第九讲逻辑推理问题

第九讲逻辑推理问题一、知识要点和基本方法1．逻辑推理问题在近年来的许多竞赛试题中，常常会见到这样的一类题目，没有或很少给出什么数量关系；它们的解决方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，较少用到专门的数学知识，而是根据条件和结论之间的逻辑关系，进行合理的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案，这就是逻辑推理问题．（详见例题）2．逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性，并且没有一定的解题模式．因此，要正确解决这类问题，不仅需要始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律——同一律、矛盾律和排中律．（1）“矛盾律”指的是在逻辑推理过程中，对同一结论的推理不能自相矛盾．（2）“排中律”指的是在逻辑推理过程中，一个思想或为真或为假，不能既不真也不假．（3）“同一律”指的是在逻辑推理过程中，同一对象的内涵必须是确定的，在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用，不许偷换．3．逻辑推理问题解决的方法一般有：（1）列表画图法．（2）假设推理法．（3）枚举筛选法．下面将通过例题来学习上述提出的三个规律和三种解决逻辑推理问题的方法．二、例题精讲（一）列表画图法例1一次网球邀请赛，来自湖北、广西、江苏、北京、上海的五名运动员相遇在一起，据了解：（1）王平仅与另外两名运动员比赛过；（2）上海运动员和另外三名运动员比赛过；（3）李兵没有和广西运动员比赛过；（4）江苏运动员和凌华比赛过；（5）广西、江苏、北京的三名运动员相互之间都比赛过；（6）赵林仅与一名运动员比赛过．问：张俊是哪个省市的运动员？分析由（2）、（5）、（6）知赵林是湖北运动员，由（3）、（5）知李兵是上海运动员，据此采用列表法如下（用“×”表示否定，用“√”表示肯定）：湖北广西江苏北京上海王平××李兵××××√凌华××赵林√××××张俊××解由（2）、（3）知李兵除去来自广西的运动员外，与其他运动员都赛过．又由（5）知，江苏和北京运动员至少各赛了3场．由（1）知，王平是广西运动员，再由（4）知，张俊是江苏运动员．（如下表）广西江苏北京王平√××凌华××√张俊×√×例2 江波、潘锋、刘荣三位老师共同担任六年级一班的语文、数学、政治、体育、音乐和美术六门课的教学，每人教两门．现在知道：（1）政治老师和数学老师是邻居；（2）潘锋最年轻；（3）江波喜欢和体育老师、数学老师交谈；（4）体育老师比语文老师年龄大；（5）潘锋、音乐老师、语文老师三人经常一起去游泳．你能告诉我们上述三位老师分别教的是哪两门功课吗？分析应从提供信息最多的条件人手．（3）和（5）给我们提供的信息最多．为使推理过程条理清晰，一目了然，我们采用图表推理，其中“√”表示“是或肯定”，“×”表示“不是或否定”．解由（3）江不是体育老师、数学老师由（5）潘不是音乐、语文老师由（2）、（4）潘不是体育老师由上表可知，刘为体育老师由（3）刘不是数学老师语数政体音美江××潘××刘语数政体音美江××潘×××刘语数政体音美江××潘×××刘√语数政体音美江××潘×××刘×√所以潘是数学老师由（1）潘不是政治老师所以，潘又是美术老师由（4）刘不是语文老师所以江是语文老师由（5）江不是音乐老师所以江还是政治老师刘还是音乐老师语数政体音美江××潘×√××刘×√语数政体音美江××潘×√×××刘×√语数政体音美江×××潘×√×××√刘×√×语数政体音美江×××潘×√×××√刘××√×语数政体音美江√×××潘×√×××√刘××√×语数政体音美江√×××潘×√×××√刘××√×语数政体音美江√×√×××潘×√×××√刘×××√√×从最后一张表中可看出，江波教语文、政治；潘锋教数学和美术；刘荣教体育和音乐．