20140616 三角形 复习题
三角形知识点总复习有答案
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定得出AC∥DE，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
∵∠1=∠2，
∴AC∥DE，故①正确；
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，
12．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三条边的比为2∶3∶4B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2
C．三条边的比为1∶1∶ D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】
A、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形；
∴CE＝ AE＝4，
∴AE＝8．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．
9．如图， 的对角线 与 相交于点 ， ， ，若 ．则 的长为（）
A．3B． C． D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据勾股定理解 求得 ，再根据平行四边形的性质求得 ，然后根据勾股定理解 、平行四边形的性质即可求得 ．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
3．如图，11∥l2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为()
三角形经典复习(含答案)
三角形经典复习题一．选择题（共12小题）1．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）3．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC4．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（）A．10 B．8 C．6 D．47．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A．B．C．D ．8．如图，P 为边长为2的正三角形内任意一点，过P 点分别作三边的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，则PD +PE +PF 的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．29．如图，△ABC 的面积为20，点D 是BC 边上一点，且BD=BC ，点G 是AB 上一点，点H 在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2010．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，连接BE 、BF 、EF ．若四边形ABCD 的面积为6，则△BEF 的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．3二．填空题（共14小题）11．如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE= ．12．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = ．13．如图，在△ABC 中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF的平分线交于点E ，则∠AEC= ．14．如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上，若AD ⊥BC ，BC=3，AD=2，EF=EH ，那么EH 的长为 ．15．在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，点D （不与B ，C重合）是BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a ，则△DEF 的周长为 （用含a 的式子表示）．16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为．17．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=cm．18．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=．19．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．20．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2017次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．21．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．22．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为．23．在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为．24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则四边形ABCD的面积为=，BD的长为．三．解答题（共4小题）25．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．26．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF 的面积）．27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE ⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．28．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE 中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定【解答】解：设空白出图形的面积为x，根据题意得：m+x=9，n+x=6，则m﹣n=9﹣6=3．故选B．2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）【解答】解：作∠E的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等，因为AB=CD，所以此时点P满足S=S△PCD．△PAB故选D．3．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC【解答】解：如图过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴=，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴=，∴AB：AC=BD：CD．故选：A．4．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D．5．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．∴AB=2，①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4），∵点（0，4）与直线AB共线，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．故选A6．如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC 的面积是（）A ．10B ．8C ．6D ．