高三八月第一周周考数学(文科)试题(8.4)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作高三八月第一周周考数学（文科）试题（8.4）时间：120分钟 分值150分第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．设集合{}21|,|1A x x x B x x ⎧⎫=≤=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．(],1-∞ B ．[]0,1 C ．(]0,1 D ．(](,0)0,1-∞2．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线30x y -=上，则=----++)sin()2sin()cos()23sin(θπθπθπθπ（ ） A ．1- B ．2 C ．0 D ． 3．2(1)||12i i+=-（ ）A ．25 B ．65C ．55D ．2554．已知P 为抛物线22y x =上的点，若点P 到直线:460l x y --=的距离最小，则点P 的坐标为（ ）A ．(2,1)B ．(1,2)C ．(1,2)D ．(4,1)5．已知y ＝f （x ）是奇函数，当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx －ax （a>），当x ∈（－2，0）时，f （x ）的最小值为1，则a ＝ （ ） A ．-1 B ．1 C ．D ．e 26．设,x y R ∈，向量(2,4)a =-，(,1)b x =，(1,)c y =，且a b ⊥，//a c ，则||b c +=（ ） A ．5 B ．10 C ．25 D ．10 7．为了得到函数R x x y ∈+=),32cos(π的图象，只需把函数x y 2cos =的图象（ ）（A ）向左平行移动3π个单位长度 （B ）向左平行移动6π个单位长度 （C ）向右平行移动3π个单位长度 （D ）向右平行移动6π个单位长度8．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）A ．9B ．16C ．25D ．36122+322+222+232+10．已知双曲线 2221(0)x y a a-=>的右焦点与抛物线 245y x =的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程为（ ）A ．5y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D ．55y x =± 11．已知实数x ,y 满足10220220.x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，则3x y -的最小值为A ．4-B ．3-C ．0D ． 12．已知函数有两个不同零点，则的最小值是（ ） A ．6 B ． C ．1 D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．14．设定义在R 上的函数f （x ）满足(2)()7f x f x +⋅=，若f （1）=2，则f （107）=__________.15．已知函数,1()35,1x e x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()f x 的最小值为 . 16．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C =π，则b =____三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共70分.17．（本题12分）已知数列{a n }满足a n+1=3a n ，且a 1=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =1(1)2n n a +，求b 1+b 2+…+b n 的值．18．（本题12分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表（1）要在这五名学生中选2名参加一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于90分的概率．（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求出这些数据的线性回归直线方程． 参考公式回归直线的方程是：y=bx+a ，其中对应的回归估计值．，a=﹣b ．19．（本题12分）如图所示的三棱柱A BE D CF ''-中，A B A F ''=，2BE EF ==．（Ⅰ）证明：A E '⊥BF ； （Ⅱ）若60BEF ∠=，22A E A B ''==，求三棱柱A BE D FC ''-的体积．20．（本题12分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，若椭圆C 的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F 的距离为3． (I)求椭圆C 的方程；(II)已知斜率为k(k ≠0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ QB =且NQ AB =0，其中N 为椭圆的下顶点，求直线在y 轴上截距的取值范围．21．（本题12分）已知函数()()3213,032f x x mx mx m =-+>。

(1)当2m =时，①求函数()y f x =的单调区间；②求函数()y f x =的图象在点(0,0)处的切线方程；(2)若函数()f x 既有极大值，又有极小值，且当04x m ≤≤时，36)323()(22+-+<x m m mx x f 恒成立，求m 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．22．（本题10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线PO 与直径为4的圆O 交于,B C 两点，且2PC =，直线PA 切圆O 于点A .（1）证明：AB AP =；（2）若AM PB ⊥，延长MC 交AP 于点N ，求证：MN PA ⊥. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线2:sin2cos C a ρθθ=(0)a >，过点(2,4)P --的直线的参数方程为22,42.x t y t ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）。

