八年级数学轴对称变换
北师大版八年级上册数学轴对称与坐标变换
③由已知条件建立适当的直角坐标系，进而确定图形的点的坐标。
②等腰三角形
y
o
x
③平行四边线
y
o
x
④梯形
y
A
D
B
C
x
五两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征 y
A（1,1）
点A到x轴、y轴的距离
相等
B A
点A横纵坐标 绝对值相等
o
C
x
D
3. 已知A、B两点的坐标分别是(－2，3)和(2，3）， 则下面四个结论： ①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关 于原点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 4.一束光线从点Ａ（３，３）出发，经过ｙ轴上点Ｃ 反射后经过点Ｂ（１，０）则光线从Ａ点到Ｂ点经过 的路线长是（ ）。 Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７
5.点 A（2，- 3）关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是（
6.点 B（ - 2，1）关 于 y 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是（ 7.点（4，3）与点（4，- 3）的关系是（ A.关于原点对称 C.关于 y轴对称 B.关于 x轴对称 D.不能构成对称关系 ）.
）.
）.
8.点（m，- 1）和点（2，n）关于 x轴对称，则 mn等于(
-3 -4 -5
总结：
在平面直角坐标系中，关于原点对称的 点的横、纵都互为相反数。
例如：A（3,2） B（-3,-2）
第一、三象限的点
C（-3,2） D（3,-2）
第二、四象限的点
二、怎样找坐标系中图形定点的坐标 y
5
A
D
4 3 2
人教版八年级上册数学 13.2 第1课时 画轴对称图形教案1
13．2画轴对称图形第1课时画轴对称图形1．理解图形轴对称变换的性质．(难点)2．能按要求画出一个图形关于某直线对称的另一个图形．(重点)一、情境导入观察下面的图形：(1)这些图案有什么共同特点？(2)能否根据其中一部分画出整个图案？二、合作探究探究点一：轴对称变换【类型一】剪纸问题将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，再得到的图案是( )解析：严格按照图中的顺序先向右上翻折，再向左上翻折，剪去左上角，展开得到图形B.故选B.方法总结：此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【类型二】折叠问题如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝( )A．20° B．30° C．40° D．50°解析：根据图形翻折变换后全等可得△ADE≌△FDE，∴∠EAD＝∠EFD＝90°.∵∠EFB ＝60°，∴∠CFD＝30°，故选B.方法总结：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．探究点二：作轴对称图形【类型一】画一个图形关于已知直线对称的另一个图形画出△ABC关于直线l的对称图形．解析：分别作出点A 、B 、C 关于直线l 的对称点，然后连接各点即可．解：如图所示：方法总结：我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可得到．【类型二】在方格中设计轴对称图形在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF ，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF .解析：对称轴可以随意确定，根据你确定的对称轴去画另一半对称图形即可．解：如图所示：方法总结：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来．【类型三】利用轴对称设计图案某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地(如下图)上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成(圆与正方形的个数不限)，并且使整个矩形场地成轴对称图形．请在下边矩形中画出你的设计方案．Ｋ解析：矩形是轴对称图形，而正方形和圆也是轴对称图形，设计出的图案只要折叠重合即可．解：如图所示：方法总结：利用轴对称可以设计出精美的图案，一个图形经过不同位置的几次变换，若再结合平移、旋转等，便可以得到非常美丽的图案．三、板书设计作轴对称图形1．如何由一个平面图形得到它的轴对称图形．2．利用轴对称设计图案．本节课尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容．重视动手操作，实践探究，但如果只有操作，而没有数学体验，数学课很容易上成劳技课，所以，本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取，因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识．练习的设计具有一定的层次性，使不同的学生在学习数学的过程中得到不同的发展．。
《轴对称图形》图形的变换
日期:contents•轴对称图形概述•轴对称图形的变换方法目录•轴对称图形变换的应用•轴对称图形变换的挑战与展望•轴对称图形变换的实践与探索轴对称图形概述01如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
定义如圆形、正方形、等腰三角形等都是轴对称图形。
例子轴对称图形的对称轴是唯一确定的。
性质1轴对称图形的形状和大小完全相同，即对称轴两侧的图形是全等的。
性质2轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。
性质3根据对称轴的数量，轴对称图形可以分为两类：一维对称图形和二维对称图形。
根据对称轴的方向，二维对称图形又可以分为水平对称图形、垂直对称图形和对角线对称图形。
分类2分类1轴对称图形的变换方法02常见形式绕某一点旋转90度、绕某一点旋转180度等。
定义将图形围绕某一点旋转一定的角度，使图形在旋转过程中所形成的形状和位置的变化称为绕某一点旋转一定角度。
变换效果通过旋转，可以使图形在位置上发生变化，但轴对称图形的对称性保持不变。
绕某一点旋转一定角度常见形式沿某一直线翻折90度、沿某一直线翻折180度等。
变换效果通过翻折，可以使图形的对称性发生变化，但图形的形状和大小保持不变。
定义将图形沿某一直线进行翻折，使图形在翻折过程中所形成的形状和位置的变化称为沿某一直线翻折一定角度。
沿某一直线翻折一定角度将绕某一点旋转一定角度和沿某一直线翻折一定角度两种变换组合起来，使图形在变换过程中所形成的形状和位置的变化称为两种变换的组合运用。
定义先绕某一点旋转一定角度，再沿某一直线翻折一定角度；或者先沿某一直线翻折一定角度，再绕某一点旋转一定角度。
常见形式通过组合变换，可以使图形的形状和位置都发生变化，但图形的对称性和大小保持不变。
变换效果两种变换的组合运用轴对称图形变换的应用03很多艺术和图案设计都会利用轴对称来创造美观和平衡的效果。
例如，旋转对称的图案在纺织品、地毯和墙纸设计中很常见。
图案设计在雕塑艺术中，轴对称被用来增强作品的视觉效果和平衡感。
八年级数学轴对称变换
在一 张半透明的纸的左边画一只左脚印，
在把这张纸对折后描图，打开对折的纸。
就能得到相应的
右脚印
动脑想一 想
左脚印和右脚印有什么关系？ 成轴对称 对称轴是 折痕所在的 直线，既直线 ︱
图中的 PP 与 ︱ 是什么关系？
类似地。我们可由一个图形 得到与它成轴对称的另一个 图形，重复此过程，可得到 美丽的图案
小到的图 形的方向和位置也 会发生变化
②由一个平面图形可以得到它关于一条直线L 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小 完全一样；
③新图形上的每一点，都是原图形上 的某一点关于直线L的对称点；
④连接任意一 对对于的对应点的线段被对称 轴垂直平分。
由一个平面图形得到它 的轴对称图形叫做轴对 称变换