4【解答】解：如图，延长BD 交AC 于点E ，∵AD 平分∠BAE ，AD ⊥BD ，∴∠BAD=∠EAD ，∠ADB=∠ADE ，在△ABD 和△AED 中，，∴△ABD ≌△AED （ASA ），∴BD=DE ，∴S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE ，∴S △ABD +S △BDC =S △ADE +S △CDE =S △ADC ，∴S △ADC ═S △ABC =×12=6，故选C ．7．如图，在下列三角形中，若AB=AC ，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、中作∠B 的角平分线即可；C 、过A 点作BC 的垂线即可；D 、中以A 为顶点AB 为一边在三角形内部作一个72度的角即可；只有B 选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．故选B．8．如图，P为边长为2的正三角形内任意一点，过P点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则PD+PE+PF的值为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：如图，连接PA、PB、PC，，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC的面积为：；∵S ABC=S APB+S APC+S BPC=×2×PD+×2×PF+×2×PE=PD+PE+PF∴PD+PE+PF=，即PD+PE+PF的值为．故选：B．9．如图，△ABC的面积为20，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（）A ．5B ．10C ．15D ．20【解答】解：设△ABC 底边BC 上的高为h ，△AGH 底边GH 上的高为h 1，△CGH 底边GH 上的高为h 2，则有h=h 1+h 2，S △ABC =BC•h=2，∴S 阴影=S △AGH +S △CGH =GH•h 1+GH•h 2=GH•（h 1+h 2）=GH•h ．∵四边形BDHG 是平行四边形，且BD=BC ，∴GH=BD=BC ，∴S 阴影=×（BC•h ）=S △ABC =5． 故选A ．10．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，连接BE 、BF 、EF ．若四边形ABCD 的面积为6，则△BEF 的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．3【解答】解：连接AC ，过B 作EF 的垂线交AC 于点G ，交EF 于点H ，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC===4，∵△ABC 为等腰三角形，BH ⊥AC ，∴△ABG ，△BCG 为等腰直角三角形，∴AG=BG=2∵S△ABC=•AB•BC=×2×2=4，∴S△ADC=2，∵=2，∵△DEF∽△DAC，∴GH=BG=，∴BH=，又∵EF=AC=2，∴S△BEF=•EF•BH=×2×=，故选C．方法二：S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED，易知S△ABE +S△BCF=S四边形ABCD=3，S△EDF=，∴S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED=6﹣3﹣=．故选C．二．填空题（共14小题）11．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3．【解答】解：△ABE 和△ACD 中，，∴△ABE ≌△ACD （AAS ），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB ﹣AD=3，故答案为3．12．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = 4：5：6 ．【解答】解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，作OE ⊥AC 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ， ∵OA ，OB ，OC 是△ABC 的三条角平分线，∴OD=OE=OF ，∵△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO =（AB•OD ）：（BC•OF ）：（AC•OE ）=AB ：BC ：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．13．如图，在△ABC 中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC= 70° ．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案为：70°．14．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．【解答】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴，解得：x=，则EH=．故答案为：．15．在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a（用含a的式子表示）．【解答】解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，则BE=EF=a，∴BF=2a，∵∠B=30°，∴DF=BF=a，∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；故答案为：3a．16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴CD=AD，∴AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BCD中，CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4﹣x）2，解得x=．故答案为：．17．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG ⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=4cm．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．18．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=π．【解答】解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形∵OE=OF∴矩形OECF为正方形设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r∴3﹣r+4﹣r=5，r==1∴S1=π×12=π=×3×4=×5×CD（2）图2，由S△ABC∴CD=由勾股定理得：AD==，BD=5﹣=由（1）得：⊙O的半径==，⊙E的半径==∴S1+S2=π×+π×=π=××=×4×MD（3）图3，由S△CDB∴MD=由勾股定理得：CM==，MB=4﹣=由（1）得：⊙O的半径=，：⊙E的半径==，：⊙F的半径==∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π∴图4中的S1+S2+S3+S4=π则S1+S2+S3+…+S10=π故答案为：π．19．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为27．【解答】解：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故答案为：27．20．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2017次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（﹣2015，﹣﹣1）．