命题37 双曲线(解析版)
专题2.9 圆锥曲线-双曲线(解析版)
专题2.9 圆锥曲线-双曲线1．求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法．要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程．2．点差法是圆锥曲线中解决中点和斜率关系的重要方法，利用点差法时，一定注意最后的检验．1．已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在双曲线C 上．当BF AF ⊥时，BF =． （1）求双曲线C 的方程．（2）设P 为双曲线上一点，点M ，N 在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P 恰为线段MN 的中点，试判断MON △的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（三）【答案】（1）2214x y -=；（2）是定值，2．【分析】（1）由BF =可得2)b a c a =+，求出a 即可得出方程；（2）设出点M ，N 的坐标，可得点P 的坐标，代入双曲线C 的方程，可得1mn =，设2MON θ∠=，利用渐近线方程的斜率得角θ的正切值，再利用三角函数的基本关系式及二倍角公式得sin 2θ，由M ，N 的坐标得OM ，ON ，结合sin 2θ及三角形面积公式即可求出MONS．【解析】（1）由题意，易得(c,0)F ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，则由BF =，可得2)b a c a =+，)22220c ac ∴--=，即)2220e e -=．又1c e a =>，解得e =，222254c a a b ∴==+， 解得2244a b ==，∴双曲线C 的方程为2214xy -=．（2）由（1）可知双曲线Ｃ的渐近线方程为12y x =±， 设(2,)M m m ，(2,)N n n -，其中0m >，0n >．P 为线段MN 的中点，,2m n P m n -⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得22()()144m n m n +--=，解得1mn =．设2MON θ∠=，则1tan 2θ=． 又sin 1tan cos 2θθθ==，22sin cos 1θθ+=，02πθ<<，sin θ∴=，cos θ=4sin 22sin cos 5θθθ∴==．又OM =，ON =，114sin 222225MON S OM ON mn θ∴=⋅⋅=⋅==△， MON ∴△的面积为定值2．【名师点睛】本题考查双曲线中三角形面积的定值问题，解题的关键是设出点M ，N 的坐标，设2MON θ∠=，得出1mn =和sin 2θ．2．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-．（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ，QMN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（二）【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞． 【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果． 【解析】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =．因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =．①又双曲线过点，所以22231a b-=．② 由①②解得1a =，b =1C 的标准方程为2213y x -=．（2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=．因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN ==2d <，故2103m ≤<． 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-==-，则1212S S PQ MN +=⋅== 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞． 即12S S +的取值范围为[)12,+∞．【名师点睛】设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键．3．已知双曲线2222:1x y C a b-=，点(P 在C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）设过点()1,0的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．【试题来源】湖南省岳阳市2021届高三下学期高考一模【答案】（1）2214x y -=；（2）存在；27364QM QN ⋅=；定点23,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由已知得到a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 、c ，即可求出双曲线C 的方程； （2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(),0Q t ，联立方程组，用“设而不求法”表示出QM QN ⋅为常数，求出t ，即可求出定点Q ．【解析】（1）由题意，222221631a b ca abc ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得24a =，21b =． 所以双曲线方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(),0Q t ，联立221,41x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得()224230m y my -+-=． 所以240m -≠，且()2241240m m =+->△，解得23m >且24m ≠． 设()11,M x y ，()22,N x y ， 所以12224m y y m +=--，12234y y m =--， 所以()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()222121212122232111144m m x x my my m y y m y y m m =++=+++=--+--2224420444m m m +=-=----． 所以()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=-⋅-=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+-+=-++---- 为常数，与m 无关， 所以8230t -=，即238t =，此时27364QM QN ⋅=． 所以在x 轴上存在定点23,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QM QN ⋅为常数． 【名师点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点(3,1)P 在C 上，且1210PF PF ⋅=．（1）求C 的方程；（2）斜率为3-的直线l 与C 交于A ，B 两点，点B 关于原点的对称点为D ．若直线,PA PD的斜率存在且分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值． 【试题来源】江苏省徐州市高三二检考试（数学学科）【答案】（1）22188x y -=；（2）证明见解析． 【分析】（1）由点的坐标求c ，再根据双曲线定义求a ，即可求解；（2）设直线l 方程为3y x m =-+，直接求出,PA PD 的斜率，联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系，化简即可求解．【解析】（1）设1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >，其中c =．因为1210PF PF =10=，解得216c =或0c ，又0c >，故4c =．所以2a =-=a =所以2228b c a =-=．所以C 的方程为22188x y -=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,D x y --． 设直线l 方程为3y x m =-+，与双曲线C 方程联立， 消去y 得，228680x mx m -++=．由()22(6)3280m m ∆=--+>，得||8m >．1234m x x +=，21288m x x +=．所以()()()2212121212339398m y y x m x m x x m x x m =-+-+=-++=-+．所以1212121212121211133339y y y y y y k k x x x x x x ---+--⋅=⋅=---+--()()2122128381838m x x mx x -+--==--+-． 所以12k k ⋅为定值．【名师点睛】设直线l 方程为3y x m =-+，联立直线与双曲线方程，消元，由根与系数关系可得123 4 mx x+=，21288mx x+=，计算斜率12k k⋅化简是解题关键，属于中档题．5．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的两个焦点分别为()12,0F-，()22,0F，点(P在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程；（2）记O为坐标原点，过点()0,2Q的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若OAB的面积为，求直线l的方程．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）22122x y-=；（2）2y=+和2y=+．【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c=，所以224a b+=，代入双曲线方程，可得()222221044x yaa a-=<<-，将P点坐标代入，即可求得a值，即可得答案；（2）设直线l的方程为2y kx=+，与双曲线C联立，可得关于x的一元二次方程，利用根与系数关系，可得1212,x x x x+的表达式，代入弦长公式，即可求得AB，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l的距离d，代入面积公式，结合题意，即可求得k的值，即可得答案．【解析】（1）依题意，2c=，所以224a b+=，则双曲线C的方程为()222221044x yaa a-=<<-，将点P代入上式，得22252314a a-=-，解得250a=(舍去)或22a=，故所求双曲线的方程为22122x y-=．（2）依题意，可设直线l的方程为2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得()221460k x kx---=．因为直线l与双曲线C交于不同的两点,A B，所以()22210(4)2410kk k⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1kk≠±⎧⎪⎨<<⎪⎩(*)设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+．【名师点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题．6．已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ．（1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）221832y x -=；（2）8- 【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k值，即可得答案；（2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案．【解析】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，又该双曲线过点()2,3，所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c === 在12F PF △中，2222121212121212()280cos150222PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===-，解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【名师点睛】解题的关键是掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题． 7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为O 到直线BD的距离是B ，D 的坐标分别为()0,b ，302,⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求双曲线C 的方程；（2）是否存在过点D 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使得BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形?若存在，求出所有直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）2214x y -=；（2）存在，直线l 的方程为21630x y -+=． 【分析】（1）记双曲线的焦距为2c，得到c =；根据题中条件，得到直线BD 的方程，由点到直线距离公式，求出21b =，进而可求出2a ，得出双曲线方程；（2）先假设存在过点D 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使得BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形，设3:2l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与双曲线方程，根据判别式确定k 的范围；记MN 的中点为P ，根据根与系数关系求出P 的坐标，由BMN △为等腰三角形，得到BP MN ⊥，由斜率之积为1-，列出方程求出k ，即可得出结果． 【解析】（1）记双曲线的焦距为2c ，由题意，可得225c =，即5c =，又B ，D 的坐标分别为()0,b ，302,⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线BD 的方程为132x yb +=-， 即213x y b -+=， 又坐标原点O 到直线BD 的距离是31313， 所以2231311233b =⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得21b =，所以2224a cb =-=，因此双曲线C 的方程为2214x y -=；（2）由（1）可得()0,1B ，假设存在过点D 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使得BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形，则直线l 的斜率显然存在，设3:2l y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ， 由223214y k x x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩消去y 整理得()22221412940k x k x k ----=，因为直线l 与双曲线C 有两不同交点，所以()()2422140144414940k k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-+>⎪⎩， 解得247k <且214k ≠，则2122212212149414k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，所以()2121222123331414k k y y k x x k k k ⎛⎫+=++=+= ⎪--⎝⎭， 记MN 的中点为P ，则222362,1414k k P k k ⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭， 为使BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形， 只需BP MN ⊥，所以1BP MN BP k k k k ⋅=⋅=-，即222321141614k k k kk --⋅=--，整理得281520k k +-=，解得2k =-或18k =， 因为2k =-不满足247k <，应舍去，故18k =， 所以存在过点D 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，使得BMN △构成以B 为顶点的等腰三角形，此时直线l 的方程为1382y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即21630x y -+=． 【名师点睛】求解圆锥曲线中存在直线满足某条件的问题，一般需要先设直线方程，联立直线与曲线方程，根据判别式判断斜率的范围，结合根与系数关系以及题中条件，求出斜率，即可得解．8．设双曲线1C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，A 、B 为其左､右两个顶点，P 是双曲线1C 上的任意一点，引QB PB ⊥，QA PA ⊥，AQ 与BQ 交于点Q ．（1）求Q 点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为2C ，1C 、2C 的离心率分别为1e 、2e，当1e ≥2e 的取值范围．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1）22224a xb y a -=（除点(,0),(,0)a a -外）；（2）1e <≤【分析】（1）根据题意，设()()00,,,P x y Q x y ，根据椭圆的几何性质得出A 、B 的坐标，由QB PB ⊥，QA PA ⊥，由直线的斜率公式得出Q 点的坐标间的关系式，从而得出Q 点的轨迹方程；（2）由（1）得2C 的方程为224221x y a a b -=，利用椭圆的几何性质求出2221111e e =+-，最后根据1e ≥2e 的取值范围． 【解析】（1）根据题意，设()()00,,,P x y Q x y ，000(,0),(,0),,,1,1,11QB PB QA PA A a B a QB PB QA PA k k k k y y x a x a y y x a x a-⊥⊥∴⋅=-⋅=-⎧⋅=-⋯⋯⎪++⎪∴⎨⎪⋅=-⋯⋯⎪--⎩①②，由①⨯②得002222221y y x a x a ⋅=--③，00002222222221,x y y b a b x a a -=∴=-， 代入③得222221b y a x a⋅=-，即22224b y x a a =-， 即22224a xb y a -=，经检验点(,0),(,0)a a -不合题意，因此Q 点的轨迹方程为22224a xb y a -=（除点(,0),(,0)a a -外）．（2）由（1）得Q 点的轨迹方程为22224a xb y a -=（除点(,0),(,0)a a -外），所以2C 的方程为224221x y a a b -=，422222222222111111a a a ab e a bc a e +==+=+=+--， 12e ≥，2212e ∴≤+=，1e ∴<≤ 【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质、直线垂直的条件、不等式的运算，以及点的轨迹方程的求法，解题的关键在于求解点的轨迹方程，考查数形结合思想和数学运算的能力． 9．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围． 【试题来源】备战2021年高考数学二轮复习题型专练（通用版）【答案】（1）221124x y -=；（2）． 【分析】（1）根据双曲线的焦点坐标公式、实轴长公式，以及,,a b c 之间的关系进行求解即可；（2）直线l 与双曲线C 的方程联立，根据一元二次方程的判别式、根与系数的关系进行求解即可．【解析】（1）设双曲线C 的方程为 22221x y a b-= (a >0，b >0)．由已知得，a ＝c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4，所以双曲线C 的方程为221124x y -=．（2）设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋与221124x y -=联立，得(1－3k 2)x 2－kx －36＝0．由题意可得2130(1)k -≠，22()4(13)(36)0(2)k ∆=--⋅-⋅->，120(3)x x +=<，122360(4)13x x k -=>-，解不等式(1)(2)(3)(4)，得3<k <1．所以当3<k <1时，l 与双曲线的左支有两个交点．所以k 的取值范围为 10．已知双曲线2221x y a-=的渐近线倾斜角分别为30和150︒，F 为其左焦点，P 为双曲线右支上一个动点．（1）求||PF 的取值范围，并说明理由；（2）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为,Q R ，求证：||||PQ PR ⋅为定值． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）)+∞，理由见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由渐近线求出双曲线方程，得焦点坐标，利用两点间的距离及二次函数求最值即可；（2）由点到直线的距离求出||||PQ PR ，，求积后由双曲线方程化简即可．【解析】（1）双曲线渐近线方程为3y x =±，又1b =，所以23a =， 双曲线的标准方程为2213x y -=，则(F ，设00(,)P x y ，0)x ∈+∞则22222000||((13x PF x y x =++=++-200413x =++所以2||5PF ≥+…所以||PF 的取值范围是)+∞（2）因为22000000|||||3|||||224x x x y PQ PR +-⋅=⋅=又220013x y -=，所以3||||4PQ PR ⋅=为定值．【名师点睛】00(,)P x y ，利用点到直线的距离求出2200|3|||||4x y PQ PR -⋅==后，根据点00(,)P x y 在双曲线上，化简求值是解题关键．11．已知双曲线的中心在原点，焦点1F ，2F ，且过点 （1）求双曲线C 的方程；（2）设双曲线两条渐近线分别为1l ，2l 已知直线:2l y x m =+交1l ，2l 于,A B 两点，若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，求AOB 的面积【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）22122x y -=；（2）2．【分析】（1）设方程为22(0)x y λλ-=≠，将点代入方程即可求解． （2）求出直线2y x m =+与x 的交点(,0)2mD -， 再求出,A B y y ，由 12ACBA B SOD y y =⋅⋅-即可求解．【解析】（1，故该双曲线为等轴双曲线，设方程为22(0)x y λλ-=≠，代入点，得422λ-==，故双曲线的方程为22122x y -=（2）在直线方程2y x m =+中，令0y =，得(,0)2mD -， 故12ACBA B SOD y y =⋅⋅-，联立2222x y y x m ⎧-=⎨=+⎩， 得223420x mx m +++=，由题意得2221612(2)4240m m m ∆=-+=-=，故26m =，联立2y x y x m =⎧⎨=+⎩，得A y m =-；联立2y x y x m=-⎧⎨=+⎩，得3B my =，因此211222233AOBA B m m m SOD y y m =⋅⋅-=⋅-⋅--== 12．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过原点的圆．（1）求曲线C 的方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足1F M MP →→=，求M 的轨迹方程．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1）()22416x y -+=；（2）224x y +=．【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，由1F M MP →→=得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，代入圆的方程即得解． 【解析】（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==， 所以()14,0F -､()24,0F ，因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4， 所以C 的轨迹方程为()22416x y -+=；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，则()14,F M x y →=+，()00,MP x x y y →=--，由1F M MP →→=，得()()004,,x y x x y y +=--，即()()004x x x y y y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得()()22244216x y +-+=，化简得224x y +=．所以M 的轨迹方程为224x y +=．13．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(,0)F c -，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离等于a ．（1）求双曲线C 的离心率； （2）若c =(2,1)P -的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点，试求直线l 的方程．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1；（2）23y x =--．【分析】（1）根据双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，焦点(,0)F c -到0bx ay -=的距离bcd b c===，结合条件a b =，即可得解； （2）利用点差法，设点1122(,),(,)A x y B x y ，带入作差可得2k =-，利用点斜式即可得解． 【解析】（1）由双曲线的一条渐近线为0bx ay -=， 焦点(,0)F c -到0bx ay -=的距离bcd b c===， 根据题意得a b =，所以离心率c e a === （2）由（1）知ce a==c =1a b ==， 所以双曲线方程为221x y -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，带入双曲线方程可得2211222211x y x y ⎧-=⎨-=⎩，作差可得222212120x x y y --+=（*）， 由P 为线段AB 的中点，可得12124,2x x y y +=-+=， 带入（*）可得12124()2()0x x y y ----=，所以12122y y k x x -==--， 所以直线l 的方程为23y x =--， 带入221x y -=可得2312100x x ++=，144120240∆=-=>，有两个交点，满足题意，故直线l 的方程为23y x =--．14．已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点()2,0F，一个顶点为)A ．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:=+l y kx C 的左右两支各有一个交点，求k 的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）2213x y -=；（2）(．【分析】（1）由题可得2,c a ==b 即得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用判别式和根与系数关系即可求出． 【解析】（1）双曲线C 的一个焦点()2,0F，一个顶点为)A，∴双曲线的焦点在x轴上，且2,c a ==2221b c a ∴=-=，∴双曲线C 的方程为2213xy -=；（2）联立直线与双曲线方程2213x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可得()221390k x ---=，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，()22272361309013k k k ⎧∆=+->⎪∴⎨-<⎪-⎩，解得k ⎛∈ ⎝⎭．15．已知12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）22124y x -=；（2）810y x ． 【分析】（1）由双曲线定义求a ，结合12PF PF ⊥求2b ，写出双曲线C 的标准方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，结合双曲线方程得1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，根据中点M 、直线斜率的坐标表示得324AB k ⋅=，即可写出直线方程． 【解析】（1）1222a PF PF =-=，得1a =，在△12PF F 中2221212100F F PF PF =+=，所以24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为22124y x -=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，有221221221212222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩， 所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+=⋅=--+，又1212AB y y k x x -=-，1212632y y x x +==+， 所以324AB k ⋅=，得8AB k =， 所以直线AB 方程为810yx ，满足0∆>，符合题意 ．【名师点睛】（1）由双曲线定义：曲线上的点到两焦点距离差为定值m ，有2a m =，结合勾股定理求c ．（2）()()1122,,,A x y B x y ，利用中点1212(,)22x x y y ++、直线斜率1212y y k x x -=-，结合所得方程1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，求斜率并写出直线方程．。
重难点13六种双曲线解题方法(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)
重难点13六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）题型一：待定系数法求双曲线方程 一、单选题1．（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，一条渐近线方程为2y x =，过双曲线C 的右焦点2F 作倾斜角为3π的直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若1AF B △的周长为36，则双曲线C 的标准方程为（ ） A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】C【分析】由题意可得2b a =，则双曲线方程为22221(0)2x y a a a -=>，1(3,0)F a -，2(3,0)F a ，可得直线l 为3(3)y x a =-，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出AB ，再由双曲线的定义和 1AF B △的周长为36，可求出a ，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =，则双曲线方程为22221(0)2x y a a a-=>，1(3,0)F a -，2(3,0)F a ，所以直线l 为tan(3)3(3)3y x a x a π=-=-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222123(3)x y a a y x a ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2263110x ax a -+=， 则2121263,11x x a x x a +==，所以2121213()4AB x x x x =+⋅+-2221084416a a a =-=， 因为122AF AF a =+，122BF BF a =+，所以11224420AF BF AF BF a AB a a +=++=+=， 因为1AF B △的周长为36，能力拓展所以1136AF BF AB ++=， 所以201636a a +=，得1a =， 所以双曲线方程为 2212y x -=，故选：C2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】A【分析】用坐标法求解，求出等轴双曲线的标准方程，得到顶点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】不妨设等轴双曲线的标准方程为22x y λ-=()0λ>2=，解得：2λ=. 所以等轴双曲线的标准方程为222x y -=.此时，顶点坐标)，其中一条渐近线方程为：y x =.1=.故选：A3．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同且离心率是椭圆C 离E 的标准方程为( ) A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122x y -=D ．2213x y -=【答案】C【分析】求出双曲线焦点坐标和离心率，求出双曲线的a 、b 、c 即可求其标准方程． 【详解】双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同，则焦点坐标为(20)，，设双曲线实半轴长为a ，虚半轴长为b ，焦距为2c ，则c =2，ca a==b =∴所求双曲线方程为：22122x y -=．故选：C ．4．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的两个焦点，R 是C 上的一点，且12120F RF =∠︒，1241::RF RF =，C 经过点232,3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则C 的实轴长为（ ）A ．3B ．23C ．6D ．3【答案】B【分析】由双曲线定义及1241::RF RF =分别求出1238,23a RF F a R ==，再由余弦定理得22219c a =，进而结合C 经过点232,3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭解出a 即可求解.【详解】由双曲线定义可得122RF RF a -=，又1241::RF RF =可得1238,23aRF F a R ==，由余弦定理可得222121212122cos F F RF RF RF RF F RF =+-∠，即2226448214299332a a a a c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得22219c a =，又222c a b =+，可得2243b a =；又C 经过点23Q ⎛ ⎝⎭，故224431a b -=，即22443143a a -=， 解得23a =，故C 的实轴长为223a =. 故选：B. 二、多选题5．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）已知双曲线E ：()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，两条渐近线的夹角正切值为2直线l ：30kx y k --=与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设1F AB的内心为I ，则（ ）A ．双曲线E 的标准方程为22163x y -=B．满足AB =l 有2条C ．2IF AB ⊥D ．1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是(]2,6【答案】ACD【分析】A :设其中一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，由题干条件可知tan 2θ=从而解出tan 2θ=，即b a =,a b ，从而求出双曲线方程；B ：直线过焦点，判断过焦点弦的最短弦可判断B ；C ：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D ：将三角形的面积用内切圆的半径和边长计算，结合定义，可得到12F AB IABS S =△△△，由AB 的范围可求出比值的范围. 【详解】A 选项，设双曲线E 的一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，因为a b >，所以022πθ<<，从而22tan tan 21tan θθθ==-tan θ=tan θ=，所以b a =，又229a b +=，所以26a =，23b =，所以双曲线E 的标准方程为22163x y -=，故A 正确；B 选项，直线l 的方程kx -30y k -=，即()30k x y --=，则直线l 恒过右焦点2F ，又过焦点2F的弦最短为22b a ==AB 线l 只有1条，B 错误；C 选项，由双曲线的定义可知，121AF AF BF -==-2BF ，即1122AF BF AF BF -=-，因此2F 是1F AB 的内切圆在AB 边上的切点，因此2IF AB ⊥，C 正确； D 选项，由题知()121121212F AB IABIF AF BF AB S S IF AB ⋅++==⋅△△△2，因为AB (]12,6F AB IABS S ∈△△，D 正确.【点睛】知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长度为2a .（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等.6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22:1C mx ny +=，其焦点()0,5到渐近线的距离为3，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的方程为221169y x -=B ．双曲线C 的渐近线方程为34yx C ．双曲线C 的离心率为54D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为1【答案】ACD【分析】由题意知双曲线C 的焦点在y 轴上，设双曲线2222:1y xC a b-=，根据焦点()0,5到渐近线的距离为3，可求得,b a ，即可求得双曲线方程，再根据双曲线的性质逐一分析各选项即可的解.【详解】解：由题意知双曲线C 的焦点在y 轴上，设双曲线2222:1y x C ab-=，双曲线C 的渐近线方程为ay x b =±，取a y x b=，即焦点()0,5F 到渐近线0ax by -=555b bb c ===．所以3b =，所以4a ==，所以双曲线C 的方程为221169y x-=，故选项A 正确；双曲线C 的渐近线方程为43a y x xb =±=±故选项B 错误； 离心率54c e a ==，故选项C 正确； 双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 正确. 故选：ACD ．7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线1C ：2222111x y a b -=（10a >，10b >）的一条渐近线的方程为y =，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆2C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距与双曲线1C 的焦距相同，且椭圆2C 的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交2C 于()11,A y （10y >），B 两点，则下列叙述正确的是（ ） A ．双曲线的离心率为2 B ．双曲线的实轴长为12C ．点B 的横坐标的取值范围为()2,1--D ．点B 的横坐标的取值范围为()3,1-- 【答案】AD【分析】通过计算求出双曲线1C 的离心率和实轴长，即可判断选项A 和B 的正误；联立直线AB 和椭圆的方程求出222318333B a x a a +=-=-+++，即得点B 的横坐标的取值范围，即可判断选项C 和D 的正误. 【详解】双曲线1C ：2222111x y a b -=（10a >，10b >）的一条渐近线的方程为y =，则设双曲线的方程为223y x λ-=（0λ≠）， 由双曲线且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得314λ-=，得14λ=，∴双曲线1C 的方程为22443x y -1=，即2211344x y -=， ∴双曲线的离心率1212e ==，实轴的长为1， 故选项A 正确，选项B 错误；易知椭圆2C 的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，将()11,A y （10y >）代入22221x ya b+=（0a b >>）得212211y a b +=，∴21b y a=，∴直线AB 的方程为()212b y x a =+，联立()222221,21,b y x a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()222321a x a x ++--2310a -=，()()()22222243310a a a +∆=-++>，根据根与系数的关系得221313B a a x +-=+⋅，则B x =222318333a a a +-=-+++． 由21a >得234a +>，则28023a <<+， ∴31B x -<<-，故选项C 错误，选项D 正确， 故选：AD ． 三、填空题8．（2022·福建宁德·模拟预测）若过点)2的双曲线的渐近线为2y x =±，则该双曲线的标准方程是___________.【答案】2214y x -=【分析】由题设双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，进而待定系数求解即可. 【详解】解：因为双曲线的渐近线为2y x =±， 故设其方程为()2204y x λλ-=≠，因为点)2在双曲线上，所以，22214λ=-=，即所求方程为2214y x -=. 