2019届中考数学复习 专项二 解答题专项 十、二次函数与几何图形综合题课件
2019-2020年中考复习：二次函数与几何图形综合题含答案解析
解：（ 1）平移后以 C为顶点的抛物线解析式为 y
第 3 题图
2
x 1 +3 ，
则可知一种移动方式是：将 y x2 向右平移一个单位长度，再向上平移三个单
位长度； （ 2）由（ 1）知移动后的抛物线解析式为： y
2
x 1 +3=
x2
2x
2．
令 x2 2x 2 =0，
解出 x1=1 3 ， x2 =1+ 3 ， 过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，
此时点 P 的坐标为（ 5-1,2 5 -2 ） ;
②当△ PDO∽△ AOC时， PD
OD , 有 -x2 4
x ,
AO CO
24
解得 x3
1 65
4
， x4
1- 65 （不符合题意 , 舍去） ,
4
当x
1 65 时， y
1 (
65 )2 4
1 65 ,
4
4
8
此时，点 P 的坐标为（ 1 65 ， 1 65 ），
2019-2020 年中考复习：二次函数与几何图形综合题含答案解析
1. 如图，抛物线 y x2 4 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛 物线上的一个动点且在第一象限，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，交直线 BC 于点 E． （ 1）求点 A、B、C 的坐标和直线 BC的解析式； （ 2）求△ ODE面积的最大值及相应的点 E 的坐标； （ 3）是否存在以点 P、O、D为顶点的三角形与△ OAC相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
设点 P 的坐标为（ x，－ x 2 ＋4）， 0＜x＜2，
∵△ OAC与△ OPD都是直角三角形，
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第十节 二次函数与几何综合题
(2)若点 B 是抛物线对称轴上的一点，且点 B 在第一象限，当△OAB 的面积 为 15 时，求点 B 的坐标；
如答图①，∵点 B 是抛物线对称轴上的一点，且点 B 在第一象限， ∴设 B(2，m)(m＞0)，设直线 OA 的解析式为 y＝kx， 则 5k＝5，解得 k＝1， ∴直线 OA 的解析式为 y＝x，设直线 OA 与抛物线对称 轴交于点 H，则 H(2，2)，∴BH＝m－2，
2．(2022·北部湾)已知抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)． (1)求点 A，点 B 的坐标；
解：当 y＝0 时， －x2＋2x＋3＝0， ∴x1＝－1，x2＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)．
(2)如图，过点 A 的直线 l：y＝－x－1 与抛物线的另一个交点为 C，点 P 为抛物线对称轴上的一点，连接 PA，PC，设点 P 的纵坐标为 m，当 PA＝ PC 时，求 m 的值；
点 E 的坐标为(－1，0)，
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
1
1
∴S△BCE＝S△ABE－S△ACE＝2AE·OB－2AE·CD
＝12×4×3－12×4×2＝2，
∴△BCE 的面积为 2.
3．(2022·广东)如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c(b，c 是常数)的顶点为 C， 与 x 轴交于 A，B 两点，A(1，0)，AB＝4，点 P 为线段 AB 上的动点， 过点 P 作 PQ∥BC 交 AC 于点 Q.
第十节 二次函数与几何 综合题
类型一：二次函数与线段 问题
1．(2022·齐齐哈尔)如图，某一次函数与二次函数 y＝x2＋mx＋n 的图象 交点为 A(－1, 0)，B(4, 5)． (1)求抛物线的解析式；
2019年中考数学第二轮专题复习 二次函数与几何图形综合 含解析
函数与几何综合1．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．（3）已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．4．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．6．如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．9．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．11．如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．12．两条抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同．（1）求抛物线C2的解析式；（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（﹣1，﹣4），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q 顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③在①的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x 轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n 与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF 的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．19．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝x+n．①求抛物线的解析式．②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．③过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点；（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．25．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．27．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．28．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．29．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？30．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．31．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）32．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．参考答案与试题解析一．解答题（共32小题）1．【分析】（1）C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，将点A的坐标代入C2的表达式，即可求解；（2）作点C关于C1对称轴的对称点C′（﹣1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小，即可求解；（3）S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+，即可求解．【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，∵﹣＜0，故x＝，S△MOC最大值为．【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．2．【分析】（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即可；（3）分当时、当时两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．设点P坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）在Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°，在Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°，∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3，过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°，过点P作PQ⊥y轴于点G，∵∠PQA＝∠APQ＝90°∠PAG＝∠QAP，∴△PGA∽△QPA∵∠PGA＝∠ACB＝90°∴①当时，△PAG∽△BAC，∴＝，解得x1＝1，x2＝0，（舍去）∴点P的纵坐标为×12+×1+3＝6，∴点P为（1，6）；②当时，△PAG∽△ABC，∴＝3，解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），∴此时无符合条件的点P综上所述，存在点P（1，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用等知识点，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．【分析】（1）待定系数法将已知点的坐标分别代入得方程组并解方程组即可求得抛物线的表达式；（2）先求得C1（0，1），再由待定系数法求得直线C1B解析式y＝﹣x+1，设M（t，+1），得S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，由二次函数性质即可得到结论；（3）以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形要分两种情况进行讨论：①C1C为边，②C1C为对角线．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：∴该抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1．（2）在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝0，y＝﹣1，∴C（0，﹣1）∵点C关于x轴的对称点为C1，∴C1（0，1），设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B（2，0），C1（0，1）分别代入得，解得，∴直线C1B解析式为y＝﹣x+1，设M（t，+1），则E（t，0），F（0，+1）∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝，此时，M（1，）；即点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大．（3）由题意，C（0，﹣1），C1（0，1），以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P（m，m+1），Q（m，﹣m﹣1），∴|（﹣m﹣1）﹣（m+1）|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0（舍），P1（4，3），Q1（4，5）；P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）；P3（2，2），Q3（2，0）②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为（0，0），∴PQ的中点为（0，0），设P（m，m+1），则Q（﹣m，+m﹣1）∴（m+1）+（+m﹣1）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P4（﹣2，0），Q4（2，0）；综上所述，点P和点Q的坐标为：P1（4，3），Q1（4，5）或P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）或P3（2，2），Q3（2，0）或P4（﹣2，0），Q4（2，0）．【点评】本题属于中考压轴题类型，主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的最值运用，平行四边形性质等，解题关键要正确表示线段的长度，掌握分类讨论的方法．4．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；（2）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×＝2，即可求解；（3）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；（4）利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴BD＝BC＝×＝2，y D＝BD sin∠CBO＝2，则点D（﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y＝x+3，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．5．【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣2，5），B（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2+bx+c得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，求出C′H的长，可得∠C′BH＝60°，求出DH的长，则D坐标可求；（3）由题意可知△C′CB为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．证出△BCQ≌△C′CP，可得BP垂直平分CC′，则D点在直线BP上，可求出直线BP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）由题意得：解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为（1，2），tan，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，∴点D的坐标为（1，）．（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝．②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．∴∠BCP＝∠C′CQ，∴△BCP≌△C′CQ（SAS），∴∠CBP＝∠CC′Q，∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，∴．∴∠CBP＝30°，设BP与y轴相交于点E，在Rt△BOE中，OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1×，∴点E的坐标为（0，﹣）．设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝﹣．综上所述，直线BP的函数表达式为或．【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．6．【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，，解得a＝﹣1，c＝3，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•（x B﹣x H）＝MK•（x B﹣x A）＝××3＝，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；（3）存在点F，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，由题意可列：，解得，a＝，∴F（1，）．【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．7．【分析】（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；（2）由题意先求出D点坐标为（2，3），求出直线AC的解析式，设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3），则EF＝﹣a2+3a，四边形CEDF的面积可表示为，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；（3）当△PCQ∽△CAP时，可得∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ＝∠OCA＝45°，则PQ∥AC，∠BCO＝∠PCA，过点P 作PM⊥AC交AC于点M，可求出PM、PA、OP的长，用待定系数法可求出函数解析式．【解答】解：（1）由题意得：，∴b＝2，c＝3，（2）①如图1，∵点C关于直线x＝1的对称点为点D，∴CD∥OA，∴3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴D（2，3），∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（﹣1，0），A（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3），∴EF＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，四边形CEDF的面积＝S△EFC+S△EFD＝＝＝﹣a2+3a＝，∴当a＝时，四边形CEDF的面积有最大值，最大值为．②当△PCQ∽△CAP时，∴∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ，∴PQ∥AC，∵C（0，3），A（3，0），∴OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝∠PCQ＝45°，∴∠BCO＝∠PCA，如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M，∴，设PM＝b，则CM＝3b，AM＝b，∵，∴，∴，∴，∴，∴，设直线l的解析式为y＝﹣x+n，∴，∴．∴直线l的解析式为y＝﹣x+．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．8．【分析】（1）把点A、C坐标及对称轴x＝2代入二次函数表达式，即可求解；（2）求出直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），由S△AOC＝＝6，×＝3，即可求解；（3）分△DEO∽△AOC、△BED∽△AOC两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由已知得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣6；（2）联立，解得：x＝﹣，直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），S△AOC＝＝6，由题意得：×＝3，解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10），∴m＝﹣2；（3）∵OA＝2，OC＝6，∴，①当△DEB∽△AOC时，则，如图1，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，则Rt△BEG∽Rt△EDF，则，则BG＝3EF，设点E（h，k），则BG＝﹣k，FE＝h﹣2，则﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h，∵点E在二次函数上，故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6），则点E（4，﹣6）；②当△BED∽△AOC时，，过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，则Rt△BEN∽Rt△EDM，则，则NB＝EM，设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2，则﹣q＝（p﹣2），解得：p＝或（舍去）；故点E坐标为（4，﹣6）或（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．9．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，。
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
中考数学复习解答题专项集训之二次函数试题(共20题)
中考数学复习解答题专项集训之二次函数试题（共20题）1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点M （﹣2，92）和N （2，−72）两点，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）若点M 是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点，求抛物线解析式及A 、B 、C 坐标； （2）在（1）的条件下，若点P 是A 、C 之间抛物线上一点，求四边形APCN 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）若B （m ，0），且1≤m ≤3，求a 的取值范围．2．某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x 天生产的电子产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系式：y ={20x(0≤x ≤10)10x +200(10＜x ≤30)． （1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；（2）设第x 天每件电子产品的成本是P 元，P 与x 之间的关系可用图中的函数图象来表示．若该企业第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？3．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式：（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？4．定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点（2，1）是函数y＝x﹣1的图象的“倍值点”．（1）分别判断函数y=12x+1，y＝x2﹣x的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y=2x（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“倍值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为2时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣3（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出m的取值范围．5．“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素材料一反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离．制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离．材料二汽车急刹车的停车距y（m）为反应距离y1（m）与制动距离y2（m）之和，即y＝y1+y2，而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度x（m/s）有关，如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据．速度x（m/s）反应距离y1（m）制动距离y2（m）10 7.5 815 10.5 16.220 15 3225 17.5 5230 22.9 78.135 27.1 108.540 29.2 123…材料三经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数k有关，且满足y＝y1+k•y2，其中y、y1、y2意义同材料二，并且不同类型汽车的刹车系数k满足0.8≤k≤1.5．[任务一]①利用材料二判断最适合描述y1、y2分别与x的函数关系的是；A．y1＝ax、y2＝bxB．y1＝ax、y2＝bx2C．y1＝ax2、y2＝bx2②请你利用当x＝10m/s，x＝20m/s时的两组数据，计算y1、y2分别与x的函数关系式．[任务二]在某条限速为60km/h的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为34m，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？[任务三]某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至少15m，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少m/s？（精确到1m/s）6．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25m）的空地上修建一个矩形小花园ABCD．小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？7．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过A （1，5）、B （0，3）、C （﹣1，﹣3）三点． （1）求这个函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．8．某公路有一个抛物线形状的隧道ABC ，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y =−110x 2+c 且过顶点C （0，5）．（长度单位：m ） （1）直接写出c ＝ ；（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB 的长度）是多少米？（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由．9．为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m ，另外三边由36m 长的栅栏围成．设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝xm ，面积为ym 2（如图）．甲 乙 丙 单价（元/棵） 141628合理用地（m 2/棵）0.4 1 0.4（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160m 2，求x 的值；（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．10．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，﹣1）和（2，7）．（1）求二次函数解析式及对称轴；（2）若点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上不同的两个点，且y1+y2＝28，求m的值．11．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．12．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝6，OB= 43，点P为x轴下方的抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；（3）是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．14．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O ，守门员位于点A ，OA 的延长线与球门线交于点B ，且点A ，B 均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知OB ＝28m ，AB ＝8m ，足球飞行的水平速度为15m /s ，水平距离s （水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h 的鹰眼数据如表：s /m … 9 12 15 18 21 … h /m…4.24.854.84.2…（1）假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，s ＝ m ； （2）求h 关于s 的函数解析式；（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m ，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．15．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）如图1，连接BC ，点E 是第四象限内抛物线上的动点，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，EG ∥x 轴交直线BC 于点G ，求△EFG 面积的最大值；（3）如图2，点M 在线段OC 上（点M 不与点O 重合），点M 、N 关于原点对称，射线BN 、BM 分别与抛物线交于P 、Q 两点，连接PA 、QA ，若△BMN 的面积为S 1，四边形BPAQ 的面积为S 2，求S 1S 2的值．16．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +3交坐标轴于B 、C 两点，抛物线y ＝ax 2+bx +3经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点A （﹣1，0）．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ ∥CO ，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在∠DCP ＝∠DPC ，求出m 值； （3）在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．17．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53m ，当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处．（1）求y 关于x 的函数表达式．（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m ，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．18．在体育考试中，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线．（1）求实心球行进的高度y（米）与行进的水平距离x（米）之间的函数关系式；（2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23x2+43x−2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求线段AC的长度；（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作PD ∥y轴，交AC于点D，作PE∥x轴，交抛物线于点E．求3PD+PE的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中3PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线CA方向平移√13个单位长度，得到一条新抛物线y′，M为射线CA上的动点，过点M作MF∥x轴交新抛物线y′的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N 为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．20．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？。
中考复习专题：二次函数与几何的综合题PPT课件
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即y=∴∴13x–二23–次=a函83(0x数+–13的)．(0解–析9)，式解为4分得y=a=13(x3+1，)(x–9)，
（2０11资阳）已知抛物线C：y=ax2+bx+c(a<0)过原点，与x 轴的另一个交点为B(4，0)，A为抛物线C的顶点．
(1) 如图14-1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；(3分)
2008年资阳24．（本小题满分12分）如图10，已知点A的坐标是（－1，0），
点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、 BC，过A、B、C三点作抛物线． （1）求抛物线的解析式；
解：(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
3.联立函数表达式.
