第6讲 多元线性回归(2)
多元线性回归的原理和应用
多元线性回归的原理和应用1. 原理介绍多元线性回归是一种统计分析方法，用于研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
它是线性回归分析的一种拓展，可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
多元线性回归的基本原理可以通过以下公式表示：**Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βn*Xn + ε**其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示自变量的系数，ε表示误差项。
多元线性回归通过最小二乘法来估计自变量的系数，使得预测值与实际观测值之间的平方误差最小化。
通过最小二乘法的计算，可以得到自变量的系数估计值，进而可以进行预测和解释因变量的变化。
2. 应用领域多元线性回归在各个领域都有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用领域：2.1 经济学多元线性回归在经济学中是一个重要的工具，可以用于研究不同变量对经济发展的影响。
例如，可以通过多元线性回归来分析GDP增长率与投资、消费、出口等变量之间的关系，并进一步预测未来的经济发展趋势。
2.2 市场营销在市场营销领域，多元线性回归可以用于研究市场需求的影响因素。
通过分析不同的市场变量（如产品价格、广告投入、竞争对手的行为等），可以预测市场需求的变化，并制定相应的营销策略。
2.3 医学研究多元线性回归在医学研究中也有广泛的应用。
例如，可以使用多元线性回归来研究不同的遗传、环境和生活方式因素对人体健康的影响。
通过分析这些因素，可以预测患病风险并制定相应的预防措施。
2.4 社会科学多元线性回归在社会科学领域中被广泛应用，用于研究各种社会现象。
例如，可以使用多元线性回归来研究教育、收入、职业等因素对犯罪率的影响，并进一步分析这些因素的相互关系。
2.5 工程与科学研究多元线性回归在工程和科学研究中也有一定的应用。
例如，在工程领域中可以使用多元线性回归来研究不同因素对产品质量的影响，并优化生产过程。
在科学研究中，多元线性回归可以用于分析实验数据，探索不同变量之间的关系。
多元线性回归
多元线性回归简介多元线性回归是一种统计分析方法，用于预测一个因变量与多个自变量之间的关系。
该方法适用于具有多个自变量和一个因变量之间的线性关系的数据集。
多元线性回归建立了一个多元线性模型，通过对多个自变量进行加权求和来预测因变量的值。
它基于最小二乘法，通过最小化预测值与实际观测值之间的差异来找到最佳拟合线。
在多元线性回归中，自变量可以是连续变量、二进制变量或分类变量。
因变量通常是连续的，可以预测数值型变量的值，也可以用于分类问题中。
数学原理多元线性回归的数学原理基于线性代数和统计学。
假设有n个自变量和一个因变量，可以将多元线性回归模型表示为：多元线性回归公式其中，y表示因变量的值，β0表示截距，β1, β2, …, βn表示自变量的系数，x1, x2, …, xn表示自变量的取值。
通过使用最小二乘法，可以最小化残差的平方和来计算最佳拟合线的系数。
残差是预测值与实际观测值之间的差异。
模型评估在构建多元线性回归模型后，需要对模型进行评估，以确定模型的效果和拟合优度。
常用的模型评估指标包括均方误差（Mean Squared Error, MSE）、决定系数（Coefficient of Determination, R2）和F统计量等。
•均方误差（MSE）是指预测值与实际观测值之间差异的平方和的均值。
MSE越接近于0，说明模型的预测效果越好。
•决定系数（R2）是指模型解释因变量变异性的比例。
R2的取值范围是0到1，越接近1表示模型对数据的解释能力越好。
•F统计量是用于比较两个模型之间的差异是否显著。
F统计量越大，说明模型的解释能力越好。
实例应用下面通过一个实例来说明多元线性回归的应用。
假设我们想要预测一个学生的学术成绩（因变量）与以下自变量之间的关系：学习时间、睡眠时间和饮食状况。
我们收集了100个学生的数据。
首先，我们需要对数据进行预处理，包括处理缺失值、异常值和标准化数据等。
然后，我们使用多元线性回归模型进行建模。
多元线性回归分析课件优秀课件
根据sy.x1x2…xp大小判断方程优劣时的优点： 一般随着自变量的增加而减少，但当增加 一些无统计学意义的自变量后，剩余标准 差反而增大。
(normality) 4.方差齐性(homogeneity or equal variance)
简称为LINE
PAN.sav数据库是某地29名13岁男童的体重x (kg) 和肺 活量y(L)资料，试建立体重与肺活量的直线回归方程。
SPSS程序：Analyze Regression Linear，打开对 话框，把肺活量y放入应变量栏中，体重x放入自变 量栏中。
2
1.538 15.642
Res idual 2.557
26
.098
T otal 5.634
28
a.Predictors: (Constant), 身 高 , 体 重
b.Dependent Variable: 肺 活 量
Sig. .000a
衡量回归方程的标准
