【最新】2018-2019学年度高中数学北师大版数学选修2-1教学案：第三章3.1椭圆
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1课件：第三章3.1+双曲线及其标准方程
(0，－c)，(0，c)(c>0) ___________________
2＋b2 a 2 c ＝_____________(a>0，b>0，c>0)
1．判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是 双曲线． ( × ) (2)平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于 |F1F2|) 的点的轨迹是双曲线．( × ) y2 x 2 (3)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 2－ 2＝ 1(a>0， b a b>0)．( × ) x 2 y2 (4)在双曲线方程 2－ 2＝ 1(a>0，b>0)中，a2＝ b2＋ c2.( × ) a b
由题意易求得 c＝ 2 5. 又双曲线过点(3 2， 2)，
（ 3 2） 2 4 所以 － 2＝ 1. 2 a b 又因为 a2＋b2＝ (2 5)2，所以 a2＝12， b2＝8. x 2 y2 故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 12 8 x2 y2 法二：设所求双曲线的标准方程为 － ＝ 1(－ 4<λ<16)， 16－ λ 4＋ λ 因为双曲线过点 (3 2， 2)， 18 4 所以 － ＝ 1⇒λ ＝4 或 λ＝－14(舍去 )． 16－ λ 4＋ λ x 2 y2 所以所求双曲线的标准方程为 － ＝ 1. 12 8
x 2 y2 y2 x 2 － ＝ 1； 2－ 2＝ 1 a2 b2 a b (a>0，b>0)
定义Biblioteka 标准 方程椭圆 a、b、c 的关系 a>b>0，b2＝a2－c2
双曲线 a>0，b>0，a不一定大 于b，b2＝c2－a2 比较x2项与y2项系数的 正负，哪项系数为正, 焦点就在哪条轴上 分两支，不封闭，不 连续
(北师大版)2018-19高中数学新学案-同步讲义-选修2-1-第三章 圆锥曲线与方程 §3 3.2
3．2 双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.了解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．知识点 双曲线的性质1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的形状相同．(√)2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同．(×)3．实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率为 2.(√)类型一 双曲线的性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线解 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13.又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a＝133，渐近线方程为y ＝±23x .引申探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m－y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝c a＝m ＋n m＝1＋nm，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn mx .反思与感悟 由双曲线的方程研究性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的简单性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为y 242－x 232＝1. 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3，c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，离心率e ＝c a ＝54，渐近线方程为y ＝±43x .类型二 由双曲线的性质求标准方程例 2 (1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.x 28－y 24＝1 D.y 28－x 24＝1 考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 B解析 由已知，得双曲线的焦点在y 轴上， 从而可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵一个顶点为(0,2)，∴a ＝2. 又实轴长与虚轴长之和等于焦距的2倍，∴2a ＋2b ＝22c .又a 2＋b 2＝c 2，∴b 2＝4，∴所求双曲线的方程为y 24－x 24＝1.(2)求与双曲线x 216－y 29＝1有共同的渐近线，并且经过点A (23，－3)的双曲线的方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为y ＝±34x .当所求双曲线的焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为b a ＝34，所以b ＝34a .①因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以12a 2－9b 2＝1.②联立①②得方程组无解． 当所求双曲线的焦点在y 轴上时，设所求双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为a b ＝34，所以a ＝34b .③因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以9a 2－12b 2＝1.④由③④，得a 2＝94，b 2＝4，所以所求双曲线的方程为y 294－x 24＝1.反思与感悟 (1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2 (1)求与双曲线y 24－x 23＝1有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程．考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 解 (1)设所求双曲线的方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．∵点M (3，－2)在双曲线上， ∴44－93＝λ，即λ＝－2. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)∵e ＝233，∴c a＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.① 又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，∴d ＝|ab |a 2＋b 2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．②解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.类型三 求双曲线的离心率例3 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|， 所以b 2a＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×ca －1＝0，即e 2－2e －1＝0， 所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋2.反思与感悟 求双曲线离心率的三种方法 (1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca求解．(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解．(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练3 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率 答案 2解析 如图所示，在△OAB 中，|OA |＝a ，|OB |＝b ，|OE |＝34c ，|AB |＝a 2＋b 2＝c .因为|AB |·|OE |＝|OA |·|OB |，所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ，两边同除以a 2，得34⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－b a＋34＝0，解得b a＝3或b a＝33(舍去)，所以e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.1．已知双曲线方程为x 2－8y 2＝32，则( ) A ．实轴长为42，虚轴长为2 B ．实轴长为82，虚轴长为4C ．实轴长为2，虚轴长为4 2D ．实轴长为4，虚轴长为8 2考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c答案 B解析 双曲线方程x 2－8y 2＝32化为标准方程为x 232－y 24＝1，可得a ＝42，b ＝2，所以双曲线的实轴长为82，虚轴长为4.2．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±12x 的是( )A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 答案 D解析 由选项知，焦点在y 轴上的双曲线有y 24－x 2＝1与y 2－x 24＝1，而y 24－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±2x ，y 2－x 24＝1的渐近线方程是y ＝±12x ，故选D. 3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案 D解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53，故选D.4．设双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e ＝________.考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系答案 52或 5解析 当焦点在x 轴上时，b a ＝12，所以e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e ＝52； 当焦点在y 轴上时，a b ＝12，所以e 2＝1＋b 2a 2＝1＋4＝5，所以e ＝5.5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________． 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程研究其他问题 答案 126解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1三点共线时最小(P 在A ，F 1之间)，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝11AF F F PFS S－S ＝12|F 1F |·y A －12|F 1F |·y P ＝126.1．随着x 和y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a 与b 或b 与a 的比值，但无法确定焦点位置．2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx ＋ny ＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为x 2n 2－y 2m 2＝λ(λ≠0)求解．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，a ＞0，b ＞0)．一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．42考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 C解析 将双曲线化成标准形式为x 24－y 28＝1，得2a ＝4.2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案 B解析 由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2. 故渐近线方程为y ＝±2x ，故选B.3．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D.62考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 C解析 不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 则∠PF 1F 2是△PF 1F 2的最小内角，且为30°， ∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 30°，∴(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ×32，化为e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.4．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．1 考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 A解析 ∵方程表示双曲线， ∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ，∴3－a ＝32，解得a ＝－4. 5．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( )A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 考点 由双曲线的简单性质求方程 题点 已知双曲线的焦距求方程 答案 D解析 ∵等轴双曲线的一个焦点为F 1(－6,0)，∴c ＝6， ∴2a 2＝36，a 2＝18，∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的渐近线方程 答案 C解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12.故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.7．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( ) A.103 B.52C.5D.343考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 D解析 设F (c,0)，则过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l的方程为y ＝－(x －c )， 而渐近线方程是y ＝±bax ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝－bax ，得B ⎝⎛⎭⎪⎫ac a －b ，－bc a －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝bax ，得A ⎝⎛⎭⎪⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b2，－2abc a 2－b 2，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ， 由AB →＝－3AF →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ， 则2abca 2－b 2＝－3·bca ＋b，即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ，则e ＝ca ＝343，故选D.二、填空题8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±x ，且经过点(2，1)，则该双曲线的方程为________． 考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 答案 x 2－y 2＝1解析 ∵双曲线的渐近线方程是y ＝±x ， ∴a ＝b ，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2，又双曲线经过点(2，1)，代入方程可得a 2＝1，故该双曲线的方程是x 2－y 2＝1.9．已知双曲线y 2－x 2m＝1(m ＞0)的离心率e ∈(1,2)，则m 的取值范围是________．考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 双曲线离心率的取值范围 答案 (0,3)解析 由双曲线y 2－x 2m＝1(m ＞0)知，a ＝1，b ＝m ，所以e ＝ca＝1＋m ，又e ∈(1,2)，所以1＜1＋m ＜2，解得0＜m ＜3.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，由F 2向双曲线C的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若△F 1HF 2的面积为b 2，则双曲线C 的渐近线方程为________．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 y ＝±x解析 设过F 2(c,0)与渐近线bx －ay ＝0垂直的直线为l ，则l 的方程为y ＝－ab(x －c )，则⎩⎪⎨⎪⎧bx －ay ＝0，y ＝－ab(x －c )的解即为H 点的坐标，可得H ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c .又△F 1HF 2的面积为b 2，所以12F HFS ＝12×2c ×abc＝b 2，解得a ＝b ， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .11．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________．考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线离心率答案102解析 如图，设双曲线的右焦点为M ，连接PM .∵OE ⊥PF ，∴在Rt △OEF 中，|EF |＝c 2－a 24.又OE →＝12(OF →＋OP →)，∴E 是PF 的中点，∴|PF |＝2|EF |＝2c 2－a 24，|PM |＝2|OE |＝a .由双曲线的定义知，|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a ，∴e ＝c a＝102.三、解答题12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解 椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为83.①当双曲线的焦点在x 轴上时， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝12.∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1； ②当双曲线的焦点在y 轴上时， 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，a b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36.∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1.由①②可知，双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1. 13．已知点A (0,1)，点P 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上．(1)当|PA |最小时，求点P 的坐标；(2)过点A 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN 的面积为23，求直线l 的方程．考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程研究其他问题 解 (1)设P (x ，y )，则|PA |＝x 2＋(y －1)2＝2＋2y 2＋(y －1)2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＋83， 当y ＝13时，|PA |最小，故所求点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫±253，13.(2)由题知直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为y ＝kx ＋1， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与双曲线方程联立得 (1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，则Δ＝16(1－k 2)＞0且－41－2k 2＜0，即k 2＜12. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k1－2k 2，x 1x 2＝－41－2k 2， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41－k 21－2k 2，S △OMN ＝12×1×|x 1－x 2|＝12·41－k 21－2k 2＝23，解得k 2＝14或k 2＝23(舍去)，即k ＝±12， ∴l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 四、探究与拓展14．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 A解析 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a.又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ， 所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a ＝ 2.15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，直线l ：x ＋y ＝1，双曲线C 与直线l 有两个不同的交点A ，B ，直线l 与y 轴的交点为P .(1)求离心率e 的取值范围；(2)若PA →＝512PB →，求a 的值． 考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，① ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0， 解得－2＜a ＜2且a ≠±1.又∵a ＞0，∴0＜a ＜2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，∵0＜a ＜2且a ≠1， ∴e ＞62且e ≠2，∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62， 2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易得P (0,1)．∵PA →＝512PB →， ∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 由此可得x 1＝512x 2. ∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2， x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2， 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169. 又∵a ＞0，∴a ＝1713.。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 圆锥曲线与方程 2-2 抛物线的简单性质 含答案 精品