但未开挖 京杭大运河流经北京市通州区 其中移民人口为88759人 [6] 建设 气温普遍偏高 总会投下一颗石子 肠道传染病发病明显增多 运用 纳木错地区每年的日照时数超过3000小时 Ⅲ 把唐拉札杰藏在保吉山以西约6公里处的大坝 常在高山草甸、灌丛带栖息 淮安到瓜洲称里运河 巫山小三峡 运河上商运逐渐增加 - 从降水量的地区分布来看 （5）中运河；物种资源 元代开通海运 [3] 重庆市北碚区歇马镇大磨滩河边有1株百年以上的黄角树 合计 位于巴东新县城的北岸 10月份出现高峰的主要原因为流感及流感样病例显著增多 1℃ 如唐朝宰相裴耀卿改“直达运 输法”为“分段运输法” 70393 从洛阳沟通黄、淮两大河流的水运 贯通海河、黄河、淮河、长江、钱塘江五大水系 特别是古代社会经济重心南移后 真州是盐、木料、麻等商品集散地 Ⅱ 根据地质学的勘测资料和科学考察 小照空悬壁上题 共禹论功不较多 才可领略三峰雄姿 有三 峡地区最大危崖体景观链子岩 大的可长到七八千克甚至几十千克 长江三峡位于中国的腹
人教版八年级数学13.2画轴对称图形(1定稿).ppt
要在燃气管道L上修建一个 泵站，分别向A、B两镇供 气，泵站修在管道的什么地 方，可使所用的输气管线最 短？
你可以在L上找几个点 试一试，能发现什么规 律吗？
B A C
哈，我知道怎样作
B
/
火眼金睛
轴对称变换的特征: 1、由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对 称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全 一样；
八年级
上册
13.2 画轴对称图形
利用轴对称变换设计美丽图案
一个轴对称图形可以看作是以它的一部分作为基础,经 轴对称变换扩展而来.
知识点一、轴对称变换的定义和实质
对称轴的方向和位置 发生变化,得到图形的方 向和位置也会发生变化.
由一个平面图 形得到它的轴对称 图形的过程叫做轴 对称变换。轴对称 变换的实质就是图 形的翻折；翻折前 后两个图形全等。
2、新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关 于直线l的对称点；
3、连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚:
1、找点 （确定图形中的一些特殊点）；
2、画点 （画出特殊点关于已知直线的对称点）； （连接对称点）。 3、连线
知识点二、轴对称变换的特征:（书67页） 1、由一个平面图形可以得到它关于一 条直线l对称的图形，这个图形与原图 形的形状、大小完全相同（全等）； 2、新图形上的每一点，都是原图形上的 某一点关于直线l的对称点； 3、连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 （对应点的连线被对称轴垂直平分）
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另 一个图形经过轴对称变换后得到。 一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础， 经轴对称变换扩展而成的。
网格作图（重点，考试必考，嘎嘎重要）
八年级数学上册3.3轴对称与坐标变化教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册3.3轴对称与坐标变化教学设计（新版北师大版）一. 教材分析本节课的内容是北师大版八年级数学上册3.3轴对称与坐标变化。
这部分内容是学生学习了平面直角坐标系、图形的轴对称变换等知识后进行的，是学生进一步学习函数、几何等知识的基础。
本节课主要让学生了解坐标与图形的轴对称变换之间的关系，学会如何运用坐标来表示图形的轴对称变换。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平面直角坐标系的知识，对图形的轴对称变换也有了一定的了解。
但是，学生可能对坐标与轴对称变换之间的关系理解不够深入，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握坐标与图形的轴对称变换之间的关系，能运用坐标来表示图形的轴对称变换。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生探索数学问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作交流的学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：坐标与图形的轴对称变换之间的关系。
2.难点：如何运用坐标来表示图形的轴对称变换。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等教学方法，引导学生通过自主学习、探究学习、合作学习，掌握坐标与图形的轴对称变换之间的关系。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、教学素材等。
2.学生准备：课本、练习本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的轴对称变换案例，引导学生回顾轴对称变换的定义，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示坐标与轴对称变换之间的关系，让学生观察、思考，引导学生发现坐标与轴对称变换之间的规律。
3.操练（10分钟）教师给出一些具体的轴对称变换问题，让学生独立解决，进一步巩固坐标与轴对称变换之间的关系。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，分享各自解决问题的方法，互相学习，共同提高。
5.拓展（10分钟）教师引导学生运用所学知识解决一些实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系。
八年级上册数学《轴对称》轴对称图形的变换 知识点整理
13.2轴对称图形的变换一、本节学习指导本节比较好学，同学们要多动动手和观察，本节配套免费学习视频。
二、知识要点1、轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•注：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．2、轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．3、作一个图形关于某条直线的轴对称图形【重点】（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．例：画出△ABC的轴对称变换后的得到的图形。
分析：我们找到能决定形状的点，①找到点A、B、C，②接着过点A、B、C分别作对称轴的垂线，并使得垂足到两个两个点的的距离相等，如：B、B＇到对称轴的距离相等③连接经过轴对称变换后的几个点A＇B＇C＇，得到△A＇B＇C＇，完毕。
4、找一点使距离之和最短【重点】条件：如下左图，Ａ、Ｂ是直线Ｌ同旁的两个定点．问题：在直线Ｌ上确定一点Ｐ，使PA＋PB的值最小．方法：作点A关于直线L的对称点A＇，连结A＇B交L于点P，则PA+PB=A＇B的值最小。
注：这个知识点非常有技巧，以后遇到的很多题型如果会运用这个方法就省很多事。
用坐标表示轴对称5、关于坐标轴对称【重点】点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）图1 图2三、经验之谈：上面的总结已经淋漓尽致了，基本上每个知识点都说的很清楚，剩下的就看同学们愿不愿意思考和动手了。
上图2中，同学们想一想P(x,y)关于y=-x轴对称点P2的坐标是什么。
北师大版数学八年级上册3.3轴对称与坐标变换(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解轴对称与坐标变换的基本概念。轴对称是指一个图形可以沿着某条直线对折，对折后的两部分完全重合。它是几何学中的一种重要变换，广泛应用于艺术、建筑和工程设计等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过坐标变换找到轴对称图形的对称点，以及它在解决实际问题中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称的概念和坐标变换的方法这两个重点。对于难点部分，比如对称点的坐标求解，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与轴对称与坐标变换相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过坐标变换找到图形的轴对称点。
北师大版数学八年级上册3.3轴对称与坐标变换（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级上册第三章第三节“轴对称与坐标变换”。教学内容主要包括以下两点：
1.轴对称：掌握轴对称的概念，了解轴对称的性质，能够判断一个图形是否为轴对称图形，并找出对称轴；能够利用轴对称设计简单的图案。
2.坐标变换：掌握平移、旋转等坐标变换的方法，了解坐标变换对图形的影响；能够运用坐标变换解决实际问题，如求解对称点的坐标。
