《圆和相似三角形》同步练习题(无答案)

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)(K12教育文档)

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)(word版可编辑修改)的全部内容。

相似三角形一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证:△ADE∽△EFC．2．如图,梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．(1）求证：△CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D,E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问:（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t,使以A，M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在,求t的值；若不存在,请说明理由．5．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明:△ADM∽△MCP．6．已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似．8．如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm，AC=6cm,点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P 的位置,使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．11．如图，路灯（P点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米？12．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．13．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC）是否是定值请说明理由;（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．14．已知：如图,△ABC∽△ADE，AB=15,AC=9，BD=5．求AE．15．已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长;（2)过B作B E⊥DC于E，求BE的长．相似三角形一．解答题（共30小题)1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．(1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．分析：（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．（2）根据点F是BC的中点这一已知条件,可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．3．如图，点D，E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．点评:本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理：（1）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；(3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似．4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1)经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2)是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系;（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．解答：（1)设经过x秒后,（6﹣2x）x=×3×6,得x1=1，x2=2，（2)假设经过t秒时,以A,M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或即①,或②解①，得t=;解②，得t=经检验，t=或t=都符合题意12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC,M是CD的中点,试说明：△ADM∽△MCP．分析：欲证△ADM∽△MCP,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等,即∠D=∠C,此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．6．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A 出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？分析：要使以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似，则要分两两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△BDC或△QBP∽△BDC，从而解得所需的时间．解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°，(1）当∠1=∠2时,有：,即；（2）当∠1=∠3时，有:,即,∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．7．如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3；（2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有=,∴AB==3．8．如图在△ABC中，∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，∵∠C=∠C=90°，当或时，两三角形相似．（1）当时，，∴x=;（2）当时，，∴x=．19．如图所示,梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2,BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A,D为顶点的三角形与以P,B，C为顶点的三角形相似．解答：解：（1）若点A，P,D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，=,AP2﹣7AP+6=0,AP=1或AP=6，检测：当AP=1时,由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3,AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，△APD∽△BCP．(2)若点A，P,D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=,AD=2，BC=3，=，∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．分析：若以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,有四种情况：①△APQ∽△BAC,此时得AQ：BC=AP:AB;②△APQ∽△BCA，此时得AQ：AB=AP:BC；③△AQP∽△BAC,此时得AQ：BA=AP：BC；④△AQP∽△BCA，此时得AQ：BC=AP：BA．可根据上述四种情况所得到的不同的对应成比例线段求出t的值．11．如图，路灯(P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？分析：如图,由于AC∥BD∥OP,故有△MAC∽△MOP,△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解．12．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2。

圆与相似三角形综合问题

1EANMEDCBAEDCBAEDCBAl 3l 2l1C/B /A /CB Al 3l 2l 1C/B /A /CB A知识框架相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用.1、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法（1）三边对应成比例的两个三角形相似（2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似（3）两组角对应相等的两个三角形相似.3、相似三角形中几个的基本图形4、由相似三角形得到的几个常用定理定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.如图，若DE ∥BC ,则AD AE DE ABACBC==,或AD BD AECE=.定理2 平行切割定理如图，,D E 分别是ABC D 的边,AB AC 上的点，过点A 的直线交,DE BC 于,M N ,若DE ∥MN ,则DM BN MENC=定理 3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.如图，若1l ∥2l ∥3l ，则AB BC ACA B B C A C==ⅱⅱⅱ, 定理4（角平分线性质定理）如图，,AD AE 分别是2HEDCBAABC D 的内角平分线与外角平分线，则DB EB AB DCECAC==.定理5 射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径ABCD ，∴2CEAE BE定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

相似三角形与圆综合题

相似三角形与圆综合题(总25页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O 于点F，CG⊥AB交AB于点G．求证：BG•AG=DF•DA．2、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．(1)求证：DE为⊙O的切线．(2)求证：AB：AC=BF：DF．3、(南通)已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．(1)求证：∠ADE=∠B；(2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE．4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．(1)直接写出AE与BC的位置关系；(2)求证：△BCG∽△ACE；(3)若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．5、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O 于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．7、如是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF．8、已知：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。

圆和相似三角形专项练习2022-2023学年人教版九年级数学上册

圆1.已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=42°，点D是⊙O上一点．(1)如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的度数；(2)如图②，若CD//BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的度数．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D.点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．(1)求证：直线DE为⊙O的切线；(2)若∠B=30°，AC=4，求阴影部分的面积．3.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．(1)求证：AB=BE；(2)如果PD=2√3，∠ABC=60°，求BC的长．4.如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．(1)求证：直线CD是⊙O的切线．(2)求证：CD⋅BE=AD⋅DE．5.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD//BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．(1)求∠DAF的度数；(2)求证：AE2=EF⋅ED；(3)求证：AD是⊙O的切线．6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．(结果保留根号和π)7.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．(1)求证：AE为⊙O的切线；(2)当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；(3)在(2)的条件下，求线段BG的长．相似三角形8.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是( )A. ∠ADC=∠ACBB. ABBC =ACCDC. ∠ACD=∠BD. AC2=AD⋅AB9.如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，可添加的条件是_____．10.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF=∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．求证：△BDE∽△CEF．11.如图，P是△ABC的边AB上的一点．(1)如果∠ACP=∠B，△ACP与△ABC是否相似？为什么？(2)如果APAC =ACAB，△ACP与△ABC是否相似？为什么？如果ACCP=BCAC呢？12.如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．求证：△ABC∽△AED．13.如图，AB⋅AE=AD⋅AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．14.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？15.如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D=30°，DC=√3．(1)求证：△BOC∽△BCD；(2)求△BCD的周长．16.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC;(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求DE的长．。

