【精品】高中数学 3、3、1两条直线的交点坐标优秀学生寒假必做作业练习二 新人教A版必修2
高中数学3.3.1两条直线的交点坐标双基限时练新人教A版必修2
【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 3.3.1两条直线的交点坐标双基限时练 新人教A 版必修21．直线3x ＋5y －1＝0与4x ＋3y －5＝0的交点是( ) A ．(－2,1) B ．(－3,2) C ．(2，－1)D ．(3，－2)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y －1＝0，4x ＋3y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴两直线的交点为(2，－1)． 答案 C2．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得交点(－1，－2)代入x ＋ky ＝0，得k ＝－12.答案 D3．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，且与第一条直线垂直的直线方程为( )A ．x －3y ＋7＝0B ．x －3y ＋13＝0C ．2x －y ＋7＝0D ．3x －y －5＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得交点(－1,4)，直线3x ＋y －1＝0的斜率为－3，故所求直线的斜率为k ＝13.由点斜式，得y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0.答案 B4．直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0(k ∈R )所经过的定点是( ) A ．(5,2) B ．(2,3) C ．(－12，3)D ．(5,9)解析 将含有待定系数的项放在一起，不含有待定系数的项放在一起，可得k (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∴直线经过2x －y －1＝0和x ＋3y －11＝0的交点． 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.答案 B5．两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6C ．±6D ．不同于A 、B 、C 的答案解析 两直线的交点在y 轴上，可设交点的坐标为(0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3y 0－k ＝0， ①－ky 0＋12＝0. ②由①可得y 0＝k 3，将其代入②，得－k 23＋12＝0.∴k 2＝36，即k ＝±6. 答案 C6．直线l 被两直线l 1：4x ＋y ＋6＝0，l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点是原点O ，则直线l 的方程为________．解析 由已知可设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x ＋y ＋6＝0，得x ＝－6k ＋4. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，3x －5y －6＝0，得x ＝63－5k，由已知可得－6k ＋4＋63－5k＝0， ∴k ＝－16，故所求直线l 的方程为y ＝－16x ，即x ＋6y ＝0.当斜率不存在时，不合题意． 答案 x ＋6y ＝07．若直线x ＋my ＋6＝0和直线(m －2)x ＋3y ＋m ＝0相交，则m 的取值范围是________． 解析 由题意可得1×3－m (m －2)≠0， 即m 2－2m －3≠0， ∴m ≠－1且m ≠3. 答案 m ≠－1且m ≠38．直线x －3＝0与直线x －4y ＋1＝0的交点为P ，则直线OP (O 为坐标原点)的方程是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x －4y ＋1＝0，得点P 的坐标(3,1)，又O (0,0)，∴OP 的方程为y ＝13x ，即x －3y ＝0. 答案 x －3y ＝09．直线ax ＋3y －12＝0与直线4x －y ＋b ＝0垂直，且相交于点P (4，m )，则b ＝________.解析 依题意得－a 3×4＝－1，∴a ＝34.将P (4，m )代入34x ＋3y －12＝0，得3＋3m －12＝0，∴m ＝3.将P (4,3)代入4x －y ＋b ＝0，得b ＝－13. 答案 －1310．判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y －3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0. 解 (1)∵21≠1－2，∴两直线相交．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得交点(－1，－1)．(2)∵12＝12≠2－3，∴两直线平行．(3)∵12＝－1－2＝12，∴两直线重合．11．直线l 过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点，且与直线l 3：4x ＋3y －2＝0平行，求直线l 的方程．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得l 1与l 2的交点(－2,2)．又直线l 3的斜率为－43，l ∥l 3，∴直线l 的斜率为k ＝－43.故直线l 的方程为y －2＝－43(x ＋2)．即4x ＋3y ＋2＝0.12．k 为何值时，直线y ＝x ＋3k －2与直线y ＝－14x ＋1的交点在第一象限．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3k －2，y ＝－14x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k5，y ＝3k ＋25.∴直线y ＝x ＋3k －2与直线y ＝－14x ＋1的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 5，3k ＋25. 要使交点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧－k5>0，3k ＋25>0，解得－23<k <1.。
高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课时作业含解析新人教A版必
高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课时作业含解析新人教A版必修206222171.直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|等于( B )(A)4 (B)4 (C)2 (D)2解析:由题意易知P(1,1),Q(5,5),所以|PQ|==4.故选B.2.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为( C )(A)-24 (B)6 (C)±6 (D)24解析:在2x+3y-k=0中,令x=0,得y=,在x-ky+12=0中,令x=0,得y=,所以=,解得k=±6.选C.3.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为( C )(A)1 (B)-5(C)1或-5 (D)-1或5解析:因为|AB|==5,所以a=-5或a=1,故选C.4.x轴上任一点到定点(0,2),(1,1)距离之和的最小值是( C )(A)(B)2+(C)(D)+1解析:作点(1,1)关于x轴的对称点(1,-1),则距离之和最小值为=.故选C.5.过两直线l1:3x+y-1=0与l2:x+2y-7=0的交点,并且与直线l1垂直的直线方程是( B )(A)x-3y+7=0 (B)x-3y+13=0(C)2x-y+7=0 (D)3x-y-5=0解析:直线l1:3x+y-1=0与l2:x+2y-7=0的交点为(-1,4),与l1垂直,得斜率为,由点斜式得y-4=(x+1),即x-3y+13=0,故选B.6.