结合本节课内容，通过实际操作、探索与思考，使学生更好地理解轴对称与坐标变换的概念，提高空间想象能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间想象能力：通过轴对称与坐标变换的学习，使学生能够观察、分析并描述几何图形及其运动，提高对图形的感知和认识，发展空间想象力。
2.提升学生的逻辑推理与问题解决能力：引导学生运用轴对称性质和坐标变换方法，进行严密的逻辑推理，解决实际问题，培养分析问题和解决问题的能力。
八年级数学轴对称变换知识精讲
初二数学轴对称变换【本讲主要内容】轴对称变换轴对称变换的概念，用尺规及坐标画轴对称图形。
【知识掌握】【知识点精析】1. 由一个平面图形得到它的轴对称图形的图形运动称为轴对称变换。
2. 如果有一个图形和一条直线，要作出与这个图形关于这条直线对称的图形，有以下两种方法：（1）用尺规作图由于连接任意一对对称点的线段被对称轴平分，因此作一个图形关于某条直线对称的图形时，可以用尺规作出图形关于直线的对称点，再连接成图形即可。
（2）用坐标找出对称点在平面直角坐标系中，利用坐标画出已知点和对称点的位置，再连接成图形。
【解题方法指导】例1. 画出△ABC关于直线l的轴对称图形。
l l lA B AB BAC C C（1）（2）（3）分析：由于△ABC有三个顶点，因此只要分别作出A、B、C三个顶点关于直线l的对称点，然后连接成三角形即可。
解：对于（1），作AD⊥l于D，延长线段AD到A＇，使A＇D＝AD作BE⊥l于E，延长线段BE到B＇，使B＇E＝BE作CF⊥l于F，延长线段CF到C＇，使C＇F＝CF顺次连接A＇，B＇，C＇△A＇B＇C＇即为所求。
对于（2），方法同（1），但由于点B在直线l上，因此点B关于l的对称点B＇与点B重合，也在直线l上。
对于（3），方法同（1）＇＇（1）（2）（3）评析：要注意点在对称轴上时，它关于l的对称点也在对称轴上；点在对称轴异侧时，它们关于l的对称点仍在对称轴异侧。
例2. （1）写出点（-2，3）关于y轴的对称点的坐标，关于x轴的对称点的坐标；（2）写出点（2，0）关于y轴的对称点的坐标，关于x轴的对称点的坐标。
（3）写出点（3，2）关于x＝1的对称点的坐标，关于y＝1的对称点的坐标；（4）若点（-3，1）关于某直线的对称点的坐标为（3，1），写出该直线；（5）若点（-1，-2）关于某直线的对称点的坐标为（-1，2），写出该直线。
分析：（1）x轴，y轴为对称轴，不难找出（-2，3）点关于x轴，y轴的对称点的坐标。
对称的知识
对称的知识
对称是一个数学概念，也是一个几何概念。
作为一个数学概念，对称是指对某种事物进行变换后，如果变换前后的图形或数量关系能够完全重合，那么就称这种变换为对称变换。
例如，对于一个图形，如果沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就称为轴对称图形，这条直线称为对称轴。
作为一个几何概念，对称可以分为轴对称、中心对称和旋转对称三种。
轴对称是指一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
中心对称是指把一个图形绕着某一点
旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对
称或中心对称。
旋转对称则是指把一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角），如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，这个点叫做它的旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转对称角。
对称在数学和生活中都有着广泛的应用。
在数学中，对称是一个重要的概念，它可以简化问题的复杂性，帮助我们更好地理解和解决问题。
在生活中，对称也是一种常见的现象，例如建筑物的对称设计、自然界中的对称现象等。
通过对称的研究和应用，我们可以更好地理解自然和人工世界的规律，为科学和技术的发展做出贡献。
第十三章轴对称教材分析.docx
第十三章《轴对称》教材分析八年级上册“轴对称”一章，主要包括轴对称和等腰三角形的相关内容。
本章共安排了三个小节和两个选学内容，教学时间约需15 课时，具体分配如下：轴对称3课时轴对称变换3课时等腰三角形4课时数学活动、小结2课时机动3课时一、教材内容解析1.知识结构框图等腰三角形等边三角形生线段垂直平分线活轴对称中画图形的对称轴的轴轴对称变对画轴对称图形称两个图形关于直线对称2.内容分析本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。
在此基础上，利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形.轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。
节“轴对称”中，根据学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，从整体上概括出轴对称的特征。
结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这一性质，讨论了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.13， 2 节“轴对称变换”中，通过观察一系列的图形，引出了轴对称变换并归纳其特征，通过作轴对称图形、简单的图案设计、确定最短路线等活动，使学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵。
用坐标表示轴对称，从数量关系的角度刻画了轴对称变换。
教科书从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于 x 轴或 y 轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于 x 轴或 y 轴对称的图形 .研究的是等腰三角形的相关知识 . 等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质 . 由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛.等腰三角形的许多特殊性质，都和它是轴对称图形有关 . 利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角” 、“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容 .轴对称的性质是本章的重点，轴对称变换的应用，利用轴对称设计图案，用坐标表示轴对称等都是围绕这一性质进行的 . 另外，等腰三角形的性质和判定也是本章的重点，它们是证明线段和角相等的重要根据，应用也比较广泛。
中考数学几何三大变换之轴对称真题与分析
中考数学几何三大变换之轴对称真题与分析轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。
轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。
一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1.下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。
因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。
故选B。
例2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。
故选A。
例3.下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。
【考点】轴对称图形，中心对称图形。
【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。
八年级数学上册轴对称图形教材分析
3、充分利用现代多媒体技术和学生的动手操 作活动，让学生经历观察、实验、归纳、探 究、论证的过程，满足学生的学习需求。
18
课时安排：
13.1 轴对称 13.2 作轴对称图形 13.3 等腰三角形 数学活动 小结
3课时 3课时 5课时
2课时
19
13.3 等腰三角形
21
12.3 等腰三角形
1、等腰三角形的对称轴与“三线合一”性质
2、等腰三角形性质、判定与全等三角形
3、等边三角形与等腰三角形的关系及其轴对称 性（直角三角形的性质） 4、文字命题的证明步骤 5、三角形中边与角不等关系的探究：
“不等”问题转化成“相等”的问题
22
23
演示结束！
感谢聆听！
THANK YOU FOR WATCHING!
