w力学-第04章刚体定轴转动
合集下载
第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
刚体定轴转动1基本概念
r 0 .2 4 ( m s
该点的切向加速度
a r 0 .2 (
) 2 .5 ( m s
)
6
) 0 . 105 m s
2
该点的法向加速度
a n r
2
4 2 0 .2
ms 2 31 . 6
作业：P31 1- 5 1-7 (1) 作业要求： 1、习题解答要有解题步骤，若需作图的则按规定要求画图，画图必须
用铅笔和直尺，要有原始公式和数据代入过程，最后所求的物理量 要写单位。
2、布置的习题写在单行作业本的纸上，并在纸的右上角写上班级、 学号、姓名，每班的学习委员收作业时将班上同学交的作业纸
按学号顺序排好后再交给老师。
15
质点运动
转动： 刚体上所有的点都绕同一直线做圆周运动。 转动分为定轴转动和非定轴转动
刚体的定轴转动：
1、转动平面： 垂直于固定转轴的平面
转轴
转动平面
2、刚体的定轴转动的特点: ⑴.各质元都绕转轴在各自的转动平面上 做圆周运动
⑵.各质元运动的线量 v , a 不同，
但角量 , , , a 均相同
与 方向相同，为加速运动，否则为减速运动。
8
匀速转动和匀变速转动的概念 匀速转动： 0 , 为恒量， 0 t 匀变速转动: 当刚体做定轴转动的角加速度 时，刚体做匀变速转动。 为恒量
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
9
补充：矢量乘法公式 点乘（标积）：A B A B cos( A , B ) 叉乘（矢积）： A B C 大小 方向
大学物理刚体的定轴转动
2l
l
17
例 一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为
的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。 解： 建立如图坐标，取质元
dm dx
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
o
xl dm m dx
x
细杆受的阻力矩
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 mgl
2
18
例 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的
令 J miri2
刚体绕Z轴转动的转动惯量
即
M z J ----刚体的定轴转动定律
说明
1. 上式是矢量式（力矩只有两个方向）。
2. M、J、是对同一轴而言的。
3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。
4. 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。
8 8
3、转动惯量的计算
转动惯量： J miri2
l
r
dr
d
dm g
M
dM
l
0
mg l
r
cosdr
mg
l 2
cos
16
M J 1 ml2
3
3g cos
2l
(2) d d d d 3g cos dt d dt d 2l
分离变量积分 g cos d l d
02
03
(3g sin ) l
300 , 3g 900 , 3g
i
质量连续分布的刚体： J r2dm
质量为线分布： dm dl
面分布： dm ds
体分布： dm dV
1）总质量
转动惯量与下列因素有关： 2）质量分布 3）转轴位置
9
✓ J与质量分布有关：
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
理论力学第4节 刚体的定轴转动和平面运动微分方程
圆盘质心 加速度
aC
2M 3mR
FN
2）如果作用于圆盘的力偶矩 M
圆盘连滚带滑，所受摩擦力为
3 2
fmgR
时，则
F mgf
aC fg
2(M mgfR) mR2
0
d
dt
maC F
FN mg
1 mR 2 M FR
2
纯滚动 应满足
M C aC
mg F
FN
F f FN
M
3 2
fmgR
解得
F
2M 3R
，M
3 2
RF
，aC
2M 3mR
讨论
M
1）为使圆盘作纯滚动，应满足
作用于圆盘 的力偶矩
M
3 2
fmgR
C aC mg F
• 刚体绕定轴转动的运动微分方程：绕定轴转动的刚 体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作 用在刚体上的所有外力对转轴力矩的代数和。
例11-5 如图所示一均质圆盘质量 m = 100kg，半径 r = 0.5m，转速 n 擦因数 f = 0.6。开始加制动闸，使闸块对轮
dt
J C
n
M C (Fi(e) )
i1
式中 M 为刚体的质量，aC 为质心的加速度，J C为刚 体对通过质心Cz轴的转动惯量。
MaC
F (e) R
y
d(JC)
dt
JC
n
M C (Fi(e) )
i1
d
dt
d 2
刚体的定轴转动
角动量守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
30