已知△ABC的三个顶点是A(-a,0),B(a,0)和C(,a),则△ABC的形状是( C )(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)斜三角形解析:因为k AC==,k BC==-,k AC·k BC=-1,所以AC⊥BC,又|AC|==|a|.|BC|==|a|.所以△ABC为直角三角形.7.若直线l:y=kx-与直线l1:2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( B )(A)[30°,60°) (B)(30°,90°)(C)(60°,90°) (D)[30°,90°]解析:直线l1:2x+3y-6=0过A(3,0),B(0,2),而l过定点C(0,-).由图象可知即可.所以l的倾斜角的取值范围是(30°,90°).故选B.8.△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于( A )(A) (B)1+(C)1+(D)2-解析:因为S△ABC=,AC:+=1,即3x+2y-6=0.由得由题意得×a×(3-)=,得a=或a=-(舍).9.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|等于.解析:设A(x,0),B(0,y),因为AB中点P(2,-1),所以=2,=-1,所以x=4,y=-2,即A(4,0),B(0,-2),所以|AB|==2.答案:210.过l1:2x-3y+2=0与l2:3x-4y+2=0的交点且与直线4x+y-4=0平行的直线方程为.解析:解可得设直线4x+y+c=0与直线4x+y-4=0平行.代入点(2,2),可知c=-10.答案:4x+y-10=011.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则k的取值范围是.解析:由得由于交点在第一象限,故x>0,y>0,解得k>.答案:(,+∞)12.直线y=-x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为一边在第一象限内作等边△ABC,则点C的坐标为.解析:由题意得A(,0),B(0,1),则|AB|=2,易知AC⊥x轴,所以点C的坐标为(,2).答案:(,2)13.求经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上截距相等的直线方程.解:解方程组得交点(-4,3),因此可设所求直线方程为y-3=k(x+4),即y=k(x+4)+3.令x=0,得y=4k+3,令y=0,得x=-,于是4k+3=-,即4k2+7k+3=0,解得k=-或k=-1,故所求直线方程为3x+4y=0或x+y+1=0.14.已知△ABC的顶点坐标A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0, AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,求顶点C的坐标,及直线BC的方程.解:因为AC⊥BH,所以由k BH=得k AC=-2,因此AC方程为y-1=-2(x-5),化简得2x+y-11=0,与2x-y-5=0联立,可解得C坐标为(4,3),因为B在高BH上,所以设B坐标为(2y+5,y),则AB中点M的坐标为(y+5,),而M在直线2x-y-5=0上,所以2(y+5)--5=0,解得y=-3,因此B(-1,-3),所以,由两点式可得BC方程为=化简得6x-5y-9=0.15.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( D )(A)x+2y-1=0 (B)2x+y-1=0(C)2x+y-3=0 (D)x+2y-3=0解析:设所求直线上任一点(x,y),则它关于x=1对称的点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,即x+2y-3=0.故选D.16.已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是( B )(A)无论k,P1,P2如何,总是无解(B)无论k,P1,P2如何,总有唯一的解(C)存在k,P1,P2,使之恰有两解(D)存在k,P1,P2,使之有无穷多解解析:由题意,得直线y=kx+1一定不过原点O,P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,则OP1与OP2不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组一定有唯一解.故选B.17.三条直线x+y+1=0,2x-y+8=0,ax+3y-5=0不能围成三角形,则a的取值集合是. 解析:因为x+y+1=0与2x-y+8=0相交,所以三条直线不能围成三角形可分为三线共点或其中有两条直线平行,由x+y+1=0与ax+3y-5=0平行得a=3,由2x-y+8=0与ax+3y-5=0平行得a=-6,由三线共点得a=,故a的取值集合是.答案:18.点P(5,-2)关于直线x-y+5=0 对称的点Q的坐标.解析:设点P(5,-2)关于直线x-y+5=0 对称的点Q的坐标为(a,b),则解得故点Q的坐标为(-7,10).答案:(-7,10)。
3.3.1 两条直线的交点坐标
人教A版数学 ·必修2
课前自主预习
高效互动课堂
课时演练广场
1．已知a为实数，求当直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋y－a ＝0相交时的交点坐标．
解：若 a＝1，则直线 l1 与 l2 平行，故 l1 与 l2 无交点，
∴a≠1.
解方程组ax＋x＋y－y＋a1＝＝00，， 得yx＝＝a－a2－＋aa＋ －11.11，
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，得 λ＝121.
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
人教A版数学 ·必修2
课前自主预习
高效互动课堂
课时演练广场
有关对称的问题
1.对称问题 (1)中心对称 ①若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐 标公式得xy＝ ＝22ab－ －xy11， ，
人教A版数学 ·必修2
课前自主预习
高效互动课堂
课时演练广场
直线的交点的求法及应用 设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果这 两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定 是这两个方程的唯一公共解；反过来，如果这两个二元一次方程 只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线 l1 和 l2 的交 点．因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线的方程所组
人教A版数学 ·必修2
课前自主预习
高效互动课堂
课时演练广场
已知直线l的方程为(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0.
求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点坐
标． 【思路点拨】(方法一)
令k＝ 0，1
→
两特殊直线方 程构成方程组
高一数学3.3.1两直线的交点坐标
5x 2y 6 0
y2
所以 l1， l2 的交点为 ( –2,2). 由两点式可得：所求直线方程为
y 3 x 2 即 x –4y + 10 = 0. 23 22
解法 2：设所求直线方程为： x + 3 y –4 + (5x + 2 y + 6) = 0.
因为点 (2，3)在直线上，所以 2+3× 3–4+ (5× 2+2 × 3+6) = 0 ，
所以
7
7
，即所求方程为 x + 3 y –4 + (
)(5x + 2 x –4y + 10 = 0.
例 2 已知直线 l1： x + my + 6 = 0 ，l 2： (m –2) x + 3 y + 2 m = 0 ，试求 m 为何值时， l1 与 l 2：（ 1）重合；（ 2）平行；（ 3）垂直；（ 4）相交 .
