甘肃省兰州第一中学2015届高三数学上学期期中试题
甘肃省兰州一中2015届高三上学期期中考试数学试题 Wor
甘肃省兰州一中2015届高三上学期期中考试数学试题（解析版）【试卷综析】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【题文】1．函数y = ( )A. [1,2]B. [1,2)C. 1(,1]2D. 1[,1]2【知识点】函数定义域的求法. B1【答案解析】C 解析：由231log (21)0021112x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，故选C. 【思路点拨】利用偶次根式有意义的条件，以及对数函数单调性求解.【题文】2. 已知向量(1,2)a =-,(3,)b m =,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】向量共线的条件；充分条件；必要条件. F1 A2【答案解析】A 解析：因为向量(1,2)a =-,(3,)b m =,R m ∈,所以()2,2a b m +=+，所以//()a a b +()122206m m ⇔-⨯+-⨯=⇔=-，所以“6m =-”是“//()a a b +”的充要条件，故选A.【思路点拨】求//()a a b +的充要条件得结论.【题文】3. 若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数m 的取值范围是 ( ) A ． (,0]-∞ B. [0,)+∞ C ． (,0)-∞ D. (0,)+∞ 【知识点】函数零点的意义. B9【答案解析】A 解析：因为函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，所以函数()2log ,1y x x =≥，与直线y m =-有交点，所以00m m -≥⇒≤，故选A.【思路点拨】函数2()log (1)f x m x x =+≥的零点就是方程2log 0(1)m x x +=≥的解， 即函数()2log ,1y x x =≥与y m =-的交点横坐标.【题文】4．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则=+753a a ( ) A ．10 B. 18 C ． 20 D ．28 【知识点】等差数列. D2【答案解析】 C 解析：因为3812910a a a d +=+=，所以=+753a a ()1141822920a d a d +=+=，故选 C.【思路点拨】根据等差数列的通项公式，把已知和所求都化为关于1a 和d 的式子求解. 【题文】5．给出如下四个命题：①若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b -≤”； ③“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+≤”； ④“0x >”是 “12x x+≥”的充要条件．其中不正确的命题是 ( ) A ．①② B.②③ C ．①③ D.③④【知识点】命题及其关系；简易逻辑；含一个量词的命题的否定；充要条件. A2 A3 【答案解析】C 解析：若“p q ∨”为真命题，则p 、q 中至少有一个真命题，故①不正确；命题②显然正确；“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+<”，所以③不正确； 显然命题④正确.故选C.【思路点拨】逐一分析各命题的正误的结论.【题文】6．已知函数2()cos f x x x =-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是 ( ) A ．(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B. (0)(0.5)(0.6)f f f <-< C ．(0.6)(0.5)(0)f f f <-< D. (0.5)(0)(0.6)f f f -<< 【知识点】函数的奇偶性与单调性. B3 B4【答案解析】B 解析：易得函数f(x)是偶函数，且()2sin 0f x x x '=+>在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，所以f(x)是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数，所以(0)(0.5)(0.6)f f f <-<，故选B. 【思路点拨】分析已知函数的奇偶性、单调性得结论.【题文】7.若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边30aGA bGB cGC ++=，则角A = ( ) A ．90 B.60 C ．45 D.30 【知识点】向量的线性运算；余弦定理. F1 C8 【答案解析】 D 解析：因为G是ABC ∆的重心，所以()()211323A G A B A C A B A C =⨯+=+,同理，()()()1112333B G B A B C A B =+=-+-=, ()()11233CG CB CA AB AC =+=-.代入已知等式整理得2333c a bABAC --=,又因为,AB AC 不共线，所以360330a ba b c a b ⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪+-=⎪⎩⎩，所以222222cos 22b c a A bc +-===， 因为()0,180A ∈,所以A =30，故选D.【思路点拨】利用向量的线性运算及共线向量的性质，得关于a,b,c 的方程组，从而用b 表示a,c ，然后用余弦定理求解.【题文】8．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，则函数3()4y f x π=-是( )A ．奇函数且图象关于点(,0)π对称 B. 偶函数且图象关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且图象关于点3(,0)2π对称 D. 偶函数且图象关于点(,0)-π对称 【知识点】函数()sin y A x ωϕ=+的性质. C4【答案解析】A 解析：因为函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，所以sincos44a b b a ππ=-⇒=-，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以 3()4y f x π=-3sin sin 44x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故选A.【思路点拨】根据已知条件求得b=-a ，代回原函数得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而得3()4y f x π=-sin x ，由此得结论.【题文】9．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,若2||AB BC AB =⋅,则ω等于( ) A ．12πB.4πC ．3πD.6π【知识点】由函数sin()y A x ωϕ=+的图像求其解析式；向量的应用. C4 F1【答案解析】D 解析：因为2||=⋅，所以()()0AB BC AB AB BC BA ⋅-=⋅+=, 而BC BA BE +=，所以AB BE ⊥(如图)，因为AE=BC=2AB 所以30AEB ∠=,30BAD ∠=,因为点B 所以，从而函数的周期为12，所以2126ππω==，故选D.【思路点拨】如图：由2||=⋅，得AB B E ⊥，因为AE=BC=2AB 所以30AEB ∠=,30BAD ∠=,因为点B 所以，从而函数的周期为12，所以2126ππω==. 【题文】10．如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB 在A 点处与圆O 相切， 点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP ×AB 的取值范围是( )A ．(5,5)- B. []5,5- C ．55(,)22- D. []0,5【知识点】向量数量积的坐标运算. F2 F3【答案解析】B 解析：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则圆O 的方程为：2225x y +=，A(0,-5),(1,0)AB =,设P(x,y),则(),5AP x y =+，所以()()x,y 51,0AP AB x ⋅=+⋅=[]5,5∈-，所以AP ×AB 的取值范围是[]5,5-，故选B. 【思路点拨】建立适当直角坐标系，得点P 所在圆的方程，及向量,AP AB 的坐标，利用 向量数量积的坐标运算求得结论.【题文】11．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是 ( ) A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③ 【知识点】函数的性质. B1 B3 B4【答案解析】D 解析：由()()20f x f x ++=(2)(4)0f x f x ⇒+++=()(4)f x f x ⇒=+，所以函数()f x 的周期为4，所以①正确；由(4)()f x f x -=(2)(2)f x f x ⇒-=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，所以②正确；因为函数()f x 的周期是4，且(4)()f x f x -=所以()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以③正确.故选D.【思路点拨】根据已知条件可得函数f(x)的周期性、对称轴，从而推得函数的奇偶性.【题文】12．(理)已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则++a b c的取值范围是( )A. (1,2014)B. [1,2014]C. (2,2015)D. [2,2015]【知识点】函数性质分析. B1 B8【答案解析】C 解析：设a<b<c 则a,b 的中点是12，所以++a b c =1+c ，因为当 01x ≤≤时，[]()0,1f x ∈，(2014)1f =，又,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==令()()()f a f b f c ==k =，则()0,1k ∈，由图像易得当k 趋向于0时，c 趋向于1，当k 趋向于1时，c 趋向于2014，所以++a b c 的取值范围是(2,2015).故选C.【思路点拨】由图像可知当,,a b c 互不相等且()()()f a f b f c ==时，若a<b<c ，则a,b 的中点是12，()1,2014c ∈，由此得++a b c 的取值范围. 【题文】（文）已知函数m x x e x f x-+-=)1()(2，若,,a b c R ∃∈，且a b c <<，使得0)()()(===c f b f a f .则实数m 的取值范围是 ( )A ．)1,(-∞ B. ()31,e C ． )3,1(eD.)()1,(3∞+-∞e 【知识点】函数零点的意义. B9【答案解析】C 解析：根据题意得：函数f(x)有3个零点，即直线y=m 与函数()2(1)x g x e x x =-+有3个不同交点，因为()2()0x g x e x x '=+=得x=0或-1,可得函数()g x 有极大值()31g e -=，极小值()01g =，所以实数m 的取值范围是)3,1(e， 故选 C.【思路点拨】把命题转化为：直线y=m 与函数()2(1)xg x e x x =-+有3个不同交点，再通过分析函数g(x)图像的单调性、极值性，得实数m 的取值范围. 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.） 【题文】13.（理）11(2)1x dx x ++ò=_______________________. 【知识点】定积分；微积分基本定理. B13 【答案解析】1ln 2+ 解析：11(2)1x dx x ++ò()210[ln 1]|ln 21x x =++=+.【思路点拨】利用微积分基本定理求解.【题文】（文）已知直线21=+y x 与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)，则实数b 的值为______.【知识点】导数的几何意义. B11【答案解析】3 解析：因为函数3y x ax b =++的导函数为23y x a '=+，所以此函数在点(1,3)切线的斜率为3+a ，所以3231a a b +=⎧⎨=++⎩解得13a b =-⎧⎨=⎩. 【思路点拨】根据导数的几何意义求解.【题文】14. 若将函数sin 2y x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为_________.【知识点】平移变换. C4【答案解析】512π解析：将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ个单位,得sin 2()y x ϕ=-，由这个函数图象关于直线6x π=对称得，2(),62212k k k Z ππππϕπϕ-=+⇒=--∈， 因为0ϕ>所以当k=-1时，ϕ有最小值512π.【思路点拨】根据题意得平移后的函数为sin 2()y x ϕ=-，此函数图象关于直线6x π=对称得，2(),62212k k k Z ππππϕπϕ-=+⇒=--∈，再由0ϕ>得ϕ的最小值. 【题文】15．已知tan 4α=，则21cos 24sin sin 2++ααα的值为 .【知识点】三角函数式的求值. C7【答案解析】334解析：因为tan 4α=，所以21cos 24sin sin 2++ααα22222cos 4sin 12tan 124332sin cos tan 44αααααα+++⨯====.【思路点拨】利用二倍角公式，同角三角函数关系，把所求化为关于tan α的式子即可. 【题文】16．以下命题：①若⋅=⋅a b a b ,则//a b ；②向量(1,1)a =-在(3,4)b =方向上的投影为15； ③若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则BC ×20=CA ； ④若非零向量a ,b 满足+=a b b ,则22>+b a b . 所有真命题的序号是______________. 【知识点】向量的运算. F1【答案解析】①②④ 解析：因为⋅=⋅a b a b ，所以cos ,1a b =±，或者,a b 中至少有一个零向量，所以//a b ，故①为真命题；因为(1,1)a =-，(3,4)b =，所以cos ,52a b a b a b⋅==⋅，所以向量(1,1)a =-在(3,4)b =方向上的投影为1cos ,25a ab =⨯=，故②为真命题；若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则 ()cos 40cos BC CA BC CA C C π⋅=⋅-=-=-20，故③为假命题；因为+=a b b ,所以220a a b +⋅=，所以22222240b a b a a b a -+=--⋅=>，故④为真命题.所以所有真命题的序号是①②④.【思路点拨】逐一分析各命题的正误即可.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【题文】17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2,60c C ︒==. (Ⅰ)求sin sin a bA B++的值；（Ⅱ）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆.【知识点】正弦定理；余弦定理. C8【答案解析】(Ⅰ)3；（Ⅱ）. 解析：(Ⅰ)由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C =====︒，所以sin sin a b A B +==+. …………………6分 （Ⅱ）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去），所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= …………………12分 【思路点拨】(Ⅰ)把正弦定理代入所求得结论；（Ⅱ）由余弦定理及已知以及求得ab 值，代入面积公式求ABC ∆的面积. 【题文】18. （本小题满分12分）已知集合}2|1||{<-=x x A ，()()()4{|0}12x x B x x x -=≤-- ，}012|{2<-+=mx x x C ,m R ∈.（Ⅰ）求,A B A B ⋂⋃；（Ⅱ）若()C A B ⊆⋃，求m 的取值范围．【知识点】不等式的解法；集合运算. E2 E3 E4 A1 【答案解析】（Ⅰ）A B [0,1)(2,3),⋂=⋃A B (1,4]?-； （Ⅱ）3114m -≤≤. 解析：（Ⅰ）A (1,3)=-，B [0,1)(2,4]=?，∴A B [0,1)(2,3),⋂=⋃ A B(1,4]?-. …………………6分（Ⅱ）因为2C (1,4]2mx 10?\+-=x 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4， 令()221f x x mx =+-，则f (1)1m 031f (4)4m 310,m 1.4m 144ìïïï-=-?ïïïï=+?＃íïïïïï-<-<ïïïî解之得 …………………12分【思路点拨】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，一元高次不等式的解法，化简集合A 、B, 再根据交集、并集的意义求得结论；（Ⅱ）因为()01f =-，所以集合C 不是空集，要使 ()C A B ⊆⋃则22mx 10x +-=方程的两根在区间[]-1,4内，由此得关于m 的不等式组求解.【题文】19. （本小题满分12分）已知函数1cos 4cos sin 34)(2+-=x x x x f ． （Ⅰ）求函数()f x 在]2,0[π上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，求0sin(2)3x π-．【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数；sin()y A x ωϕ=+的性质；不等式恒成立问题. C4 C5 C6 E1 【答案解析】(Ⅰ)[－3，3]；解析：(Ⅰ)1)2cos 1(22sin 321cos 4cos sin 34)(2++-=+-=x x x x x x f1)62sin(4--=πx ，…………………3分∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴1)62sin(21≤-≤-πx ， ∴3)(3≤≤-x f ，即函数)(x f 在]2,0[π上的值域是[－3，3] ．…………6分（Ⅱ）∵对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立， ∴)(0x f 是)(x f 的最大值，∴由Z k k x ∈+=-,22620πππ，解得Z k k x ∈+=,32220ππ∴233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x ．……12分 【思路点拨】(Ⅰ)利用二倍角公式，两角和与差的三角函数，把已知函数化为：()4sin(2)16f x x π=--,再由x 范围求函数()f x 值域；（Ⅱ）根据题意知)(0x f 是)(x f 的最大值，由此得关于0x 方程Z k k x ∈+=,32220ππ， 所以233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x .【题文】20．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，且4228S S =+． （Ⅰ）求公差d 的值； （Ⅱ）若11a =，n T 是数列11{}n n a a +的前n 项和，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值.【知识点】等差数列及其前n 项和；裂项求和法；不等式恒成立问题. D2 D4 E1【答案解析】（Ⅰ）2=d ；（Ⅱ）6. 解析：（Ⅰ）∵4228S S =+，即11462(2)8+=++a d a d ，化简得：48=d ，解得2=d ． ………………4分 （Ⅱ）由11,2,21===-得n a d a n ， ∴11n n a a +=1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+． …………………6分 ∴=n T 12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=11111111(1)2335572121-+-+-+⋅⋅⋅+--+n n =11(1)221n -+≥13， ……………………8分 又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立∴13≥21(5)18m m -， 化简得：2560--≤m m ，解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．……12分 【思路点拨】（Ⅰ）利用等差数列的通项公式、前n 项和公式求解；（Ⅱ）利用裂项求和法求得111221n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再用不等式恒成立的条件得关于m 的不等式，解得m 的最大值. 【题文】21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()xg x e =，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x<m 的取值范围； （Ⅲ）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-． 【知识点】导数的应用. B12【答案解析】（Ⅰ）当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数.当0a <时，()f x 在1(0,)-a上为增函数，在1(,)-+∞a上为减函数；(Ⅱ) 3m <； (Ⅲ) 证明：见解析. 解析：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >．①当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数.②当0a <时，若1(0,)x a ∈-，()0f x '>,()f x ∴在1(0,)x a∈-上为增函数； 若1(,)x a ∈-+∞，()0f x '<,()f x ∴在1(,)x a∈-+∞上为减函数. 综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数. 当0a <时，()f x 在1(0,)-a 上为增函数，在1(,)-+∞a上为减函数 . ………4分 (Ⅱ)(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x<成立，∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e <-+成立，令()3h x x e =-，则()1xh x e '=-+，当(0,)x ∈+∞时，1x e >≥=1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴< ………8分(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--，∴1()x x e xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数. 设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t=，即t t e -=.当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+-(1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=<，1(,1)2t ∴∈由于()2t t e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->+-=()()2f x g x ∴<-. …………………12分【思路点拨】（Ⅰ）通过讨论a 的取值条件得：定义域上导函数大于0的x 范围是函数的增区间，定义域上导函数小于0的x 范围是函数的减区间；(Ⅱ)命题转化为：(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e<-+成立，所以只需求函数()3h x x e =-的最大值n ，利用导数求出此最大值，则m<n ； (Ⅲ)即证：()0,x ∈+∞时，ln 20xx e -+<，利用导数证明此结论. 四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.） 【题文】22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知,,,A B C D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，//AC DE ，AC 与BD 相交于H 点.(Ⅰ)求证：BD 平分ABC ∠.(Ⅱ)若4,6,8,AB AD BD ===求AH 的长.【知识点】平面几何问题. N1【答案解析】(Ⅰ)证明：见解析；(Ⅱ)3. 解析：(Ⅰ)ACD CDE AC DE ∠=∠∴,// 又DE 切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴CBD ACD ∠=∠∴，而ABD ACD ∠=∠（同弧）ABD CBD ∠=∠∴，所以，BD 平分ABC Ð.----…5分 (Ⅱ)由（1）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠ ，CAD ABD ∠=∠∴ 又ADH ∠ 为公共角，所以DBA ∆与DAH ∆相似.BDADAB AH =∴，因为AB 4,AD 6,BD 8,===所以AH 3\= ………10分【思路点拨】(Ⅰ)利用平行线的性质、弦切角与其所夹弧所对圆周角的关系证得结论；(Ⅱ)利用DBA ∆与DAH ∆相似 求得结果.【题文】23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），2C ：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(Ⅰ)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (Ⅱ)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2,=+⎧⎨=-+⎩x t C y t （t 为参数）距离的最小值. 【知识点】参数方程与普通方程的互化；参数方程的应用. N3【答案解析】（Ⅰ）221:(4)(3)1C x y ++-=，S 是圆心是(4,3)-，半径是1的圆.222:1649x y C +=，是中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(Ⅱ. 解析：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=， 1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. …5分（Ⅱ）当2t π=时，(4,4)-P .设(8cos ,3sin )Q θθ，则3(24cos ,2sin )2M θθ-++， 3C 为直线270x y --=，∴M 到3C 的距离|4cos 3sin 13|d θθ=-- 43cos ,sin 55∴==-θθ时，d. .… ………10分 【思路点拨】（Ⅰ）消去参数方程中的参数得普通方程；(Ⅱ)求得P 点坐标，设出点Q 的参数坐标，利用中点坐标公式得点M 坐标，把直线332,:2,=+⎧⎨=-+⎩x t C y t 化为普通方程，再用点到直线的距离公式求解.【题文】24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,,,+∈a b c R 且1++=a b c .证明： （Ⅰ）22213++≥a b c ； （Ⅱ）2221++≥a b c b c a.【知识点】综合法证明不等式. N4【答案解析】（Ⅰ）证明：见解析； (Ⅱ)证明：见解析. 解析：（Ⅰ）222,+≥a b ab 222,+≥b c bc 222,+≥c a ac222222222,∴++≥++a b c ab bc ac 222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac 2()1=++=a b c22213∴++≥a b c . ………5分 2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥，2222()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++， 222a b c a b c b c a ∴++≥++，2221a b c b c a∴++≥.-----------10分 【思路点拨】（Ⅰ）由基础不等式222,a b ab +≥222,+≥b c bc 222,+≥c a ac 证明结论；(Ⅱ) 由基本不等式2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥证明结论.。
《解析》甘肃省兰州市西北师大附中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