例 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心 O 并与 纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于水平位 置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量 均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多 大速率向细杆端点爬行? 解: 碰撞前后系统角动量 守恒
rj
j
内力矩之和 0
mi ri
2
令
J mi ri
2
M ij M ji
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
——刚体转动惯量
M J
2–6 J
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
35
4、质量为m的不太大的整个刚体的重力势能
E P yg d m g y d m
Y y yc C
dm
mg
结论：
ydm
m
m gyc
O m X
一个不太大的刚体的重力势能 和它的全部质量集中在质心时所具 有的势能一样。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
4
转轴
转轴 Z
ri vi
O 转动平面
Δmi
Ｐ
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
5
3.刚体定轴转动的特点
• 各质点都作圆周运动；
大学物理课件：刚体定轴转动
M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得： k
d
2
设 为两飞轮啮合后共同角速度：
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘，绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速
惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！ 2.由上述结果看出：
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m（ l ）2 2
JO
+m（ l ）2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体，如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ，则对任
一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转
动惯量为：
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和 ：
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消：
M ij M ji
注意：内力矩对刚体 动力学效应无贡献；
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨 机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在 绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动 摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质
第四章 刚体的定轴转动
c
mg
解 : ( 1)棒在任意位置时的重力 矩
l M mg cos 2
M J 1 2 ml 3
3g cos 2l
1 1 2 d (2) mg cos ml 2 3 dt 1 d d 1 2 d ml 2 ml 3 d dt 3 d
分离变量积分
A
O
x
l
A
l
dx
h A
x
l
dx
B
O x l
dx
A l A x
O
x l
dx h A
l
dx
B
O x l
dx
解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如棒的质量线 密度为，这长度元的质量为dm=dx。 （1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有
J 0 r dm l / 2 x dx
合力矩。合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。
在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。
二、定轴转动的转动定律
取刚体内任一质元i，它所受合外力为 F ， 内力为 f 。 i i
只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。 ( , ) z 对mi用牛顿第二定律：
Fi f i mi ai
= 2m。组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边 缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体 A和B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长
度不变。已知r =10cm 。
求：（1）组合轮的角加速度； （2）当物体上升h=0.4m时，组合轮的角速度。
