明详见解析. 试题解析:M D CBAP(I)取棱AD的中点M(M∈平面P AD),点M即为所求的一个点.理由如下:因为AD‖BC,BC=12AD,所以BC‖AM, 且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM‖AB.又AB⊂平面P AB,CM ⊄平面P AB,所以CM∥平面P AB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) (II)由已知,P A⊥AB, P A⊥CD,因为AD∥BC,BC=12AD,所以直线AB与CD相交,所以P A⊥平面ABCD. 从而P A⊥BD.因为AD∥BC,BC=12 AD,所以BC∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=12AD,所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面P AB.又BD⊂平面PBD,所以平面P AB⊥平面PBD.考点:线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直.【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时,可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线,而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得,证明时注意定理的另外两个条件(线在面内,线在面外)要写全,否则会被扣分,求线面角(以及其他角),证明面面垂直时,要证线面垂直,要善于从图形中观察有哪些线线垂直,从而可能有哪个线面垂直,确定要证哪个线线垂直,切忌不加思考,随便写.18、(本题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C a b c +=. (I )证明:sin sin sin A B C =;(II )若22265b c a bc +-=,求tan B . 【答案】(Ⅰ)证明详见解析;(Ⅱ)4.试题解析:(Ⅰ)根据正弦定理,可设sin a A =sin b B =sin c C =k (k >0). 则a =k sin A ,b =k sin B ,c =k sin C . 代入cos A a +cos B b =sin C c中,有 cos sin A k A +cos sin B k B =sin sin C k C,变形可得 sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B ).在△ABC 中,由A +B +C =π,有sin(A +B )=sin(π–C )=sin C ,所以sin A sin B =sin C .(Ⅱ)由已知,b 2+c 2–a 2=65bc ,根据余弦定理,有 cos A =2222b c a bc +-=35.所以sin A =45. 由(Ⅰ),sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B , 所以45sin B =45cos B +35sin B , 故sin tan 4cos B B B ==. 考点:正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识,考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中,凡是遇到等式中有边又有角时,可用正弦定理进行边角互化,一种是化为三角函数问题,一般是化为代数式变形问题.在角的变化过程中注意三角形的内角和为180︒这个结论,否则难以得出结论.19、(本小题满分12分)已知数列{n a }的首项为1,n S 为数列{}n a 的前n 项和,11n n S qS +=+ ,其中q >0,*n N ∈ . (Ⅰ)若2323,,a a a a + 成等差数列,求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设双曲线2221n y x a -= 的离心率为n e ,且22e = ,求22212n e e e ++⋅⋅⋅+. 【答案】(Ⅰ)1=n n a q -;(Ⅱ)1(31)2n n +-.(Ⅱ)先利用双曲线的离心率定义得到n e 的表达式,再由22e =解出q 的值,最后利用等比数列的求和公式求解计算.试题解析:(Ⅰ)由已知,1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?.又由211S qS =+得到21a qa =,故1n n a qa +=对所有1n ³都成立.所以,数列{}n a 是首项为1,公比为q 的等比数列.从而1=n n a q -.由2323+a a a a ,,成等差数列,可得32232=a a a a ++,所以32=2,a a ,故=2q .所以1*2()n n a n -=?N.考点:数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式【名师点睛】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第(Ⅰ)问中,已知的是n S 的递推式,在与n S 的关系式中,经常用1n -代换n (2n ≥),然后两式相减,可得n a 的递推式,利用这种方法解题时要注意1a ;在第(Ⅱ)问中,按题意步步为营,认真计算.不需要多少解题技巧,符合文科生的特点.20、(本小题满分13分)已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点1)2P 在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为M ,直线OM 与椭圆E 交于C ,D ,证明:MA MB MC MD ⋅=⋅.【答案】(1)2214x y +=;(2)证明详见解析. 【解析】试题分析:(Ⅰ)由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得2a b =,椭圆的标准方程中可减少一个参数,再利用1)2P 在椭圆上,可解出b 的值,从而得到椭圆的标准方程;(Ⅱ)首先设出直线l 方程为12y x m =+,同时设交点1122(,),(,)A x y B x y ,把l 方程与椭圆方程联立后消去y 得x 的二次方程,利用根与系数关系,得1212,x x x x +,由M A M B ⋅214AB =求得MA MB ⋅(用m 表示),由OM 方程12y x =-具体地得出,C D 坐标,也可计算出MC MD ⋅,从而证得相等. 试题解析:(I )由已知,a =2b . 又椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点1)2P ,故2213414b b +=,解得21b =. 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.所以25)(2)4MC MD m m m ⋅=-=-. 