河南理工大学 电路 课件 13-1;2;3

A0 a0 2 2 Amk ak bk bk k arct an ak
a0 A0 a k Amk cosk bk Amk sin k
二、非正弦周期函数的傅里叶级数
A0 f (t ) Amk cos(k1t k ) 2 k 1
1 2f1
2 T
傅里叶三角级数的系数：
2 a0 T

T
0
f (t )dt

2
2
0
f (t )d (1t )
2 ak T
2 bk T


T
0
T
f (t ) cos( k1t )dt
f (t ) sin( k1t )dt


1
1
2
0
2
f (t ) cos( k1t )d (1t )
Em o
f (t)
t
A0 f (t ) Amk cos(k1t k ) 2 k 1
-Em
T/2
T
f (t )
Amk
4 Em cos(k1t 90 ) k 1 k

4 Em 4 Em cos( 1t 90 ) cos( 31t 90 ) cos( 51t 90 ) 3 5
§13-2
非正弦周期函数分解为傅里叶级数
五、关于周期信号f(t)的工程计算问题
在理论分析中，对周期信号f (t)进行谐波分析，需要将其 展开成傅里叶级数，即由无穷多个谐波组合而成，即
A0 f (t ) Amk cos(k1t k ) 2 k 1
在电路分析中，周期函数f (t)的另一种常用形式的傅里叶 三角级数: A0 f (t ) Amk cos(k1t k )

2
k 1
2 T a0 f (t ) dt T 0 2 T ak f (t ) cos( k1t )dt T 0
2 bk T

T
0
f (t ) sin( k1t )dt
举例
R
§13-1
非正弦周期信号
T
t
半波整流电路
半波电压
周期性锯齿波
T
示波器的水平扫描电压
§13-1 非正弦周期信号
举例 晶体管放大电路
Rs us + R2 C1
+U
R1 RC C2
Ro
实际的交流发电机输出的是近似的 正弦电压。 在电力电网中，由于存在有很多非 线性器件，导致电网电路中各处的电压 和电流严格地讲只是周期电压和电流。
f (t ) sin( k1t )d (1t )
0
0
计算a0、ak、bk便可得到原函数 f (t) 的展开式。
§13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
二、非正弦周期函数的傅里叶级数
a0 f (t ) [ak cos(k1t ) bk sin(k1t )] 2 k 1
2 1 2f1 T
Amk cos(k1t k )
k次谐波分量 (k倍频分量)
k≥2的谐波称为高次谐波 k为奇数, 称为奇次谐波 k为偶数, 称为偶次谐波
§13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
三、周期信号f (t)的谐波分析
f (t ) A0 Am1 cos(1t 1 ) Am 2 cos(21t 2 ) Am 3 cos(31t 3 ) 2 Amk cos(k1t k )
基本信号
对周期信号f (t)进行谐波分析 在电路分析中，将一个周期信号f(t)分解为傅里叶级数， 即分解为恒定分量与不同频率的正弦分量（各次谐波分量） 的叠加，由此可以了解周期信号是由哪些频率分量（或哪些 谐波）组合而成的。 谐波分析的重要意义： (1) 在电力系统中，对交流电压和电流进行谐波分析， 可以了解供电的质量；(2) 在信号处理电路中, 对信号进行 谐波分析以便对信号进行各种处理（放大、滤波等）。
《电路理论》课程内容 第一部分：第一、二、三、四章 分析对象：线性电阻电路[不含C和L(M)] 分析依据：时域形式的KCL、KVL、元件的VCR 分析方法：时域分析法 ①等效变换法；②一般分析法；③电路定理 注意：线性电阻电路的分析方法可以推广应用于其他类 型的电路。要求：一定要牢固掌握。 第二部分：第八、九、十、十一、十二章 分析对象：正弦稳态电路[含有C和L(M)] 分析依据：相量形式的KCL、KVL、元件的VCR 分析方法：相量分析法、时域分析法 ①等效变换法；②一般分析法；③电路定理
f (t) o
t o T
③ 奇谐波函数
a0 f (t ) [ak cos(k1t ) bk sin(k1t )] 2 k 1
T/2
T
t
§13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
三、周期信号f (t)的谐波分析 在非正弦周期电流电路的分析中，需要把周期信号f(t) [周期电压u(t)或周期电流i(t)]分解为傅里叶三角级数，即分 解为无穷多项不同频率的正弦量之和。
§13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
四、信号频谱的概念
A0 Amk cos(k1t k ) 周期信号f (t)的谐波分析： f (t ) 2 k 1
用作图的方法直观地把谐波分析的结果表示出来，这种 图形称为周期信号的频谱图(简称频谱)。 周期信号f(t)的频谱(图)分为： ①幅度频谱(图)：描述 Amk ~ k1 的图形 ②相位频谱(图)：描述 k ~ k1 的图形 举例 周期性矩形波f (t)的谐波分析。