1 2 J 2
线动量
大学物理第四章-刚体的转动-习题及答案
第 4 章 刚体的定轴转动 习题及答案
1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法 向加速度的大小是否随时间变化？
答：当刚体作匀变速转动时,角加速度 不变。刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速
率在均匀变化，v l ，所以一定有切向加速度 at l ，其大小不变。又因该点速度的方向变化，
ω dr
（1）圆盘上半径为r、宽度为dr的同心圆环所受的摩擦力矩
为
dM
m
(
R2
2 rdr)grBiblioteka 2r 2 mgdr/
R2
负号表示摩擦力矩为阻力矩。对上式沿径向积分得圆盘所受
r dF
的总摩擦力矩大小为
M dM R 2r2mgdrdr 2 mgR
0
R2
3
（2）由于摩擦力矩是一恒力矩，圆盘的转动惯量 I 1 mr2 ，由角动量定理可得圆盘停止的 2
度．
解：碰撞过程满足角动量守恒：
2 3
mv0l
1 2
mv0
2 3
l
I
而
I m( 2 l)2 2m(1 l)2 2 ml2
3
33
所以
mv0l
2 3
ml 2
由此得到： 3v0 2l
2m
1 3
l
O⅓l
1 2
v
0
2 3
l
m
⅓l m v0
⅓l
15. 如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 JA＝10 kg·m2 和 JB
2
2
22
2
2
1 16
( Ld14
1 2
ad24
1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法 向加速度的大小是否随时间变化？
答：当刚体作匀变速转动时,角加速度 不变。刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速
率在均匀变化，v l ，所以一定有切向加速度 at l ，其大小不变。又因该点速度的方向变化，
ω dr
（1）圆盘上半径为r、宽度为dr的同心圆环所受的摩擦力矩
为
dM
m
(
R2
2 rdr)grBiblioteka 2r 2 mgdr/
R2
负号表示摩擦力矩为阻力矩。对上式沿径向积分得圆盘所受
r dF
的总摩擦力矩大小为
M dM R 2r2mgdrdr 2 mgR
0
R2
3
（2）由于摩擦力矩是一恒力矩，圆盘的转动惯量 I 1 mr2 ，由角动量定理可得圆盘停止的 2
度．
解：碰撞过程满足角动量守恒：
2 3
mv0l
1 2
mv0
2 3
l
I
而
I m( 2 l)2 2m(1 l)2 2 ml2
3
33
所以
mv0l
2 3
ml 2
由此得到： 3v0 2l
2m
1 3
l
O⅓l
1 2
v
0
2 3
l
m
⅓l m v0
⅓l
15. 如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 JA＝10 kg·m2 和 JB
2
2
22
2
2
1 16
( Ld14
1 2
ad24
第四章 刚体力学的定轴转动
轴转动中它们的方向沿着转轴 , 可以用带正负号 的标量来表示。
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
《刚体的定轴转动》课件
力矩
总结词
描述刚体转动受到外力矩作用的物理量
详细描述
力矩是描述刚体转动受到外力矩作用的物理量，单位为牛顿·米。它表示力对刚体转动效果的影响，由力和力臂的 乘积得到。力矩可以改变刚体的角动量或使其产生加速度。
动能与势能
总结词
描述刚体转动过程中能量状态的物理量
详细描述
动能和势能是描述刚体转动过程中能量状态的物理量。动能与刚体的质量和速度有关，势能则与刚体 的位置和高度有关。在定轴转动中，动能和势能之间可以相互转化，但总能量保持不变。
03
刚体的定轴转动的动力学规律
转动定律
描述刚体转动时力矩与角加速度关系的定律。
转动定律指出，刚体转动时受到的力矩等于刚体质量与角加速度乘积的两倍。即 M=Jα，其中 M 为力矩，J 为转动惯量，α 为角加速度。
动量矩守恒定律
描述刚体在无外力矩作用时动量矩保持不变的定律。
动量矩守恒定律指出，在没有外力矩作用的情况下，刚体的动量矩是守恒的。即 L=Iw，其中 L 为动 量矩，I 为转动惯量，w 为角速度。
详细描述
进动是指刚体自转轴绕其惯性轴的旋转运动，通常是由于外部力矩的作用引起的。章动 则是自转轴在空间中的摆动，可以看作是进动的补充。这两种运动形式在刚体的动力学
分析中具有重要意义。
刚体的振动与波动
要点一
总结词
振动和波动是描述刚体动态行为的另外两种重要方式，涉 及到刚体的位移、速度和加速度等参数的变化。
刚体上各点绕固定轴线的角速度相同 。
刚体上各点的角速度与转动的角位置 无关，即刚体绕固定轴线的转动是匀 角速度运动。
02
刚体的定轴转动的物理量
角速度
总结词
描述刚体旋转快慢的物理量
第四章刚体的定轴转动
L 2
x2dx
1
ML2
L L2
12
z
(2) 由平行轴定理：
zc L/2
C
I
I C M (
L 2
)2
1 12
ML2
1 4
ML2
1 3
ML2
例题4-2： 求密度均匀的圆盘对通过中心并与盘面垂直的转轴 的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为M。