甘肃省兰州市西北师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、单项选择题：每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或02．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣143．（5分）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（）A．3B．6C．9D．124．（5分）已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0C．1D．25．（5分）已知函数，则f（2+log23）的值为（）A．B．C．D．6．（5分）曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）A．2B．1C．D．7．（5分）设f（x）=|2﹣x2|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2]C．（0，4]D．（0，4）8．（5分）若x0是方程x+lgx=2的解，则x0属于区间（）A．B．C．（1，2）D．（2，3）9．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=210．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0B．C．1D．11．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f （logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b12．（5分）设函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D 使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么就称y=f（x）为“成功函数”．若函数g（x）=log a （a2x+t）（a＞0，a≠1）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．D．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）若f（2x+1）=x2+1，则f（0）的值为．14．（5分）经过原点（0，0）做函数f（x）=x3+2x2的切线，则切线方程为．15．（5分）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=．16．（5分）已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=．给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，4]；②关于x的方程有2n+4个不相等的实数根；③当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=2；④存在x0∈[1，8]，使得不等式x0f（x0）＞6成立，其中你认为正确的所有结论的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知全集U=R，A={x|x2+（a﹣1）x﹣a＞0}，B={x|（x+a）•（x+b）＞0}，a≠b，M={x|x2﹣2x﹣3≤0}．（1）若∁U B=M，求a，b；（2）若﹣1＜b＜a＜1，求A∩B．18．（14分）已知函数f（x）=lg[a2x+2（ab）x﹣b2x+1]（a＞0，b＞0），求使f（x）＞0成立的x的取值范围．19．（14分）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积8m2．问x、y分别为多少（精确到0.001m）时用料最省？20．（14分）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．21．（16分）已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（f（x）的图象连续不断）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在x0∈（2，+∞），使；（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．甘肃省兰州市西北师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题：每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或0考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：利用A∪B=A⇒B⊆A，写出A的子集，求出各个子集对应的m的值．解答：解：∵A∪B=A∴B⊆A∴B=∅；B={﹣1}；B={1}当B=∅时，m=0当B={﹣1}时，m=﹣1当B={1}时，m=1故m的值是0；1；﹣1故选：D点评：本题考查等价转化的数学思想方法、分类讨论的数学思想方法、写出集合的子集．2．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a、b即可．解答：解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是即方程ax2+bx+2=0的解为故a=﹣12b=﹣2∴点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，一元二次不等式的解法，是基础题．3．（5分）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（）A．3B．6C．9D．12考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：利用a+b+c=1求得=（）（a+b+c），展开后利用均值不等式求得最小值．解答：解：∵a+b+c=1，∴=（）（a+b+c）=3++++++≥3+2+2+2=9故选C点评：本题主要考查了均值不等式在最值问题中的应用．考查了学生对均值不等式的灵活运用．4．（5分）已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0C．1D．2考点：数列与函数的综合．专题：计算题．分析：首先根据题意求出函数的导数为f′（x）=，再结合当x=b时函数取到极大值c，进而求出b与c的数值，再利用等比数列的性质得到答案．解答：解：由题意可得：函数y=ln（x+2）﹣x，所以f′（x）=．因为当x=b时函数取到极大值c，所以有且ln（b+2）﹣b=c，解得：b=﹣1，c=1．即bc=﹣1．因为实数a，b，c，d成等比数列，所以ad=bc=﹣1．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求单调区间，求切线方程，以及求函数的极值与最值等．5．（5分）已知函数，则f（2+log23）的值为（）A．B．C．D．考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：先判断出2+log23＜4，代入f（x+1）=f（3+log23），又因3+log23＞4代入f（x）=，利用指数幂的运算性质求解．解答：解：∵1＜log23＜2，∴3＜2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（2+log23+1）=f（3+log23），∵4＜3+log23＜5，∴f（3+log23）==×=，故选A．点评：本题的考点是分段函数求函数值，先判断自变量的范围，再代入对应的关系式，根据指数幂的运算性质进行化简求值．6．（5分）曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）A．2B．1C．D．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可；利用定积分的几何意义求定积分即可．解答：解：解：曲线y=x3与y=x的交点坐标为（0，0），（1，1），（﹣1，﹣1）曲线y=x3与直线y=x，根据题意画出图形，两个图形的交点为：（0，0），（1，1），（﹣1，﹣1），直线y=x与曲线y=x3所围成图形的面积为2=2（x2﹣x4）|=；故选C．点评：本小题考查根据定积分的几何意义，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了函数图象的对称性．7．（5分）设f（x）=|2﹣x2|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2]C．（0，4]D．（0，4）考点：基本不等式；二次函数的性质．专题：计算题；解题方法．分析：由题意知，f（a）=2﹣a2，f（b）═b2﹣2，利用f（a）=f（b），求出a2+b2的值，再利用基本不等式，可得ab的取值范围解答：解：∵f（x）=|2﹣x2|，当0＜a＜b时，f（a）=f（b），∴2﹣a2=b2﹣2，∴a2+b2=4＞2ab，∴0＜ab＜2，故选A、点评：本题考查二次函数的性质及图象特征，利用基本不等式求式子的取值范围．8．（5分）若x0是方程x+lgx=2的解，则x0属于区间（）A．B．C．（1，2）D．（2，3）考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数零点的判定定理即可得出．解答：解：令f（x）=x+lgx﹣2，∵f（1）=1+lg1﹣2=﹣1＜0，f（2）=2+lg2﹣2=lg2＞0，∴f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可知：函数f（x）在区间（1，2）内存在一个零点，即方程x+lgx=2的解x0∈（1，2）．故选C．点评：正确理解函数零点的判定定理是解题的关键．9．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B 项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y=tanx的值域，得D项正确．由此可得本题的答案．解答：解：∵指数函数y=2t的值域为（0，+∞）∴任意x∈R，均可得到2x﹣1＞0成立，故A项正确；∵当x∈N*时，x﹣1∈N，可得（x﹣1）2≥0，当且仅当x=1时等号∴存在x∈N*，使（x﹣1）2＞0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lgx=0＜1∴存在x∈R，使得lgx＜1成立，故C项正确；∵正切函数y=tanx的值域为R∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确综上所述，只有B项是假命题故选：B点评：本题给出含有量词的几个命题，要求找出其中的假命题．着重考查了基本初等函数的值域、对数的运算和不等式的性质等知识，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0B．C．1D．考点：函数的值；偶函数．专题：计算题；压轴题．分析：从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，再由依此求解．解答：解：若x≠0，则有，取，则有：∵f（x）是偶函数，则由此得于是，故选A．点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．11．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f （logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b考点：不等关系与不等式；奇偶性与单调性的综合．专题：导数的概念及应用．分析：由“当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较30.3，，的大小即可．解答：解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵30.3＞1＞＞0＞=﹣2，2=﹣＞30.3＞1＞＞0．∴（﹣）•f（﹣）＞30.3•f（30.3）＞（）•f（）即（）•f（）＞30.3•f（30.3）＞（）•f（）即：c＞a＞b故选C．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及函数的单调性，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．12．（5分）设函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D 使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么就称y=f（x）为“成功函数”．若函数g（x）=log a （a2x+t）（a＞0，a≠1）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．D．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据“成功函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解．解答：解：依题意，函数g（x）=log a（a2x+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t≥0，而t=0时，g（x）=2x不满足条件②，∴t＞0．设存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，∴，即，∴m，n是方程（a x）2﹣a x+t=0的两个不等实根，∴△=1﹣4t＞0，∴，故选D．点评：准确把握“成功函数”的概念，合理运用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）若f（2x+1）=x2+1，则f（0）的值为．考点：函数的值．专题：计算题；换元法．分析：先用换元法求得函数f（x）的解析式，再用为代换解析式中的自变量求解．解答：解：令t=2x+1∴x=∴f（t）=∴f（0）=故答案为：点评：本题主要考查用换元法求函数解析式和求函数值等问题．14．（5分）经过原点（0，0）做函数f（x）=x3+2x2的切线，则切线方程为y=4x．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，分原点是切点和原点不是切点两类求．解答：解f′（x）=3x2+4．设切线的斜率为k．（1）当切点是原点时k=f′（0）=4，所以所求曲线的切线方程为y=4x．（2）当切点不是原点时，设切点是（x0，y0），则有y0=x03+2x02，k=f′（x0）=3x02+4，①又k==x02+2x0，②由①②得方程组无解，故曲线的切线方程是y=4x；故答案为：y=4x．点评：本题考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．15．（5分）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=1．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：压轴题．分析：本题应先画出函数的大体图象，利用数形结合的方法寻找解题的思路．画出大体图象后不难发现函数的最大值只能在x=1或x=3处取得，因此分情况讨论解决此题．解答：解：记g（x）=x2﹣2x﹣t，x∈[0，3]，则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在x=3或x=1处取得（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|32﹣2×3﹣t|=2，解得t=1或5，当t=5时，此时，f（0）=5＞2不符条件，当t=1时，此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．（2）当最大值在x=1处取得时f（1）=|12﹣2×1﹣t|=2，解得t=1或﹣3，当t=﹣3时，f（0）=3＞2不符条件，当t=1此时，f（3）=2，f（1）=2，符合条件．综上t=1时故答案为：1．点评：本题主要考查二次函数的图象性质和绝对值对函数图象的影响变化．16．（5分）已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=．给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，4]；②关于x的方程有2n+4个不相等的实数根；③当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=2；④存在x0∈[1，8]，使得不等式x0f（x0）＞6成立，其中你认为正确的所有结论的序号为①③．考点：命题的真假判断与应用；函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；压轴题．分析：将解析式进行整理，分别得到函数在1≤x≤和时，进而得到0≤f（x）≤4；依此类推：当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，f（x）=25﹣2n（x﹣2n﹣1）；当3•2n﹣2＜x≤2n时，f（x）=﹣25﹣2n（x﹣2n），此时，0≤f（x）≤23﹣n．据此即可判断答案．解答：解：∵f（x）=，∴（1）当1≤x≤时，f（x）=8x﹣8；此时，0≤f（x）≤4；当时，f（x）=16﹣8x，此时0≤f（x）＜4；（2）当2＜x≤3时，则，此时f（x）==8×﹣4=2x﹣4，0≤f（x）≤2；当3＜x≤4时，则，此时f（x）=8×=8﹣2x，0≤f（x）＜2；…依此类推：当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，f（x）=（x﹣2n﹣1）=25﹣2n（x﹣2n﹣1），此时，0≤f（x）≤23﹣n；当3•2n﹣2＜x≤2n时，f（x）=﹣25﹣2n（x﹣2n），此时，0≤f（x）≤23﹣n．故函数f（x）的值域为[0，4]，①正确；当n=1时，，有且仅有7个不等实数根，不是2×1+4=6个不等实数根，故②不正确；当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积S=（2n﹣2n﹣1）×23﹣n=2，故③正确；由于xf（x）＞6，则，由f（x）的图象可得到：当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，f（x）≤f（3•2n﹣2）=23﹣n=可得：，故④不正确．故答案为：①③．点评：本题综合考查了分类讨论思想方法、直线方程、函数的单调性、函数的交点与方程的根、如何否定一个命题等基础知识与基本技能，考查了数形结合的方法与能力、类比推理能力和计算能力．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知全集U=R，A={x|x2+（a﹣1）x﹣a＞0}，B={x|（x+a）•（x+b）＞0}，a≠b，M={x|x2﹣2x﹣3≤0}．（1）若∁U B=M，求a，b；（2）若﹣1＜b＜a＜1，求A∩B．考点：交集及其运算；补集及其运算．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：（1）求解二次不等式化简集合M，然后分a，b的关系求解集合B，由∁U B=M求得a，b的值；（2）由﹣1＜b＜a＜1求解集合A，然后直接利用交集运算求解A∩B．解答：解：（1）A={x|x2+（a﹣1）x﹣a＞0}={x|（x﹣1）（x+a）＞0}，M={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，若a＜b，则B={x|（x+a）•（x+b）＞0}={x|x＜﹣b或x＞﹣a}，∵U=R，∴∁U B={x|﹣b≤x≤﹣a}，∵∁U B=M，∴{x|﹣b≤x≤﹣a}={x|﹣1≤x≤3}，解得a=﹣3，b=1；若a＞b，则B={x|（x+a）•（x+b）＞0}={x|x＜﹣a或x＞﹣b}，∵U=R，∴∁U B={x|﹣a≤x≤﹣b}，∵∁U B=M，∴{x|﹣a≤x≤﹣b}={x|﹣1≤x≤3}，解得a=1，b=﹣3；（2）∵﹣1＜b＜a＜1，∴﹣1＜﹣a＜﹣b＜1，故A={x|x＜﹣a或x＞1}，B={x|x＜﹣a或x＞﹣b }，因此A∩B={x|x＜﹣a或x＞1}．点评：本题考查了交集、补集及其运算，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了不等式的解法，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=lg[a2x+2（ab）x﹣b2x+1]（a＞0，b＞0），求使f（x）＞0成立的x的取值范围．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由已知a2x+2（ab）x﹣b2x+1＞1，即a2x+2（ab）x﹣b2x＞0，两边都除以b2x得，，换元，分类讨论，即可求使f（x）＞0成立的x的取值范围．解答：解：由已知a2x+2（ab）x﹣b2x+1＞1，即a2x+2（ab）x﹣b2x＞0（2分）两边都除以b2x得，．设，则t＞0，不等式可化为t2+2t﹣1＞0，∴即（7分）当a＞b时，，（8分）当a＜b时，，（9分）当a=b时，，x∈R（10分）点评：本题考查函数与方程的综合运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积8m2．问x、y分别为多少（精确到0.001m）时用料最省？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：根据三角形和矩形面积公式得出x和y的关系式，进而表示出框架用料长度为根据均值不等式求得l的最小值，求得此时的x和y．解答：解：由题意得xy+x2=8，∴y==（0＜x＜4）．框架用料长度为，l=2x+2y+2（）=（+）x+≥4．当（+）x=，即x=8﹣4时等号成立．此时，x≈2.343，y=2≈2.828．故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．注意取得最值时的条件是否成立．20．（14分）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）将f（x）＞3x+2化简，解绝对值不等式；（2）解不等式f（x）≤0用a表示，同一个不等式的解集相等，得到a．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+3x，＞3x+2，可化为|x﹣1|＞2．由此可得x＞3或x＜﹣1．故不等式f（x）＞3x+2的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得：|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组：或．即a≤x≤，或x≤﹣，因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，由题设可得﹣=﹣1，故a=2 点评：本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解．21．（16分）已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（f（x）的图象连续不断）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在x0∈（2，+∞），使；（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（I）求导数fˊ（x）；在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0确定函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．（II）由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，+∞）内单调递减．令．利用函数f（x）在（0，2）内单调递增，得到．最后取．从而得到结论；（III）先由f（α）=f（β）及（I）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．再依1≤α≤2≤β≤3建立关于a的不等关系即可证得结论．解答：解：（I），令．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，）（，+∞）f′（x）+0 ﹣f（x）增极大值减所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（II）证明：当．由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，+∞）内单调递减．令．由于f（x）在（0，2）内单调递增，故．取．所以存在x0∈（2，x'），使g（x0）=0，即存在．（说明：x'的取法不唯一，只要满足x'＞2，且g（x'）＜0即可）（III）证明：由f（α）=f（β）及（I）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．又由β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．故从而．点评：本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法．。
甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题
2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1. 已知集合A={θ|sinθ>cosθ},B={θ|sinθ· cosθ<0},若θ∈A∩B,则θ所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】由sinθ· cosθ<0可得θ在第二或第四象限,又sinθ>cosθ可得θ在第二象限.2. 已知A(m,n)是直线l:f(x,y)=0上的一点,B(s,t)是直线l外一点,由方程f(x,y)+f(m,n)+f(s,t)=0表示的直线与直线l的位置关系是A. 斜交B. 垂直C. 平行D. 重合【答案】C【解析】因为A(m,n)是直线l:f(x,y)=0上的一点,所以f(m,n)=0,B(s,t)是直线l外一点,所以f(s,t)不等于0,所以方程f(x,y)+f(m,n)+f(s,t)=0表示的直线与直线l的位置关系是平行.3. 在(x2-1)(x+1)4的展开式中,x3的系数是A. 0B. 10C. -10D. 20【答案】A【解析】(x+1)4的展开式的通项,因此在(x2-1)(x+1)4的展开式中,x3的系数是4. 正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为l,则的取值范围为A. (,+∞)B. (,+∞)C. (1,+∞)D. (2,+∞)【答案】B【解析】当顶点在底面上时,,则,所以.5. 设函数f(x)=log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(,+∞),则在整个定义域上,f(x)＜2恒成立的充要条件充是A. 0＜a＜B. 0＜a≤C. a＞且a≠1D. a≥且a≠1【答案】B【解析】当a>1时,当x→+∞时,f(x) →+∞,则f(x)<2不成立;当0<a<1时,函数f(x)=log a x在(,+∞)上是减函数,由f() ≤2,可得0＜a≤6. 设,则a=,b=1+x,c=中最大的一个是A. aB. bC. cD. 不确定【答案】C【解析】因为b-a=1+x-,所以b>a;又c-b==,则c>b,所以最大的一个是c.7. 的值为A. 2B.C.D. 1【答案】D【解析】====点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.8. 设f(n)=cos(+),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)=A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】,当n=4k+1时,f(n)=cos(+)=;当n=4k+2时,f(n)=cos(+)=;当n=4k+3时,f(n)=cos(+)=;当n=4k+4时,f(n)=cos(+)=,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,又函数f(n)=cos(+)的周期为4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)=f(1)+f(2)=.9. 已知O为坐标原点,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是A. B. C. 3 D. 3【答案】B【解析】抛物线的焦点为,当直线l与x轴垂直时，,所以10. 设P是椭圆上任一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若∠F1PF2≤,则这个椭圆的离心率e的取值范围是A. 0＜e＜1B. 0＜e≤C. ≤e＜1D. e=【答案】B【解析】在三角形F1PF2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2=,所以,则椭圆的离心率e的取值范围是0＜e≤11. 函数y=e|ln x|﹣|x﹣1|的图象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】y=e|lnx|-|x-1|=当x≥1时,y=1,排除C,当x=时,y=,排除A,B,故选D.12. 对于任意实数x,定义[x]为不大于x的最大整数(例如:[3.6]=3,[-3.6]=-4等),设函数f(x)=x- [x],给出下列四个结论:①f(x)≥0;②f(x)<1;③f(x)是周期函数;④f(x)是偶函数.其中正确结论的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】由题意,作出函数的图象,如图所示,观察图象可知,(1),(2),(3)正确,(4)不正确,故答案为C.二、填空题：共4题13. 把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位，若z＝1＋i，则____【答案】【解析】，.点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念。
甘肃省兰州第一中学高三数学上学期期中试题 理
兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中考试试题数学 (理)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡.第I 卷(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A ={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A ）I B = ( )A ．{}|1x x >-B ．{}|11x x -<≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x <<2．若0.52a =，log 3b π=，22log sin 5c π=，则 ( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．设曲线y ＝11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于 ( ) A ．2B ．12C. －2D ．－124. 已知函数f (x )=20082cos(2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f = ( ) AB ．C ．1D ． -15．下列说法中，正确的是 ( ) A ．命题“若a <b ,则am 2<bm 2”的否命题是假命题B ．设α ,β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β ”是 “α⊥β ” 成立的充分不必要条件C ．命题“存在x ∈R ，x 2-x >0”的否定是“对任意x ∈R ，x 2-x <0” D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件6. 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为 ( )A ．12B. －12 C ．－32D.327．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于 ( )A ．1 B. 12 C. 13 D. 238．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝( ) A ．-1B ．1C ．21e D ．e29．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16B.14C.13D.1210．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤311. 设函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的图象关于直线x =23π对称,相邻两个对称中心之间的距离为2π,则( )A ．f (x )的图象过点(0,12) B. f (x )在[12π,23π]上是减函数C. f (x )的一个对称中心是(512π,0) D. 将f (x )的图象向右平移||ϕ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象12．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ,且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0. 下列说法中正确的是( )A ．f (0) f (1)>0B ．f (0)f (3)>0C ．f (0)f (2)>0D ．f (0)f (3)<0第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，则a·b ＝ ．14．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．15．已知0<β<2π<α<π，且cos(α-2β)＝－19，sin(2α-β)＝23，则cos(α＋β) =_____．16．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分12分）在△ABC中，已知a sin A-c sin C=(a-b)sin B, △ABC2（1）求C；（2）求△ABC的面积S的最大值.18.（本小题满分12分）在三棱锥M-ABC中,AB=2AC=2，MA=MB 5，AB=4A N，AB⊥AC，平面MAB⊥平面ABC，S为BC的中点.(1) 证明：CM⊥SN；(2) 求SN与平面CMN所成角的大小.19．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)120 0.6第二组[30,35)195 p第三组[35,40)100 0.5(1)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；(2)从，使 2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线， 已知AC =AB .(1) 若CG =1，CD =4，求DEGF的值; (2) 求证：FG //AC .23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程第四组 [40,45) a0.4第五组 [45,50) 30 0.3第六组15 0.3在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos,2sinx ty tαα=+⎧⎨=+⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1,2）,设圆C与直线l交于点A，B．求∣PA∣+∣PB∣的最小值．24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：111 364a b+<;(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．兰州一中2015-2016-1学期期中考试参考答案高三数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合A ={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A ）I B =( )A ．{}|1x x >-B ．{}|11x x -<≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x <<【答案】B【解析】(){1}R A x x =≤ð，所以(){11}R A B x x =-<≤I ð. 2．若0.52a =，log 3b π=，22log sin5c π=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A 3．设曲线y ＝11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于 ( ) A ．2B ．12C. －2D ．－12【答案】C 【解析】 因为y ＝x ＋1x －1的导数为y ′＝－2(x －1)2，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为k ＝－12， 又直线ax ＋y ＋3＝0的斜率为－a ，所以－a ·(－12)＝－1，解得a ＝－2.4.已知函数f (x )=20082cos (2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f =( ) AB ．C ．1D ． -1【答案】D 【解析】201320085(2013)2232f -===，所以322[(2013)](32)2cos2cos 133f f f ππ====-. 5．下列说法中，正确的是( )A ．命题“若a <b ,则am 2<bm 2”的否命题是假命题B ．设α ,β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β ”是 “α⊥β ” 成立的充分不必要条件C ．命题“存在x ∈R ，x 2-x >0”的否定是“对任意x ∈R ，x 2-x <0” D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件 【答案】B6. 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．12B. －12 C ．－32D.32【答案】A【解析】 (1)∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.7．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB→＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1 B. 12 C. 13 D. 23【答案】D【解析】∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， ∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →. 故λ＋μ＝12＋16＝23. 8．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a＝( )A ．-1B ．1C ．21e D ．e2【答案】B【解析】∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x－a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.当x <1a 时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x >1a 时，f ′(x )<0，f (x )在(1a ，2)上单调递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a＝－1，解得a ＝1.9．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16B.14C.13D.12【答案】D【解析】函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4向右平移π6后得到解析y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π4. 又因为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，∴令π4－ωπ6＝π6＋kπ，∴π12＝ωπ6＋kπ(k ∈Z )，由ω>0得ω的最小值为12.10．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4 C．a ≤2D ．0<a ≤3【答案】A【解析】∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 11. 设函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的图象关于直线x =23π对称,相邻两个对称中心之间的距离为2π,则( )A ．f (x )的图象过点(0,12) B. f (x )在[12π,23π]上是减函数C. f (x )的一个对称中心是(512π,0) D. 将f (x )的图象向右平移||ϕ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象 【答案】C12．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ,且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0. 下列说法中正确的是 ( )A ．f (0) f (1)>0B ．f (0)f (3)>0C ．f (0)f (2)>0D ．f (0)f (3)<0 【答案】B【解析】∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴y 极大值＝f (1)＝4－abc >0，y 极小值＝f (3)＝－abc <0，∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f (0)<0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0，∴正确结论的是B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，则a·b ＝ ．【答案】52【解析】a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. 14．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ． 【答案】1615．已知0<β<2π<α<π，且cos(α-2β)＝－19，sin(2α-β)＝23，则cos(α＋β) =_____．【答案】－239729【解析】∵0<β<π2<α<π，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.16．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为_______．【答案】 (－1，＋∞)【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －xx.(1)若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．(2)若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a .因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a <0.综合(1),(2)得a 的取值范围是 (－1，＋∞). 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知a sin A -c sin C =(a -b )sin B , △ABC （1）求C ；（2）求△ABC 的面积S 的最大值.【解析】 (1)依正弦定理，有()22222,,a c a b b a b ab c -=-+-= 再由余弦定理得12cos ,cos ,2ab ab C C =∴=又C Q 是三角形△ABC 内角，0,3c C ππ∴<<=.-------------------------------6分(2) S △ABC =2113sin sin 2sin sin 23sin sin()2233ab C ab A B A A ππ==+33sin(2-6A π-------------------------------10分max 33333A B S π∴===+=当时，-------------------------------12分18.（本小题满分12分）在三棱锥M -ABC 中,AB =2AC =2，MA =MB 5，AB =4A N ，AB ⊥AC ，平面MAB ⊥平面ABC ，S 为BC 的中点.(1) 证明：CM ⊥SN ；(2) 求SN 与平面CMN 所成角的大小.【解析】解法一：（1）取AB 中点O ，连接MO 、CO 、SO ∵MA =MB ，∴MO ⊥AB∵平面MAB ⊥平面ABC ，平面MAB ∩平面ABC =AB∴MO ⊥平面ABC -------------------------------2分∵△NOS 和△AOC 都是等腰直角三角形 ∵AB =2AC =2，AB =4AN ， ∴AO =AC ，NO =SO ， ∴∠AOC =45°，∠ONS =45°，∴CO ⊥SN ，∴CM ⊥SN . -------------------------------6分 （2）在△MNC 中， MN =22, CN 5, CM =32， ∴S △MNC =38-------------------------------10分设S 到平面MNC 的距离为h ，SN 与平面CMN 所成角为θ, ∵V M ﹣NSC =V S ﹣NMC ∴S △NSC .MO =S △MNC .h ∴h =12-------------------------------11分∴sin θ=h SN 2 ∴SN 与平面CMN 所成角为4π . -------------------------------12分解法二：（1）证明：取AB 中点O ，连接MO 、SO ，∵MA =MB ，∴MO ⊥AB ，∵平面MAB ⊥平面ABC ，平面MAB ∩平面ABC =AB , ∴MO ⊥平面ABC ，又SO ⊥AB ； ∴如图,可以以O 为原点，以OB 为x 轴，以OS 为y 轴，以OM 为z 轴建立空间直角坐标系， -------------------------------2分 各点坐标如下：C (-1,1,0)、M (0,0,12)、N (-12,0,0)、S (0,12,0) ∴CMu u u u r=(1,-1,12)，SNu u u r =(-12,-12,0)，-------------------------------5分∴ 0CM SN ⋅=u u u u r u u u r, ∴CM ⊥SN -------------------------------6分 （2）由题意知CN u u u r =(12, -1, 0), NM u u u u r =(12, 0, 12)， ------------------------8分设平面CMN 的法向量为n r =(x ,y ,z )，则00n CN n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r，∴02022x y x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令y =1,得平面CMN 的法向量为nr=(2,1,-2)，-------------------------------10分设SN 与平面CMN 所成角为θ，则sin θ=|cos<n r ,SN u u u r >|2，∴SN 与平面CMN 所成角为4π-------------------------------12分 19．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对 岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： (1)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；(2)从，使 2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)∵函数的定义f ′(x )＝-1xax a e +-,域为R ，---------------------------1分1)当a =0时，f ′(x )<0，f (x ) 的单调递减区间是(－∞，＋∞);2)当a <0时，由f ′(x )=0，得x =1a a-; ∴f (x ) 的单调递减区间是(－∞，1a a -),单调递减区间是(1a a -，+∞);3)当0<a <1时，由f ′(x )=0，得x =1a a -;∴f (x ) 的单调递减区间是(1a a -，+∞),单调递减区间是(－∞，1a a-).-----------------------5分(2)假设存在x 1，x 2∈，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2min <max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋（1－t ）x ＋1ex，∴φ′(x )＝－x 2＋（1＋t ）x －t e x ＝－（x －t ）（x －1）ex.①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在上单调递减， ∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1.②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0.③当0<t <1时，若x ∈，φ′(x )>0，φ(x )在(t ，1]上单调递增，所以2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t<max{1，3－te}，(*), 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et在上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e ，所以不等式(*)无解． 综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立． ----------------------12分22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线， 已知AC =AB .(1) 若CG =1，CD =4，求DEGF的值; (2) 求证：FG //AC .【解析】(1) 由题意可得：F D E G ,,,四点共圆，CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,.CGF ∆∴∽CDE ∆. CGCDGF DE =∴. 又Θ4,1==CD CG ，∴GFDE =4.-----------------------4分(2)因为AB 为切线，AE 为割线，AB 2=AD ·AE ， 又因为AC =AB ，所以AD ·AE =AC 2，． 所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △，所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以FG //AC ． ----------------------10分23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sin θ. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点P （1,2）,设圆C 与直线l 交于点A ，B ．求∣PA ∣+∣PB ∣的最小值． 【解析】（1）由ρ=6sin θ得ρ2=6ρsin θ.，化为直角坐标方程为x 2+y 2=6y ，即x 2+(y -3)2=9.-----------------------4分（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=. 由2(2cos 2sin )470αα∆=-+⨯>，故可设12,t t 是上述方程的两根， 所以12122(cos sin ),7,t t t t αα+=--⎧⎨⋅=-⎩又直线l 过点(1,2)，故结合t 的几何意义得||||PA PB +=1212||||||t t t t +=-==所以∣PA ∣+∣PB ∣的最小值为-----------------------10分24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：111364a b +<; (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12， 则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14-----------------------5分(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a－b |-----------------------10分。
甘肃省兰州第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中考试试题数 学 (理)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡.第I 卷(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合A ={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A ）B = ( )A ．{}|1x x >-B ．{}|11x x -<≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x <<2．若0.52a =，log 3b π=，22log sin 5c π=，则 ( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．设曲线y ＝11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于 ( ) A ．2B ．12C. －2D ．－124. 已知函数f (x )=20082cos(2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f = ( ) AB ．C ．1D ． -15．下列说法中，正确的是 ( ) A ．命题“若a <b ,则am 2<bm 2”的否命题是假命题B ．设α ,β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β ”是 “α⊥β ” 成立的充分不必要条件C ．命题“存在x ∈R ，x 2-x >0”的否定是“对任意x ∈R ，x 2-x <0” D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件6. 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．12B. －12 C ．－32D.327．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于 ( ) A ．1 B. 12 C. 13 D. 238．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝( ) A ．-1B ．1C ．21e D ．e29．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16B.14C.13D.1210．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤311. 设函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的图象关于直线x =23π对称,相邻两个对称中心之间的距离为2π,则( )A ．f (x )的图象过点(0,12) B. f (x )在[12π,23π]上是减函数 C. f (x )的一个对称中心是(512π,0)D. 将f (x )的图象向右平移||ϕ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象12．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ,且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0. 下列说法中正确的是( )A ．f (0) f (1)>0B ．f (0)f (3)>0C ．f (0)f (2)>0D ．f (0)f (3)<0第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，则a·b ＝ ．14．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．15．已知0<β<2π<α<π，且cos(α-2β)＝－19，sin(2α-β)＝23，则cos(α＋β)=_____．16．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知a sin A -c sin C =(a -b )sin B , △ABC（1）求C ；（2）求△ABC 的面积S 的最大值.18.（本小题满分12分）在三棱锥M -ABC 中,AB =2AC =2，MA =MB，AB =4A N ，AB ⊥AC ，平面MAB ⊥平面ABC ，S 为BC 的中点.(1) 证明：CM ⊥SN ；(2) 求SN 与平面CMN 所成角的大小.19．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对 岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；(2)从，使 2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线， 已知AC =AB .(1) 若CG =1，CD =4，求DEGF的值; (2) 求证：FG //AC .23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos,2sinx ty tαα=+⎧⎨=+⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1,2）,设圆C与直线l交于点A，B．求∣PA∣+∣PB∣的最小值．24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：111 364a b+<;(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．兰州一中2015-2016-1学期期中考试参考答案高三数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合A ={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A）B =( )A ．{}|1x x >-B ．{}|11x x -<≤C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x <<【答案】B【解析】(){1}R A x x =≤ð，所以(){11}R A B x x =-<≤ð.2．若2a =，log 3b π=，22log sin5c π=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A 3．设曲线y ＝11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于 ( ) A ．2B ．12C. －2D ．－12【答案】C 【解析】 因为y ＝x ＋1x －1的导数为y ′＝－2(x －1)2，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为k ＝－12， 又直线ax ＋y ＋3＝0的斜率为－a ，所以－a ·(－12)＝－1，解得a ＝－2.4.已知函数f (x )=20082cos (2000)32(2000)x x x x π-⎧≤⎪⎨⎪>⎩，则f =( ) AB ．C ．1D ． -1【答案】D 【解析】201320085(2013)2232f -===，所以322[(2013)](32)2cos2cos 133f f f ππ====-. 5．下列说法中，正确的是( )A ．命题“若a <b ,则am 2<bm 2”的否命题是假命题B ．设α ,β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β ”是 “α⊥β ” 成立的充分不必要条件C ．命题“存在x ∈R ，x 2-x >0”的否定是“对任意x ∈R ，x 2-x <0” D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件 【答案】B6. 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．12B. －12 C ．－32D.32【答案】A【解析】 (1)∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.7．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB→＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1 B. 12 C. 13 D. 23【答案】D【解析】∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， ∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →. 故λ＋μ＝12＋16＝23. 8．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a＝( )A ．-1B ．1C ．21eD ．e2【答案】B【解析】∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x－a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.当x <1a 时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x >1a 时，f ′(x )<0，f (x )在(1a ，2)上单调递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a＝－1，解得a ＝1.9．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16B.14C.13D.12【答案】D【解析】函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4向右平移π6后得到解析y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π4. 