02二项式定理通项公式
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容。
在高考中，二项式定理的命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。
因此，复时要正确理解二项式定理、二项展开式的概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键。
同时，注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。
其中，非标准二项式定理求解特殊项的问题是难点问题。
二项式定理的公式为(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+。
+C(n,k)*a^(n-k)*b^k+。
+C(n,n)*b^n，其中n∈N*。
展开式的第k+1项为C(n,k)*a^(n-k)*b^k。
在求二项展开式的特定项问题时，实质上是考查通项T(k+1)=C(n,k)*b的特点。
一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解。
注意k的取值范围为k=0,1,2，…，n。
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解。
二项式系数是二项展开式中各项的系数，记为C(n,k)。
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等。
二项式系数具有对称性，在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C(n,k)=C(n,n-k)。
二项式系数的增减性与最大值是：当k(n+1)/2时，二项式系数逐渐减小。
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大。
各二项式系数的和等于2，即C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C(n,0)+C(n,2)+…=C(n,1)+C(n,3)+…=2^(n-1)。
在高考中，常涉及多项式和二项式问题，主要考查学生的化简能力。
常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题。
赋值法是一种重要的方法，适用于恒等式，用于求形如(ax＋b)、(ax＋bx＋c)(a，b∈R)的式子展开式的各项系数之和。
二项式定理通项公式
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开 式的 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 三项 的系数，再由已知条件求出n的 值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：
二项式的通项公式
二项式的通项公式二项式的通项公式，又称二项定理或二项展开式，是代数学中的一条重要公式，用于展开一个二项式的幂。
它是形如(a+b)ⁿ的二项式的展开结果。
二项式的通项公式可以用有序对的方法、二项式系数的方法或二项式定理的方法进行推导和解释。
首先我们来介绍一下二项式系数的方法。
在二项式(a+b)ⁿ中，每一项的系数都可以用二项系数来表示，记作C(n,k)，其中n表示指数的次数，k表示每一项中b的幂的次数。
二项系数C(n,k)的计算方法如下所示：1.当k等于0或k等于n时，C(n,k)等于12.当k小于0或k大于n时，C(n,k)等于0。
3.当k大于0且k小于n时，C(n,k)等于C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。
通过上述计算规则，我们可以得到二项式的通项公式 (a + b)ⁿ =C(n, 0)aⁿb⁰ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b¹ + C(n, 2)aⁿ⁻²b² + ... + C(n, n-1)abⁿ⁻¹+ C(n, n)a⁰bⁿ。
另一种解释二项式的通项公式的方法是使用二项式定理。
二项式定理指的是(a+b)ⁿ的展开公式，其中n是一个非负整数。
二项式定理的表达式如下所示：(a + b)ⁿ = C(n, 0)aⁿb⁰ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b¹ + C(n, 2)aⁿ⁻²b² + ... +C(n, n-1)abⁿ⁻¹ + C(n, n)a⁰bⁿ这个公式可以通过数学归纳法来证明。
当n等于1时，左边为(a + b)¹ = a + b，右边为C(1, 0)a¹b⁰ + C(1, 1)a⁰b¹ = a + b，两边相等。
假设当n=k时，公式成立，即(a + b)ᵏ = C(k, 0)aᵏb⁰ + C(k, 1)aᵏ⁻¹b¹ +C(k, 2)aᵏ⁻²b² + ... + C(k, k-1)abᵏ⁻¹ + C(k, k)a⁰bᵏ。
二项式各项公式
二项式各项公式一、二项式定理对于二项式(a + b)^n，其展开式的二项式定理为(a + b)^n=∑_{k =0}^nC_{n}^ka^n - kb^k，其中n∈ N^。
二、二项式展开式的通项公式1. 通项公式- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_{k+1}=C_{n}^ka^n - kb^k（k = 0,1,·s,n）。
这就是二项式展开式的通项公式。
- 例如，在(x + 2)^5中，n = 5，根据通项公式T_{k + 1}=C_{5}^kx^5 -k2^k。
当k = 2时，T_{3}=C_{5}^2x^5 - 22^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)x^3×4 = 10×4x^3=40x^3。