例3A、B、C、D、E五个球队进行单循环赛（每两个队之间都要比赛一场），进行到中途，发现A、B、C、D比赛过的场次分别是4、3、2、1．问这时E队赛过几场？E队和哪几个队赛过？图9-1解用平面上的点表示A、B、C、D、E队，两队比赛过，用两点连线表示；没有比赛过，则不连线．据此画出图9-1，其理由如下；A赛过4场，A与B、C、D、E均连线；B赛过三场，除与A赛过，还赛过2场，因为D只赛过1场（和A队赛），因此B只能和乙D赛过；这样正好符合C赛过2场，D赛过1场．由图9－1看出这时E队赛过2场，E队和A、B两队赛过．说明用图表示所研究对象及其关系，是讨论逻辑问题的另一个重要手段．用点表示所研究的对象，用连线表示对象之间的某种关系．充分利用图形的直观性，便于说明问题．（二）假设推理法例4有四人打桥牌（牌中不含大、小王牌，每人共13张牌），已知某一人手中的牌如下：①红桃、黑桃、方块、梅花四种花色的牌都有；②各种花色的牌，张数不同；③红桃和黑桃合起来共6张；④红桃和方块合起来有5张；⑤有两张主牌（将牌）．试问这手牌以什么花色为主牌？“解由于主牌不外乎四种花色之一，因此可以采用假设法．先假设红桃为主牌．依题意，红桃为两张，则黑桃为4张，方块为3张．一共有13张牌，梅花只能为4张，与黑桃张数相同，矛盾．其次假设方块为主牌．依题意，方块为两张测红桃为3张，黑桃也为3张，矛盾．再假设梅花为主牌．因为主牌为两张，所以黑桃、红桃，方块应总共11张．但根据条件③、④知，这三种花色的总和应少于11张，又出现矛盾．所以只能是黑桃为主牌，此时红桃4张，方块1张，梅花6张．说明推理的方法很多，如果题目中所设及的情况只有有限种，我们可以先假设一个前提正确，以此为起点，如果推理导致矛盾，说明假设的前提不正确，再重新提出一个假设，直至得到符合要求的结论为止．这种方法叫做“假设推理法”或“假设淘汰法”．这就是例4所用的方法．例 5 在一所公寓里有一人被杀害了，在现场共有甲、乙、丙三人．已知这三人中，一个是主犯，一个是从犯，一个与案件无关，警察从现场的人的口中得到下列证词：①甲不是主犯；②乙不是从犯；③雨不是与案犯无关的人．这三条证词中，提到的名字都不是说话者本人，三条证词不一定分别出自三人之口，但至少有一条是与案件无关的人讲的．经过调查证实，只有与案件无关的人说了真话，问主犯是谁？解由于“证词中提到的名字都不是说话者本人”，因此这三条证词至少出自两人之口．又由“只有与案件无关的人说了实话”，所以这三条证词中至少有一条是与案件无关的人讲的真话．下面我们先对“只有一条是与案件无关的人讲的真话”进行假设．假设①是真，②、③是假话，则甲与丙都是与案件无关的人，或者甲与乙都是从犯，这与已知矛盾．假设②是真话，①、③是假话，同上面情况类似，仍与已知矛盾．假设③是真话，①、②是假话，则三人全是罪犯，也与已知矛盾．这说明三条证词中应有两条是与案件无关的人讲的真话．假设①是假话，②、③是真话，则②、③应出自与案件无关的人甲之口，但①是假话，又推出甲是主犯，矛盾．假设②是假话，①、③是真话，其结果与前一假设类似，仍然矛盾．所以只有③是假话，①、②是真话．此时可知：丙是与案件无关的人，甲是从犯，乙是主犯．说明“假设推理法”特别对解决“真假话”问题尤为有效．当然用假设推理法解决问题，不仅限于上面的几种情况，请看下面的例题．例6在一次战役中，甲方俘虏了乙方100名官兵．一天甲方告知乙方的100名俘虏：明天会以一种特别的方式释放这100名俘虏中的一些人，这100名俘虏将被排成一列，他们的头上将随机地被戴上一顶黑色或白色的帽子．每个人都只能看见前面所有人的帽子的颜色，但不能看到后面及自己头上帽子的颜色．甲方军官将从队伍最后一个人开始逐一询问同样一个问题：“请说出你头上帽子的颜色”，如果回答正确，该俘虏将无条件获得释放，如果回答错误将被终身监禁．