互转化的基础是：点坐标与线段长。 一般解题思路是：
解析式方程组的解是图像交点坐标
（1）已知点坐标 线段长，线段长 点
坐标；
（2）用待定系数法求函数解析式；
（3）解析式 点坐标 线段长 面积
及其它。
（压轴题07） 点P为抛物线 y x2 2mx m2 (m为常数， )上任m一点0，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90度后得到的 新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q 为点P旋转后的对应点.
(2) (3分) 求点D的坐标；
三垂直：横平竖直
F
O'D=O'A=2,DC=AC=4 ∆DO'F∽∆CDM,类似比1：2 设O'F=a，DF=b。 则DM=2a，CM=2b。 所以，2a+b=4.且2+a=2b。
DN=DF-FN=3/5
N
中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题含答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可；（3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3）， 设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +，∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ， ∴∠BDE=∠BCO ， ∵∠BDE=∠PDF ， ∴∠PDF=∠BCO ， ∵∠PFD=∠BOC=90°， ∴△PFD ∽△BOC ，∴=PED PDBOC BC的周长的周长，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5， 故△BOC 的周长=12，∴2334125m mL -+=，即L=﹣95（m ﹣2）2+365，∴当m=2时，L 最大=365； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3， 当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ， 当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ， ∴∠PCQ=∠CPD ， ∴∠PCD=∠CPD ， ∴CD=PD ， ∴CD=DP=PQ=QC ， ∴四边形CDPQ 是菱形， 过D 作DG ⊥y 轴于点G ， 设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ， 而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|，∵PD=CD ， ∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②， 解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去）， 当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．2．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”. ①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围. 【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小； 【解析】 【分析】（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=--⎪⎝⎭，所以当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+⎪⎝⎭，当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，∴2b a =-．2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()2,B a b -，①当点A 和点B 重合，∴2b b =-． 解得0b =或1b =-． 当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭． ∴当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <．当12a <<时， ()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭ ．∴当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论3．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量x （2≤x ≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w ）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y （单位：万元）与加工数量x （单位：吨）之间的函数关系是y ＝12x +3（2≤x ≤10）．①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？ ②该公司买入杨梅吨数在 范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x ＝8时，此时W 最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x ≤8． 【解析】 【分析】（1）设其解析式为y ＝kx +b ，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣12x 2+9x ，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论． 【详解】（1）由图象可知，y 是关于x 的一次函数． ∴设其解析式为y ＝kx +b ，∵图象经过点（2，12），（8，9）两点， ∴21289k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k ＝﹣12，b ＝13， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣12x +13， 当x ＝6时，y ＝10，答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元； （2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣12x 2+9x ， 当x ＝﹣2ba＝9时，x ＝9不在取值范围内，∴当x＝8时，此时W最大值＝﹣12x2+9x＝40万元；（3）①由题意得：﹣12x2+9x＝9x﹣（12x+3）解得x＝﹣2（舍去），x＝3，答该公司买入杨梅3吨；②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．故答案为：3＜x≤8．【点睛】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．4．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．【解析】【分析】（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a21922x⎛⎫-+⎪⎝⎭，把点B的坐标代入求得a的值即可；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝32，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．【详解】解：①如图1，∵顶点M的坐标是19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴设抛物线解析式为y＝21922a x⎛⎫-+⎪⎝⎭（a≠0）．∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．又∵点B在该抛物线上，∴21922a⎛⎫-+⎪⎝⎭＝4，解得a＝﹣2．故该抛物线的解析式为：y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵抛物线y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭的对称轴是直线x＝12，且该直线与直线AB交于点N，∴点N的坐标是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴93322MN=-=．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝32．解得 m1＝12（舍去），m2＝32．此时P（32，1）．∵PN∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形．∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝12OB•OA＝12×4×2＝4．则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．S△ABD＝12（y D﹣y P）（x A﹣x B）＝y D﹣y P＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．5．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+5152-），P2（352，1+52），P3（52，1+52），P455-15-.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758，∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758；（3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ， 易得△OMP ≌△PNF ， ∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3）， 则-m 2+4m-3=2-m ， 解得：m=5+5或55-，∴P 的坐标为（5+5，1+5）或（55-，15-）；如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ， ∴PN=FM ，则-m 2+4m-3=m-2， 解得：x=3+52或352； P 的坐标为（3+52，152-）或（352，1+52）；综上所述，点P 的坐标是：（5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+52，152-）或（352，1+52）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．6．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m . (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能. 【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，当t=时，y 最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．7．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.（1）求抛物线的解析式；（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或【解析】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．试题解析：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．考点：二次函数综合题8．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．【解析】试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即；（2）当时，＞0，∴NP===，∴S=AB•PN==；（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．9．已知抛物线27y x3x4=--的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）取点E（34-，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．①点G是否在直线l上，请说明理由；②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1） D（32，﹣4）（2） P（0，74）或（0，17）（3）详见解析【解析】【分析】（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标．（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解．（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可．②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B ，从而判断出点M 就是直线DE 与抛物线的交点．再设直线DE 的解析式为y=mx+n ，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE 的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M ． 【详解】解：（1）在27y x 3x 4=--中，令y=0，则27x 3x 04--=，整理得，4x 2﹣12x ﹣7=0， 解得x 1=12-，x 2=72．∴A （12-，0），B （72，0）． 在27y x 3x 4=--中，令x=0，则y=74-．∴C （0，74-）． ∵()227413b 334ac b 442a 2124a 41⎛⎫⨯⨯--- ⎪--⎝⎭-=-===-⨯⨯，，∴顶点D （32，﹣4）． （2）在y 轴正半轴上存在符合条件的点P ． 设点P 的坐标为（0，y ），∵A （12-，0），C （0，74-），∴OA=12，OC=74，OP=y ， ①若OA 和OA 是对应边，则△AOP ∽△AOC ，∴OP OA OC OA =．∴y=OC=74，此时点P （0，74）． ②若OA 和OC 是对应边，则△POA ∽△AOC ，∴OP OAOA OC=，即1y 21724=．解得y=17，此时点P （0，17）．综上所述，符合条件的点P 有两个，P （0，74）或（0，17）．（3）①设直线l 的解析式为y=kx+b （k≠0），∵直线l 经过点E （32-，0）和点F （0，34-），∴3k b 023b 4⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1k 23b 4⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线l 的解析式为13y x 24=--． ∵B （72，0），D （32，﹣4），∴[]1735104222222+=+-=-（），（），∴线段BD 的中点G 的坐标为（52，﹣2）． 当x=52时，153y 2224=-⨯-=-，∴点G 在直线l 上． ②在抛物线上存在符合条件的点M ．设抛物线的对称轴与x 轴交点为H ，则点H 的坐标为（32，0）， ∵E （32-，0）、F （0，34-），B （72，0）、D （32，﹣4）， ∴OE=32，OF=72，HD=4，HB=72﹣32=2． ∵，∠OEF=∠HDB ，∴△OEF ∽△HDB ．∴∠OFE=∠HBD ．∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°．∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD ）=180°﹣90°=90°，∴直线l 是线段BD 的垂直平分线．∴点D 关于直线l 的对称点就是点B ．∴点M 就是直线DE 与抛物线的交点．设直线DE 的解析式为y=mx+n ，∵D （32，﹣4），E （32-，0）， ∴，解得．∴直线DE 的解析式为． 联立，解得，．∴符合条件的点M 有两个，是（32，﹣4）或（，）．10．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，过点B 的直线y=kx+23分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x+c ，得168020a ca c-+=⎧⎨++=⎩，解得：2383 ac⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为：y=228233x x+-，∵过点B的直线y=kx+23，∴代入（1，0），得：k=﹣23，∴BD解析式为y=﹣2233x+；（2）由2282332233y x xy x﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D（﹣5，4），如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴DEPO=PEOC，即4t=523t-，解得15129±，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，5252，解得：t=233； 当P 3C ⊥DC 时，△DFC ∽△COP 3，∴DF OC =3CF P O ，即523=103t， 解得：t=49， ∴t 的值为49、15129±、233． （3）由已知直线EF 解析式为：y=﹣23x ﹣103， 在抛物线上取点D 的对称点D′，过点D′作D′N ⊥EF 于点N ，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD′于点H ，此时，DM+MN=D′N 最小．则△EOF ∽△NHD′设点N 坐标为（a ，﹣21033a -）， ∴OE NH =OF HD '，即52104()33a ---=1032a -， 解得：a=﹣2，则N 点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1， 当x=﹣32时，y=﹣54， ∴M 点坐标为（﹣32，﹣54）， 此时，DM+MN 22D H NH '+2246+13点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．。
(精品)2019年中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型六二次函数与几何图形综合题课件
【对应训练】 1．(2017·新乡模拟)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为 Q(2，－1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右 侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重 合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D. (1)求该抛物线的解析式； (2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
∴y＝(x－2)2－1，即y＝x2－4x＋3；
(2)分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
令y＝0，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3；
∵点A在点B的右边，∴B(1，0)，A(3，0)；∴P1(1，0)；
16
②当点 A 为△AP2D2 的直角顶点时；
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠OAD2＝45°；
17
设D2(x，－x＋3)，P2(x，x2－4x＋3)，则有：(－x＋3)＋(x2－4x＋3)＝0， 即x2－5x＋6＝0；
解得x1＝2，x2＝3(舍去)； ∴当x＝2时，y＝x2－4x＋3＝22－4×2＋3＝－1； ∴P2的坐标为P2(2，－1)(即为抛物线顶点)． ∴P点坐标为P1(1，0)，P2(2，－1)；
26
(3)当 N(3，0)时，N 为 BC 边中点， ∵MN∥AC，∴M 为 AB 边中点，∴OM＝21AB， ∵ AB ＝ OA2＋OB2 ＝ 16＋4＝ 2 5 ， AC ＝ OC2＋OA2＝ 64＋16 ＝ 4 5，∴AB＝12AC，∴OM＝14AC.
