高中数学选修2-2课时作业1：2.1.2 演绎推理
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选修2-2 2.1.2 演绎推理一、选择题1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是( )A．大前提错B．小前提错C．结论错D．正确的[答案] D[解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论 [答案] C[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．4．“因对数函数y ＝log a x (x >0)是增函数(大前提)，而y ＝log 13x是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A[解析] 对数函数y ＝log a x 不是增函数，只有当a >1时，才是增函数，所以大前提是错误的．5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①② [答案] B[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是( )A．①B．②C．①②D．③[答案] B[解析] 易知应为②.故应选B.7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理( )A．大前提错B．小前提错C．推论过程错D．正确[答案] C[解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理( )A．正确B．推理形式正确C．两个自然数概念不一致D．两个整数概念不一致[答案] A[解析] 三段论的推理是正确的．故应选A.9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为( )[答案] A[解析] 如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为；如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为．故应选A.10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误[答案] D[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．二、填空题11．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．[答案] log 2x －2≥0[解析] 由三段论方法知应为log 2x －2≥0. 12．以下推理过程省略的大前提为：________. ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab . [答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .13．(2010·重庆理，15)已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2010)＝________.[答案] 12[解析] 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1) 即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1) ①令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ② 由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)， 即f (x －1)＝－f (x ＋2)∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6) ∴f (x )＝f (x ＋6) 即f (x )周期为6，∴f (2010)＝f (6×335＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得 4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12即f (2010)＝12.14．四棱锥P －ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足条件________时，V P －AOB 恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．[答案] 四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等 [解析] 设h 为P 到面ABCD 的距离，V P －AOB ＝13S △AOB ·h ，又S △AOB ＝12|AB |d (d 为O 到直线AB 的距离)．因为h 、|AB |均为定值，所以V P －AOB 恒为定值时，只有d 也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等．三、解答题15．用三段论形式证明：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，则∠B ＝∠C .[证明] 如下图延长AB ，DC 交于点M .①平行线分线段成比例大前提 ②△AMD 中AD ∥BC 小前提 ③MB BA ＝MC CD结论①等量代换大前提②AB＝CD小前提③MB＝MC结论在三角形中等边对等角大前提MB＝MC小前提∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论等量代换大前提∠B＝π－∠1∠C＝π－∠2小前提∠B＝∠C结论16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．[证明] 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数大前提∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值．[解析] 推理的第一个关键环节：大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．推理的第二个关键环节：大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.以下可得出结论a ＝－4.18．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；(2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围． [解析] (1)F ∈l ⇔|FA |＝|FB |⇔A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等．∵抛物线的准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意，y 1，y 2不同时为0.∴上述条件等价于y 1＝y 2⇔x 21＝x 22⇔(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.∵x 1≠x 2，∴上述条件等价于x 1＋x 2＝0，即当且仅当x 1＋x 2＝0时，l 经过抛物线的焦点F .(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y ＝2x ＋b ；过点A 、B 的直线方程为y ＝－12x ＋m ，所以x 1，x 2满足方程2x 2＋12x －m＝0，得x 1＋x 2＝－14.A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .由N ∈l ，得116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932. 即得l 在y 轴上截距的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞.。
高中数学选修1-2课时作业12：2.1.2 演绎推理
2.1.2 演绎推理一、选择题1．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等考点“三段论”及其应用题点三段论的结构[答案] B[解析]由三段论的一般模式知选B.2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”以上三段论是()A．大前提错B．小前提错C．结论错D．正确的考点演绎推理的应用题点演绎推理的正误判断[答案] D[解析]前提正确，推理形式及结论正确，故选D.3．“平行于同一直线的两条直线平行，∵a∥b，b∥c，∴a∥c.”这个推理称为()A．合情推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理考点三段论题点三段论的结构[答案] D[解析]符合三段论推理形式．4．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”关于上述推理，下列说法中正确的是()A．小前提错B．结论错C．推理完全正确D．大前提错考点演绎推理的应用题点演绎推理的正误判断[答案] C[解析]该推理完全正确．5．“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个自然数概念不一致D．两个整数概念不一致考点演绎推理的应用题点演绎推理的正误判断[答案] A[解析]该三段论的推理是正确的．6．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，由此推断各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3)，由此归纳出{a n}的通项公式D．三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数考点演绎推理的含义及方法题点判断推理是否为演绎推理[答案] D[解析]A选项，某校高三共有8个班，1班51人，2班53人，由此推测各班都超过50人，属于归纳推理；B选项，由三角形的性质，推测空间四面体的性质，属于类比推理；C选项，由a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3)归纳出{a n}的通项公式，属于归纳推理；D选项，具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理的三段论形式．7．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四种说法：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中说法正确的是()A．①④B．②④C．①③D．②③考点三段论题点三段论的结构[答案] A[解析]根据三段论的特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数．故①④正确．8．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0 B．恒大于0C．可能等于0 D．可正也可负考点演绎推理的应用题点演绎推理在函数中的应用[答案] A[解析]不妨设x1－2<0，x2－2>0，则x1<2，x2>2，∴2<x2<4－x1，∴f(x2)<f(4－x1)，即－f(x2)>－f(4－x1)，从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<0.9．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x都成立，则()A．－1<a<1 B．0<a<2C ．－12<a <32D ．－32<a <12考点 演绎推理的应用题点 演绎推理在函数中的应用[答案] C[解析] 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，∴－x 2＋x ＋a 2－a <1.即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立，则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 二、填空题10．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为__________．考点 演绎推理的应用题点 演绎推理在函数中的应用[答案] [0,2][解析] ∵不等式ax 2＋2ax ＋2<0无解，则不等式ax 2＋2ax ＋2≥0的解集为R .∴当a ＝0时，2≥0，显然成立， 当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a ≤0， 解得0<a ≤2.∴a 的取值范围为[0,2]．11.如图所示，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD .证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD，②于是∠ACD>∠BCD.③则在上面的证明过程中错误的是________．(填序号)考点三段论题点小前提或推理形式错误导致结论错误[答案]③[解析]由AD>BD得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．三、解答题12．用三段论证明：已知平面α∥平面β，直线l⊥平面α，l∩α＝A，求证：l⊥β.考点三段论题点三段论的应用证明如图所示，在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面．设γ∩α＝a.①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提所以a∥b.结论②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提l⊥α，且a⊂α，小前提所以l⊥a.结论③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前提a∥b，且l⊥a，小前提所以l⊥b.结论④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提所以l⊥β.结论13.如图A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴旋转．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．考点演绎推理的应用题点演绎推理在其它方面中的应用解(1)取AB的中点E，连接CE，DE，CD.因为AC＝BC＝2，AB＝2，所以△ABC为等腰直角三角形，所以CE⊥AB.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.又平面ADB⊥平面ABC，且平面ADB∩平面ABC＝AB，DE⊂平面ADB，所以DE⊥平面ABC，又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE.由已知得DE＝32AB＝3，CE＝1.所以在Rt△CDE中，CD＝DE2＋CE2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：当D在平面ABC内时，因为BC＝AC，AD＝BD，所以C，D都在AB的垂直平分线上，所以AB⊥CD.当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE，AB⊥CE，又DE∩CE＝E，DE，CE⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE，所以AB⊥CD.综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.四、探究与拓展14．若log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝log4[log2(log3z)]＝0，则x＋y＋z等于() A．123 B．105C．89 D．58考点演绎推理的应用题点演绎推理在函数中的应用[答案] C[解析]log2[log3(log4x)]＝0⇒log3(log4x)＝1⇒log4x＝3⇒x＝43＝64；log3[log4(log2y)]＝0⇒log4(log2y)＝1⇒log2y＝4⇒y＝24＝16；log4[log2(log3z)]＝0⇒log2(log3z)＝1⇒log3z＝2⇒z＝32＝9.故x＋y＋z＝89.15.如图所示，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，M，N分别为腰AB，AC上的点，过点M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分．(1)AM＋AN是否为定值？请说明理由．(2)如何设计才能使四边形BMNC的面积最小？考点演绎推理的应用题点演绎推理在其它方面的应用解(1)AM＋AN是定值，理由如下：△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，所以AB＝AC＝ 2.因为M，N分别为AB，AC上的点，过点M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分，所以AM＋AN＋MN＝MB＋BC＋NC＋MN.所以AM＋AN＝MB＋BC＋NC，又(AM＋AN)＋(MB＋BC＋NC)＝AM＋MB＋BC＋AN＋NC＝AB＋BC＋AC＝2＋22，所以AM＋AN＝MB＋BC＋NC＝2＋1，所以AM＋AN为定值．(2)当△AMN的面积最大时，四边形BMNC的面积最小．由(1)知，AM＋AN＝2＋1.令AM＝x，则AN＝2＋1－x，故S △AMN ＝12AM ·AN ＝12x (2＋1－x )＝－12[x 2－(2＋1)x ]， 当x ＝2＋12时，S △AMN 有最大值，四边形BMNC 的面积最小， 即当AM ＝AN ＝2＋12时，四边形BMNC 的面积最小．。