2019-2020学年九年级数学《圆和相似三角形》同步练习题.docx

2019-2020 学年九年级数学《圆和相似三角形》同步练习题1、如图，用 3 个边长为 1 的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )A ．2B ．5C ．5D． 5 172416思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．2、已知：如图，△ ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过 C 作 CF∥ AB，延长 BP 交AC于 E，交 CF于 F、求证： BP2=PE?PF．3、如图，已知点 A、 B、 C、D 顺次在⊙ O上，AB BD，BM⊥ AC于 M，求证： AM=DC+CM．思路点拨用截长 ( 截 AM)或补短 ( 延长 DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．4．如图，已知四边形ABCD内接于直径为 3 的圆 O，对角线的交点为P， AB=BD，且 PC=0． 6，求四边形ABCD的周长．AC是直径，对角线AC和BD5、如图，已知圆内接△ABC中， AB>AC， D 为BAC的中点， DE⊥ AB于 E.22求证： BD－AD=AB× AC．6、如图，已知四边形ABCD外接⊙ O的半径为 5，对角线AC与 BD的交点为 E，且2AB =AE× AC，BD＝ 8，求△ ABD的面积．思路点拨由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得 A 为弧 BD中点，这是解本例的关键．DA 交△ ABC7、如图，已知AD 是△ ABC外角∠ EAC的平分线，交 BC 的延长线于点D，延长的外接圆于点F，连结 FB， FC．2(3) 若 AB 是△ ABC的外接圆的直径，∠EAC=120°， BC=6cm，求 AD的长．8．如图，已知P 是⊙ O直径 AB延长线上的一点，直线PCD交⊙ O于 C、 D 两点，弦D F⊥ AB于点 H， CF交 AB 于点 E．(1)求证：PA· PB=PO· PE；(2)若DE⊥CF，∠ P=15°，⊙ O的半径为2，求弦 CF 的长．9、如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E 在 AD上，且 AB＝ AC＝ AE．请你说明以下各式成立的理由：2 2（1）∠CAD＝ 2∠DBE；（ 2）AD－AB＝BD·DC．10、如图所示， ABCD 为☉ O 的内接四边形， E 是 BD 上的一点，且有∠ BAE= ∠DAC. (1) 求证：△ ABC ∽△ AED ； (2) 求证： AB?DC + AD?BC = AC?BD.DACO EB11、如图，正方形ABCD 内接于⊙ O ，点 P 在劣弧 AB 上，连结 DP ，交 AC 于点 Q ，若 QP ＝QO ，DC则QC的值为 ( )(A)2 3 1 (B) 2 3 (C) 3 2(D)3 2QAO QABP12．如图，设 AD ， BE ， CF 为三角形 ABC 的三条高，若 AB 6 ， BC5 ，EF 3，则线段 BE 的长为（）13．△ ABC 中， AB=1,AC=2,D 是 BC 中点 ,AE 平分∠ BAC 交 BC 于 E, 且 DF ∥ AE.求 CF 的长 .AFBE D C14、已知在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD ＜ BC ，且 AD=5， AB=DC=2（ 1）如图， P 为 AD 上的一点，满足∠ BPC=∠ A ，求 AP 的长；（ 2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A 、 D 不重合），且满足∠ BPE=∠ A ， PE 交直线 BC 于点 E ，同时交直线 DC 于点 Q ．①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP=x ，CQ=y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；②当 CE=1 时，写出 AP 的长。

相似三角形+圆相关证明与计算练习题(学生)

相似三角形圆相关证明与计算练习题一．选择题（共7小题）1．（2014•泸州）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A．B．C．D．2．（2015•大庆模拟）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC与E，已知AD=AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④S△ABF=3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（）个．A．5 B．4 C．3 D．23．（2015•辽宁二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=6，AB=9，则AD=（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2015•盘锦）如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（）m．A．4 B．5 C． D．25．（2015•巴彦淖尔）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣26．（2014•泰安）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．（﹣1）cm2B．（+1）cm2C．1cm2 D．cm27．（2015•兰州）如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q 是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）8．（2014•湖州）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．9．（2005•绵阳）如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=．10．（2014•张家界）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．11．（2014•扬州）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=．三．解答题（共19小题）12．（2015•泰安模拟）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？13．（2015•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．14．（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．15．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．16．（2015•武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．17．（2015•茂名）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B 出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．18．（2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．19．（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．20．（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．21．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．22．（2014•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．（1）求证：AP=AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．23．（2014•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？24．（2015•盐城校级模拟）【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；（2）若DE=2CE，求OF的长．25．（2015秋•相城区期中）已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab=0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若CD是AB边上的高，AC=2，AD=1，求BD的长．26．（2015•鄂州）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC 于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．27．（2014•十堰）如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C 点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．28．（2015•湖北）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD=3，求△ABC的面积．29．（2014•襄阳）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．（1）求证：△ADP∽△BDA；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．30．（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．。