2.2抛物线的简单性质[学习目标] 1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.知识点一抛物线的几何性质x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0知识点二焦点弦直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点.题型一抛物线的简单性质例1过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积为________.答案322解析 由题意设A (x1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3， ∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty 消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0). 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0). 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12.∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y .故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y .准线方程为x ＝－1或y ＝18.题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程.解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意.所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0. 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2 或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2. 反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点. (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离. 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan60°＝3， 又F ⎝⎛⎭⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32， 消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p .∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.题型三 直线与抛物线的位置关系例3 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴. 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离. 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点.反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值. 证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0)，∴直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. ∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解. ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2.以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k (x B －4)＋2－[－k (x C －4)＋2]x B －x C＝k (x B ＋x C －8)x B －x C ＝k (8k 2＋2k 2－8)－8kk 2＝－14.所以直线BC 的斜率为定值.1.以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A.y 2＝8xB.y 2＝－8xC.y 2＝8x 或y 2＝－8xD.x 2＝8y 或x 2＝－8y答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)， 依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px 得|y |＝p ，∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4.2.若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.(14，±24) B.(18，±24) C.(14，24) D.(18，24) 答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F (14，0)，所以点P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)，故选B. 3.抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( ) A.(1,2) B.(0,0) C.(12，1) D.(1,4)答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，⇒4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，x ＝12，y ＝1，故所求点的坐标为(12，1).4．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22D ．1答案 C解析 如图，由题可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0，显然，当y 0<0时，k OM <0；y 0>0时，k OM >0，要求k OM 最大值，不妨设y 0>0.则＝＋＝＋13＝＋13(－)＝13＋23＝⎝⎛⎭⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2等号成立．故选C.5.已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________.答案 －14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0， ∵直线与抛物线相切，∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0. ∴a ＝－14.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图像，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果. (2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0).相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.。
北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》word整章教案
北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》全部教案扶风县法门高中 姚连省第一课时 3.1.1椭圆及其标准方程（一）一、教学目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．2、能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．3、情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．二、教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导． 三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 四、教学过程： （一）、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔²波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,尔²波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题） 2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）（二）、探究新课：1椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x ，此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中22b c a +=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+b y a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+b y a x 与12222=+bx a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)（三）、探析例题：例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为192522=+y x 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bx a y )0(>>b a由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为161022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b ∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程（四）、课堂练习：1 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-αy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） Ａ. 838παπ≤≤-Ｂ. k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ. 838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ） 参考答案：1.A 2.C 3.A 4.1353622=+x y 5. Ｂ （五）、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中,022>>c a ； ②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c的几何意义（六）、课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④9422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2===c b a ；③不是椭圆（是双曲线）；④369422=+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆，,2,3===c b a 2 椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为 答案：4);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c3． 方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围 答案：40<<k4 化简方程：10)3()3(2222=-++++y x y x 答案：1251622=+y x 5 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 答案：46 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______答案：是线段21F F ，即)44(0≤≤-=x y五、教后反思：第二课时3.1.1椭圆及其标准方程（二）一、教学目标：熟练掌握椭圆的两个标准方程 二、教学重点：两种椭圆标准方程的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)、复习： 1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2、椭圆的标准方程 （二）、引入新课例1、已知B 、C 是两个定点，∣BC ∣=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程. 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.在右图中，由△ABC 的周长等于16，∣BC ∣=6可知，点A 到B 、C 两点的距离之和是常数，即∣AB ∣+∣AC ∣=16－6=10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）解：如右图，建立坐标系，使x 轴经过点B 、C ，原点O 与BC 的中点重合.由已知∣AB ∣+∣AC ∣+∣BC ∣=16，∣BC ∣=6，有∣AB ∣+∣AC ∣=10，即点A 的轨迹是椭圆，且2c =6, 2a =16－6=10 ∴c =3, a =5, b 2=52－32=16但当点A 在直线BC 上，即y =0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是)0(1162522≠=+y y x 说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.例2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6.∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y 例3、 已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程 解：设椭圆的标准方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1)25()23(2222n m nm ，解得 ,6==n m 所以，所求椭圆的标准方程为10622=+y x例4、已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得,3,5===b c a所以顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x （y ≠0）（特别强调检验） （三）、课堂练习：课本P65页1、2、3补充题：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.（答案：19y 16x 22=+；121x 25y 22=+） (2) 已知三角形ΔABC 的一边∠长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程解：以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+ 若以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：125y 16x 22=+ （四）、小结：本节课我们学习了椭圆的标准方程的简单应用；①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.注意待定系数法的运用。
北师大版高中数学选修2-1第三章3.2.1教案设计及教学设计与说明
《抛物线及其标准方程》教学设计教材：北师大版高中《数学》选修2-1第三章第二节第一课时教学目标：1.知识与技能理解抛物线的定义；掌握抛物线标准方程的求法，以及抛物线四种形式和p的几何意义。
2.过程与方法通过本节课的学习,使学生经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；巩固圆锥曲线的研究方法，以及推导抛物线方程所用的坐标法。
进一步体会方程思想，数形结合思想，分类讨论思想在数学中的应用.3.情感态度与价值观感受抛物线是刻画现实世界中较多事物的曲线，激发学生学习数学的兴趣和研究问题的热情。
教学重难点：重点：抛物线的定义；p的几何意义；抛物线标准方程及应用。
难点：抛物线定义的形成过程；如何建系求抛物线的标准方程。
教法与学法：以“引导启发”式为主导，教师是课堂教学的组织者与引导者，突出学生的主体地位。
以小组合作学习形式，结合探究过程与设置的思考问题，让学生在自主思考、合作交流中探究新知识。
教学手段：多媒体辅助教学、实物投影、几何画板演示。
教学过程：一、提出问题，课堂引入【课件投影】问题1.我们知道，二次函数的图像是一条抛物线，你能发现我们身边的抛物线吗？设计意图：通过学生回答和图片展示，使学生对抛物线有感性认识，引发学生思考，让学生体会到“抛物线在生活中有广泛的应用”，激发学生学习抛物线的兴趣。
紧接着提出一个实际问题：“农夫取水”【课件投影】“农夫取水”问题小河水井一块田地旁有一条小河，田里有一口水井，水井到小河有一定的距离,假设小河和水井内都有足够的水，本着就近取水的原则,请在田地中作一个边界，使得位于边界一侧的点到小河里取水，位于另一侧的点到水井处取水。
设计意图：问题本身来源于生活，有很强的现实性和趣味性，在教师叙述结束后试图激活学生的思维，课堂上气氛一定会更加热烈，引人入胜；同学们一定会表现得跃跃欲试，很想一探究竟。
该怎么画呢？师生互动把“农夫取水”问题转化为数学模型：问题2：农夫取水问题:如图：直线l表示一条小河，定点F表示一口水井，点F到直线l的距离为定值p（p>0），本着就近取水的原则，所作边界上的点应该到点F的距离等于到直线l的距离。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §3 3.2 Word版含答案
3．2 双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.了解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．知识点 双曲线的性质1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的形状相同．(√)2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同．(×)3．实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率为 2.(√)类型一 双曲线的性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .引申探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，实半轴长a ＝m ， 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)， 离心率e ＝ca ＝m ＋n m＝1＋nm， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思与感悟 由双曲线的方程研究性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的简单性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为 y 242－x 232＝1. 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3，c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)， 离心率e ＝c a ＝54，渐近线方程为y ＝±43x .类型二 由双曲线的性质求标准方程例2 (1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.x 28－y 24＝1 D.y 28－x 24＝1 考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 B解析 由已知，得双曲线的焦点在y 轴上， 从而可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵一个顶点为(0,2)，∴a ＝2.又实轴长与虚轴长之和等于焦距的2倍， ∴2a ＋2b ＝22c . 又a 2＋b 2＝c 2，∴b 2＝4， ∴所求双曲线的方程为y 24－x 24＝1.(2)求与双曲线x 216－y 29＝1有共同的渐近线，并且经过点A (23，－3)的双曲线的方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为y ＝±34x .当所求双曲线的焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为b a ＝34，所以b ＝34a .①因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以12a 2－9b 2＝1.②联立①②得方程组无解． 当所求双曲线的焦点在y 轴上时，设所求双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为a b ＝34，所以a ＝34b .③因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以9a 2－12b 2＝1.④由③④，得a 2＝94，b 2＝4，所以所求双曲线的方程为y 294－x 24＝1.反思与感悟 (1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2 (1)求与双曲线y 24－x 23＝1有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程． 考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 解 (1)设所求双曲线的方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．∵点M (3，－2)在双曲线上， ∴44－93＝λ，即λ＝－2. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)∵e ＝233，∴c a ＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，∴d ＝|ab |a 2＋b 2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．② 解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.类型三 求双曲线的离心率例3 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|， 所以b 2a＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0，所以⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca －1＝0， 即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋ 2.