高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆课件 理 北师大版

性
轴
长轴A1A2的长为 2a ；短轴B1B2的长为_2_b_
质
焦距
离心率
a，b，c的关系
|F1F2|＝_2_c_
e＝
c a
∈(0,1)
a2＝b2＋c2
知识拓展
点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔ ax202＋by202<1. (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔ ax202＋by202＝1. (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔ ax202＋by202>1.
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)， P2(－ 3，－ 2)，则椭圆的方程为___x9_2＋__y_32_＝__1____. 答案 解析
命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题 例 3 已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上
D.12
由题意知1100－－mm>m－－m2－>02，＝4 或mm－－22>1－0－10m－>0m，＝4， 解得 m＝4 或 m＝8.
2.(2015·广东)已知椭圆 2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于
A.2
B.3
C.4
D.9
答案 解析
焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为
_ _21_5_，__1__或___2_1_5_，__－__1_ _.
答案 解析
题型分类 深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹
例1 (2016·济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(×) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为 椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( √ ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( × ) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )
解得 a＝2c，故椭圆离心率 e＝ac＝12，故选 B.
4.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围 是__(0_,_1_)_. 答案 解析
将椭圆方程化为x22＋y22＝1， k
因为焦点在 y 轴上，则2k>2， 即k<1，又k>0，所以0<k<1.
5.(教材改编)已知点P是椭圆 x52＋y42 ＝1上y轴右侧的一点，且以点P及
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
性
范围
质 对称性
－a≤x≤a －b≤y≤b 对称轴：坐标轴
－b≤x≤b －a≤y≤a 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝__3__. 答案 解析
引申探究 1.在例3中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭 圆的方程. 解答
由原题得b2＝a2－c2＝9， 又2a＋2c＝18， 所以a－c＝1，解得a＝5， 故椭圆方程为2x52 ＋y92＝1.
2.在例 3 中将条件“P→F1⊥P→F2”、“△PF1F2 的面积为 9”分别改为
“∠F1PF2＝60°”、“ s PF1F2＝3 3”，结果如何?
解答
思维升华
(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时， 一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定 量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组. 如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把 椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式. (3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦 点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|； 通过整体代入可求其面积等.
§9.5 椭 圆
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合 叫作 椭圆 .这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常 数： (1)若 a>c ，则集合P为椭圆； (2)若a＝c ，则集合P为线段； (3)若 a<c ，则集合P为空集.
由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
3.(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心
到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 答案 解析
1
1
2
3
A.3
B.2
C.3
D.4
如图，由题意得|BF|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝14×2b＝12b. 在 Rt△FOB 中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即 cb＝a·12b，
(5)ay22＋bx22＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( × ) (6)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
考点自测
1.(教材改编)椭圆 10x－2 m＋m－y2 2＝1 的焦距为4，则m等于 答案 解析
A.4
B.8
C.4或8
F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F
重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，
则点P的轨迹是 答案 解析 几何画板展示
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且 过点P(3,0)，则椭圆的方程为__x92_＋__y_2_＝__1_或__8y_12_＋__x9_2_＝__1__. 答案 解析