【解析】当 l1∥ l 2(或重合 ) 时：
A1B2 –A2B1 = 1 × 3 –(m –2)· m = 0 ，解得： m = 3 ，m = –1. （ 1）当 m = 3 时， l1： x + 3 y + 6 = 0， l2： x + 3 y + 6 = 0 ，所以 l 1与 l2 重合； （ 2）当 m = –1 时， l1： x –y + 6 = 0， l 2： –3x + 3y –2 = 0 ，所以 l 1∥ l 2；
限内 . 又因为 a 为任意实数时，都
有 a2 +1≥ 1＞ 0，故 a 2 1 0 . a1
引导学 生将方法拓 展与廷伸
因为 a≠ 1 (否则两直线平
高中数学必修2第3章-3.3.1两条直线的交点坐标同步练习题及答案
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线______，交点坐标为________．2．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组 的解 交点 两直线位置关系方程系数特征无解 两直线____交点 平行A 1B 2＝A 2B 1B 1C 2≠B 2C 1有唯一解 两条直线有______个交点 相交 A 1B 2≠A 2B 1有无数个解 两条直线有 ________个交点 重合A 1B 2＝A 2B 1B 2C 1＝B 1C 2一、选择题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 4．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( ) A ．－24 B ．6 C ．±6 D ．以上答案均不对5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是( ) A ．m ＝3 B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－16．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．32B ．23C ．－32D ．－23二、填空题7．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________． 8．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．三、解答题10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．1．过定点(x 0，y 0)的直线系方程y －y 0＝k (x －x 0)是过定点(x 0，y 0)的直线系方程，但不含直线x ＝x 0；A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0是过定点(x 0，y 0)的一切直线方程．2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )．与y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m ≠b )．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但此方程中不含l 2；一般形式是m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(m 2＋n 2≠0)，是过l 1与l 2交点的所有直线方程．§3．3 直线的交点坐标与距离公式 3．3．1 两条直线的交点坐标答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0) 2．无 1 无数 作业设计1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．]3．B [首先联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1．]4．C [2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m3得m ＝±6．] 5．D [l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3． 又当m ＝3时，l 1与l 2重合， 故m ＝0或m ＝－1．]6．D [设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1)，直线l 与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2)，因为M (1，－1)为AB 的中点，所以－1＝1＋y 22即y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0得x 2＝4，因为点B ，M 都在直线l 上，所以k l ＝－3＋14－1＝－23．故选D ．]7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2．8．8x ＋16y ＋21＝0 9．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0． 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ．∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．11．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率 k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45．因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0．①由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ， 同理可得直线AC 的方程 5x －y －14＝0．②联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)． 因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)． 12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1，故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，(也可得B 关于y ＝0的对称点(1，－2)． ∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)， 又k BC ＝－2， ∴BC 的方程为 y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6，故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3．。
课件3：3.3.1 两直线的交点坐标
二、两条直线的交点坐标
思考1
已知两条直线
: + + =
: + + =
相交，如何求这两条直线的交点坐标？
思考：前面的关于x，y的二元一次方
程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与
平面直角坐标系下的直线之间的对应
关系对我们有什么启发呢？
1.两直线平行、垂直的条件
l1 : y k1 x b1
l2 : y k2 x b2
l1平行于l2
k1 k2且b1 b2
l1垂直于l2
k1k2 1
l1与l2重合
k1 k2且b1 b2
2.两条直线的位置关系
已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
A1x＋B1y＋C1＝0，
可利用方程组
A2x＋B2y＋C2＝0
的解的情况判断 l1 和 l2 的位
置关系：
方程组的解 交点个数 两直线关系 直线方程系数特征
A1B2－A2B1＝0
0
无解
平行
B1C2－B2C1≠0
1
A1B2－A2B1≠0
有唯一解
相交
有无数个解
无数
重合
A1B2－A2B1＝0
B1C2－B2C1＝0
(4)∵当 m＝0 时，l1 与 l2 不重合，
m－2 3 2m
∴当 l1 与 l2 重合时，有 1 ＝m＝ 6 ，解得 m＝3.