反思与感悟 求双曲线离心率的三种方法 (1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca 求解．(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求解．(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练3 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率 答案 2解析 如图所示，在△OAB 中，|OA |＝a ，|OB |＝b ，|OE |＝34c ， |AB |＝a 2＋b 2＝c . 因为|AB |·|OE |＝|OA |·|OB |，所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ，两边同除以a 2，得34⎝⎛⎭⎫b a 2－b a ＋34＝0， 解得b a ＝3或b a ＝33(舍去)，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.1．已知双曲线方程为x 2－8y 2＝32，则( ) A ．实轴长为42，虚轴长为2 B ．实轴长为82，虚轴长为4 C ．实轴长为2，虚轴长为4 2 D ．实轴长为4，虚轴长为8 2 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程求a ，b ，c 答案 B解析 双曲线方程x 2－8y 2＝32化为标准方程为x 232－y 24＝1，可得a ＝42，b ＝2，所以双曲线的实轴长为82，虚轴长为4.2．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±12x 的是( )A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 答案 D解析 由选项知，焦点在y 轴上的双曲线有y 24－x 2＝1与y 2－x 24＝1，而y 24－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±2x ，y 2－x 24＝1的渐近线方程是y ＝±12x ，故选D.3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73B.54C.43D.53考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案 D解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2， ∴e ＝c a ＝53，故选D.4．设双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e ＝________.考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案52或 5 解析 当焦点在x 轴上时，b a ＝12，所以e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e ＝52；当焦点在y 轴上时，a b ＝12，所以e 2＝1＋b 2a2＝1＋4＝5，所以e ＝ 5.5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程研究其他问题答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1三点共线时最小(P 在A ，F 1之间)，过AF 1的直线方程为x －3＋y 66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝11AF FF PFS S－S＝12|F 1F |·y A －12|F 1F |·y P ＝12 6.1．随着x 和y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a 与b 或b 与a 的比值，但无法确定焦点位置．2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx ＋ny ＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为x 2n 2－y 2m 2＝λ(λ≠0)求解．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，a＞0，b ＞0)．一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．4 2 考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 C解析 将双曲线化成标准形式为x 24－y 28＝1，得2a ＝4.2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案 B解析 由e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得⎝⎛⎭⎫b a 2＝2. 故渐近线方程为y ＝±2x ，故选B.3．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( ) A. 2 B.32 C. 3D.62考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 C解析 不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 则∠PF 1F 2是△PF 1F 2的最小内角，且为30°， ∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 30°， ∴(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ×32， 化为e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.4．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．1 考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 A解析 ∵方程表示双曲线， ∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ， ∴3－a ＝32，解得a ＝－4. 5．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1考点 由双曲线的简单性质求方程 题点 已知双曲线的焦距求方程 答案 D解析 ∵等轴双曲线的一个焦点为F 1(－6,0)，∴c ＝6， ∴2a 2＝36，a 2＝18，∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的渐近线方程 答案 C解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12. 故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.7．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( ) A.103 B.52C.5D.343考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 D解析 设F (c,0)，则过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )， 而渐近线方程是y ＝±bax ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝－b a x ，得B ⎝⎛⎭⎫ac a －b ，－bc a －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝b a x ，得A ⎝⎛⎭⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ， AB →＝⎝⎛⎭⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2， AF →＝⎝⎛⎭⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ， 由AB →＝－3AF →，得⎝⎛⎭⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3⎝⎛⎭⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ， 则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b， 即b ＝53a ， 则c ＝a 2＋b 2＝343a ， 则e ＝c a ＝343，故选D. 二、填空题8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±x ，且经过点(2，1)，则该双曲线的方程为________．考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案 x 2－y 2＝1解析 ∵双曲线的渐近线方程是y ＝±x ，∴a ＝b ，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2， 又双曲线经过点(2，1)，代入方程可得a 2＝1，故该双曲线的方程是x 2－y 2＝1.9．已知双曲线y 2－x 2m ＝1(m ＞0)的离心率e ∈(1,2)，则m 的取值范围是________． 考点 双曲线的离心率与渐近线题点 双曲线离心率的取值范围答案 (0,3)解析 由双曲线y 2－x 2m ＝1(m ＞0)知，a ＝1，b ＝m ， 所以e ＝c a＝1＋m ，又e ∈(1,2)，所以1＜1＋m ＜2，解得0＜m ＜3.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，由F 2向双曲线C 的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若△F 1HF 2的面积为b 2，则双曲线C 的渐近线方程为________．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案 y ＝±x解析 设过F 2(c,0)与渐近线bx －ay ＝0垂直的直线为l ，则l 的方程为y ＝－a b(x －c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ bx －ay ＝0，y ＝－a b (x －c )的解即为H 点的坐标， 可得H ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c .又△F 1HF 2的面积为b 2，所以12F HF S ＝12×2c ×ab c＝b 2，解得a ＝b ， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .11．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线离心率答案 102解析 如图，设双曲线的右焦点为M ，连接PM .∵OE ⊥PF ，∴在Rt △OEF 中，|EF |＝c 2－a 24. 又OE →＝12(OF →＋OP →)， ∴E 是PF 的中点，∴|PF |＝2|EF |＝2c 2－a 24， |PM |＝2|OE |＝a . 由双曲线的定义知，|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a ， ∴e ＝c a ＝102. 三、解答题12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解 椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3. ①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36，b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1； ②当双曲线的焦点在y 轴上时， 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，a b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1. 13．已知点A (0,1)，点P 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上． (1)当|P A |最小时，求点P 的坐标；(2)过点A 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN的面积为23，求直线l 的方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)设P (x ，y )，则|P A |＝x 2＋(y －1)2 ＝2＋2y 2＋(y －1)2＝3⎝⎛⎭⎫y －132＋83， 当y ＝13时，|P A |最小， 故所求点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫±253，13. (2)由题知直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与双曲线方程联立得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，则Δ＝16(1－k 2)＞0且－41－2k2＜0，即k 2＜12. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 1－2k 2，x 1x 2＝－41－2k 2， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41－k 21－2k 2， S △OMN ＝12×1×|x 1－x 2|＝12·41－k 21－2k 2＝23， 解得k 2＝14或k 2＝23(舍去)，即k ＝±12， ∴l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.四、探究与拓展14．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2B.32C. 3D ．2考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率答案 A解析 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13， 即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ， 所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a ＝ 2. 15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，直线l ：x ＋y ＝1，双曲线C 与直线l 有两个不同的交点A ，B ，直线l 与y 轴的交点为P .(1)求离心率e 的取值范围；(2)若P A →＝512PB →，求a 的值． 考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解， 消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0， 解得－2＜a ＜2且a ≠±1.又∵a ＞0，∴0＜a ＜2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0＜a ＜2且a ≠1，∴e ＞62且e ≠2， ∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62， 2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易得P (0,1)．∵P A →＝512PB →， ∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x 1＝512x 2. ∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2， x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2， 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169. 又∵a ＞0，∴a ＝1713.。
高中数学北师大版选修2-1第三章《本章小结建议》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
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教学过程
(一)知识梳理:
1、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1.我们把平面内到两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的集合
1. 我们把平面内到两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于)的点的集合
2.与定点和直线的距离之比为定值的点的集合()
2.与定点和直线的距离之比为定值的点的集合()
与定点和直线的距离相等的点的轨迹
图形
标准方程
(>0)
(a>0,b>0)
2、曲线与方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.
那么,这条曲线叫作方程的曲线,这个方程叫作曲线的方程.
3.圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值.
当时,圆锥曲线是椭圆;
当时,圆锥曲线是双曲线;
当时,圆锥曲线是抛物线.。
2018-2019数学北师大版选修2-1课件：第三章1.1 椭圆及其标准方程
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第三章 圆锥曲线与方程
(2)椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点坐标为(0，－ 5)，(0， 5)． 设所求椭圆的标准 方程为ya22＋xb22 ＝ 1(a>b>0)． ∵点 (2，－ 3)在椭圆上，∴a92 ＋b42 ＝ 1.① 又 c＝ 5，故 a2＝b2＋5，② 整理①②，解得 b2＝10，或 b2＝－2(舍去)， ∴ a2＝ b2 ＋ c2＝ 15. ∴所求椭圆的标准方程为 y2 ＋x2 ＝1.
2.(1)(2014·广东实验中学高二期中) 如图，F1、F2 分别为椭圆xa22＋ yb22＝1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，
△POF2 是面积为 3的正三角形， 则 b2 的值是__2__3____． (2)(2014·南京市高二期末)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆y2
4 ＋x2＝1 的上焦点为 F，直线 x＋y－1＝0，x＋y＋1＝0 与椭圆
b2)．
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第三章 圆锥曲线与方程
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26. (2)经过点(2，－3)，且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同焦点． 解：(1)由题意知 2c＝10，2a＝26，所以 c＝5，a＝13，所以 b2 ＝a2－c2＝132－52＝144.因为焦点所在的坐标轴不确定，所以所 求椭圆的标准方程为 x2 ＋ y2 ＝1 或 y2 ＋ x2 ＝1.
（4－0）2＋（3 2－2）2＝12，∴a＝6. 又 c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，所以椭圆的标准方程为y2 ＋x2 ＝1.
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第三章 圆锥曲线与方程
法二：由于椭圆过点(4，3 2)，∴1a82 ＋1b62 ＝1①. 又 c＝2，∴a2－b2＝4②， 由①②解得 a2＝36，b2＝32，所以椭圆的标准方程为y2 ＋x2 ＝
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 圆锥曲线
1.1椭圆及其标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点一椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.知识点二椭圆的标准方程思考121212件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)a，b的值及焦点所在的位置.题型一用待定系数法求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).因为2a ＝10，所以a ＝5.又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程. 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解. 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.题型二 椭圆定义的应用例2 已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积. 解 (1)依题意知|F 1F 2|＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>2＝|F 1F 2|， ∴点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆， 且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3， 故所求点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设m ＝|PF 1|，n ＝|PF 2|，则m ＋n ＝2a ＝4. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，∴4＝(m ＋n )2－2mn (1＋cos120°)，解得mn ＝12. ∴12∆PF F S ＝12mn sin ∠F 1PF 2＝12×12sin120°＝3 3.反思与感悟 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把|PF 1|·|PF 2|看作一个整体来处理.跟踪训练2 如图所示，已知过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点.求△AF 1B 的周长.解 如题图所示，由题意知，点A ，B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以a ＝5，故有|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10， |AF 2|＋|BF 2|＝|AB |，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB | ＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2| ＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝2a ＋2a ＝20.题型三 与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程.解 以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示.由|BC |＝8可知点B (－4,0)，C (4,0).