(word完整版)高三数学试题

高三数学试题一．填空题：1.假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望E ξ的概率为 .2.已知对任意的()()[],00,,1,1x y ∈-∞+∞∈-U ，不等式22268210x xy y a x x+----≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .3.在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 。

4.已知()y f x =是定义在¡上的增函数, 且()y f x =的图像关于点(6,0)对称. 若实数x , y 满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤, 则22x y +的取值范围___________.5.已知一玻璃杯杯口直径6cm, 杯深8cm. 如图所示, 其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分, 一个玻璃小球放入玻璃杯中, 若小球能够碰到杯底, 求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).CPxO y二．选择题：6.已知O 是ABC ∆外接圆的圆心, A ,B ,C 为ABC ∆的内角, 若cos cos 2sin sin B C AB AC m AO C B ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r , 则m 的值为 答 [ ] A. 1 B. sin A C. cos A D. tan A7.已知点列()(),n n n A a b n N *∈均为函数()0,1x y a a a =>≠的图像上，点列(),0n B n 满足1n n n n A B A B +=，若数列{}n b 中任意连续三项能构成三角形的三边，则a 的取值范围为（ ）（A ）5151⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （B ）5151⎫⎛-+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U （C ） 31310,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （D ）3131,11,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 8.过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+¥则直线AB 有（ ）（A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条三．解答题：9.已知直线2y x =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，点()()()1,0,,0A M m n n ≠都在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O.（1）设点M 关于y 轴相交的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ，问：在x 轴上是否存在定点T ，使得?TP TQ ⊥若存在，求出点T 的坐标;若不存在，请说明理由.（2）若过点()0,2D 的直线l 与双曲线C 交于R,S 两点，且OR OS RS +=u u u r u u u r u u u r，试求直线l 的方程.xy O BCA10.已知双曲线22:12x C y -=, 设过点(A -的直线l 的方向向量为(1,)e k =r .(1) 当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时, 求直线l 的方程及l 与m 的距离;(2) 证明: 当k 时, 在双曲线C 的右支上不存在点Q , 使之到直线l .11.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2k＋()f x 恒成立． （1）判断一次函数()f x ＝ax ＋b (a ≠0)是否属于集合M ；（2）证明函数()f x ＝2log x 属于集合M ，并找出一个常数k ；（3）已知函数()f x ＝log a x ( a ＞1)与y ＝x 的图象有公共点，证明()f x ＝log a x ∈M ．12.设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ；（2）若函数xa x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为 “H 函数”,求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N k ∈}上互为“H函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g 在集合M 上的解析式.13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()21.n n n S a S n N*-=∈（1）求出123,,S S S 的值，并求出n S 及数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n b a a n N +*+=-⋅∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）设()()1n n c n a n N =+⋅∈*，在数列{}n c 中取出()3m m N m *∈≥且项，按照原来的 顺序排列成一列，构成等比数列{}n d ，若对任意的数列{}n d ，均有12n d d d M +++≤L ，试求M 的最小值.14.已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项的和为n S ，满足nn a p S p -=-2)1(（*N n ∈），其中p 为正常数，且1≠p ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）是否存在正整数M ，使得当M n >时，7823741a a a a a n >⋅⋅⋅⋅-Λ恒成立？若存在，求出使结论成立的p 的取值范围和相应的M 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若21=p ，设数列}{n b 对任意*N n ∈，都有2123121a b a b a b a b n n n n ---++++Λ 12121--=+n a b n n ，问数列}{n b 是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．15.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 上横坐标为4的点到焦点的距离等于5。

（1）求抛物线的方程。

（2）设直线)0(≠+=k b kx y 与抛物线交于两点),(),,(2211y x B y x A ，且)0(||21>=-a a y y ，M 是弦AB 的中点，过M 做平行于x 轴的直线交抛物线于点D ，得到ABD ∆；在分别过弦BD AD ,的中点作平行于x 轴的直线交抛物线于点F E ,，得到三角形BDF ADE ∆∆,；按此方法继续下去。

解决如下问题：①求证：22)1(16kkb a-=；②计算ABD ∆的面积ABD S∆；③根据ABD ∆的面积的计算结果，写出BDF ADE ∆∆,的面积；请设计一种求抛物线C 与线段AB 所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭图形的面积。

1.假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望E ξ的概率为32. 2.已知对任意的()()[],00,,1,1x y ∈-∞+∞∈-U ，不等式018216222≥----+a y xxy x x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ]248,+∞-（ .3.在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 。