又因为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，∴令π4－ωπ6＝π6＋k π，∴π12＝ωπ6＋k π(k ∈Z )，由ω>0得ω的最小值为12.10．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4 C．a ≤2D ．0<a ≤3【答案】A【解析】∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 11. 设函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的图象关于直线x =23π对称,相邻两个对称中心之间的距离为2π,则( )A ．f (x )的图象过点(0,12) B. f (x )在[12π,23π]上是减函数C. f (x )的一个对称中心是(512π,0) D. 将f (x )的图象向右平移||ϕ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象 【答案】C12．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ,且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0. 下列说法中正确的是 ( )A ．f (0) f (1)>0B ．f (0)f (3)>0C ．f (0)f (2)>0D ．f (0)f (3)<0 【答案】B【解析】∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴y极大值＝f (1)＝4－abc >0，y极小值＝f (3)＝－abc <0，∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f (0)<0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0，∴正确结论的是B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，则a·b ＝ ．【答案】52【解析】a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. 14．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ． 【答案】1615．已知0<β<2π<α<π，且cos(α-2β)＝－19，sin(2α-β)＝23，则cos(α＋β)=_____．【答案】－239729【解析】∵0<β<π2<α<π，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. 16．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为_______．【答案】 (－1，＋∞)【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －xx.(1)若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．(2)若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a .因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a <0.综合(1),(2)得a 的取值范围是 (－1，＋∞). 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知a sin A -c sin C =(a -b )sin B , △ABC （1）求C ；（2）求△ABC 的面积S 的最大值.【解析】 (1)依正弦定理，有()22222,,a c a b b a b ab c -=-+-= 再由余弦定理得12cos ,cos ,2ab ab C C =∴=又C 是三角形△ABC 内角，0,3c C ππ∴<<=.-------------------------------6分(2)S △ABC =211sin sin sin sin sin()2233ab C ab A B A A ππ==+-6A π-------------------------------10分max 3A B S π∴===+当时，-------------------------------12分18.（本小题满分12分）在三棱锥M -ABC 中,AB =2AC =2，MA =MB ，AB =4A N ，AB ⊥AC ，平面MAB ⊥平面ABC ，S 为BC 的中点.(1) 证明：CM ⊥SN ；(2) 求SN 与平面CMN 所成角的大小.【解析】解法一：（1）取AB 中点O ，连接MO 、CO 、SO ∵MA =MB ，∴MO ⊥AB∵平面MAB ⊥平面ABC ，平面MAB ∩平面ABC =AB∴MO ⊥平面ABC -------------------------------2分∵△NOS 和△AOC 都是等腰直角三角形 ∵AB =2AC =2，AB =4AN ， ∴AO =AC ，NO =SO ， ∴∠AOC =45°，∠ONS =45°，∴CO ⊥SN ，∴CM ⊥SN . -------------------------------6分（2）在△MNC 中， MN , CN , CM =32， ∴S △MNC =38-------------------------------10分设S 到平面MNC 的距离为h ，SN 与平面CMN 所成角为θ, ∵V M ﹣NSC =V S ﹣NMC ∴S △NSC .MO =S △MNC .h ∴h =12-------------------------------11分∴sin θ=h SN=2∴SN 与平面CMN 所成角为4π .-------------------------------12分解法二：（1）证明：取AB 中点O ，连接MO 、SO ，∵MA =MB ，∴MO ⊥AB ，∵平面MAB ⊥平面ABC ，平面MAB ∩平面ABC =AB , ∴MO ⊥平面ABC ，又SO ⊥AB ； ∴如图,可以以O 为原点，以OB 为x 轴，以OS 为y 轴，以OM 为z 轴建立空间直角坐标系， -------------------------------2分 各点坐标如下：C (-1,1,0)、M (0,0,12)、N (-12,0,0)、S (0,12,0) ∴CM=(1,-1,12)，SN=(-12,-12,0)，-------------------------------5分∴ 0CM SN ⋅=, ∴CM ⊥SN -------------------------------6分 （2）由题意知CN =(12, -1, 0), NM =(12, 0, 12)， ------------------------8分设平面CMN 的法向量为n =(x ,y ,z )，则0n CN n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴02022xy x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令y =1,得平面CMN 的法向量为n =(2,1,-2)，-------------------------------10分设SN 与平面CMN 所成角为θ，则sin θ=|cos<n ,SN >|， ∴SN 与平面CMN 所成角为4π-------------------------------12分 19．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对 岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： (1)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；(2)从，使 2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)∵函数的定义f ′(x )＝-1xax a e +-,域为R ，---------------------------1分1)当a =0时，f ′(x )<0，f (x ) 的单调递减区间是(－∞，＋∞);2)当a <0时，由f ′(x )=0，得x =1a a-; ∴f (x ) 的单调递减区间是(－∞，1a a -),单调递减区间是(1a a -，+∞);3)当0<a <1时，由f ′(x )=0，得x =1a a -;∴f (x ) 的单调递减区间是(1a a -，+∞),单调递减区间是(－∞，1a a-).-----------------------5分(2)假设存在x 1，x 2∈，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2min <max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋（1－t ）x ＋1ex，∴φ′(x )＝－x 2＋（1＋t ）x －t e x ＝－（x －t ）（x －1）ex.①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在上单调递减， ∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1.②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0.③当0<t <1时，若x ∈，φ′(x )>0，φ(x )在(t ，1]上单调递增，所以2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t<max{1，3－te}，(*), 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et在上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e ，所以不等式(*)无解． 综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立． ----------------------12分22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线， 已知AC =AB .(1) 若CG =1，CD =4，求DEGF的值; (2) 求证：FG //AC .【解析】(1) 由题意可得：F D E G ,,,四点共圆，CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,.CGF ∆∴∽CDE ∆. CGCDGF DE =∴. 又4,1==CD CG ，∴GFDE =4.-----------------------4分(2)因为AB 为切线，AE 为割线，AB 2=AD ·AE ， 又因为AC =AB ，所以AD ·AE =AC 2，． 所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △，所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以FG //AC ． ----------------------10分23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sin θ. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点P （1,2）,设圆C 与直线l 交于点A ，B ．求∣PA ∣+∣PB ∣的最小值． 【解析】（1）由ρ=6sin θ得ρ2=6ρsin θ.，化为直角坐标方程为x 2+y 2=6y ，即x 2+(y -3)2=9.-----------------------4分（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=. 由2(2cos 2sin )470αα∆=-+⨯>，故可设12,t t 是上述方程的两根， 所以12122(cos sin ),7,t t t t αα+=--⎧⎨⋅=-⎩又直线l 过点(1,2)，故结合t 的几何意义得||||PA PB +=1212||||||t t t t +=-==所以∣PA ∣+∣PB ∣的最小值为-----------------------10分24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：111364a b +<; (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12， 则M ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，12. 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14-----------------------5分(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a－b |-----------------------10分。
甘肃省兰州一中—2015学年高一上学期期中考试数学试卷.txt
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.） 1．已知集合，，若，则 （ C ） A. B. C.或 D.或 2．函数的定义域是（ B ） A．B． C．D． 3．点在映射作用下的象是，则点在的作用下的原象是（ A ） A． B． C． D． 4．下列四组函数中，表示相等函数的一组是 （ A ） 5．幂函数的图像经过点，则满足的的值为 （ D ）A.3B.C.27D. 6．，则函数f(x)的解析式为 （ C ） A．f(x)=x2 B．f(x)=x2＋1(x≥1) C．f(x)=x2－2x＋2 (x≥1) D．f(x)=x2－2x(x≥1) 7．设，则的大小关系是 （ C ） A. B. C. D. 8．为定义在R上的奇函数，且在内是增函数，又，的解集为 （ B ） A． B． C． D． 9．函数在上的最小值是 （ C ） A. B .0 C.2 D.10 10．设函数，则满足的取值范围是 （ D ） A. B. C. D. 1．设是关于的方程的两个实根,则(-1)2+(-1)2的最小值 是 （ B ） A．． 12B．8C．18D． 12．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当 时，，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是( D ) A．(1,2) B． C． D． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）. 13．函数的单调递减区间是 . 14．函数y＝的值域是___________【答案】 (0，1) 15．已知函数为定义在区间上的奇函数，则________ 【答案】 2 16．定义在R上的函数为奇函数，对于下列命题： ①函数满足；②函数图象关于点（1，0）对称； ③函数的图象关于直线对称；④函数的最大值为； ⑤．其中正确的序号为________．【答案】①②③⑤ 三、解答题：（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分6分） 设集合，集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】 （1） (2) 18.（本大题共2个小题，每小题4分，共10分） （1）若，化简： （2）若，，试用表示 19. （本小题满分10分） 已知. （1）判断的奇偶性； （2）判断在定义域上的单调性并用单调性的定义证明． 【答案】： 解：（1）若有意义，则，解得定义域为（-1,1），关于原点对称. 又因为所以为奇函数. （2）函数在定义域（-1,1）上单调递减. 证明：任取， 因为，所以 即 所以在区间（-1,1）上为减函数. 20. （本小题满分10分） 已知函数是定义在上的偶函数，且当时， ． （1）写出函数的解析式； （2）若函数，求函数的最小值. 【答案】 21. （本小题满分12分） 已知函数是定义在上的奇函数,且,若, 有. (1)判断的单调性,并加以证明; (2)解不等式; (3)若对所有,恒成立,求实数的取值范围.。
甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
第 1 页2019届甘肃省兰州第一中学 高三上学期期中考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设全集U 是实数集R ，集合M ＝{x |x <0或x >2}，N ＝{x |y =log 2(x －1) }，则(∁U M )∩N 为 A ． {x |1<x <2} B ． {x |1≤x ≤2} C ． {x |1<x ≤2} D ． {x |1≤x <2} 2．下列结论中正确的是A ． 命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ≠1”B ． 命题p ：存在x 0∈R ，sin x 0>1，则⌝ p ：任意x ∈R ，sin x ≤1C ． 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ． “x 2＋2x －3<0”是命题．3．条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是A ． (4，＋∞)B ． (－∞，－4)C ． (－∞，－4]D ． [4，＋∞) 4．已知f (x )＝{log 3x x >0,a x +b x ≤0. 且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于A ． －3B ． 3C ． －2D ． 25．已知sin(π－α)＝－23，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为 A ．2√55B ． －2√55 C ． ±2√55 D ．√526．设函数f (x )=sin(x +π3)，则下列结论错误的是A ． f (x )的一个周期为−4πB ． y =f (x )的图像关于直线对称x =π6 C ． f (x +π)的一个零点为x =5π3D ． f (x )在(π2,π)单调递增7．设f (x )＝x 3＋bx ＋c ，若导函数f ′(x )>0在[－1，1]上恒成立，且f (-12)·f (12)<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内根的情况是A ． 可能有3个实数根B ． 可能有2个实数根C ． 有唯一的实数根D ． 没有实数根8．将函数y =sin(2x +π3) 图象上各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于直线x =5π12对称，则m 的最小值为A ．7π6B ． π6C ． π8D ．7π249．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ) (ω>0, |ϕ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝A ． √3B ． √33C ． 2＋√3D ． 2－√3 10．函数f (x )＝(2−m)x x 2+m的图象如图所示，则m 的取值范围为A ． (－∞，－1)B ． (1,2)C ． (0,2)D ． (－1,2)11．定义运算|a bc d |＝ad －bc ，若cos α＝17，|sinα s inβcosα c osβ|=3√314，0<β<α<π2，则β=A ． π12 B ． π6 C ． π4 D ． π312．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其导函数为f ′(x )，若f ′(x ) < f (x )，且 f (x ＋1)＝f (3－x )，f (2 015)＝2，则不等式f (x )<2e x -1的解集为A ． (1，＋∞)B ． (e ，＋∞)C ． (－∞，0)D ． (－∞，1e )二、填空题13．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 14．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫f(x)dx 20＝________. 15．已知函数f (x )=x cos x ，现给出如下命题：① 当x ∈(-4,-3)时，f (x ) > 0；② f (x )在区间(5,6)上单调递增； ③ f (x )在区间(1,3)上有极大值； ④ 存在M >0，使得对任意x ∈R ，都有| f (x )|≤M ．其中真命题的序号是_________.16．若△ABC 的内角满足sin A ＋√2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 三、解答题17．已知函数f (x )=√3sin x2cos x2−cos 2x2+12.此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号（I ）求函数f (x )的单调递减区间；（II ）若△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，f (A )=12，a =√3，sin B =2sin C ，求c .18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA =AD =1，AB =2，∠PAB =120°,∠PBC =90°. （I ）平面PAD 与平面PAB 是否垂直？并说明理由； （II ）求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．19．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．(I) 求图中a 的值；(II) 根据已知条件完成下面2⨯2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？ (III) 将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取3人进行约谈，记这3人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望E (X )．(参考公式：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d)20．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为√22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−1. （I ）求椭圆E 的方程；（II ）过点P 的直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点.若PB⃑⃑⃑⃑⃑ =12AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，求直线l 的方程. 21．已知函数f(x)=(1−2a)lnx +ax 2+x . （I ）讨论f(x)的导函数f′(x)的零点个数；（II ）当a <0时，证明：f(x)<−2aln(1−12a )+a −34a .22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ： 22{ 4x y =-+=-+ (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值． 23．已知函数f (x )＝|x －1|. (I) 解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (II) 若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f(ab)|a |＞f(ba).2019届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先求集合M的补集，再与集合N求交集即可。
甘肃省兰州第一中学高三数学上学期期中试题
兰州一中2014-2015-1学期高三期中考试数学试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．函数y = ( )A. [1,2]B. [1,2)C. 1(,1]2 D. 1[,1]22. 已知向量(1,2)a =-r ,(3,)b m =r ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +r r r”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3. 若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数m 的取值范围是 ( )A ． (,0]-∞ B. [0,)+∞ C ． (,0)-∞ D. (0,)+∞ 4．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则=+753a a ( )A ．10 B. 18 C ． 20 D ．28 5．给出如下四个命题：①若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b-≤”；③“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+≤”；④“0x >”是 “12x x +≥”的充要条件．其中不正确的命题是 ( )A ．①② B.②③ C ．①③ D.③④6．已知函数2()cos f x x x=-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是 ( )A ．(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B. (0)(0.5)(0.6)f f f <-< C ．(0.6)(0.5)(0)f f f <-<D. (0.5)(0)(0.6)f f f -<<7.若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且303aGA bGB cGC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则角A = ( ) A ．90oB.60oC ．45oD.30o8．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，则函数3()4y f x π=-是( )A ．奇函数且图象关于点(,0)π对称B. 偶函数且图象关于点3(,0)2π对称C ．奇函数且图象关于点3(,0)2π对称 D. 偶函数且图象关于点(,0)-π对称9．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,若2||AB BC AB =⋅,则ω等于( )A ．12π B.4πC ．3π D.6π10．如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB u u u r 在A 点处与圆O 相切， 点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP u u u r ×AB u u u r的取值范围是( )A ．(5,5)- B. []5,5- C ．55(,)22- D. []0,5 11．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是 ( )A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③12．(理)已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则++a b c 的取值范围是 ( )A. (1,2014)B. [1,2014]C. (2,2015)D. [2,2015]（文）已知函数m x x e x f x -+-=)1()(2，若,,a b c R ∃∈，且a b c <<，使得 0)()()(===c f b f a f .则实数m 的取值范围是 ( )A ．)1,(-∞ B. ()31,e C ． )3,1(e D.)()1,(3∞+-∞e Y 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13.（理）11(2)1x dx x ++ò=_______________________.（文）已知直线21=+y x 与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)，则实数b 的值为______.14. 若将函数sin 2y x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为_________.15．已知tan 4α=，则21cos 24sin sin 2++ααα的值为 .16．以下命题： ①若⋅=⋅r r r ra b a b,则//r ra b ；②向量(1,1)a =-r 在(3,4)b =r方向上的投影为15；③若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则u u u r BC ×20=u u u rCA ；④若非零向量a r ,b r 满足+=r r r a b b ,则22>+r r rb a b.所有真命题的序号是______________.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2,60c C ︒==.(Ⅰ)求sin sin a bA B ++的值；（Ⅱ）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABCS ∆.18. （本小题满分12分）已知集合}2|1||{<-=x x A ，()()()4{|0}12x x B x x x -=≤-- ，}012|{2<-+=mx x x C ,m R ∈.（Ⅰ）求B A B A Y I ,；（Ⅱ）若)(B A C Y ⊆，求m 的取值范围． 19. （本小题满分12分）已知函数1cos 4cos sin 34)(2+-=x x x x f ． （Ⅰ）求函数()f x 在]2,0[π上的值域； （Ⅱ）若对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，求0sin(2)3x π-． 20．（本小题满分12分） 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，且4228S S =+．（Ⅰ）求公差d 的值；（Ⅱ）若11a =，n T 是数列11{}n n a a +的前n 项和，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值.21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()xg x e =，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <m 的取值范围；（Ⅲ）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.） 