27
类型三 二次函数与线段问题(2015.23，2012.23，2014.23) 【例4】(2015·河南)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以 点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点(含端点) ，过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为(0，6)、(－4，0)，连接PD 、PE、DE. (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定 值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是 否正确，并说明理由；
中考数学复习专题十一 二次函数与几何图形综合题
【点评】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得 P1C 和 P2A 的解析式是解答问题(2) 的关键，求得点 P 的纵坐标是解答问题(3)的关键．
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[对应训练] 1．(2016·遵义)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是 A(－8，3)，B(－
4，• 0单)，•击C第(此－二4处级，3编)，辑∠A母BC版＝文α°本.抛样物式线 y＝12x2＋bx＋c 经过点 C，且对称轴为 x＝－45，并与
证：PH＝GH.
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•
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• 第二级
12×（－4）2－4b＋c＝3，
解：(1)根• 第据•三题第级意四• 得级第：五级－2×b 12＝－45，
解得
b＝45， c＝－95，∴抛物线的解析式为：y
Hale Waihona Puke ＝12x2＋45x－95，点 G(0，－95)
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标为(－2，5)．综• 第上五所级述，P 的坐标是(1，－4)或(－2，5)
单击此处编辑母版标题样式 (3)如图 2 所示：连接 OD.由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 OD＝EF.根据垂线
段最短，可得当 OD⊥AC 时，OD 最短，即 EF 最短．由(1)可知，在 Rt△AOC 中，∵OC
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• 单三击个此步处骤 编辑母版文本样式
•解第二二次级函数与几何图形综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻
译并转化• 为第显三性级条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于 联想和转化，• 将第四以级上得到的显性条件进行恰当的组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的
湖南省2019年中考数学总复习专题08二次函数与几何图形综合题课件
②同理,设 P(c,-c2+2c+3),Q(c+4,-c2-6c-5),则直线 PQ 的表达式可求;设点 D 的坐标为(m1,-������1 2 +2m1+3), 则点 F 的坐标为(m1,-(2c+2)m1+c2+4c+3),求得 DF 的最大值,△DPQ 面积的最大值可得.
题型一 最值(或取值范围)问题
2 1
图 Z8-1
②直尺在平移过程中,△DPQ 的面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.
题型一 最值(或取值范围)问题
解:(1)把 A(-1,0),B(3,0)两点的坐标代入 y=ax2+bx+3,得 0 = ������-������ + 3, 解得 ������ = -1, 0 = 9������ + 3������ + 3. ������ = 2. ∴抛物线的表达式为 y=-x2+2x+3.
2 1
图 Z8-1
②直尺在平移过程中,△DPQ 的面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.
题型一 最值(或取值范围)问题
(2)①设直线 PQ 的表达式为 y=kx+b1.把 P - , ,Q ,- 两点的坐标代入,得
24 2 4 7 17 7 9
= - ������ + ������1 , ������ = -1, 4 2 解得 5 9 7 ������1 = . - = ������ + ������1 . 4
∵直尺的宽度一定,∴当 DF 最长时,△DPQ 的面积最大.∴当 m= 时,DF 有最大值,最大值为 4, 此时点 D 的坐标为 ,
2019中考数学专题汇编全集 二次函数与几何图形综合题
1. 如图，抛物线y ＝c ax ax +-22(a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 、B ，点A 坐标为(4，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK ＋KN 最小，并求出点K 的坐标；(3)已知D 是OA 的中点，点P 在第一象限的抛物线上，过点P 作x 轴的平行线，交直线AC 于点F ，连接OF ，DF .当OF ＝DF 时，求点P 的坐标．第1题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 经过点A (4，0)，C (0，4)，∴,40816⎩⎨⎧==+-c c a a 解得,421⎪⎩⎪⎨⎧=-=c a ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92，∴N (1，92)，如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0，－4)，连接C ′N 交x 轴于点K ，则K 点即为使CK ＋KN 最小的K 点位置．第1题解图①设直线C ′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点C ′(0，－4)，N (1，92)代入，得,294⎪⎩⎪⎨⎧=+-=b k b 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==4217b k ∴直线C ′N 的解析式为y ＝172x －4， 令y ＝0，即172x －4＝0，解得x ＝817，∴点K 的坐标为(817，0)；(3)如解图②，过F 作FM ⊥x 轴于M ， ∵D 是OA 的中点，第1题解图②∴D (2，0)， ∵OF ＝DF ， ∴OM ＝MD ，∴M (1，0)，∴点F 的横坐标是1.设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ， 将点A (4，0)，C (0，4)代入， 得直线AC 的解析式为y ＝－x ＋4， ∴点F 的坐标为(1，3)， 设P (t ，－122t ＋t ＋4)，则－122t ＋t ＋4＝3，解得t ＝1＋3或t ＝1－3(舍去)， ∴点P 的坐标为(1＋3，3)．2.如图，抛物线cbxaxy++=2与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴l为x＝－1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当P A⊥NA，且P A＝NA时，求此时点P的坐标；②当四边形P ABC的面积最大时，求四边形P ABC面积的最大值及此时点P的坐标．第2题图解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴l为直线x＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点坐标为(－1，4)；(2)令y＝－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴点A(－3，0)，如解图，作PD⊥x轴于点D，对称轴l与x轴交于点Q，连接AC、OP，第2题解图∵点P在y＝－x2－2x＋3上，∴设点P(x，－x2－2x＋3)，①∵P A ⊥NA ，且P A ＝NA ，∴∠P AD ＋∠APD ＝∠P AD ＋∠NAQ ＝90°， ∴∠APD ＝∠NAQ ，又∵∠PDA ＝∠AQN ＝90°， ∴△P AD ≌△ANQ (AAS )， ∴PD ＝AQ ， 即－x 2－2x ＋3＝2，解得x 1＝2－1(舍去)，x 2＝－2－1， ∴P (－2－1，2)；②∵△ABC 的面积为定值，∴△APC 面积最大时，四边形P ABC 面积最大， ∵S AOC △＝12×3×3＝92，S OCP △＝32|x |＝－32x ，S OAP △＝12×3×|y p |＝－32x 2－3x ＋92，∴S APC △＝S OAP △＋S OCP △－S AOC △ ＝－32x 2－3x ＋92－32x －92＝－32(x ＋32)2＋278，∴当x ＝－32时，S APC △取得最大值，最大值为278，此时P (－32，154)，∴S PABC 四边形＝S ABC △＋S APC △＝12×4×3＋278＝758，∴四边形P ABC 面积的最大值为758，此时点P 的坐标为(－32，154)．3.在直角坐标系xOy 中，A (0，2)、B (－1，0)，将△ABO 经过旋转、平移变化后得到如图所示的△BCD .(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(2)连接AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将△ABC 的面积分成1∶3两部分，求此时点P 的坐标； (3)现将△ABO 、△BCD 分别向下、向左以1∶2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值．第3题图解：(1)∵A (0，2)、B (－1，0)，将△ABO 经过旋转、平移变化得到△BCD ， ∴BD ＝OA ＝2，CD ＝OB ＝1，∠BDC ＝∠AOB ＝90°， ∴C ()1，1，设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y ＝a 2x ＋bx ＋c ，则,210⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-c c b a c b a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=22123c b a ，∴经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y ＝－322x ＋12x ＋2；(2)如解图①，设直线PC 与AB 交于点E ，∵直线PC 将△ABC 的面积分成1∶3两部分，第3题解图①∴BE AE ＝13或BEAE＝3， 过点E 作EF ⊥OB 于点F ，则EF ∥OA ， ∴△BEF ∽△BAO ，∴BO BFBA BE AO EF ==， ∴当BE AE ＝13时，2EF ＝34＝1BF ，∴EF ＝32，BF ＝34，∴点E 的坐标为(－14，32)．设直线PC 的解析式为y ＝mx ＋n ，由E ，C 两点坐标可求得其解析式为y ＝－25x ＋75，∴－32x 2＋12x ＋2＝－25x ＋75，∴x 1＝－25，x 2＝1(舍去)，∴点P 的坐标为(－25，3925)，当BEAE ＝3时，同理可得点P 的坐标为(－67，2349)；(3)设△ABO 平移的距离为t ，△111O B A 与△112D C B 重叠部分的面积为S ， 可由已知求出直线A 1B 1的解析式为y ＝2x ＋2－t ，11B A 与x 轴的交点坐标为(22-t ，0)． 直线21B C 的解析式为y ＝12x ＋t ＋12，21B C 与y 轴交点坐标为(0，t ＋12).①如解图②所示，当0<t <35时，△111O B A 与△112D C B 重叠部分为四边形．第3题解图②设11B A 与x 轴交于点M ，21B C 与y 轴交于点N ，11B A 与21B C 交于点Q ，连接OQ ，由⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=t x y t x y 212122，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=35334t y t x ， ∴点Q 的坐标为(334-t ，35t)， ∴S ＝S QMO △＋S QNO △ ＝343)21(21352221tt t t -⨯+⨯+⨯-⨯＝－1312t 2＋t ＋14，∵－1312＜0，∴S 最大值=ab ac 442-＝2552；②如解图③所示，当35≤t<45时，△111O B A 与△112D C B 重叠部分为直角三角形.第3题解图③设11B A 与x 轴交于点H , 11B A 与11D C 交于点G ， 则G (1－2t ，4－5t )，1D H ＝22t -＋1－2t ＝254t -，1D G ＝4－5t ， ∴S ＝121D H ·1D G ＝25421t -⨯(4－5t )＝14(4－5t )2，∴当35≤t<45时，S 的最大值为14，综上所述，在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值为2552.4.如图，抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A (－1，0)、C (0，5)、D (1，8)在抛物线上，M 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB 的面积；(3)在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵A (－1，0)，C (0，5)，D (1，8)三点在抛物线y ＝c bx x ++2a 上，∴,850⎪⎩⎪⎨⎧++==+-=c b a cc b a 解得,541⎪⎩⎪⎨⎧==-=c b a ， ∴抛物线的解析式为y ＝－2x ＋4x ＋5； (2)如解图，过点M 作MN ∥y 轴交BC 于点N ，第4题解图∴S MCB △＝S MCN △＋S MNB △＝12MN ·OB .∵y ＝－2x ＋4x ＋5 ＝－(x －5)(x ＋1) ＝－(x －2)2＋9，∴M (2，9)，B (5，0)，由B ，C 两点的坐标易求得直线BC 的解析式为：y ＝－x ＋5， 当x ＝2时，y ＝－2＋5＝3，则N (2，3)， 则MN ＝9－3＝6， 则S MCB △＝12×6×5＝15；(3)在抛物线上存在点P ，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积． ∵A (－1，0)，B (5，0)， ∴AB ＝6，∵S PAB △＝S MCB △，∴12×6×|p y |＝15， ∴|p y |＝5，即p y ＝±5. 当p y ＝5时，－2x ＋4x ＋5＝5， 解得1x ＝0，2x ＝4；当p y ＝－5时，－2x ＋4x ＋5＝－5， 解得3x ＝2＋14，4x ＝2－14.故在抛物线上存在点1P (0，5)，2P (4，5)，3P (2＋14，－5)，4P (2－14， －5)，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积．5.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4(a ≠0)的对称轴为直线x ＝3，抛物线与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为(8，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 为线段BC 上方抛物线上的一点，点N 为线段BC 上的一点，若MN ∥y 轴，求MN 的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．