当然，每一个俘虏除能看到前面所有人的帽子颜色外，他还可以听到后面俘虏所回答的帽子颜色（最后一名俘虏除外）．作为这100名俘虏的指挥官将设计一个最好的策略告诉他的部下，在明天的“测试”中，使尽可能多的同伴获得释放．请问：被俘方的指挥官将设计一个什么样的策略，使尽可能多的同伴（俘虏）获得释放，最多能释放多少个俘虏？分析100名俘虏全部被释放是不可能的，因为第一位被询问者，他的全部信息是看到前面99名俘虏头上帽子的颜色，据此，他无法确定他头上帽子的颜色．（黑色或白色）．但从倒数第二人开始，他们所获得的信息比最后一人的信息多了一条，即除能看清前面所有人头上的帽子颜色外，还会听到后面同伴所报出的自己头上帽子的颜色．如果有一种策略，确保后面同伴所报帽子颜色是正确的话，那么，这种策略对该人应能确保他所报自己头上帽子颜色的正确性．非常可喜地，聪明的指挥官想出了这样一个“释放”策略，使除最后一人（即第一个被询问者冲》，其余所有的俘虏，运用这个策略，均能准确地推出自己头上帽子的颜色．这样，除第一个被询问者（即排在排尾的人）外其余的人都能获释：共99人获释．说来十分奇妙，这个策略只是建立在一个十分简单的互相之间的“约定”之上．解排在最后的一名俘虏（即第一个被询问者——绝顶聪明而又富于自我牺牲精神的军官）可以看到前面99人头上所戴帽子的颜色．由于99是奇数，它是两种不同颜色帽子数的和，因此，必有一色帽子数为奇数（例如白色）．那么，．．．这个约定就是：第一位被询问者就报他所看到的该色帽子数为奇数的颜色．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（即为白色）．这个约定每一位被俘者人人皆知．那么，只要依照这个约定，除最后一位军官外其余的人（从第1位到第99位）均能准确推出自己头上帽子的颜色．不妨假设最后一位军官所报自己头上帽子颜色为“白色”（注意：这意味着，他所看到前面99个同伴头上白色帽子总数为奇数），于是第99位俘虏依共同约定可以这样分析：1．若他（第99位俘虏）所看到前面98人头上白色帽子数是奇数，那么，他自己头上帽子颜色不会是白色（因为奇数+1=偶数），否则，第100位俘虏所看到的白色帽子数为偶数（=奇数+1），按规则他不应报“白色”，而应该报“黑色”！所以，第99位俘虏头上帽子必为黑色！2．若他（第99位俘虏）所看到的前面98人头上白色帽子数是偶数，依据他后面的军官（第100位）所报的“白色”，按约定知，自己头上所戴帽子颜色应该为白色！进而考虑第98位俘虏的报色．1．若第98位俘虏听到第99位俘虏报“黑色”（自然也听到第100位报“白色”），他将观察他所看到的前面97人中白色帽子的奇偶性：若白色帽子数为奇数，则他头上所戴帽子颜色应为黑色，而不是白色（否则第100位俘虏所见白帽数为偶数）；著所见白帽数为偶数，则第98位应报“白色”（理由同学们细想一想，为什么？）2．若第98位俘虏听到第99位俘虏报“白色”．此时，他观察前97人白帽子数的奇偶性：若他所见白帽数为奇数，而他后面的第99位报的是“白色”，因为第100位报“白色”，因此，他应报“白色”2若他所见到前面97人中白帽数为偶数，’依据同样推算，第98位此时应报“里色”依次类推，第97位、第96位、…、第1位，均可依据他们各自所听到后面的报色情况及所见到的前面同伴头上白帽数的奇偶性准确推断出自己头上帽子的颜色！这样，除了排在最后一位被俘者（军官）实在无法确定自己头上帽子颜色外（虽然，他的判断正确概率有50％），其余在他前面的99位同伴，都可按照他所制订的“约定”全部获释！（三）枚举筛选法例7桌上放了8张背向上的扑克牌，牌放置的位置如图9上所示，现已知：①每张牌都是A、K、Q、J中的某一张；②这8张牌中至少有一张Q；③A只有一张；④所有的Q都夹在两张K之间；⑤ 至少有一张K 夹在两张J 之间；图9-2 图9-3⑥ 至少有两张K 相邻；⑦ J 与Q 互不相邻，A 与K 也互不相邻．