2. 二项式系数- 在通项公式T_{k+1}=C_{n}^ka^n - kb^k中，C_{n}^k=(n!)/(k!(n - k)!)称为二项式系数。
- 二项式系数具有对称性，即C_{n}^k = C_{n}^n - k。
例如，C_{6}^2=(6!)/(2!(6 - 2)!)=(6×5)/(2×1)=15，C_{6}^4=(6!)/(4!(6 - 4)!)=(6×5)/(2×1)=15，所以C_{6}^2 = C_{6}^4。
三、二项式展开式的性质1. 项数- 二项式(a + b)^n展开式共有n + 1项。
例如，(a + b)^3=a^3 +3a^2b+3ab^2 + b^3，共有3 + 1 = 4项。
2. 二项式系数之和- 二项式(a + b)^n的二项式系数之和为2^n，即∑_{k = 0}^nC_{n}^k=2^n。
例如，在(a + b)^4中，n = 4，C_{4}^0+C_{4}^1+C_{4}^2+C_{4}^3+C_{4}^4 = 1 + 4+6 + 4+1=16 = 2^4。
3. 奇数项与偶数项的二项式系数之和- 二项式(a + b)^n中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2^n - 1。
高三数学二项式定理通用版知识精讲
高三数学二项式定理通用版知识精讲【本讲主要内容】二项式定理二项式定理和二项展开式性质及其应用【知识掌握】 【知识点精析】1. 二项式定理：对任意的正整数n ，有)N n (b C ......b a C ......b a C a C )b a (*n n n r r -n r n 1-n 1n n 0n n ∈+++++=+这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n )b a (+的二项展开式，各项系数rn C ……（r ＝0，1，2，……，n ）叫做二项式系数。
特例：在二项展开式中令a ＝1，b ＝x ，则有公式：（）＝ (111)22+++++x C x C x C x nn n n n n2. 通项公式：二项展开式中的第r+1项r r-n rn b aC 叫做通项，记做)n r 0,N n (b a C T *r r -n r n 1r ≤≤∈=+。
注意：（1）它表示二项展开式中的任意项，只要n 和r 确定，该项也随之确定。
（2）通项公式表示的是第r+1项，而不是第r 项。
（3）公式中a ，b 的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n 。
3. 二项式系数的性质：（1）二项式系数的对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； （2）二项式系数的大小规律如果二项式幂指数是偶数，中间一项12n T +的二项式系数最大；如果二项式幂指数是奇数，中间两项121n T ++和121n T +-的二项式系数相等并且最大。
（3）二项式系数的和：nn n 2n 1n 0n 2C ......C C C =++++ 当n 为偶数时C C C C C C C C n n n n n n n n n n n 024135112++++=++++=--…………当n 为奇数时C C C C C C C C n n n n n n n n n n n 024113512++++=++++=--…………（4）二项式系数与项的系数的区别：如n)bx a (+的展开式中，第r+1项的二项式系数为r n C ，第r+1项的系数为r r-n r n b aC 。
二项式定理(通项公式)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二项式定理二项式知识回顾 1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k k n nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ①0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.（2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC +相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1)⑶a0+a2+a4+a6……=2)1 ()1(-+ff⑷a1+a3+a5+a7……=2)1 ()1(--ff经典例题1、“n ba)(+展开式：例1．求4)13(xx+的展开式；【练习1】求4)13(xx-的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含2x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22x的展开式的二项式系数和比(31)n)nx-的展开式的二项式系数和大992，求21-的展开式中：（1）二项式系数最(2)nxx大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx 展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理(通项公式)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理系数和公式
二项式定理系数和公式
随着互联网技术的发展，二项式定理系数和公式也应运而生，并得到了广泛的
应用。
二项式定理的定义是“任意一个正整数n>0，即(x+y)^n = Σx^(n-k)y^k，
其中k=0→n。
” 二项式定理说明，任何正整数n所对应的二项式系数实际上便是(x+y)^n由x和y展开后， x^(n-k)y^k组成的单项中，x^(n-k)y^k的系数经可以