故答案为：2214y x -=四、解答题9．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为30 ，点(在双曲线E 上.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若动直线l 与双曲线E 相切，过点()2,0P 作直线l 的垂线，垂足为H ，试判断OH 是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)2213x y -=(2)【分析】（1）利用已知条件求出a ，b 的值即可求解；（2）由题意得出直线l 的斜率不为0，当切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，联立直线与双曲线E 的方程得到m ，k 的关系式，联立直线PH 与l 表示出点H 坐标，再利用两点间的距离公式即可求解；当切线l 的斜率不存在时，结合双曲线的几何性质即可求解.(1)设双曲线E 的渐近线方程为b y x a =±，因为一条渐近线的倾斜角为30，所以b a =; 又双曲线E经过点(，所以221231a b-=，而0,0a b >>，故解得a =1b =， 所以双曲线E 的标准方程为2213x y -=.(2)由题意可得直线l 的斜率不为0，当切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠，联立直线l 和双曲线E 的方程得2213y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ， 消去y 并整理得()222136330kxkmx m ----=，因为直线l 与双曲线E 相切，即方程有两个相等的实数根，所以2130k -≠且()()222236413330k m k m ∆=--⋅--=，化简并整理得2221313m k k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，又因为直线PH 与l 垂直，()2,0P ，所以直线PH 的方程为()12y x k=--， 联立()12y x x y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ ，解得222121km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ ， 即点2222,11km k m H k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以()()()22222221km k m OHk -++=+()222222441k m m k k +++=+()()()2222141km k ++=+2241m k +=+223331k k +==+，所以OH当切线l的斜率不存在时，直线:l x =()2,0P 作直线l 的垂线为0y =，此时)H或()H，则OH =综上所述，OH【点睛】本题以双曲线为背景，考查双曲线的标准方程､直线与双曲线的位置关系，考查逻辑推理､数学运算核心素养.，解得的关键是明确解题的思路，计算要准确.10．（2022·上海市七宝中学高三期中）双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）经过点)，且渐近线方程为y x =±． (1)求a ，b 的值；(2)点A ，B ，D 是双曲线C 上不同的三点，且B ，D 两点关于y 轴对称，ABD △的外接圆经过原点O ．求证：点A 与点B 的纵坐标互为倒数；(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线AB 相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由． 【答案】(1)222x y -=(2)证明见解析(3)存在定圆221x y +=与直线AB 相切【分析】（1）运用代入法,结合双曲线的渐近线方程进行求解即可;（2）设出直线AB 的方程,与双曲线方程联立,根据一元二次方程根与系数的关系,结合圆的性质进行求解即可（3）易求原点到直线AB 的距离为定值，故存在定圆与直线AB 相切 (1)22311a b a b⎧-=⎪⎨⎪=⎩,解得a b ==则22:2C x y -=(2)证明:易知直线AB 一定不为水平直线, 设为x my n =+,设()(112,,A x y B x ,)()222,y D x y -,联立222x y x my n ⎧-=⎨=+⎩,整理得()2221220m y mny n -++-=, 则212221n y y m -=-, 由于外接圆过原点且关于y 轴对称,设为220x y Ey ++=,则221112222200x y Ey x y Ey ⎧++=⎨++=⎩ ⇒()()2222211122,y x y y x y +=+ ⇒()22122y y +()21222y y =+ ⇒()()121210y y y y --=又12y y ≠，所以121y y =(3)因为2122211n y y m -==-, 所以221n m =+则原点到直线AB的距离1d ==,故存在定圆221x y +=与直线AB 相切11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的右焦点F ，点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，,AB OB BF ⊥∥OA （O 为坐标原点）.(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()00,0o P x y y ≠的直线002:1x xl y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线32x =相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，MFNF恒为定值，并求此定值. 【答案】(1)22 1.3x y -=(2)23【分析】（1）表达出直线OB 方程，直线BF 的方程，联立后得到B 点坐标，得到直线AB 的斜率，根据垂直关系得到方程，求出23a =，从而求出双曲线方程；（2）求出M 点坐标，N 点坐标，表达出220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-，结合220013x y -=得到2243MF NF =，从而得到MF NF恒为定值，并求此定值. (1)设(c,0)F ， 因为1b =，所以21c a =+OB 方程为1y x a=-， 直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得：(,)22c cB a -， 又直线OA 的方程为1y x a=，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得：23a =， 故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由（1）知3a =l 的方程为0001(0)3x xy y y -=≠，即0033x x y y -=，因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y - 直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y-，则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+- 因为是C 上一点，则220013x y -=，代入上式得2222000222222000004(23)4(23)4(23)49[(2)]3(23)39[1(2)]3x x x MF x NF y x x x ---====+---+-，所求定值为233MF NF =. 12．（2022·河北衡水中学一模）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的离心率为2，实轴长为4.(1)求C 的方程；(2)如图，点A 为双曲线的下顶点，直线l 过点()0,P t 且垂直于y 轴（P 位于原点与上顶点之间），过P 的直线交C 于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若O ，A ，N ，M 四点共圆，求点P 的坐标. 【答案】(1)22144-=y x (2)()0,1【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b ,即得答案;（2）根据O ，A ，N ，M 四点共圆结合几何性质可推出1AN OM k k ⋅=，设()11,G x y ，()22,H x y ，(,)M M M x y ，从而可以用点的坐标表示出t ,再设直线:GH y kx t =+，联立双曲线方程，利用根与系数的关系式，代入t 的表达式中化简，可得答案.(1)因为实轴长为4，即24a =，2a =， 又2ca=22c =2224b c a =-=， 故C 的方程为22144-=y x .(2)由O ，A ，N ，M 四点共圆可知，ANM AOM π∠+∠=， 又MOP AOM π∠+∠=，即ANM MOP ∠=∠， 故1tan tan tan ANM MOP OMP∠=∠=∠，即1AN OMk k -=-，所以1AN OM k k ⋅=, 设()11,G x y ，()22,H x y ，(,)M M M x y ， 由题意可知()0,2A -，则直线112:2y AG y x x +=-，直线222:2y AH y x x +=-， 因为M 在直线l 上，所以M y t =，代入直线AG 方程，可知()1122M t x x y +=+，故M 坐标为()112,2t x t y +⎛⎫⎪+⎝⎭，所以()()1122OM t y k t x +=+，又222AN AH y k k x +==，由1AN OM k k ⋅=，则()()12122212t y y t x x ++⋅=+， 整理可得()()1212222y y t t x x +++=， 当直线GH 斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线:GH y kx t =+，代入双曲线方程：22144-=y x 中，可得()2221240k x ktx t -++-=，所以12221kt x x k -+=-，212241t x x k -=-，又()()()()12122222y y kx t kx t ++=++++()()()()()()22222212122222422222111t t kt k x x k t x x t k k t t k k k -+--=+++++=⋅++⋅++=---， 所以()()()()()()22212221222222221204421t y y t t t k t t t x x t t k -+++-+-++-====+≠----, 故2t t =-，即1t =，所以点P 坐标为()0,1.【点睛】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心.13．（2022·河南·三模（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，a ，b ，c 成等差数列，过F 的直线交双曲线C 于P ､Q 两点，若双曲线C 过点165,3T ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过双曲线C 的左顶点A 作直线AP ､AQ ，分别与直线x m =交于M ､N 两点，是否存在实数m ，使得以MN 为直径的圆恒过F ，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)221916x y -=(2)存在，21m =或95m = 【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程；（2）假设存在实数m ，使得以MN 为直径的圆恒过F ，则0MF NF ⋅=，结合韦达定理可得m 的值. (1)由已知设双曲线方程为22221x y a b-=，又a ，b ，c 成等差数列，且双曲线过点165,3T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()2222222216531a c ba b c a b +=⎧⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭-=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得3a =，4b =，5c =， 故所求方程为221916x y -=， (2)由（1）得()30A -,，设AP ､AQ 方程分别为()13y k x =+､()23y k x =+， 则()()1,3M m k m +，()()2,3N m k m +，因为以MN 为直径的圆经过()5,0F ，所以MF NF ⊥即0MF NF ⋅=， 即()()2212530m k k m -++=，设PQ 方程为5x ny =+，与221916x y -=联立得()221691602560n y ny -++=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122160169n y y n +=--，122256169y y n =-， 所以()()()121212122121212123388864y y y y y y k k x x ny ny n y y n y y =⋅==+++++++，即()1222225649256128064169k k n n n ==--+-， 所以()()2245309m m --+=，251141890m m -+=，解得21m =或95m =. 题型二：相同渐近线双曲线方程求法 一、单选题1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知双曲线C 的渐近线方程为340x y ±=，且焦距为10，则双曲线C 的标准方程是（ ） A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221169x y -=或221916y x -= D ．221916x y -=或221169y x -=【答案】C【分析】根据共渐近线0bx ay ±=的双曲线的设法2222x y a bλ-=，结合题意分析求解．【详解】渐近线方程为340x y ±=的双曲线为22169x y λ-=，即221169x y λλ-=，故25||25λ=，故1λ=±， 故选：C ．2．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，且经过点(P -，则双曲线C 的离心率为（ ）．A B C ．4 D ．2【答案】D【解析】双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，设双曲线C 的方程2226x y λ-=，其中λ≠0，又因为点(P -在双曲线上，再代入点P 的坐标即可得到双曲线C 的方程，然后求解焦距即可． 【详解】双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线， 设双曲线C 的方程2226x y λ-=，其中λ≠0，∵点(P -在双曲线上， ∴122λ-=，解之得32λ=， 因此双曲线方程为22139x y -=,a c ==故离心率为2ce a==.故选：D .【点睛】本题考查双曲线的性质及离心率，根据题意列出未知数，解出a ，b ，c 即可求得离心率，属于中等题.3．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【详解】∵双曲线C 与2214x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，∴可设双曲线C 的方程为2214y x k k -=，一个焦点为0,5，∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为221520y x -=.故选：B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 二、多选题4．（2020·全国·高三阶段练习）已知双曲线C 过点(且渐近线为y =，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213y x -=B ．C 的离心率为2C ．曲线2331x y e -=-经过C 的一个焦点D 10y --=与C 有两个公共点【答案】BC【解析】设所求双曲线方程为()2230x y λλ-=≠，将点(代入可判断A ；由A 求出,,a b c ，即可求出离心率，判断B ；求出双曲线C 的右焦点的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，代入曲线方程即可判断C ；联立方程组可判断D.【详解】对于选项A ，由y =可得223y x =，从而可设所求双曲线方程为()2230x y λλ-=≠.又由双曲线C 过点(，代入得2231λ⨯-=，即1λ=，故选项A 错误；对于选项B ，由双曲线C 的方程可知a =1b =，c = 所以C 的离心率2ce a==，故选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 的右焦点的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，满足2331x y e -=-，故选项C 正确；对于选项D ，联立221031y x y --=-=⎪⎩，解得x =0y =，10y --=与双曲线C 只有一个交点⎫⎪⎪⎝⎭，故选项D 错误.故选：BC .【点睛】本题考查双曲线的几何性质､直线与双曲线的位置关系，考查运算求解､推理论证能力，考查直观想象､数学运算､逻辑推理核心素养，属于基础题.5．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ） A ．双曲线CB ．双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C ．若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D ．若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD【解析】根据渐近线所过的点可求,a b 的关系，从而可求渐近线的方程和离心率，故可判断A 、B 的正误，利用已知的条件和,a b 的关系可求基本量，从而可判断C 、D 的正误.【详解】渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ==A 错误.又渐近线的方程为y x =，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为y x =， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =所以双曲线C 的方程为22184x y -=，故C 正确.直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a abc c⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =D 正确. 故选：BCD.【点睛】方法点睛：（1）求双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线的方程，一般是将等号右边的常数变为零； （2）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为b .三、填空题6．（2022·辽宁·模拟预测）焦点在x 轴上的双曲线C 与双曲线22149x y -=有共同的渐近线，且C 的焦点到一条渐近线的距离为C 的方程为______． 【答案】221818x y -=【分析】由共渐近线的双曲线系方程可设()22:049x y C λλ-=>，根据焦点到渐近线距离为b 可构造方程求得λ，由此可得双曲线方程.【详解】由题意可设双曲线C 的方程为：()22049x y λλ-=>，即22149x y λλ-=； 则24a λ=，29b λ=，双曲线焦点到渐近线距离为b ，∴2λ=， ∴双曲线C 的方程为：221818x y -=.7．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线2222:1y x C a b -=（0a >，0b >）与双曲线22:146x y D -=有相同的渐近线，且C 经过点()2,6，则C 的实轴长为_________【答案】【分析】根据给定条件求出a ，b 的关系，再由双曲线C 过的点即可计算作答.【详解】双曲线2222:1y x C a b -=的渐近线为a y x b =±，而双曲线22:146x y D -=的渐近线为y x =，依题意，a b =C 经过点()2,6，则223641a b -=，解得：a b == 所以双曲线C的实轴长为故答案为：四、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与222:193x x C -=有相同的渐近线，点()2,0F 为1C 的右焦点，,A B 为1C 的左，右顶点.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）若直线l 过点F 交双曲线1C 的右支于,M N 两点，设直线,AM BN 斜率分别为12,k k ，是否存在实数入使得12k k λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213y x -=；（2）存在，13λ=-. 【分析】（1）根据2C的渐近线方程求出ba=c 的值，从而求双曲线1C 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消元写韦达；然后表示出直线,AM BN 斜率，根据韦达定理求12k k 的值，从而求出λ的值.【详解】（1）2C的渐近线为y =，b a∴22c a=+=，1,a b ∴==， 所以双曲线1C 的标准方程2213y x -=. （2）由已知，()()()()11221,01,0,,,,,A B M x y N x y -，l 过点()2,0F 与右支交于两点，则l 斜率不为零，设:2l x my =+，由22132y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消元得()22311290m y my -++=， 因为l 与双曲线右支交于两点，所以21223109031m y y m ⎧-≠⎪⎨=<⎪-⎩，解得m ⎛∈ ⎝⎭ ()()()2221249313610m m m ∆=-⨯-=+>，121222129,3131m y y y y m m ∴+=-=--， 121212,011y yk k x x ==≠+-，()()()()121211212212112211133y x y my k my y y k y x y my my y y -++∴===-++， 121212493y y m m y y +=-=-，()121234my y y y ∴=-+， ()()121121212212313144433933444y y y y y k k y y yy y -++-∴===--++-+，∴存在13λ=-使得12k k λ=.题型三：直接法解决离心率问题 一、单选题1．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知双曲线的方程2214x y -=，则该双曲线的离心率为 （ ） ABCD【答案】D【分析】由双曲线方程可求得2,1,a b c ==. 【详解】由2214x y -=可得：2,1,a b c ===，故离心率为c e a ==， 故选：D2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ．且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．103C ．52D ．173【答案】D【分析】设2||AF m =，2||BF n =，由双曲线的定义可得1||AF ，1||BF ，在直角三角形1AF B 中，在12AF F △中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值． 【详解】解：设2||AF m =，2||BF n =，由双曲线的定义可得1||2AF a m =+，1||2BF a n =+， 由3cos 5BAC ∠=-，可得12cos 53F AF ∠=，在直角三角形1AF B 中，122s 54in 2a n F AF a m +∠==+，① 222(2)()(2)a n m n a m +++=+，②在12AF F △中，可得2224(2)2(2)53c m a m m a m =++-+⋅③ 由①②可得23an =，43a m =， 代入③可得222161008104993353a a a a c =+-⨯⨯， 即为22917c a =，则173c e a ==， 故选：D ．3．（2022·浙江金华·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，O 为坐标原点，F 为双曲线C 的左焦点，若C 的右支上存在一点P ，使得OFP △外接圆M 的半径为1，且四边形MFOP 为菱形，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．21+ B ．31+C ．31-D ．2【答案】B【分析】设双曲线C 的右焦点为F '，连接PF '，易证FPF '为直角三角形，解出2a 与2c 代离心率的计算公式即可求解 【详解】如图所示，设双曲线C 的右焦点为F '，连接PF '因为OFP △外接圆M 的半径为1，则1MO MF MP === 又四边形MFOP 为菱形，所以1OF OF MP '===则MOF △为正三角形，所以60∠=MFO ，30PFO FPO ∠=∠= 因为//OP MF ，所以60POF MFO '∠=∠=，又OP OF '= 所以OPF '△为正三角形，所以60OPF '∠=，所以90FPF '∠= 在Rt FPF '△中，22FF c '==，cos303PF FF '==1PF '= 所以312PF PF a '-= 所以231231c e a ===- 故选：B4．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（ ）A 2B 3C ．52D 10【答案】D【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点， 以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解. 【详解】设11DF AF x == ，则22DF x a =- ，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x == ， 连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+ ，2222DC DF CF x a =+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥ ， ∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥ ，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+- ， 解得：3x a = ，123,DF a DF a == ；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F += ，()()22232a a c += ， 得2252a c = ，10ce a= ， 故选：D.5．（2022·贵州黔东南·一模（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线2x a =与C 交于A 、B 两点（A在B 的上方），DA AB =，点E 在y 轴上，且EA x ∥轴．若BDE 的内心到y 轴的距离为43a，则C 的离心率为（ ）. A ．62B ．103C ．6D ．10【答案】B【分析】根据题目信息画出准确图像，本题重难点在于合理利用三角形内心性质，以及角平分线定理，得到,a b 关系后即可求出离心率.【详解】因为A 在B 的上方，且这两点都在C 上，所以(2,3),(2,3)A a b B a b -，则||23AB b =．因为DA AB =，所以A 是线段BD 的中点，又EA x ∥轴，所以||||ED EB =，EA BD ⊥， 所以BDE 的内心G 在线段EA 上．因为G 到y 轴的距离为43a ， 所以4||||324||||23aEG ED a GA DA a ===-，所以60EDA ∠=︒，因此||23||23EA a DA b ==，即3a b =．故2101b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．故选：B 二、多选题6．（2022·山东烟台·一模）已知双曲线C ：22145x y -=，1F ，2F 为C 的左、右焦点，则（ ） A ．双曲线()221045x y m m m-=>++和C 的离心率相等B ．若P 为C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的周长为6214+C ．若直线1y tx =-与C 没有公共点，则6t <6t >D ．在C 的左、右两支上分别存在点M ，N 使得114FM F N =【答案】BC【分析】求得双曲线()221045x y m m m-=>++和C 的离心率判断选项A ；求得12F PF △的周长判断选项B ；由直线与圆锥曲线位置关系的判定判断选项C ；求解满足题意条件的直线MN 判断选项D. 【详解】选项A ：双曲线C ：22145x y -=的离心率32e = 双曲线()221045x y m m m-=>++的离心率e =则双曲线()221045x y m m m -=>++和C 的离心率不一定相等.判断错误； 选项B ：P 为C ：22145x y -=上一点，且1290F PF ∠=︒ 则有222112364PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，整理得12PF PF +=则12F PF △的周长为6+判断正确；选项C ：由221451x y y tx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得22(54)8240t x tx -+-=由题意可知，方程22(54)8240t x tx -+-=无解 当2540t -=时，方程22(54)8240t x tx -+-=有解；当2540t -≠时，则有()()222540896540t t t ⎧-≠⎪⎨+-<⎪⎩，解之得t <t >故若直线1y tx =-与C没有公共点，则t <t >判断正确； 选项D ：根据题意，过双曲线C 的左焦点1F 的直线MN 方程可设为3x ty =-令1122(,),(,)M x y N x y ，由114FM F N =，可得214y y = 由221453x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得22(54)30250t y ty --+= 则有12212230542554t y y t y y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，则有122123055425454t y t y t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，整理得2191000t +=，显然不成立.当过双曲线C 的左焦点1F 的直线MN 为水平直线时，方程为0y =则(2,0),(2,0)M N -，11(1,0),(5,0)FM F N ==，即115FM F N =. 综上可知，不存在分别在C 的左、右两支上M ，N 使得114FM F N =.判断错误. 故选：BC 三、填空题7．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知双曲线C ：22214x y b-=（0b >），以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是________________．【答案】⎛ ⎝⎭【分析】根据圆心到直线的距离小于半径，即可得c 的范围，进而可得离心率范围. 【详解】双曲线C 的渐近线方程为2by x =±，右焦点(c,0)F ，∵渐近线与圆相交，3<，即3b <，∴2=22413c b =+<， ∴双曲线C的离心率为：c e a =<1e >．∴e ⎛∈ ⎝⎭．故答案为：⎛ ⎝⎭8．（2022·山东日照·二模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且4cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为___________.【答案】102【分析】连接1F B ，1F A ，设2F B x =，则12F B x a =+，根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求出1sin F AB ∠，1tan F AB ∠，再根据锐角三角函数得到143AB F B =、1153F A F B =，从而得到方程求出x ，再在12F F B △利用勾股定理计算可得；【详解】解：如图，连接1F B ，1F A ，则1F ，A ，C 和1F ，B ，D 都三点共线，设2F B x =，则12F B x a =+. 由()14cos cos π5F AB BAC ∠=-∠=， 所以2113sin 1cos 5F AB F AB ∠=-∠=所以111sin 3tan cos 4F AB F AB F AB ∠∠==∠，又AB BD ⊥，所以113tan 4F B F AB AB ∠==，即143AB F B =， 1113sin 5F B F AB F A ∠==，即1153F A F B =， 又22F A AB F B =-，因此1242233F A F A x a a -=+=，即x a =， 在12Rt F F B 中()()22222210c x a x a =++=，即2252c a =.故e =9．（2022·浙江·三模）已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的两个焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 是双曲线第一象限上一点，在点P 处作双曲线C 的切线l ，若点12,F F 到切线l 的距离之积为3，则双曲线C 的离心率为_______．【分析】设()00,P x y ()002,0x y >>，根据直线与双曲线的位置关系可求得在点P 处的切线方程，再根据点到直线的距离公式分别求出点12,F F 到切线l 的距离，列出方程，求出b ，即可求出离心率．【详解】设点()00,P x y ()002,0x y >>，有222222000021444x y y b x b b-=⇒=-． 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，联立双曲线方程，由0∆=可解得204b x k y =，所以切线方程为()()22440b x x y y b--=，1(,0)F c -到切线l距离221d ==，2(,0)F c 到切线l距离222d ==所以()422442240201242242222000041616316416b b x bb c x b d d b b x y b x b x b+--====++-，即b =所以2,a c ==，故e =四、解答题10．（2022·河北张家口·三模）已知0b a >>，点)A ，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，动点P 满足|||PA PB =，点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线y kx m =+与曲线C 相切，与曲线2222:1x yE a b-=交于M ､N 两点，且π2MON ∠=（O 为坐标原点），求曲线E 的离心率.【答案】(1)222x y b +=；【分析】（1）根据两点间距离距离公式，结合已知等式进行求解即可；（2）根据曲线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、平面向量垂直的性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.(1)设(,)P x y ，由|||PA PB =222x y b +=即为曲线C ； (2)y kx m =+与曲线C 相切，b ∴=2221mb k=+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入曲线E 整理得：222222222()2(0)b a k x a kmx a m a b ---+=，2220b a k -≠，222222()40a b m b a k ∆=+->，2122222a kmx x a k b-∴+=-，222212222a m a b x x a k b +=-.π2MON ∠=，0OM ON ∴⋅=，即12120x x y y +=.222222212121212222()()()k a b m b y y kx m kx m k x x km x x m a k b -=++=+++=-， 2222222222222220a m a b k a b m b a k b a k b+-∴+=--，整理得2222221m a b k b a =+-， 22222a b b b a∴=-，即222b a =，223c a =，e =故曲线E【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围 一、单选题1．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为1F ，2F ，记它们其中的一个交点为P ，且12120F PF ∠=︒，则该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e 必定满足的关系式为（ ） A ．1213e e 144+=B ．221231e e 144+= C ．22123114e 4e += D ．22121314e 4e += 【答案】C【分析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长2a ，焦距2c ，根据椭圆及双曲线的定义可以用12,a a 表示出12,PF PF ,在12F PF △中根据余弦定理可得到2212314e 4e +的值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，112212,PF a a PF a a ∴=+=-， 设121222,3π=∠=F F c F PF ， 则在12PF F △中由余弦定理得()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+-， ∴化简2221234a a c +=，该式变成22123114e 4e +=. 故选：C.2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △23，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） A 3B ．2 C ．23+D ．523+【答案】D。
高中数学讲义：解析几何专题双曲线(解析版)
圆锥曲线第2讲 双曲线【知识要点】 一、双曲线的概念 1. 双曲线的第一概念：平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的核心，两个核心之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的概念中，必需强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作），不但要小于这两个定点之间的距离（记作），而且还要大于零，不然点的轨迹就不是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当时，点的轨迹是线段的垂直平分线； （ⅱ）当时，点的轨迹是两条射线； （ⅲ）当时，点的轨迹不存在； （ⅳ）当时，点的轨迹是双曲线。
专门地，假设去掉概念中的“绝对值”，那么点的轨迹仅表示双曲线的一支。
注2：假设用M 表示动点，那么双曲线轨迹的几何描述法为（，），即。
2. 双曲线的第二概念：平面内到某必然点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）； （2）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）.注：假设题目已给出双曲线的标准方程，那其核心究竟是在轴仍是在轴，要紧看实半轴跟谁走。
假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴；假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴。
2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即），咱们把如此的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为（）注：假设题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，那么咱们可设该等轴双曲线的方程为（），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。
进一步讲，假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点；假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点。
三、双曲线的性质以标准方程（，）为例，其他形式的方程可用一样的方式取得相关结论。
（1）范围：，即或；1F 2F a 22120F F a <<a 221F F c 202=a 21F F c a 22=c a 22>c a 220<<a MF MF 221=-ca 220<<c F F 221=2121F F MF MF <-e 1>e x 12222=-b y a x 0>a 0>b y 12222=-b x a y 0>a 0>b x yx x y yb a 22=λ=-22y x 0≠λλ=-22y x 0≠λλ0>λx 0<λy 12222=-b y a x 0>a 0>b ax ≥a x ≥a x -≤（2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）极点：左、右极点别离为、； （4）核心：左、右核心别离为、； （5）实轴长为，虚轴长为，焦距为；（6）实半轴、虚半轴、半焦距之间的关系为；（7）准线：； （8）焦准距：；（9）离心率：且. 越小，双曲线的开口越小；越大，双曲线的开口越大；（10）渐近线：； （11）焦半径：假设为双曲线右支上一点，那么由双曲线的第二概念，有，；（12）通径长：.注1：双曲线（，）的准线方程为，渐近线方程为。
专题50 双曲线-高考数学复习资料(解析版)
的取值范围是( )
33 －， A. 3 3
22 22 －， C. 3 3
33 －， B. 6 6
23 23 －， D. 3 3
【答案】 A
【解析】 因为 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，x20－y20＝1，所以M→F1·M→F2＝(－ 3－x0，－y0)·( 3－x0，－y0) 2
＝x20＋y20－3<0，即 3y20－1<0，解得－
a2 b2
的垂线，垂足为 A，且交 y 轴于 B，若 A 为 BF 的中点，则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.2