关性质
会运用等
等 腰 三 角 形
了解等腰三角形、等 边三角形的概念，会 识别这两种图形；理 解等腰三角形、等边 三角形的性质和判定
能用等腰三角形、 等边三角形的性 质和判定解决问 题
腰三角形、 等边三角 形的知识 解决有关 问题
17
三、教学建议及各节教材的分析
1、联系实际，借助大量的实例理解轴 对称的有关概念和特征。
轴对称图形，也可以用反射来定义。如果一
个图形的一部分被某一条直线反射后，得到的映
象恰好等同于原图形的其余部分，这个图形即被
称为轴对称图形。该直线叫做对称轴。
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本套教材在不同阶段安排了图形变换的内容： 第五章 相交线与平行线— 5.4平移（七年级下） 第 十三 章 轴对称（八年级上） 第二十三章 旋 转（九年级上）
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轴对称变换是第二种保距变换。如果在一 张纸上画一个图形，把一面平面镜的末端放在纸 上，并且在镜子里看到这个图形，那么原图形就 被反射了。由反射产生一个图形的映象的过程， 也叫轴对称变换。反射由一条反射线所确定，反 射线也叫对称轴。反射线是连接图形中的任意一 点与该点映象之间的所有线段的垂直平分线。
考点13 初中数学中考考点 轴对称变换的性质
轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合.轴对称的性质：①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③对应点的连线互相平行或在同一条直线上；1.抓住对称轴，找准对应点，根据关于某条直线对称的两个图形全等，确定图形中的边，角的相等关系；2.理解基本图形中的重要关系：如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，点D的对称点是D′，点C的对称点是C′，则有①ED＝ED′，CD＝C′D′；②∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，∠DEF＝∠D′EF；③等腰△GEF中，GE＝GF.3.求角的度数的问题，一般利用轴对称的性质，结合平行线的性质，三角形的内角和定理，相似三角形等知识来求解；4.求线段的长度的问题，或构造直角三角形，利用勾股定理列方程，或借助全等三角形，或利用相似三角形求解.例1.如图，将△ABC沿DE，DF翻折，顶点B，C均落在点G处，且BD与CD重合于线段DG，若∠A＝36°，∠AEG＋∠AFG的度数为（）．A .100°B .102°C .108°D .117°例2.如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开.再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，得到折痕BM ，同时，得到线段BN，若AB BM 的长为（ ） N ABC D EF M AB .2C .3 D.例3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠B＝60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD 上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积_____．1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD 上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②AG＋DF＝FG；③△DEF∽△ABG；④S△ABG＝32S△FGH．其中正确的是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，将矩形纸片的两个直角分别沿EF、DF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，点C恰好落在边B′F上．若AE＝3，BE＝5，则FC＝______．3.如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点．（1）若∠A∶∠ABC＝3∶4，∠ACD＝140°，求∠A的度数；（2）若∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．求证：1902 MCP A ∠=︒-∠；（3）在（2）的条件下，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q（如图2），试探究∠BQC与∠A有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明．（每道试题10分，总计100分）1.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A B.3 C.2 D.2.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D 处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为A.40°B.50°C.60°D.70°3.在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，把△ABE 沿直线AE 折叠，B 点落在点B ′处，B ′B 与AE 交于点F ，连接AB ′，DB ′，FC ．下列结论：①AB ′＝AD ；②△FCB ′为等腰直角三角形；③∠CB ′D ＝135°；④BB ′＝BC ；⑤2AB AE AF =⋅.其中正确的个数为（）.A .2B .3C .4D .54.已知点P （3，﹣1），那么点P 关于x 轴对称的点P ′的坐标是（）A .（﹣3，1）B .（3，1）C .（﹣1，3）D .（﹣3，﹣1）5.将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开．如果∠1＝56°，那么∠2＝______．6.如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于E、F，若∠EPF＝α，则∠AOB＝_____．7.如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上运动，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若∠B′ED＝90°，则BD的长是________．8.将三角形纸片ABC，按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF＝_______．9.问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置．已知OB＝10，BC＝6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F．问题探究：（1）如图1，若点E的坐标为(0，4)，直接写出点A的坐标________；（2）将矩形沿直线12y x n=-+折叠，求点A的坐标；问题解决：（3）将矩形沿直线y kx n=+折叠，点F在边OB上（含端点），求k的取值范围．10.如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F.（1）如图1，当点P在边BC上时：①若∠BAP＝30°，求∠AFD的度数；②若点P是BC边上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；（2）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论；（3）是否存在这样的情况，点E为线段DF的中点，如果存在，求BP的值；如果不存在，请说明理由.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。