建立回归方程时要求：既要尽可能提高拟合 的精度，又要尽可能使模型简单。 常用的衡量方程“优劣”的标准有：
1、决定系数（R2）； 2、复相关系数R 3、调整决定系数（R2adj）； 4、剩余标准差（sy.x1x2…xp）。 5、赤池信息准则（AIC） 6、Cp统计量
根据R2大小判断方程优劣时的缺点是：变量最多 的方程最好，即使所增加的变量无统计学意义。
根学意据意义R义的2a的 变dj 变 量大量 进小进 入判入方断方程方程，程，优R2劣aRd2j时反adj的而增优减加点少；：。当当无有统统计计学
多元线性回归课件
在这个多元线性回归课件中，我们将详细介绍多元线性回归的概念、应用场 景以及模型训练和评估方法。一起来探索多元线性回归的奥秘吧！
什么是多元线性回归
多元线性回归是一种统计模型，用于分析多个自变量与因变量之间的关系。它可以帮助我们理解多个因素对目 标变量的影响，并进行预测和解释。
为什么要使用多元线性回归
2
特征选择
选择对目标变量有显著影响的特征，减少冗余信息，提高模型的解释能力。
3
数据分割
将数据集划分为训练集和测试集，用于模型的训练和评估。
模型训练
模型建立
选择适当的多元线性 回归模型，确定自变 量的权重系数。
损失函数
选择合适的损失函数， 衡量模型的预测误差。
梯度下降算法
使用梯度下降算法优 化模型参数，逐步减 小损失函数。
医学研究
多元线性回归可以帮助分析疾病风险因素，进行 疾病预防和治疗方案的制定。
市场营销
多元线性回归可以预测产品销量，帮助制定营销 策略和定价策略。
社会科学
多元线性回归可以帮助研究社会行为、心理因素 等对人群群体影响的相关规律。
数据预处理
1
数据清洗
通过处理缺失值、异常值和重复值等，确保数据的准确性和完整性。
正规方程法
使用正规方程法求解 模型参数，避免迭代 优化算法。
模型评估
1
均方误差
2
衡量模型对目标变量的预测精度，越小
越好。
3
R2 分数
4
衡量模型对目标变量变异性的解释能力， 越接近1越好。
平均绝对误差
衡量模型对目标变量的预测误差，越小 越好。
均方根误差
衡量模型对目标变量的预测准确度，越 小越好。
多元线性回归模型原理
多元线性回归模型原理Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，β0、β1、β2、..、βn表示模型的参数，ε表示误差项。
通过对数据进行拟合，即最小化误差平方和，可以估计出模型的参数。
多元线性回归模型的原理是基于最小二乘法，即通过最小化残差平方和来估计参数的值。
残差是指模型预测值与真实值之间的差异，最小二乘法的目标是找到一组参数，使得所有数据点的残差平方和最小。
通过求解最小二乘估计，可以得到模型的参数估计值。
为了评估模型的拟合程度，可以使用各种统计指标，例如R方值、调整R方值、标准误差等。
R方值表示模型解释因变量方差的比例，取值范围在0到1之间，值越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。
调整R方值考虑了模型中自变量的个数和样本量之间的关系，可以更准确地评估模型的拟合程度。
标准误差表示模型预测值与真实值之间的标准差，可以用于评估模型的预测精度。
在建立多元线性回归模型之前，需要进行一些前提条件的检查，例如线性关系、多重共线性、异方差性和自变量的独立性。
线性关系假设要求自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过散点图、相关系数等方法来检验。
多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，会导致参数估计的不稳定性，可以使用方差膨胀因子等指标来检测。
异方差性指的是残差的方差不恒定，可以通过残差图、方差齐性检验等方法来检验。
自变量的独立性要求自变量之间不存在严重的相关性，可以使用相关系数矩阵等方法来检验。
当满足前提条件之后，可以使用最小二乘法来估计模型的参数。
最小二乘法可以通过不同的方法来求解，例如解析解和数值优化方法。
解析解通过最小化误差平方和的一阶导数为零来求解参数的闭式解。
数值优化方法通过迭代来求解参数的数值估计。
除了最小二乘法，还有其他方法可以用于估计多元线性回归模型的参数，例如岭回归和lasso回归等。
岭回归和lasso回归是一种正则化方法，可以对模型进行约束，可以有效地避免过拟合问题。
多元线性回归模型的参数估计 (2)
Yˆi ˆ 0 ˆ1 X1i ˆ 2 X 2i ˆ k X ki
或回归剩余（残差）： ei Yi Yˆ i
Yi ˆ 0 ˆ1 X1i ˆ 2 X 2i
其中 i 1, 2, n
ˆ k X ki ei
10
二、多元线性回归模型的矩阵表示
多个解释变量的多元线性回归模型的n组样本观测值，可
P[t
2(n k) t*
ˆj j
^
t
2 (n k)] 1
S ˆj
( j 1k)
P[ˆj t
^ห้องสมุดไป่ตู้
S ˆj
j
ˆj
t
^
S ˆj ] 1
2
2
或
P[ˆ j t ˆ c jj j ˆ j t ˆ c jj ] 1
2
2
或表示为
j (ˆ j t ˆ 2(nk) cjj , ˆ j t ˆ 2(nk) cjj ) 26
●当为小样本时，用估计的参数标准误差对 作标
准化变换，所得的 t 统计量服从 t 分布： βˆ
t*
ˆ j j S^E(ˆ j )
ˆ j ˆ
j
c jj
~ t(n k)
