w力学-第04章刚体定轴转动

➢ 常用的几个转动惯量
5.19一质量为 m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴
的轴上，如图所，轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，
整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放
r
s s 后，在时间 t 内下降了一段距离 。试求整个轮轴的
转动惯量(用m 、r 、t 和 表示) 。
O
解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，
通常规定：当刚体绕轴作逆时针转动时，这些角量皆取正值； 反之，作顺时针转动时，这些角量皆取负值。
匀变速定轴转动 0 t
当 c
0
0
t
1
2
t2
与质点的匀加速直 线运动公式相似
2 02 2 ( 0 )
4.绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度
dS r d
v r
切向分量
at
dv dt
r
d
dt
求 解
它由此下摆
M rc mg
对所有质元求和
Fk rk fk rk ( mkrk2)
合外力矩
内力矩之和为0
转动惯量 J
刚体的定轴转动定律（刚体绕定轴转动微分方程）
M Jα F ma 轴合外
外
与牛顿第二定律比较： M轴外 F外, J m, a
刚体定轴转动定律
M轴合外 Jα
所有的外力对定轴 z 轴 的力矩的代数和
刚体获 得角加速度 M
r
O r
A
F
M r
F
2. 力 F 对z 轴的力矩
(力F 在垂直于轴的平面内)
M z (F) Fr sin
Fh
Fτr
(力不在垂直于轴的平面内)
z F//
F
h r
A
F
F Fn
M z (F) Fr sin Fh Fτr
力对定轴 力矩的 矢量形式 M Z r F M Z rF
两端分别悬有质量为 m1 和 m2的物体( m1 m2)，如图所示．
绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针 方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边． (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断．
,
m1 m2
［C ］
m2
向下加速运动,定滑轮作顺时针加速转动 （或逆时针减速转动），
➢转动（定轴、非定轴）
所有点都绕同一直线作圆周运动，该直线称转轴。
转轴
瞬时转轴 固定转轴
非定轴转动 定轴转动
转轴
定轴转动的特点：任意时刻，所有点都具有相同的角位移、 角速度、角加速度.这些角量也称刚体的角量。
+ ➢刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
刚体的平面运动
A• •
•A •
二.用角量描述刚体的定轴转动
Mi TR T' r
(4) 刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零，即合内力矩为零。
因大小相等、方向相反，且作用在同一条直线上，对转轴的 力臂也相同。
(3) 刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零， 即合内力矩为零。
内力总是成对出现，内力矩也成对出现，
对i , j两个质点，内力矩之和为零
fij
m1g T1 m1a
m1 a
T2 m2 g m2a
转动定律 T1R T2R J
线量与角量关系 a R
J 1 MR2 2
m1g
a m1 m2 g
m1
m2
1 2
M
10/83已知：
J
1 2
mR2, F
10N, m
8.0kg, R
0.050m
求： ?
T1 ? T2 ?