人教版高中数学选修1-2第一章2.1.2演绎推理
新课导入（1）所有的金属都能够导电，观察铀是金属，所以铀能导电.（2）太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行. （3）一切奇数都不能被2整除,因为(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除.（5）两条直线平行，同旁内角互补.如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角， 那么∠A+∠B=180°.（4）三角函数都是周期函数,α因为tan 三角函数, α 所以是tan周期函数. 观察 这些说法有什么共同点？探究思考都是以某些一般地判断为前提，得出一些个别的、具体的判断.你觉得这些说法正确吗?如果认为正确，那么这样的推论又是什么呢？这些说法的共同点是：教学目标【知识与能力】1.了解演绎推理的含义.2.能运用“三段论”进行简单的推理.【过程与方法】通过已学过的数学实例和生活中的实例，从中挖掘、提炼出演绎推理的含义和推理方法，使学生更好的掌握这种思维方法.【情感态度与价值观】使学生掌握这种思维方法，并能在今后的学习中有意识的使用它，以培养言之有理、论证有据的习惯.教学重难点重点了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单地推理.难点用“三段论”进行简单的推理.知识要点若推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.现在可以知道，上面列举的例子都是演绎推理的例子且每个例子都有三段，称为“三段论”.所有的金属都能导电因为铜是金属,所以铜能够导电.大前提小前提结论（一般原理）（特殊情况）（所得结论）下面请同学们自己说出其余例子的“三段”. （2）太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行， 天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；大前提 小前提 结论（3）一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 大前提小前提所以(2100+1)不能被2整除.结论 （4）三角函数都是周期函数, α因为tan 三角函数, α所以是tan 周期函数. 大前提 小前提 结论（5）两条直线平行，同旁内角互补. 如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角， 那么∠A+∠B=180°. 大前提 小前提 结论“三段论”是演绎推理的一般模式，那现在大家想想它的内容是什么？（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.“三段论”可以表示为大前提：M是P.小前提：S是M.结论： S是P.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S 是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.例题1 如图：在锐角三角形ABC 中,AD ⊥BC, BE ⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等.A DE C M B证明:(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 在△ABC 中,AD ⊥BC,即∠ADB=900 大前提小前提所以△ABD 是直角三角形. 结论 同理△ABE 是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 M 是Rt △ABD 斜边AB 的中点,DM 是斜边上的中线， 小前提所以 DM= AB 12结论 同理 EM= AB 12所以 DM = EM.归纳由此可见，应用三段论解决问题时，首先应明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.自己试试看！如图：D,E,F 分别是BC,CA,AB 上的点,∠BFD= ∠A,DE ∥BA,求证：ED=AF. 练一练A B D C EF (1)同位角相等,两直线平行, ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD= ∠A ,证明：所以, DF ∥EA. 大前提小前提 结论(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形, DE ∥BA 且DF ∥EA, 所以,四边形AFDE 是平行四边形. (3)平行四边形的对边相等,ED 和AF 为平行四边形的对边, 所以,ED=AF. 大前提 小前提 结论大前提 小前提 结论 AB D CE F例题2分析证明函数f(x)= -x2+2x 在(-∞,1）上是增函数.证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a,b）内，如果 y= ，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增.f(x)证明：根据“三段论”得，函数f(x)=-x 2+2x 在（-∞,1）上是增函数.小前提是f(x)=-x 2+2x 的导数在区间(-∞,1）内满足 >0，这是证明本题的关键. 'f (x) =-2x+2.当x ∈(-∞，1)时，有1-x>0，所以=-2x+2=2（1-x ）>0.于是，f (x)'f (x)'还有其他的证明方法吗？ 证明函数f(x)=-x2+2x 在(-∞,1）上是增函数.提示根据增函数的定义进行证明.继续解答……任取x1,x2 ∈(-∞,1]且x1<x2 , f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2) =(x2-x1)(x1+x2-2)因为x1<x2所以 x2-x1>0因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)证明:满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2)成立的函数f(x),是区间D上的增函数.大前提小前提所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函数.结论在演绎推理中，应用三段论解决问题时，怎样才能保证结论是正确的呢？想一想注意演绎推理是由一般到特殊的推理，这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此，在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.例题3 因为指数函数y=a x 是增函数,而y=a x 是指数函数,所以是增函数. 结论大前提 小前提 （1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？解：上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当0<a<1时，指数函数y=a x是减函数），所以所得的结论是错误的.记住反思通过本例的学习，使我们更深刻的理解了“在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确”.知识要点至此，我们学习了两种推理方式——合理推理与演绎推理.大家想想它们两者的区别与联系？自己总结归纳一下吧！区别：1.归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.2.从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.联系：1.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.2. 从认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，演绎推理与合情推理又是紧密联系，相辅相成的.课堂小结1.演绎推理的概念：若推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式，它的内容是：(1)大前提---已知的一般原理；(2)小前提---所研究的特殊情况；(3)结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．3.在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.4.合情推理和演绎推理的联系与区别：总的来说，从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异，从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.随堂练习1.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,大前提不正确.-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,(3) 凡金属都是导电的，水是导电的，所以，水是金属. 1(=0.333)3是无限小数, 是无理数.13大前提不正确,无理数是无限不循环小数. 小前提不正确,水不是金属.已知a,b,m均为正实数,b<a,求证: b b+m <.a a+m证:⎫⎬⎭b amb ma ab+mb ab+mam0<⇒<⇒<>⎫⎬⎭b(a+m)a(b+m)a(a+m)0b(a+m)a(b+m)a(a+m)a(a+m)b b+ma a+m⇒<>⇒<⇒<又2.习题答案 2.因为通项公式为 的数列{ }，若 其中p 是非零常数，则{ }是等比数列.‥‥‥‥大前提 又因为cq≠0,则q≠0,且 n a n+1n a =p a n+1n+1n n a cq ==q.a cq练习（第81页）1.答案课上已给出.n a n a ‥‥‥‥小前提3.由AD>BD ，得到∠ACD>∠BCD 的推理是错误的.因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD ”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 所以通项公式为 的数列{ }是等比数列.‥‥‥‥结论n n a =cq cq 0（） n a。
人教版高中数学高二选修2-2课时作业2-1合情推理与演绎推理
课时作业7合情推理与演绎推理一、选择题1．如果对象A和对象B都具有相同的属性P，Q，R等，此外已知对象A还有一个属性S，而对象B还有一个未知的属性x，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立()A．x就是P B．x就是QC．x就是R D．x就是S各自另外的属性S只能类比x.故应选D.D2．由数列1,10,100,1 000，…，猜测该数列的第n项可能是() A．10n B．10n－1C．10n＋1D．11n由数字特征，归纳推测可能是10n－1.故应选B.B3．观察下图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．■B．△C．▭D．○图形涉及三种符号▭，○，△；其中○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上■才合适．故应选A.A4．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④本题可利用合情推理的定义进行判断，其中③中前提太特殊导致结论很难判断真假，因此不是合情推理．故应选C.C5．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为()A．V＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)由平面向空间类比时，一般是面积对应体积，12对应13，边长对应面积，内切圆半径对应内切球半径．故应选C. C6．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cosθ2n －1 C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2na 2＝2cos θ2，a 3＝2cos θ4，a 4＝2cos θ8，…猜测a n ＝2cos θ2n －1.故应选B. B7．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推出扇形的面积公式S 扇＝( )A.r 22B.l 22C.lr 2D ．不可类比由类比推理知S 扇＝12lr .故应选C. C8．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7＝( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113类比前五行可得出结论B. 故应选B. B 二、填空题9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________. 因为f (x )在R 上是奇函数， 所以f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )， 又y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称．