又222212*********[()()][()4]4416MA MB AB x x y y x x x x ⋅==-+-=+- 22255[44(22)](2)164m m m =--=-. 所以=MA MB MC MD ⋅⋅.考点:椭圆的标准方程及其几何性质.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题时,一般都设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ,同时把直线方程与椭圆方程联立,消元后,可得1212,x x x x +,再把MA MB ⋅用12,x x 表示出来,并代入刚才的1212,x x x x +,这种方法是解析几何中的“设而不求”法.可减少计算量,简化解题过程.21、(本小题满分14分)设函数2()ln f x ax a x =--,1()xe g x x e =-,其中q R ∈,e=2.718…为自然对数的底数. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明:当x >1时,g(x)>0;(Ⅲ)确定a 的所有可能取值,使得()()f x g x >在区间(1,+∞)内恒成立.【答案】(1)当x ∈(时,'()f x <0,()f x 单调递减;当x ∈+)∞时,'()f x >0,()f x 单调递增;(2)证明详见解析;(3)a ∈1+)2∞[,.(Ⅰ)的结论,缩小a 的范围,设()g x =111ex x --11x x e x xe ---,并设()s x =1e x x --,通过研究()s x 的单调性得1x >时,()0g x >,从而()0f x >,这样得出0a ≤不合题意,又102a <<时,()f x 的极小值点1x =>,且(1)0f f <=,也不合题意,从而12a ≥,此时考虑1211()2e x h x ax x x -¢=-+-得'()h x 2111x x x x>-+-0>,得此时()h x 单调递增,从而有()(1)0h x h >=,得出结论. 试题解析:(I )2121'()20).ax f x ax x x x-=-=>( 0a ≤当时, '()f x <0,()f x 在0+∞(,)内单调递减. 0a >当时,由'()f x =0,有x =当x ∈(时,'()f x <0,()f x 单调递减; 当x ∈+)∞时,'()f x >0,()f x 单调递增.因此()h x 在区间1+)∞(,单调递增.又因为(1)h =0,所以当1x >时,()h x =()f x -()g x >0,即()f x >()g x 恒成立.综上,a ∈1+)2∞[,.考点:导数的计算、利用导数求函数的单调性,最值、解决恒成立问题.【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性,最值、解决恒成立问题,考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.求函数的单调性,基本方法是求'()f x ,解方程'()0f x =,再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性;要证明函数不等式()()f x g x >,一般证明()()f x g x -的最小值大于0,为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性.本题中注意由于函数()h x 有极小值没法确定,因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较新颖,学生不易想到.有一定的难度.。
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2016 年普通高等学校招生全统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共24 题,共 150 分第Ⅰ卷一、选择题:本题共12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
( 1)已知集合A 1,2,3 , B x x 29 ,则 A B( A)2, 1,0,1,2,3(B)1, 0 ,1, 2(C)1,2,3(D)1,2( 2)设复数z满足z i 3 i ,则 z( A)(3)函数1 2i(B)12i(C)32i(D)32iy Asin( x) 的部分图像如图所示,则y2( A)y 2 sin(2x)(B)y 2 sin(2x)63( C)y 2 sin(2x)( D)y 2sin(2x)63( 4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为(A)12(B)32(C)8(D)43-πOπx63-2( 5)设F为抛物线C:y24x 的焦点,曲线y k(k0)与C交于点P,PF x 轴,则 k x(A)1(B)1(C)3(D)2 22(6)圆x2y22x8y13 0 的圆心到直线ax y 1 0的距离为1,则 a(A)3( B)33(D)2(C)4( 7)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表2 3面积为(A) 20π4(B) 24π44(C) 28π(D)32π( 8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(A)7(B)5(C)3(D)3 108810( 9)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的 x 2 ,n 2 ,依次输入的a为2,2,5,则输出的s (A)7( B)12(C)17(D)34( 10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y10lg x的定义域和值域相同的是( A)y x( B)y lg x( C)y 2x( D)y1x( 11)函数f ()cos 2x6 cosx)的最大值为x(2(A)4(B) 5(C) 6(D)7( 12)已知函数 f ( x) (x R) 满足 f ( x) f (2x) ,若函数 y x 22x 3 与m y f (x) 图像的交点为 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ),,( x m , y m ) ,则x ii 1(A)0( B)m( C)2m( D)4m开始输入 x,nk 0, s0输入 as s x a k k1否k n是输出 s结束第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年四川省高考文科数学试题word版_高考数学试题含答案