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 已知,,,A B C D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，//AC DE ，AC 与BD 相交于H 点.(Ⅰ)求证：BD 平分ABC ∠.(Ⅱ)若4,6,8,AB AD BD ===求AH 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， 2C ：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. (Ⅰ)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (Ⅱ)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2,=+⎧⎨=-+⎩x t C y t （t 为参数）距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,,,+∈a b c R 且1++=a b c .证明：（Ⅰ）22213++≥a b c ；（Ⅱ）2221++≥a b c b c a .兰州一中2014-2015-1学期高三期中考试数学 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）题号 123456789101112答案CAACCBDADBDC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13. （理）2ln 1+（文）3 14. 512π 15．334 16． ①②④三、解答题（17-21每题12分,共60分.22-24为选考题，10分.）17．解：(Ⅰ)由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C =====︒，所以sin sin a b A B+==+. …………………6分 （Ⅱ）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-， 又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去），所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= …………………12分18．解：（Ⅰ） A (1,3)=-Q ，B [0,1)(2,4]=?，A B [0,1)(2,3),∴=⋃I A B (1,4]=-U . …………………6分（Ⅱ）2C (1,4]2mx 10?\+-=Q x 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4， 令()221f x x mx =+-，则[]f (1)1m 031f (4)4m 310,m 1.4m 144ìïïï-=-?ïïïï=+?＃íïïïïï-<-<ïïïî解之得 …………………12分19．解：(Ⅰ)1)2cos 1(22sin 321cos 4cos sin 34)(2++-=+-=x x x x x x f1)62sin(4--=πx ， …………………3分∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴1)62sin(21≤-≤-πx ，∴3)(3≤≤-x f ，即函数)(x f 在]2,0[π上的值域是[－3，3] ． …………6分 （Ⅱ）∵对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，∴)(0x f 是)(x f 的最大值，∴由Zk k x ∈+=-,22620πππ，解得Z k k x ∈+=,32220ππ∴233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x ．……12分 20．解：（Ⅰ）∵4228S S =+，即11462(2)8+=++a d a d ，化简得：48=d ，解得2=d ． ………………4分 （Ⅱ）由11,2,21===-得n a d a n ，∴ 11n n a a +=1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+． …………………6分 ∴=n T 12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=11111111(1)2335572121-+-+-+⋅⋅⋅+--+n n =11(1)221n -+≥13， ……………………8分 又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立∴13≥21(5)18m m -，化简得：2560--≤m m ，解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．……12分21．解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x '=+(0)x >．①当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数.②当0a <时，若1(0,)x a ∈-，()0f x '>,()f x ∴在1(0,)x a ∈-上为增函数； 若1(,)x a ∈-+∞，()0f x '<,()f x ∴在1(,)x a ∈-+∞上为减函数.综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数.当0a <时，()f x 在1(0,)-a 上为增函数，在1(,)-+∞a 上为减函数 . ………4分(Ⅱ) Q (0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <成立，∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e<-+成立，令()3h x x e =-+，则()1x h x e '=-，当(0,)x ∈+∞时，Q 1xe >，+≥=，1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴< ………8分(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--， ∴1()x x e x ϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数.设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t =，即t t e -=.Q 当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+- Q (1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=-<，1(,1)2t ∴∈由于()2t t e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->+-=()()2f x g x ∴<-. …………………12分22．证：(Ⅰ)ACD CDE AC DE ∠=∠∴,//Θ又DE Θ切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴CBD ACD ∠=∠∴，而ABD ACD ∠=∠（同弧） ABD CBD ∠=∠∴，所以，BD 平分ABC Ð. ………5分(Ⅱ)由（1）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠Θ，CAD ABD ∠=∠∴ 又ADH ∠Θ为公共角，所以DBA ∆与DAH ∆相似.BD ADAB AH =∴，因为AB 4,AD 6,BD 8,===所以AH 3\= ………10分23.解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=，1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. …5分（Ⅱ）当2t π=时，(4,4)-P .设(8cos ,3sin )Q θθ，则3(24cos ,2sin )2M θθ-++，3Q C 为直线270x y --=，∴M 到3C 的距离4cos 3sin 13|d θθ=--43cos ,sin 55∴==-θθ时，d. .… ………10分24．解：（Ⅰ）222,+≥Q a b ab 222,+≥b c bc 222,+≥c a ac 222222222,∴++≥++a b c ab bc ac 222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac2()1=++=a b c22213∴++≥a b c . ………5分（Ⅱ）22+≥Q a b a b ，22+≥b c b c ，22+≥c a c a ，2222()∴+++++≥++a b c a b c a b c b c a ，222∴++≥++a b c a b c b c a ,2221∴++≥a b c b c a . ………10分。
2014-2015学年甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题
2014-2015学年兰州一中高一上学期期中考试数学试题说明: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分100分, 考试时间100分钟. 答案写在答题卡上, 交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分. 在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项符合题意)1.设集合}2,1{=A , 则满足}3,2,1{=B A 的集合B 的个数是( )1.A2.B 4.C 8.D2.对于映射:f A B →，{(,)|,}A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与B 中 的元素(3,1)-对应的A 中的元素为（ ）.A (3,1)- .B (1,3) .C (4,2)--.D (1,2)- 3.设,,a b c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是( ) .log log log a c c A b b a ⋅= .l o g l o g l og a c cB b a b ⋅=.log ()log log a a a C bc b c =⋅ .l o g ()l o g l oa aaD b c b c -=- 4.若函数)(x f y =是函数x a y =（0>a ，且1≠a ）的反函数，其图象经过点),(a a ， 则=)(x f （ ）.A x 21log .B x 2log .C x 21.D 2x5.下列四组函数中，（1）2()lg ,()2lg f x x g x x ==； （2）}4,2{,2∈=x x y 和}4,2{,2∈=x y x ；（3）21(),()11x f x g x x x -==+-； （4）1()2,()2xx f x g x -⎛⎫== ⎪⎝⎭. 表示相同函数的组数是（ ）1.A2.B3.C4.D6.设()833-+=x x f x, 用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）.A (1.25,1.5) .B (1,1.25 .C (1.5,2) .D 不能确定 7.计算12223)3)]235582log 10log 0.25+--=（ ）1.A2.B3.C4.D8.若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图，其中b a ,为常数． 则函数b a x g x +=)(的图象大致是（ ）ABC D9.函数y = ）34.(,]A 4.(,]B -∞ 3.(,)C +∞ 4.[,)D +∞ 10.若函数⎩⎨⎧≤+->=1,1)32(1,)(x x a x a x f x 是实数集R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）.A )1,32( .B )1,43[ .C ]43,32( .D ),32(+∞11.设245log 6,log 12,log 15a b c ===, 则（ ）.A c b a >> .B b c a >> .C a c b >> .D a b c>> 12.当103x <≤时，8log ,x a x < 则a 的取值范围是（ ）.A (0,.B 1) .C (1, .D 3) 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13.已知函数)(x f ,)(x g 分别由下表给出:则当2[()]f g x =时, =x _________.14.已知幂函数)(x f y =的图象过点)22,21(，则=)2(log 2f _________. 15.若函数1()||1f x m x =--有零点，则实数m 的取值范围是_________.16.已知函数()2)2f x x =+, 则1(lg2)(lg )2f f +=_________.三、解答题（本大题共4小题,共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分8分）设全集为实数集合R ，集合{|14}A x x =≤≤, {|121}B x m x m =+≤≤-. ⑴ 当3m =时，求 R ()A B ； ⑵ 若A B B =，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分8分）设函数)(x f =232log ()a x x --，其中0,a > 且1.a ≠ ⑴ 当12a =时，求函数)(x f 的单调递增区间；⑵ 若函数)(x f 在区间11[--上的最大值与最小值之差为2，求实数a 的值. 19．（本小题满分10分）已知函数)(x f =a xx++122是奇函数. ⑴ 求实数a 的值； ⑵ 判断)(x f 在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义证明； ⑶ 对任意的实数x ，不等式210()f x m -+>恒成立，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为11(,)- , 对于任意的11,(,)x y ∈-, 有 1()()()x yf x f y f xy++=+, 且当10x -<< 时, 0()f x >. ⑴ 求0f ()的值，并判断函数()f x 的奇偶性（不要求证明）；⑵ 若1211(),()a b a b f f ab ab+-==+-, 且11||,||a b <<, 求(),()f a f b 的值；⑶ 若112()f -=, 试解关于x 的方程12()f x =-.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）13. 3 ； 14.12； 15. (,1](0,)-∞-+∞； 16. 4 . 三.解答题（本大题共4小题, 共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解：⑴当4m =时，{|45}B x x =≤≤， ∴{|15}AB x x =≤≤.∴ R ()AB {|1,x x =<或5}.x > ………………………………………4分 ⑵A B B =⇔B ⊆A .①当121m m +>-，即2m <时，B A =∅⊆，符合题意. ②当121m m +≤-，即2m ≥时, 由B ⊆A 有11214,,m m +≥⎧⎨-≤⎩ 解得502m ≤≤. ∴522m ≤≤. 综合可得实数m 的取值范围是5{|}2m m ≤. …………………………………………8分18. 解: 由2320x x -->，解得31x -<<.(1) 当12a =时, 212()log (32)f x x x =--. 令21232,log u x x y u =--=.23(1)4u x =-++， ∴所以对称轴为1x =-，∴232u x x =--在区间[-1,1)上是减函数, 又12log y u =是减函数, 所以函数()f x 的单调递增区间是[-1,1). …………4分(2)121x --≤≤-+且2(1)4,u x =-++ ∴24u ≤≤.①当1a >时, log 4log 22a a -=, 解得a =②当01a <<时, log 2log 42a a -=, 解得2a =. ………………………8分19. 解：⑴ ∵)(x f =a x x++122是奇函数,∴对任意x ∈R, 有)(x f -=-().f x∴(122-=++--a x xa xx ++122）. ∴2a =-1121122-=+-+x x x .∴12a =- …………………………3分⑵)(x f 在R 上是增函数,证明如下：)(x f =12121211211221122+-=-+-+=-+xx x xx . 设1x 、2x ∈R 且1x ＜2x ，)12121()12121()()(1112+--+-=-x x x f x f =)12)(12(221212++-x x x x∵1x ＜2x ，∴22x＞120x >，∴)12)(12(221212++-x x x x ＞0, 即)(2x f ＞)(1x f ， ∴)(x f 在R 上是增函数. …………………………6分 ⑶ 对任意的实数x ，不等式210()f x m -+>恒成立， 则只要21m -＜)(x f min .∵x2+1＞1, ∴0＜121+x ＜1, ∴-1＜-121+x ＜0 ,∴-21＜21-121+x ＜21, 即 12-＜)(x f ＜21，∴1212m -≤-， ∴14m ≤. 故所求实数m 的取值范围是14{|}.m m ≤ …………………………10分20. 解：⑴ ∵1()()()x yf x f y f xy++=+ ① ∴由①式令0x y ==，得000()()()f f f +=， ∴00()f =.又由①式令11(,)y x =-∈-，得0()()()f x f x f +-=.∴函数()f x 是奇函数. ………………………………………………3分 ⑵ 由①式及已知，得 11()(),()(),f a f b f a f b +=⎧⎨+-=⎩ 由（1）知函数()f x 是奇函数， ∴11()(),()(),f a f b f a f b +=⎧⎨-=⎩解得3122(),().f a f b ==- ………………………………………………6分（3）112(),f -= ∴112(),f =-所解方程12()f x =-，即为21()f x =-，∴122()()f x f =. 又由①式令y x =得，221()()()x f x f x f x +=+，即2221()()xf x f x=+. ∴22121()()x f f x =+.设1211,x x -<<<∴1212010,,x x x x -<-> ∴121201x x x x -<-.又由题设知，当10x -<< 时, 0()f x >. 则1212121201()()()()(),)x x f x f x f x f x f x x --=+-=>- ∴12()(),f x f x >-∴()f x 在区间（-1，1）内为减函数；∴22121x x =+， 解得2x =11(,),x ∈- ∴2x = ………………………………………………10分。
甘肃省兰州第一中学2015届高三12月月考数学试题word版含答案
兰州第一中学2015届高三12月月考数学试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．已知集合{}|1A x x =<，|{x B =13log 0x >},则A B I =A ．(0,1)B ．(1,1)-C ．(1,)+∞D ．∅ 2．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．35- B ．45- C ．34 D ．353．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =-uu r ，(2,2)OB =uu u r，若090ABO ∠=，则实数t 的值为A ．2B ．4C ．5D ．84．设{}n a 是由正数组成的等比数列，且5681a a =，则3132310log log log a a a +++L 的 值是 A ．20B ．10C ．5D ．2或45．设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是 A ．若m β⊥,m α⊂, 则αβ⊥ B ．若αβ⊥,m α⊄,m β⊥, 则//m α C ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂, 则m n ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β, 则αβ⊥ 6．若关于x 的不等式 |x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是 A ．a ≤1 B ．a <1 C ．a >3 D ．a ≥3 7．把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图 象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x8．已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z y ax =-取得最大值时333 2的唯一最优解为（1，3），则实数a 的取值范围为A ．(,1)-∞-B ．（0,1）C ．[1,)+∞D ． (1,)+∞9．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则nm 21+的最小值为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．数列{}n a 中，*111,(1)2(,1)n n n n a a a n N n +=+=-⋅∈≥,S n 是数列{}n a 的前n 项 和，则S 10=A ．682B ．-682C ．62D ．-6211.如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为0120，点C 在»AB上，且030COB ∠=，若OC OA OB λμ=+uuu r uu r uu u r，则λμ+=A ．33B ．3C ．3D ．23 12．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增. 如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值 A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 ． 14．数列{}n a 满足*32132(,1)23n n a a a a n N n n++++=-∈≥L ,则n a =________． 15．如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间 几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面 积是 ．16．若直角坐标平面内A ,B 两点满足条件：①点A ,B 都 在函数()x f 的图象上；②点A ,B 关于原点对称，则称(,)A B 是函数()x f 的一个“姊妹点对”（ (,)A B 与(,)B A 可看作同一点对）．已知CP ()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,20,22x e x x x x f x，则()x f 的“姊妹点对”有_____个． 三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ， b ，c ．4a =，8AB AC ⋅=uu u r uuu r，BAC θ∠=．（Ⅰ）求b c⋅的最大值及θ的取值范围； （Ⅱ）求函数22()()2cos 4f πθθθ=++18.如图，在四棱锥中ABCD P -中，底面ABCD 为菱形， 060BAD ∠=，2===AD PD PA ，点M 在线段上，且MC PM 2=,N 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PNB ；（Ⅱ）（只文科生做．．．．．）若平面⊥PAD 平面ABCD ， 求三棱锥P NBM -的体积；（只理科生做．．．．．）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求二面角P NB M --的平面角的正切值. 19.已知数列}{n a 满足12a =，11221n n n a a ++=++，(1)21n n n b a n =-+⋅+，其中*,1n N n ∈≥．（Ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 20．设函数x ax x a x f ln 21)(2-+-=（R a ∈）． （Ⅰ）若曲线()y f x =过点(1,1)P ，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间[1,2]上的最大值． 21．已知函数()()xf x kx e k R =-∈，xxx g ln )(=． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式()()xf xg x e ≥-在区间（0,+)∞上恒成立，求k 的取值范围； （Ⅲ）（只理科生做．．．．．）*(,2)n N n ∈≥．四、选考题（本大题22．选修4-1：几何证明选讲如图，已知是⊙切点为B，,ADE（Ⅰ）证明：AD⋅（Ⅱ）证明：FG//23. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C （Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若[0,)4πα∈于A B、两点，求弦长24．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知a和b（Ⅱ）若不等式2(x k x-3 332兰州一中2014-2015-1学期12月月考数学试题答案说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABCACDADCBBD第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)n a =_11, 123,2n n n n -=⎧⎨⋅≥⎩_______． 15．如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间 几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面 积是 16π ．16．若直角坐标平面内A ,B 两点满足条件：①点A ,B 都 在函数()x f 的图象上；②点A ,B 关于原点对称，则称(,)A B 是函数()x f 的一个“姊妹点对”（ (,)A B 与(,)B A 可看作同一点对）．已知()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,20,22x e x x x x f x，则()x f 的“姊妹点对”有_2__个．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ．4a =，8AB AC ⋅=uu u r uuu r，BAC θ∠=．ABCD PNM（Ⅰ）求b c ⋅的最大值及θ的取值范围； （Ⅱ）求函数22()23sin ()2cos 34f πθθθ=++-的最小值．解：12分18.如图，在四棱锥中ABCD P -中，底面ABCD 为菱形， 060BAD ∠=，2===AD PD PA ，点M 在线段PC 上，且MC PM 2=,N 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PNB ；（Ⅱ）（只文科生做．．．．．）若平面⊥PAD 平面ABCD ， 求三棱锥P NBM -的体积；（只理科生做．．．．．）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求二面角P NB M --的平面角的正切值. 证明：（I ）PD PA =，N 为AD 的中点，PN AD ∴⊥，又底面ABCD 为菱形， ︒=∠60BAD ，BN AD ∴⊥ , ∴⊥AD 平面PNB ，Q //AD BC , ∴BC ⊥平面PNB ． ----------------------------6分 （II ）（文科．．）．Q 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面PAD I 平面AD ABCD =,PN AD ⊥PN ∴⊥平面ABCD ，PN ∴⊥NB ,Q 2===AD PD PA 3PN NB ∴==,32PNB S ∴=V 又⊥BC 平面PNB ,MC PM 2=，∴2211233233323P NBM M PNB C PNB V V V ---===⋅⋅=．------------------12分（理．科．）作//ME BC 交PB 于E 点，作EF NB ⊥于F 点，连结MF ． BC ⊥Q 平面PNB ，ME ∴⊥平面PNB ，EF 是MF 在平面PNB 上的射影MF BN ∴⊥，MFE ∴∠是二面角P NB M --的平面角，Q 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面PAD I 平面AD ABCD =,PN AD ⊥PN ∴⊥平面ABCD ，PN ∴⊥NB ,Q 2===AD PD PA 3PN ∴=,在PBC V 中可知2433ME BC ==，在PNB V中13EF PN ==tan MFE ∴∠=． -------------------------12分 19.已知数列}{n a 满足12a =，11221n n n a a ++=++，(1)21n n n b a n =-+⋅+，其中*,1n N n ∈≥．（Ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .解：（Ⅰ）11111(2)21221(2)212(1)21(1)21n n n n n n n nn n n b a n a n b a n a n +++++-++++-++===-++-++Q ∴数列{}n b 为等比数列. ---------------------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得111,2n n b b -=-∴=-1(21)21,n n a n -∴=+⋅- ---------------------------6分0121(321)(521)(721)(21)21n n S n -⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅++⨯-⎣⎦0121325272(21)2n n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯- ①11232325272(21)22n n S n n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯- ②由①-②，得12121222(21)2(21)212(12)2 1.n nnn n n S n n n nn n +--=++++-+⨯+=-+⨯+-=-⨯+-L (21)21n n S n n ∴=-⨯-+． ---------------------------12分20．