【解答】解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，∴点C到x轴的距离为1+2×=+1，横坐标为2，∴C（2，+1），第2017次变换后的三角形在x轴下方，点C的纵坐标为﹣﹣1，横坐标为2﹣2017×1=﹣2015，所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣2015，﹣﹣1），故答案为：（﹣2015，﹣﹣1）．21．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=4，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为：2或2或2．22．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为8cm2或2cm2或2cm2．【解答】解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=4时，如图：∴S=AE•AF=×4×4=8（cm2）；△AEF（2）当AE=EF=4时，如图：则BE=5﹣4=1，BF===，=•AE•BF=×4×=2（cm2）；∴S△AEF（3）当AE=EF=4时，如图：则DE=7﹣4=3，DF===，∴S=AE•DF=×4×=2（cm2）；△AEF故答案为：8或2或2．23．在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为126或66．【解答】解：分两种情况：①当∠B为锐角时，如图1所示，在Rt△ABD中，BD===5，在Rt△ADC中，CD===16，∴BC=BD+CD=21，∴△ABC的面积为×21×12=126；②当∠B为钝角时，如图2所示，在Rt△ABD中，BC=CD﹣BD=16﹣5=11，所以△ABC的面积为×11×12=66；故答案为：126或66．24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则四边形ABCD的面积为=31，BD的长为2．【解答】解：连接AC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线与点E．因为∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5，由于AC2+CD2=25+100=125，AD2=（5）2=125，∴AC2+CD2=AD2．所以∠ACD=90°．=S△ABD+S△ACD所以S四边形ABCD==×3×4+×5×10=6+25=31．∵∠DEC=90°，∴∠DCE+∠CDE=90°，所以∠DCE+∠ACB=90°，∴∠CDE=∠ACB，又∵∠ABC=90°，∴△ABC∽△CED∴CE=6，DE=8．∴BE=BC+CE=10，在Rt△DEB中，DB===2故答案为：31，2三．解答题（共4小题）25．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．【解答】解：（1）过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD=2，∴AE=DE==，∵∠ABC=105°，∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，∴BE===，∴AB=；（2）设DE=x，则AE=x，BE===，∴BD==2x，∵∠BDF=60°，∴∠DBF=30°，∴DF==x，∴BF===，∴CF=，∵AB=AE+BE=，CD=DF+CF=x，AB+CD=2+2，∴AB=+126．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF 的面积）．【解答】解：如图，以MN为边，可作等边三角形PMN；△PMF的面积为400．（求解过程如下）．连接PE，∵△MEF和△PMN为等边三角形，∴∠PMN=∠EMF=∠MFE=60°，MN=MP，ME=MF，∴∠PME=∠NMF，在△MPE和△MNF中，，∴△MPE≌△MNF（SAS），∴∠MEP=∠MFE=60°，∴∠PEN=60°，∴PE∥MF，=S△MEF=EF2=400．∴S△PMF27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE ⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACH=90°∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB=；（2）∵sinB=，∴AC：AB=1：，∴AC=2．∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB==，设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，∴CE=x=1，AC=2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∵AB=2CD=2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．28．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE 中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．第31页（共31页）。
2014年中考复习三角形典型题试题精选(附答案)
2014年中考复习三角形典型题试题精选（含答案）一．选择题（共13小题）1．（2013•重庆）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为（）A． 40°B． 35°C． 50°D． 45°(1) (2) (5)2．（2013•昭通）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2=50°，则∠1的度数是（）A． 40°B． 50°C． 60°D． 140°3．（2013•南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 44．（2013•海南）一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（）A．1≤x≤3B． 1＜x≤3C．1≤x＜3 D． 1＜x＜35．（2011•昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）A． 45°B． 60°C． 75°D． 85°6．（2012•自贡）如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD、DF，则图中全等的直角三角形共有（）A． 3对 B． 4对 C． 5对 D． 6对（6）（7）（8）7．（2013•贺州）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A． 4cm B． 6cm C． 8cm D． 9cm8．（2013•东营）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S△AOB=S四边形DEOF中正确的有（）A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个9．（2013•河北）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A． 40海里B． 60海里C． 70海里D． 80海里（9）（10）（11）10．（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A． 2 B．C．D．11．（2013•枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A． 20 B． 12 C． 14 D． 1312．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C． 3 D． 4（12）（13）（14）13．（2012•泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF 的长是（）A． 4 B． 3 C． 2 D． 1二．填空题（共8小题）14．