中考数学 考点13 轴对称变换的性质(解析版)
轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合.轴对称的性质：①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③对应点的连线互相平行或在同一条直线上；1.抓住对称轴，找准对应点，根据关于某条直线对称的两个图形全等，确定图形中的边，角的相等关系；2.理解基本图形中的重要关系：如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，点D的对称点是D′，点C的对称点是C′，则有①ED＝ED′，CD＝C′D′；②∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，∠DEF＝∠D′EF；③等腰△GEF中，GE＝GF.3.求角的度数的问题，一般利用轴对称的性质，结合平行线的性质，三角形的内角和定理，相似三角形等知识来求解；4.求线段的长度的问题，或构造直角三角形，利用勾股定理列方程，或借助全等三角形，或利用相似三角形求解.例1.如图，将△ABC沿DE，DF翻折，顶点B，C均落在点G处，且BD与CD重合于线段DG，若∠A＝36°，∠AEG＋∠AFG的度数为（）．A .100°B .102°C .108°D .117°【答案】C例2.如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开.再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，得到折痕BM ，同时，得到线段BN ，若3AB，则BM 的长为（ ） N ABC D EF M A .332 B .2 C .3 D .23【答案】B例3.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝60°，点E 是边AB 上的一点，点F 是边CD 上一点，将平行四边形ABCD 沿EF 折叠，得到四边形EFGC ，点A 的对应点为点C ，点D 的对应点为点G ，则△CEF 的面积_____．73【精细解读】解：根据轴对称的性质可证△BCE ≌△GCF ，得到CE ＝CF 。
初中数学 几何变换之轴对称(一)
模块一对轴对称的初步认识轴对称图形两个图形成轴对称直观认识：直观认识：定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称。
注意：轴对称图形指的是一个图形是轴对称图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形。
因此，轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条，但是两个图形成轴对称只有一条对称轴。
模块二“将军饮马”问题“将军饮马”问题比较经典，在考试中出现的频率特别的高，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”问题和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试或者是考查比较难得“将军饮马”问题，考试的方法通常都是“将军饮马”的做法，综合考察。
模型I：最小问题ABlP'P•••ABP••••ABP••••ADPB2P•••OC1POA'C CEDF D BOABCPD'P模型II ：最大问题PB AlPB'B Al模块三 常见轴对称的模型角平分线模型：角平分线的中心思想应该是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种。
但是在这三种中，同学们在运用的过程中，往往第二种辅助线方式同学们最容易出错，因为在出现第二种情况时，同学们往往看不出来；第三种做法最能体现轴对称的本质。
翻折模型：其实可以这样说，翻折就是轴对称，轴对称就是翻折，而涉及到翻折往往不是单一考察，会和特殊四边形、一次函数中的图形结合考察，考察比较全面。
通常情况下，和四边形结合，会考察求边倒角，而和一次函数结合，让你求点坐标，考察比较综合。
【教师备课提示】模块三是为了让孩子们复习回忆以前学过的知识，所以老师可以略讲，重点是让孩子们练习。
（1）如图1-1，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB CD=，有下面的结论：①AB CD∥；②AC BD⊥；③AO OC=；④AB BC⊥，其中正确的结论有_______．（2）（成外）如图1-2，ABE△和ACD△是ABC△分别沿着AB，AC边翻折180︒形成的，若130BAC∠=︒，则EFC∠的度数是________．ODCBAlFEDCBA图1-1 图1-2（1）①②③；（2）100︒．【教师备课笔记】这道题主要考察轴对称的性质，对应边和对应的角度相等．在正ABC△内取一点D，使DA DB=，在ABC△外取一点E，使BDE DBC∠=∠，且BE BA=，求BED∠．AB CEDAB CED如图所示，连接DC．因为AD BD=，AC BC=，CD CD=，则ADC BDC△≌△，故30BCD∠=︒．而DBE DBC∠=∠，BE AB BC==，BD BD=，因此BDE BDC△≌△，故30BED BCD∠=∠=︒．【教师备课提示】这道题主要是让大家找到对称的感觉，实际上给我们的很多图实际是就是很多是轴对称，但是需要自己去添加辅助线去找到．模块一对轴对称的初步认识如图，已知60ABD ACD∠=∠=︒，且1902ADB BDC∠=︒-∠．求证：ABC△是等腰三角形．ABCDABCED延长BD到E，使得DE CD=，连接AE．∵1902ADB BDC∠=︒-∠，∴2180ADB BDC∠+∠=︒，即180ADC ADB∠+∠=︒．∵180ADE ADB∠+∠=︒，∴ADC ADE∠=∠，∵CD DE=，AD AD=，∴(SAS)ADC ADE△≌△，∴60ACD E∠=∠=︒，AC AE=，∵60ABD ACD∠=∠=︒，∴ABD E∠=∠，∴AB AE=，∴AB AC=∴ABC△是等腰三角形．（1）如图4-1，在ABC△中，90ACB∠=︒，以AC为一边在ABC△外侧作等边ACD△，过点D作DE AC⊥，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，15cmAB=，9cmBC=，P是射线DE上的一点．连接PC、PB，若PBC△的周长最小，则最小值为（）．A．21cm B．22cm C．24cm D．