第5题图解：(1)根据题意得，ab2 ＝3， 即b ＝－6a ，则抛物线的解析式为y ＝ax 2－6ax ＋4，将B (8，0)代入得，0＝64a －48a ＋4，解得a ＝－14，b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4；(2)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋d ，由抛物线解析式可知：当x ＝0时，y ＝4，即点C (0，4)， 将B (8，0)，C (0，4)代入得,48⎩⎨⎧==+d d k 解得,421⎪⎩⎪⎨⎧=-=d k ∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋4，设点M 的横坐标为x (0＜x ＜8)，则点M 的纵坐标为－14x 2＋32x ＋4，点N 的纵坐标为－12x ＋4，∵点M 在抛物线上，点N 在线段BC 上，MN ∥y 轴， ∴MN ＝－14x 2＋32x ＋4－(－12x ＋4)＝－14x 2＋32x ＋4＋12x －4＝－14x 2＋2x＝－14(x －4)2＋4，∴当x ＝4时，MN 的值最大，最大值为4；(3)存在．如解图，过点C 作CD ⊥对称轴于点D ，连接AC . 令－14x 2＋32x ＋4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8， ∴A (－2，0)， 又∵C (0，4)，由勾股定理得，AC ＝2242+＝25，第5题解图∵抛物线对称轴为直线x ＝3， 则CD ＝3，D (3，4)． ①当AC ＝CQ 时，DQ ＝22CD CQ -＝223)52(-＝11，当点Q 在点D 的上方时，点Q 到x 轴的距离为4＋11， 此时，点Q 1(3，4＋11)，当点Q 在点D 的下方时，点Q 到x 轴的距离为4－11， 此时，点Q 2(3，4－11)；②当AQ ＝CQ 时，点Q 为对称轴与x 轴的交点，AQ ＝5，CQ ＝2243+＝5， 此时，点Q 3(3，0)； ③当AC ＝AQ 时，∵AC ＝25，点A 到对称轴的距离为5，25＜5， ∴不可能在对称轴上存在Q 点使AC ＝AQ ，综上所述，当点Q 的坐标为(3，4＋11)或(3，4－11)或(3，0)时，△ACQ 为等腰三角形．6.如图，一次函数y ＝23x －4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C .经过点B 、C 的抛物线c bx ax y ++=2也经过点A (－2，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当△CMN 的面积最大时，求点M 的坐标；(3)点D (4，k )在抛物线上，点F 为抛物线上一动点，在y 轴上是否存在点E ，使以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：(1)由y ＝23x －4可知B (6，0)，C (0，－4)，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －6)， 将点C 的坐标代入，求得a ＝13，∴抛物线的解析式为y ＝132x －43x －4；(2)设点M 的坐标为(m ，0)，过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，如解图①，第6题解图①∵点A 的坐标为(－2，0)，点B 的坐标为(6，0)， ∴AB ＝8，AM ＝m ＋2， ∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ， ∴AB AM CO NH = ∴824+=m NH ， ∴NH ＝22+m ， ∴S CMN △＝S ACM △－S AMN △＝12AM ·CO －12AM ·NH＝12(m ＋2)(4－22+m ) ＝－14m 2＋m ＋3＝－14(m －2)2＋4，∴当m ＝2时，S CMN △有最大值为4， 此时，点M 的坐标为(2，0)； (3)∵点D (4，k )在抛物线 y ＝13x 2－43x －4上， ∴当x ＝4时，y ＝－4， ∴D (4，－4)，设点F 的坐标为(m ，n )，点E 的坐标为(0，t )，由题意得：①若AF 为平行四边形的边，如解图②，则有：第6题解图②,⎩⎨⎧-=--=-A E F D AE F D x x x x y y y y 即,24-4-⎩⎨⎧=-=m t n∵n ＝13m 2－43m －4，∴,2443431-4-2⎪⎩⎪⎨⎧=-=++m t m m 解得：m ＝2，n ＝－163，t ＝43.∴1E (0，43)，1F (2，－163)；②若AF 为平行四边形的对角线，如解图③，则有：第6题解图③,⎩⎨⎧-=--=-AE DF AE DF x x x x y y y y 即,244⎩⎨⎧=-=+m tn∵n ＝13m 2－43m －4，∴,244434312⎪⎩⎪⎨⎧=-=+--m t m m 解得m ＝6，n ＝0，t ＝4， ∴2E (0，4)，2F (6，0)，综上所述，存在1E (0，43)，1F (2，－163)或2E (0，4)，2F (6，0)使得以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形．7.如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD .(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；(2)点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标； (3)在(2)的条件下，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．第7题图解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，∴,0390-1-⎩⎨⎧=++-=+c b c b 解得,32⎩⎨⎧==c b∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)如解图①，连接PC 、PE.第7题解图①∵抛物线对称轴为直线 x ＝－a b 2＝）（1-22⨯-＝1， ∴当x ＝1时，y ＝－1＋2＋3＝4， ∴点D 的坐标为(1，4)，设直线BD 的解析式为：y ＝mx ＋n (m ≠0)， 将B (3，0)和D (1，4)分别代入，得，⎩⎨⎧+=+=n m n m 430解得⎩⎨⎧=-=62n m ， 则y ＝－2m ＋6，设点P 坐标为(m ，－2m ＋6)， ∵C (0，3)，E (1，0)， ∴由勾股定理可得：PC 2＝m 2＋[3－(－2m ＋6)]2， PE 2＝(m －1)2＋(－2m ＋6)2， 又∵PC ＝PE ，∴m 2＋(3＋2m －6)2＝(m －1)2＋(－2m ＋6)2， 解得m ＝2，则-2m+6＝－2×2＋6＝2， ∴点P 坐标为(2，2)；(3)依题意可设点M 坐标为(a ，0)，则点G 坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)． 如解图②，以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，必有FM ＝MG ，第7题解图②|2－a |＝|－a 2＋2a ＋3|， ①2－a ＝－(－a 2＋2a ＋3)，解得a ＝1±212，②2－a ＝－a 2＋2a ＋3， 解得a ＝3±132，∴M 点的坐标为(1－212，0)，(1＋212，0)，(3－132，0)，(3＋132，0)．8.如图①，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)与x 轴交于另一个点A (32，0)，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B (2，t )．(1)求这条抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物线上有一点C ，满足以B ，O ，C 为顶点的三角形的面积为2，求点C 的坐标；(3)如图②，若点M 在这条抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，在(2)的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)把B (2，t )代入y ＝x 得t ＝2， ∴B (2，2)，把A (32，0)，B (2，2)代入y ＝bx ax +2得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22402349b a b a ， 解得⎩⎨⎧-==32b a ，∴抛物线的表达式为y ＝22x －3x ； (2)设点C 坐标为(x ，2x 2－3x )，如解图①，过点C 作CQ ⊥y 轴于点Q ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，第8题解图①则S BOC △＝S CQFB 四边形－S BOF △－S COQ △，即2)]32(2)[2(2x x x --+－12×2×2－12x (－2x 2＋3x )＝2，解得x ＝1.把x ＝1代入y ＝2x 2－3x ，得y ＝2－3＝－1， ∴C (1，－1)；(3)如解图②，连接OM ，AB ，设MB 交y 轴于点N ，第8题解图②∵B (2，2)，∴∠AOB ＝∠NOB ＝45°， 在△AOB 和△NOB 中， ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠NBO ABO OBOB NOB AOB ， ∴△AOB ≌△NOB (ASA )， ∴ON ＝OA ＝32，∴N (0，32)，设直线BN 表达式为y ＝kx ＋32，把B 点坐标代入可得2＝2k ＋32，解得k ＝14，∴直线BN 的表达式为y ＝14x ＋32，联立直线BN 和抛物线表达式可得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x x y x y 3223412，解得⎩⎨⎧==22y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=324583y x ， ∴M (－38，4532)，∵C (1，－1)，∴∠COA ＝∠AOB ＝45°，且B (2，2)， ∴OB ＝22，OC ＝2， ∵△POC ∽△MOB ，∴OCOB OPOM =＝2，∠POC ＝∠BOM ，当点P 在第一象限时，如解图③，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，第8题解图③∵∠COA ＝∠BOG ＝45°，∠POC ＝∠BOM ， ∴∠MOG ＝∠POH ，且∠PHO ＝∠MGO ， ∴△MOG ∽△POH ， ∴OH OG PH MG OP OM ==＝2， ∵M (－38，4532)，∴MG ＝38，OG ＝4532，∴PH ＝12MG ＝316，OH ＝12OG ＝4564，∴P (4564，316)；当点P 在第三象限时，如解图④，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥y 轴于点H ，第8题解图④同理可求得PH ＝12MG ＝316，OH ＝12OG ＝4564，∴P (－316，－4564)；综上，存在满足条件的点P ，其坐标为(4564，316)或(－316，－4564)．9.如图，直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别相交于点B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ，且对称轴为直线x ＝2. (1)求该抛物线的解析式；(2)连接PB 、PC ，求△PBC 的面积；(3)连接AC ，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)∵y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，∴C (0，3)，B (3，0)，∵抛物线的对称轴为：x ＝2，∴可设二次函数的解析式为：y ＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，把B (3，0)、C (0，3)两点代入，得340a k a k =+⎧⎨=+⎩，解得，11a k =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝(x －2)2－1，即y ＝x 2－4x ＋3. (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴P (2，－1)，又∵B (3，0)、C (0，3)，∴PC ＝2242+＝52，PB ＝212-322=+）（，BC ＝23183322==+，又∵PB 2＋BC 2＝2＋18＝20，PC 2＝20， ∴PB 2＋BC 2＝PC 2， ∴△PBC 是直角三角形．∴S PBC △＝12PB ·BC ＝12×2×23＝3.(3)设存在点Q (m ，0)，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，易证∠ABC ＝∠ABP ＝45°，∴Q 点在B 点左边，则m <3， 于是AB ＝2，BC ＝23，BQ ＝3－m ，BP ＝2， ①当BQBABP BC =时，△QBP ∽△ABC ， 则m-=32223，解得，m ＝73， ∴Q (73，0)；②当BP BA BQ BC =时，△PBQ ∽△ABC ，则22323=-m ，解得，m ＝0， ∴Q (0，0)，综上所述，存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．Q 点的坐标为Q (73，0)或Q (0，0)．10.如图，已知抛物线与x 轴交于A (－1，0)，B (4，0)，与y 轴交于C (0，－2)．(1)求抛物线的解析式；(2)H 是C 关于x 轴的对称点，P 是抛物线上的一点，当△PBH 与△AOC 相似时，求符合条件的P 点的坐标(求出两点即可)；(3)过点C 作CD ∥AB ，CD 交抛物线于点D ，点M 是线段CD 上的一动点，作直线MN 与线段AC 交于点N ，与x 轴交于点E ，且∠BME ＝∠BDC ，当CN 的值最大时，求点E 的坐标．第10题图解：(1)根据题意设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －4)(a ≠0)，将C (0，－2)代入得：－2＝－4a ，解得a ＝12， ∴抛物线的解析式为y ＝12(x ＋1)(x －4)，即y ＝12x 2－32x －2； (2)∵C (0，－2)，H 是C 关于x 轴的对称点，∴H (0，2)，又∵A (－1，0)，B (4，0)，∴OA ＝1，OC ＝OH ＝2，AC ＝AH ＝5，OB ＝4，BH ＝52，AB ＝5， ∴AB AC HB OC AH AO ==＝51， ∴△AOC ∽△AHB ，∴P 1(－1，0)，即P 1点与A 点重合；如解图所示作C 点关于抛物线对称轴的对称点D ，连接HD 、BD ，则D (3，－2)，BD ＝AC ＝AH ＝5，CD ＝3，根据勾股定理得：HD ＝22CD HC +＝53422=+ ∴DH ACBH OC BD OA ==＝51，∴△AOC ∽△DBH ，∴P 2(3，－2)，即P 2点与D 点重合.第10题解图(3)∵CD ∥AB ，∴∠OEM ＝∠CMN ，∠BMD ＝∠EBM ， 又∵∠BME ＝∠BDC ，∴∠CMN =∠OEM ＝180°－∠BME －∠BMD ， ∠DBM ＝180°－∠BMD －∠BDM ，∴∠CMN ＝∠DBM ，根据抛物线的对称性可知：∠BDM ＝∠MCN ，∴△MNC ∽△BMD ， ∴BD CMDM CN=，设CM ＝n ，则M 点坐标为(n ，－2)，又∵B (4，0)，C (0，－2)，D (3，－2)， 则CN ＝BD DM CM ⋅＝ 5209)23(555535522+--=+-n n n (0<n <3)∴当n ＝32，即M 为CD 中点时，CN 的值最大， ∴M (32，－2)，∴2BM ＝414，∵∠OEM ＝∠CMN ＝∠DBM ，∠BME ＝∠BDC ， ∴△BME ∽△MDB ， ∴BM BEDM BM =，∴BE ＝DM BM 2＝41432＝416，∴OE ＝BE -OB ＝416－4＝176， ∴E (－176，0).。
2019年中考数学复习专题8二次函数与几何图形的综合精讲试题