圆与相似三角形的常见综合题型

圆与相似三角形专项训练1. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是的中点，连接AC ，过点C 作⊙O 的切线EF 交射线AD 于点E.(1)求证：AE ⊥EF ；(2)连接BC ，若AE ＝165，AB ＝5，求BC 的长.2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CB 与⊙O 相切于点B ，连接AC 交⊙O 于点D.(1)求证：∠DBC ＝∠DAB ；(2)若点E 为的中点，连接BE 交AD 于点F ，若BC ＝6，sin ∠ABD ＝53，求AF 的长.3. 如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线CD ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，延长EB 交⊙O 于点F ，连接AC ，AF.(1)求证：CE ＝12AF ； (2)连接BC ，若⊙O 的半径为5，tan ∠CAF ＝2，求BC 的长.4.如图,AB 是☉O 的直径,点C 为☉O 上一点,CN 为☉O 的切线,OM ⊥AB 于点O,分别交AC,CN 于D,M 两点.(1)求证:MD=MC.(2)若☉O 的半径为5,AC=54,求MC 的长.5.已知:如图,以等边△ABC 的边BC 为直径作☉O,分别交AB,AC 于点D,E,过点D 作DF ⊥AC 交AC 于点F.(1)求证:DF 是☉O 的切线.(2)若等边△ABC 的边长为8,求由弧DE,DF,EF 围成的阴影部分的面积.6.如图,BD 为△ABC 外接圆☉O 的直径,且∠BAE=∠C.(1)求证:AE 与☉O 相切于点A.(2)若AE ∥BC,BC=72,AC=22,求AD 的长.7.如图，已知AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P.(1)判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若tan ∠P ＝43，AD ＝6，求线段AE 的长.8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CF=2，DF=4，求⊙O 直径的长．9.如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与直径AB 相交于点F ．点E 在⊙O 外，做直线AE ，且∠EAC=∠D ．(1)求证：直线AE 是⊙O 的切线．(2)若∠BAC=30°，BC=4，cos ∠BAD=34，CF=103，求BF 的长．10.如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．(1)求证：PQ是⊙O的切线；(2)求证：BD2=AC•BQ；(3)若AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，且tan∠PCD=13，求⊙O的半径．11.如图，在△ABC中，AB=AC ，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BD=BF；(2)若AB=10，CD=4，求BC的长.12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.(1)求证:AC平分∠DAB.(2)若CD=4,AD=8,试求☉O的半径.13.已知:A是以BC为直径的圆上的一点,BE是☉O的切线,CA的延长线与BE交于E点,F是BE的中点,延长AF,CB交于点P.(1)求证:PA是☉O的切线.(2)若AF=3,BC=8,求AE的长.14.如图,四边形ABCD内接于⊙0,BD是⊙0的直径,AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.(1)求证:AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC=30°,DE=lcm,求BD的长.15．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO 交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若OC=3，AC=4，求sinE的值．16．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，E为弧BD的中点，连接CE交AB于点F，AF=AC．(1)求证：直线AC是⊙O的切线；(2)若AB=10，BC=8，求CE的长．17.如图,已知⊙0是△ABC的外接圆,AD是⊙0的直径,且BD=BC,延长AD到E,且有∠EBD=∠CAB.(1)求证:BE是⊙O的切线；(2)若BC=3,AC=5,求圆的直径AD及切线BE的长.18.如图,在△ABC中,E是AC边上的一点,且AE=AB,∠BAC=2∠CBE,以AB为直径作⊙0交AC于点D,交BE 于点F。

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE ＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC ＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD ＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH(2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S △OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y ＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3(2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。

相似三角形与圆的综合题

相似三角形与圆的综合考题1、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G．求证：BG•AG=DF•DA．2、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．(1)求证：DE为⊙O的切线．(2)求证：AB：AC=BF：DF．3、(南通)已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．(1)求证：∠ADE=∠B；(2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE．4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．(1)直接写出AE与BC的位置关系；(2)求证：△BCG∽△ACE；(3)若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．5、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．7、如是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF．8、已知：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一:圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE ＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BC于点E。

(1）求证:点E是边BC的中点;(2)求证:BC2＝BD·BA；(3)当以点O,D,E，C为顶点的四边形是正方形时，求证:△ABC是等腰直角三角形．解：(1）连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°。

∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD,∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC。

∵AC为直径,∴∠ADC＝90°,∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB,∴EB＝EC，即点E为边BC的中点（2)∵AC为直径,∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD,∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD ＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G,且D是BC的中点，DE⊥AB,垂足为点E,交AC的延长线于点F.（1）求证:直线EF是⊙O的切线;（2）已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB,∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2）∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A,∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中,∵∠ODF＝90°,∴cos∠FOD＝ODOF＝25。