在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环，环的面积为2rdr，
环的质量为：
dm
2rdr
M
R2
2rdr
2M R2
rdr
转动惯量：
M
dr
I
r 2dm
2M R2
R r 3dr 1 MR 2
0
2
r p
§4-4 刚体的转动定理
1、力矩：
外力在平行于转轴方向的分力对刚体定轴转动不起作用，
所以只需考虑外力在垂直于轴的平面内的分力。
M
f
定义：外力相对于某固定轴的力矩为：
开始运动时的角速度；
(1)棒和子弹的转动惯量：
IM
1 3
Ml 2
,
Im
m(
3 4
l
)2
9 16
ml 2
由角动量守恒：
o θ0
3l
4C
mv 3 l ( 1 Ml 2 9 ml 2 )
A
43
16
求得：
36 mv
8.88 ( rad / s )
( 16 M 27 m )l
习题4-23 一匀质木棒l = 0.40m，M=1.00kg，可绕轴o在竖直面内 无摩擦转动，开始棒处于竖直位置，一质量m=8g，
大学物理习题册及解答(第二版)第四章-刚体的定轴转动
上环可以自由在纸面内外摆动。求此时圆环摆的转动惯量。 O
(*)（3）求两种小摆动的周期。哪种摆动的周期较长？
R C
解：（1）圆环放在刀口上O，以环中 心的平衡位置C点的为坐标原点。Z轴
J zc MR2
O
P
ŷ
P΄
x
指向读者。圆环绕Z轴的转动惯量为
Z
R
由平行轴定理，关于刀口的转动惯量为 J zo J zc MR 2 2MR 2
m(l a) J
杆摆动过程机械能守恒
J 1 Ml2 3
1 J 2 Mg l (1 cos )
2
2
解得小球碰前速率为 Ml
2gl sin
m(l a) 3 2
5．一轻绳绕过一半径R，质量为M/4的滑轮。质量为M的人抓住绳 子的一端，而绳子另一端系一质量为M/2的重物，如图。求当人相 对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？
解：选人、滑轮、与重物为系统，系统所受对滑轮轴的
外力矩为
1 MgR
人
物2
设u为人相对绳的匀速度，为重物上升的
速度。则该系统对滑轮轴的角动量为
L M R M (u )R (1 M R2 ) 13 MR MRu
2
24
8
据转动定律
du 0 dt
dL dt
a
即 1 MgR d (13 MR MRu)
6. 一飞轮以角速度0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯 量为J1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转 轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍．啮合后整个系
统的角速度 / 3 0
7．一长为l，质量可以忽略的直杆，可绕通过其一端的 水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固 定着一质量为m的小球，如图所示．现将杆由水平位置 无初转速地释放．则杆刚被释放时的角加速度a0 _ ， 杆与水平方向夹角为60°时的角加速度a_
04刚体定轴转动
I2
IC
m( b ) 2 2
1 12
mb 2
1 4
a
mb2
1 mb2 3
微元的选取（力学/电磁学） 线：线元 面：面元 体：体元
具体情况具体分析！
常见刚体的转动惯量
薄圆盘
I 1 mr 2 r
2
细棒
I 1 ml 2 3
细棒
I 1 ml 2 12
球体
I 2 mr 2 5
[习题4-2]球体的转动惯量
三、定轴转动定律
对 Pi： Fi fi miai
Fi的法向分力作用线通过
z
Fi
转轴，其力矩为零
ri Pi
切向：Fit fit miait miri
两边同乘以ri Fit ri fit ri miri2
对整个刚体求和
Fitri fit ri miri2
i
i
i
f12
f21
2R
在环上取质量元dm，dm
r dm
距转轴r R cos
d
dm dl Rd
R
I
r 2dm
2
2
R2
cos2
Rd
m
2
R3 1 mR2
2
[例]一长为a、宽为b的匀质矩形薄平板，
质量为m，试求:(1)对通过平板中心并与
长边平行的轴的转动惯量; (2)对与平板
一条长边重合的轴的转动惯量
r F
P
大小 M z Fr sin Ftr 方向沿z轴
F 对转轴的力矩/有效力矩
(1)确定P点的转动平面和圆心
z
(2)确定力F在转动平面
内的分量 F
Od
F// r
w力学-第04章刚体定轴转动
三、计算题
5．一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2.00 kg，半径为R＝0.100 m，一根不能伸长 的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m＝5.00 kg的物体，如图所示 1 已知定滑轮的转动惯量为J＝ MR 2 ，其初角速度 0＝10.0 rad/s，方向垂直纸面向 2 0 里．求：(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到w＝0时，物体上升的高度； (3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．
2
5解：(1) ∵
2 10.0 rad/s
方向垂直纸面向外.