三、知识拓展
当m变化时，方程3x+4y-2+m(2x+y+2)=0
表示什么图形？图形有何特点？
高一数学人教版A版必修二练习3.3.1 两条直线的交点坐标 Word版含解析
§直线的交点坐标与距离公式两条直线的交点坐标【课时目标】．掌握求两条直线交点的方法．．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．．两条直线的交点已知两直线：＋＋＝；：＋＋＝．若两直线方程组成的方程组有唯一解，则两直线，交点坐标为．．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解交点两直线位置关系方程系数特征无解两直线交点平行＝≠有唯一解两条直线有个交点相交≠有无数个解两条直线有个交点重合＝＝一、选择题．直线：(－)＋＝与直线：＋(＋)＝的位置关系是()．平行．相交．垂直．重合．经过直线－＋＝与－＋＝的交点，且垂直于直线－＝的直线的方程是() ．＋－＝．－－＝．＋＋＝．－＋＝．直线＋＋＝＋＝和－＝相交于一点，则的值为()．．－．．－．两条直线：＋－＝与：－＋＝的交点在轴上，那么的值为()．－．．±．以上答案均不对．已知直线：＋＋＝，：(－)＋＋＝，∥，则的值是()．＝．＝．＝或＝．＝或＝－．直线与两直线＝和－－＝分别交于，两点，若线段的中点为(，－)，则直线的斜率为()．．．－．－二、填空题．若集合{(，)＋－＝且－＋＝，)＝＋}，则＝．．已知直线过直线：－－＝和：＋＋＝的交点，且平行于：＋－＝，则直线的方程是．．当取不同实数时，直线(＋)＋(－)＋＝恒过一个定点，这个定点的坐标为．三、解答题．求经过两直线＋－＝与－＋＝的交点，且在轴上的截距为轴上截距的两倍的直线的方程．。
【精品】高中数学 3、3、1两条直线的交点坐标优秀学生寒假必做作业练习二 新人教A版必修2
3、3、1两条直线的交点坐标 练习二一、选择题1、经过点P(x 0, y 0)且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程是（A ）B(x –x 0)–A(y –y 0)=0 （B ）B(x –x 0)–A(y –y 0)+C=0（C ）B(x+x 0)–A(y+y 0)=0 （D ）B(x+x 0)–A(y+y 0)+C=02、直线l 1: x+ay+6=0与直线l 2: (a –2)x+3y+2a=0平行，则a 的值等于（A ）–1或3 （B ）1或3 （C ）–3 （D ）–13、直线l 1: (2a+1)x+(a+5)y –6=0与直线(3–a)x+(2a –1)y+7=0互相垂直，则a 等于（A ）–31 （B ）1 （C ）71 （D ）214、直线2x –y –4=0绕着它与x 轴的交点，按逆时针方向旋转4π后，所得的直线的方程是（A ）x –3y –2=0 （B ）3x+y –6=0 （C ）3x –y+6=0 （D ）x –y –2=05、已知点A(0, –1)，点B 在直线x –y+1=0上，直线AB 垂直于直线x+2y –3=0，则点B 的坐标是（A ）(–2, –3) （B ）(2, 3) （C ）(2, 1) （D ）(–2, 1)6、已知直线ax+4y –2=0与2x –5y+b=0互相垂直，垂足为(1, c)，则a+b+c 的值为（A ）–4 （B ）20 （C ）0 （D ）247、点A(1, 2)在直线l 上的射影是B(–1, 4)，则直线l 的方程是（A ）x –y+5=0 （B ）x+y –3=0 （C ）x+y –5=0 （D ）x –y+1=08、已知两直线l 1和l 2的斜率分别是方程x 2–4x+1=0的两根，则l 1与l 2的夹角是 （A ）6π （B ）3π （C ）2π （D ）32π9、已知直线y=kx+2k+1与直线y=–21x+2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（A ）–6<k<2 （B ）–61<k<0 （C ）–61<k<21 （D ）21<k<+∞二、填空题： 10、两条直线x –2y –2=0与x+y –4=0所成的角的正弦值是 .11、过点P(2, 3)且与直线2x+3y –6=0的夹角为arctan32的直线的方程是 .12、在△ABC 中，高线AD 与BE 的方程分别是x+5y –3=0和x+y –1=0，AB 边所在直线的方程是x+3y –1=0，则△ABC 的顶点坐标分别是A ；B ；C 。
高中数学 必修二 同步练习 专题3.3.1 两条直线的交点坐标(解析版)
一、选择题1．直线1:0l x y -=与2:20l x y +-=的交点坐标为 A ．()2,2-- B ．()1,1-- C ．()2,2D ．()1,1【答案】D【解析】联立直线1l 与2l 的方程为020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得1,1x y ==，故选D.【名师点睛】联立直线方程组成的二元一次方程组的解即为直线的交点坐标. 2．两直线2x ＋3y −k =0和x −ky ＋12=0的交点在y 轴上，那么k 的值为 A ．−24 B ．6 C ．±6D ．24【答案】C3．方程(a −1)x −y ＋2a ＋1=0(a ∈R )所表示的直线 A ．恒过定点(−2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(−2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线【答案】A【解析】将直线(a −1)x −y ＋2a ＋1=0化为ax −x −y ＋2a ＋1=0，因此−x −y ＋1＋a (x ＋2)=0.由1020x y x --+=⎧⎨+=⎩，得23x y =-⎧⎨=⎩. 故方程(a −1)x −y ＋2a ＋1=0(a ∈R )所表示的直线恒过定点(−2,3).4．直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，垂足为()1,c ，则a b c ++= A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】B【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点()1,c 是两直线的交点．根据两直线垂直可得a ，然后将点()1,c 的坐标代入直线420ax y +-=可得c ，同理可得b ，于是可得a b c ++的值．5．若直线1l :y =kx +k+2与直线2l :y =−2x +4的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是 A ．23k >-B ．2k <C ．223k -<<D ．23k <-或2k > 【答案】C【解析】由题意知，直线1l 恒过定点P (−1,2)，斜率为k ,直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点A (2,0)、B (0,4)，若直线1l 与2l 的交点在第一象限内，则1l 必通过线段AB 上的点(不包括A 、B )，由于23PA k =-,2PB k =,所以223k -<<.故选C. 6．若三条直线2380x y ++=，10x y --=与0x ky +=交于一点，则k = A ．−2B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】两方程联立可得交点坐标为：()1,2--，代入第三条直线方程：120k --=，解得12k =-. 故选C.【名师点睛】本题考查直线的交点，只需要联立方程即可求出交点，本题可将任意两条直线联立求交点坐标或其表达式，再代入另一条直线的方程即可，注意计算的准确性. 7．过两直线3x ＋y −1=0与x ＋2y −7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是 A ．x −3y ＋7=0 B ．x −3y ＋13=0 C ．3x −y ＋7=0D ．3x −y −5=0【答案】B 【解析】由310270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得14x y =-⎧⎨=⎩，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂直，∴所求直线的斜率为13.∴由点斜式方程得所求直线方程是y −4=13(x ＋1)，即x −3y ＋13=0. 