(完整)圆与相似三角形、三角函数专题(含答案),推荐文档

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE ＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC ＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD ＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH(2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S △OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y ＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3(2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。

相似三角形与圆的综合题资料

相似三角形与圆的综合考题1、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G．求证：BG•AG=DF•DA．2、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．(1)求证：DE为⊙O的切线．(2)求证：AB：AC=BF：DF．3、(南通)已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．(1)求证：∠ADE=∠B；(2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE．4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．(1)直接写出AE与BC的位置关系；(2)求证：△BCG∽△ACE；(3)若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．5、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．7、如是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF．8、已知：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC ＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE ＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0) (3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt △BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。

人教版九年级下册：圆与相似三角形综合练习(无答案)(1)

圆与相似三角形1．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F.(1)求证：∠FEB=∠ECF；(2)若BC=6，DE=4，求EF的长。

3. 如图，AB 是O 的直径，点D 是弧AE 上一点，且∠BDE =∠CBE ，BD 与AE 交于点F.(1)求证：BC 是圆O 的切线；(2)若BD 平分∠ABE ，求证： DB DF DE ⋅=2；(3)在(2)的条件下，延长ED 、BA 交于点P ，若PA =AO ，DE =2，求PD 的长。

4．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．5．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O 于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD=3，求△ABC的面积．6．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA 的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若，求∠E的度数．（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长．7．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．（1）求证：△ADP∽△BDA；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．8．如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．9．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF 为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．（1）求∠FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，①求证：FD=FI；②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．10．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C 作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF•AB；（3）若⊙O的直径为10，AC=2，AB=4，求△AFG的面积．11．如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．（1）直接写出AE与BC的位置关系；（2）求证：△BCG∽△ACE；（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．12．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求的值．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD、FH．（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当AB=BE=1时，求⊙O的面积；（3）在（2）的条件下，求HG•HB的值．14．如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2=PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．（1）求证：△PAE∽△PEC；（2）求证：PE为⊙O的切线；（3）若∠B=30°，AP=AC，求证：DO=DP．15．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG．（1）求证：AB=CD；（2）求证：CD2=BE•BC；（3）当CG=，BE=时，求CD的长．16．已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E.（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．17. 如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．19.如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；（3）在（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长．20．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH 的值．。

中考数学综合能力提升相似三角形在圆中的应用专题练习卷(无答案)

相似三角形在圆中的应用专题练习卷1.如图，菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于（）A ．5B ．6C ．D ．2.（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。

连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。

已知CE=12，BE=9 （1）求证：△COD ∽△CBE ；（2）求半圆O 的半径r 的长3.如图，已知BC 是O ⊙的直径，点D 为BC 延长线上的一点，点A 为圆上一点，且AB AD =，AC CD =. (1)求证：ACD BAD △∽△； (2)求证：AD 是O ⊙的切线.4.如图，以原点O 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A ，B 两点（点B 在点A 的右边），P 是半径OB 上一点，过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的上方），直线AC ，DB 交于点E ．若AC ：CE=1：2．（1）求点P 的坐标；（2）求过点A 和点E ，且顶点在直线CD 上的抛物线的函数表达式．5.如图，ABC △内接于O ⊙，BC 是O ⊙的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ，AD ，使得FAC AOD =∠∠，D BAF =∠∠.(1)求证：AD 是O ⊙的切线；(2)若O ⊙的半径为5，2CE =，求EF 的长.6.如图，已知直线PT 与⊙O 相切于点T ，直线PO 与⊙O 相交于A ，B 两点．（1）求证：PT 2=PA•P B ；（2）若，求图中阴影部分的面积．7．如图，AB 是⊙O 的直径，AB =E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．（1）求证：CB 是∠ECP 的平分线；（2）求证：CF =CE ；（3）当34CF CP 时，求劣弧BC 的长度（结果保留π）8．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D ，过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 延长线于P 、Q ，连接BD ．（1）求证：PQ 是⊙O 的切线；（2）求证：BD 2=AC •BQ ；（3）若AC 、BQ 的长是关于x 的方程4x m x +=的两实根，且tan ∠PCD =13，求⊙O 的半径．9.如图，已知C ∆AB 内接于O ，AB 是直径，点D 在O 上，D//C O B ，过点D 作D E ⊥AB ，垂足为E ，连接CD 交OE 边于点F ．（1）求证：D ∆OE ∽C ∆AB ；（2）求证：DF D ∠O =∠B E ；（3）连接C O ，设D ∆OE 的面积为1S ，四边形C D B O 的面积为2S ，若1227S S =，求sin A 的值．10.如图，ABC ∆内接于O ，,AB AC CO =的延长线交AB 于点D ．（1）求证AO 平分BAC ∠；（2）若36,sin 5BC BAC =∠=，求AC 和CD 的长． 11. 如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ；连接BD ，过点D 作直线DM ，使∠BDM ＝∠DA C ．（1）求证：直线DM 是⊙O 的切线；（2）求证：DE 2＝DF ·D A ．12.如图，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C .连接BC .（1）求证：CBP BAC ∠=∠；（2）求证：PA PC PB ⋅=2；（3）当3,6==CP AC 时，求PAB ∠sin 的值.13.如图，菱形ABCD 中，对角线BD AC ,相交于点O ，cm BD cm AC 16,12==，动点N 从点D 出发，沿线段DB 以s cm /2的速度向点B 运动，同时动点M 从点B 出发，沿线段BA 以s cm /1的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止.设运动时间为)0)((>t s t ，以点M 为圆心，MB 为半径的⊙M 与射线BA ，线段BD 分别交于点F E ,，连接EN .（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；（2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切？（3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围.4.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC=3，AD的长．5.如图，已知RtΔABC,∠C=90°，D为BC的中点.以AC为直径的圆O交AB于点E.（1）求证：DE是圆O的切线.(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的长.。