6 D.
2
【答案】 A
π －1
【解析】
由题易知双曲线
C
的一条渐近线与
x
π 轴的夹角为 ，故双曲线
C
的离心率
e＝
cos
4
＝ 2.
4
x2 y2 3．(2019·宁夏模拟)设 P 是双曲线 － ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则
b 2a，即 ＝
2，所以该双曲线
a
a
b 的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x.
a
c 法二 由 e＝ ＝
a
b2
b
b
1＋ a ＝ 3，得 ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x.
a
a
（2）（2017
山东）在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0)
的右支与焦点为 F
F1
的直线与双曲
线的上下两支分别交于点 B，A，若△ABF2 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
考点2 双曲线(解析版)
2010-2015年高考真题汇编专题10 圆锥曲线考点2双曲线1.（2015年福建3，5分）若双曲线的左．右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）A．11 B．9 C．5 D．3【答案】B【解析】由双曲线定义可知,故2.（2015年广东7，5分）已知双曲线的离心率,且其右焦点为,则双曲线的方程为( ).A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考核双曲线的离心率与标准方程求解。
显然c=5，e=c/a=5/a=5/4，a=4，从而。
故选B.3.（2015年天津6，5分）已知双曲线()222210,0x ya ba b-=＞＞的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y=的准线上，则双曲线的方程为（）（A）2212128x y-=（B）2212821x y-=（C）22134x y-=（D）22143x y-=【答案】D【解析】根据双曲线概念，双曲线的渐近线方程为by xa=±，因为过点（2，得到2ba=，b=又因为焦点在抛物线y2=的准线上，因此根据双曲线a、22:1916x yE-=12,F F PE13PF=2PF2126PF PF a-==29PF=1:2222=-byaxC45=e)0,5(2F C13422=-yx191622=-yx116922=-yx14322=-yxb 、c 的关系a 2+b 2=c 2,因此a 2+b 2=7，把2b a =代入得到227a a ⎫+=⎪⎪⎝⎭，解得24a =，23b =，因此选择D4.（2015年安徽4，5分）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】C【解析】选项A 和B 中的双曲线的交点都在上，可排除。
D 选项中的双曲线的 渐近线方程为，故也可排除。
因此答案选C. 5.（2015年北京10，5分）已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =【解析】双曲线2221x y a -=的渐近线为1y x a =±，故1a -=3a =6.（2015年江苏12，5分）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。
专题34 双曲线(解析版)
第九章 解析几何专题34 双曲线考点1 双曲线的定义与标准方程1. 【2018年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ． 221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2b y a=±， 不妨设2(,)b A c a，2(),b B c a -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21d ==2bc b c -，222bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则3b =，29b =，双曲线的离心率2c e a ====，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=．故选A ．2. 【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．，0)，，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，)，(0)D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3.【2020年高考全国Ⅲ卷文数14】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则C的离心率为 ．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===4. 【2018年高考北京卷文数】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =________________． 【答案】4【解析】在双曲线中c =c e a ==，=，即216a =， 因为0a >，所以4a =．5. 【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = .【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =. 6. 【2017年高考北京卷文数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_________．【答案】2【解析】因为221,a b m ==，所以1c a ==2m =. 7. 【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =±【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=， 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 8. 【2016高考山东文数】已知双曲线E ：22x a –22y b=1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______． 【答案】2 【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==，作出图象如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 9. 【2016高考浙江文数】设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．【答案】． 【解析】由已知1,2a b c ===，则2ce a==，设(,)P x y 是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在右支上，则12x <<，121PF x =+，221PF x =-，12F PF ∠为锐角，则2221212PF PF F F +>，即222(21)(21)4x x ++->，解得2x >，所以22x <<，124PF PF x +=∈．10. 【2016高考北京文数】已知双曲线22221x y a b-= （0a >，0b >）的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________. 【答案】1,2a b ==. 【解析】依题意有2c b a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,结合222c a b =+,解得1,2a b ==.考点2 双曲线的几何性质1. 【2020年高考全国Ⅰ卷文数11】设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且2OP =，则12PF F ∆的面积为（ ）A ．72 B ．3 C ．52D ．2 【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵12112OP F F ==， ∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ． 2. 【2020年高考全国Ⅱ卷文数9】设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D EODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】∵2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ， 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =， ∴ODE ∆面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△． 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8，故选B ．3. 【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是（ ） A．2B ．1CD ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 4. 【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40° C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒， 故选D ．5. 【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．6. 【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52 C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPFS OF y ∴=⋅=⨯⨯=△， 故选B ．7. 【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0，则a =A B ．4 C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c ==12a =，故选D.8. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．2y x =± D ．y x = 【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =，因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ．9. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(4,0)到C的渐近线的距离为A B ．2C D ．【答案】D【解析】c e a ===1b a ∴=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，所以点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ． 10. 【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，故选D ． 11. 【2017年高考全国Ⅱ卷文数】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意得222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << 故选C.12. 【2017年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3a b ==，故双曲线方程为2213y x -=．故选D ．。
专题09 解析几何第二十三讲 双曲线(解析版)
专题09 解析几何第二十三讲 双曲线答案部分2019年1.【解析】如图所示，不妨设F 为双曲线22:145x y C -=的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，24a =，25b =，则223c a b +=， 则以O 为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y +=．联立22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得53y =±．则1553232OPF S =⨯⨯=△．故选B ． 学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
2.【解析】 因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b =，即2b =． 又1a =，所以该双曲线的渐近线方程是2y x =±．3.【解析】根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以2c a =，则该双曲线的离心率为2ce a==，故选C ． 4.【解析】由双曲线的对称性可得另一条渐近线的倾斜角为50︒，所以tan 50b a =︒，2222111tan 50sec 50cos50c b e a a ==+=+︒=︒=︒. 故选D ． 5.【解析】解法一：由题意，把2c x =代入222x y a +=，得2224c PQ a =-，再由PQ OF =，得2224ca c -=，即222a c =，所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径， 所以,22c c P ⎛⎫±⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =， 所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则12OP a OF ===，c e a ==故选A ．6.【解析】 由题意知，1b =，c e a===12a =.故选D. 7.【解析】因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为()2210,0y a b b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF ==4=，即2b a =，所以c =故选D ．2015-2018年1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314c a b =+=+=，所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．2．A 【解析】解法一 由题意知，==ce a，所以=c ，所以=b ，所以=b a =±=by x a，故选A ．解法二 由===c e a ，得=b a ，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．故选A ．3．D 【解析】解法一 由离心率ce a==c =，又222b c a =-，得b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 的渐近=．故选D ．解法二 离心率e =y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C=．故选D ． 4．A 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==， 因为126d d +=，所以226bc b bc b c c-++=，所以26b =，得3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2c a =，所以2224a b a +=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ．优解 由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2c a =，所以2224a b a +=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ．5．D 【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得(2,3)P ±，所以||3PF =，又A 的坐标是(1,3)，所以点A 到PF 的距离为1， 故APF ∆的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．6．C 【解析】由题意e ==1a >，21112a <+<，∴1e <<C ．7．D 【解析】由题意，2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得21a =，23b =，选D ．8．A【解析】由题意得c =12b a =，由222c a b =+，解得2,1a b ==，所以双曲线的方程为22141x y -=，选A ．9．D 【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，点(3,4)-在渐近线上， ∴43b a =，又222a b c +=，∴2222162599c a a a =+=，∴53c e a ==． 10．D 【解析】双曲线2213y x -=的右焦点为(2,0)，渐近线方程为y =，将2x =代入y =得y =±，所以||AB =．11．C 【解析】由题意，得12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，将x c =代入双曲线方程，解得2b y a =±．不妨设2(,)bB c a，2(,)b C c a -，则1222,A B A C b b a ak k c a c a-==+-，根据题意， 有221b b a a c a c a-⋅=-+-，整理得1b a =，所以双曲线的渐近线的斜率为1±． 12．4【解析】由题意得22454a a +=，得216a =，又0a >，所以4a =，故答案为4． 13．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =2b ==，所以222234b c a c =-=，得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==． 14．5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =．15．y x =【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义有1212||||22p p AF BF y y y y p +=+++=++，而||2p OF =， 所以1242py y p ++=⨯，即12y y p +=，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b -+=，所以21222pb y y a +=， 所以222pb p a =，即2a b =，所以渐近性方程为22y x =±． 16．23【解析】由题意，右准线的方程为232a x c ==，渐近线的方程为33y x =±，设33(,)22P ，则33(,)22Q -，1(2,0)F -，2(2,0)F ， 所以四边形12F PF Q 的面积为1211||||432322F F PQ =⨯⨯=． 17．1,2a b ==【解析】依题意有52c b a⎧=⎪⎨=-⎪⎩，因为222c a b =+，解得1,2a b ==．18．2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 19．2214x y -=【解析】因为双曲线的渐近线方程为x y 21±=，故可设双曲线的方程为22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点)3,4(，所以224(3)4λ-=，所以1λ=， 故双曲线的方程为2214x y -=．20．23【解析】设直线方程为()b y x c a =-，由22221()x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222a c x c +=， 由2222a c a c+=，c e a =，解得2e =+2e =． 21．C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a ，左焦点为(3,0)M -，因为P 在C 的左支上，所以ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥ =||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM的方程为13x +=-，与双曲线的方程联立得P的坐标为(2,-，此时，ΔAPF的面积为116622⨯⨯⨯⨯=．。
高中高考考点难点常见题型(带答案解析)双曲线(解析版)
(a+m)2 +(b+m)2 (a+m)2
所以,当a>b时,e1<e2;
当a<b时,e1>e2.
简单 已测：3518次 正确率：92.9%
22
6.
设双曲线 x2 a2
−
y2 b2
=
1(a>0, b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于
B, C两点,过B, C分别作AC, AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于
=1
D. x2 4
−
y2 3
=1
考点：双曲线的标准方程的求解、双曲线的渐近线问题
知识点：双曲线的标准方程、双曲线的渐近线
答案：D
解析：由题意可得
b a
=
3 2
,
c
=
7,又c2
=
7 = a2+b2,解得a2
= 4, b2
=
3,故双曲线的方程为
x2 4
−
y2 3
=
1.