设函数x ax x a x f ln 21)(2-+-=（R a ∈）． （Ⅰ）若曲线()y f x =过点(1,1)P ，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间[1,2]上的最大值．解：（Ⅰ）曲线()y f x =过点(1,1)P ，则1a =，11()ln ,'()1.x f x x x f x x x-=-=-=Q '(1)0f =，∴曲线()y f x =在点P 处的切线方程为1y =． ---------------4分（Ⅱ）)(x f 的定义域为(0,)+∞21(1)1[(1)1](1)'()(1)a x ax a x x f x a x a x x x -+--+-=-+-==-------------5分 当1a =时，11()ln ,'()1.x f x x x f x x x-=-=-=得1x >, [1,2]x ∴∈时()0f x '≥,)(x f 单调递增，max ()(2)2ln 2f x f ==-；当10a ->即1a <时，()0f x '=的两根为11,1a -，且111a >-， [1,2]x ∴∈时()0f x '≥，)(x f 单调递增，max ()(2)2ln 2f x f ==-；当10a -<即1a >时，()0f x '=的两根为11,1a -， ①当 111a ≥-即2a ≥时，[1,2]x ∈时'()0,()f x f x ≤单调递减，max 1()(1)2a f x f +==；② 当111a <-即12a <<时，1(1,)1x a ∈-时()0f x '>,)(x f 单调递增，1(,)1x a ∈+∞-时()0f x '<,)(x f 单调递减．若121a ≥-即312a <≤时，[1,2]x ∈时)(x f 单调递增，max ()(2)2ln 2f x f ==-； 若121a <-，即322a <<时，max 121()()ln(1)12(1)a f x f a a a -==+---； 综上，max32ln 2,2213()ln(1),22(1)21,22a a f x a a a a a ⎧-≤⎪⎪-⎪=+-<<⎨-⎪⎪+≥⎪⎩ ． ---------------------------12分 21．已知函数()()xf x kx e k R =-∈，xx x g ln )(=． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式()()xf xg x e ≥-在区间（0,+)∞上恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）（只理科生做．．．．．）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<L *(,2)n N n ∈≥． 解：（Ⅰ）∵ ()x f x k e '=-，x R ∈∴ ()0f x '=得x e k =． 当0k ≤时，()0f x '<，)(x f 在R 上单调递减；当0k >时，令()0f x '=得ln x k =由()0f x '>的)(x f 的单调递增区间为(,ln )k -∞；由()0f x '<的)(x f 的单调递减区间为(ln ,)k +∞．----------文科6分理科4分（Ⅱ）不等式()()xf xg x e ≥-在区间（0,+)∞上恒成立,则． -------------文科12分理科8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知分.） CGE 都是22交圆C A11 (直角坐标和极坐标互化亦可) ---------------------------5分 （Ⅱ）∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴222210x y x y +---=将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得： 22(2cos )(2sin )2(2cos )2(2sin )10t t t t αααα+++-+-+-= 整理得：2(2cos 2sin )10t t αα++-=∴12122cos 2sin ,1t t t t αα+=--⋅=-∴12||||AB t t =-== ∵0,4πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴20,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴||AB∈⎡⎣ ． ----------------10分 24．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知a 和b 是任意非零实数．证明：224a b a b a ++-≥； （Ⅱ）若不等式1211(1)4x x k x +-+>--恒成立,求实数k 的取值范围. 证明：（Ⅰ）|2||2||22|4||a b a b a b a b a ++-≥++-= ∴224a b a b a++-≥． ---------------------------5分 （Ⅱ）记,11()21132,121,2x x h x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+-+=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩ 若不等式1211(1)4x x k x +-+>--恒成立,则函数()h x 的图象在直线1(1)4y k x =--的上方，数形结合可得1(,1]6k ∈． -----------------10分。
甘肃省兰州第一中学2015届高三上学期期中考试文综试题
兰州一中2014-2015-1学期高三年级期中考试试题文科综合说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分300分，考试时间150分钟。
答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第I 卷本卷共35个小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
下图为我国某地地下水埋藏深度年内变化柱状图，据图回答1～2题 。
1.该地最有可能位于 A.黄土高原 B.松嫩平原 C.华北平原 D.长江中下游平原2.当该地地下水的埋藏深度最大时，下列现象可信的是A.江淮地区梅雨连绵B.黄河宁夏段出现凌汛现象C.东北平原降水较多D.南极科考的最佳时间湖岸是指湖盆边缘与四周陆地相邻的地区，湖岸线是湖水面与湖岸的交线。
读某地等高线(单位：m)图和湖岸线变化图，回答3～4题。
3.图中①②③④四处湖岸坡度最大的是A.①B.②C.③D.④4.关于图示区域的说法正确的是A.乙处位于分水岭B.甲处能欣赏到瀑布景观C.夏季湖水补给河水D.图中最高处海拔为550～600米埋藏深度 月份 湖泊 甲 乙 150 200 ① ② ③ ④ 丰水期湖岸线 枯水期湖岸线41004000 甲北 乙丁丙植被地上部分(包括叶、茎、枝)在地面的垂直投影面积占统计区总面积的百分比被称为植被覆盖度。
下图中的左图示意2001—2010年内蒙古自治区三大统计区域植被覆盖度的年际变化，右图示意这种变化与年降水量和年均温的相关性。
据此回答5～6题。
5.有关图示地区植被覆盖度的叙述，正确的是A.2001—2010年内蒙古的植被覆盖度整体呈下降趋势B.年均温的变化对内蒙古植被覆盖度的影响大于年降水量的变化C.森林区植被覆盖度的年际变化大小主要取决于年均温的变化D.草原区植被覆盖度的年际变化与年均温呈负相关，与年降水量呈正相关6.图中曲线a 、b 、c 分别代表A.森林区、荒漠区、草原区B.荒漠区、草原区、森林区C.草原区、森林区、荒漠区D.草原区、荒漠区、森林区7.对内蒙古地区植被覆盖度的调查主要运用的地理信息技术是A.GPSB.RSC.GISD.数字地球水车是黄河流域古代的"自来水工程"，其原理是利用河水自流助推。
甘肃省兰州一中2015届高三上学期9月月考数学试卷(Word版含解析)
甘肃省兰州一中2015届高三上学期9月月考数学试卷一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x﹣12＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＜6} B．{x|1＜x＜2} C．{x|﹣6＜x＜2} D．{x|x＜2}2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=sinx B．y=﹣x2+C．y=x3+3x D．y=e|x|3．（5分）下列命题中错误的是（）A．命题“若p则q”与命题“若￢q则￢p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，p∨q为真C．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题D．“若am2=bm2”，则a＜b的逆命题为真命题4．（5分）函数f（x）=ln（x+）的图象是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，若a=30.2•f（30.2），b=（logπ2）•f（logπ2），c=•f ，则a，b，c间的大小关系（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b6．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣37．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，4）C．（0，4）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）9．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=﹣f（x），已知x∈（0，1）时，f（x）=（1﹣x），则函数f（x）在（1，2）上（）A．是增函数，且f（x）＜0 B．是增函数，且f（x）＞0C．是减函数，且f（x）＜0 D．是减函数，且f（x）＞010．（5分）已知函数f（x）=，则f=（）A．2012 B．2013 C．2014 D．201511．（5分）若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A．f（﹣）=f（）B． f （﹣）＞f（）C．f（﹣）＜f（）D．不确定12．（5分）设函数f（x）=log3在（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，log32）B．（log32，1）C．（﹣1，﹣log32）D．（1，log34）二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过点A（1，1）与曲线C：y=x3相切的直线方程是．14．如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为．15．（5分）设0≤x≤2则函数的最大值是．16．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈时，f（x）=1﹣x2，函数g （x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内零点的个数有个．17．（5分）若存在区间M=（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=e x②f（x）=x3③f（x）=cos④f（x）=lnx+1其中存在稳定区间的函数有（写出所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共有5道小题，每小题12分，共60分）18．（12分）设f（x）=（4x+4﹣x）﹣a（2x+2﹣x）+a+2（a为常数）（1）当a=﹣2时，求f（x）最小值（2）求所有使f（x）的值域为，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，p∨q为真C．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题D．“若am2=bm2”，则a＜b的逆命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：对于A：根据逆否命题的写法规则“否条件当结论，否结论当条件”进行判断；对于B：先判断每个命题真假，再判断或命题的真假；对于C：或命题为假则当且仅当两个命题都为假；对于D：先写出逆命题，再判断真假．解答：解：对于A，根据“否条件当结论，否结论当条件”，可知A是真命题；对于B，当x≥0时，根据指数函数性质e x≥1，故p是真命题，所以p∨q为真，因此B项为真命题；对于C，或命题为假，当且仅当两个命题都是假时才为假，因此C是真命题；对于D，其逆命题是：若a＜b，则am2=bm2，显然是假命题．故选D．点评：本题主要考查了命题真假的判断，要正确理解各种命题的概念基础上进行判断，特别是特称命题、全称命题及其命题的否定要引起足够的重视．4．（5分）函数f（x）=ln（x+）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决．解答：解：因为x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、D不正确．当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x+）是增函数．故选B．点评：本题主要考查了对数函数的定义域和复合函数的单调性，属于基础题．5．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，若a=30.2•f（30.2），b=（logπ2）•f（logπ2），c=•f ，则a，b，c间的大小关系（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b考点：对数值大小的比较；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=xf（x），由于当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，利用导数可得当x＞0时，函数g（x）单调递减．函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数g（x）在R上是奇函数．进而得到g（x）在R上是减函数．解答：解：构造函数g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，∴当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R上是奇函数．∴g（x）在R上是减函数．∵a=30.2•f（30.2），b=（logπ2）•f（logπ2），c=•f ，=﹣2．，∴c＞b＞a．故选：A．点评：本题考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、对数的运算性质及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：先求出p的等价条件，利用¬q的一个充分不必要条件是¬p，即可求a的取值范围．解答：解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，即p：x＞1或x＜﹣3，￢p：﹣3≤x≤1，∵q：x＞a，∴￢q：x≤a，若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则￢p⇒￢q成立，但￢q⇒￢p不成立，∴a≥1，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法是解决本题的关键．熟练掌握命题的否定的形式．7．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．解答：解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，设P（x0，x02﹣lnx0）则有k=y′|x=x0=2x0﹣．∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d==．故选B．点评：本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，是基础题．8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，4）C．（0，4）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的综合应用．分析：由函数y=f′（x）的图象，确定函数的单调性和单调区间，然后函数的单调性即可求不等式的解集．解答：解：由导函数y=f′（x）的图象可知，当x≥0时，f'（x）≥0，此时函数f（x）得到递增，当x≤0时，f'（x）≤0，此时函数f（x）得到递减，当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值，∵f（4）=f（﹣2）=1，∴不等式f（x）＜1的解为﹣2＜x＜4，即不等式f（x）＜1的解集为（﹣2，4），故选：B．点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．9．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=﹣f（x），已知x∈（0，1）时，f（x）=（1﹣x），则函数f（x）在（1，2）上（）A．是增函数，且f（x）＜0 B．是增函数，且f（x）＞0C．是减函数，且f（x）＜0 D．是减函数，且f（x）＞0考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+1）=﹣f（x），可推出f（x+2）=f（x），因此函数为周期函数，T=2，由复合函数的单调性推出函数f（x）=（1﹣x）递增，再由周期性与奇偶性把（1，2）上的单调性过度到（0，1）来研究．解答：解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=f（x+1+1）=﹣f（x+1）=﹣（﹣f（x））=f （x），∴函数为周期函数，周期T=2，∵u=1﹣x递减，y=递减，由复合函数的单调性知函数f（x）=（1﹣x）递增，又x∈（0，1）时，0＜1﹣x＜1，∴（1﹣x）＞0，∴∀x∈（0，1）时，f（x）＞0，①∀x∈（1，2），2﹣x∈（0，1），∴f（2﹣x）＞0，又函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=f（﹣x+2）＞0，②设1＜x1＜x2＜2，则﹣1＞﹣x1＞﹣x2＞﹣2，则1＞2﹣x1＞2﹣x2＞0，∵函数f（x）=（1﹣x）递增，∴f（2﹣x1）＞f（2﹣x2）又f（2﹣x1）=f（x1）、f（2﹣x2）=f（x2）∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在（1，2）上是减函数综上，选D点评：本题综合考查函数的性质，是把函数的单调性、奇偶性、周期性相结合的题目，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=，则f=（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用赋值法，先令x=1，求出f（1），再令x=2，求出f（2），令x=n，则f（n）﹣f（n﹣1）=1，再根据等差数列的通项求出f．解答：解：当x=1时，f（1）=log5（5﹣1）=2，当x＞1时，f（x）=f（x﹣1）+1，令x=2，则f（2）=f（1）+1=2+1=3，令x=n，则f（n）﹣f（n﹣1）=1，∴{f（n）}是以2为首项，以1为公差的等差数列，∴f=2+×1=2015，故选：D点评：本题主要考查了抽象函数的问题，关键转化为{f（n）}是以2为首项，以1为公差的等差数列，属于基础题．11．（5分）若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A．f（﹣）=f（）B． f （﹣）＞f（）C．f（﹣）＜f（）D．不确定考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：利用已知条件，求出函数的导数，推出f′（），得到函数的表达式，然后比较f （﹣）与f（）的大小．解答：解：函数f（x）=cosx+2xf′（），所以函数f′（x）=﹣sinx+2f′（），所以f′（）=﹣sin+2f′（）=，f（x）=cosx+x，则f（﹣）=cos﹣；f（）=cos+，所以f （﹣）＜f（）．故选C．点评：本题是基础题，考查函数的导数应用，三角函数值的大小比较，考查计算能力．12．（5分）设函数f（x）=log3在（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，log32）B．（log32，1）C．（﹣1，﹣log32）D．（1，log34）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的零点的判定定理可得f（1）•f（2）＜0，由此求得实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）在区间（1，2）内有零点，∴f（1）•f（2）＜0，∴（﹣a）（﹣a）＜0，解得：＜x＜1，故选：B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过点A（1，1）与曲线C：y=x3相切的直线方程是3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：设切点为（x0，y0），则y0=x03，由于直线l经过点（1，1），可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程．从而可求方程．解答：解：若直线与曲线切于点（x0，y0）（x0≠0），则k=．∵y′=3x2，∴y′|x=x0=3x02，∴2x02﹣x0﹣1=0，∴，∴过点A（1，1）与曲线C：y=x3相切的直线方程为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0，故答案为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．14．如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：根据见对方的几何意义，求出两条曲线的交点，由此可得所求面积为函数f（x）=2x2﹣2x及y=2x在区间上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：∵f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x的交点为C（0，0）和（2，4）∴曲线f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x所围图形的面积为S===（2x2﹣）=，矩形ABCD的面积2×=9；∴矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为；故答案为：．点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．15．（5分）设0≤x≤2则函数的最大值是．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：令t=2x，则原函数可转化为关于t的二次函数，配方后即可求得其最大值．解答：解：=22x﹣1﹣3•2x+5=×22x﹣3•2x+5，令t=2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，则y=t2﹣3t+5=，当t=1时，y取得最大值，为．故答案为：．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查学生对问题的转化能力．16．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈时，f（x）=1﹣x2，函数g （x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内零点的个数有12个．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而根据f（x）=1﹣x2与函数g（x）=的图象得到交点为8个．解答：解：因为f（x+2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，因为x∈时，f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象，则y=f（x）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出函数g（x）=的图象，容易得出到交点为12个．故答案为：12点评：考查答题者使用图象辅助作题的意识与能力，属于中档题．17．（5分）若存在区间M=（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=e x②f（x）=x3③f（x）=cos④f（x）=lnx+1其中存在稳定区间的函数有②③（写出所有正确命题的序号）．考点：余弦函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；新定义．分析：根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．解答：解：：①对于函数f（x）=e x 若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有e a=a，e b=b，即方程e x=x有两个解，即y=e x和y=x的图象有两个交点，这与即y=e x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”．②对于f（x）=x3 存在“稳定区间”，如x∈时，f（x）=x3 ∈．③对于f（x）=sin x，存在“稳定区间”，如x∈时，f（x）=sin x∈．④对于f（x）=lnx，若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有lna=a，且lnb=b，即方程lnx=x 有两个解，即y=lnx 和y=x的图象有两个交点，这与y=lnx 和y=x的图象没有公共点相矛盾，故④不存在“稳定区间”．故答案为②③．点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共有5道小题，每小题12分，共60分）18．（12分）设f（x）=（4x+4﹣x）﹣a（2x+2﹣x）+a+2（a为常数）（1）当a=﹣2时，求f（x）最小值（2）求所有使f（x）的值域为19．（12分）设f（x）=ln（1+x）﹣x﹣ax2．（1）当x=1时，f（x）取到极值，求a的值；（2）当a满足什么条件时，f（x）在区间上有单调递增的区间．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）当x=1时，f（x）取到极值，即f′（1）=0，解得a的值；（2）f（x）在区间上有单调递增的区间，即f′（x）＞0时在上有解，解含参数的不等式．解答：解：（1）由题意知f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且f′（x）=﹣1﹣2ax=，当x=1时，f（x）取到极值，∴f′（1）=0，解得a=﹣；当a=﹣时，f′（x）=在（0，1）上小于0，f（x）是减函数，f′（x）=在（1，+∞）上大于0，f（x）是增函数，∴f（1）是函数的极小值，∴a的值为﹣；（2）要使f（x）在区间上有单调递增的区间，即f′（x）＞0在上有解，∴2ax+（2a+1）＞0；（i）当a=0是，有1＞0，上述不等式恒成立，∴a=0满足条件；（ii）当a＞0时，有x＞﹣，此时只要﹣＜﹣，解得：a＞﹣，∴取a＞0；（iii）当a＜0时，有x＜﹣，此时只要﹣＞﹣，解得：a＞﹣1，∴取﹣1＜a＜0；综上，a满足的条件是：a∈（﹣1，+∞）点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性、求函数的极值问题，也考查了含参数的不等式的解法问题．20．（12分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）e x（x∈R），其中a∈R．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）当a≠时，求函数y=f（x）的单调区间与极值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）抓住两点①切点是公共点，代入曲线方程求出f（1）的值；②切点处的导数是切点的斜率．（2）先求导数，令导数等于零找到所有可能的极值点，再通过列表法具体判断，注意对极值点大小的讨论．解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x2e x，f′（x）=（x2+2x）e x，故f′（1）=3e．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e．（2）f′（x）=e x=（x+2a）•e x，令f′（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2，由a≠知，﹣2a≠a﹣2．以下分两种情况讨论：①若a＞，则﹣2a＜a﹣2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣2a）﹣2a （﹣2a，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↑极大值↓极小值↑所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）上是增函数，在（﹣2a，a﹣2）上是减函数．函数f（x）在x=﹣2a处取得极大值为f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．函数f（x）在x=a﹣2处取得极小值为f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2．②若a＜，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，﹣2a）﹣2a （﹣2a，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↑极大值↓极小值↑所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）上是增函数，在（a﹣2，﹣2a）上是减函数．函数f（x）在x=a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2．函数f（x）在x=﹣2a处取得极小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．点评：切线问题是2015届高考的热点，难度不大，只要抓住切点满足的两个条件，一般都能解决问题；第二问研究极值点一般要列表来解决问题．21．