T2
R T1
R
O
Jz R2dm
R2 dm
mR2
圆环
Rm dr r
O
圆盘
Jz
1 2
mR2
有关转动惯量计算的几个定理
1 ） 转动惯量叠加, 如图
Jz JA JB JC
z
B
A
C
式中: J A 是A球对z轴的转动惯量
J B 是B棒对z轴的转动惯量
J c 是C球对z轴的转动惯量
2 ） 平行轴定理
J z Jc mh2
三.转动惯量（moment of inertia ）
定义 J mkrk2 质量不连续分布 k
r
J r 2dm 质量连续分布
V
❖转动惯量的物理意义: 刚体转动惯性大小的量度
❖确定转动惯量的三个要素:
(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
J 与刚体的总质量有关
例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
J L x2dx L x2 M dx 1 ML2
0
0L 3
z
M
L
J铁 J木
O
dx
x
J 与转轴的位置有关
z
z
M
L
O
dx
x
M
L
O dx
x
J L x2dx 1 ML2
0
3
J L/2 x2dx 1 ML2
L / 2
12
所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义
J 与质量分布有关
dl m
MA
JF
drJdd12t mvJ22dd12
d
mdvt 12
-J---dd-质 点的动能定理
A
1 2
J22
1 2
J12
-----刚体绕定轴转动的动能定理
四、刚体的重力势能
Y
M
vC
任取一质元其势能为mi gyi
(以O为参考点）
C mi
Ep mi gyi
M mi yi g
M
yC yi
E p MgyC
r
a
法向分量
an
v2 r
r 2
z
v dS
r d P
O
来自百度文库
4.2 力矩 转动定律 转动惯量
一.力矩为了描述力对物体转动的作用效果
❖力
改变质点的运动状态 质点获得加速度
❖力矩 改变刚体的转动状态
1定.力义对: 点的M力矩r
F
称为力F对参考点O的力矩
大小： M
方向：由
rF
sin
rF
r F
决定。
注：合外力矩 不是先求合力再求矩 应是先求各外力矩再求和
刚体的总动能
Ek
Eki
1 2
Δmi
ri
2
2
1 2
Δmiri2
2
1 J 2
2
结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其
角速度平方乘积的一半
二、力矩的功
力的累积过程——力矩的空间累积效应
•
根据功的定义
dA F dr Fcosds
F rd
Md
（力矩做功的微分形式）
d
第4章 刚体力学基础 动量矩
本章内容：
4.1 刚体和刚体的基本运动 4.2 力矩 4.3刚体绕定轴转动的转动定律 转动惯量 4.4 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 4.5 动量矩和动量矩守恒定律
4.1 刚体和刚体的基本运动
刚体（rigid body）：受力时不改变形状和体积的物体
特殊的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型
（力对轴的力矩只有两个指向）
讨论：(1) 对轴的力矩可用正负号表示方向;
(2) 当力平行于轴或力的作用线通过轴时，力对该轴的力矩为零
(3) 若有n个力作用在刚体上，且都在转动平面内，则合力矩 为各力矩的代数和;合外力矩不是先求合力再求矩应是先求 各外力矩再求和
例如 T' •T
•
T'
T
Mi TR T' R
刚体对 z 轴的转动 惯量和角加速度
转动定律:定轴转动的刚体，其角加速度与其所受的对轴的合外力 矩成正比，与其转动惯量成反比。
讨论
1. M J 与 F＝ma 地位相当，m反映质点的平动惯
性，J反映刚体的转动惯性。
2.合外力矩、转动惯量和角加速度均相对于同一转轴。
3.对定轴转动，力矩和角加速度只有两个方向，可用正负号表 示方向。
B F
A
解：F T1 ma 解得： 2F 10rad / s
T2 ma
5mR 3
T1R T2R J T1 5 F 6N
a R
T1
2 5
F
4N
三、计算题
5．一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2.00 kg，半径为R＝0.100 m，一根不能伸长
的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m＝5.00 kg的物体，如图所示
M轴外 J
F外 ma
刚体到转轴的转动惯量 刚体的转动动能 刚体的功
J
mi ri 2
i
Ek
1 J 2
2
A 2 Md 1
m
Ek
1 2
mv2
B
A A F dr
动能定理
A Ek2 Ek1
p mv
刚体的角动量
L J
t'
p p 刚体的角动量定理
t2
L1
M轴 dt dL L2 L1
∴
=
mgR
/
a＝R
(mR2＋J)
mgR mR2 1 MR2
2mg
2m M R
＝81.7 rad/s2
2
方向垂直纸面向外．
(2)
∵2
02
2
当ω＝0
时，
2 0
2
0.612
rad
物体上升的高度h = R= 6.12×10-2 m
(3) 2 10.0 rad/s 方向垂直纸面向外.