（2013•宜宾）如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2=_________．15．（2013•南昌）如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为_________．（15）（16）（17）16．（2013•达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=_________度．17．（2013•威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=_________．18．（2013•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=_________．（18）（19）（20）（21）19．（2013•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是_________．20．（2013•遵义）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=_________cm．21．（2013•鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_________．三．解答题（共5小题）22．（2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．（1）你添加的条件是_________．（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．23．（2013•舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？24．（2013•昭通）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．25．（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．26．（2012•孝感）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是_________；（2）请证明你的结论．2014年中考复习三角形的典型题试题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．A．2．A．3．C．4．D．5．C．6．B．7．C．8．B．9．D．10．D．11．C．12．C．13．D．二．填空题（共8小题）14．115° 15．65°16．17．25°18．20 19．10 20．9 21．11三．解答题（共5小题）22．解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A，∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）；故答案为：∠C=∠E；（2）选∠C=∠E为条件．理由如下：在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．23．（1）证明：∵在△ABE和△DCE中∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°．24．（1）证明：∵菱形AFED，∴AF=AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，即①BD=CF，②AC=CF+CD．（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD．（3）AC=CD﹣CF．理由是：∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴CF=BD，∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，即AC=CD﹣CF．25．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF=BD，∴AF=DC．（2）四边形ADCF是菱形，证明：AF∥BC，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．26．解：（1）平行四边形．（2）证明：连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形．。
三角形测试题及答案
三角形测试题及答案1. 选择题：- 以下哪个选项不是三角形的一个性质？A. 三角形的内角和为180度B. 三角形的任意两边之和大于第三边C. 三角形的任意两边之差小于第三边D. 三角形的任意两边之和等于第三边2. 填空题：- 如果一个三角形的两边长分别是3厘米和4厘米，那么第三边的长度至少是____厘米。
3. 计算题：- 已知三角形ABC中，角A是45度，角B是75度，求角C的度数。
4. 简答题：- 什么是等腰三角形？请给出一个等腰三角形的两个主要性质。
5. 应用题：- 一个等边三角形的边长是10厘米，求它的面积。
6. 证明题：- 证明：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
答案1. 选择题：D- 解释：三角形的任意两边之和必须大于第三边，而不是等于。
2. 填空题：1- 解释：根据三角形的不等式定理，任意两边之和必须大于第三边，所以第三边的长度至少是1厘米。
3. 计算题：60度- 解释：三角形内角和为180度，所以角C = 180 - 45 - 75 = 60度。
4. 简答题：- 等腰三角形是两边等长的三角形。
它的两个主要性质是：两边等长，且底角相等。
5. 应用题：25根号3平方厘米- 解释：等边三角形的高可以通过勾股定理求得，高h = √(10²- (10/2)²) = √(100 - 25) = √75。
面积S = (底 * 高) / 2 = (10 * √75) / 2 = 25√3。
6. 证明题：- 证明：设直角三角形ABC，其中角C为直角，斜边为AB。
中线CD 将斜边AB分为两等分，即AD = DB。
根据勾股定理，AC² + CD² = AD²，BC² + CD² = BD²。
由于AD = DB，我们可以得出AC² -BC² = AD² - BD²，即AB² = 4CD²，所以CD = AB/2。
三角形练习题及答案
三角形练习题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 三角形的内角和是多少度？A. 180度B. 360度C. 90度D. 120度2. 直角三角形中，直角的度数是多少？A. 30度B. 45度C. 60度D. 90度3. 等边三角形的每个内角的度数是多少？A. 45度B. 60度C. 90度D. 120度4. 一个三角形的两边长分别是3和4，第三边的长度应该在什么范围内？A. 1到7之间B. 1到5之间C. 2到6之间D. 3到7之间5. 一个三角形的周长是18，其中两边长分别是5和7，第三边的长度是多少？A. 3B. 6C. 8D. 无法确定6. 等腰三角形的底角相等，若底边长为5，顶角为30度，那么腰长是多少？A. 5B. 10C. 8.66D. 无法确定7. 一个三角形的三个内角分别是40度、70度和70度，这个三角形是什么三角形？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形8. 一个三角形的面积是18平方厘米，高是6厘米，底边是多少厘米？A. 3B. 6C. 9D. 129. 一个三角形的三边长分别是5、5、8，这个三角形的类型是什么？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形10. 一个三角形的三个内角分别是50度、60度和70度，这个三角形的类型是什么？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形二、填空题（每题2分，共20分）11. 三角形的外角和等于______度。
12. 如果一个三角形的两边长分别是a和b，且a>b，那么第三边的长度x应该满足______。
13. 在一个直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么另一个锐角是______度。