所以f (x )＝f (1－x )， 所以f (1)＝f (1－1)－f (0)＝0，f (2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝0， f (3)＝f (1－3)＝f (－2)＝－f (2)＝0， f (4)＝f (1－4)＝f (－3)＝－f (3)＝0， f (5)＝f (1－5)＝f (－4)＝－f (4)＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0. 010．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N ＋)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．事实上，对等差数列{a n }，如果a k ＝0，则a n ＋1＋a 2k －1－n ＝a n＋2＋a 2k －2－n ＝…＝a k ＋a k ＝0.所以有：a 1＋a 2＋ …＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋(a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2k －2－n ＋a 2k －1－n )(n <2k －1，n ∈N ＋)．从而对等比数列{b n }，如果b k ＝1，则有等式：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 2k －1－n (n <2k －1，n ∈N ＋)成立．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，b ∈N *) 11．下表给出了一个“三角形数阵”：14 12，14 34，38，316 1，12，14，18……依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是________． 观察可知第10行第一个数为104，且每行均为公比是12的等比数列，所以第6个数为104×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝564. 56412．在工程技术中，常用到双曲正弦函数sh x ＝e x －e －x2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －x2，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正余弦函数有：cos(x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y 成立，而关于双曲余弦函数满足ch(x ＋y )＝ch x ch y －sh x sh y ，请你类比此关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新公式______________________________．以下答案供参考： ch(x －y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ； sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y ； sh2x ＝2sh x ·ch x ；ch2x ＝ch 2x －sh 2x ＝1＋2sh 2x ＝2ch 2x －1； ch 2x －sh 2x ＝1等． 三、解答题 13．设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×(n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果．当n ＝1,2,3,4时，计算得原式的值分别为：S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.归纳猜想：S n ＝n n ＋1.推算：由11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n ×(n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.14．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°.(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃， 小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃， 结论：水会沸腾．(2)大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2100＋1是奇数，结论：2100＋1不能被2整除．(3)大前提：三角函数都是周期函数，小前提：y＝tanα是三角函数，结论：y＝tanα是周期函数．(4)大前提：两条直线平行，同旁内角互补，小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，结论：∠A＋∠B＝180°.15．如下图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.16．如下图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，D，E是垂足，求证：(1)△ABD是直角三角形；(2)AB的中点M到D，E的距离相等．(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形(大前提) 在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°(小前提) 所以△ABD是直角三角形(结论)(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(大前提)因为DM是直角△ABD斜边上的中线，(小前提)所以DM＝12AB. (结论)同理EM＝12AB.所以DM＝EM，即M到D，E的距离相等．。
人教a版数学【选修2-2】2.1.2《演绎推理》ppt课件
重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． 难点：演绎推理的应用．
演绎推理 思维导航 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
新知导学 1．演绎推理 从________________出发，推出__________情况下的结论， 一般性的原理 某个特殊 我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由 _____________的推理． 一般到特殊
6．判断下列推理是否正确？为什么？ “因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B 、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个 平面(结论)．” [解析] 不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小前 提中的“三点”的基本形式——三段论
3．三段论 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的__________； 一般原理 ②小前提——所研究的__________； 特殊情况 ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________． 判断 其一般推理形式为 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结 论：__________.
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进 行一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别 ．
牛刀小试 1 ． (2014· 微山一中高二期中 )关于下面推理结论的错误： “因为对数函数 y＝logax 是增函数(大前提)，又 y＝log1 x 是对
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明章末复习课 Word版含解析
【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明章末复习课新人教版选修2-2题型一合情推理与演绎推理1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b2 2.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？(1)答案f(n)＝n3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________． ①A 、B 为定点，若动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则点P 的轨迹是椭圆； ②由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πab ； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ② ③④(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n, 则T 4，______，______，T 16T 12成等比数列． 答案T 8T 4 T 12T 8解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 题型二 综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程． 例2 用综合法和分析法证明． 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.证明 (分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立．只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0. 只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)． ∵1－cos α>0， ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．(综合法) ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4，(1－cos α>0，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号)∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.跟踪训练2 求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.题型三 反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则綈q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则綈q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的．例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋y x<2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋yx<2至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 题型四 数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．例4 用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)·(n ＋2)．证明 (1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立．(2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)．当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k ·2＋(k ＋1)·1 ＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)] ＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4. (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74. a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)证明 方法一 猜想a n ＝2n－12n －1.下面用数学归纳法证明，(1)当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；(2)假设当n ＝k 时a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k －12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k满足上式， 即当n ＝k ＋1时猜想也成立，由(1)(2)可知，对于n ∈N *都有a n ＝2n－12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)，设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·qn －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n－12n －1.呈重点、现规律]1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n ＝n 0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n ＝k 时，结论成立，推得n ＝k ＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．。
2.1.2 演绎推理
五、课堂总结
1．演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前 提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中． 2．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要
前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正
确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．
3．演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但
高中数学
选修2-2
姓名：徐勇 单位：江苏省兴化中学
一、创设情境
在数学学习中，除了合情推理，我们更多使用的是一 种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．
在案例3中，“铜能导电”的结论就是通过如下推理得 到的： 所有的金属都能导电， 铜是金属， 所以，铜能导电． 再看一个类似的推理案例,在学习整数时，有下面的推 理： 个位数字是0或5的正整数必是5的倍数， 2 375的个位数字是5， 所以，2 375是5的倍数．
却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论 化和系统化．
六、课后作业
教材第72页练习3，5.
垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等．
四、学生探究
1．下列表述正确的是 . ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． 2．把下列演绎推理写成“三段论”的形式． （1）三角函数都是周期函数，y＝tanx 是三角函数，所以 y＝tanx是周期函数. （2）一切奇数都不能被2整除，（2100＋1）是奇数，所以 （2 100 ＋1）不能被 2 整除.
二、构建新知
像这样的推理通常称为演绎推理（deductive inference）． 三段论式推理是演绎推理的主要形式： 三段论中包含了3个命题， 第一个命题称为大前提（major premise），它提供了一 个一般性的原理； 第二个命题叫小前提（minor premise）,它指出了一个特 殊对象． 这两个判断结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内 在联系，从而得到第三个命题——结论（conclusion）．
人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.1.2演绎推理(含答案)
选修2-2第二章 2.1 2.1.2
1．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是()
A．①B．②
C．③D．①②
[答案] B
[解析]由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
2．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．
[答案]log2x－2≥0
[解析]由三段论方法知应为log2x－2≥0.
3．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
[答案]若a≥b，则a＋c≥b＋c
[解析]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
4．先解答下题，然后分析说明你的解题过程符合演绎推理规则．设m为实数，求证：方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
[解析]已知方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ＝(－2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，所以方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
说明：此推理过程用三段论表述为：
大前提：如果一元二次方程的判别式Δ<0，那么这个方程没有实数根；
小前提：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ<0；
结论：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
解题过程就是验证小前提成立后，得出结论．。
人教版高中数学选修(2-2)-2.1《演绎推理》教学设计
2.1.2 演绎推理（罗毅）一、教学目标1．核心素养通过学习演绎推理，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．（2）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.3．学习重点了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理．4．学习难点用“三段论”进行简单的推理．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P78－P81，思考：什么是演绎推理？合情推理与演绎推理的在逻辑上有什么区别？2．预习自测）1．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A.5和可以比较大小B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.我校高中高二级有18个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D. 预测股票走势图解：A2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A．①B．②C．③D．①和②解：B3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解： A（二）课堂设计1．知识回顾（1）归纳推理和类比推理的含义和特点．（2）合情推理的逻辑缺陷是什么．2．问题探究问题探究一 演绎推理的基本方法 ●活动一 回顾合情推理，认知逻辑特征1. 练习： ① 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？②在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则.2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？ ●活动二 结合实例，体会演绎推理导入：①所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；②太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ； ③奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？在逻辑上有什么共同特点？ ●活动三 总结共性，形成方法提问：观察教材引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；。
高中数学人教B版选修2-2第二章 2.1.2《演绎推理》
小结：在实际使用三段论推理时，为使得语言叙述简洁， 可以省略大前提或小前提，甚至两者都可略去.
概念辨析 思维升华
练习：下列推理是否正确，说明理由？
大前提错误
(1)自然数是整数，
(2)整数是自然数，
3是自然数，
-3是整数，
3是整数. (3)自然数是整数， 小前提错误-3是自然数，
-3是自然数.
(4)自然数是整数， －3是整数，推理形式错误
(d)东南
类比推理
归纳推理
互动交流 研讨新知
从一般性的原理出发，推出某个特殊 情况下的结论，这种推理称为演绎推理.
引例：
一
所有的平行四边形对角线互相平分，
般
菱形是平行四边形，
菱形的对角线互相平分.
特
殊
互动交流 研讨新知
问题：能否举出生活或者各科学习中，演绎推理的例子？
所有的金属都能导电， 因为铜是金属， 所以铜能导电.
演绎推理的特征：当前提为真，推理形式正确时，结论必然为真
延伸课堂 丰富学识
“三段论”是由古希腊的亚里 士多德创立的，亚里士多德在西 方哲学史，逻辑学史上占有很重 要的地位，是古典形式逻辑的创 始人，在西方被称为“逻辑学之父 ”，亚里士多德提出用演绎推理的 方法来建立各门学科的体系。
延伸课堂 丰富学识
演绎推理
情境激趣 温故知新
1.填入空缺数字：5，9，15，（23），33，45 归纳推理
2.鱼饵：鱼竿 (a)笔：书籍 (c)锅铲：炒锅
(b)写诗：笔 (d)电脑：手机
类比推理
3.从(a)(b)(c)(d)中选出一个合适的 图案 ，填在问号处
4.南之于西北，正如西之于（ ）
(a)西北
高中数学选修2-2课时作业10：2.1.2 演绎推理
2.1.2 演绎推理一、选择题1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论2．已知在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b .证明：因为∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠A <∠B .所以a <b .其中，划线部分是演绎推理的( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．三段论3．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确4．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误5．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0,1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *) C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积为πab D ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 26．“1<a <2”是“对任意的正数x ，都有2x ＋a x≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12二、填空题8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________．9．有一段演绎推理：大前提：整数是自然数；小前提：－3是整数；结论：－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．(从“大前提”“小前提”“结论”中择一填写)．10．命题：“若空间两条直线a ，b 分别垂直于平面α，则a ∥b .”学生小夏这样证明： 设a ，b 与面α分别相交于A ，B ，连接AB ，∵a ⊥α，b ⊥α，AB ⊂α，①∴a ⊥AB ，b ⊥AB .②∴a ∥b .③这里的证明有两个推理，即：①⇒②和②⇒③.老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．11．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 014)f (2 013)＝________. 三、解答题12．已知sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2m m ＋5，其中α为第二象限角，求m 的值．13．如图所示，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD .14．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n·S n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .[答案]精析1．C 2.B 3.C 4.C 5.A6．A [∵1<a <2，∴2x ＋a x ≥22x a x＝22a >22>1，∴1<a <2⇒2x ＋a x≥1， 而当a ＝2时，2x ＋a x＝2x ＋2x ≥22x 2x＝4>1， ∴对任意的正数x ，都有2x ＋a x≥1D ⇒/1<a <2， ∴“1<a <2”是“对任意的正数x ，都有2x ＋a x≥1”的充分不必要条件．] 7．C [由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，∴－x 2＋x ＋a 2－a <1，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立．则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴4a 2－4a －3<0，解之得－12<a <32.] 8．y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)[解析] 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4.9．大前提10．②⇒③11．2 014[解析] 利用三段论．∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)(大前提)，令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2(小前提)， ∴f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2 014)f (2 013)＝2(结论)， ∴原式＝2＋2＋…＋21 007个＝2 014.12．解 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1， 解得m ＝8或0，当m ＝0时，sin α＝－35<0， 又∵α为第二象限角，∴m ＝0不合题意，故m ＝8.13．证明 因为CD ⊥AB ，所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，所以∠A ＋∠ACD ＝∠B ＋∠BCD ＝90°，在△ABC 中，AC >BC ，所以∠B >∠A ，所以∠ACD >∠BCD .14．证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)。