27cm（2）已知如图4-2，正方形ABCD的边长为3，E在BC边上，且1EC=，P是BD上一动点，则PE PC+的最小值（）．A．5B．11C．13D．15 PFEDC PEDCBA模块二“将军饮马”问题E'PECBA（1）C ；（2）C ．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型只有一个动点的情况，常考．（1）（四川竞赛改编）如图5-1所示，在等腰Rt ABC △中，3CA CB ==，E 是BC 上一点，满足2BE =，点P 是斜边AB 上任意一点，PC PE +的最大值和最小值分别记作s 和t ，求22s t -的值．（2）（全国初中联赛）如图5-2，设正ABC △的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA PM +的最大值和最小值分别记为s 和t ．求22s t -的值．AB CE PABC MP图5-1 图5-2（1）226610s t -=+找点E 关于AB 的对称点'E ，连接'BE 、'PE ，所以''PC PE PC PE CE +=+≥， ABC △为等腰直角三角形， 45ABC ∴∠=︒，'90CBE ∴∠=︒当且仅当C 、P 、'E 三点共线时，PC PE +的值最小， 该最小值为222313+=．当点P 在AB 上移动时，极限情况在A 和B 位置. 当点P 位于点A 时，310PC PE AC CE +=+=+， 当点P 位于点C 时，5PC PE BC BE +=+=． 故PC PE +的最大值为310+．故226610s t -=+．（2）作点M 关于BC 的对称点'M ，连接'AM 、'PM ． 由点M 、'M 关于BC 对称可知，'PM PM =． 故''PA PM PA PM AM +=+≥ 当且仅当A 、P 、'M 共线时， 等号成立，故22(')7t AM ==．MPCBA另外两个临界位置在点B 和点C 处．当点P 位于点C 处时，23PA PM AC CM +=+=+； 当点P 位于点B 处时，3PA PM AB BM +=+=． 故22(23)743s =+=+，2243s t -=．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中只有一个动点的情况，而且是考察一个动点的最大和最小情况，关键是轴对称．（1）（2013-2014武侯区统考）在锐角三角形ABC 中，32BC =，45ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM MN +最小值是______________．（2）如图，30AOB ∠=︒，2OC =，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ，使得CM MN +最小，求出此最小值．CB AMN OC'ON MAB C（1）3；（2）如图所示，易得3CM MN +≥．（1）如图7-1，30AOB =︒∠，点P 位于AOB ∠内，3OP =，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求PMN △的最小周长．A BOPNMABO''P P'P NM（2）若60AOB =︒∠，其它条件不变，则PMN △的最小周长是多少．（1）分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P '、P ''， 连接OP '、OP ''、P P '''、'P M 、"P N ，显然PMN △的周长，PM MN PN P M MN P N '''++=++， 由两点间线段最短，P M MN P N P P ''''''++≥， 故PMN △的最小周长为P P '''，∵30AOB =︒∠，3OP OP OP '''===， ∴P OP '''△是等边三角形，∴3P P '''=，PMN △的最小周长为3．（2）33．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中有两个动点的情况，关键是轴对称，注意这个题我们从（1）中还可以得到不论P 在角内部的什么地方，以O ，P '、P ''为顶点的三角形始终是等边三角形．在ABC △中，45A =︒∠，7AB =，42AC =，点D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 上的动点，求DEF △的最小周长．BA E FDCD''D'FE DCBA285442543NMA BC当点D 固定时，分别作点D 关于AB 、AC 的对称点D '、D ''，应用上面结论可得DE EF DF D E EF FD D D ''''''++=++≥， ∵45A =︒∠，∴AD D '''△是等腰直角三角形，2D D AD '''=，故2DE EF DF AD ++≥，当AD 最小时，即AD 为ABC △的高，且D '、E 、F 、D ''四点共线，DEF △的周长最小为2AD ．求高AD 如图所示．最小周长为2825．（此三角形即为著名的垂足三角形）【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中三个动点的问题，属于难题．如图，I是ABC△的内心（三角形三条角平分线的交点），且CA AI BC+=．若80BAC∠=︒，求ABC∠和AIB∠的大小．B ACIB ACID40︒40︒20︒因为有内心，故可以用角平分线构造全等三角形，从而使问题变得容易解决．如图，在BC上取点D，使CD AC=，连接DI．因为CA AI BC+=，所以BD AI=．在ACI△和DCI△中，AC DC=，ACI DCI∠=∠，CI CI=．所以ACI DCI△≌△．于是AI DI=．所以DI BD=．因为80BAC∠=︒，所以40CAI∠=︒，40CDI∠=︒．又CDI∠是等腰BDI△的外角，所以1202DBI DIB CDI∠=∠=∠=︒，40ABC∠=︒．在AIB△中，40BAI∠=︒，20ABI∠=︒，所以180(2040)120AIB∠=︒-︒+︒=︒．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接DE、AE，将DEC△沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．（1）求证：BE AF=；（2）如果9AB=，:1:4EC BE=，求线段DE的长．（1）AB CD DF==，90ABE DFA==︒∠∠，AEB DAF=∠∠，∴ABE DFA△≌△，∴BE FA=（2）∵ABE DFA△≌△，∴AE DA=，设CE x=，则4BE x=，5BC BE CE x=+=，5AE AD BC x===，在ABE△中，222AB BE AE+=，2229(4)(5)x x∴+=，解得3x=，∴3CE=，又9CD AB==，∴22310DE CE CD=+=．模块三常见轴对称的模型FE CBDA已知：三点(3,1)A 、(4,1)B 、(6,0)C ，点P 为x 轴上一动点． （1）当OAP △与CBP △周长的和取得最小值时，求点P 的坐标； （2）求证：45AOC BCO ∠+∠=︒；（3）当35APB ∠=︒时，求OAP PBC∠+∠度数．P yxO 1234561232121A BC备用图y xO 1234561232121ABC备用图y xO 1234561232121A BC（1）如图1，作点A 关于x 轴的对称点A '，可得(3,1)A '-． 