刚体定轴转动定律
刚体到转轴的转动惯量 刚体的转动动能
M 轴外 J
J mi ri 2
i
F外 ma
m
1 2 Ek mv 2 B A F dr
A
1 Ek J 2 2
刚体的功 动能定理 刚体的角动量
讨论dl若对于某一参考点质点所受合力矩为零则质点对该参考点的角动量保持不变质点的角动量守恒定律由质点角动量定理由质点角动量定理比较比较动量定理动量定理角动量定理角动量定理常矢量常矢量力矩或角力力矩或角力动量动量角动量角动量或动量矩或动量矩合力的冲量合力的冲量合力矩的冲量合力矩的冲量或冲量矩或冲量矩讨论行星运动讨论行星运动有心力有心力11l方向不变方向不变行星轨道平面方位不变行星轨道平面方位不变sinsinrmrml大小不变大小不变行星行星矢径单位时间行扫过的面积矢径单位时间行扫过的面积掠面速率率是常量是常量行星太阳太阳开普勒第二定律开普勒第二定律太阳行星rr远远vv远远mmrr近近vv近近vv远远vv近近3行星近地点速度大在远地点速度小在近日点与远日点在近日点与远日点常矢量角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变因而产生了季节变化
刚体的定轴转动jhzhou
' rel
ω
人与转台系统的角动量守恒：
1 MR 2 mR 2 ' 0 2
§4.5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
M M M M ' rel ' ' rel 2m 2m 2m M 2m 2m M rel ' M 2m 2m
1 I x MR 2 4
O
p
y
x
§4.4 刚体的转动定理
1. 力矩(Moment of Force)
外力对刚体定轴转动的影响，与力 的大小、方向、作用点的位置都有 关。外力在平行于转轴方向的分力 对刚体定轴转动不起作用，所以只 考虑外力在转动平面内的分力。 定义：外力相对于某固定轴的力矩
M
m2
m1
§4.5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
1. 刚体的角动量定理
由转动定理：Mdt dL
t2 t1
t2
t1
Mdt dL L2 L1 I2 I1
L1
L2
Mdt：合外力矩在Δt=t2-t1内的冲量矩(N· m· s)。
角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等 于刚体在这段时间间隔内角动量的增量。
§4.2 质心 质心运动定理
1. 质心(Center of Mass)
设质点系各质点质量m1、m2、… rn。 mn，它们的位矢为 r 1 , r2 则质心的位矢定义为：
z y
ri
o
mi
C rc
x
rc
mr M
ii
分量式
xc mx my mz ,y ,z
M M V SL
2
4第四章定轴转动
(4) 转动中M = Jα与平动中F = ma
地位相同．
（5） M = Jα = J dω
dt
30
三 转动惯量 ¾ 刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质 点到转轴距离平方的乘积之和。
∑ ∫ J = Δm jrj2 J = r2dm j
¾ 转动惯量的单位：kg·m2 ¾ J 的意义：转动惯性的量度 .
2π 2π
19
（2）t = 6 s时，飞轮的角速度
ω
=
ω0
+
αt
=
(5π
−
π 6
×
6)
=
4π
rad⋅
s−1
（3）t = 6 s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v = rω = 0.2× 4π = 2.5 m ⋅s−2
该点的切向加速度和法向加速度
at
=
rα
=
0.2× (−
π) 6
=
−0.105
m ⋅s−2
轮与轴承间的摩擦力可略去不计．
A
(1)两物体的线加速度为
mA
C
mC
多少？ 水平和竖直两段绳索 的张力各为多少？(2) 物体 B
从静止落下距离 y 时，其速
mB B 率是多少？
40
解 (1) 用隔离法分
别对各物体作受力分析，
取如图所示坐标系．
A
mA v FN v
mA FT1
vO x
PA
C
mC
mB B
18
解（1）ω0 = 5π rad ⋅ s−1, t = 30 s 时，ω = 0
设 t = 0 s 时，θ0 = 0 ，飞轮作匀减速运动
α = ω − ω0 = − π rad ⋅s−2
地位相同．
（5） M = Jα = J dω
dt
30
三 转动惯量 ¾ 刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质 点到转轴距离平方的乘积之和。
∑ ∫ J = Δm jrj2 J = r2dm j
¾ 转动惯量的单位：kg·m2 ¾ J 的意义：转动惯性的量度 .