通过表达式n!/((n-k)!k!)，而n!即n的阶乘，n! = 1*2*3*4*…*n。
借助于二项式定理有着多种应用，可以公式化地考察概率问题、棋类问题以及
许多其他问题。
比如，将抛洒n枚骰子的所有可能结果以组合的形式表达式出来，便是一个标准的二项式定理。
还有一个极为重要的应用，二项式定理分形，可以描绘出大自然中可能存在的典型图案。
在网络和信息技术领域，二项式定理则可以应用于多媒体信号处理、视频压缩、数据传输、经济管理、信息系统的安全传输、符号处理、加密算法以及网络调制等。
这些技术的发展，得益于二项式定理的宽泛运用和广泛研究，使得我们的网络技术日益成熟。
由此可见，二项式定理系数和公式是互联网技术发展的重要基石，它不仅可以
解决许多实际问题，而且可以应用于多种技术领域，正如此它可谓是互联网技术发展中不可缺少的因素，值得我们重视和深入研究。
二项式定理通项公式-二项定理通项公式
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理公式常用结论
二项式定理公式常用结论二项式定理可是咱数学里相当重要的一块儿内容！咱先来说说二项式定理公式到底是啥。
这公式啊，简单来说就是$(a+b)^n=\sum_{r=0}^n C_n^r a^{n-r}b^r$ 。
这里面的$C_n^r$ 叫组合数，算起来就是 $C_n^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。
那这二项式定理公式有啥常用结论呢？比如说，二项式展开式的通项公式$T_{r+1}= C_n^r a^{n-r}b^r$ ，通过这个通项，咱能方便地找到展开式里的任意一项。
再比如说，二项式系数之和为 $2^n$ 。
这个结论很有用哦！我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别有意思。
当时我在黑板上写了一道题：求$(x + 2)^5$ 的展开式中$x^3$ 的系数。
我刚写完题目，就看见这个学生皱着眉头，嘴里还嘟囔着：“这可咋整啊？”我就引导他们先写出通项公式，然后再找$x^3$ 的系数。
等我讲完这道题，再问大家有没有明白，那个学生眼睛一下子亮了，大声说：“老师，我懂啦！”看着他那兴奋的样子，我心里也特别开心。
还有啊，二项式展开式中奇数项系数之和等于偶数项系数之和，都等于 $2^{n-1}$ 。
这个结论有时候能让一些复杂的计算变得简单不少。
在解题的时候，咱们得灵活运用这些结论。
比如说，让你求二项式展开式中某一项的系数，或者让你证明一些和二项式系数相关的等式，这时候这些常用结论就能派上大用场啦。
咱再来说说二项式定理在实际生活中的应用。
你别觉得这只是数学课本里的枯燥知识，其实在很多领域都能看到它的影子。
比如说在概率统计里，计算某些事件发生的概率可能就会用到二项式定理。
还有啊，在计算机算法里，二项式定理也能帮助优化一些计算过程。
就像咱们平时用手机、电脑，背后的程序运行说不定就有它的功劳呢。
总之，二项式定理公式的常用结论虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多琢磨琢磨，就能熟练掌握，让它成为咱们解决数学问题的有力工具。
二项式定理(通项公式) (2)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k k n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L ,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-L L ，1(1)k k n k kk n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++L L ①1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++L L ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到012nn n n n C C C +++=L ，即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n nn C C C C -++=++=L L ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.（2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴a 0+a 1+a 2+a 3......+a n =f(1) ⑵a 0-a 1+a 2-a 3......+(-1)n a n =f(-1) ⑶a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f ⑷a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f 经典例题1、“n b a )(+展开式： 例1．求4)13(xx +的展开式； 【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项 例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项. 3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)n x x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()nn N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是； 5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7103)1(xx -的展开式中有理项共有项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是； （2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是；。