25 25
八、 回归系数的区间估计
由于
t*
ˆ j j
^
S ˆj
《多元线性回归》课件
案例三：销售预测
总结词
利用多元线性回归模型预测未来销售情况，为企业制定 生产和销售计划提供依据。
详细描述
选取影响销售业绩的因素，如市场需求、竞争状况、产 品定价等，建立多元线性回归模型。通过分析历史销售 数据，预测未来销售趋势。在实际应用中，需要考虑市 场变化和不确定性因素，对模型进行动态调整和优化。
市场分析
在市场营销领域，多元线性回归可用于分析消费 者行为、市场趋势等，为企业制定营销策略提供 支持。
多元线性回归的基本假设
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系，即随着自变量的增加或 减少，因变量也按一定比例变
化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性 ，即自变量之间没有高度的相 多元线性回归的 案例分析
案例一：股票价格预测
总结词
通过分析历史股票数据，利用多元线性回归 模型预测未来股票价格走势。
详细描述
选取多个影响股票价格的因素，如公司财务 指标、宏观经济指标、市场情绪等，建立多 元线性回归模型。通过训练数据拟合模型， 并使用测试数据评估模型的预测精度。在实 际应用中，需要考虑市场变化、政策影响等
特点
多元线性回归具有简单易用、可解释性强等优点，适用于探 索多个变量之间的相互关系，并能够提供可靠的预测结果。
多元线性回归的应用场景
1 2 3
经济预测
通过对多个经济指标进行多元线性回归分析，可 以预测未来的经济走势，为政策制定提供依据。
医学研究
在医学领域，多元线性回归常用于研究疾病发生 与多个风险因素之间的关系，为疾病预防和治疗 提供参考。
用于检验自变量与因变量之间是否存在线性关系。常用的方法包括散点图、趋 势线等。如果数据点在散点图上呈现一条直线，或者趋势线与水平线接近平行 ，则可以认为自变量与因变量之间存在线性关系。
多元线性回归的名词解释
多元线性回归的名词解释多元线性回归是一种经济学和统计学中常用的方法，用于分析多个自变量与一个连续因变量之间的关系。
在这种回归分析中，解释变量（自变量）可以是连续或分类变量，而被解释变量（因变量）通常是连续变量。
本文将对多元线性回归的关键名词进行解释，以帮助读者更好地理解和应用该方法。
一、回归分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
在多元线性回归中，我们可以使用多个自变量来预测一个连续的因变量。
回归分析可以帮助我们了解各个自变量对因变量的贡献程度，以及它们之间的相互作用。
二、线性回归线性回归是一种回归分析的方法，假设自变量和因变量之间存在线性关系。
这意味着在多元线性回归中，我们假设因变量是自变量的线性组合，具体表现为一个多元线性方程。
通过最小化预测值和实际观测值之间的误差平方和，我们可以估计出各个自变量的系数，并对因变量进行预测。
三、自变量和因变量在多元线性回归中，自变量是我们用来解释或预测因变量的变量。
自变量可以是连续变量，如年龄、收入等，也可以是分类变量，如性别、教育程度等。
因变量是我们希望预测或解释的变量，通常是一个连续变量，如房屋价格、销售额等。
四、最小二乘法最小二乘法是多元线性回归中参数估计的常用方法。
该方法通过最小化预测值与实际观测值之间的误差平方和来确定各个自变量的系数。
通过求解估计方程，我们可以得到最佳的系数估计，从而建立起自变量与因变量之间的线性关系。
五、多重共线性多重共线性是多元线性回归中一个重要的问题。
当自变量之间存在高度相关性时，可能会导致估计的系数不稳定或不精确。
为了检测和解决多重共线性问题，我们可以计算自变量之间的相关系数矩阵，并使用方差膨胀因子（VIF）来评估自变量之间的共线性程度。
六、拟合优度拟合优度是衡量多元线性回归模型拟合优良程度的指标。
拟合优度可以用于评估模型对观测值的解释能力。
常见的拟合优度指标包括决定系数（R²），它可以解释因变量的变异程度中可归因于自变量的比例。
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种使用多个自变量来预测因变量的统计方法。
它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。
在这篇文章中，我们将讨论多元线性回归的基本概念、假设和模型，以及如何进行参数估计、模型拟合和预测。
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε在这个方程中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是回归系数，ε是误差项。
假设1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
2.独立性：样本数据是独立采样的。
3.多重共线性：自变量之间不存在高度相关性。
4.正态分布：误差项服从正态分布。
5.同方差性：误差项的方差是常数。
参数估计为了估计回归系数，我们使用最小二乘法来最小化残差平方和。
残差是观测值与模型估计值之间的差异。
最小二乘法的目标是找到最佳的回归系数，使得观测值的残差平方和最小化。
模型拟合一旦估计出回归系数，我们可以使用它们来拟合多元线性回归模型。