圆与相似三角形练习题.docx

《相似形》练习题1 如图，已知AB是ΘO的弦，0B=4 , ∠ OBC=30 ° 连接CO并延长CO交ΘO于点D ,连接AD、DB .(1)当∠ ADC=18。

时，求∠ DOB的度数；(2)若AC=2 二，求证：△ ACD OCB .2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形.(1)求证：△ MEFMBA ;(2)若AF、BE分别是∠ DAB , ∠ CBA的平分线，求证：DF=EC .3.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE丄BC ,垂足为E,连接DE , F为线段DE上一点, 且∠ AFE= ∠ B(1)求证：△ ADF DEC ;(2)若AB=8 , AD=6 7, AF=4 二，求AE 的长.4.如图，已知AB是Θ O的直径，P为Θ O外一点，且OP// BC ,∠ P= ∠ BAC .(1) 求证：PA为ΘO的切线；(2) 若OB=5 , OP=-≤,求AC 的长.3B 5 .如图，点C是以AB为直径的ΘO上的一点,(1)求证：AC平分∠ BAD ;(2)若CD=1 , AC^j 求ΘO的半径长.AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D.6 .如图，ΘO是厶ABC的外接圆，BC为ΘO直径，作∠ CAD= ∠ B ,且点D在BC的延长线上，CE丄AD 于点E.(1)求证：AD是ΘO的切线；(2)若ΘO的半径为8, CE=2 ,求CD的长.7.如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作ΘO,分别与BC,AD相交于点E, F. ( 1)求证：四边形BEDF为矩形；2(2) BD =BE?BC,试判断直线CD与ΘO的位置关系，并说明理由.&如图，已知AB是ΘO的直径，BC丄AB ,连结OC,弦AD // OC,直线CD交BA的延长线于点E.( 1)求证：直线CD是ΘO的切线；(2)若DE=2BC ,求AD : OC 的值.13.如图，在 △ ABC 中，∠ C=90 ° ∠ BAC 的平分线 AD 交BC 于D ,过点D 作DE 丄AD 交AB 于E , 以AE 为直径作Θ O .(1) 求证：点D 在Θ O 上； (2) 求证：BC 是Θ O 的切线；(3) 若 AC=6 , BC=8 ,求△ BDE 的面积.11.如图，Θ O 的直径AB=6 , AD 、BC 是Θ O 的两条切线, (1) 求OD 、OC 的长； (2) 求证：△ DOCOBC ； (3) 求证：CD 是Θ O 切线.BC 交Θ O 于D , E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长9 .在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90 ° D 是AB 边上的一点，以并延长，与BC 的延长线交于点 F .且BD=BF . (1) 求证：AC 与Θ O 相切.(2) 若 BC=6, AB=12 ,求Θ O 的面积. BD 为直径作Θ O 交AC 于点E ,连结DE 12.如图，AB 是Θ O 的直径，经过圆上点 D 的直线CD 恰使∠ ADC= ∠ B .(1) 求证：直线CD 是Θ O 的切线；(2) 过点A 作直线AB 的垂线交BD 的延长线于点E .且AB= 7, BD=2 .求线段AE 的长.10.如图，AB 是半圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上, 连接BC .(1) 求证：BC 平分∠ PBD ;2(2) 求证：BC =AB ?BD ;(3) 若 PA=6, PC=6「，求 BD 的长.PD 切Θ O 于点C , BD 丄PD ,垂足为 D ,14.已知：如图， AB 为Θ O 的直径，AB 丄AC , 线相交于点F .(1) 求证：DE 为Θ O 的切线. (2) 求证：AB : AC=BF : DF .B迟15. 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90° ∠ ABC 的平分线交 D 两点，且分别交 AB 、BC 于点E 、F . (1) 求证：AC 是Θ O 的切线；(2) 已知 AB=10 , BC=6 ,求Θ O 的半径r . E , 且 AB=BE .(1) 求证：AB 是Θ O 的切线；(2) 过D 点作DF // BC 交Θ O 于点F ,求线段DF 的长.16. 如图：AB 是Θ O 的直径，AD 是弦，∠ DAB=22.5 °延长 AB 到点C ,使得∠ ACD=4519.如图，BD 是Θ O 的直径，A 、C 是Θ O 上的两点，且 AB=AC , AD 与BC 的延长线交于点 E .20已知AB 是Θ O 的直径，弦 AC 平分∠ BAD , AD 丄CD 于D , BE 丄CD 于E .17. 如图，在 △ ABC 中，BA=BC ,以AB 为直径作半圆Θ 足为点E .(1) 求证：DE 为Θ O 的切线；2(2) 求证：BD =AB ?BE .(1) 求证：CD 是Θ O 的切线； (2) 若AB=2 二求BC 的长. (1) 求证：△ ABD AEB ;(2) 若 AD=1 , DE=3 ,求 BD 的长.18.如图，在 △ ABC 中，点D 是AC 边上一点，AD=10 , DC=8 .以AD 为直径的Θ O 与边BC 切于点O ,交AC 于点D ,过点D 作DE 丄BC ,垂求证：(1) CD 是Θ O 的切线;2(2) CD =AD ?BE .24 .如图，圆 O 是厶ABC 的外接圆，AB=AC ,过点A 作AP // BC ,交BO 的延长线于点 P .22.如图，AB 是Θ O 的直径，AC 与Θ O 相切，切点为 A , D 为Θ O 上一点，AD 与OC 相交于点E ,且 ∠ DAB= ∠ C (1) 求证：OC // BD ;(2) 若AO=5 , AD=8 ,求线段CE 的长.26.如图，以Rt △ ABC 的直角边AB 为直径的半圆 O ,与斜边AC 交于D , E 是BC 边上的中点，连接DE .(1) DE 与半圆0是否相切？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由； (2) 若AD 、AB 的长是方程χ2 - 16x+60=0的两个根，求直角边 BC 的长.21、如图，AB 是Θ O 的直径, (1 )∠ AOC=2 ∠ ACD ; 2(2) AC =AB ?AD .AC 是弦，CD 是Θ O 的切线，C 为切点，AD 丄CD 于点D .求证:(1) 求证：AP 是圆O 的切线；(2) 若圆O 的半径R=5, BC=8 ,求线段AP 的长.25.如图，在Θ O 中，M 是弦AB 定的中点，过点(1) 求证：∠ A= ∠ C ;(2) 若 OA=5 , AB=8 ,求线段 OC 的长.23.如图，AB 为Θ O 的直径，劣 £= * I 弧BD // CE ,连接AE 并延长交 BD 于D .求证：(1) BD 是Θ O 的切线;2(2) AB =AC ?AD .B D。

