不定积分的积分法(2)分部积分法.ppt

(3)
x 2 − a 2 时，
令 x =asecx ．
x x 2 −1 法一： 三角代换法） （三角代换法）
例7
∫
dx
去根号 九种解法
x
x2 −1
令 x = sec u , 0 < t <
π
2
，则
1
dx = sec udu ，
∫
sec u ⋅ tan u du =∫ sec u ⋅ tan u x x2 − 1 dx
(1)
∫
x − 10 x +1
2
dx ；
去根号
解：设 x = tan u (0 < u <
π
2
) ，则 dx = sec 2 udu, 则
tan u − 10 2 x− udu 原式 = ∫ x dx ；⋅ sec(3) = ∫ (tan2u − 10) ⋅ sec u du (2) ∫ 2 ∫ x 2 − 4 x − 5 dx + tan u x 21+ 1 = ∫ tan u ⋅ sec udu − 10 ∫ sec u du
例 12
e x sin x dx ∫
0
∫ udv = uv − ∫ vdu ．
10 u = sin x, vdx = e xdx
？：怎样选取 u 和 v
2 u = e , dv = sin xdx
x
例 12
∫e
x
sin xdx
u = sin x , v dx = e x dx
解： ∫e x sinxdx= ∫sinxd (e x ) = e x sin x − ∫ e x d (sin x )
= ∫ du= u+C
1 = arccos + C. x
x x 2 −1 法一： 三角代换法） （三角代换法）
法二： （根 代换法） 法二： 根式代换法） 令 x 2 − 1 = t ，则 （
例7
∫
dx
去根号
x2 = 1 + t 2 ， xdx = tdt ，
= dx = ∫ x x2 − 1 ∫ xt
+ e 2
− x
ch 2 x − sh 2 x = 1 , ( chx ) ′ = shx , ( shx ) ′ = chx .
sh x =
e
x
− e 2
− x
法五： 双曲代换法） （ 法五： 双曲代换法）
令 x = chu， 则 dx = shudu,
ch 2 x − sh 2 x = 1 , ( chx ) ′ = shx , ( shx ) ′ = chx .
∫ udv = uv − ∫ vdu ．
例8 (1)
∫ x cos xdx ； (2)
关键： 关键： 降幂
x 2 cos xdx ； ∫
(3)
x 2 ln xdx ． ∫
x
例9
arctan e ∫ e x dx
讨论： 讨论： ∫
dx =x ∫ d (e x ) = 2∫ xd arctan e x∫ − 2 x e dx e x − ∫2 = − arctan e x d ( e − x ) 例9
x x x
∫
所以 2∫ e sin xdx = e sin x − e ucosex + dv ，sin xdx x C1 = , = 1 x x 即 ∫ e sin xdx = e (sin x − cos x ) + C . 2
x x
也可以选择 x
EXE
自己总结
sin ax (1) ∫ Pn ( x ) cos ax dx ；(2) e ax
（二）常用凑微分式子
(1)
(3) (5)
(7)
1 1 dx= d (ax+ b) ； = (2) xdx= d ( x 2 ) ； a 2 1 1 1 dx=d (ln x ) ； (4) dx= −d ( ) ； x x x2 1 1 (6) dx= 2d ( x ) ； dx=d (arctanx) ； x 1+ x 2 1 dx=d (arcsinx) ； (8) e x dx=d (e x ) ； 2 1− x
法四： 倒代换法） 法四： （倒代换法） 令 x =
− 2 dt dt 1 dx t = arccos + C . ∫ 2 =∫ 1 1 =−∫ x 1− t 2 x x −1 −1 t t2
1
1 1 ，则 dx = − 2 dt ， 则 t t
法五： 双曲代换法） （双曲代换法）
ch x =
e
x
sec x(sec x + tan x ) dx 法 二： ∫ sec xdx = ∫ sec x + tan x
= ⋯⋯
= ln sec x + tan x + C
例5
(1)
∫
a 2 − x 2 dx
( a > 0)
解 ：令 x = a sin t (−
2 2
π
2
< t < ) ， 则 dx= acostdt , = 2 2
(2)
(3)
∫
∫
dx a2 − x2
(a > 0)
去根号
x +1 dx 2 x + x +1
分母不能因式分解 分母不能因式分解
一般做法： 把它写成分母的导数， 一般做法：消 x ，把它写成分母的导数，再凑
(4)
∫
x +1 dx 2 x + x−2
分母可 分母可因式分解
法一： 同(3)
法二： 化为部分分式之和差
∫
xe xdx
乘积微分公式的逆运算 乘积微分公式的逆运算 Thm 设函数 u= u( x ) ， v = v ( x ) 可微，则 可微， =
∫ udv = uv − ∫ vdu ．
其选取原则是： 分部积分的关键是正确选取 u 和dv ，其选取原则是
(1) v 要 易 出； (2) 容 求 容易积出． ∫vdu 要比 ∫udv 容易积出．
dt
所以， 所以，原式 = − e
−x
1 arctan e + x − ln(1 + e 2 x ) + C ． 2
x
例 10
x 2 ( sin x + ln x ) dx ∫
拆开后再求
例 11
ln x + 1 + x2 dx ∫
(
)
被积函数是一个表达式时，有时分部积分也奏效． 被积函数是一个表达式时，有时分部积分也奏效． 分部积分也奏效
(3)
∫ cos(ln x )dx
ln x Pn ( x ) arcsin x dx ； ∫ arctan x
∫e
ax sinbx
cosbx dx ，
其中 Pn(x) 为多项式． 为多项式．
提醒： 也可用分部积分求解． 提醒：有时在 ∫ f ( x )dx 中 ，也可用分部积分求解 ．
例4 (6)
(5)
∫
2x + 1 dx 2 x + x−2
(4)
∫
x +1 dx 2 x + x+1
∫
sin x d (cos x ) dx = − ∫ = − ln cos x + C tan xdx =∫ cos x cos x
同理
思考： 思考：
(7)
∫ cot xdx = ln sin x + C
∫ tan xdx ； ∫ tan
2
3
xdx ；
∫ tan xdx
4
cos 2 xdx = ∫
例 4 (8)
∫ sec xdx
∫ ta n x d x
=
∫
s in x dx cos x
1 cos x 法一： dx = ∫ dx 法一： ∫ sec xdx = ∫ 2 cos x cos x 1 1 1 d (sin x ) = ∫ + =∫ d (sin x ) 2 2 1 + sin x 1 − sin x 1 − sin x
= 此时， 此时，可选取 u= f (x) ， dv=dx ． =
1 1+ x 例 10．求 ∫ dx x x
2t 1+ x 1 dt ， 解 ：令 ， 则 dx = − 2 =t ， x= 2 x ( t − 1) t 2 −1
1 t2 1 1+ x ∫ x x dx = −2∫ t 2 −1dt = −2∫ (1+ t 2 −1 )dt
(9) sinxdx −d(cos ) ； x =
(11) sec2 xdx=d (tanx) ； =
(10) cos =d(sin )； xdx x
(12) csc2 xdx=−d (cotx) ；
(13) secxtanxdx=d(secx) ；
(14) cscxcotxdx=−d(cscx)
例4
= sec u − 10ln sec u + tan u + C
x2 +a2
= 1+ x −10ln x + 1+ x + C.
2 2
t
a
x
所用的代换称为三角函数代换 所用的代换称为三角函数代换
去根号
当被积函数含有
(1)
(2)
a2 − x2 时， 令 x=asint ；
x 2 + a 2 时，
令 x = a tant ；