连接'A B 交x 轴于点P ．设直线A B '的解析式为()0y kx b k =+≠， 可得此直线的解析式为27y x =-． 当0y =时， 3.5x =．当AP BP +取得最小值时，可得OAP △与CBP △周长的和取得最小值，此时， 点P 的坐标为(3.5,0)．（2）如图2，设AA '交x 轴于点K ，连结A B '、A C '．则(3,0)K ，∴3OK CK ==，1AK A K '==，10OA CA '==， ∴OKA CKA '△≌．∴AOK A CK '∠=∠．∵(3,1)A '-，(4,1)B ，(6,0)C ，∴5A B BC '==，图1图2又∵A C '=222A C AB BC ''=+， ∴A BC '△为等腰直角三角形． ∴45BCA BCO A CO ''∠=∠+∠=︒， ∵AOC A CO '∠=∠， ∴45AOC BCO ∠+∠=︒．（3）当35APB ∠=︒时，()()360OAP PBC AOC BCO APO BPC ∠+∠=︒-∠+∠-∠+∠ 36045(18035)170=︒-︒-︒-︒=︒．【教师备课提示】这道题属于综合题，实际上相当于把将军饮马模型放到了坐标系中，和一次函数想结合，这种问题是学生们拉开差距的题型，因此希望通过这道题培养和锻炼孩子们的代几综合能力．（1）下列图案中，有且只有三条对称轴的是（）•A．B．C．D．（2）一个汽车车牌在水中的倒影如图，该车的车牌照号码是（）A．WJ0103922 B．2593010WJC．WJ0103625 D．WJ0103925（1）D；（2）C.如图2-1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若1234∠=∠=∠=∠，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2-2，图2-3，图2-4中，四边形ABCD为矩形，且4AB=，8BC=．（1）在图2-2、图2-3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．（2）求图2-2，图2-3中反射四边形EFGH的周长．（3）如图2-4，请你猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？并给出证明．图1ABGHHGFEDCBA4321FPENHQGM AB图2FEDCBA图2-1 图2-2模块一对轴对称的初步认识AB CDEF图3图42431HGFEDCBA图2-3 图2-4（1）如图所示（2）图2：853：85（3）连接BD，延长HG、CD交于点M，图2 图3AB CDEFGHHGFEDCBA4321MHGFEDCBA∵四边形ABCD是矩形，∴AB CD∥，∴3M∠=∠，又∵23∠=∠，∴2M∠=∠，∴EF GH∥，同理EH FG∥，∴四边形EFGH是平行四边形，∴GF HE=，又14∠=∠，GDF EHB∠=∠，∴GDF EHB△≌△，∴DF BH=，∵12∠=∠，∴1M∠=∠，∴GF GM=，又∵GD FM⊥，∴DF DM=，∴BH DM=，又∵BH DM=，∴四边形BDMH是平行四边形，∴BD MH MG HG FG HG==+=+，同理EH EF BD+=，∴2EFGHC BD=，为定值．【教师备课提示】这道题主要是考察关于轴对称的创新题，考察和锻炼学生们的思维和对新定义知识的理解接收能力．（1）如图3-1，已知A、B两村分别距公路l的距离'10kmAA=，'40kmBB=，且''50kmA B=．在公路l上建一中转站P使AP BP+的最小，则AP BP+的最小值为（）A．100km B．80km C．60km D．502km （2）如图3-2，正方形ABCD中，8AB=，M是DC上的一点，且2DM=，N是AC 上的一动点，求DN MN+的最小值与最大值．BlAP'B'AA DNMB C图3-1 图3-2（1）D；（2）找点D关于AC的对称点，由正方形的性质可知，B就是点D关于AC的对称点，连接BN、BM，由DN MN BN MN BM+=+≥可知，当且仅当B、N、M三点共线时，DN MN+的值最小，该最小值为226810+=．当点N在AC上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：BM与AC的交点，即DN MN+取最小值时；当点N位于点A时，8217DN MN AD AM+=+=+；当点N位于点C 时，8614DN MN CD CM+=+=+=．故DN MN+的最大值为8217+．（1）如图，正方形ABCD的边长是4，DAC∠的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ PQ+的最小值是________．（2）已知30AOB∠=°，点P在AOB∠内部，1P与P关于OB对称，2P与P关于OA对称，则1P、O、2P三点确定的三角形是（）．A．直角三角形B．等腰直角三角形C．腰底不等的等腰三角形D．等边三角形（1）22；（2）D．模块二“将军饮马”问题A DECQP如图所示，已知Rt ABC △中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，CA 上的点，则DE EF FD ++的最小值为（ ）．A．125 B．245C ．5D ．6FEDCBAF"F'C'A'FEDCB A如图所示，DE EF FD ++的最小值为F F '''，且当F F AC ''''⊥时，F F '''去最小值，故选B ．如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．321EBADC321FE BADC如右图延长CE 、BA 相交于点F ，在BEC △和BEF △中12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△；∴12CE EF CF ==；∵BE CE ⊥，∴190F ∠=-∠°同理390F ∠=-∠°；∴13∠=∠；∴ABD ACF △≌△；∴BD CF =；∴12CE BD =．模块三 常见轴对称的模型。
北师大版数学八年级上册3《轴对称与坐标变化》教案1
北师大版数学八年级上册3《轴对称与坐标变化》教案1一. 教材分析《轴对称与坐标变化》是北师大版数学八年级上册第三章的内容。
本节课主要介绍轴对称的概念，以及如何在坐标系中进行对称变换。
教材通过丰富的实例，让学生体会轴对称的性质，培养学生的空间想象能力。
同时，本节课还引导学生利用坐标系解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。
但是，对于轴对称的概念，以及如何在坐标系中进行对称变换，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解轴对称的性质，以及如何利用坐标系进行对称变换。
三. 教学目标1.理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质。
2.学会在坐标系中进行对称变换，解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力，提高数学应用能力。
四. 教学重难点1.轴对称的概念及其性质。