4 Em
k
o ω1
ω1
…
3 ω1 5 ω1 7ω1 kω1 幅度频谱
3 ω1
5 ω1
7 ω1 … k ω1
o -90° 相位频谱
四、信号频谱的概念
Amk
幅度频谱 …
§13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
相位频谱
k
o kω1 7 ω1
ω1
3 ω1
5 ω1
7 ω1 … k ω1
o
ω1
3 ω1
非正弦周期函数分解为傅里叶级数
周期函数的周期T，单位：秒（s） 2 令1 2f1 周期函数的角频率
T
一、非正弦周期函数的数学表示
f (t ) f (t nT )
n 0,1,2
二、非正弦周期函数的傅里叶级数 若周期函数f (t)满足狄利赫利条件： (1) 在一个周期内f (t)的极值点的数目为有限个； (2) 在一个周期内f (t)的间断点的数目为有限个； (3) 在一个周期内f (t)绝对可积，即： T f (t ) dt
A0 恒定分量： 0 2
Em o t f (t)
Amk
4 Em , k 90 , k 1, 3, 5, k
-Em
T/2
T
四、信号频谱的概念 举例
A0 0 2
§13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
周期性矩形波f (t)的谐波分析。
Amk 4 Em , k 90 , k 1, 3, 5, k
A0 f (t ) Amk cos(k1t k ) 2 k 1
1 2f1
2 T
A0 f (t ) Am1 cos( 1t 1 ) Am 2 cos( 21t 2 ) Am 3 cos( 31t 3 ) 2
Amk cos(k1t k )
1.恒定电流和电压 不随时间t 变化的电压和电流，亦称为直流电流和直流电压， 一般用大写字母I 和U 表示。 2.变动电流和电压 随时间t 变化的电流和电压，通常用小写字母i(t)和u(t)表示。
I +
1 20V I1 90 I2 + us(t) _ 5Ω + iL(t) uL(t) 5Ω _ 2.5H R=1Ω C
1 2f1
2 T
A0 f (t ) Am1 cos( 1t 1 ) Am 2 cos( 21t 2 ) Am 3 cos( 31t 3 ) 2
恒定分量 (直流分量) k=1, 基波分量 （一次谐波分量） k=2, 二次谐波分量 （2倍频分量） k=3, 三次谐波分量 （3倍频分量）
10
-
导 言 2.变动电流和电压 (1) 正弦电流和电压
第十三章
非正弦周期电流电路 和信号的频谱
按照正弦规律变化的电流和电压称为正弦电流和正弦电压。 在电路分析中，正弦电流和电压是基本的电信号。 (2) 非正弦电流和电压 ① 非正弦周期电流和电压 随着时间t周期性重复变化的电流和电压称为周期电流 和周期电压。这是本章重点讨论的电信号。 ② 非周期电流和电压 随着时间t 按照某种自然规律变化的电信号。 例如语音信号是模拟声音变化规律的电信号；图像信号 是模拟物体的颜色和光强度变化规律的电信号等。
§13-1 非正弦周期信号
本章重点讨论非正弦周期电流电路的基本概念和谐波 分析法。 谐波分析法的关键： ①周期函数的傅立叶级数 ②线性电路的叠加定理 ③正弦电流(稳态)电路的相量分析法 谐波分析法实际上是应用数学理论并综合前面学过的各种 分析方法解决非正弦周期电流电路的分析和计算问题。
§13-2
5 ω1
-90°
周期信号f (twenku.baidu.com频谱图的意义
①幅度频谱（幅度谱） 它反映了周期信号是由哪些谐波分量所组成。线段的高低反 应各谐波分量在周期信号中所占的“比重”（相对大小）。 ②相位频谱（相位谱） 它反映了各次谐波分量的初相角随频率的分布情况。 由于各次谐波的角频率kω1是ω1的整数倍， 所以周期 信号的频谱是离散谱，又称为线频谱。
《电路理论》课程内容
第三部分：第十三章 分析对象：非正弦周期电流电路[含有C和L(M)] 分析依据：KCL、KVL、元件的VCR 分析方法：谐波分析法；时域分析法 线性电阻电路的分析和正弦稳态电路的分析是基础
第十三章
导言
非正弦周期电流电路 和信号的频谱
按照实际电路中电流、电压随时间t变化的规律， 在电路分析中将它们分类为：
A0 a0 1 2 2 T

T
0
f (t )dt
1 2

2
0
f (t )d (1t )
a0
2 T

T
0
f (t ) dt
f (t)在一个周期内的平均值 恒定分量(直流分量)
§13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
三、周期信号f (t)的谐波分析
A0 f (t ) Amk cos(k1t k ) 2 k 1
周期函数f (t)分解为傅里叶三角级数的方法： (1) 利用傅里叶系数公式计算，与高等数学相同； (2) 查表（P322）。 f (t)
强调
① 偶函数
f (t ) f (t )
bk 0, k 0
f (t ) f (t )
－T/2 o
f (t)
T/2
t
② 奇函数
ak 0
T f (t ) f (t ) 2 a2k b2k 0
强调
f (t ) f (t nT )

0
展开为收敛的傅里叶三角级数
电工与电子技术中的周期信号一般都能满足狄利赫利条件
§13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
二、非正弦周期函数的傅里叶级数 周期函数f (t)的傅里叶三角级数表达式:
a0 f (t ) [ak cos(k1t ) bk sin(k1t )] 2 k 1
§13-1 非正弦周期信号
一、非正弦周期电流和电压（非正弦周期信号） 电流和电压也称为电信号，简称信号 在数字脉冲技术、电子信息技术、自动控制技术、计算机 技术等领域，有许多电压和电流都是非正弦的周期信号。 举例
u(t) u(t)
－T/2
o
T/2
t O T
t
电子电路中的矩形波电压
脉冲电路中的矩形脉冲信号
二、非正弦周期电流电路
§13-1 非正弦周期信号
在线性电路中，当所有独立电源的电压/电流 us , is 是非 正弦周期量时，稳态时电路中所有响应（电压和电流）也都是 周期电流和电压。这类电路称为非正弦周期电流电路。 三、非正弦周期电流电路的分析方法 ① 时域分析法 应用时域形式的KCL、KVL及元件的VCR建立电路方程 进行求解。 ② 谐波分析法 应用傅里叶级数将 us , is 分解为多个不同频率的谐波电源， 根据线性电路的叠加定理，用相量法求解各谐波电源单独作用 时产生的响应，最后将各谐波电源产生的时域响应叠加即可得 到周期激励产生的响应。