辽宁庄河市高级中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(文)试题及精品解析

庄河高中2018—2019学年度下学期高二期初考试文科数学试题一、选择题（每小题只有一个正确选项，每题5分，共计60分）1.复数满足，则复数的共轭复数在复平面中对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先由复数的除法运算求出，得到其共轭复数，进而可得出结果.【详解】因为，所以，故，因此在复平面中对应的点为，位于第二象限.故选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及复数的几何意义，熟记运算法则与几何意义即可，属于基础题型.2.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据零点的存在定理，逐项判断即可得出结果.【详解】因为，所以，，,，，故，排除A；，排除B；，排除C；，故选D【点睛】本题主要考查函数的零点，熟记零点的存在定理，属于常考题型.3.已知，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由求得，然后利用二倍角的余弦公式求解即可.【详解】因为，所以-,，，故选D.【点睛】本题主要考查诱导公式以及二倍角的余弦公式，属于中档题.“给值求值”问题：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．4.已知向量，且，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量垂直的充要条件可得：，从而可得结果.【详解】因为向量，且，所以由向量垂直的充要条件可得：，解得，即的值为，故选A.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5.若实数，满足约束条件，则的最大值是（）A. 3B. 7C. 5D. 1【答案】B【解析】【分析】先根据约束条件作出可行域，再由表示直线在轴上的截距，结合图像即可得出结果. 【详解】由约束条件作出可行域如下：由可得，因此表示直线在轴上的截距，由图像易得，当直线经过点时，截距最大，即取最大值.由可得.因此.故选B【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.6.在等差数列中，，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】利用a1+a9 =a2+a8，将与作和可直接得.【详解】在等差数列{a n}中，由与作和得：=（）+-（）∴a1+a9 =a2+a8，∴==6．∴a5=6．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．7.偶函数在上是增函数，且，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由偶函数在上是增函数，可得函数在上是减函数，结合，原不等式转化为，根据绝对值不等式的解法与指数函数的性质可得结果.【详解】因为偶函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，由且满足，等价于，，可得，实数的取值范围是,故选A.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.8.在中，三个内角，，，所对边为，，，若，则一定是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根据正弦定理将化为，从而可得或，进而可得出结果.【详解】因为，所以，即，即，所以或，因此，或.故一定是等腰三角形或直角三角形.故选D【点睛】本题主要考查判断三角形的形状，熟记正弦定理即可，属于基础题型.9.如图，已知正方体的棱长为1，点为上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是（）A. 平面平面B.平面C. 当为的中点时，的周长取得最小值D. 三棱锥的体积不是定值【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面垂直判定，可知A正确；由直线与平面平行可知B正确；根据两点距离最短，可得C正确；由三棱锥等体积法可求得，可知D错误。

【详解】平面是始终成立的，故选项A正确；平面，所以选项B正确；平面展开到平面在同一个平面，则当为的中点时，最小，故选项C正确；，故选项D不正确.【点睛】本题考查了直线与平面垂直、直线与平面平行的判定，等体积法在求三棱锥体积中的应用，属于基础题。

10.已知函数(，e是自然对数的底数)在处取得极小值，则的极大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出原函数的导函数f′（x），由f′（0）=0解得m=0．可得函数解析式，由导函数大于0和小于0得到原函数的单调区间，进而求得极大值.【详解】由题意知，f′（x）=[x2+（2﹣m）x﹣2m]e x，由f′（0）=﹣2m=0，解得m=0．此时f（x）=x2e x，f′（x）=（x2+2x）e x，令f′（x）=0，解得x=0或x=-2，且函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调递减区间是（﹣2，0）所以函数f（x）在x=-2处取得极大值，且有f（-2）=故选A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查数学转化思想方法，是中档题．11.已知点为双曲线的右焦点，直线交于两点，若，，则的虚轴长为（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】【分析】左焦点，，根据对称性得，。

设出，，结合余弦定理即可求得，结合，即可求得，进而得到虚轴长。

【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，由对称性可知四边形是平行四边形，所以，，设，，则，又，故，又，所以，则该双曲线的虚轴长为.故选C【点睛】本题考查了双曲线定义及性质的综合应用，余弦定理的基本应用，三角形面积的求法，属于中档题。