由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18得|AB |＋|AC |＝10>8＝|BC |，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上. 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0).反思与感悟 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程.跟踪训练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程.解 如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ，∴|PB |＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|P A |＝10－r ， 即|P A |＋|PB |＝10(大于|AB |＝6).∴圆心P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆. ∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6.∴a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.1.设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A.椭圆B.直线C.圆D.线段 答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段.2.已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k－1＝1，解得k ＝2.3.设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案 B解析 根据椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 而|F 1F 2|＝4，所以|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2， 所以△PF 1F 2是直角三角形，故选B.4.“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析 方程可化为x 21m ＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n ，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆.若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5.已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 答案 48解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5， |F 1F 2|＝2c ＝10. 由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100， 即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100. 解得|PF 1|·|PF 2|＝48.1.平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法.3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的.。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 圆锥曲线
1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程；能够利用“坐标法”研究椭圆的基本性质；能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题.2.能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系解决相关问题；准确理解参数a、b、c、e的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用.3.会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质以及会由几何性质确定抛物线的方程.了解抛物线的一些实际应用.1.数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单.例1双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( ) A.(1,3) B.(1,3] C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)答案 B解析 如图所示，由|PF 1|＝2|PF 2|知P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos ∠F 1PF 2<1，∴－1≤54－e 24<1，由e >1，解得1<e ≤3.故选B.跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( ) A.x 1，x 2，x 3成等差数列 B.y 1，y 2，y 3成等差数列 C.x 1，x 3，x 2成等差数列 D.y 1，y 3，y 2成等差数列 答案 A解析 如图，过A 、B 、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3，∴选A.2.分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.例2 如果双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±34x ，求此双曲线的离心率.解 当双曲线的焦点在x 轴上时，由已知可得b a ＝34，∵c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2516，∴双曲线的离心率e ＝54；同理，当焦点在y 轴上时，可求得离心率e ＝53.故双曲线的离心率为54或53.跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P (2，－6)； (2)椭圆过点P (3,0)，且e ＝63. 解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).由已知得a ＝2b .①∵椭圆过点P (2，－6)，∴4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b 2＝1.②由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.(2)当焦点在x 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴a ＝3. 又c a ＝63，∴c ＝ 6. ∴b 2＝a 2－c 2＝3.此时椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴b ＝3. 又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. 此时椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.3.函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口.用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.例3 已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程. 解 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.①∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1.由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得b ＝2a .直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1.又|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ，∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b.②将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ，且直线AB 的斜率k ＝－1，∴|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2 ＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)a ＋b.∵|AB |＝22，∴2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)a ＋b ＝22，∴a ＋b －aba ＋b＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b .∵OC 的斜率为22， ∴a b ＝22，将其代入①式得，a ＝13，b ＝23. ∴所求椭圆的方程为x 23＋23y 2＝1.跟踪训练3 若双曲线x 2a 2－y 216＝1(a >0)的离心率为53，则a ＝________.答案 3解析 由离心率公式，有a 2＋16a 2＝⎝⎛⎭⎫532(a >0)，得a ＝3.故填3.4.化归与转化思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归与转化思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性.例4 已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |＋|MF |取最小值时，点M 的坐标为( ) A.(0,0) B.(1，－22) C.(2，－4) D.(12，－2) 答案 D解析 过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知|MF |＝|ME |. 当点M 在抛物线上移动时，|MF |＋|MA |的值在变化， 显然M 移到M ′，AM ′∥Ox 时， A ，M ，E 共线，此时|ME |＋|MA |最小，把y ＝－2代入y 2＝8x ，得x ＝12，∴M (12，－2).跟踪训练4 已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b ). (1)求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围. 解 (1)由题意得，a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )， ∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0，化简得x 23＋y 2＝1，∴点Q 的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1. 得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(ⅰ)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2. (ⅱ)当k ＝0时，|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1即为m 2<1，解得－1<m <1.综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2， 当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1).1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点.2.圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查.3.虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线、圆锥曲线的对称轴等都是直线.考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是选择题、填空题，也可以是解答题.4.考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程.5.对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用.。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 圆锥曲线
4.1 曲线与方程(二)[学习目标] 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法.知识点一 坐标法和解析几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x ，y )所满足的方程f (x ，y )＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫坐标法.用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.知识点二 解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质. 知识点三 求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 思考 (1)求曲线的方程的步骤是否可以省略？ (2)求曲线的方程和求轨迹一样吗？答案 (1)可以省略.如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明.另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程.(2)不一样.若是求轨迹则要先求出方程，再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚.题型一 直接法求曲线方程例1 动点M 与距离为2a 的两个定点A ，B 的连线的斜率之积等于－12，求动点M 的轨迹方程.解 如图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－a,0)，B (a,0). 设M (x ，y )为轨迹上任意一点，则k MA ＝y x ＋a ，k MB ＝yx －a(x ≠±a ). ∵k MA ·k MB ＝－12，∴y x ＋a ·y x －a＝－12，化简得：x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a ).∴点M 的轨迹方程为x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a ).反思与感悟 直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M |p (M )}直接翻译成x ，y 的形式F (x ，y )＝0，然后进行等价变换，化简为f (x ，y )＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少. 跟踪训练1 已知在直角三角形ABC 中，角C 为直角，点A (－1,0)，点B (1,0)，求满足条件的点C 的轨迹方程. 解 如图，设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋1，y )，BC →＝(x －1，y ). ∵∠C 为直角，∴AC →⊥BC →，即AC →·BC →＝0. ∴(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0. 化简得x 2＋y 2＝1.∵A 、B 、C 三点要构成三角形， ∴A 、B 、C 三点不共线，∴y ≠0. ∴点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0). 题型二 定义法求曲线方程例2 已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 解 如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ ，设M 为OC 的中点，则M 的坐标为(12，0).∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以点M (12，0)为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1).反思与感悟 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.跟踪训练2 已知定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程.解 作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知 |OM |＝12|AB |＝3.所以M 的轨迹是以原点O 为圆心，以3为半径的圆， 故点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9. 题型三 代入法求曲线方程例3 已知动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，点M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求点P 的轨迹方程.解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.反思与感悟 代入法求轨迹方程就是利用所求动点P (x ，y )与相关动点Q (x 0，y 0)坐标间的关系式，且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P 的坐标(x ，y )表示相关动点Q 的坐标(x 0，y 0)，即利用x ，y 表示x 0，y 0，然后把x 0，y 0代入已知曲线方程即可求得动点P 的轨迹方程.跟踪训练3 已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0，0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程.解 设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以3y ＝(3x －6)2＋3， 整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故点M 的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.求曲线方程忽略限制条件致错例4 直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.错解 设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)， 再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2， ∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25， 整理得(x －52)2＋y 2＝254.错解分析 错解中未注意到点M 应在圆内，故所求的轨迹应为圆内的部分，此时应考虑0≤x <165.正解 设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)， 再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2， ∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25， 整理得(x －52)2＋y 2＝254.∵点M 应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －52)2＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16，得两曲线交点的横坐标为x ＝165， 故点M 的轨迹方程为(x －52)2＋y 2＝254(0≤x <165).易错警示 求曲线方程时，要注意准确确定范围，能挖掘出题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免考虑不全面而致错.1.已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (－3，0)，B (3，0)，顶点C 的轨迹是( ) A.一条直线 B.一条直线去掉一点 C.一个点 D.两个点答案 B解析 注意当点C 与A 、B 共线时，不符合题意，应去掉. 2.到点(－1,0)与直线x ＝3的距离相等的点的轨迹方程为( ) A.x 2＝－4y ＋4 B.y 2＝－4x ＋4 C.x 2＝－8y ＋8 D.y 2＝－8x ＋8 答案 D解析 由已知得(x ＋1)2＋y 2＝|x －3|， 变形为：y 2＝－8x ＋8，故选D.3.下列各点中，在曲线x 2－xy ＋2y ＋1＝0上的点是( ) A.(2，－2) B.(4，－3) C.(3，10) D.(－2，5) 答案 C解析 依次把四个选项代入x 2－xy ＋2y ＋1，当x ＝3，y ＝10时，x 2－xy ＋2y ＋1＝0.故选C. 4.在第四象限内，到原点的距离为2的点M 的轨迹方程是( ) A.x 2＋y 2＝4 B.x 2＋y 2＝4(x >0) C.y ＝－4－x 2 D.y ＝－4－x 2(0<x <2) 答案 D解析 设M (x ，y )，由|MO |＝2得，x 2＋y 2＝4， 又∵点M 在第四象限，∴y ＝－4－x 2(0<x <2).5.设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则动点P 的轨迹方程是__________________. 答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，半径r ＝1，则|PB|2＝|P A|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴动点P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2.1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.2.一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等.3.方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式.如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点.4.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状.。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 4-3 直线