一般 已测：1871次 正确率：76.7%
,所以 ,则由题意知 ,即 ,所 (
b2 a
)2
=
(c
−
a)∣F D∣
∣F D∣
=
a2
b4 (c−a)
a2
b4 (c−a)
<a+
a2 + b2
a2
b4 (c−a)
<a
+
c
以b4<a2(c
−
a)(a
+
c),即b4
<a2
(c2 −a2
,即) b4<a2b2
第10讲 双曲线及其性质-解析版-2023届二轮复习《导数与解析几何》必掌握问题
第10讲双曲线及其性质典型例题双曲线的定义【例1】设1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于（）．A．B．C．24D．48【分析】因为P 是双曲线上的一点，可设(,)P m n ，则满足双曲线方程，即22124n m -=；由双曲线方程可知焦点坐标，根据两点间距离可将1PF ，2PF 用m 表示，再根据13PF =24PF ，可求得m 的值，从而求得1PF ，2PF 的值，这样12PF F △的三边都知道了，则该三角形的面积就可求了．另外，还可以根据双曲线的定义求解本题．【解析】解法一:依题意1a =，b =，5c =，所以1(5,0)F -，2(5,0)F ．设(,)P m n ，则22124n m -=，即222424n m =-．因此151PF m =+．同理可得251PF m =-．又因为1234PF PF =，所以75m =．故18PF =，26PF =．又因为1210F F =，所以2221212PF PF F F +=，因此12121242PF F S PF PF =⋅⋅=△．解法二:由题意得12122,34,PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得128,6. PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩又由1210F F =，可得12PF F △是直角三角形，所以12121242PF F S PF PF =⋅⋅=△．【点睛】对于圆锥曲线问题要注意对定义的双向应用，如双曲线定义的双向运用：（1）若()1212202MF MF a a F F -=<<，则动点M 的轨迹为双曲线；（2）若动点M 在双曲线上，则122MF MF a -=．双曲线的标准方程【例2】已知双曲线过153,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，16,53Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，求双曲线的标准方程．【分析】双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>或22221(0,0)y x a b a b-=>>，所以求双曲线的标准方程就是求方程中的a ，b ．方法一是根据已知及双曲线的几何性质直接求出a ，b ；方法二是采取待定系数法，对于待定系数法，首先确定焦点在哪个轴上，从而确定方程的类型，即定型，然后再根据题目的条件列出方程组，解方程组，求出a ，b ．【解析】解法一:（1）若焦点在x 轴上，则设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，因此222292251,16256251,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2216,9.a b ⎧=-⎨=-⎩（舍去）（2）若焦点在y 轴上，则设双曲线的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>．将P ，Q两点坐标代入可得222222591,16252561,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得229,16.a b ⎧=⎨=⎩所以双曲线的标准方程为221916y x -=．综上可知，双曲线的标准方程为221916y x -=．解法二:设双曲线的方程为221(0)Ax By A B -=⋅<．因为双曲线过153,4P ⎛⎫⎪⎝⎭，16,53Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，所以22590,16196250.9A B A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得116A =-，19B =-．以双曲线的标准方程为221916y x -=．【点睛】求双曲线方程一般采取待定系数法，其一般步骤是：（1）定型．确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴．（2）设方程．根据焦点位置设出相应的标准方程的形式．①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<．②与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>共焦点的双曲线的标准方程可设为22x a k --()22221y b k a b k=-<<+．（3）计算．利用题中条件列出方程组，求出相关值．（4）结论．写出双曲线的标准方程．双曲线的几何性质【例3】已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果290PF Q ∠=︒，求双曲线的离心率．【分析】离心率是圆双曲线的重要几何性质之一，是高考常考的问题．此类问题要么直接求出参数a 和c ，进而通过公式ce a =求离心率；要么先列出参数a ，b ，c 的关系式，再转化为只含有a 和c 的关系，进而得出离心率．求解离心率的取值范围除了借助椭圆本身的属性，有时还要借助不等式知识及椭圆的范围等几何特点．【解析】解法一因为PQ 是经过1F 且垂直于x 轴的双曲线的弦，且290PF Q ∠=︒，所以2PQF △为等腰直角三角形，因此12PF c =．设点1F 为双曲线的左焦点，则点P 的坐标为(,2)c c -±．将点P 的坐标代入双曲线方程，得222241c c a b -=．又由222c a b =+，得422460c c a a -+=．两边同除以4a ，得42610e e -+=．所以23e =+或3-（舍去）．又因为2231)e =+=+，所以1e =．故双曲线的离心率为1+解法二设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线的方程，得22221c y a b -=．那么2b y a=±．由22PF QF =，290PF Q ∠=︒，知112PF F F =，所以22b c a =，即22b ac =，因此22c ac --20a =，两边同时除以2a ，得2210c c a a ⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，即2210e e --=，解得1e =+1-（舍去）．故双曲线的离心率为1+【点睛】求双曲线离心率的3种方法：（1）若可求得a ，c ，则直接利用c e a=求解．（2）若已知a ，b ，则可直接利用e =求解．（3）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c ，的方程或不等式，利用222b c a =-和c e a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【例4】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为M 和N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =（）．A．32B．3C．D．4【分析】首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到FON ∠=30︒；根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程；之后分别与两条渐近线方程联立，求得M ，3,2N ⎛ ⎝⎭，从而利用两点间的距离，求得||MN 的值．另外，也可通过题目的几何特征及双曲线的几何性质寻求Rt OMN △的边角关系，从而解决本题．【解析】解法一根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ，从而得到30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒．根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x -，分别与两条渐近线y =联立，求得M ，3,2N ⎛ ⎝⎭，所以||MN =3．故选B．解法二因为OMN △为直角三角形，所以不妨设OMN ∠为直角，如图4.1所示．根据题意，可知其渐近线的斜率为30FOM ∠=︒，又因为右焦点为(2,0)F ，即||2OF =，所以，在Rt OMF △中||OM =；在Rt OMN △中，60MON ∠=︒．因此||||tan 603MN OM =⋅︒=．故故B．图4.1【点睛】解决解析几何问题要深刻体会解析几何的知识本质，将题目中的几何关系用代数形式表示出来，通过代数运算得出代数结论，再将代数结论转化为几何结论，在这个过程中，要深入探究题目中都蕴含着怎样的几何关系，这些几何关系的本质是什么，这个几何关系用怎样的代数形式表示更恰当、简洁，怎样表示。
高中数学双曲线习题及答案解析
双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。
高中数学选择性必修一3 2 双曲线(解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典3.2双曲线 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =-的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ） A ．(2,0) B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =±之间并且包括x 轴在内的区域，再根据三角形PAB 的面积为3316，即可求得点P 轨迹的一个焦点坐标. 【详解】 如图所示，则120AOB ∠=︒，60APB ∠=︒.不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =之间并且包括x 轴在内的区域． ∴223334x y x y x y PA PB -+-==∵ 三角形PAB的面积为16∴)2213sin 603216PABS PA PB x y ∆==-=，即P 点轨迹方程为22113x y -=. ∴焦点坐标为()2,0. 故选：A. 【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2．已知()5,0F -是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过F 作一条渐近线的垂线与右支交于点P ，垂足为A ，且3PA AF =，则双曲线方程为（ ）A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线距离公式结合已知可得3PA b =，由双曲线的定义可得142PF b a =-，由余弦定理可得34b a =，从而可得结果. 【详解】设双曲线右焦点为1F ，连接1PF ，左焦点(),0F c -到渐近线by x a =-b =， 故3PA b =，4PF b = 在FAO 中，cos bAFO c∠=，由双曲线定义得142PF b a =-， 在1PFF 中，由余弦定理得()()()()()2224242242b b a b c b c c-=+-⨯⨯⨯， 整理得()2222161644b ab c ab -=-=，即34b a =，又2225a b +=，解得29a =，216b =，双曲线方程为221916x y -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程、定义与几何性质，解题时注意余弦定理与点到直线距离公式的应用，属于中档题.3．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=，260ONF ∠=，12F MF △的面积为23，则该双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．22184x y -=C ．22182y x -=D ．2214x y -=【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用双曲线的定义可得2a b =，利用余弦定理和三角形的面积公式可求得12F MF △的面积为2323b =，可求得b 的值，进而可求得a 的值，由此可得出双曲线的方程. 【详解】 如下图所示：O 为12F F 的中点，N 为2MF 的中点，则()12224MF MF ON NF b -=-=，即24a b =，可得2a b =，且有1//ON MF ，则1260F MF ∠=， 在12F MF △中，由余弦定理得()222222121212121222cos60c F F MF MF MF MF MF MF MF MF ==+-⋅=+-⋅()221212124MF MF MF MF a MF MF =-+⋅=+⋅，22212444MF MF c a b ∴⋅=-=，则12F MF △的面积为122121sin 6032F MF SMF MF b =⋅==△b =a ∴=因此，该双曲线的标准方程为22182y x -=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，考查了双曲线焦点三角形面积的计算，考查了余弦定理以及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.4．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，，称为黄金分割数. 已知双曲线()22211x y m-=的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m 的值为（ ） A．2 B1 C ．2 D ．【答案】A 【解析】【分析】先求出双曲线的焦距，然后根据实轴长与焦距的比值为黄金分割数得到关于m 的方程，解方程可得所求． 【详解】由题意得，在双曲线中2221),a b m ==， ∴22221)c a b m =+=+．，∴22a a c c ==，∴222a c ==232=，解得1)m =． 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的基本性质，解题的关键是根据题意得到关于参数m 的方程，考查对新概念的理解、运用和计算能力，属于中档题．5．方程221,()22x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充分不必要条件是（ ）A ． 2k >或2k <-B ．1k >C ．3k >D ． 1k >或1k <- 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，方程22122x y k k -=-+表示双曲线，可得(2)(2)0k k -+>，解得k 的范围，根据充分必要条件判断得出结论即可． 【详解】解：方程22122x y k k -=-+表示双曲线，可得(2)(2)0k k -+>，解得2k >或2k <-； 记集合{|2A k k =<-或2}k >；所以方程22122x y k k -=-+表示双曲线的充分不必要条件为集合A 的真子集， 由于{|3}k k A >，故选：C ． 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =像上的点，则|OP |=（ ） A．2B．5CD【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =即可求出点P 的坐标，得到OP 的值． 【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103yx x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若260AF B ∠=︒，则2AF B 的内切圆半径为（ ） ABC ．23D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值．【详解】设内切圆的圆心为(,)M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ， 如图所示：连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =， 所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=，所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=， 所以可得Q ，1F 重合， 所以224TF a ==， 所以2243tan 23AF B r MT TF ∠===. 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的定义及内切圆的性质.属于中档题．8．已知两圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．2218y x -=B ．2218x y -=C ．()22118y x x -=≥ D ．2218y x -=(x ≤－1)【答案】D 【解析】【分析】设动圆圆心M 坐标为（x ，y ），半径为r ，由题意可得|MC 2|﹣|MC 1|＝2＜|C 1C 2|，可得点M 的轨迹是以C 1、C 2 为焦点的双曲线的左支．根据2a ＝2，c ＝3，求得b 值，即可得点M 的轨迹方程． 【详解】设动圆圆心M 的坐标为（x ，y ），半径为r ，由动圆M 与圆C 1和圆C 2均外切可得|MC 1|＝r +1，|MC 2|＝r +3， 相减可得|MC 2|﹣|MC 1|＝2＜|C 1C 2|，故点M 的轨迹是以C 1、C 2 为焦点的双曲线的左支．由题意可得 2a ＝2，c ＝3，∴b =，故点M 的轨迹方程为 x 2﹣28y ＝1（x ≤﹣1），故选：D. 【点睛】本题主要考查两圆相外切的性质，考查双曲线的定义、性质和标准方程，属于基础题．二、多选题9．已知双曲线C 的方程是：22221x y a b-=（0a >，0b >），则下列说法正确的是（ ）A ．当a b =B ．过双曲线C 右焦点F 的直线与双曲线只有一个交点的直线有且只有2条；C ．过双曲线C 右焦点F 的直线与双曲线右支交于M ，N 两点，则此时线段MN 长度有最小值；D ．双曲线C 与双曲线：22221x y a b-=-（0a >，0b >）渐近线相同.【答案】ABCD 【解析】 【分析】由双曲线的性质分别判断． 【详解】A ．a b =时，c ==，ce a==A 正确； B ．过双曲线的右焦点的直线，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，这样的直线有两条，当直线与渐近线不平行时，它与双曲线有两个交点，一种是两个交点分在左右两支上，一种是两个交点都在右支上．B 正确；C ．过双曲线C 右焦点F 的直线与双曲线右支交于M ，N 两点，当MN 是通径（即MN x ⊥轴）时，MN 的长度最小，C 正确．简略证明如下：如图所示，设双曲线方程为22221x y a b-=，(c,0)F ，AF e AM =，AF AM e =，又∵2a AM c FH c =-+2cos b AF cθ=+，∴2cos AF b AF e c θ=+，21cos e b AF e cθ=⋅-，同理：BF e BN =，BF BN e =，又∵22cos a b BN c EF BF c cθ=--=-， ∴2cos BF b BF e c θ=-，21cos e b BF e cθ=⋅+，∴2222112()1cos 1cos 1cos eb eb AB AF BF c e e c e θθθ=+=+=⋅-+-， 易知当cos 0θ=时，222min222eb b c b AB c c a a==⋅=．D ．双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是b y x a =±，双曲线22221x y a b -=-的标准方程是22221y x b a -=，渐近线方程是by x a=±，渐近线相同，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】本题考查双曲线的性质，掌握双曲线的标准方程与几何性质是解题关键．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是A 1,A 2,左、右两个焦点分别是F 1,F 2,P是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A ．122PA PA a -=B ．直线12,PA PA 的斜率之积等于定值22b aC ．使得12PF F ∆为等腰三角形的点P 有且仅有8个D ．12PF F ∆的面积为212tan 2b A PA ∠【答案】BC 【解析】 【分析】结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解. 【详解】在12A PA ∆中，两边之差小于第三边，即12122PA PA A A a -<=，所以A 不是真命题；设点22(,),0,P x y y x a ≠≠，有22221(0,0)x y a b a b -=>>，2222)1(x y b a-=， 直线12,PA PA 的斜率之积1222222222221()PA PA y y y k k x a x a x a x a x b b a a⋅=⋅===+----，所以B 是真命题； 根据双曲线对称性分析：要使12PF F ∆为等腰三角形，则12F F 必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点P 使122,22PA c PA c a ==-，此时12PF F ∆为等腰三角形， 也且仅有一个点P '使212,22P A c P A c a ''==+，此时12P F F '∆为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个， 所以C 是真命题；12120222A PA F PF π∠∠<<<，根据焦点三角形面积的二级结论12212tan 2PF F b F F S P ∆∠=，所以D 不是真命题.故选：BC 【点睛】此题考查双曲线的几何性质和相关计算，对基础知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题中若能记住常见的二级结论，可以简化计算.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线0x y ++=上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +的取值可能为（ ） A ．34B ．1C ．43D ．2【答案】CD 【解析】 【分析】计算得到双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，12002k y k x =+， 根据渐近线方程知：00102y x <<，代入计算得到答案. 【详解】根据题意知：12b a =，c =2a =，1b =，双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，则220014x y -=，00x >，00y >，00000201020022242y y x y x x x x k k y =+==+--+，根据渐近线方程知：00102y x <<， 故012012x k k y =>+. 故选：CD. 【点睛】本题考查了双曲线中斜率的计算，确定00102y x <<是解题的关键.12．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的有（ ）A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F ∆为钝角三角形 D ．123F PF π∠=【答案】BC 【解析】 【分析】利用12PF F ∆的面积可求出点P 的纵坐标，可判断A 选项的正误；将点P 的纵坐标代入双曲线方程求得点P 的横坐标，即可求得12PF PF +的值，可判断B 选项的正误；计算21cos PF F ∠的值，可判断C 选项的正误；计算出12cos F PF ∠，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】因为双曲线22:1169x y C -=，所以5c ==.又因为12112102022PF F P P S c y y ∆=⋅=⋅⋅=，所以4P y =，所以选项A 错误； 将4P y =代入22:1169x y C -=得2241169x -=，即203P x =. 由对称性，不妨取P 的坐标为20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知2133PF ==. 由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=， 所以12133750333PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F ∆中，12371321033PF c PF =>=>=. 且2222121212125cos 0213PF F F PF PF F PF F F +-∠==-<⋅，则21PF F ∠为钝角，所以12PF F ∆为钝角三角形，选项C 正确；由余弦定理得222121212123191cos 22481PF PF F F F PF PF PF +-∠==≠⋅，123F PF π≠∠，所以选项D 错误.故选：BC. 【点睛】本题考查焦点三角形有关命题的判断，涉及双曲线的定义、余弦定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、填空题13．已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m n Ω-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________. 【答案】512+ 【解析】 【分析】根据正弦定理，可得2PF c =，根据椭圆与双曲线定义可求得a m c =+，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得220c m mc --=，进而求得双曲线的离心率c e m=． 【详解】 设焦距为2c在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+ 即22a c m c -=+ 所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即1c c a m ⨯= ，即2c a m= 所以2c m c m+=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率 所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --= 由一元二次方程求根公式可求得152e ±= 因为双曲线中1e > 所以152e +=【点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题．14．如图所示，已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点 为B ，满足90AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的渐近线方程是______.【答案】62y x =± 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过解三角形求出c 、a 的关系，再根据222c a b =+，即可得到b 、a 的关系，从而得到渐近线方程． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足90AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，设左焦点为1F ，连接1AF 、1BF ，由对称性可得1AF BF =、1BF AF =，可得||||2BF AF a -=，所以||AF a =，||3BF a =， 190F BF ∠=︒，所以22211F F BF BF =+，可得22249c a a =+，2225c a =，又222c a b =+，所以2232b a =，所以62b a =，故渐近线为62y x =±故答案为：62y x =±．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．15．已知点F 为双曲线2221(0)y E x b b-=>：的右焦点，M N ，两点在双曲线上，且M N ，关于原点对称，若MF NF ⊥，设MNF θ∠=，且,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线E 的焦距的取值范围是________.【答案】[22,232]+ 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形，故||2MN FF c '==，由双曲线定义'||||||||2NF NF NF FM a -=-=可得12cos 4c πθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求2cos 4y πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域即可.【详解】 如图，设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形， 故||2MN FF c '==.在Rt FM N ∆中||2cos ,||2sin FN c FM c θθ==， 由双曲线的定义可得'22||||||||2cos 2sin 22cos 4a NF NF NF FM c c c πθθθ⎛⎫==-=-=-=+ ⎪⎝⎭124c πθ∴=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 126ππθ≤≤，53412πππθ∴≤+≤312242πθ-⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭ 231 222232c c ≤≤≤≤，.故答案为：2] 【点睛】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.16．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 与圆22:5O x y +=有公共点()21P -，，且圆O 在点P 处的切线与双曲线C 的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为__________．【解析】 【分析】由()2,1P -得12OP k =-，由题意可知双曲线的渐近线斜率等于2，从而可以设出双曲线的方程()()22x y x y m -⋅+=，代入点()2,1P -得到双曲线的方程，求出实轴长.【详解】由OP 的斜率为12op k =-， 则圆O 在点P 处的切线斜率为2，所以双曲线的一条渐近线方程为20x y -=，所以设双曲线方程为()()()220x y x y m m -⋅+=≠， 因点()2,1P -在双曲线上，所以()()22122115m ⎡⎤⎡⎤=⨯--⋅⨯+-=⎣⎦⎣⎦，所以双曲线方程为22415x y -=，即22411515x y -=，即2154a =，所以实轴长2a =. 【点睛】本小题主要考查双曲线的方程，渐近线方程，圆的切线，斜率等基础知识；考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.属于简单题.四、解答题17．直线10L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍. （1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）22133y x -=；（3）()(,(1,0)0,1(13,)-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）由于点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()x ，然后由P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍列方程求出0x ，从而可得点P 的坐标；（2）由10PF TT ⋅=可知1PF TT ⊥，由此可c =P 坐标代入双曲线方程中，解方程组可得2233a b ⎧=⎨=⎩；（3）由||||QM QN =可知线段MN 的中垂线过点Q ，再利用两直线斜率的关系可得结果. 【详解】解：（1）因为点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()P x ， 因为P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍， 所以13PT PT =所以22220000(9))9[(1))]x x -+=-+，化简得，20060x -+=解得0x =所以=所以点P 的坐为；（2）因为10PF TT ⋅=，所以1PF TT ⊥，所以点F 的坐标为0)，即c =因为点P 在双曲线上，所以22631a b -=，由222226316a bc a b ⎧-=⎪⎨⎪=+=⎩，得2233a b ⎧=⎨=⎩， 所以双曲线方程为22133y x -=（3）因为点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ， 所以点Q 的坐标为(0,1)-，设直线为L 为y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由22133y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(1)230k x kmx m ----=，因为直线L 与双曲线交于不同的两点， 所以222(2)4(1)(3)0km k m ∆=----->， 化简得22330m k -+>， 由根与系数的关系得，12221kmx x k+=- 所以12221x x km k +=-，所以线段MN 的中点为22,11km m k k⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因为||||QM QN =，所以221111mk km k k+-=--，化简得212k m -=， 所以22213302k k ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，得4214130k k -+>，解得21k <或213k >，又因为0k ≠，所以解得k的取值范围为()(,(1,0)0,1)-∞⋃-⋃⋃+∞ 【点睛】此题考查的是直线与双曲线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于较难题 18．已知双曲线C过点(，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点. （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过原点，点P 是曲线C 上任一点，直线PM ，PN 的斜率都存在，记为PM k 、PN k ，试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论；（3）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点Q 坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2214x y -=；（2）14PM PN k k ⋅=，PM PN k k ⋅的值与点P 及直线l 无关，证明见解析；（3）存在，23,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 3164QM QN ⋅=-，理由见解析【解析】 【分析】（1）根据渐近线设出渐近线方程，将点(代入即可求出双曲线C 的方程.（2）根据直线与双曲线的对称性知道点M 与点N 关于原点对称，设出点M 、N 、P ，将其斜率表示出来，利用点M 、N 在双曲线上，化简即可说明PM PN k k ⋅为定值且直线l 与关.（3）根据题意设出直线与点Q ，联立直线与双曲线，表示出QM QN ⋅，利用QM QN ⋅为定值，即与斜率无关，根据比值即可求出定点Q 与QM QN ⋅的值. 【详解】（1） 因为渐近线方程为12y x =±. 所以可设双曲线为224x y λ-=,将点(代入2244λ-=，解得=1λ所以双曲线C 的方程为2214x y -=（2）直线l 过原点,由双曲线的对称性知道，点M 、N 关于原点对称. 设点(),M m n ，(,)P x y ，则点(),N m n --代入2214x y -=，有2244m n =+，2244x y =+所以PM y n k x m -=-，PN y nk x m+=+. 2222=PM PNy n y n y n k k x m x m x m-+-⋅=⋅-+-将2244m n =+，2244x y =+代入得22221444PM PNy n k k y n -⋅==-. 