拟合模型的目标是找到自变量的最佳线性组合，以预测因变量的值。
我们可以使用拟合后的模型来预测新的观测值，并评估模型的拟合程度。
预测在实际应用中，多元线性回归模型可以用于预测因变量的值。
通过给定自变量的值，我们可以使用估计的回归系数来计算因变量的预测值。
预测值可以帮助我们了解自变量对因变量的影响，并作出决策。
总结多元线性回归分析是一种重要的统计方法，它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。
在进行多元线性回归分析时，我们需要考虑模型的假设，进行参数估计和模型拟合，并使用拟合后的模型进行预测。
通过多元线性回归分析，我们可以获得有关变量之间关系的重要见解，并为决策提供支持。
多元线性回归课件
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中 保持恒定。
无异常值
数据集中没有异常值。
02
多元线性回归的参 数估计
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，其 基本思想是寻找一个函数，使得该函 数与已知数据点的总误差（或总偏差 ）的平方和最小。
最小二乘法通过构建残差平方和பைடு நூலகம்数 学模型，并对其求最小值来估计参数 ，这种方法具有简单、直观和易于计 算的特点。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是找到最佳参数值，使得实际观测 值与通过模型预测的值之间的残差平 方和最小。
参数的估计值与估计量的性质
参数的估计值是通过最小二乘法 或其他优化算法从样本数据中得
多元线性回归课件
目录
CONTENTS
• 多元线性回归概述 • 多元线性回归的参数估计 • 多元线性回归的评估与诊断 • 多元线性回归的进阶应用 • 多元线性回归的软件实现 • 多元线性回归的案例分析
01
多元线性回归概述
定义与模型
定义
多元线性回归是一种统计学方法，用于 研究多个自变量与因变量之间的线性关 系。
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接近1表示模型拟合度越好。
调整决定系数（Adjusted R^2）
考虑了模型中自变量的增加，对R^2进行调整后的拟合度指标。
均方误差（MSE）
衡量模型预测误差大小的指标，值越小表示模型预测精度越高。
变量的显著性检验
t检验
通过t统计量检验自变量对因变量 的影响是否显著，值越大表明该 变量越重要。
用于判断自变量之间是否存在多重共线性的指标，值小于阈值时可能存在多重共线性问 题。
多元线性回归模型
多元线性回归模型（1）模型准备多元线性回归模型是指含有多个解释变量的线性回归模型，用于解释被解释的变量与其他多个变量解释变量之间的线性关系。
其数学模型为：上式表示一种 p 元线性回归模型，可以看出里面共有 p 个解释变量。
表示被解释变量y 的变化可以由两部分组成：第一部分，是由 p 个解释变量 x 的变化引起的 y 的线性变化部分。
第二部分，是要解释由随机变量引起 y 变化的部分，可以用 \varepsilon 部分代替，可以叫随机误差，公式中的参数都是方程的未知量，可以表示为偏回归常数和回归常数，则多元线性回归模型的回归方程为：（2）模型建立首先在中国A股票市场中，根据各指标与估值标准 y 的关联度来选取变量，选取指标为：年度归母净利润 x_{1} 、年度营业收入 x_{2} 、年度单只股票交易量 x_{4} 、年度单只股票交易量金额 x_{6} 。
有如下表达式为：其中 y 是因变量， x_{1}，x_{2}，x_{4}，x_{6} 是自变量，α为误差项，b_{1},b_{2},b_{4},b_{6} 为各项系数。
（3）中国A股票市场模型求解运用SPSS软件，运用多元线性回归方程可以得出如下：下表模型有4个自变量，模型调整后的拟合度为0.976，说明模型的拟合度非常好。
下表为方差分析表，告诉我们F 的值值为1.794，显著性概率p 为0.004小于0.005，因此自变量系数统计较为显著。
下表给出模型常数项和自变量系数，并对系数统计显著性进行检验，常数项的值为2.618，显著性为0.002，统计比较显著，其它指标的显著性都小于0.005，故该模型比较准确。
故得出中国A股市场中的估值水平与这四个指标的线性关系为：（4）美国NASDAQ市场模型求解下表模型有4个自变量，模型调整后的拟合度为0.862，说明模型的拟合度非常好。
下表为方差分析表，告诉我们 F 值为15.081，显著性概率 p 为0.005等于0.005，因此自变量系数统计较为显著。
第六讲多元线性回归
hourly earnings, EARNINGS, depend on years of schooling (highest grade completed), S,
and a measure of cognitive ability, ASVABC.
SIB,BFSU
LECTURE 6
2
ECONOMETRICS
b1 + b2S + b3ASVABC combined effect of S and ASVABC
b1 EARNINGS
pure S effect b1 + b2S
ASVABC
S
