高中数学：2.1.3函数的单调性学案新人教B必修

2.1.3 函数的单调性 学案

【预习要点及要求】

1.函数单调性的概念；

2.由函数图象写出函数单调区间；

3.函数单调性的证明

4.能运用函数的图象理解函数单调性和最值

5.理解函数的单调性

6.会证明函数的单调性

【知识再现】

1.22a b -=_____________

2.=-33b a _____________

3.=+33b a _____________

【概念探究】

阅读课本44页到例1的上方，完成下列问题

1从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________-

2不看课本，能否写出函数单调性的定义？

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3对区间的开闭有何要求？

4如何理解定义中任意两个字？

5一个函数不存在单调性，如何说明？

6完成课后练习A 第1，2题

【例题解析】

阅读课本例1与例2，完成下列问题

1． 不看课本你能否独立完成两个例题的证明

（1） 证明函数()21f x x =+在R 上是增函数

（2） 证明函数1()f x x

=，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是减函数 2． 根据两个例题的证明，你能否给出证明函数单调性的一般步骤，在这些步骤中你认为最

关键的地方是什么？

3有的同学证明1()f x x =

在(0,)+∞上是减函数时是这样证的，你是否认可其作法，为什么？

证明：设120x x <<，则1211x x >，即12()()f x f x >，根据定义可得1()f x x

=在(0,)+∞上是减函数

4完成课后练习A 第3，4题，习题2-1A 第5题

5证明：x

x f 1)(=在),0(+∞和)0,(-∞上均为减函数，并说明)(x f 在整个定义域上是否为减函数？

【典例讲解】

例1．求下列函数的增区间与减区间

(1)y ＝|x 2＋2x －3|

例2．已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：

(1)f(6)与f(4)

例3．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 参考答案：

例1.解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．

先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像

翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像

由图像易得：

递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)

递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]

(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．

当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ．

当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2．

∴增区间是(－∞，0)和(0，1)

减区间是[1，2)和(2，＋∞)

(3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．

令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是

在x

∈[－1，1]上是． ∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．

例2．解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为

减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)

时为减函数．

例3．证明：取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．

又∵x 1－x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1)

故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

【达标练习】

1若函数b mx y +=在),(+∞-∞上是增函数，那么 （ ）

A.b>0

B. b<0

C.m>0

D.m<0

2函数32)(2

+-=mx x x f ，当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则)1(f 等于 （ ）

A.-3

B.13

C.7

D.由m 而定的常数

3设函数)(x f 在),(+∞-∞上为减函数，则 ( )

4如果函数5)1()(2+--=x a x x f 在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f 的取值范围是__________________.

5已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的取值范围是_____________

6证明函数x x x f 1)(+

=在)1,0(上是减函数 【达标练习答案】

1、C

2、B

3、D

4、7)2(-≥f

5．2

10<

则12x x x -=∆，

)1,0(,21∈x x ∴0<∆y ∴x

x x f 1)(+=在)1,0(上是减函数