直线与曲线C 分别交于M N 、.若||||||PM MN PN 、、成等比数列,求实数a 的值。

24．（本题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21||2|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若不等式|1|()3|2|m f x x +≥+-有解，求实数m 的取值范围.参考答案1．C 【解析】试题分析：先化简集合，{}{}{}21|=01,|101A x x x x x B x x x x ⎧⎫=≤≤≤=≥=<≤⎨⎬⎩⎭，A B =(]0,1．考点：1、二次不等式，分式不等式的解法； 2、集合的运算． 2．D 【解析】试题分析：终边在直线30x y -=上tan 3θ∴=,原式2cos 221cos sin 1tan 13θθθθ---====---考点：1．三角函数定义;2．同角间三角函数关系 3．D 【解析】 试题分析：因为()()221242125551i i i i i++==-+-，所以()24225125551i i i ++=-=-，选D ． 考点：复数的运算.【方法点睛】本题考查复数的乘法除法及模运算，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理，对于复数),(R b a bi a z ∈+=，它的模为22b a +；复数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的模，复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，同时注意运算的准确性. 4．B 【解析】试题分析：设抛物线22y x =上一点为2002A x x （，），求出点2002A x x （，）到直线:460l x y --=的距离，利用配方法，由此能求出抛物线22y x =上一点到直线:460l x y --=的距离最短的点的坐标．抛物线22y x =上一点为2002A x x （，），点2002A x x （，）到直线:460l x y --=的距离 2002042612181717x x d x --==--（），∴当01x =时，即当A （1，2）时，抛物线22y x =上一点到直线:460l x y --=的距离最短．故选：B ．考点：抛物线的简单性质 5．8 【解析】 试题分析：∵是奇函数且在上的最小值为1，在上的最大值为．当时，， 令得，又，∴． 当时，，当时，，所以在上单调递增；在上单调递减，，．故B 正确．考点：1函数的奇偶性；2用导数求最值． 6．B 【解析】试题分析：由a b ⊥得2x =，所以向量()2,1b =，由a ∥c 得2y =-，所以向量()1,2c =-，因此()3,1b c +=-，所以b c +=10，选B .考点：向量的运算性质. 7．B 【解析】试题分析：因为cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭cos 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因此只需要将cos 2y x =向左平移6π个单位,故选B.考点：三角函数的图像平移. 8．B 【解析】试题分析：由判断条件4i >可知5i =时循环结束，故135716S =+++=。

考点：程序框图中的循环结构。

9．C 【解析】试题分析：题中的几何体是三棱锥A BCD -，如图，其中底面BCD ∆是等腰直角三角形，2BC CD ==，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2AB =，2BD =，AC CD ⊥，所以12212ABC BCD S S ∆∆==⨯⨯=，12222ABD ACD S S ∆∆==⨯⨯=，该几何体的表面积为222+，选C .考点：三视图.10．C 【解析】试题分析：求出抛物线的焦点坐标，可得c ，由a ，b ，c 的关系和渐近线方程，即可得到．抛物线245y x =的焦点为50（，），251521c a a b =∴+=∴==∴，，，，双曲线的渐近线方程为12y x =±，故选：C ． 考点：双曲线与抛物线的性质 11．A 【解析】试题分析：满足10220220.x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，的区域是以()1,0,()0,1,()2,2为顶点的三角形区域,3x y -的最小值在顶点处取得,经验证2,2x y ==时3x y -的值最小为-4,故选A.. 考点：线性规划. 12．D 【解析】 试题分析：，由得或.因为函数有两个不同零点，又，则， 即，整理得，所以， 所以所以当时，的最小值是，选D ．考点：函数的零点. 13． 【解析】试题分析：，所以．则所求概率为．考点：1定积分；2几何概型概率． 14．27. 【解析】试题分析：函数f （x ）满足(2)()7f x f x +⋅=，则)2(7)(+=x f x f ，)4(7)2(+=+x f x f ，所以)4()(+=x f x f ，27)1(7)3()3426()107(===+⨯=f f f f . 考点：函数的周期性.15．e - 【解析】试题分析：当1x ≤时，()xf x e =-单调递减，()f x 最小值为(1)f e =-；当1x >，()f x 在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增，所以()f x 最小值为(3)235f e =->-，所以()f x 最小值为(1)f e =-． 考点：求分段函数的最值. 16．1 【解析】 试题分析：1sin 26B B π=∴=263C A ππ=∴=，由sin sin a bA B=得1b = 考点：正弦定理解三角形 17．（Ⅰ）23n n a =⋅；（Ⅱ）1213344n n n S ++=⋅-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据13n n a a +=，得13n na a +=，得到等比数列的公比，即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出(1)3n nb n =+⋅，即可利用乘公比错位相减法求解数列的和． 