2π 2π
19
（2）t = 6 s时，飞轮的角速度
ω
=
ω0
+
αt
=
(5π
−
π 6
×
6)
=
4π
rad⋅
s−1
（3）t = 6 s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v = rω = 0.2× 4π = 2.5 m ⋅s−2
该点的切向加速度和法向加速度
at
=
rα
=
0.2× (−
π) 6
=
−0.105
m ⋅s−2
轮与轴承间的摩擦力可略去不计．
A
(1)两物体的线加速度为
mA
C
mC
多少？ 水平和竖直两段绳索 的张力各为多少？(2) 物体 B
从静止落下距离 y 时，其速
mB B 率是多少？
40
解 (1) 用隔离法分
别对各物体作受力分析，
取如图所示坐标系．
A
mA v FN v
mA FT1
vO x
PA
C
mC
mB B
18
解（1）ω0 = 5π rad ⋅ s−1, t = 30 s 时，ω = 0
设 t = 0 s 时，θ0 = 0 ，飞轮作匀减速运动
α = ω − ω0 = − π rad ⋅s−2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m
则根据牛顿运动定律和转动定律得：
mg T ma① 2分
Tr J ② 2分
由运动学关系有： a r ③
2分
由①、②、③式解得：
J
m(g
a)r2
a
④
又根据已知条件
S
1 2
at 2
a
v0＝0
2S t2
⑤
将⑤式代入④式得： J mr2 ( gt 2 1)
2S
T
r
a
T mg
2分 2分
5.5 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 M 的定滑轮，绳的
I合外力 t0 F合外 dt
'
t1
L2
0
4.4刚体定轴转动中的功和能
一 、绕定轴转动刚体的动能
Δm1,Δm2,,Δmi ,,ΔmN
r1, r2 , , ri, ,rN v1,v2 ,,vi ,,v N
Δmi 的动能为
Eki
1 2
Δmiv i 2
1 2
Δmiri2 2
z
O ri
vi
•P Δmi
求 解
它由此下摆
M rc mg
刚体获 得角加速度 M
r
O r
A
F
M r
F
2. 力 F 对z 轴的力矩
(力F 在垂直于轴的平面内)
M z (F) Fr sin
Fh
Fτr
(力不在垂直于轴的平面内)
z F//
F
h r
A
F
F Fn
M z (F) Fr sin Fh Fτr
力对定轴 力矩的 矢量形式 M Z r F M Z rF
在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
一、刚体运动的基本形式
➢平动
（ translational motion）
A
A
B
A
B
B
在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行
特点：在任意时刻，刚体中所有点的位移、速度、加速度都相同
刚体平动
质点运动 用质心代表刚体的平动
F外 mac （质心运动定理）
三.转动惯量（moment of inertia ）
定义 J mkrk2 质量不连续分布 k
r
J r 2dm 质量连续分布
V
❖转动惯量的物理意义: 刚体转动惯性大小的量度
❖确定转动惯量的三个要素:
(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
J 与刚体的总质量有关
例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
h Cz
式中: J c 关于通过质心轴的转动惯量
m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离
J z 是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量
3） 垂直轴定理
z
对于薄板刚体, J z J x J y
薄板刚体对 z 轴的转动惯量 J z
x
xi
0 yi
mi
y
等于对 x 轴的转动惯量 J x与对 y 轴的转动惯量 J y 之和
m1g T1 m1a
m1 a
T2 m2 g m2a
转动定律 T1R T2R J
线量与角量关系 a R
J 1 MR2 2
m1g
a m1 m2 g
m1
m2
1 2
M
10/83已知：
J
1 2
mR2, F
10N, m
8.0kg, R
0.050m
求： ?
T1 ? T2 ?