圆与相似三角形综合提高练习

圆与相似三角形综合提高练习1.如图，ΔABC是G)O的内接三角形，点D在肌？上点E在弦力B上(E不与力重合)，且四边形BDCE为菱形.(1)求证：AC = CE；(2)求证：BC2 -AC2 =AB・4C ；⑶ 已知Oo的半径为3•①若= I I求8C的长；②当筹为何值时，AB-AC的值最大？2.如图1,直线丨：y = -∣x + b与X轴交于点A (4, 0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0<AC<牛)，以点A为圆心，AC长为半径作C)A交X轴于另一点D,交线段AB于点E,连结OE并延长交G)A于点F •(1)求直线丨的函数表达式和tanZ BAO的值；(2)如图2,连结CE,当CE=EF时，①求证：△ OCES AOEA ；②求点E的坐标；(3)当点C在线段OA上运动时，求OE EF的最大值.ftr∏lffl3.如图，AB为。

O的直径，点C为OO上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心0重合，连接0C, CD, BD,过点C的切线与线段BA的延长线交于点P,连接AD,在PB的另一侧作ZMPB=ZADC・(1)判断PM与C)O的位置关系，并说明理由；(2)若PC= √3 ,求四边形OCDB的面积.4.如图在平面直角坐标系中，直线×÷3与X轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q 同时从点A出发，运动时间为t秒•其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度, 点Q沿射线AO 运动，速度为每秒5个单位长度•以点Q为圆心，PQ长为半径作C)Q .(1)求证：直线AB是OQ的切线；(2)过点A左侧X轴上的任意一点C (m, 0),作直线AB的垂线CM l垂足为M •若CM 与。