二项式定理(通项公式).doc
11 1 12 113 3 1 14 6 4 11 5 10 10 5 1 6 15 20 151 721 35 35 21二项式知识回顾1. 二项式定理(。
+b)n = C>" ++ + <广甘 + + C ：",以上展开式共n+1项，其中C ：叫做二项式系数，牙叫做二项展开式的通项. (请同学完成下列二项展开式)(a-by=*〃-+ +(― + +(― 1)〃c ；", 4* =(― 1)*(i+x )〃 = C )+G* +c,X+ +c;x①(2x +1)〃 = C )(2x)" + C ； (2x)fl ~l + + C ； (2x)n 'k + C ：「(2x) +1=a n x n++ + a n _k x n ~k+ a }x+a X)②① 式中分别令x=l 和x-1,则可以得到C ：+C ；+ +C ：；=2〃，即二项式系数和等于2〃 ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即< +G ； + = C ： +C ： + = ② 式中令后1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质 (1) 对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C ： = C 「". (2)二项式系数C ；'增减性与最大值：〃 + 1 77 4- 1当比 <—时，二项式系数是递增的；当k>—^时，二项式系数是递减的.2 2当n 是偶数时，中间一项C ：取得最大值.当n 是奇数时，中间两项2和G"相等，且同 时取得最大值.3. ......................................................................................................................................... 二项展开式的系数So, 21, &, &,・・•，&的性质：f U)= &+切混血/+&， .............. +以 (1) &+日1 + &+义3 +&=f(l) (2) 初一务 + 危一位 .......+ (-l)n<3n -f (~1)二项式定理⑶翎+怎+m……堂⑴+ /(T)2［练习11求（3JI—4的展开式经典例题1、"(0 + 8)“展开式：例1.求(3五+ -^)‘的展开式;2.求展开式中的项例2.已知在(欢-§=)〃的展开式中，第6项为常数项.(1)求n； (2)求含F的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.【练习2］若展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含尤的一次慕的项；（2）展开式中所有尤的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知（折+/）2〃的展开式的二项式系数和比（3x-lf的展开式的二项式系数和大992,求（2X--）2W的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项［练习3］已知（JI-的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.3（1）求展开式中含尤2的项；（2）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.常数项是 例6求（去-&。
二项式定理公式通项
二项式定理公式通项好的，以下是为您生成的关于“二项式定理公式通项”的文章：在数学的奇妙世界里，二项式定理就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
而其中的通项公式，更是这把钥匙上的关键齿纹。
咱先来说说二项式定理到底是啥。
打个比方，假如有个式子 (a +b)^n ，这就好像是一个大礼包，而二项式定理就是告诉我们怎么把这个大礼包一层一层剥开，看看里面到底都有些啥宝贝。
而通项公式呢，就是帮我们准确地找到每一层里面特定的那件宝贝。
通项公式 T(r + 1) = C(n, r) * a^(n - r) * b^r ，这里面的每一个部分都有它独特的作用。
C(n, r) 呢，叫做组合数，就像是个选东西的小管家，决定了有多少种选法；a^(n - r) 和 b^r 则分别表示 a 和 b 在这一项中的“势力范围”。
还记得我上高中那会，有一次数学考试，最后一道大题就是关于二项式定理的。
我当时一看，心里咯噔一下，有点慌了神。
题目是让求(x + 2)^8 展开式中 x^5 的系数。
我深吸一口气，告诉自己别慌，然后开始琢磨通项公式。
我先算出 C(8, r) ，再根据通项公式一点点算，最后终于算出 r = 3 时能得到 x^5 这一项。
当我算出答案的那一刻，心里那个美呀，就像大热天吃了根冰棍，爽极了！从那以后，我对二项式定理的通项公式就有了更深的感情，也不再害怕这类题目了。
在实际应用中，二项式定理的通项公式用处可大了。
比如说在概率统计里，计算某些随机事件的概率；在物理中，研究微观粒子的运动状态；在计算机科学里，优化算法提高效率。
它就像一个万能工具，哪儿需要就能往哪儿搬。
咱们再深入聊聊这个组合数 C(n, r) 。
它的计算其实有个小窍门，C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!) 。
这看起来有点复杂，但是只要多做几道题，熟练了之后就能很快算出来。
比如说 C(5, 2) ，那就是 5! / (2! * 3!) = 10 。
02二项式定理通项公式