8．若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是A ．π06θ<< B ．ππ62θ<< C ．π03θ<<D ．ππ32θ<<【答案】B【名师点睛】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．联立两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k ，根据直线倾斜角与直线斜率的关系得到倾斜角的范围．二、填空题9．若直线，，能构成三角形，则的取值范围是_________．【答案】10．已知直线l1：2x＋y−6=0和点A(1，−1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|=5，则直线l的方程为__________．【答案】x=1或3x＋4y＋1=0.【解析】若直线l与x轴垂直，则l的方程为x=1，由1260xx y=⎧⎨+-=⎩，得B点坐标为(1,4)，此时|AB|=5，∴x=1即为所求；当直线l不与x轴垂直时，可设其方程为y＋1=k(x−1)．解方程组2601(1)x yy k x+-=⎧⎨+=-⎩，得交点742(,)(2)22k kB kk k+-≠-++．22742(1)(1)522k kk k+--++=++，解得34k=-.∴31(1)4y x+=--，即3x＋4y＋1=0.综上可得，所求直线l的方程为x=1或3x＋4y＋1=0.三、解答题11．求过直线2x−y+2=0和x+y+1=0的交点，且斜率为3的直线方程．【解析】方法一：解方程组22010x yx y-+=⎧⎨++=⎩,得1xy=-⎧⎨=⎩,所以两直线的交点坐标为(−1,0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y−0=3[x− (−1)],即3x−y+3=0.方法二：设所求直线为l ,因为l 过已知两直线的交点，因此l 的方程可设为2x −y +2+λ(x+y +1)=0(其中λ为常数)，即(λ+2)x +(λ−1)y +λ+2=0 ①, 又直线l 的斜率为3，所以231λλ+-=-,解得14λ=, 将14λ=代入①，整理得3x −y +3=0. 12．已知点M (3,5)，在直线l ：x －2y ＋2＝0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．13．已知直线l 1：3x +4y ﹣2=0，l 2：2x +y +2=0相交于点P ．（1）求点P 的坐标；（2）求过点P 且与直线x ﹣2y ﹣1=0垂直的直线l 的方程． 【解析】（1）由，解得，∴两条直线的交点P 的坐标为（﹣2，2）． （2）因为直线x ﹣2y ﹣1=0的斜率为， 所以要求的直线l 的斜率为﹣2，故要求的直线l 的方程为y ﹣2=﹣2（x +2），即直线l 的方程为2x +y +2=0．【名师点睛】本题主要考查求两条直线的交点坐标，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．（1）把两条直线的方程联立得方程组，求得该方程组的解，即可求得交点P 的坐标． （2）利用两条直线垂直的性质求得直线l 的斜率，再用点斜式求出直线l 的方程． 14．已知两点()2,1A -，()4,3B ，两直线1l ：2310x y --=，2l ：10x y --=．求：（1）过点A 且与直线1l 平行的直线方程；（2）过线段AB 的中点以及直线1l 与2l 的交点的直线方程．【解析】（1）设与1l ：2310x y --=平行的直线方程为：230x y c -+=， 将()2,1A -代入，得430c --+=，解得7c =， 故所求直线方程是：2370x y -+=．【思路点拨】（1）设所求直线方程为：230x y c -+=，将A 点坐标代入，求得c 的值，即得所求. （2）求得AB 中点坐标和直线12,l l 交点的坐标，利用点斜式得到所求直线方程. 15．设直线1:10l x y +-=，2:220l x y -+=，3:360l x my +-=．（1）若直线1l ，2l ，3l 交于同一点，求m 的值； （2）若直线l 与直线1l 关于直线2l 对称，求直线l 的方程.【解析】（1）1002201x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，3060m ∴⨯+-=，6m ∴=.（2）在直线1:10l x y +-=上取点A （1,0），设其关于直线2l 的对称点为B （x ,y ），01112122022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-∴⎨+⎪-⨯+=⎪⎩，15125x y ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩.故()1215:10710105l y x x y --=-⇒+-=--. 即直线l 的方程为710x y +-=.【思路分析】（1）先求1l ，2l 的交点，再代入3l 即得m 的值；（2）直线l 必过1l ，2l 交点，再在直线1l 上取一点A ，求其关于直线2l 的对称点B ，则B 在直线l 上，最后根据两点式求直线l 的方程.。
2021年高中数学 3.3.1两条直线的交点坐标及两点间的距离练习 新人教A版必修2
2021年高中数学 3.3.1两条直线的交点坐标及两点间的距离练习 新人教A 版必修2 基础梳理1．求两直线的交点坐标的方法：解方程组，以方程组的解为坐标的点就是交点．2．两点间的距离公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB |练习1：直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＝2的位置关系为平行．练习2：(1)两点A(0，－4)与B(0，－1)间的距离为3.(2)已知两点A(2，5)，B(3，7)，则|AB|(3)P(x ，y)到原点O(0，0)的距离d►思考应用如何利用方程判断两直线的位置关系？解析：只要将两条直线l 1和l 2的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)若方程组无解，则l 1∥l 2；(2)若方程组有且只有一个解，则l 1与l 2相交；(3)若方程组有无数解，则l 1与l 2重合．自测自评1．直线3x ＋5y ＋1＝0与直线4x ＋3y ＋5＝0的交点是(A )A ．(－2，1)B ．(－3，2)C ．(2，－1)D ．(3，－2)2．直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是(A )A (1，2)B ．(2，1)C ．(1，1)D ．(2，2)3．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一个定点，这个定点是(B ) A ．(2，3) B ．(－2，3)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2，0) 解析：将直线化为a(x ＋2)＋(－x －y ＋1)＝0，故直线过定点(－2，3)．4．已知点A(a ，0)，B(b ，0)，则A ，B 两点间的距离为(D )A ．a －bB ．b －aC .a 2＋b 2D ．|a －b|5．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是(B )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：|AB|＝|AC|＝17，|BC|＝18，故△ABC 为等腰三角形．基础达标1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标为(C )A ．(4，1)B ．(1，4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 2．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点是P (2，3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程是(C )A ．3x ＋2y ＝0B ．2x －3y ＋5＝0C ．2x ＋3y ＋1＝0D ．3x ＋2y ＋1＝03．