中小学教育教学资料专题八 二次函数与几何图形的综合毕节中考备考攻略二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现,具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、 综合性强、解题方法灵活等鲜明特点,同时题型变化多样,如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的 存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性等等.1.二次函数与线段的长 (1)一般设抛物线上点的横坐标为 x,纵坐标为抛物线解析式,与之相关的点的横坐标也为 x,纵坐标为 直线解析式,两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度； (2)建立关于线段长的二次函数,通过求二次函数的最值进而求线段长的最值； (3)线段长之和最小的问题,转化为对称点后用两点之间线段最短解决. 2.二次函数与图形的面积 (1)根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积； (2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型 ,并掌握二次函数中面积 问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用； (3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长,利用割补方法求图形的面积. 3.二次函数与特殊三角形 (1)判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论； (2)判断直角三角形,可以对直角顶点进行分类讨论. 4.二次函数与特殊四边形 此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,求平行四边形存在类问题用平移法解 坐标较简单,其他特殊的平行四边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破. 5.二次函数与相似三角形 结合相似三角形判定方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.中考重难点突破二次函数与线段的长 例 1(2018·遂宁中考改编)如图,已知抛物线 y＝ax2＋32x＋4 的对称轴是直线 x＝3,且与 x 轴相交于 A,B 两点(B 点在 A 点右侧),与 y 轴交于 C 点.(1)求抛物线的解析式和 A,B 两点的坐标； (2)若 M 是抛物线上任意一点,过点 M 作 y 轴的平行线,交直线 BC 于点 N,当 MN＝3 时,求点 M 的坐标. 【解析】(1)由抛物线的对称轴 x＝3,利用二次函数的性质即可得到 a 的值,进而可得出抛物线的解 析式,再利用抛物线与 x 轴交点的纵坐标为 0 可求出点 A,B 的坐标；中小学教育教学资料(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标.由点 B,C 的坐标,利用待定系数法可得直线 BC 的解析式.设点 M 的横坐标为 m,可表示点 M 的纵坐标.又由 MN∥y 轴,可表示出点 N 的横纵坐标,进而可 用 m 的代数式表示出 MN 的长,结合 MN＝3 即可得出关于 m 的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可 得出结果.3321【答案】解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋2x＋4 的对称轴是直线 x＝3,∴－2a＝3,解得 a＝－4,13 ∴抛物线的解析式为 y＝－4x2＋2x＋4.13 当 y＝0 时,－4x2＋2x＋4＝0,解得 x ＝－2,x ＝8.12∴点 A 的坐标为(－2,0),点 B 的坐标为(8,0)；13 (2)当 x＝0 时,y＝－4x2＋2x＋4＝4,∴点 C 的坐标为(0,4). 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0). 将 B(8,0),C(0,4)代入 y＝kx＋b,得8k＋b＝0，1 k＝－2，b＝4， 解得 b＝4，1 ∴直线 BC 的解析式为 y＝－2x＋4.设点 M 的坐标为 m，－41m2＋32m＋4 ,则点 N 的坐标为 m，－12m＋4 ,∴MN＝ －41m2＋32m＋4－ －21m＋4＝ －41m2＋2m .又∵MN＝3,∴ －41m2＋2m ＝3.11当－4m2＋2m≥0,即0≤m≤8时,－4m2＋2m＝3,解得m ＝2,m ＝6,12此时点 M 的坐标为(2,6)或(6,4). 1同理,当－4m2＋2m＜0,即 m>8 或 m<0 时,点 M 的坐标为(4－2 7, 7－1)或(4＋2 7,－ 7－1).综上所述,点 M 的坐标为(2,6),(6,4),(4－2 7, 7－1)或(4＋2 7,－ 7－1).1.(2018·安顺中考改编)如图,已知抛物线 y＝ax ＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝－1,且抛物线 2中小学教育教学资料 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,其中 A(1,0),C(0,3).(1)若直线 y＝mx＋n 经过 B,C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴 x＝－1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,求出点 M 的坐标. 解：(1)依题意,得b －2a＝－1，a＋b＋c＝0，c＝3，a＝－1， 解得 b＝－2，c＝3，∴抛物线的解析式为 y＝－x －2x＋3.2令 y＝0,则－x －2x＋3＝0,2解得 x ＝1,x ＝－3,12∴点 B(－3,0).把 B(－3,0),C(0,3)代入 y＝mx＋n,得－3m＋n＝0，n＝3，m＝1， 解得 n＝3，∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3；(2)设直线 BC 与 x＝－1 的交点为 M,连接 AM.∵点 A,B 关于抛物线的对称轴对称,∴MA＝MB,∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC,∴当点 M 为直线 BC 与 x＝－1 的交点时,MA＋MC 的值最小.把 x＝－1 代入 y＝x＋3,得 y＝2,∴M(－1,2).二次函数与图形的面积7 例 2(2018·达州中考改编)如图,抛物线经过原点 O(0,0),A(1,1),B(2,0). (1)求抛物线的解析式； (2)连接 OA,过点 A 作 AC⊥OA 交抛物线于点 C,连接 OC,求△AOC 的面积.中小学教育教学资料【解析】(1)设交点式 y＝ax x－27 ,然后把 A 点坐标代入求出 a,即可得到抛物线的解析式；(2)延长 CA 交 y 轴于点 D,易得 OA＝ 2,∠DOA＝45°,则可判断△AOD 为等腰直角三角形,由此可求出D 点坐标,利用待定系数法求出直线 AD 的解析式,再结合抛物线的解析式可得关于 x 的一元二次方程,解方程可得点 C 的坐标,利用三角形面积公式及 S ＝S －S 进行计算,进而得出△AOC 的面积.△AOC△COD△AOD【答案】解：(1)设抛物线的解析式为 y＝ax x－27 .把 A(1,1)代入 y＝ax x－ 7 ,可得 a＝－25, 2∴抛物线的解析式为 y＝－25x x－27 ,27 即 y＝－5x2＋5x；(2)延长 CA 交 y 轴于点 D. ∵A(1,1),∠OAC＝90°,∴OA＝ 2,∠DOA＝45°, ∴△AOD 为等腰直角三角形,∴OD＝ 2OA＝2,∴D(0,2). 由点 A(1,1),D(0,2),得直线 AD 的解析式为 y＝－x＋2.27令－5x2＋5x＝－x＋2,解得x ＝1,x ＝5.12当 x＝5 时,y＝－x＋2＝－3,∴C(5,－3),11∴S△AOC＝S△COD－S△AOD＝2×2×5－2×2×1＝4.2.(2018·眉山中考改编)如图,已知抛物线 y＝ax ＋bx＋c 经过点 A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线 2l：x＝2,过点 A 作 AC∥x 轴交抛物线于点 C,∠AOB 的平分线交线段 AC 于点 E,点 P 是抛物线上的一个动点,设其横坐标为 m.中小学教育教学资料(1)求抛物线的解析式；(2)若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上,连接 PE,PO,当 m 为何值时,四边形 AOPE 的面积最大？并求出其最大值.解：(1)由抛物线的对称性易得 D(3,0),设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)(x－3).把 A(0,3)代入 y＝a(x－1)(x－3),得 3＝3a,解得 a＝1,∴抛物线的解析式为 y＝x －4x＋3； 2(2)由题意知 P(m,m －4m＋3). 2∵OE 平分∠AOB,∠AOB＝90°,∴∠AOE＝45°,∴△AOE 是等腰直角三角形,∴AE＝OA＝3,∴E(3,3).易得 OE 的解析式为 y＝x.过点 P 作 PG∥y 轴,交 OE 于点 G,则 G(m,m),∴PG＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3.∴S＝S ＋S四边形 AOPE△AOE△POE11＝2×3×3＋2PG·AE91 ＝2＋2×(－m2＋5m－3)×33 15 ＝－2m2＋ 2 m＝－3m－ 52 ＋78 5 .223 ∵－2＜0,575∴当 m＝2时,四边形 AOPE 的面积最大,最大值是 8 .二次函数与特殊三角形 3例 3(2018·枣庄中考改编)如图,已知二次函数 y＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图象与 y 轴交于点 A(0,4),与 x 轴交于点 B,C,点 C 坐标为(8,0),连接 AB,AC.(1)求二次函数的表达式；(2)若点 N 在 x 轴上运动,当以点 A,N,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点 N 的坐标.中小学教育教学资料【解析】(1)根据待定系数法即可得出答案； (2)分别以 A,C 两点为圆心,AC 长为半径画弧,与 x 轴交于三个点,由 AC 的垂直平分线与 x 轴交于一 个点,即可求得点 N 的坐标.3 【答案】解：(1)∵二次函数 y＝ax2＋2x＋c 的图象与 y 轴交于点 A(0,4),与 x 轴交于点 C(8,0),c＝4， ∴1 a＝－4，64a＋12＋c＝0，解得 c＝4，13 ∴二次函数的表达式为 y＝－4x2＋2x＋4；(2)∵A(0,4),C(8,0),∴AC＝ 42＋82＝4 5. ①以点 A 为圆心,AC 长为半径作圆,交 x 轴于点 N,则 AN＝AC,故△NAC 是以 NC 为底边的等腰三角形,此时 N 点坐标为(－8,0)；②以点 C 为圆心,AC 长为半径作圆,交 x 轴于点 N,则 CN＝CA,故△ACN 是以 NA 为底边的等腰三角形,此时 N 点坐标为(8－4 5,0)或(8＋4 5,0)； ③作 AC 的垂直平分线,交 x 轴于点 N,则 NA＝NC,故△ANC 是以 AC 为底边的等腰三角形,此时点 N 为13BC的中点.令y＝－4x2＋2x＋4＝0,解得x ＝8,x ＝－2,此时12N点坐标为(3,0).综上所述,点 N 在 x 轴上运动,当以点 A,N,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点 N 的坐标为(－ 8,0),(8－4 5,0),(3,0)或(8＋4 5,0).3.(2018·兰州中考)如图,抛物线 y＝ax ＋bx－4 经过 A(－3,0),B(5,－4)两点,与 y 轴交于点 C,连 2接 AB,AC,BC.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：AB 平分∠CAO；(3)抛物线的对称轴上是否存在点 M,使得△ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在,求出点 M 的坐标；若不存在,请说明理由.(1)解：将 A(－3,0),B(5,－4)代入 y＝ax ＋bx－4,得 29a－3b－4＝0， 25a＋5b－4＝－4，解得a＝1， 6 5b＝－6，中小学教育教学资料 ∴抛物线的表达式为 y＝16x2－56x－4；(2)证明：∵AO＝3,OC＝4, ∴AC＝5. 取 D(2,0),则 AD＝AC＝5. 由两点间的距离公式可知 BD＝ （5－2）2＋（－4－0）2＝5.∵C(0,－4),B(5,－4),∴BC＝5. ∴AD＝AC＝BD＝BC. ∴四边形 ACBD 是菱形, ∴∠CAB＝∠BAD,∴AB 平分∠CAO；(3)解：如图,抛物线的对称轴交 x 轴与点 E,交 BC 与点 F, 过点 A,B 分别作 M′A⊥AB,MB⊥AB,交对称轴于点 M′,M.5 抛物线的对称轴为 x＝2,11 AE＝ 5 . ∵A(－3,0),B(5,－4),∴tan∠EAB＝12 . ∵∠M′AB＝90°,∴tan∠M′AE＝2.∴M′E＝2AE＝11,∴M′ 25，11 . 同理,tan∠MBF＝2. 又∵BF＝52,∴FM＝5,∴M 25，－9 . 综上所述,抛物线的对称轴上存在点 M 25，11 或 25，－9 ,使得△ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形.二次函数与四边形中小学教育教学资料例 4(2018·河南中考改编)如图,抛物线 y＝ax ＋6x＋c 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C,直线 y＝x 2－5 经过点 B,C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点 A 的直线交直线 BC 于点 M,当 AM⊥BC 时,过抛物线上一动点 P(不与点 B,C 重合),作直线 AM的平行线交直线 BC 于点 Q,若以点 A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点 P 的横坐标；【解析】(1)利用直线 BC 的解析式确定点 B,C 的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)先利用抛物线的解析式求出 A 点坐标,再判断△OCB 为等腰直角三角形,继而得到∠OBC＝∠OCB＝45°,则△AMB 为等腰直角三角形,进而求出点 M 的坐标,根据抛物线和直线 BC 的解析式设点 P,Q 的坐标,根据平行四边形的对角线互相平分,即可列出等式方程,解方程即可得到点 P 的横坐标.【答案】解：(1)当 x＝0 时,y＝－5,则 C(0,－5).当 y＝0 时,y＝x－5＝0,解得 x＝5,则 B(5,0).把 B(5,0),C(0,－5)代入 y＝ax ＋6x＋c,得225a＋30＋c＝0， a＝－1，c＝－5，解得 c＝－5，∴抛物线的解析式为 y＝－x ＋6x－5；2(2)令 y＝－x ＋6x－5＝0,解得 x ＝1,x ＝5,212∴A(1,0).∵B(5,0),C(0,－5),∠BAC＝90°,∴△OCB 为等腰直角三角形,∴∠OBC＝∠OCB＝45°.又∵AM⊥BC,∴△AMB 为等腰直角三角形,22∴AM＝ 2 AB＝ 2 ×4＝2 2.∵以点 A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,∴AM∥PQ,∴PQ＝AM＝2 2,PQ⊥BC.作 PD⊥x 轴交直线 BC 于点 D,则∠PDQ＝45°,∴PD＝ 2PQ＝ 2×2 2＝4.设 P(m,－m ＋6m－5),则 D(m,m－5).2当点 P 在直线 BC 上方时,PD＝－m2＋6m－5－(m－5)＝－m ＋5m＝4,解得 m ＝1(舍去),m ＝4；212当点P在直线BC下方时,PD＝m－5－(－m2＋6m－5)＝m －5m＝4,解得 2m3＝5＋241,m4＝5－241 .综上所述,点 P 的横坐标为 4,5＋2 41或5－2 41.4.(2018·济宁中考改编)如图,已知抛物线 y＝ax ＋bx＋c(a≠0)经过点 A(3,0),B(－1,0),C(0,－3). 2中小学教育教学资料(1)求该抛物线的解析式；(2)若点 Q 在 x 轴上,点 P 在抛物线上,是否存在以点 B,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求点 P 的坐标；若不存在,请说明理由.9a＋3b＋c＝0，a＝1，a－b＋c＝0， 解得 b＝－2，解：(1)把 A(3,0),B(－1,0),C(0,－3)代入 y＝ax ＋bx＋c,得 2c＝－3，c＝－3，∴该抛物线的解析式为 y＝x －2x－3； 2(2)存在以点 B,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形.设直线 BC 的解析式为 y＝kx－3,把 B(－1,0)代入,得－k－3＝0,即 k＝－3,∴直线 BC 的解析式为 y＝－3x－3.