所以14PM PN k k ⋅=，PM PN k k ⋅的值与点P 及直线l 无关. （3）由题意知直线l 斜率存在，故设直线为()1y k x =- ，点()11,M x y 、()22,N x y 、(),0Q t由()22114x y y k x ⎧⎪⎨-==-⎪⎩，得 ()2222148440k x k x k -+--= ，2140k ->且>0∆ 22121222844=,=4141k k x x x x k k ++-- 又()11,QM x t y =-，()22,QN x t y =-，所以()()()()()()1212121211QM QN x t x t y y x t x t k x k x ⋅=--+=--+--()()()()22221212=1k x x t k x x t k +-++++()()()22222222448=14141k k k t k t k k k ++-+++--()22227844=41t t k t k -++--令227844=41t t t -+--解得238t =，此时3164QM QN ⋅=- 【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线求双曲线的方程,双曲线的性质，双曲线中的定值、定点问题，属于难题.本类题型的一般解法是：设直线-联立方程组-韦达定理-利用坐标表示出所求定值-化简即可得出答案.19．双曲线()22:10,0C ax by a b -=>>的虚轴长为1，两条渐近线方程为y =.（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 上有两个点D E 、，直线OD 和OE 的斜率之积为1，判别2211OEOD+是否为定值，；（3）经过点(),0P t t ⎛>⎝⎭的直线m 且与双曲线C 有两个交点,M N ，直线m 的倾斜角是2,,,233πππθθ⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭，是否存在直线00:lxx （其中0x <M NPM d d PN =恒成立？（其中,M N d d 分别是点,M N 到0l 的距离）若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）221241x y -=；（2）8；（3）存在且0112x t=【解析】分析：（1）根据题意，双曲线C 的虚轴长为1，两条渐近线方程为3y x =.易求求双曲线C 的方程；（2）设直线OD 的斜率k ，显然3k ≠ 联立221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩得221124D x k =-，求出2OD ，2OE ，可证22118OD OE +=； （3）设直线方程(),3y m x t m =-≠±，联立()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，()()222221248410m x m tx m t -+-+=（*），∵at a>，方程总有两个解， 设()()112212,,,,M x y N x y x t x <<，得到1212,x x x x +，根据M N d d 得101202x x t x x x x t --=--，整理得112x t =，由12 12t >，则011212a x t a =<=符合题目要求，存在直线． 详解：（1）双曲线22:1241C x y -=； （2）设直线OD 的斜率k ，显然33k ≠±，联立221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩得221124D x k =-， ()2222211124Dk OD OD kxk+==+=-， 222221111124124k k OE k k++==--， 22222211124124811k kk k OD OE --+=+=++； （3）设直线方程(),y m x t m =-≠，联立()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，()()222221248410m x m tx m t -+-+=（*），∵t >，方程总有两个解， 设()()112212,,,,M x y N x y x t x <<，()222121222418,124124m t m t x x x x m m -+-+==--， 根据MN PM d d PN =得101202x x t x x x x t --=--，整理得2222222841211241248122124m t m tt m m x m t t t m -+⋅+⨯--==+-，∵12t >，∴0112x t =<=点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题. 20．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，虚轴长为2． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1) 2214x y -= (2) 证明见解析，定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）求双曲线标准方程，一般方法为待定系数法，即根据题意列出两个独立条件：5,22,2c b a ==，解方程组得2,1a b ==（2）以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -,等价于0AD BD ⋅=,根据向量数量积得()121212240y y x x x x ++++=，结合直线:l y kx m =+方程得()121212()()240kx m kx m x x x x ++++++=，利用直线方程与双曲线方程联立方程组，消y 得()()222148410kxmkx m ---+=，再利用韦达定理代入等式整理得22316200m mk k -+=，因此2m k =或103k m =.逐一代入得当103km =时,l 的方程为,直线过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 试题解析：（1）设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>, 由已知得522,c b a ==又222+=a b c ,解得2,1a b ==,所以双曲线的标准方程为2214x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ,联立22{14y kx mx y =+-=,得()()222148410kxmkx m ---+=,有()()()22221222122641614108{01441014m k k m mkx x k m x x k ∆=+-+>+=<--+=>-,()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-,以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -,·1AD BD k k ∴=-,即()()222121212122221241416·1,240,4022141414m y y m k mk y y x x x x x x k k k-+-=-∴++++=∴+++=++---,22316200m mk k ∴-+=,解得2m k =或103km =.当2m k =时,l 的方程为()2y k x =+,直线过定点()2,0-,与已知矛盾；当103km =时,l 的方程为,直线过定点10,03⎛⎫-⎪⎝⎭,经检验符合已知条件, 所以直线l 过定点,定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 考点：双曲线标准方程，直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21．设双曲线2221(0)3y x a a -=>的两个焦点分别为12,F F ,离心率为2.（Ⅰ）求此双曲线的渐近线的方程；（Ⅱ）若分别为上的点，且2|AB|=5|F 1F 2|，求线段的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）的轨迹方程为则的轨迹是中心在原点，焦点在轴上长轴长为103，短轴长为1033的椭圆. 【解析】试题分析：由离心率，得出渐近线方程；第二步设而不求，先设出，，的中点，利用已知条件1225AB F F =，得出相应的关系，再根据点分别为上的点，坐标满足直线方程，两式相加得，两式相减得：，把和代入221212()()x x y y -+-=10，另外利用中点坐标公式，求出点的轨迹方程；试题解析：（Ⅰ）由，双曲渐近线方程为;（Ⅱ）设，，的中点∵1225AB F F =∴,∴221212()()x x y y -+-=10，又，两式相加，两式相减：，则，,221212()()x x y y -+-则根据中点坐标公式：，∴2212123[()][3()]3x x y y +++，则的轨迹方程为则的轨迹是中心在原点，焦点在轴上长轴长为103，短轴长为1033的椭圆. 考点：1.双曲线的离心率与渐近线方程；2.求动点轨迹方程；22．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒（注：信号每秒传播0V 千米）.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O 的距离；（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？【答案】（1）221(0)400500x y x -=<（2）(P OP -=（3）【解析】 【分析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可； （2）AC 垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可. 【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒故00404060PB PA V AB V -=⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)x y x a b-=<由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，故点P 的轨迹方程为221(0)400500x y x -=<.（2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx = 则()3001030k -⨯=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-联立221(0)400500x y x -=<可得2x =x y =-=故观察员遇险地点坐标为(- 与检测中心O=.（3）设轨迹上一点为(),P x y ，则PC ==又因为221400500x y -=，可得2244005x y =+代入可得：PC ==≥=当且仅当503y =时，取得最小值故扫描半径r 至少是. 【点睛】本题考查根据双曲线的定义写出双曲线的方程，以及求双曲线上一点到一个定点距离的最小值，属双曲线方程的综合应用题.。
3.2.1 双曲线(第一课时)(精练)(解析版)
3.2.1 双曲线【题组一 双曲线的定义】1．（2019·山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，若12PF PF -为大于零的常数，则动点P 的轨迹为（ ） A ．双曲线 B ．射线C ．线段D ．双曲线的一支或射线【答案】D【解析】两个定点的距离为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支； 当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线； 不存在1212PF PF F F ->的情况. 综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或射线. 故选：D2．（2019·上海市宜川中学高二期末）设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得24,2a a =∴=.由双曲线的定义可知P 到该双曲线两个焦点的距离之差24a =. 故选：A3．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝0(|x|≥13)C ．x ＝0(|y|≥13) D ．以上都不对 【答案】C【解析】∵||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线．所以点P 的轨迹方程为x ＝0(|y|≥13).故答案为：C4．（2020·四川内江）一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【答案】C【解析】设动圆圆心(,)M x y ，半径为r ，圆x 2+y 2＝1的圆心为(0,0)O ，半径为1， 圆x 2+y 2﹣8x +12＝0，得22(4)4x y -+=，则圆心(4,0)C ，半径为2，根据圆与圆相切，则||1MO r =+，||2MC r =+，两式相减得||||1MC MO -=， 根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支. 故选：C5．（2020·渝中）若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11 B ．9C ．6D ．5【答案】B【解析】由双曲线22:1916x y E -=，可得3a =，由双曲线的性质可得：126PF PF -=，可得29PF =或23PF =-(舍去)，故选：B.6．双曲线的左右焦点为F 1,F 2，过点F 2的直线l 与右支交于点P,Q ，若|PF 1|=|PQ|，则|PF 2|的值为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】B 【解析】因为双曲线的左右焦点为F 1,F 2，过点F 2的直线l 与右支交于点P,Q ，若|PF 1|=|PQ|，利用双曲线的定义，以及直线与双曲线联立方程组得到弦长，得到|PF 2|的值为6选B 【题组二 双曲线定义的运用】1．（2020·四川省遂宁市第二中学校）已知双曲线221259x y -=上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M到左焦点2F 的距离是（ ） A ．8 B ．28C ．12D ．8或28【答案】D【解析】双曲线221259x y -=的5a =，3b =，c ==由双曲线的定义得12||||||210MF MF a -==，即为21810MF -=，解得28MF =或28.检验若M 在左支上，可得15MF c a ≥-=，成立；若M 在右支上，可得15MF c a ≥+=+，成立.故选：D2．（2020·全国高二课时练习）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．C ．(0,3)D ．)【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n-=+-表示双曲线，所以10{30n n +>->，解得1{3n n >-<，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ． 3．（2020·全国）“35m -<<”是“方程22153x y m m -=-+表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】可以直接求出方程22153x y m m -=-+表示双曲线的充要条件，即为(5)(3)035m m m -+>⇔-<<，因此可知条件和结论之间的关系是充要条件，因此选C.4．（2019·绥德中学高二月考（理））方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．11k -<<B ．0k >C ．0k ≥D ．1k >或1k <-【答案】D【解析】方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则()()k k +-<110，解得1k >或1k <-.故选：D.5．（2019·黑龙江龙凤大庆四中高二月考（文））方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4 D ．－1＜m ＜3【答案】A【解析】由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.6．（2020·山东青岛）已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切 【答案】B【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距2c ==，A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则a =c =∴离心率==ce a，B 正确； 对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集， ∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为7y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离4214323035214910d ±===≠+，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选：B .7.（2019·浙江高二期末）设F 1,F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则ΔPF 1F 2的面积等于__________． 【答案】12 【解析】由于x 25−y 24=1，因此a =√5，c =3，故|F 1F 2|=2c =6，由于|PF 1|:|PF 2|=2:1即|PF 1|=2|PF 2|，而|PF 1|−|PF 2|=2a =2√5，所以|PF 1|=4√5，|PF 2|=2√5，cos∠F 1PF 2=PF 12+PF 22−F 1F 222PF 1⋅PF 2=45，所以sin∠F 1PF 2=35，因此S ΔPF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=12. 8．（2019·湖北高二期中（文））已知双曲线2214x y -=的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为_______．【解析】因为22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠212121212(||||)2||||2||||cos PF PF PF PF PF PF F PF =-+-∠,所以21212π4(41)(22)2||||2||||cos3PF PF PF PF +=⨯+-，12121π||||=44sin 23PF F PF PF S∴=⨯⨯=， 【题组三 双曲线标准方程】1．（2020·全国高三其他（文））已知双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22124x y -=B ．22148x y -=C ．2218y x -=D ．22128x y -=【答案】D【解析】由题意可得：22,6a m b m ==+，则实轴长为：由题意有：2=，解得：2m =，代入2216x y m m -=+可得双曲线方程为22128x y -=.本题选择D 选项.2．（2020·全国高二月考（文））过双曲线C ：22221x y a b -=的左焦点F 的直线，恰好与圆222x y a +=相切，C 的右顶点为A ，且2AF =C 的标准方程为（ ）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】设左焦点为(),0F c -，则直线方程)y x c =+，0y -+=0y -+=恰好与圆222x y a +=相切，所以圆心()0,00y -+=的距离等于半径，即2a =a c =，则2a c =.则22AF a c c =+=+=解得2c =，a =则1b =.所以双曲线C 的标准方程为2213xy -=.故选:B .3．（2020·甘肃城关）已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=【答案】A 【解析】由图可知，a =30，所以b a =1b =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：A4．（2020·河南开封）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(2,，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】对于A 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.对于B 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，且过点(2,，符合题意.对于C 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，但不过点(2,，不符合题意.对于D 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.综上所述，本小题选B.5．（2020·湖南）已知双曲线C ，点(P 在C 上，则C 的方程为（）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22124x y -=D ．221147y x -=【答案】B【解析】当双曲线的焦点在x 轴，设双曲线的方程为：22221(a 0,b 0)x y a b-=>>.根据题意可得：22222821ca abc a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22714a b ，==，所以221714x y -=.当双曲线的焦点在y 轴，设双曲线的方程为：22221(a 0,b 0)y x a b-=>>.根据题意可得：22222281ca abc a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，方程无解.综上C 的方程为221714x y -=.故选B.【题组四 双曲线的渐近线】1．（2020·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线22142-=y x ，则其渐近线方程为( )A．y = B．2y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A【解析】双曲线方程为22142-=y x，则渐近线方程为：02y =即y =．故选：A ． 2．（2020·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x 轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为的渐近线方程（ ） A．y = B ．2y x =±C．2y x =±D ．12y x =±【答案】C【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线虚轴长为2，焦距为22b =，2c =则有1b =，c =，则a ==22121x y-= ，该双曲线的渐近线方程为为：2y x =±故选：C ．3．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））设双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．y x =±【答案】B【解析】由题可知c e a ==，222c a b =+，解得2ba=，所以双曲线的渐近线方程为：2y x =±，选B.4．（2020·全国高三其他（文））设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，若点P 为双曲线左支上的一点，且直线1PA 、2PA 的斜率分别为1-，13-，则双曲线的渐近线方程为______________.【答案】3y x =±【解析】1PA 的方程为()y x a =-+，2PA 的方程为()13y x a =--，则()2,P a a -，将点P 的坐标，代入双曲线，则222241a a a b -=，则2213b a =，则b a =则双曲线渐近线方程为y x =.故答案为：y x =. 5.（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知双曲线22143y x -=,则焦点到渐近线的距离为 。
双曲线中的离心率问题(解析版)
专题双曲线中的离心率问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.3【解析】设AF 2 =t ，因为AB ⊥x 轴，则点A 、B 关于x 轴对称，则F 2为线段AB 的中点，因为△ABF 1为等边三角形，则∠AF 1F 2=30°，所以，AF 1 =2AF 2 =2t ，所以，AF 1 -AF 2 =AF 2 =t =2a =2，则AF 1 =2AF 2 =2t =4，所以，2c =F 1F 2 =AF 12-AF 2 2=42-22=23，则c =3，因此，该双曲线C 的离心率为e =ca= 3.故选：D .2.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.433【解析】双曲线C 的渐近线方程为y =±a b x ，直线y =±ab x 被圆x 2+y -2 2=4所得截得的弦长为23，则圆心0,2 到直线y =±ab x 的距离为d =22-3 2=1，由点到直线的距离公式可得d =21+ab2=1，解得a 2b 2=3，则b 2a2=13，因此，双曲线C 的离心率为e =ca =1+b a2=1+13=233.故选：B .3.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.233【解析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ,CF ，因为AF ⋅FB =0，所以AF ⊥FB ，因为OA +OB =0，所以OA =OB ，因为OF =OF ，所以四边形AFBF 为矩形，设BF =t (t >0)，则FC =3t ，BF =2a +t ,CF =2a +3t ，在Rt △CBF 中，BC 2+BF 2=CF 2，所以4t 2+2a +t 2=2a +3t 2，化简得t 2-at =0，解得t =a ，在Rt △BFF 中，BF 2+BF 2=FF 2，所以t 2+2a +t 2=4c 2，所以a 2+9a 2=4c 2，所以10a 2=4c 2，得10a =2c ，所以离心率e =c a =102，故选：B4.如图，双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.23【解析】因为F 1Q ⋅F 2Q =0，则QF 1⊥QF 2，所以△F 1F 2Q 是直角三角形，又因为O 是F 1F 2的中点，所以OQ 是直角△F 1F 2Q 斜边中线，因此F 1O =OQ ，而点P 是线段F 1Q 的中点，所以△F 1OQ 是等腰三角形，因此∠F 1OP =∠POQ ，由双曲线渐近线的对称性可知中：∠F 1OP =∠F 2OQ ，于是有：∠F 1OP =∠POQ =∠F 2OQ =π3，因为双曲线渐近线的方程为：y =±b ax ，因此有：b a =tan π3⇒ba=3⇒b 2=3a 2⇒c 2-a 2=3a 2⇒c =2a ⇒e =2，故选：B .5.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,2【解析】设PF 1与y 轴交于Q 点，连接QF 2，则QF 1=QF 2,∴∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，因为∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，故P 点在双曲线右支上，且∠PF 2Q =∠PQF 2=2∠PF 1F 2，故|PQ |=|PF 2|，而|PF 1|-|PF 2|=2a ，故|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，在Rt △QOF 1中，|QF 1|>|OF 1|，即2a >c ，故e =ca<2，由∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，且三角形内角和为180°，故∠PF 1F 2<180°4=45°，则cos ∠PF 1F 2=|OF 1||QF 1|>cos45°，即c 2a >22，即e =ca>2，所以C 的离心率的取值范围为2,2 ，故选：A 6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+2【解析】由于F 1F 2 =3MN ，所以x M =-2c ×13×12=-c3，则-c32a 2+y 2Mb2=1，解得y M =b 3a c 2-9a 2，由于F 1M ⊥F 2M ，所以2c 3，b 3a c 2-9a 2 ⋅-4c 3，b 3ac 2-9a 2 =0，整理得c 4-18a 2c 2+9a 4=0，两边除以a 4得e 4-18e 2+9=0，由于e >1，e 2>1，故解得e =6+ 3.故选：B7.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞【解析】如图，过点F 2作渐近线的垂线，垂足为E ，设|F 1F 2|=2c ，则点F 2到渐近线y =±abx 的距离EF 2 =bca 2+b2=b .由双曲线的定义可得MF 1 -MF 2 =2a ，故MF 1 =MF 2 +2a ，所以MD +MF 1 =|MD |+MF 2 +2a ≥EF 2 +2a =b +2a ，即MD +MF 1 的最小值为2a +b ，因为MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，所以|MD |+MF 1 >F 1F 2 恒成立，即2a +b >2c 恒成立，所以，b >2c -2a ，即b 2>4c 2+4a 2-8ac ，即c 2-a 2>4c 2+4a 2-8ac ，所以，3c 2+5a 2-8ac <0，即3e 2-8e +5<0，解得1<e <53.故选：A .8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3【解析】设线段AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，左右焦点为F 1,F 2，连接DE ,DB ，因为线段AB 的中点E 在圆O :x 2+y 2=a 2上，所以DE ⊥AB ，所以△ADE ≌△BDE ，所以AD =BD =2a ，因为OB =7OA ，所以OB =7a ，在△ODB 中，由余弦定理得cos ∠ODB =OD2+DB 2-OB 22OD ⋅DB =a 2+4a 2-7a 24a 2=-12，因为∠ODB ∈0,π ，所以∠ODB =2π3，所以∠BDF 2=π3，过B 作BF ⊥x 轴于F ，则BF =3a ,DF =a ，所以B 2a ,3a ，所以4a 2a 2-3a 2b 2=1，得a 2=b 2，所以a 2=c 2-a 2，2a 2=c 2，所以c =2a ，所以离心率e =ca=2，故选：A二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.52【解析】∵e 1+e 2 2=e 21+e 22+2e 1e 2=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b 2+2×a 2+b 2a×a 2+b 2b=2+b 2a 2+a 2b2+2a 4+b 4+2a 2b 2a 2b 2=2+b 2a 2+a 2b 2+2a 2b 2+b 2a 2+2≥2+2+22+2=8，当且仅当b 2a 2=a 2b2即a =b 时取等号，所以e 1+e 2≥22.故选：CD .10.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为( )．A.324B.2C.32D.2【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是y -2=k (x -2)，由x 2-y 2a2=1y -2=k (x -2) 得(a 2-k 2)x 2+4k (k -1)x -4(k -1)2-a 2=0，显然a 2-k 2=0时，所得直线只有一条，不满足题意，所以k ≠±a ，由Δ=0得16k 2(k -1)2+4(a 2-k 2)[4(k -1)2+a 2]=0，整理为3k 2-8k +4+a 2=0，由题意此方程有两不等实根，所以Δ1=64-12(4+a 2)>0，a 2<43，则c 2=1+a 2<73(c 为双曲线的半焦距)，e =c 1=c <213，即1<e <213，k =±a 代入方程3k 2-8k +4+a 2=0，得a =±1，此时e =2，综上，e 的范围是1,2 ∪2,213.故选：AC11.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.133【解析】当点M ,N 同时在双曲线C 的左支上时，设切点为P ，则OP ⊥MN ，OP =a ,OF 1 =c ,PF 1 =c 2-a 2=b .作F 2Q ∥OP 交MN 于点Q ，则F 2Q ⊥MN ，而O 为F 1F 2的中点，则P 为QF 1的中点，故F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ -QF 1 =8a 3-2b ，所以NF 2 =NF 1 +2a =8a 3-2b +2a =10a 3，则2a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+232=133.当点M ,N 在双曲线的两支上时，仍有F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ +QF 1 =8a 3+2b ，所以NF 2 =NF 1 -2a =8a 3+2b -2a =10a 3，则4a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+432=53，故选：AD12.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2=13F 2B ，则该双曲线的离心率为( ).A.62B.2C.3D.5【解析】当AF 2 =13F 2B时，设∠F 2OA =α，则∠AOB =2α，设a =1，如图，双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，即tan α=b a ，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=ba ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即有t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=4b ，tan α=b a =b ，tan2α=4ba=4b ，代入得tan2α=2tan α1-tan 2α=2b 1-b 2=4b ，即2=4-4b 2，解得b =22，则e =c a =a 2+b 2=1+12=62，A 正确；当F 2A =13F 2B 时，设∠F 2OA =α，∠AOB =β，设a =1，如图，则∠F 2OB =α+β，∠F 1OB =π-(α+β)，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=b a ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=2b ，tan α=b a =b ，tan β=2ba=2b ，而tan ∠F 1OB =tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=tan α，即tan (α+β)=tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-tan α，因此b +2b 1-b ⋅2b=-b ，即3=2b 2-1，解得b =2，则e =ca =a 2+b 2=3，C 正确.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =22x ，则其离心率是.【解析】由题意知b a =22，又因为在双曲线中，c 2=a 2+b 2，所以e 2=c 2a 2=1+b 2a2=32，故e =62(负舍)14.已知双曲线方程为C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【解析】如图：设F 关于渐近线y =b a x 对称的点A 在渐近线y =-bax 上，FA 的中点B 在渐近线y =bax 上，则∠FOB =∠BOA ，又∠FOB =∠AOx ，所以∠FOB =∠BOA =∠AOx =60°，所以tan60°=b a =3，所以e =ca=a 2+b 2a 2=1+b a2=1+3=2.15.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为Fc ,0 ，直线l :x =c 与双曲线C 交于A ,B 两点，与双曲线C 的渐近线交于D ,E 两点，若DE =2AB ，则双曲线C 的离心率是．【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y =±ba x ，∵直线l :x =c ，∴AB 为双曲线的通径，则由x =cx 2a2-y2b 2=1得x =cy =±b 2a，则AB =2b 2a，由x=cy=±bax得x=cy=±bca，则DE =2bca，由DE=2AB得：2bca=4b2a即c=2b，所以a=c2-b2=3b，所以离心率e=ca=23316.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.【解析】依题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，不妨设双曲线的这条渐近线方程为y=ba x，由y=baxx2+y2=c2，得：x=ay=b或x=-ay=-b，所以Q(a,b),P(-a,-b)，双曲线的左顶点为A，则A(-a,0)，所以AQ=(a+a)2+b2=4a2+b2，AP=(-a+a)2+b2=b，因为AQ≥3AP，所以4a2+b2≥3b，化简得a2≥2b2，所以a2≥2(c2-a2)，所以e2=a2c2≤32，所以e≤62，又e>1，所以e∈1,62.