不等式-高考文科数学通用讲义

基础送分专题三 不等式[题组练透]1．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( )A ．ac 2>bc 2 B.ab >1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C 若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；若b <0，则ab <1，故B 错；不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：选B 根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2. 3．设p ：x 2－x －20>0，q ：1－x 2|x |－2<0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A p ：由x 2－x －20>0，解得x >5或x <－4.q ：由1－x 2|x |－2<0⇒(1－x 2)(|x |－2)<0，当x ≥0时，可化为(x ＋1)(x －1)(x －2)>0，解得0≤x <1或x >2.当x <0时，可化为(x －1)(x ＋1)(x ＋2)<0，解得－1<x <0或x <－2，故1－x 2|x |－2<0的解为x <－2或－1<x <1或x >2，所以由p ⇒q ，但qp ，故选A.4．若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，65 B.⎣⎡⎭⎫－2，65 C.⎣⎡⎦⎤－2，65 D.⎣⎡⎭⎫－2，65∪{2}解析：选B 当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2，当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得 －2<a <65.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－2，65，故选B. 5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ [题后悟通][题组练透]1．(2019届高三·重庆调研)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值，且z min ＝2×1＋2＝4，故选B.2．(2018·广州测试)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2y －1≥0，x －1≤0，则z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值为( )A.12 B.14C ．－12D ．－34解析：选D 画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z ＝x 2＋2x ＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2－1的几何意义是平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为12，故z min ＝14－1＝－34.3．(2019届高三·湖北八校联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，2x －y ≥m ，若z ＝x ＋2y 的最大值为4，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．1解析：选B 作出约束条件所对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取得最大值4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，得A (0,2)，所以m ＝2×0－2＝－2.4．(2018·合肥质检)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时，生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元解析：选B 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N *，每月利润z ＝2x ＋y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)时，z 取得最大值，为360.5．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示． 由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z 2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6. 答案：6[题后悟通][题组练透]1．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，所以m ＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ≥2ab ＋2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故m ＋n 的最小值为5.2．已知P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，则当1a 2＋4b 2取最小值时，a 2的值为( )A.45 B ．2 C.43D ．3解析：选C ∵P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，∴a 2＋b 2＝4.又a ≠0，b ≠0，∴1a2＋4b 2＝14⎝⎛⎭⎫1a 2＋4b 2·(a 2＋b 2)＝14⎝⎛⎭⎫5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥14⎝⎛⎭⎫5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝94，当且仅当b 2＝2a 2＝83时取等号，故a 2＝43，选C.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．解析：y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2－2＝0.当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．答案：04．(2018·石家庄质检)已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线l 经过点(2,3)， 所以2a ＋3b －ab ＝0， 即3a ＋2b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2a b ≥5＋26，当且仅当3b a ＝2a b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立．答案：5＋2 65．(2018·洛阳统考)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4b的最小值为________．解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x ＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y －6)＋5＋7＋10＝0，解得y ＝4.由x ，G ，y 成等比数列，可得G 2＝xy ＝4，由正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，可得G ＝2，a ＋b ＝2G ＝4，所以1a ＋4b ＝14⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝14⎝⎛⎭⎫1＋b a ＋4a b ＋4≥14×(5＋4)＝94(当且仅当b ＝2a 时取等号)．故1a ＋4b 的最小值为94.答案：94[题后悟通][专题过关检测] 一、选择题1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3＜0的解集A ＝(－1，3)，不等式x 2＋x －6＜0的解集B ＝(－3,2)，所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ym B ．x －m ≥y －n C.x n >y mD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a ≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( )A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.4．(2018·成都一诊)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[0，＋∞)解析：选B 法一：当x ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x ＞0时，x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，又－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a .当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1＞0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立； 当－a ＞0，即a ＜0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝－a 2＋1≥0，得－1≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ＞0，2x －1，x ≤0，若不等式f (x )＋1≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选C 由f (x )≥－1在R 上恒成立，可得当x ≤0时，2x －1≥－1，即2x ≥0，显然成立；又x ＞0时，x 2－ax ≥－1，即为a ≤x 2＋1x ＝x ＋1x ，由x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，取得最小值2，可得a ≤2，综上可得实数a 的取值范围为(－∞，2]．6．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab，故①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．7．(2018·长春质检)已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.8．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 则A (1,2)，B (1，－1)，C (3,0)， 因为目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，所以目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 处取得， 所以若在A 处取得，则k －2＝0，得k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；若在B 处取得，则k ＋1＝0，得k ＝－1，此时，z ＝－x －y ， 在B 点取得最大值，故不成立，故选B.9．(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A ．15万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 解析：选D 设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获利润z 万元，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2,3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若y ≥kx －3恒成立，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－115，0 B.⎣⎡⎦⎤0，113 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫115，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－115∪[0，＋∞) 解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3作出可行域如图中阴影分部所示，则A ⎝⎛⎭⎫－52，52，B (3，－3)，C (3,8)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3≥3k －3，52≥－52k －3， 解得－115≤k ≤0.所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－115，0. 11．若两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n 12＜0有解，则实数n 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2512，1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－2512∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－2512 解析：选B 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min ＜n 2＋13n12， 因为x ＞0，y ＞0，且13x ＋3y＝1， 所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋2 3x y ·y 12x ＝2512，当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min ＝2512， 故n 2＋13n 12－2512＞0，解得n ＜－2512或n ＞1， 所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)． 12．(2019届高三·福州四校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，其中a ＞0，若x －y x ＋y的最大值为2，则a 的值为( ) A.12B.14C.38D.59 解析：选C 设z ＝x －y x ＋y ，则y ＝1－z 1＋z x ，当z ＝2时，y ＝－13x ，作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－13x ，易知此直线与区域的边界线2x －2y －1＝0的交点为⎝⎛⎭⎫38，－18，当直线x ＝a 过点⎝⎛⎭⎫38，－18时，a ＝38，又此时直线y ＝1－z 1＋zx 的斜率1－z 1＋z 的最小值为－13，即－1＋2z ＋1的最小值为－13，即z 的最大值为2，符合题意，所以a 的值为38，故选C. 二、填空题13．(2018·岳阳模拟)不等式3x －12－x≥1的解集为________． 解析：不等式3x －12－x ≥1可转化成3x －12－x －1≥0，即4x －32－x≥0， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ (4x －3)(x －2)≤0，2－x ≠0，解得34≤x ＜2， 故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ＜2. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ＜214．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则关于x 的不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0的解集为________．解析：由题意知－1，12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧ －12＝－b a ，－12＝c a ，且a ＜0， 所以⎩⎨⎧b ＝12a ，c ＝－12a . 所以不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0化为－12a (lg x )2＋b lg x ＋a ＜0， 即－12a (lg x )2＋12a lg x ＋a ＜0. 所以(lg x )2－lg x －2＜0，所以－1＜lg x ＜2，所以110＜x ＜100. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |110＜x ＜100 16．设x ＞0，y ＞0，且⎝⎛⎭⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y 2＝________. 解析：∵x ＞0，y ＞0，∴当x ＋1y 取最小值时，⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2取得最小值，∵⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y 2＋2x y ，⎝⎛⎭⎫x －1y 2＝16y x ，∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x ，⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x ≥2 4x y ·16y x ＝16，∴x ＋1y ≥4，当且仅当4x y ＝16y x ，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，即x 2＋1y 2＋2×2y y ＝16，∴x 2＋1y 2＝16－4＝12. 答案：12。