The final element of the model is the disturbance term, u. This causes the actual values of
pure S effect b1 + b2S
ASVABC
S
We assume that the effects of S and ASVABC on EARNINGS are additive. Theence in S on EARNINGS is not affected by the value of ASVABC, or vice versa.
SIB,BFSU
LECTURE 6
9
ECONOMETRICS
MULTIPLE REGRESSION WITH TWO EXPLANATORY VARIABLES: EXAMPLE
bb b Y i 1 2 X 2 i 3 X 3 i u i
Y ˆi b 1 b 2X 2 i b 3X 3 i
EARNINGS to deviate from the plane. In this observation, u happens to have a positive
多元线性回归详解演示文稿
2.25 2.5653 -0.3153
2.00 2.2668 -0.2668
2.25 2.0165 0.2335
2.50 2.3133 0.1867
1.75 2.1330 -0.3830
2.50 2.3453 0.1547
第9页，共48页。
估计值与残差有下列性质：
n
n
( yi yˆ i ) ei 0
多元线性回归详解演示文稿
第1页，共48页。
（优选）多元线性回归
第2页，共48页。
某地13岁男童身高，体重，肺活量的实测数据(部分)
编号
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
医用多元统计分析方法
身高(cm) x1
135.1 163.6 156.2 167.8 145.0 165.5 153.3 160.5 147.6 155.1 143.0 160.8 158.2 144.5 156.5
e
-0.0920 -0.0027 0.5264 0.2304 0.5542 0.0594 0.3301 -0.5412 -0.3643 0.1211 -0.1046 0.3249 -0.2552 0.2149 0.1994
编号
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
医用多元统计分析方法
第16页，共48页。
剩余标准差 s y x1x2xm
剩余标准差
s y•12m
n
yi yˆ i 2
i 1
nm1
Q nm1
医用多元统计分析方法
第17页，共48页。
剩余标准差的用途
剩余标准差可用于偏回归系数的假设检验 y的容许区间估计 y的可信区间估计 自变量的选择等
多元线性回归中多重共线问题的解决方法综述（2）
多元线性回归中多重共线问题的解决方法综述摘 要在回归分析中，当自变量之间出现多重共线性现象时，常会严重影响到参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳健性，因此消除多重共线性成为回归分析中参数估计的一个重要环节。
现在常用的解决多元线性回归中多重共线性的回归模型有岭回归（Ridge Regres sion ）、主成分回归(Princi p al Compon e nt Regres s ion 简记为P CR)和偏最小二乘回归(Partia l Least Square Regres s ion 简记为P LS)。
关键词：多重共线性；岭回归；主成分回归；偏最小二乘回归引言在多元线性回归分析中，变量的多重相关性会严重影响到参数估计，增大模型误差，并破坏模型的稳健性 由于多重共线性问题在实际应用中普遍存在，并且危害严重，因此设法消除多重性的不良影响无疑具有巨大的价值常用的解决多元线性回归中多重共线问题的回归模型主要有主成分回归岭回归以及偏最小二乘回归。
1、 多元线性回归模型1.1 回归模型的建立设Y 是一个可观测的随机变量,它受m 个非随机因素X 1,X 2,…,X p-1和随机因素ε的影响, 若有如下线性关系我们对变量进行了n 次观察，得到n 组观察数据(如下)，对回归系数 进行估计一般要求n>P 。
于是回归关系可写为采用矩阵形式来表示0112211p p Y X X X ββββε--=+++++ n i X X X Y p i i i i ,,1,,,,)1(2,1⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-1011121211(1)12012122212(1)2011221(1)p p p p nn n p n p n Y X X X Y X X X Y X X X ββββεββββεββββε------=+++++⎧⎪=+++++⎪⎨⎪⎪=+++++⎩11121,(1)121222,(1)212,(1)111, 1 p p n n n n p n n pX X X Y X X X Y Y X Y X X X ---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ )1(10,,,p -⋅⋅⋅βββY 称为观测向量，X 称为设计矩阵，ε称为误差向量，β称为回归参数。