（12分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？考点：分段函数的应用．专题：应用题．分析：（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．解答：解：（1）当x≤6时，y=50x﹣115，令50x﹣115＞0，解得x＞2.3．∵x∈N*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N*，当x＞6时，y=x﹣115．令x﹣115＞0，有3x2﹣68x+115＜0，上述不等式的整数解为2≤x≤20（x∈N*），∴6＜x≤20（x∈N*）．故y=，定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．（2）对于y=50x﹣115（3≤x≤6，x∈N*）．显然当x=6时，y max=185（元），对于y=﹣3x2+68x﹣115=﹣3+（6＜x≤20，x∈N*）．当x=11时，y max=270（元）．∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．点评：本题考查学生的函数模型意识，注意分段函数模型的应用．将每一段的函数解析式找准相应的函数类型，利用相关的知识进行解决．22．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）当a=﹣1时，证明：在（1，+∞）上，f（x）+2＞0；（2）求证：••…＜（n≥2，n∈N+）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数求得函数在（1，+∞）上的最小值为f（1）=﹣2，即可得出证明；（2）由（1）得﹣ln x+x﹣3+2＞0，即ln x＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）恒成立．0＜ln n＜n﹣1，即0＜＜，即可得出结论成立．解答：解：（1）根据题意知，f′（x）=（x＞0），当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为（1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1]；当a=0时，f（x）不是单调函数．所以a=﹣1时，f（x）=﹣ln x+x﹣3，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1），即f（x）＞﹣2，所以f（x）+2＞0．…（6分）（2）由（1）得﹣ln x+x﹣3+2＞0，即﹣ln x+x﹣1＞0，所以ln x＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）恒成立．∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0＜＜，∴•••…•＜•••…•=（n≥2，n∈N*）．…（12分）点评：本题主要考查利用导数判断函数的单调性求函数的最值知识，考查利用导数证明不等式问题，注意构造函数法的应用，属于难题．【选修4-1：几何证明选讲】（10分）请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分23．（10分）如图，设C为线段AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延长线相交于点H及K．（Ⅰ）求证：HC•CK=BC2；（Ⅱ）若圆的半径等于2，求AH•AK的值．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．专题：综合题．分析：（Ⅰ）证明△DHC∽△KDC，可得，根据DC=BC，可得结论；（Ⅱ）连接AD，BD，则可得AD是⊙B的切线，由切割线定理可得AD2=AH•AK，从而可求AH•AK的值．解答：（Ⅰ）证明：连接DH，DK，则DH⊥DK，∴△DHC∽△KDC，∴，∴DC2=HC•CK，又DC=BC，∴BC2=HC•CK…（5分）（Ⅱ）解：连接AD，BD，则AD⊥BD，AD=BD，∴AD是⊙B的切线，于是AD2=AH•AK，∵圆的半径等于2∴AH•AK=4…（10分）点评：本题考查几何证明选讲，考查三角形的相似，考查圆的切线性质，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）24．在极坐标系中，动点P（ρ，θ）运动时，ρ与成反比，动点P的轨迹经过点（2，0）（I）求动点P的轨迹其极坐标方程．（II）以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，将（I）中极坐标方程化为直角坐标方程，并说明所得点P轨迹是何种曲线．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（I）设ρ=，把点（2，0）代入求得k的值，可得动点P的轨迹的坐标方程，化简可得结果．（II）由于ρ+ρsin θ=2根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为直角坐标方程，整理可得结论．解答：解：（I）设把点（2，0）代入可得2=，∴k=1…（5分）∴ρ=；（II）∵ρ=，∴ρ（1+sinθ）=2，∵ρ2=x2+y2，ρsinθ=y…（7分）∴∴P点轨迹是开口向下，顶点为（0，1）的抛物线…（10分）点评：本题主要考查求简单曲线的极坐标方程，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）25．（Ⅰ）解不等式|2+x|+|2﹣x|≤4；（Ⅱ）a，b∈R+，证明：a2+b2≥（a+b）．考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；推理和证明．分析：（Ⅰ）通过对自变量x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，再解相应的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ）利用作差法，作差后化积，分析判断证明即可．解答：解：（I）∵|2+x|+|2﹣x|=…（2分），∴由|2+x|+|2﹣x|≤4得：或或，解得x=﹣2或﹣2＜x≤2，∴原不等式的解为：﹣2≤x≤2…（5分）（II）证明：∵==（）（）=（）（）（a++b）=（a++b）≥0，∴a2+b2≥（a+b）…（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明，考查分类讨论思想与作差法证明不等式，属于中档题．。
2014-2015学年甘肃省兰州一中高三(上)期中数学试卷和答案
2014-2015学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）函数的定义域是（）A．[1，2]B．[1，2） C． D．2．（5分）已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）若函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（）A．10 B．18 C．20 D．285．（5分）给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④6．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，则f（0.6），f（0），f（﹣0.5）的大小关系是（）A．f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6）B．f（0）＜f（0.6）＜f（﹣0.5）C．f（0.6）＜f（﹣0.5）＜f（0）D．f（﹣0.5）＜f（0）＜f（0.6）7．（5分）设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx在x=时取得极值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于点（π，0）对称B．偶函数且图象关于点（，0）对称C．奇函数且图象关于点（，0）对称D．偶函数且图象关于点（﹣π，0）对称9．（5分）函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于（）A．B．C．D．10．（5分）如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则•的取值范围是（）A．（﹣5，5）B．[﹣5，5]C．D．[0，5]11．（5分）定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，且f（4﹣x）=f（x）．现有以下三种叙述：①8是函数f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=2对称；③f（x）是偶函数．其中正确的是（）A．②③B．①②C．①③D．①②③12．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]13．已知函数f（x）=e x（x2﹣x+1）﹣m，若∃a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f （a）=f（b）=f（c）=0．则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，）C．（1，e3）D．（﹣∞，1）∪（e3，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分.）14．（5分）（+2x）dx=．15．y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点（1，3），则b的值为．16．（5分）若将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象关于直线x=对称，则φ的最小值为．17．（5分）已知tanα=4，则的值为．18．（5分）下列命题中①若|•|=||•||，则∥；②=（﹣1，1）在=（3，4）方向上的投影为；③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则=20；④若非零向量、满足|+|=，则|2|＞|+2|．其中真命题是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S．△ABC20．（12分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|≤0，C={x|2x2+mx ﹣1＜0}．（Ⅰ）求A∩B，A∪B；（Ⅱ）若C⊆（A∪B），求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=4sinxcosx﹣4cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，]上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x0）恒成立，求sin（2x0﹣）．22．（12分）已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值．23．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若∃x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜成立，试求实数m的取值范围；（Ⅲ）当a=0时，对于∀x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）﹣2．四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.）【选修4-1：几何证明选讲】24．（10分）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC；（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】25．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】26．已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1．证明：（Ⅰ）a2+b2+c2≥；（Ⅱ）++≥1．2014-2015学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共13小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）函数的定义域是（）A．[1，2]B．[1，2） C． D．【解答】解：∵log（2x﹣1）≥00≤（2x﹣1）≤1，解得＜x≤1，故选：C．2．（5分）已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：=（﹣1，2）+（3，m）=（2，2+m）．由⇔﹣1×（2+m）﹣2×2=0，⇔m=﹣6．因此“m=﹣6”是“”的充要条件．故选：A．3．（5分）若函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点，∴m+log2x=0在x≥1时有解；∴m=﹣log2x≤﹣log21=0，故选：A．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（）A．10 B．18 C．20 D．28【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故选：C．5．（5分）给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④【解答】解：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可，故不正确；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，正确；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0＜1”，故不正确；④“x＞0”时，“x+≥2”，若“x+≥2”，则“x＞0”，∴“x＞0”是“x+≥2”的充要条件，故正确．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，则f（0.6），f（0），f（﹣0.5）的大小关系是（）A．f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6）B．f（0）＜f（0.6）＜f（﹣0.5）C．f（0.6）＜f（﹣0.5）＜f（0）D．f（﹣0.5）＜f（0）＜f（0.6）【解答】解：∵f（﹣x）=（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx=f（x），∴f（x）是偶函数；∴f（﹣0.5）=f（0.5）；又∵f′（x）=2x+sinx，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，∴f（0）＜f（0.5）＜f（0.6）；即f（0）＜f（﹣0.5）＜f（0.6）．故选：A．7．（5分）设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx在x=时取得极值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于点（π，0）对称B．偶函数且图象关于点（，0）对称C．奇函数且图象关于点（，0）对称D．偶函数且图象关于点（﹣π，0）对称【解答】解：已知函数f（x）=asinx﹣bcosx在x=时取得极值，则f（）=（a﹣b）且为最值，由asinx﹣bcosx=sin（x+θ），即有±=（a﹣b），即有b=﹣a，f（x）=a（sinx+cosx）=asin（x+），则f（﹣x）=asin（π﹣x）=asinx．则函数y=f（﹣x）为奇函数，对称中心为（kπ，0），k∈Z．故选：A．9．（5分）函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于（）A．B．C．D．【解答】解：由，得||•||•c os（π﹣∠ABC）=，即||•（﹣cos∠ABC）=，由图知||=2||，所以cos∠ABC=﹣，即得∠ABC=120°，过B作BD⊥x轴于点D，则BD=，在△ABD中∠ABD=60°，BD=，易求得AD=3，所以周期T=3×4=12，所以ω==．故选：B．10．（5分）如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则•的取值范围是（）A．（﹣5，5）B．[﹣5，5]C．D．[0，5]【解答】解：如图所示：设∠PAB=θ，作OM⊥AP，则∠AOM=θ，∴sinθ=，AM=5sinθ，AP=2AM=10sinθ．∴•=10sinθ×1×cosθ=5sin2θ∈[﹣5，5]．故选：B．11．（5分）定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，且f（4﹣x）=f（x）．现有以下三种叙述：①8是函数f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=2对称；③f（x）是偶函数．其中正确的是（）A．②③B．①②C．①③D．①②③【解答】解：对于①，由于定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，则f（x+2）=﹣f（x），即有f（x+4）=﹣f（x+2），则f（x+4）=f（x），即4是函数的最小正周期，故①对；对于②，由于f（x）满足f（4﹣x）=f（x），即有f（2+x）=f（2﹣x），即f（x）的图象关于直线x=2对称，故②对；对于③，由于f（4﹣x）=f（x），即有f（﹣x）=f（x+4），又f（x+4）=f（x），则f（﹣x）=f（x），则f（x）为偶函数，故③对．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]【解答】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．13．已知函数f（x）=e x（x2﹣x+1）﹣m，若∃a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f （a）=f（b）=f（c）=0．则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，）C．（1，e3）D．（﹣∞，1）∪（e3，+∞）【解答】解：因为f′（x）=（x2﹣x+1）•e x+（2x﹣1）•e x=x（x+1）•e x，由f′（x）＞0⇒x＞0，或x＜﹣1；由f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（0，+∞）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（﹣1）=，极小值为f（0）=1．由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=m有3个交点，如图所示：故有1＜m＜，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分.）14．（5分）（+2x）dx=1+ln2．【解答】解：（+2x）dx=[ln（x+1）+x2]=1+ln2；故答案为：1+ln2．15．y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点（1，3），则b的值为3．【解答】解：由题意y'=3x2+a，∵y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点（1，3），∴3+a=2，3=1+a+b∴a=﹣1，b=3故答案为316．（5分）若将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象关于直线x=对称，则φ的最小值为．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=sin2（x﹣φ）的图象，再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2×﹣2φ=kπ+，k∈z，即﹣φ=+，k∈z，即φ=﹣﹣，k∈z，再根据φ＞0，可得φ的最小值为，故答案为：．17．（5分）已知tanα=4，则的值为．【解答】解：=====．故答案为：．18．（5分）下列命题中①若|•|=||•||，则∥；②=（﹣1，1）在=（3，4）方向上的投影为；③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则=20；④若非零向量、满足|+|=，则|2|＞|+2|．其中真命题是①②．【解答】解：对于选项A，根据，则cosθ=±1，θ=0°或180°，则∥，故正确；对于选项B，根据投影的定义可得，在方向上的投影为||cos＜，＞==，故正确；对于选项C，由余弦定理可知cosC=，=5×8×cos（π﹣C）=﹣20，故不正确；对于选项D，|+|=，不正确；故答案为：①②三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；．（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）由正弦定理可设，所以，所以．…（6分）（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又a+b=ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4=0，解得ab=4或ab=﹣1（舍去）所以．…（14分）20．（12分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|≤0，C={x|2x2+mx ﹣1＜0}．（Ⅰ）求A∩B，A∪B；（Ⅱ）若C⊆（A∪B），求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣1|＜2，∴﹣2＜x﹣1＜2，即﹣1＜x＜3，∴集合A=（﹣1，3）；由，得x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）≤0，且（x﹣1）（x﹣2）≠0，由穿根法解得0≤x＜1，2＜x≤4，∴集合B=[0，1）∪（2，4]．∴A∩B=[0，1）∪（2，3），A∪B=（﹣1，4]；（Ⅱ）∵C⊆（﹣1，4]，∴方程2x2+mx﹣1=0小根大于或等于﹣1，大根小于或等于4，令f（x）=2x2+mx﹣1，则．21．（12分）已知函数f（x）=4sinxcosx﹣4cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，]上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x0）恒成立，求sin（2x0﹣）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=4sinxcosx﹣4cos2x+1=2sin2x﹣2（1+cos2x）+1=4sin（2x﹣）﹣1∵0，∴，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴﹣3≤f（x）≤3，即函数f（x）在[0，]上的值域是[﹣3，3]．（Ⅱ）∵对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x0）恒成立，∴f（x0）是f（x）的最大值，∴由2x0﹣=2kπ+，k∈Z，解得2x0=2kπ+，k∈Z∴sin（2x0﹣）=sin（2kπ+﹣）=sin=．22．（12分）已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵公差为d的等差数列{a n}中，S4=2S2+8，∴4a1+6d=2（2a1+d）+8，化简得：4d=8，解得d=2．…（4分）（Ⅱ）由a1=1，d=2，得a n=2n﹣1，…（5分）∴=．…（6分）∴T n==≥，…（8分）又∵不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立，∴≥，…（10分）化简得：m2﹣5m﹣6≤0，解得：﹣1≤m≤6．∴m的最大正整数值为6．…（12分）23．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若∃x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜成立，试求实数m的取值范围；（Ⅲ）当a=0时，对于∀x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）﹣2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），（x＞0）．①当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．②当a＜0时，若，f′（x）＞0，∴f（x）在上为增函数；若，f′（x）＜0，∴f（x）在上为减函数．综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数．当a＜0时，f（x）在上为增函数，在上为减函数．（Ⅱ）∵∃x∈（0，+∞），使得不等式成立，∴∃x∈（0，+∞），使得成立，令，则，当x∈（0，+∞）时，∵e x＞1，，∴，∴h′（x）＜0，从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，∴h（x）＜h（0）=3，∴m＜3．（Ⅲ）当a=0时，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）﹣f（x）﹣2，则φ（x）=e x﹣lnx ﹣2，∴，且φ′（x）在（0，+∞）上为增函数．设φ′（x）=0的根为x=t，则，即t=e﹣t．∵当x∈（0，t）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上为减函数；当x∈（t，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上为增函数，∴∵φ′（1）=e﹣1＞0，，∴，由于φ（t）=e t+t﹣2在上为增函数，∴，∴f（x）＜g（x）﹣2．四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.）【选修4-1：几何证明选讲】24．（10分）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC；（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．【解答】解：（Ⅰ）∵AC∥DE，直线DE为圆O的切线，∴D是弧的中点，即又∠ABD，∠DBC与分别是两弧所对的圆周角，故有∠ABD=∠DBC，所以BD平分∠ABC（Ⅱ）∵由图∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC∴△ABH∽△DBC，∴又∴AD=DC，∴∵AB=4，AD=6，BD=8∴AH=3【选修4-4：坐标系与参数方程】25．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值．【解答】解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．【选修4-5：不等式选讲】26．已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1．证明：（Ⅰ）a2+b2+c2≥；（Ⅱ）++≥1．【解答】证明（Ⅰ）∵a，b，c∈R+，且a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥，当且仅当a=b=c时，等号成立．（Ⅱ）∵+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，∴+++a+b+c≥2（a+b+c），∴++≥a+b+c=1，∴++≥1。
甘肃省兰州第一中学2015届高三上学期期中考试理综试题
兰州一中2014-2015-1高三年级期中考试试题理科综合注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在三张答题卡上。
2.试卷满分300分，考试时间150分钟。
可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 O—16 Mg—24 Cu—64第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用蛋白酶去除大肠杆菌核糖体的蛋白质，处理后的核糖体仍可催化氨基酸的脱水缩合反应。
由此可推测核糖体中能催化该反应的物质是A．蛋白酶B．RNA聚合酶C．逆转录酶D．RNA2．下列有关ATP的叙述，错误的是A．线粒体合成的ATP可在细胞核中发挥作用B．机体在运动时消耗ATP，睡眠时积累ATPC．在有氧与缺氧的条件下细胞质基质中都能形成ATPD．每个ATP分子中含有两个高能磷酸键3．下列关于物质跨膜运输的叙述，错误的是A．在顺浓度梯度情况下，葡萄糖可以通过协助扩散进入细胞B．低温环境会影响物质的主动运输速率，但不影响被动运输C．水分进出细胞取决于细胞膜两侧液体的浓度差D．土壤板结能影响植物根细胞膜转运K+速率4.下列关于细胞结构和功能的叙述，错误的是A．肺炎双球菌无线粒体，只能进行无氧呼吸B．线粒体、叶绿体中含有少量遗传物质C．分泌蛋白的形成与核糖体、内质网、高尔基体有关D．内质网既参与物质合成，也参与物质运输5．下列有关探究光合作用过程的描述，正确的是A．将充分暗处理后的天竺葵叶片一半遮光，光照一段时间，遮光部分遇碘变蓝B．载有水绵和好氧细菌的临时装片，用透过三棱镜的光照射一段时间，绿光区域聚集细菌最多C．向绿色植物提供H218O和CO2，光照一段时间，释放的气体含有18O2D．向小球藻提供14CO2，光照一段时间，14C5化合物先于14C3化合物出现6．下列有关生物实验选材的叙述，错误的是A．用紫色洋葱鳞片叶内表皮细胞可观察DNA和RNA在细胞中的分布情况B．用哺乳动物成熟红细胞可制备较纯净的细胞膜C．用过氧化氢酶可探究温度对酶活性的影响D ．用黑藻叶片可观察植物细胞质壁分离现象7．下列对有关化学反应过程或实验现象的解释中，正确的是A ．Cl 2的水溶液可以导电，说明Cl 2是电解质B ．在高温条件下，C 能置换出SiO 2中的Si ，说明C 的氧化性强于SiC ．向淀粉碘化钾的溶液中加入氯水，溶液变为蓝色，说明Cl 2的氧化性强于I 2D ．滴有酚酞的Na 2CO 3溶液中，加入BaCl 2溶液后，溶液褪色，说明BaCl 2溶液有酸性8．据最新报道，科学家发现了如下反应：O 2＋PtF 6 = O 2(PtF 6)，已知O 2(PtF 6)为离子化合物，其中Pt 为+5价，对于此反应，下列叙述正确的是A ．在此反应中，O 2是氧化剂，PtF 6是还原剂B ．反应中每生成1molO 2(PtF 6)转移1mol 电子C ．O 2(PtF 6)中氧元素的化合价是＋1价D ．O 2(PtF 6)中仅存在离子键不存在共价键9．符合右图的化学反应是层数的3倍，X 、M 同主族，Y 的原子在短周期主族元素中原子半径最大。
甘肃省兰州市高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