4.3 直线与圆锥曲线的交点学习目标 1.会求曲线的交点.2.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定.3.理解弦长公式及其求解与应用.知识点一 两条曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线C 1，C 2，它们由如下方程确定： C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0.求曲线C 1和C 2的交点，即要求出这些交点的______.设M (x 0，y 0)是曲线C 1和C 2的一个交点.因为点M 在曲线C 1上，所以它的坐标满足方程f (x ，y )＝0；因为点M 在曲线C 2上，所以它的坐标也满足方程g (x ，y )＝0.从而，曲线C 1和C 2的任意一个交点的坐标都满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点的坐标. 知识点二 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的三种位置关系当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个交点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有交点时，称直线与椭圆相离. 2.直线与椭圆位置关系的判定直线与椭圆位置关系的判定方法和直线与圆的位置关系的判定方法相同，即可以转化为直线与椭圆的方程所组成的方程组的求解问题，从而用代数方法来判断直线与椭圆的位置关系. 具体的步骤为： (1)联立成方程组；(2)消元，转化为一元二次方程； (3)计算Δ＝b 2－4ac .当Δ＞0时，直线与椭圆相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与椭圆相切，有且只有一个交点；当Δ＜0时，直线与椭圆相离，没有交点. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).(1)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋m .将双曲线方程与直线方程联立成方程组，消去y ，整理得(b 2－a 2k 2)x 2－2mka 2x －a 2(m 2＋b 2)＝0.(*)当b 2－a 2k 2＝0，即|k |＝ba 时，若m ＝0，则直线与双曲线的渐近线重合，直线与双曲线无交点，若m ≠0，则直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点. 当b 2－a 2k 2≠0，即|k |≠ba时，①当|k |＞ba 时，若方程(*)的判别式Δ＞0，则直线与双曲线的一支有两个不同的交点，相交，若Δ＝0，则直线与双曲线有且只有一个公共点，相切，若Δ＜0，则直线与双曲线没有交点，相离.②当|k |＜ba 时，直线与双曲线的两支各交于一点.(2)当直线的斜率不存在时，设直线方程为x ＝n .当|n |＞a 时，直线与双曲线的一支交于两点；当|n |＝a 时，直线与双曲线的一支切于顶点；当|n |＜a 时，直线与双曲线无交点. 知识点四 直线与抛物线的位置关系(1)当直线的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px ，得ky 2－2py ＋2pb ＝0. 当k ＝0时，直线与x 轴平行，与抛物线C 只有一个交点(相交).当k ≠0时；①若Δ＝0，则直线与抛物线只有一个公共点，相切；②若Δ＞0，则直线与抛物线有两个交点，相交；③若Δ＜0，则直线与抛物线没有交点，相离.(2)当直线的斜率不存在时，设直线方程为x ＝n ，抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0).当n ＝0时，直线与抛物线相切于原点；当n ＜0时，直线与抛物线相离；当n ＞0时，直线与抛物线相交于两点.类型一 由直线与圆锥曲线的位置关系确定参数的值例1 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围.反思与感悟 求解直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用代数法，即将直线和圆锥曲线的方程联立，消去一个未知数，得到关于x (或y )的一元二次方程，讨论其根的个数，从而知其交点的个数.跟踪训练1 已知直线l ：kx －y ＋2＝0，双曲线C ：x 2－4y 2＝4，当k 为何值时：(1)l 与C 无公共点？(2)l 与C 有唯一公共点？ (3)l 与C 有两个不同的公共点？类型二 直线与圆锥曲线的弦长问题例2 过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 作倾斜角为π6的直线交双曲线于A ，B 两点，求|AB |.反思与感悟 求解直线与圆锥曲线的弦长问题常用以下两种方法： (1)求出交点A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式； (2)利用弦长公式|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.跟踪训练2 已知一顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线2x －y －4＝0所截的弦长为35，求抛物线的方程.类型三 中点弦问题例3 椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，椭圆C 2＝x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点坐标为(5，0)，斜率为1的直线l 与椭圆C 2相交于A ，B 两点，线段AB 的中点H 的坐标为(2，－1). (1)求椭圆C 2的方程；(2)设P 为椭圆C 2上一点，点M ，N 在椭圆C 1上，且OP →＝OM →＋2ON →.问：直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.反思与感悟 解决中点弦问题主要有如下两种方法：(1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.(2)“点差法”：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A 和B ，一般先设出交点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系公式.跟踪训练3 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦AB ，使AB 被点M 平分，求弦AB 所在直线的方程.1.已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点2.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.303B.6C.12D.7 3 3.过椭圆x 29＋y 24＝1内一定点M (1,0)作弦，则弦中点的轨迹方程为__________________.4.已知曲线C ：y 2＝2x ，若C 上存在相异两点关于直线l ：y ＝m (x －2)对称，则实数m 的取值范围是________.5.已知椭圆x 225＋y 29＝1，直线l ：4x －5y ＋40＝0，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？若存在，求出最小距离；若不存在，请说明理由.在解决圆锥曲线上两点关于直线对称的问题时，这两点的连线就是圆锥曲线的弦，先求弦中点的轨迹方程，然后联立直线方程，求得中点坐标的表达式，再由中点在曲线内部构造出不等式，最后得出答案.处理有关弦的中点轨迹的问题时，常设出弦的中点和端点的坐标，根据端点既在曲线上又在直线上这一条件，结合中点坐标公式，寻找中点和端点坐标之间的联系，其中用端点的坐标表示直线的斜率是常用方法.提醒：完成作业第三章§4 4.3答案精析问题导学 知识点一 坐标 题型探究例1 解 由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，∴Δ＝4m 2－4×5(m 2－1)＝20－16m 2. ∵直线与椭圆有公共点， ∴Δ≥0，即20－16m 2≥0. ∴－52≤m ≤52. 故实数m 的取值范围为[－52，52]. 跟踪训练1 解 由题意，得l ：y ＝kx ＋2，代入双曲线C 的方程并整理，得 (1－4k 2)x 2－16kx －20＝0.①当1－4k 2≠0时，Δ＝(－16k )2－4(1－4k 2)·(－20)＝16(5－4k 2).(1)当⎩⎪⎨⎪⎧1－4k 2≠0，Δ＜0，即k ＜－52或k ＞52时，l 与C 无公共点.(2)当1－4k 2＝0，即k ＝±12时，方程①只有一解；当1－4k 2≠0且Δ＝0，即k ＝±52时，方程①有两个相同的解.故当k ＝±12或k ＝±52时，l 与C 有唯一公共点.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧1－4k 2≠0，Δ＞0，即－52＜k ＜52且k ≠±12时，方程①有两个不同的解，即此时l 与C 有两个不同的公共点.例2 解 ∵双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F 1(－2,0)，∴直线方程为y ＝33(x ＋2).由⎩⎨⎧x 2－y 23＝1，y ＝33(x ＋2)消去y ，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋13·(12)2＋4×138＝3. 跟踪训练2 解 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0).将y ＝2x －4代入并整理，得4x 2－(16＋a )x ＋16＝0.设此方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝16＋a4，x 1x 2＝4.又∵抛物线被直线所截的弦长为35， ∴(35)2＝(1＋22)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝5[(16＋a 4)2－16].整理，得a 2＋32a －144＝0， ∴a ＝4或a ＝－36.故所求抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x . 例3 解 (1)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， H (x H ，y H )，则⎩⎨⎧x 2A a 2＋y 2Ab2＝1，x 2B a 2＋y2B b 2＝1，∴y A －y Bx A －x B＝－b 2a 2·x A ＋x B y A ＋y B ＝－b 2a 2·x Hy H.又∵直线l 的斜率为1，点H 的坐标为(2，－1)， ∴1＝－b 2a 2·2－1，即a 2＝2b 2.又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝5，a 2＝10， ∴椭圆C 2的方程为x 210＋y 25＝1.(2)设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).∵＝＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋2x 2，y 0＝y 1＋2y 2.又∵x 20＋2y 20＝10，∴(x 1＋2x 2)2＋2(y 1＋2y 2)2＝10，即x 21＋2y 21＋4(x 22＋2y 22)＋4x 1x 2＋8y 1y 2＝10， 又∵x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，∴10＋4x 1x 2＋8y 1y 2＝10， 即x 1x 2＋2y 1y 2＝0. ∴k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12.跟踪训练3 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). ∵M (2,1)为弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又∵A ，B 两点在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.将两式相减，得x 21－x 22＋4(y 21－y 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－12，∴k AB ＝－12.故弦AB 所在直线的方程是－12(x －2)＝y －1，即x ＋2y －4＝0.当堂训练 1.C 2.C 3.4x 2＋9y 2－4x ＝0 4.(－2，2)5.解 由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线l 与椭圆不相交.设直线m 与椭圆相切且平行于直线l ， 则直线m 的方程可以设为4x －5y ＋k ＝0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋k ＝0，x 225＋y 29＝1，消去y ，得25x 2＋8kx ＋k 2－225＝0.令Δ＝0，得64k 2－4×25×(k 2－225)＝0， 解得k 1＝25，k 2＝－25.由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0，直线m与直线l间的距离d＝|40－25|16＋25＝154141，即最小距离为154141.。
(北师大版)2018-19高中数学新学案-同步讲义-选修2-1-第三章 圆锥曲线与方程 §4 4.1
§4曲线与方程4．1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法．知识点一曲线的方程和方程的曲线的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线．知识点二坐标法思想及求曲线方程的步骤思考曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．答案不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C 为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．(3)求曲线的方程的步骤如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则1．曲线l的方程是F(x，y)＝0.(×)2．方程F(x，y)＝0的曲线是l.(×)3．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．(√)4．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线l上．(×)类型一曲线的方程与方程的曲线解读例1 (1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是( )A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案(1)D (2)B解析(1)命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”为假命题，则命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是真命题．故选D.(2)由曲线C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.反思与感悟(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪训练1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 (1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此，|x |＝2不是过点A (2,0)且平行于y 轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.类型二 曲线与方程的应用例2 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在上述方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 2，－m 在上述方程表示的曲线上，求m 的值． 考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185. 引申探究本例中曲线方程不变，若点N (a,2)在圆外，求实数a 的取值范围．解 结合点与圆的位置关系，得a 2＋(2－1)2＞10，即a 2＞9，解得a ＜－3或a ＞3，故所求实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．反思与感悟 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练2 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围． 考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0，∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋122＋12， ∴k ≤12， ∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，12. 类型三 求曲线的方程命题角度1 直接法求曲线的方程例3 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2|PA |，则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48.引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程．解 设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|，又|PA |＝(x －2)2＋(y －0)2，故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2， 化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明． 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练3 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，求点P 的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)，得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )，PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2,0)．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)．命题角度2 相关点法求曲线的方程例4 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程．(4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练4 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9.过原点作圆C 的弦OP ，求OP 的中点Q 的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 相关点法求曲线方程解 设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 12，y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y . 又因为点P 在圆C 上，所以x 21＋(y 1－3)2＝9， 所以4x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322＝9， 即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322＝94(x ≠0).1．若命题“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是( )A．方程f(x，y)＝0所表示的曲线是曲线CB．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案 B解析“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都为假命题，B为真命题．2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( ) A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案 B解析将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上，故选B.3．等腰三角形底边的两个顶点分别是B(2,1)，C(0，－3)，则另一个顶点A的轨迹方程是( )A．x－2y＋1＝0(x≠0) B．y＝2x－1C．x＋2y＋1＝0(y≠1) D．x＋2y＋1＝0(x≠1)考点求曲线的方程的方法题点直接法求曲线方程答案 D解析设A(x，y)，依题意，知|AB|＝|AC|，所以(x－2)2＋(y－1)2＝x2＋(y＋3)2，化简得x＋2y＋1＝0.又因为A，B，C三点不能共线，所以x≠1，故选D.4．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________________．考点求曲线的方程的方法题点几何法求曲线方程答案4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0解析设该点坐标为(x，y)，则|4x＋3y－5|＝1，即|4x＋3y－5|＝5，5∴所求轨迹方程为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.5．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP→＝3PM→，求动点P的轨迹方程．考点求曲线方程的方法题点坐标转移法求曲线方程解设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2×4x －43－4y －23＋3＝0， 即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、选择题1．方程|x |＋|y |＝|xy |＋1表示的曲线是( )A ．一条直线B ．一个正方形C ．一个圆D ．四条直线考点 曲线和方程的概念题点 由方程研究曲线的对称性答案 D解析 由|x |＋|y |＝|xy |＋1，得(|x |－1)(|y |－1)＝0，即x ＝±1或y ＝±1，因此该方程表示四条直线．2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π3B.53πC.π3或53πD.π3或π6考点 曲线和方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 C解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12. 又因为0≤α<2π，所以α＝π3或α＝53π. 3．方程|x |－|y |＝0表示的图形是下图中的( )考点 曲线和方程的概念题点 由方程研究曲线的对称性答案 C解析 由|x |－|y |＝0知，y ＝±x ，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线．4．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的面积为( )A ．9πB．8πC．4πD．π考点 曲线与方程的意义题点 曲线与方程的综合应用答案 C解析设P(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，∴(x－2)2＋y2＝4，∴点P的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S＝π·22＝4π.5．在平面直角坐标系中，动点P(x，y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W，则有下列命题：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y＝x对称．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案 A6．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|等于( ) A．26B．8C．46D．