12.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先设，对求导，结合题中条件，判断的单调性，再根据函数为奇函数，得到的奇偶性，进而可得出结果.【详解】设，则，因为当时，，所以当时,，即；当时,，即；所以在上单调递增，在上单调递减；又函数为奇函数，所以，因此，故函数为偶函数，所以，，，因为在上单调递减，所以，故.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数的单调性与奇偶性即可，属于常考题型.二、填空题（每题5分，共计20分）13.已知，且，则的最小值为___________．【答案】4【解析】【分析】由基本不等式可得，结合条件，即可得出结果.【详解】因为，且，所以，当且仅当，即时，取等号.故答案为【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的问题，熟记基本不等式即可，属于基础题型.14.若方程有两个不等实根，且，则实数的取值范围是_________________．【答案】【解析】【分析】先设，根据方程根的分布可得，求解即可得出结果.【详解】设，因为若方程有两个不等实根，且，所以，即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布，熟记判定条件即可得出结果，属于常考题型.15.数列满足，，则= ；【答案】试题分析：∵数列{a n}满足a1=2，，∴===,故答案为考点：累加法求和；等比数列的前n项和公式.16.已知函数在上不是单调函数，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】先求出函数在上是单调函数时，的取值范围，在求其补集即可得出结果.【详解】因为，则，若函数在上是单调递增的函数，则在上恒成立，即在上恒成立，因此；若函数在上是单调递减的函数，则在上恒成立，即在上恒成立，因此；因为函数在上不是单调函数，所以.故答案为【点睛】本题主要考查根据函数单调性求参数的问题，通常需要对函数求导，用分离参数的方法求解，属于常考题型.三、解答题：（应写出必要的文字说明及解答过程，只写结果不给分）17.在锐角中，，，为内角，，的对边，且满足．（）求角的大小．（）已知，边边上的高，求的面积的值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（）由，利用正弦定理和三角函数的恒等变换，可得，即可得到角的值；（）由三角形的面积公式，代入，解得的值，及的值，再根据余弦定理，求得的值，由三角形的面积公式，即可求解三角形的面积.试题解析：（）∵，由正弦定理得，∴，，∵且，∴，∵，．（）∵，代入，，，得，由余弦定理得：，代入，得，解得，或，又∵锐角三角形，∴，∴，∴18.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）本题求等差数列与等比数列的通项公式，可先求得首项（）和公差（公比），然后直接写出通项公式，这种方法称为基本量法；（2）由于，可以看作是一个等差数列与等比数列对应项相乘所得，其前项和用乘公比错位相减法可求．试题解析：（1）由题意知：∴∴（2）由（1）知：∵（1）∴（2）由（1）（2）得：∴考点：等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法．19.已知圆，直线与圆相交于不同的两点，点是线段的中点。

（1）求直线的方程；（2）是否存在与直线平行的直线，使得与与圆相交于不同的两点，不经过点，且的面积最大？若存在，求出的方程及对应的的面积S；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由圆的方程得到圆心坐标，根据点是线段的中点，即可求出斜率，进而可得直线方程；（2）先设直线方程为：，根据点到直线的距离得到：到的距离，进而可表示出的面积，结合基本不等式即可得出结果.【详解】（1）圆C：可化为，则，而是弦的中点，所以，所以斜率为，则方程为：；（2）设直线方程为：，即，则到的距离，所以，所以的面积，当且仅当，即时的面积最大，最大面积为2，此时，，或，的方程为【点睛】本题主要考查直线与圆的综合，熟记直线方程、点到直线距离公式等即可求解，属于常考题型.20.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析:(1) 由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC,根据线面平行的判定定理得证;(2)由CC1⊥平面ABC,可得AC⊥CC1，又因为AC⊥BC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCC1B1，进而可得B1C⊥AC,又BC1⊥B1C,证得BC1⊥平面B1AC,故命题成立.试题解析:(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.点睛:本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理,属于中档题目.垂直、平行关系在证明题中经常应用转化与化归思想的常见类型有:(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21.已知椭圆过点，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分，求的值．【答案】（1）；（2）2【解析】试题分析：（Ⅰ）由题可得，，及求出，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）由题可得直线的方程是.联立方程组消去，得因为轴平分，所以.所以所以结合韦达定理可求的值试题解析：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，过点，离心率，所以，所以由，得所以椭圆的标准方程是（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点作斜率为直线，所以直线的方程是.联立方程组消去，得显然设点，，所以，因为轴平分，所以.所以所以所以所以所以所以所以所以因为，所以22.已知，且函数与在处的切线平行．（1）求函数在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，解得，最后利用点斜式求切线方程，（2）先化简不等式为恒成立，再利用导数研究单调性，并确定最小值，即得实数的取值范围.【详解】(I)，因为函数与在处的切线平行所以解得所以所以函数在处的切线方程为.（Ⅱ)解当时，由恒成立得时，即恒成立设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以的取值范围为.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.。