你知道这8张牌各是什么牌吗？解 为了便于说明8张牌的位置，我们将其编号，如图9－3．根据条件②、④人的位置有4种可能：（1）3和6同时为Q ；（2）3为Q ；（3）6为Q ；（4）4为Q ．下面分别对这4种情况进行讨论：（1）3和 6同时为 Q ．则 2、4、5、7或 2、4、8为 K ，但这两种情况都不能满足条件⑤，排除．（2）3为Q ．则2、4为K ，由条件①八只能在5、7、8的位置上，且6不能为K ，又由条件③，则1必须是K ，同样不能满足条件⑤用E 除．（3）6为Q ，则4、8或5、7为K ，若4、8为K ，不能满足条件⑤，若5、7为K ，由条件③，3必须为K ，则2、4应为J （条件⑤），但这与条件⑦不符，排除．（4）只能4为Q ．此时1、6为K ，5、7为J ，8为K ．现只剩下2、3两个位置，根据要求可知，3为A ，2为J ．说明 这里为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况．然后对各种情况—一枚举，逐个检验，淘汰非解，最终达到解决整个问题的目的二这就是数学中经常用到的“枚举筛选法”．下面的例题又是“枚举筛选法”的一个应用题．例8 某个家庭现有四个家庭成员．他们的年龄各不相同，他们的年龄总和是129岁，而其中有三个人的年龄是平方数．若倒退15年，这四人仍有三人的年龄是平方数．你知道他们各自的年龄吗？解 根据条件可知四人的年龄都应在15岁到129岁之间，并且有三人的年龄是15至129之间的平方数，所以应对15至129之间的平方数进行枚举与筛选． 设四个人的现有年龄分别为222a b c 、、和d （a b c d 、、、都是自然数），有 222+++129a b c d =，且 22215,15,15a b c d >>>≥15,．因此，对于222a b c 、、来说，可能出现的数字是：16，25，36，49，64，81，100，121．因为15年前仍有3人的年龄是平方数，所以在222、、中至少有两个减a b c去15后仍然是平方数．在上述8个平方数中不难发现，只有16－15=1，64－15=49符合条件，故2216,64==．a b此时，2129166449+=--=，将49分解成两个都大于等于15，且其中c d之一为平方数的自然数，只有2c=25，d=24．这样d－15=9，恰好是平方数．由此得到四人的年龄分别为：16岁、24岁上5岁和64岁．练习题A 组1．地理课上，老师挂出一张没有注明省份名称的中国地图，其中有五个省分别编上了1～5号．让大家写出每个编号是哪一省．A答：2号是陕西，5号是甘肃；B答：2号是湖北，4号是山东；C答：1号是山东，5号是吉林；D 答：3号是湖北，4号是吉林；E答：2号是甘肃，3号是陕西．这5名同学每人都只答对了一个省，并且每个编号只有一个人答对，问1～5号各是哪个省？2．在甲、乙、丙三人中，有一位老师，一位工人，一位战士．知道丙比战士年龄大，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小．请你推断谁是教师？谁是工人？谁是战士？3．10个好朋友彼此住得很远，又没有电话，只能靠写信互通消息．这10个人每人知道一件好消息（这10个人各自知道的好消息不同），为让这10个人都知道所有好消息，他们至少让邮递员送几封信？4．四所小学，每所小学有两支足球队，这8支球队进行友谊赛．规定本校的两支球队之间不赛，任两个队（除同一学校的两个队之外）间赛一场，且只赛一场．比赛进行一阶段后（还没赛完）上学校第一队的队长发现其他各队已赛的场数互不相同，问：这时A学校第二队赛了几场？5．四位数abcd与9的乘积为dcba，其中a b c d、、、表示不同的数字，求原四位数．B 组6．有A、B、C三个盒子．一个盒子放着盐，另两个盒子放着白糖，每个盒子上各写一句话：A盒写着：这里放着白糖；B盒写着：这里放着盐；C盒写着：白糖放在B盒中．