14. 已知一个三角形的三边长分别是3、4和5，这个三角形是______三角形。
15. 如果一个三角形的周长是24，其中两边长分别是7和8，那么第三边的长度是______。
16. 一个三角形的面积是28.26平方厘米，如果底边长是9厘米，那么高是______厘米。
解三角形复习题 (附答案)
第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页解三角形复习题一、选择题 1、 已知ABC ∆中，45,2,2A a b =︒==,那么B ∠为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒2、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若222()tan 3a c b B ac +-=,则角B 的值为（ ） A.6π B. 3π C. 6π或56π D. 3π或23π3、在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，cos （A －B ）cosB －sin （A －B ）sin （A ＋C ）＝35，则角B 的大小为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．56π4、如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使在C 塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC=45°，则塔AB 的高度为（ ） A ．10米 B.102米 C. 103米 D.106米 5、在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．8=a ,10=b ， 45=A B ．60=a ，81=b ， 60=B C ．7=a ，5=b ， 80=A D ．14=a ，20=b ， 45=A 6、在ABC ∆中，2,3,5==⋅= AB AC AB AC ，则BC =（ ）A ．3B ．7C ．22D ．237、在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2cos ,22A c b c +=则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形8、ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，如果,,a b c 成等差数列，030B =，ABC ∆的面积为32，那么边b 的长为（ ）A ．132+B ．13+C ．232+D ．23+ 9、边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．90° B．150° C．135° D．120°10、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2220b c bc a ++-=，则()sin 30a C b c -- 的值为（ ）A ．12B ．32C ．12-D ．32- 二、填空题 11、在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝5，b ＝3，sinC ＝2sinA ，则ΔABC 的面积为 ．12、在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ，c ，a 成等比数列，且a=2b ，则cosA= ．13、在非等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C)<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为______________．14、若钝角三角形ABC 的三边为连续的自然数，则此三角形的面积为 ．三、解答题15、在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且b B a 3sin 2=.（1）求角A 的大小；（2）若8,4=+=c b a ，求ABC ∆的面积.16、设ABC ∆的内角C B A ,,的所对边分别为c b a ,,，ac c b a c b a =+-++))((.（1）求B ；（2）若413sin sin -=C A ，求C . 17、在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=． （1）求C 的值； （2）若15A = ，2AB =，求ABC ∆的周长．18、已知函数()f x =（sin 2x ﹣cos 2x+）﹣sin 2（x ﹣），x ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且()1f B =，2b =，求△ABC 的面积的最大值． 19.如图所示，已知A ．B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°处，甲船自A 以50海里/小时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时两船之间的距离最短？参考答案一、单项选择1-5 ADADA 6-10 ACBDA二、填空题11、3. 12、﹣． 13、 14、3154三、解答题 15、解：（1）∵ABC ∆中，b B a 3sin 2=，∴根据正弦定理，得B B A sin 3sin sin 2=∵锐角ABC ∆中，0sin >B ，∴等式两边约去B sin ，得23sin =A ∵A 是锐角ABC ∆的内角，∴3π=A ； （2）∵4=a ，3π=A ，∴由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得3cos 21622πbc c b -+=，化简得1622=-+bc c b ，∵8=+c b ，平方得64222=++bc c b ，∴两式相减，得483=bc ，可得16=bc .因此，ABC ∆的面积343sin 1621sin 21=⨯⨯==πA bc S . 16、解：（1）因为ac c b a c b a =+-++))((，所以ac b c a -=-+222，由余弦定理得212cos 222-=-+=ac b c a B ，因此 120=B . （2）由（1）知 60=+C A ，所以23413221sin sin 2)cos(sin sin 2sin sin cos cos sin sin cos cos )cos(=-⨯+=++=+-=+=-C A C A CA C A C A C A C A C A故 30=-C A 或 30-=-C A ，因此 15=C 或 45=C .17、解：（1）因为tan tan tan tan 1A B A B ++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-， 因为在斜三角形ABC 中，1tan tan 0A B -≠，所以()tan tan tan 11tan tan ++==-A B A B A B， 即()0tan 1801-=C ，亦即tan 1=-C ， 因为000180<<C ，所以0135=C（2）在∆ABC 中，0015,135==A C ，则0018030=--=B A C ，由正弦定理sin sin sin ==BC CA AB A B C，得 00022sin15sin 30sin135BC CA ===，故()()0000000622sin152sin 45302sin 45cos30cos 45sin 302-==-=-=BC ， 02sin 301CA ==．所以∆ABC 的周长为622622122-++++=++=AB BC CA 18、【答案】（1）[k k ]63ππππ+﹣，；（2）. 解：（1）()f x =（sin 2x ﹣cos 2x+）﹣sin 2（x ﹣），x ∈R =（﹣cos2x ）﹣[1﹣cos （2x ﹣）] =sin2x ﹣cos2x =sin(2)6x π-， 令﹣+2k π≤2x ﹣≤+2k π，k ∈Z ，得到k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z 则函数f （x ）的单调递增区间[k k ]63ππππ+﹣，，k ∈Z （2）由f （B ）=1，得到sin （2B ﹣）=1，∴2B ﹣=，即3B π=， 由余弦定理得：222b ac 2accosB =+﹣，即224a c ac 2ac ac ac =+≥=﹣﹣，即ac 4≤， ∴ABC 13S acsinB ac 324==≤ ，则△ABC 的面积的最大值为．19.解：设x 小时后甲船到达C 点，乙船到达D 点，则10050BC x =-，30BD x =，由已知可得060CBD ∠=．由余弦定理得：2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠，即2220(10050)(30)2(10050)30cos60CD x x x x =-+--⋅⋅2100(49130100)x x =-+，当13065x 24949==⨯时2CD 最小，即CD 最小, 所以航行6549小时两船之间距离最短．。