试题解析：（Ⅰ）a n+1=3a n ，且a 1=6即有数列{a n }为等比数列，且公比q=3，则a n =a 1q n ﹣1=6•3n-1=2•3n；（Ⅱ）b n =12（n+1）a n =（n+1）•3n，设S n =b 1+b 2+…+b n =2•3+3•32+4•33+…+（n+1）•3n，3S n =2•32+3•33+4•34+…+（n+1）•3n+1，两式相减可得，﹣2S n =6+32+33+34+…+3n ﹣（n+1）•3n+1=6+()191313n---﹣（n+1）•3n+1，化简可得S n=214n+•3n+1﹣34．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．18．（1）（2）【解析】试题分析：（1）用列举法可得从5名学生中任取2名学生的所有情况和其中至少有一人物理成绩高于90（分）的情况包含的事件数目，由古典概型公式，计算可得答案．（2）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图；根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为：（A4，A5）、（A4，A1）、（A4，A2）、（A4，A3）、（A5，A1）、（A5，A2）、（A5，A3）、（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）共种情10况．其中至少有一人物理成绩高于90（分）的情况有：（A4，A5）、（A4，A1）、（A4，A2）、（A4，A3）、（A5，A1）、（A5，A2）、（A5，A3）共7种情况，故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于9（0分）的概率（2）散点图如图所示．可求得： =（89+91+93+95+97）=93， =（87+89+89+92+93）=90，故y关于x的线性回归方程是：考点：线性回归方程．19．（Ⅰ）证明见解析，（Ⅱ）3【解析】试题分析：（Ⅰ）取BF 的中点O ，连接A O '，EO ，由于A B A F ''=，由等腰三角形三线合一可得BF A O '⊥，同理可得BF EO ⊥， 从而可证BF ⊥平面A EO '， 由直线与平面垂直的定义可得A E '⊥BF ．（Ⅱ）三棱柱A BE D FC ''-与三棱锥F A BE '-同底等高，要求三棱柱A BE D FC ''-的体积可求三棱锥F A BE '-的体积，由题意易证A O '⊥平面BEF ，A O '为三棱锥A BEF '-的高，则可求得A BEF V '-，从而求出三棱柱A BE D FC ''-的体积． 试题解析：（Ⅰ）证明：在图2中取BF 的中点O ， 连接A O '，EO ，因为A B A F ''=，所以BF A O '⊥， 又因为BE EF =， 所以BF EO ⊥，因为A O EO O '=，所以 BF ⊥平面A EO '， 而A E '⊂平面A EO '，所以A E '⊥BF ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知BF A O '⊥，BF EO ⊥， 因为2BE EF ==，60BEF ∠=， 所以2BF =， 因为22A E A B ''==，所以2A B A F ''==，所以A BF '∆为等腰直角三角形，且1A O '=，3EO =，所以A O EO '⊥， 则A O '⊥平面BEF ，故A O '为三棱锥A BEF '-的高，则11322sin 60323A BEF V '-=⨯⨯⨯⨯=， 因为三棱柱A BE D FC ''-与三棱锥F A BE '-同底等高， 所以其体积为33A BE D FC A BEF V V '''--==．考点：线线垂直及求三棱锥的体积【方法点睛】（1）证明线线垂直常用线面垂直的判定定理，即利用线面垂直，证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.或定义法利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全,证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；（2）利用棱锥的体积公式Sh V 31=求体积，在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.20．(I) 2m ≥.（II ）2213x y +=.（III ）直线纵截距的范围是1(,2)2t ∈.【解析】试题分析：(I)由题意联立方程组由22211y x x y m =+⎧⎪⎨+=⎪+⎩得2(m 2)x 4(m 1)x 3(m 1)0+++++=， 根据216(m 1)12(m 2)(m 1)0∆=+-++≥，即可得到m 的取值范围是2m ≥. （II ）设直线方程为(k 0)y kx t =+≠，通过联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 设1122(x ,y ),(x ,),(x ,)Q Q A B y Q y 应用韦达定理，结合AQ=QB 得Q 为AB 的中点，0NQ AB =，得到1NQ AB k k ⋅=-，可建立,k t 的方程， 从而由23210,k t =->得到12t >使问题得解. 试题解析：(I)由题意知11,m 0m +>>.由22211y x x y m =+⎧⎪⎨+=⎪+⎩得2(m 2)x 4(m 1)x 3(m 1)0+++++=， 所以216(m 1)12(m 2)(m 1)0∆=+-++≥，解得2m ≥， 所以求m 的取值范围是2m ≥.（II ）设直线方程为(k 0)y kx t =+≠，由2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得222222(13)6330,(6)4(13)(33)0k x ktx t kt k t +++-=∴∆=-+->，化简得2213t k <+设1122(x ,y ),(x ,),(x ,)Q Q A B y Q y则2121222633x x ,x x ,1313kt k k k--+=⋅=++ 由AQ=QB 得Q 为AB 的中点，所以21222x x 333x ,,21313Q Q Q kt k y kx t k k +--===+=++因为0NQ AB =，所以1NQ AB k k ⋅=-即221131313tk k kt k ++⋅=--+，化简得2132k t += 又2213t k <+， 所以22,02t t t <<<又0k ≠，所以213210,2k t t =->∴>1(,2)2t ∴∈.