设 Q(x,0),P(m,m －2m－3). 2当四边形 BCQP 为平行四边形时,BC∥PQ,且 BC＝PQ.由 B(－1,0),C(0,－3),得点 P 的纵坐标为 3,即 m －2m－3＝3,解得 m＝1± 7, 2此时 P(1＋ 7,3)或 P(1－ 7,3)；当四边形 BCPQ 为平行四边形或四边形是以 BC 为对角线的平行四边形时,点 P 的纵坐标为－3,即 m － 22m－3＝－3,解得 m＝0 或 m＝2,此时 P(2,－3).综上所述,存在以点 B,C,Q,P 为顶点的四边形是平行四边形,P 的坐标为(1＋ 7,3)或(1－ 7,3),(2, －3).二次函数与相似三角形例 5(2018·德州中考改编)如图,在平面直角坐标系中,直线 y＝x－1 与抛物线 y＝－x ＋bx＋c 交于 2A,B 两点,其中 A(m,0),B(4,n),该抛物线与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于另一点 D.(1)求 m,n 的值及该抛物线的解析式；中小学教育教学资料(2)连接 BD,CD,在线段 CD 上是否存在点 Q,使得以 A,D,Q 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在,请求出点 Q 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)把点 A,B 的坐标代入 y＝x－1 求出 m 与 n 的值,确定点 A,B 的坐标,然后代入 y＝－x ＋ 2bx＋c 求出 b 与 c 的值即可；(2)由点 C,D 的坐标易得直线 BC 的解析式为 y＝x－5,再由直线 AB 的解析式易得 AB∥CD,因此∠ADC＝∠BAD.分类讨论：当△DAQ∽△ABD 或△DQA∽△ABD 时,根据对应边成比例求出 DQ 的长,即可求出点 Q的坐标.【答案】解：(1)把点 A(m,0),B(4,n)代入 y＝x－1,得 m＝1,n＝3,∴A(1,0),B(4,3).∵y＝－x ＋bx＋c 经过 A,B 两点,2－1＋b＋c＝0，b＝6，∴ －16＋4b＋c＝3，解得 c＝－5，∴该抛物线的解析式为 y＝－x ＋6x－5； 2(2)在线段 CD 上存在点 Q,使得以 A,D,Q 为顶点的三角形与△ABD 相似.由(1)中结果可知 C(0,－5),D(5,0),∴直线 CD 的解析式为 y＝x－5.又∵直线 AB 的解析式为 y＝x－1,∴AB∥CD,∴∠BAD＝∠ADC.设 Q(x,x－5)(0≤x<5).AB AD 当△ABD∽△DAQ 时,DA＝DQ,3 即424 ＝DQ,解得8 DQ＝32,由两点间的距离公式,得(x－5)2＋(x－5) ＝ 282 32 ,解得x＝73或x＝233(舍去),此时Q37，－8；3AB AD当△ABD∽△DQA 时,DQ＝DA＝1,即 DQ＝3 2,∴(x－5)2＋(x－5)2＝(3 2) , 2解得 x＝2 或 x＝8(舍去),此时 Q(2,－3).综上所述,点 Q 的坐标为(2,－3)或 37，－8 . 35.(2018·深圳中考改编)已知顶点为 A的抛物线 y＝ax－ 12 －2经过点 B－23，2.2中小学教育教学资料(1)求抛物线的解析式；(2)如图,直线 AB 与 x 轴相交于点 M,与 y 轴相交于点 E,抛物线与 y 轴相交于点 F,在直线 AB 上有一点P,若∠OPM＝∠MAF,求△POE的面积.解：(1)把点B－23，2代入 y＝ax－12 －2,解得a＝1,∴抛物线的解析式为 y＝x－ 12 －2,22 7 即 y＝x2－x－4；(2)由(1)中结果得 A 21，－2 ,F 0，－7 .41－2＝2k＋b，k＝－2，设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b,由点 A,B 的坐标,得3解得2＝－2k＋b，b＝－1，∴直线 AB 的解析式为 y＝－2x－1, 3∴OE＝1,FE＝4.OP OE 1 4 若∠OPM＝∠MAF,则当 OP∥AF 时,△OPE∽△FAE,∴FA＝FE＝3＝3,444 ∴OP＝3FA＝3×1272 52－0 ＋ －2＋4 ＝ 3 .5 设点 P(t,－2t－1),则 OP＝ t2＋（－2t－1）2＝ 3 ,22即(15t＋2)(3t＋2)＝0,解得 t1＝－15,t2＝－3.2 由对称性知,当 t1＝15时,也满足∠OPM＝∠MAF,∴t ,t 的值都满足条件. 12 1∵S△POE＝2OE·|t|,2121∴当 t＝－15时,S△OPE＝2×1×15＝15；21 21当 t＝－3时,S△OPE＝2×1×3＝3.中小学教育教学资料 11 综上所述,△POE 的面积为15或3.毕节中考专题过关1.(2018·自贡中考改编)如图,抛物线 y＝ax ＋bx－3 过 A(1,0),B(－3,0)两点,直线 AD 交抛物线于 2点 D,点 D 的横坐标为－2,点 P(m,n)是线段 AD 上的动点.(1)求直线 AD 及抛物线的解析式；(2)过点 P 的直线垂直于 x 轴,交抛物线于点 Q,求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式,m 为何值时,PQ 最长？解：(1)把(1,0),(－3,0)代入 y＝ax ＋bx－3,得2a＋b－3＝0，a＝1，9a－3b－3＝0，解得 b＝2，∴抛物线的解析式为 y＝x ＋2x－3. 2当 x＝－2 时,y＝(－2) ＋2×(－2)－3＝－3, 2即 D(－2,－3).设直线 AD 的解析式为 y＝kx＋b′.将 A(1,0),D(－2,－3)代入,得k＋b′＝0，k＝1，－2k＋b′＝－3，解得 b′＝－1，∴直线 AD 的解析式为 y＝x－1；(2)由(1)可得 P(m,m－1),Q(m,m ＋2m－3), 2∴l＝(m－1)－(m ＋2m－3), 2即 l＝－m －m＋2(－2≤m≤1), 2配方,得 l＝－ m＋ 1 2＋49, 21 ∴当 m＝－2时,PQ 最长.中小学教育教学资料2.(2018·菏泽中考改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y＝ax ＋bx－5 交 y 轴于点 A,交 x 轴于 2点 B(－5,0)和点 C(1,0).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点,当点 P 运动到某一位置时,△ABP 的面积最大,求出此时点 P 的坐标和△ABP 的最大面积.解：(1)∵抛物线 y＝ax ＋bx－5 交 y 轴于点 A,交 x 轴于点 B(－5,0)和点 C(1,0),225a－5b－5＝0， a＝1，∴ a＋b－5＝0，解得 b＝4，∴该抛物线的解析式为 y＝x ＋4x－5； 2(2)设点 P 的坐标为(p,p ＋4p－5),如图. 2由点 A(0,－5),B(－5,0)得直线 AB 的解析式为 y＝－x－5. 当 x＝p 时,y＝－p－5. ∵OB＝5,∴S△ABP＝（－p－5）－2（p2＋4p－5）·55 ＝－2p＋252 －25.∵点 P 是直线 AB 下4 方的抛物线上一动点,∴－5＜p＜0,5 ∴当 p＝－2时,S 取得最大值,此时 S＝1825,点 P 的坐标是 －25，－345 ,中小学教育教学资料 即当点 P 的坐标为 －25，－345 时,△ABP 的面积最大,此时△ABP 的面积是1825.3.(2018·泰安中考改编 )如图,在平面直角坐标系中 ,二次函数 y＝ax ＋bx＋c 交 x 轴于点 A(－ 24,0),B(2,0),交 y 轴于点 C(0,6),在 y 轴上有一点 E(0,－2),连接 AE.(1)求二次函数的表达式；(2)抛物线对称轴上是否存在点 P,使△AEP 为等腰三角形？若存在,请求出所有 P 点坐标；若不存在,请说明理由.解：(1)∵二次函数 y＝ax ＋bx＋c 经过点 A(－4,0),B(2,0),C(0,6), 216a－4b＋c＝0，3 a＝－4，∴ 4a＋2b＋c＝0， 解得 c＝6，3 b＝－2， c＝6，33 ∴二次函数的表达式为 y＝－4x2－2x＋6；(2)在抛物线对称轴上存在点 P,使△AEP 为等腰三角形. 33∵抛物线 y＝－4x2－2x＋6 的对称轴为 x＝－1,∴设 P(－1,n).又∵E(0,－2),A(－4,0), ∴PA＝ 9＋n2,PE＝ 1＋（n＋2）2, AE＝ 16＋4＝2 5. 当 PA＝PE 时, 9＋n2＝ 1＋（n＋2）2, 解得 n＝1,此时 P(－1,1)； 当 PA＝AE 时, 9＋n2＝2 5, 解得 n＝± 11,此时 P(－1,± 11)； 当 PE＝AE 时, 1＋（n＋2）2＝2 5, 解得 n＝－2± 19,此时 P(－1,－2± 19). 综上所述,点 P 的坐标为(－1,1),(－1,± 11)或(－1,－2± 19).中小学教育教学资料1 4.(2018·上海中考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y＝－2x2＋bx＋c 经过点 A(－1,0) 和点 B 0，25 ,顶点为 C,点 D 在其对称轴上且位于点 C 下方,将线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90°,点 C 落在抛物线上的点 P 处.(1)求这条抛物线的表达式；(2)求线段 CD 的长；(3)将抛物线平移,使其顶点 C 移到原点 O 的位置,这时点 P 落在点 E 的位置,如果点 M 在 y 轴上,且以O,D,E,M 为顶点的四边形面积为 8,求点 M 的坐标.解：(1)把 A(－1,0),B 0， 5 代入 y＝－12x2＋bx＋c,得 21 － 2－b＋c＝0，b＝2，5 c＝2，解得 c＝52，15∴这条抛物线的表达式为 y＝－2x2＋2x＋2；19(2)∵y＝－2(x－2)2＋2,∴C 2，29 ,抛物线的对称轴为直线 x＝2.如图,设 CD＝t,则 D 2，29－t .由题意,得∠PDC＝90°,DP＝DC＝t, ∴P 2＋t，92－t .把 P 2＋t，92－t 代入 y＝－12x2＋2x＋52,可得t ＝0(舍去),t ＝2.12∴线段 CD 的长为 2；中小学教育教学资料(3)由(2)易知 P 4，25 ,D 2， 5 . 2∴平移后,E 点坐标为(2,－2). 设 M(0,m),则12· |m|＋25＋2 ·2＝8,7 ∴m＝±2,∴点 M 的坐标为 0，27 或 0，－7 . 25.(2018·绵阳中考改编)如图,已知抛物线 y＝ax ＋bx(a≠0)过点 A( 3,－3)和点 B(3 3,0).过点 A 2作直线 AC∥x 轴,交 y 轴于点 C. (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上取一点 P,过点 P 作直线 AC 的垂线,垂足为点 D.连接 OA,使得以 A,D,P 为顶点的三角形与△AOC 相似,求出对应点 P 的坐标.解：(1)把点 A( 3,－3),B(3 3,0)代入 y＝ax ＋bx,得 21a＝2，3a＋ 3b＝－3，解得27a＋3 3b＝0，b＝－3 2 3.1 33 ∴抛物线的解析式为 y＝2x2－ 2 x；(2)设P点坐标为x，12x2－323 x.1 33 ①若点 P 在直线 AD 上方,则 AD＝x－ 3,PD＝2x2－ 2 x＋3.OC CA 当△OCA∽△ADP 时,AD＝DP,33即＝,x－ 3 12x2－ 3 2 3x＋3∴x＝833 或x＝3(舍去),此时 P8334 ，－3；OC CA 当△OCA∽△PDA 时,PD＝DA,中小学教育教学资料即12x2－3 323 3x＋3＝x－, 3∴x＝4 3或 x＝ 3(舍去),此时 P(4 3,6)；②若 P 在直线 AD 下方,同理可得点 P 的坐标为4 3 10 3 ，－ 3.综上所述,点 P 的坐标为 8 3 3，－4 ,(4 33,6)或43310 ，－.6.如图,在⊙C 的内接△AOB 中,AB＝AO＝4,tan∠AOB＝34,抛3物线 y＝ax2＋bx 经过点 A(4,0),(－2,6).(1)求抛物线的函数解析式；(2)直线 m 与⊙C 相切于点 A,交 y 轴于点 D.动点 P 在线段 OB 上,从点 O 出发向点 B 运动；同时动点 Q在线段 DA 上,从点 D 出发向点 A 运动；点 P 的速度为每秒 1 个单位长度,点 Q 的速度为每秒 2 个单位长度.当 PQ⊥AD 时,求运动时间 t 的值.解：(1)∵抛物线 y＝ax ＋bx 经过点 A(4,0),(－2,6), 2∴16a＋4b＝0， 4a－2b＝6， 解得a＝21， b＝－2.1 ∴抛物线的解析式为 y＝2x2－2x.(2)连接 AC 交 OB 于点 E,由垂径定理得 AC⊥OB. ∵AD 为⊙C 的切线,∴AC⊥AD. ∴AD∥OB.∴∠AOB＝∠OAD.3 ∵tan∠AOB＝4 ,3 ∴tan∠OAD＝4 .中小学教育教学资料∴OD＝OA tan∠OAD＝4×34＝3. 当 PQ⊥AD 时,OP＝t,DQ＝2t. 过点 O 作 OF⊥AD 于点 F,则四边形 OFQP 是矩形. ∴DF＝DQ－FQ＝DQ－OP＝2t－t＝t. ∵∠DOF＋∠AOF＝∠OAF＋∠AOF＝90°, ∴∠DOF＝∠OAF. ∴tan∠DOF＝ODFF＝tan∠OAD＝34 .4 ∴OF＝3DF. 在 Rt△ODF 中,OD＝3,OF＝43DF,OD2＝OF2＋DF2,∴32＝( DF)2＋DF2.∴DF＝1.8.∴t＝1.8(s).。
2019年中考数学第二轮专题复习 二次函数和几何图形综合 含解析
函数与几何综合1．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x 轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．（3）已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．4．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．6．如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．9．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．11．如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB 交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．12．两条抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同．（1）求抛物线C2的解析式；（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（﹣1，﹣4），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③在①的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN 交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A （0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x 轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y 轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．19．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝x+n．①求抛物线的解析式．②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．③过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．△PAM22．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A （2，0）．（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A 的交点；（3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．25．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A （﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC ＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．27．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．28．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．