刚体定轴转动定律
角坐标和角位移
角位置： (t)
角位移： (t) (t0 )
d 是矢量，
参考方向
x
方向用右手螺旋法则确定。
角速度
d
d
d
dt
方向：右手螺旋法则确定。
O
r
P
转动平面
v
定轴转动----角速度仅有沿转轴的两个方向。
用正负号表示方向
z
z
0 0
角加速度
d
dt
角加速度方向与 d 相同。
加速转动 ,方向一致; 减速转动 , 方向相反
I合外力 t0 F合外 dt
'
t1
L2
0
4.4刚体定轴转动中的功和能
一 、绕定轴转动刚体的动能
Δm1,Δm2,,Δmi ,,ΔmN
r1, r2 , , ri, ,rN v1,v2 ,,vi ,,v N
Δmi 的动能为
Eki
1 2
Δmiv i 2
1 2
Δmiri2 2
z
O ri
vi
•P Δmi
h Cz
式中: J c 关于通过质心轴的转动惯量
m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离
J z 是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量
3） 垂直轴定理
z
对于薄板刚体, J z J x J y
薄板刚体对 z 轴的转动惯量 J z
x
xi
0 yi
mi
y
等于对 x 轴的转动惯量 J x与对 y 轴的转动惯量 J y 之和
在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
一、刚体运动的基本形式
➢平动
（ translational motion）
A
A
B
A
B
B
在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行
特点：在任意时刻，刚体中所有点的位移、速度、加速度都相同
刚体平动
质点运动 用质心代表刚体的平动
F外 mac （质心运动定理）
已知定滑轮的转动惯量为J＝ 1 MR2
2
，其初角速度 0＝10.0 rad/s，方向垂直纸面向
里．求：(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向；
0
(2) 定滑轮的角速度变化到w＝0时，物体上升的高度；
R
(3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．
M
5解：(1) ∵ mg－T＝ma
TR＝J
m
Md
(J
d )d
dt
Jd
d(1 2
J2 )
dEk
对于一有限过程
A
2 dA
1
2 d(1 J 2 )
2 1
1 2
J22
1 2
J12
Ek
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体 上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理
外力矩功是刚体转动动能改变的原因
比较:
O
X
六、机械能与机械能守恒
刚体与质点组成的系统，机械能包括：
机械能 = 势能 + 平动动能 + 转动动能
机械能守恒条件：W外 W非保内 0 时
机械能 = 势能+平动动能+转动动能 = 恒量
E
(mghc
1 2
mv2
1 2
J
2
)
恒量
刚体与质点组 成系统的机械 能守恒定律
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置
T2r T1r J
，
T2 T1
1. 已知： 滑轮M（看成匀质圆盘）半径R
物体 m1 m2 求： a =?
解： m1g T m1a T m2 g m2a
a m1 m2 g m1 m2
M T2 T2
R T1
m1g m2 g (m1 m2 )a 对否？
m2
T1
T1 T2 否则滑轮匀速转动，而物体加速运动 m2g
m
则根据牛顿运动定律和转动定律得：
mg T ma① 2分
Tr J ② 2分
由运动学关系有： a r ③
2分
由①、②、③式解得：
J
m(g
a)r2
a
④
又根据已知条件
S
1 2
at 2
a
v0＝0
2S t2
⑤
将⑤式代入④式得： J mr2 ( gt 2 1)
2S
T
r
a
T mg
2分 2分
5.5 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 M 的定滑轮，绳的
O
r'
dr
F
r .
P
对一有限过程
A 2 Md 1
若M=C
A M (2 1)
讨论 (1) 力矩的功就是力的功。
(2) 合力矩的功
A 2 Md (2
1
1 i
Mi )d
i
M d 2
1
i
i
Ai
(3) 内力矩作功之和为零。
三、刚体定轴转动的动能定理 —— 合力矩功的效果
dA
f
ji
ri fij rj f ji
(ri rj ) fij rij fij 0
M ij
O
M ji
Mij M ji
rj
j
i f ji
dri
fij
二. 刚体定轴转动定律 转动惯量
rk
Fk
第 k个质元
Fk fk mk ak
fk
切线方向
Fk fk mk ak
在上式两边同乘以 rk Fk rk fk rk mkak rk mk rk rk