10考点求曲线方程的方法题点几何法求曲线方程答案 C解析由已知，得AB→＝(3，－1)，BC→＝(－3，－9)，则AB→·BC→＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB→⊥BC→，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x －1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－26，y2＝－2＋26，所以|MN|＝|y1－y2|＝46，故选C.7．已知两点A(2，0)，B(－2，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且PA→·PB→＝2PQ→2，则动点P的轨迹方程为( )A．x2＋y2＝2 B．y2－x2＝2C．x2－2y2＝1 D．2x2－y2＝1考点求曲线方程的方法题点定义法求曲线方程答案 B解析设动点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(0，y)，PQ→＝(－x,0)，PA→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，PA→·PB→＝x2－2＋y2.由PA→·PB→＝2PQ→2，得x2－2＋y2＝2x2，所以所求动点P的轨迹方程为y2－x2＝2.二、填空题8．方程(x－1)2＋y－2＝0表示的是____________．考点讨论方程的曲线类型题点其他类型的曲线与方程答案点(1,2)解析由(x－1)2＋y－2＝0，知(x－1)2＝0且y－2＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋y－2＝0表示的是点(1,2)．9．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→，则动点P的轨迹C的方程是________．考点求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程答案 y 2＝4x (x ≥0)解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )．由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，化简得y 2＝4x (x ≥0)．10．若点A (1,1)，B (2，m )都在方程ax 2＋xy －2＝0表示的曲线上，则m ＝________. 考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 －1解析 ∵A (1,1)，B (2，m )都在方程ax 2＋xy －2＝0表示的曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1－2＝0，4a ＋2m －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝－1. 11．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________.考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 5解析 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.三、解答题12．已知A (－3,0)，B ，C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，点P 为BC 延长线上一点，并且满足AB →⊥BP →，BC →＝12BP →，试求动点P 的轨迹方程． 考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 设P (x ，y )，B (0，y ′)，C (x ′，0)，则BC →＝(x ′，－y ′)，BP →＝(x ，y －y ′)，由BC →＝12BP →，得(x ′，－y ′)＝12(x ，y －y ′)， 即x ′＝x 2，y ′＝－y ，∴B (0，－y )， 又A (－3,0)，∴AB →＝(3，－y )，BP →＝(x,2y )，由AB →⊥BP →，得AB →·BP →＝0，∴3x －2y 2＝0，即动点P 的轨迹方程为y 2＝32x .13．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．考点 求曲线方程的方法题点 坐标转移法求曲线方程解 方法一 如图所示，设点A (a,0)，B (0，b )，M (x ，y )．因为M 为线段AB 的中点，所以a ＝2x ，b ＝2y ，即A (2x,0)，B (0,2y )．因为l 1⊥l 2，所以k AP ·k PB ＝－1.而k AP ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0，所以21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．因为当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.方法二 ∴l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，∵OAPB 四点共圆，AB 为直径，∴|MO |＝|MP |，设M (x ，y ) 则x 2＋y 2＝(x －2)2＋(y －4)2，整理得：x ＋2y －5＝0.四、探究与拓展14．方程x 2|x |＋y 2|y |＝1表示的图形是( ) A ．一条直线B ．两条平行线段C ．一个正方形D ．一个正方形(除去四个顶点)考点 讨论方程的曲线类型题点 其他类型的曲线与方程答案 D解析 由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x ≠0，y ≠0.当x ＞0，y ＞0时，方程可化为x ＋y ＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.15．已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，M 为直角坐标平面内一动点，过点M 作圆O 的切线，切点为N ，若|MN |与|MQ |的比值等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．考点 求曲线方程的方法题点 直接法求曲线方程解 连接ON ，OM ，易知ON ⊥MN ，设M (x ，y )．∵圆O 的半径是1，∴|MN |2＝|OM |2－|ON |2＝|OM |2－1.由题意知，|MN ||MQ |＝λ(λ＞0)， ∴|MN |＝λ|MQ |， 即x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2，整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0.∵λ＞0，∴当λ＝1时，方程化为x ＝54，该方程表示一条直线； 当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2， 该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2λ2λ2－1，0为圆心，以1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆．。
高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案第三章 3.1 椭圆
§椭圆．椭圆及其标准方程设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．问题：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？提示：相同．问题：这种游戏设计的原理是什么？提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．问题：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．椭圆的定义在平面直角坐标系中，已知(－)，()，()，(，－)．问题：若动点满足＋＝，则点的轨迹方程是什么？提示：＋＝.问题：若动点满足＋＝，则动点的轨迹方程是什么？提示：＋＝.椭圆的标准方程．平面内点到两定点，的距离之和为常数，当>时，点的轨迹是椭圆；当＝时，点的轨迹是一条线段；当<时，点的轨迹不存在．．椭圆的标准方程有两种形式，若含项的分母大于含项的分母，则椭圆的焦点在轴上，反之焦点在轴上．[例]()＝，＝，焦点在轴上；()＋＝，＝；()经过点(，－)和点(－，)．[思路点拨]求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定和的值．[精解详析]()焦点在轴上，设标准方程为＋＝(＞＞)，则＝，＝－＝－＝.∴椭圆的标准方程为＋＝.()(\\(＋＝，－＝))⇒(\\(＋＝，,(＋((－(＝))⇒(\\(＋＝，－＝))⇒(\\(＝，＝.))∴椭圆的标准方程为＋＝或＋＝.()法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为。
高中数学(北师大版)选修2-1教案：第3章 曲线与方程 第一课时参考教案
3.4.1 曲线与方程一、教学目标：1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义及其对应关系，感受数形结合的基本思想；2．根据曲线方程的概念解决一些简单问题．二、教学重点，难点：教学重点：曲线方程的概念 ；教学难点：曲线方程概念的理解．三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）．问题情境1．情境： 在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．2．问题： 怎样理解这个表述？（二）．学生活动在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．这句话的含义是，圆C 上的点的坐标(,)x y 都是方程222()()x a y b r -+-=的解，且以方程222()()x a y b r -+-=的解为坐标的点都在圆C 上．（三）．新知探究1、圆的方程及其意义2、两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.3、函数y =x 2的图象是关于y 轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y =x 2的解为坐标的点组成的.这就是说，如果M （x 0,y 0）是抛物线上的点，那么（x 0,y 0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程y =x 2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上，这样，我们就说y =x 2是这条抛物线的方程.4、在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个方程F (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线c 上的点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解；（2）以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线c 上的点那么，方程F (x ,y )=0叫做曲线c 的方程；曲线c 叫做方程F (x ,y )=0的曲线.5．从集合的角度看，曲线c 上所有点组成的集合记作A ；B 是所有以方程F (x ,y )=0的实数解为坐标的点组成的集合关系(1)指集合A 是集合B 的子集，关系(2)指集合B 是集合A 的子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆)2()1( 一般地，如果曲线C 上点的坐标(,)x y 都是方程(,)0f x y =的解且以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0f x y =的曲线．（四）．知识运用例1．判断点(2,，(3,1)是否是圆2216x y +=上．分析：判断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解，即点坐标是否满足曲线方程．解：∵22241216+=+=，即点(2,的坐标是方程2216x y +=的解， 所以该点在圆上．∵22311016+=≠，即点(3,1)的坐标不是圆方程2216x y +=的解，所以该点不在这个圆上．例2．已知一座圆拱桥的跨度是36m ，圆拱高为6m ，以圆拱所对的弦AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图所示），求圆拱的方程．解：依据题意，圆拱桥所在圆的圆心在y 轴上，可设为1(0,)O b ，设圆拱所在圆的半径为r ，那么圆上任意一点(,)P x y 应满足1O P r =，即 22(0)()x y b r -+-=即222(0)()x y b r -+-=∵点(18,0),(0,6)B C 的圆上， ∴222222(180)(0)(00)(6)b r b r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩解得2430b r =-⎧⎨=⎩ 由于圆拱只是它所在的圆位于x 轴上方的一部分（包括x 轴上的点），所以，圆拱的方程是222(24)30(06)x y y ++=≤≤例3．画出方程的曲线：0log log =-x y y x ．解：由0log log =-x y y x ，得：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠±=11lg lg y x x y ，即原方程的曲线等价于)1,0(1≠>=x x xy 或)1,0(≠>=x x x y ，（图略）． 说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；（2）方程的变形要做到同解变形。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §2 2.1
§2抛物线2．1抛物线及其标准方程学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中参数p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题．知识点一抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线．(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．知识点二抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？答案(1)是关于x，y的二元二次方程，且只有一个二次项，一个一次项，根据平方项可以确定一次项的取值范围．(2)p的几何意义是焦点到准线的距离．梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：1．抛物线的方程都是二次函数．(×) 2．抛物线的焦点到准线的距离是p .(√) 3．抛物线的开口方向由一次项确定．(√)类型一 抛物线定义及应用例1 (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用 答案 A解析 由题意，知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义，得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，所以x 0＝1，故选A.(2)若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则P 点的轨迹方程是( ) A ．y 2＝－16x B ．y 2＝－32x C ．y 2＝16x D ．y 2＝32考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用 答案 C解析 ∵点P 到点(4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1， ∴将直线x ＋5＝0右移1个单位， 得直线x ＋4＝0，即x ＝－4，∴点P 到直线x ＝－4的距离等于它到点(4,0)的距离．根据抛物线的定义，可知P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线． 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，可得p2＝4，得2p ＝16，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x ， 即P 点的轨迹方程为y 2＝16x ，故选C. 反思与感悟 抛物线的判断方法(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离．(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程．跟踪训练1 (1)抛物线x 2＝4y 上的点P 到焦点的距离是10，则P 点的坐标为________． 考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用 答案 (6,9)或(－6,9)解析 设点P (x 0，y 0)，由抛物线方程x 2＝4y ， 知焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1， 由抛物线的定义，得|PF |＝y 0＋1＝10， 所以y 0＝9，代入抛物线方程得x 0＝±6.(2)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，点P 在抛物线上，且|PM |＝2|PF |，则△PMF 的面积为( ) A ．4B ．8C ．16D ．32 考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用 答案 B解析 如图所示，可得F (2,0)，过点P 作PN ⊥l ，垂足为N . ∵|PM |＝2|PF |，|PF |＝|PN |， ∴|PM |＝2|PN |， ∴|PN |＝|MN |.设P ⎝⎛⎭⎫t 28，t ，则|t |＝t28＋2， 解得t ＝±4，∴△PMF 的面积为12×|t |·|MF |＝12×4×4＝8.类型二 求抛物线的标准方程例2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上． 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程解 (1)设抛物线的标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p ＞0)， 又点(－3,2)在抛物线上，∴2p ＝43或2p ＝92，∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)当焦点在y 轴上时，已知方程x －2y －4＝0，令x ＝0，得y ＝－2，∴所求抛物线的焦点为F 1(0，－2)， 设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 由p2＝2，得2p ＝8， ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y ； 当焦点在x 轴上时，已知x －2y －4＝0， 令y ＝0，得x ＝4，∴抛物线的焦点为F 2(4,0)， 设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)， 由p2＝4，得2p ＝16， ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .综上，所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x . 反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p ，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值． 跟踪训练2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)已知抛物线的准线方程是x ＝－32；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 解 (1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)． 其准线方程为x ＝－32，由题意有－p 2＝－32，故p ＝3.因此标准方程为y 2＝6x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p2.又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 类型三 抛物线的实际应用问题例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高0.75m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．反思与感悟 涉及拱桥，隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3 如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m ，P 距抛物线的对称轴1m ，则水池的直径至少应设计多长？(精确到1m)考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用解 如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原点且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．依题意有P (－1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12，故抛物线方程为x 2＝－y .又B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2， 即|AB |＝2，则|O ′B |＝|O ′A |＋|AB |＝2＋1， 因此水池的直径为2(1＋2)m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.1．抛物线y 2＝x 的准线方程为( ) A ．x ＝14B ．x ＝－14C ．y ＝14D ．y ＝－14考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的准线方程 答案 B解析 抛物线y 2＝x 的开口向右，且p ＝12，所以准线方程为x ＝－14.2．以F (1,0)为焦点的抛物线的标准方程是( ) A ．x ＝4y 2B ．y ＝4x 2C ．x 2＝4y D ．y 2＝4x 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 答案 D解析 ∵抛物线焦点为F (1,0)， ∴可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， 且p2＝1，则p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x . 3．已知抛物线x 2＝4y 上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是( ) A ．0B.12C ．1D ．2考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用答案 C解析 设M (x M ，y M )，根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线定义，得yM ＋1＝2，解得yM ＝1.4．一动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，圆心在抛物线x 2＝4y 上，则l 的方程为( ) A ．x ＝1B ．x ＝116C ．y ＝－1D ．