2016年高考四川文科数学一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位,则复数(1+i)2=(A)0(B)2(C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x≤5},Z 为整数集,则集合A∩Z 中元素的个数是(A)6(B)5(C)4(D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2)(B)(0,1)(C)(2,0)(D)(1,0)4.为了得到函数y=sin 3(π+x 的图象,只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度(B)向右平行移动3π个单位长度(C)向上平行移动π个单位长度(D)向下平行移动π个单位长度5.设p:实数x,y 满足x>1且y>1,q:实数x,y 满足x+y>2,则p 是q 的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点,则a=(A)-4(B)-2(C)4(D)27.某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)学科&网(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x 的值分别为3,2,则输出v 的值为(A)35(B)20(C)18(D)99.已知正三角形ABC 的边长为32,平面ABC 内的动点P,M 满足,则的最大值是(A)443(B)449(C)43637+(D)433237+10.设直线l 1,l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A,B 则则△PAB 的面积的取值范围是(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+∞)(D)(1,+∞)11、0750sin =。
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2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)第I 卷 (选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位,则复数(1+i)2=(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x≤5},Z 为整数集,则集合A ∩Z 中元素的个数是(A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象,只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度5.设p:实数x ,y 满足x>1且y>1,q: 实数x ,y 满足x+y>2,则p 是q 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点,则a=(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n ,x 的值分别为3,2,则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32,平面ABC 内的动点P ,M 满足,,1AP =u u u r PM MC =u u u r u u u r则的最大值是2BM u u u r (A)443 (B) 449 (C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1,l 2分别是函数f(x)= 图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第II 卷 (非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11、0750sin = 。
12、已知某三菱锥的三视图如图所示,则该三菱锥的体积是 。
侧侧侧侧侧侧13、从2、3、8、9任取两个不同的数字,分别记为a 、b ,则为整数的概率log a b = 。
14、若函数f (x )是定义R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f (x )=x 4,则= 。
5((1)2f f -+15、在平面直角坐标系中,当P (x ,y )不是原点时,定义P 的“伴随点”为,当P 是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命'2222(,y xP x y x y-++题:①若点A 的“伴随点”是点'A ,则点'A 的“伴随点”是点A.②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上。
③若两点关于x 轴对称,则他们的“伴随点”关于y 轴对称④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线。
其中的真命题是 。
(写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5), [0.5,1),……[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图。
0.420.50(I )求直方图中的a 值;(II )设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由;(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数。
17、(12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥CD ,AD ∥BC ,∠ADC=∠PAB=90°,。
12BC CD AD ==DCB AP(I )在平面PAD 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PAB ,并说明理由;(II )证明:平面PAB ⊥平面PBD 。
18、(本题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cCb B a A sin cos cos =+。
(I )证明:sinAsinB=sinC ;(II )若bc a c b 56222=-+,求tanB 。
19、(本小题满分12分)已知数列{ }的首项为1, 为数列的前n 项和, ,其中q >0,n a n S {}n a 11n n S qS +=+ .*n N ∈(Ⅰ)若 成等差数列,求的通项公式;2323,,a a a a +{}n a (Ⅱ)设双曲线 的离心率为 ,且 ,求.2221n y x a -=n e 22e =22212n e e e ++⋅⋅⋅+20、(本小题满分13分)已知椭圆E :+=1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(,)在椭圆E 上。
(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为M ,直线OM 与椭圆E 交于C ,D ,证明:︳MA ︳·︳MB ︳=︳MC ︳·︳MD ︳21、(本小题满分14分)设函数f(x)=ax 2-a -lnx ,g(x)=-,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数。