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控制：指定应变量Y的值查看自变量的改变量
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西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作
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2.3.2 应用条件
2013-3-1
西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作
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2.3.3 应用的注意事项
2013-3-1
西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作
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（一）变量的数量化
（1）自变量为连续型变量 ：必要时作变换 （2）自变量为有序变量：依次赋值，如疗 效好中差，可分别赋值3、2、1 （3）自变量为二分类：如令男＝1，女＝0 （4）自变量为名义分类：需要采用哑变量 （dummy variables）进行编码
逐步回归法实例(令α
入＝α 出＝0.10)
2013-3-1
西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作
6
逐步回归法实例（第一步）
模型 Y与X4
Y与X1 Y与X2 Y与X3
2013-3-1
SS回 82.7144
69.4251 46.7873 57.9133
SS残 139.8375
153.1267 175.7645 164.6386
4
（三）逐步回归法
双向筛选 ；引入有意义的变量（前进 法），剔除无意义变量（后退法） 小样本检验水准a定为0.10或0.15，大 样本把值定为0.05。值越小表示选取自变 量的标准越严。 注意，引入变量的检验水准要小于或等 于剔除变量的检验水准。
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n : m＝5～10
2013-3-1
西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作
23
（三）统计“最优”与专业的“最 优”
不同准则、方法得出的“最优”方程不同 ；
不同的引入、剔除标准获得的“最优”方 程不同； 方程还受数据的正确性、共线性影响
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15.1797
13.9577 27.5454 3.1847 0.0870
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逐步回归法实例（第四步）
模型 SS回 SS偏回 SS残 F值 P值
Y与X4 X1 X3 X2
133.7107
11.9627
88.8412
2.9624
0.099
Y与X4 X1 X3
SS总 222.5519
222.5519 222.5519 222.5519
7
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逐步回归法实例（第二步）
模型 Y与X4 Y与X4 X1 Y与X4 X2 SS回 82.7144 107.7903 107.4074 25.0759 24.6931 114.7615 115.1444 5.2441 5.1469 0.0311 0.0326 SS偏回 SS残 F值 P值
121.7480
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逐步回归法实例（是否剔除）
变 量 模型 SS回 SS偏回 SS残 F值 P值
Y与X4 X1 X3 X2 X2 X1
X3 X4
133.7107 121.7480 133.0978
113.6472 105.9167
88.8412 11.9627 0.6129
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逐步回归法实例（X4/X1/X3剔除否）
变 量 模型 Y与X4 X1 X3 SS回 121.7480 SS偏回 SS残 100.804 F值 P值
X1
X3 X4
Y与X4 X3
Y与X4 X1 Y与X1 X3
106.5683
107.7903 94.2026
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（六）偏相关系数
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几个相关系数的区别
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逐步回归法实例（第三步）
模型 Y与X4 X1 Y与X4 X1 X2 Y与X4 X1 X3 SS回 107.7903 113.6472 121.7480 5.8569 13.9577 100.8038 3.1847 0.0875 SS偏回 SS残 F值 P值