Q 相切于点D,求m与t的函数关系式(不需写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，是否存在点C,直线AB、CM、y轴与C)Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由・5.已知：如图，在AABC中，AB二BC二10,以AB为直径作C)O分别交AC I BC于点D1 E, 连接DE和DB,过点E作EF丄AB,垂足为F,交BD于点P・(1)求证:AD=DE ；(2)若CE=2,求线段CD的长；(3)在(2)的条件下，求ADPE的面积•6如图，在Rt∆ABC中，ZACB=90°,以BC为直径的Θθ交AB于点D, E是AC的中点OE交CD于点F・(1)若ZBCD=36o, BC=IO l求BD 的长；(2)判断直线DE与C)O的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE z=AB∙EF ・7.如图，∆ABC内接于Θθ. BC是C)O的直径，弦AF交BC于点E,延长BC到点D连接OA I AD,使得乙FAC二乙AOD, ZD=ZBAF.(1)求证：AD是OO的切线；(2)若C)O的半径为5, CE二2,求EF的长.8.如图，∆ABC内接于C)0,乙CBG二ZA, CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EF丄BC T 垂足为F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.G(1)求证：PG与OO相切；⑵若≡ = L求茅的值;(3)在(2)的条件下，若C)O的半径为8, PD=OD,求OE的长.9如图：在OO 中，BC=2,AB=AC1点D为AC ±的动点，且COSB =计(1)求AB的长度；(2)求AD AE的值；⑶过A点作AH丄BD求证：BH=CD+DH.10.如图，AH是C)O的直径，AE平分ZFAH,交G)O于点E,过点E的直线FG丄AF,垂足为F, B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上.(1)求证：直线FG是C)O的切线；⑵若AF二12, BE二6,求扃的值.参考答案1. 【答案】 ⑴ 证明：・・•四边形BDCE 为菱形，ACD=CE J 乙CBD 二乙CBE, ・•・ CD 二 AC,/.AC=CE ・(2) 证明：如图1,过点C 作CF 丄AB 交于点F,VAC=CE l AAF=EF ・在 RtΔBCF 和 Rt ∆ACF 中，BC 2 = BF 2 + CF 2MC 2 = AF 2 + CF 2, ・•・ BC 2 一 AC 2 = BF 2 一 AF 2 = (BF + AF)(BF 一 AF) =AB ・ BE ,・・•四边形BDCE 是菱形，ABE=CE=AC 1 ・•・ BC 2 -AC 2 = AB ・ AC .(3) 解：①•・•器,可设 AB 二5k, BE=AC=3k,则 AE=AB-BE=2k, AF=k •在 Rt ∆ACFA C S2如图2,连接Co 并延长交C)O 与点G,连接BG,则ΔG=ΔA 1则COSZG= | ,• CG 二6( COSZ-G- ； , ∙'∙ BG — 2,・•・ BC= V CG 2- BG 2 = √36-4 = 4√2 ・ AD Ar \②如图 2,设—=m ,其中 m>l t AC 二a,则 AB=ma, AE=ma-a, AF 二—= -(mα-α) 在 Rt ∆AFC 中，COSAA= ^ = ^ma ~a (m-l) I/4 C CI 乙中, CoS 乙 A二 AF _ k _ 1AC 3k 3・・• CG 是直径，∙∙∙∆BCG 是直角三角形，在RtΔBCG 中，CG=6, CosZG二CosZA= ^(Tn- 1) I.∙∙BG二CGCOS乙G=6 扌(m-l) =3m-3,BCl CG2-BG2 = 36-(3m- 3)2 ,由(2)得BC2 = AB• AC+ AC2 = ma2 + α2I/. 36 — (3m — 3)2 = ma2 + a2I∙= 9(m + 1)(3 — m) = a2(m + 1) I又β/ m + 1 ≠ 0 ,・•・ a? = 9(3-m)..β.ABAC=ma z=9m(3- m)=- 9m z+27m ・当m= -》二 =2 时，~ 9m^+27m 的值最2X(—9) 23 ∆β 3 大.vθ<BG<6, Λ0<3 (m-l) <6, .β.l<m<3 ・二当m二-时，AB AC 的值最大，即—时，AB AC的值最大・2.【答案】(1)解：把A (4, 0)代入y= -→ + b ,得一？×4÷b=0,4 4解得b二3,・・・直线丨的函数表达式为y = —?兀+ 3 ,4(0,3),・・ AO丄BO, 0A=4, BO=3, •••tanZBAO= 7 .4(2) (DiE明:如图，连结AF,・・• CE=EF j.-.ZCAE=ZEAF I又-.AC=AE=AF1A ZACE=Z AEF I・•・乙OCE=ZOEA S又VZCOE=Z EOA1•••△0CES AOEA.②解：如图，过点E作EH丄X轴于点H,•・ tan ZBAO= 7 ,・•・设EH=3x, AH=4x,AAE=AC=5x, OH=4-4x,.∙∙0C二4・5x,v∆0CE-∆0EA.OE OA OC OE即OE Z二OA Ou・・・(4-4x) Ξ+(3X)=二4 (4-5x),解得X产≡ , Xz=O (不合题就舍却(3)解：如图，过点A作AM丄OF于点M,过点0作ON丄AB于点N,∙. ta∩ZBA0=：,4∙β. COSZBAO= 7，・•・ AN 二OA COS 乙BAO= Y ,设AC=AE=r,.∙∙EN 二丰汀，⅜>∙∙∙0N 丄AB, AM 丄OF,・•・乙ONE二乙AME二90°, EM= f EF t又••・乙OEN二乙AESΛ∆OEN-∆AEM,即OE∙扌EF=AE EN IΛ OEEF=2AEEN=2r ( ⅛ -r),⅜>Λ0EEF=-2r≡+ ≡ r-2 (r- I)=+ ≡ (0<r< Y ) •••当r二I 时，OE EF有最大值，最大值为≡ .3.【答案】(1)解：PM与C)O相切•理由如下：连接DO并延长交PM于E,如图，・・•弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合, Λ OC=DC, BO=BD l /.OC=DC=BO=BD,・・・四边形OBDC为菱形，AOD 丄BC,・•・∆0CD和△(?BD都是等边三角形，・•・乙CoD二乙BoD二60°,Λ ZCOP= ZEOP=60o l・.・乙MPB二厶ADC,而Z.ADC 二乙ABC,A ZAB C=ZMPB,・•・ PM∕7BC,ΛOE丄PM,∙∙∙0E二÷ OP,∙.∙ PC为OO的切线，.∙∙0C 丄PC,∙∙∙0C二；OP,AOE=OC1而OE丄PC,∙∙∙ PM是C)O的切线；(2)解：在Rt∆0PC 中，OC二V PC=T × ^=I .S S••四边形OCDB 的面积=2Sz.©CD=2× --- ×I =£4 24.【答案】⑴证明：如图1中，连接QP・AAB= ∖l OB2 + OA2二5,VAP=4t, AQ=5t1・・•乙PAQ= Δ BAO1Λ∆PAQ-∆BA0,AZAPQ = ZAOB=90o t∙∙∙QP 丄AB,∙∙∙AB是Θθ的切线⑵解:①如图2中，当直线CM在C)O的左侧与C)Q相切时，设切点为D l则四边形PQDM 是正方形・易知PQ=DQ=3t, CQ= I ∙3t=乎∙∙OC+CQ+AQ 二4,∙β∙m+ 手t+5t=4,②如图3中，当直线CM在C)O的右侧与C)Q相切时，设切点为D,则四边形PQDM是正方形・vOC+AQ-CQ≡4,L 15∙β∙m+5t - — t=414.∙.m=4 - 7 t4(3)解：存在.理由如下：如图4中，当C)Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t二4, t二扌，由(2)可知I m=-I或#如图5中，当C）Q在y则的左侧与y轴相切时，5t-3t=4, t=2l 由（2）可知，m二-孑或「综上所述，满足条件的点C的坐标为（■昭0）或（≡ I 0）或（-f . 0）或（»0）5.【答案】（1）证明:YAB是OO的直径,・•・ZADB=90°,VAB=BC l・・・D是Ae的中点，乙ABD=ZCBD I/.AD=DE ；（2）解：•••四边形ABED内接于OO1・•・乙CED二乙CAB t・・• ZC=Z-C tΛ∆CED-ΔCAB J.CE _ CD* CA ~ 1VAB=BC=10, CE二2, D 是AC 的中点，ΛCD= √10 ；（3）解：延长EF交OO于M,在Rt∆ABD 中，AD二√10 , AB=IO, ∙∙∙BD 二3 √10 I.∙ EM 丄AB, AB 是C)O 的直径,BE-BM-.ZBEP=ZEDB I ∙.∆BPE-∆BED,-.BP=∙* S ABZD - - X VILo ×3 J10 =15, S ΔBD ∈ : S ΔBCD =BE : BC —4 : 5,'∙ SUBDE 二22,6. 【答案】(1)解：TBC 是直径，Λ ZBDC=90ol在 RtABCD 中，VBC=IO I 乙BCD 二36。