高中数学选修2-2课时作业14：2.1.2 演绎推理
2．1.2 演绎推理一、选择题1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论考点演绎推理的含义与方法题点判断推理是否为演绎推理[答案] C[解析]这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．2．对于三段论“因为对数函数y＝log a x是减函数(大前提)，又y＝ln x是对数函数(小前提)，所以y＝ln x是减函数(结论)”，下列说法正确的是()A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．以上都不对考点“三段论”及其应用题点大前提错误导致结论错误[答案] A[解析]“y＝log a x是减函数”错误，故大前提错误．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确考点“三段论”及其应用题点小前提或推理形式错误导致结构错误[答案] C[解析]由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是()A．①④B．②④C．①③D．②③考点“三段论”及其应用题点三段论的结构[答案] A[解析]根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．5．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等考点“三段论”及其应用题点三段论的结构[答案] B[解析]由三段论的一般模式知选B.6．若a >0，b >c >0，则下列不等式中不成立的是( )A ．－a ＋b >－a ＋cB ．ab －ac >0 C.1b >1cD.3b >3c 考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用[答案] C[解析] 在A 中，b >c 两边同时加－a ，不等号方向不变，不等式成立；在B 中，b >c 两边同时乘a ，因为a >0，所以不等号方向不变，不等式成立；在C 中，若b ＝2，c ＝1，则1b <1c，不等式不成立； 易知D 中不等式成立．7．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用[答案] C[解析] 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，∴－x 2＋x ＋a 2－a <1.即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立，则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 二、填空题8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________________．考点 “三段论”及其应用题点 三段论的结构[答案] y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)[解析] 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4.9．有一段演绎推理：大前提：整数是自然数；小前提：－3是整数；结论：－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是______错误．(填“大前提”“小前提”“结论”) 考点 “三段论”及其应用题点 大前提错误导致结论错误[答案] 大前提10．以下推理过程省略的大前提为：________.因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab .考点 “三段论”及其应用题点 三段论的结构[答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .11．已知在三边不等的三角形中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，若想得到A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足的条件是a 2________b 2＋c 2.(填“>”“<”“＝”)考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用[答案] >[解析] 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，知b 2＋c 2－a 2<0， 故a 2>b 2＋c 2.12．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为__________．考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用[答案] [0,2][解析] ∵不等式ax 2＋2ax ＋2<0无解，则不等式ax 2＋2ax ＋2≥0的解集为R .∴当a ＝0时，2≥0，显然成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－8a ≤0，解得0<a ≤2. ∴a 的取值范围为[0,2]．三、解答题13．下面给出判断函数f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1的奇偶性的解题过程： 解 由于x ∈R ，且f (x )f (－x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1·1＋x 2－x ＋11＋x 2－x －1＝(1＋x 2)－(x －1)2(1＋x 2)－(x ＋1)2＝2x －2x＝－1. ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．试用三段论加以分析．考点 “三段论”及其应用题点 三段论的应用解 判断奇偶性的大前提“若定义域关于原点对称，且f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；若定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．四、探究与拓展14.如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别是点B ，D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC与BD在β内的射影在同一条直线上D．AC与α，β所成的角相等考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用[答案] D[解析]只要能推出EF⊥AC即可说明BD⊥EF.当AC与α，β所成的角相等时，推不出EF⊥AC，故选D.15．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义，单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x2)＝2f(x)；(2)求f(1)的值；(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在函数中的应用(1)证明因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，所以f(x2)＝f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．(2)解因为f(1)＝f(12)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(3)解因为f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2＝2f(2)＝f(4)，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ＋3>0，x (x ＋3)≤4，解得0<x ≤1.所以x 的取值范围为(0,1]．。
高中数学选修2-2课时作业8：2.1.2 演绎推理
2.1.2演绎推理一、选择题1．“∵四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，以上推理省略的大前提为( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形2．“三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是( )A ．推理完全正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．推理形式不正确3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A ．BM 是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE4．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不 兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措 手足．”上述推理用的是( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结 论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误6．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC 中，AB ＝AC ，所以在△ABC 中，∠B ＝∠C ，以上推理运用的规则是( )A ．三段论推理B ．假言推理C ．关系推理D ．完全归纳推理7．“在四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形”．上述推理过程( ) A ．省略了大前提 B ．省略了小前提 C ．是完整的三段论 D ．推理形式错误8．下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线； 小前提：已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α； 结论：所以直线b ∥直线a . 在这个推理中( ) A ．大前提正确，结论错误 B ．小前提与结论都是错误的 C ．大、小前提正确，只有结论错误 D ．大前提错误，结论错误9．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f (x )在(a ，b )内可导且单调递增，则在(a ，b )内，f ′(x )>0恒成立．因为f (x )＝x 3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f ′(x )＝3x 2>0恒成立，以上推理中( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论正确D ．推理形式错误 10．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，通过计算a 2，a 3，a 4，a 5的值归纳出{a n }的通项公式 二、填空题11．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前 提是log 2x －2有意义，结论是_____________12．以下推理过程省略的大前提为：________________. ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.13．以下推理中，错误的序号为________________．①∵ab＝ac，∴b＝c；②∵a≥b，b>c，∴a>c；③∵75不能被2整除，∴75是奇数；④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.14．“∵α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，∴AB⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为________________．15．已知2sin2α＋sin2β＝3sinα，则sin2α＋sin2β的取值范围为________________．三、解答题16．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)菱形的对角线互相平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．17．判断下列推理是否正确？