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |等于(C )A.895B.175C.135D.115解析：易知A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，|AB |＝135. 4．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于(C )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．210解析：设A (x ，0)，B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝（0－4）2＋（－2－0）2＝20＝2 5.5．根据图中信息写出：(1)|AB |＝________；|BC |＝________．(2)|CD |＝________；|DA |＝________．(3)|AC |＝________；|BD |＝________．(1) 5 2 2 (2) 5 2 2 (3)317巩固提升6．已知M (1，0)，N (－1，0)，点P 在直线2x －y －1＝0上移动，则|PM |2＋|PN |2的最小值为________．答案：2.47．求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证明：证法一：对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两直线的交点为(2，－3)． 将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝4m－2－3m －9－m ＋11＝0.这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．证法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0， 解得x ＝2，y ＝－3.所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过一个定点(2，－3)．8．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)．(1)求BC 边上的中线AM 的长；(2)证明△ABC 为等腰直角三角形．(1)解析：设点M 的坐标为(x ，y )，∵点M 为BC 边的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2，即M (2，2)，由两点间的距离公式得：|AM |＝（－3－2）2＋（1－2）2＝26.∴BC 边上的中线AM 长为26.(2)证明：由两点间的距离公式得|AB |＝（－3－3）2＋（1＋3）2＝213，|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，|AC |＝（－3－1）2＋（1－7）2＝213，∵|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 为等腰直角三角形．9．(1)求与点P (3，5)关于直线l ：x －3y ＋2＝0对称的点P ′的坐标．(2)已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程．解析：(1)设P ′(x 0，y 0)，则k PP ′＝y 0－5x 0－3， PP ′中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋32，y 0＋52. ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0－5x 0－3·13＝－1，x 0＋32－3×y 0＋52＋2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝－1. ∴点P ′坐标为(5，－1)．(2)当直线l 1的斜率不存在时，方程为x ＝1，此时l 1与l 的交点B 的坐标为(1，4)． |AB |＝（1－1）2＋[4－（－1）]2＝5符合题意．当直线l 1的斜率存在时，设为k .则k ≠－2，∴直线l 1为y ＋1＝k (x －1)，则l 1与l 的交点B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，2（2k －1）k ＋2， ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2（2k －1）k ＋2＋12＝5. 解得k ＝－34，∴直线l 1为3x ＋4y ＋1＝0. 综上可得l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.1．关于两条直线相交的判定：(1)两直线组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．注意两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交．2．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离公式适用于坐标系中的任意两点．3．对于特殊情况，可结合图形求解．(1)P1P2平行于x轴时，y1＝y2，|P1P2|＝|x2－x1|；(2)P1P2平行于y轴时，x1＝x2，|P1P2|＝|y2－y1|；(3)P1，P2在直线y＝kx＋b上时，|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（x2－x1）2＋（kx2－kx1）2＝1＋k2·|x2－x1|.27834 6CBA 沺27388 6AFC 櫼 23454 5B9E 实25517 63AD 掭26133 6615 昕^38550 9696 隖b34085 8525 蔥`29174 71F6 燶39443 9A13 験。
3.3.1__两条直线的交点坐标(用)
例5 : 求经过两直线2 x 3 y 3 0和x y 2 0
3 2 x 3 y 3 0 x 5 解: , 交点为 7 x y 2 0 y 5 3 7 , . l与直线3 x y 1 0平行, 5 5 7 3 所求方程为y 3 x , 5 5 即15 x 5 y 1 0.
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 : l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
x － 2y+2=0 解：解方程组 2x－y－2=0
得
x= 2 y=2
∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x
把（2，2）代入方程，得k=1， 所求方程为 y= x
问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
l1 , l2相交 唯一解 直线l1 , l2解方程组无穷多解 l1 , l2重合 无解 l , l 平行 1 2
例题分析
例3、判定下列各对直线的位置关系，若相交， 则求交点的坐标
l1 : x y 0 (1) l 2 : 3x 3 y 10 0 l1 : 3x y 4 0 (2) l2 : 6 x 2 y 0 l1 : 3x 4 y 5 0 (3) l2 : 6 x 8 y 10 0
3.3.1 两条直线的交点坐标
两条直线的交点
l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
人教A版高中数学必修二课时作业：3.3.1两直线的交点坐