2014三角形高考试题带答案资料
17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值；(2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12， 所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．17．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC，即AM ＝sin 60°sin 45°×100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 . 17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．17．解：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2， 所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63. 由正弦定理可得，b ＝a sin B sin A ＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33. 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63 ＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322. 16．、、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．16．解： (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1-3 A ．240(3－1)m B ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120. ∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC ∠BAC， 于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C. 18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值； (2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ， 且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值． 18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72. 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝ 22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C 可得 sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A 2＝2sin C ， 化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.。
三角形问题复习(含答案与解析)
三角形问题三考试范围：三角形问题一、选择题1．等腰三角形的两边分别等于5、12，则它的周长为（）A．29 B．22 C．22或29 D．172．到三角形三个顶点距离相等的点是（）A．三边高线的交点B．三条中线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三条内角平分线的交点3．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（）A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm4．等腰三角形的一内角为40°，则顶角为（）A．40° B．100° C．40°或120° D．40°或100°5．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2007次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2006 B．2007 C．2008 D．16．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）A．三个角的比是1：2：3B．三条边满足关系a2=c2-b2C．三条边的比是1：2：3D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A7．小颖家在学校正东600米，小丽家在学校正北800米，小颖和小丽家的直线距离为（）A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定8．如图，DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8cm ，AB=10cm ，则△EBC 的周长为（ ）A ．16cmB ．28cmC ．26cmD ．18cm9．如图，公路AC 、BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开．若测得BM 的长为1．2km ，则点M 与点C 之间的距离为（ ）A ．0．5kmB ．0．6kmC ．0．9kmD ．1．2km10．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是 （ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去二、填空题11．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为 ．12．如图，在ABC △中，31=C ∠°，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠= °．13．已知，如图，在ABC △中，BC AB =，70=B ∠°，则A= °．14．已知直角三角形三边的平方和是32 cm 2，则其斜边上的中线长为 ．15．在△ABC 中，∠C=90°，BC=16cm ，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，且BD ︰DC=5︰3， 则D 到AB 的距离为_____________．16．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PQ ⊥OA ，若PC=4，则PQ=___ __．17．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______米．18．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于．AD EB C19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，如果AC=3cm，那么AE+DE的值为．20．如图，是由四个直角边分别为3和4全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，那么阴影部分面积为．三、计算题21．已知：如图，BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA．求证：（1）△BEC ≌△DAE ；（2）DF ⊥BC ．22．如图，已知四边形ABCD 中，∠A=900，若AB=3，DA=4，BC=12，CD=13，求四边形ABCD 的面积．23．如图，一根长为2.5米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B 离开墙根为0.7米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动0.8米至D 处，则梯子的顶端将沿墙向下移动（ ）A ．0.8米B ．0.7米C ．0.4米D ．0.3米24．印度的数学家婆神迦罗在他的著作《丽拉瓦提》中提出这样一个问题：波平如镜一湖面，半尺高处出红莲。
