一道课本习题激发的思维碰撞

A(t ， 0) ，当 t 2 时， A 2 ， 0 ， B (0 ， 2) ， M (1 ， 1) ；
种方法有什么本质区别吗？”学生讨论了一会，有同 学站起来说多引进了一个参数 t ，笔者当场表扬了该 同学的洞察力．并解释了对这个题来说，教参的方 法的确不是最简便的方法，学生提供的三种方法是 求曲线轨迹方程中最重要的一种方法----直接法，而 教参提供的解法中包含着求曲线轨迹方程中另两种 重要的方法——相关点法和消参法，这也是教参提 供此种解法的本意所在，学生恍然大悟． 3 方法提炼 整个课堂下来学生情绪高涨，意犹未尽．一切 都水到渠成，尽管学生的有些解法有缺陷，但每一 种解法都是他们智慧的结晶，是思维碰撞擦出的火 花．笔者最后通过学生的三种不同方法以及教参提 供的方法引导学生自然而然的归纳出了本课的知识 要点（求曲线轨迹方程的基本方法）如下： （1）定义法：注意观察某些点的几何关系，根 据圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，可以判定某 些点的轨迹方程的类型，达到迅速求解的目的． （2）直接法：求轨迹（方程）的一般步骤：① 建系设点；②寻找几何条件；③将几何条件翻译成 代数方程；④整理化简；⑤检验．简称为“建设现代 化”． （3）相关点法：已知一点在已知曲线上移动， 求与其有关的另一点的轨迹时，可用相关点法，也 叫代入法．即设已知曲线上的点为 ( x0 ， y0 ) ，需求轨
（本文系广东省教育科学规划课题 《高中数学探究式学习模式的实 验研究》 （课题批准号：2013YQJK093）的阶段性成果）
当 t 2 时， k AC (2 0) / (2 t ) 2 / (2 t ) ． BC CA ，
k BC 1/ kCA (t 2) / 2 ，直线 CB 的方程为 y 2
y ) ，由条件用 x ， y 表示 x0 ， y0 代入 迹的动点为 ( x ，
已知曲线方程便得所求． （4）参数法：设所求的点为 ( x ， y ) ，根据题目 已知条件，分别找出 x ， y 与参数（第三变量）的关 系，然后通过消去参数，得到普通方程． 总之，这是一次不曾预约的精彩课堂，让笔者 意识到一线教师应该改变以往一味的知识讲授式型 的课堂教学模式，而是要善于在课堂调动学生的积 极情感，重视学生的智力开发，重视学生思维的发 展、 生成过程， 相信学生， 大胆的放手； 教师应以“问 题”为契机，让学生学会学习，在课堂生成有价值的 问题并解决问题；教师要运用建构主义理论，要善 于设计问题，引导讨论，从旁激发，支持并适时介 入学生的学习，成为学生自主学习的阶梯．
M 的轨迹方程为 x y 2 0 ．
在笔者呈现了教材提供的标准答案后，学生一 片哗然，有学生站起来说“老师这方法不是把一个简 单问题复杂化了吗？”笔者只是笑了笑，没有作出评 价，只是反问了一句：“同学们，我们先不去评价这 种方法的好坏，你能发现这种方法与你们想到的三
所以 cos( ) cos(2k1 π ) 2k1 π , k1 Z ， 图 2 中角 ， cos ； 的关系可设为 2k2 π ， 所以 cos( ) cos(2k2 π ) cos( ) cos ． k2 Z ， 基于皮亚杰的认知发展阶段理论，学习者认知 功能即便是在具体的、直觉水平占优势过渡到抽象 水平占优势之后，也并不是说具体的实际经验在其 今后的学习中就不必要了；相反地，当他们遇到新 问题，尤其是比较困难的问题时，教学中对知识最 初的引入愈是亲切自然，平易直观，才愈符合学生 的认知规律． 教材处理方法的核心是运用了向量工具．向量
图1
4 x 2 4 y 2 ，化简可得 x y 2 0 ．经检验点 M 的
轨迹方程为 x y 2 0 ． 马上第二小组有人站起来说他们的方法更简 单，计算量更小． 方法 2 设 M ( x ， y ) ， 点 M 是线段 AB 的中点，
0) ， B (0 ， 2 y ) ． BC CA ， M 为 AB 中点， 则 A(2 x ，
令 x 0 得 y 4t ， 即点 B 的坐标为 [(t 2) / 2]( x 2) ．
(0 ， 4 t) ． 点 M 是线段 AB 的中点，
x t / 2 ， y (4 t ) / 2 ，
消 t 可得 x y 2 0( x 1) ． M (1 ， 1) 适合上式， 点
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福建中学数学 方法 3 设 M ( x ， y ) ， 点 M 是线段 AB 的中点，
2015 年第 7 期