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．【解析】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点，∴PF1-PF2=2a,PF1=2a+PF2，∴PF12PF2=2a+PF22PF2=4a2PF2+4a+PF2≥8a，当且仅当4a2PF2=PF2，即PF2=2a时取等号，∴PF1=2a+PF2=4a，∵PF 1 -PF 2 =2a <2c ，PF 1 +PF 2 =6a ≥2c ⇒e =ca≤3，∴e ∈1,3 ，故双曲线的离心率e 的取值范围为：1,3 ..18.已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 ，有相同的左、右焦点F 1，F 2，若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且F 1F 2 =4PF 2 ，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，求e 2-e 1的取值范围.【解析】设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，由椭圆的定义可得m +n =2a 1，由双曲线的定义可得m -n =2a 1，解得m =a 1+a 2，n =a 1-a 2，由F 1F 2 =4PF 1 ，可得n =12c ，即a 1-a 2=12c ，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得1e 1-1e 2=12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 2-e 1=e 2-2e 22+e 2=e 222+e 2，设2+e 2=t 3<t <4 ，则e 222+e 2=t -2 2t =t +4t-4，由于函数f t =t +4t -4在3，4 上递增，所以f t ∈13，1 ，即e 2-e 1的取值范围为13，1.19.已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a 2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【解析】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，则c =2，ca =2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则OA=c，∠AOF=45°，则A22c,22c，代入双曲线方程x2a2-y2b2=1，可得b2a2-a2b2=2，令x=b2a2x>0，则x-1x=2，解得x=1+2，即b2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且R=1，则圆心到直线l距离为mk2+1=1，化简得m2=k2+1，①又∠AOB=π2，设A x1,y1,B x2,y2，则k OA⋅k OB=-1，即y1x1⋅y2x2=-1，则k2x1x2+km x1+x2+m2x1x2=-1，②联立y=kx+mx2a2-y2b2=1得b2-a2k2x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，则x1+x2=2a2kmb2-a2k2，x1x2=-a2m2+b2b2-a2k2，③联立①②③，得k2+1a2+a2b2-b2=0，则a2+a2b2-b2=0，又c2=a2+b2，则c2a2=c2-a2+2=b2+2>2，则e=ca>2，即离心率e的取值范围为2,+∞.20.已知点P 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，PF 1=(2+3) PF 2 ，∠F 1PF 2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R 、r 分别是△F 1PF 2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．【解析】(1)由P 为双曲线的右支上一点，可得|PF 1|-|PF 2|=2a ，又PF 1=(2+3) PF 2 ，可得PF 1 =(3+1)a ，PF 2 =(3-1)a ，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得4c 2=(4+23)a 2+(4-23)a 2-2(3+1)(3-1)a 2⋅12=8a 2-2a 2=6a 2，即c =62a ，可得e =c a =62；(2)由2R =2csin60°=6a32=22a ，即R =2a ；因为S △PF 1F 2=12PF 1⋅ PF 2 ⋅sin60°=12(3+1)(3-1)a 2⋅32=32a 2，又S △PF 1F 2=12PF 1+ PF 2 +2c r =12(23a +6a )r ，所以r =323+6a =2-22a ，所以R r =222-2=2+22．21.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线C 左支上一点，AF 2 -AF 1 =2b ．(1)求双曲线C 的离心率；(2)设点A 关于x 轴的对称点为B ，D 为双曲线C 右支上一点，直线AD ,BD 与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2，且x 1x 2 =1，求双曲线C 的方程．【解析】(1)由于A 为双曲线C 左支上一点，由双曲线的定义可知AF 2 -AF 1 =2a =2b ，所以2a 2=b 2=c 2-a 2．整理，得3a 2=c 2，所以ca=3，所以双曲线C 的离心率为3．(2)由(1)可设双曲线C 的标准方程为x 2a 2-y 22a2=1．设A x3,y3，B x3,-y3，D x4,y4．直线AD的方程为y-y3=y3-y4x3-x4x-x3．令y=0，则x1=-x3y4-x4y3y3-y4．直线BD的方程为y+y3=-y3-y4x3-x4x-x3，令y=0，则x2=x3y4+x4y3y3+y4．所以x1x2=-x3y4-x4y3y3-y4⋅x3y4+x4y3y3+y4=x23y24-x24y23y23-y24．因为A x3,y3，D x4,y4满足方程x2a2-y22a2=1，所以x23=a2+y232，x24=a2+y242,所以x1x2=x23y24-x24y23y23-y24=a2+y232y24-a2+y242y23y23-y24=a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y22=1．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，由题意得x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,所以x21-x22a2-y21-y22 b2=0，y21-y22x21-x22=b2a2,y1-y2x1-x2∙y1+y22x1+x22=b2a2,k AB=y1-y2x1-x2,k OM=y1+y22x1+x22，∴k AB⋅k OM=b2a2，即b2a2=34，a2=43b2,c2=a2+b2=73b2,e2=c2a2=74，∴e=72；(2)因为双曲线的右顶点N 2,0 ，所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 23=1，因为k AB ⋅k OM =34，所以直线l 的斜率一定存在，并且k ≠±32(如果k =±32，则k OM =±32,AB ⎳OM ，这不可能)，设直线l 的方程为y =kx +m ，联立方程y =kx +mx 24-y 23=1得：3-4k 2x 2-8kmx -4m 2-12=03-4k 2≠0 ，所以Δ=64k 2m 2-43-4k 2-4m 2-12 >0，即m 2-4k 2+3>0，所以x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1⋅x 2=-4m 2-123-4k 2.因为以AB 为直径的圆经过点N ，所以NA ⊥NB ，所以NA ⋅NB=0，又因为NA =x 1-2,y 1 ,NB=x 2-2,y 2 ，所以NA ⋅NB=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=x 1x 2-2x 1+x 2 +4+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，所以NA ⋅NB=k 2+1 x 1x 2+km -2 x 1+x 2 +m 2+4=0，即k 2+1 ×-4m 2-123-4k 2+km -2 ×8km3-4k2+m 2+4=0，化简得m 2+16km +28k 2=0，即m +14k m +2k =0，解得m =-14k 或m =-2k ，且均满足m 2-4k 2+3>0，当m =-2k 时，y =kx -2k =k x -2 ，因为直线l 不过定点N 2,0 ，故舍去；当m =-14k 时，y =kx -14k =k x -14 ，所以直线l 恒过定点E 14,0 ；综上，e =72，直线l 恒过定点E 14,0 .。
衡水内部资料-高中数学-双曲线(解析版)
3.2.2 双曲线考点一双曲线的离心率【例1】（2020·云南省下关第一中学高二月考）若实数数列：1，a，81成等比数列，则圆锥曲线221yxa+=的离心率是（）A B C D．13或10【答案】A【解析】由1，a，81成等比数列有：281a=，所以9a=±，当9a=时，方程为2219yx+=，表示焦点在y轴的椭圆，其中13a=，1c==，故离心率113cea==；当9a=-时，方程为2219yx-=，表示焦点在x轴的双曲线，其中21a=，2c==，故离心率22cea==,故选择A.【一隅三反】1．（2020·江苏南京）在平面直角坐标系xOy 中，若点P (0)到双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．4C D【答案】A【解析】双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线为30x ay -=6=，解得a =2c e a ===.故选：A. 2．（2020·贵州省思南中学高二期末（理））已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，212||||PF F F =，1230PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B 1C D 1【答案】C【解析】根据题意作图如下：设1222F F PF c ==.∵1230PF F ∠=∴1PF =∵由双曲线焦半径公式知1P PF ex a =+=，22P PF ex a c =-=∴22a c =-∴12c e a ===故选C. 3．（2020·全国）已知1F ，2F 为双曲线22122:1x y C a b-=的焦点，P 为222x y c +=与双由线1C 的交点，且有121tan 4PF F ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D【答案】C【解析】由题意知1290F PF ∠=︒， 在12Rt F PF 中，121tan 4PF F ∠=，可设2PF m =，则14PF m =，由勾股定理得，122F F c ==，又由122PF PF a -=得23a m =，所以3c e a ==. 故选：C4．（2020·沙坪坝.重庆八中高二月考）若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D ．2【答案】C 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)-，∴点(1,2)-在直线by x a=-上， ∴2ba=．则该双曲线的离心率为e ==故选：C ．考点二 直线与双曲线的位置关系【例2】已知双曲线x 2－y 24＝1，问当直线l 的斜率k 为何值时，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点．【答案】见解析【解析】①当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0，即k ＝±2时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线l 与双曲线只有一个公共点．当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52.综上可知，当k ＝52或k ＝±2或直线l 的斜率不存在时，过点P 的直线l 与双曲线都只有一个公共点．【一隅三反】1．（2018·福建高二期末（理））若直线y kx 2=+与双曲线22x y 6-=的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】把y ＝kx ＋2代入x 2－y 2＝6，得x 2－(kx ＋2)2＝6，化简得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，由题意知2121210000k x x x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+>⎨⎪⋅>⎪⎪⎩，，，即()22221640104011001k k k k k ⎧+->⎪⎪⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，，，解得3-＜k ＜－1. 答案：D.2．（2020·天水市第一中学高二月考（理））直线l ：1y kx =+与双曲线C ：222x y -=的右支交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是（） A．( B ．(11)-， C．(1)- D．(1)(1-⋃ 【答案】C【解析】由2221x y y kx ⎧-=⎨=+⎩ 可得，()221230k x kx ---= ，因为直线:1l y kx =+与双曲线22:2C x y -=交于不同的两点，所以， ()222241210201301k k k k k ⎧+->⎪⎪⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩解得12k -<<- ，所以斜率k的取值范围是12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故选C. 3．（2020·四川资阳）直线l ：kx －y －2k ＝0与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则实数k 的值为 A ．－1或1 B ．－1 C ．1 D ．1，－1，0【答案】A【解析】因为直线l ：kx －y －2k ＝0过定点(2,0),而直线l ：kx －y －2k ＝0与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，所以直线l ：kx －y －2k ＝0与双曲线渐近线平行，即实数k 的值为－1或1，选A .4．（2020·宁波市北仑中学高一期中）过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y当直线l 与x 轴垂直时，AB 4=，满足题意当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l：(y k x =-，联立直线与双曲线方程得：(2222y k x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，整理得：2222(2)320k xx k -+--=，所以2122322k x x k +=-，12x x +=，又AB =4=，解得：2k =±， 综上：满足这样的直线l 的条数为3条考点三 弦长【例3】（2019·全国高三课时练习）过双曲线22136x y -=的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点． (1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积． 【答案】（1（2【解析】(1)由双曲线的方程得a b ==3c ==，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．直线AB的方程为3)y x =-． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由223)3136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得5x 2＋6x －27＝0. ∴1265x x +=-，12275x x ⋅=-. ∴AB ===(2)直线AB30y--=.∴原点O到直线AB的距离为32d==.∴113||222 AOBS AB d=⋅==【一隅三反】1．（2020·全国）已知直线y＝kx＋1与双曲线2214yx-=交于A，B两点，且|AB|＝，则实数k的值为() A．±7B．±3或±413C．D．±3【答案】B【解析】由直线与双曲线交于,A B两点，得2k≠±，将1y kx=+代入2214yx-=得22(4)250k x kx---=，则2244(4)50k k∆=+-⨯>，即25k<.设11(,)A x y，22(,)B x y，则12224kx xk+=-，12254x xk=--.∴AB==∴k=3k=±.故选B.2．（2018·全国高二课时练习）求双曲线2214yx-=被直线1y x=+截得的弦长.【解析】由22141yxy x⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得()224140x x-+-=，即23250x x--=．（*）设方程（*）的解为1x，2x，则有122 3x x+=，125 3x x=-，故12d x=-===．3．（2020·邢台市第八中学高二期末）已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB.【答案】(1)22136x y-=；(2)5【解析】(1)因为双曲线C：22221(0,0) x ya ba b-=>>是双曲线的一个顶点，所以caa⎧=⎪⎨⎪=⎩解得3,c b==22136x y-=(2)双曲线22136x y-=的右焦点为2(3,0)F所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x=-．联立)2213633x yy x⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x+-=.设()()1122,,,A x yB x y，则1212627,55x x x x+=-=-.所以5AB==.4．（2020·宾县第二中学高二期末（文））已知曲线22:1C x y-=及直线:1l y kx=-．（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A B、两点，O是坐标原点，且AOB∆，求实数k的值．【答案】（1）()1-；（2）0k =或2k =±【解析】（1）由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y ，得()221220k x kx -+-=．∵l 与C 左支交于两个不同的交点∴()222104810k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩且121222220,011k x x x x k k +=-=--- ∴k的取值范围为()1-（2）设()()1122,,A x y B x y 、，由（1）得12122222,11k x x x x k k+=-=---． 又l 过点()0,1D -，∴1212OAB S x x ∆=-= ∴()(2212x x -=，即22228811k k k⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭． ∴0k =或k =考点四 点差法【例4】（1）（2020·黑龙江南岗）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2BCD ．3（2）（2020·河南南阳.高二其他（文））直线l 经过()4,2P 且与双曲线2212x y -=交于M ，N 两点，如果点P 是线段MN 的中点，那么直线l 的方程为（ ） A ．20x y --= B ．60x y +-= C ．2320x y --=D ．不存在（3）（2019·黑龙江大庆四中高二月考（理））已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k = A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】（1）B （2）A （3）A【解析】（1）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，所以2222121222x x y y a b--=，所以2121221212y y x x b x x a y x -+=⨯-+， 又弦AB 中点坐标为()1,1，所以122x x +=，122y y +=，又12122y y x x --=，所以22222b a =⨯，即222b a =，所以双曲线的离心率c e a ====== 故选：B.（2）当斜率不存在时，显然不符合题意； 当斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，因为点P 是线段MN 的中点，所以128x x +=，124y y +=，代入双曲线方程得221122221212x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()222212122x x y y -=-，则()1212121212y y x x k x x y y -+===-+，又直线过点P ，所以直线方程为2y x =-，联立22122x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得到28100x x -+=，经检验>0∆，方程有解，所以直线2y x =-满足题意.故选：A（3）设直线l 的方程为1y k x b =+，代入双曲线方程2212x y -=得到2221112102k x bk x b ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，得到11221212k bx x k +=-设()()111212,,,M x k x b N x k x b ++，则()11212,22k x x x x N b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭则21121212b k k x x k =+=+，故1212k k ⋅=，故选A ．【一隅三反】1．（2020·青海西宁）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．32D．2【答案】D【解析】因为倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，所以直线的斜率tan14πk ==， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b-=① 2222221x y a b-=② 由①-②得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=则2121221212y y b x x k x x a y y -+==⋅-+ 因为(4,2)M 是弦AB 的中点，12128,4x x y y ∴+=+=因为直线的斜率为122814b a ∴=⋅即222211,22b b a a == 所以2222112c a b a ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭232e ∴=，则e =， 故选：D2．（2020·湖北武汉）已知,A B 分别为双曲线22:13y x Γ-=实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ 交双曲线于,P Q 两点（点,P Q 异于,A B ），则直线,AP BQ 的斜率之比:AP BQ k k =（ ） A ．13- B ．3- C ．23-D ．32-【答案】B【解析】由已知得双曲线:1a Γ=，b =2c =．故(2,0)F -，(1,0)A -，(1,0)B ．设直线:2PQ x my =-，且1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ．由22213x my y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 整理得22(31)1290m y my --+=，∴121222129,3131m y y y y m m +==--，两式相比得121234y y m y y +=⨯①， 121212112211221(3)3:1(1)AP BQ y x y my my y y k k x y y my my y y ---∴=⨯==+--②， 将①代入②得：上式12121121223()33(3)4333()4y y y y y y y y y y +--===--+-． 故:3AP BQ k k =-． 故选：B ．3．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））点(81)P ，平分双曲线2244x y -= 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________． 【答案】2150x y --=【解析】设弦的两端点分别为1122Ax y B x y （，），（，），AB 的中点是121281162P x x y y ∴+=+=（，），，， 把1122A x y B x y （，），（，）代入双曲线2244x y ，-= 得22112222 4444x y x y ⎧-⎨-⎩＝＝ ， ∴121212121212401680x x x x y y y y x x y y +---+=∴---=（）（）（）（），（）（），12122y y k x x -∴==-，∴这条弦所在的直线方程是2150x y ．--= 故答案为2150x y ．--=．。
专题37 双曲线——备战2023年高考数学一轮复习讲义(解析版)
<备战2023年高考数学一轮复习讲义>专题37 双曲线1．（2022·全国乙卷）双曲线C 的两个焦点为 12F F ， ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且 123cos 5F NF ∠= ，则C 的离心率为（ ）A 5B ．32C 13D 17 【答案】C【解析】解：依题意不妨设双曲线焦点在 x 轴，设过 1F 作圆 D 的切线切点为 G ，所以 1OG NF ⊥ ，因为 123cos 05F NF ∠=> ，所以 N 在双曲线的右支， 所以 OG a = ， 1OF c = ， 1GF b = ，设 12F NF α∠= ， 21F F N β∠= ， 由 123cos 5F NF ∠= ，即 3cos 5α= ，则 4sin 5α= ， sin a c β= ， cos b cβ= ， 在21F F N 中， ()()12sin sin sin F F N παβαβ∠=--=+4334sin cos cos sin 555b a a bc c cαβαβ+=+=⨯+⨯=， 由正弦定理得211225sin sin sin 2NF NF c cF F N αβ===∠ ， 所以 112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c ++=∠=⨯= ， 2555sin 222c c a a NF c β==⨯= 又 12345422222a b a b a NF NF a +--=-== ，所以 23b a = ，即 32b a =，所以双曲线的离心率 221312c b e a a ==+=.故选：C2．（2021·北京）双曲线 2222:1x y C a b-= 过点2,3 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．2231y x =D 2231x y -=【答案】A 【解析】解：由2ce a==得c=2a ，则b 2=c 2-a 2=3a 2 则可设双曲线方程为：222213x y a a-=，将点2,3 代入上式，得22222313a a -=解得a 2=1,b 2=3故所求方程为： 2213y x -=故答案为：A1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c范围 x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴 实轴：线段A 1A 2，长：2a ；虚轴：线段B 1B 2，长：2b ，实半轴长：a ，虚半轴长：b离心率 e ＝ca∈(1，＋∞) 渐近线y ＝±b a xy ＝±a bxa ，b ，c 的关系 c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a.(4)若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∈F 1PF 2. (5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．考点一 双曲线的定义及应用1．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆【答案】B【解析】如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|， 所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM || ＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∈F 1PF 2＝60°，则∈F 1PF 2的面积为______． 【答案】23【解析】不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在∈F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos∈F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12， ∈|PF 1|·|PF 2|＝8，∈12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.考点二 双曲线的标准方程【方法总结】求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ，2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 【答案】A【解析】因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且4－a2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1. 4．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．【答案】y 225－x 275＝1【解析】设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∈⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1， 解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∈双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.考点三 双曲线的几何性质【方法总结】(1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0⎝⎛⎭⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba，满足关系式e 2＝1＋k 2.(3)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．5．设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若∈ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 【答案】B【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线的交点， 所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )， 所以S ∈ODE ＝12×a ×|DE |＝12×a ×2b ＝ab ＝8，所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16(当且仅当a ＝b 时等号成立)， 所以c ≥4，所以2c ≥8， 所以C 的焦距的最小值为8.6．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线E 的左支上，且∈F 1AF 2＝120°，|AF 2|＝2|AF 1|，则双曲线E 的离心率为( ) A. 3 B.5 C.7 D ．7【答案】C【解析】点A 在双曲线E 的左支上，左、右焦点分别为F 1，F 2， 设|AF 1|＝m ，由|AF 2|＝2|AF 1|知|AF 2|＝2m ， 由双曲线定义得|AF 2|－|AF 1|＝2m －m ＝m ＝2a ， 在∈AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∈F 1AF 2＝120°， 由余弦定理知，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos 120° ＝4a 2＋16a 2＋8a 2＝28a 2， ∈|F 1F 2|＝27a ， 又|F 1F 2|＝2c ，∈27a ＝2c ，e ＝ca＝7.一、单选题1．（2022·安徽模拟）已知双曲线C ：()222103x y a a -=>的焦距为4，则C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．21y x = C ．39y x =D ．15y = 【答案】A【解析】由题可得3b =2c =，由222a c b =-，且0a >，得1a = C 的渐近线方程为3by x x a=±=±故答案为：A2．（2022·安徽模拟）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左焦点为(0)F c -，，直线3330l x c +=：与双曲线左支的一个交点为P ，若2PF c =，则双曲线的离心率为（ ） A 31+ B 51+ C 31 D 51【答案】A【解析】设双曲线的右焦点为1F ，由题意得，直线l 的倾斜角为3-焦点，当点P 位于第三象限时，160F FP ∠=︒，又1||2PF F F c ==，连接1PF ，此时1PF F 为正三角形，不符合题意，则点P 位于第二象限，故1120F FP ∠=︒，连接1||2PF PF c =，，由双曲线的定义知11222PF a cF F c =+=，， 1PF F ∴为等腰三角形，112||460232PFF PF PF sincsin c ∠∴==︒=， 312232c a c c e a ∴+=∴==，． 故答案为：A ．3．（2022·浙江模拟）双曲线221169x y -=的左焦点的坐标是（ ）A ．(7-，B ．(30)-，C ．(40)-，D ．(50)-，【答案】D【解析】由题设，1695c =+=，故左焦点的坐标为(50)-，. 故答案为：D ．4．（2022·温州模拟）已知双曲线221x y -=的右焦点和抛物线22y px =的焦点重合，则p的值等于（ ） A 2 B ．2C ．22D ．4【答案】C【解析】221x y -=的右焦点为2，，即2222pp == 故答案为：C.5．（2022·天津市模拟）若双曲线22214x y a -=()0a >的实轴长为22线方程为（ ）A ．12y x =± B ．22y x =±C ．2y x=±D ．2y x =【答案】D【解析】∈222a =，∈2a =∈双曲线的渐近线方程为22b y x x x a =±==。
专题22双曲线(解析版)