y ＝－116考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C解析 因为动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l 的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x 2＝4y 上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l 为抛物线的准线，所以l ：y ＝－1.5．动点P 到直线x ＋4＝0的距离比它到点M (2,0)的距离大2，则点P 的轨迹方程是________． 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 y 2＝8x解析 由题意可知，动点P 到直线x ＋2＝0的距离与它到点M (2,0)的距离相等，利用抛物线定义求出方程为y 2＝8x .1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4. 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫作抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p2.3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．一、选择题1．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点坐标为(0,1)B ．开口向上，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116C ．开口向右，焦点坐标为(1,0)D ．开口向右，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的焦点坐标 答案 B解析 由y ＝4x 2，得x 2＝14y ，所以开口向上，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116. 2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1)D ．(0,1)考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的焦点坐标 答案 B解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，由题设知－p2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0，故选B.3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－4D ．12或－2考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C解析 由题可设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，由定义知点P 到准线的距离为4，故p2＋2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将点P 的坐标代入x 2＝－8y ，得m ＝±4. 4．若动圆的圆心在抛物线y ＝112x 2上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0,2)B ．(0，－3)C ．(0,3)D ．(0,6)考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 C解析 直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义，知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．5．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( ) A ．7B ．8C ．9D ．10 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用 答案 C解析 抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9. 当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|P A |＋|PQ |的最小值为9.故选C.6．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |等于( ) A ．n ＋10 B ．n ＋20 C ．2n ＋10D ．2n ＋20考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10，故选A.7．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( ) A.254B.252C.258D ．25 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用 答案 A解析 抛物线的焦点F 坐标为(2,0)，直线l 的方程为y ＝43(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －2)，y 2＝8x ，得B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2 ∵抛物线的准线方程为x ＝－2， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252，∴AB 的中点到准线的距离为254. 二、填空题8．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为________． 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的焦点坐标 答案 ⎝⎛⎭⎫0，18 解析 ∵抛物线y ＝2x 2的标准方程为x 2＝12y ，∴p ＝14，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，18. 9．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P ⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为________．考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案138解析 由点P ⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1，∴|FM |＝2，|PQ |＝1＋14＝54，|MQ |＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫54＋2×1＝138. 10．以椭圆x 216＋y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的标准方程 答案 y 2＝16x解析 ∵椭圆的方程为x 216＋y 29＝1，∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则p 2＝4，即p ＝8，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x . 11．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的任意一点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A (4,5)，|P A |＋d 的最小值为________．考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用答案 34－1解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1.由题意得d ＝|PF |－1，∴|P A |＋d ≥|AF |－1＝(4－1)2＋52－1＝34－1，当且仅当A ，P ，F 三点共线时，|P A |＋d 取得最小值34－1.三、解答题12．如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求此时P 点的坐标．考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用解 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6＞2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上动点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ， 由抛物线的定义，知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72， 即|P A |＋|PF |的最小值为72， 此时P 点的纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴P 点的坐标为(2,2)．13.如图所示，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)若点A ，B 都在抛线C 上，且FB →＝2OA →，求点A 的坐标．考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程解 (1)依题意，可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，其准线l 的方程为y ＝－p 2. ∵准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，∴圆心(0,0)到准线l 的距离d ＝0－⎝⎛⎭⎫－p 2＝1， 解得p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝4y 1，①x 22＝4y 2，②由题意得F (0,1)， ∴FB →＝(x 2，y 2－1)，OA →＝(x 1，y 1)，∵FB →＝2OA →，∴(x 2，y 2－1)＝2(x 1，y 1)＝(2x 1,2y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1，y 2＝2y 1＋1，代入②得4x 21＝8y 1＋4， 即x 21＝2y 1＋1，又x 21＝4y 1，所以4y 1＝2y 1＋1，解得y 1＝12，x 1＝±2， 即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，12或⎝⎛⎭⎫－2，12. 四、探究与拓展14．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程答案 C解析 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.不妨设点M 在第一象限，由抛物线的定义，得M ⎝⎛⎭⎫5－p 2， 2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2. 设N 点坐标为(0,2)． 因为圆过点N (0,2)，所以NF ⊥NM ，即2－p 2×2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2－25－p 2＝－1.① 设p ⎝⎛⎭⎫5－p 2＝t ， 则①式可化为t 2－42t ＋8＝0，解得t ＝22，即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8. 15．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫72，4和焦点F 的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程解 抛物线的准线为l ：x ＝－p 2. ①当点A 在抛物线内部时，42＜2p ·72， 即p ＞167时，过M 作MA ′⊥l ，垂足为A ′， 则|MF |＋|MA |＝|MA ′|＋|MA |.当A ，M ，A ′共线时，(|MF |＋|MA |)min ＝5，即p 2＋72＝5，∴p ＝3，满足p ＞167， ∴抛物线方程为y 2＝6x .②当点A 在抛物线外部时，42＞2p ·72， 即p ＜167时，|MF |＋|MA |≥|AF |，当A ，M ，F 共线时取等号，|AF |＝5， 即⎝⎛⎭⎫72－p 22＋(4－0)2＝5， ∴p ＝1或p ＝13(舍)，∴抛物线方程为y 2＝2x .③当点A 在抛物线上，即p ＝167时，结合②明显不成立． 综上，抛物线方程为y 2＝6x 或y 2＝2x .。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 疑难规律方法 第三章
1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．1．求最值例1 线段|AB |＝4，|PA |＋|PB |＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( )A ．2B. C.D ．525解析 由于|PA |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为中心，A ，B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝＝.于是PM 的长度的最小值是b ＝.a 2－c 255答案 C2．求动点坐标例2 椭圆＋＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________．x 29y 225解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，所以|PF 1|·|PF 2|≤2＝2＝25，(|PF 1|＋|PF 2|2)(102)当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．由Error!解得|PF 1|＝|PF 2|＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(±3,0)．答案 (±3,0)点评 由椭圆的定义可得“|PF 1|＋|PF 2|＝10”，即两个正数|PF 1|，|PF 2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF 1|，|PF 2|积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标．3．求焦点三角形面积例3 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，43求△PF 1F 2的面积．解 由已知，得a ＝2，b ＝，3所以c ＝＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.a 2－b 2在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|.②将②代入①，得|PF 1|＝.65所以＝|PF 1||F 1F 2|·sin120°12PF F S A 12＝××2×＝，126532353即△PF 1F 2的面积是.353点评 在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF 1|，|PF 2|的方程组，消去|PF 2|可求|PF1|.从以上问题我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．2 如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义求离心率例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析 如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a >b >0)，半焦距为c ，由题意知∠F 1AF 2＝90°，a 2b 2∠AF 2F 1＝60°.∴|AF 2|＝c ，|AF 1|＝2c ·sin60°＝c .3∴|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝(＋1)c .3∴e ＝＝＝－1.c a 23＋13答案 －13点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例2 椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果x 2a 2y 2b 2F 1到直线AB 的距离为，则椭圆的离心率e ＝________.b7解析 如图所示，直线AB 的方程为＋＝1，x －a yb 即bx －ay ＋ab ＝0.∵点F 1(－c,0)到直线AB 的距离为，∴＝，b 7b 7|－bc ＋ab |a 2＋b 2∴|a －c |＝，即7a 2－14ac ＋7c 2＝a 2＋b 2.7a 2＋b 2又∵b 2＝a 2－c 2，整理，得5a 2－14ac ＋8c 2＝0.两边同除以a 2并由e ＝知，8e 2－14e ＋5＝0，ca 解得e ＝或e ＝(舍去)．1254答案 123．利用数形结合求离心率例3 在平面直角坐标系中，已知椭圆＋＝1(a >b >0)，圆O 的半径为a ，过点P x 2a 2y 2b 2作圆O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e ＝________.(a 2c ，0)解析 如图所示，切线PA ，PB 互相垂直，|PA |＝|PB |.又OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，|OA |＝|OB |，则四边形OAPB 是正方形，故|OP |＝|OA |，2即＝a ，∴e ＝＝.a 2c 2c a 22答案 224．综合类例4 设M 为椭圆＋＝1上一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF 1F 2＝75°，x 2a 2y 2b 2∠MF 2F 1＝15°，求椭圆的离心率．解 由正弦定理得＝＝2csin90°|MF 1|sin15°|MF 2|sin75°＝＝，|MF 1|＋|MF 2|sin15°＋sin75°2a sin15°＋sin75°∴e ＝＝＝＝.c a 1sin15°＋cos15°12sin60°633 抛物线的焦点弦例1 如图所示，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，AB 的中点M (x 0，y 0)，过A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，M 1，B 1，则有以下重要结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；(2)|AB |＝2(焦点弦长与中点坐标的关系)；(x 0＋p 2)(3)|AB |＝x B ＋x B ＋p ；(4)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x A x B ＝，y A y B ＝－p 2；p 24(5)A 1F ⊥B 1F ；(6)A ，O ，B 1三点共线；(7)＋＝.1|FA |1|FB |2p 以下以第(7)条结论为例证明：证明 当直线AB 的斜率不存在，即与x 轴垂直时，|FA |＝|FB |＝p ，∴＋＝＋＝.1|FA |1|FB |1p 1p 2p 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ，并代入y 2＝2px ，(x －p 2)∴2＝2px ，(kx －kp 2)即k 2x 2－p (2＋k 2)x ＋＝0.k 2p 24由A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝，x A x B ＝.p (k 2＋2)k 2p 24∵|FA |＝x A ＋，|FB |＝x B ＋，p 2p 2∴|FA |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ，|FA |·|FB |＝(xA ＋p 2)(xB ＋p 2)＝x A x B ＋(x A ＋x B )＋＝(x A ＋x B ＋p )．p 2p 24p 2∴|FA |＋|FB |＝|FA |·|FB |·，即＋＝.2p 1|FA |1|FB |2p 点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB ⊥x 轴的情况．例2 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则FA → FB → FC → ||＋||＋||＝________.FA → FB → FC → 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)．由＋＋＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，FA → FB → FC → 即x 1＋x 2＋x 3＝3，||＋||＋||＝x 1＋x 2＋x 3＋p ＝6.FA → FB → FC → 32答案 64 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究．1．定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫作定义法．例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线E.(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈，求点Q 的纵坐标的取值范围．[12，32]解 (1)依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线，∴|NA |＝|NM |.∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2，∴N 的轨迹是以C ，A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆．当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.x 24y 23(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2由(1)知：a 2－b 2＝1.又C (－1,0)，B (0，b )，∴直线l 的方程为＋＝1，即bx －y ＋b ＝0.x －1y b 设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称，∴Error! 消去x 得y ＝.4bb 2＋1∵离心率e ∈，∴≤e 2≤，[12，32]1434即≤≤.∴≤a 2≤4.141a 23443∴≤b 2＋1≤4，即≤b ≤，43333∵y ＝＝≤2，当且仅当b ＝1时取等号．4b b 2＋14b ＋1b 又当b ＝时，y ＝；当b ＝时，y ＝.∴≤y ≤2.333333∴点Q 的纵坐标的取值范围是[，2]．32．直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M 的轨迹方程．解 如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，则d ＋132＝r 2，d ＋122＝r 2，212∴d －d ＝25，221即2－2＝25，(3x －2y ＋313)(2x －3y ＋213)化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65.点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可．3．待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA ＝，求椭圆的方程．23解 椭圆的长轴长为6，cos ∠OFA ＝，23所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF |＝c ，|AF |＝＝|OA |2＋|OF |2b 2＋c 2＝a ＝3，＝，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5，c 323故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.x 29y 25x 25y 294．