课时作业 两直线的位置关系一、选择题1．两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围是( )A ．－32≤m ≤2 B ．－32<m <2 C ．－32≤m <2 D ．－32<m ≤2 2．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D.123．一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，另一个端点B 的横坐标是－1，则点B 的纵坐标是( )A ．－3B ．5C ．－3或5D ．－1或－3 4．一条平行于x 轴的线段的长是5个单位，它的一个端点A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标是( )A ．(－3,1)或(7,1)B ．(2，－3)或(2,7)C ．(－3,1)或(5,1)D ．(2，－3)或(2,5)5．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A 、B ，则|AB |等于( ) A.895B.175C.135D.115 6．若直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率等于( )A ．－23B.23 C ．－32D.32二、填空题7．已知点A (2k ，－1)，B (k,1)，则|AB |＝13，则实数k ＝________.8．直线ax ＋by ＋16＝0与x －2y ＝0平行，且过直线4x ＋3y －10＝0和2x －y －10＝0的交点，则a ＝________，b ＝________.9．若p 、q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，则该定点坐标为________．三、解答题10．已知两点A (－2,1)，B (4,3)，求经过两直线2x －3y ＋1＝0和3x ＋2y －1＝0的交点和线段AB 中点的直线l 的方程．11．求证等腰梯形的对角线相等．已知等腰梯形ABCD ，求证AC ＝BD .12．对任意实数a 、b 、c 、d ，求证：a 2＋c 2＋b 2＋d 2≥(a －b )2＋(c －d )2.参考答案：1.解析：解两直线方程联立的方程组，再根据它们的交点在第二象限即可求出m 的取值范围．答案：B2.解析：解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.代入x ＋ky ＝0得k ＝－12. 答案：B3.解析：运用两点间的距离公式．答案：C4.解析：平行于x 轴，纵坐标一样，均为1.运用两点间距离公式．答案：A5.解析：定点分别为(0，－2)，(－1，25)． 答案：C6.解析：设l 与直线y ＝1交于点M (m,1)，l 与直线x －y －7＝0交于点N (n ＋7，n )．由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝－3，即M (－2,1)． ∴k PM ＝－23. 答案：A7.解析：由题意得 (2k －k )2＋(－1－1)2＝13，解得k ＝±3.答案：±38.解析：ax ＋by ＋16＝0与x －2y ＝0平行，则b ＝－2a .①又过4x ＋3y －10＝0与2x －y －10＝0的交点(4，－2)，代入ax ＋by ＋16＝0得4a －2b ＋16＝0.②①②联立得：a ＝－2，b ＝4.答案：－2 49.解析：∵p －2q ＝1，∴px ＋3y (p －2q )＋q ＝0，即px ＋3py －6qy ＋q ＝0，p (x ＋3y )＋q (1－6y )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝0，1－6y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－12，y ＝16.答案：(－12，16) 10.解：设所求直线l 的方程为2x －3y ＋1＋λ(3x ＋2y －1)＝0，整理得(2＋3λ)x ＋(2λ－3)y ＋(1－λ)＝0.∵直线l 过线段AB 的中点(1,2)，∴(2＋3λ)×1＋(2λ－3)×2＋(1－λ)＝0.可得λ＝12.代入直线方程得l 的方程为7x －4y ＋1＝0. 11.证明：以底边AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，设点A (－a,0)，B (a,0)，C (b ，c )，D (－b ，c )，则|AC |＝(b ＋a )2＋c 2，|BD |＝(a ＋b )2＋c 2，∴AC ＝BD .创新题型12.证明：在平面直角坐标系中，设点A (a ，c )，B (b ，d )，则有|AB |＝(a －b )2＋(c －d )2，|OA |＝a 2＋c 2，|OB |＝b 2＋d 2，若O 、A 、B 三点不共线，则构成△AOB ，有|OA |＋|OB |>|AB |；若O 、A 、B 三点共线，且O 在线段AB 之间，有|OA |＋|OB |＝|AB |.综上可知：|OA |＋|OB |≥|AB |，即a2＋c2＋b2＋d2≥(a－b)2＋(c－d)2，∴原不等式成立．。
2020高中数学必修2同步练习：3.3.1 两条直线的交点坐标 含解析
3.3.1两条直线的交点坐标课时过关·能力提升一、基础巩固1.直线2x+3y+8=0和直线x-y-1=0的交点坐标是()A.(-2,-1)B.(-1,-2)C.(1,2)D.(2,1){2x+3y+8=0,x-y-1=0,得{x=-1,y=-2,即交点坐标是(-1,-2)2.直线√3x−y=0与x+y=0的位置关系是()A.相交但不垂直B.平行C.重合D.垂直A1=√3, B1=−1, A2=1, B2=1,则A1B2-A2B1=√3×1−1×(−1)=√3+1≠0.又A1A2+B1B2=√3×1+(−1)×1=√3−1≠0,则这两条直线相交但不垂直.3.如果两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为()A.-24B.6C.±6D.242x+3y-k=0中,令x=0,得y=k3.将(0,k3)代入x-ky+12=0,解得k=±6.4.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(a-3)x+2ay+6=0可变形为a(x+2y)+(6-3x)=0.由{x+2y=0,6-3x=0,得{, y=-1.故直线(a-3)x+2ay+6=0恒过定点(2,-1).又点(2,-1)在第四象限,所以该直线恒过第四象限.5.若直线x-y-1=0和x-ky=0的交点在第三象限,则k的取值范围是()A.0<k<12B.0<k<1C.k>1D.k<0{x-y-1=0,x-ky=0,解得{x=kk-1,y=1k-1.由交点在第三象限,得kk-1<0,k−1<0,解得0<k<1.故选B.6.已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0.若l1与l2相交,则实数a满足的条件是.6a-12≠0,即a≠2.≠27.经过原点和直线l1:x-3y+4=0与l2:2x+y+5=0的交点的直线方程为.{x-3y+4=0,2x+y+5=0,得交点坐标为(-197,37),所以所求方程为y=−319x,即3x+19y=0.x+19y=08.判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出交点坐标: (1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;(2)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0;(3)l1:x-y+1=0,l2:2x-2y+2=0.解方程组{2x+y+3=0,x-2y-1=0,得{x=-1,y=-1,所以直线l1与l2相交,交点坐标为(-1,-1).(2)解方程组{x+y+2=0,2x+2y+3=0,①②①×2-②得1=0,矛盾,方程组无解.所以直线l1与l2无公共点,即l1∥l2.(3)解方程组{x-y+1=0,2x-2y+2=0,①②①×2得2x-2y+2=0.因此①和②可以化为同一个方程,即①和②表示同一条直线,所以直线l1与l2重合.9.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,且与直线3x+y-1=0平行的直线l的方程.{2x-3y-3=0,x+y+2=0解得{x=-35,y=-75.因为所求直线l和直线3x+y-1=0平行, 所以直线l的斜率为-3.根据点斜式可得y−(-75)=−3[x-(-35)],即所求直线方程为15x+5y+16=0.二、能力提升1.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b等于()A.-2B.−12 C.2 D.12{2x+3y+8=0,x-y-1=0,解得{x=-1,y=-2,代入x+by=0,得-1-2b=0,b=−12.2.