29．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m 为何值时PN有最大值，最大值是多少？30．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．31．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）32．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．参考答案与试题解析一．解答题（共32小题）1．【分析】（1）C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，将点A的坐标代入C2的表达式，即可求解；（2）作点C关于C1对称轴的对称点C′（﹣1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小，即可求解；（3）S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+，即可求解．【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，∵﹣＜0，故x＝，S△MOC最大值为．【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．2．【分析】（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即可；（3）分当时、当时两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．设点P坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）在Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°，在Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°，∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3，过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°，过点P作PQ⊥y轴于点G，∵∠PQA＝∠APQ＝90°∠PAG＝∠QAP，∴△PGA∽△QPA∵∠PGA＝∠ACB＝90°∴①当时，△PAG∽△BAC，∴＝，解得x1＝1，x2＝0，（舍去）∴点P的纵坐标为×12+×1+3＝6，∴点P为（1，6）；②当时，△PAG∽△ABC，∴＝3，解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），∴此时无符合条件的点P综上所述，存在点P（1，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用等知识点，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．【分析】（1）待定系数法将已知点的坐标分别代入得方程组并解方程组即可求得抛物线的表达式；（2）先求得C1（0，1），再由待定系数法求得直线C1B解析式y＝﹣x+1，设M（t，+1），得S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，由二次函数性质即可得到结论；（3）以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形要分两种情况进行讨论：①C1C为边，②C1C为对角线．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：∴该抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1．（2）在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝0，y＝﹣1，∴C（0，﹣1）∵点C关于x轴的对称点为C1，∴C1（0，1），设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B（2，0），C1（0，1）分别代入得，解得，∴直线C1B解析式为y＝﹣x+1，设M（t，+1），则E（t，0），F（0，+1）∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝，此时，M（1，）；即点M为线段C1B中点时，S矩形最大．MFOE（3）由题意，C（0，﹣1），C1（0，1），以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P（m，m+1），Q（m，﹣m﹣1），∴|（﹣m﹣1）﹣（m+1）|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0（舍），P1（4，3），Q1（4，5）；P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）；P3（2，2），Q3（2，0）②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为（0，0），∴PQ的中点为（0，0），设P（m，m+1），则Q（﹣m，+m﹣1）∴（m+1）+（+m﹣1）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P4（﹣2，0），Q4（2，0）；综上所述，点P和点Q的坐标为：P1（4，3），Q1（4，5）或P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）或P3（2，2），Q3（2，0）或P4（﹣2，0），Q4（2，0）．【点评】本题属于中考压轴题类型，主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的最值运用，平行四边形性质等，解题关键要正确表示线段的长度，掌握分类讨论的方法．4．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解；（2）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×＝2，即可求解；（3）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解；（4）利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴BD＝BC＝×＝2，y D＝BD sin∠CBO＝2，则点D（﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y＝x+3，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．5．【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣2，5），B（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y ＝ax2+bx+c得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，求出C′H的长，可得∠C′BH＝60°，求出DH的长，则D坐标可求；（3）由题意可知△C′CB为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．证出△BCQ≌△C′CP，可得BP垂直平分CC′，则D 点在直线BP上，可求出直线BP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）由题意得：解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为（1，2），tan，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，∴点D的坐标为（1，）．（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝．②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．∴∠BCP＝∠C′CQ，∴△BCP≌△C′CQ（SAS），∴∠CBP＝∠CC′Q，∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，∴．∴∠CBP＝30°，设BP与y轴相交于点E，在Rt△BOE中，OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1×，∴点E的坐标为（0，﹣）．设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝﹣．综上所述，直线BP的函数表达式为或．【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．6．【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，，解得a＝﹣1，c＝3，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•（x B﹣x H）＝MK•（x B﹣x A）＝××3＝，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；（3）存在点F，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，由题意可列：，解得，a＝，∴F（1，）．【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．7．【分析】（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；（2）由题意先求出D点坐标为（2，3），求出直线AC的解析式，设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3），则EF＝﹣a2+3a，四边形CEDF的面积可表示为，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；（3）当△PCQ∽△CAP时，可得∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ＝∠OCA＝45°，则PQ∥AC，∠BCO＝∠PCA，过点P作PM⊥AC交AC于点M，可求出PM、PA、OP的长，用待定系数法可求出函数解析式．【解答】解：（1）由题意得：，∴b＝2，c＝3，（2）①如图1，∵点C关于直线x＝1的对称点为点D，∴CD∥OA，∴3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴D（2，3），∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（﹣1，0），A（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3），∴EF＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，四边形CEDF的面积＝S△EFC+S△EFD＝＝＝﹣a2+3a＝，∴当a＝时，四边形CEDF的面积有最大值，最大值为．②当△PCQ∽△CAP时，∴∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ，∴PQ∥AC，∵C（0，3），A（3，0），∴OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝∠PCQ＝45°，∴∠BCO＝∠PCA，如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M，∴，设PM＝b，则CM＝3b，AM＝b，∵，∴，∴，∴，∴，∴，设直线l的解析式为y＝﹣x+n，∴，∴．∴直线l的解析式为y＝﹣x+．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．8．【分析】（1）把点A、C坐标及对称轴x＝2代入二次函数表达式，即可求解；（2）求出直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），由S△AOC＝＝6，×＝3，即可求解；（3）分△DEO∽△AOC、△BED∽△AOC两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由已知得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣6；（2）联立，解得：x＝﹣，直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），S△AOC＝＝6，由题意得：×＝3，解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10），∴m＝﹣2；（3）∵OA＝2，OC＝6，∴，①当△DEB∽△AOC时，则，如图1，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，则Rt△BEG∽Rt△EDF，则，则BG＝3EF，设点E（h，k），则BG＝﹣k，FE＝h﹣2，则﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h，∵点E在二次函数上，故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6），则点E（4，﹣6）；②当△BED∽△AOC时，，过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，则Rt△BEN∽Rt△EDM，则，则NB＝EM，设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2，则﹣q＝（p﹣2），解得：p＝或（舍去）；故点E坐标为（4，﹣6）或（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．9．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP ＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x 轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°。
2019届中考数学复习 专项二 解答题专项 十、二次函数与几何图形综合题课件
【问题探究】 (1)如图14，顺次连接AB，BC，CA，分别过A，B，C作 对边的平行线，三条平行线交点即为所求点P。
解答题专项
(2)对于已知两点，求两点C，P，题目中的C，P两动点位置受某种条件约束。如图 15，若以AB为一边，根据题目约束条件，可将AB进行上 下左右平移，找到适合条件的两个点的坐标。如 图16，若以AB为对角线，找出AB中点，旋转经过 中点的直线，寻找适合条件的两个点的坐标。
专项二解答题专项
十、二次函数与几何图形 综合题（针对陕西中考第
24题）
解答题专项
中考解读：中考解读：二次函数与几何图形综合题为陕西中考解答题必考题，题 位为第24题，分值为10分，涉及求点的坐标、求函数解析式（利用待定系数法）、 三角形的全等和相似的性质和判定、等腰三角形和直角三角形的性质和判定、特 殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的性质和判定、点的存在性、两 点之间线段最短、垂线段最短、面积的最值等。这类题目结构新颖，形式美观、 动静结合、解法活而不难，但有较强的综合性，要逐步突破。其主要考查类型为 （1）二次函数与图形判定；（2）二次函数与相似三角形（全等三角形）；（3） 二次函数与图形面积；（4）二次函数与图形变换；（5）二次函数与最值问题。
【问题解决】 (1)用四顶点坐标公式解决“三定一动”平行四边形存在性问题的方法，直接利用平 行四边形四顶点坐标模型为等量关系列方程求出P点坐标；(2)转化成点的平移(平行) 的几何模型求出点的坐标。 (2)用四顶点坐标模型解决“两定两动”平行四边形存在性问题的方法：首先确定已 知两个点坐标，设出一个特殊位置的动点坐标。然后确定相对顶点，分三种情况分 类讨论，把第四个点的坐标用含有未知数的代数式表示。最后代入相应的函数关系 式即可求出待定点的坐标。
2019年中考数学专题复习专题5二次函数与几何图形课件
∴∠OBC=∠OCB=45°∵AM⊥BC，∴△AMB是等腰直角三角形，
∴AM＝ AB＝ ×4＝2 .