02二项式定理通项公式二项式定理，又称拉格朗日二项式定理，是数学中一个重要的定理，它有一个与之相关的通项公式。
拉格朗日二项式定理是指：给定两个非负整数n,k，使得k≤n，则有：\begin{align} \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}\end{align}二项式定理的通项公式为：\begin{align} \binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{1\cdot2\cdot3\cdots k} \end{align}其中，（2）的表达式中，当求解Cn,k时，可以将其分为两部分，即Cn-1,k和Cn-1,k-1、由（1）可知，Cn,k就是上式中的Cn-1,k与Cn-1,k-1的总和，这也正是（2）中求得结果的过程。
拉格朗日二项式定理的通项公式（2）的理解可以由两个思考维度来说明：一是从数字的角度来理解，从数字上看，（2）的表达式分为两部分，即n(n-1)(n-2)…(n-k+1)与1x2x3…xk，而二项式定理的表达式（2），就是上面两部分的乘积。
二是从函数的角度来理解，(2)的表达式可以表示为：\begin{align} F(n,k)=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{1\cdot2\cdot3\cdots k} \end{align}这是一个有n,k两个变量的函数。
可以看出，此函数的变量都是整数，也就是说，它的定义域在整数集上，即：\begin{align} D=\{(n,k), n \in N, 0 \le k \le n \}\end{align}那么，通过(2)可以求得各种整数序列，即可以以n,k两个变量。
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9
Tr +1 = C x
r 9
9−r
r 1 r 9−2 r − = ( −1) . C9 x x
r
根据题意，得 9 – 2r = 3
3
⇒ r=3
3
3 因此，x 的系数是 ( −1) C9 = −84
注意：展开式中第 r + 1 项的二项式 系数 与第 r + 1项的系数不同。
(a + b)n 在实际应用过程中， 这个公式很有作用，我们
2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例5. 已知( x － x2 ) (n∈N)的展开式中第五项
根据通项公式先出求含x (2) 根据通项公式先出求含x 的项是展开 式中的第几项，然后把它代入通项公式。 式中的第几项，然后把它代入通项公式。 这个二项展开式在奇数项系数是正的， (3) 这个二项展开式在奇数项系数是正的， 偶数项系是负的， 偶数项系是负的，所以只须考虑系数的绝 对值最大。 对值最大。
可以用这个展开式来求一些复杂数的近似值。
例3：计算 ( 0.997 ) 的近似值。精确到0.001) (
10
解：0.997 ) = (1 − 0.003) (
10
10
0 1 2 = c10 ⋅110 − c10 ⋅19 ⋅ 0.003 + c10 ⋅18 ⋅ 0.0032 − L
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
例4：在二项式 的展开中式，前三项系数 成等差数列，求展开式中的所有有理项。 解：二项展开式的通项公式是:
T k +1 = C
k n
1 x+ 4 2 x
n
(
x )n−k (
1 2
4
x
)k = C
k n
1 x k 2
2n−3k 4
前三项的r=0,1,2， 1 1 1 得系数为:t1=1, t2= 2 C n = 2 n 由已知得:t1+t3=2t2, 通项公式:
x x
x
Tk+1=Cnk(
)n－5k
n －10 ∴T5=T4+1=24Cn4x 2 n －5 T3=T2+1=22Cn2x 2
∴第五项的系数与第三项的系数分别为 24Cn4、22Cn2;
2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例5. 已知( x － x2 ) (n∈N)的展开式中第五项
的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。(1) 求展开 10:1 式各项系数的和
3 2
2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例5. 已知( x － x2 ) (n∈N)的展开式中第五项
的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。(1) 求展开 10:1 式各项系数的和
解：∵(
－ 22 )n展开式中的通项为 x =(－ )n－k(－ 22 )k=(－2)kCnk( x
二项式定理的复习 1.二项展开式：
c a + c a b +L+ c a b +L+ c b
0 n n
( a + b)
n
=
r n−r r n n n n
1 n−1 n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。 二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk 叫做二项展开式的通项, 通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
分析：要灵活、 分析：要灵活、正确的应用二项展开
式的 通项公式。 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 的系数，再由已知条件求出n 三项 的系数，再由已知条件求出n的 赋值法”求各项系数的和。 值。由“赋值法”求各项系数的和。