三角形复习题
B C 三角形复习题黉舍 班级 姓名 学号 [一] 熟悉三角形1．三角形有关定义：在图9.1.3（1）中画着一个三角形ABC .三角形的顶点采取大年夜写字母A 、B 、C 或K 、L 、M 等表示，全部三角形表示为△ABC 或△KLM （参照顶点的字母）.如图9.1.3（2）所示，在三角形中，每两条边所构成的角叫做三角形的内角，如∠ACB ；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所构成的角叫做三角形的外角，如∠ACD 是与△ABC 的内角∠ACB 相邻的外角.图9.1.3（2）指清晰明了△ABC 的重要成分.图9.1.32．三角形能够按角来分类：所有内角差不多上锐角――锐角三角形；有一个内角是直角――直角三角形； 有一个内角是钝角――钝角三角形；3三角形能够按角边分类：．把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）；两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；. 演习：1、图中共有（ ）个三角形。
A ：5B ：6C ：7D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ）A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF3、三角形一边上的高（ ）。
A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情形都有可能4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
A ：三角形的角等分线B ：三角形的中线C ：三角形的高线D ：以上都纰谬 6、具备下列前提的三角形中，不是直角三角形的是（ ）。
A ：∠A+∠B=∠CB ：∠A=∠B=12∠C C ：∠A=90°-∠B D ：∠A-∠7、一个三角形最多有 个直角，有 个钝角，有 个锐角。
8、△ABC 的周长是12 cm ，边长分别为a ，b , c , 且 a=b+1 , b=c+1 ， 则a= cm , b= cm , c= cm 。
9、如图，AB∥CD ，∠ABD 、∠BDC 的等分线交于E ，试确信△BED 的外形？图9.1.4CD AC10 、如图，在4×4的方格中，以AB为一边，以小正方形的顶点为顶点，画出相符下列前提的三角形，并把响应的三角形用字母表示出来。
三角形的测试题及答案
三角形的测试题及答案一、选择题1. 三角形的内角和是多少度？A. 180度B. 360度C. 90度D. 120度答案：A2. 等腰三角形中，底角相等，那么顶角与底角的度数关系是？A. 顶角是底角的两倍B. 底角是顶角的两倍C. 顶角与底角相等D. 顶角比底角大答案：B3. 直角三角形中，直角的度数是？A. 45度B. 90度C. 60度D. 30度答案：B二、填空题1. 一个三角形的三个内角分别是50度、60度和70度，那么这个三角形是_____三角形。
答案：锐角2. 如果一个三角形的两边长分别为3厘米和4厘米，第三边的长度应该在_____厘米到_____厘米之间。
答案：1到73. 直角三角形的两直角边长分别为3厘米和4厘米，那么斜边的长度为_____厘米。
答案：5三、解答题1. 已知一个三角形的三个内角分别为α、β和γ，且α+β=γ，试求α、β、γ的度数。
答案：由于三角形的内角和为180度，且α+β=γ，所以2γ=180度，γ=90度，α+β=90度。
因此，α、β、γ的度数分别为45度、45度、90度。
2. 一个等腰三角形的底角为50度，求顶角的度数。
答案：因为等腰三角形的底角相等，所以两个底角的度数都是50度。
三角形的内角和为180度，所以顶角的度数为180度-50度-50度=80度。
3. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为6厘米和8厘米，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10厘米。
三角形复习题
三角形复习题三角形复习题三角形是几何学中的基本图形之一，也是我们学习数学时经常接触到的概念。
在这里，我们将通过一些复习题来回顾一下三角形的性质和相关定理。
1. 已知三角形ABC中，AB = AC，角B = 40°，角C = 70°，求角A的度数。
解析：由于AB = AC，所以角B = 角C。
根据三角形内角和定理，三角形内角的和为180°。
因此，角A = 180° - 40° - 70° = 70°。
2. 已知三角形ABC中，角A = 60°，角B = 30°，求角C的度数。
解析：根据三角形内角和定理，角A + 角B + 角C = 180°。
代入已知条件，得到60° + 30° + 角C = 180°。
解方程可得角C = 90°。
3. 已知三角形ABC中，AB = 5 cm，AC = 8 cm，BC = 7 cm，判断该三角形是等腰三角形、等边三角形还是普通三角形。
解析：由于AB = AC，所以该三角形是等腰三角形。
另外，由于三边长度不完全相等，所以不是等边三角形。
4. 已知三角形ABC中，角A = 45°，角B = 45°，判断该三角形是等腰三角形、等边三角形还是普通三角形。
解析：由于角A = 角B = 45°，所以该三角形是等腰三角形。
另外，由于两个角都为45°，所以该三角形也是等边三角形。
5. 已知三角形ABC中，角A = 30°，角B = 60°，判断该三角形是等腰三角形、等边三角形还是普通三角形。
解析：由于角A ≠ 角B，所以该三角形不是等腰三角形。
另外，由于两个角不完全相等，所以也不是等边三角形。
因此，该三角形是普通三角形。
通过以上的复习题，我们回顾了一些三角形的基本性质和判断方法。
在解题过程中，我们使用了三角形内角和定理、等腰三角形的判断标准以及等边三角形的判断标准。
三角形复习题
三角形复习题三角形是几何学中最基本的多边形之一，由三条直线段所围成的封闭图形。
在复习三角形时，我们需要掌握以下几个关键概念和性质：1. 三角形的分类：- 根据边长的不同，三角形可以分为等边三角形（三条边相等）、等腰三角形（两条边相等）和不等边三角形（三条边都不相等）。
- 根据角度的不同，三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90度）、直角三角形（有一个角等于90度）和钝角三角形（有一个角大于90度）。
2. 三角形的内角和：- 任意三角形的内角和总是等于180度。
3. 三角形的外角：- 三角形的每个外角等于不相邻两个内角的和。
4. 三角形的中线、高线和角平分线：- 中线：连接顶点和对边中点的线段。
- 高线：从顶点垂直于对边的线段。
- 角平分线：将顶点的角平分为两个相等的角的线段。
5. 三角形的面积计算：- 海伦公式：对于已知三边长度的三角形，面积可以通过公式\( A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) 计算，其中 \( s \) 是半周长，即 \( s = \frac{a+b+c}{2} \)。
- 直角三角形：面积等于底乘以高除以2。
6. 勾股定理：- 在直角三角形中，直角的两条边的平方和等于斜边的平方。
7. 相似三角形：- 如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
8. 三角形的重心：- 三角形的重心是三条中线的交点，它将每条中线分为2:1的比例。
9. 三角形的稳定性：- 三角形的形态在给定边长或角度的情况下是唯一的，这体现了三角形的稳定性。