兰州一中2016-2017-1学期高三年级期中考试数学试题（理科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{|0}1xA x x =≤-,2{|2}B x x x =<,则A B = （ ）A.{|01}x x <<B.{|01}x x ≤<C.{|01}x x <≤D.{|01}x x ≤≤ 2.已知复数12312z bi z i =-=-，，若12z z 是实数，则实数b 的值为 （ ）A ．0B ．32-C ．6-D ．63.以下判断正确的是( )A .函数()y f x =为R 上可导函数，则0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的充要条件B .命题“2000,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”C.“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数()sin()f x x ωϕ=+是偶函数”的充要条件 D. 命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为假命题4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为( )A ．120 cm 3B ．100 cm 3C ．80 cm 3D ．60 cm 35.由曲线21y x =+，直线3y x =-+及坐标轴所围成图形的面积为( )A . 73B .83 C . 103D . 36.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ ）A.3B.4C.5D. 67.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果n = ( ) A. 4 B . 5 C . 2 D . 3 8.设123log 2,ln 2,5a b c -===，则 ( )A. a b c << B . b c a << C . c a b << D . c b a << 9.已知函数()ln f x x x=-，则()f x 的图象大致为( )A B C D10.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的 图象重合，则ϕ的值为( ) A . 56π-B . 56πC . 6πD . 6π- 11.椭圆C : 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为12,F F ,焦距为2c . 若直线)+x c 与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ??，则该椭圆的离心率等于 （ ） A.2B. 1 C.2D. 112.已知定义在R 上的函数()f x 满足：222,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[5,1]-上的所有实根之和为 （ ）A. 6- B .7- C. 8- D. 9- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()()()1,1,2,2,,==+=++⊥-m n m n m n λλλ若则 . 14.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= . 15.已知0,,a x y >满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1,则a = .16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+,2b =， 则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 1f x x x x =-++. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AB AC AA ====，D 是棱1CC 上的一点，P 是AD 的延长线与11A C 的延长线的交点，且1PB ∥平面1BDA ． （Ⅰ）求证：D C CD 1=；（Ⅱ）求二面角11A B D P --的平面角的正弦值．19．（本小题满分12分）1随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.(Ⅰ)求a ，b 的值，并求事件A ：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X 表示销售一部苹果7手机的利润，求X 的分布列及数学期望EX . 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线:2l y kx =+交C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交C 于点.N（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由. 21．(本小题满分12分) 已知函数()2ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内有两个不同的极值点. （ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为12,x x ，证明:212x x e ⋅>．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθθ-=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求PQ 的最小值． 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m R =--∈，且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c R +∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥．兰州一中2016-2017-1学期期中考试 高三数学试题参考答案（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
甘肃省兰州第一中学2015-2016届高二下学期期中考试数
兰州一中2015-2016-2学期高二年级期中考试试题数 学(理科)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题， 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A.某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人；B.根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质；C .平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分；D .在数列}{n a 中，*1121,,2nn na a a n a +==∈N +，计算23,,a a 由此归纳出}{n a 的通项公式. 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A .假设三内角都不大于60度；B .假设三内角都大于60度；C .假设三内角至多有一个大于60度；D .假设三内角至多有两个大于60度. 3.函数2-+=3x x y 在点0P 处的切线平行于直线y =4x- 4, 则0P 点的坐标为（ ） A .（1, 0） B .（-1, -4） C .（1, 0）或（-1, -4） D . (1, 4) 4.由曲线x y =2和直线2-=x y 所围成的图形的面积是（ ）A .211 B . 18 C . 623 D .295.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi＋i·z 等于( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i6.已知三角形的三边分别为c b a ,,，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为a s (21=r c b )++；四面体的四个面的面积分别为4321,,,s s s s ，内切球的半径为R ,类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）A . R s s s s V )(214321+++=B . R s s s s V )(314321+++= C . R s s s s V )(414321+++=D . R s s s s V )(4321+++= 7. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)无极值点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜2或m ＞4B ．4≤2≥m m 或C ．24m ≤≤D ．2＜m ＜48. 若函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(′x f ，且函数)(′)-1(=x f x y 的图象如 图所示，则下列结论中一定成立的是 （ ）A . 函数)(x f 有极大值(2)f -，无极小值；B . 函数)(x f 有极小值()1f ，无极大值；C . 函数)(x f 有极大值(2)f -和极小值)1(f ；D . 函数)(x f 有极大值)1(f 和极小值(2)f -.9. 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!10. 对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：证明：(Ⅰ)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(Ⅱ)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时， ＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋＋k ＋＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，由（Ⅰ），（Ⅱ）可知，结论成立．则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 观察下列等式12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为________．12．已知函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(0,1)上是增函数，则a 的取值范围是_____________. 13. 已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．14.2________________________.dx =⎰15. 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则4位回文数有________个；2n ＋1(n ∈*N )位回文数有________个．兰州一中2015-2016-2学期期中考试高二数学（理科）答题卡一、选择题（请将答案填入下列表格中，每小题3分，共30分.）二、填空题（请将答案填在横线上,每小题4分，共20分.）11.______________________;12.__________________;13._________________; 14._____________________; 15.______________、_______________________.三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分10分）设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列．17.（本小题满分10分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．18.（本小题满分10分）某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y =8+803-12800013x x (0< x ≤ 120).已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？19.（本小题满分10分）已知函数ln ()xf x x=． (1)设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；(2)设()() ()g x f x kx k R =-∈，若函数()g x 在区间21[,e ]e上有两个零点,求k 的取值范围.20.（本小题满分10分）设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝'()xf x ，x ≥0，其中'()f x 是f (x )的导函数．(1)令1()g x ＝g (x )，1()(())n n g x g g x +=，n ∈N *，求()n g x 的表达式；(2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．兰州一中2015-2016-2学期期中考试高二数学（理科）参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）二、填空题：（每小题4分，共20分） 11. 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋2; 12. (－∞，22];13. 3; 14.π+38; 15. 90; 9×10n 三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分10分)(1)解 设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1.①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n， ∴S n ＝a 1－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n1－q，q ≠1. ………………5分(2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列. ………………10分 17.(本小题满分10分)解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)即y ＝13x －32 ……………….4分 (2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过坐标点(0,0)， ∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， 得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． ………….10分 18.(本小题满分10分)解：（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时，要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）。
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兰州一中2014-2015-1学期高三期中考试数学试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．函数y = ( )A. [1,2]B. [1,2)C. 1(,1]2 D. 1[,1]22. 已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m = ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3. 若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数m 的取值范围是 ( )A ． (,0]-∞ B. [0,)+∞ C ． (,0)-∞ D. (0,)+∞ 4．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则=+753a a ( )A ．10 B. 18 C ． 20 D ．28 5．给出如下四个命题：①若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b-≤”；③“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+≤”；④“0x >”是 “12x x +≥”的充要条件．其中不正确的命题是 ( )A ．①② B.②③ C ．①③ D.③④6．已知函数2()cos f x x x=-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是 ( )A ．(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B. (0)(0.5)(0.6)f f f <-< C ．(0.6)(0.5)(0)f f f <-<D. (0.5)(0)(0.6)f f f -<<7.若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，且0aGA bGB ++= ，则角A = ( ) A ．90B.60C ．45D.308．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，则函数3()4y f x π=-是( )A ．奇函数且图象关于点(,0)π对称B. 偶函数且图象关于点3(,0)2π对称C ．奇函数且图象关于点3(,0)2π对称 D. 偶函数且图象关于点(,0)-π对称9．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,若2||AB BC AB =⋅,则ω等于( )A ．12π B.4πC ．3π D.6π10．如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB 在A 点处与圆O 相切， 点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP ×AB的取值范围是( )A ．(5,5)- B. []5,5- C ．55(,)22- D. []0,5 11．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是 ( )A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③12．(理)已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则++a b c 的取值范围是 ( )A. (1,2014)B. [1,2014]C. (2,2015)D. [2,2015]（文）已知函数m x x e x f x -+-=)1()(2，若,,a b c R ∃∈，且a b c <<，使得 0)()()(===c f b f a f .则实数m 的取值范围是 ( )A ．)1,(-∞ B. ()31,e C ． )3,1(e D.)()1,(3∞+-∞e 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13.（理）11(2)1x dx x ++ò=_______________________.（文）已知直线21=+y x 与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)，则实数b 的值为______. 14. 若将函数sin 2y x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为_________.15．已知tan 4α=，则21cos 24sin sin 2++ααα的值为 .16．以下命题： ①若⋅=⋅a b a b,则//a b ；②向量(1,1)a =- 在(3,4)b =方向上的投影为15；③若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则 BC ×20=CA ；④若非零向量a ,b 满足+= a b b ,则22>+b a b .所有真命题的序号是______________.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2,60c C ︒==.(Ⅰ)求sin sin a bA B ++的值；（Ⅱ）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABCS ∆.18. （本小题满分12分）已知集合}2|1||{<-=x x A ，()()()4{|0}12x x B x x x -=≤-- ，}012|{2<-+=mx x x C ,m R ∈.（Ⅰ）求B A B A ,；（Ⅱ）若)(B A C ⊆，求m 的取值范围． 19. （本小题满分12分）已知函数1cos 4cos sin 34)(2+-=x x x x f ． （Ⅰ）求函数()f x 在]2,0[π上的值域； （Ⅱ）若对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，求0sin(2)3x π-． 20．（本小题满分12分） 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，且4228S S =+．（Ⅰ）求公差d 的值；（Ⅱ）若11a =，n T 是数列11{}n n a a +的前n 项和，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值.21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()xg x e =，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <m 的取值范围；（Ⅲ）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.） 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 已知,,,A B C D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，//AC DE ，AC 与BD 相交于H 点.(Ⅰ)求证：BD 平分ABC ∠.(Ⅱ)若4,6,8,AB AD BD ===求AH 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， 2C ：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. (Ⅰ)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (Ⅱ)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2,=+⎧⎨=-+⎩x t C y t （t 为参数）距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,,,+∈a b c R 且1++=a b c .证明：（Ⅰ）22213++≥a b c ；（Ⅱ）2221++≥a b c b c a .兰州一中2014-2015-1学期高三期中考试数学 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）题号 123456789101112答案CAACCBDADBDC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13. （理）2ln 1+（文）3 14. 512π 15．334 16． ①②④三、解答题（17-21每题12分,共60分.22-24为选考题，10分.）17．解：(Ⅰ)由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C =====︒，所以sin sin a b A B+==+. …………………6分 （Ⅱ）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-， 又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去），所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= …………………12分18．解：（Ⅰ） A (1,3)=- ，B [0,1)(2,4]=?，A B [0,1)(2,3),∴=⋃ A B (1,4]=- . …………………6分（Ⅱ）2C (1,4]2mx 10?\+-= x 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4， 令()221f x x mx =+-，则[]f (1)1m 031f (4)4m 310,m 1.4m 144ìïïï-=-?ïïïï=+?＃íïïïïï-<-<ïïïî解之得 …………………12分19．解：(Ⅰ)1)2cos 1(22sin 321cos 4cos sin 34)(2++-=+-=x x x x x x f1)62sin(4--=πx ， …………………3分∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴1)62sin(21≤-≤-πx ，∴3)(3≤≤-x f ，即函数)(x f 在]2,0[π上的值域是[－3，3] ． …………6分 （Ⅱ）∵对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，∴)(0x f 是)(x f 的最大值，∴由Zk k x ∈+=-,22620πππ，解得Z k k x ∈+=,32220ππ∴233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x ．……12分 20．解：（Ⅰ）∵4228S S =+，即11462(2)8+=++a d a d ，化简得：48=d ，解得2=d ． ………………4分 （Ⅱ）由11,2,21===-得n a d a n ，∴ 11n n a a +=1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+． …………………6分 ∴=n T 12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=11111111(1)2335572121-+-+-+⋅⋅⋅+--+n n =11(1)221n -+≥13， ……………………8分 又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立∴13≥21(5)18m m -，化简得：2560--≤m m ，解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．……12分21．解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x '=+(0)x >．①当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数.②当0a <时，若1(0,)x a ∈-，()0f x '>,()f x ∴在1(0,)x a ∈-上为增函数； 若1(,)x a ∈-+∞，()0f x '<,()f x ∴在1(,)x a ∈-+∞上为减函数.综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数.当0a <时，()f x 在1(0,)-a 上为增函数，在1(,)-+∞a 上为减函数 . ………4分(Ⅱ) (0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <成立，∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e<-+成立，令()3h x x e =-+，则()1x h x e '=-，当(0,)x ∈+∞时， 1xe >，+≥=，1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴< ………8分(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--， ∴1()x x e x ϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数.设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t =，即t t e -=.当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+- (1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=-<，1(,1)2t ∴∈由于()2t t e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->+-=()()2f x g x ∴<-. …………………12分22．证：(Ⅰ)ACD CDE AC DE ∠=∠∴,// 又DE 切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴CBD ACD ∠=∠∴，而ABD ACD ∠=∠（同弧） ABD CBD ∠=∠∴，所以，BD 平分ABC Ð. ………5分(Ⅱ)由（1）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠ ，CAD ABD ∠=∠∴ 又ADH ∠ 为公共角，所以DBA ∆与DAH ∆相似.BD ADAB AH =∴，因为AB 4,AD 6,BD 8,===所以AH 3\= ………10分23.解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=，1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. …5分（Ⅱ）当2t π=时，(4,4)-P .设(8cos ,3sin )Q θθ，则3(24cos ,2sin )2M θθ-++，3 C 为直线270x y --=，∴M 到3C 的距离4cos 3sin 13|d θθ=--43cos ,sin 55∴==-θθ时，d. .… ………10分24．解：（Ⅰ）222,+≥ a b ab 222,+≥b c bc 222,+≥c a ac 222222222,∴++≥++a b c ab bc ac 222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac2()1=++=a b c22213∴++≥a b c . ………5分（Ⅱ）22+≥ a b a b ，22+≥b c b c ，22+≥c a c a ，2222()∴+++++≥++a b c a b c a b c b c a ，222∴++≥++a b c a b c b c a ,2221∴++≥a b c b c a . ………10分。