的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。(1) 求展开 10:1 3 式各项系数的和； 的项。 式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2 的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
例1项的系数。 解: 在(1-2x)7的展开式中 , 第四项为 T4=C73(-2x)3=-280x3, 第四项的二项式系数是C73=35； 第四项的系数是C73(-2)3=-280 . 注意某项的二项式系数和项的系数的区别。
1 3 例2：求 x − 的展开式中x 的系数。 x 解：展开式的通项是
(1+x)n
=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnkxk+…+Cnnxn
4. 扬辉三角：
0
(a + b ) LLLLLLL 1 1 (a + b ) LLLLLL 1 1 2 (a + b ) LLLLL 1 2 1 3 (a + b ) LLLL 1 3 3 1 4 (a + b ) LLL 1 4 6 4 1 5 (a + b ) LL 1 5 10 10 5 6 (a + b ) L 1 6 15 20 15 6
,t3=
1 2 1 C n = n ( n − 1) 4 8
1 1+ n(n −1) = n, 得n=8. 8
1 16−3k Tk +1 = C8k k x 4 2
k=0,1,2…,8
TK+1为有理项，16-3k是4的倍数，∴k=0,4,8, 有理项有三项，依次为:T1=x4,T5=35x/8,T9=1/256x2
3.二项式定理的几个变式：
(a +b)
(a-b)n
n
= c a + c a b +L+ c a b +L+ c b
0 n n
1 n−1 n
r n−r r n
n n n
1 2 k = an − Cnan−1b + Cn an−1b2 + ... + (−1)n Cn an−k bk + ... + (−1)n bn
由题意得： 由题意得：24Cn4∶22Cn2=10∶1 ∴n2－5n－24=0； 5n－24=0； n=－ (舍 解得 n=8 或 n=－3 (舍)。 令x=1，代入( x=1，
－ 2 )8 x x2
所以各项系数和为1 令x=1,得(1-2)8=1,所以各项系数和为1。 x=1,得(1- =1,所以各项系数和为
解：（1）(1-x)3(1+x)10展开式中的x5可以看成下列 几种方式得到，然后合并同类项： 用 (1-x)3 展开式中的常数项乘以(1+x)10 展开式 中的x5项，可以得到C105 x5； 用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中 的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5； 用(1-x)3 展开式中的x2乘以(1+x)10 展开式中的x3 项可得到3x2(C103x3)=3C103x5； 用(1-x)3 展开式中的x3乘以(1+x)10 展开式中的x2 项可得到(-x3)(C102x2)=-C102x5； 得x5项为:(C105 -3C104 +3C103 -C102)x5=-63x5．
2.二项展开式的特点 2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 项数： 展开式有共n+1项 n+1 都是组合数， (2) 系数 ： 都是组合数， 依次为C 依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn C (3) 指数的特点 ： a的指数 (降幂 降幂) 1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 b的指数由0 n (升幂) (升幂) 的指数由 升幂 a和 的指数和为n 3) a和b的指数和为n
2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例5. 已知( x － x2 ) (n∈N)的展开式中第五项
的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。 10:1
3 2的项。 的项。
(2) 求展开式中含 x
解：展开式通项为： 展开式通项为：
8－5k =(－ Tk+1=(－2)kc8kx 2
的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。(1) 求展开 10:1 3 式各项系数的和； 的项。 式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2 的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例5. 已知( x － x2 ) (n∈N)的展开式中第五项
2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例5. 已知( x － x2 ) (n∈N)的展开式中第五项
解：展开式中的第r项、第r+1项、第r+2 展开式中的第r r+1项 项的系数绝对值分别为C 项的系数绝对值分别为C8r-12r-1、 C8r2r、C8r+12r+1 若第r+1项的系数的绝对值最大， 若第r+1项的系数的绝对值最大，则有 r+1项的系数的绝对值最大 C8r－12r－1≤C8r2r C8r2r≥C8r+12r+1 5≤r≤6， 解得 5≤r≤6，
解得k=1 则条件 8－5k = 3 ，解得k=1
3 展开式中含x ∴展开式中含x 2
2
2
的项为
3 =(－ T2=(－2)1C81x 2
=－ =－16 x 。
3 2
的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。 10:1 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。