Fj
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SS回 SS回( j ) SS残 (n p 1)
; 1 1; 2 n p 1
2
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（一）前进法
自变量从无到有、从少到多
1. Y对每一个自变量作直线回归，对回归平方和最 大的自变量作F检验，有意义（P小）则引入。 2. 在此基础上，计算其它自变量的偏回归平方和 ，选取偏回归平方和最大者作F检验，…。 局限性：即后续变量的引入可能会使先进入方程的 自变量变得不重要。
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（二）后退法
先将全部自变量放入方程，然后逐步剔除 1. 偏回归平方和最小的变量，作F检验及相 应的P值，决定它是否剔除（P大） 。 2. 建立新的回归方程。重复上述过程。
局限性：自变量高度相关时，可能得不出正 确的结果 。
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整个方程决定系数R2高，但各自变量对 应的回归系数均不显著。 解决共线性的主要方法： 筛选自变量 用主成分回归 岭回归。
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（五）交互作用
当某一自变量对应变量的作用大小与另一 个自变量的取值有关时，则表示两个变量有交 互作用（interaction）。 检验两变量间有无交互作用，普遍的做法 是在方程中加入它们的乘积项再做检验。如考 察X1、X2间的交互作用，可在模型中加入X1X2 项。
Y与X4 X3 X2
X4 X3 Y与X3 X2 Y与X4 X2
X2
Y与X4 X3
106.5683
26.5295
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方差分析结果
变异来源 自由度 SS MS F P
总变异 回 归 残 差
26 3 23
222.5519 133.098 89.454 44.366 11.41 0.0001 3.889
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名义分类变量的哑变量化
假如职业分类为工、农、商、学、兵5 类，则可定义比分类数少1个，即4个哑变 量。编码方法如下：
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（二）样本含量
观察个体数n与变量个数m的比 例一般至少应为：
20.0635 27.7940
Y与X4 X1 X3 Y与X4 X3 X2
Y与X4 X1 X2 Y与X1 X3 X2
0.1518
0.7006
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逐步回归法实例（是否剔除）
变 量 模型 SS回 133.0978 100.8292 107.4074 32.2686 25.6904 6.6054 0.0171 SS偏回 SS残 89.4540 F值 P值
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回归系数及其检验
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2.3
多元线性回归的应用 及其注意事项
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2.3.1 应用
影响因素分析，控制混杂因素 预测：由自变量值推出应变量Y的值
第六讲
多元（重）线性回归
Multiple linear regression （2）
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2.2.2 逐步选择法
1. 前进法（forward selection） 2. 后退法（backward elimination） 3. 逐步回归法（stepwise regression）。 它们的共同特点是每一步只引入或剔除一 个自变量。决定其取舍则基于对偏回归平 方和的F检验
Y与X4 X3
106.5683
23.8539
115.9836
4.9360
0.0360
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逐步回归法实例（X1剔除否）
模型 Y与X1 Y与X4 Y与X4 X1 SS回 SS偏回 SS残 F值 P值 69.4251 38.3652 82.7144 25.0759 107.7903 114.7615 5.2441 0.0311
（四）多重共线性
自变量间存在着线性关系，使一个或几个 自变量可以由另外的自变量线性表示时，称为 该变量与另外的自变量间存在有共线性 (collinearity)。 回归系数的符号与由专业知识不符 变量的重要性与专业不符
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多重共线性的识别与解决办法