4.已知()y f x =是定义在¡上的增函数, 且()y f x =的图像关于点(6,0)对称. 若实数x , y 满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤, 则22x y +的取值范围___________. 解: 由对称性可知(6)0f =, 由单调性可知6x <时, ()0f x <; 6x >时, ()0f x >; 由22836(4)206y y y -+=-+>, 则266x x -<,结合草图可知2836y y -+到6的距离不超过比26x x -到6的距离,即2283666(6)y y x x -+-≤--, 整理得222268240(3)(4)1x y x y x y +--+≤⇔-+-≤, 其几何意义是以(3,4)为圆心, 1为半径的圆(及其内部),而22x y +即为该区域内点到原点距离的平方, 结合图形可知, 故其取值范围为[16,36]. 5.已知一玻璃杯杯口直径6cm, 杯深8cm. 如图所示, 其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分, 一个玻璃小球放入玻璃杯中, 若小球能够碰到杯底, 的玻璃厚度).解: 如图建系, 抛物线方程为抛物线28,[3,3]9y x x =∈-,小圆与抛物线的接触点即为抛物线上到圆心C 距离最短的点, 由小球能碰到杯底, 则有||||CO CP ≤, 设(,)([3,3])P x y x ∈-在抛物线上,设小球的半径为r , 则圆心的坐标为(0,)C r ,22229||()(2),[0,3]8CP x y r y r y r y =+-=+-+∈,由min ||||CP CO =, 即当0y =时, ||CP 最小, 故19(2)028r --≤,所以9(0,]16r ∈.C P xOy选择题：6.已知O 是ABC ∆外接圆的圆心, A ,B ,C 为ABC ∆的内角, 若cos cos 2sin sin B C AB AC m AO C B ⋅+⋅=⋅u u ur u u u r u u u r , 则m 的值为答 [ B ] A. 1 B. sin A C. cos A D. tan A解: 不妨设外接圆的半径为1, 如图建立直角坐标系, 则有2, 2AOB C AOC B ∠=∠=,故可设(cos2,sin 2)B C C , (cos(2π2),sin(2π2))C B B --, 结合诱导公式得(cos2,sin 2)C B B -, 则(cos 21,sin 2), (cos 21,sin 2)AB C C AC B B =-=--u u u r u u u r,由cos cos 2sin sin B C AB AC m AO C B ⋅+⋅=⋅u u ur u u u r u u u r , 得cos cos (cos21)(cos21)2sin sin B C C B m C B⋅-+⋅-=-, 又2cos212sin C C =-, 2cos212sin B B =-, 上式化为22cos cos (2sin )(2sin )2sin sin B CC B m C B⋅-+⋅-=-, 整理得sin cos cos sin sin()sin m C B C B B C A =+=+=, 故选B.7.已知点列()(),n n n A a b n N *∈均为函数()0,1x y a a a =>≠的图像上，点列(),0n B n 满足1n n n n A B A B +=，若数列{}n b 中任意连续三项能构成三角形的三边，则a 的取值范围为（ B ） （A ）5151⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （B ） 5151⎫⎛-+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U （C ） 31310,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （D ）3131,11,22⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 8.过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+¥则直线AB 有（ ）（A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条三．解答题：9.已知直线2y x =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，点()()()1,0,,0A M m n n ≠都在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O.（1）设点M 关于y 轴的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ，问：在x 轴上是否存在xy O BCA定点T ，使得?TP TQ ⊥若存在，求出点T 的坐标;若不存在，请说明理由.（2）若过点()0,2D 的直线l 与双曲线C 交于R,S 两点，且OR OS RS +=u u u r u u u r u u u r，试求直线l 的方程.10.已知双曲线22:12x C y -=,设过点(A -的直线l 的方向向量为(1,)e k =r .(3) 当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时, 求直线l 的方程及l 与m 的距离;(4) 证明:当k 时, 在双曲线C 的右支上不存在点Q , 使之到直线l.(1)解: 双曲线C的渐近线0m y ±=,即0x ±=,∴直线l的方程为0x ±+,∴直线l 与m的距离为d ==(2)证法一: 设过原点且平行于l 的直线:0b kx y -=,则直线l 与b的距离d =,当k 时, d >, 又双曲线C的渐近线方程为0x =, ∴双曲线C 的右支在直线b 的右下方,∴双曲线C 的右支上的任意点到直线l,故在双曲线C 的右支上不存在点Q , 使之到直线l. 证法二: 假设双曲线右支上存在点00(,)Q x y 到直线l,则2200 (1)22, (2)x y ⎧=-=⎩, 由(1)得00y kx =+±设t =,当k 时, 0t =+>,20t ==>,将00y kx t =+代入(2)得22200(12)42(1)0k x ktx t ---+=(*),0k t >Q , 2120k ∴-<, 40kt -<, 22(1)0t -+<, ∴方程(*)不存在正根, 即假设不成立,故在双曲线C 的右支上不存在点Q , 使之到直线l.11.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2k＋()f x 恒成立．（1）判断一次函数()f x ＝ax ＋b (a ≠0)是否属于集合M ； （2）证明函数()f x ＝2log x 属于集合M ，并找出一个常数k ；（3）已知函数()f x ＝log a x ( a ＞1)与y ＝x 的图象有公共点，证明()f x ＝log a x ∈M ． 解：（1）若()f x ＝ax ＋b ∈M ，则存在非零常数k ，对任意x ∈D 均有()f kx ＝akx ＋b ＝2k＋()f x ，即a (k －1)x ＝2k恒成立，得100k k -=⎧⎨=⎩，，无解，所以()f x ∉M ． （2）2log ()kx ＝2k ＋2log x ，则2log k ＝2k，k ＝4，k ＝2时等式恒成立，所以()f x ＝2log x ∈M ．（3）因为y ＝log a x ( a ＞1)与y ＝x 有交点，由图象知，y ＝log a x 与y ＝2x必有交点． 设log a k ＝2k ，则()f kx ＝log ()a kx ＝log a k ＋log a x ＝2k＋()f x ，所以()f x ∈M ． 12.设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ；（2）若函数xa x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为 “H 函数”,求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N k ∈}上互为“H函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g 在集合M 上的解析式.（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x (2)解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (若学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。