相关点法(或代入法)如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹．例4 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．分析 设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可．解 设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，∵点P 是线段QN 的中点，∴N 点的坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2，即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ，∴k QN ＝＝1，2y －2y 02x －2x 0即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝(3x ＋y －2)，y 0＝(x ＋3y －2)．1212又∵点Q 在双曲线上，∴(3x ＋y －2)2－(x ＋3y －2)2＝1.1414化简，得2－2＝.(x －12)(y －12)12∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为2－2＝.(x －12)(y －12)12点评 本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P ，Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解．5．参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫作参数法．例5 已知点P 在直线x ＝2上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A (1,0)及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程．解 如图，设OP 的斜率为k ，则P (2,2k )．当k ≠0时，直线l 的方程为y ＝－x ；①1k 直线m 的方程为y ＝2k (x －1)．②联立①②消去k ，得2x 2＋y 2－2x ＝0 (x ≠1)．当k ＝0时，点Q 的坐标(0,0)也满足上式，故点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠1)．5 解析几何中的定值与最值问题1．定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，＋与a ＝(3，－1)共线．设M 为椭圆上任意一点，且OA → OB → ＝λ＋μ (λ，μ∈R )，求证：λ2＋μ2为定值．OM → OA → OB → 证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则＝，此时λ＝1，μ＝0，OM → OA → ∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为＋＝1(a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)，x 2a 2y 2b 2∴Error!①－②得＋＝0，(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2即＝－＝－，y 1－y 2x 1－x 2b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)b 2x 0a 2y 0又∵k AB ＝＝1，∴y 0＝－x 0.y 1－y 2x 1－x 2b 2a 2∴直线ON 的方向向量为＝，ON → (1，－b 2a 2)∵∥a ，∴＝.ON → 13b 2a 2∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，又直线方程为y ＝x －c ，联立Error!得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0.∵x 1＋x 2＝c ，x 1x 2＝＝c 2.323c 2－3b 2438又设M (x ，y )，则由＝λ＋μ，OM → OA → OB → 得Error!代入椭圆方程整理得λ2(x ＋3y )＋μ2(x ＋3y )＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.212122又∵x ＋3y ＝3b 2，x ＋3y ＝3b 2，212122x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝c 2－c 2＋3c 2＝0，3292∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．例2 已知椭圆＋＝1(a >b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数x 2a 2y 2b 2列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.PM → MQ → PN → NQ → (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3.∴椭圆的标准方程为＋y 2＝1.x 23(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设直线l 的方程为x ＝t (y －m )，由＝λ1知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，PM → MQ → ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意知y 1≠0，∴λ1＝－1.my 1同理由＝λ2知λ2＝－1.PN → NQ → m y 2∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立Error!得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，②且有y 1＋y 2＝，y 1y 2＝，③2mt 2t 2＋3t 2m 2－3t 2＋3③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1，由题意知mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点．2．最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．例3 已知F 是双曲线－＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则x 24y 212|PF |＋|PA |的最小值为________．解析 设右焦点为F ′，由题意可知F ′的坐标为(4,0)，根据双曲线的定义知，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，|PF ′|＋|PA |最小需P ，F ′，A 三点共线，最小值即4＋|F ′A |＝4＋＝4＋5＝9.9＋16答案 9点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．例4 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求·的最小值．AD → EB → 解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，－|x |＝1.(x －1)2＋y 2化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．(2)如图，由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋，x 1x 2＝1.4k 2Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＞0，因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－.1k 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故·＝(＋)·(＋)AD → EB → AF → FD → EF → FB → ＝·＋·＋·＋·AF → EF → AF → FB → FD → EF → FD → FB →＝||·||＋||·||AF → FB → FD → EF → ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1(2＋4k 2)＝8＋4≥8＋4×2＝16.(k 2＋1k 2)k 2·1k 2当且仅当k 2＝，即k ＝±1时，·取得最小值16.1k 2AD → EB → 6 圆锥曲线中存在探索型问题存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习．1．常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由．分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的中点坐标为.(x 1＋x 22，y 1＋y 22)依题设有＝2·，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①y 1＋y 22x 1＋x 22又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1，∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2，即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③联立Error!得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，∴x 1＋x 2＝，④2a3－a 2把④代入③，得(2－a )·＝2，2a3－a 2解得a ＝，经检验符合题意，32∴k AB ＝，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝×2＝3≠－1.3232故不存在满足题意的实数a .2．点存在型问题例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y ＝x 相切于原2点O ，椭圆＋＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.x 2a 2y 29(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在．解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上，设圆心的坐标是(－p ，p )(p >0)，则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8，由于O (0,0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2，∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)椭圆＋＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知x 2a 2y 292a ＝10，a ＝5，∴椭圆右焦点为F (4,0)．假设存在异于原点的点Q (m ，n )使|QF |＝|OF |，则有Error!且m 2＋n 2≠0，解得Error!故圆C 上存在满足条件的点Q .(45，125)3．直线存在型问题例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆＋y 2＝1交于两个不同的点x 23M ，N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解．解 设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可．由Error!得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x P ＝＝－，y P ＝kx P ＋m ＝，x 1＋x 223mk 1＋3k 2m 1＋3k 2∴k AP ＝.∵AP ⊥MN ，3k 2－m ＋13mk ∴＝－(k ≠0)，故m ＝－.3k 2－m ＋13mk 1k 3k 2＋12由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＝9(1＋3k 2)(1－k 2)>0，得－1<k <1，且k ≠0.故当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l .7 圆锥曲线中的易错点剖析1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误例1 长为a 的线段AB ，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB 中点P 的轨迹方程．错解 如图所示，设A (0，y )，B (x,0)．由中点坐标公式可得P 点坐标为，连接OP ，(x 2，y 2)由直角三角形斜边上的中线性质有|OP |＝|AB |＝a .1212故2＋2＝2，(x 2)(y 2)(a 2)即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.错因分析 求轨迹方程，即求轨迹上任意一点的坐标所满足的方程，并检验以方程的解为坐标的点是否都是轨迹上的点，因此，应设轨迹上任意一点的坐标为(x ，y ).上述解法是因为动点坐标设的不对，即运用方法不当而导致错误.正解 设中点P (x ，y )，A (0，m )，B (n,0)，则m 2＋n 2＝a 2，x ＝，y ＝，n 2m2于是所求轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.142．忽视定义中的条件而致误例2 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．圆C ．直线D ．线段错解 根据椭圆的定义，点M 的轨迹为椭圆，故选A.正解 因为点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2.错因分析 在椭圆的定义中，点M 到两定点F 1，F 2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF 1|＋|MF 2|>|F 1F 2|，亦即2a >2c .而本题中|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2.答案 D3．忽视标准方程的特征而致误例3 设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．错解 抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－.m4又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4.故－＝－2或－＝4.∴m ＝8或m ＝－16.m 4m4所以抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.错因分析 错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x 2＝y 的形式，再求解.1m 正解 由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝y ，1m其准线方程为y ＝－.由题意知－＝－2或－＝4，解得m ＝或m ＝－.14m 14m 14m 18116则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .4．求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例4 抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且|AF |＝5，求抛物线的标准方程．错解一 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)．设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝＋m ，p 2所以Error!解得Error!或Error!所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .错解二 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)．设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝＋m ，p 2所以Error!解得Error!或Error!所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时，点A 在第三象限，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝＋m ，p 2所以Error!解得Error!或Error!(舍去)．所以抛物线方程为y 2＝－2(5＋)x .34综上所述，抛物线方程为y 2＝－2(5＋)x 或y 2＝2x 或y 2＝18x .34错因分析 当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论.正解 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝＋m ，所以Error!p 2解得Error!或Error!所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时，点A 在第三象限，抛物线的方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝－m ，p 2所以Error!解得Error!或Error!所以抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x 或y 2＝2x 或y 2＝18x .8 圆锥曲线中的数学思想方法1．方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．本章中，方程思想的应用最为广泛．例1 已知直线y ＝－x ＋2和椭圆＋＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且a ＝2b ，若12x 2a 2y 2b 2|AB |＝2，求椭圆的方程．5解 由Error!消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2.∵|AB |＝2，5∴·＝2，1＋14(x 1＋x 2)2－4x 1x 25即·＝2，5216－4(8－2b 2)5解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16.∴所求椭圆的方程为＋＝1.x 216y 242．函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法．例2 若点(x ，y )在＋＝1(b >0)上运动，求x 2＋2y 的最大值．x 24y 2b 2解 ∵＋＝1(b >0)，∴x 2＝4≥0，x 24y 2b 2(1－y 2b 2)即－b ≤y ≤b .∴x 2＋2y ＝4＋2y (1－y 2b 2)＝－＋2y ＋4＝－2＋4＋.4y 2b 24b 2(y －b 24)b 24当≤b ，即0<b ≤4时，若y ＝，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为4＋；当>b ，b 24b 24b 24b 24即b >4时，若y ＝b ，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为2b .综上所述，x 2＋2y 的最大值为Error!3．转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法．例3 如图所示，已知椭圆＋＝1，直线l ：x ＝12，P 是l 上任意一点，射线OP 交椭x 224y 216圆于点R ，又点Q 在线段OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上运动时，求点Q 的轨迹方程．解 设P (12，y P )，R (x R ，y R )，Q (x ，y )，∠POx ＝α.∵|OR |2＝|OQ |·|OP |，∴2＝·.(|OR |cos α)|OQ |cos α|OP |cos α由题意知x R >0，x >0，∴x ＝x ·12.①2R又∵O ，Q ，R 三点共线，∴k OQ ＝k OR ，即＝.②y x yR xR由①②得y ＝.③2R12y 2x ∵点R (x R ，y R )在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.④x 224y 216x 2R 24y 2R 16由①③④得2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)，∴点Q 的轨迹方程是2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)．4．分类讨论思想本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以必须要注意分类讨论．例4 求与双曲线－y 2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程．x 24分析 由题意可设所求双曲线的方程为－y 2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行x 24讨论．解 由题意可设所求双曲线的方程为－y 2＝λ(λ≠0)，x 24即－＝1(λ≠0)．x 24λy 2λ当λ>0时，c 2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，∴所求双曲线的方程为－＝1.x 220y 25当λ<0时，c 2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5，∴所求双曲线的方程为－＝1.y 25x 220综上所述，所求双曲线的方程为－＝1或－＝1.x 220y 25y 25x 2205．数形结合思想利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．例5 在△ABC 中，BC 边固定，顶点A 在移动，设|BC |＝m ，当三个角满足条件|sin C －sin B |＝|sin A |时，求顶点A 的轨迹方程．12解 以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则B ，C .(－m 2，0)(m 2，0)设点A 坐标为(x ，y )，由题设，得|sin C －sin B |＝|sin A |.12根据正弦定理，得||AB |－|AC ||＝m ＜m .12可知点A 在以B ，C 为焦点的双曲线上．2a ＝m ，∴a ＝.12m 4又c ＝m ，∴b 2＝c 2－a 2＝－＝m 2.12m 24m 216316故所求点A 的轨迹方程为－＝1(y ≠0)．16x 2m 216y 23m 2。
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§1椭__圆
1．1椭圆及其标准方程
[对应学生用书P43]
设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．
问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？
提示：相同．
问题2：这种游戏设计的原理是什么？
提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．
问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？
提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．
椭圆的定义。