这三句话只有一句为真．问盐放在哪个盒中？7．五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得2分、负者得0分、打平两队各得1分．比赛结果各队得分互不相同．（1）第1名的队没有平过；（2）第2名的队没有负过；（3）第4名的队没有胜过．问全部比赛共打平了多少场？8．老师要从甲、乙、丙、了四名同学中选派两人去参加某项活动，征求他们的意见，甲说：“我服从分配”；乙说：“如果甲去，那么我就去”；丙说：“如果我不去，那么乙也不能去，”；丁说：“我和甲都要去，要不就都不去”．老师要都满足他们的要求，应选派谁去？9．甲、乙、丙、丁四人对A先生的藏书数量作了一个估计，甲说：“A先生有500本书”；乙说：“A先生至少有1000本书”；丙说：“A先生的书不到2 000本”；丁说：“A先生最少有1本书”．这四个人的估计中，只有一句话是对的．问A先生究竟有多少本书？10．共有四人进行跳远、百米、铅球、跳高四项比赛．规定每个单项第一名记5分，单项第二名记3分，单项第三名记2分，单项第四名记1分．每一单项比赛中四人得分互不相同．总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名获11分，其中跳高得分高于其他项得分．问总分得第二名的铅球这项的得分是多少分？田四某工厂为了表扬好人好事核实一件事，厂方找了A、B、C、D 四人．A说：“是B做的．”B说：“是D做的．”C说：“不是我做的．”D说：“B说的不对．”这四人中只有一人说了实话．问：这件好事是谁做的？在一次射击练习中，甲、乙、丙三位战士打了四发子弹，全部中靶，其命中情况如下：①每人四发子弹所命中的环数各不相同；②每人四发子弹所命中的总环数均为17环；③乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另两发命中的环数与丙其中两发一样；④甲与丙只有一发环数相同；⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环．问：甲与丙命中的相同环数是几？测试题1．小赵计算机的密码是一个五位数，它由5个不同的数字组成小张说：“它是84 261”；小王说：“它是26 048”；小李说：“它是49 280”；小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的密码上的同一位数字相同，就算猜对了这个数字．现在你们每人都猜对了位置不相邻的两个数字．”请问：小赵的密码是什么样的5位数．2．有5个人各说了一句话：第1个人说：“我们中间每一个人都说谎话”；第2个人说：“我们中间只有一个人说谎话”；第3个人说：“我们中间有两个人说谎话”；第4个人说：“我们中间有三个人说谎话”；第5个人说：“我们中间有四个人说谎话”．请问：五个人中，谁说谎话？谁说真话？3．某学校举行了一次长跑比赛，有A、B、C、D、E、F、G、H八人参加比赛．比赛结束后，每人都说了两句话，即A说：“B得了第一名心不在我前面．”B说：“E没有G跑得快0不在H前面．”C说：“H不比我跑得快J不在D前面．”D说：“我得了第二名人不是最后一名．”E说：“我不在F前面山不在我前面．”F说：“A得了第一或第二J不是第四名．”G说：“有两人同时到达终点…不在我前面．”H说：“A不在我前面S不在D前面．”这八个人所说的十六句话中，只有一句是正确的．你知道哪一句是正确的吗？八名运动员的名次如何？4．四张卡片上分别写着努、力、学、习四个字（一张上写一个字），取出其中三张覆盖在桌面上，甲、乙、丙分别猜每张卡片上是什么字，具体如下表．第一张第二张第三张甲力努习乙力学习丙学努力如果每一张上的字至少有一人猜中，所猪三次中，有人一次也没猜中，有两个人分别猜中了二次和三次。