考点：椭圆的定义、标准方程，直线与椭圆的位置关系. 21．（1）函数的单调递增区间是：，单调递减区间是：（1，3）；（2）323<<m . 【解析】试题分析：(1)①：当m=2时，可以得到f(x)的具体的表达式，进而求得'()f x 的表达式，根据'()f x 即可确定f(x)的单调区间；②：根据①中所得的'()f x 的表达式，可以得到'(0)f 的值，即切线方程的斜率，在由过(0,0)即可求得f(x)在(0,0)处的切线方程；(2) f(x)即有极大值，又有极小值，说明'()f x 有两个不同的零点，在04x m ≤≤时，36)323()(22+-+<x m m mx x f 恒成立，说明2232231()(3)2323f x mx m m x x mx m x ---=-+<36恒成立，即322max 1(23)363x mx m x -+<，通过判断3221233x mx m x -+在[0,4m]上的单调性，即可求把 322max 1(23)3x mx m x -+用含m 的代数式表示出来，从而建立关于m 的不等式. （1）当m=2时，()32123,3f x x x x =-+则()243f x x x '=-+ 1分①令()243f x x x '=-+，解得x=1或x=3 2分∴函数的单调递增区间是：，单调递减区间是：（1，3） 4分②∵()03f '=，∴函数y=f(x)的图象在点(0,0)处的切线方程为y=3x 6分； (2)因为函数f(x)既有极大值，又有极小值，则()23202f x x mx m '=-+=有两个不同的根，则有2460,m m ∆=-> 又30,2m m >∴>8分 令2232231()()(3)2323g x f x mx m m x x mx m x =---=-+，依题意：][36)(max <x g 即可.22()430,3g x x mx m x m x m'=-+=⇒==或,()03,()03g x x m x m g x m x m ''∴>⇒<><⇒<<或,[)(]()()0,,3,4,,3g x m m m m m ∴在上为增函数在上为减函数 10分34(),(3)0()3g m m g m g x ∴==为的极值,又34(0)0,(4)3g g m m ==， ∴g(x)最大值为343m 12分,336343<⇒<∴m m 13分∴m 的取值范围为323<<m 14分．.考点：1、利用导数求函数的单调区间和切线方程；2、恒成立问题的处理方法. 22．见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）连接AO ，利用切点与圆心的连线垂直于切线可得AO AP ⊥．又2AO =，4PO =，可得Rt OAP ∆中，30P ∠=，又因为60AOP ∠=，可得30B ∠=而，即可得结论（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果30P ∠=，又AM PB ⊥，可得60PAM ∠=，又由于30B M ∠=∠=，可得在AMN ∆中，90ANM ∠=，即可得结论试题解析：（Ⅰ）连接AO ，由于直线PA 切圆O 于点A ，所以AO AP ⊥．又2AO =，4PO =，所以在Rt OAP ∆中，30P ∠=，60AOP ∠=，进而30B ∠=，所以AB AP =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知30P ∠=，又AM PB ⊥，所以60PAM ∠=，又30B M ∠=∠=，所以在AMN ∆中，18090ANM M PAM ∠=-∠-∠=，所以MN PA ⊥．考点：圆的切线及三角形的边角关系 23．a=1 【解析】试题分析：把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组利用根与系数的关系求出()()12122422,2164t t a t t a ''''+=+=+．再根据由||||||PM MN PN 、、成等比数列,则21212t t t t ''''-=，由此求得实数a 的值．试题解析：解：曲线C 的直角坐标方程为y 2=2ax （a>0)将直线l 的参数方程化为22,2(24.2x t t y t ⎧'=-+⎪⎪'⎨⎪'=-+⎪⎩为参数） 代入曲线C 的直角坐标方程得：()2142216402t a t a ''-+++= 因为交于两点，所以0>，即a>0或a<-4.设交点M,N 对应的参数分别为12,t t ''.则()()12122422,2164t t a t t a ''''+=+=+ 若||||||PM MN PN 、、成等比数列,则21212t t t t ''''-=解得a=1或a=-4（舍)所以满足条件的a=1. （10分）.考点：1.直线的参数方程；2.等比数列的性质；3.简单曲线的极坐标方程．24．（1）133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）(][),64,-∞-+∞【解析】试题分析：（1）由不等式()0f x >，即2+120x x -->，可以讨论去绝对值号，也可移项平方求解（2）由不等式()1+32m f x x +≥-有解，即121+24m x x +≥+-有解.设()21+24g x x x =+-，则问题可转化为()min 1m g x +≥，利用绝对值不等式的性质，求出()g x 的最小值即可得解.试题解析：（1）不等式()0f x >，即2+120x x -->， 由不等式2+12x x >-两边平方化简得：()()3130x x -+> 解得：3x <-或13x >， 所以不等式()0f x >的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．（2）由条件知，不等式()1+32m f x x +≥-有解，即121+24m x x +≥+-有解. 设()21+24g x x x =+-，则问题可转化为()min 1m g x +≥， 而()21+2421245g x x x x x =+-≥+-+=，由15m +≥解得：6m ≤-或4m ≥ ，所以a 的取值范围是(][),64,-∞-+∞.。