为什么？①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”②∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数．18．下面给出判断函数f(x)＝1＋x2＋x－11＋x2＋x＋1的奇偶性的解题过程：——★参考答案★——1.[[答案]] B2.[[答案]] D[[解析]] 大前提和小前提中的三角函数不是同一概念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确．3.[[答案]] C[[解析]] 由线面位置关系易知A 、B 、D 正确，C 错误，如图，取CD 的中点Q ，连接 MQ ，BQ ，∵M 为A 1C 的中点，∴MQ ∥12A 1D ，∵E 为AB 中点，四边形ABCD 为矩形，∴BQ ∥DE ，∵矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，△A 1DE ≌△ADE ，∴MQ ，BQ 为定值∠MQB ＝∠A 1DE ＝∠ADE 为定值，∴BM 为定值，又B 为定点，∴点M 在以B 点为球心，BM 为半径的球面上运动，∴A 、B 选项正确；由于BQ ∥DE ，MQ ∥A 1D ，∴平面BMQ ∥平面A 1DE ，∴BM ∥平面A 1DE ，故D 正确；若DE ⊥A 1C ，由于DE ⊥EC ，则DE ⊥平面A 1EC ，则DE ⊥A 1E ，这与DA 1⊥EA 1矛盾，故选C.4.[[答案]] C[[解析]] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．5.[[答案]] C[[解析]] 用小前提“S 是M ”，判断得到结论“S 是P ”时，大前提“M 是P ”必须是所有的M ，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．6.[[答案]] A[[解析]] ∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)， 在△ABC 中，AB ＝AC ，(小前提) ∴在△ABC 中，∠B ＝∠C (结论)， 符合三段论推理规则，故选A. 7.[[答案]] A[[解析]] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”． 8.[[答案]] D[[解析]] 如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α时，直线b 与直线a 可能平行， 也可能异面，故结论错误，选D.9.[[答案]] A[[解析]]∵对于可导函数f (x )，若f (x )在区间(a ，b )上是增函数，则f ′(x )≥0对x ∈(a ，b )恒成立．∴大前提错误，故选A.10.[[答案]] A[[解析]] 选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理．11.[[答案]] log 2x －2≥0[[解析]] 由三段论方法知应为log 2x －2≥0. 12.[[答案]] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c[[解析]] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .13.[[答案]] ①[[解析]] 当a ＝0时，ab ＝ac ，但b ＝c 未必成立．14.[[答案]] 如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面15.[[答案]] [0，54]∪{2}[[解析]] 由2sin 2α＋sin 2β＝3sin α 得sin 2α＋sin 2β＝－sin 2α＋3sin α＝－(sin α－32)2＋94且sin α≥0，sin 2α∈[0,1]．因为0≤sin 2β≤1，sin 2β＝3sin α－2sin 2α， 所以0≤3sin α－2sin 2α≤1. 解之得sin α＝1或0≤sin α≤12，令y ＝sin 2α＋sin 2β，当sin α＝1时，y ＝2. 当0≤sin α≤12时，0≤y ≤54.所以sin 2α＋sin 2β的取值范围是[0，54]∪{2}．[易错警示] 本题中常因忽略大前提|sin α|≤1，及隐含条件3sin α＝2sin 2α＋sin 2β≥0，或漏掉特殊情形sin α＝1而致误．16.[[答案]] (1)平行四边形的对角线互相平分大前提 菱形是平行四边形小前提 菱形的对角线互相平分结论 (2)一切奇数都不能被2整除大前提 75是奇数小前提 75不能被2整除结论17.[[解析]] ①错误．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有共线的三点才能确定一个平面．②错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例．18.解：由于x ∈R ，且f (x )f (－x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1·1＋x 2－x ＋11＋x 2－x －1＝（1＋x 2）－（x －1）2（1＋x 2）－（x ＋1）2＝2x－2x＝－1. ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数． 试用三段论加以分析．[[解析]] 判断奇偶性的大前提“若x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；若x ∈R ，且f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．。
选修2-2演绎推理课时作业
选修2-2演绎推理课时作业work Information Technology Company.2020YEAR课时作业12演绎推理时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．演绎推理的特征为()A．前提为真时，结论一定真B．前提为真时，结论可能真C．前提为真时，结论一定假D．前提为真时，结论不确定真假【答案】 A【解析】由演绎推理的特征知前提为真时，结论一定真．2．如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＝∠3，所以∠1＝∠3.所用的推理规则为()A．三段论推理、假言推理B．三段论推理、传递性关系推理C．三段论推理、完全归纳推理D．三段论推理、三段论推理【答案】 B【解析】本题前面证“∠1＝∠2”用的是三段论推理，后半部分则用的是传递性关系推理．3．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC这个问题的大前提为()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥CB【答案】 A【解析】大前提是三角形的中位线平行于第三边．x是对4．“因为对数函数y＝log a x是增函数(大前提)，y＝log13x是增函数(结论)．”上面推理的错误数函数(小前提)，所以y＝log13是()A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错【答案】 A【解析】大前提y＝log a x是增函数不一定正确．因为a>1还是0<a<1不能确定，所以选A.5．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a 的取值范围为()A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)【答案】 A【解析】 ∵|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4(x ≤－3)，2x ＋2(－3<x <1)，4(x ≥1)，∴|x ＋3|－|x －1|的最大值为4.故a 2－3a ≥4，∴a ≥4或a ≤－1.6．“如图，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD .①证明：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ，AC >BC .②所以AD >BD ，于是∠ACD >∠BCD .”③则在上面证明过程中错误的是()A ．①B ．②C ．③D ．①②【答案】 C【解析】 由AD >BD 得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD >BD ”，但AD 与BD 不在同一三角形中，③错误．二、填空题(每小题10分，共30分)7．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为： 大前提____________________．小前提_______________．结论________________．【答案】 所有一次函数的图象都是一条直线函数y ＝2x ＋5是一次函数函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线8．因为当a >0时，|a |>0；当a ＝0时，|a |＝0；当a <0时，|a |>0，所以当a 为实数时，|a |≥0，此推理过程运用的是演绎推理中的________推理．【答案】 完全归纳【解析】 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫完全归纳推理．9．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Crypto system)，其加密、解密原理如下：明文――→加密密钥密码密文――→发送密文――→解密密钥密码明文现在加密密钥为y ＝log a (x ＋2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到的明文为________．【答案】 14【解析】 运用映射概念，实质上当x ＝6时，y ＝3，可得a ＝2，从而当y ＝4时，x ＝24－2＝14.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．【证明】在△ABD中，因为E，H分别是AB，AD的中点，所以EH∥BD，EH＝12BD，同理，FG∥BD，且FG＝12BD，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形．11．(13分)如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°，求证：平面ABC⊥平面BSC.【证明】证法一：取BC中点O，连接AO、SO.因为AS＝BS＝CS，所以SO⊥BC，又因为∠ASB＝∠ASC＝60°.所以AB＝AC，从而AO⊥BC.设AS＝a，又∠BSC＝90°，则SO＝BO＝22a.又AO＝AB2－BO2＝a2－12＝22a，2a所以AS2＝AO2＋SO2，故AO⊥OS.从而AO⊥平面BSC，又AO⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BSC.证法二：同法一证明得AO⊥BC，SO⊥BC.所以∠AOS就是二面角A－BC－S的平面角．再同法一证明得AO⊥OS，即∠AOS＝90°，所以平面ABC⊥平面BSC.12．(14分)设a为实数，函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x在(－∞，0)和(1，＋∞)上都是增函数，求a的取值范围．【分析】本题考查导数的综合应用，解决本题的关键是把判别式的各种情况都考虑全面，逐一分析．【解析】f′(x)＝3x2－2ax＋(a2－1)，其判别式Δ＝4a2－12a2＋12＝12－8a2.①若Δ＝12－8a2＝0，即a＝±62.f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．∴a ＝±62符合题意．②若Δ＝12－8a 2<0，恒有f ′(x )>0，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．∴a 2>32，即a ∈(－∞，－62)∪(62，＋∞)．③若Δ＝12－8a 2>0，即－62<a <62，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝a －3－2a 23，x 2＝a ＋3－2a 23. 当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数． 依题意得x 1≥0且x 2≤1.由x 1≥0得a ≥3－2a 2，解得1≤a <62. 由x 2≤1得3－2a 2≤3－a ，解得－62<a <62.从而a ∈[1，62)． 综上，a 的取值范围为(－∞，－62]∪[1，＋∞)．。
人教新课标版数学高二选修2-2课时卷2.1.2演绎推理