相似三角形及圆综合题

1、：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G．求证：BG•AG=DF•DA．2、：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．(1)求证：DE为⊙O的切线．(2)求证：AB：AC=BF：DF．3、(XX)：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．(1)求证：∠ADE=∠B；(2)过点O作OF∥AD，与ED的延长4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．(1)直接写出AE与BC的位置关系；(2)求证：△BCG∽△ACE；(3)假设∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．5、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB 分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？(3)在(2)的条件下，假设OH=1，AH=2，求弦AC的长．6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB 于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？(3)在(2)的条件下，假设OH=1，AH=2，求弦AC的长．7、如是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF．8、：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。

《圆和相似三角形》同步练习题(无答案)

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)(K12教育文档)

最新相似三角形综合练习相似与圆(难)

圆与相似三角形综合问题

相似三角形与圆综合题

圆和相似三角形专项练习2022-2023学年人教版九年级数学上册

2019-2020学年九年级数学《圆和相似三角形》同步练习题.docx

相似三角形+圆相关证明与计算练习题(学生)

圆与相似三角形的常见综合题型

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

相似三角形与圆的综合题

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

(完整)圆与相似三角形、三角函数专题(含答案),推荐文档

相似三角形与圆的综合题资料

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

人教版九年级下册： 圆与相似三角形综合练习(无答案)(1)

中考数学综合能力提升 相似三角形在圆中的应用专题练习卷(无答案)

圆与相似三角形练习题.docx

圆与相似三角形综合提高练习

相似三角形及圆综合题

人教版九年级下册：圆与相似三角形综合练习(无答案)(1)

中考数学综合能力提升相似三角形在圆中的应用专题练习卷(无答案)