通过以上的复习，我们可以更好地理解三角形的几何特性和它们在数学中的应用。
在解决实际问题时，这些概念和性质将是非常有用的工具。
希望这次的复习能帮助你巩固对三角形的理解。
三角形期末复习题
三角形期末复习题三角形期末复习题一、基本概念与性质三角形是几何学中的重要概念，它有着丰富的性质和特点。
在期末考试中，我们需要对三角形的基本概念和性质进行复习。
1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段之间都有一个内角。
2. 三角形的分类：根据边长和角度的关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
3. 三角形的内角和：三角形的内角和等于180度。
这个性质可以用来解决关于三角形内角的问题。
4. 三角形的外角和：三角形的外角和等于360度。
这个性质可以用来解决关于三角形外角的问题。
二、三角形的边长关系在三角形中，边长之间存在一些特殊的关系，掌握这些关系可以帮助我们解决一些与三角形边长有关的问题。
1. 三角形两边之和大于第三边：对于任意一个三角形，它的任意两边之和大于第三边。
这个性质可以用来判断三条线段是否可以构成一个三角形。
2. 等腰三角形的性质：在等腰三角形中，两边相等。
根据这个性质，我们可以解决一些关于等腰三角形边长的问题。
3. 等边三角形的性质：在等边三角形中，三条边都相等。
根据这个性质，我们可以解决一些关于等边三角形边长的问题。
三、三角形的角度关系在三角形中，角度之间也存在一些特殊的关系，掌握这些关系可以帮助我们解决一些与三角形角度有关的问题。
1. 三角形内角的关系：在任意一个三角形中，三个内角之和等于180度。
利用这个性质，我们可以求解三角形内角的大小。
2. 等腰三角形的角度关系：在等腰三角形中，两个底角相等。
根据这个性质，我们可以求解等腰三角形的角度大小。
3. 直角三角形的角度关系：在直角三角形中，直角的两个锐角互补。
这个性质可以用来求解直角三角形的角度大小。
四、三角形的面积计算计算三角形的面积是三角形问题中的一个重要环节。
下面介绍两种计算三角形面积的方法。
1. 高度法：对于任意一个三角形，我们可以通过计算三角形的高度来求解其面积。
高度可以通过三角形的底边和对应顶点的垂直距离计算得出。
解三角形复习题
解三角形复习题解三角形复习题三角形是初中数学中的重要内容之一，解三角形的复习题是帮助我们巩固和提高解题能力的重要工具。
在这篇文章中，我们将通过一些典型的三角形复习题来回顾和掌握解三角形的方法和技巧。
1. 已知三角形的两边长和夹角，求第三边长这是解三角形中最基本的一种情况。
假设已知三角形的两边长分别为a和b，夹角为C，我们可以利用余弦定理来求解第三边长c。
余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC。
通过代入已知的数值，我们可以求得第三边长c的值。
2. 已知三角形的两边长和一个角的正弦值，求第三边长当已知三角形的两边长a和b，以及一个角A的正弦值sinA时，我们可以利用正弦定理来求解第三边长c。
正弦定理的公式为：sinA/a = sinB/b = sinC/c。
通过代入已知的数值，我们可以求得第三边长c的值。
3. 已知三角形的两个角和一个边长，求另外两边长当已知三角形的两个角A和B，以及边长c时，我们可以利用正弦定理来求解另外两边长a和b。
正弦定理的公式为：sinA/a = sinB/b = sinC/c。
通过代入已知的数值，我们可以求得另外两边长a和b的值。
4. 已知三角形的两边长和一个角的余弦值，求第三边长当已知三角形的两边长a和b，以及一个角A的余弦值cosA时，我们可以利用余弦定理来求解第三边长c。
余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC。
通过代入已知的数值，我们可以求得第三边长c的值。
5. 已知三角形的两个角和一个边长，求另外两个角当已知三角形的两个角A和B，以及边长c时，我们可以利用正弦定理来求解另外两个角C和A。
正弦定理的公式为：sinA/a = sinB/b = sinC/c。
通过代入已知的数值，我们可以求得另外两个角C和A的值。
通过以上几个典型的三角形复习题，我们可以看到解三角形的方法和技巧是多种多样的。
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1．一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）
A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm
2．如果一个三角形的两边长分别是2、4，那么第三边可能是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF 的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF-S△BEF=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．有如下结论：①△ACE≌△DCB，②CM=CN，③AC=DN，④BN=EM．其中正确结论的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）
A．25°B．30°C．45°D．60°
6．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
8．有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）
A．∠A=2∠B=3∠C
B．∠A－∠B=∠C
C．∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
D．∠A=∠B=∠C
10．下列每组数据表示3根小木棒的长度，其中能组成一个三角形的是（）
A．3cm，4cm，7cm B．3cm，4cm，6cm
C．5cm，4cm，10cm D．5cm，3cm，8cm
11．在△ABC中，已知∠A:∠B:∠C=2:3:4，则这个三角形是（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
12．如图，已知AB∥CD的角∠CAB、∠ACD平分线交于点E，则∠AEC的度数为°
13．AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B=60°，∠C=70°，则∠EAD=_ °
14．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，若AC="3" cm，BC="4" cm，AB="5" cm，则点C到AB 的最短距离等于 cm。
15．如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A= .
16．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是．
18．如图，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1=30°，则∠2= ．
19．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠C=________．
20．已知三角形的两边长分别为10和2，第三边的数值是偶数，则第三边长为 .
21．如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于点E，∠C=70º，∠BED=64º，求∠BAC的度数．
22．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边△CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．
求证：AE∥BC.
23．如图，AB∥CD，AE交CD与点C,DE AE，垂足为E，, 求的度数。
24．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，AD与CE相交于点P，∠BAC=66°，∠BCE=40°，求∠ADC和∠APC的度数．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)求CD的长．。