课时提升卷(十五)演绎推理（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·焦作高二检测)下面说法正确的有( )(1)演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)演绎推理得到的结论一定是正确的.(3)演绎推理一般模式是“三段论”形式.(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A.1个B.2个C.3个D.4个2.下面几种推理中是演绎推理的是( )A.因为y=2x是指数函数,所以函数y=2x经过定点(0,1)B.猜想数列,,,…的通项公式为a n=(n∈N*)C.由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”D.由平面直角坐标系中圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r23.(2013·通化高二检测)若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a2>0,那么这个演绎推理出错在:( )A.大前提B.小前提C.推理过程D.没有出错4.(2013·三门峡高二检测)在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提;④函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是( )A.①④B.②④C.①③D.②③5.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立,则( )A.-1<a<1B.0<a<2C.-<a<D.-<a<二、填空题(每小题8分,共24分)6.以下推理过程省略的大前提为: .因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab.7.(2013·武威高二检测)某一三段论推理,其前提之一为肯定判断,结论为否定判断,由此可以推断,该三段论的另一前提必为判断.8.(2013·聊城高二检测)已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意m,n∈N*都有:①f(m,n+1)=f(m,n)+2 ②f(m+1,1)=2f(m,1)给出以下三个结论:(1)f(1,5)=9.(2)f(5,1)=16.(3)f(5,6)=26.其中正确结论为.三、解答题(9～10题各14分,11题18分)9.判断下列几个推理是否正确?为什么?(1)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提),而A,B,C为空间三点(小前提),所以过A,B,C三点只能确定一个平面(结论).”(2)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提),而金是金属(小前提),所以金能导电(结论).”10.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的中点,求证:EF∥平面BCD.11.(能力挑战题)已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.(1)求证:|c|≤1.(2)当-1≤x≤1时,求证:-2≤g(x)≤2.答案解析1.【解析】选C.演绎推理是由一般到特殊的推理,是一种必然性的推理,故(1)正确,演绎推理得到的结论不一定是正确的,这要取决于前提是否真实,推理的形式是否正确,故(2)不正确,演绎推理一般模式是“三段论”形式,即大前提、小前提和结论,故(3)正确,演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关,(4)正确,综上可知有3个结论是正确的.2.【解析】选A.A为演绎推理,这里省略了大前提,B为归纳推理,C,D 为类比推理.3.【解析】选A.要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确,若这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确.因为任何实数的平方都大于0,又因为a是实数,所以a2>0,其中大前提是:任何实数的平方都大于0,它是不正确的. 【变式备选】“10是5的倍数,15是5的倍数,所以15是10的倍数”上述推理( )A.大前提错B.小前提错C.推论过程错D.正确【解析】选C.大小前提正确,结论错误,那么推论过程错.故应选C. 4.【解析】选A.根据三段论特点,过程应为:大前提是增函数的定义;小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义;结论是f(x)=2x+1为增函数,故①④正确.5.【解题指南】应用演绎推理结合不等式进行推理.【解析】选C.因为x⊗y=x(1-y),所以(x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a),即原不等式等价于(x-a)(1-x-a)<1即x2-x-(a2-a-1)>0.所以Δ=1+4(a2-a-1)<0即4a2-4a-3<0.解得-<a<.6.【解析】由小前提和结论可知,是在小前提的两边同时加上了a2+b2,故大前提为:若a≥b,则a+c≥b+c.答案:若a≥b,则a+c≥b+c7.【解析】根据三段论的特点,三段论的另一前提必为否定判断.答案:否定8.【解析】由条件可知,因为f(m,n+1)=f(m,n)+2,且f(1,1)=1,所以f(1,5)=f(1,4) +2=f(1,3)+4=f(1,2)+6=f(1,1)+8=9.又因为f(m+1,1)=2f(m,1),所以f(5,1)=2f(4,1)=22f(3,1)=23f(2,1)=24f(1,1)=16,所以f(5,6)=f(5,1)+10=24f(1,1)+10=26.故(1)(2)(3)均正确.答案:(1)(2)(3)【举一反三】在本题条件不变时,求f(m,n)(m,n∈N*).【解析】由条件可知,f(m,n)=f(m,n-1)+2=…=f(m,1)+2(n-1),又f(m,1)=2f(m-1,1)=…=2m-1f(1,1)=2m-1,所以f(m,n)=2m-1+2(n-1).9.【解析】(1)不正确.小前提错误.因为若三点共线,则可确定无数平面,只有不共线的三点才能确定一个平面.(2)不正确.推理形式错误.因为演绎推理是从一般到特殊的推理,铜、铁、铝仅是金属的代表,是特殊事例,从特殊到特殊的推理不是演绎推理.【拓展提升】判断演绎推理是否正确的方法(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才是演绎推理.(2)看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等,注意其中有无前提条件.(3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提范围之内.(4)看推理过程是否正确,即看由大前提,小前提得到的结论是否正确.10.【证明】三角形的中位线平行于底边,…………………………………大前提点E,F分别是AB,AD的中点,………………………………………………小前提所以EF∥BD. …………………………………………………………………结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线,则直线与此平面平行,……大前提EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,EF∥BD, …………………………………………………………………………………小前提EF∥平面BCD.…………………………………………………………………结论11.【解题指南】(1)利用f(0)=c结合-1≤x≤1时|f(x)|≤1来证明.(2)先分a>0和a<0两种情况取g(1),g(-1)结合单调性证明再讨论a=0的情况.【证明】(1)因为x=0满足-1≤x≤1的条件,所以|f(0)|≤1.而f(0)=c,所以|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)在[-1,1]上是增函数,所以g(-1)≤g(x)≤g(1).又g(1)=a+b=f(1)-c,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c,所以-f(-1)+c≤g(x)≤f(1)-c,又-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,-1≤c≤1,所以-f(-1)+c≥-2,f(1)-c≤2,所以-2≤g(x)≤2.当a<0时,可用类似的方法,证得-2≤g(x)≤2. 当a=0时,g(x)=b,f(x) =bx+c,g(x)=f(1)-c,所以-2≤g(x)≤2.综上所述,-2≤g(x)≤2.。
【人教B版】选修2-2：2.1.2《演绎推理》课时作业及答案
【成才之路】高中数学第2章 2.1第2课时演绎推理课时作业新人教B版选修2-2一、选择题1．下面说法正确的个数为( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1 B．2C．3 D．4[答案] C2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中的“小前提”是( )A．①B．②C．①②D．③[答案] B3．(2015·锦州期中)若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB ＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是( )A．三段论推理B．假言推理C．关系推理D．完全归纳推理[答案] A[解析]根据三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大提前)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)所以在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论．4．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( )大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.小前提：正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.结论：A1B1∥AD.A．推理正确B．大前提出错导致推理错误C．小前提出错导致推理错误D．仅结论错误[答案] B[解析]由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误．5．下面的推理是关系推理的是( )A．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC 中，∠B＝∠CB．因为2是偶数，并且2是素数，所以2是素数C．因为a∥b，b∥c，所以a∥cD．因为2是有理数或无理数，且2不是有理数，所以2是无理数[答案] C[解析]A是三段论推理，B、D是假言推理．故选C.6．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”补充上述推理的大前提( )A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析]由结论可得要证的问题是“对角线相等”，因此它应在大前提中体现出来．故选B.7．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误[答案] D[解析]应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．8.如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠3＝180°.所用的推理规则为( )A．假言推理B．关系推理C．完全归纳推理D．三段论推理[答案] D[解析]关系推理的规则是“若a＝b，b＝c，则a＝c”，或“若a∥b，b∥c，则a∥c”．故选D.二、填空题9．设f(x)定义如下数表，{x n}满足x0＝5，且对任意自然数n均有x n＋1＝f(x n)，则x2 015的值为________.[答案] 4[解析]由数表可知x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5，x5＝f(x4)＝f(5)＝2，……∴{x n}的周期为4.∴x2 015＝x3＝4.10．(2015·徐州期末)给出下列演绎推理：“自然数是整数，________，所以，2是整数”，如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写____________．[答案]2是自然数[解析] 由演绎推理三段论可知：“自然数是整数，2是自然数，所以，2是整数”． 11．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．