专题22 双曲线(解析版)易错点1：焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：易错点2：双曲线的几何性质，渐近线,离心率,焦半经,通径； 易错点3：直线与双曲线的位置关系（1）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零判别式的限制.(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行).题组一：定义与方程1.(20161)已知方程132222=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3) 【解析】由题意知c=2,2224=3,1mnm n m 解得,]因为方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，所以2230,130mn m nn n 可得解得-1<n<3,故选A.2.(2012)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为( )4 D.8【解析】设等轴双曲线C:2220xy a a ，x y 162=的准线:4l x因为C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB = 所以4,23,4,23AB,将A 点代入双曲线方程得2224234,2,24aa a 所以，故选C.3.双曲线的渐进线方程为x y 21±=，且焦距为10，则双曲线方程为( ) A.152022=-y x B.120522=-y x 或152022=-y x —C.120522=-y x D.1|520|22=-y x 【解析】当焦点在x 轴时，渐进线方程为x y 21±=， 所以2221,210,2b c a b c a 又，解得25,5a b，所以双曲线的方程为221205x y .焦点在y 轴时，渐进线方程为x y 21±=， 所以2221,210,2a c abc b 又，解得5,25ab，所以双曲线的方程为221205x y .故选D.4.(2010)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为( )A.22136x y -=B.22145x y -=C.22163x y -= D.22154x y -= 【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b-=-=@则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=．应选B ． 5．(20173)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为( ) A ．221810x y -=B ．22145x y -= C ．22154x y -=D ．22143x y -=【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x =， 得5ab①，椭圆221123x y +=的焦点为()3,0±，所以c=3②,又222a b c ③，联立①②③得2,5ab，则C 的方程为22145x y -=，故选B题组二：焦点三角形6.(20151)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是( )C.(3-，3) D.()【解析】法1：根据题意12,F F的坐标分别为()),，\所以()()1002003,,3,,MF x y MF x y =---=--所以()()2221200000003,3,3310MF MF x y x y x y y ⋅=--⋅---=-+=-<所以033y -<<.故选A. 秒杀法2：012==90F MF θ∠当 当由等面积得：33y ⇒y 212tan00212===F F b S θ 因为120MF MF <，所以12F MF ∠为钝角，根据变化规律，可得3333-0<<y 故选A.是双曲线右支上的一点，F 1,F 2分别是左,右焦点，且焦距为2c ，则的内切圆的圆心的横坐标为 .【解析】如图所示：()()12,0,,0F c F c -，设内切圆与x 轴的切点是点H ，PF1,PF2与内切圆的切点分别为M,N ，由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a ，由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|,所以|MF1|-|NF2|=2a,即|HF1|-|HF2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为x ，则点H 的横坐标为x ，所以(x+c)-(c-x)=2a,得x=a.性质:双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点；当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点.#8.已知F 1,F 2为双曲线C ：122=-y x 的左,右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为________.【解析】法1：设12,,PF m PF n m n 不妨设==>，可知1,1,2a b c ===,根据双曲线定义222,24m n a m n mn 即-=+-=①，)0,0(12222>>=-b a by a x 21F PF ∆在ΔPF 1F 2中，根据余弦定理22201212122cos60,F F PF PF PF PF =+-228m n mn 即+-=②联立①②得4mn =，设P 到x 轴得距离为h ，则011sin 60,222h mn h 所有⨯== 秒杀法2：由等面积得：4⇒3πsin 2132θtan 21212====PF PF PF PF b S 设P 到x 轴得距离为h，01211sin 60,22h PF PF h 所有⨯==故答案为：2—性质:.双曲线上任意一点P 与两焦点1F ,2F 构成的三角形:12PF F ∆，12,F PF θ∠=122tan2PF F b S θ∆=9.如果分别是双曲线191622=-y x 的左,右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是 ．【解析】由题意4,3,5a b c 则===.由双曲线得定义知2121228,8,+16AF AF BF BF AF BF AB 所以-=-=-=22+22AF BF 所以=，所以2ABF ∆的周长是22++28AF BF AB =，故答案为：28性质：分别是双曲线的左,右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是42||a AB +12,F F 12,F F )0,0(12222>>=-b a by a x题组三：渐进线10．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a bA ．=yB ．=yC ．=y xD ．=y x ,【解析】解法一 由题意知，==ce a，所以=c ，所以=b ，所以=b a =±=by x a，故选A ．解法二 由===c e a ，得=ba，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．故选A ．11.(20131)已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为( )A.x y 41±= B.x y 31±= C.x y 21±= D.x y ±=【解析】由题意1,22c b e a a 得====，所以C 的渐近线方程为,21x a b y ±=±=故选C. 12. (20141)已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )D.3m【解析】由C:223(0)x my m m -=>得2221,33,33x y c m c m -==+=),F设y x 一条渐近线为=即0x =，则点F 到C 得一条渐近线得距离333,1m d m+==+故选A.性质：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b.$13.设F 1,F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左,右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为____________.【解析】法1：因为|PF 2|＝|F 1F 2|=2c,由双曲线的定义得|PF 1|=PF 2|+2a=2c+2a,过 点F 作F 2Q ⊥PF 1于Q点，则|F 2Q|=2a,等腰ΔPF 1F 2中，11,2PQ PF c a ==+所以22222PF PQ QF =+ 即()()()222322,,5c c a a a c 解得=++=可得2244,53b bc a c a 所以=-==，双曲线的渐近线方程为43b y x x a =±=±，即430x y ±=法2：因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以ΔPF 1F 2是等腰三角形，点F 在直线PF 1的投影为中点，由勾股定理得|PF 2|=4b,又根据双曲线得定义知：4b-2c=2a,即c=2b-a ①,又因为222c a b =+②，联立①②得43b a =，双曲线的渐近线方程为43b y x x a =±=±，即430x y ±=14．(20193)双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为 A ．B ．C ．D ． )0,0(12222>>=-b a by a x 22:142x y C -=F P C O ||||PO PF =PFO ∆()3243222232【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨设点在第一象限，可得，，所以的面积为：,故选A ． ，题组四：离心率15．(2011)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为____.【解析】通径|AB|=得，选B 16.(20152)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为_____.【解析】根据题意，设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，不妨设点M 在第一象限，所以|AB|=|BM|=2a,∠MBA=1200,作MH ⊥x 轴于点H ，则∠MBH=600，故|BH|=a,()3,2,3,MH a M a a =将点M 代入()222210,0x y a b a b-=>>得a=b,所以2e =17.(20162)已知F 1，F 2是双曲线E 12222=-by a x 的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ,则E 的离心率为_____. 【解析】设双曲线方程为x 2a 2–y2b 2=1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M 作MD ⊥x 轴，垂足为D ．在Rt △BMD 中，|BD|=a ，|MD|=3a ，故点M 的坐标为M(2a,3a)，代入双曲线22:142x y C -=(6,0)F 22y x =±P 2tan 2POF ∠=63(,)22P PFO △1332624⨯⨯=222b a a=2222222b a a c a =⇒-=方程得4a 2a 2–3a 2b 2=1，化简得a 2=b 2，∴e=c 2a2=a 2+b2a2=2． ：18.(20172)若双曲线C:22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为___.【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2bd c==，圆心(2,0)到弦的距离也为d =，所以2b c =222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a== 19．(20171)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点.若60MAN ∠=，则C 的离心率为________.【解析】由题意A 到渐近线0bx ay +=得距离为：0cos30,b =,2b =33c a 即故离心率为：== 20．(20183)设F 1，F 2是双曲线C: x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为_____. 【解析】法1：不妨设一条渐近线的方程为by x a=， 则2F 到b y x a =的距离d b ==， 在2Rt F PO ∆中，2||F O c =，所以||PO a =，！所以1||PF =，又1||F O c =，所以在1F PO ∆与2Rt F PO ∆中，根据余弦定理得22212(6)cos cos a c a aPOF POF c+-∠==-∠=-， 即2223(6)0a c a +-=，得223a c =．所以3ce a==． 法2：选C 设P(t,- b a t),∵PF 2与y=- ba x 垂直，∴-bt a(t-c)=a b ，解得t=a 2c 即P(a 2c ,- abc) ∴|OP|=(a 2c )2+(-ab c)2=a ，|PF 1|=(a 2c +c)2+(-ab c)2， 依题有(a 2c +c)2+(- ab c )2=6a 2，化简得c 2=3a 2，即3c e a==21．(20191)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左,右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 ． 【解析】如图，1F A AB =，120F B F B =，∴OA ⊥F1B ， 则F 1B ：()a y x c b =+①，渐近线OB 为by x a=② |联立①②，解得B 22222,a c abc b a b a ⎛⎫⎪--⎝⎭， 则222212222a c abc F B c b a b a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 222222222a c abc F B c b a b a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 又2221212F B F B F F +=，所以2222222222222224a c abc a c abc c c c b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：22222223,3,4b a a a a c 所以c 即=-==，故C 的离心率为2c e a == 22．(20192)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为_____. 【解析】法1：由题意，把代入，得， 再由，得，即， 所以，解得.故选A ． ，法2：如图所示，由可知为以 为直径圆的另一条直径，所以，代入得， 所以，解得.故选A ． 法3：由可知为以为直径圆的另一条直径，则，.故选A ．题组五：距离 23.(20181)已知双曲线C ：x 23- y 2 =1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M,N.若ΔOMN 为直角三角形，则|MN|=____.F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O OF 222x y a +=P Q ||||PQ OF =C 2c x =222x y a +=2224c PQ a =-PQ OF =2224c a c -=222a c =222c a=2c e a ==PQ OF =PQ OF ,22cc P ⎛⎫± ⎪⎝⎭222x y a +=222a c =222c a=2c e a ==PQ OF =PQ OF 12222OP a OF c ==⋅=2c e a ==【解析】因为双曲线2213-=x y的渐近线方程为3=±y x ，所以60∠=MON ．不妨设过点F 的直线与直线=y x 交于点M ，由∆OMN 为直角三角形，不妨设90∠=OMN ，则60∠=MFO ，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN的方程为2)=-y x ，由2)3⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x，得32⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y3(,22M ，所以||==OM|||3==MN OM ． 24.双曲线221412x y -=的左焦点为F ,又点A (1,4),点P 在双曲线的右支上,则|PF |+|PA |的最小值是 ．【解析】由题意()()2,4,4,0,40a b c F 右焦点H ，===-，根据双曲线得定义得2249PF PA a PH PA a AH +=++≥+==。
32 双曲线(解析版)
2021-2022学年高二数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019选择性必修第一册）1.双曲线的定义平面内的两个定点F 1,F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于F 1,F 2的正数）的点的轨迹叫做双曲线，两点定点F 1,F 2叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距定义中的常数记做2α则（1）当2α<F 1,F 2时，点的轨迹是椭圆（2）当2α=F 1,F 2时，点的轨迹是两条射线（3）当2α>F 1,F 2时，点的轨迹是不存在的2.双曲线标准方程焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)焦点(－c ，0)，(c ，0)(0，－c )，(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 23.双曲线的性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2a ，b ，c 间的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)4.直线与双曲线的位置关系将直线方程与双曲线方程联立组成方程组，(1)若得带的方程是一元一次方程，且直线与双曲线的渐近线平行，即直线与双曲线相交且只有一个公共点(2)若得到的方程是二次方程，则Δ>0⇔方程组有两组解⇔直线与双曲线相交；Δ＝0⇔方程组有一个实数解⇔直线与双曲线相切；Δ<0⇔方程组有无数实数解⇔直线与双曲线相离．由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双曲线方程的技巧渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．利用双曲线的定义求方程例题1数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解()()22x a y b -+-(),A x y 与点(),B a b 之间的距离的几何问226136134x x x x ++-+=的解为（）A ．65±B ．55±C ．655±D ．355±【答案】C 【分析】由226136134x x x x ++-+=，得2222(3)(20)(3)(20)4x x ++--+-=，其几何意义为平面内动点(,2)x 与两定点(3,0)-，(3,0)距离差的绝对值为4，求出平面内动点与两定点(3,0)-，(3,0)距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，取2y =求得x 值即可．【详解】由226136134x x x x ++-+=，得2222(3)(20)(3)(20)4x x ++--+-=，其几何意义为平面内动点(,2)x 与两定点(3,0)-，(3,0)距离差的绝对值为4．平面内动点与两定点(3,0)-，(3,0)距离差的绝对值为4的点的轨迹是双曲线，由题得222243a c c a b⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解之得2,5a b ==.所以平面内动点与两定点(3,0)-，(3,0)距离差的绝对值为4的点的轨迹方程是22145x y -=．联立222145y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得655x =±．故选：C ．【点睛】利用考查双曲线的定义求方程.例题2已知点(3,0)(3,0)(1,0)M N B -、、，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M N 、与圆C 相切的两直线（非坐标轴）相交于点P ，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)8y x x -=≠±B ．221(1)8y x x -=<-C ．221(0)8y x x +=>D ．221(1)10y x x -=>【答案】A 【分析】先由题意画出图形，可见⊙C 是△PMN 的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a 、b ，写出方程即可（要注意x 的取值范围）．【详解】由题意画图如下可得|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，所以点P 的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），当如下图时，则|PN|﹣|PM|=（|PB|-|NB|）﹣（|PA|-|AM|）=|MA|﹣|NB|=4﹣2=2＜|MN|，又2a=2，c=3，则a=1，b 2=9﹣1=8，所以点P 的轨迹方程为221(1)8y x x -=≠±．故选A ．【点睛】双曲线的定义与标准方程．训练1已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=≤-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=≥【答案】B 【分析】由题意，化简得出21122MC MC C C -=<，利用双曲线的定义，得到点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支，即可求解其轨迹方程，得到答案.【详解】设动圆的圆心M 的坐标为(,)x y ，半径为r ，则由题意可得121,3MC r MC r =+=+，相减可得21122MC MC C C -=<，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支，由题意可得22,3a c ==，所以b ==，故点M 的轨迹方程为221(1)8y x x -=≤-，故选B.【点睛】考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用.训练2与圆221x y +=及圆22870x y x +-+=都外切的圆的圆心轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支【答案】C 【分析】设动圆P 的半径为r ，然后根据动圆与⊙O ：x 2+y 2＝1，⊙F ：22870x y x +-+=都外切得|PF |＝3+r 、|PO |＝1+r ，再两式相减消去参数r ，则满足双曲线的定义，问题解决．【详解】解：设动圆的圆心为P ，半径为r ，而圆x 2+y 2＝1的圆心为O （0，0），半径为1；圆x 2+y 2﹣8x +7＝0的圆心为F （4，0），半径为3．依题意得|PF |＝3+r ，|PO |＝1+r ，则|PF |﹣|PO |＝（3+r ）﹣（1+r ）＝2＜|FO |，所以点P 的轨迹是双曲线的左支．故选C ．【点睛】考查双曲线的定义，考查圆与圆的位置关系．根据双曲线的渐近线求标准方程例题1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为0y +=垂直，则双曲线的方程为（）A ．221164x y -=B ．221416x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】D【分析】根据题意2c =c 的值，结合222+=a b c 以及渐近线by x a=±0y +=垂直即可求出,a b 的值，进而可得双曲线的方程.【详解】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c =c =，即2212a b +=，因为双曲线的渐近线by x a=±0y +=垂直，所以(1b a ⨯=-即2b a =，由221220,0a b b a a b ⎧+=⎪⎪=⎨⎪>>⎪⎩解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以双曲线的方程为22184x y -=，故选：D【点睛】解题的关键是根据已知条件得出关于,a b 的方程组，解方程组即可求解.例题2焦点为(0,6)，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（）A ．2211224x y -=B ．2211224y x -=C ．2212412y x -=D ．2212412x y -=【答案】B 【分析】根据题意，设要求双曲线的方程为222x y k -=，结合焦点的位置可得k 0<，可得其标准方程为：2212y x k k -=--，由双曲线的几何性质可得2()(2)36c k k =-+-=，解可得k 的值，代入双曲线的标准方程即可得答案．【详解】根据题意，要求双曲线与2212x y -=有相同的渐近线，可以设其方程为：222x y k -=，又由其焦点为(0,6)，则其焦点在y 轴上且6c =，必有k 0<，故其标准方程为：2212y x k k-=--，则有2()(2)36c k k =-+-=，解可得12k =-；故要求双曲线的标准方程为：2211224y x -=；故选：B【点睛】考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，关键是掌握渐近线相同的双曲线方程的设法，．训练1已知双曲线221:14x C y -=，双曲线2:C ()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线1C 、2C 的离心率相同.若M 是双曲线2C 一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥（O 为原点），若216OMF S ∆=，则双曲线2C 的方程为（）A ．221369x y -=B ．2214x y -=C ．221164x y -=D ．2216416x y -=【答案】D 【分析】根据双曲线1C 可求得其离心率,两个双曲线的离心率相等可得双曲线2C 中,a c 的关系;由双曲线的渐近线方程,结合点到直线距离公式可求得2MF ,表示出OM ,再根据216OMF S ∆=求得,a b 的关系,结合双曲线中222c a b =+解方程组即可求得22,a b ,进而得双曲线2C 的方程.【详解】双曲线221:14x C y -=则其离心率为12e ==设()2,0F c ,双曲线2C 的一条渐近线方程为by x a=,即0bx ay -=则2MF b=OM a==由216OMF S ∆=可得1162ab =,所以32ab =又因为双曲线1C 、2C 的离心率相同则222232c e a c a b ab ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩,解方程组可得2264,16a b ==所以双曲线2C 的方程为2216416x y -=故选:D【点睛】考查了双曲线性质的简单应用,双曲线标准方程的求法.训练2已知双曲线C过点(且渐近线为y =，则下列结论正确的个数为（）①C的实轴长为C的离心率为3；③曲线21x y e -=-经过C的一个焦点；④直线10x -=与C 有两个公共点.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】设双曲线C 的方程为223x y λ-=，将点(的坐标代入双曲线C 的方程，求出λ的值，可得出双曲线的方程，然后利用双曲线的几何性质可判断出命题①②③的正误，将直线10x -=的方程与双曲线C 的方程联立，由∆的符号判断出命题④的正误.【详解】由于双曲线C的渐近线方程为3y x =±，设双曲线C 的方程为223x y λ-=，将点(的坐标代入双曲线C的方程得22313λ=-=，所以，双曲线C 的方程为2213x y -=.对于命题①，双曲线C的实轴长为对于命题②，双曲线C=，命题②正确；对于命题③，令210x y e -=-=，得2x =，所以，曲线21x y e -=-经过双曲线C 的右焦点，命题③正确；对于命题④，联立2221013x y x y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得22220y y -+=，8420∆=-⨯=，则直线210x y --=与双曲线C 只有一个公共点，命题④错误.因此，真命题的个数为3.故选：C.【点睛】考查双曲线相关命题真假的判断，解题的关键就是要求出双曲线的标准方程，要理解双曲线的标准方程与渐近线方程之间的关系.一、单选题1．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的顶点焦点到C 323C 的方程为（）A ．221123y x -=B ．22143x y -=C ．221312x y -=D ．221412x y -=【答案】D【分析】求出双曲线的渐近线，利用点到直线的距离公式结合222c a b =+建立方程组，即可求解【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点,()0F c ±到渐近线0bx ay ±=223b a b==+顶点(,0)A a ±到渐近线0bx ay ±=223baca b ==+由222233b bac c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得224,12a b ==所以双曲线的方程为221412x y -=．故选：D2．过双曲线221916x y -=的右支上的一点P 分别向圆1C ：22(5)4x y ++=和圆2C ：222(5)x y r -+=(0r >)作切线，切点分别为M 、N ，若22||||PM PN -的最小值为58，则r =（）ABC ．2D ．3【答案】A【分析】求得两圆的圆心和半径，则双曲线221916x y -=的左右焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】设1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，也是1C 、2C 的圆心，∴222222121212||(|4)(|)()()4PM PN PF PF r PF PF PF PF r -=---=-++-2126()4PF PF r =++-，显然其最小值为26(25)458r ⨯+-=，r =故选：A.3．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与直线:41l y x =+相交于M ，N 两点，直线l 上存在一点P 满足MP PN =，坐标原点为O ，直线OP 的斜率为2，则该双曲线的离心率为（）ABCD ．3【答案】D【分析】设11(,)M x y ，22(,)N x y ，分别代入椭圆方程，两式相减得2121221212x x y y b y y a x x +-=+- ，由MP PN = ，得P 为M ，N 的中点，所以1212,22x x y y P ++⎛⎫ ⎝⎭，根据直线,OP MN 的斜率求得22b a，即可求解.【详解】解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，∵M ，N 在双曲线22221x ya b-=上，2211221x y a b -=∴①，2222221x y a b -=②，①−②得：2121221212x x y y b y y a x x +-=+- ，因为M ，N 也在直线41y x =+上，所以12124y y x x -=-，又因为P 为M ，N 的中点，所以1212,22x x y y P ++⎛⎫ ⎝⎭，2OPk =，所以121212x x y y +=+，则228b a =，双曲线的离心率3e =，故选：D ．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于,A B两点，其中点A 在第一象限，且223AF BF =.若AB =1AF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．32B ．2CD ．4【答案】B【分析】设2BF m =，根据双曲线的定义和1AB AF =，得到423m a m =+，求得2m a =，再结合1212cos cos 0F F B F F A ∠+∠=，列出关于,a c 的方程，即可求解.【详解】设2BF m =，因为223AF BF =，可得23AF m =，由双曲线的定义可得1123,2AF a m BF a m =+=+，因为1AB AF =，可得221AF B A A F F B +==，即423m a m =+，解得2m a =，所以22112,6,8,4BF a AF a AF a BF a ====，因为1212F F B F F A π∠+∠=，可得1212cos cos 0F F B F F A ∠+∠=，即222222(2)(2)(4)(2)(6)(8)0222226c a a c a a c a c a+-+-+=⨯⨯⨯⨯，整理得2c a =，即双曲线的离心率为2e =.故选：B.5．已知1F 、2F 是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点122PF PF =，且存在△12PF F ，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（）A ．2213635x y +=B ．2211615x y +=C ．2212x y -=D ．221616115y x -=【答案】C【分析】求出各选项中椭圆或双曲线的a 、c 的值，假设P 点存在，根据122PF PF =以及椭圆或双曲线的定义求出2PF ，结合焦半径的取值范围即可得出结论.【详解】对于A 选项，2213635x y +=，()11,0F -、()21,0F ，6a =，所以7a c +=，5a c -=，P 到焦点距离的最小值为5，最大值为7，假设存在点P ，满足122PF PF =，则121228PF PF PF PF ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得283PF =，不合乎题意，所以A 选项中的椭圆不存在“Ω点”；对于B 选项，2211615x y +=，()11,0F -、()21,0F ，4a =，所以5a c +=，3a c -=，P 到焦点距离的最小值为3，最大值为5，假设存在点P ，满足122PF PF =，则121228PF PF PF PF ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得283PF =，不合乎题意，所以B 选项中的椭圆不存在“Ω点”；对于C 选项，双曲线的方程为2211122x y -=，则双曲线的两个焦点为()11,0F -、()21,0F，2a =，1c =，若双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点1F 、2F 的距离之比为2:1，则12122PF PF PF PF ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，可得212PF >-，即双曲线2212x y -=存在“Ω点”；对于D 选项，双曲线的标准方程为2211151616x y -=，则14a =，1c =，()11,0F -、()21,0F ，所以54a c +=，34c a -=，若双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点1F 、2F 的距离之比为2:1，则1212212PF PF PF PF ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得212PF c a =<-，所以D 选项中的双曲线不存在“Ω点”.故选：C.6．已知1A ，2A222:1x C y a -=(0a >)的左､右顶点，点M 是以虚轴为直径的圆O 上的且在第一象限内的任意一点，则（）A ．2212MA MA +的值随着点M 的横坐标的增大而减小B ．2212MA MA +的值随着点M 的横坐标的增大而增大C ．当点M 的横､纵坐标相等时，2212MA MA +的值最大D ．2212MA MA +是定值【答案】D【分析】依题意得到方程组求出a ，c ，设0(M x ，0)y ，则220001(0x y x +=>，00)y >，再计算2212||||MA MA +即可得出答案．【详解】解：因为离心率3c e a ==①，又因为1b =②，222c a b =+③，由①②③解得3a =，c =，即双曲线22:19x C y -=，因为点M 在以虚轴为直径的圆O 上的且在第一象限内的任意一点，设0(M x ，0)y ，则220001(0x y x +=>，00)y >，因为1(3,0)A -，2(3,0)A ，所以22222222221200000000||||(3)(3)22182()1821820MA MA x y x y x y x y +=+++-+=++=++=+=，所以2212||||MA MA +为定值，故选：D ．7．如图所示，已知点()()()3,0,3,0,1,0M N B -，动圆C 与直线MN 切于点B ，过,M N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为（）A ．()22118yx x -=>B ．()22118yx x -=<-C ．()22118yx x +=>D ．()221110yx x -=>【答案】A【分析】根据直线与圆相切的性质可得2PM PN -=，从而判断P 点的轨迹为以,M N 为焦点的双曲线的右支，即可求出方程.【详解】由题可得,,MB ME NB NF PE PF ===，则422PM PN PE ME PF NF ME NF MB NB MN -=+--=-=-=-=<，则可得P 点的轨迹为以,M N 为焦点的双曲线的右支，可得3,22c a ==，则2221,8a b c a ==-=，则P 点的轨迹方程为()22118yx x -=>.故选：A.【点睛】考查双曲线的轨迹方程，解题的关键是能根据已知条件得出2PM PN -=，判断出P 点的轨迹为以,M N 为焦点的双曲线的右支.8．已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，若222122PF PF c -=，则双曲线离心率的值为（）AB C ．2D ．3【答案】A【分析】求出双曲线的一条渐近线，由点到直线的距离公式计算出2PF 的长，运用余弦函数的定义求出2cos POF ∠即得1cos POF ∠，在1POF V 中由余弦定理计算1PF 的长，结合已知条件以及离心率公式即可求解.