已知直线kx-y+1=3k,则当k变化时,所有直线都通过定点()A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)k=0时,直线方程为-y+1=0.当k=1时,直线方程为x-y+1=3.解方程组{1=3,-y+1=0,得{x=3,y=1,即直线都通过定点(3,1).3.经过两条直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点,并且与第一条直线垂直的直线方程是()A.x-3y+7=0B.x-3y+13=0C.2x-y+7=0D.3x-y-5=0{3x+y-1=0,x+2y-7=0,得交点(-1,4).因为所求直线与3x+y-1=0垂直,所以所求直线的斜率k=13,所以y-4=13(x+1),即x-3y+13=0.★4.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,且垂足的坐标为(1,p),则m-n+p 的值为()A.-4B.0C.16D.20,−m4×25=−1,m=10.又垂足坐标为(1,p),代入直线10x+4y-2=0,得p=-2,将(1,-2)代入直线2x-5y+n=0,得n=-12.故m-n+p=20.5.已知△ABC三边所在直线的方程分别为AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,CA:2x+y-2=0,则AC边上的高BD所在的直线方程为.{3x+4y+12=0,4x-3y+16=0,解得交点B(-4,0).因为BD⊥AC,所以k BD=−1k AC =12.所以AC边上的高BD所在的直线方程为y=12(x+4),即x-2y+4=0.2y+4=06.已知直线l1:a1x+b1y=1和直线l2:a2x+b2y=1相交于点P(2,3),则经过点P1(a1,b1)和P2(a2,b2)的直线方程是.P(2,3)在直线l1和l2上,所以有{2a1+3b1=1,2a2+3b2=1,则点P1(a1,b1)和P2(a2,b2)的坐标是方程2x+3y=1的解,所以经过点P1(a1,b1)和P2(a2,b2)的直线方程是2x+3y=1.x+3y-1=07.已知在平行四边形ABCD中,A(1,1),B(7,1),D(4,6),点M是边AB的中点,CM与BD交于点P.(1)求直线CM的方程;(2)求点P的坐标.设点C的坐标为(x,y).因为在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,所以线段AB,DC所在直线的斜率相等,线段AD,BC所在直线的斜率相等,则{1-17-1=y-6x-4,6-14-1=y-1x-7,解得{x=10,y=6,即C(10,6).又点M是边AB的中点,所以M(4,1),所以直线CM的方程为y-16-1=x-410-4,即5x-6y-14=0.(2)因为B(7,1),D(4,6),所以直线BD的方程为y-16-1=x-74-7,即5x+3y-38=0.由{5x-6y-14=0,5x+3y-38=0,解得{x=6,y=83,即点P的坐标为(6,83).★8.过点M(0,1)作直线,使它被两条直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被点M所平分,求此直线方程.M且与x轴垂直的直线显然不符合题意,则可设所求直线方程为y=kx+1,与已知直线l1,l2分别交于A,B两点,联立方程,得{y=kx+1,x-3y+10=0,①{y=kx+1,2x+y-8=0,②由①解得x A=73k-1,由②解得x B=7k+2.因为点M平分线段AB, 所以x A+x B=2x M,即73k-1+7k+2=0.解得k=−14,故所求直线方程为x+4y-4=0。
【优质文档】高中数学必修二3.3.1两条直线的交点坐标
3.3.1 两条直线的交点坐标
课时过关 ·能力提升
基础巩固
1.直线 2x+ 3y+ 8= 0 和直线 x-y- 1= 0 的交点坐标是
A.( -2,-1)
B.( -1,-2)
C.(1,2)
D.(2,1)
()
解析 :解方程组 --
即交点坐标是 (-1,-2). 答案 :B
y- - =- 3 - - , 即所求直线方程为 15x+ 5y+ 16=0.
能力提升
2
1.若三条直线 2x+ 3y+ 8= 0,x-y-1=0 和 x+by= 0 相交于一点 ,则 b 等于 ( )
A .-2
B .-
C .2
D.
解析 :由 --
解得
- 代入 x+by= 0,得 -1-2b= 0,b=- . -
A.0 <k<
B.0 <k< 1
C.k> 1
D. k< 0
解析 :由 - -
解得
-
- 由交点在第三象限 ,得 < 0,k- 1< 0,解得 0<k< 1.故选 B.
-
1
答案 :B
6.已知两条直线 l 1:ax+ 3y-3= 0,l2:4 x+ 6y-1= 0.若 l1 与 l2 相交 ,则实数 a 满足的条件是
解 :由
-
-
-
得
-
所以交点 M 的坐标为
-
.
因为交点 M 在第四象限 ,
所以
-
解得 -1<m< .
所以 m 的取值范围是 - .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、3、1两条直线的交点坐标 练习二
一、选择题
1、经过点P(x 0, y 0)且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程是
（A ）B(x –x 0)–A(y –y 0)=0 （B ）B(x –x 0)–A(y –y 0)+C=0
（C ）B(x+x 0)–A(y+y 0)=0 （D ）B(x+x 0)–A(y+y 0)+C=0
2、直线l 1: x+ay+6=0与直线l 2: (a –2)x+3y+2a=0平行，则a 的值等于
（A ）–1或3 （B ）1或3 （C ）–3 （D ）–1
3、直线l 1: (2a+1)x+(a+5)y –6=0与直线(3–a)x+(2a –1)y+7=0互相垂直，则a 等于
（A ）–31 （B ）1 （C ）71 （D ）2
1
4、直线2x –y –4=0绕着它与x 轴的交点，按逆时针方向旋转
4
π后，所得的直线的方程是
（A ）x –3y –2=0 （B ）3x+y –6=0 （C ）3x –y+6=0 （D ）x –y –2=0
5、已知点A(0, –1)，点B 在直线x –y+1=0上，直线AB 垂直于直线x+2y –3=0，则点B 的坐标是
（A ）(–2, –3) （B ）(2, 3) （C ）(2, 1) （D ）(–2, 1)
6、已知直线ax+4y –2=0与2x –5y+b=0互相垂直，垂足为(1, c)，则a+b+c 的值为
（A ）–4 （B ）20 （C ）0 （D ）24
7、点A(1, 2)在直线l 上的射影是B(–1, 4)，则直线l 的方程是
（A ）x –y+5=0 （B ）x+y –3=0 （C ）x+y –5=0 （D ）x –y+1=0
8、已知两直线l 1和l 2的斜率分别是方程x 2–4x+1=0的两根，则l 1与l 2的夹角是 （A ）6π （B ）3π （C ）2π （D ）3
2π
9、已知直线y=kx+2k+1与直线y=–
2
1x+2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 （A ）–6<k<2 （B ）–61<k<0 （C ）–61<k<21 （D ）21<k<+∞
二、填空题：
10、两条直线x –2y –2=0与x+y –4=0所成的角的正弦值是 .
11、过点P(2, 3)且与直线2x+3y –6=0的夹角为arctan
3
2的直线的方程是 .
12、在△ABC 中，高线AD 与BE 的方程分别是x+5y –3=0和x+y –1=0，AB 边所在直线的方程是x+3y –1=0，则△ABC 的顶点坐标分别是A ； B ；C 。
13、经过两直线x –2y+4=0和x+y –2=0的交点，且与直线3x –4y+5=0垂直的直线方程是 .
14、若△ABC 的顶点为A(3, 6), B(–1, 5), C(1, 1)，则BC 边上的高所在的直线方程是 .
15、已知A(0, 0), B(3, 0), C(1, 2)，则△ABC 的重心、垂心坐标分别为 .
答案：
一、选择题
1、A ；
2、D ；
3、C ；
4、B ；
5、B ；
6、A ；
7、A ；
8、B ；
9、C
二、填空题
10
11、5x-12y+26=0或x=2
12、(-2,1)，(1,0)，(2,5)
13、4x+3y-6=0
14、x-2y+9=0
15、
42 (,),(1,1) 33。