∵以点A，M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ＝AM＝2 ，PQ⊥BC.
作PD⊥x轴交直线BC于点D，如图1.
则∠PDQ＝45°，m－5）.
经过A，B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，
交线段AB于点E，使PE＝ 1 DE.
①求点P的坐标；
2
②在直线PD上是否存在点M，
使△ABM为直角三角形？
若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
2．[2018·德州]如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛 物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，其中A(m，0)，B(4，n)，该抛 物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D. (1)求m，n的值及该抛物线的解析式； (2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A，D重合)，分别以AP， DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN， 连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标； (3)如图3，连接BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D， Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由．
2019届中考数学复习专项二解答题专项十二次函数与几何图形综合题练习
二次函数与几何图形综合题满分训练类型1 二次函数与图形判定1.（xx·陕西中考）在同一平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2-2x-3与抛物线C2：y=x2+mx+n 关于y轴对称，C2与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧。
（1）求抛物线C1，C2的函数解析式；（2）求A，B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由。
2.如图，抛物线C1:y=x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2,0），将抛物线C1向右平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2,C2与x轴交于A，B(点A在点B的左边)，交y轴于点C。
（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD,当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；（3）若抛物线C2的对称轴上存在点P，使△PAC为等边三角形，请直接写出m的值。
3.如图，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知A（3,0），且M8 1,3⎛⎫-⎪⎝⎭是抛物线上另一点。
（1）求a，b的值；（2）连接AC,设点P是y轴上任意一点，若以P，A，C为顶点的三角形为等腰三角形，求P 点坐标。
4.（xx·甘肃中考节选）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图像经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）。
点P是直线BC上方的抛物线上一动点。
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的解析式；（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C。
若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标。
5.（xx·某铁一中摸拟）在平面直角坐标系中，抛物线C1∶y=-12x2+3与x轴交于A,B两点，其中点A在点B的左侧，抛物线C1的顶点为M。
2019年中考数学总复习题型突破七二次函数与几何图形的综合问题课件
图 Z7-1
【分层分析】 以四个点为四边形的顶点,构成的四边形是菱形,其实质隐含着两种情况:①以其中的一边作为菱形的边,对图形 可能出现的情形进行分析讨论;②以其中的一边作为菱形的对角线,对图形可能出现的情形进行分析讨论.
类型1 与三角形、四边形的形状有关的问题
解: (5)可能存在两种情况.
情况一:CM 为菱形的边长.
③若 GB=GC,则 32 + ������2= 12 + (4-������)2, 解得 m=1,∴G5(1,1).
类型1 与三角形、四边形的形状有关的问题
例 1 如图 Z7-1,抛物线与 x 轴相交于点 A(-2,0),点 B(4,0),点 D(2,4),与 y 轴交于点 C,直线 y=kx+b 经过点 B 和点 C,连接 AC,CD. (4)点 H 是 x 轴上一点,若以 A,C,D,H 为顶点的四边形是平行四边形,求点 H 的坐标.
【分层分析】 结合图形及 CD 的长求解,注意分情况讨论 .
图 Z7-1
解:(4)因为 CD=2,要使以 A,C,D,H 为顶点的四边形是平行四边形,则点 H 的坐标为(0,0)或(-4,0).
类型1 与三角形、四边形的形状有关的问题
例1 如图 Z7-1,抛物线与 x 轴相交于点 A(-2,0),点 B(4,0),点 D(2,4),与 y 轴交于点 C, 直线 y=kx+b 经过点 B 和点 C,连接 AC,CD. (5)点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方,点 N 在直线 BC 上,点 P 为第一象限内抛物线上一点. 若以点 C,M,N,P 为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
图 Z7-2
四边形 BPOH 不能成为正方形,因为菱形 BPOH 的对角线长分别为 6 和 8,不相等,所以该菱形不是正方形.
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十、二次函数与几何图形 综合题（针对陕西中考第
24题）
1
解答题专项
中考解读：中考解读：二次函数与几何图形综合题为陕西中考解答题必考题，题 位为第24题，分值为10分，涉及求点的坐标、求函数解析式（利用待定系数法）、 三角形的全等和相似的性质和判定、等腰三角形和直角三角形的性质和判定、特 殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的性质和判定、点的存在性、两 点之间线段最短、垂线段最短、面积的最值等。这类题目结构新颖，形式美观、 动静结合、解法活而不难，但有较强的综合性，要逐步突破。其主要考查类型为 （1）二次函数与图形判定；（2）二次函数与相似三角形（全等三角形）；（3） 二次函数与图形面积；（4）二次函数与图形变换；（5）二次函数与最值问题。
解得m=76,所以P2
7 6
,
0
பைடு நூலகம்
。
6
解答题专项
几何模型二、“一圆两线”法：精确定位“两定一动”型直角三角形存在性问题 中的动点坐标。 【问题情境】 如图⑨，已知点A，B和直线l，在l上求作点P， 使△PAB为直角三角形。
【问题探究】 如图⑩，先以AB为直径作圆与直线l相交、再分别过A，B作线段AB的垂线，垂线 和圆与直线l的交点即为所求的P点。
【简析】本例可采用“代数法”，借助两点距离公式，用勾股定理建立等 量模型，分类讨论求解。也可采用“一圆两线”法。 方法一：代数法。利用两点距离公式分别表示出AB，AC，BC，然后利用勾 股定理建立等量关系即可解决问题。
8
解答题专项
方法二：“一圆两线”法。如图12，精确画图后，利用相似或勾股定理求出符合条 件的点的坐标。 【通解通法】解特殊三角形点的存在性问题有两种方法：(1)代数法 盲解盲算，代数法一般分三步：罗列三边长、分类列方程(等量关系 有勾股定理、相似、三角函数等)、求解并检验。(2)几何法：即 “两圆一线”和“一圆两线”精准定位，分三步：分类、画图、计 算。解题过程中，二者有效结合，有力彰显数形结合思想。 几何模型三、“平行线构造”法：精确确定“三定一动”型或“两定两动”型特殊 四边形(包括菱形、矩形、正方形，这里以平行四边形为例)存在性问题
5
解答题专项
几何模型特例一
在平面直角坐标系中，已知点A(-3,0)，B(0,4),在x轴上找一点P,使△ABP为等腰
三角形，求满足条件的所有P点坐标。
方法一：代数法。由于动点P在x轴上，设P(m,0),由两点距离公式表示AB,AP,BP，
然后列方程可得。
举一反三:如果P点在坐标轴上，满足条件的点有几个？
4
解答题专项
几何模型一、两圆一线法：精确定位“两定一动”型等腰三角形（含等边三角形） 存在性问题中的动点坐标。
【问题情境】 如图⑥，已知点A，B和直线l，在l上求作点P，使△PAB为等腰三角形。 【问题探究】 如图⑦，分别以点A，B为圆心，以线段AB为半径作圆，再作 线段AB的中垂线，两圆和AB的中垂线分别与直线l的交点均 为符合条件的P点。 【问题解决】 利用 “两圆一线”法确定符合条件的动点，然后分别表示出 点A,B,P的坐标，再表示出线段AB,AP,BP的长度，由三条线段 关系(AB=AP或AB=BP或PA=PB)建立等量关系，解决问题。等量关系可利用： (1)勾股定理建立;(2)方程思想建立；(3)成比例线段或相似关系建立。
【问题情境】 如图13，已知平面内不共线的三点A，B，C或两点A，B，求作一点或两点C，P,使 得A，B，C，P四个点组成平行四边形。
【问题探究】 (1)如图14，顺次连接AB，BC，CA，分别过A，B，C作 对边的平行线，三条平行线交点即为所求点P。
9
解答题专项
(2)对于已知两点，求两点C，P，题目中的C，P两动点位置受某种条件约束。如图 15，若以AB为一边，根据题目约束条件，可将AB进行上 下左右平移，找到适合条件的两个点的坐标。如 图16，若以AB为对角线，找出AB中点，旋转经过 中点的直线，寻找适合条件的两个点的坐标。
方法二：“两圆一线”法精确定位，可直接口算出圆与x轴交点坐标，“一线”与x
轴交点坐标可用勾股定理构建方程求解。如图⑧，
由勾股定理可知AB=5,当AB=AP1=AP3=5时，易得P1(-8，0)，
P3(2,0)；当AB=BP4时，P4(3,0)；当AP2=BP2时，设在
Rt△P2OB中，P2(m,0),由勾股定理，得(m+3)2=m2+42。
【问题解决】 分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，AP，BP的长度，根据图形特殊 性分别建立等量关系。等量关系可利用：(1)AB2=AP2+BP2或AP2=AB2+BP2或 BP2=AB2+AP2，即勾股定理；(2)相似(常见一线三等角)；(3)三角函数。
7
解答题专项
几何模型特例二 如图11，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,0)，B(0,4),在坐标轴上找一 点C,使△ABC为直角三角形，求满足条件的所有C点坐标。
【问题解决】 (1)用四顶点坐标公式解决“三定一动”平行四边形存在性问题的方法，直接利用平 行四边形四顶点坐标模型为等量关系列方程求出P点坐标；(2)转化成点的平移(平行) 的几何模型求出点的坐标。 (2)用四顶点坐标模型解决“两定两动”平行四边形存在性问题的方法：首先确定已 知两个点坐标，设出一个特殊位置的动点坐标。然后确定相对顶点，分三种情况分 类讨论，把第四个点的坐标用含有未知数的代数式表示。最后代入相应的函数关系 式即可求出待定点的坐标。
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解答题专项
几何模型特例三 如图17，在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(2,2)，C(0,3)。在坐 标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形。
类型1 二次函数与图形判定
核心素养及解题思想和方法 1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。 2.数形结合思想和分类讨论思想。 3.常用解题方法：代数法和几何法。
2
解答题专项
代数模型一、平面直角坐标系中两点距离公式
代数模型二、中点坐标公 式
3
解答题专项
代数模型三、平行四边形四顶点坐标模型