【详解】设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为b y x a=，即0bx ay -=则()2,0F c 到渐近线0bx ay -=的距离为2PF b =，在2POF V 中，2OF c =，所以OP a =，22cos PO aPOF OF c∠==，在1POF V 中，22211112cos PF PO OF PO OF POF =+-⋅∠222223a a c a c a c c ⎛⎫=+-⋅⨯-=+ ⎪⎝⎭，所以2222221223a c b PF PF c +-=-=，即2242a c =，所以2222c e a==，可得e =故选：A.二、填空题9．如图，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点()1,0F c -，()2,0F c ，A 为双曲线C 右支上一点，且OA c =，1AF 与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的角平分线，则双曲线C 的离心率是______．【答案】1【分析】运用直角三角形的判定，可得2AB AF ⊥，再由内角平分线性质可得即有||||BA BO =，22||||OF AF c ==，由双曲线的定义可得12||||2AF AF a -=，运用勾股定理，化简整理，结合离心率公式解方程，即可得到．【详解】解：由O 为12F F 的中点，且||OA c =，12||||OF OF c ==，可得2AB AF ⊥，因为2F B 是21AF F ∠的角平分线，即有||||BA BO =，22||||OF AF c ==，由双曲线的定义可得12||||2AF AF a -=，则1||2AF c a =+，即有在直角三角形12AF F 中，222(2)4c c a c ++=，即22220c ac a --=，由ce a=，可得2220e e --=，解得1e =或1由于1e >，则1e =故答案为：110．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，124F F =，点A 是双曲线渐近线上一点，点B 是双曲线上一点，10AF OA ⋅=（其中O 为坐标原点，点A 与点O 不重合），且1F B BA = ，则双曲线的方程为_____．【答案】22122x y -=【分析】不妨设点A 在第二象限，设()1,0F c -，利用点到线的距离公式求出1AF b =，即可得到1cos bAFO c∠=，再根据1F B BA = ，求出12bBF =，再根据双曲线的定义求出2BF ，最后在12BF F △利用余弦定理得到b a =，在根据焦距124F F =，即可求出双曲线方程；【详解】解：根据双曲线的对称性，不妨设点A 在第二象限，设()1,0F c -，因为1AF AO ⊥，点1F 到直线0bx ay +=的距离d b ==，所以1AF b =，因为1FO c =，所以1cos bAFO c∠=，因为1F B BA = ，所以11122bBF AF ==，由双曲线的定义可知21222bBF BF a a =+=+，在12BF F △中，由余弦定理可得22214242cos 222b bc a b AFO b c c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭∠==⨯⨯，整理得b a =，所以22222c a b a =+=，又因为124F F =，所以2c =，故222a b ==，故双曲线的方程为：22122x y -=故答案为：22122x y -=11．双曲线22916144x y -=的共轭双曲线的焦距长为_______.【答案】10【分析】由双曲线的共轭双曲线的求法可得：双曲线221169x y -=的共轭双曲线方程为221916y x -=，再求c 即可.【详解】解：因为双曲线22916144x y-=化为标准式得221169x y -=，则双曲线的共轭双曲线方程为221916y x -=，则291625c =+=，解得5c =，即210c =，即双曲线22916144x y -=的共轭双曲线的焦距长为10，故答案为10.【点睛】考查了双曲线的共轭双曲线的方程的求法及双曲线焦距长的求法.三、解答题12．已知点1F 、2F ，为双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴的上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=o．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点（0，1）且与双曲线C 交于A 、B 两点，若A 、B 中点的横坐标为1，求直线l 的方程；（3）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为1P 、2P ，求证：12PP PP ⋅为定值．【答案】（1）2212y x -=；（2）1y x =+；（3）为定值29，证明见解答．【分析】（1）由题意可得1a =，由直角三角形的性质和双曲线的定义，解方程可得b ，即可得到双曲线的方程；（2）设直线l 的方程为1y kx =+，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式，解方程可得k ，进而得到直线l 的方程；（3）设()P m n ,，则2222m n -=，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点1P ，2P ，以及1PP 、2PP的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得证．【详解】（1）由双曲线的方程可得1a =，在直角三角形12MF F 中，1230MF F ∠=o，221MF F F ⊥，可得122MF MF =，且1222MF MF a -==，解得22MF =，又222b MF b a==，所以22b =，则双曲线的方程为2212y x -=；（2）由题意可得直线l 的斜率存在，设为k ，直线l 的方程为1y kx =+，联立22122y kx x y =+⎧⎨-=⎩，可得()222230k x kx ---=，()2241220k k ∆=+->，解得k <<设A ，B 的横坐标分别为1x ，2x ，则12222k x x k +=-由A 、B 中点的横坐标为1，可得212kk =-，解得1k =或2-（舍去），所以直线l 的方程为1y x =+；（3）证明：设()P m n ,，则2222m n -=，由)2y y n x m ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，解得12,33m n P ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，由)y y n x m ⎧=⎪⎨--⎪⎩，解得22,33m n P ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以1222,3333m n m n PP PP ⎛⎫⎛⎫----⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)())()2299m m n n------=+22224229m n n m -+-=222299m n -==，即1229PP PP ⋅= ．13．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F ，求其离心率的值.【答案】2【分析】求得右焦点(c,0)F b =，得到b =，结合222b c a =-和离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，即0bx ay ±=因为双曲线的右焦点(c,0)F bcb c ==，可得b =，又由222b c a =-，所以22234c a c -=，可得2214a c =，所以双曲线的离心率为2ce a==.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.14．已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于,A B 两点.（1）求双曲线C 的顶点到其渐近线的距离；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于,A B 的一点，且直线,PA PB 的斜率,PA PB k k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）存在点()1,0M -，使得0MA MB ⋅= .【分析】（1）由双曲线方程可得顶点坐标和渐近线方程，由点到直线距离公式可求得结果；（2）设()00,A x y ，()00,B x y --，(),P x y ，表示出220220PA PBy y k k x x -⋅=-，将,P A 代入双曲线方程，两式作差整理可得定值；（3）当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，利用向量坐标运算可表示出0MA MB ⋅= ，由此可构造方程组求得1m =-，得到()1,0M -；当直线l 斜率不存在时，可知()1,0M -满足0MA MB ⋅= ；综合两种情况可得结果.【详解】（1）由双曲线方程可知其顶点坐标为()1,0±，渐近线方程为y =；由双曲线对称性知：双曲线顶点到任一渐近线的距离相等，取y =，顶点()1,0，∴所求距离2d =，即双曲线C（2）由双曲线对称性知：,A B 关于原点对称，设()00,A x y ，()00,B x y --，(),P x y ，2200022000PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-∴⋅=⋅=-+-；,P A 均为双曲线上的点，2222001313y x y x ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：2222003y y x x --=，2202203y y x x -∴=-，即PA PB k k ⋅为定值3；（3）由双曲线方程知：()12,0F ；当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，由()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得：()222223034430k k x k x k -≠--++=，，则()23610k ∆=+>；设()11,A x y ，()22,B x y ，则212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()11,MA x m y =- ，()22,MB x m y =- ，()()()()()2212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x x x ∴⋅=--+=-+++-++ ()()()22221212124k x x k m x x k m =+-++++()()()()()22222222222243142453140333k k k k m m m k m k m k k k +++----=-++==---；2245010m m m ⎧--=∴⎨-=⎩，解得：1m =-，()1,0M ∴-；当直线l 斜率不存在时，()2,3A ，()2,3B -，此时()1,0M -使得0MA MB ⋅= ；综上所述：存在点()1,0M -，使得0MA MB ⋅= .【点睛】考查直线与双曲线综合应用中的定值问题和存在定点满足某条件的问题的求解，解决此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量所满足的方程，化简整理所得方程；④根据等量关系恒成立或化简消元的思想确定定点坐标.15．已知双曲线()2222:10x y C a b a b -=>>经过点()A .（1）求双曲线C 的标准方程.（2）若直线20l x y -+=:与双曲线C 交于P ，Q 两点，求PQ .【答案】（1）2214x y -=；（2）3.【分析】（1）根据条件结合222c a b =+，分别求出2a =，1b =，c =（2）设P ，Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程，利用韦达定理和张长公式，即可得到答案；【详解】解：（1）∵实轴长是半焦距的5倍，∴2a =，即5a c =.∵双曲线C 经过点()A ，∴22811a b -=.∵222c a b =+，∴2a =，1b =，c =.故双曲线C 的标准方程为2214x y -=.（2）设P ，Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .联立方程组222,1,4y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2316200x x ++=，则1103x =-，22x =-.故1210233PQ x x =-=+=.。
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备战2021新高考数学命题分析与探究命题37 双曲线第一部分 命题点展示与分析1．【2020年高考浙江卷8】已知点()()()0,0,2,0,2,0O A B -．设点P满足–2PA PB =，且P 为函数y =OP =（ ）A ．2B ．5 CD 【答案】D【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，并且2,1c a ==，∴23b =，方程为()22103y x x -=> 且点P 为函数y =上的点，联立方程()22103y x x y ⎧-=>⎪⎨⎪=⎩，解得：2134x =，2274y =，OP ∴==D ． 2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数11】设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且2OP =，则12PF F ∆的面积为（ ）A ．72 B ．3 C ．52D ．2 【答案】B【思路导引】由12PF F ∆是以P 为直角直角三角形得到221216PF PF +=，再利用双曲线的定义得到122PF PF -=，联立即可得到12PF PF ，代入121212F F P P S F PF =△中计算即可． 【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵12112OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ． 3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a （ ）A ．1B ．2C ．4D ．8 【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案． 【解析】解法一：5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ， 又∵5==ace ，∴1=a ． 解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．4.(2019福建模拟，5分)已知A (3，2)是双曲线x 23－y 2＝1上一点，F 1是双曲线的左焦点，B 是双曲线右支上异于点A 的一点．设△ABF 1的内切圆在边AF 1上的切点为P ，则|F 1P |的最小值为( )A. 3 B ．2 3 C ．33－ 2 D ．63－2 2答案：B解析：由双曲线的方程可知a 2＝3，b 2＝1. 又a ，b ，c >0，∴a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2. ∵△ABF 1的内切圆与AF 1的切点为P ， ∴易得|F 1P |＝|AF 1|＋|BF 1|－|AB |2.设双曲线的右焦点为F 2，则F 1(－2，0)，F 2(2，0)．又A (3，2)，∴|AF 1|＝（3＋2）2＋2＝33，|AF 2|＝（3－2）2＋2＝ 3. 又由双曲线的定义可知|BF 1|＝|BF 2|＋2a ＝|BF 2|＋23，∴|F 1P |＝33＋|BF 2|＋23－|AB |2＝53＋|BF 2|－|AB |2≥53－|AF 2|2＝23，当且仅当A ，B ，F 2三点共线时，等号成立．故选B.5.(2018四川南充模拟，5分)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有相同的焦点F 1，F 2.若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且||F 1F 2＝2||PF 2，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则e 2－e 1的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫13，＋∞B.⎝⎛⎭⎫13，＋∞C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案：D解析：(法一)设椭圆与双曲线的焦距||F 1F 2＝2c ，||PF 1＝t ，则||PF 2＝c .由题意可得t ＋c ＝2a 1，t －c ＝2a 2，∴t ＝2a 1－c ＝2a 2＋c ，∴a 1－a 2＝c .由e 1＝c a 1，e 2＝c a 2可知1e 1－1e 2＝a 1－a 2c ＝1，∴e 1＝e 2e 2＋1，∴e 2－e 1＝e 2－e 2e 2＋1＝e 22e 2＋1＝1⎝⎛⎭⎫1e 22＋1e 2.∵e 2>1，∴0<1e 2<1，∴0<⎝⎛⎭⎫1e 22＋1e 2<2，∴e 2－e 1>12.故选D.(法二)设椭圆与双曲线的焦距||F 1F 2＝2c ，||PF 1＝t ，则||PF 2＝c .由点P 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，可知c <t <3c .由题意知t ＋c ＝2a 1，t －c ＝2a 2，故e 1＝c a 1＝2c 2a 1＝2c t ＋c ，e 2＝c a 2＝2c 2a 2＝2c t －c ，e 2－e 1＝2ct －c －2c t ＋c ＝4c 2t 2－c 2.∵c <t <3c ，∴c 2<t 2<9c 2，∴0<t 2－c 2<8c 2，∴4c 2t 2－c 2>12，∴e 2－e 1>12.故选D.6.(2016全国Ⅰ，5分)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3) 答案：A解析：∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，（n －3m 2）＋（－m 2－n ）＝4，② 由①得m 2＝1，－1＜n ＜3；②无解． 综上，n 的取值范围是(－1，3)．故选A.7.(2021改编，6分)设动圆C 与两圆C 1：x 2＋(y ＋3)2＝4，C 2：x 2＋(y －3)2＝4中的一个内切，另一个外切，求动圆圆心C 的轨迹方程．答案：y 24－x 25＝1解：易知圆C 1和C 2的圆心坐标分别为C 1(0，－3)，C 2(0，3)，半径均为2.设圆C 的圆心C 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题设知r ＞2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r ＋2，|CC 2|＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r －2，|CC 2|＝r ＋2，∴||CC 1|－|CC 2||＝4＜6＝|C 1C 2|，∴动圆圆心C 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，4为实轴长的双曲线，(4分)又∵32－22＝5，∴动圆圆心C 的轨迹方程为y 222－x 25＝1，即y 24－x 25＝1.(6分)8.(2017全国Ⅲ，5分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 答案：B解析：(法一)∵双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x ，∴b a ＝52①. ∵双曲线C 与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴双曲线的半焦距c ＝12－3＝3， ∴a 2＋b 2＝c 2＝9②. 由①②解得a ＝2，b ＝5，∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.(法二)∵双曲线C 与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴双曲线C 的方程可设为x 212－λ－y 2λ－3＝1(3<λ<12)，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±λ－312－λx . 又∵双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x ， ∴λ－312－λ＝52，解得λ＝8， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.(法三)∵双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x ，即5x －2y ＝0，∴可设双曲线C 的方程为5x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ5－y 2λ4＝1(λ≠0)．∵双曲线C 与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴双曲线的半焦距c ＝12－3＝3，且λ>0， ∴λ5＋λ4＝3，解得λ＝20， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.9．【2020年高考全国Ⅰ卷理数15】已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 ． 【答案】2【解析】依题可得，3BFAF =，而2b BF a=，AF c a =-，即23b a c a=-，变形得22233c a ac a -=-，化简可得，2320e e -+=，解得2e =或1e =（舍去）．故答案为：2．10．【2020年高考全国Ⅲ卷文数14】设双曲线()2222:10,0x y Ca b a b-=>>的一条渐近线为y =，则C 的离心率为．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a=c e a ===11．【2020年高考天津卷7】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选D ．12.(2021改编，5分)已知双曲线C: x 2a 2－y 28＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2, O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于另一点M ，N ，||PF 1||＝2PF 2，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1B.x 24－y 28＝1C.x 26－y 28＝1D.x 28－y 28＝1 答案：B解析：∵P 是双曲线上在第一象限内的点，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a .又∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .易得|OP |＝|OM |，|OF 1|＝|OF 2|，∴四边形PF 1MF 2是平行四边形． 又∵∠MF 2N ＝60°，∴∠F 1PF 2＝60°. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°， 即4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos60°，∴c 2＝3a 2，∴a 2＋8＝3a 2，∴a 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 24－y 28＝1.故选B.13.(2018安顺模拟，5分)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若点F 2关于直线bx －ay ＝0的对称点恰好落在以F 1为圆心， ||OF 1为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 答案：B解析：由题意得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 则点F 2到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |a 2＋b 2＝b . 设F 2关于渐近线bx －ay ＝0的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于点A ，∴|MF 2|＝2b ，A 为F 2M 的中点．又∵点O 是F 1F 2的中点，∴OA 是△F 1MF 2的中位线，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2＝90°，∴△F 1MF 2为直角三角形，∴由勾股定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2，即4c 2＝c 2＋4b 2，∴3c 2＝4(c 2－a 2)，∴c 2＝4a 2，∴c ＝2a ，∴双曲线C 的离心率e ＝ca＝2.故选B.命题方向十二直线与双曲线位置关系的判断问题14.(2019河北模拟，5分)已知双曲线C ：x 2－4y 2＝1，过点P (2，0)的直线l 与C 有唯一公共点，则直线l 的方程为________．答案：x －2y －2＝0或x ＋2y －2＝0解析：(法一)如图所示，易知点P 位于双曲线x 2－4y 2＝1的内部．由双曲线的几何性质可知，当直线l 与渐近线平行时，直线l 与双曲线C有唯一公共点．由于双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故直线l 的方程为y ＝12(x －2)或y ＝－12(x －2)，即x －2y －2＝0或x ＋2y －2＝0.(法二)当直线l 的斜率为0或不存在时，直线l 与双曲线C 有两个公共点，不符合题意． 故设直线l ：x ＝ty ＋2，直线l 与双曲线C 的方程联立，消去x 并整理，得(4－t 2)y 2－4ty －3＝0. 当4－t 2＝0，即t ＝±2时，方程仅有一个实根，即直线l与双曲线有唯一公共点，此时直线l 的方程为x ＝±2y ＋2，即x －2y －2＝0或x ＋2y －2＝0.当4－t 2≠0时，Δ＝16t 2＋12(4－t 2)＝48＋4t 2>0，方程有两个解，即直线l 与双曲线C 有两个公共点，不满足题意．综上，直线l 的方程为x －2y －2＝0或x ＋2y －2＝0.命题方向十三弦长和面积问题15．【2020年高考全国Ⅱ卷文数9】设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B命题点4命题方向命题难度直线与双曲线的位置关系的相关问题直线与双曲线位置关系的判断问题容易 弦长和面积问题 容易 “中点弦”问题一般【解析】∵2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ， 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =， ∴ODE ∆面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△． 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==取等号，∴C 的焦距的最小值：8，故选B ．16.(2018抚州模拟，8分)求过定点(0，1)的直线被双曲线x 2－y 24＝1截得弦的中点的轨迹方程． 答案：4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y ≥1)解：易得直线的斜率存在，故可设直线的方程为y ＝kx ＋1，弦的两个端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点为P (x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2－y 24＝1得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0，则4－k 2≠0，且Δ＝4k 2＋20(4－k 2)>0， 解得|k |<5，且k ≠±2.(2分) (法一)∵x 1＋x 2＝2k 4－k 2，x 1x 2＝－54－k 2， ∴x ＝12(x 1＋x 2)＝k 4－k 2，y ＝12(y 1＋y 2)＝k 2(x 1＋x 2)＋1＝44－k 2. 由⎩⎨⎧x ＝k 4－k 2，y ＝44－k 2消去k 得4x 2－y 2＋y ＝0.(5分)∵|k |<5，且k ≠±2，∴－1<4－k 2<0或0<4－k 2≤4，∴y <－4或y ≥1. 综上，弦中点的轨迹方程为4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y ≥1)．(8分)(法二)⎩⎪⎨⎪⎧4x 21－y 21＝4，①4x 22－y 22＝4，②①－②得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，易知y 1＋y 2≠0，x 1－x 2≠0，∴x 1＋x 2y 1＋y 2＝y 1－y 24（x 1－x 2），即x y ＝k 4，联立y ＝kx ＋1，整理得4x 2－y 2＋y ＝0.(5分)由x y ＝k 4得x 2＝k 216y 2，而|k |<5，且k ≠±2，∴14y 2<x 2<516y 2或0≤x 2<y 24，即14y 2<y 2－y 4<516y 2或0≤y 2－y 4<y 24，解得y <－4或y ≥1，∴弦中点的轨迹方程为4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y ≥1)．(8分)第二部分 命题点素材与精选1．设椭圆1C 的离心率为513,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为（ ）A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -=D ．222211312x y -=【答案】A【解析】因为椭圆焦点在x 轴上且长轴长为26，所以13a =，又因为椭圆1C 的离心率为513， 所以5c =，因为曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，所以2224,5,3'''===-=a c b c a ，所以曲线2C 的标准方程为2222143x y -=.故选：A2．设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设12||4,||3PF x PF x ==，则由双曲线的定义可得12||-||4322,PF PF x x x a =-===故12||8,||6PF PF ==，又124F F =，故12366416726o 8c s 8F PF +-==⨯⨯∠，故12sin 8F PF ∠=，所以12PF F ∆的面积为1682⨯⨯=故选：D.3．一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【答案】C【解析】设动圆圆心(,)M x y ，半径为r ，圆x 2+y 2＝1的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆x 2+y 2﹣8x +12＝0，得22(4)4x y -+=，则圆心(4,0)C ，半径为2，根据圆与圆相切，则||1MO r =+，||2MC r =+，两式相减得||||1MC MO -=，根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.故选：C 4．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．5【答案】B【解析】在FPO ∆中，M 为线段FP 的中点，又OM FP ⊥，则FPO ∆为等腰直角三角形. 22c a e =⇒=故答案选B5．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,M N ．点在E 的渐近线上，120PF PF ⋅=，3MPN π∠=，则E 的离心率为（ ） A ．153 B ．213 C ．53 D ．13【答案】B【解析】不妨设P 是渐近线在第一象限上的点，因为120PF PF ⋅=，所以12290,F PF PO OF c ︒∠===． 又P 在渐近线b y x a=上，所以可得P 点的坐标是(),a b ，所以12PN F F ⊥．在直角三角形PNM 中，3MPN π∠=，所以MN =，即2,b a a ==．所以3e ====． 故选：B ．6．已知点F 是双曲线2222=1x y a b-的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于G 、H 两点，若GHE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(21,D ．(1,1 【答案】B【解析】若GHE ∆是锐角三角形，则45GEF ∠<︒ 在直角GEF ∆中，2b GF a=，EF a c =+，GF EF < 即2022a c +ac >-，所以22<0e e --得1<<2e -，又>1e ，所以1<<2e故选：B7．已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为（ ）A ．4B ．4(1+C ． D【答案】B【解析】曲线22142x y -=右焦点为F )，APF ∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当,,A P F '三点共线时取到,故l =2|AF |+2a =()412+故选B8．如图，1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点，过1F 向一条渐近线作垂线，分别交C 的左右两支于A ，B 两点，且2AB BF =，则b a=（ ）A 3B ．2C ．33+D 31【答案】D 【解析】由双曲线的定义得122BF BF a -=，212AF AF a -=， 又2AB BF =，∴12AF a =，24AF a =，又122F F c =，∴222221244163cos 2222a c a c a AF F a c ac+--∠==⨯⨯， 又直线AB 与双曲线的一条渐近线为：b y x a =-垂直， ∴直线AB 的斜率为12tan AF F a b∠=， ∴12cos b AF F c ∠=，∴223 2c a b ac c-=，即2232c a ab -=， ∴2222b a ab -=，故2220b b a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴ 1b a =+1b a =（舍）， 故选：D. 9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，A 为C 上的点，F 为C 的右焦点，且AF 垂直于x 轴，若2AF =，则C 的方程为（ ）A ．22122x y -= B ．22144x y -= C ．22148x y -= D ．22142x y -= 【答案】B 【解析】由题意，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，可得c e a == 即222222=1()2c a b b a a a+=+=，解得1b a =，即a b =， 又因为F 为C 的右焦点，且AF 垂直于x 轴，则22b AF a==，即22b a =， 联立方程组，可得2,2a b ==，所以双曲线C 的方程为22144x y -=. 故选：B.10．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（ ） AB ．3C ．6D【答案】C 【解析】设椭圆长轴12a ，双曲线实轴22a ，由题意可知：1222F F F P c ==，又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=， 两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c c e c a ca ++=+=， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a c e ca ca c a ++++∴+===++． ， 2222222222a a c c c a c a +≥⋅=，当且仅当2222a c c a =时取等号， 21e 2e 2∴+的最小值为6， 故选：C ．11．若双曲线22149x y k-=-的一条渐近线方程为20x y +=，则k =______. 【答案】8【解析】由题知：双曲线22149x y k-=-，2a =，9b k =-x 轴， 因为一条渐近线方程为20x y +=，所以912b k a -==，解得8k . 故答案为：8 12．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1 2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为 1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，， 222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=，。