[答案] log 2x －2≥0 三、解答题12.如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] 在△ABD 中，因为E ，H 分别是AB ，AD 的中点，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD ，同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形.一、选择题1．下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线； 小前提：已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α； 结论：所以直线b ∥直线a . 在这个推理中( ) A ．大前提正确，结论错误 B ．小前提与结论都是错误的 C ．大、小前提正确，只有结论错误 D ．大前提错误，结论错误 [答案] D[解析] 如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α时，直线b 与直线a 可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.2．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，……，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92[答案] B[解析] 记|x |＋|y |＝n (n ∈N *)的不同整数解(x ，y )的个数为f (n )，则依题意有f (1)＝4＝4×1，f (2)＝8＝4×2，f (3)＝12＝4×3，……，由此可得f (n )＝4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为f (20)＝4×20＝80，选B.3．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A sin B ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] A[解析] 由sin C ＝2cos A sin B 得：c ＝2·b 2＋c 2－a 22bc·b ，即：a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC为等腰三角形，故选A.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝log 5(n ＋4)，则数列{a n }从第二项起是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都错[答案] B[解析] 因S n ＝log 5(n ＋4)，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝log 5n ＋4n ＋3＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋3，∴a n 的值随n 的增大而减小． ∴{a n }为递减数列，故选B. 二、填空题5．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．[答案] m >n[解析] ∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b ， ∴a ＋b2>a ＋b2，∴m >n .6．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，则a ·1＋b 2的最大值为________．[答案]324[解析] a ·1＋b 2＝22·2a 2·1＋b 2 ≤22×2a 2＋1＋b 22＝324. 7．已知sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2mm ＋5，其中α是第二象限角，则m 的取值为________． [答案] 8 [解析] 由⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 整理，得m 2－8m ＝0， ∴m ＝0或8.∵α是第二象限角，则sin α>0，cos α<0. 经验证知m ＝8. 三、解答题8．设函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )>f (b )，求证：ab <1. [证明] 证法1：由已知f (x )＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.∵0<a <b ，f (a )>f (b )，∴a 、b 不能同时在区间[1，＋∞)上．又由于0<a <b ，故必有a ∈(0，＋∞)．若b ∈(0,1)，显然有ab <1；若b ∈(1，＋∞)，由f (a )－f (b )>0，有－lg a －lg b >0.∴lg(ab )<0.∴ab <1.证法2：由题设f (a )>f (b )，即|lg a |>|lg b |，上式等价于(lg a )2>(lg b )2，即(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )>0.∴lg(ab )·lg a b>0. 由已知b >a >0，∴b a<1.∴lg a b<0.∴lg(ab )<0.∴0<ab <1.9．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1(x ∈R )．(1)判断f (x )在R 上的单调性，并用定义证明； (2)当n ∈N ＋时，合理猜想f (n )与nn ＋1的大小．(不需证明)[证明] (1)f (x )在R 上是增函数．证明如下： 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－12x 2＋1－2x 1－12x 1＋1＝22x 2－2x 12x 1＋12x 2＋1.∵x 1<x 2，∴0<2x 1<2x 2，∴2x 2－2x 1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在R 上是增函数． (2)设g (n )＝nn ＋1.当n ＝1时，f (1)＝13，g (1)＝12， 有f (1)<g (1)；当n ＝2时，f (2)＝35，g (2)＝23，有f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝79；g (3)＝34，有f (3)>g (3)；当n ＝4时，f (4)＝1517，g (4)＝45，有f (4)>g (4)；….从而，当n ＝1,2时，f (n )<g (n )，并猜想：当n ≥3时，f (n )>g (n )，即2n－12n ＋1>nn ＋1.。
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2.1.2 演绎推理
一、基础过关
1．下列表述正确的是()
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④
C．②④⑤D．①③⑤
[答案] D
[解析]根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．
2．下列说法不正确的是()
A．演绎推理是由一般到特殊的推理
B．赋值法是演绎推理
C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断
D．归纳推理的结论都不可靠
[答案] D
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理()
A．结论正确B．大前提不正确
C．小前提不正确D．全不正确
[答案] C
[解析]由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是() A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
[答案] B
[解析]利用三段论分析：
大前提：矩形都是对角线相等的四边形；
小前提：四边形ABCD是矩形；
结论：四边形ABCD的对角线相等．
5．给出演绎推理的“三段论”：
直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)
已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)
则直线b∥直线a.(结论)
那么这个推理是()
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．非以上错误
[答案] A
6．下列几种推理过程是演绎推理的是()
A．5和22可以比较大小
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．预测股票走势图
[答案] A
7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.
证明因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．
设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．
二、能力提升
8．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是__________________．
[答案]y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞)
[解析]由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.
9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析]①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.
10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号)．
[答案]②③
11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．
证明 大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期．
小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )．
结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．
12．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，求a 的值． 解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，
∴(a －1a )(e x －1e x )＝0对于一切x ∈R 恒成立， 由此得a －1a
＝0， 即a 2＝1.又a >0，
∴a ＝1.
三、探究与拓展
13．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －
x 2
(其中a >0且a ≠1)． (1)5＝2＋3请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示；
(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32×a 2－a －22＋a 3－a －32×a 2＋a －22＝a 5－a －52
又g (5)＝a 5－a －52
，因此， g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．
(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，
即g (2＋3)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，
于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．
证明：因为f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2
，(大前提) 所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2，
g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y 2
，(小前提及结论) 所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2×a y －a －y 2＋a x －a －x 2×a y ＋a －y
2 ＝a x ＋y －a －x ＋y 2＝g (x ＋y ).。