T2
R T1
➢转动（定轴、非定轴）
所有点都绕同一直线作圆周运动，该直线称转轴。
转轴
瞬时转轴 固定转轴
非定轴转动 定轴转动
转轴
定轴转动的特点：任意时刻，所有点都具有相同的角位移、 角速度、角加速度.这些角量也称刚体的角量。
+ ➢刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
刚体的平面运动
A• •
•A •
二.用角量描述刚体的定轴转动
已知定滑轮的转动惯量为J＝ 1 MR2
2
，其初角速度 0＝10.0 rad/s，方向垂直纸面向
里．求：(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向；
0
(2) 定滑轮的角速度变化到w＝0时，物体上升的高度；
R
(3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．
M
5解：(1) ∵ mg－T＝ma
TR＝J
m
通常规定：当刚体绕轴作逆时针转动时，这些角量皆取正值； 反之，作顺时针转动时，这些角量皆取负值。
匀变速定轴转动 0 t
当 c
0
0
t
1
2
t2
与质点的匀加速直 线运动公式相似
2 02 2 ( 0 )
4.绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度
dS r d
v r
切向分量
at
dv dt
r
d
dt
刚体的总动能
Ek
Eki
1 2
Δmi
ri
2
2
1 2
Δmiri2
2
1 J 2
2
结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其
角速度平方乘积的一半
二、力矩的功
力的累积过程——力矩的空间累积效应
•
根据功的定义
dA F dr Fcosds
F rd
Md
（力矩做功的微分形式）
d
B F
A
解：F T1 ma 解得： 2F 10rad / s
T2 ma
5mR 3
T1R T2R J T1 5 F 6N
a R
T1
2 5
F
4N
三、计算题
5．一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2.00 kg，半径为R＝0.100 m，一根不能伸长
的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m＝5.00 kg的物体，如图所示
角坐标和角位移
角位置： (t)
角位移： (t) (t0 )
d 是矢量，
参考方向
x
方向用右手螺旋法则确定。
角速度
d
d
d
dt
方向：右手螺旋法则确定。
O
r
P
转动平面
v
定轴转动----角速度仅有沿转轴的两个方向。
用正负号表示方向
z
z
0 0
角加速度
d
dt
角加速度方向与 d 相同。
加速转动 ,方向一致; 减速转动 , 方向相反
O
X
六、机械能与机械能守恒
刚体与质点组成的系统，机械能包括：
机械能 = 势能 + 平动动能 + 转动动能
机械能守恒条件：W外 W非保内 0 时
机械能 = 势能+平动动能+转动动能 = 恒量
E
(mghc
1 2
mv2Байду номын сангаас
1 2
J
2
)
恒量
刚体与质点组 成系统的机械 能守恒定律
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置
Md
(J
d )d
dt
Jd
d(1 2
J2 )
dEk
对于一有限过程
A
2 dA
1
2 d(1 J 2 )
2 1
1 2
J22
1 2
J12
Ek
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体 上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理
外力矩功是刚体转动动能改变的原因
比较:
T2r T1r J
，
T2 T1
1. 已知： 滑轮M（看成匀质圆盘）半径R
物体 m1 m2 求： a =?
解： m1g T m1a T m2 g m2a
a m1 m2 g m1 m2
M T2 T2
R T1
m1g m2 g (m1 m2 )a 对否？
m2
T1
T1 T2 否则滑轮匀速转动，而物体加速运动 m2g
f
ji
ri fij rj f ji
(ri rj ) fij rij fij 0
M ij
O
M ji
Mij M ji
rj
j
i f ji
dri
fij
二. 刚体定轴转动定律 转动惯量
rk
Fk
第 k个质元
Fk fk mk ak
fk
切线方向
Fk fk mk ak
在上式两边同乘以 rk Fk rk fk rk mkak rk mk rk rk
➢ 常用的几个转动惯量
5.19一质量为 m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴
的轴上，如图所，轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，
整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放
r
s s 后，在时间 t 内下降了一段距离 。试求整个轮轴的
转动惯量(用m 、r 、t 和 表示) 。
O
解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，
O
r'
dr
F
r .
P
对一有限过程
A 2 Md 1
若M=C
A M (2 1)
讨论 (1) 力矩的功就是力的功。
(2) 合力矩的功
A 2 Md (2
1
1 i
Mi )d
i
M d 2
1
i
i
Ai
(3) 内力矩作功之和为零。
三、刚体定轴转动的动能定理 —— 合力矩功的效果