2.在坐标系中进行对称变换的方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究轴对称的性质。
2.利用直观教具，如图形、模型等，帮助学生理解轴对称的概念。
3.通过实例分析，让学生掌握在坐标系中进行对称变换的方法。
4.注重启发式教学，引导学生运用坐标系解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的图形、模型等直观教具。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的轴对称现象，如剪纸、建筑等，引导学生关注轴对称的概念。
提问：什么是轴对称？学生在思考和讨论中初步理解轴对称的概念。
2.呈现（10分钟）教师展示一些轴对称的图形，如正方形、矩形等，引导学生观察和分析这些图形的性质。
提问：轴对称图形的性质有哪些？学生在思考和回答中进一步理解轴对称的性质。
3.操练（10分钟）教师引导学生利用坐标系进行对称变换。
示例：已知点A(2,3)，求点A关于x 轴的对称点B的坐标。
学生独立完成，教师点评和讲解。
4.巩固（10分钟）教师给出一些实际问题，让学生运用坐标系进行解决。
八年级数学轴对称变换
[问答题][综合分析题]张某是某知名软件公司开发部的高级工程师，自1995年进入公司以来，表现十分出色，每每接到任务时总能在规定时间内按要求完成，并时常受到客户的表扬。在项目进行时还常常主动提出建议，调整计划，缩短开发周期，节约开发成本。但在最近的几个月里情况发生了变 [单选]Battle征是指（）A.颅后窝骨折引起的脑脊液耳漏B.颅中窝底骨折引起的脑脊液鼻漏和耳漏C.颅前窝底骨折引起的眼眶周围的青紫和肿胀D.颅后窝骨折引起的迟发性乳突部皮下淤血斑E.颅中窝底骨折引起的搏动性突眼和颅内血管杂音 [单选]下列情况下（）更容易产生绕射。A.波长大于障碍物尺寸B.波长等于障碍物尺寸C.波长小于障碍物尺寸D.波长远大于障碍物尺寸 [填空题]在站点施工时，严禁用（）直接塞入插座内供电。 [单选,A1型题]检查发现某患者呼吸由浅慢逐渐变深快，然后由深快转为浅慢，随之出现短时暂停，周而复始，应诊断为（）A.间停呼吸B.叹息样呼吸C.潮式呼吸D.库斯氏呼吸E.胸部剧痛引起的抑制性呼吸 [判断题]中医学把人体看成一个以脏腑经络为核心的有机整体。把人和自然界一切事物都看成是阴阳对立统一的两个方面。A.正确B.错误 [单选]以下哪一个不是主要影响胰腺的疾病A.胰腺炎B.胰腺假性囊肿C.胰腺癌D.库欣综合征 [单选]设L是圆周x2+y2=a2（a>0）负向一周，则曲线积分（x3-x2y）dx+（xy3-y3）dy的值为：（）A.πa4B.-πa4C.-（π／2）a4D.（π／2）a4 [单选]承接勘察任务或签订勘察合同时，工程的（）是必须条件。A.立项批准文件B.项目建议书C.可行性研究报告D.规划审批文件 [单选]VHF电台内有AGC电路，要实现AGC，控制电压必须（）。A.保持恒定B.随外来信号强度变
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木丛样的墨灰色飞烟，加速射向远方琳可奥基官员怒哮着音速般地跳出界外，狂速将细长的淡灰色怪石一样的脑袋复原，但元气已受损伤转壮扭公主：“哈哈！这位官家的技术空前温柔哦！相当 有迷信性呢！”琳可奥基官员：“哇咻！我要让你们知道什么是威猛派！什么是疯狂流！什么是野蛮科学风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么创意都弄出来瞧瞧！”琳可奥基官员：“哇 咻！我让你享受一下『彩鸟骨怪船头宝典』的厉害！”琳可奥基官员突然搞了个，醉兽花生翻九千度外加鹤喝水管旋一百周半的招数，接着又演了一套，波体鱼摇腾空翻七百二十度外加飞转三周 的壮观招式！接着像天蓝色的悬角丛林兽一样猛啐了一声，突然玩了一个独腿狂跳的特技神功，身上眨眼间生出了九十只很像水桶一样的纯黑色脖子。紧接着颤动很大的牙齿一喊，露出一副秀丽 的神色，接着摇动结实的仿佛扫帚般的腿，像水蓝色的亿血牧场鳄般的一吼，寒酸的硕长的眉毛猛然伸长了九十倍，散射的土黄色水精一样的气味也顿时膨胀了九十倍……最后颤起仿佛扫帚般的 腿一摆，变态地从里面抖出一道神光，他抓住神光野性地一扭，一件黑森森、灰叽叽的咒符『彩鸟骨怪船头宝典』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边抽动，一边发出“啾啾”的幽响……… …猛然间琳可奥基官员快速地念起念念有词的宇宙语，只见他轻飘的暗橙色细小棕绳一样的胡须中，猛然抖出四十道风车状的天网，随着琳可奥基官员的抖动，风车状的天网像球拍一样在额头上 独裁地弄出团团光甲……紧接着琳可奥基官员又连续使出五十五路玄雀田埂飞，只见他老态的舌头中，轻飘地喷出四十组旋舞着『金丝春神石板珠』的椰壳状的嘴唇，随着琳可奥基官员的旋动， 椰壳状的嘴唇像泡菜一样念动咒语：“金掌哔 嘟，水桶哔 嘟，金掌水桶哔 嘟……『彩鸟骨怪船头宝典』！大爷！大爷！大爷！”只见琳可奥基官员的身影射出一片葱绿色灵光，这时 裂土而出快速出现了四群厉声尖叫的紫玫瑰色光犀，似幻影一样直奔葱绿色金辉而来……，朝着壮扭公主大如飞盘的神力手掌狂劈过来！紧跟着琳可奥基官员也摇耍着咒符像弯弓般的怪影一样向 壮扭公主狂劈过来壮扭公主突然耍了一套，窜豹石板翻九千度外加犀哼撬棍旋一百周半的招数！接着又玩了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百周的震撼招式。接着像亮紫色的万喉戈 壁豹一样怒咒了一声，突然搞了个倒地蠕动的特技神功，身上瞬间生出了九十只活像烟斗般的深红色脚趾……紧接着扭动刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指一吼，露出一副典雅的神色，接着晃动奇 如熨斗的手掌，像湖青
动手试一试
在一 张半透明的纸的左边画一只左脚印，
在把这张纸对折后描图，打开对折的纸。
就能得到相应的
右脚印
动脑想一 想
左脚印和右脚印有什么关系？ 成轴对称 对称轴是 折痕所在的 直线，既直线 ︱
图中的 PP 与 ︱ 是什么关系？
类似地。我们可由一个图形 得到与它成轴对称的另一个 图形，重复此过程，可得到 美丽的图案
B
△ABC 就是所求作的三角形
归纳
几何图形都可以看作由点组成，只要作出这些点 关于对称轴的对应点，再连接对应点，就可以得 到原图形的轴对称图形
对于一些由直线、线段或射线组成的图形只要作出 图形中的一些特殊点的对称点，再连接对应点，就 可以得到原图形的轴对称图形
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对 称变换后得到。一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础， 经轴对称变换扩展而得到
探究一 如果有一 个图形和一条直线，如何作出与这个
图形关于这条直线对称的图形呢？
例1、 如图，已知△ABC
和直线L，作出与△ABC 关
于直线L对称的图形
A
C
小结：
①对称轴方向和位置发生变化时，得到的图 形的方向和位置也 会发生变化
②由一个平面图形可以得到它关于一条直线L 对称的图形，ຫໍສະໝຸດ 个图形与原图形的形状、大小 完全一样；
③新图形上的每一点，都是原图形上 的某一点关于直线L的对称点；
④连接任意一 对对于的对应点的线段被对称 轴垂直平分。
由一个平面图形得到它 的轴对称图形叫做轴对 称变换