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明:当x >1时,g(x)>0;(Ⅲ)确定a 的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)试题参考答案一、选择题1.C2.B3.D4. A5.A6.D7.B8.C9.B 10.A 二、填空题11.13.14.-2 15.②③1216三、解答题16.(本小题满分12分)(Ⅰ)由频率分布直方图,可知:月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.同理,在[0.5,1),(1.5,2],[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a +0.5×a ,解得a =0.30.(Ⅱ)由(Ⅰ),100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.(Ⅲ)设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x <2.5.由0.50×(x –2)=0.5–0.48,解得x =2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.17.(本小题满分12分)DCB AP(I )取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD ),点M 即为所求的一个点.理由如下:因为AD ∥BC,BC =AD ,所以BC ∥AM , 且BC =AM .12所以四边形AMCB 是平行四边形,从而CM‖∥AB .又AB 平面PAB ,CM 平面PAB ,⊂⊄所以CM ∥平面PAB .(说明:取棱PD 的中点N ,则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(II )由已知,PA ⊥AB , PA ⊥ CD ,因为AD ∥BC,BC =AD ,所以直线AB 与CD 相交,12所以PA ⊥平面ABCD .从而PA ⊥ BD .因为AD ∥BC,BC =AD ,12所以BC ∥MD,且BC =MD.所以四边形BCDM 是平行四边形.所以BM =CD =AD ,所以BD ⊥AB .12又AB ∩AP =A,所以BD ⊥平面PAB .又BD 平面PBD,⊂所以平面PAB ⊥平面PBD .18.(本小题满分12分)(Ⅰ)根据正弦定理,可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>则a =k sin A ,b =k sin B ,c =k sin C .代入中,有cos cos sin A B Ca b c+=,可变形得cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C+=sin A sin B =sin A cos B+cosAsinB =sin (A +B ).在△ABC 中,由A +B +C =π,有sin (A +B )=sin (π–C )=sin C ,所以sin A sin B =sin C .(Ⅱ)由已知,b 2+c 2–a 2=bc ,根据余弦定理,有65.2223cos 25b c a A bc +-==所以sin A.45=由(Ⅰ),sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ,所以sin B =cos B +sin B ,454535故tan B ==4.sin cos BB19.(本小题满分12分)(Ⅰ)由已知, 两式相减得到.1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+21,1n n a qa n ++=³又由得到,故对所有都成立.211S qS =+21a qa =1n n a qa +=1n ³所以,数列是首项为1,公比为q 的等比数列.{}n a 从而.1=n n a q -由成等差数列,可得,所以,故.2323+a a a a ,,32232=a a a a ++32=2,a a =2q 所以.1*2()n n a n -=ÎN (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.1n n a q -=所以双曲线的离心率.2221ny x a -=n e =由解得所以,22e ==q =,22222(1)12222(1)2(11)(1+)[1]1[1]11(31).2n n n n ne e e q q q n q q n q n --++×××+=+++×××++-=+++×××+=+-=+-20.(本小题满分13分)(I )由已知,a =2b .又椭圆过点,故,解得.22221(0)x y a b a b +=>>12P 2213414b b +=21b =所以椭圆E 的方程是.2214x y +=(II )设直线l 的方程为, ,1(0)2y x m m =+≠1122(,),(,)A x y B x y 由方程组 得,①221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩222220x mx m ++-=方程①的判别式为,由,即,解得24(2)m ∆=-∆>0220m ->m <<由①得.212122,22x x m x x m +=-=-所以M 点坐标为,直线OM 方程为,(,)2m m -12yx =-由方程组得.221,41,2x y yx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(C D 所以.25)(2)4MC MD m m m ⋅=-++=-又222212121212115[()()][()4]4416MA MB AB x x y y x x x x ⋅==-+-=+-.22255[44(22)](2)164m m m =--=-所以.=MA MB MC MD ⋅⋅21.(本小题满分14分)(I )2121'()20).ax f x ax x x x-=-=>( <0,在内单调递减.0a ≤当时,'()f x ()f x 0+∞(,)由=0,有0a >当时,'()f xx =当时,<0,单调递减;x ∈('()f x ()f x 当时,>0,单调递增.x ∈+)∞'()f x ()f x (II )令=,则=.()s x 1e x x --'()s x 1e 1x --当时,>0,所以,从而=>0.1x >'()s x 1ex x ->()g x 111ex x --(iii )由(II ),当时,>0.1x >()g x 当,时,=.0a ≤1x >()f x 2(1)ln 0a x x --<故当>在区间内恒成立时,必有.()f x ()g x 1+)∞(,0a >当102a <<由(I )有,从而,(1)0f f <=0g >所以此时>在区间内不恒成立.()f x ()g x 1+)∞(,当时,令=().12a ≥()h x ()f x -()g x 1x ≥当时,=.1x >'()h x 122111112e xax x x x x x x --+->-+-=322221210x x x x x x-+-+>>因此在区间单调递增.()h x 1+)∞(,11 / 11又因为=0,所以当时,=>0,即>恒成立.(1)h 1x >()h x ()f x -()g x ()f x ()g x 综上,.a ∈1+)2∞[,1。