则 A(2 x ， 0) ，B (0 ， 2 y ) ． BC CA ， k BC k AC 1 ． 即 (2 2 y ) / 2 2 / (2 2 x) ， 化简可得点 M 的轨迹方程 为 x y2 0． 显然方法 3 比第方法 2 更简单，学生用佩服的 眼光看着第一小组的同学，教室里再一次响起了掌 声．笔者对以上三种方法都给予了相当的肯定，尤 其是第三种解法．但同时笔者在学生安静后又追问 了一句，第三种解法真的是又完美又简单吗？学生 一片茫然的看着教师，嘀嘀咕咕说： “有问题吗？ ” 笔者笑着没有做任何回答！ 突然有同学惊叫起来： “斜 率没有考虑存不存在的问题”！同学们恍然大悟，雷 鸣般的掌声再一次响起！教师马上请那位同学上去 补充了第三种解法的缺陷： 方法 3 完善版 设 M ( x ， y) ， 点 M 是线段 AB 的 中点，则 A(2 x ， 0) ， B (0 ， 2 y ) ．当 2 x 2 即 x 1 时，
一道课本习题激发的思维碰撞
肖海英 广州增城区增城中学（511300） 要的一个内容——求曲线的轨迹方程．首先教室很 安静，大家都在自己思考，但 10 分钟过后，教室里 突然热闹起来，每个小组都在争论谁的方法更好， 更简洁．每个小组都抢着举手，首先第四小组提出 了以下方法： 方法 1 设 M ( x ， y ) ， 点 M 是线段 AB 的中点， 则 A(2 x ， 0) ， B (0 ， 2 y ) ． BC CA ， BC 2 AC 2 201来自 年第 7 期福建中学数学
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把图 2 中角 ， k Z ， 的关系表示为 2kπ ，
k Z ．从正误的角度看，这当然是正确的，但对于 学习者（学生）不一定能看出两个式子中的 k 不一定 相同，如果教师没有特别强调的话，容易给学生产 生误导．合理的表述为图 1 中角 ， 的关系可设为
即 ( x 2) 2 ( y 2) 2 4 x 2 4 y 2 / 2 ， CM AB / 2 ， 化简可得 x y 2 0 ． 经检验点 M 的轨迹方程为 x
y2 0 ．
第二小组讲解完后教室里马上响起了掌声，但 很快第一小组举手说他们还有不同的方法．
AB 2 ，即 (0 2) 2 (2 y 2) 2 (2 x 2) 2 (0 2) 2
课程标准倡导教师应多采用让学生主动参与、 合作学习、对话学习、主动建构的学习方法，形成 新的教学思维．笔者在讲授求曲线的轨迹方程这一 内容时，在课堂教学实施过程中打破了传统方式中 “学生预习，教师讲解，学生再练”的模式．笔者没有 事先让学生预习课本，也没有事先告诉学生如何去 求曲线的轨迹方程，而是直接以解决一道课本习题 作为引入，把问题直接的抛给了学生．笔者让学生 在课堂上当堂完成（限时 20 分钟） ，可以独立思考， 也可以小组讨论与合作，最后各小组呈现出自己小 组有代表性的解法，每一组可以展示多种解题方法， 但小组间重复的方法数不算，可以抢答！ 1 问题呈现 高中数学人教 A 版选修 2-1 第 37 页 y C 第 3 题： 如图 1， 已知点 C 的坐标是 (2 ， 2) ， B A x 过点 C 的直线 CA 与 x 轴交于点 A ，过点 设 C 且与直线． CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B ． 点 M 是线段的中点，求点 M 的轨迹方程． 2 课堂探究 这个习题涉及到的知识点是解析几何中非常重
A2 ， 0 ， B (0 ， 2) ， M (1 ， 1) ；当 2 x 2 即 x 1 时， BC CA ， k BC k AC 1 ． 即 (2 2 y) / 2 2 / (2 2x) ，
化简可得方程为 x y 2 0 （ x 1 ） ． M (1 ， 1) 适合 上式， 点 M 的轨迹方程为 x y 2 0 ． 整节课下来， 结果真的大大出乎笔者的预料． 笔 者本来担心学生无从下手会冷场，却没有想到整节 课学生思维非常活跃，擦出了精彩的火花，参与的 积极性很高，最后的学习效率自然也非常高．更让 笔者吃惊的是，学生提出的以上三种方法居然与教 参提供的标准答案完全不同，每种方法都比教材提 供的方法更简单，完全是一次不曾预约的精彩． 方法 4 （教学参考提供的方法）设 M ( x ， y) ，
参考文献 [1]朱胜强．两角和差余弦公式的探究性教学[J]．数学通报，2013（9）： 51-52，57 [2]漆林伟． “两角差的余弦公式 ”教学中几个问题的再思考[J]．中学数学 教学参考，2013（9）：7-8 [3]洪昌强，陈淑丽．让学生的思维在教学中自然流淌—以“两角和与差的 余弦公式”教学为例[J]．中学数学教学参考，2013（1-2）：25-27 [4]马小为．我最满意的一节课课例集锦[M]．陕西师范大学出版社，2010
数量积的定义及相应的坐标运算对学生来讲是比较 抽象的．面对教材提供的引入，学生在尝试推导和 角公式时，很难回到具体、直觉水平上去，故而要 想主动发现它就不那么容易了．因此“要引导学生通 过主动参与，独立探索，自己得出结果更是难点”． 综上所述， 教材在“两角差的余弦公式”的推导和 证明上采用的策略是有待商榷的，我们在此也希望， 教材的编写者能充分考虑到高一学生的认知能力， 在学生的最近发展区编写教材，毕竟“数学本质上终 究是简单”．